[推荐学习]2019高考数学一轮复习第12章鸭部分4_4第1讲坐标系分层演练文

4-4 第1讲 坐标系1．(2018·山西省高三考前质量检测)已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φy ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P ．若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．解：(1)C 1：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32，C 2：ρ2＝61＋2sin 2θ． (2)因为M (3，0)，N (0，1)，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12， 所以OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6． 把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ得ρ2＝2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6． 所以|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两间点的距离为1．2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设⊙C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，点P 为⊙C 上一动点，点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，点Q 为线段PM的中点．(1)求点Q 的轨迹C 1的方程；(2)试判定轨迹C 1和⊙C 的位置关系，并说明理由．解：(1)由⊙C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ， 所以⊙C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，又点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，所以点M 的直角坐标为(0，4)． 设点P (x 0，y 0)，点Q (x ，y )， 则有x 20＋(y 0－1)2＝1．(*) 因为点Q 为线段PM 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y －4，代入(*)得轨迹C 1的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝14．(2)因为⊙C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1，圆心为(0，1)，半径为1， 而轨迹C 1是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，半径为12的圆， 所以两圆的圆心距为32，等于两圆半径和，所以两圆外切．3．在极坐标系中，圆C 是以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6为圆心，2为半径的圆． (1)求圆C 的极坐标方程； (2)求圆C 被直线l ：θ＝－5π12(ρ∈R )所截得的弦长． 解：法一：(1)设所求圆上任意一点M (ρ，θ)，如图， 在Rt △OAM 中，∠OMA ＝90°，∠AOM ＝2π－θ－π6，|OA |＝4．因为cos ∠AOM ＝|OM ||OA |，所以|OM |＝|OA |·cos ∠AOM ，即ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－θ－π6＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6， 验证可知，极点O 与A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π6的极坐标也满足方程，故ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6为所求．(2)设l ：θ＝－5π12(ρ∈R )交圆C 于点P ，在Rt △OAP 中，∠OPA ＝90°， 易得∠AOP ＝π4，所以|OP |＝|OA |cos ∠AOP ＝22．法二：(1)圆C 是将圆ρ＝4cos θ绕极点按顺时针方向旋转π6而得到的圆，所以圆C的极坐标方程是ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6． (2)将θ＝－5π12代入圆C 的极坐标方程ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，得ρ＝22，所以圆C 被直线l ：θ＝－5π12(ρ∈R )所截得的弦长为22．4．在极坐标系中，曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1． (1)求曲线C 1和C 2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C 2相交于点Q ，在OQ 上取一点P ，使|OP |·|OQ |＝2，求点P 的轨迹，并指出轨迹是什么图形．解：(1)C 1的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，它表示圆心为(－1，0)，半径为1的圆．C 2的直角坐标方程为x －3y －2＝0，所以曲线C 2为直线，由于圆心到直线的距离为d ＝|－1－2|2＝32>1，所以直线与圆相离，即曲线C 1和C 2没有公共点．(2)设Q (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ0＝2，θ＝θ0，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝2ρ，θ0＝θ.① 因为点Q (ρ0，θ0)在曲线C 2上， 所以ρ0cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π3＝1．②将①代入②，得2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，即ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3为点P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1，因此点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32为圆心，1为半径的圆．5．已知曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－1，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4．以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)求曲线C 2上的动点M 到曲线C 1的距离的最大值． 解：(1)依题意得ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2()cos θ＋sin θ，即ρ2＝2()ρcos θ＋ρsin θ，可得x 2＋y 2－2x －2y ＝0，故C 2的直角坐标方程为()x －12＋(y －1)2＝2． (2)曲线C 1的极坐标方程为 ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－1， 即ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝－1，化为直角坐标方程为x ＋3y ＋2＝0，由(1)知曲线C 2是以(1，1)为圆心，2为半径的圆，且圆心到直线C 1的距离d ＝|1＋3＋2|12＋（3）2＝3＋32>r ＝2， 于是直线与圆相离，所以动点M 到曲线C 1的距离的最大值为3＋3＋222．6．在直角坐标系xOy 中，半圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝53，射线OM ：θ＝π3与半圆C的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以半圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．(2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝1，θ1＝π3，设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ2（sin θ2＋3cos θ2）＝53，θ2＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝5，θ2＝π3，由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝4， 所以线段PQ 的长为4．1．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25．(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l 的方程为y ＝(tan α)x ，其中α为直线l 的倾斜角，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求tan α的值．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0．(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得 ρ2＋12ρcos α＋11＝0．于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11．|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44． 由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153．2．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3．(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ0＋π2，若A 、B 都在曲线C 1上，求1ρ1＋1ρ22的值． 解：(1)因为C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，所以C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1．由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a ·cos θ(a 为半径)，将D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3代入，得2＝2a ×12，所以a ＝2，所以圆C 2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2， 所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ． 所以ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0， ρ22＝44sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0． 所以1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54．。