谐振子-相图_153601860
量子力学——谐振子、势垒贯穿
量子隧道效应
量子力学中散射问题通常当作 定态问题处理
一维散射的核心问题是透射率 和反射率的计算
E
有限深方势阱
• 方势阱存在束缚 态,也存在散射态
E U0 散射态
U0
E U0
束缚态
E
U ( ) U0
势垒问题
E>0， U ( ) 0
粒子能量大于无穷远势能
没有束缚态(可以出现在无穷远)
A-振幅； 0 初始相位
量子谐振子的例子
• 电磁场量子运动可以借助于谐振子模型（量子光 学课程） • 微观粒子在平衡位置附近的微小振动可以近似当 作谐振子（统计物理部分） • U 1 2U
U ( x ) U(0)+ x x
x=0
2 x 2 U x
x 2 ....
x=0
n2
线 性 谐 振 子 位 置 概 率 密 度
x
n=11 时的概率密度分布
11
2
n 11
x
（经典力学最 1 远点）临界点
2
m x 0 E x 0
2 2
2E 2 m
经典粒子不能出现在E < U 区，量子粒子则 可以！
U( x )
基态E0
0
0
2
x
E0 U“经典禁区” ( )
d 2 2 E 2 2 2 2 2 x 0. 2 dx
无量纲化变换： x x ,
2E
得到
d 2 2 ( ) ( ) 0. 2 d
无量纲化的定态方程
d 2 2 ( ) ( ) 0. 2 d
取U(0)=0；因平衡位置 1 2U U ( x) 2 x 2
谐振子-相图_153601860
r = ωd Ae
−(δ / ωd )ϕ
这是一个对数螺旋方程，无论从哪里出发，最后都趋向中心。称中心点 O 为吸 引子（attractor） ，它把相空间里的点都吸引到自己上边。中心点 O 同时又是一 个不动点，它是最简单的一类吸引子，即不动点吸引子。 在相平面中，代表点的矢径值的连续减少，总是表示振子的阻尼运动。
以 y 表示，方程（*6）可写作状态变量的一阶微分方程组 同理，将 x
=y x = − f ( x, y ) y 初始条件改为
（*7）
= t 0= : x(0) x0= , y (0) y0 方程组（*7）的解 x(t ) 和 y (t ) 完全确定系统的运动过程。 将方程组（*7）中两式相除，消去时间微分 dt 后,即得到确定相轨迹族的一 阶微分方程 dy f ( x, y ) = − dx y （*8）
⇒ T0 = ∫
dx 2[ E − U ( x)]
（*5a）
一般情况下， 周期 T0 随初始条件的不同而变化， 只有线性保守系统的周期与初始 条件无关。 例如，对谐振子
T0 = ∫
A
dx kA2 − kx 2
0
例 欠阻尼振子运动的相图 从欠阻尼振子的基本方程出发
x Ae −δ t sin(ωd t + θ ) = −δ t −δ t x = A −δ e sin(ωd t + θ ) + e ωd cos(ωd t + θ ) 做变量代换：
=x ( x) 的一阶微分方程，其解正好是（♣2）式。 这是 x
2 = −ω0 xdx xdx
1 2 2 1 2 = −ω0 ⇒ d x d x 2 2
⇒
课件：线性谐振子
之比： an2 an
2n 1
(n 2)(n 1)
n
2 n
(14)
与e 2的级数解比较：
e 2
2 4
1
n
n2
1! 2!
(
n 2
)!
(
n 2
1)!
bn 2 bn
(
n 2
)!
(
n 2
1)!
n 2
1
1
n
2 n
级数解在 时的行为与e 2 相同
所以总波函数有如下发散行为：
(
)
H (
)
exp
2n 1
an2 (n 2)(n 1) an
当a0已知，可得所有偶数n的an， 当a1已知，可得奇数n的an
a0 0, a1 0, H even( ) a1 0, a0 0, H odd ( )
3、应用标准条件
ξ→±∞ 需要考虑无穷级数H(ξ)的收敛性
如果级数含有无限多项，当很大，高次项系数
将
2E
代入得：2n
1
2E
0
En
(n
1 2
)
——线性谐振子能级公式
(15)
n Nne 2 / 2H n ( ) ——厄密函数
N
为归一化常数
n
(16)
Hn(ξ)
也可写成封闭形式：Hn ( )
(1)n e 2
dn
d n
(e 2 )
H n ( )的宇称：当n为奇数时为奇宇称
当n为偶数时为偶宇称
厄密多项式的递推关系：
l ① 当ξ有限时，H(ξ)有限；
l ② 当ξ→∞时，H(ξ)的行为要保证ψ(ξ)→ 0。
将(9)代入(6)
三维各向异性谐振子的能级简并
各向异性谐振子的能级简并刘永宏 指导教师：焦志莲 （太原师范学院物理系，太原030031）【摘 要】 给出了二维、三维各向异性谐振子的能级及波函数，并讨论各种情况下二维、三维各向异性谐振子的能级简并问题。
【关键词】各向异性谐振子，能级，波函数，能级简并。
0. 引 言各向同性谐振子的能级简并问题，很多量子力学教材都进行了讨论，譬如：曾谨言写的《量子力学导论》就对各向同性谐振子作了详细而深刻的分析。
但是对于各向异性谐振子的问题，则很少有教材中进行专门的讨论。
各向异性谐振子有其独特的能级简并和对称性，且在一定的近似条件下，可转变为各向同性谐振子来处理。
所以对于各向异性谐振子的能级简并研究，既能进一步加深对各向同性谐振子的理解和应用，同时又能为学习和探究更深层次的各向异性谐振子奠定基础。
本文先给出二维，三维各向异性谐振子的能级及波函数，然后讨论相应各向异性谐振子的能级简并度问题。
1. 各向异性谐振子的能级及波函数1.1 二维各向异性谐振子的能量及波函数当各向异性谐振子为二维情况时，体系哈密顿量在oxy 坐标系中可以表示为222222(,)112222y x x y x y P P H x y μωμωμμ=+++ （1） 令 22222211,2222yx x x y y P P H x H y μωμωμμ=+=+ （2）求解哈密顿本征值方程，可以得体系能量及波函数的表示为,11()()22x y n n x x y y E n n ωω=+++ （3）,(,)()()x y x y n n n x n y x y x y ααψ=ψψ （4）其中，各维波函数为221()exp()();0,1,2,2x n x x x x x x x x N x H x n ααααψ=-== （5）221()exp()();0,1,2,2y n y y y y y y y y N y H y n ααααψ=-== （6）1.2 三维各向异性谐振子的能量及波函数在三维空间o xyz -中，三维谐振子的哈密顿量为222222222(,,)111222222y x z x y z x y z P P P H x y z μωμωμωμμμ=+++++ （7） 令 222222222111,,222222y x z x x y y z z P P P H x H y H z μωμωμωμμμ=+=+=+ （8）由三维谐振子体系哈密顿量的本征值方程，可以求出的体系哈密顿量的本征值及相应的本征值函数为,,111()()()222x y z n n n x x y y z z E n n n ωωω=+++++ (9),,(,,)()()()x y zx y z nn n n x n y n z x y z x y z αααψ=ψψψ （10）其中，()()x yn x n y x y ααψψ、的具体表示与（5）、（6）式完全相同，z 方向的波函数为221()exp()();0,1,2,2z n z z z z z z z z N z H z n ααααψ=-== (11)2各向异性谐振子的能级简并一般情况下，各向异性谐振子的能级并不简并。
量子化学课件--第五章 谐振子
若 x=0 ， 则 表 明 a0=0 。
其一阶导数：
y(x) a1 2a2 x 3a3x2 ... nan xn1 n1
x=0，则表明a1=0。同理取n阶导数，并使得x=0，则
给出an=0。
[(n 2)(n 1)an2 c2an ]xn 0
n0
(n 2)(n 1)an2 c2an 0
2v 2mE2 0
2mE2 (2v 1)2vm1
E (v 1)hv, v 0,1,2,... 2
（能量量子化，使得一个级数在有限项后中断）
原递推关系式变为：
cn2
2 (n v)
(n 1)(n 2)
cn
为了去掉通解中的另一个无穷级数，必须使任意常数乘
之后等于零。从而剩下一波函数为 ex2 / 2 乘以只含x的
bj x j c j x j (bj c j )x j
j0
j0
j0
类似于上式，我们想要每个和中的求和极限相同以及
x的幂次相同，需要将幂级数展开等式左边的第一项
的求和指标作一变换，令n=k+2，
n(n 1)an xn2 (k 2)(k 1)ak2 xk
n2
k 0
why？
n(n 1)an xn2
n0
n0,2,4
n1,3,5
y
A
(1)k
c2k x2k
B
(1)
k
c x 2k 1 2k 1
k 0
(2k )! k0
(2k 1)!
上式中的两个级数是对于cos(cx)与sin(cx)的Taylor级 数，与下式一致：
y Acos(cx) Bsin(cx)
5.2 一维谐振子
在自然界中一维谐振子广泛存在，任何体系在平衡 位置附近的小振动，如分子的振动、晶格的振动、原子 和表面振动以及辐射场的振动等都可以分解成若干彼此 独立的简谐振动。
2.4一维谐振子
§ 2.4 一维谐振子一、能量本征方程 二、级数解法三、本征值和本征波函数平衡位置附近的微振动可近似认为是简谐振动。
例如原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格离子的振动等。
一、能量本征方程取振子的平衡位置为坐标原点22222212ˆx m x m H ω+-=d d)()(21222222x E x x m x m ψ=ψ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-ωd d因为0min =V ，∞→min out V ，所以∞<<E 0，谐振子只有束缚态，0)(lim =ψ±∞→x x 。
设ωαm =引入无量纲量 ⎪⎭⎫⎝⎛==ωλαξ 21,E x能量本征值问题转化成如下定解问题0)()()(222=ψ-+ψξξλξξd d)(lim =ψ±∞→ξξ下面会看到，束缚态条件要求λ只能取特定值,2,1,0,12=+=n n λ这导致能量的量子化。
首先把上述方程转化成可以用级数求解的形式。
考虑±∞→ξ的渐近解。
这时系数为λ的项可以忽略，方程趋近于0222=ψ-ψξξd d渐近通解为2222eeξξ-+≈ψB A ，（±∞→ξ）但因22ξe不满足束缚态的条件，所以渐近解取为22~ξ-ψe把波函数写成)(2ξξu -=ψe代入方程 0)(222=ψ-+ψξλξd d 后，求解ψ的问题则转化成求解u 的方程)1(222=-+-u uu λξξξd d d d这个方程称为Hermite 方程，可以用级数求解。
二、级数解法在原点0=ξ附近，用幂级数kk k a u ξξ∑∞==0)(代入Hermite 方程，得0)1(2)1(01122=-+--∑∑∑∞=-∞=-∞=k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξξ把前两项的求和序号改为从0开始0)1(2)1)(2(02=-+-++∑∑∑∞=∞=∞=+k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξ由此得到展开系数ka 的递推关系,2,1,0,)1)(2()1(22=++--=+k a k k k a k k λ只要给定0a 或者1a ，就可以把)(ξu 分成只含偶次项和只含奇次项的级数+++=+++=553312442201)()(ξξξξξξξa a a u a a a u而波函数为⎪⎩⎪⎨⎧=ψ--)()()(221222ξξξξξu u e e当∞→k 时)(1ξu 的相邻后项对前项的系数比值的极限为m k k k k a a k k 12)1)(2()1(22=→++--=+λ， ,2,1=m这与2e ξ的幂级数相邻项系数比值11+m 的极限相同。
上传谐振子图及说明
n=2
E2 =
5 hω 2
（- 5 ， 5 ） 等能量经典子范围（-a2，a2） ξ
1 （ -a2 ， a2 ）之外 指 数衰减 2 偶对称 3 极值 ξ=0 ， −1.44 ；
量子数
n=0
能量
波函数
说明 1 （ -a0 ， a0 ）之外 指 数衰减 2 偶对称 3 极值ξ=0
4ψ（ξ）=0无解
几率密度
说明 1 （-a0，a0）之外指数衰减 2 几率最大在 ξ=0处
3 量子谐振子可以出现在（-a0源自a0）之外 4 不存在几率为零处 5 经典谐振子几率最小值在ξ=0处， 最大在 （-a0，a0） ，不能出现在振幅以外
（- 7 ， 7 ） 等能量经典子范围（-a3，a3）
1 （ -a3 ， a3 ）之外 指 数衰减 2 奇对称 3 极值ξ=0.5；−0.5，
−2；+2 4ψ（ξ）=0； 3解3个节 点
1 （-a3，a3）之外指数衰减 2 几率最大在ξ=0.5；−0.5，−2；+2处
3 量子谐振子可以出现在（-a3，a3）之外 4 几率为零 3 处 5 经典谐振子几率最小值在ξ=0处， 最大在 （-a3，a3） ，不能出现在振幅以外
E0 =
1 hω 2
a0） （-1， 1） 等能量经典谐振子范围 （-a0，
n=1
E1 =
3 hω 2
（- 3 ， 3 ） 等能量经典子范围（-a1，a1）
1 （ -a1 ， a1 ）之外 指 数衰减 2 奇对称 3 极值ξ=1，−1
线性谐振子相图研究
文献综述题目：线性谐振子相图研究姓名：学号：系别：物理与电子信息工程系专业：物理学年级：指导教师：2009年2月7 日文献综述一、前言线性谐振子是量子力学中可以精确求解的有限几个事例之一[1]，其中最简单的线性谐振子是简谐振子。
自然界中任何一个力学系统，只要某一个物理量在其稳定平衡点附近作微小振动，便可以用简谐振子模型来描述，例如：复摆的振动、分子的振动、晶格的振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等。
在选择适当的坐标系之后，复杂的运动往往可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动（simple harmonic vibration ）。
简谐振动作为一种最简单最基本的振动，往往还是复杂运动的初步近似，是研究振动的基础。
因此研究它在理论上和应用上都有重大的意义。
其中从相空间的角度来研究振动系统的力学问题如今已经成为一个研究趋势。
因为相图里包含着完整的力学系统的全部信息，无须去解复杂的运动方程[2]。
计算机技术软硬件的飞速发展，为此研究趋势提供了现实条件。
本论文从简谐振子的基本定义出发，在Fortran 90条件下进行数值模拟并在Origin75 软件下获得简谐振子的相图。
二、主体2.1简谐振动的定义定义一： 物体只在弹性力或准弹性 （线性回复力）作用下发生的运动，即动力学方程为的运动为简谐振动[2]。
定义二： 在无外来强迫力作用下, 物体相对于平衡点的位移随时间按余弦（或正弦）规律变化即 则称物体作简谐振动式即简谐振动的表达式[3]。
—振幅；—角频率；—相位；—初相位。
位移随时间的变化曲线称为振动曲线。
广义定义：某个物理量随时间的变化是按正弦或余弦规律，则可称该物理量做简谐动，可用表示 。
自然界中任何一个力学系统中，只要某一个物理量在其稳定平衡点附近作微小振动，便可以用这种简谐振子模型来描述，例如：复摆的振动、分子的振动、晶格的振动，原子核表面振动、辐射场的振动以及电磁场振动等等。
2.2简谐振动的基本特征及动力学特征简谐振动位移随时间的变化 cos()x A t ωφ=+222d d xx o tω+=()cos()x t A t ωφ=+()cos()x t A t ωφ=+物体作简谐振动时,速度为：物体作简谐振动时，加速度为：可见物体做简谐振动时，其速度、加速度都以同样的角频率作简谐振动，相位依次超前π/2。
第三章 谐振子
第三章 谐振子一 内容提要1 一维线性谐振子的能级与波函数2221)(x x V μω= 222212ˆˆx p Hμω+= ,3,2,1)21(=ω+=n n E n)()(2221x H eN x n x n n α-=ψ [其中 !2n N n n πα=μω=α ] 2 谐振子的升降算符 [1] 升降算符)ˆˆ(2ˆp i x aμω-μω=+ )ˆˆ(21p ix μω-α= )ˆˆ(2ˆp i x aμω+μω= )ˆˆ(21pix μω+α= 则 )ˆˆ(2ˆ++μω=a ax)ˆˆ(2ˆ+-μω-=a a i p [2] 升降算符的性质11ˆ++ψ+=ψn n n a1ˆ-ψ=ψn n n a1]ˆ,ˆ[=+a a二 例题讲解1 一维谐振子如果考虑非谐振微扰项4'ˆx Hλ=，求体系能级的一级修正。
解：>+<μωλ>=<λ>==<+n a an n x n n Hn E n 424')1()ˆˆ()2(ˆ 可以导出 )122(3)ˆˆ(24++>=+<+n n n a an 那么 =)1(n E )122()(4322++μωλn n2 已知单摆在重力作用下能在竖直平面内摆动。
求：[1] 小角度近似下，体系的能量本征值及归一化本征函数。
[2] 由于小角度近似而引起的体系基态能级的一级近似。
解：摆球平衡位置作为势能零点 摆球重力势能为)cos 1(θ-==mgl mgh V （1）[1] 由公式 -θ+θ-=θ42!41!211c o s（2）得在小角度近似下的二级修正势能为：2221))211(1(θ=θ--≈mgl mgl V （3）体系Hanmilton 为V L IV mr mv r V mv H z +=+⨯=+=ˆ21)(2121ˆ222 即：22221)(21ˆθ+θ=mgl d d i ml H（4） 当 θ≈θ=→θl l x sin 0设 lg =ω （4）可以变为22222212ˆx m dx d m H ω+= （5） （5）与一维谐振子类似，则（5）的解为：,3,2,1)21(=ω+=n n E n)()(2221x H eN x n x n n α-=ψ [其中 !2n N n n πα=μω=α ] （6） [2] )cos 1()(21ˆ22θ-+θ=mgl d d i ml H（7） 则微扰项20'21)cos 1(ˆˆˆθ-θ-=-=mgl mgl H H H （8） 以（2）式取前三项代入（8）得434'241!41ˆmgx l mgl H-=θ-= （9） 利用上题可以得到=)1(n E )122())(241(43223++ω-n n m mg l )122()(321223++ω=n n m mg l3 质量为m 的粒子处于一维谐振子势场)0(21)(21>=k kx x V 的基态[1] 如果弹性系数k 突然变为k 2，即势场变为)0()(22>=k kxx V ，随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场)(2x V 的基态的概率；[2] 势场突然由)(1x V 变成)(2x V 后，不进行测量，经过一段时间τ后，势场又恢复成)(1x V ，问τ取什么值时粒子仍恢复到原来)(1x V 场的基态（概率100%）？解：[1] 粒子的波函数),(t x ψ随时间变化应满足dinger o Schreq ψ+∂ψ∂-=ψ∂∂V xm t i 2222 当V 突然改变（由)(1x V →)(2x V ），但变化量有限时ψ仍然是t 的连续函数，即V 突变时ψ不变。
第二讲-谐振子
动张力几乎是静张力的一半！
由于
kA k
v
0
v
km
为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度
例： 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞
梁长 l，抗弯刚度 EI，不考虑梁的质量
m
h
l/2
0
l/2
求： 梁的自由振动频率和最大挠度
解：
取平衡位置 ： 以梁承受重物时的静平 衡位置为坐标原点建立 坐标系
弹簧原长位置
m
k
0
静平衡位置
k
x
I
m kx 0 x
0
k /m
I k 0
0
k / I
例：复摆
a
刚体质量 m 重心 C 对悬点的转动惯量 I 0
C
mg
0
I0
求： 复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率
解：
由牛顿定律 ：
I 0 mga sin 0
例：弹簧－质量系统沿光滑斜面做自由振动
斜面倾角 300 质量 m=1kg 弹簧刚度 k=49N/cm
k
开始时弹簧无伸长，且速度为零
重力角速度取 9.8 求： 系统的运动方程
300
解：
以静平衡位置为坐标原点 建立坐标系 振动固有频率：
0
k /m 49 10
2
k
0
x
300
/1
70 ( rad / s )
重物匀速下降时处于静平衡位 置，若将坐标原点取在绳被卡 住瞬时重物所在位置 则 t=0 时，有： x 0 0 振动解：
x (t ) v
v
k
x0 v
量子力学2 波函数-4qz
x 2 0 ( x) e
1/ 2 2
在基态时，经典几率密度和量子几率密度完全 相反，但是量子数很大时量子几率密度将趋于 经典几率密度
n
量子概率分布 经典概率分布
n
能量量子化 能量取连续值
在某些极限的条件下，量子规律可以转化为经典规律。
对应原理
以近似为谐振子势。
k U U 0 ( x a) 2 2
其实很多量子力学问题 简谐运动 合成 复杂振动
分解
量子力学中的简谐运动
一.势函数
1 2 1 2 2 U ( x ) kx m x 2 2
m—振子质量，—固有频率，x—位移
二.哈密顿量
ˆ d 1 2 x 2 H 2 dx2 2
在 x a 处，有一极小 值 V0 。在 x a 附近， 势可以展开成泰勒级数：
V (a) V0
V x 0
xa
V(x) a 0
V0
x
1 V 1 2V V ( x) V (a ) ( x a) 1! x xa 2! x 2 1 V0 k ( x a ) 2 2
当 时级数的渐进行为是
a 2 2 av
这与 e
2
2
的级数展开相同
2 2 e 1 2! 4
! 1! 2 2
b 2 2 ，因此在 时 H ( ) bv
§1.7 一维线性谐振子
一维线性谐振子
1. 一维谐振子经典图像
引言
1.经典谐振子
在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力 F k x 作 用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为： 其解为 x A sin t 。这种运动称为简谐振动，作这种运 动的粒子称为（线性）谐振子。
谐振子相干态-PPT文档资料
1
II与III区：
1x e x p d x 2 m V x E 1 x 2 4 VE x 2 1 2 c o s d x 2 m E V x 1 4 x 4 E V x 1
2 m
2 c o s t i n t R is
2 m
以ω为角频率振荡且形状不随时间变
相干态的重要性质
n f nn n x p n 1． , f e n ! n 0
2 n
n 是某平均数
2．
可由 0
经原点平移一定距离而得。
m 可见相位S具有重要的信息：波函数相位的空间变化表征 了几率流量。相位变化越激烈，则流量越强。流量的方向 与该点上等相位面垂直。对平面波 S p.
p 虽然形式上我们有 . v 0 t t m
但将
j
解释成 v 需要坐标与速度的同时精确测量而不
1 阶Bessel函数相关的严格解。该解适用于x0附近 3
2 du 2 md V E x u 0 x 0 E 2 2 d x d xx x 0
匹配条件
1 1x e x p d x 2 m VE 1 x 4 I与II区： V x E x 2 1 c o s d x 2 m E V x 1 x 1 4 4 E V x
1 S 0 对定态 0 , 由连续性方程 t m x x t
d W 得 2 m E V c o n s t a n t故 d x
16-4谐振子 16-5氢原子
~=R (1 1) ν 理 2 2 k n
7 1
巴尔末公 式
R理 = 1.097373 ×10 m
∞ 6 k = 1, 2 ,3, 4 ,5 5 n = k + 1, k + 2, k + 3,L, ∞ 4 3 k=1时，对应莱曼系； 时 对应莱曼系；
k=2,对应巴尔末系； 对应巴尔末系； 对应巴尔末系 2 k=3,对应帕邢系； 对应帕邢系； 对应帕邢系 k=4, 对应布喇开系， 对应布喇开系， …… 由n=∞向下跃迁时，得到相 向下跃迁时， 向下跃迁时 应线系中频率最高， 应线系中频率最高，波长最 1 短的谱线，称为线系限。 短的谱线，称为线系限。
高可以把氢原子激发到哪一能级？ 高可以把氢原子激发到哪一能级？当原子向低能级跃迁 可产生哪些谱线？ 时，可产生哪些谱线？ 设氢原子处于基态， 解：设氢原子处于基态，全部吸收电子的动能后跃迁到 个能级， 第 n 个能级，则： E = E n E1 = 12.5eV 即
13.6 [ 2 (13.6)]eV = 12.5eV n
θ
z
拉普拉斯算符为
y
x
分离变量求解
Y (θ , ) = Θ (θ ) Φ ( )
解得 E 只能取分立值
4πε 0 h 2 a0 = ≈ 0.529 × 10 10 2 me e
氢原子和类氢离子的波函数
ψnlm(r,θ,) = Rnl (r)Ylm (θ,) = Rnl (r)Θlm (θ )Φm ()
wn (x, t) = ψn (x, t)
2
线性谐振子波函数
ψ4
ψ3
n=4 n=3
n= 2
ψ2
ψ1 ψ0
n不同，能级不同，量子状态不同。 不同，能级不同，量子状态不同。 不同 不同 状态不同
9 一维线性谐振子ppt
n
展开系数
m ( x) ( x)dx m ( x) an n ( x)dx an m ( x) n ( x)dx n n
an mn am
n
C.一维谐振子每一个能量的本征值对应有一个本 征函数，即能级是不简并的。 D.坐标算符或动量算符作用于本征函数 上，结果 是 1
2 d 2 1 ˆ H m 2 x 2 2m dx 2 2
ˆ H 不显含时间，是谐振子的能量算符。
• 9.2求解定态Schrodinger方程 ˆ H ( x) E ( x) • 即 • A). 取 B) 定义无量纲能量、无量纲坐标
E
2 d 2 1 ( m 2 x 2 ) ( x) E ( x) 2m dx 2 2 1 d2 ( 2 x 2 ) ( x) E ( x) m 1 得 2 dx
1 1 2 2 7 3 3 3 ( x) 1 4 (2 x 3 x) exp( x ) E3 2 2 3
量子力学概率与经典概率的比较
兰线是经典概率 密度 红线是量子概率密度
谐振子势能曲线和概率密度分布
• 9.4本征值和本征函数的数学性质 • A.能量本征值取分立值，即谐振子的能量是量
n 0,1,2,....
• 本征函数和对应的本征值举例
1 2 2 0 ( x) 1 4 exp( x ), 2 2 1 2 2 1 ( x) 1 4 x exp( x ) 2
1 E0 2 3 E1 2 5 E2 2
1 1 2 2 2 2 2 ( x) 1 4 (2 x 1) exp( x ) 2 2
53%20三维各向同性谐振子ppt
量子力学教程(第二版)
r=0，是微分方程的奇点，其余r为常点.
现在研究当r0及r 时，解Rl(r)的形式
当r＝0邻域，物理上可接受的径向波函数的渐近行为是
当r0时，
Rl (r ) ~ r l
2 Rl (r ) r Rl (r ) 0
(4)
当r 时，方程（3）化为
N＝2nr+l
对于给定能级EN(即给定N) ,有下列各种组合:
l N 2nr N , nr 0,
N 2, 1,
N 4, , 1 ( N 奇) 或0（N 偶） 2, , （N 1）/2 或 N /2
5.3 三维各向同性谐振子
量子力学教程(第二版)
EN能级的简并度为： f N ( N 1)( N 2)
1/ 2 011 011 1/ 2 0 010
(22)
5.3 三维各向同性谐振子
量子力学教程(第二版)
对于基态（N=0），能级是不简并的.以上两组对易 守恒量完全集的共同本征态是相同的，事实上
n 0,l 0, m 0
EN( )
nrl
5.3 三维各向同性谐振子
量子力学教程(第二版)
2、直角(Cartesian)坐标系中求解 采用直角坐标系，利用r 2 x2 y 2 z 2 , 三维各向同性谐振子可分解为振子强度相同的三个 彼此独立的一维谐振子，即
H Hx H y Hz
Hx Hy Hz 2 2 2m x 2 2 2 2m y 2 2 2 2m z 2 1 2 1 2 1 2
3 2
N nx ny nz
( N 0, 1, 2, )
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（4）在势能取极小值的 x = S1 处，设 E > U ( S1 ) ，则在 x = S1 的某个小领域内 都有 E ≥ V ( x) 。 利用 （*5） 判断， 在相平面上可得到一围绕奇点 S1 的封闭相轨迹。 当 E 减小时，封闭轨迹逐渐收缩，而当 E = U ( S1 ) 时，缩为奇点 S1 。当 E < U ( S1 ) 时，相平面上不存在对应的相轨迹。这种类型的奇点是稳定的，称作中心。它对 应于系统的稳定平衡状态。 该性质从几何观点出发，证明了关于保守系统平衡稳定性的拉格朗日定理。 拉格朗日定理：若保守系统的势能在平衡状态处有孤立极小值，则平衡状态 稳定。 （5）在势能取极大值的点 x = S 2 处，设 E < U ( S2 ) ，则在区间(C2，C3)内没有 对应的相轨迹，而在 x < C2 及 x > C3 处得到相轨迹的两个分支，当 E 增大时这两 支曲线逐渐靠近，当 E = U ( S 2 ) 时它们在奇点 S 2 处相接触。当 E > U ( S 2 ) 时，则演 变为分布在 x 轴的上方和下方的两支曲线。这种类型的奇点是不稳定的，称作鞍 点。它对应于系统的不稳定平衡状态。通过鞍点的相轨迹称为分隔线，因为它将 相平面分隔成具有不同类型相轨迹的若干区域。 （6）在势能曲线的拐点 x = S3 处，相轨迹在 x < S3 的左半边具有中心性质， 在 x > S3 的右半边具有鞍点性质，相轨迹不封闭。这种奇点为退化的鞍点，也对 应于不稳定的平衡状态。 计算周期运动的周期。将式（*5）代人式（*1a） ，分离变量后沿封闭相轨迹 积分，得到 2 [ E − U ( x) ] = x
ydy = − f ( x)dx
Hale Waihona Puke 设初始条件为 = t 0= : x(0) x0= , y (0) y0 ，得到相轨迹方程 1 2 （*4） y + U ( x) = E 2 其 中 U ( x) = ∫ f ( x)dx 为 保 守 系 统 的 势 能 ， 积 分 常 数
0 x
= E
1 2 相轨迹方程实际上就 y0 + U ( x0 ) 为系统的总机械能。 2 是保守系统的能量积分，也可写作
2 振子的总能量 E 为 kA2 / 2 ，由于 ω0 = k / m ，上式可以
（♣1）
写成 2 x2 x 1 + = 2E / k 2E / m 所以每个相轨道对应于振子一定的总能量。这个结果是意料中的，因为系统是保 守的（亦即 E=常数） 。 振子的任何两个相轨道都不可能相交，假如能够相交，那就意味着对于给定
=x ( x) 的一阶微分方程，其解正好是（♣2）式。 这是 x
2 = −ω0 xdx xdx
1 2 2 1 2 = −ω0 ⇒ d x d x 2 2
⇒
1 2 2 1 2 = x x +C −ω0 2 2 2 x
x2 ⇒ 2+ = 1 ω0 2Cω02 对于 S.O.来说，通过解二阶方程来求运动的通解是没有困难的，然而对于比
dy / dx 不存在或为不定值。奇点的坐标 ( xs , ys ) 满足方程
= ys 0, = f ( xs ) 0 因此奇点都分布在横坐标轴上。 奇点的物理意义即系统的平衡状态，也可将奇点称作相平面内的平衡点。奇 点可以是稳定的也可以是不稳定的， 奇点的稳定性也就是系统平衡的稳定性。 〖奇 点与稳定性的关系比较复杂，可以看参考书〗 能量积分 方程（*3）可分离变量积分，即
=x ( x) 有时会容易得多。 较复杂的情形来说， 不求解 x(t ) 而直接寻找相轨道方程 x
2．一维保守系统的相轨迹 一维保守系统的动力学方程为
（*1） x + f ( x) = 0
这类不显含时间变量的系统称作自治系统。
以新的变量 y 表示， 将速度 x
y=x
（*1a）
方程（*1）可写成一阶微分方程组 =y x = − f ( x) y 初始条件为 = t 0= : x(0) x0= , y (0) y0 方程（*2）的解 x(t ) 和 y (t ) 完全确定系统的运动过程。 系统的运动状态由位置 x 及速度 y 所刻画，x 和 y 称为系统的状态变量。 以 x 和 y 为直角坐标建立 ( x, y ) 平面，称作系统的相平面。 （*2）
给定系统的作用力 f ( x, y ) ，方程（*7）确定相平面（x,y）内各点的向量场，构 成相轨迹族。
相平面的奇点 奇点的坐标 ( xs , ys ) 满足方程 = ys 0, = f ( xs , ys ) 0 〖结论〗 （1）根据柯西的微分方程解的存在唯一性定理，过 ( x, y ) 平面上除奇点以外 的任何点都通过也只能通过一条积分曲线。奇点处或者无积分曲线通过，或者有 无数条积分曲线通过。
u = ωd x w δx+x =
于是，有更易辨认的形式
u ωd Ae −δ t sin(ωd t + θ ) = −δ t = w ωd Ae cos(ωd t + θ )
代表一个半径不断减少的“圆”——螺旋 或者，用极坐标表示 u 和 w ，有
= r
所以
u 2 + w 2 ， ϕ = ωd t
r = ωd Ae
−(δ / ωd )ϕ
这是一个对数螺旋方程，无论从哪里出发，最后都趋向中心。称中心点 O 为吸 引子（attractor） ，它把相空间里的点都吸引到自己上边。中心点 O 同时又是一 个不动点，它是最简单的一类吸引子，即不动点吸引子。 在相平面中，代表点的矢径值的连续减少，总是表示振子的阻尼运动。
y= ± 2 [ E − U ( x) ]
（*5）
相轨迹的特性 分析（*5） ，可以看出保守系统的相轨迹有以下特点： （1）相轨迹曲线相对横坐标轴对称。 （2） 势能曲线 z = U ( x) 与横坐标轴的平行线 z = E 交点的横坐标 x = C1 , C2 , C3 处，相轨迹与横坐标轴相交。 （3）横坐标轴上与势能曲线 z = U ( x) 的驻点相对应的点 x = S1 , S 2 , S3 为奇点， 因为它们满足奇点的定义： y = 0 ， dU ( x ) = f= ( x) 0 dx
〖相图的作法是 19 世纪末法国伟大的数学家庞加莱发明的。在相图中失去
(t ) 变化的时间信息，得到的是有关动力学系统运动的全局概念，给 的是 θ (t )和θ 出其轨线形态类型及其拓扑结构的稳定性问题。 相图的描述方法是非线性动力学 里最基本的方法， 其重要意义是怎么也不会被估计得过分的。在科学中往往有这 种情况，一个问题久久不能解决，但是换一个提法，从另一条思路去考虑，便会 豁然开朗。18、19 世纪大批数学家们集中精力，解出大量很难解的微分方程， 对于线性微分方程还形成了一套系统的求解方法。 可是远非所有微分方程的解可 用初等函数表示出来，即使用未积出的积分式来表达也未必能行。然而，为什么 非要用传统的方式解微分方程不可呢?庞加莱另辟蹊径，把微分方程的解看作是 由微分方程本身所定义的积分曲线族，在不求出解的情况下，通过直接考查微分 方程的系数及其本身的结构去研究它的解的性质。 上述相图中的轨线就是动力学 方程的积分曲线族。庞加莱所开拓的这一新领域，被称为微分方程的定性理论， 至今有着深远的影响。 〗 3．一维线性系统的相轨迹 以前已对单自由度线性系统的自由振动进行了定量研究，现在用相平面法对 它作定性研究。 单自由度系统的动力学方程的一般形式为
相图 （Phase portrait，Phase diagram）
( t ) 两个量（初始条 对一维谐振子，其运动状态的完全确定需要给定 x ( t ) 和 x ( t ) 看成是一个二维空间 (t ) 件） 。 若把 x ( t ) 和 x （相空间） 内的一点的坐标 【即把 x ) 在相平 看成是一独立变量——创新】 。当时间变化时，描述振动状态的点 P ( x, x
> 0 ，随着时间的推移，相点从左到 在上半平面内 y > 0 ，即 x < 0 ，相点从右到左移动。在横 右移动。下半平面内 y < 0 ，即主 x
坐标轴上各点处有 y = 0 ，则 ( dy / dx ) y =0 → ∞ ，相轨迹与横坐标轴 正交。 奇点 方程（*3 ）右边分子分母同时为零的特殊点称为相轨迹的奇点。在奇点处
= 0 ，因此在奇点处相点的移动速度为零。 （2）由于奇点处 x = y
（3）若相点沿通往奇点的相轨迹运动，则必须经过无限长时间之后才可能 到达奇点。
= 0 表明：系统的速度和加速度均等于零，因此奇点的物理意义 （4） x = y
即系统的平衡状态， 也可将奇点称作相平面内的平衡点。奇点可以是稳定的也可 以是不稳定的，奇点的稳定性也就是系统平衡的稳定性。 【李雅普诺夫关于稳定性的定义，若对于任意的 ε > 0 ，能够找到确定的
(t0 ) ) （亦即这个交点的坐标） 的一组初始条件 ( x (t0 ), x ，运动可以沿两个不同的相
轨道进行，但这是不可能的，因为微分方程的解是唯一的。
) 将恒沿顺时针方向运 如果相平面的坐标轴选取如图所示，则代表点 P( x, x
总是减少；而对 x < 0 ，速度 x 总是增加。 动，因为对 x > 0 ，速度 x
(t ) 的表示式（♣1） 为了得到 x(t ) 和 x ，必须积分一个二阶微分方程
d 2x 2 （♣3） + ω0 x= 0 2 dt
然而，对于相轨道方程，可以由比较简单的步骤得到，因为方程（♣3）可以用 一对方程代替 dx dx 2 ; = x = −ω0 x dt dt 两式相除，得到 dx 2 x = −ω0 dx x
面中就是一条轨迹，称之为相轨迹。振子的初始条件不同，描述其状态的相轨迹 就不同。 任一给定的轨道代表振子在某组初始条件下随时间变化的全部理出。所 有可能的相轨道的总和组成振子的相图。 1．一维谐振子的相轨迹 对简谐振子，有： = x(t ) A cos(ω0t + ∆) (t ) = − Aω0 sin(ω0t + ∆) x 从方程中消去 t，得到轨道方程 2 x2 x （♣2） + = 1 A2 A2ω0 2 从这个方程代表一族椭圆，右图给出其中的几个。