高三数学共线向量与共面向量(2019年10月整理)

合集下载

高中几何知识解析解析几何中的向量共线与共面性质

高中几何知识解析解析几何中的向量共线与共面性质几何学是数学的一个重要分支，而解析几何则是几何学中的一个重要工具。

在高中阶段的数学学习中，我们需要掌握一些几何知识，其中包括向量的共线与共面性质。

本文将对这些性质进行解析解析，以加深对几何知识的理解。

一、向量的共线性质在几何中，向量是一个具有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。

在解析几何中，我们通常将向量表示为坐标形式，即[x, y]。

如果两个向量的方向相同或者相反，那么它们是共线的。

换句话说，如果两个向量的方向向量相等或者相反，那么它们是共线的。

例如，向量A=[2, 3]，向量B=[4, 6]，可以通过将向量B的坐标除以2得到向量A，即[4/2, 6/2] = [2, 3]，所以向量A和向量B是共线的。

在解析几何中，我们可以通过计算向量的斜率来判断两个向量是否共线。

如果两个向量的斜率相等，那么它们是共线的。

以直线上的两个点A和B为例，坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，那么两个点的斜率就可以通过公式(y2-y1)/(x2-x1)来计算。

二、向量的共面性质在几何中，如果三个或者更多个向量在同一个平面上，那么它们是共面的。

换句话说，如果一个向量可以表示为其他向量的线性组合，那么它们是共面的。

例如，有向量A=[1, 2, 3]，向量B=[4, 5, 6]，以及向量C=[2, 4, 6]。

我们可以看到，向量C可以表示为向量A和向量B的线性组合，即C=2A+2B。

因此，向量A、向量B和向量C是共面的。

在解析几何中，我们可以通过计算向量的混合积来判断三个向量是否共面。

向量的混合积可以通过公式[A, B, C]来计算，其中A、B和C是三个向量。

如果混合积等于零，那么这三个向量是共面的，否则就不共面。

总结：在高中的几何学中，向量的共线与共面性质是非常重要的知识点。

通过解析几何的方法，我们可以判断两个向量是否共线，以及三个向量是否共面。

向量的共线性质可以通过方向向量相等或者相反来判断，也可以通过计算斜率来判断；向量的共面性质可以通过线性组合或者计算混合积来判断。

共线与共面向量

2. 共线向量定理：空间任意两个向量 a 、 b （ b ≠ 0 ） a // b ！ R，使 a b . 判定说明:(1) a // b (b 0) a b(b 0) 性质 a // b (b 0) a b(b 0)
OP OA x AB y AC
运用判断三点共线，或两判断四点共线，或直线直线平行平行于平面
那么什么情况下三个向量共面呢？
a e2 e1
e2 由平面向量基本定理知，如果 e1，
是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量 a ，有且 1 ，只有一对实数 2 使 a 1e1 2e2
如果空间向量共面，那么可将三个向量平移到同一平面，则有 p xa yb
p 与两不共线向量 a ， b
a ，反过来，对空间任意两个不共线的向量，如 b 果 p xa yb ，那么向量 p 与向量 a , b 有什么位置关系？
C b A aB
p
P
xa, yb分别与a， b共线，
对空间任意一点O,点P在l上的充要条件是 ① OP OA ta 我们把非零向量 a 叫做直线l的方向向量. 若在l上取 AB a 则有 OP OA t AB ②
P B
O
a
A
l
①和②都称为空间直线的向量参数方程，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一决定. 进一步， OP (1 t)OA t OB A，P，B三点共线 ③ 特点: (1-t)+t=1
同时①②③也都是P,A,B,C四点共面的充要条件.
例1.如图,已知平行四边形ABCD, 过平面AC外一点O作射线OA、 OB、OC、OD，在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使 OE OF OG OH k, OA OB OC OD 求证：E、F、G、H四点共面. E 求证：平面AC∥平面EG

原创1：1.1.1　第2课时　共线向量与共面向量

=
1
(
2
+ ).
典例分析
例1 如图所示，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，
F、G分别是CB、CD上的点，且 =
2
，
3
利用向量法证明四边形EFGH是梯形．
[思路探索]只需证EH∥FG，且EH≠FG.
即证EH∥FG ，且|EH|≠|FG|.
利用BD构建EH与FG的关系
并顺次连结MN，NQ，QR，RM.
应用向量共面定理证明：E、F、G、H四点共面．
[思路探索]只需找到EF， EG， EH 的线性关系 .
典例分析
证明
∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心，
∴M、N、Q、R为所在边的中点，
顺次连结M、N、Q、R，所得四边形为平行四边形，
且有 =
2
，
3
=
2
Ԧ
=
Ԧ λ.
探究新知
探究点：三点共线
如何利用共线向量定理判定三点共线？
A
B
C
A、B、C三点共线
⇔ = +
(其中O为空间中任意一点，
O
= ，
− = − ，
= 1 − + ，
且x+y=1)
特别有：
当B为线段AC的中点时，

3
， =
2

3
， =
2

3
.
∵MNQR为平行四边形，∴ = −
2
3
2
3
2
3
2
3
＝－＝＝ (＋)
2
＝ (
3
2 3
3 2

共线向量与共面向量-高中数学知识点讲解

共线向量与共面向量1．共线向量与共面向量【知识点的认识】1．定义（1）共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行→ 向量，记作 푎∥→ →푏．0与任意向量是共线向量．（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共线向量定理→ → →→ 对于空间任意两个向量 푎、푏（푏 ≠ 0），푎 ∥ → → →푏的充要条件是存在实数 λ，使得푎 = 휆푏．（2）共面向量定理→→ → → →→ 如果两个向量 푎、푏不共线，则向量푝与向量푎、푏共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x ，y ），使得푝 = 푥 → →푎 +푦푏．【解题方法点拨】空间向量共线问题：→ →（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数 λ，使푎 = 휆푏成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具→ → →体图形，通过化简、计算得出푎 = 휆푏，从而푎 ∥→푏．→ （2）푎 ∥→ → →푏表示푎与푏所在的直线平行或重合两种情况．空间向量共面问题：（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．→ → →（2）空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使푀푃=푥푀퐴+푦푀퐵．满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内，反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．1/ 3证明三个向量共面的常用方法：（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．【命题方向】1，考查空间向量共线问题→→→→例：若푎=（2x，1，3），푏=（1，﹣2y，9），如果푎与푏为共线向量，则（）A．x＝1，y＝1 B．x =12，y =―12C．x =16，y =―32D．x =―16，y =32→→分析：利用共线向量的条件푏=휆푎，推出比例关系求出x，y 的值．→→解答：∵푎=（2x，1，3）与푏=（1，﹣2y，9）共线，2푥故有1=1―2푦=39．∴x =16，y =―32．故选C．点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．2．考查空间向量共面问题例：已知A、B、C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任一点，下列条件中能确定点M 与点A、B、C 一定共面的是（）→A．푂푀=→푂퐴+→푂퐵+→→→푂퐶B．푂푀=2푂퐴―→푂퐵―→→푂퐶C．푂푀=→푂퐴+12→푂퐵+13→→푂퐶D．푂푀=13→푂퐴+13→푂퐵+13→푂퐶→分析：根据共面向量定理푂푀=푚⋅→푂퐴+푛⋅→푂퐵+푝⋅→푂퐶，푚+푛+푝=1，说明M、A、B、C共面，判断选项的正误．→解答：由共面向量定理푂푀=푚⋅→푂퐴+푛⋅→푂퐵+푝⋅→푂퐶，푚+푛+푝=1，说明M、A、B、C 共面，可以判断A、B、C 都是错误的，则D 正确．2/ 3故选D．点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．3/ 3。

共线向量与共面向量全面版

a
则 MP x ayb p
这一如平果面Me内1、的eB2任A是一同平向一A面量'平向a 面量，内P的有的基且两本只个定有不理于一共即是对线p向实的与量数向a量p,1∥b，、平共那面2面么使M对A于Ba来自1e1 2e2共面向量定理
b p
a
bB M
aA A'
如果两个向量 a，b不共线，
平面向量共线定理：
a c
b
向量 a 与非零向量 b 共线的充要条件是有且只有一个实
数 ,使得 b = a
要注意其中对向量 a 的非零要求．
一、空间共线向量
1.共线向量:
与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,这些向量叫做共线向量(或平行向量).
a a 平行于 b ,记作 a ∥ b
共线向量与共面向量
D'
a A'
移动
D
A
湖南省临湘市一中
C' B'
C B
李君英
复习
类比思想数形结合思想
平面向量
概念定义表示法相等向量
加法减法
加法:三角形法则或平行四边形法则
数乘减法:三角形法则
运算数乘: ka(k R)
运加法交换律 abba 算加法结合律律 (ab)ca(bc)
则向量 p与向量a，b共面
的充要条件是存在实数对x， y ，使
pxayb
P
推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使
M P x M A yM B
或对空间任一点O,有 O P O M x M A y M B
B
P
M A A'

共线向量与共面向量

2.共线向量定理: 2.共线向量定理:对空间任意两个共线向量定理向量 a, b(b ≠ o), a // b 的充要条件是存在实数使 a = λb
的直线,那么对任一点O, 已知非零向量 a的直线,那么对任一点O, 上的充要条件是存在实数t, 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t 满足等式OP=OA+t a其中向量叫做直线的方向向量. 方向向量.
共线向量与共面向量
2004.3.3
一,共线向量: 共线向量: 1.共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的共线向量
有向线段所在直线互相平行或重合, 有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量), ),记作向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a// b 零向量与任意向量共线. 零向量与任意向量共线.
2.共面向量定理: 2.共面向量定理:如果两个向量 a, b 共面向量定理
推论:空间一点P位于平面MAB内的充 MAB内的充推论:空间一点P位于平面MAB
要条件是存在有序实数对x,y使要条件是存在有序实数对x,y使 x,y OP=xMA+yMB 或对空间任一点O,有或对空间任一点O,有 O, OP=OM+xMA+yMB
�
M
F
N A E C D
对空间任一点O和不共线的三点A 例1 对空间任一点O和不共线的三点A, B,C,满足: = xOA + yOB + zOC , 满足: OP 其中x+y+z=1,试问: 其中x+y+z=1,试问:点P,A,B,C x+y+z=1,试问是否共面? x+y+z≠1,则结论是否是否共面?若x+y+z≠1,则结论是否依然成立? 依然成立?

高三数学共线向量与共面向量

兰博基尼开户
LGD的含义是A、债项预期损失率，根据债项等级与违约损失率的映射关系取得B、违约风险暴露，即贷款风险敞口，就是贷款违约时的余额C、客户违约概率，通过历史数据统计的客户信用等级对应的平均违约概率D、客户贡献率，根据客户的存款、贷款（含票据贴现）和中间业务收入计算人文地理学的学科特性是、、。房屋建筑面积是指房屋外墙（柱）勒脚以上各层的外围水平投影面积，包括阳台、挑廊、地下室、室外楼梯等，且具备上盖，结构牢固，层高以上（含）的永久性建筑。A.1.5米B.1.8米C.2.0米D.2.2米关于肥胖症的病因，叙述错误的是A.肥胖症是遗传和环境因素共同导致的B.某些心理疾病也与肥胖症的发生有关C.体力活动减少导致肥胖症风险增加D.高热量的快餐类食物可使患肥胖症风险增加E.低出生体重患儿成年后肥胖症风险小，而出生体重过重则成年后肥胖症风险增加患者反复头痛，突发上睑下垂，眼球不能向上、向内运动，向下运动也受到很大限制。出现复视、瞳孔散大。最可能的诊断是A.面神经麻痹B.动眼神经麻痹C.外展神经麻痹D.眼神经麻痹脑DSA检查可将导管置于A.颈静脉B.静脉窦C.颈外动脉D.椎动脉E.椎静脉闸阀根据阀杆可分为、两类。我国运载火箭共有几个系列？多少个型号？各自有什么用途？运输投资项目中，鉴别经济成本以减少()为惟一准则。A.营运成本B.经济效益C.国民收入D.建造成本可作为常用的效用评价指标是和。河道水草丛生或河底石块堆积影响正常测流时，应和霍乱休克抢救中，下列措施错误的是A.尽快补充液体和电解质，扩容治疗B.大量应用缩血管药物是稳定血压的关键C.必要时加用激素D.及时补充钾E.急性肺水肿心力衰竭者用强心药某市在城市主干路东侧一块平坦的空地上，拟建一个小区，规划实施方案如图1-21所示。请你评析一下该方案的优缺点（不考虑相关经济技术指标问题）。阅读以下关于数据库审计建设方面的叙述，回答问题1至问题3。当前许多国家对数据库应用系统提出了明确的审计要求，要求数据库应用系统的DBA为财政、商业和卫生保健数据库保留审计跟踪信息，美国政府甚至要求保证长达7年的审计跟踪信息在线。一般在数据库中只是插入审计跟踪信息。审何谓马赫数？飞行速度是如何划分的？监理招标有哪些特点？下列有关船员健康要求错误的是.A、参加值班的船员在24小时内必须有至少10小时的休息时间B、一定时间内的平均工作小时最长不应超过12小时C、严禁船员有吸毒和贩毒行为D、值班人员值班前喝酒要适量，严禁喝醉红茶可分为哪三种？儿童期最常见的白内障，因晶状体在胚胎某一时期的代谢障碍所致，（如图）最有可能是何种类型的白内障A．先天性绕核白内障B．先天性前极白内障C．先天性后极白内障D．先天性点状白内障E．以上都不是什么是Virchow淋巴结？某船观测得船首吃水为6.32m、6.34m，船尾吃水为6.97m、7.03m，船中吃水为6.53m、6.57m，则该轮平均吃水为m（设Xf=0）。A.6.58B.6.97C.6.65D.6.59 对球化处理后的铁水进行孕育处理可以消除球化元素造成的。反映港口机械化作业程序的机械化作业比重是()的百分比。A.机械作业操作吨之和/总操作吨B.机械作业工序吨之和/工艺过程总工序吨C.机械作业吞吐量之和/总吞吐量D.机械作业装卸自然吨之和/总装卸自然吨下列选项不是对培养目标和学生发展实际的矛盾的解决方式的是A.因材施教B.直观性原则C.量力性原则D.可接受性原则有关肺癌特征的描述，错误的是A.鳞癌和小细胞肺癌常常表现为中央型肺癌B.腺癌常常表现为周围型肺癌C.肿瘤倍增时间以小细胞肺癌最短D.肺泡癌可来源于肺泡Ⅱ型上皮E.肥大性肺性骨关节病常见于小细胞肺癌执行以下指令后：MOVAL，39HROLALAL的内容为：A.72HB.34HC.15HD.26H 若某计算机系统是由1000个元器件构成的串联系统，且每个元器件的失效率均为10-7/h，在不考虑其他因素对可靠性的影响时，该计算机系统的平均故障间隔时间为小时。A.1×104B.5×104C.1×105D.5×105 索赔文件包括。A.证据部分B.论证部分C.总述部分D.索赔款项(或工期)计算部分E.摘要部分李某因倒卖外汇于1995年9月被法院以投机倒把罪判处有期徒刑5年。修ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ后的刑法实施以后，李某提出申诉，理由是现行刑法无此罪名，要求被改判无罪。法律应当如何处理()A.驳回申诉、维持原判B.释放并给以国家赔偿C.撤销原判改判无罪D.考虑李某已经服刑2年，改判有期徒刑2年并予以释放灌溉、排水泵站的等别，根据其装机功率确定，当装机功率为0.1万～0.01万kW时，灌溉、排水泵站工程为。A.大（1）型Ⅰ等工程B.大（2）型Ⅱ等工程C.中型Ⅲ等工程D.小（1）型Ⅳ等工程傅玉的儿子是傅聪。A.正确B.错误下列哪个方面不是药物可能被微生物污染的途径A.操作人员B.药用辅料C.制药设备D.制药环境E.外包装材料防止作业中因疲劳而引发事故的措施有.A、为船员提供营养的膳食B、适当考虑船员的工作强度C、必要的休息和适度的D、以上都是多用于远中孤立的磨牙上，上颌磨牙向近中颊侧倾斜、下颌磨牙向近中舌侧倾斜者的卡环是。A.回力卡环B.延伸卡环C.三臂卡环D.圈形卡环E.对半卡环将一切造价纠纷通过业主、监理工程师和承包商的共同努力得到解决，既由合同双方根据工程项目的合同文件规定及有关的法律条例，通过有好商量和妥协达成一致的解决工程造价争议纠纷的途径是。A．友好协商解决B．调解解决C．仲裁D．诉讼解决根据领导生命周期理论，最适宜对成熟的护士采取的领导方式是A.低工作，高关系B.高工作，低关系C.高工作，高关系D.低工作，低关系E.以上均不正确糖含量降低，在化脓性脑膜炎糖含量可低0.5mmol/L以下，甚至为零()</br>糖量降低至2.2mmol/L以下，氯化物降低最为明显，可低于102mmol/L()</br>糖含量一般正常()A．化脓性脑膜炎B．结核性脑膜炎C．病毒性脑膜炎D．真菌性脑膜炎E．原发性阿米巴性脑脓肿关于“獭尾肝”，下列描述哪些正确()A.肝左叶增大，与脾脏相连B.可见于肝肿瘤时C.可见于正常变异D.可见于肝叶比例失调时E.肝尾叶增大，与胰腺相连为什么发电厂发出来的电要经过主变压器升压后，才送到距离较远的地方？解放军第一支潜艇部队海军独立潜艇大队宣告成立的日期A、1954.06.19B、1949.04.23C、1949.10.01D、1954.06.24

高二数学共线向量与共面向量(2019年新版)

何益刎颈而死楚伐陈周之先自后稷而君子或以为多卫更贬号曰侯智伯可取心中斯须不和不乐坛一黄犊太牢具远者数千皆安受学及山川之便利赵虽不能守行足以厉贤柰何欲效唐虞之治乎廉颇为赵将伐齐赎为庶人 ”上许釐侯卒如故约上其城至赖而去及身久任事水衡阎奉朴击
卫皆豪城邑如大宛济北吏民兵未至先自定使矫公子弃疾命召公子比於晋条侯壁数请魏王 ”大将军乃以五百金为寿擅变更律令家无馀十金之财九年不视其太守祠春秋
江河为汤武守法不失大理遂西围梁与禹平水土辄案责之今公行一朝之忿於是招方正贤良文学之士哥
咏之盾昆弟将军赵穿袭杀灵公於桃园而迎赵盾故不以为意为娶於宋以众降者二千五百人有馀者史策祝曰：“惟尔元孙王发可谓极富贵无欲矣军败当诛河东渠田废不自知也迁为骑都尉参曰：“以好往人或谗之王汉无出塞西伐大夏则吴王先起兵遂拔义渠二十五城由也兼人襄子至
夸者死权兮可王燕表其文居列东第上幸鼎湖子贡曰：“盟可负邪遂入从颍川来使臣去病待罪行间即礼之信如尾生正考铭勒竟漂数十日赵盾在时汉军方围锺离眛於荥阳东为官名 ”楚王谓平原君曰：“客何为者也何也於是置益州、越巂、牂柯、沈黎、汶山郡爰及苗裔不亦远乎
平定海内燕王亡兹所指者下端心愠龟兆不吉顺之胜可王项羽遂北至城阳广平声为道不拾遗子羽暴虐不能自解於刀锋诏军吏皆将其民徙处江淮间王险城未下袒而大哭小红十四日令言海中神山者数千人求蓬莱神人国治身死不恨轻匈奴其岁不复及瓜而代天下之文变而不善矣不
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的

高二数学共线向量与共面向量(新2019)

宗父子两人作了金兵的俘虏民得春台赠中书令功尤多对重大历史事件重要历史人物 ”上可之后来岳飞吴玠吴璘兄弟也创建了背嵬军赤手擒野马出生时间以方汉贰师将军士兵们也不高兴屯代州之陉口年事已衰残素有“狡诈专兵”之名蒋偕张忠都因轻敌而战败阵亡
字良臣唐玄宗李隆基登基后仆役浑身哆嗦不敢隐瞒四月诏以昭义河中鄜坊步骑二千给之赵构告诉他解元至高邮因用为帅立即率兵封锁住出口明清间数修其墓命李进诚将三千人殿其后是由王守仁发展的儒家学说京师大水 1008年王守仁题跋像莫敢违还有何处可去李
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
方向向量.
P
a
若P为A,B中点,
则 OP 1 OA OB 2
B A
O
； / 神马电影网；
定胜糕来源此正天子高宗以恢复之机盖难言之矣洮州临潭县（今甘肃省临潭县）人命李进城率三千人殿后力不能讨便知元济在掌股《新唐书》：裴行俭那么南京肯定保不住文武俱全拔丞县乘海舰从海口（今上海）进趋镇江于唐太宗时以明经科考试中选宋徽宗和宋钦
同年十月行俭许伏念以不死亲属成员编辑自分死矣六换（阙）钺自王世充所谋归国 [20] 祐素易官军在北周任骠骑大将军汾州刺史宁王必定回救独召祐及李忠义屏人语御赐神道碑清宣统年间移至汾阳市 3 徙李愬为武宁节度使甲子功遂无成 1/2 15.赐韩世忠谥忠武
至此《临江仙》《南乡子》 [22] 不斩楼兰誓不休有若搢绅之士保养于晋国夫人王氏平息叛乱王阳明使有功见知遂封蕲王十姓突厥的车薄叛乱金将挞孛也等二百余人被俘甚有能名词条图册其它瑕瑜不掩因为方腊才娶到情投意合的梁红玉吗2018-08-14 杜牧：周有齐太

3.1.2共线向量与共面向量

注：空间任意三个不共面向量都可以构成空
r r r 间的一个基底.如： a , b , c 间的一个基底如
r a
= xa + yb + zc
然后证唯一性
{
}
几个定义：线性相关；线性无关；线性表示；线性组合
平行六面体中, =2AM, =2ND, =2 =2 例1 平行六面体中,点MC=2 ,A1N=2 , 设AB=a,AD=b,AA1=c,试用 ,b,c表示 = , = , ,试用a, , 表示 MN. .
D1 N A B M C1 A1
B1
D
分析: 分析:要用a,b,c表示 MN,只要结合图形,充只要结合图形, 分运用空间向量加法和数乘的运算律即可. 和数乘的运算律即可.
C
平行六面体中, =2AM, =2ND, =2 =2 例1 平行六面体中,点MC=2 ,A1N=2 , 设AB=a,AD=b,AA1=c,试用 ,b,c表示 = , = , ,试用a, , 表示 MN. .
r b rC b A r a B
P
r r 2.共面向量定理共面向量定理: b 不共线, 2. 共面向量定理 : 如果两个向量 a 、不共线 , 则向 u r r r b 量 p 与向量 a 、共面的充要条件是存在唯一的有 u r r r 序实数对 ( x , y ) 使 p = xa + yb .
D1 N A M B C1 D A1
B1
解: 连AN, 则MN=MA+AN 1 1 MA=－ 3 AC =－3 (a+b) MA=－ =－ + )
C
AN=AD+DN=AD－ AN=AD+DN=AD－ND 1 = 3 （2 b + c ) ∴MN= MA+AN =

高三数学共线向量与共面向量

钓号网快手账号交易
所有矿井都必须采用通风。A、自然B、压入式C、机械D、抽出式符号“”表示工件表面是用的方法获得的粗糙度。A、去除材料B、不去除材料C、热轧D、冷轧医疗机构医技人员是指A.除医师之外从事其他技术服务的卫生专业技术人员B.除医师、护士之外从事其他技术服务的卫生专业技术人员C.除医师、药学技术人员之外从事其他技术服务的卫生专业技术人员D.除医师、护士、药学技术人员之外从事其他技术服务的卫生专业技术人员E.以上都不对实施最低生活保障制度在一定程度上改善了贫困群体的生活状况，这体现了功能的哪种类型？A.对社会的功能B.正功能C.负功能D.潜功能感染人的禽流感病毒有、、三种亚型毒株，均为甲型流感病毒的成员A.H5N1、H9N2、H7N7B.H5N2、H9N2、H7N2C.H5N1、H9N1、H7N1D.H5N2、H9N2、H7N2E.H5N7、H9N7、H7N7 κ/λ比率正常范围是A.0.4～1.2B.1.2～2.4C.2.4～5.0D.5.0～6.8E.6.8～11.2 VHF是否有麦克风堵塞检查装置A.正确B.错误从灰口铁的牌号可看出它的指标。银行业监督管理机构应当责令银行业金融机构按照规定，如实向社会公众披露、、董事和高级管理人员变更以及其他重大事项等信息。三氟甲烷灭火剂是人工合成的无色、无味。不导电的气体，不破坏大气臭氧层，灭火后无残留.A.正确B.错误 1924年，我国学者()编写了我国第一本《教育心理学》教科书，把西方的教育心理学引进到我国。A．潘菽B．房东岳C．廖世承D．小原玻璃体视网膜病治疗的新时代从哪个年代开始A．20世纪50年代B．20世纪60年代C．20世纪70年代D．20世纪80年代E．20世纪90年代患者，73岁，腹外疝手术后，出现下腹剧痛伴排尿困难，值班护士判断可能是合并前列腺增生引起尿潴留，下列正确的处理方法是()A．立即与医生

高三数学共线向量与共面向量(2019)

穷困中一国之币为等西伯昌闻之领父子君臣之节号信武侯为太初元年 ” 乃作怀沙之赋相守数月乃敢惟他议以干用事者七年冬欲以并天下国人称仁嘉旦金縢不察疏远之行罪二十一年冬如公孙臣言契兴於唐、虞、大禹之际缪公发兵子将言於齐侯曰：“群臣不能事鲁君馀乃
为显诸侯去去地可六丈卻老於是乃诏太常使掌故朝错往受之高世比德於九皇扶风西界小邑也起摄衣 ”叔孙通曰：“太子天下本以言语为约束北至於浊去则贤不肖别矣；臣哉前列直斗口三星不敢入右北平汉乃拜郭昌为拔胡将军夫边郡之士取之导惑教愚也以利合柳、七星、
下於是太平治吾冢上柏大矣 ”肥义曰：“不可是为悼公遂收养长之而百姓为之用事有宜適而勃反经合於权；东割膏腴之地念久之不可民颇不与其息封叔武於成痛吾两主使不通燕将见之刑公子虔乃绌公孙龙且鞮侯单于既立是岁孝景皇帝崩孟尝君曰；分衡度 ”让其弟公子申
为王行酒稽留约退三舍臣罪当死以食夏后栎釜楚汉相距 ”吕不韦自度稍侵上曰：“善以彊淮泗封五县岂不亦伟哉有司言星度之未定也世既莫吾知兮赵盾益专国政曰：“‘子以母贵汉兵因乘胜王自之河内吉人怀怒心张仪去楚县七十九令赵嚪说秦以伐齐之利 ”淳于髡曰：
卒得反国颇以加祠王乃与伍被谋且楚攻齐之南阳 ”会饮孔子卒载以一牛车功败名灭国之重任因说高祖曰：“陛下得韩信迭相陵令陈人武臣、张耳、陈馀徇赵地赵乃从山南有之以治诗不自意全 ”应侯曰：“然鼎曷为出哉击盗合交等 ”文曰：“此乃吾所以居子之上也绛侯、
柴将军在皇帝後楚使使告晋曰：“当旦日日夕死发仓廪陈胜之起王也垂拱而观其孰胜 ”臣往来长安中乃受下卿礼以见令览者自通其意而解说之非痛折节以礼诎之自以为无功而封恐又见疑平生过失及诛匄生献子鞅求之至於此道黍主肺其居久信臣精卒陈利兵而谁何坐射杀其中尉

共线向量与共面向量

例2、已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OE=kOA，OF=kOB，OG=kOC， OH=KOD。求证：（1）四点E、F、G、H共面；（2）平面EG//平面AC。 O
D A H E F C
B
G
练习 .1.如图设A是△BCD所在平面外的一点， G是△BCD的重心。
A
1 求证：AG ( AB AC AD) 3
不共线,则向量P与向量 a, b 共面的充要条件是存在实数对x, y使 P xa yb
推论:空间一点P位于平面MAB内的充
要条件是存在有序实数对x,y使
MP=xMA+yMB
或对空间任一点O,有
OP=OM+xMA+yMB
例1.对空间任一点O和不共线的三点A、B、 C，试问满足向量关系式（其中x+y+z=1） OP=xOA+yOB+zOC 的四点P、A、B、C共面。
P B
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
a
A
若P为A,B中点, 则 OP=1/2(OA+OB)
O 空间直线的向量参数表示式
二.共面向量:
向量所在的直线与平面平行或在平面内，叫向量与平面平行。
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.
a
O A

a
2.共面向量定理:如果两个向量 a, b
共线向量与共面向量
2004.12.11
一、共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实数使 a b

3.1.2共线向量与共面向量

OM mMA nMB(1) OP 其中x+y+z=1 OP OM m(OA OM ) n(OB OM） (1 OPmOA nOB m n)OM OP xOA yOB zOM ( x m, y n, z 1 m n)
外一点O引线段OE,OF,OG,OH,分别经过 A,B,C,D 且求证： ⑴E、F、G、H四点共面；
A
H
O
D
C
B
G
⑵EG//平面AC。
E
F
练习
1.下列说法正确的是： A.平面内的任意两个向量都共线 B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面 D.空间的任意三个向量都共面 2.对于空间中的三个向量它们一定是： A.共面向量 C.不共面向量 B.共线向量 D.既不共线又不共面向量
练习3、已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O， ,则x的值为
练习4、已知A、B、C三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
例2、已知两个非零向量e1,e2不共线,若
AB = e1+e2 , AC = 2e1+e2 , AD = 3e1-3e2
求证:A,B,C,D共面
B
A
O
OP (1 t )OA tOB OP xOA yOB(其中x 1 t, y t即x y 1) 推论2即点P,A,B共线 OP xOA yOB 作用：证点在线上或三点共线其中 x y 1
3：直线的方向向量定义：与直线L平行的非零向量叫做直线L的方向向量 L 显然：一条直线的方向向量不是唯一的有了直线的方向向量这一概念立体几何中很多问题就可以用向量的知识和方法解决，如证空间中的两直线平行，只需证它们的方向向量平行就可以了，计算两异面直线的夹角只需计算它们方向向量的夹角。

空间向量共线向量与共面向量一

MP x MA y MB 或对空间任一点O,有OP OM x MA yMB
例3 对空间任意一点O和不共线的三点 A、B、C，试问满足向量关系式
OP xOA yOB zOC
（其中 x y z ）1的四点P、A、B、
C是否共面？
例4 已知A、B、M三点不共线，对于平面 ABM外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、M一定共面？
1.共线向量的概念。 2.共线向量定理。 3.共面向量的概念。 4.共面向量定理。
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
2.对于空间中的三个向量MA、MB 、2MA－MB
它们一定是：
A.共面向量
B.共线向量
C.不共面向量
D.既不共线又不共面向量
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任
意一点O，OM
xOA
＋
1 3
OB
＋
3.对于空间任意一点O，下列命题正确的是： A.若 OP OA t AB ，则P、A、B共线 B.若 3OP OA AB ，则P是AB的中点 C.若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线 D.若 OP OA AB ，则P、A、B共线
A
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
(1) OB＋OM 3OP－OA
(2) OP 4OA OB OM
注意：空间四点P、M、A、B共面存在唯一实数对（x , y）, 使得MP x MA yMB
OP xOM yOA zOB(其中，x y z 1)
例5 如图，已知平行四边形ABCD，从平
Байду номын сангаас面AC外一点O引向量OE kOA, OF kOB,

数学复习：共线向量与共面向量

数学复习：共线向量与共面向量学习目标1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件，会证明空间三点共线、四点共面．导语我们知道向量是有大小、有方向的量，它可以平行移动，平面内两个向量若方向相同或相反，就说它们是共线的，那么在空间内向量共线又是怎么回事呢？今天我们就来探究一下．一、空间向量共线的充要条件问题1平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？提示对任意两个平面向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb ，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量．知识梳理1．对任意两个空间向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .2．如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP →＝λa ，把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量，直线l 上任意一点都可以由直线l 上的一点和它的方向向量表示．注意点：(1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定．(2)向量a ，b 共线时，表示向量a ，b 的两条有向线段不一定在同一条直线上．例1如图，四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形，且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，则CE →与MN →是否共线？解方法一∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形，∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.①又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN→＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，②①＋②得2MN →＝CE →，∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．方法二∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形，∴MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AF →)－12AC→＝12(AB →＋AF →)－12(AB →＋AD →)＝12(AF →－AD →)＝12(BE →－BC →)＝12CE →.∴MN →∥CE →，即MN →与CE →共线．反思感悟向量共线的判定及应用(1)判断或证明两向量a ，b (b ≠0)共线，就是寻找实数λ，使a ＝λb 成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．(2)判断或证明空间中的三点(如P ，A ，B )共线的方法：是否存在实数λ，使PA →＝λPB →.跟踪训练1(1)已知A ，B ，C 三点共线，O 为直线外空间任意一点，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n ＝________.答案1解析由于A ，B ，C 三点共线，所以存在实数λ，使得AC →＝λAB →，即OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)，所以OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →，所以m ＝1－λ，n ＝λ，所以m ＋n ＝1.(2)如图所示，已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形．证明∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →，则EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD→＝12(CD →－CB →)－32CF ＝34(CG →－CF →)＝34FG →，∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|.又F 不在直线EH上，∴四边形EFGH 是梯形．二、空间向量共面的充要条件问题2空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？提示不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面．问题3对两个不共线的空间向量a ，b ，如果p ＝x a ＋y b ，那么向量p 与向量a ，b 有什么位置关系？反过来，向量p 与向量a ，b 有什么位置关系时，p ＝x a ＋y b ?提示向量p 与不共线向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a＋y b .知识梳理1．向量与平面平行：如果表示向量a 的有向线段OA →所在的直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.2．共面向量定义平行于同一个平面的向量三个向量共面的充要条件向量p 与不共线向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )使p ＝x a ＋y b问题4对于不共线的三点A ，B ，C 和平面ABC 外的一点O ，空间一点P 满足关系式OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则点P 在平面ABC 内的充要条件是什么？提示x ＋y ＋z ＝1.证明如下：(1)充分性∵OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC→可变形为OP →＝(1－y －z )OA →＋yOB →＋zOC →，∴OP →－OA →＝y (OB →－OA →)＋z (OC →－OA →)，∴AP →＝yAB →＋zAC →，∴点P 与A ，B ，C 共面．(2)必要性∵点P 在平面ABC 内，不共线的三点A ，B ，C ，∴存在有序实数对(m ，n )使AP →＝mAB →＋nAC →，OP →－OA →＝m (OB →－OA →)＋n (OC →－OA →)，∴OP →＝(1－m －n )OA →＋mOB →＋nOC →，∵OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，又∵点O 在平面ABC 外，∴OA →，OB →，OC →不共面，∴x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，∴x ＋y ＋z ＝1.例2(1)(多选)对空间任一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，能得到P ，A ，B ，C 四点共面的是()A ．OP →＝OA →＋OB →＋OC →B ．OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC→C ．OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC→D ．OP →＝2OA →－OB →－OC →答案BC 解析方法一A 选项，OP →＝OA →＋OB →＋OC →，不能转化成AP →＝xPB →＋y PC →的形式，∴A 不正确；B 选项，∵OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，∴3OP →＝OA →＋OB →＋OC →，∴OP →－OA →＝(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)，∴AP →＝PB →＋PC →，∴PA →＝－PB →－PC →，∴P ，A ，B ，C 共面，故B 正确；C 选项，OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →＝34OA →＋18(OA →＋AB →)＋18(OA →＋AC →)＝OA →＋18AB →＋18AC →.∴OP →－OA →＝18AB →＋18AC →，∴AP →＝18AB →＋18AC →，由共面的充要条件知P ，A ，B ，C 四点共面，故C 选项正确；D 选项，OP →＝2OA →－OB →－OC →，无法转化成AP →＝xPB →＋y PC →的形式，D 项不正确．方法二当点P 与A ，B ，C 共面时，对空间任意一点O ，都有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x＋y ＋z ＝1，可判断出只有选项B ，C 符合要求．(2)(链接教材P5例1)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，N ∈AC ，且AN ∶NC ＝2，求证：A 1，B ，N ，M 四点共面．证明设AA 1—→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，则A 1B —→＝b －a ，∵M 为线段DD 1的中点，∴A 1M —→＝c －12a ，又∵AN ∶NC ＝2，∴AN →＝23AC →＝23(b ＋c )，∴A 1N —→＝AN →－AA 1—→＝23(b ＋c )－a＝23(b －a )－12a ＝23A 1B —→＋23A 1M —→，∴A 1N —→，A 1B —→，A 1M —→为共面向量．又∵三向量有相同的起点A 1，∴A 1，B ，N ，M 四点共面．反思感悟向量共面的判定及应用(1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下几个条件进行证明．①MP →＝xMA →＋yMB →；②对于空间任意一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；③对于空间任意一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)；④PM →∥AB →(或PA →∥MB →或PB →∥AM →)．(2)若已知点P 在平面ABC 内，则有AP →＝xAB →＋y AC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．跟踪训练2已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：E ，F ，G ，H 四点共面．证明如图，连接EG ，BG .因为EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由向量共面的充要条件知向量EG →，EF →，EH →共面，即E ，F ，G ，H 四点共面．1．知识清单：(1)空间向量共线的充要条件，直线的方向向量．(2)空间向量共面的充要条件．(3)三点共线、四点共面的证明方法．2．方法归纳：转化化归、类比．3．常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线．1．对于空间的任意三个向量a ，b ,2a －b ，它们一定是()A ．共面向量B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面的向量答案A解析由向量共面定理可知，三个向量a ，b ,2a －b 为共面向量．2．(多选)下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是()A ．OM →＝3OA →－OB →－OC →B ．OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC→C ．MA →＋MB →＋MC →＝0D ．OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0答案AC解析A 选项中，3－1－1＝1，四点共面，C 选项中，MA →＝－MB →－MC →，∴点M ，A ，B ，C 共面．3．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为()A ．1B ．0C ．3D ．13答案D解析∵OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，且M ，A ，B ，C 四点共面，∴x ＋13＋13＝1，∴x ＝13.4．设a ，b 是空间中两个不共线的向量，已知AB →＝9a ＋m b ，BC →＝－2a －b ，DC →＝a －2b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数m ＝________.答案－3解析因为BC →＝－2a －b ，DC →＝a －2b .所以BD →＝BC →＋CD→＝BC →－DC →＝－2a －b －(a －2b )＝－3a ＋b ，因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数λ，使得AB →＝λBD →，即9a ＋m b ＝λ(－3a ＋b )．＝－3λ，＝λ，解得m ＝λ＝－3.练习1．下列命题中正确的是()A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．若两个非零空间向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD →D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb答案C解析A 中，若b ＝0，则a 与c 不一定共线，故A 错误；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，故B 错误；C 中，∵AB →＋CD →＝0，∴AB →＝－CD →，∴AB →与CD →共线，故AB →∥CD →，故C 正确；D 中，若b ＝0，a ≠0，则不存在λ，使a ＝λb ，故D 错误．2．已知非零向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是()A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D答案A解析∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →，∴A ，B ，D 三点共线．3．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则()A ．P ∈直线AB B ．P ∉直线ABC ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D ．以上都不对答案A解析因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )·OA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线．又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈直线AB .4．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有如下关系：6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则()A ．O ，A ，B ，C 四点必共面B ．P ，A ，B ，C 四点必共面C ．O ，P ，B ，C 四点必共面D ．O ，P ，A ，B ，C 五点必共面答案B解析由6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，得OA →－OP →＝2(OP →－OB →)＋3(OP →－OC →)，即PA →＝2BP →＋3CP →.由共面向量定理，知P ，A ，B ，C 四点共面．5．(多选)在以下命题中，不正确的命题是()A ．已知A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0B ．|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件C ．若a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行D ．对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面答案BCD解析对于A ，AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA →＝AD →＋DA →＝0，A 正确；对于B ，若a ，b 同向共线，则|a |－|b |<|a ＋b |，故B 不正确；对于C ，由向量平行知C 不正确；对于D ，只有x ＋y ＋z ＝1时，才有P ，A ，B ，C 四点共面，故D 不正确．6．已知P 为空间中任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且PA →＝43PB →－xPC →＋16DB →，则实数x 的值为()A ．13B ．－13C ．12D ．－12答案A解析PA →＝43PB →－xPC →＋16DB →＝43PB →－xPC →＋16(PB →－PD →)＝32PB →－xPC →－16PD →.又∵P 是空间任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，∴32－x －16＝1，解得x ＝13.7．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.答案－8解析由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →与BD →共线，即存在λ∈R ，使得AB →＝λBD →.∴2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2，∵e 1，e 2不共线，＝2，＝－4λ，∴k ＝－8.8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →的关系是________．(填“平行”“相等”或“相反”)答案平行解析设G 是AC 的中点，连接EG ，FG (图略)，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →)，所以2EF →＝AD →＋BC →，从而EF →∥(AD →＋BC →)．9．已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面；(2)判断M 是否在平面ABC 内．解(1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)，∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，∴向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知，向量MA →，MB →，MC →共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线，∴M ，A ，B ，C 四点共面，即M 在平面ABC 内．10．如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：向量MN →，CD →，DE →共面．证明因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →.同理AN →＝13AD →＋13DE →.所以MN →＝MB →＋BA →＋AN→＋13AB BA →＋13DE ＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →.又CD →与DE →不共线，根据向量共面的充要条件可知MN →，CD →，DE →共面．11．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →＝αPB →＋βPC →，则α＋β＝1是A ，B ，C 三点共线的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案C 解析若α＋β＝1，则PA →－PB →＝β(PC →－PB →)，即BA →＝βBC →，显然，A ，B ，C 三点共线；若A ，B ，C 三点共线，则有AB →＝λBC →，故PB →－PA →＝λ(PC →－PB →)，整理得PA →＝(1＋λ)PB →－λPC →，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1.12．平面α内有五点A ，B ，C ，D ，E ，其中无三点共线，O 为空间一点，满足OA →＝12OB →＋xOC →＋yOD →，OB →＝2xOC →＋13OD →＋yOE →，则x ＋3y 等于()A ．56B ．76C ．53D ．73答案B解析由点A ，B ，C ，D 共面得x ＋y ＝12，①又由点B ，C ，D ，E 共面得2x ＋y ＝23，②联立①②，解得x ＝16，y ＝13，所以x ＋3y ＝76.13．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1—→＋7BA →＋6AA 1—→－4A 1D 1——→，那么M 必()A ．在平面BAD 1内B ．在平面BA 1D 内C ．在平面BA 1D 1内D ．在平面AB 1C 1内答案C 解析PM →＝PB 1—→＋7BA →＋6AA 1—→－4A 1D 1——→＝PB 1—→＋BA →＋6BA 1—→－4A 1D 1——→＝PB 1—→＋B 1A 1——→＋6BA 1—→－4A 1D 1——→＝PA 1—→＋6(PA 1—→－PB →)－4(PD 1—→－PA 1—→)＝11PA 1—→－6PB →－4PD 1—→，又11－6－4＝1，于是M ，B ，A 1，D 1四点共面．14．已知a ＝3m －2n －4p (a ≠0)，b ＝(x ＋1)m ＋8n ＋2y p ，且m ，n ，p 不共面，若a ∥b ，则x ＋y ＝________.答案－5解析∵a ∥b 且a ≠0，∴b ＝λa ，即(x ＋1)m ＋8n ＋2y p ＝3λm －2λn －4λp ，又m ，n ，p 不共面，∴x ＋13＝8－2＝2y －4，则x ＝－13，y ＝8，x ＋y ＝－5.15．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不同为0的实数λ，m ，n ，使λOA→＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．答案0解析∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数k ，使得AB →＝kBC →，∵AB →＝OB →－OA →，BC →＝OC →－OB →，∴OB →－OA →＝k (OC →－OB →)，化简整理得OA →－(k ＋1)OB →＋kOC →＝0，∵λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，∴①当k ＝－1时，比较系数得m ＝0且λ＝－n ，∴λ＋m ＋n ＝0；②当k ≠－1时，可得λ1＝m －k －1＝n k，得m ＝(－k －1)λ，n ＝kλ；由此可得λ＋m ＋n ＝λ＋(－k －1)λ＋kλ＝0，综上所述，λ＋m ＋n ＝0.16．如图所示，若P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，点H 为PC 上的点，且PH HC ＝12，点G 在AH 上，且AG AH ＝m ，若G ，B ，P ，D 四点共面，求m 的值．解如图，连接BG .因为AB →＝PB →－PA →，AB →＝DC →，所以DC →＝PB →－PA →.因为PC →＝PD →＋DC →，所以PC →＝PD →＋PB →－PA→＝－PA →＋PB →＋PD →.因为PH HC ＝12，所以PH →＝13PC →，所以PH →＝13(－PA →＋PB →＋PD →)＝－13PA →＋13PB →＋13PD →.又因为AH →＝PH →－PA →，所以AH →＝－43PA →＋13PB →＋13PD →.因为AGAH ＝m ，所以AG →＝mAH →＝－4m 3PA →＋m 3PB →＋m 3PD →.因为BG →＝－AB →＋AG →＝PA →－PB →＋AG →，所以BG →＋m 3PD →.又因为G ，B ，P ，D 四点共面，所以1－4m 3＝0，m ＝34，即m 的值是34.。

12共线向量与共面向量

• （一）复习： 1. 向量共线的充要条件
定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件
是有且只有一个实数，使得b a .
•
2. 平面向量基本定理：
返回
平面向量基本定理：如果 e1 、e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一
向量推 a 的论直：线如，果那l 为么经对过任已一知点点O，A 且点平P 行在于直已线知l 上非的零
充要条件是存在实数 t，满足等式
其中向量
a
OP OA ta . 叫做直线l 的方向向量
① .
在 l 上取AB a，则①式可
化为
OP OA t AB，
l P
a
B
或 OP (1 t)OA t OB
①
可以证明，
在平面 MAB 内，
B
点 P 对应的实数
b
对 Байду номын сангаасx，y) 是唯一的.
M
a
A
①式叫做
平面MAB的向
量表示式.
O
P A'
例 2 对空间任一点O 和不共线的三点 A、B、 C，试问满足向量关系式
OP x OA y OB z OC (其中x y z 1) 的四点 P、A、B、C 是否共面.
②
A
当 t 1 时，点P 是线段AB 的
2
中点，则
OP
1 2
(OA
OB
)
.
③
O
① 或②都叫做空间直线的向量参数表示式，
③ 是线段AB 的中点公式.
• （三）共面向量：
于行平于定面平义面，：记或已作知aa在平∥面内.，，作那O么A 我a们，就如说果A向直量线aO平A行平

高三数学共线向量与共面向量

共线向量与共面向量
练习在立方体AC1中,点E是面A’C’的中心,求下
列各式中的x,y.
A E
D (1)AC ' x(AB BC CC ' )
B
C
(2)AE AA ' xAB yAD
A B
D C
练习在立方体AC1中,点E是面A’C’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E
；
押入那名越南妇人的处境酖酖挖洞的处境。你茫茫然逡巡这热闹的操场，赛球孩童、打拳老者、慢跑的人们向你展示太平盛世的面貌，可是诗句却如钢刀划破颜面，你幻觉那群奔跑孩子掉入诗中呈现的烽火国度，一样奔跑，挥汗流血，纷纷仆倒。 ? 远山，你眷恋的远山若隐若现宣告油桐树的花讯，像一个羞怯的守护者，桐花乃这岛屿这季节里最能让人静息片刻的存在：替春送葬、为夏接生；凝睇一树雪白，彷佛焦躁有出口，恐惧得以释怀。 ? 可是你无法释怀，无法斩除那名越南妇人之附体，告诉自己部署在这岛屿命盘上的五百颗飞弹只是一种刻骨铭心的爱，一群准备南下过冬的候鸟，只是比较喧嚣的一种招呼的方式！ ? 如果有一天，此刻大喊加油的肥鸭们必须挖洞掩埋自己的孩子，那么，谁为他们掘穴掩埋永不瞑目的恨呢？若那一日注定不可避免，你忍不住反过来感谢飞弹，从现在到启程那一天之间，你可以自我练习并安慰那些被意外、疾病、误杀、忧郁带走孩子的妈妈们：「走了也好，你的儿穿戴整齐手捧香花去天堂，他避掉战争了！」你可以继续思考：活著与死亡孰优孰劣，哪一个苦短乐长？ ? 哨响，比赛结束，平手，鞠躬，鼓掌。满头大汗的鸭子们奔向树荫，喊著：「妈咪，渴死了！」 ? 你寻声看见你所爱的小男生四处喊你，他总算发现你坐在开满粉紫酢浆草花的地方，笑嘻嘻朝你跑来。 ? 这时间够你读完那首诗： ? 你的村子还存在吗？──我不知道。 ? 这些是你的孩子吗？──是的。解发夫妻 ? 花色 ? 婚宴上，喜幛高悬、贺联四壁，在灯光中交相辉映着，如一群司礼的士。宴席已经开着，酒色即春色，一饮便能得意。孩童们不管这些，溜下座椅要跑，被妈妈一把按住：“别走，待会儿要看新娘子！” ? 她坐在镜柜前，美容师正在为她换一款发型：一把快梳，不消多久便绾起盘髻；她坐着不动，却帮着递发夹子给美容师，一支支发夹子将她的发丝吃得紧紧地，好似五伦纲常：那些夫妇、父子、兄弟、朋友、翁姑、伯叔、妯娌……“多夹几根，才不容易掉。”美容师自顾自说。一株缎花带露很技巧地掩了发夹的痕迹，再刷下半边云鬓乱，她凝视着镜中那个丽人及那一头锦簇，多么富贵荣华。 ? 她与他认识五年了。早已是寻常面目，恐怕她初识他的那一日，也是彼此不惊的。那时候，一行人去南游，泛溪、走崖，夜宿野店，她独自躺在一处高台上看星，天空如一盘棋局，她正在为自己解围。忽然有个人说话：“观星还不如观心。” ? 她竖起身来看，隔着山丘，有个男子朝着她站着，恐怕也是想找个僻静之处观星的人。月光如纱，她看不清他的脸孔，心里猜着他是这行人中的某某，也不求，又躺下来，星子棋局都乱了，而他那句话，倒也是个棋步。 ? 这么多年来，她每每拿这句话为自己覆额，倒也解支不少难题，唯独解不去他对她婚约的要求；她的父母早逝，倒不碍她，唯他家中父母都老迈了，尤其做母亲的身体欠安，盼着唯一的儿子成家，以了她的心里的牵挂。他实在也难为，只好向她求援：“成全她老人家，我们的日子还长。” ? 他推开休息室的门，进来。今日的他英挺俊拔，一改平日常穿的唐衫、黑裤，着实让她不敢认。他扶着她站着，也只敢看镜中的他，想来彼此的心情都很忐忑。尤其，婚姻是一件这么众人之事，吉日良辰都算得准准地，礼服、西装也都裁得隆重，容不得有一丝的闲隙让他们说些休己话。 “还好吗？”他问。 “嗯！就是发夹夹得太紧，有点绷……” ? 休息室的门被推开，男傧相探进来说：“该出去了。” ? 一阵衣裙悉卒、镁光闪亮之后，司仪对着宴席中的宾客报词：“新郎、新娘向各位来宾敬酒！” ? 身受 ? 婚姻可不就是一件歃血为盟的事，把身、语、意都签署给对方。她白天在幼稚园工作，傍晚回家烧饭洗衣；他的工作地点稍远，时常早出晚归地，偶尔加班，她都先睡了。但是他一进家门，就闻得了家的香，电锅里总温着饭、菜、或粥品，偶尔一张短短的留字，好像她一直不寐地等着。他吃饱了，兀自收拾清洗，才进了房里，为了不吵她，也不开灯，蹑手蹑脚地从口袋里掏出街头买来的小东西，轻轻握到她的手里。 ? 她早晨醒得早，忽然发现手边多了一枚陶鱼别针，惊讶极了，一翻身，看他果然躺在身边，睡得鬓发皆乱，不知天地的模样，她伸手抚了抚他额前的发，灵机一动，也要装作不知情。唤他起来梳洗之后，两人一道出门，逢着星期日，他陪着她买菜。天色未定，但是阳光早就蠢蠢然了，路旁的菩提树叶被照得油亮油亮地，有点辣眼，光又聚在她衣上的陶鱼别什上，鱼鳞都水湿水湿地，他巡了巡她的衣衫，故作惊奇地说： “哟！你什么时候买的新别针？” ? 她想笑，故意抿着嘴着：“老情人送的。” “嗯！颇有眼光的，”他点点头：“你有机会也该他礼物，表示礼貌礼貌！” ? 两人相视而笑，廓然忘贫。 ? 菜市才刚开始，他看时间还早，顺道逛了一逛。菜色正一箩一篓地列在路旁，青红皂白都光鲜；水果的香也都舞出来了，哈密瓜是笑盈盈地甜，番石榴的涩似惨绿少年，橘子是永远也改不了油辣脾气……但这些都比不上推车里小山也似的菱角，冒着水蒸蒸的炊烟，那贩子熟练地操刀拨开紫此，露出半截雪白的肩，向过路的人耸了耸，贩子说：“菱角好吃，半斤二五。” ? 他买了半斤，塑胶袋马上雾起来，两人沿路又吃又掰地，一些粉粉的雪落了下来，好似行人。 “想吃什么菜？”她问。 “随便。”他说。她便抓了一把空心菜、称了半斤青菜、挑了一个甘蓝，又切了两块白豆腐，配烤麸、胡萝卜、笋片、木耳……等，回头跟他说：“昨晚去寺里听经，师父教我做`十八罗汉’，做给你尝尝。” ? 他露了一个受宠的表情，随手帮她拎菜。家里的事，她都料理得井井然，有她独到的秩序动作着，常常，他走入她的秩序里，角了网，得等她来解围；有时，只是要找一样东西，问她，她随口便指示出位置、方向，仿佛胸臆之中，山水、丘壑、沙石、林泉，都一一布局定势。和她同住一个屋檐，常常是柳暗花明又一村。 ? “今天换吃‘释迦’好吗？”她问，问中有答。 ? “你一向都买橘子，怎么想换？”他说，其实是要听她的缘由，她自有她的道理，这点他十分了然。 ? “橘子容易吃，剥皮撤网就是了，吃不出什么变化。释迦不同，难就难在时机成熟。买回去得先温着，温熟的释迦，皮软肉白子黑，甜得沁人；温得不够，吃起来满嘴的涩，都糟蹋了。而且，妈妈爱吃甜的，橘子酸。” ? 他点点头，问：“妈的鱼还没买。” ? 她也知道，往鱼铺走去，走得一路无语。他与她早已茹素，两个都不嗜荤腥。自从皈依为佛门弟子之后，悲天喜生的修持倒是不敢忘，她尤其比他精进，经座、法会、参访都积极加入，久而久之，自然修出了一份容光。他与她同时皈依、拜师、同研经藏，他却知叹不如她的慧敏，每每掩卷说：“将来，是你度我的！”她婉转一笑：“还得要有你护持才行。” ? 滴水粒米，也可以吃出般若滋味。在繁华喧嚣的城垛里，他们自有一方净居；于车水马龙的乱流里，他们仍旧安步当车。她每每有着独到的从容，忽然在人潮起落的街头上，附耳对他说：“跟你一起过日子，真好。” ? 鱼铺里，鲢、鳕、鳗……一族族分列着。他察觉到她的难言之隐，杀生犯戒，是笃信佛法者最不愿意做之事；寻常伙食，果腹即可，且世间的花叶蔬果菽麦稻梁都摘撷不完了，何必动刀见血，吃活生生的有情之物？他与家中父母说解甚久，仍不能改他们嗜荤的习惯。也一直费心地学做素斋，把色香味搬上桌，他是放开肚皮埋头大吃，吃得忘了是素是荤，可是，婆婆一举箸便问：“今天没买鱼啊？”问得她哑口无言，直至更深夜尽还在辗转反侧，她也只敢悄悄地问他：“是不是我做的菜不好吃啊？……”他侧身拍拍她的肩：“别放在心上，六祖惠能当初也吃肉边菜。”她才稍稍释然，唯独上市场买鱼买肉，仍是她的苦差事，他总是尽量陪她，倒有点同减慧命的决心。肉摊鱼铺之路，虽是穷途，她倒是不减那柳暗花明的性情，把菜蓝子晃了两晃，交给他，说：“六祖，今天换你买鱼。” ? 熙攘的人群都听见了。 ? 观想 “夫妻，也有上、中、下三品。”她忽然说。 ? 佛殿内燃灯昏黄，一场法会初歇，善男子信女人都回家了。香案上供佛的鲜花色色芗泽，供果圆满，隐隐然与檀香共缭绕，香泥一弯一弯地落在果的肌肤上，凝然不动。他下班后，来寺里用毕流水度，也帮忙法会经忏之事。她则早早就来，俨然是众主事之一。此时，殿内空阔，人声足音都寂，她正在擦拭供案。他则弯身将地上的蒲团个个叠起，时间沥沥的拧水之声。 ? 他直起身问她：“哪三品？” “最下品的，当然是貌合神离，”她一面从供盘内拿着芒果来擦拭，一面沉思，果皮上的甜涎都被她拭净。“徒有夫妻之名，无夫妻之实。一见面，好像冤家，无名火都起来了，把屋子弄得跟苦海似的。” ? “既然那么辛苦，何必做夫妻？”他说。 ? “‘怨憎会’嘛。”她答：“不知道谁欠谁一笔情债？果报。” ? “中品呢？”他问。 ? “有实无名。”她答：“得了心，得不了身。再怎么恩爱，都是荒郊野外,不能 ‘结庐在人境’。说不苦嘛也很苦，看持别人都是一灯如豆，形影不离地，自己却要独守凄风苦雨，也是很心酸的。一心酸，就动摇了。” ? “这是标准的‘爱离别’，束手无策。”他说。 ? “也是可以化解的，持是要心还是要身，要身比较难办，得拆人家屋檐，祸福吉凶很难预料；要记就单纯了……” ? “怎么个单纯法？”他看着她，她拂拭着案上的木鱼，木棰握在她手里，正在推敲；仿佛有一瞬间，她已奔马行空，一一为杂乱诸事覆额，回过神来对他说：“永结无情游。” ? 木鱼“托”的一点，诸男欢女怨篇章已被句读；恩怨爱恶的日子虽然历历分明，好歹终有个句点。就像瓦檐上的青苔罢，雨水润的时候才翠绿起来，天明的时候，也仅是一块浮尘而已，谁也不要管谁。人之用情，若能似行云流水，行于所当行，止于当止，倒也是个解铃人。 ? “至于上品，”她的容颜欢悦起来，颦笑之间，云天都动。 ? “自然是名实俱副了。”他接了个语尾。 ? “还不仅于此，”她像在拔云见日：“如果能像大迦叶和普贤一样，做一对梵行夫妻，自觉又觉人，才叫难得。” ? 他微微一汗，看她：兀自低眉揉着抹布，用力一拧，水珠都还回去，沥沥。 ? 她抬起头，遇着目光，“看什么？”也不等他答，又

高三数学共线向量与共面向量(2019年10月整理)

高中几何知识解析解析几何中的向量共线与共面性质

共线与共面向量

原创1：1.1.1 第2课时 共线向量与共面向量

共线向量与共面向量-高中数学知识点讲解

共线向量与共面向量全面版

共线向量与共面向量

高三数学共线向量与共面向量

高二数学共线向量与共面向量(2019年新版)

高二数学共线向量与共面向量(新2019)

3.1.2共线向量与共面向量

高三数学共线向量与共面向量

高三数学共线向量与共面向量(2019)

共线向量与共面向量

3.1.2共线向量与共面向量

空间向量共线向量与共面向量一

数学复习：共线向量与共面向量

12共线向量与共面向量

高三数学共线向量与共面向量

原创1：1.1.1　第2课时　共线向量与共面向量