运用三角代换法求函数值域一例
初等函数的值域问题
初等函数的值域问题作者：向正虎来源：《学生周报·教师版》2013年第10期求函数的值域是一个较复杂的问题，也是很重要的问题（因为它和求出函数和最值紧密相差），历届高考试题中经常出现，应引起重视，求函数值域没有通用方法和固定模式，根据问题的不同特点综合而灵活地运用条件选择方法求之。
（一）分离常数法例1：求函数y= 的值域。
∵ ≠0∴值域为：{y—y∈R且y≠1}例2：求函数y= 的值域。
解：原函数可化为：y=2+∵-1≤sinx≤1∴-5≤ ≤-∴函数的值域为{y—-3≤y≤}[点评]类似于y= （mn≠o）的函数，常用分离常数法求值域，有时这种类型的函数往往也可以用反函数法求解。
（二）判别式法例3：求函数的值域。
解：原函数解析式变为：（y-1）x2-（y-1）x+y-3=0当y=1时，此时方程无解。
当y1时，由x∈R，此方程的判别式△≥0，即：（y-1）2-4（y-1）（y-3）≥0解得：1≤y≤ ，又y≠1，故1故函数的值域为{y| |y≤ }[点评]（1）此法适用于y= （a1，a2不同时为0）型的函数。
（2）在解题过程中注意对二次项系数是否为零讨论。
（三）配方法例4：求函数y= 的值域解： y= =因为-x2-6x-5所以-5≤x≤-1故0≤y≤2，即所求函数值域为[0，2][点评]配方法适合的题型是二次型函数y=AX2+BX+C（四）数形结合例5：函数y=|x+1|+x-2|=-2x+1，（x2）故所求值域是[3，+∞）（法二）把y看作是点（X，0）到定点A（-1，0）与B（2，0）的距离之和，故值域是[3，+∞）例6：求函数y= 的值域解：原函数式可化为y= 此式可以看做点（2，0）和（cosx，-sinx）连线的斜率，而点（cosx，-sinx）的轨迹方程为x2+y2=1+=1，如下图所示。
在坐标系中做出圆x2+y2=1和点（2，0）由图可知，1的斜率的范围是[- ， ]故函数的值域为：[- ， ][点评]数形结合求值域要求对几何图形有比较深入的把握。
【三角函数值域的求法】 求三角函数值域图解
所以t∈［-3,3］.
六、三角函数也是函数，所以其他一些函数值域的求法对于求三角
函数的值域照样适用
如分别常数法：
例6 若cos2x+2msinx-2m-2sin2x+1sinx-1，
sinx-1=t∈［-1,0)
所以2m>t+2t+2，因为(t+2t+2)max=-1.
所以m>-12.
巧用“对比法〞解题
江苏靖江季南初中(214523) 陈一平
对比法：把两个或两个以上的事物进行比较，找其共同点与不同点的进行解题的方法.对比法是最基本的思维，也是解题方法.它有时会使思维、解题一清二楚，直接明了.
例1 横河九年级物理兴趣小组的同学在讨论“沙子和水谁的吸热本事大〞时，选用了两只完全相同的酒精灯分别给质量都是200 g的沙子和水加热.他们绘制出沙子与水的温度随加热时间改变的图象如图1所示. 已知酒精的热值是3.0×107 J/kg，水的比热容4.2×103 J/(kg·℃)，加热时酒精灯平均每分钟消耗0.8 g酒精.那么请问：
(1)图中a图和b图哪个是沙子吸热升温的图象?为什么?
(2)请依据图象说出水在受热过程中温度改变的特点.
(3)加热满2 min时,水汲取了多少热量?
(4)给水加热持续了10 min时间,共消耗了多少酒精?这些酒精假如完全燃烧将放出多少热量?
(5)试求出沙子的比热容.
图1解：(1) 图a表示的是沙子吸热升温的过程，因为沙子的比热比水小，汲取相同热量时沙子温度升得多.。
有关函数最值问题的十二种解法
本稿件适合高三高考复习用有关函数最值问题 的十二种解题方法与策略贵州省龙里中学高级教师 洪其强（551200）一、消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数(,)f x y 的最值时，可利用条件式消去一个参量，从而将二元函数(,)f x y 化为在给定区间上求一元函数的最值问题。
例1、已知x 、y R ∈且223260x y x +-=，求222x y +的值域。
解：由223260x y x +-=得222360y x x =-+≥，即02x ≤≤。
2222392262()22x y x x x +=-+=--+∴当32x =时，222xy +取得最大值92；当0x =时，222x y +取得最小值0。
即222x y +的值域为90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()f x 出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0∆≥来求出()f x 的最值。
例2、求函数22()1xf x x x =++的最值。
解：由22()1xf x x x =++得 []2()()2()0f x x f x x f x +-+=，因为x R ∈，所以0∆≥，即[]22()24()0f x f x --≥，解得22()3f x -≤≤。
因此()f x 的最大值是23，最小值是－2。
三、配方法：对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。
例3、求2()234x x f x +=-在区间[]1,0-内的最值。
解：配方得 2224()2343(2)33x x x f x +=-=--+[]1,0x ∈- ，所以 1212x ≤≤，从而当223x =即22log 3x =时，()f x 取得最大值43；当21x =即0x =时()f x 取得最小值1。
四、辅助角公式：如果函数经过适当变形化为()sin cos f x a x b x =+(a、b均为常数），则可用辅助角公式sin cos arctan )ba xb x x a+=+来求函数()f x 的最值。
函数的值域怎么求
函数的值域怎么求
其没有固定的方法和模式。
但常用方法有:
(1)直接法:从变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围;
(2)配方法:配方法是求“二次函数类”值域的基本方法,形如f(x)=af^(x)+bf(x)+c的函数的值域问题,均可使用配方法
(3)反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过反函数的定义域,得到原函数的值域。
形如y=cx+d/ax+b(a≠0)的函数均可使用反函数法。
此外,这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解。
(4)换元法:运用代数或三角代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域。
形如y=ax+b±根号cx+d(a、b、c、d均为常数,且a≠0)的函数常用此法求解。
举些例子吧!
(1)y=4-根号3+2x-x^
此题就得用配方法:由3+2x-x^≥0,得-1≤x≤3.
∵y=4-根号-1(x-1)^+4,∴当x=1时,ymin=4-2=2.
当x=-1或3时,ymax=4.
∴函数值域为[2,4]
(2)y=2x+根号1-2x
此题用换元法:
令t=根号1-2x(t≥0),则x=1-t^/2
∵y=-t^+t+1=-(t-1/2)^+5/4,
∵当t=1/2即x=3/8时,ymax=5/4,无最小值.
∴函数值域为(-∞,5/4)
(3)y=1-x/2x+5
用分离常数法
∵y=-1/2+7/2/2x+5,
7/2/2x+5≠0,
∴y≠-1/2。
值域的解法及例题
一、配方法适用类型：二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型.【例1】求函数的值域.解：为便于计算不妨: 配方得: ，利用二次函数的相关知识得,从而得出: .【例2】已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值.解析：y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2.令t＝ex＋e－x，f(t)＝t2－2at＋2a2－2.∵t≥2，∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2，＋∞)．∵抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a，∴当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2；当a＞2时，ymin＝f(a)＝a2－2.练习○1 求y = sin2x - 6sinx + 2值域.○2 当1≤x≤1000时，求y＝(lgx)2－2lgx＋3值域.二、换元法【例3】求函数的值域.适用类型:无理函数、三角函数（用三角代换）.解析：由于题中含有不便于计算，但如果令：注意从而得：变形得即：【例4】设a，b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值是______．解：∵a，b∈R，a2＋2b2＝6，∴令a＝6cosα，2b＝6sinα，α∈R.∴a＋b＝6cosα＋3sinα＝3sin(α＋φ)．∴a＋b的最小值是－3；故填－3.练习○3 已知是圆上的点，试求的值域.三、反函数法（变量分类法）【例5】求函数的值域.解：原式中x∈R，将原式化为由○1解出x，得；（也可由直接得到）因此函数值域是（－1，1）四、不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：a2＋b2≥2ab(a，b为实数)；a＋b2≥ab(a≥0，b≥0)；ab≤a＋b22≤a2＋b22(a，b为实数)．【例6】设x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．解析：因为x－2y＋3z＝0，所以y＝x＋3z2，因此y2xz＝x2＋9z2＋6xz4xz.又x，z为正实数，所以由基本不等式，得y2xz≥6xz＋6xz4xz＝3，当且仅当x＝3z时取“＝”．故y2xz的最小值为3五、数形结合法【例7】适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.六、判别式法把函数转化为x的二次方程F(x，y)＝0，通过方程有实根，判别式Δ≥0，从而求得函数的最值．判别式法多用于求形如y＝ax2＋bx＋cdx2＋ex＋f(a，d不同时为0)的分式函数的最值．【例9】求函数y＝x2－3x＋4x2＋3x＋4的最大值和最小值．解析：∵x2＋3x＋4＝0的判别式Δ1＝32－4×1×4＝－7＜0，∴x2＋3x＋4＞0对一切x∈R均成立．∴函数的定义域为R.∴函数表达式可化为(y－1)x2＋(3y＋3)x＋4y－4＝0.当y＝1时，x＝0；当y≠1时，由x∈R，上面的一元二次方程必须有实根，∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y－4)≥0，解得17≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝17.七、函数单调性法【例10】设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，则a＝________. 解析：∵a＞1，∴函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上是增函数，∴函数在区间[a,2a]上的最大值与最小值分别为loga2a，logaa＝1.又∵它们的差为12，∴loga2＝12，a＝4.八、导数法【例11】函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是________．解析：因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.。
巧用三角换元法解含根式的函数值域题
ö ø
≤
1
，
∴ f (x) = x +
1 - x2的值域 为 éêë
2 2
，1ùú û
.
解答形如 f (x) = kx + a - bx2 的函数值域问题，需首
先设 x =
a b
cos2
θ
,将原函数化为
y
=
k
a b
cos
θ
+
a sin θ
的形式，然后利用辅助角公式将三角函数式化简，再
根据三角函数的有界性来求得函数的值域.
sin
α2∙2
sin
β 2
+
2
cos
α2∙2
cos
β 2
= 2 cos （α2 - 2β） ≤ 2 ，
(x - z)(y - z) + (x + z)(y + z)
即
xy
≤2.
该函数式较为复杂，需首先将不等式进行变形，
然后令
z x
= cos α,
z y
= cos β
，通过三角换元，将问题转
化为三角函数最值问题，通过三角恒等变换将三角函
例 2.试求 f (x) = x - 4 + 15 - 3x 的值域.
解：设 x = 4 + cos2θ(0 ≤ θ ≤ π) ，
∴原函数为 y = 4 + cos2θ - 4 + 15 - 3(4 + cos2θ)
=
cos2θ +
3 sin2θ = cos θ +
3 sin
θ
=
2
sinæè
θ
+
三角代换公式讲解
三角代换公式讲解三角代换公式是利用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，使题目得以突破的解题方法。
其基本思路是观察、分析、变换、证明。
针对有条件等式的证明，一是将条件代入求证式子，把问题转化成恒等式的证明;二是从条件出发，作为求证式为目标的变形，逐步推出求证式。
三角代换公式的策略思想是：根据题目的结构特征，引进三角代换，利用三角知识解题的一种方法。
用这种方法解某些数学题，往往能化繁为简，变难为易，得到简捷合理的解题途径。
常见的三角代换有：1. 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα，cos(2kπ+α)=cosα，tan(2kπ+α)=tanα，cot(2kπ+α)=cotα(公式一)。
2. 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα，cot(π+α)=cotα(公式二)。
3. 任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tan α，cot(-α)=-cotα(公式三)。
4. 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα，cot(π-α)=-cotα(公式四)。
5. 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinα，cos(2π-α)=cosα，tan(2π-α)=-tanα，cot(2π-α)=-cotα(公式五)。
6. π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosα，cos(π/2+α)=-sin α，tan(π/2+α)=-cotα，cot(π/2+α)=-tanα;sin(π/2-α)=cosα，cos(π/2-α)=sinα，tan(π/2-α)=cotα，cot(π/2-α)=tanα(公式六)。
三角函数专题：三角函数最值(值域)的5种常见考法(解析版)
三角函数专题：三角函数最值（值域）的5种常见考法1、形如sin y a x = (或cos y a x =)型可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论 2、形如sin()y a x b ωϕ=++ (或cos()y a x b ωϕ=++型 （1）先由定义域求得x ωϕ+的范围（2）求得sin()x ωϕ+ (或cos()x ωϕ+)的范围，最后求得最值 3、形如sin cos y a x b x =+型引入辅助角转化为22)y a b x ϕ=++，其中tan baϕ=，再利用三角函数的单调性求最值。
4、形如2sin sin (0)y a x b x c a =++≠或2cos cos (0)y a x b x c a =++≠型， 可利用换元思想，设sin y x =或cos y x =，转化为二次函数2y at bt c =++求最值，t 的范围需要根据定义域来确定． 5、形如sin cos (sin cos )y x x x x =⋅±±型利用sin cos x x ±和sin cos x x ⋅的关系，通过换元法转换成二次函数求值域 6、分式型三角函数值域（1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域； （2）判别式法题型一 借助辅助角公式求值域【例1】该函数sin 3y x x =的最大值是（ ） A ．1 B 6 C ．2 D ．2- 【答案】C【解析】因为πsin 32sin 3y x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，又[]πsin 1,13x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以函数sin 3y x x =的最大值是2.故选：C.【变式1-1】已知()()sin 3cos 0f x A x x A =->的最大值是2，则()3sin 3cos g x x A x +在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦中的最大值是（ ）A ．32B ．3C 326+ D ．23【答案】C【解析】根据辅助角公式可得：()2223sin 3=333f x A x x A x x A A ⎫=+⎪⎪++⎭()2=3A x ϕ+-，其中3tan ϕ=. 由()f x 的最大值为2()2320A A +>,解得1A =.∴()1333cos 23sin 2g x x x x x ⎫=+=⎪⎪⎭π233x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴π7π13π,31212x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦. ∴当π7π312x +=，即π4x =时，()g x 取得最大值. 故()max ππ343g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭231326232⎫+==⎪⎪⎝⎭故选:C.【变式1-2】已知函数()()3cos sin 3cos 0,2f x x x x x π⎫⎡⎤=∈⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则函数()f x 的值域为（ ） A ．33⎡⎢⎣⎦ B ．3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】()23sin cos 3x x f x x =+)133sin 21cos 22x x =+sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以3sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的值域为3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B【变式1-3】函数2()sin 3cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．32D ．3 【答案】C【解析】因为2()sin 3cos f x x x x =，所以1cos 231()2sin(2)226x f x x x π-==+-，42ππx ≤≤，52366x πππ∴≤-≤，1sin 2126x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭，∴13()122max f x =+=．故选：C ．【变式1-4】己知函数()3sin 4cos ,R f x x x x =+∈，则()()12f x f x -的最小值是_________. 【答案】10-【解析】由题意可得()()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55f x x x x x x ϕ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因为12,R x x ∈,所以min max ()5,()5f x f x =-=.所以()()12f x f x -的最小值是min max ()()10f x f x -=-.题型二 借助二次函数求值域【例2】求函数22sin 2sin 1y x x =-++的值域.【答案】3[3,]2-【解析】y =−2sin 2x +2sinx +1=−2(sinx −12)2+32，−1≤sinx ≤1，根据二次函数性质知，当1sin 2x =时，max 32y =；当sin 1x =-时，min 3y =-， 故值域为3[3,]2-.【变式2-1】函数2cos sin 1y x x =+-的值域为（ ）A ．11[,]44-B ．1[0,]4C ．1[2,]4-D ．1[1,]4- 【答案】C【解析】函数222cos sin 11sin sin 1sin sin y x x x x x x =+-=-+-=-+，设sin t x =，11t -≤≤，则()2f t t t =-+， 由二次函数的图像及性质可知2124t t -≤-+≤，所以cos 2sin 1y x x =+-的值域为1[2,]4-，故选：C.【变式2-2】函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域为____________【答案】[)5,-+∞【解析】因为2tan 4tan 1y x x =+-令tan t x =，则t R ∈所以()()224125f t t t t =+-=+-，所以()[)5,f t ∈-+∞，故函数的值域为[)5,-+∞【变式2-3】函数()193sin cos 2R 24y x x x =+-∈的最小值是（ ） A ．14B ．12 C ．234- D ．414-【答案】C【解析】22197313sin cos 2sin 3sin sin 24422y x x x x x ⎛⎫=+-=-+-=--+ ⎪⎝⎭，令sin x t =，则11t -≤≤．因为23122t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭在[]1,1-上单增，所以当1t =-时，2min31231224y ⎛⎫=---+=- ⎪⎝⎭．故选：C ．题型三 借助换元法求值域【例】已知函数()，则（）A ．()f x 的最大值为3，最小值为1 B ．()f x 的最大值为3，最小值为-1 C ．()f x 的最大值为32，最小值为34D ．()f x 的最大值为32，最小值为32 【答案】C【解析】因为函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，设sin cos 24x x x t π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，2,2t ⎡∈-⎣， 则22sin cos 1x x t =-，所以2213124y t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，2,2t ⎡∈-⎣，当12t =-时，()min 34f t =；当2t =时，()max 32f t =故选：C【变式3-1】函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________． 【答案】[－1,1]【解析】设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2. ∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1. 当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．【变式3-2】函数()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为（ ） A ．1 B ．12 C ．12 D ．3 【答案】C【解析】()sin cos sin 2sin cos 2sin cos f x x x x x x x x =++=++，令sin cos 24t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以[2,2]t ∈-，则22(sin cos )12sin cos t x x x x =+=+， 所以22sin cos 1x x t =-，所以原函数可化为21y t t =+-，[2,2]t ∈，对称轴为12t =-，所以当2t 时，21y t t =+-取得最大值，所以函数的最大值为222121=，即()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为12C【变式3-3】函数f (x )=sinxcosx +√2sin (x −π4)的值域为________． 【答案】[−12−√2,1]【解析】由于f (x )=sinxcosx +√2sin (x −π4)=sinxcosx +sinx −cosx ，令sinx −cosx =t ，则sinxcosx =1−t 22，于是函数化为y =1−t 22+t =−12(t −1)2+1，而t =sinx −cosx =√2sin (x −π4)∈[−√2,√2] ， 所以当1t =时，函数取最大值1，当t =−√2时，函数取最小值−12−√2，故值域为[−12−√2,1].题型四 分式型三角函数的值域【例4】函数cos 12cos 1x y x +=-的值域是（ ）A ．][(),04,∞∞-⋃+B ．][(),02,∞∞-⋃+ C ．[]0,4 D ．[]0,2 【答案】B【解析】令11cos ,1,,122x t t ⎡⎫⎛⎤=∈-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，13(21)11322212122211t t y t t t -++===+⋅---，可得[)(]213,00,1t -∈-⋃，[)11,1,213t ⎛⎤∈-∞-⋃+∞ ⎥-⎝⎦，3113,,22122t ⎛⎤⎡⎫⋅∈-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢-⎝⎦⎣⎭，故(][),02,y ∈-∞⋃+∞.故选：B.【变式4-1】函数sin 3sin 2x y x +=+的值域为___________. 【答案】4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】解：sin 31sin 2sin 21x y x x +==+++， 因为1sin 1x -≤≤，所以1sin 23x ≤+≤，所以1113sin 2x ≤≤+，所以411+23sin 2x ≤≤+， 所以sin 3sin 2x y x +=+的值域是4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【变式4-2】函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x的值域为_____________．【答案】212111,2⎡⎫⎛-----⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦【解析】令sin cos 24t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，[2,1)(1,2]t ∈---，则212sin cos t x x =+，即21sin cos 2t x x -=，所以2112()12t t f t t --==+，又因为[2,1)(1,2]t ∈---，所以()212111,2f t ⎫⎛---∈--⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦， 即函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x 的值域为212111,2⎡⎫⎛-----⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦．【变式4-3】当04x π<<时，函数221sin ()cos sin sin xf x x x x-=⋅-的最小值是________.【答案】4【解析】22cos ()sin cos sin xf x x x x=-21tan tan x x =-， 当04x π<<时，tan (0,1)x ∈，所以21110tan tan 244<-≤-=x x ，()4f x ∴≥，即221sin ()cos sin sin xf x x x x-=⋅-的最小值为4.含绝对值的三角函数值域A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[－1,1] D ．[－2,0] 【答案】D【解析】当0sin 1x ≤≤ 时，sin sin 0y x x =-= ，所以，当1sin 0x -≤<，2sin y x =，又22sin 0x -≤< ，所以函数的值域为[]2,0-，故选：D.【变式5-1】函数()2sin 3cos f x x x =+的值域是（ ）A ．[]2,5B ．[]3,5C ．13⎡⎤⎣⎦D ．13⎡⎣【答案】C【解析】()sin()2cos()2sin 3cos 2sin 3cos f x x x x x x x +=+++=-+-=+πππ，∴()f x 为周期函数，其中一个周期为T π=，故只需考虑()f x 在[0,]π上的值域即可，当[0,]2x π∈时，()2sin 3cos 13)f x x x x =+=+α，其中cos 13α，sin 13α=, ∴max ()()132f x f =-παmin ()()22f x f ==π，当[,]2x ππ∈时，()2sin 3cos 13)f x x x x =-=+β，其中，cos 13β=sin 13=β， ∴max ()()132f x f =-πβmin ()()22f x f ==π，∴()f x 的值域为13].故选：C【变式5-2】设函数2()|sin |2cos 1f x x x =+-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是______． 【答案】0【解析】∵2()|sin |2cos 1f x x x =+-|sin |cos 2x x =+为偶函数，∴只需求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值，此时2()sin cos22sin sin 1f x x x x x =+=-++，令[]sin 0,1t x =∈，则221y t t =-++，函数的对称轴为[]10,14t =∈，∴当1t =时，min 2110y =-++=.【变式5-3】若不等式sin tan tan sin 0x x x x k -++-≤在3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则k 的取值范围是______. 【答案】[)2,∞+ 【解析】∵ ()sin 1cos sin tan sin sin cos cos x x xx x x x x++=+=，3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ sin 0,1cos 0,cos 0x x x >+><，∴ tan sin 0x x +<，∴sin tan tan sin sin tan tan sin 2tan x x x x x x x x x -++=---=-， ∵ 不等式sin tan tan sin 0x x x x k -++-≤在3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立 ∴ 2tan k x ≥-，3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()max 2tan 2k x ≥-=. 故k 的取值范围是[)2,∞+.。
与三角函数有关的值域求法总结
c sin x d
ccosx d
同角、同次；常采用分离常数的方法化为部分分式，再利用三角函数的有界性结合反比
例函数性质求解或者也可先反解再用三角函数的有界性求解
七.数形结合、三角换元
例7.1.求函数y sin x 0 x 的最小值 2.求函数y sin x 1 的值域
2 cosx
a sin x
acosx
或者y
a sin x
、y
acosx
b sin 2 x c sin x d
bcos2 x ccosx d
六.分离常数
例6.求函数y 2cosx 1的值域 2cosx 1
此为 y a sin x b 或 y acosx b 型的三角函数求最值问题，分子分母的三角函数同名、
x
பைடு நூலகம்
4
cos
x
sin
x
6
1,求f
x在区间-
6
，,4 上的最大值和最小值。
4.已知函数f x 2 cos 2x sin 2 x 4 cos x,求f x的最值。
5.求函数y
3sin x 1的最值。 sin x 2
6.求函数y
2 cosx 0
sin x
x 的最小值
7.1.求函数y x 4 9 x2的值域2.求函数y x 4 15 3x的值域
2 或sin x cosx t 2 1，但一定要注意换元后新元的范围
2
五.换元然后运用对勾函数单调性求值域或最值
例5.已知x 0， ，求函数 y sin x 2 的最小值
sin x
此种类型函数解析式通常是形如y b sin 2 x c sin x d 或者y bcos2 x ccosx d
高三数学三角函数的最值问题分类例析
三角函数的最值问题分类例析三角函数式的最值问题是函数最值的重要组成部分，也是历屉高考的热点之一。
三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与代数中的二次函数、一元二次议程、不等式及某些几何知识的联系也很密切。
因此，三角函数的最值问题的求解，往往要综合应用多方面的知识。
三角函数的最值问题的类型很好，其常见类型有以下几种： 一、y=asinx+b （或y=acosx+b ）型 处理方法：利用()1cos 1sin ≤≤x x 或，即可求解，此时必须注意字母a 的符号对最值的影响。
例1 函数y =a cos x +b （a 、b 为常数），若－7≤y ≤1，求b sin x +a cos x 的最大值. 剖析：函数y =a cos x +b 的最值与a 的符号有关，故需对a 分类讨论.解：当a ＞0时，⇒⎩⎨⎧=+-=+71b a b a a =4，b =－3； 当a =0时，不合题意；当a ＜0时，⇒⎩⎨⎧-=+=+-71b a b a a =－4，b =－3. 当a =4，b =－3时，b sin x +a cos x =－3sin x +4cos x =5sin （x +ϕ）（tan ϕ=－34）； 当a =－4，b =－3时，b sin x +a cos x =－3sin x －4cos x =5sin （x +ϕ）（tan ϕ=34）. ∴b sin x +a cos x 的最大值为5.例2．例3已知函数()b a x x a x a x f++--=2cos sin 322cos 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，值域为[5,1]-，求常数a 、b 的值. 解：∵()b a x a x a x f++--=22sin 32cos ，b a x a ++⎪⎭⎫ ⎝⎛--=232cos 2π .∵20π≤≤x ，∴32323πππ≤-≤-x ，∴1 32cos 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-πx .当0a >时，()3b f x a b ≤≤+.∴⎩⎨⎧-==+.513b b a ，解得⎩⎨⎧-==.52b a ，当0a <时，3()a b f x b +≤≤.∴⎩⎨⎧=-=+.153b b a ，解得⎩⎨⎧=-=.12b a ，故a 、b 的值为⎩⎨⎧-==52b a 或⎩⎨⎧=-=12b a感悟：分类讨论是重要的数学思想方法，本例若不对常数a 进行讨论，将会出错。
三角函数求值域专题(最新整理)
(0, ] ，则当△OAB 的面积达最大值时，
2
__________2___ ．
10．已知函数 f (x) 2 cos x(sin x cos x) 1， x R ．
（Ⅰ）求函数
f
(x)
的最小正周期；（Ⅱ）求函数
f
(x)
在区间
π， 8
3π 4 上的最小值和最大值．
解：（Ⅰ） f (x) 2 cos x(sin x cos x) 1 sin 2x cos 2x
②利用万能公式求解；
③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。
例 1：求函数 y sin x 的值域。 cos x 2
解法 1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点 P(cosx, sinx)与定点 Q(2, 0)所确定的
直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过 Q 点的直线与单位圆相切时得
3
3
sin y cos2 x (sin x 1)2 11 ，当 sin x 1 时， sin y cos2 x 有最小值 11 ；当 sin x 2
2 12
2
12
3
时， sin y cos2 x 有最小值 4 ． 9
例 2：已知 3sin 2 2 sin 2 2 sin ，求 y sin 2 sin 2 的取值范围。
f
(x)
1 cos 2x 2sin( x)
sin
x
a2
sin( x
)
4
的最大值为
2 3 ，试确定常数 a 的值.
2
解：
f
(x)
1 2 cos2 x 1
2 sin(
x)
sin
x
a2
sin( x
换元法求函数值域
换元法求函数值域Last updated on the afternoon of January 3, 2021换元法求函数值域某些函数可以利用代数或三角代换将其化成值域容易确定的另一函数.从而求得原函数的值域，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。
形如y = ax + b 土Jcx + d (a、b、c、d 均为常数，且dHO),可以令t= y/cx + d (t>0),那么有t1 2=cx + d :. x = y = a^-^L +b±t；从而就把原函数化成了关于(的二次函数，求C C出这个函数值域就是原函数的值域，值得一提的是要注意参数t的取值范围。
换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥着重要的作用。
例1、求函数y = 3x+心7的值域，分析：函数y = 3x +J1 -3兀形如y = ax + b土Jcx + d (a、b、c、d均为常数，且aHO),因此，可以考虑用换元法。
解：令r = ^37(r>0),那么r = \-3xI-/2X = ---31 一尸 1 5•••原函数可化为y = 3.「- + u—尸+/ +—铲+专•••其函数图像如图1所示・••当/ =丄时，即X =—时2 4y取得最大值几亦=4，无最小值。
函数y = 3A- + 71-3A-的值域为(-co,4例2、求函数y = 4A-l + >/2A -3的值域。
解：［换元法］令r = V2T3(r>0),贝IJ*¥1 Q 1 QQ•••原函数可化为y = 4•牛一1 +『=2尸+/ + 5 = 2(/ + ?)2+J2 4 82v/>0.•.当/ = o 时，即x = |时，y 取得最小值y min =5,无最大值。
函数y=4x-\ + >j2x-3 的值域为［5, +8〕。
例3、求函数y = 的值域。
⑷ 分析：函数y = x+4^ 的定义域为H, 1］,我们注意到-l<sin/<l 〔-彳“詔〕，因此,对于定义域为［-1, 1］的函数，我们可以考虑用x = sin/〔-^<r<y 〕进行三 角换元。
三角函数值域的求法
例谈三角函数值域（最值）的几种求法南县一中 肖胜军有关三角函数的值域（最值）的问题是各级各类考试考察的热点之一，这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重要的数学思想，采取的数学方法包括易元变换、问题转换、等价化归等重常用方法。
掌握这类问题的解法，不仅能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力。
一、 合理转化，利用有界性求值域例1、求下列函数的值域：（1）1sin cos y x x =+ （2）cos 3cos 3x y x -=+（3）22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++ （4）3sin()4cos()44y x x ππ=+++解析：（1）根据11sin cos sin 222x x x ≤≤可知：1322y ≤≤ （2）将原函数的解析式化为：3(1)cos 1y x y +=-，由cos 1x ≤可得：122y -≤≤-(3) 原函数解析式可化为：21sin 22cos 2sin 2cos 22)4y x x x x x π=++=++=+可得：22y -≤≤+（4）根据sin cos )a x b x x φ⎡+=+∈⎣可得：55y -≤≤二、单调性开路，定义回归例2、求下列函数的值域：（1）y =（2）y =（3）2cos ,63y x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭（4）y =1sin 022x ≤≤≤≤解析：（1）由-1知：1sin 1,cos1cos sin 122x x ππ≤-≤≤≤≤≤≤≤（2）由-有（）125sin()663366x x x ππππππ+≤≤≤+≤≤≤（3）y=2由知：由正弦函数的单调性：1y 2[](4)0,2y ==三、 抓住结构特征，巧用均值不等式2222min 9sin 430,()sin 0sin 0,4()9sin 12sin 449sin sin ()12sin 9x x x f x x xx x x f x x x x x x x x x f x x x ππ+<<=<<>=+≥====例、若求的最小值解析：由得：根据均值不等式：当即时， 例4、sin cos(),sin βαβαββα=+已知其中、为锐角，求tan 的最大值 [][]22sin sin ()sin()cos cos()sin sin cos()sin()cos 2sin cos(),tan()2tan tan()tan tan 1tan tan ()11tan tan()12tan 42tan tan 112tan tan tan 2βαβααβααβαααβαβαααβαβααβααβαβαααβαααααα=+-=+-+=++=++=+-=+-===≤++++==解析：由即有于是：当即时，有maxtan 4β=（）四、易元变换，整体思想求解5sin cos sin cos y x x x x =++例、求函数的值域22211)sin 2)12sin ()424241sin ())442sin()142y x x x x x x x ππππππ⎡⎤=++=+--+⎢⎥⎣⎦=+++-⎡=++-⎢⎣⎦解法一：max 1sin()142x y π+==当时，222max 1sin cos ),sin cos 4211(1)1221,2t x x t t x x x t y t t t y π-⎡+==+∈=⎣-⎡∴=+=+-∈⎣==解法二：设，则，t 故当有222222222max sin ,cos ,sin cos 2,sin cos 1sin cos 1,2221sin cos sin cos 222,,222122x m n x m n x x m x x m n x m n m y x x x x m m n m m m m y =+=-+==-⎡+=+=∈-⎢⎣⎦⎡∴=++=+-=+-∈-⎢⎣⎦==解法三、构造对偶式转化为某一变量的二次函数在闭区间内求最大值设则由，得故当五、方程架桥，问题转化()()[]221sin 3sin 62sin sin (4)sin 320sin ,132011x x y xx y x y t x t t y ++=++-+-==≤∴++-=-例：求函数的最大值、最小值。
求函数值域的几种常见方法详解
求函数值域的几种常见方法1.直接法:利用常见函数的值域来求。
一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R,值域为R; 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R,当a>0时,值域为{a y y 4|2≥};当a<0时,值域为{ay y 4|2}、 例1.求下列函数的值域① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=x xy 解:①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3,∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域就是[-1,5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f即函数x x f -+=42)(的值域就是 { y| y ≥2}③1111111+-=+-+=+=x x x x x y ∵011≠+x ∴1≠y 即函数的值域就是 { y| y ∈R 且y ≠1}(此法亦称分离常数法)(思考:如何使用口算法？) 2.二次函数在给定区间上的值域(最值)。
例2. 求下列函数的最大值、最小值与值域:①142+-=x x y ; ②]4,3[,142∈+-=x x x y ; ③]1,0[,142∈+-=x x x y ; ④]5,0[,142∈+-=x x x y ; 解:①∵抛物线的开口向上,对称轴2x =,函数的定义域R, ∴x=2时,y min =-3 ,∴函数的值域就是{y|y ≥-3 }、②∵抛物线的开口向上,对称轴2x =∉ [3,4],此时142+-=x x y 在[3,4]Z∴当x=3时,min y =-2 当x=4时,m ax y =1 ∴值域为[-2,1]、③∵抛物线的开口向上,对称轴2x =∉ [0,1], 此时142+-=x x y 在[0,1] ]∴当x=0时,m ax y =1 当x =1时,min y =-2 ∴值域为[-2,1]、④∵抛物线的开口向上,对称轴2x =∈ [0,5],∴当x=2时,m in y =-3 当 x=5时,m ax y =6(思考:为什么这里直接就说当 x=5时,m ax y =6,而不去考虑x=0对应的函数值情况？答:因为观察图像可知x=5离对称轴较远,其函数值比x=0对应的函数值大)∴值域为[-3,6]、注:对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时, ①当a>0时,则当a bx 2-=时,其最小值ab ac y 442min -=; ②当a<0时,则当a b x 2-=时,其最大值ab ac y 442max -=、 ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其对称轴abx 2-=就是否属于区间[a,b]、 ①若2b a -∈[a,b],则()2bf a -就是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时,再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大(小)值、②若2ba-∉[a,b],则[a,b]就是在)(x f 的单调区间内,只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大(小)值、注:①若给定区间不就是闭区间,则可能得不到最大(小)值;②当顶点横坐标就是字母时,则应根据其对应区间特别就是区间两端点的位置关系进行讨论、 3.有解判别法:有解判别法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式,并且分子、分母,没有公因式,解题中要注意二次项系数就是否为0的讨论例3.求函数y=1122+++-x x x x 值域解:原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=, 若y=1,即2x=0,则x=0; 若y ≠1,由题∆≥0, 即0)14(-)1(22≥+y-y , 解得331≤≤y 且 y ≠1、 综上:值域{y|331≤≤y }、 例4.求函数66522-++-=x x x x y 的值域(注意此题分子、分母有公因式,怎么求解呢？)解:把已知函数化为(2)(3)361(2)(3)33x x x y x x x x ---===--+++ (x ≠2且 x ≠-3) 由此可得 y ≠1∵ x=2时 51-=y ∴ 51-≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-}说明:此法就是利用方程思想来处理函数问题,一般称有解判别法、一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式并且分子、分母,没有公因式、解题中要注意二次项系数就是否为0的讨论、 4.换元法例5.求函数x x y -+=142的值域解:设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2t代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-⋅==2242t t =-++开口向下,对称轴1t =[0,)∈+∞ ∴1t =时,max (1)4y f == ∴值域为(,4]-∞ 5.分段函数例6.求函数y=|x+1|+|x-2|的值域、解:将函数化为分段函数形式:21(2)3(12)21(1)x x y x x x ⎧-≥⎪=-≤<⎨⎪-+<-⎩,画出它的图象(下图),由图象可知,函数的值域就是{y|y ≥3}、说明:以上就是求函数值域常用的一些方法(观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等),随着知识的不断学习与经验的不断积累,还有如不等式法、三角代换法等、有的题可以用多种方法求解,有的题用某种方法求解比较简捷,同学们要通过不断实践,熟悉与掌握各种解法,并在解题中尽量采用简捷解法、 ★练习:1、34252+-=x x y答案:值域就是{05}y y <≤、 2、求函数的值域①x x y -+=2;②y x =+答案:值域就是(-∞,49]、 答案:值域就是{2}y y ≥- 小结:求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法);二次函数值域(最值)或二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法、。
三角换元法求值域
三角换元法求值域一、引言三角换元法是高中数学中的一个重要概念，其在解决函数的值域问题时有着重要的应用。
本文将详细介绍三角换元法的概念、原理和具体步骤，并通过实例演示如何利用三角换元法求出函数的值域。
二、三角换元法概述1. 三角函数与反三角函数在介绍三角换元法之前，需要先了解一些基本的三角函数和反三角函数。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别表示为sin(x)、cos(x)和tan(x)。
而对于反三角函数，常见的有arcsin(x)、arccos(x)和arctan(x)，它们分别表示为sin^-1(x)、cos^-1(x)和tan^-1(x)。
2. 什么是三角换元法在高中数学中，我们经常需要求出一个函数的值域。
而对于某些比较复杂或者不好求解的函数，我们可以通过使用一些特殊的方法来简化计算。
其中，就包括了三角换元法。
三角换元法是一种利用基本三角公式将含有根式或分式等形式比较复杂的代数式转化成含有简单三角函数（如sinx、cosx、tanx等）的形式，从而便于求解的方法。
通过三角换元法，我们可以将函数转化为一个简单的三角函数，然后根据该三角函数的性质来确定其值域。
三、三角换元法原理1. 基本三角公式在使用三角换元法时，需要掌握一些基本的三角公式。
常见的基本三角公式有：（1）sin^2(x) + cos^2(x) = 1（2）1 + tan^2(x) = sec^2(x)（3）1 + cot^2(x) = csc^2(x)这些基本公式是进行三角换元法时不可或缺的工具。
2. 代数式转化为三角函数在使用三角换元法时，我们需要将一个含有根式或分式等形式比较复杂的代数式转化为含有简单三角函数（如sinx、cosx、tanx等）的形式。
具体来说，我们可以利用基本三角公式将代数式中的某些部分转化为sinx、cosx或者tanx等形式。
例如：（1）√(a² - x²)，可以转化为a sinθ或者a cosθ；（2）√(a² + x²)，可以转化为a tanθ或者a cotθ；（3）(a² - x²)/(a² + x²)，可以转化为sin²θ或者cos²θ等。