运用三角代换法求函数值域一例

几种常用的求值域方法之欧阳与创编

欧阳与创编

求

函数值域的方法

求函数值域的方法有图象法，函数单

调性法，配方法，平方法，换元法，反函

数法（逆求法），判别式法，复合函数

法，三角代换法，基本不等式法等。这些

解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 1、求13+--=x x y 的值域解法一：（图象法）可化为

⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<=3,43

1,221,4x x x x y 如图，观察得值域{}44≤≤-y y

解法二：

画数轴利用

在数轴上的距离

表示实数b a b a ,-可得。

欧阳与创编解法三：（利用绝对值不等式）

414114)1(134

)1()3(13-=+--+≥+--+=+--=+--≤+--x x x x x x x x x x 所以同样可得值域

2、求函数

[]5,0,522∈+-=x x x y 的值域解：对称轴 []5,01∈=x

3、求函数x x y -+=12 的值域

解：（换元法）设

t x =-1，则

)0(122≥++-=t t t y 4、求函数

[])1,0(239∈+-=x y x x 的值域解：（换元法）设t x =3

，则 31≤≤t 原函

数可化为 5、求函数x x y -+-=53 的值域

解：（平方法）函数定义域为：[]5,3∈x

6、求函数 )0(2≤=x y x 的值域解：（图象法）如图，值域为(]1,0

7、求函数x x y 2231+-⎪⎭⎫ ⎝⎛= 的值域

欧阳与创编解：（复合函数法）令

1)1(222+--=+-=x x x t ，则)1(31≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=t y t

由指数函数的单调性知，原函数的值域为

例谈用三角代换解题

（稿日期：０２１７牧２００ｏ）
维普资讯 http://www.cqvip.com
２４
评注此题属，（）＝
中学数学
ｂ一
２００２年第４期
５解方程
例５解方程
￣ｃ＋ｄ的类型，ｄ＞０时，利用函数的／ｚ当ｃ可
评注解无理不等武的常规方法是通过
故所求函数的值域为
，塑］
５意识关
解答高考应用题时学生应有较强的主体意识、与意识、应用意识不应把解答高考参
应用题当作纯粹解数学问题而应把自己置
／＋１：２ｏ，０∈ ［，］７ｃｓ０．
故设－一√ 。，可／而ｃｓ
了一了 “ ， ∈［，］一√ ∈Ｌ’Ｊ譬昙，０
一
・．．
则原不等式化为２ｉ一２ｏ＞ ÷ ，ｓｎｃｓ０
．
２ｉ＞Ｚｏｓｎｏｓ
中获得应用趣的高分
擞情的力量
于问题情境，为问题解决的参与者、决策成者如１９９５年的市场价格问慝，是一个摆在这学生面前的实际问题，求学生从头策者的要角度束处理、衡养鱼者和吃鱼者的利益，平要

求函数值域的方法汇编

简析求函数值域的方法

求函数的值域没有通性解法，只能依据函数解析式的结构特征来确定相应的解法。

一、配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如])()([2c x bf x f a y --=的函数的值域问题，均可使用配方法。

例．求函数562---=x x y 的值域

[解析]：配方法

由562---=x x y 44)3(2≤---=x

]4,(-∞∈∴y

练习：(1)求函数]22[2，，-∈+-=x x x y 的值域。

(2)求函数]23

1[27，，∈-=x x x y 的值域。二、换元法：利用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如)0,,,(≠-±-=a d c b a d cx b ax y 均为常数且

。例1：求函数x x y 41332-+-=的值域。

解析：令t x =-413，0≥t ，则4

132

t x -=， 44)1(2

1272122≤+--=++-=∴t t t y ，当且仅当时取等号，1=t 故所求函数的值域为 ]4(，

-∞∈y 。例2：求函数21x x y -+=的值域

解：（三角代换法） 11≤≤-x ∴设[]πθθ,0cos ∈=x [][]

2,12,1)4sin(2sin cos sin cos -∴-∈+=+=+=原函数的值域为πθθθθθy

小结：（1）若题目中含有1≤a ，则可设

)0,cos (22,sin πθθπ

θπ

θ≤≤=≤≤-=a a 或设（2）若题目中含有122=+b a

则可设θθsin ,cos ==b a ，其中πθ20<≤

（完整版）几个常见的三角替换及其在解题中的应用

几个常见的三角替换及其在解题中的应用

广东顺德李兆基中学唐秋生（5283000）

《高中数学必修四》三角函数的平方关系为1cos sin 22=+x x ，这个等式结果简单，学生也容易掌握，但教师在教学中要善于研究和发现它的灵活运用则不那么简单，在高三复习中，强调知识的综合性，我们完全可以把这个问题进行拓展和引申。这里不凡称之为三角替换换，下面仅介绍几个常见的替换，并谈谈它在几个典型问题中的应用，以供教学中参考。

[替换模型一] 222R y x =+，则可作替换

[替换模型二]0,0,0,>>>=+c b a c b a ，则可作替换

==θ

θ

2

sin cos c b c a )2,0(πθ∈

[替换模型三] 21x y -=，可作替换

θcos =x ，],0[πθ∈ θsin =x 或，]2

,2[π

πθ-∈

一、利用三角代换研究有理函数的最值

[例1].已知y x 、满足122=+y x ，求)1)(1(xy xy w +-=的最值

解：由条件可作替换：

则：2)(1)1)(1(xy xy xy w -=+-=2)cos sin 2(4

1

1θθ-= 2)2(sin 4

1

1θ-

= 显然1)2(sin 02≤≤θ ?]1,4

3[∈w

θcos =x θsin =y )2,0[πθ∈

θcos R x = θsin R y = )2,0[πθ∈

[例2].已知4422=+y x ，求y x y xy x M 24222++++=的最值解：由条件可作替换：

(完整版)几个常见的三角替换及其在解题中的应用

几个常见的三角替换及其在解题中的应用

广东顺德李兆基中学唐秋生（5283000）

《高中数学必修四》三角函数的平方关系为1cos sin 22=+x x ，这个等式结果简单，学生也容易掌握，但教师在教学中要善于研究和发现它的灵活运用则不那么简单，在高三复习中，强调知识的综合性，我们完全可以把这个问题进行拓展和引申。这里不凡称之为三角替换换，下面仅介绍几个常见的替换，并谈谈它在几个典型问题中的应用，以供教学中参考。

[替换模型一] 222R y x =+，则可作替换

[替换模型二]0,0,0,>>>=+c b a c b a ，则可作替换

⎪⎩⎪⎨⎧==θ

θ

2

sin cos c b c a )2,0(πθ∈

[替换模型三] 21x y -=，可作替换

θcos =x ，],0[πθ∈ θsin =x 或，]2

,2[π

πθ-∈

一、利用三角代换研究有理函数的最值

[例1].已知y x 、满足122=+y x ，求)1)(1(xy xy w +-=的最值

解：由条件可作替换：

则：2)(1)1)(1(xy xy xy w -=+-=2)cos sin 2(4

1

1θθ-= 2)2(sin 4

1

1θ-

= 显然1)2(sin 02≤≤θ ⇒]1,4

3[∈w

θcos =x θsin =y )2,0[πθ∈

θcos R x = θsin R y = )2,0[πθ∈

[例2].已知4422=+y x ，求y x y xy x M 24222++++=的最值

解：由条件可作替换：

则：y x y xy x M 24222++++=

换元法求函数值域

某些函数可以利用代数或三角代换将其化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。形如

y ax b . cx d （a 、b 、c 、 d 均为常数，且0）,可以令t 二Jex d （t 0）,则有t 2 cx d

值域就是原函数的值域，值得一提的是要注意参数 t 的取值范围。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥着重要的作用。

例1、求函数y 3x ,1 3x 的值域。

1 t 2

…x

3

••• t 0 .•.当

t 0

时，即x -时，y 取得最小值y min =5，无最大值。

2

•函数y 4x 1 ,2x 3的值域为［5，+^）0

t 2 d a c

b t ;从而就把原函数化成了关于 t 的二次函数，求出这个函数

分析：函数y 3x - 1 3x 形如y 此，可以考虑用换元法。 ax b . cx d (a 、

b 、

c 、

d 均为常数，且a ^0），因

解：令 t J 3x(t

0)，则 t 2 1

3x

•原函数可化为y .••其函数图像如图 •当 t 1

时，

2

y 取得最大值

y

max

3 上 t = t 2

3

1所示丄时

4

5，无最小值。 4

1= (t

•••函数y 3x 、、1 3x 的值域为（-x ， 5] 例2、求函数y 4x 1

. 2x 3的值域。

2- ,，/ 戶d-i 心亞砧M

\ 1 /

! a-

*7 \

解：［换元法］令t t 2

3 .2x 3 (t 0)，则 x -

3

2

•原函数可化为y 4— 1 t 店 t 5 2(t

巧用三角代换求值域

三角代换是一种数学方法，用于将一个复杂的数学表达式转化为更简单的形式。它通常用于求解三角函数，因为三角函数的运算比较简单，而且可以通过三角代换将复杂的数学表达式转化为纯三角函数的形式。

域是指一个数学函数定义的范围，也就是函数的输入值的集合。例如，对于函数y=x^2，它的域就是实数集合，因为这个函数的输入值可以是任意实数。如果要求出三角代换的域，则需要考虑三角函数的域。

对于三角函数sin(x)，它的域是实数集合，因为它的输入值可以是任意实数。但是，对于另一个三角函数cot(x)，它的域就不是实数集合了，因为当x=0 时，cot(x) 无意义。所以，cot(x) 的域就是实数集合除去{0}，也就是{x | x∈R, x≠0}。

通常情况下，三角函数的域是实数集合，但是有一些特殊情况，域就不是实数集合了。例如，对于函数y=arctan(x)，它的域是{x | x∈R}，因为arctan(x) 的输入值可以是任意实数。但是，对于函数y=arcsin(x)，它的域就不是实数集合了，因为arcsin(x) 的输入值必须在区间[-1,1] 内。也就是说，arcsin(x) 的域是{x | x∈R, -1≤x≤1}。

另外，还有一些三角函数是有周期性的，这意味着它们的值在一个周期内重复出现。例如，对于函数y=sin(x)，它的周期是2π，也就是说，当x 从0 开始增加2π 后，sin(x) 的值会重复出现。所以，在求解三角代换的域时，还需要考虑周期性。

总的来说，要求出三角代换的域，需要考虑三角函数的域、周期性以及其他特殊情况。可以根据题目具体情况来分析，以确定三角代换的域。

高中数学-函数值域的求法及应用

高考要求

函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一本文主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题

1.重难点归纳

(1)求函数的值域

此类问题主要利用求函数值域的常用方法配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域

(2)函数的综合性题目

此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目

此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强

(3)运用函数的值域解决实际问题

此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力

2.值域的概念和常见函数的值域

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.

常见基本函数的值域：

一次函数的值域为R.

二次函数，当时的值域为

，当时的值域为.，

反比例函数

的值域为.

指数函数的值域为.

对数函数

的值域为R.

正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R.

3.求函数值域（最值）的常用方法

3.1.基本函数法

对于基本函数的值域可通过它的图像性质直接求解.

3.2配方法

对于形如或

类的函数的值域问题，均可用配方法求解.

例1：求函数的值域：

3.3换元法

利用代数或三角换元，将所给函数转换成易求值域的函数：

（1）形如的

函数，令；

（2）形如

的函数，令；

（3）形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或

2022年高考数学判断函数值域的方法_函数值域的判断

2022年高考数学判断函数值域的方法_函数值域的判断高中数学知识点：常见函数值域

y=kx+b(k≠0)的值域为R

y=k/x的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)

y=√x的值域为x≥0

y=ax?+bx+c当a>0时，值域为[4ac-b?/4a,+∞);

当a<0时，值域为(-∞，4ac-b?/4a]

高中数学知识点：判断函数值域的方法

1、配方法:利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。

2、换元法：常用代数或三角代换法，把所给函数代换成值域容易确

定的另一函数，从而得到原函数值域，如y=ax+b+_√cx-d(a,b,c,d均为

常数且ac不等于0)的函数常用此法求解。

3、判别式法：若函数为分式结构，且分母中含有未知数x?，则常用

此法。通常去掉分母转化为一元二次方程，再由判别式△≥0，确定y的

范围，即原函数的值域

4、不等式法：利用a+b≥2√ab(其中a,b∈R+)求函数值域时，要时

刻注意不等式成立的条件，即“一正，二定，三相等”。

5、反函数法：若原函数的值域不易直接求解，则可以考虑其反函数

的定义域，根据互为反函数的两个函数定义域与值域互换的特点，确定原

函数的值域，如y=cx+d/ax+b(a≠0)型函数的值域，可采用反函数法，也

可用分离常数法。

6、单调性法：首先确定函数的定义域，然后在根据其单调性求函数值域，常用到函数y=x+p/x(p>0)的单调性：增区间为(-∞,-√p)的左开右闭区间和(√p,+∞)的左闭右开区间，减区间为(-√p,0)和(0,√p)

7、数形结合法：分析函数解析式表达的集合意义，根据其图像特点确定值域。

求函数的值域、最值的13种方法

＝
x2＋2＋
1
≥2，∴值域为[2，＋∞)．
x2＋2
x2＋2
[解法二](判别式法)：设 x2＋2＝t(t≥ 2)，则 y＝t＋1，即t2－ty＋1＝0，∵t∈R，∴Δ＝y2－4≥0， t
∴y≥2 或 y≤－2(舍去)．
[解法三](配方法)：令
x2＋2＝t(t≥
1 2)，则 y＝t＋＝(
t－ 1 )2＋2≥2.
求函数的值域、最值的 13 种方法
求函数的值域与最值没有通性通法，只能根据函数解析式的结构特征来选择对应的方法求解，因此，对函数解析式结构特征的分析是十分重要的．常见函数解析式的结构模型与对应求解方法可归纳为：
①直接法：利用基本初等函数的值域
ax＋b
2x－1 sinx－1
②分离常数法：形如y＝ (c≠0)或y＝或y＝的函数，可用反解法或分离常数法．
⑫平方法：对含根式的函数或含绝对值的函数，有的利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题
转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题．如对于形如 y＝ a－cx＋ cx＋b的无理函数
的最值问题，可以利用平方法将问题化为函数 y2＝(a＋b)＋2 （a－cx）（cx＋b）的最值问
题，这样只需利用二次函数的最值即可求得．
cx＋d
2x＋1 sinx＋2
③反解法：适用于分子、分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于易反解出

几种常用的求值域方法

WOIRD 格式

求函数值域的方法

求函数值域的方法有图象法，函数单调性法，配方法，平方法，换元法，

反函数法（逆求法），判别式法，复合函数法，三角代换法，基本不等式法等。这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

y

1、求yx3x1的值域

4

4,x1

解法一：（图象法）可化为y22x,1x3如图，

-10134,x3

x

观察得值域y4y4

-4

解法二：画数轴利用ab 表示实数a,b 在数轴上的距离可得。

x

-103

解法三：（利用绝对值不等式）

x x 3 3 x x 1 1 (x (x 3) 1) (x 4 1) x 4 1x14x14 所以

同

样

可

得

值

域

2xx

2、求函数yx25,0,5的值域

解：对称轴x10,5

x 1 时 , y min 4 x 5 时 , y max

20 值域为4,20

3、求函数yx21x 的值域

WOIRD格式2tt

解：（换元法）设1xt，则21(0)

yt

对称轴t10,

，且开口向下

当t1

时，y

max

4

值域为,4

高三选修课-----函数的值域

高三选修课----- 函数的值域

一、

求函数最值的方法： 1．利用函数的最值性：

例1：（1）求函数y=3sinx+4cosx 的最值。

（2）求函数y=x x 32

1

2+在[-6，1]上的最小值。

2．利用函数的单调性：

例2：求函数y=12--x 在[-2，1]上的最值。

例3：求函数y=x x 32

1

2+在（1）[-6，5]（2）[-2，1]上的最值

例4：求函数y=x

x 1

+

在[1，3]上的最值。

3．使用重要不等式定理及其推论例5：已知0>x ，求函数21

3x

x y +

=的最小值

例6：圆的直径为d ，求它的内接矩形面积的最大值。

例7：已知矩形的周长为定值2p ，求矩形的面积的最大值。

例8：已知,4

1

lg lg ,1,1=

>>y x y x 求xy 的最小值。

例9：已知，0,0>>b a a+b=3,求b a 2的最大值。

4．利用配方法：

例10：求函数1cos 4cos 2---=x x y 的最值。

5．利用判别式法：例11：求函数1

1

2+--=

x x x y 的最值。

6．利用图像法：

例12：求函数]2,0[,112∈---=x x x y 上的最值。

7．利用变量代换法： 1) 三角代换：

例13求函数21x x y -+=的最值。

2) 代数代换：

例14。求函数)40(342≤≤--+=x x x y 的最值。

3) 几何代换：

例15，若实数x ，y 满足,04222=+-+y x y x 求x-2y 的最值。

8．利用“复合函数”求最值。

例16：求函数]3,2[,542-∈--=x x x y 的最值。

简析求函数值域的方法(修订)

例说求函数值域的基本方法

值域是全体函数值所构成的集合，值域也是构成函数的三要素之一。由于求函数值域所涉及到的知识面较宽，所用到的数学思想与数学方法也相应较多，因此、求函数的值域往往是数学考察的基本内容之一，本文将举例说明求函数值域常用的一些基本方法，仅供参考。

一、直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。

例：求函数1y 的值域。

0≥

11≥

，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

二、常数分离法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。例：求函数125

x y x -=

+的值域。解：∵177(25)112

222525225x x y x x x -++-===-++++，∵72025

x ≠+，∴12y ≠-， ∴函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-。

三、配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如])()([2c x bf x f a y --=的函数的值域问题，均可使用配方法。

例．求函数562---=x x y 的值域

解：由562---=x x y 44)3(2≤---=x ]4,(-∞∈∴y

四、换元法：利用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如)0,,,(≠-±-=a d c b a d cx b ax y 均为常数且

。例1．求函数x x y -+=12 的值域

解：（换元法）设t x =-1，则)0(122

≥++-=t t t y [)(]

4,41,01max ∞-∴==∴+∞∈=值域为，时当且开口向下

三角函数常见代换技巧

在三角函数问题中，通过引人变量进行代换，把问题转化成对新变量的讨论。这种代换可以架起已知通向未知的桥梁，转化原问题的结构，简化解题过程。代换如果用的巧妙，还可以收到事半功倍的效果。

一、代数代换

通过代换把三角问题转化为代数问题进行讨论，这样可以避开解三角函数式题的麻烦，达到化繁为简、化难为易的目的。

例1、求cos36°-cos72°的值。

解：设A=cos36°，B=cos72°，由136cos 272cos 2-︒=︒得122-=A B ，

又︒-=︒-=︒72cos 2118sin 2136cos 22，则221B A -=。

因为))((2)(222B A B A B A B A -+=-=+，

所以A+B ≠0所以21=-B A ，即2

172cos 36cos =︒-︒。点评：巧设未知数利用代数代换构建方程是求解此类问题的最为基本的方法。

二、整体代换

用整体代换解一些三角习题，即把已知式或待求式视为一个整体进行变形代换。例2、已知2

2sin sin =+y x ，求cosx+cosy 的变化范围。解：设u=cosx+cosy ，将已知式与待求式两边平方得：

y y x x 22sin sin sin 2sin 2

1++=，（1） y y x x u 222cos cos cos 2cos ++=。

（2）（1）+（2）得：)cos(22212y x u -+=+，即2

3)c o s (22-=-u y x ，因为2)c o s (22≤-≤-y x ，所以22322≤-≤-u ，解得2

用三角代换解代数问题

x- y ≤3 2 个实数 x 、 y 满足 0 ≤ . 1 + xy 3 ( 第 16 届加拿大数学奥林匹克)
分析 : 欲证式子
x- y 的结构与两角差 1 + xy
因为 θ∈ - π < 2θ<π.
π π , ,则 2 2
所以 , - 1 ≤ sin 2θ≤ 1.
的正切公式结构完全一致 ,故可用三角代换 . β 证明 : 设 x = tan α, y = tan β, 其中 ,α、 π π (α ≥ β ).则 ∈ , 2 2
a1 =
点评 : 例 2 、 3、 4 均属已知条件符合三角 2 2 函数的基本关系式 cos θ+ sin θ= 1 一类 . 另外 ,还有基本关系式 : sec θ - tan θ = 1 ,csc θ 2 - cot θ= 1 等 .
2 式子结构与三角变换公式的形式相同
2 2 2
1 + an - 1 ( n ∈N+ ) ,则 2
5- 1 5- 1 c b - 1+ 5 = b- c 2 2 c 2 = ( a - b - c) a-
这一矛盾说明 ,对任意三角形 ,一定存在两条边 u 、 v ,满足 1 ≤ <
u v
1+ 5 b < 0. 2
1+ 5 . 2
故1≤
b 1+ 5 < . c 2

求函数值域的几种常见方法详解

求函数值域的几种常见方法

1.直接法:利用常见函数的值域来求。

一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R,值域为R; 反比例函数)0(≠=

k x

k

y 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R,

当a>0时,值域为{a y y 4|2≥};当a<0时,值域为{a

y y 4|2

}、例1.求下列函数的值域

① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1

+=x x

y 解:①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3,

∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域就是[-1,5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f

即函数x x f -+=42)(的值域就是 { y| y ≥2}

③1

1

11111+-

=+-+=+=x x x x x y ∵

01

1

≠+x ∴1≠y 即函数的值域就是 { y| y ∈R 且y ≠1}(此法亦称分离常数法)(思考:如何使用口算法？) 2.二次函数在给定区间上的值域(最值)。

例2. 求下列函数的最大值、最小值与值域:

①142+-=x x y ; ②]4,3[,142∈+-=x x x y ; ③]1,0[,142∈+-=x x x y ; ④]5,0[,142∈+-=x x x y ; 解:①∵抛物线的开口向上,对称轴2x =,函数的定义域R, ∴x=2时,y min =-3 ,

∴函数的值域就是{y|y ≥-3 }、

②∵抛物线的开口向上,对称轴2x =∉ [3,4],