2.2命题与证明

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2.2 命题与证明

第2章
三角形
【预习诊断】 (对的打“√”,错的打“×”) 1.原命题是真命题,那么它的逆命题也是真命题.( × ) 2.如果两个命题是互逆定理,那么这两个命题都是真命题.( √ )
第2章
三角形
探究点断命题的真假.
(1)负数都小于零;
(2)过直线l外一点作l的平行线; (3)如果a>b,a>c,那么b=c. 【导学探究】判断命题的关键是看它是否做出了判断 . 解:(1)是命题,是真命题. (2)不是命题,没有对一件事情做出判断.
证明:如图, ∵∠BAF=∠2+∠3, ∠CBD= ∠1+∠3 ∠ACE=∠1+∠2, ∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式的性质). ∵∠1+∠2+∠3=180°(
三角形内角和定理
,
),
∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.
第2章
三角形
【测控导航表】知识点命题互逆命题几何命题的证明题号 1 、2 、6 、8 3 、7 、9 4、5、10
(C)无理数包括正无理数、0、负无理数
(D)两点之间,线段最短解析:A、B、D都是真命题,都正确,C.0不是无理数,所以该命题错误,故选C.
第2章
三角形
变式训练1-2:已知下列命题: ①若a>0,b>0,则a·b>0; ②若x≥1,则|x-1|=x-1;
③内错角相等;
④直角都相等. 其中原命题是真命题并且逆命题是假命题的是( A )
【导学探究】 1.要证明BD∥CE,需先证得∠3= 2.由∠1=∠2,可证得AD∥ BE 证明:∵∠1=∠2(已知), ∴AD∥BE(内错角相等,两直线平行), ∴∠D=∠DBE(两直线平行,内错角相等). ∠DBE . ,进一步证明∠D= ∠DBE .

湘教版八年级数学上册命题的证明同步练习题

P QC E2.2 命题与证明第3课时命题的证明1．如图所示，已知：CD ⊥AB 于D ，且AC 2=AD ·AB. 求证：△ABC 为直角三角形．分析：可通过勾股定理和勾股定理的逆定理解决．2．已知：如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°,DE 垂直平分AB 于D,交AC 于E,求证：DE=CE.3．已知：如图所示，△ABC 中，D 为BC 上一点，AB=AC ， ED=DF ，求证：BE=CF.1．如图, 已知: B 是线段AD 上的一点, △ABC 、△BDE 均为等边三角形. AE 交BC 于P,CD 交BE 于Q . 求证:1)△ABE ≌△CBD . 2)△BDQ ≌△BEP.3)PQ ∥AD .DB AEFCACBDEC2、如图，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线．求证：BC=AC+AD ．DCB A3．已知：如图，在四边形ABCD 中,BD 平分∠ABC , ∠A +∠C =180°,BC >BA . 求证：点D 在线段AC 的垂直平分线上．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m ＋1)x＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m 2)x 和关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋mx ＋1＝0中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是．12．(甘孜州中考)若函数y ＝－kx ＋2k ＋2与y ＝kx (k ≠0)的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是． .◆类型三一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2C ．m ≥3D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x21＋x22＝52，∴(x1＋x2)2－2x1·x2＝25，∴(1－2k)2－2(k2＋3)＝25，∴k2－2k－15＝0，∴k1＝5，k2＝－3，∵k<－11 4，∴k＝－3, ∴把k＝－3代入原方程得到x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m＜0，∴m＜－1，∴m＋1＜1－1，即m＋1＜0，m－1＜－1－1，即m－1＜－2，∴一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k≠013．B 14.k≥1。

2.2+命题与证明+第1课时+定义与命题+课件++++2024—2025学年湘教版数学八年级上册

（1）如果，那么 ;
逆命题：如果，那么 .
（2）同角的补角相等.
逆命题：如果两个角相等，那么它们是同一个角的补角.
方法指导写已知命题的逆命题，关键是区分命题的条件和结论.若原命题的条件和结论不明确，可先将其改写成“如果……，那么……”的形式，再交换条件和结论，写出逆命题.
当堂检测
如果一个数不能被2整除，那么这个数是奇数
6.命题“如果，，那么 ”的逆命题是________________________________．
如果，那么，
能力提升
7.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的逆命题．
（八年级上册）
2023
第2章三角形
2.2 命题与证明（3课时）
第1课时定义与命题
起航加油
知识梳理
1.定义：对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.
2.命题：
（1）一般地，对某一件事情作出______的语句（陈述句）叫作命题.
判断
（2）命题通常可以写成“如果那么 ”的形式，其中“如果”引出的部分就是______，“那么”引出的部分就是______.
拓展延伸
8.观察下列方程，找出它们的共同特征，试给出名称，并作出定义．，，，．
解：共同特征：都是整式方程，均含有一个未知数，且未知数的最高次数均为3.名称：一元三次方程.定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为3的整式方程是一元三次方程.
（1）不相等的角不是对顶角.
解：如果两个角不相等，那么它们不是对顶角.逆命题：不是对顶角的两个角不相等.
（2）两直线平行，同位角相等.
解：如果两直线平行，那么同位角相等.逆命题：同位角相等，两直线平行.（3）等边三角Fra bibliotek是等腰三角形．

2.2 命题与证明第2课时真假命题与定理课件2024-2025学年湘教版数学八年级上册

正确的命题称为真命题，把错误的命题称为假命题。
判断命题是真命题方法——证明
判断命题是假命题方法——举反例
2.证明的依据：
定义、公理、基本事实、定理、推论
07
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.下列真命题能作为基本事实的是（ C）
A.对顶角相等
B.三角形的内角和是180°
C.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
（4）同角的补角相等。
上面四个命题中，命题（4）是正确的，命题（1），（2），（3）
都是错误的.
我们把正确的命题称为真命题，把错误的命题称为假命题。
03
新知讲解
一、真假命题概念及判断方法
1.如何判断一个命题是真命题？
因此判断命题是真命题方法——证明
证明过程：
命题（判断真假）
从命题条
件出发
.
(2)如果a，b互为相反数，那么a+b=0;
解:有逆定理，它的逆定理:如果a+b=0，那么a，b互为相反数。
(3)两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行那么同旁内角互补.
解：有逆定理，它的逆定理:两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角
互补，那么这两条直线平行
06
课堂小结
真假命题和定理
1.真假命题概念及判定方法：
2
05
课堂练习
【综合拓展类作业】
6.下列定理有逆定理吗?如果有，把它写出来;如果没有，举一个反例说明
.
(1)对顶角相等;
解:没有逆定理
反例:三角形的一个内角被角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角。(
反例不唯一)
05
课堂练习
【综合拓展类作业】

2022秋八年级数学上册第2章三角形2.2命题与证明第2课时真假命题与定理课件新版湘教版

4．把经过证明为真的命题叫作__定__理____，如果一个定理的逆命题能被证明是___真_____命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理．
1．下列命题是真命题的是( D ) A．同旁内角互补 B．三角形的一个外角大于内角 C．三角形的一个外角等于它的两个内角之和 D．同角的余角相等
谢谢观赏
You made my day!
解：如果两个角是钝角，那么这两个角的和一定大于 180°，它是真命题．
(2)判断命题“若a12＜b12，则1a＜1b”是真命题还是假命题，若是假命题，请举一个反例．
解：该命题是假命题，反例：a＝－2，b＝－1.(反例不唯一)
13．已知：三条不同的直线 a，b，c 在同一平面内： ①a∥b；②a⊥c；③b⊥c; ④a⊥b. 请你用其中的两个作为条件，其中的一个作为结论．
11．下列命题中，原命题与逆命题都是真命题的是( C ) A．两个锐角的和是钝角 B．如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c C．同位角相等，两直线平行 D．若 ac2＝bc2，则 a＝b
12．按要求完成下列各题． (1)将命题“两个钝角的和一定大于 180°”写成“如果……，那
么……”的形式，并判断该命题是真命题还是假命题；
(1)写出一个真命题，并说明它的正确性；解：答案不唯一．如果 a⊥c，b⊥c，那么 a∥b. 理由：如图，因为 a⊥c，b⊥c，所以∠1＝90°， ∠2＝90°，所以∠1＝∠2，所以 a∥b.
13．已知：三条不同的直线 a，b，c 在同一平面内： ①a∥b；②a⊥c；③b⊥c; ④a⊥b. 请你用其中的两个作为条件，其中的一个作为结论．
2．要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理(推理)，得出其__结__论____成立，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫证明．

湘教版数学八年级上册2.2《命题的证明》教学设计1

湘教版数学八年级上册2.2《命题的证明》教学设计1一. 教材分析《命题的证明》是湘教版数学八年级上册第二章第二节的内容，本节内容是在学生已经掌握了命题与定理的基本概念的基础上进行学习的。

本节课的主要内容是让学生了解证明的方法和步骤，学会如何用数学的方法证明一个命题的正确性。

教材中给出了几种常用的证明方法，如直接证明、反证法、归纳法等。

通过本节课的学习，学生应该能够理解命题的证明过程，掌握一定的证明方法，并能够运用这些方法解决一些简单的数学问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了命题与定理的基本概念，对命题和定理有了初步的认识。

但是，学生对证明的过程和方法可能还不是很了解，需要通过本节课的学习来掌握。

此外，学生在学习过程中可能存在对数学证明的恐惧心理，认为证明很难，不知从何下手。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生逐步了解证明的过程，降低学生的恐惧心理，提高学生学习数学的兴趣。

三. 教学目标1.了解证明的方法和步骤，学会如何用数学的方法证明一个命题的正确性。

2.掌握常用的证明方法，如直接证明、反证法、归纳法等。

3.能够运用所学的证明方法解决一些简单的数学问题。

4.培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力。

四. 教学重难点1.教学重点：证明的方法和步骤，常用的证明方法。

2.教学难点：如何运用证明方法解决实际问题，证明过程的逻辑性。

五. 教学方法1.引导法：教师引导学生逐步了解证明的过程，让学生通过自己的思考得出证明的方法和步骤。

2.案例分析法：教师通过分析一些典型的案例，让学生了解证明的过程和方法。

3.练习法：学生通过做一些练习题，巩固所学的证明方法。

六. 教学准备1.教材和教辅资料。

2.课件和教学幻灯片。

3.练习题和答案。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一些简单的数学问题，引导学生思考证明的过程和方法，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过讲解教材中的案例，让学生了解证明的过程和方法。

湘教版数学八年级上册《2.2 命题与证明》教学设计

湘教版数学八年级上册《2.2 命题与证明》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级上册《2.2 命题与证明》是学生在学习了初中数学基础知识和逻辑思维能力的基础上，进一步深入研究数学证明的基本方法和步骤。

这部分内容主要包括命题的概念、四种命题的相互关系、命题的证明和反证法等。

本节课的教学内容在学生掌握数学知识的同时，也有助于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了基本的数学知识和一定的逻辑思维能力。

但是对于命题与证明这部分内容，可能还存在以下问题：1. 对命题的概念理解不清晰；2. 对四种命题的相互关系区分不明显；3. 证明方法的掌握不够熟练，证明过程的书写不够规范；4. 反证法的理解和应用存在困难。

三. 教学目标1.理解命题的概念，掌握四种命题的相互关系；2.学会用直接证法和反证法进行证明；3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力；4.提高学生的数学写作能力和证明过程的规范性。

四. 教学重难点1.命题的概念和四种命题的相互关系；2.直接证法和反证法的理解和应用；3.证明过程的书写规范性和逻辑性。

五. 教学方法1.讲授法：讲解命题的概念、四种命题的相互关系、证明方法和反证法；2.案例分析法：分析具体例题，引导学生理解和掌握证明方法；3.练习法：让学生通过练习题目的方式，巩固所学知识；4.讨论法：分组讨论，引导学生自主探索和解决问题。

六. 教学准备1.教材：湘教版数学八年级上册；2.教案：详细的教学设计；3.课件：PPT课件，辅助教学；4.练习题：针对本节课内容的练习题目；5.黑板：用于板书重点内容和证明过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）讲解命题的概念，引导学生回顾已学的数学知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）讲解四种命题的相互关系，通过PPT课件展示，让学生直观地理解命题之间的联系。

3.操练（20分钟）讲解直接证法和反证法的证明过程，分析具体例题，让学生通过练习，掌握证明方法。

八年级数学上册第2章三角形2.2命题与证明真命题、假命题与定理教学

第2章三角形
2.2 命题与证明 (mìng tí)
第2课时真命题、假命题与定理
导入新课
讲授( jiǎngshòu)新课
当堂(dānɡ tánɡ) 练习
课堂小结
第一页，共二十六页。
学习(xuéxí) 目标
1.会判断一个命题的真假;（重点） 2.理解定理、推论、逆定理、互逆定理的概念(gàiniàn)；
的结论，从而就可判断这个命题(mìng tí)为假命题(mìng . tí)
我们通常(tōngcháng)把这种方法称为“举反例”. 例如，要判断命题“如果(rúguǒ)a是有理数，那么a是整数”是一个假命题，我们举出“0.1是有理数，但是0.1不是整数”这一例子即可判断该命题是假命题.
第十一页，共二十六页。
（1）每一个月都有31天；错误
（2）如果a是有理数，那么(nà me)a是整数; 错误
（3）同位角相等错误 (（xiā4ng）děng同)；角的补角相等.
正确
你能说说你是怎么判断的吗？
我们把正确的命题称为真命题，把错误的命题称为假命题.
第五页，共二十六页。
练一练
1.下列(xiàliè)四个命题中是真命题的有（C ）.
第十八页，共二十六页。
方法(fāngfǎ) 总结
判断一个定理是否有逆定理，应写出这个定理的逆命题，再分析(fēnxī)是否为真命题，若是真命题，则它就是原定理的逆定理；若逆命题是假命题，则原定理没有逆定理．
第二十页，共二十六页。
当堂练习
1. 下列命题(mìng tí)中，哪些是真命题(mìng tí)，哪些是假命题
第十六页，共二十六页。
判一判1：命题(mìng tí)“如果∠1和∠2是对顶角，那么 ∠1=∠2”是真命题吗？写出它的逆命题并判断真假.

张北县第四中学八年级数学上册第2章三角形2.2 命题与证明第2课时真假命题、证明、定理与逆定理

第2课时真假命题、证明、定理与逆定理1．下列命题中，是真命题的是( )A．对顶角相等B．同位角相等C．内错角相等D．同旁内角互补2．[2012·温州]下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是( )A．a＝－2 B．a＝－1C．a＝1 D．a＝23．下列命题中，错误的是( )A．三角形两边之和大于第三边B．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和C．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分D．若|x|＝5，则x＝5.4．下列命题中，是真命题的是( )A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0C．若a·b＝0，则a＝0，且b＝0D．若a·b＝0，则a＝0，或b＝05．[2011·广州]已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四个命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c;②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.其中真命题是________(填写所有真命题的序号)．6．请写出一个原命题是真命题，逆命题是假命题的命题____________________．7．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举一个反例．(1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等；(2)如果a＞b，那么ac＞bc；(3)两个锐角的和是钝角．8．已知命题“若a＞b，则a2＞b2”．(1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例；(2)写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假；若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例．9．命题：若a ＞b ，则1a <1b.(1)请判断这个命题是真命题还是假命题．若是真命题，请证明；若是假命题，请举一个反例；(2)请你适当修改命题的条件使其成为一个真命题．10．如图2－2－3，点B ，A ，E 在同一条直线上，(1)AD ∥BC ，(2)∠B ＝∠C ，(3)AD 平分∠EAC .请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，构造命题，并说明你构造的命题是真命题还是假命题．图2－2－3答案解析1．A 【解析】对顶角相等，正确；在两条平行线被第三条直线所截的条件下，B 、C 、D 才正确．故选A.2．A 【解析】用来证明命题“若a 2＞1，则a ＞1”是假命题的反例可以是：a ＝－2，因为(－2)2＞1，但是a ＝－2＜1，所以选项A 正确；故选A. 3．D4．D 【解析】选项A ，a ·b ＞0可得a 、b 同号，可能同为正，也可能同为负，是假命题；选项B ，a ·b ＜0可得a 、b 异号，所以错误，是假命题；选项C ，a ·b ＝0可得a 、b 中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，是假命题；选项D ，若a ·b ＝0，则a ＝0，或b ＝0，是真命题．故选D. 5．①②④6．对顶角相等(答案不唯一)7．解：(1)假命题，两直线不平行时不成立，可通过画图说明；(2)假命题，当c ≤0时不成立，如3＞2，但3×0＝2×0等；(3)假命题，如∠α＝20°，∠β＝50°，则∠α＋∠β＝70°不是钝角． 8．解：(1)假命题．反例：a ＝2，b ＝－3，有a ＞b ，但a 2＜b 2； (2)逆命题：若a 2＞b 2，则a ＞b . 此命题为假命题．反例：a ＝－2，b ＝－1，有a 2＞b 2，但a ＜b .9．解：(1)假命题．如a ＝1，b ＝－2符合a ＞b ，但不满足1a <1b.(2)改成：若a ＞b ＞0，则1a <1b.10．解：命题：如果AD ∥BC ，∠B ＝∠C ，那么AD 平分∠EAC .(答案不唯一)它是真命题，理由如下：因为AD ∥BC ，所以∠B ＝∠EAD ，∠C ＝∠DAC . 又因为∠B ＝∠C ，所以∠EAD ＝∠DAC ，即AD 平分∠EAC . 故是真命题．第2课时矩形的判定【知识与技能】理解并掌握矩形的判定方法，能用判定定理判断一个四边形是否是矩形.【过程与方法】在观察、探究的过程中，逐步感受矩形的判定定理，增强学生分析问题、解决问题的能力.【情感态度】进一步锻炼学生的数学应用能力，增强合作交流，探究创新意识.【教学重点】矩形的判定定理.【教学难点】对角线相等的平行四边形是矩形及对角线相等且互相平分的四边形是矩形的理解.一、情境导入，初步认识问题在前面，我们己探讨出判别一个四边形是平行四边形还是矩形？也可以说，用什么方法来判别一个四边形是矩形呢？想想看，与同伴交流.二、思考探究，获取新知【教学说明】教师提出问题，让学生思考，在相互交流中加深认识.同时，教师可根据学生的探讨结论进行适当评析，帮助学生获取正确认知.请观察图（1），在四边形ABCD 中，尽管AC=BD，但它不是矩形，图（2）中，在ABCD中，若有AC=BD，则此ABCD是一个矩形.你能说明理由吗？【教学说明】教师引导学生对图（2）进行论证，此时只要证明△ABC≌△DCB即可得到∠ABC=∠DCB,又AB∥CD，∴∠ABC=∠DCB=90°，由定义知，ABCD是矩形.【归纳结论】对角线相等的平行四边形是矩形.也可以说：对角线相等且互相平分的四边形是矩形.想一想工人师傅在做门框或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它的对角线是否相等，以确保图形是矩形.请你说说其中的道理，不妨试试看.练一练求证：有三个角是直角的四边形是矩形.【教学说明】这一结论的证明不难，可由学生自己完成.教师应关注学生是否能规范地画图，写已知，求证，并给予证明.【归纳结论】有三个角是直角的四边形是矩形.三、典例精析，掌握新知例1 如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC=8cm，若AOB是等边三角形，求此平行四边形的面积.解：在ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∴OA=OC，OB=OD.又∵△AOB是等边三角形，∴OA=OB，∴OA=OB=OC=OD，∴ABCD是矩形.又∵AC=8cm,∴OA=OB=AB=4cm.在Rt△ABC中,AC=8cm,AB=4cm，∴BC=43cm.∴S ABCD=AB×BC=4×43=163cm2.例2 如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，试说明四边形EFGH为矩形.解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°.∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD，∴∠GBC+∠GCB=12×180°=90°，得∠BGC=90°.同理可知∠AFB=∠AED=90°.∴∠GFE=90°.∴四边形EFGH为矩形.【教学说明】以上两例也可先让学生探究，然后教师予以评讲，加深学生对矩形判定定理的理解和应用.四、运用新知，深化理解1.如图，在ABCD中，点E、F为BC边上的点，且BE=CF，AF=DE，求证：ABCD 是矩形.2.如图，O是直线MN上一点，C是射线OP上一点，OA、OB分别平分∠MOP，∠NOP，F 为CO的中点，过F作DE∥MN，交OA、OB于点D、E.求证：四边形CDOE为矩形.【教学说明】让学生自主探究，独立完成，然后相互交流，探寻结论，教师巡视，发现问题及时予以点拨.【答案】1.证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB=CD，∵BE＝CF，∴BF=CE.又∵AF ＝DE，∴△ABF≌△DCE.∴∠B=∠C，又∵AB∥CD，∠B+∠C＝180°，∴∠B=∠C＝90°.∴ABCD是矩形.2.证明：∵DE∥MN，∴∠1=∠3，而∠2=∠3.∴∠1=∠2.∴OF=EF.同理可得OF=DF，∴DF=EF.又CF=OF，故FC=FD=FO=FE.∴四边形CDOE为矩形.五、师生互动，课堂小结通过这节课的学习你有哪些收获？与同伴交流.【教学说明】学生在反思学习的过程中，巩固矩形的判定定理的理解，系统地掌握本节知识.1.布置作业：从教材“习题18.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习.本课时是有关矩形判定的问题.由于有前面的知识作铺垫,教师可让学生自己尝试探讨矩形的判定方法，并将矩形的判定与平行四边形的判定作比较，再与其他同学交流，说出矩形与平行四边形的区别与联系，进而更好地掌握知识.在本课时的教学中，教师应最大限度地将课堂交给学生，提高学生学习的积极性与主动性.14．3.2 公式法第1课时运用平方差公式因式分解1．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点．(重点)2．掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式．(难点)一、情境导入1．同学们，你能很快知道992－1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？请与大家交流．2．你能将a 2－b 2分解因式吗？你是如何思考的？二、合作探究探究点：运用平方差公式分解因式【类型一】判定能否利用平方差公式分解因式下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( ) A ．a 2＋(－b )2 B ．5m 2－20mnC ．－x 2－y 2D ．－x 2＋9解析：A 中a 2＋(－b )2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B 中5m 2－20mn两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C 中－x 2－y 2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D 中－x 2＋9＝－x 2＋32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确．故选D.方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．【类型二】利用平方差公式分解因式分解因式：(1)a 4－116b 4；(2)x 3y 2－xy 4.解析：(1)a 4－116b 4可以写成(a 2)2－(14b 2)2的形式，这样可以用平方差公式进行分解因式，而其中有一个因式a 2－14b 2仍可以继续用平方差公式分解因式；(2)x 3y 2－xy 4有公因式xy 2，应先提公因式再进一步分解因式．解：(1)原式＝(a 2＋14b 2)(a 2－14b 2)＝(a 2＋14b 2)(a －12b )(a ＋12b )；(2)原式＝xy 2(x 2－y 2)＝xy 2(x ＋y )(x －y )．方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．【类型三】底数为多项式或单项式时，运用平方差公式分解因式分解因式：(1)(a ＋b )2－4a 2；(2)9(m ＋n )2－(m －n )2.解析：将原式转化为两个式子的平方差的形式后，运用平方差公式分解因式．解：(1)原式＝(a ＋b －2a )(a ＋b ＋2a )＝(b －a )(3a ＋b )；(2)原式＝(3m ＋3n －m ＋n )(3m ＋3n ＋m －n )＝(2m ＋4n )(4m ＋2n )＝4(m ＋2n )(2m ＋n )．方法总结：在平方差公式a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )中，a 和b 可以代表单项式、多项式或单独一个数．【类型四】利用因式分解整体代换求值已知x 2－y 2＝－1，x ＋y ＝12，求x －y 的值．解析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将x ＋y 的值代入计算即可求出x －y 的值．解：∵x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝－1，x ＋y ＝12，∴x －y ＝－2. 方法总结：有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入可使运算简便．【类型五】利用因式分解解决整除问题248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．解：248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．∵26＝64，∴26－1＝63，26＋1＝65，∴这两个数是65和63.方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除．【类型六】利用平方差公式进行简便运算利用因式分解计算：(1)1012－992；(2)5722×14－4282×14. 解析：(1)根据平方差公式进行计算即可；(2)先提取公因式，再根据平方差公式进行计算即可．解：(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400；(2)5722×14－4282×14＝(5722－4282)×14＝(572＋428)(572－428)×14＝1000×144×14＝36000.方法总结：一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，则可以使运算简便．【类型七】在实数范围内分解因式在实数范围内分解因式．(1)x2－5；(2)x3－2x.解析：(1)直接利用平方差公式分解，即可求得答案；(2)首先提取公因式x，然后利用平方差公式进行二次分解，即可求得答案．解：(1)x2－5＝(x＋5)(x－5)；(2)x3－2x＝x(x2－2)＝x(x＋2)(x－2)．方法总结：注意因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的结果可以出现无理数．【类型八】因式分解的实际应用如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？解析：相邻两正方形面积的差表示一块阴影部分的面积，而正方形的面积是边长的平方，所以能用平方差公式进行因式分解．解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．则S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)．答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.方法总结：首先应找出图形中哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．三、板书设计运用平方差公式因式分解1．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；2．平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底．。

2022八年级数学上册第2章三角形2.2命题与证明第1课时定义与命题课件新版湘教版14

(2)观察图①、图②，∠DEF 与∠ABC 分别有怎样的关系？请你归纳出一个命题．
解：题图①中∠DEF 与∠ABC 相等，题图②中∠DEF 与∠ABC 互补．命题：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月23日星期三2022/3/232022/3/232022/3/23 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/232022/3/232022/3/233/23/2022 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/232022/3/23March 23, 2022
1．对一个概念的含义加以_描__述__说__明__或__作__出__明__确__规__定___的语句叫作这个概念的定义．
2．一般地，对某一件事情__作__出__判__断____的语句(陈述句)叫作命题．
3 ．命题通常写成 “_如__果__…__…__，__那__么__…__…___” 的形式，其中 “__如__果____”引出的部分就是条件，“__那__么____”引出的部分就是结论．
12．下列说法正确的是( B ) A．“作线段 CD＝AB”是一个命题 B．三角形的三条中线的交点叫作三角形的重心是定义 C．“若 x2＝1，则 x＝1” 不是命题 D．“含有相同字母的项称为同类项”是“同类项”的定义
13．阅读下列材料，然后回答问题．材料：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线．如图，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 边的中点，线段 DE 就是△ABC 的中位线．

湘教版数学八年级上册2.2《命题的证明》教学设计2

湘教版数学八年级上册2.2《命题的证明》教学设计2一. 教材分析湘教版数学八年级上册2.2《命题的证明》是学生在掌握了命题与定理的基本概念后，进一步学习命题证明的方法和技巧。

本节内容通过具体的例子，引导学生学习用演绎推理的方法证明命题，培养学生的逻辑思维能力和证明能力。

教材中给出了几个常见的证明方法，如直接证明、反证法、归纳法等，并配有相应的例题和练习题。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了命题与定理的基本概念，对演绎推理有一定的了解。

但学生对证明的方法和技巧还不够熟悉，需要通过具体的例子和练习来进一步掌握。

学生的逻辑思维能力和证明能力参差不齐，因此在教学过程中，要关注学生的个体差异，尽量让每个学生都能跟上教学进度。

三. 教学目标1.让学生掌握命题证明的基本方法和技巧。

2.培养学生运用演绎推理能力解决实际问题的能力。

3.提高学生的逻辑思维能力和证明能力。

四. 教学重难点1.教学重点：命题证明的基本方法和技巧。

2.教学难点：如何运用证明方法解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论，发现证明的方法和技巧。

2.用具体的例子和练习题，让学生通过动手操作和思考，巩固所学内容。

3.分组讨论和合作交流，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

4.及时反馈和评价，激发学生的学习兴趣和积极性。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。

2.准备练习题和测试题，用于巩固和评估学生的学习效果。

3.准备黑板和粉笔，用于板书和展示。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的数学问题，引导学生思考证明的方法和技巧。

例如，证明：任意两个正整数的和都是偶数。

让学生尝试用自己的语言和逻辑推理来解释这个问题。

2.呈现（10分钟）呈现教材中的例题和相关的证明方法，如直接证明、反证法、归纳法等。

用PPT或黑板展示，并配以讲解，让学生理解和掌握这些证明方法。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论和合作，解决一些类似的证明题目。

2.2 第2课时真假命题、证明、定理与逆定理

(3)真命题； (4)假命题．例如a取正数0.1，a2＝0.01<0.1，即a2>a不成立，故原命题是假命题．【点悟】判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可．
类型之二定理与逆定理请写出定理“两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那
么内错角相等”的逆定理．
解：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
第2章三角形
2.2 命题与证明第2课时真假命题、证明、定理与逆定理
学习指南知识管理归类探究当堂测评分层作业
学习指南
★本节学习主要解决以下问题★ 1．真命题与假命题此内容为本节的重点．为此设计了【归类探究】中的例1；【当堂测评】中的第1题；【分层作业】中的第1,3,4,5,6,7,8,9,10,11题．
3．定理与互逆定理定理：经过证明为真命题的命题叫做定理．
注意：定理也可以作为判断其他命题真假的依据．推论：由某定理直接得出的真命题叫做这个定理的推论．
互逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就把它叫做原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理．
归类探究
类型之一真假命题的判断判断下列命题是真命题，还是假命题，若是假命题，举一个反例说
义、定理、推论，还有题目中的已知条件等．
当堂测评
1．下列命题是真命题的是( D ) A．内错角相等 B．同位角互补，两直线平行 C．一个角的余角不等于其本身 D．在同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直
2．对于命题“如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1＝∠2”，能说明它是一个假命题的反例是( B )
【解析】选项A，a·b>0可得a，b同号，可能同为正，也可能同为负，是假命题；选项B，a·b<0可得a，b异号，是假命题；选项C，a·b＝0可得a，b中必有一个字母的值为0，但不一定同时为0，是假命题；选项D，若a·b＝0，则a＝0或b ＝0，是真命题．故选D.

新湘教版八年级上册初中数学 2.2 命题与证明教案

2.2 命题与证明（第1课时）【教学目标】1、正确掌握定义的概念，能运用适当的数学语言去描述定义。

2、了解命题的含义。

3、了解命题的结构，会把一个命题写成“如果……，那么……”的形式。

【教学重点】命题的概念【教学难点】条件和结论不明显的命题改写成“如果……，那么……”的形式。

【教学过程】一、新课导入1、什么叫三角形？什么叫三角形的外角？2、刚才我们是给三角形和三角形的外角两个概念下了定义，这节课我们来学习什么叫定义等。

二、自主探究阅读教材，完成下列问题：1、叫作这个概念的定义。

1）叙述下列概念的定义：（1）有理数（2）无理数（3）绝对值2)下列语句，属于定义的是（）A、两点确定一条直线B、同角的余角相等C、两直线平行，内错角相等D、点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度2、叫作命题。

命题的结构：命题通常可以写成“如果……，那么……”的形式。

是条件，“那么”引出的部分是结论。

1）下列语句，是命题的是（）A、如果x²=4，那么x=2B、延长线段AB至CC、对顶角相等吗?D、三角形一个外角等于两不相邻的内角和E、一年有四季2）指出下列命题的条件与结论，并改写成“如果……，那么……”的形式。

3、逆命题与互逆命题上述命题④与⑤的条件和结论之间有什么联系?称为互逆命题，其中一个叫作，另外一个叫作。

三、应用迁移（一）典例精析例1、请将下列命题改成“如果……，那么……”的形式，并写出它的逆命题。

⑴若,yx=则yx=；⑵若,0,0>>ba则0>ab；（3）同角或等角的余角相等；（4）内错角相等，两直线平行。

【题后交流与反思】（3）和（4）都是用汉语的简略表达方式，要写成“如果… ，那么…”的形式，分清命题的条件和结论，就要弄清楚命题中涉及的元素及其因果关系，例如（3）中涉及三个或者四个角；而（4）中关于内错角，则必有两直线被第三条直线所截，这个大前提必须要交待清楚。

这是写文字命题的逆命题所要注意的地方，有时候还要画出图形帮助分析。

湘教版八年级数学上册第2章 2.2 命题与证明第2课时公理与定理

3. 下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例．
(1)若 a2＝b2，则 a＝b； (2)三条线段 a，b，c，如果 a＋b>c，那么这三条线段一定能组成三角形．
解：(1)假命题，若 a2＝b2，则 a＝±b．
(2)假命题，如取 a＝1，b＝3，c＝2，虽满足 a＋b>c，但这三条线段不能构成三角形．
A．1 个 B．2 个
C.( C ) A．定义 B．定理 C．基本事实 D．推论
8. 能说明命题“对于任何实数 a，|a|>－a”是假命题的一个反例可以是( A )
A．a＝－2 B．a＝13 C．a＝1 D．a＝2
9. 下列命题：①若 a＋b＋c＝0，abc<0，则 a，b，c
知识点定理与逆定理公理、定理：公认的__真__命__题___称为公理，经过
证明的__真__命__题___称为定理．互逆定理：如果一个定理的逆命题也是__真__命__题___，
那么这两个定理叫互逆定理．其中一个定理叫作另一个定理的__逆__定__理___．
4. 下列命题写出逆命题后，两者是互逆定理的是
第2章三角形 2．2 命题与证明
第2课时公理与定理
知识点命题真假的判断
命题的分类：命题分为__真__命__题___和_假__命__题__，正确的命题称为__真__命__题__，不正确的命题称为_真__命__题__．
反例：要说明一个命题是假命题，通常可以举一个例子，使之具备命题的__条__件___，而不具备命题的_结__论___，这样的例子称之为反例．
1. 下列命题中，属于假命题的是( D )
A．三角形三个内角的和等于 180° B．两直线平行，同位角相等 C．矩形的对角线相等 D．相等的角是对顶角