2004-2011高考全国卷立体几何试题分类评析

2004——2011 2004——2011 高考立体几何全国卷分类评析 ——
一、异面直线所成的角 1.如图， ABCD— =2AB， 1.如图，正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，AA1=2AB，则 如图 异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为 （A ）
1 （ B ） 2 （ C） 3 （ D ） 4 5 5 5 5
AB = 2，PA = 2 , AC = 3
为等腰直角三角形， ∴ ∆PAB 为等腰直角三角形，且 且 AF ⊥ PB
Q PB 与平面 ∴ PB ⊥ 平面
PB＝2，F 为其斜边中点，BF＝1， ＝ ， 为其斜边中点， ＝ ，
AEF 内两条相交直线 EF、AF 都垂直 、
AEF
连结 BE 交 AC 于 G，作 GH//BP 交 EF 于 H，则 GH ⊥ 平面 AEF ， ，
) , B ( 0, 2, 0) , C ( 0, − 2, 0) , S ( 0, 0,1) , uur uuu r uur uuu r SA = ( 2, 0, −1) , CB = ( 0, 2 2, 0 ) , SA CB = 0 ,
A 2, 0, 0
(
∴ SA⊥BC．
（2）取 AB 中点 ）
3 4
B） ）
5 4
C） ）
7 4
（D） ）
3 4
D
的侧棱与底面边长都相等， 5. 4．已知三棱柱 ABC - A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面 ． ABC 内的射影为 △ ABC 的中心， AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于 的中心， 则 A． 1 ． 3 B． ．
2 3
3，
3 ，AB=8， ，
又知 AD=4 得 EO =
AE AD . AB
P D E A F O C B
所以
Rt△AEO∽Rt△BAD. △ ∽ △
EAO=∠ 得∠EAO=∠ABD. 所以∠ 所以∠EAO+∠ADF=90° ∠ ° 所以 因为 AF⊥BD. ⊥
图2
内的身影， 直线 AF 为直线 PA 在平面 ABCD 内的身影，所以 PA⊥BD. ⊥
PC 3 2
6 ,PO= 3
∴tg∠BDO= BO = ∠
OD
3
∴∠BDO= π ∴∠
即侧面 PBC 与侧面 PAC 所成二面角为 π .
3
21．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识 ．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、 和空间想象能力、分析问题能力 问题能力.满分 和空间想象能力、分析问题能力 满分 12 分. ：（Ⅰ 解：（Ⅰ）如图 1，取 AD 的中点 E，连结 PE， ， ， ，
3
3 ，四棱锥
3 × 3 3 = 96.
P—ABCD 的体积 —
解法一： 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可 （Ⅱ）解法一：如图 1，以 O 为原点建立空间直角坐标系 通过计算可 ， 得 P（0，0，3 （ ， ， －3，0） ， ） 所以 PA = (2
3 ,−3,−3 3 ), BD = (−4 3 ,−8,0).
2 BC， ， 求
AC 与平面 AEF
所成的角的大小. 所成的角的大小
19．解法一：（ ）作 SO ⊥ BC ， ．解法一：（1） ：（ 垂足为 O，连结 AO， ， ， 由侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD， ， 得 SO ⊥ 底面 ABCD． ． 因为 SA=SB，所以 AO=BO． ， ． 故为△ 等腰直角三角形， 又 ∠ABC = 45 ，故为△AOB 等腰直角三角形， AO ⊥ BO ，
D
z
P C B
图1
则 PE⊥AD. ⊥
A
E
x
O
y
作 PO⊥平面 ABCD，垂足为 O，连结 OE. ⊥ ， ， OE⊥AD， 根据三垂线定理的逆定理得 OE⊥AD，
所以∠ 与底面所成的二面角的平面角， 所以∠PEO 为侧面 PAD 与底面所成的二面角的平面角， 由已知条件可知∠ 由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6， ° ， 所以 PO=3 VP—ABCD= 1 × 8 × 4
0
由三垂线定理， 由三垂线定理，得 SA ⊥ BC ．
（2）由（1）知 SA ） ） SA=
⊥ BC
，依题设 AD‖BC，故 SA
11 ．
⊥ AD
，由 AD=BC= 2
2，
3 ，AO= 2 ，得
=
SO=1，SD= ，
1 2
△SAB 的面积 S 1 连 结
S2 =
1 AB 1
SA 2 − ( AB )2 =
．
理科 20. （本小题满分 12 分） 如图， 四棱锥 P—ABCD 中， 如图， — 底面 ABCD 为矩形， ⊥ 为矩形，PD⊥底面 ABCD，AD=PD，E、 ， ， 、 F 分别为 CD、PB 的中点 的中点. 、 求证： ⊥ （Ⅰ）求证：EF⊥平面 PAB； ； （Ⅱ） AB= 设
2 BC， ， 求
3,
AB⊥BC,AO=CO ⊥
∴BO⊥AC, 侧面 PAC⊥底面 ABC ⊥ ⊥
∴BO⊥侧面 PAC, ∴BD⊥PC ⊥ ⊥ ∴∠BDO 为侧面 PBC 与侧面 PAC 所成二面角的平面角 所成二面角的平面角. ∴∠ ∵AB=BC=2 ∴BO=CO=
3,
AB⊥BC,AO=CO ⊥ ∴ OD = PO ⋅ OC =
3 ）， （2 3 ，－ ，0）， （2 3 ，5，0）， （－ 3 ， ），A（ ，－3， ）， ），B（ ），D（－ ， ）， （－2
PA⊥ 因为 PA ⋅ BD = −24 + 24 + 0 = 0, 所以 PA⊥BD.
解法二： 如图 2， 解法二： ， 连结 AO， ， 延长 AO 交 BD 于点 F.能过计算可得 EO=3， 能过计算可得 ， AE=2
2. 已知正四棱柱 ABCD − A1B1C1D1 中， AA1 = 2AB ， E 为 AA1 重点， 重点，则异面直线 BE 与 CD1 所形成角的余弦值为 （A） ）
10 10
(B)
1 5
(C)
3 10 10
(D)
3 5
3.已知三棱柱 ABC − A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等， A1 在底面 ABC 上的 已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 的中点， 射影为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为 (A)
参考答案: 参考答案:D
C
D
C
2 3
文科
(21)(本小题满分 12 分) 三棱锥 P-ABC 中，侧面 PAC 与底面 ABC 垂 本小题满分 直，PA=PB=PC=3. (1)求证 AB⊥BC ； 求 ⊥ (II)如果 AB=BC=2 如果
3 ，求侧面
P
PBC 与侧面
A B
C
PAC 所成二面角的大小． 所成二面角的大小．
∠GAH 为
A）
A． ．
3 6
B． ．
3 4
C． ．
2 2
D． ．
3 2
3．正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为 ． （A）
2 3
D
（B ）
3 3
（C ） 2
3
（D ）
6 3
4.已知三棱锥 S − ABC 中，底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形，SA 已知三棱锥 的等边三角形， 垂直于底面 ABC，SA=3，那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值 ， ， 为 A
3 4
(B)
5 4
(C)
7 4
(D)
3 4
4.直三棱柱 ABC − A1 B1C1 中，若 ∠BAC = 90° ， AB = AC = AA1 ，则异面直线 BA1 与 直三棱柱
AC1 所成的角等于
(A)30° °
(B)45°(C)60° (D)90° ° ° °
5.已知：正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，E 是 C1D1 的中点，则异面直线 AE 与 已知： 的中点， 已知 BC 所成角的余弦值为 所成角的余弦值为__________
2．
D ， 得 △ DAB
1 AB AD sin 135o = 2 ． 2
的 面 积
设 D 到 平 面 SAB 的 距 离 为 h ， 由 VD-SAB=VS-ABD ,得 1 h S1 = 1 SO S2 ， 得
3 3
解得
h= 2．
h 2 22 = = ． SD 11 11
22 11
设 SD 与平面 SAB 所乘得夹角为 α ，则 sin α = 所以， 所成得角为 所以，直线 SD 与平面 SAB 所成得角为 arcsin
Q F 为 PB 中点
∴ EF ⊥ PB
由三垂线定理得 PA ⊥ AB
∴ 在 Rt∆PAB 中 PF
= AF ，又 PE
= BE = EA
∴ ∆EFP ≅ ∆EFA ∴ EF ⊥ FA
Q PB、FA 、
为平面 PAB 内的相交直线
∴ EF ⊥ 平面 PAB
（II）解：不妨设 BC＝1，则 AD＝PD＝1 ） ＝ ， ＝ ＝
(
)
平面
SAB 所成的角记为 β ， α 与 β 互 则 余．
D
(
uuu r 2, −2 2, 0 , DS − 2, 2 2,1
)
(
),
,
22 11
uuur OG cos α = uuur OG
uuu r DS 22 , sin β = 22 uuu = r 11 11 DS
所以， 所成的 所以，直线 SD 与平面 SAB 所成的角为 arcsin
2 2 E, E , , 0 ． 2 2