【二轮必备】北京市部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编：概率与统计 Word版含答案
北京市部分区届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编：圆锥曲线.docx
北京部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知点)0,22(Q 及抛物线24x y =上一动点(,)P x y ，则y PQ +的最小值是A ．12B ．1C ． 2D ． 3 2、（大兴区2016届高三上学期期末）双曲线222x y -=的一条渐近线的方程是 （A ）2y x =（B ） 22y x =（C ）y x =- （D ） 2y x =-3、（东城区2016届高三上学期期末）过抛物线220)y pxp =>（的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，如果3BF =，BF AF >，23BFO π∠=，那么AF 的值为 ()A 1 ()B 32()C 3 （D ） 6 4、（丰台区2016届高三上学期期末）若F （c ,0）为椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点，椭圆C 与直线1x ya b+=交于A ,B 两点，线段AB 的中点在直线x c =上，则椭圆的离心率为（A ）32 （B ）12（C ）22 （D ）335、（海淀区2016届高三上学期期末）抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为A. 1(0,)2- B.(0,1)- C.(0,2)- D.(0,4)-6、（石景山区2016届高三上学期期末）若曲线)0(22>=p px y 上只有一个点到其焦点的距离为1，则p 的值为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1参考答案1、C2、C3、A4、B5、B6、C二、填空题1、（昌平区2016届高三上学期期末）双曲线22:1916x y C -=的渐近线方程为__________________；某抛物线的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则此抛物线的标准方程为____________.2、（海淀区2016届高三上学期期末）已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线过点(1,2),则___,b =其离心率为__.3、（西城区2016届高三上学期期末）双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.参考答案 1、24;203y x y x =±= 2、2 ;5 3、12y x =±三、解答题1、（昌平区2016届高三上学期期末） 已知椭圆C 2222:1(0)x y a b a b +=>>的离心率为32,点1(3,)2在椭圆C 上．直线l 过点(1,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ．（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点O 为坐标原点，延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求出此时直线l 的方程，若不能，说明理由．2、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）求证：OA OB ⊥； （Ⅲ）求OAB ∆面积的最大值.3、（大兴区2016届高三上学期期末）已知椭圆:G 22221(0)x y a b a b +=>>上的点(2,2)M 到两焦点的距离之和等于42. （Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）经过椭圆G 右焦点F 的直线m (不经过点M )与椭圆交于,A B 两点，与直线l ：4x =相交于C 点，记直线,,MA MB MC 的斜率分别为123,,k k k .求证：123k k k +为定值.4、（东城区2016届高三上学期期末）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦点是12F F 、，且122F F =，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求22||||AF F B g的取值范围．5、（丰台区2016届高三上学期期末）已知定点(1,0)M 和直线1x =-上的动点(1,)N t -，线段MN 的垂直平分线交直线y t = 于点R ，设点R 的轨迹为曲线E . （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）直线(0)y kx b k =+≠交x 轴于点C ，交曲线E 于不同的两点,A B ，点B 关于x轴的对称点为点P .点C 关于y 轴的对称点为Q ，求证：A ，P ，Q 三点共线.6、（海淀区2016届高三上学期期末）已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b+=>>的离心率为32，其左顶点A 在圆22:16O x y +=上.y（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）若点P 为椭圆W 上不同于点A 的点，直线AP 与圆O的另一个交点为Q . 是否存在点P ，使得||3||PQ AP =? 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.7、（石景山区2016届高三上学期期末）已知椭圆:C 22221x y a b+=(0)a b >>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的左焦点，M 为直线3x =-上任意一点，过F 作MF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .证明：OM 经过线段PQ 的中点N ．(其中O 为坐标原点)8、（西城区2016届高三上学期期末）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，点3(1,)2A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.参考答案1、解：（I ）由题意得222223,2311,4.c e a ab a bc ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得224,1a b ==.所以椭圆C 的方程为22 1.4x y += …………………………..5分（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形．法一：（1）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为1x = 满足题意；（2）当直线l 与x 轴不垂直时，设直线:l y kx m =+，显然0,0k m ≠≠.11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．将y kx m =+代入22 1.4x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=，2221228(8)4(41)(44)0,.41kmkm k m x x k -=-+->+=+ 故1224241M x x kmx k +==-+， 241M M m y kx m k =+=+．于是直线OM 的斜率14M OMM y k x k ==-，即14OM k k ⋅=-． 由直线:l y kx m =+(0,0)k m ≠≠，过点(1,1)，得1m k =-，因此24(1)41M k k x k -=+．OM 的方程为14y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． 由221,41,4y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2221641P k x k =+，即2441P k x k ±=+． 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =．于是2441k k ±+24(1)241k k k -=⨯+．由0k ≠，得35,.88k m ==满足0.> 所以直线l 的方程为3588y x =+时，四边形OAPB 为平行四边形． 综上所述：直线l 的方程为3588y x =+或1x = . ………………………….13分法二：（1）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为1x = 满足题意；（2）当直线l 与x 轴不垂直时，设直线:l y kx m =+，显然0,0k m ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．将y kx m =+代入22 1.4x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=，2221228(8)4(41)(44)0,.41kmkm k m x x k -=-+->+=+ 故1224241M x x kmx k +==-+， 241M M my kx m k =+=+.四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2,2.P M P Mx x y y =⎧⎨=⎩．则2222()()82114441km m k k -++=+. 由直线:l y kx m =+(0,0)k m ≠≠，过点(1,1)，得1m k =-.则2222(164)(1))1(41k k k +-+=， 则2(41)(83)0k k +-= .则35,.88k m == 满足0.> 所以直线l 的方程为3588y x =+时，四边形OAPB 为平行四边形．综上所述：直线l 的方程为3588y x =+或1x = . …………………………..13分2、解：（Ⅰ）由题意可知24a =，243b =，所以22283c a b =-=．所以63c e a ==．所以椭圆C 的离心率为63． …………………………3分 （Ⅱ）若切线l 的斜率不存在，则:1l x =±．在223144x y +=中令1x =得1y =±． 不妨设(1,1),(1,1)A B -，则110OA OB ⋅=-=．所以OA OB ⊥． 同理，当:1l x =-时，也有OA OB ⊥． 若切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，依题意211m k =+，即221k m +=．由2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(31)6340k x kmx m +++-=．显然0∆>． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则122631kmx x k +=-+，21223431m x x k -=+． 所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++. 所以1212OA OB x x y y ⋅=+221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m kmk km m k k -=+-+++2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+22244431m k k --=+2224(1)44031k k k +--==+． 所以OA OB ⊥．综上所述，总有OA OB ⊥成立． ………………………………………………9分（Ⅲ）因为直线AB 与圆O 相切，则圆O 半径即为OAB ∆的高， 当l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知2AB =．则1OAB S ∆=.当l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，221212(1)[()4]AB k x x x x =++-222226341()43131km m k k k -=+⋅-⋅++222222219(34)(31)31k k m m k k +=⋅--++ 2222222221211234123(1)43131k k k m k k k k ++=⋅-+=⋅-++++ 222219131k k k +=⋅++． 所以2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k k AB k k k k k ++++===++++++24222164164164419613396k k k k k=+⋅=+≤+=++++（当且仅当33k =±时，等号成立）．所以433AB ≤．此时, max 23(S )3OAB ∆=. 综上所述，当且仅当33k =±时，OAB ∆面积的最大值为233．…………………14分 3、（Ⅰ）由椭圆定义知：242=a ，所以22=a ……1分所以，椭圆222:18x y G b+=，将点)2 ,2(M 的坐标代入得42=b 。
北京市部分区2016届高三上学期期中期末考试数学文分类汇编：立体几何
北京市部分区2016届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编 立体几何一、选择题1、（昌平区2016届高三上学期期末）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 A.36B.18C.12 D ．62、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知m ，n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且m n αβ⊂⊂，,则下列说法正确的是A ．若//αβ，则//m nB ．若m β⊥，则αβ⊥C ．若//m β，则//αβD ．若αβ⊥，则m n ⊥3、（大兴区2016届高三上学期期末）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（A ）2π3 （B ）16π9 （C ）π3 （D ）2π9212正视图4侧视图俯视图第3题 第4题4、（顺义区2016届高三上学期期末）已知某三棱锥的三视图尺寸（单位cm ）如图， 则这个三棱锥的体积是 （ ）（A ）383cm （B ）343cm（C ）323cm （D ）313cm5、（西城区2016届高三上学期期末）一个几何体的三视图如图所示，那么 这个几何体的表面积是（ ）（A ）1623+ （B ）1625+ （C ）2023+ （D ）2025+参考答案1、D2、B3、B4、B5、B二、填空题1、（朝阳区2016届高三上学期期末）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是 ，侧面积为 .2、（朝阳区2016届高三上学期期中）给出四个命题：①平行于同一平面的两个不重合的平面平行；②平行于同一直线的两个不重合的平面平行；③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行；④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行；其中真命题的序号是________．3、（东城区2016届高三上学期期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．第3题俯视图11侧视图32正视图2第4题4、（丰台区2016届高三上学期期末）已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是_______.5、（海淀区2016届高三上学期期末）某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为___.俯视图2左视图22主视图第5题 第6题6、（石景山区2016届高三上学期期末）三棱锥S ABC 及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB 的长为___________. 参考答案ODC 1B 1A 1CBA1、12, 272、①④3、44、435、46、42 三、解答题1、（昌平区2016届高三上学期期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ==，AB AC ⊥,D 为BC 中点. 1AB 与1A B 交于点O .（Ⅰ）求证： 1//AC 平面1AB D ； （Ⅱ）求证：1A B ⊥平面1AB C ;（Ⅲ）在线段1B C 上是否存在点E ，使得BC AE ⊥？请说明理由.2、（朝阳区2016届高三上学期期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．（Ⅰ）求证：AB ∥EF ；（Ⅱ）若PA AD =，且平面PAD ⊥平 面ABCD ，试证明AF ⊥平面PCD ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段PB 上是否存在点M ,使得EM ⊥平面PCD ?（直接给出结论，不需要说明理由）3、（朝阳区2016届高三上学期期中）如图, 在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ,CB AC ⊥,点D 是AB 的中点．（Ⅰ）求证：1AC BC ⊥；（Ⅱ）求证：1AC ∥平面1CDB .(Ⅲ)设12AB AA =,AC BC =,在线段11A B 上是否存在点M ，使得1BM CB ⊥?若存在,确定点M 的位置;F D CP EA若不存在，说明理由.4、（大兴区2016届高三上学期期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1C C ABC ⊥底面，14CC AB AC BC ====，D 为线段AC 的中点．（Ⅰ）求证：直线1AB ∥平面1BC D ； （Ⅱ）求证：平面1BC D ⊥平面11A ACC （Ⅲ）求三棱锥1D C CB -的体积．5、（东城区2016届高三上学期期末）如图，在四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥， CD ⊥平面ADE , AB ⊥平面ADE ，3CD AB =.（Ⅰ）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；（Ⅱ）在线段DE 上是否存在一点F ,使AF P 平面BCE ？若存在,求出EFED的值；若不存在，说明理由.6、（丰台区2016届高三上学期期末）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为 4的菱形， 4PD PB ==，060BAD ∠=，A BC DA 1B 1C1PEDCBAE 为PA 中点.（Ⅰ）求证：//PC 平面EBD ； （Ⅱ）求证：平面EBD ⊥平面PAC ； （Ⅲ）若PA PC =，求三棱锥C ABE -的体积.7、（海淀区2016届高三上学期期末）如图，四边形ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，PD BE P ，22AD PD BE ===,60DAB ∠=o ，点F 为PA 的中点.（Ⅰ）求证：EF P 平面ABCD ； （Ⅱ）求证：平面PAE ⊥平面PAD ； （Ⅲ）求三棱锥P ADE -的体积.8、（石景山区2016届高三上学期期末）如图，已知三棱柱111C B A ABC -中， 1AA ⊥底面ABC ，2==BC AC ，41=AA ，22=AB ，N M ,分别是棱1CC ，AB 中点．（Ⅰ）求证：CN ⊥平面11A ABB ； （Ⅱ）求证：CN ∥平面1AMB ； （Ⅲ）求三棱锥AMN B -1的体积．FE BAPDC9、（顺义区2016届高三上学期期末）如图PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，1,2PA AB AD ===，点F 是PB 的中点，点E 是BC 边上的任意一点.（Ⅰ）求三棱锥E —PAD 的体积；（Ⅱ）当E 是BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）证明：AF PE ⊥.10、（西城区2016届高三上学期期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=o ，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=o ,6AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ；（Ⅲ）当12PM MD =时，求四棱锥M ECDF -的体积. 参考答案1、（Ⅰ）证明: 连结OD .F CADPMB EABCA 1B 1C 1D OE在直三棱柱111ABC A B C -中,因为 1AB AA =,所以 四边形11AA B B 为正方形, 所以 O 为1A B 中点. 因为 D 为BC 中点， 所以 OD 为1A BC ∆的中位线, 所以1//.OD AC因为 1AC ⊄平面1AB D , OD ⊂平面1AB D ,所以1//A C 平面1AB D . ……………………4分 （Ⅱ）在直三棱柱111ABC A B C -中,AC AB ⊥,1AC AA ⊥,1AA AB A =I , 所以 AC ⊥平面11AA B B , 所以1.AC A B ⊥在正方形11AA B B 中, 11,A B AB ⊥1AC AB A =I所以 1A B ⊥平面1AB C . ……………………9分 （Ⅲ） 存在取1B C 中点E ,连结DE ,AE . 所以1//DE BB . 所以DE BC ⊥.因为AB AC =,D 为BC 中点, 所以AD BC ⊥. 因为AD DE D =I , 所以BC ⊥平面ADE . 所以BC AE ⊥.所以 当E 为1B C 中点时, BC AE ⊥. ………………14分 2、（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是正方形， 所以AB ∥CD ．又因为AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以AB ∥平面PCD ．又因为,,,A B E F 四点共面，且平面ABEF I 平面PCD EF =， 所以AB ∥EF ．……………………5分 （Ⅱ）在正方形ABCD 中，CD AD ⊥．又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 且平面PAD I 平面ABCD AD =，所以CD ⊥平面PAD ．又AF ⊂平面PAD 所以CD AF ⊥．由（Ⅰ）可知AB ∥EF ，又因为AB ∥CD ,所以CD ∥EF .由点E 是棱PC 中点，所以点F 是棱PD 中点． 在△PAD 中，因为PA AD =，所以AF PD ⊥．又因为PD CD D =I ，所以AF ⊥平面PCD ．…………………………………11分 （Ⅲ）不存在． …………………………………………………………14分 3、（I ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为1CC ⊥底面ABC ，AC ⊂底面ABC ， 所以1CC AC ⊥.又AC BC ⊥，1BC CC C =I , 所以11AC BCC B ⊥平面． 而111BC BCC B ⊂平面，则1AC BC ⊥. …………………..4分 (Ⅱ)设1CB 与1C B 的交点为E ，连结DE ， 因为D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点，F DCP EAE所以DE ∥1AC .因为1DE CDB ⊂平面，11AC CDB ⊄平面， 所以1AC ∥1CDB 平面.…………………..9分(Ⅲ)在线段11A B 上存在点M ，使得1BM CB ⊥,且M 为线段11A B 的中点.证明如下：因为1AA ⊥底面ABC ，CD ⊂底面ABC , 所以1AA CD ⊥.由已知AC BC =，D 为线段AB 的中点， 所以CD AB ⊥. 又1AA AB A =I ， 所以CD ⊥平面11AA B B .取线段11A B 的中点M ，连接BM . 因为BM ⊂平面11AA B B ，所以CD BM ⊥.由已知12AB AA =，由平面几何知识可得1BM B D ⊥. 又1CD B D D =I ,所以BM ⊥平面1B CD . 又1B C ⊂平面1B CD ， 所以1BM CB ⊥.…………………..14分4、（Ⅰ）联结1B C 交1BC 于点M ，联结DM ， ……1分在1ACB ∆中， D 为AC 中点，M 为1B C 中点，所以1DM//AB …… 2分11AB BC D ⊄又因为平面，…… 3分 1DM BC D ⊂平面 …… 4分所以1AB //平面1BC D …… 5分（Ⅱ）因为1CC ⊥底面ABC BD ⊂，ABC 底面,所以1CC BD ⊥. …… 1分在ABC ∆中，AB=BC ，D 为AC 中点，EM所以BD AC ⊥. …… 2分1AC CC C ⋂=又因为 …… 3分11BD ACC A ⊥所以平面 …… 4分1BD C DB ⊂又因为平面 …… 5分111C DB ACC A ⊥所以平面平面 …… 6分（Ⅲ）因为1CC ⊥11ABC CC C -DBC 底面，所以为三棱锥的高 …… 1分 所以11113D C CB C BCD BCD V V S CC --∆==⨯ …… 2分112432=⨯⨯⨯ …… 3分 5、证明：（Ⅰ）因为CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以CD AE ⊥. 又因为AE DE ⊥，CD DE D =I , 所以AE ⊥平面CDE .又因为AE ⊂平面ACE ， 所以平面ACE ⊥平面CDE . ………………………………7分（Ⅱ）在线段DE 上存在一点F ,且13EF ED =，使AF P 平面BCE . 设F 为线段DE 上一点, 且13EF ED =.过点F 作FM P CD 交CE 于M ，则13FM CD =.因为CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ， 所以CD AB P .又FM P CD ， 所以FM AB P .因为3CD AB =，所以FM AB =. 所以四边形ABMF 是平行四边形. 所以AF BM P .又因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ，ABCED FM所以AF P 平面BCE . ……………………………13分6、解（Ⅰ）设AC BD O =I ，连结EO ，∵E 为PA 中点，O 为AC 中点， ∴EO ∥PC ． 又∵EO ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ，∴PC ∥平面EBD ． …………5分 （Ⅱ）连结PO ，∵PD PB =,O 为BD 中点， ∴PO BD ⊥． 又∵底面ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥. ∵PO AC O =I , ∴BD ⊥平面PAC . 又∵BD ⊂平面EBD ,∴平面EBD ⊥平面PAC .……………10分 （Ⅲ）C ABE E ABC V V --= ………12分11322POAC OB =⨯⨯⨯⨯1246=⨯=． ……………14分 7、解：（Ⅰ）取AD 中点G ，连接,FG BG 因为点F 为PA 的中点，所以FG PD P 且12FG PD = …………………………….1分 又BE PD P ，且12BE PD = ，所以,,BE FG BE FG =P所以四边形BGFE 为平行四边形. …………………………….2分 所以,EF BG POABCD EPGFEBAPDC又EF ⊄平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD , …………………………….3分 所以EF P 平面ABCD . …………………………….4分 （Ⅱ）连接BD .因为四边形ABCD 为菱形，=60DAB ∠o ，所以ABD ∆为等边三角形. 因为G 为AD 中点，所以BG AD ⊥， …………………………….6分 又因为PD ⊥平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD ，所以PD BG ⊥， ………………………….7分又PD AD D =I ，,PD AD ⊂平面PAD ， …………………………….8分 所以BG ⊥平面PAD . …………………………….9分 又,EF BG P 所以EF ⊥平面PAD ，又EF ⊂平面PAE ，所以平面PAE ⊥平面PAD . …………………………….10分 法二：因为四边形ABCD 为菱形，=60DAB ∠o ，所以ABD ∆为等边三角形. 因为G 为AD 中点，所以BG AD ⊥， …………………………….6分 又因为PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ， …………………………….7分又平面PAD ABCD AD =I 平面，BG ⊂平面ABCD , ………………………….8分 所以BG ⊥平面PAD . …………………………….9分 又,EF BG P 所以EF ⊥平面PAD ，又EF ⊂平面PAE ，所以平面PAE ⊥平面PAD . ………………………….10分 （Ⅲ）因为122PAD S PD AD ∆=⋅=， …………………………….12分 3EF BG ==, 所以1233P ADE PAD V S EF -∆=⋅=. …………………………….14分 8、解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，又因为CN ⊂平面ABC ，所以1AA CN ⊥. ………1分 因为2AC BC ==，N 是AB 中点，所以CN AB ⊥. ………3分 因为1AA AB A ⋂=， ………4分 所以CN ⊥平面11ABB A . ………5分（Ⅱ）证明：取1AB 的中点G ，连结MG ，NG ，因为N ，G 分别是棱AB ，1AB 中点，所以NG ∥1BB ，112NG BB =. ………6分又因为CM ∥1BB ，112CM BB =， 所以CM ∥NG ，CM ＝NG .所以四边形CNGM 是平行四边形．所以CN ∥MG . ………8分 因为CN ⊄平面1AMB ，MG ⊂平面1AMB ， ………9分 所以CN ∥平面1AMB . ………10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知MG ⊥平面1AB N .所以111144323B AMN M AB N V V --==⨯= ………14分 9、解：（Ⅰ）平面，底面是矩形，【4分】（Ⅱ）当为的中点时，是的中点，∥，平面平面∥平面. 【8分】（Ⅲ），是的中点，底面，，又平面【11分】平面，又，平面，平面，【13分】10、（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=o ， 所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=o ，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. (3)分又因为PA AC A =I ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………5分（Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点， 所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//MF 平面PAB . ………………7分 同理，得//EF 平面PAB .又因为=MF EF F I ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ， 所以平面//MEF 平面PAB . ………………9分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………10分（Ⅲ）解：在PAD ∆中，过M 作//MN PA 交AD 于点N （图略）， 由12PM MD =，得23MN PA =， 又因为6PA =，所以4MN =， ……………… 12分因为PA ⊥底面ABCD ，所以MN ⊥底面ABCD ，所以四棱锥M ECDF -的体积1166424332M ECDF ECDF V S MN -⨯=⨯⨯=⨯⨯=Y . …… 14分FC ADPMB E。
北京市部分区2016届高三上学期期中期末数学理试题分类汇编：函数
北京部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编 函数一、选择题 1、（昌平区2016届高三上学期期末）下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是A ．y x =B. 1y x =C. 1()2xy = D. 12log y x = 2、（朝阳区2016届高三上学期期末）设函数()f x 的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x D ∈，都有()()f x m f x +>，则称()f x 为D 上的“m 型增函数”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()f x x a a =--（a ∈R ）．若()f x 为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是A ．0a >B ．5a <C ．10a <D ．20a <3、（朝阳区2016届高三上学期期中）已知定义在R 上的函数⎩⎨⎧-∈-∈+=),0 ,1[,2),1 ,0[,2)(22x x x x x f 且)()2(x f x f =+．若方程()2=0f x kx --有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,1)3B ．11(,)34-- C ．11(,1)(1,)33--U D ．1111(,)(,)3443--U4、（大兴区2016届高三上学期期末）下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间(1,1)-内有零点的函数是 （A ）3y x=- （B ）12-=x y（C ）212y x =- （D ）2log (2)y x =+5、（东城区2016届高三上学期期末）已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2m c =，那么,,a b c 之间的大小关系为（A ）b c a << （B ）b a c << （C ）a b c << （D ）c a b << 6、（东城区2016届高三上学期期中）下列函数为奇函数的是A 、lg y x =B 、sin y x =C 、12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D 、y x =7、（海淀区2016届高三上学期期中）下列函数中为偶函数的是8、（海淀区2016届高三上学期期中）如图，点O 为坐标原点，点A （1,1）．若函数且）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足9、（海淀区2016届高三上学期期中）已知函数函数．若函数恰好有2个不同零点，则实数a 的取值范围是10、（（西城区2016届高三上学期期末）下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ）（A ）21y x =+ （B ）e e x x y -=- （C ）lg ||y x = （D ）2y x = 11、（东城区2016届高三上学期期中）已知函数11y x =-，那么 A 、函数的单调递减区间为（－∞，1），（1，＋∞） B 、函数的单调递减区间为（－∞，1］U （1，＋∞） C 、函数的单调递增区间为（－∞，1），（1，＋∞） D 、函数的单调递增区间为（－∞，1］U （1，＋∞） 12、（东城区2016届高三上学期期中） 设，则下列关系式中正确的是A 、N ＝R ＜MB 、N ＝R ＞MC 、M ＝R ＜ND 、M ＝R ＞N参考答案1、A2、B3、C4、B5、C6、B7、B8、A9、D 10、C11、A 12、C 二、填空题1、（昌平区2016届高三上学期期末）已知函数2()|3|,.f x x x x =-∈R 若方程()|1|0f x a x -+=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是_____________________．2、（大兴区2016届高三上学期期末）0.32a =，1ln 2b =，sin1c =，则a ，b ，c 之间的大小关系是 .3、（东城区2016届高三上学期期中）函数－2）的定义域是4、（丰台区2016届高三上学期期末）设函数(1),()ln()(1).x a x f x x a x ⎧-<=⎨+≥⎩e 其中1a >-.①当0a =时，若()0f x =，则x =__________；②若()f x 在），（∞+∞-上是单调递增函数，则a 的取值范围________. 5、（海淀区2016届高三上学期期末）已知函数22,0,(),0.xa x f x x ax x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩ 若()f x 的最小值是a ，则__.a =6、（西城区2016届高三上学期期末）某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C o）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C o的保鲜时间是16小时. 已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论：○1 该食品在6C o的保鲜时间是8小时； ○2 当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少； ○3 到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○4 到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.参考答案1、(0,1)(9,)+∞U2、b c a <<3、4、1 , [)1,e -+∞5、－46、○1 ○4三、解答题 1、（东城区2016届高三上学期期中）如图所示，函数f （x ）的定义域为［－1,2］，f （x ）的图象为折线AB 、BC 。
北京市西城区2016届高三上学期期末考试数学理试题(WORD版)-含答案
北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2016.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(,1]-∞- （B ）(,1]-∞（C ）[1,)-+∞（D ）[1,)+∞2. 下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ）（A ）21y x =+ （B ）e e x x y -=- （C ）lg ||y x = （D ）2y x =3. 设命题p ：“若1sin 2α=，则π6α=”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（ ） （A ）“p q ∧”为真命题 （B ）“p q ∨”为假命题 （C ）“q ⌝”为假命题 （D ）以上都不对4. 在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，212n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个 几何体的表面积是（ ） （A ）1623+ （B ）1625+ （C ）2023+ （D ）2025+侧(左)视图正(主)视图俯视图22 1 1开始 4x >输出y 结束否 是 输入xy=12○1 6. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（ ）（A ）32 （B ）32- （C ）14（D ）14-7. 某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元;超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1处应填（ ） （A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++8. 如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（ ） （A ）(0,7) （B ）(4,7) （C ）(0,4) （D ）(5,16)-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）E FD P C A BB OC A NM二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则cos C =____.11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.12．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，3AB =，4BC =，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN =____；AMMC= ____.13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C 的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论： ○1 该食品在6C 的保鲜时间是8小时；○2 当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少； ○3 到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○4 到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+-，x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设0α>，若函数()()g x f x α=+为奇函数，求α的最小值.16．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下： 甲 6 6 9 9 乙79xy（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果7x y ==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ； （Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PMPD的值.18．（本小题满分13分）F CADPMB E已知函数2()1f x x =-，函数()2ln g x t x =，其中1t ≤．（Ⅰ）如果函数()f x 与()g x 在1x =处的切线均为l ，求切线l 的方程及t 的值； （Ⅱ）如果曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，点3(1,)2A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）在数字21,2,,()n n ≥的任意一个排列A ：12,,,n a a a 中，如果对于,,i j i j *∈<N ，有i j a a >，那么就称(,)i j a a 为一个逆序对. 记排列A 中逆序对的个数为()S A .如=4n 时，在排列B ：3, 2, 4, 1中，逆序对有(3,2)，(3,1)，(2,1)，(4,1)，则()4S B =.（Ⅰ）设排列 C ： 3, 5, 6, 4, 1, 2，写出()S C 的值；（Ⅱ）对于数字1，2，，n 的一切排列A ，求所有()S A 的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A ：12,,,n a a a 中两个数字,()i j a a i j <交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A '：12,,,n b b b ，求证：()()S A S A '+为奇数.北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．13i -- 10．7911．12y x =±12 12． 132- 91613．54 14．○1 ○4 注：第11，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+- 23sin cos (2cos 1)2x x x =+-13sin 2cos222x x=+ ………………4分πsin(2)3x =+，………………6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ………………7分由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ，得5ππππ+1212x k k -≤≤， 所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ………………9分 （注：或者写成单调递增区间为5ππππ+)1212(k k -,，k ∈Z . ） （Ⅱ）解：由题意，得π()()sin(22)3g x f x x αα=+=++，因为函数()g x 为奇函数，且x ∈R ，所以(0)0g =，即πsin(2)03α+=， ………………11分所以π2π3k α+=，k ∈Z ， 解得ππ26k α=-，k ∈Z ，验证知其符合题意. 又因为0α>， 所以α的最小值为π3. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A ， ………………1分 由题意，得2421()C 3P A ==， 所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为13. ……4分（Ⅱ）解：由题意，X 的所有可能取值为13，15，16，18， ………………5分且3(13)8P X ==，1(15)8P X ==，3(16)8P X ==，1(18)8P X ==，………………7分所以X 的分布列为：X 13 15 16 18P38 1838 18……………… 8分 所以3131()13151618158888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=， 所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分 因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分 又因为PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………4分 （Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点， 所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，FADPMz所以//MF 平面PAB . ………………5分 同理，得//EF 平面PAB . 又因为=MFEF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB . ………………7分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………9分（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-， ………………10分 设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--， 所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m . ………………11分 设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ， 由0BC ⋅=n ，0PB ⋅=n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………12分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅m n m n ， ………………13分所以 2|22|||3λλ-=， 解得332λ-=，或332λ+=（舍）. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：求导，得()2f x x '=，2()tg x x'=，(0)x >． ………………2分 由题意，得切线l 的斜率(1)(1)k f g ''==，即22k t ==，解得1t =． ……………3分 又切点坐标为(1,0)，所以切线l 的方程为220x y --=． ………………4分（Ⅱ）解：设函数2()()()12ln h x f x g x x t x =-=--，(0,)x ∈+∞． ………………5分 “曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()y h x =有且仅有一 个零点”．求导，得2222()2t x th x x x x-'=-=. ………………6分① 当0t ≤时，由(0,)x ∈+∞，得()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增．又因为(1)0h =，所以()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………8分② 当1t =时，当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x(0,1)1(1,)+∞()h x '-0 +()h x↘↗所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min()(1)0h x h ==，故()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………10分③ 当01t <<时， 令()0h x '=，解得x t =．当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x(0,)tt(,)t +∞()h x '-0 +()h x↘↗所以()h x 在(0,)t 上单调递减，在(,)t +∞上单调递增， 所以当x t =时，min()()h x h t =． ………………11分因为(1)0h =，1t <，且()h x 在(,)t +∞上单调递增， 所以()(1)0h t h <=.又因为存在12e(0,1)t-∈ ，111122()12ln 0tttth t ----=--=>ee ee ，所以存在0(0,1)x ∈使得0()0h x =，所以函数()y h x =存在两个零点0x ，1，与题意不符.综上，曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点时，t 的范围是0{|t t ≤，或1}t =.………………13分19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：由题意，得32c a =，222a b c =+， ………………2分 又因为点3(1,)2A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， ………………3分解得2a =，1b =，3c =，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . ………………5分（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=. ………………6分 证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. ………………7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ………………8分 因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ………………9分由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=， ………………10分则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -⋅=+， ………………11分设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ， 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+， ………………12分将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-.要使得12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. ………………13分当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±， 此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-. 综上，当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足斜率之积12k k 为定值14-. ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()10S C =； ………………2分 （Ⅱ）解：考察排列D ：121,,,,n n d d d d -与排列1121,,,,n n D d d d d -：，因为数对(,)i j d d 与(,)j i d d 中必有一个为逆序对（其中1i j n <≤≤）， 且排列D 中数对(,)i j d d 共有2(1)C 2n n n -=个， ………………3分 所以1(1)()()2n n S D S D -+=. ………………5分 所以排列D 与1D 的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. ………………6分 而对于数字1，2，，n 的任意一个排列A ：12,,,n a a a ，都可以构造排列A 1：121,,,,n n a a a a -，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. 所以所有()S A 的算术平均值为(1)4n n -. ………………7分（Ⅲ）证明：○1当1j i =+，即,i j a a 相邻时， 不妨设1i i a a +<，则排列A '为12112,,,,,,,,i i i i n a a a a a a a -++，此时排列A '与排列A ：12,,,n a a a 相比，仅多了一个逆序对1(,)i i a a +，所以()()1S A S A '=+，所以()()2()1S A S A S A '+=+为奇数. ………………10分 ○2当1j i ≠+，即,i j a a 不相邻时，假设,i j a a 之间有m 个数字，记排列A ：1212,,,,,,,,,,i m j n a a a k k k a a ，先将i a 向右移动一个位置，得到排列A 1：12112,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k a k k a a -，由○1，知1()S A 与()S A 的奇偶性不同， 再将i a 向右移动一个位置，得到排列A 2：121123,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k k a k k a a -，由○1，知2()S A 与1()S A 的奇偶性不同，以此类推，i a 共向右移动m 次，得到排列A m ：1212,,,,,,,,,,m i j n a a k k k a a a ， 再将j a 向左移动一个位置，得到排列A m +1：1211,,,,,,,,,,i m j i n a a a k k a a a -，以此类推，j a 共向左移动m +1次，得到排列A 2m +1：121,,,,,,,,,j m i n a a a k k a a ，即为排列A '，由○1，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化， 而排列A 经过21m +次的前后两数交换位置，可以得到排列A '， 所以排列A 与排列A '的逆序数的奇偶性不同， 所以()()S A S A '+为奇数.综上，得()()S A S A '+为奇数. ………………13分。
北京市部分区届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编：数列.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作北京部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编数列一、选择题1、（昌平区2016届高三上学期期末）已知函数f (x ) 的部分对应值如表所示. 数列{}n a 满足11,a =且对任意*n ∈N ，点1(,)n n a a +都在函数()f x 的图象上，则2016a 的值为x1 2 3 4 ()f x3124A . 1 B.2 C. 3 D. 42、（朝阳区2016届高三上学期期中） 已知等差数列{}n a 的公差为2，若124, , a a a 成等比数列，那么1a 等于（ ）A. 2B. 1C. 1-D. 2- 3、（东城区2016届高三上学期期中）在等差数列{}n a 中，，前n 项和Sn ＝100，则公差d 和项数n 为A 、d ＝12，n ＝4B 、d ＝－18，n ＝2C 、d ＝16，n ＝3D 、d ＝16，n ＝44、（丰台区2016届高三上学期期末）已知数列{}n a 中，1111,1n na a a +==+，若利用下 面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是 （A ）2014≤n （B ）2016n ≤（C ）2015≤n？结束输出A 否是A =1A +1n =n +1n =1,A =1开始（D ）2017n ≤5、（海淀区2016届高三上学期期中）数列的前n 项和为，则的值为A ．1B ．3C ．5D ．66、（石景山区2016届高三上学期期末）已知数列{}n a 是等差数列，348,4a a ==， 则前n 项和n S 中最大的是（ ）A.3SB.4S 或5SC.5S 或6SD.6S7、（西城区2016届高三上学期期末）在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，212n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件参考答案1、B2、A3、D4、C5、C6、B7、B二、填空题1、（朝阳区2016届高三上学期期末）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若22a =，则132a a +的最小值是2、（大兴区2016届高三上学期期末）已知数列{}n a 是等差数列，公差0d ≠，11a =，1a ，3a ，6a 成等比数列，则数列{}n a 的公差d 等于 ；前n 项和n S 等于 .3、（东城区2016届高三上学期期末）数列{}n a 满足：*112(1,)n n n a a a n n N -++>>∈，给出下述命题：①若数列{}n a 满足：21a a >，则*1(1,)n n a a n n N ->>∈成立； ②存在常数c ，使得*()n a c n N >∈成立；③若*(,,,)p q m n p q m n N +>+∈其中，则p q m n a a a a +>+；④存在常数d ，使得*1(1)()n a a n d n N >+-∈都成立．上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号) 4、（东城区2016届高三上学期期中） 在数列{}n a 中，5、（丰台区2016届高三上学期期末）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7=42S ,则237a a a ++= .6、（海淀区2016届高三上学期期末）已知等比数列{}n a 的公比为2，若234a a +=，则14___.a a +=7、（海淀区2016届高三上学期期中）已知等差数列的公差，且39108a a a a +=-．若na ＝0 ，则n ＝参考答案1、422、217,48n n +3、①④4、121)2n -（ 5、186、67、5三、解答题1、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知有穷数列：*123,,,,(,3)k a a a a k k ∈≥N 的各项均为正数，且满足条件： ①1k a a =；②11212(1,2,3,,1)n n n n a a n k a a +++=+=-．（Ⅰ）若13,2k a ==，求出这个数列； （Ⅱ）若4k =，求1a 的所有取值的集合； （Ⅲ）若k 是偶数，求1a 的最大值（用k 表示）．2、（朝阳区2016届高三上学期期中） 已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差1d =，前n 项和为n S ，且1n nb S =. （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求证：1232n b b b b ++++<.3、（东城区2016届高三上学期期末）设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列，1234,3,2a a a 成等差数列,且它的前4项和415s =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2,(1,2,3......)n n b a n n =+=,求数列{}n b 的前n 项和.4、（东城区2016届高三上学期期中）设数列{}n a 的前n 项和Sn ＝（I ）求（II ）求证：数列{}n a 为等比数列5、（丰台区2016届高三上学期期末）已知数列{}n a 的各项均为正数，满足11a =，1k k i a a a +-=.,1,2,i k k ≤=（3,,1)n -（Ⅰ）求证：111,2,3,,1)k k a a k n +-≥=-（；（Ⅱ）若{}n a 是等比数列，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：12)1(21-≤≤+n n S n n .6、（海淀区2016届高三上学期期末）若实数数列{}n a 满足*21()n n n a a a n ++=-∈N ，则称数列{}n a 为“P 数列”.（Ⅰ）若数列{}n a 是P 数列，且140,1a a ==，求3a ，5a 的值；(Ⅱ) 求证：若数列{}n a 是P 数列，则{}n a 的项不可能全是正数，也不可能全是负数；(Ⅲ) 若数列{}n a 为P 数列，且{}n a 中不含值为零的项，记{}n a 前2016项中值为负数的项的个数为m ，求m 所有可能取值.7、（海淀区2016届高三上学期期中）已知等比数列的公比，其n 前项和为（Ⅰ）求公比q 和a 5的值； （Ⅱ）求证：8、（石景山区2016届高三上学期期末）给定一个数列{}n a ，在这个数列里，任取*(3,)m m m N ≥∈项，并且不改变它们在数列{}n a 中的先后次序，得到的数列称为数列{}n a 的一个m 阶子数列．已知数列{}n a 的通项公式为1n a n a=+（*,n N a ∈为常数），等差数列236,,a a a 是 数列{}n a 的一个3阶子数列． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）等差数列12,,...,m b b b 是{}n a 的一个*(3,)m m m N ≥∈ 阶子数列，且11b k=(k 为常数，*,2)k N k ∈≥，求证：1m k ≤+； （Ⅲ）等比数列12,,...,m c c c 是{}n a 的一个*(3,)m m m N ≥∈ 阶子数列，求证：1211 (22)m m c c c -+++≤-．11、（西城区2016届高三上学期期末）参考答案1、解：（Ⅰ）因为13,2k a ==，由①知32a =； 由②知，21211223a a a a +=+=，整理得，2222310a a -+=．解得，21a =或212a =． 当21a =时，不满足2323212a a a a +=+，舍去； 所以，这个数列为12,,22． …………………………………………………3分 （Ⅱ）若4k =，由①知4a =1a ． 因为11212(1,2,3)n n n n a a n a a +++=+=，所以111(2)(1)0n n n n a a a a ++--=． 所以112n n a a +=或11(1,2,3)n n a n a +==． 如果由1a 计算4a 没有用到或者恰用了2次11n na a +=，显然不满足条件；所以由1a 计算4a 只能恰好1次或者3次用到11n na a +=，共有下面4种情况： （1）若211a a =，3212a a =，4312a a =，则41114a a a ==，解得112a =； （2）若2112a a =，321a a =，4312a a =，则4111a a a ==，解得11a =；（3）若2112a a =，3212a a =，431a a =，则4114a a a ==，解得12a =；（4）若211a a =，321a a =，431a a =，则4111a a a ==，解得11a =； 综上，1a 的所有取值的集合为1{,1,2}2． ………………………………………………8分 （Ⅲ）依题意，设*2,,m 2k m m =∈≥N ．由（II ）知，112n n a a +=或11(1,2,3,21)n n a n m a +==-．假设从1a 到2m a 恰用了i 次递推关系11n n a a +=，用了21m i --次递推关系112n n a a +=， 则有(1)211()2itm a a -=⋅，其中21,t m i t ≤--∈Z ． 当i 是偶数时，0t ≠，2111()2tm a a a =⋅=无正数解，不满足条件； 当i 是奇数时，由12111(),21222t m a a a t m i m -=⋅=≤--≤-得22211()22t m a -=≤，所以112m a -≤．又当1i =时，若213221222211111,,,,222m m m m a a a a a a a a ---====， 有222111()2m m a a --=⋅，222112m m a a a -==，即112m a -=． 所以，1a 的最大值是12m -．即1212ka -=．…………………………………13分2、3、解：（Ⅰ）因为{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列， 所以11n n a a q -=．因为1234,3,2a a a 成等差数列，所以213642,a a a =+即2320q q -+=．解得2,1()q q ==舍.又它的前4和415s =，得41(1)15(0,1)1a q q q q-=>≠-， 解得11a = ．所以12n n a -= . …………………9分 （Ⅱ）因为2n n b a n =+， 所以11122(n 1)1n n nn i i i i i b a i n ====+=++-∑∑∑． ………………13分4、5、（Ⅰ）证明：因为1,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=>≤=-0（，所以数列{}n a 是递增数列，即231n a a a <<<<. 又因为11,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≥≤=-（，所以111,2,3,,1)k k a a k n +-≥=-（. …………………………3分（Ⅱ）解：因为211a a a -=，所以212a a =；因为{}n a 是等比数列，所以数列{}n a 的公比为2.因为1,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≤=-（，所以当=i k 时有1=2k k a a +.这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列.所以12n n a -=. …………………………8分（Ⅲ）证明：因为11=1a =，22=2a =，2332a ≤≤， 3442a ≤≤ (1)2n n n a -≤≤由上面n 个式子相加，得到：0121123+2+3++2+2+2++2n n n a a a a -≤++++≤1，化简得1231))(21)2n n n n a a a a +<++++<-（（所以12)1(21-≤≤+n n S n n . ………13分6、（Ⅰ）因为{}n a 是P 数列，且10a =，所以3202||||a a a a =-=，所以43222a a a a a =-=-, 所以221a a -=，解得212a =-, …………………………….1分所以3511,||22a a a a ==-=. …………………………….3分(Ⅱ) 假设P 数列{}n a 的项都是正数，即120,0,0n n n a a a ++>>>，所以21n n n a a a ++=-，3210n n n n a a a a +++=-=-<，与假设矛盾. 故P 数列{}n a 的项不可能全是正数,…………………………….5分 假设P 数列{}n a 的项都是负数，则0,n a <而210n n n a a a ++=->,与假设矛盾,…………………………….7分 故P 数列{}n a 的项不可能全是负数.(Ⅲ)由(Ⅱ)可知P 数列{}n a 中项既有负数也有正数， 且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数. 因此存在最小的正整数k 满足10,0k k a a +<>（5k ≤）. 设1,(,0)k k a a a b a b +=-=>，则2345,,,k k k k a b a a a a b a b a ++++=+==-=-.678910,,,,k k k k k a b a b a b a a a a b a a a b +++++=-+=-+=-=-=,故有9k k a a +=, 即数列{}n a 是周期为9的数列…………………………….9分由上可知18,,,k k k a a a ++⋅⋅⋅这9项中4,k k a a +为负数，5,8k k a a ++这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数. 因为20169224=⨯,所以当1k =时，2243672m =⨯=;当25k ≤≤时，121,,,k a a a -⋅⋅⋅这1k -项中至多有一项为负数，而且负数项只能是1k a -,记12016,,,k k a a a +⋅⋅⋅这2007k -项中负数项的个数为t ，当2,3,4k =时，若10,k a -<则11k k k k b a a a a a +-==->=，故8k a +为负数， 此时671t =，671+1=672m =；若10,k a ->则11k k k k b a a a a a +-==-<=，故5k a +为负数. 此时672t =，672m =，当5k =时，1k a -必须为负数，671t =，672m =,…………………………….12分 综上可知m 的取值集合为{672}.…………………………….13分 7、解：（Ⅰ）法一：因为{}n a 为等比数列， 且3244a a a =，所以2334a a =，所以34a =， 因为233141a a q a ===，所以2q =±. 因为0n a >，所以0q >，即2q = ---------------------------3分 所以45116a a q ==. --------------------------6分 法二：因为{}n a 为等比数列，且3244a a a =，所以24114a q a q =，所以24q =，所以2q =±,因为0n a >，所以0q >，即2q = ---------------------------3分 所以45116a a q ==. --------------------------6分（Ⅱ）法一：因为2q =，所以1112n n n a a q --==, --------------------------８分因为1(1)211n n n a q S q-==--, --------------------------10分所以11211222n n n n n S a ---==-,因为1102n ->，所以11222n n n S a -=-<. --------------------------13分 法二：因为2q =，所以1112n n n a a q --==, --------------------------８分所以1(1)211n n n a q S q-==--, --------------------------10分 所以11202nn n S a --=-<，所以2n nSa <.--------------------------13分 法三：因为2q =，所以1112n n n a a q --==,--------------------------８分 所以1(1)211nn n a q S q -==--.--------------------------10分 要证2n nS a <，只需2n n S a <， 只需212n n-<上式显然成立，得证.--------------------------13分 8、解：（1）因为236,,a a a 成等差数列，所以2336a a a a -=-． 又因为212a a =+，313a a =+，616a a =+， 代入得11112336a a a a -=-++++，解得0a =．………………3分 （2）设等差数列12,,,m a a a 的公差为d ． 因为11b k =，所以211b k ≤+， 从而211111(1)d b b k k k k =-≤-=-++． 所以111(1)(1)m m b b m d k k k -=+-≤-+． (5)分 又因为0m b >，所以110(1)m k k k -->+．即11m k -<+．所以2m k <+．又因为*,m k N ∈，所以1m k ≤+． ………………8分（3）设11c t = (*t N ∈)，等比数列123,,m c c c c 的公比为q ． 因为211c t ≤+，所以211c t q c t =≤+． 从而11*111()(1,)1n n n c c q n m n N t t --=≤≤≤∈+． ………………9分 所以1211231111()()()111m m t t t c c c c t t t t t t t -++++≤++++++ ＝1[1()]1m t t t t +-+ ＝11()1m t t t t -+-+． 设函数*11(),(3,)m f x x m m N x -=-≥∈．当(0,)x ∈+∞时，函数11()m f x x x -=-为单调增函数．因为当*t N ∈，所以112t t +<≤．所以111()22m t f t -+≤-． 即1211......22m m c c c -+++≤-． ………………13分。
北京市部分区届高三上学期期中期末考试数学文分类汇编：函数.docx
北京市部分区2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编函数一、选择题1、（昌平区2016届高三上学期期末）下列函数中，为偶函数的是（ ） A. y x =B. 2x y =C.sin y x =D. cos y x =2、（朝阳区2016届高三上学期期末）下列函数中，既是奇函数又存在零点的是A ．()f x x =B ．1()f x x=C ．()e xf x = D ．()sin f x x = 3、（朝阳区2016届高三上学期期中）下列函数在(,0)(0,)-∞+∞上既是偶函数，又在),0(+∞上单调递增的是A ．2y x =-B ．1y x -=C ．2log y x =D ．2xy =-4、（大兴区2016届高三上学期期末）下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间(1,1)-内有零点的函数是（A ）12log y x=（B ）21xy =-（C ）212y x =-（D ）3y x =- 5、（东城区2016届高三上学期期末）给出下列函数：①2log y x = ； ②2y x = ； ③2xy =； ④2y x=. 其中图象关于y 轴对称的是（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）②④6、（东城区2016届高三上学期期中）下列函数中，定义域与值域相同的是7、（丰台区2016届高三上学期期末）函数0.5()log (1)f x x =-的定义域为（A ）(1,)-+∞ （B ）(1,)+∞ （C ）(0,)+∞ （D ）(,0)-∞8、（海淀区2016届高三上学期期末）已知下列函数：①3()f x x x =-；②()cos 2f x x =；③()ln(1)ln(1)f x x x =--+，其中奇函数有_________个.9、（海淀区2016届高三上学期期中）下列函数中为偶函数的是 A ．B ． | |C ． －D ．10、（石景山区2016届高三上学期期末）若函数()y f x =的定义域为{}|22x x M =-≤≤,值域为{}|02N y y =≤≤,则函数()y f x =的图象可能是（ ）11、（顺义区2016届高三上学期期末）下列函数中为奇函数的是 （ ） （A ）sin y x x =⋅（B ）cos y x x =⋅（C ）ln ||y x =（D ）21x y =-12、（西城区2016届高三上学期期末）下列函数中，值域为[0,)+∞的偶函数是（ ） （A ）21y x =+ （B ）lg y x = （C ）||y x = （D ）cos y x x = 13、（北京临川学校2016届高三上学期期末）函数y ＝1log 2(x －2)的定义域是A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)14、（昌平区2016届高三上学期期末）设0.5222,0.5,log 0.5a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b a c >>15、（朝阳区2016届高三上学期期中）已知函数2,()2.x x x a f x x a ⎧≤<=⎨≥⎩, 0, 若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a 的取值范围是A ．(0,2)B ．(2,)+∞C ．(2,4)D ．(4,)+∞16、（东城区2016届高三上学期期末）已知函数)21()(2≤≤-=x x a x f 与1)(+=x x g 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（A ）5[,)4-+∞ （B ）[1,2] （C ）5[,1]4- （D ）[1,1]-17、（东城区2016届高三上学期期中）函数1()ln f x x x=-的零点个数为A 、0B 、1 B 、2 D 、3 18、（东城区2016届高三上学期期中）三个数之间的大小关系是A 、c ＜a ＜bB 、c ＜b ＜aC 、a ＜b ＜cD 、b ＜c ＜a 19、（东城区2016届高三上学期期中）、函数f （x ）＝的图象可能是20、（丰台区2016届高三上学期期末）某地实行阶梯电价，以日历年(每年1月1日至12月31日)为周期执行居民阶梯电价，即：一户居民用户全年不超过2880度（1度=千瓦时）的电量，执行第一档电价标准，每度电0.4883元；全年超过2880度至4800度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电0.5383元；全年超过4800度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电0.7883元.下面是关于阶梯电价的图形表示，其中正确的有0.48830.53830.7883单价（元/度）年用电量（度）28804800o电费（元/年）年用电量（度）480028802439.841406.30B AO① ②0.7883元/度0.5383元/度0.4883元/度线段PQ 左侧阴影部分的面积表示年用电量为x 度时的电费x o48002880年用电量（度）PQ③ 参考数据：0.4883元/度⨯2880度=1406.30元，0.5383元/度⨯(4800-2880)度+1406.30元=2439.84元.(A) ①② (B) ②③ (C) ①③ (D)①②③21、（海淀区2016届高三上学期期中）如图，点O 为坐标原点，点A （1,1）.若函数 （ >0，且≠1）及 （ ，且 ≠1）的图象与线段OA 分别交于 点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则 ， 满 足 A ． < <1 B ． < <1 C ． > >1D ． > >122、（海淀区2016届高三上学期期中）已知函数()1,1,,11,1,1,x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<-⎨⎪≥⎩，函数21()4g x ax =+.若函数()()y f x g x =-恰好有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 A.(0,)+∞ B.(,0)(2,)-∞+∞ C.1(,)(1,)2-∞-+∞D.(,0)(0,1)-∞23、（顺义区2016届高三上学期期末）下设函数()|21|,xf x c b a =-<<，且()()()f c f a f b >>，则22a c +与2的大小关系是 （ ）（A ）222a c +> （B ）222a c +≥ （C ）222a c +≤ （D ）222a c +<参考答案1、D 2、D 3、C 4、B 5、B 6、A 7、B 8、D 9、B 10、B11、B 12、C 13、C 14、C 15、C 16、D 17、B 18、A 19、D 20、B 21、A 22、D 23、D二、填空题1、（大兴区2016届高三上学期期末）若log 22a =，则a 等于 ．2、（东城区2016届高三上学期期中）已知函数f （x ）＝＝3、（丰台区2016届高三上学期期末）已知下列函数：①3()f x x x =-；②()cos 2f x x =；③()ln(1)ln(1)f x x x =--+，其中奇函数有_________个.4、（海淀区2016届高三上学期期末）若lg lg 1a b +=，则___.ab =5、（海淀区2016届高三上学期期中）函数()22x f x =-的定义域为_____.6、（顺义区2016届高三上学期期末）123123,2,log 3-三个数中最大的数是_________.7、（顺义区2016届高三上学期期末）.已知函数2,0()(1),0x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，则(2)(2)________f f +-= 8、（西城区2016届高三上学期期末）已知函数()f x 的部分图象如图所示，若不等式2()4f x t -<+<的解集为(1,2)-，则实数t 的值为____.9、（西城区2016届高三上学期期末）某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （恒温，单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C 的保鲜时间是16小时. ○1 该食品在8C 的保鲜时间是_____小时；○2已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间______.（填“是”或“否”）参考答案1、22、13、24、105、[1,)6、7、48、19、4 是。
【数学】北京市朝阳区2016届高三上学期期中考试(理)
x2
已知函数 f (x) a ln x
(a 1)x ．
2
（Ⅰ）当 a 0 时，求函数 f ( x) 的单调区间 ;
（Ⅱ）当 a
1 1 时，证明 f (x) .
2
19. （本小题满分 14 分）
已知函数 f ( x) e x (ax2 bx 1) (其中 e是常数， a 0 ， b R )，函数 f (x) 的导
63
14. 如图，已知边长为 4 的正方形 ABCD ，E 是 BC 边上一动点 （与 B、C 不重合），连结 AE，
作 EF ⊥AE 交∠ BCD 的外角平分线于 F.设 BE x ，记 f ( x) EC CF ，则函数 f (x) 的值域
是
；当 ECF 面积最大时， EF
.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 .解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 .
1．已知集合 A { x x 3, x R } ， B { x x 1 0, x N} ，则 A B （ ）
A ． {0,1}
B． {0,1,2}
C． {2,3}
D ． {1,2,3}
2．已知 (0, ) ，且 cos
3 ，则 tan （ ）
5
．
4
4
C．
3
4
D．
3
3. 已知等差数列 { an} 的公差为 2 ，若 a1, a2, a4 成等比数列，那么 a1 等于（
15. （本小题满分 13 分）
已知函数 f ( x)
xx 2 3sin cos
2cos2 x .
22
2
π （Ⅰ）求 f ( ) 的值；
3
（Ⅱ）求函数 f ( x) 的单调递减区间及对称轴方程 .
北京市部分区届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编：排列组合与二项式定理.docx
北京部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编排列组合与二项式定理、定积分一、二项式定理1、（昌平区2016届高三上学期期末）在261(2)x x-的展开式中，常数项是 （用数字作答）. 2、（丰台区2016届高三上学期期末）在71)x -（2的展开式中，2x 的系数等于_____.（用数字作答）3、（海淀区2016届高三上学期期末）在621()x x +的展开式中，常数项为____.（用数字作答） 4、（石景山区2016届高三上学期期末）51⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中x 项的系数为_________．（用数字作答）5、（北京临川学校2016届高三上学期期末考试）25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为_______________参考答案1、602、-843、154、-55、30二、排列组合1、（昌平区2016届高三上学期期末）将序号为1，2，3，4的四张电影票全部分给3人，每人至少一张. 要求分给同一人的两张电影票连号，那么不同的分法种数为________________.（用数字作答）2、（朝阳区2016届高三上学期期末）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为 ．3、（大兴区2016届高三上学期期末）某校从8名教师中选派4名教师去4个边远地区支教，每地1人，其中甲和乙不能同去，甲与丙同去或者同不去，则不同的选派方案有 种．（用数字作答）4、（海淀区2016届高三上学期期末）已知数列12345:,,,,A a a a a a ，其中{1,0,1},1,2,3,4,5i a i ∈-=, 则 满足123453a a a a a ++++=的不同数列A 一共有A. 15个B.25个C.30个D.35个5、（石景山区2016届高三上学期期末） 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是________种.（用数字作答）6、（西城区2016届高三上学期期末）现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）参考答案1、182、123、6004、A5、706、54。
北京市部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编：立体几何
俯视图侧（左）视图正（主）视图11223北京部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编立体几何一、选择题1、（昌平区2016届高三上学期期末） 某三棱锥的三视图如图所示，则该三 棱锥四个面的面积中最大的是 A.5B. 3C. 352D.352、（朝阳区2016届高三上学期期末）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是A ．27B ．30C ．32D ．363、（大兴区2016届高三上学期期末）（某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （A ） 3 （B ） 6（C ） 9 （D ） 124、（东城区2016届高三上学期期末）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于343 正视图侧视图俯视图（A ）32cm 3 （B ）2 cm 3 （C ）3 cm 3 （D ）9 cm 3 5、（东城区2016届高三上学期期末）如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1, ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，)1,0(∈x ，给出以下四个命题：① 四边形MENF 为平行四边形；② 若四边形MENF 面积)(x f s =,)1,0(∈x ,则)(x f 有最小 值；③ 若四棱锥A MENF 的体积)(x p V =，)1,0(∈x ，则)(x p 常函数；④ 若多面体MENF ABCD -的体积()V h x =，1(,1)2x ∈， 则)(x h 为单调函数． 其中假．命题．．为 ()A ① ()B ②()C ③（D ）④6、（丰台区2016届高三上学期期末）在下列命题中：①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等； ②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等； ③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等； ④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等. 其中真命题的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）47、（海淀区2016届高三上学期期末）已知正方体''''ABCD A B C D -，记过点A 与三条直线,,'AB AD AA 所成角都相等的直线条数为m , 过点A 与三个平面．．',,'AB AC AD 所成角都相等的直线的条数为n ，则下面结论正确的是M NED'B'A'CDAA. 1,1m n== B. 4,1m n==C. 3,4m n== D. 4,4m n==8、（石景山区2016届高三上学期期末）如图，点O为正方体ABCD A B C D''''-的中心，点E为面B BCC''的中心，点F为B C''的中点，则空间四边形D OEF'在该正方体的面上的正投影不．可能．．是（）9、（石景山区2016届高三上学期期末）如图，在等腰梯形ABCD中，12AB CD=，,E F分别是底边,AB CD的中点，把四边形BEFC沿直线EF折起，使得面BEFC⊥面ADFE，若动点P∈平面ADFE，设,PB PC与平面ADFE所成的角分别为12,θθ（12,θθ均不为0)．若12θθ=，则动点P的轨迹为( )A.直线B.椭圆C.圆D.抛物线10、（西城区2016届高三上学期期末）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）（A）1623+（B）1625+（C）2023+（D）2025+ABCDEFPABC DFEP MD CBA参考答案1、C2、A3、B4、A5、D6、D7、D8、D9、C 10、B二、填空题 1、（丰台区2016届高三上学期期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .2、（海淀区2016届高三上学期期末）某四棱锥的三视图如右上图所示，则该四棱锥中最长棱的棱长为___.参考答案 1、1632、23三、解答题1、（昌平区2016届高三上学期期末）在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆为等边三角形,12AB AD CD ==,AB AD ⊥,//AB CD ,点M 是PC 的中点．（I ）求证://MB 平面PAD ； （II ）求二面角P BC D --的余弦值； （III ）在线段PB 上是否存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ？若存在,请求出PNPB的值；若不存在,请说明理由.2、（朝阳区2016届高三上学期期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．（Ⅰ）求证：AB ∥EF ；（Ⅱ）若PA PD AD ==，且平面PAD ⊥平面ABCD ， 求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．3、（大兴区2016届高三上学期期末）如图，在三棱锥K ABC -中，平面KAC ⊥平面ABC ，KC AC ⊥，AC AB ⊥,H 为KA 的中点，KC AC ==2AB =.（Ⅰ）求证：CH ⊥平面KAB ；（Ⅱ）求二面角H BC A --的余弦值； （Ⅲ）若M 为AC 中点，在直线KB 上 是否存在点N 使MN ∥平面HBC ,若存在，求出KN 的长，若不存在，说明理由.4、（东城区2016届高三上学期期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =,E 为棱PD 的中点.（Ⅰ）证明:AE CD ⊥；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥，若存在， 求出PMMC的值，若不存在，说明理由.F D CP E5、（丰台区2016届高三上学期期末） 如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，E是AB 的中点，AB =AD =PA =PB =2，BC =1，PC =5. （Ⅰ）求证：CF ∥平面PAB ； （Ⅱ）求证：PE ⊥平面ABCD ； (Ⅲ)求二面角B -PA -C 的余弦值.6、（海淀区2016届高三上学期期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，ADBC ，AD AB ⊥，且3,1PB AB AD BC ====. （Ⅰ）若点F 为PD 上一点且13PF PD =，证明：CF平面PAB ；（Ⅱ）求二面角B PD A --的大小；（Ⅲ）在线段PD 上是否存在一点M ，使得CM PA ⊥?若存在，求出PM 的长；若不存在，说明理由.7、（石景山区2016届高三上学期期末）在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠=，1AB AD PD ===，2CD =.（Ⅰ）求证：//BE 平面PAD ； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面PBD ；（Ⅲ）在线段PC 上是否存在一点Q ，使得二面角Q BD P --为45？若存在,求PQPC的值；若不存在，请述明理由．FADCBP ABCDEPH z yxKOA BCDMP 8、（西城区2016届高三上学期期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ； （Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PMPD的值.参考答案1、（Ⅰ）证明:取PD 中点H ,连结,MH AH . 因为 M 为PC 中点 ,所以 1//,2HM CD HM CD =.因为1//,2AB CD AB CD =.所以//AB HM 且AB HM =. 所以四边形ABMH 为平行四边形,所以 //BM AH .因为 BM PAD ⊄平面,AH ⊂平面PAD ,所以//BM 平面PAD . …………………………..4分（Ⅱ） 取AD 中点O ,连结.PO因为 PA PD =, 所以PO AD ⊥.因为 平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAD 平面ABCD AD =,PO ⊂平面PAD ,所以PO ABCD ⊥平面.取BC 中点K ,连结OK ,则//.OK AB 以O 为原点,如图建立空间直角坐标系, 设2,AB =F CADPMB E则 (1,0,0),(1,2,0),(1,4,0),(1,0,0),3),A B C D P --(2,2,0),(1,2,3)BC PB =-=-.平面BCD 的法向量3)OP =, 设平面PBC 的法向量(,,)n x y z =,由0,0,BC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得220,230.x y x y z -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1x =，则3)n =.15cos ,||||OP n OP n OP n ⋅<>==. 由图可知，二面角P BC D --是锐二面角， 所以二面角P BC D --15. …………………………..9分 （Ⅲ） 不存在. 设点(,,)N x y z ,且,[0,1]PNPBλλ=∈ , 则,PN PB λ=所以(,,3)(1,2,3)x y z λ=-.则,2,33.x y z λλλ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以(,233)N λλλ, (1,233)DN λλλ=+.若 DN PBC ⊥平面,则//DN n , 即33123λλλ-+==，此方程无解, 所以在线段PB 上不存在点N ,使得DN PBC ⊥平面. …………………………..14分2、解：（Ⅰ）因为2cos 10ADB ∠=-，所以2sin 10ADB ∠=．又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-．所以sin sin()sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ∠=∠-=∠⋅-∠⋅7222245=． ………………………7分 （Ⅱ）在ACD ∆中，由ADCAC C AD ∠=∠sin sin ，得74sin 252sin 72AC C AD ADC ⋅⋅∠===∠． 所以1172sin 22572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⋅⋅=． …………13分 3、（Ⅰ）KAC ABC AB AC ⊥因为平面底面，且垂直于这两个平面的交线AB KAC ⊥所以平面 …… 1分AB CH ⊥所以 …… 2分CK=CA H AK CH AK ⊥因为，为中点 所以…… 3分 AB AK=A CH AKB.⋂⊥因为，所以平面 …… 4分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系A -xyz ,0,0,02,0,00,2,00,2,20,1,1A B C K H 则（），（），（），（），（）0,1,12,2,0CH=BC=-所以（）, （-） …… 1分 (,,),HBC n x y z =设平面的法向量为00CH n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩则即0220y z x y -+=⎧⎨-+=⎩(1,1,1)y z x n =令=1,则=1,=1.所以 …… 3分 (0,0,1)ABC m =取平面的法向量为 …… 4分3cos ,||||3m n m n m n ⋅<>===⋅ …… 5分因为所求的二面角为锐角， 3H-BC-A 所以二面角 …… 6分 （Ⅲ）KN=KB λ设，N a b c （,,）, …… 1分2222222222a b c a b c λλλλλλ--=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩则（,,）=(,-,-)所以2,22,22N --λλλ所以（）(0,1,0)M 因为，2,12,22MN=--λλλ所以（） …… 2分 0MN n ⋅=由3-2=0λ可得，3=.2λ所以 …… 3分333||||||233 3.222KN KB KB ===⨯=3 3.KB N KN 所以直线上存在点，的长为 …… 4分4、（Ⅰ）证明：因为PA ⊥底面ABCD ， 所以PA ⊥CD ． 因为AD CD ⊥，所以CD PAD ⊥面. 由于AE PAD ⊂面， 所以有CD AE ⊥．…………………４分 （Ⅱ）解：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图）， 不妨设2AB AP ==，可得(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，0,2,0D ， 0,0,2P .由E 为棱PD 的中点，得(0,1,1)E . (0,1,1)AE = 向量(2,2,0)BD =-,(2,0,2)PB =-.设(,,)n x y z =为平面PBD 的法向量，则⎩⎨⎧=⋅=⋅0PB n BD n 即⎩⎨⎧=-=+-022022z x y x ．不妨令1y，可得=n （1,1,1）为平面PBD 的一个法向量.所以 6cos ,AE EF =. zyxE B CDP所以，直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值为6. …………………11分（Ⅲ）解：向量(2,2,2)CP =--，(2,2,0)AC =，(2,0,0)AB =. 由点M 在棱PC 上，设,(01)CM CP λλ=≤≤. 故 (12,22,2)FM FC CM λλλ=+=--. 由AC FM ⊥，得0=⋅AC FM，因此，(1-2)2(2-2)20λλ⨯+⨯=，解得34λ=. 所以 13PM MC =. …………………13分 5、解：（Ⅰ）取AP 的中点M ，连接,MF MB ， 因为M 是AP 中点，F 是PD 中点， 所以1,2MF AD MF AD =， 又因为1,2BC AD BC AD =， 所以四边形BCFM 是平行四变形 ,FC BM FC ⊄面ABP ， BM ⊂面ABP所以FC 面ABP …………………………5分 （Ⅱ）连接CE ，因为在ABP ∆中，AB AP BP ==，点E 是边AB 在的中点， 所以PE AB ⊥且22213PE =-=，在Rt BEC ∆中，1BE EC ==，EB BC ⊥，所以2EC = 在PEC ∆中，3PE =，2EC =，5PC =， 所以PE EC ⊥又因为,AB EC E AB =⊂面ABCD ，EC ⊂面ABCD所以PE ⊥面ABCD …………………………9分 （Ⅲ）取CD 中点N ，以EB ，EN ，EP 分别为轴x ，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，各点坐标为：(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(1,0,0)B ，(0,0,3)P ，(1,0,0)A - 因为：BC PE ⊥， AB BC ⊥ 所以BC ⊥面ABP面ABP 的法向量为(0,1,0)BC =z FAP设面ABP 的法向量为2000(,,)n x y z =3)AP =，(2,1,0)AC =200002030200AP n x z x y AC n ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩ 23(1,2,n =- 由图可知二面角为锐二面角，设锐二面角为θ12123cos ||||||n n n n θ⋅==⋅ 二面角B PA C --余弦值为：12123cos ||||||n n n n θ⋅==⋅ ………………………14分 6、解：（Ⅰ）过点F 作FHAD ，交PA 于H ,连接BH ,因为13PF PD =，所以13HF AD BC ==.…………………………….1分又FHAD ，AD BC ，所以HF BC .…………………………….2分 所以BCFH 为平行四边形, 所以CFBH .…………………………….3分又BH ⊂平面PAB ，CF ⊄平面PAB ,………………….4分（一个都没写的，则这1分不给） 所以CF平面PAD . …………………………….5分（Ⅱ）因为梯形ABCD 中，AD BC ，AD AB ⊥,所以BC AB ⊥.因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB PB BC ⊥⊥，,如图，以B 为原点，,,BC BA BP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,…………………………….6分所以(1,0,0),(3,3,0),(0,3,0),(0,0,3)C D A P .设平面BPD 的一个法向量为(,,)n x y z =，平面APD 的一个法向量为(,,)m a b c =, 因为(3,3,3),(0,0,3),PD BP =-=所以00PD n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即333030x y z z +-=⎧⎨=⎩，…………………………….7分取1x =得到(1,1,0)n =-,…………………………….8分 同理可得(0,1,1)m =,…………………………….9分HFA DCBPPBCDA F yz x所以1cos ,2||||n m n m n m ⋅<>==-,…………………………….10分因为二面角B PD A --为锐角， 所以二面角B PD A --为π3.…………………………….11分 （Ⅲ）假设存在点M ，设(3,3,3)PM PD λλλλ==-，所以(13,3,33)CM CP PM λλλλ=+=-+-,…………………………….12分 所以93(33)0PA CM λλ⋅=-+-=，解得12λ=,…………………………….13分 所以存在点M ，且1332PM PD ==.…………………………….14分 7、解：（Ⅰ）取PD 的中点F ，连结,EF AF ，因为E 为PC 中点，所以//EF CD ，且112EF CD ==，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =， 所以//EF AB ，EF AB =，四边形ABEF 为平行四边形，所以//BE AF ， …………………2分 因为BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，所以//BE 平面PAD . …………………4分 （Ⅱ）平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥. …………………5分 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -.则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1).A B C P …………………6分(1,1,0)DB =，(1,1,0)BC =-，所以0BC DB ⋅=，BC DB ⊥， ……………8分 又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD BC ⊥， 因为PD BD D ⋂=所以BC ⊥平面PBD . …………………9分 （Ⅲ）平面PBD 的法向量为(1,1,0)BC =-， …………………10分(0,2,1)PC =-，设PQ PC λ=，(0,1)λ∈所以(0,2,1)Q λλ-， ……………11分设平面QBD 的法向量为(,,)a b c n =，(1,1,0)DB =，(0,2,1)DQ λλ=-，由0DB ⋅=n ，0DQ ⋅=n ，得2(1)0a b b c λλ+=⎧⎨+-=⎩，令1b = 所以2(1,1,)1λλ--n =， …………………12分 所以22cos 452222()1BC BCλλ⋅===+-n n …………………13分 注意到(0,1)λ∈，得21λ=.所以在线段PC 上存在一点Q ，使得二面角Q BD P --为45，此时21PQPC= …………………14分 8、（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=， 所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分 因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分 又因为PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………4分 （Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点， 所以//MF PA ，A BCD EP y xzQF同理，得//EF 平面PAB . 又因为=MFEF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB . ………………7分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………9分（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-， ………………10分 设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--， 所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m . ………………11分 设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ， 由0BC ⋅=n ，0PB ⋅=n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………12分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅m n m n ， ………………13分所以 |22|3λ-=， 解得33λ-=33λ+=. ………………14分。
北京市西城区2016届高三上学期期末考试数学理试题(WORD精校版)
市西城区2015 —2016学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2016.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|1}A x x=>，集合{2}B a=+，若A B=∅，则实数a的取值X围是（）（A）(,1]-∞-（B）(,1]-∞（C）[1,)-+∞（D）[1,)+∞2. 下列函数中，值域为R的偶函数是（）（A）21y x=+（B）e ex xy-=-（C）lg||y x=（D）y3. 设命题p：“若1sin2α=，则π6α=”，命题q：“若a b>，则11a b<”，则（）（A）“p q∧”为真命题（B）“p q∨”为假命题（C）“q⌝”为假命题（D）以上都不对4. 在数列{}n a中，“对任意的*n∈N，212n n na a a++=”是“数列{}na为等比数列”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）（A）16+（B）16+侧(左)视图正(主)视图（C ）20+ （D ）20+6. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（）（A ）32（B ）32-（C ）14（D ）14-7.某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1（A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++8.如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值X 围是（） （A ）(0,7) （B ）(4,7) （C ）(0,4) （D ）(5,16)-第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则cos C =____.11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.12．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，3AB =，4BC =，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN =____；AMMC= ____.13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤且该食品在4C 的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论： ○1该食品在6C 的保鲜时间是8小时；○2当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少；○3到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○4到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos (sin )f x x x x =，x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设0α>，若函数()()g x f x α=+为奇函数，求α的最小值.16．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果7x y ==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ； （Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PMPD的值.18．（本小题满分13分）已知函数2()1f x x =-，函数()2ln g x t x =，其中1t ≤．（Ⅰ）如果函数()f x 与()g x 在1x =处的切线均为l ，求切线l 的方程及t 的值； （Ⅱ）如果曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点，求t 的取值X 围．F CADPMB E19．（本小题满分14分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，点A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）在数字21,2,,()n n ≥的任意一个排列A ：12,,,n a a a 中，如果对于,,i j i j *∈<N ，有i j a a >，那么就称(,)i j a a 为一个逆序对. 记排列A 中逆序对的个数为()S A .如=4n 时，在排列B ：3, 2, 4, 1中，逆序对有(3,2)，(3,1)，(2,1)，(4,1)，则()4S B =.（Ⅰ）设排列C ：3, 5, 6, 4, 1, 2，写出()S C 的值； （Ⅱ）对于数字1，2，，n 的一切排列A ，求所有()S A 的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A ：12,,,n a a a 中两个数字,()i j a a i j <交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A '：12,,,n b b b ，求证：()()S A S A '+为奇数.市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．13i -- 10．7911．12y x =±1212291613．54 14．○1○4 注：第11，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()cos (sin )f x x x x =+2sin cos 1)x x x =-1sin 22x x =………………4分πsin(2)3x =+， ………………6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ………………7分 由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ，得5ππππ+1212x k k -≤≤， 所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ………………9分 （注：或者写成单调递增区间为5ππππ+)1212(k k -,，k ∈Z . ） （Ⅱ）解：由题意，得π()()sin(22)3g x f x x αα=+=++，因为函数()g x 为奇函数，且x ∈R ，所以(0)0g =，即πsin(2)03α+=， ………………11分所以π2π3k α+=，k ∈Z ， 解得ππ26k α=-，k ∈Z ，验证知其符合题意. 又因为0α>， 所以α的最小值为π3. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A ， ………………1分 由题意，得2421()C 3P A ==， 所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为13. ……4分（Ⅱ）解：由题意，X 的所有可能取值为13，15，16，18， ………………5分且3(13)8P X ==，1(15)8P X ==，3(16)8P X ==，1(18)8P X ==，………………7分所以X 的分布列为：……………… 8分所以3131E X=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………10分()13151618158888（Ⅲ）解：x的可能取值为6，7，8. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB AC=，135∠=，BCD所以AB AC⊥.由,E F分别为,EF AB，BC AD的中点，得//所以EF AC⊥.………………1分因为侧面PAB⊥底面ABCD，且90∠=，BAP所以PA⊥底面ABCD. ………………2分又因为EF⊂底面ABCD，所以PA EF⊥.………………3分又因为PA AC A=，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以EF⊥平面PAC. ………………4分（Ⅱ）证明：因为M为PD的中点，F分别为AD的中点，所以//MF PA，Array又因为MF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以//MF平面PAB. ………………5分EF平面PAB.同理，得//D又因为=MF EF F，MF⊂平面MEF，EF⊂平面所以平面//MEF平面PAB. ………………7分又因为ME⊂平面MEF，所以//ME 平面PAB . ………………9分（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系， 则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-， ………………10分 设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--， 所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m . ………………11分 设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ， 由0BC ⋅=n ，0PB ⋅=n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………12分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅m n m n ， ………………13分所以 |22|λ-=，解得λ=λ=.………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：求导，得()2f x x '=，2()tg x x'=，(0)x >．………………2分 由题意，得切线l 的斜率(1)(1)k f g ''==，即22k t ==，解得1t =．……………3分 又切点坐标为(1,0)，所以切线l 的方程为220x y --=．………………4分（Ⅱ）解：设函数2()()()12ln h x f x g x x t x =-=--，(0,)x ∈+∞．………………5分“曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()y h x =有且仅有一 个零点”．求导，得2222()2t x th x x x x-'=-=. ………………6分①当0t ≤时，由(0,)x ∈+∞，得()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增．又因为(1)0h =，所以()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意．………………8分②当1t =时，当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min()(1)0h x h ==，故()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意．………………10分③当01t <<时，令()0h x '=，解得x ．当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以当x =时，min()h x h =．………………11分因为(1)0h =1<，且()h x在)+∞上单调递增，所以(1)0h h <=. 又因为存在12e(0,1)t-∈ ，111122()12ln 0tttth t ----=--=>ee ee ，所以存在0(0,1)x ∈使得0()0h x =，所以函数()y h x =存在两个零点0x ，1，与题意不符.综上，曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点时，t 的X 围是0{|t t ≤，或1}t =.………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得c a =，222a b c =+， ………………2分又因为点A 在椭圆C 上， 所以221314ab+=， ………………3分解得2a =，1b =，c ，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . ………………5分 （Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=. ………………6分 证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=.………………7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ………………8分 因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ………………9分由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=， ………………10分则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -⋅=+， ………………11分 设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ， 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r kmk km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+， ………………12分将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-.要使得12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. ………………13分当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±， 此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-. 综上，当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足斜率之积12k k 为定值14-. ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()10S C =；………………2分 （Ⅱ）解：考察排列D ：121,,,,n n d d d d -与排列1121,,,,n n D d d d d -：，因为数对(,)i j d d 与(,)j i d d 中必有一个为逆序对（其中1i j n <≤≤），且排列D 中数对(,)i j d d 共有2(1)C 2n n n -=个， ………………3分 所以1(1)()()2n n S D S D -+=. ………………5分 所以排列D 与1D 的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. ………………6分 而对于数字1，2，，n 的任意一个排列A ：12,,,n a a a ，都可以构造排列A 1：121,,,,n n a a a a -，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. 所以所有()S A 的算术平均值为(1)4n n -. ………………7分 （Ⅲ）证明：○1当1j i =+，即,i j a a 相邻时， 不妨设1i i a a +<，则排列A '为12112,,,,,,,,i i i i n a a a a a a a -++，此时排列A '与排列A ：12,,,n a a a 相比，仅多了一个逆序对1(,)i i a a +，所以()()1S A S A '=+，所以()()2()1S A S A S A '+=+为奇数.………………10分 ○2当1j i ≠+，即,i j a a 不相邻时， 假设,i j a a 之间有m 个数字，记排列A ：1212,,,,,,,,,,i m j n a a a k k k a a ，先将i a 向右移动一个位置，得到排列A 1：12112,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k a k k a a -，由○1，知1()S A 与()S A 的奇偶性不同，再将i a 向右移动一个位置，得到排列A 2：121123,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k k a k k a a -，由○1，知2()S A 与1()S A 的奇偶性不同，以此类推，i a 共向右移动m 次，得到排列A m ：1212,,,,,,,,,,m i j n a a k k k a a a ，再将j a 向左移动一个位置，得到排列A m +1：1211,,,,,,,,,,i m j i n a a a k k a a a -，以此类推，j a 共向左移动m +1次，得到排列A 2m +1：121,,,,,,,,,j m i n a a a k k a a ，即为排列A '，由○1，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，m+次的前后两数交换位置，可以得到排列A'，而排列A经过21所以排列A与排列A'的逆序数的奇偶性不同，所以()()+为奇数.S A S A'综上，得()()+为奇数.………………13分S A S A'。
【数学】北京市海淀区2016届高三上学期期中考试(理)
海淀区2016届高三上学期期中考试数学试卷(理)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，则集合中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．下列函数中为偶函数的是（）3．在△ABC中，的值为（）A．1 B．－1 C．12D．－124．数列的前n项和为，则的值为（）A．1B．3C．5 D．65．已知函数，下列结论错误的是（）A．B．函数的图象关于直线x＝0对称C．的最小正周期为 D．的值域为6．“x＞0 ”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．如图，点O为坐标原点，点A（1,1）．若函数且）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足（）8． 已知函数函数．若函数恰好有2个不同零点，则实数a 的取值范围是( )二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若 c ＝4，则11．已知等差数列的公差，且39108a a a a +=-．若n a ＝0 ，则n ＝12．已知向量，点A （3,0） ，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB a ，则点B的坐标为 ． 13．已知函数，若的图象向左平移个单位所得的图象与的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值为14．对于数列，都有为常数）成立，则称数列具有性质．⑴ 若数列的通项公式为，且具有性质，则t 的最大值为 ；⑵ 若数列的通项公式为，且具有性质，则实数a 的取值范围是三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知等比数列的公比，其n前项和为（Ⅰ）求公比q和a5的值；（Ⅱ）求证：16．（本小题满分13分）已知函数（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递增区间．17．（本小题满分13分）如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求证：18．（本小题满分13分）已知函数，曲线在点（0,1）处的切线为l（Ⅰ）若直线l的斜率为－3，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数是区间［－2，a］上的单调函数，求a的取值范围．19．（本小题满分14分）已知由整数组成的数列各项均不为0，其前n项和为，且（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的通项公式；（Ⅲ）若=15时，Sn取得最小值，求a的值．20．（本小题满分14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如对于函数f(x)，若存在，使得，则称函数函数．（Ⅰ）判断函数是否是函数；（只需写出结论）（Ⅱ）设函数f(x)是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T，若f(x)不是函数，求T的最小值．（Ⅲ）若函数是函数，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. B2. B3. A4. C5. D6. C7. A8. D 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 3 10. 2 ;15 11. 5 12. (3,6)-- 13. 4 14. 2； [36,)+∞说明；第10，14题第一空3分，第二空2分 三、解答题: 本大题共6小题，共80分. 15．解：（Ⅰ）法一：因为{}n a 为等比数列， 且3244a a a =，所以2334a a =，所以34a =， 因为233141a a q a ===，所以2q =±. 因为0n a >，所以0q >，即2q = ---------------------------3分 所以45116a a q ==. --------------------------6分 法二：因为{}n a 为等比数列，且3244a a a =，所以24114a q a q =，所以24q =，所以2q =±,因为0n a >，所以0q >，即2q = ---------------------------3分 所以45116a a q ==. --------------------------6分 （Ⅱ）法一：因为2q =，所以1112n n n a a q --==, -------------------------８分因为1(1)211n n n a q S q-==--, --------------------------10分 所以11211222n n n n n S a ---==-,因为112n ->，所以11222n n n S a -=-<. --------------------------13分 法二：因为2q =，所以1112n n n a a q --==, --------------------------８分所以1(1)211n n n a q S q-==--, --------------------------10分所以11202n n n S a --=-<，所以2n n S a <. --------------------------13分法三：因为2q =，所以1112n n n a a q --==, --------------------------８分所以1(1)211n n n a q S q-==--. --------------------------10分 要证2nnS a <，只需2n n S a <， 只需212n n -< 上式显然成立，得证. --------------------------13分 16.解：（Ⅰ）因为ππ()3sin(2)cos(2)33f x x x =+++,所以πππππ()3sin(2)cos(2)66363f =⋅++⋅+, 2π2π313sin()cos()13322=+=-=. --------------------------4分 （Ⅱ）因为ππ()3sin(2)cos(2)33f x x x =+++,所以3π1π()2[sin(2)cos(2)]2323f x x x =+++ ππππ2[c o ss i n (2)s i n c o s (2)]6363x x =+++ ππ2sin[(2)]36x =++π2sin(2)2x =+ --------------------------7分2cos 2x = , --------------------------9分所以周期2ππ2T == . --------------------------11分 令2ππ22πk x k -≤≤， --------------------------12分 解得πππ2k x k -≤≤，k ∈Z ， 所以()f x 的单调递增区间为π(π,π),2k k -k ∈Z . --------------------------13分法二：因为ππ()3sin(2)cos(2)33f x x x =+++, 所以ππππ()3(sin2coscos2sin )(cos2cos sin2sin )3333f x x x x x =++--------------7分 13133(sin 2cos2)(cos2sin 2)2222x x x x =++- 2cos 2x = --------------------------9分所以周期2ππ2T == . --------------------------11分 令2ππ22πk x k -≤≤， --------------------------12分解得πππ2k x k -≤≤，k ∈Z , 所以()f x 的单调递增区间为π(π,π),2k k -k ∈Z . --------------------------13分17．解： （Ⅰ）法一：在ABD ∆中，因为1cos 7ADB ∠=，(0,π)ADB ∠∈, 所以43sin 7ADB ∠=, --------------------------3分 根据正弦定理，有sin sin BD ABA ADB =∠∠, --------------------------6分 代入8,,3AB A π=∠=解得7BD =. --------------------------7分 法二：作BE AD ⊥于E .因为π8,3AB A =∠=，所以在ABD ∆中，πsin 433BE AB =⋅=. ------------------------3分在BDE ∆中，因为1cos 7ADB ∠=，(0,π)ADB ∠∈，所以43sin 7ADB ∠=, --------------------------6分 所以7sin BEBD BDE==∠. --------------------------7分（Ⅱ）法一：在BCD ∆中，根据余弦定理 222c o s 2B C C D B D C B C C D+-∠=⋅, --------------------------10分代入3,5BC CD ==，得1cos 2C ∠=-，(0,π)C ∠∈,所以2π3C ∠=. --------------------------12分所以 πA C ∠+∠=，而在四边形ABCD 中 +2πA ABC C ADC ∠+∠+∠∠= 所以πABC ADC ∠+∠=. --------------------------13分 法二：在ABD ∆中，11cos ,14ABD ∠=所以53sin 14ABD ∠=， 1cos 7ADB ∠=， 所以43sin 7ADB ∠=. ------------------------8分在BCD ∆中，11cos ,14DBC ∠=所以53sin 14ABD ∠=, 13cos 14BDC ∠=， 所以33sin 14ADB ∠=. -------------------------9分所以cos cos()ABC ABD DBC ∠=∠+∠，23cos cos sin sin 98ABD DBC ABD DBC =∠∠-∠∠=-----------------------11分 c o s c o s (A D C A D B B D C ∠=∠+∠，23cos cos sin sin 98ADB BDC ADB BDC =∠∠-∠∠=--------------------12分 即cos cos ABC ADC ∠=-∠, 所以πABC ADC ∠+∠=. --------------------------13分 18．解（Ⅰ）因为(0)1f =，所以曲线()y f x =经过点(0,1),又2'()2f x x x a =++, --------------------------2分 所以'(0)3f a ==-, --------------------------3分 所以2'()23f x x x =+-.当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:--------------------------5分 所以函数 ()f x 的单调递增区间为(,3)-∞-，(1,+)∞,单调递减区间为(3,1)-. --------------------------7分 （Ⅱ）因为函数()f x 在区间[2,]a -上单调,当函数()f x 在区间[2,]a -上单调递减时，'()0f x ≤对[2,]x a ∈-成立， 即2'()20f x x x a =++≤对[2,]x a ∈-成立，根据二次函数的性质，只需要'(2)0'()0f f a -≤⎧⎨≤⎩， 解得30a -≤≤.又2a -<，所以20a -<≤. --------------------------9分 当函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增时，'()0f x ≥对[2,]x a ∈-成立， 只要2'()2f x x x a =++在[2,]a -上的最小值大于等于0即可， 因为函数2'()20f x x x a =++≥的对称轴为1x =-， 当21a -<≤-时，'()f x 在[2,]a -上的最小值为'()f a ，解2'()=30f a a a +≥，得0a ≥或3a ≤-，所以此种情形不成立. ------------------------11分 当1a -<时，'()f x 在[2,]a -上的最小值为'(1)f -， 解'(1)120f a -=-+≥得1a ≥，所以1a ≥，综上，实数a 的取值范围是20a -<≤或1a ≥. --------------------------13分 19．解：（Ⅰ）因为 12n n n S a a +=，所以1122S a a =，即1122a a a =,x(,3)-∞-3-(3,1)-1(1+)∞，'()f x +0 -0 +()f x极大值极小值因为10a a =≠，所以22a =, --------------------------2分 （Ⅱ）因为 12n n n S a a += ， 所以112(2)n n n S a a n --=≥，两式相减，得到112()n n n n a a a a +-=-， --------------------------4分 因为0n a ≠，所以112n n a a +--=，所以212{},{}k k a a -都是公差为2的等差数列，当21n k =-时，12(1)1n a a k n a =+-=+-, --------------------------6分 当2n k =时， 22(1)2n a k k n =+-==,所以1, , n n a n a n n +-⎧=⎨⎩为奇数,为偶数.--------------------------8分（Ⅲ）法一：因为12n n n S a a +=，由（Ⅱ）知道 1, , n n a n a n n +-⎧=⎨⎩为奇数,为偶数,所以1(1)(1), 21() , 2n n a n n S n n a n ⎧+-+⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数,为偶数, --------------------------10分注意到所有奇数项构成的数列是一个单调递增的，所有偶数项构成的数列是一个单调递增的，当n 为偶数时，0n a >，所以此时1n n S S ->，所以15S 为最小值等价于13151517,S S S S ≥≤， --------------------------12分 所以141516170, 0a a a a +≤+≥，所以141510, 161710a a ++-≤++-≥，解得3228a -≤≤-. --------------------------13分 因为数列{}n a 是由整数组成的，所以{32,31,30,29,28}a ∈-----. 又因为0n a ≠，所以对所有的奇数n ，10n a n a =+-≠，所以a 不能取偶数，所以31, 29a a =-=-. --------------------------14分法二：因为12n n n S a a +=， 由（Ⅱ）知道 1, , n n a n a n n +-⎧=⎨⎩为奇数,为偶数,所以1(1)(1), 21() , 2n n a n n S n n a n ⎧+-+⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数,为偶数, --------------------------10分 因为15S 为最小值，此时n 为奇数，当n 为奇数时，1(1)(1)2n S n a n =+-+， 根据二次函数的性质知道，有14162a ≤-≤，解得3228a -≤≤-，-----------------12分 因为数列{}n a 是由整数组成的，所以{32,31,30,29,28}a ∈-----.又因为0n a ≠，所以对所有的奇数n ，10n a n a =+-≠，所以a 不能取偶数，所以31, 29a a =-=-. --------------------------13分 经检验，此时n S 为最小值，所以 31, 29a a =-=-. --------------------------14分20. 解： （Ⅰ）21()3f x x x =-是Ω函数， --------------------------2分()sin πg x x =不是Ω函数. --------------------------4分 （Ⅱ）T 的最小值为1. --------------------------6分 因为()f x 是以 T 为最小正周期的周期函数，所以()(0)f T f =.假设1T <，则[]0T =，所以([])(0)f T f =，矛盾. --------------------------8分 所以必有1T ≥，而函数()[]l x x x =-的周期为1，且显然不是是Ω函数，综上，T 的最小值为1. --------------------------9分 （Ⅲ） 当函数()a f x x x=+是Ω函数时， 若0a =，则()f x x =显然不是Ω函数，矛盾. --------------------------10分 若0a <，则2'()10a f x x =->， 所以()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上单调递增，此时不存在(,0)m ∈-∞，使得 ()([])f m f m =，同理不存在(0,)m ∈∞，使得 ()([])f m f m =，又注意到[]0m m ≥，即不会出现[]0m m <<的情形， 所以此时()a f x x x=+不是Ω函数. --------------------------11分 当0a >时，设()([])f m f m =，所以[][]a a m m m m +=+，所以有[]a m m =，其中[]0m ≠， 当0m >时，因为[][]1m m m <<+，所以2[][][]([]1)m m m m m <<+，所以2[][]([]1)m a m m <<+. --------------------------12分 当0m <时，[]0m <，因为[][]1m m m <<+，所以2[][][]([]1)m m m m m >>+，所以2[][]([]1)m a m m >>+. --------------------------13分 记[]k m =, 综上，我们可以得到“0a >且*2,k a k ∀∈≠N 且(1)a k k ≠+”. --------------------------14分。
【13份数学(理)】北京市区县2016届高三上学期期中期末考试分类汇编
北京部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编不等式一、选择题1、（昌平区2016届高三上学期期末）若,x y 满足0,30,30,y x y kx y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≥⎩且2z x y =+的最大值为4，则k 的值为A ．32-B ． 32C ．23-D ．232、（大兴区2016届高三上学期期末）若0a ≥，0b ≥，且当x ，y 满足002x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≥≤≤时，恒有1ax by +≤成立，则以,a b 为坐标的点(,)P a b 所构成的平面区域的面积等于 （A ）1 （B ）12 （C ）34 （D ）383、（海淀区2016届高三上学期期末）若,x y 满足+20,40,0,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2||z y x =-的最大值为A.8-B.4-C.1D.24、（石景山区2016届高三上学期期末）若变量y x ,满足约束条件2,1,0x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则y x z +=2的最大值为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．45、（西城区2016届高三上学期期末）设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（ ）（A）32（B）32-（C）14（D）14-6、（朝阳区2016届高三上学期期中）设p：211xx-≤-，q：2(21)(1)0x a x a a-+++<，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．1(0,)2B．1[0,)2C．1(0,]2D．1[,1)2参考答案1、A2、D3、D4、D5、C6、B二、填空题1、（朝阳区2016届高三上学期期末）若x，y满足约束条件2211x yx yy-⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≥，≤，则z x y=+的最大值为．2、（东城区2016届高三上学期期末）已知,x y满足满足约束条件+10,2,3x yx yx≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，那么22z x y=+的最大值为___.3、（丰台区2016届高三上学期期末）若,x y的满足30,30,1.x yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩则2z x y=-的最小值为.参考答案1、42、583、-2三、解答题1、（东城区2016届高三上学期期中）如图所示，函数f（x）的定义域为［－1,2］，f（x）的图象为折线AB、BC。
北京市部分区届高三上学期期中期末考试数学文分类汇编：圆锥曲线.docx
北京市部分区2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1、（朝阳区2016届高三上学期期末）设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ,且与y轴交于点A ,若OAF ∆（O 为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为A.24y x =±B. 24y x =C. 28y x =±D. 28y x = 2、（大兴区2016届高三上学期期末）抛物线2y x =的准线方程是（A ） 14y =- （B ） 12y =-（C ） 14x =- （D ）12x =-3、（丰台区2016届高三上学期期末）如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是 （A ）12 （B ）14 （C ）22（D ）324、（海淀区2016届高三上学期期末）已知点(5,0)A ，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，若点F 恰好在PA 的垂直平分线上，则PA 的长度为OD yxP MA.2B.22C. 3D.4 5、（延庆区2016届高三3月一模）已知双曲线的离心率53e =，且焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线实轴长为（ ）A.6B. 5C.4 D. 3参考答案1、C2、A3、D4、D5、A二、填空题1、（昌平区2016届高三上学期期末）若双曲线22149x y -=的左支上一点P 到右焦点的距离是6，则点P 到左焦点的距离为 .2、（朝阳区2016届高三上学期期末）双曲线2213y x -=的渐近线方程为 .3、（大兴区2016届高三上学期期末）双曲线2213y x -=的焦点到渐近线的距离等于 4、（东城区2016届高三上学期期末）双曲线221169x y -=的离心率是_________. 5、（海淀区2016届高三上学期期末）已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线通过点(1,2), 则___,b = 其离心率为__.6、（顺义区2016届高三上学期期末）过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点垂直于x 轴的弦长为a .则双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为___________.7、（西城区2016届高三上学期期末）若抛物线22C y px =：的焦点在直线30x y +-=上，则实数p =____；抛物线C 的准线方程为____.参考答案1、22、3y x =±3、34、545、2,56、627、6 ; 3x =- 三、解答题1、（昌平区2016届高三上学期期末）已知椭圆C 2222:1(0)x y a b a b +=>>的离心率为32,点1(3,)2在椭圆C 上.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若直线:l y kx m =+(0,0)k m ≠≠与椭圆C 交于A ,B 两点，线段AB 中点为M ,点O 为坐标原点. 证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.2、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ，B 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）求证:OA OB ⊥；（Ⅲ）求OAB ∆面积的最大值.3、（大兴区2016届高三上学期期末）已知椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)M ，离心率为63，直线: (0)l y kx m k =+≠与椭圆C 交于,A B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若存在关于过点M 的直线，使得点A 与点B 关于该直线对称，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，用m 表示MAB ∆的面积S ，并判断S 是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．4、（东城区2016届高三上学期期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(0,2)，且满足32a b +=.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 斜率为12的直线交椭圆C 于两个不同点A ，B ，点M 的坐标为(2,1)，设直线MA 与MB的斜率分别为1k ，2k ．① 若直线过椭圆C 的左顶点，求此时1k ，2k 的值；② 试探究21k k +是否为定值？并说明理由.5、（丰台区2016届高三上学期期末）已知点F 为抛物线C :22(0)y px p =>的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ,N 两点，如图.当直线l 与x 轴垂直时，||4MN =. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)P -,设直线PM 的斜率为1k ，直线PN 的斜率为2k .请判断12k k +是否为定值，若是，写出这个定值，并证明你的结论；若不是，说明理由.6、（海淀区2016届高三上学期期末）如图，椭圆2222:1(0)x y W a b a b+=>>的离心率为32，其左顶点A 在圆22:16O x y +=上. （Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）直线AP 与椭圆W 的另一个交点为P ，与圆O 的另一个交点为Q . （i ）当82||5AP =时，求直线AP 的斜率； （ii ）是否存在直线AP ，使得||3||PQ AP =? 若存在，求出直线AP 的斜率；若不存在， 说明理由.7、（石景山区2016届高三上学期期末）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x ，其中21=e （e 为椭圆离心率），焦距为2，过点)0,4(M 的直线l 与椭圆C 交于点B A ,，点B 在AM 之间．又点BA ,的中点横坐标为74． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）求直线l 的方程．8、（顺义区2016届高三上学期期末）已知椭圆:E 22221x y a b+=(0)a b >>的一个顶点(0,3)A ，yxOBA离心率12e =. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 相切于点P ，且与直线4x =相交于点Q . 求证：以PQ 为直径的圆过定点(1,0)N .9、（西城区2016届高三上学期期末）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为32，点3(1,)2A 在椭圆C 上，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，且l 与圆225x y +=的相交于不在坐标轴上的两点1P ，2P ，记直线1OP ，2OP 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值.参考答案1、解：（I ）由题意得222223,2311,4.c e a ab a bc ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得224,1a b ==.所以椭圆C 的方程为22 1.4x y += ……………………5分（Ⅱ）法一：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．将y kx m =+代入22 1.4x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=，2221228(8)4(41)(44)0,,41kmkm k m x x k -=-+->+=+故1224241M x x kmx k +==-+，241M M m y kx m k =+=+．于是直线OM 的斜率14M OM M y k x k ==-，即14OM k k ⋅=-． 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值14-． ……………………13分法二：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．则120,0,M x x x ≠-≠由221122221414x y x y +⎧⎪+=⎨=⎪⎪⎪⎩ 得12121212()()()()04x x x x y y y y +-++-= , 则1212()1()4M M y y y x x x -=--,即14OM k k ⋅=-． 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值14-． …………………13分 2、解：（Ⅰ）由题意可知24a =，243b =，所以22283c a b =-=．所以63c e a ==．所以椭圆C 的离心率为63． …………………………3分 （Ⅱ）若切线l 的斜率不存在，则:1l x =±．在223144x y +=中令1x =得1y =±． 不妨设(1,1),(1,1)A B -，则110OA OB ⋅=-=．所以OA OB ⊥． 同理，当:1l x =-时，也有OA OB ⊥． 若切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，依题意211m k =+，即221k m +=．由2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(31)6340k x kmx m +++-=．显然0∆>． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则122631kmx x k +=-+，21223431m x x k -=+．所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.所以1212OA OB x x y y ⋅=+221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m kmk km m k k -=+-+++2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+ 22244431m k k --=+2224(1)44031k k k +--==+．所以OA OB ⊥．综上所述，总有OA OB ⊥成立． ………………………………………………9分（Ⅲ）因为直线AB 与圆O 相切，则圆O 半径即为OAB ∆的高. 当l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知2AB =．则1OAB S ∆=. 当l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，221212(1)[()4]AB k x x x x =++-222226341()43131km m k k k -=+⋅-⋅++222222219(34)(31)31k k m m k k +=⋅--++ 2222222221211234123(1)43131k k k m k k k k ++=⋅-+=⋅-++++ 222219131k k k +=⋅++． 所以2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k k AB k k k k k ++++===++++++ 24222164164164419613396k k k k k=+⋅=+≤+=++++ （当且仅当33k =±时，等号成立）． 所以max 433AB =．此时, max 23(S )3OAB ∆=. 综上所述，当且仅当33k =±时，OAB ∆面积的最大值为233．…………14分3、（I ）因为椭圆C 的一个顶点为(,)01M -所以1=b ……1分因为离心率为36所以36=a c ……2分 所以2223a c = 因为222c b a +=所以32=a ……3分所以椭圆1322=+y x C : ……4分 （II ）设(,)11A x y ，(,)22B x y由⎩⎨⎧+==+mkx y y x 3322 得033613222=-+++m kmx x k )(所以()()(),2226431330km k m ∆=-+->2231m k <+ ……1分122631kmx x k +=-+， 21223331m x x k -=+ ……2分122231my y k +=+.因为,A B 关于过点(,)01M -的直线对称, 所以MA MB =所以2222212111)()(++=++y x y x所以021*******=-+++-+))(())((y y y y x x x x所以()()212120x x k y y ++++= ……3分所以021*******=++++-k k mk km )(所以()2231 1 0m k k =+>≠， ……4分所以0212>-=∆)(m m ……5分所以221<<m……6分 （III ）()()()22212122122131m m AB x x y y k k -=-+-=++ ……1分 A 到:l y kx m =+的距离211m d k +=+12MAB S AB d ∆=()1122122m m m m +-=⨯ ……2分所以)(222343m mS -+=设()f m m m m =+-<<2213 （2）2则()2220f m m m '=--< 所以()f m 在1（，2）2上是减函数 ……3分所以面积S 无最大值. ……4分4、解：(Ⅰ)由椭圆过点(02)，，则2b =.又32a b +=， 故22a =.所以椭圆C 的方程为12822=+y x . (4)分(Ⅱ)① 若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是1:22l y x =+， 由22122182y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1102x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，，或2222,0.x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 故2121--=k ，2122-=k . ………………………………8分 ②21k k + 为定值，且021=+k k . 设直线的方程为m x y +=21.由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ，得042222=-++m mx x . 当0168422>+-=∆m m ，即22<<-m 时，直线与椭圆交于两点. 设),(11y x A .),(22y x B ,则122x x m +=-，42221-=m x x . 又21111--=x y k ，21222--=x y k ，故2121221121--+--=+x y x y k k =)2)(2()2)(1()2)(1(211221----+--x x x y x y . 又m x y +=1121，m x y +=2221， 所以)2)(1()2)(1(1221--+--x y x y )2)(121()2)(121(1221--++--+=x m x x m x)1(4))(2(2121--+-+=m x x m x x 0)1(4)2)(2(422=----+-=m m m m .故021=+k k . ……………………………14分5、解（Ⅰ）∵F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，∴(,0)2pF ．…………1分又∵l 与x 轴垂直，且4MN =，∴(,2)2pM ．…………2分又∵点M 在抛物线上，∴2422pp p =⨯=，∴2p =，∴求抛物线C 的方程为24y x =．……………5分（Ⅱ）结论：120k k +=，为定值．设直线l 与抛物线交于不同两点11(,)M x y ，22(,)N x y ， ①当直线l 斜率不存在时，知直线PM 与PN 关于x 轴对称， ∴120k k +=．②当直线l 斜率存在时，直线l 的方程设为(1)y k x =-，联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得2222(24)0k x k x k -++=，∴212224k x x k++=，121x x =． 又∵1111y k x =+，2221y k x =+，且11(1)y k x =-， 22(1)y k x =-， ∴12121211y y k k x x +=+++ 122112(1)(1)(1)(1)y x y x x x +++=++122112(1)(1)(1)(1)(1)(1)k x x k x x x x -++-+=++1212122(1)()1k x x x x x x -=+++．∵121x x =， ∴120k k +=．综上所述120k k +=． ……………………14分6、解：（Ⅰ）因为椭圆W 的左顶点A 在圆22:16O x y +=上，所以4a =. ………………………….1分又离心率为32，所以3e 2c a ==，所以23c =, ………………………….2分 所以2224b a c =-=, …………………………….3分所以W 的方程为221164x y +=. …………………………….4分（Ⅱ）（i ）法一：设点1122(,),(,)P x y Q x y ，显然直线AP 存在斜率，设直线AP 的方程为(4)y k x =+， ………………………….5分与椭圆方程联立得22(4)1164y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 化简得到2222(14)3264160k x k x k +++-=， ………………………….6分因为4-为上面方程的一个根，所以21232(4)14k x k -+-=+，所以21241614k x k-=+ .…………………………….7分 由2182||1|(4)|5AP k x =+--=， …………………………….8分代入得到228182||145k AP k +==+，解得1k =±, ……………………….9分所以直线AP 的斜率为1,1-. （ii ）因为圆心到直线AP 的距离为2|4|1k d k =+， …….10分所以222168||216211AQ d k k =-==++. …………………………….11分 因为||||||||1||||||PQ AQ AP AQ AP AP AP -==-， …………………………….12分 代入得到222222228||14331113||1118114PQ k k k AP k k k k k ++=-=-==-+++++. …………………………….13分 显然23331k -≠+，所以不存在直线AP，使得||3||PQ AP =. …………….14分 法二：（i ）设点1122(,),(,)P x y Q x y ，显然直线AP 存在斜率且不为0 ， 设直线AP 的方程为4x my =-， ………………………….5分与椭圆方程联立得2241164x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩, 化简得到22(4)80m y my +-=, …………………………….6分显然4-上面方程的一个根，所以另一个根，即1284my m =+, …………………………….7分 由2182||1|0|5AP m y =+-=， …………………………….8分代入得到228||82||145m AP m m =+=+，解得1m =±. ……………………….9分 所以直线AP 的斜率为1,1-（ii ）因为圆心到直线AP 的距离为2|4|1d m=+， …………………………….10分所以2222168||||216211m m AQ d m m=-==++. …………………………….11分 因为||||||||1||||||PQ AQ AP AQ AP AP AP -==-， …………………………….12分 代入得到2222228||||431118||||1114m PQ m m m AP m m m m ++=-=-=++++. …………………………….13分 若2331m=+，则0m =，与直线AP 存在斜率矛盾， 所以不存在直线AP ，使得||3||PQ AP =. …………………………….14分 7、解：（Ⅰ）由条件可知，1,2c a ==，故2223b a c =-=， ………3分椭圆的标准方程是22143x y +=． ………4分 （Ⅱ）由已知,,A B M 三点共线， 设点11(,)A x y ，点22(,)B x y ．若直线AB x ⊥轴，则124x x ==，不合题意． ………5分 当AB 所在直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为(4)y k x =-． …6分由22(4)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 消去y 得，2222(34)3264120k x k x k +-+-=．① ………8分由①的判别式△=42223224(43)(6412)144(14)0k k k k -+-=->， …9分 解得214k <， ………10分 21223243k x x k +=+,2122641243k x x k -=+. ………11分由21221642437x x k k +==+，可得218k =，即有24k =±. ………12分即所求直线方程为2(4)4y x =±-. ………13分 8、解：（Ⅰ）由（Ⅰ）由已知， 【2分】解得，所求椭圆方程为 【4分】（Ⅱ）消去得曲线与直线只有一个公共点，，可得（*） 故设，，. 【8分】又由，，，【10分】，以为直径的圆过定点 【14分】9、（Ⅰ）解：由题意，得32c a =，222a b c =+， ……………… 2分 又因为点3(1,)2A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， ……………… 3分解得2a =，1b =，3c =，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . ……………… 5分（Ⅱ）证明：当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±，易得直线1OP ，2OP的斜率之积1214k k ⋅=-. …………… 6分 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. …………… 7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ……………… 8分 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ……………… 9分 由方程组22,5,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(1)250k x kmx m +++-=， ……………… 10分 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，212251m x x k -⋅=+， ……………… 11分 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++⋅=== 222222222252511551m km k km m m k k k m m k --⋅+⋅+-++==--+， ……………… 13分 将2241m k =+代入上式，得212211444k k k k -+⋅==--.综上，12k k ⋅为定值14-. ……………… 14分。
北京市部分区2016届高三上学期期中期末考试数学文分类汇编：函数
北京市部分区2016届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编 函数一、选择题1、（昌平区2016届高三上学期期末）下列函数中，为偶函数的是（ ） A. y x =B. 2x y =C.sin y x =D. cos y x =2、（朝阳区2016届高三上学期期末）下列函数中，既是奇函数又存在零点的是A ．()f x x =B ．1()f x x=C ．()e xf x = D ．()sin f x x = 3、（朝阳区2016届高三上学期期中）下列函数在(,0)(0,)-∞+∞U 上既是偶函数，又在),0(+∞上单调递增的是A ．2y x =-B ．1y x -=C ．2log y x =D ．2xy =-4、（大兴区2016届高三上学期期末）下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间(1,1)-内有零点的函数是（A ）12log y x=（B ）21xy =-（C ）212y x =-（D ）3y x =- 5、（东城区2016届高三上学期期末）给出下列函数：①2log y x = ； ②2y x = ； ③2xy =； ④2y x=. 其中图象关于y 轴对称的是（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）②④6、（东城区2016届高三上学期期中）下列函数中，定义域与值域相同的是7、（丰台区2016届高三上学期期末）函数0.5()log (1)f x x =-的定义域为（A ）(1,)-+∞ （B ）(1,)+∞ （C ）(0,)+∞ （D ）(,0)-∞8、（海淀区2016届高三上学期期末）已知下列函数：①3()f x x x =-；②()cos 2f x x =；③()ln(1)ln(1)f x x x =--+，其中奇函数有_________个.9、（海淀区2016届高三上学期期中）下列函数中为偶函数的是 A ．B ．||C ．D ．10、（石景山区2016届高三上学期期末）若函数()y f x =的定义域为{}|22x x M =-≤≤,值域为{}|02N y y =≤≤, 则函数()y f x =的图象可能是（ ）11、（顺义区2016届高三上学期期末）下列函数中为奇函数的是 （ ）（A ）sin y x x =⋅（B ）cos y x x =⋅（C ）ln ||y x =（D ）21x y =-12、（西城区2016届高三上学期期末）下列函数中，值域为[0,)+∞的偶函数是（ ） （A ）21y x =+ （B ）lg y x = （C ）||y x = （D ）cos y x x = 13、（北京临川学校2016届高三上学期期末）函数y ＝1log 2(x －2)的定义域是A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)14、（昌平区2016届高三上学期期末）设0.5222,0.5,log 0.5a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b a c >>15、（朝阳区2016届高三上学期期中）已知函数2,()2.x x x a f x x a ⎧≤<=⎨≥⎩, 0, 若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a 的取值范围是A ．(0,2)B ．(2,)+∞C ．(2,4)D ．(4,)+∞ 16、（东城区2016届高三上学期期末）已知函数)21()(2≤≤-=x x a x f 与1)(+=x x g 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是 （A ）5[,)4-+∞ （B ）[1,2]（C ）5[,1]4-（D ）[1,1]- 17、（东城区2016届高三上学期期中）函数1()ln f x x x=-的零点个数为A 、0B 、1 B 、2 D、3 18、（东城区2016届高三上学期期中）三个数之间的大小关系是A 、c ＜a ＜bB 、c ＜b ＜aC 、a ＜b ＜cD 、b ＜c ＜a 19、（东城区2016届高三上学期期中）、函数f （x ）＝的图象可能是20、（丰台区2016届高三上学期期末）某地实行阶梯电价，以日历年(每年1月1日至12月31日)为周期执行居民阶梯电价，即：一户居民用户全年不超过2880度（1度=千瓦时）的电量，执行第一档电价标准，每度电0.4883元；全年超过2880度至4800度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电0.5383元；全年超过4800度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电0.7883元.下面是关于阶梯电价的图形表示，其中正确的有0.48830.53830.7883单价（元/度）年用电量（度）28804800o电费（元/年）年用电量（度）480028802439.841406.30B AO① ②0.7883元/度0.5383元/度0.4883元/度线段PQ 左侧阴影部分的面积表示年用电量为x 度时的电费x o48002880年用电量（度）PQ③ 参考数据：0.4883元/度⨯2880度=1406.30元，0.5383元/度⨯(4800-2880)度+1406.30元=2439.84元.(A) ①② (B) ②③ (C) ①③ (D)①②③21、（海淀区2016届高三上学期期中）如图，点O 为坐标原点，点A （1,1）.若函数（>0，且 ≠1）及（，且≠1）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则，满 足 A ．<<1 B ．<<1 C ．>>1D ．>>122、（海淀区2016届高三上学期期中）已知函数()1,1,,11,1,1,x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<-⎨⎪≥⎩，函数21()4g x ax =+.若函数()()y f x g x =-恰好有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是A.(0,)+∞B.(,0)(2,)-∞+∞UC.1(,)(1,)2-∞-+∞UD.(,0)(0,1)-∞U23、（顺义区2016届高三上学期期末）下设函数()|21|,xf x c b a =-<<，且()()()f c f a f b >>，则22a c +与2的大小关系是 （ ）（A ）222a c +> （B ）222a c +≥ （C ）222a c +≤ （D ）222a c +<参考答案1、D2、D3、C4、B5、B6、A7、B8、D9、B 10、B 11、B 12、C 13、C 14、C 15、C 16、D 17、B 18、A 19、D 20、B 21、A 22、D 23、D二、填空题1、（大兴区2016届高三上学期期末）若log 22a =，则a 等于 ．2、（东城区2016届高三上学期期中）已知函数f （x ）＝＝3、（丰台区2016届高三上学期期末）已知下列函数：①3()f x x x =-；②()cos 2f x x =；③()ln(1)ln(1)f x x x =--+，其中奇函数有_________个.4、（海淀区2016届高三上学期期末）若lg lg 1a b +=，则___.ab =5、（海淀区2016届高三上学期期中）函数()22x f x =-的定义域为_____.6、（顺义区2016届高三上学期期末）123123,2,log 3-三个数中最大的数是_________.7、（顺义区2016届高三上学期期末）.已知函数2,0()(1),0x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，则(2)(2)____________.f f +-=8、（西城区2016届高三上学期期末）已知函数()f x 的部分图象如图所示，若不等式2()4f x t -<+<的解集为(1,2)-，则实数t 的值为____.9、（西城区2016届高三上学期期末）某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （恒温，单位：C o）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C o 的保鲜时间是16小时. ○1 该食品在8C o的保鲜时间是_____小时；○2 已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间______.（填“是”或“否”）参考答案12 2、1 3、2 4、10 5、[1,)+∞6、 7、4 8、1 9、4 是。
北京市部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编：圆锥曲线
北京部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知点)0,22(Q 及抛物线24x y =上一动点(,)P x y ，则y PQ +的最小值是A ．12B ．1C ． 2D ． 3 2、（大兴区2016届高三上学期期末）双曲线222x y -=的一条渐近线的方程是 （A ）2y x =（B ） 22y x =（C ）y x =- （D ） 2y x =-3、（东城区2016届高三上学期期末）过抛物线220)y pxp =>（的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，如果3BF =，BF AF >，23BFO π∠=，那么AF 的值为 ()A 1 ()B 32()C 3 （D ） 6 4、（丰台区2016届高三上学期期末）若F （c ,0）为椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点，椭圆C 与直线1x ya b+=交于A ,B 两点，线段AB 的中点在直线x c =上，则椭圆的离心率为 （A 3 （B ）12（C ）22 （D 35、（海淀区2016届高三上学期期末）抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为A. 1(0,)2- B.(0,1)- C.(0,2)- D.(0,4)- 6、（石景山区2016届高三上学期期末）若曲线)0(22>=p px y 上只有一个点到其焦点的距离为1，则p 的值为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1参考答案1、C2、C3、A4、B5、B6、C二、填空题1、（昌平区2016届高三上学期期末）双曲线22:1916x y C -=的渐近线方程为__________________；某抛物线的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则此抛物线的标准方程为____________.2、（海淀区2016届高三上学期期末）已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线过点(1,2),则___,b =其离心率为__.3、（西城区2016届高三上学期期末）双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.参考答案 1、24;203y x y x =±= 2、2 ;5 3、12y x =±三、解答题1、（昌平区2016届高三上学期期末） 已知椭圆C 2222:1(0)x y a b a b +=>>的离心率为32,点13,)2在椭圆C 上．直线l 过点(1,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ．（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点O 为坐标原点，延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求出此时直线l 的方程，若不能，说明理由．2、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）求证：OA OB ⊥； （Ⅲ）求OAB ∆面积的最大值.3、（大兴区2016届高三上学期期末）已知椭圆:G 22221(0)x y a b a b +=>>上的点2)M 到两焦点的距离之和等于42（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）经过椭圆G 右焦点F 的直线m (不经过点M )与椭圆交于,A B 两点，与直线l ：4x =相交于C 点，记直线,,MA MB MC 的斜率分别为123,,k k k .求证：123k k k +为定值.4、（东城区2016届高三上学期期末）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦点是12F F 、，且122F F =，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求22||||AF F B 的取值范围．5、（丰台区2016届高三上学期期末）已知定点(1,0)M 和直线1x =-上的动点(1,)N t -，线段MN 的垂直平分线交直线y t = 于点R ，设点R 的轨迹为曲线E . （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）直线(0)y kx b k =+≠交x 轴于点C ，交曲线E 于不同的两点,A B ，点B 关于x轴的对称点为点P .点C 关于y 轴的对称点为Q ，求证：A ，P ，Q 三点共线.6、（海淀区2016届高三上学期期末）已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b+=>>3，其左顶点A 在圆22:16O x y +=上. （Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）若点P 为椭圆W 上不同于点A 的点，直线AP 与圆O的另一个交点为Q . 是否存在点P ，使得||3||PQ AP =? 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.yxO B A7、（石景山区2016届高三上学期期末）已知椭圆:C 22221x y a b+=(0)a b >>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的左焦点，M 为直线3x =-上任意一点，过F 作MF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .证明：OM 经过线段PQ 的中点N ．(其中O 为坐标原点)8、（西城区2016届高三上学期期末）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，点3)A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.参考答案1、解：（I ）由题意得222223311,4.c e a ab a bc ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得224,1a b ==.所以椭圆C 的方程为22 1.4x y += …………………………..5分（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形． 法一：（1）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为1x = 满足题意；（2）当直线l 与x 轴不垂直时，设直线:l y kx m =+，显然0,0k m ≠≠.11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．将y kx m =+代入22 1.4x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=，2221228(8)4(41)(44)0,.41kmkm k m x x k -=-+->+=+ 故1224241M x x kmx k +==-+， 241M M m y kx m k =+=+．于是直线OM 的斜率14M OM My k x k ==-，即14OM k k ⋅=-． 由直线:l y kx m =+(0,0)k m ≠≠，过点(1,1)，得1m k =-，因此24(1)41M k k x k -=+． OM 的方程为14y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． 由221,41,4y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2221641P k x k =+，即241P x k =+． 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =．于是241k +24(1)241k k k -=⨯+．由0k ≠，得35,.88k m ==满足0.> 所以直线l 的方程为3588y x =+时，四边形OAPB 为平行四边形． 综上所述：直线l 的方程为3588y x =+或1x = . ………………………….13分法二：（1）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为1x = 满足题意；（2）当直线l 与x 轴不垂直时，设直线:l y kx m =+，显然0,0k m ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．将y kx m =+代入22 1.4x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=，2221228(8)4(41)(44)0,.41kmkm k m x x k -=-+->+=+故1224241M x x kmx k +==-+，241M M my kx m k =+=+.四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2,2.P M P M x x y y =⎧⎨=⎩．则2222()()82114441km m k k -++=+. 由直线:l y kx m =+(0,0)k m ≠≠，过点(1,1)，得1m k =-.则2222(164)(1))1(41k k k +-+=， 则2(41)(83)0k k +-= .则35,.88k m == 满足0.> 所以直线l 的方程为3588y x =+时，四边形OAPB 为平行四边形．综上所述：直线l 的方程为3588y x =+或1x = . …………………………..13分2、解：（Ⅰ）由题意可知24a =，243b =，所以22283c a b =-=．所以63c e a ==．所以椭圆C 的离心率为63． …………………………3分 （Ⅱ）若切线l 的斜率不存在，则:1l x =±．在223144x y +=中令1x =得1y =±． 不妨设(1,1),(1,1)A B -，则110OA OB ⋅=-=．所以OA OB ⊥． 同理，当:1l x =-时，也有OA OB ⊥． 若切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+211m k =+，即221k m +=．由2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(31)6340k x kmx m +++-=．显然0∆>． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则122631kmx x k +=-+，21223431m x x k -=+． 所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.所以1212OA OB x x y y ⋅=+221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m kmk km m k k -=+-+++2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+ 22244431m k k --=+2224(1)44031k k k +--==+． 所以OA OB ⊥．综上所述，总有OA OB ⊥成立． ………………………………………………9分（Ⅲ）因为直线AB 与圆O 相切，则圆O 半径即为OAB ∆的高， 当l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知2AB =．则1OAB S ∆=.当l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，221212(1)[()4]AB k x x x x =++-222226341()43131km m k k k -=+-⋅++22222219(34)(31)k k m m k +=--+ 22222221211234123(1)4k k k m k k ++=-+=-++222191k k +=+． 所以2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k k AB k k k k k ++++===++++++ 24222164164164419613396k k k k k=+⋅=+≤+=++++（当且仅当33k =±时，等号成立）．所以433AB ≤．此时, max 3(S )3OAB ∆=.综上所述，当且仅当33k =±时，OAB ∆面积的最大值为233．…………………14分 3、（Ⅰ）由椭圆定义知：242=a ，所以22=a ……1分所以，椭圆222:18x y G b+=，将点)2 ,2(M 的坐标代入得42=b 。
北京市部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编：概率与统计
80 90 100 110 120 130车速（km/h ）频率组距0.0050.010 0.0200.0300.035 北京部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编概率与统计一、选择题1、（昌平区2016届高三上学期期末）某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示：逻辑思维成绩排名总成绩排名200200O 甲乙逻辑思维成绩排名200200阅读表达成绩排名O 丙下列叙述一定正确的是A ．甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D ．乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前2、（朝阳区2016届高三上学期期末）在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有A ．30辆B ．300辆C ．170辆D ．1700辆3、（东城区2016届高三上学期期中）已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：型号小包装大包装重量100克300克包装费0.5克0.7克销售价格 3.00元8.4元则下列说法中正确的是()①买小包装实惠②买大包装实惠③卖3小包比卖1大包盈利多④卖1大包比卖3小包盈利多A．①③ B．①④C．②③D．②④参考答案1、C2、D3、D二、填空题1、（石景山区2016届高三上学期期末）股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多. （注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为________元，能够成交的股数为___________.卖家意向价（元）2.1 2.2 2.3 2.4意向股数200 400 500 100买家意向价（元） 2.1 2.2 2.3 2.4意向股数600 300 300 100\参考答案1、2.2，6001O频数（天）步数(千步)2319181716三、解答题1、（昌平区2016届高三上学期期末）小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（图1）及相应的消耗能量数据表（表1）如下.图1 表1（Ⅰ）求小王这8天 “健步走”步数的平均数；（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X ，求X 的分布列.2、（朝阳区2016届高三上学期期末）某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X 为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．3、（大兴区2016届高三上学期期末）某校为了解甲、乙两班学生的学业水平，从两班中各随机抽取20人参加学业水平等级考试，得到学生的学业成绩茎叶图如下：甲班乙班4 65 5 36 84 2 6 2 456 89 8 8 7 67 3 5 4 4 59 7 6 5 3 3 0 8 1 4 5 9 8 7 6 2 0 9 8 9（Ⅰ）通过茎叶图比较甲、乙两班学生的学业成绩平均值X 甲与X 乙及方差2甲s 与2乙s 的大小；（只需写出结论）（Ⅱ）根据学生的学业成绩，将学业水平分为三个等级：学业成绩 低于70分 70分到89分 不低于90分 学业水平一般良好优秀根据所给数据，频率可以视为相应的概率．．．．．．．．．．．. （ⅰ）从甲、乙两班中各随机抽取1人，记事件C ：“抽到的甲班学生的学业水平等级高于乙班学生的学业水平等级”，求C 发生的概率；（ⅱ）从甲班中随机抽取2人，记X 为学业水平优秀的人数，求X 的分布列和数学期望.4、（丰台区2016届高三上学期期末） 随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者. 某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者.（Ⅰ）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率1P ；（Ⅱ）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为310， 那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率2P ；（Ⅲ）该创业园区的A 团队有100位员工，其中有30人是志愿者. 若在A 团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为3P . 试根据（Ⅰ）、（Ⅱ）中的1P 和2P 的值，写出1P ，2P ，3P 的大小关系（只写结果，不用说明理由）.5、（海淀区2016届高三上学期期末） 已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A 症状的概率为13. 为了研究连续服用该 药物后出现A 症状的情况，做药物试验.试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用 药周期. 假设每次用药后当天是否出现A 症状的出现与上次用药无关. （Ⅰ）如果出现A 症状即停止试验”，求试验至多持续一个用药周期的概率；（Ⅱ）如果在一个用药周期内出现3次或4次A 症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期. 设药物试验持续的用药周期数为η，求η的期望.6、（石景山区2016届高三上学期期末）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良． （Ⅰ）写出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅲ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．7、（西城区2016届高三上学期期末）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下： 甲 6 6 99乙79xy（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果7x y ==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）成绩5 26 57 2 88 6 6 6 7 7 89 0 8参考答案1、解: (I) 小王这8天 “健步走”步数的平均数为16317218119217.258⨯+⨯+⨯+⨯=（千步）. …………………………..4分（II ）X 的各种取值可能为800，840，880，920.23261(800)5C P X C ===,1132262(840),5C C P X C ===112312264(880),15C C C P X C +=== 1121262(920),15C C P X C === X 的分布列为：X 800840 880 920 P15 25 415 215…………………………..13分 2、解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A ，则1203373731049().60C C C C P A C ⋅+⋅== 所以选出的3名同学来自班级的概率为4960． ……………………………5分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3，则03373107(0)24C C P X C ⋅===； 123731021(1)40C C P X C ⋅===； 21373107(2)40C C P X C ⋅===； 30373101(3)120C C P X C ⋅===． 所以随机变量X 的分布列是X 0123P724 2140 7401120随机变量X 的数学期望721719()012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………………13分 3、（Ⅰ）乙甲X X > ……2分22s s <甲乙……4分（Ⅱ）（1）记A 1、A 2、A 3分别表示事件：甲班学生学业水平等级为一般、良好、优秀；记B 1、B 2、B 3分别表示事件：乙班学生学业水平等级为一般、良好、优秀；)()()()()()()()()()()(231312231312231312B P A P B P A P B P A P B A P B A P B A P B A B A B A P C P ++=++== 则2092052092052092012⨯+⨯+⨯= 20099=……4分 （2）从甲班随机抽取1人，其学业水平优秀的概率为41， 则X =0，1，2，)41,2(~B X169)43()0(202===C X P ……1分831664341)1(12==⋅==C X P ……2分 161)41()2(222===C X P ……3分则X 的分布列为：X0 1 2 P16983 161 ……4分2412=⨯==np EX (或216128311690=⨯+⨯+⨯=EX ) ……5分 4、解：（Ⅰ）1337141012C C P C ⋅==所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为12…………………………5分（Ⅱ）1132437()()0.41161010P C =⋅= 所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为12 …………………………10分（Ⅲ）132P P P >> …………………………14分 5、解：（Ⅰ）设持续i 天为事件,1,2,3,4i A i =，用药持续最多一个周期为事件B ，…………………………….1分所以2312341121212()()()()()()3333333P A P A P A P A ==⋅=⋅=⋅，，，，…………………………….5分 则123465()(()()()81P B P A P A P A P A =+++=）. …………………………….6分 法二：设用药持续最多一个周期为事件B ，则B 为用药超过一个周期，…………………………….1分所以4216()()381P B ==, …………………………….3分 所以4265()1()381P B =-=. …………………………….6分（Ⅱ）随机变量η可以取1,2，…………………………….7分 所以3344121(1)333P C η==+=,18(2)199P η==-=, …………………………….11分 所以1812999E η=⋅+⋅=. (13)分6、解：（Ⅰ）这组数据的众数为86，中位数为86； ………………2分 （Ⅱ）抽取的12人中成绩是“优良”的频率为34， 故从该校学生中任选1人，成绩是“优良”的概率为34， ………………4分 设“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是‘优良’的事件”为A ，则()3033163()11146464P A C =-⨯-=-=； ………………6分（Ⅲ）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3． ………………7分333121(0)220C P C ξ===，129331227(1)220C C P C ξ===，219331210827(2)=22055C C P C ξ===，393128421(3)=22055C P C ξ===， ………………11分所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3P1220 27220 2755 215512727219012322022055554E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分7、（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A ， ………………1分 由题意，得2421()C 3P A ==， 所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为13. ……4分（Ⅱ）解：由题意，X 的所有可能取值为13，15，16，18， ………………5分 且3(13)8P X ==，1(15)8P X ==，3(16)8P X ==，1(18)8P X ==，………………7分所以X 的分布列为：X 13 15 16 18 P38183818……………… 8分 所以3131()13151618158888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ………………13分。
北京市部分区届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编：算法初步.docx
开始m =1, i =1m =m (2-i )+1i = i +1m =0?输出i是 否北京部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编算法初步1、（昌平区2016届高三上学期期末）执行如图所示的程序框图， 输出的S 值为_______.2、（朝阳区2016届高三上学期期末）执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．63、（丰台区2016届高三上学期期末）已知数列{}n a 中，1111,1n na a a +==+，若利用下 面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是 （A ）2014≤n （B ）2016n ≤（C ）2015≤n （D ）2017n ≤4、（海淀区2016届高三上学期期末）某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a 值为1，则输出的a 值为 A.1 B.2 C.3 D.55、（石景山区2016届高三上学期期末）右面的程序框图表示算法的运行结果是（ ） A. 2- B. 2C.1-？结束输出A 否是A =1A +1n =n +1n =1,A =1开始 输出输入开始 结束是否开始4x > 输出y结束 否 是 输入xy=12 ○1 D. 16、（西城区2016届高三上学期期末）某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元;超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1处应填（ ） （A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++7、（北京临川学校2016届高三上学期期末考试）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是开始0S =，1n = 20n ≤输出S 结束是否1(1)S S n n =++1n n =+A ．2019 B ．2120 C ．2122D ．23228、（北京汇文中学2016高三上期中）执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，那么输出的a 值为（ ） A ．4B ．16C ．256D ．log 316 参考答案 1、522、B3、C4、C5、A6、D7、C8、C。
北京市西城区2016届高三上学期期末考试数学理试题(版)
7分
又因为 ME 平面 MEF ，
所以 ME // 平面 PAB.
）
（A ） ( , 1]
（ B） ( ,1]
（ C） [ 1, )
（D ） [1, )
2. 下列函数中，值域为 R 的偶函数是（ ）
（A） y
2
x
1
（B） y
x
e
x
e
（ C） y lg | x|
（ D） y
2
x
3. 设命题 p：“若 sin
1 ，则
2
π”，命题 q：“若 a
6
1 b ，则
a
1 ”，则（
（Ⅱ）如果 x y 7 ，从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，记这 2 局的得分和为 X ，
求 X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）在 4 局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出
x 的所有可能
取值 .（结论不要求证明）
17．（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， BCD 135 ，侧面 PAB 底面 ABCD ，
○3 到了此日 13 时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；
○4 到了此日 14 时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间 .
其中，所有正确结论的序号是 ____.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x) cos x(sin x 3 cosx) 3 ， x R . 2 （Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）设
0 ，若函数 g( x) f ( x ) 为奇函数，求 的最小值 .
北京市海淀区2016届高三上学期期中考试数学理试题(WORD版)
海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科） 2015.11本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，则集合中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．下列函数中为偶函数的是3．在△ABC中，的值为A．1 B．－1 C．12D．－124．数列的前n项和为，则的值为A．1 B．3 C．5 D．65．已知函数，下列结论错误的是A． B．函数的图象关于直线x＝0对称C．的最小正周期为 D．的值域为6．“x＞0 ”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．如图，点O为坐标原点，点A（1,1）．若函数且）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足8． 已知函数函数．若函数恰好有2个不同零点，则实数a 的取值范围是二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．10．在△AB C 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若 c ＝4，则11．已知等差数列的公差，且39108a a a a +=-．若n a ＝0 ，则n ＝12．已知向量，点A （3,0） ，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB a u u u r rP ，则点B 的坐标为 ． 13．已知函数，若的图象向左平移个单位所得的图象与的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值为14．对于数列，都有为常数）成立，则称数列具有性质．⑴ 若数列的通项公式为，且具有性质，则t 的最大值为 ；⑵ 若数列的通项公式为，且具有性质，则实数a 的取值范围是三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分） 已知等比数列的公比，其n 前项和为（Ⅰ）求公比q 和a 5的值； （Ⅱ）求证：16．（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递增区间．17．（本小题满分13分）如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求证：18．（本小题满分13分）已知函数，曲线在点（0,1）处的切线为l（Ⅰ）若直线l的斜率为－3，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数是区间［－2，a］上的单调函数，求a的取值范围．19．（本小题满分14分）已知由整数组成的数列各项均不为0，其前n项和为，且（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的通项公式；（Ⅲ）若=15时，Sn取得最小值，求a的值．20．（本小题满分14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如对于函数f(x)，若存在，使得，则称函数函数．（Ⅰ）判断函数是否是函数；（只需写出结论）（Ⅱ）设函数f(x)是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T，若f(x)不是函数，求T的最小值．（Ⅲ）若函数是函数，求a 的取值范围．海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数 学 （理科） 2015.11阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
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km/h ） 频率概率与统计一、选择题1、（昌平区2016届高三上学期期末）某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示：下列叙述一定正确的是A ．甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D ．乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前2、（朝阳区2016届高三上学期期末）在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 A ．30辆 B ．300辆 C ．170辆 D ．1700辆3、（东城区2016届高三上学期期中）已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：则下列说法中正确的是()①买小包装实惠②买大包装实惠③卖3小包比卖1大包盈利多④卖1大包比卖3小包盈利多A．①③ B．①④C．②③D．②④参考答案1、C2、D3、D二、填空题1、（石景山区2016届高三上学期期末）股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多. （注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为________元，能够成交的股数为___________.\参考答案1、2.2，600三、解答题步数(千步)1、（昌平区2016届高三上学期期末）小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（图1）及相应的消耗能量数据表图1 表1（Ⅰ）求小王这8天 “健步走”步数的平均数；（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X ，求X 的分布列.2、（朝阳区2016届高三上学期期末）某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X 为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．3、（大兴区2016届高三上学期期末）某校为了解甲、乙两班学生的学业水平，从两班中各随机抽取20人参加学业水平等级考试，得到学生的学业成绩茎叶图如下：（Ⅰ）通过茎叶图比较甲、乙两班学生的学业成绩平均值X 甲与X 乙及方差2甲s 与2乙s 的大小；（只需写出结论）（Ⅱ）根据学生的学业成绩，将学业水平分为三个等级：根据所给数据，频率可以视为相应的概率．．．．．．．．．．．. （ⅰ）从甲、乙两班中各随机抽取1人，记事件C ：“抽到的甲班学生的学业水平等级高于乙班学生的学业水平等级”，求C 发生的概率；（ⅱ）从甲班中随机抽取2人，记X 为学业水平优秀的人数，求X 的分布列和数学期望.4、（丰台区2016届高三上学期期末） 随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者. 某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者.（Ⅰ）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概 率1P ；（Ⅱ）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为310， 那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率2P ；（Ⅲ）该创业园区的A 团队有100位员工，其中有30人是志愿者. 若在A 团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为3P . 试根据（Ⅰ）、（Ⅱ）中的1P 和2P 的值，写出1P ，2P ，3P 的大小关系（只写结果，不用说明理由）.5、（海淀区2016届高三上学期期末） 已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A 症状的概率为13. 为了研究连续服用该药物后出现A 症状的情况，做药物试验.试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用 药周期. 假设每次用药后当天是否出现A 症状的出现与上次用药无关. （Ⅰ）如果出现A 症状即停止试验”，求试验至多持续一个用药周期的概率；（Ⅱ）如果在一个用药周期内出现3次或4次A 症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期. 设药物试验持续的用药周期数为η，求η的期望.6、（石景山区2016届高三上学期期末）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良． （Ⅰ）写出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅲ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．7、（西城区2016届高三上学期期末）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率； （Ⅱ）如果7x y ==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）参考答案1、解: (I) 小王这8天 “健步走”步数的平均数为16317218119217.258⨯+⨯+⨯+⨯=（千步）. …………………………..4分（II ）X 的各种取值可能为800，840，880，920.23261(800)5C P X C ===,1132262(840),5C C P X C ===112312264(880),15C C C P X C +=== 1121262(920),15C C P X C === X 的分布列为：2、解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A ，则1203373731049().60C C C C P A C ⋅+⋅== 所以选出的3名同学来自班级的概率为4960． ……………………………5分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3，则03373107(0)24C C P X C ⋅===； 123731021(1)40C C P X C ⋅===； 21373107(2)40C C P X C ⋅===； 30373101(3)120C C P X C ⋅===． 所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望721719()012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………………13分 3、（Ⅰ）乙甲X X > ……2分22s s <甲乙……4分 （Ⅱ）（1）记A 1、A 2、A 3分别表示事件：甲班学生学业水平等级为一般、良好、优秀； 记B 1、B 2、B 3分别表示事件：乙班学生学业水平等级为一般、良好、优秀；)()()()()()()()()()()(231312231312231312B P A P B P A P B P A P B A P B A P B A P B A B A B A P C P ++=++== 则2092052092052092012⨯+⨯+⨯= 20099=……4分 （2）从甲班随机抽取1人，其学业水平优秀的概率为41， 则X =0，1，2，)41,2(~B X169)43()0(202===C X P ……1分831664341)1(12==⋅==C X P ……2分 161)41()2(222===C X P ……3分则X 的分布列为：……4分2412=⨯==np EX (或216128311690=⨯+⨯+⨯=EX ) ……5分 4、解：（Ⅰ）1337141012C C P C ⋅==所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为12…………………………5分（Ⅱ）1132437()()0.41161010P C =⋅= 所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为12…………………………10分（Ⅲ）132P P P >> …………………………14分 5、解：（Ⅰ）设持续i 天为事件,1,2,3,4i A i =，用药持续最多一个周期为事件B ， (1)分所以2312341121212()()()()()()3333333P A P A P A P A ==⋅=⋅=⋅，，，，…………………………….5分 则123465()(()()()81P B P A P A P A P A =+++=）. …………………………….6分法二：设用药持续最多一个周期为事件B ，则B 为用药超过一个周期，…………………………….1分所以4216()()381P B ==, …………………………….3分 所以4265()1()381P B =-=. …………………………….6分（Ⅱ）随机变量η可以取1,2，…………………………….7分 所以3344121(1)(333P C η==+=,18(2)199P η==-=, …………………………….11分 所以1812999E η=⋅+⋅=. (13)分6、解：（Ⅰ）这组数据的众数为86，中位数为86； ………………2分 （Ⅱ）抽取的12人中成绩是“优良”的频率为34， 故从该校学生中任选1人，成绩是“优良”的概率为34， ………………4分 设“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是‘优良’的事件”为A ， 则()3033163()111P A C =-⨯-=-=； ………………6分（Ⅲ）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3． ………………7分333121(0)220C P C ξ===，129331227(1)220C C P C ξ===，219331210827(2)=22055C C P C ξ===，393128421(3)=22055C P C ξ===， ………………11分所以ξ的分布列为12727219012322022055554E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分 7、（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A ， ………………1分由题意，得2421()C 3P A ==， 所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为13. (4)分（Ⅱ）解：由题意，X 的所有可能取值为13，15，16，18， ………………5分且3(13)8P X ==，1(15)8P X ==，3(16)8P X ==，1(18)8P X ==， (7)分所以X 的分布列为：……………… 8分所以3131()13151618158888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. (10)分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ………………13分。