.9 函数与方程(教学案)-2015年高考数学(文)一轮复习精品资料(新课标)(原卷版)

2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】一、课前小测摸底细 1.【课本典型习题改编，P119B 组第1题】方程2ln 0x x -=的解所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)2. 【2014高考北京卷文第6题】已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞3. 【陕西省西北工业大学附属中学2014届高三第六次模拟】“0m <”是“函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4.【基础经典试题】设a 为常数，试讨论方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-的实根的个数。

5. 【改编自2014年咸阳市高考模拟考试试题（一）】已知a 是函数12()2log x f x x =-的零点，若00x a <<，则0()f x 的值满足（ ）A ．0()0f x =B ．0()0f x >C ．0()0f x <D ．0()f x 的符号不确定二、课中考点全掌握考点 方程的根与函数零点【题组全面展示】【1-1】函数1()lg f x x x=-的零点所在的区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,10【1-2】方程5log sin x x 的解的个数为（ ）(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5【1-3】下列说法，正确的是（ ）A. 对于函数()1f x x=，因为()()110f f -⋅<，所以函数()f x 在区间()1,1-内必有零点B. 对于函数()2f x x x =-，因为()()120f f -⋅>，所以函数()f x 在区间()1,2-内没有零点 C. 对于函数()32331f x x x x =-+-，因为()()020f f ⋅<，所以函数()f x 在区间()0,2内必有零点 D. 对于函数()3232f x x x x =-+，因为()()130f f -⋅<，所以函数()f x 在区间()1,3-内有唯一零点 【1-4】关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（ ）A ．“二分法”求方程的近似解一定可将)(x f y =在[],a b 内的所有零点得到；B ．“二分法”求方程的近似解有可能得不到)(x f y =在[],a b 内的零点；C ．应用“二分法”求方程的近似解，)(x f y =在[],a b 内有可能无零点；D ．“二分法”求方程的近似解可能得到0)(=x f 在[],a b 内的精确解；【1-5】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥++=0,,0,12)(22x c bx x x x ax x f 是偶函数，直线t y =与函数)(x f 的图像自左至右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ，若||||BC AB =，则实数t 的值为________．【1-6】已知函数⎩⎨⎧>≤=0,0,0)(x e x x f x ，则使函数m x x f x g -+=)()(有零点的实数m 的取值范围是（ ）A ．)1,0[ B.)1,(-∞ C ．),1(]0,(+∞⋃-∞ D ．),2(]1,(+∞⋃-∞综合点评：函数零点(方程的根)的问题，常见的类型有：(1)零点或零点存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)利用零点求参数范围问题.解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解.【基础知识重温】1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

（２）函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。

（３）函数的零点与方程根的关系函数()()()F x f x g x =-的零点就是方程()()f x g x =的根，即函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象交点的横坐标．（４）三个等价关系(三者相互转化)提醒：函数的零点不是点，是方程0)(=x f 的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标．２．二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。

３．零点存在性定理如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，且有)(a f ·)(b f 0<，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在(,)c a b ∈使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的根． 注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．③由函数)(x f y =在闭区间[],a b 上有零点不一定能推出)(a f ·)(b f 0<，如图所示．所以)(a f ·)(b f 0<是)(x f y =在闭区间[],a b 上有零点的充分不必要条件．注意：①如果函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，并且函数()f x 在区间[],a b 上是一个单调函数，那么当)(a f ·)(b f 0<时，函数()f x 在区间),(b a 内有唯一的零点，即存在唯一的(,)c a b ∈，使0)(=c f .②如果函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，并且有)(a f ·)(b f 0>，那么，函数()f x 在区间),(b a 内不一定没有零点．③如果函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，那么当函数()f x 在区间),(b a 内有零点时不一定有)(a f ·)(b f 0<，也可能有)(a f ·)(b f 0>. ４.二分法二分法及步骤：对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间[],a b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε；（2）求区间a (，)b 的中点1x ；（3）计算)(1x f ：①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；②若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）；③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）；（4）判断是否达到精度ε；即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤24．注：函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点。

注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件)(a f ·)(b f 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。

（５）用二分法求函数零点近似值的步骤须注意的问题：①第一步中要使：(1)区间长度尽量小；(2) )(a f ，)(b f 的值比较容易计算且)(a f ·)(b f 0<.②根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程()()f x g x =的根，可以构造函数()()()F x f x g x =-，函数()F x 的零点即为方程 ()()f x g x =的根．③求函数零点近似值的关键是判断区间长度是否小于精确度ε，当区间长度小于精确度ε时，运算即告结束，此时区间内的任何一个值均符合要求，而我们通常取区间的一个端点值作为近似解．５．二次方程2()0f x ax bx c =++=的实根分布及条件。

①方程()0f x =的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔()0af r <； ②二次方程()0f x =的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r a b ac b ③二次方程()0f x =在区间(),p q 内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q a b p ac b ④二次方程()0f x =在区间(),p q 内只有一根⇔()()0f p f q <，或()0f p = (检验)或()0f q = (检验)检验另一根若在(),p q 内成立．注意：二次函数零点分布问题，即一元二次方程根的分布问题，解题的关键是结合图象把根的分布情况转化为不等式组或方程．二次方程根的分布问题，通常转化为相应二次函数与x 轴交点的个数问题，结合二次函数的图象通过对称轴，判别式Δ，相应区间端点函数值来考虑．６．有关函数零点的重要结论(1)若连续不断的函数)(x f 是定义域上的单调函数，则)(x f 至多有一个零点．(2)连续不断的函数相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．(4)函数11110()n n n n f x a x a x a x a --=++++至多有n 个零点【方法规律技巧】1．函数零点的求法：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。