结构可靠度例题

例题一某钢桥一受弯构件截面抗力R(抵抗弯矩)和荷载效应S(最大弯矩)的统计参数为

均值µR= 2.34×103kN•m µS= 1.16×103kN•m

方差σR= 0.281×103kN•m σS= 0.255×103kN•m

现假设R,S均服从正态分布,试求其可靠指标和对应的失效概率。解: 将已知数据代入

β= R S

√σR2+σS2=33

√(0.281×103)2+(0.255×103)2

=3.109

查标准正态分布表Ф(3.109)=0.99905，

P f=Ф(-β)

=1-Ф(β)

=1-Ф(3.109)

=1-0.99905=0.00095。

例题二某钢桥一受弯构件截面抗力R(抵抗弯矩)和荷载效应S(最大弯矩)的统计参数为

均值µR= 2.34×103kN•m µS= 1.16×103kN•m

方差σR= 0.281×103kN•m σS= 0.255×103kN•m

现假设R,S均服从对数正态分布,试求其可靠指标β和对应的失效概率P f。

解：β≈R S

√δR+δS

δR=σR

µR =0.281

2.34

=0.12

δS=σS

µS =0.255

1.16

=0.22

β≈R S

√δR+δS =β≈33

√0.122+0.222

=2.80

P f=Ф(-β)

=1-Ф(β)

=1-Ф(2.80)

=1-0.99740=0.0026。

例一和例二表明：随即变量分布类型，对失效概率或结构可靠指标计算是有影响的。

分析结果表明：P f≥10−3(β≤3.09)时，F z(z)的分布类型对P f 的影响不敏感，即Z假设什么样的分布,计算出的P f都在同一数量级上，其精度足够了。P f大时，Z可以不考虑其实际分布形式，采用合理又方便的分布形式来计算P f。这样计算简便，得到工程上接受的结果。但P f＜10−5(β＞4.26)时F z(z)的分布类型对P f的影响十分敏感，计算P f时必须考虑起分布,否则得到误差大或得到错误结果。

例题三若钢梁承受的确定性弯矩M=210 kN•m，钢梁的抵抗矩W 和屈服强度f都是随机变量，已知其分布类型和统计参数为抵抗矩W：正态分布，µW= 692cm3，δW=0.02

屈服强度f：正态分布，µf=390MPa ，δf=0.07

用中心点法和验算点法计算该钢梁的可靠指标β及f和W的验算点之值f﹡和W﹡。

解：1 中心点法

(1)采用抗力作为功能函数

Z=fW-M= fW-210 kN•m

µZ =µf µW -µM =µf µW -210=59.88 kN •m σZ =√(µf σW )2+(µW σf )2=√µf 2µW 2(δW 2+δf 2) =√(390×692000)2(0.022+0.072) =19.65×106 N •mm β=µ

Z σZ =3.047

(2) 采用应力作为功能函数

Z=f-M

W

µZ ≈µf -

M

µW

=86.5MPa

σZ =√(σf )2+(M µW

2σW )2=√(µf δf )2+(M µW

δW )2

=√(390×

0.07)2

+(

210×106692×103

×0.02)2

=27.97MPa β=µ

Z σZ =3.093

2 验算点法 验算点法计算步骤:

(1) 列出极限状态方程g(X 1，X 2，…，X n )=0,并给出所有基本

变量X i 的分布类型和统计参数µxi 和σxi ；

(2) 假定X i ﹡

和β的初始值，一般取X i ﹡

的初始值为X i 的均值µxi ，相

当于β初始值为0；

(3)求极限状态方程对各基本变量X i 的偏导数，并用X i ﹡

的值代入，得到方向余弦 cos θXi =-∂g ∂xi ∣

p ﹡•σ√∑(∂g

∂xi ∣p

﹡•σxi )2

n

1

(4)按公式g(µXi +βσX i cos θX i

^)=0 求解β；

(5)计算新的X i ﹡

值 X i ﹡

=µXi +βσX i cos θX i

^

重复第3步到第5步计算，直到前后两次计算的β在容许误差范围内(0.001)。

按抗力列功能函数极限状态方程 Z=g(f,W)= fW-210×106(N •mm) σf =µf δf =390×0.07=27.30MPa σw =µw δw =692×0.02=13.84MPa

由 g(X 1﹡

，X 2﹡

，…，X n ﹡

)=0 (P ﹡验算点处坐标) X i ﹡

=µi +X i ^﹡×σX i =µi +βσX i cos θX i

^

−

∂g ∂f ∣p ﹡σf =-W ﹡×27.30，−

∂g ∂w

∣p ﹡σw =-f ﹡×13.84，

cos θf =-

∂g

∂f ∣

p ﹡•σ√(∂g ∂f ∣p

﹡•σf )2+(∂g ∂w ∣p ﹡•σw )2=﹡

√

(27.3W ﹡)2+(13.84f ﹡)

2 (a)

cos θw =-

∂g ∂w ∣

p ﹡•σ√(∂g ∂f ∣p

﹡•σf )2+(∂g ∂w ∣p ﹡•σw )2=

﹡

√

(27.3W ﹡)2+(13.84f ﹡)

2 (b)

f ﹡=µf +βσf cos θf =390+27.3βcos θf (c) W ﹡=µw +βσw cos θw =692+13.84βcos θw (d)