常用导数放缩法

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高考导数解答题中常见的放缩大法完整版.doc

(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.将这些不等式简单变形如下： exx ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。

例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。

放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。

第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<，（放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥，（放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<，（放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++，第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e xln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。

导数大题中最常用的放缩大法

导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.将这些不等式简单变形如下： exx ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。

例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。

放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。

第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<，（放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥，（放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<，（放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++，第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。

导数大题放缩法题目

导数大题放缩法题目（最新版）目录1.导数大题放缩法题目的概述2.放缩法的基本原理3.放缩法在导数大题中的应用实例4.放缩法的使用技巧和注意事项5.结论正文一、导数大题放缩法题目的概述导数大题放缩法题目是高等数学中的一种题型，主要考察学生对导数知识的掌握程度以及运用放缩法解决实际问题的能力。

导数是函数在某一点变化率的极限，是研究函数变化规律的重要工具。

在解决导数大题时，放缩法是一种常用的解题方法，可以帮助学生快速找到解题思路。

二、放缩法的基本原理放缩法，顾名思义，就是将复杂的问题简化，从而使问题变得容易解决。

在导数大题中，放缩法的基本原理是通过对函数的某些部分进行放大或缩小，使函数在某一点的导数发生变化，从而简化原问题。

放缩法的使用需要遵循两个原则：一是放缩后的函数要容易求导；二是放缩过程中不能改变函数的连续性。

三、放缩法在导数大题中的应用实例下面我们通过一个具体的实例来说明放缩法在导数大题中的应用。

例题：求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 在 x = 1 处的导数。

解：我们可以通过放缩法来解决这个问题。

首先，我们对函数 f(x) 进行放缩，令 g(x) = f(x) - (x^3 - 3x^2 + 2x)，则 g(x) = -1。

对 g(x) 求导，得到 g"(x) = f"(x) - 3x^2 - 6x + 2。

将 x = 1 代入，得到 g"(1) = f"(1) - 3 - 6 + 2 = f"(1) - 7。

因为 g"(1) = -1，所以 f"(1) = -1 + 7 = 6。

所以，函数 f(x) 在 x = 1 处的导数为 6。

四、放缩法的使用技巧和注意事项1.选择合适的放缩函数：放缩函数的选择要根据具体问题来定，要求放缩后的函数容易求导，同时不放缩函数的连续性。

2.适度放缩：放缩的程度要适中，不能过度放大或缩小，以免影响问题的解决。

高中数学放缩法技巧全总结

高中数学放缩法技巧全总结高中数学中的放缩法是一种常用的解题技巧，它通过适当调整式子的形式，进行等价转化，从而简化计算或者明晰问题的关键点。

下面总结了一些常见的高中数学放缩法技巧。

1. 分子分母同乘：当分式的分子和分母中含有相同的因式时，可以将分子和分母同时乘以这个因式的倒数，从而得到一个等价的分式。

这样做的好处是可以简化分式，消去分子分母中的公因式。

2. 导数法：在解决函数极值问题时，可以利用导数的概念进行放缩。

通过求函数的导数，并研究导数的正负性，可以找到函数的极值点。

这种方法可以有效地缩小问题的范围，简化计算。

3. 均值不等式：均值不等式是一种常用的放缩方法，它通过寻找合适的均值来放缩不等式。

常见的均值不等式有算术-几何均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等。

通过将不等式的两边同时取均值，可以得到一个更简单的等价不等式。

4. 三角函数变换：在解决三角函数相关的问题时，可以利用三角函数的性质进行放缩。

常见的三角函数变换有和差化积、倍角公式等。

通过适当的变换，可以将原问题转化为更容易处理的形式。

5. 幂函数变换：在解决幂函数相关的问题时，可以利用幂函数的性质进行放缩。

常见的幂函数变换有换元法、幂函数的反函数等。

通过适当的变换，可以使问题的形式更简单，更易于分析。

6. 递推关系式：在解决数列相关的问题时，可以利用递推关系式进行放缩。

通过找到数列的递推关系式，可以将原问题转化为递推问题。

递推关系式可以帮助我们找到数列的通项公式，从而简化问题的求解过程。

以上是一些高中数学中常用的放缩法技巧。

通过灵活运用这些技巧，可以在解题过程中简化计算、明晰问题的关键点，从而更高效地解决数学问题。

导数大题放缩法题目

导数大题放缩法题目导数的放缩法是一种常用的求导方法，它可以帮助我们简化复杂的函数求导过程。

下面我将给出一个导数放缩法的题目，并从多个角度进行全面完整的回答。

题目，求函数$f(x) = \frac{2x^3 3x^2 12x + 5}{x^2 4}$的导数。

解答：为了求解这个题目，我们可以使用导数的放缩法。

下面将从多个方面进行回答。

1. 使用导数定义求解：我们可以使用导数的定义来求解这个题目。

根据导数的定义，函数$f(x)$的导数可以表示为：$f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{f(x+h) f(x)}{h}$。

将函数$f(x)$带入上述公式，我们可以得到：$f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{\frac{2(x+h)^3 3(x+h)^212(x+h) + 5}{(x+h)^2 4} \frac{2x^3 3x^2 12x + 5}{x^24}}{h}$。

通过化简和合并同类项，我们可以得到：$f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{6x^2 + 6xh 3h^2 12}{(x^24)(x+h)^2 4(x^2 4)}$。

继续化简，我们可以得到：$f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{6x^2 + 6xh 3h^2 12}{x^4 +2x^3h 7x^2 + 2xh^3 4xh^2 12x + h^4 4}$。

然后，我们可以将$h$约去，并计算极限：$f'(x) = \frac{6x^2 12}{x^4 4}$。

因此，函数$f(x)$的导数为$f'(x) = \frac{6x^2 12}{x^4 4}$。

2. 使用导数的基本公式求解：除了使用导数的定义，我们还可以使用导数的基本公式来求解这个题目。

根据导数的基本公式，我们可以得到一些常见函数的导数规则，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。

导数大题放缩法题目

导数大题放缩法题目当涉及到导数的放缩法题目时，通常是要求通过放缩法来确定一个函数的导数的范围或者找到一个函数的最大值或最小值。

下面我将从不同的角度给出一些相关的问题和解答。

1. 问题，如何利用放缩法确定一个函数的导数的范围？回答，要确定一个函数的导数的范围，可以采用放缩法来进行推导。

首先，找到函数的极值点和导数不存在的点，然后根据这些点的性质来确定导数的范围。

具体步骤包括，求导，找到导函数的零点，求导函数的符号变化区间，以及考虑导数不存在的点。

通过这些步骤，可以得到导数的范围。

2. 问题，如何利用放缩法找到一个函数的最大值或最小值？回答，要找到一个函数的最大值或最小值，可以利用放缩法来进行求解。

首先，找到函数的极值点和导数不存在的点，然后根据这些点的性质来确定函数的最大值或最小值。

具体步骤包括，求导，找到导函数的零点，求导函数的符号变化区间，以及考虑导数不存在的点。

通过这些步骤，可以确定函数的最大值或最小值。

3. 问题，放缩法在求解导数范围和最值时有什么注意事项？回答：在使用放缩法求解导数范围和最值时，需要注意以下几点：对于导函数的零点，要找到所有的零点，并判断其性质（极大值点或极小值点）。

对于导函数的符号变化区间，要确定函数在这些区间内的斜率的正负情况，从而判断函数的增减性。

对于导数不存在的点，要单独考虑这些点对函数的影响，可能是函数的极值点或者不可导点。

在进行放缩时，要注意不要漏掉任何可能的情况，尤其是边界点和特殊点。

通过以上的问题和解答，我们可以初步了解到在求解导数的放缩法题目时，需要注意对函数的极值点、导数不存在的点以及导函数的符号变化区间进行分析，并综合考虑这些因素来确定导数的范围或者找到函数的最大值或最小值。

这样的综合分析能够帮助我们更全面地理解和解决这类问题。

高中数学导数放缩法

高中数学导数放缩法
放缩法是一种应用较广泛的数学方法，可以帮助我们更准确地预测趋势。

它可以用于研究不同的模式，并帮助我们理解数学的性质。

放缩法的定义很简洁，可以理解为将待研究的函数缩放到另一个函数上。

它通常是利用比较简单的曲线对复杂曲线进行研究，以提升正确性。

这在高中数学中也被广泛应用。

放缩法在微积分科目中探讨变化的情况下比较重要，如识别函数的导数，判断函数的图形特征等。

比如，考生们可以通过放缩法来研究狭义直线段的性质，具体可以将端点和直线段的某点缩放到同一坐标系。

如果直线段的两个端点都缩放到横坐标或纵坐标的1，那么整条直线段就会缩放到一条平行于横坐标轴或纵坐标轴的直线，如此可以容易研究其斜率，表示为一个分数，有助于理解这条直线段的性质。

同理，放缩法也可以用于求取圆的半径、椭圆的长轴短轴，以及曲线的凸包和曲率等。

考生们只需要把函数中若干特定点进行缩放，
并运用对称性质、相似性质，就可以更加准确地研究函数的模型，从
而准确分析函数的特点和性质。

最后要提醒的是，放缩法是一种非常灵活的数学方法，通过不断
尝试和改进，可以辅助理解和分析各种函数的性质。

此外，需要注意
的是，放缩法的运用也必须遵守数学的相关定律和原则，以保证较高
的准确度。

总之，放缩法是高中数学中常用的一种研究数学模型的分析方法，在研究不同函数的性质时都很有用，可以帮助考生更准确地预测趋势。

只要认真研究、了解放缩法的运用方法，考生们就可以掌握这种数学
方法，更好地分析函数的模型和性质，为自己的学习和生活中把握更
多技术拓展工具。

2022高考数学函数与导数—导数中的放缩问题

函数与导数—导数中的放缩问题专题综述放缩法是解决函数不等式问题的利器，导数压轴题中的函数往往是指数、对数与其他函数综合，或者指对数并存的超越函数，有时直接构造出的函数难以直接求出最值，需要借助放缩解决.利用导数判断函数单调性、解决函数零点问题、不等式证明等问题中都会用到放缩法，使问题难度降低.常用的放缩方式有：①常用不等式放缩：指数放缩、对数放缩、三角放缩；②利用已知题目信息放缩；③根据已知参数范围或常识，减少变量，适当放缩；③利用单调性放缩；④利用基本不等式放缩：若0a b >>，则211ln ln 2a b a bb ab a b a b-+<<<<-+；⑤由数值大小关系直接放缩，做题时灵活运用.本专题就前3种，重点探究.专题探究探究1：利用不等式放缩函数中有指数、对数、三角函数时，直接求导，导数不等式无法解出，根据函数结构，选择不等式进行放缩，使函数简单化. 常用不等式有：（1）三角函数放缩：①0,,sin tan 2x x x x π⎛⎫∀∈<< ⎪⎝⎭；②21sin 2x x x ≥-；③22111cos 1sin 22x x x -≤≤-（2）指数放缩：①1x e x ≥+；②x e ex ≥（1,y x y ex =+=为函数x y e =图象的两条切线）；③()101xe x x ≤≤-；④()10x e x x≤-< （3）对数放缩：①11ln 1x x x -≤≤-；②ln x x e ≤；③1ln x ex ≥-；（1,xy x y e =-=为函数ln y x =图象的两条切线）（4）指对放缩：()()ln 112xe x x x ->+--=(2021安徽省合肥市联考) 已知函数()(ln ),.xe f x a x x a R x=--∈（1）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，函数1()()()x g x f x x e mx x =+++满足：对任意(0,)x ∈+∞，都有()1g x 恒成立，求实数m 的取值范围．【审题视点】第（2）问显化函数()g x ，恒成立问题回顾常用的方法（专题1.3.7）：分离参数、含参讨论单调性等方法，由解析式的具体结构确定方法与细节.【思维引导】分离参数以后，函数中有指、对结构，若直接通过求导判断单调性求最值，方法较困难，利用不等关系1x e x ≥+，得ln ln 1x x e x x +≥++，使难度大大降低.【规范解析】解：（1）()f x 的定义域是(0,)+∞，22()(1)()x x x a xe e ax e x f x a x x x -+-'=--=，当0a >，0x >时，令()0f x '>，则1x <∴()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；（2）当1a =-时，1()()()ln (1)x x g x f x x e mx xe x m x x=+++=-++，()()0,,1x g x ∀∈+∞≥即ln 1ln 1ln 11x x x x xe x e m x x++-+--=-，1.恒成立问题求参：分离参数构造函数求最值；2.构造的函数中有ln x 、ln x x e +，通过求导判断单调性求最值较困难，通过常用不等关系1xe x ≥+，进行放缩,是函数简单化.设()1x F x e x =--，则()1x F x e '=-，令()0F x '>，则0x >∴()f x 在()0,+∞上单调递增，在(),0-∞上单调递减∴()(0)0F x F =，即1(x e x +当且仅当0x =时“=”成立)，故ln ln 1(x x e x x +++当且仅当ln 0x x +=时“=”成立)， ()ln G x x x =+在(0,)+∞上是增函数，且11()10G e e=-<，(1)10G =>，故存在01(,1)x e∈使得ln 0x x +=成立，故ln 1ln 1ln (ln 1)112x x x e x x x x x++-+-++--=-（当且仅当0x x =时“=”成立），∴2m -，即m 的取值范围是[2,).-+∞【探究总结】常见的不等关系要灵活运用，解题时函数结构复杂，可考虑运用上述不等式进行放缩，使问题简答化.但不等式1,,ln 1,ln xxx e x e ex x x x e≥+≥≤-≤，从图象的角度看，是以直代曲，放缩的程度大，容易出现误差，在使用时要注意.另外若是求参数取值范围问题，要考虑不等式中的等号能否取到.(2021山东省泰安市一模) 已知函数()()ln 2xf x e x k -=-，（k 为常数， 2.718e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直.（1）求()f x 的单调区间；（2）设()()1ln 1xx x g x e-+=,对任意0x >，证明：()()21x x x g x e e -+<+. 探究2：利用已证结论放缩1.对使用过得不等关系，构造函数证明成立；2.利用不等关系进行替换.恒成立求取值范围的问题，放缩以后，要确保不等式中等号能否取到解答题的上一问中证明的不等式，或者推导过程中证明出的结论，为后续的证明提供放缩的依据.需证明的不等式为关于n 的多项式的和或不等式结构复杂，利用已证结论，进行放缩，使不等式化繁为简，便于构造函数求最值.(2021湖南省郴州市模拟) 已知函数()e (1)ln(1) 1.x f x x x =-++-（1）当0x >时，证明：()0f x >；（2）已知数列{}n a 的通项公式为1e 1nn n na n -=+，证明：12ln (1).n a a a n ++⋅⋅⋅+>+ 【审题视点】第（2）问，出现数列的前n 项和，且不能用常规的求和方法求和，借助第一问的结论对n a 的通项公式进行放缩，便于求和.【思维引导】对第一问的不等式进行变形，观察n a 的结构，进行放缩，能够用已知方法求和.【规范解析】解：（1）由题意得 ()()ln(1)10x f x e x x '=-+->，设()ln(1)1x g x e x =-+-，则1(1)1()11x xe x g x e x x +-'=-=++，当0x >时， 1x e >，11x +>，则(1)1x e x +>则(1)1()01x e x g x x +-'=>+， ()g x ∴在()0,+∞上单调递增，故()()00g x g >=，即()0f x '> ()f x ∴在()0,+∞上单调递增，∴当0x >时，()(0)0f x f >=，即()0f x >（2）由（1）知：当0x >时，()(1)ln(1)10x f x e x x =-++->，即1ln(1)1x e x x ->++ 令1x n=，则11ln()1nne n n n n -+>+，12231ln ln ln12n n a a a n++++>+++ 231ln()ln(1)12n n n+=⨯⨯⨯=+ ∴12ln (1)n a a a n ++⋅⋅⋅+>+【探究总结】函数中证明与n 有关的求和问题，或不等式证明问题，要仔细观察不等式结构特点，往往会利用前一问的结论，或者解题过程中的结论.利用已证结论，进行放缩，化繁为简，证明不等式的成立.(2021广东省东莞市联考) 已知函数()ln (1),(0)f x x a x a =-->（ 2.718e ≈即自然对数的底数）.（1）若函数()f x 在()1,+∞上是单调减函数，求实数a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当n N +∈时，证明：2311111111.2222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭探究3：利用已知参数范围或常识放缩函数解析中含有参数，且已知参数范围，证明不等式成立，可以从参数的范围入手，使参数取确定的值或利用单调性、其它不等关系，对不等式进行放缩，减少变量，使函数结构简单，易于判断单调性.(2021河北省石家庄联考) 已知函数()(2).x f x e k x =-+（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：当0k e <<时，()(1ln )0.f x k x x ++->【审题视点】已知参数范围，证明不等式成立，且函数指对结构都有，若含参讨论难度大，可能要借助放缩，化繁为简.【思维引导】1.对已证不等式进行变形，变形为与n a 通项公式相似的结构；2.对自变量进行替换，得出新的不等式.利用不等式性质进行求和，实现放缩，证明结论.第（2）问不等式的证明，函数中有x e ，ln x ，构造函数求导，含参讨论解导数不等式较困难，可巧妙利用参数的范围，参数取确定的值，进行放缩，求不含参函数的最值较为简单.【规范解析】解：（1）由题意得 ()e .x f x k '=- ①当0k 时，()e 0x f x k '=->，∴函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；②当0k >时，令()e 0x f x k '=-> 得ln x k >，则()g x '在(0,)+∞上单调递增，且(1)0g '= 当(0,1)x ∈时，()0g x '< 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>)0，10⎫->⎪⎭∴当0k e <<时，()(1ln )0.f x k x x ++->【探究总结】不等式的证明问题中含有参数，若直接构造函数含参讨论，难以解决的情况下，为避开讨论，可以在参数给定的范围内，结合不等式的结构进行第一步的放缩，达到消参的目的，转化为证明不含参的不等式.若不等式的结构依然复杂，在利用常用不等关系、已证结论等方法进一步放缩.(2021湖北省荆州市高三模拟) 已知函数()ln(2).x m f x e x -=-（1）设1x =是函数()f x 的极值点，求m 的值并讨论()f x 的单调性；（2）当2m 时，证明：()ln 2.f x >-专题升华导数解答题中函数多以xe 、ln x 型的函数与其他函数结合的形式出现，考查零点问题、不等式证明问题、恒成立问题等方向时，如果利用常规方法处理时，因函数结构复杂求导判断单调性难度较大，通过放缩将难以处理的函数转化为较为简单的函数进行处理.放缩法较为灵活，要根据不等式的结构、形式等特征，使条件与结论建立联系，选择适当的方法是关键. 1.积累常见的不等结论：如探究1中提及的不等式，解题时需构造函数，证明其正确性，再进行放缩.利用不等式进行放缩，体现了数学中的化归与转化思想，也体现了处理数学问题时以直代曲、以曲代曲的方法.2.巧用已证不等式，顺水推舟：利用已证不等式(或结论) “服务”于后续问题的求解，这类题目最明显的“暗示”，即为证明一个类似于数列求和的不等式，需利用已证不等式进行逐项替换放缩.若题目的第一问证明不等式，在后续解题时，留意是否会利用已证结论.3.已知参数范围：含参不等式的证明时，若因为参数的存在使函数讨论非常复杂，可考虑结合参数范围及其它结论进行放缩.4.其他放缩方法：除了上述三种难度较大的放缩方法以外，单调性、已知结论、基本不等式等.如利用基本不等式进行放缩，化曲为直，()202x x +=≥；和积互化等.不仅仅应用于简化不等式，在解题过程中，也可能用放缩证明代数式的值.长干行·其一[唐]李白妾发初覆额，折花门前剧。

高中数学导数放缩法

高中数学导数放缩法导数作为数学中重要的概念，是微积分中的一个基础知识。

在高中数学中，导数是一个重要的内容，学生需要掌握导数的定义、性质和计算方法。

其中，导数的放缩法是导数的一种重要应用，能够帮助我们简化复杂的导数计算，提高计算的效率。

一、导数的定义及性质回顾在学习导数的放缩法之前，我们先来回顾一下导数的定义及性质。

在数学中，函数y = f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h这个极限表示当自变量在点x处偏离x时，函数值的变化情况。

导数有一些重要的性质，比如：1.常数函数的导数为0：即对于常数k，f(x) = k的导数为f'(x) = 02.和函数的导数：(u + v)' = u' + v'3.差函数的导数：(u - v)' = u' - v'4.常数倍函数的导数：(ku)' = ku'5.积函数的导数：(uv)' = u'v + uv'6.商函数的导数：(u/v)' = (u'v - uv')/v^2这些性质在导数的计算中起着非常重要的作用，能够帮助我们简化计算过程。

接下来，我们将介绍导数的放缩法，以及如何运用这一方法简化导数的计算。

二、导数的放缩法原理导数的放缩法是指根据导数的定义及性质，通过放缩函数的表达式，将复杂的导数计算化简为简单的计算。

具体来说，导数的放缩法主要有以下几种形式：1.基本放缩法：指利用导数的性质，将一个复杂函数拆分成几个简单函数的和、差、积或商，然后利用导数的性质求导，最后将得到的导数组合起来得到原函数的导数。

2.递推放缩法：指通过递推的方式，将一个复杂函数的导数化简为一个或多个简单函数的导数，然后根据导数的性质组合起来得到原函数的导数。

3.反函数放缩法：指利用反函数的性质，将一个函数的导数与其反函数的导数之间建立联系，通过求导得到原函数的导数。

y=ex和y=lnx相关不等式证明中的几种特殊放缩法

y=ex和y=lnx相关不等式证明中的⼏种特殊放缩法2019-09-29导数作为研究函数图像和性质的⼯具，在每年⾼考中都占有极重要的分量.⽽且在近⼏年的各地⾼考试卷中.对y=ex和y=lnx两类函数的考察是常考常新，变化多样.其中关于不等式的证明更是考察的重点和难点.本⽂通过分析⼏种特殊的放缩⽅法及其在解题中的应⽤，以便师⽣在备考复习中能突破重点和难点.⼀、⼏个典型的放缩公式公式1：x∈R，有ex≥1+x公式2：x∈R，有ex≥ex公式3：x∈R+，有lnx≤x-1公式3：x∈R+，有lnx≤1ex⽤导数或图像所⽰易得上述公式⼀定成⽴.在解决y=ex和y=lnx相关的不等式问题中，巧⽤上述⼏个放缩公式，可以快速的突破不等式证明的难点.⼆、典型例题分析1.（2014全国课标I.理21题）设函数f（x）=aexlnx+bex-1x，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=e（x-1）+2.（Ⅰ）求a，b; （Ⅱ）证明：f（x）>1.解法⼀（常规解法）：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=aexlnx+axex-bx2ex-1+bxex-1.由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（f（x）=exlnx+2ex-1x，从⽽f（x）>1等价于xlnx>xe-x-2e.设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=x+lnx，所以当x∈0，1e时，g′（x）<0，当x∈1e，+∞时，g′（x）>0，故g（x）在0，1e单调递减，在1e，+∞单调递增，从⽽g（x）在（0，+∞）的最⼩值为g1e=-1e.设函数h（x）=xe-x-2e，则h′（x）=e-x1-x，所以当x∈（0，1）时，h′（x）>0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）<0，故h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，从⽽h（x）g（x）在（0，+∞）的最⼩值为（h（1）=-1e.综上：当x>0时，g（x）>h（x），即f（x）>1.解法⼆（⽤公式2放缩）：f（x）=exlnx+2ex-1x，从⽽f（x）>1等价于exlnx+2ex-1x>1.即exlnx+2exex>1; 由公式2 有ex≥ex.所以exlnx+2exex≥exlnx+2，所以要使exlnx+2exex≥exlnx+2>1成⽴，只需证exlnx+2>1，即exlnx+1>0成⽴.设h（x）=exlnx+1，有h′（x）=e（lnx+1）所以当x∈0，1e时，h′（x）<0，当x∈1e，+∞时，h′（x）>0，故h（x）在0，1e单调递减，在1e，+∞单调递增，所以h（x）max=h（1e）=0.所以有exlnx+2exex>1成⽴.2.（2013课标全国Ⅱ，理21）已知函数f（x）=ex-ln（x+m）.（1）设x=0是f（x）的极值点，求m并讨论f（x）的单调性;（2）当m≤2时，证明f（x）>0.证明：（2）m≤2，要证f（x）>0，即f（x）=ex-ln（x+m）>ex-ln（x+2）>0，即要证ex>ln（x+2），由公式1有ex≥x+1，⼜由公式3有x+1≥ln（x+2），所以ex≥ln（x+2），所以ex-ln（x+2）≥0，所以可证f（x）>0.试⼀试：已知函数f（x）=ex-x-1，g（x）=x2eax .（Ⅰ）求f（x）的最⼩值;（Ⅱ）求g（x）的单调区间;（Ⅲ）当a=1时，对于在（0，1）中的任⼀个常数m，是否存在正数x0使得f（x0）>m2g（x）成⽴？如果存在，求出符合条件的⼀个x0;否则请说明理由.注：本⽂为⽹友上传，不代表本站观点，与本站⽴场⽆关。

常用导数放缩法

一：消参放缩(适合含参)1.已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.解：(1)f′(x)＝1e xx m -+.由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.于是f(x)＝e x－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝1e1 xx-+.函数f′(x)＝1e1xx-+在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0.因此当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)＞0.当m＝2时，函数f′(x)＝1e2xx-+在(－2，＋∞)单调递增．又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．由f′(x0)＝0得0e x＝01 2x+，ln(x0＋2)＝－x0，故f(x)≥f(x0)＝01 2x+＋x0＝212xx(+)+＞0.综上，当m≤2时，f(x)＞0.2.已知函数f(x)=m e x-ln x-1.（Ⅰ）当m =1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；（Ⅱ）当m ≥1时，证明：f(x)>1.【答案】（Ⅰ）y =(e -1)x（Ⅱ）当m ≥1时，f (x)= m e x-ln x -1≥e x-ln x -1.（放缩）要证明f (x)>1，只需证明e x-ln x -2>0.3.知函数1()ln(1)(1)nf x a xx=+--，其中*x∈N，a为常数．（Ⅱ）当1a =时，证明：对任意的正整数n ，当2n ≥时，有()1f x x -≤．当1a =时，1()ln(1)(1)nf x x x =+--．当2x ≥时，对任意的正整数n ，恒有11(1)nx -≤，故只需证明1ln(1)1x x +--≤．令()1(1ln(1))2ln(1)h x x x x x =--+-=---，[)2x ∈+∞，，则12()111x h x x x -'=-=--，当2x ≥时，()0h x '≥，故()h x 在[)2+∞，上单调递增，因此当2x ≥时，()(2)0h x h =≥，即1ln(1)1x x +--≤成立．故当2x ≥时，有1ln(1)1(1)nx x x +---≤．即()1f x x -≤．二：构造放缩（适合f(x)或其变式的N 项和有关）4.设函数()()2ln 1f x x b x =++.（1）若x =1时，函数()f x 取最小值，求实数b 的值；（2）若函数()f x 在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围；（3）若1b =-，证明对任意正整数n ，不等式33311......31211)1(n ＜k f nk ++++∑=都成立解:（1）由x + 1＞0得x ＞ – 1∴f(x)的定义域为( - 1，+ ∞),对x ∈ ( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f /(1) = 0,,022,12)(/=+∴++=bx b x x f 解得b= - 4. 经检验合题意；（2）∵,12212)(2/+++=++=x b x x x b x x f 又函数f(x)在定义域上是单调函数，∴f /(x) ≥0或f /(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立.若f /(x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x 2+2x+b ≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立,即b ≥-2x 2-2x =21)21(22++x 恒成立,由此得b ≥21; 若f /(x) ≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x 2+2x+b ≤0,即b ≤- (2x 2+2x)恒成立，因-(2x 2+2x) 在( - 1，+ ∞)上没有最小值，∴不存在实数b 使f(x) ≤0恒成立.综上所述，实数b 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21. （3）当b= - 1时，函数f(x) = x 2- ln(x+1)，令函数h(x)=f(x) – x 3= x 2– ln(x+1) – x 3，则h /(x) = - 3x 2 +2x - 1)1(31123+-+-=+x x x x ，∴当[)+∞∈,0x 时，h /(x)＜0所以函数h(x)在[)+∞∈,0x 上是单调递减.又h(0)=0，∴当()+∞∈,0x 时，恒有h(x) ＜h(0)=0,[ 即x 2– ln(x+1) ＜x 3恒成立.故当()+∞∈,0x 时,有f(x) ＜x 3..∵()1,0,,k N k +∈∴∈+∞取,1k x =则有311(),f k k < ∴33311 (312)11)1(n ＜k f nk ++++∑=,故结论成立。

高考导数解答题中常见的放缩大法

For personal use only in study and research; not forcommercial use(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.将这些不等式简单变形如下： exx ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。

例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。

放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。

第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<，（放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥->（放缩成类反比例函数）1ln 1x x ≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥，（放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<，（放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++，第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x =-，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。

高考数学导数放缩大全

高考导数大题中常用的放缩大法切线放缩及推广⑴ 111ln 1xe x x x x x≥+>>−≥≥− 拆开任意组合，在其定义域内恒成立 *1x e x ≥+在0x =时取等；ln x 1x ≤−，1ln 1x x ≥−在1x =时取等。

⑵ x e ex ≥ 切点为(1,)eln x x e≥ 切点为(,1)e 略证： 1.构造()1x f x e x =−−，证得1x e x ≥+，对其①ln x 代x ，证得1ln x x −≥②ln x −代x ，证得1ln 1x x≥−③1x −代x ，证得x e ex ≥. 2.对于x e ex ≥①ln x 代x ，证得ln x x e ≥②ln x −代x ，证得 3.对于，两边同时取对数，继而1x −代x ，化简为ln x 1x ≤− 4.对于，两边同时取对数，继而x −代x ，化简为ln x x <5.其他常用变形：，，，x nx x nn x x e x e e n n>=>>=>> 11ln ln ln n n x x x x x <=><=><三角不等式sin tan ,[0,)2x x x x π<<∈不等式链（调几对根算方）数列不等式第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤−，ln x x <，（放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x <−> ，()11ln 012x x x x >−<< ，)ln 1x x <−>，)ln 01x x ><< （ln x < （放缩成二次函数）2ln x x x ≤−，()()21ln 1102x x x x +≤−−<<，()()21ln 102x x x x +≥−> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥−，()()21ln 11x x x x −>>+，()()21ln 011x x x x −<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x+<<+，1ln x ex ≥−第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥，122x e x ≥+（放缩成类反比例函数）()101x e x x≤≤−，()10x e x x <−< （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++，2x e x > 第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x −≥+−−=第四组：三角函数放缩sin tan ,[0,)2x x x x π<<∈，21sin 2x x x ≥−，22111cos 1sin 22x x x −≤≤−泰勒公式。

恰当运用放缩法证明导数不等式

恰当运用放缩法证明导数不等式
放缩法是一种常用的证明技巧，它依赖于转换（或放缩）函数、几何形状或是实数的对称性来推断出一个初始问题的结果。

放缩法可以用来证明导数不等式。

接下来，我们将使用放缩法来证明一个导数不等式：设f(x)和g(x)为定义在[0,1]上的连续函数：
f′(x)≤g′(x),x∈(0,1)
则有f(x)≤g(x)，x∈[0,1]。

首先我们观察该导数不等式：
如果f′(x)≤g′(x),
那么积分得到f(x)≤g(x)。

因此，在这里，我们需要证明f(x)≤g(x)，x∈[0,1]。

我们选择一个放缩函数：
φ(x)=f(ax+b)
其中a,b∈R，a>0，0≤b<1
接下来，我们需要证明φ′(x)≤g′(x)，x∈[0,1]。

首先，记f(x)=y
那么φ′(x) =ayf′(ax+b)。

又因为f′(x)≤g′(x),
所以ayf′(ax+b)≤ayg′(ax+b)。

接下来，我们将ayf′(ax+b) 替换为g′(x) ayg′(ax+b) = g′(x)
因此ayf′(ax+b)≤g′(x)。

同样的，我们可以将ayg′(ax+b) 替换为f′(x) ayf′(ax+b) = f′(x)
因此φ′(x)≤f′(x)，x∈[0,1]。

最后，因为φ(x) = f(ax+b)
我们可以得出f(x)≤g(x)，x∈[0,1]。

经过以上推导，我们已经证明了原式的正确性：设f(x)和g(x)为定义在[0,1]上的连续函数：
f′(x)≤g′(x),x∈(0,1)
则有f(x)≤g(x)，x∈[0,1]。

常用导数放缩法

常用导数放缩法一：消参放缩（适合含参）已知函数$f(x)=e^{-\ln(x+m)}$。

1) 设$x_0$是$f(x)$的极值点，求$m$，并讨论$f(x)$的单调性；2) 当$m\leq2$时，证明$f(x)>0$。

解：(1) $f'(x)=e^{-x/(x+m)}$。

由$x_0$是$f(x)$的极值点得$f'(x_0)=0$，所以$m=1$。

于是$f(x)=e^{-\ln(x+1)}$，定义域为$(-1,+\infty)$，$f'(x)=e^{-x/(x+1)}/(x+1)$。

函数$f'(x)=e^{-x/(x+1)}/(x+1)$在$(-1,+\infty)$单调递增，且$f'(0)=0$。

因此当$x\in(-1,0)$时，$f'(x)0$。

所以$f(x)$在$(-1,0)$单调递减，在$(0,+\infty)$单调递增。

2) 当$m\leq2$，$x\in(-m,+\infty)$时，$\ln(x+m)\leq\ln(x+2)$，故只需证明当$m=2$时，$f(x)>0$。

当$m=2$时，函数$f'(x)=e^{-x/(x+2)}/(x+2)$。

又$f'(-1)0$，故$f'(x)=0$在$(-2,+\infty)$有唯一实根$x$，且$x\in(-1,0)$。

当$x\in(-2,x)$时，$f'(x)0$，从而当$x=x$时，$f(x)$取得最小值。

由$f'(x)=e^{-x/(x+2)}/(x+2)$得$e^x/(x+2)$在$(-2,+\infty)$单调递增。

故$f(x)\geq f(x)=(x+1)^2/(x+2)$。

综上，当$m\leq2$时，$f(x)>0$。

2.已知函数$f(x)=me^x-\ln x-1$。

Ⅰ）当$m=1$时，求曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程；Ⅱ）当$m\geq1$时，证明：$f(x)>1$。

放缩法在导数压轴题中的应用

放缩法在导数压轴题中的应用放缩法是一种重要的数学方法，尤其在证明不等式中经常用到。

近几年数列在高考中的难度要求降低，放缩法的应用重点也逐渐从证明数列不等式转移到导数压轴题中，尤其是在导数不等式证明中更是大放异彩。

下面举几个例子，以供参考。

例1：（2012年高考辽宁卷理科第21题（Ⅱ））设$f(x)=\ln(x+1)+\frac{9x}{x+6}$，证明：当$1<x<2$时，$f(x)<x+1-1$。

证明：由基本不等式，当$x>0$时，$2(x+1) \cdot 1 <(x+2)^2$，故$x+1<\frac{x^2+15x+2}{2(x+1)}$。

因此。

begin{align*}f(x)&=\ln(x+1)+\frac{9x}{x+6}\\ln(x+1)+\frac{x+1}{2}\\ln\sqrt{(x+1)^2}+\ln e^{\frac{x+1}{2}}\\ln(x+1)+1\\x+1-1end{align*}例2：（2013年新课标全国Ⅱ卷第21题（Ⅱ））已知函数$f(x)=e^{-\ln(x+m)}$，当$m \leq 2$时，证明$f(x)>x$。

例3：（2014年高考新课标Ⅰ卷理科第21题）设函数$f(x)=ae^{\ln x}+b$，曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y=e(x-1)+2$。

I）求$a,b$；II）证明：$f(x)>1$。

例4：（2016年高考山东卷理科第20题（Ⅱ））已知$f(x)=a(x-\ln x)+\frac{2x-1}{2}$，当$a=1$时，证明$f(x)>f'(x)+\frac{3}{2x}$，对于任意的$x \in [1,2]$成立。

例5：（2016年高考新课标Ⅲ卷文科21题）设函数$f(x)=\ln x-x+1$。

I）证明当$x \in (1,+\infty)$时，$1<\frac{x-1}{\ln x}<x$；II）设$c>1$，证明当$x \in (0,1)$时，$1+(c-1)x>c$。

高考导数取点(五) 导数取点赋值放缩法解函数零点

高考导数取点（五）导数取点赋值放缩法解函数零点一常见放缩1.切线放缩2.添项或减项放缩：处理复杂的函数式时，我们可以忽略或增添某些项从而达到取点的目的；3.常数放缩（函数有界性）：,sin x 1;0,1;1,1,ln x 0x x x R x e x e e x ∈≤>><<>>如，等4.预设条件放缩：为了构造证明的条件，我们可在定义域内预设很小的区间，在小区间内应用相应的不等式，通常通过放缩实现，从而达到取点的目的；5.绝对值的放缩：处理某些含参数的函数解析式时，由于部分参数未定，我们可以通过绝对值不等式放缩，从而达到取点的目的；6.02a ba b +<>，（，）7.函数有界性放缩，比如三角函数的有界性等； 8.超越函数：指，对及三角的放缩（一）对数放缩（1）.放缩成一次函数：()ln 1x x +≤ ln 1x x ≤- 1ln ex x ≤ （2）放缩成双撇函数()ln 1x x<> ()ln 01x x ><< ()11ln ,012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭ ()11ln ,12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭（3）放缩成二次函数2ln ,0x x x x ≤->（）()()21ln 1,102x x x x +≤--<< ()()21ln 102x x x x +≥->（4）放缩成反比例函数 ()1ln 11x x +≥+ ()()21ln ,11x x x x ->>+ ()()21ln ,011x x x x -<<<+()()2ln 1,101x x x x +<-<<+ ()()2ln 1,01x x x x +>>+ ()1ln 1,0x x x ≥->6(1)ln (1);25x x x x ->>+注意：（二）指数放缩（1）放缩成一次函数 1x e x ≥+ x e ex ≥ x e x > 1x xx e -≥-≥（-1）（2）放缩成反比例函数()-111,1x x e x <>， ()1,01xe x x ≤≤-，()1,01(1);1x x x e x e x x x -<-<-≥≥-+，， ()()22,02(2)20;,022x x x x x e x x e x e x x x++≤≤<⇔-++≥><--（3）放缩成二次函数222-2-21111111xxxx e x ex x e x e x≥+⇒≥+⇒+≤⇒+≤+（）（）（） ()21,0x e x x ≥+≥()211,02x e x x x ≥++>()22(2)1(1),0,=0 =1x e x e x ex x x x x ≥+-+=+-≥即或取等号x 1x22211)(1)1224xxx x e x e x ee e -+++≥+⇒≥⇒≥⇒≥（4）放缩成三次函数2311126xe x x x≥+++（三）指对数放缩ln 1ln 2;ln 11ln 1x x x e x e x x x x --->≥--+=-≥（四）三角函数放缩tan sin ,0;2x x x x π⎛⎫>><<⎪⎝⎭sin cos 0;2x x x x π⎛⎫⇒><< ⎪⎝⎭sin 1,[0,);2cos 3x x x x ≤∈+∞+sin 1,[0,);2cos 4x x x x ⇒≤∈+∞+加强：sin +tan 2,0;2sin +tan 3,022x x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫><<⇒><< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 312sin (0);sin 062x x x x x x x x ππ⎛⎫-<<>><< ⎪⎝⎭22224111111cos 1sin ;1cos 1222224x x x x x x x -≤≤--≤≤-+ ；, 附：以直线1y x =-为切线的函数ln y x = 11x y e -=- 2y x x =- 11y x=- ln y x x =指数不等式链：-21111;111x 1x x x x e ex e x x e ex x+≤≤≤≤--≤+≤--；（）对数不等式链：()111ln 1ln 1;ln 1e ex x x x x x x x x x <+<-≤≤-≤≤+； 1 - 三角不等式链31sin (0)6x x x x x -<<> 2241111cos 12224x x x x -≤≤-+对数平均值不等式链0a b >>若，则2211ln ln 2ab a b a b a b a b a b a b-+<=<<<<<+-+9：几个重要函数的放缩1n2223231. 110,e e e ()n n nn e 410e ;e ;e ;------------61110e ;e ;e ;------------11e 12x xx nx x x x x x x x e x n N ex x x e x x x x x x x x x x x x xx *->∈≥⇒→→≥→≥→≥>>>><<-<<-<<<->指数型：（1）当时，令比如：=2等；（2）当时，（3）当时，（4）当0时，；（5）当e 2;1e 2;x x x x x >+<<<+时，割线放缩，当0时，割线放缩，2+2.1110,ln ,ln ln 1n ln 20+ln 00ln 3ln 2;4ln 2;n n n n x n N x x x x x x x x e e nex x ex x x x x x x x x x x x *>∈≤⇒→→≤→≤→≤>→∞<>→><<>-><-对数型：（1）当时，令比如：=2等; （2）当时，且时，（3）当时，且时，（4）当1时,割线放缩，当时，割线放缩，二典例分析121221ln 1.()(0)a(1)(2)(),1x x f x a a xf x x x x x x x e=-≠<-<-例设函数略若函数有两个零点，，且求证：22ln ()=0=g(),(0,1)(1,)ln ln x x x x f x a x x a x x x=-=∈⋃+∞证明：令，，令'2(2ln 1)g (),g(),ln x x x x e x-=+∞在（0,1），（）,121212 g()1x a x x x x x x =<<<<有两个零点，，且，即：即：2'2'122'21211'2211ln1,=a,,ln ln11x x x ae ex ex xx e x x ex x xa ax x x x xe ex x ax x e≤⇒≥⇒≥=<<<<-≤-<-<-≤<又：令即：所以：，得证；思考：本题也可以证明：，请读者自行完成（含下面变式题）；变式：已知函数()1f x ax=-，()ln1()g x x a R=-∈；（1）设函数()()()F x f x g x=-，若在定义域内()0F x≥恒成立，求a的范围；（2）当1a=时方程()()0(01)f xg x m m⋅-=≤≤有两个实数根1x，2x且12x x<．证明：21(1)11x e mx m e≤+--例2（15天津）已知函数()n,nf x x x x R=-∈，其中*n,n2N∈≥.(I)讨论()f x的单调性；(2)设曲线()y f x=与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为()y g x=,求证：对于任意的正实数x，都有()()f xg x≤；(3)若关于x的方程()=a(a)f x为实数有两个正实根12x x，，求证：21||21ax xn<-+-解：(I)由()nf x nx x=-，可得，其中*n N∈且2n≥，分两种情况讨论：1）当n为奇数时：令()0f x'=，解得1x=或1x=-，当x变化时，(),()f x f x'的变化情况如下表：所以，()f x在(,1)-∞-，(1,)+∞上递减，在(1,1)-内递增.2)当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，当()0f x '<，即1x >时，故()f x 在(,1)-∞-上递增，()f x 在(1,)+∞上递减.(2)证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n-=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x '=-，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即()00()()()F x f x f x x x '=--，则0()()()F x f x f x '''=- 由于1()n f x nx n -'=-+在()0,+∞上递减，故()F x '在()0,+∞上递减，又因0()0F x '=，当0(0,)x x ∈时， 0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内递增，在0(,)x +∞内递减，对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤. (3)证明：不妨设12x x ≤，由(II)知()()20()g x n n x x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得202.ax x n n'=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上递减，又由(II)知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1ax n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上递增，且总结：双切线放缩，达到证明的目的；例3（18浙江）已知函数f（x）=﹣lnx．（Ⅰ）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2；（Ⅱ）若a≤3﹣4ln2，证明：对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．证明：（Ⅰ）∵函数f（x）=﹣lnx， x＞0，f′（x）=﹣，∵f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，∴=﹣，∵x1≠x2，∴+=，由基本不等式得：=≥，而x1≠x2，∴x1x2＞256，由题意得f（x1）+f（x2）==﹣ln（x1x2），设g（x）=，则，∴列表讨论：∴g（x）在[256，+∞）上递增，∴g（x1x2）＞g（256）=8﹣8ln2，∴f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2．（Ⅱ）令m=e﹣（|a|+k），n=（）2+1，则f（m）﹣km﹣a＞|a|+k﹣k﹣a≥0，f（n）﹣kn﹣a＜n（﹣﹣k）≤n（﹣k）＜0，∴存在x0∈（m，n），使f（x）=kx+a，∴对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点，由f（x）=kx+a，得k=，设h （x ）=，则h′（x ）==，其中g （x ）=﹣lnx ，由（1）知g （x ）≥g （16），又a ≤3﹣4ln2，∴﹣g （x ）﹣1+a ≤﹣g （16）﹣1+a=﹣3+4ln2+a ≤0， ∴h′（x ）≤0，即函数h （x ）在（0，+∞）上递减， ∴方程f （x ）﹣kx ﹣a=0至多有一个实根，综上，a ≤3﹣4ln2时，对于任意k ＞0，直线y=kx+a 与曲线y=f （x ）有唯一公共点．总结：本题借助有界性，均值不等式，舍项添项放缩取点，达到证明的目的；例4.（19天津文科21）设函数()ln (1)x f x x a x e =--，其中a R ∈. （Ⅰ）若0a ≤，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若10a e<<时，（i ）证明：()f x 恰有两个零点（ii ）设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明：0132x x ->【解】（I ）211'()[(1)],(0,)x x xax e f x ae a x e x x x-=-+-=∈+∞，当0a ≤时，210x ax e ->，从而'()0f x >，()f x 在(0,)+∞内递增.（II ）证明：（i ）由（I ）知，21'()xax e f x x-=，令2()1x g x ax e =-，由10a e <<，可知()g x 在(0,)+∞内递减，又(1)10g ae =->，且221111(ln )1(ln )1(ln )0g a a a a a =-=-<，故()0g x =在(0,)+∞内有唯一解，从而'()0f x =在(0,)+∞内有唯一解，不妨设为0x ，则011lnx a <<，当0(0,)x x ∈时，0()()'()0g x g x f x x x=>=，所以()f x 在0(0,)x 内递增；当0(,)x x ∈+∞时，0()()'()0g x g x f x x x=<=，所以()f x 在0(,)x +∞内单调递减，因此0x 是()f x 的唯一极值点. 令()ln 1h x x x =-+，则当1x >时，1'()10h x x=-<，故()h x 在(1,)+∞内递减，当1x >时，()(1)0h x h <=，即ln 1x x <-，从而1ln 111111(ln )ln ln (ln 1)ln ln ln 1(ln )0a f a e h a a aa a a a=--=-+=<，又因0()(1)0f x f >=，所以()f x 在0(,)x +∞内有唯一零点，又()f x 在0(0,)x 内有唯一零点1，从而，()f x 在(0,)+∞内恰有两个零点.（ii ）由题意，01'()0()0f x f x =⎧⎨=⎩，即0112011ln (1)x x ax e x a x e=⎧⎨=-⎩，从而1011201ln x x x x e x --=，即102011ln 1x x x x e x -=-，当1x >时，ln 1x x <-，又101x x >>，故10220101(1)1x x x x e x x --<=-，两边取对数，得120ln ln x x e x -<，于是10002ln 2(1)x x x x -<<-，整理得0132x x ->，例5.（19天津理科21）设函数()e cos ,()x f x x g x =为()f x 的导函数.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭（n N ∈）内的零点，其中n N ∈，证明：20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.【解】(Ⅰ)由已知，有()()'e cos sin xf x x x =-.当()52,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x >，得()'0f x <，()f x 递增；当()32,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x <，得()'0f x >，()f x 递减； (Ⅱ)记()()()2h x f x g x x π⎛⎫-= ⎝+⎪⎭.依题意及(Ⅰ)有：()()cos sin xg x e x x =-，从而'()2sin x g x e x =-.当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，故'()'()'()()(1)()022h x f x g x x g x g x x ππ'⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭.(Ⅲ)依题意，()()10n n u x f x =-=，即e cos 1n xn x =.记2n n y x n π=-，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.且()e cos n y n n f y y ==()()22e cos 2e nx n n n x n n N πππ---∈=. 由()()20e1n n f y f y π-==及(Ⅰ)得0n y y . 由(Ⅱ)知，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫<= ⎪⎝⎭.又由(Ⅱ)知()()02n n n f y g y y π⎛⎫+- ⎪⎝⎭，故：()()()2e 2n n nn n f y y g y g y ππ---=-()()022200000sin cos sin cos n n n y e e e g y e y y x x πππ---=<--. 所以200e 22sin cos n n n x x x πππ-+--<得证.专题练习：1.讨论函数()22 (0)x a f x e x x=->的零点的个数； 2.讨论函数()2,x a f x e x=-的零点的个数； 3.讨论函数()0,,x x f x e ax >=-的零点的个数；4.证明：当时，存在,使得对任意0(0,)x x ∈，恒有ln(1)x kx +>1k <00x >。

放缩法在导数压轴题中的应用

放缩法在导数压轴题中的应用放缩法是高中数学中一种重要的数学方法，尤其在证明不等式中经常用到。

近几年数列在高考中的难度要求降低，放缩法的应用重点也逐渐从证明数列不等式转移到导数压轴题中，尤其是在导数不等式证明中更是大放异彩。

下面举几个例子，以供参考。

一、利用基本不等式放缩，化曲为直例1（2012年高考辽宁卷理科第21题（Ⅱ））：设$f(x)=\ln(x+1)+x+1-1$，证明：当$0<x<2$时，$f(x)<\frac{9x}{x+6}$。

证明：由基本不等式，当$x>0$时，$2(x+1)\cdot1<x+2$，故$x+1<\frac{x+2}{2}$。

因此，$f(x)<\ln(x+1)+\frac{x+2}{2}-1$。

记$h(x)=\ln(x+1)+\frac{x}{2}-\frac{9x}{2(x+6)}$，则$h'(x)=\frac{1154x(x^2+15x-36)}{(x+12)^2(x+6)^2}$。

当$0<x<2$时，$h'(x)<0$，所以$h(x)$在$(0,2)$内是减函数。

故$h(x)<h(0)=\frac{9}{2}$，即$f(x)<\frac{9x}{x+6}$。

评注：本题第(Ⅱ)问若直接构造函数$h(x)=f(x)-\frac{9x}{x+6}$，对$h(x)$进行求导，由于$h'(x)$中既有根式又有分式，因此$h'(x)$的零点及相应区间上的符号很难确定，而通过对$x+1$进行放缩处理，使问题得到解决。

上面的解法中，难点在用基本不等式证明$x+1<\frac{x^2+1}{2}$，亦即是将抛物线弧$y=x+1$放大化简为直线段$y=\frac{x^2+1}{2}$，而该线段正是在左端点$(0,1)$处的切线，这种“化曲为直”的方法是我们用放缩法处理函数问题的常用方法。