任意角(二)(原创)第二课时

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1.1.1、任意角的概念(第二课时)

S ={β| β=90º+K∙ 180º ，K∈Z}
角所在象限的研究
n
例5：若α是第二象限角，试分别确定2 α，
，的终边所在位置。
23
课堂练习
1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90º的角是锐角吗？区间 (0º,90º)内的角是锐角吗？
答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90º的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间(0º,90º)内的角是锐角．
▪ 第二象限的角表示为： {| 90 + k360<<180 +k360，kZ}；
▪ 第三象限的角表示为： {| 180 + k360<< 270 + k360，kZ}
▪ 第四象限的角表示为： {| 270 + k360<< 360 + k360，kZ}
例4、写出终边落在y轴上的角的集合.
y 90°+K ·360°
5 、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是
( C) A 第一象限角
B 第一、二象限角
C 第一、三象限角 D 第一、四象限角
6、若α是第四象限角，则180º－α是（）
A C第一象限角
B 第二象限角
C 第三象限角
D 第四象限角
7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，那么α与β之间的关系是（） D
1.1.1 任意角的概念
第二课时
例3：写出终边分别落在四个象限的角的集合.
▪ 终边落在坐标轴上的情形
y 90°+K ·360°
180°+K·360° o
x 0°+K ·360° 或360°+ K ·360°

2015-2016学年人教A版必修四任意角(第二课时) 课件 (29张)

(3)若射线没有作任何旋转, 则形成零角.
注：角的概念推广后，角的大小可以任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义.
2.象限角 (1)角的终边在第几象限, 就说这个角是第几象限角;
(2)角的终边在坐标轴上, 就说这个角不属于任何象限.
（1）推广角的概念、引入大于角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念； (4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
1.任意角的概念
(1)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角;
(2)按顺时针方向旋转形成的角叫做负角;
45° －2×180° ＝－315° ；45° －1×180° ＝－135° ； 45° ＋0×180° ＝45° ；45° ＋1×180° ＝225° ；
45° ＋2×180° ＝405° ；45° ＋3×180° ＝585° . 小结当角的集合的表达式分两种或两种以上情形时，能合并
的尽量合并，注意，把最后角的集合化成简约的形式．
6、某扇形的面积为 1 2 ，它的周长为 4cm， cm 那么该扇形圆心角的度数为（B ） A．2° B．2 C．4° D．4
7、已知α,β角的终边相同，那么α －β的终边在（ A ） A . x轴的非负半轴上 B. y轴的非负半轴上
C. x轴的非正半轴上
D. y轴的非正半轴上
8、已知角2 的终边在x轴的下方，那么是( B ) A.第一象限角 B.第二或四象限角 C.第一或三象限角 D.第一或四象限角
∴角 α 在第一或第三象限．
k k 2．设集合 M＝ {x|x＝ ×180° ＋45° ，k∈Z}，N＝{x|x＝ ×180° 2 4 ＋45° ，k∈Z}，那么 A．M＝N C．N⊆M B．M⊆N ( )

人教A版高中数学必修四课件：任意角三角函数(第二课时).pptx

叫做

的正切，记作
tan.
即 tan y (x 0)
x
临海市杜桥中学数学组陈永才
2019年10月30日星期三
三角函数值的符号口诀：一全二正弦三切四余弦
正全切余
临海市杜桥中学数学组陈永才
2019年10月30日星期三
思1.考公：式角一(与诱2导k公式一(k): Z ) 的同名三角函数值大小有何关系？为什么si?n(2k ) sin
o
x
PT
的终边
(Ⅳ)
2019年10月30日星期三
思考：能不去掉绝对值符号,使得线段ＯＭ,ＭＰ的值与
的正负是一致呢？怎样规定？
有向线段：规定了方向的线段.
规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负.
y CA
o D
有向线段AB:方向A→B；记作 AB 值为正
B
有向线段BA:方向B→A；记作 BA 值为负
即：sin与 sin(2k ) ccooss(2与kcos(2)) ktan)
提问:你能用文字语言怎样描述公式一吗?有何作用? 终边相同的角的同一三角函数的值相等
作用:利用公式一,可以把求任意角的三角函数值都转化为求0～2(或0º～360º)角的三角函数值。
的终边 y
P
Mo
A(1,0)
x
y T 的终边
P
A(1,0)
oM
x
T
(Ⅱ)
(Ⅰ)
临海市杜桥中学数学组陈永才
2019年10月30日星期三
的终边 y
P
Mo
A(1,0)
x
T (Ⅱ)
yT
M
o
A(1,0)
x

数学：1.1.1《任意角2》教案(苏教版必修4)

1.1.1 任意角（2）
教学目标
1．熟练掌握象限角与非象限角的集合表示；
2．会写出某个区间上角的集合。

教学重、难点
区间角的表示。

教学过程
复习：
1．角的分类：按旋转方向分；按终边所在位置分。

2．与角α同终边的角的集合S 表示。

3．练习：把下列各角写成360(0360)k αα⋅+≤<o o
的形式，并指出它们所在的象限或终边位置。

（1）135-o ；（2）1110o ；（3）540-o ．
新课讲解
1．轴线角的集合表示
例1：写出终边在y 轴上的角的集合。

拓展：（1）终边在x 轴线的角的集合怎么表示？
（2）所有轴线角的集合怎么表示？
例2：写出第一象限角的集合M ．
提问：第二、三、四象限角的集合又怎么表示？
例3 写出(0)y x x =±≥所夹区域内的角的集合。

课堂练习
1．若角β的终边在第一象限或第三象限的角平分线上，则角β的集合是．
2．若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系是．
3．（思考）若角α与β的终边关于x 轴对称，则α与β的关系是．若角α与β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是．
若角α与β的终边关于原点对称，则α与β的关系是．
课堂小结
1．非象限角（轴线角）的集合表示；
2．区间角集合的书写。

教学后记。

必修四1.1.1任意角第二课时(教案)

课题：1.1.1 任意角（二）教学目的：1．巩固角的形成，正角、负角、零角等概念，熟练掌握掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角的表示方法；2．掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）、象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法；3．体会运动变化观点，逐渐学会用动态观点分析解决问题；教学重点：象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法；教学难点：终边在坐标轴上的角的集合表示；教学过程：一、复习引入：1．“正角”与“负角”、“0角”2．“象限角”3．终边相同的角：所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合：{}ZkkS∈⋅+==,360|οαββ二、讲解新课：例1写出终边在y轴上的角的集合（用0到360度的角表示）.解：∵在0°～360°间，终边在y轴的正半轴上的角为90°，终边在y轴的负半轴上的角为270°，∴终边在y正半轴、负半轴上所有角分别是：S1={α|α=k⋅360︒+90︒,k∈Z}；S2={α|α=k⋅360︒+270︒,k∈Z}探究：怎么将二者写成统一表达式？∵S1={α|α=k⋅360︒+90︒,k∈Z}={α|α=2k⋅180︒+90︒,k∈Z}；S2={α|α=k⋅360︒+270︒,k∈Z}={α|α=2k⋅180︒+180︒+90︒,k∈Z}={α|α=(2k+1)⋅180︒+90︒,k∈Z}；∴终边在y轴上的角的集合是：S=S1Y S2={α|α=2k⋅180︒+90︒,k∈Z}Y{α|α=(2k+1)⋅180︒+90︒,k∈Z}={α|α=180︒的偶数倍+90︒,k∈Z}Y{α|α=180︒的奇数倍+90︒,k∈Z}={α|α=180︒的整数倍+90︒,k∈Z}={α|α=n⋅180︒+90︒,n∈Z}引申：写出所有轴上角的集合O xyO xyO xy{α|α=k⋅360︒, k∈Z} {α|α=k⋅360︒+180︒,k∈Z} {α|α=k⋅180︒,k∈Z}O xyO xyO xy{α|α=k⋅360︒+90︒,k∈Z} {α|α=k⋅360︒+270︒,k∈Z} {α|α=k⋅180︒+90︒,k∈Z}O xyO xyO xy{α|α=k⋅90︒, k∈Z} {α|α=k⋅90︒+45︒, k∈Z} {α|α=k⋅45︒, k∈Z}(最后两个可以根据实际情况处理)练习：写出终边直线在y x=上的角的集合S,并把S中适合不等式360α︒-≤720︒<的元素β写出来.例2．用集合的形式表示象限角第一象限的角表示为{α|k⋅360︒<α<k⋅360︒+90︒，（k∈Z）}；第二象限的角表示为{α|k⋅360︒+90︒<α<k⋅360︒+180︒，（k∈Z）}；第三象限的角表示为{α|k⋅360︒+180︒<α<k⋅360︒+270︒，（k∈Z）}；第四象限的角表示为{α|k⋅360︒+270︒<α<k⋅360︒+360︒，（k∈Z）}；或{α|k⋅360︒-90︒<α<k⋅360︒，（k∈Z）}.例3写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界)解：.(1)｛α｜60°＋k·360°＜α＜255°＋k·360°，k∈Z}(2)｛α｜－120°＋k·360°＜α＜45°＋k·360°，k∈Z}例4已知α是第二象限角，问2α是第几象限角？2α是第几象限角？分别加以说明.解：∵α在第二象限，∴k⋅360︒+90︒＜α＜k⋅360︒+180︒，k∈Z于是，k⋅180︒+45︒＜2α＜k⋅180︒+90︒, ∵k∈Z, ∴k=2n或k=2n+1当k=2n时，n⋅360︒+45︒＜2α＜n⋅360︒+90︒, ∴2α在第一象限；当k=2n+1时，n⋅360︒+225︒＜2α＜n⋅360︒+270︒, ∴2α在第三象限；∴当α在第二象限时，∴2α可能在第一象限，也可能在第三象限.类似地，2α可能在第三、四象限或y轴负半轴上.三、回顾小结用集合的形式表示象限角以及轴线角（终边在坐标轴上的角）（1）象限角：第一象限的角表示为{α|k⋅360︒＜α＜k⋅360︒+90︒，（k∈Z）}；第二象限的角表示为{α|k⋅360︒+90︒＜α＜k⋅360︒+180︒，（k∈Z）}；第三象限的角表示为{α|k⋅360︒+180︒＜α＜k⋅360︒+270︒，（k∈Z）}；第四象限的角表示为{α|k⋅360︒+270︒＜α＜k⋅360︒+360︒，（k∈Z）}；或{α|k⋅360︒-90︒＜α＜k⋅360︒，（k∈Z）}.（2）轴线角：终边在x轴正半轴上的角的集合：{α|α=k⋅360︒，k∈Z}；终边在x轴负半轴上的角的集合：{α|α=k⋅360︒+180︒，k∈Z}；终边在x轴上的角的集合：{α|α=k⋅180︒，k∈Z}；终边在y轴正半轴上的角的集合：{α|α=k⋅360︒+90︒，k∈Z}；终边在y轴负半轴上的角的集合：{α|α=k⋅360︒+270︒，k∈Z}；终边在y轴上的角的集合：{α|α=k⋅180︒+90︒，k∈Z}；终边在坐标轴上的角的集合：{α|α=k⋅90︒，k∈Z}.5．区间角：锐角：(0︒,90︒)，钝角：(90︒,180︒)，注意区间(α,β)与(k⋅360︒+α, k⋅360︒+β)的区别.。

课件-2(任意角2)

【当堂检测】
1 (1)305 42' 第四象限角 (2)35 8' 第一象限角 (3)249 30' 第三象限角 2 （） 1 S= =223 18' k 360 , k 136 42', 496 42', 223 18' （2）S= =－225 k 360 , k －585 ，－225 ， 135 （3）S= =90 k 360 , k －270 ，－630 ， 90
S { | k 360 , k Z}

பைடு நூலகம்
即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和

y

o
x
与终边相同的角的一般形式为 : 0 S={ | = k 360 , k Z }
【预习自测】
1.120 二象限角， 120 是第三象限角。是第一象限角， 350 是第四象限角。 89
终边在x轴上的角： =k 180 , k

例2
解：（1）

例3（1）C （2）C
解：在00 3600 范围内，终边在直线y x上的角有两个，即450， 2250 角。因此，所有与450 角终边相同的角构成集合 S1 { | 450 k 3600，k Z }，而所有与2250 角终边相同的角构成的集合 S 2 { | 2250 k 3600，k Z } 于是，终边在直线y x上的角的集合 S S1 S 2 { | 450 k 3600，k Z } { | 2250 k 3600，k Z } { | 450 2k 1800，k Z } { | 450 （2k 1） 1800，k Z } { | 45 n 180 ，n Z }

任意角的三角函数第二课时(教案)

课题：1.2.1 任意角的三角函数（二）教学目标：（1）掌握三角函数的符号；（2）根据定义理解与运用公式一，把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°间的三角函数值.（3）初步应用定义分析与解决与三角函数值有关的一些简单问题. 教学重点：三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.教学难点: 理解转化，灵活运用诱导公式（一）. 教学设想：一、复习回顾：任意角的三角函数定义是什么？二、探究新知：1.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：例1．求证：当且仅当不等式组sin 0{tan 0θθ<>成立时，角θ为第三象限角.练习：书P15练习42.提问：角的终边落在坐标轴上三个三角函数值是多少？完成书上P15练习33.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+= (其中k Z ∈)利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0︒到360︒)角的三角函数值.例2.确定下列三角函数值的符号:(1)cos250︒; (2)sin()4π-; (3)tan(672)︒-; (4)tan3π练习： tan(－666°36’)、tan113π例3.求下列三角函数值:(1)9cos4π; (2)11tan()6π-练习：P15第5, 7题三、学习小结(1)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?(2)请写出各三角函数的定义域；(3)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?。

人教版A版高中数学必修4：任意角的三角函数(第二课时)

那么:（1）y 叫做的正弦，记作 sin，即 sin y ；
（2）x 叫做的余弦，记作 cos，即 cos x ；
（3） y x
叫做
的正切，记作tan
，即
tan

y x
。
探究： 1.三角函数值在各象限的符号
y
（）
y
（）（）
y
（）（）
o
x
（）（）
3 .体现的数学思想：划归的思想，数形结合的思想.
课后作业活页（三）
sin
o
x
（）（）
cos
（

o
）
（

x
）
tan
3．终边相同的角的同一三角函数的值 (1)结论：终边相同的角的同一三角函数的值__相__等____. (2)公式一：sin(α＋k·2π)＝____si_n_α__. cos(α＋k·2π)＝____c_o_s_α___. tan(α＋k·2π)＝_____t_an_α___.其中k∈Z.
•• 求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
(2)sin
73πcos－236π＋tan－154πcos
13π 3.
• 思路点拨：将角转化为k·360°＋α或2kπ＋α 的形式，利用公式一求值，注意特殊角的三角函数值.
解：(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°
＋30°)
＝tan
45°－sin
90°＋cos
30°＝1－1＋
23＝
3 2.
(2)原式＝sin2π＋π3cos－4π＋π6＋tan－4π＋π4cos4π＋π3

任意角第二课时

则下列关系中正确的是( )
A.Ａ＝Ｂ＝Ｃ
C.Ａ B=C ，
B.Ａ＝Ｂ C
D.Ａ B C
2.在直角坐标系中作出角
角的终边.
4.若α 是第四象限角，则180°－α 是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
5.若α 与β 的终边互为反向延长线，则有( )
A.α ＝β ＋180° B.α ＝β －180°
x轴非负半轴：{ | k 360 , k Z} x轴负半轴： { | 1800 k 360 , k Z}
y轴非负半轴：{ | 900 k 360 , k Z}
y轴负半轴： { | 900 k 360 , k Z}
终边在x轴，y轴上的角分别如何表示？
终边落在第几象限就称是第几象限的角. 如果角的终边落在坐标轴上，就说该角不属于任何象限，习惯上称为轴上角.
终边相同的角:
所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：
S { | k 360 , k Z}
即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
第二课时
(1) 建立直角坐标系讨论任意角,判断象限角,掌握终边相同角的集合的书写; (2) 掌握象限角的集合和轴上角的集合的书写; (3)掌握区域角的集合的书写.
复习：象限角、轴上角:
象限角、轴上角都是直角坐标内的角。因此，必须先满足两个条件。 (1)角的顶点与坐标原点重合; (2)始边与x轴的非负半轴重合;
表示终边在一条射线上的角。
k 180 , k Z
表示终边在一条直线上的角。
练习：写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360º~720º 间的元素β写出来

任意角(第二课时)课件-高一上学期数学人教A版

倍，即得区间角集合．
区间角
②
Topic. 04
04 课堂小结
课堂小结
感谢观看
角的图示
O为顶点，OA为始边，OB为终边
角的记法
“角α”或“∠α”可以简记为“α”
复习导入
终边相同角
所有与终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合
S={ β | β=α+k·360º, k∈Z }
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
Topic. 02
02 轴线角、象限角
轴线角
象限角
法二:平分象限法
32
4
1
1
4
23
象限角
象限角
法二:平分象限法
32
4
1
1
4
23
象限角
nα或所在象限的判断方法： (1)用不等式表示出角nα或的范围； (2)用平方象限法确定角nα或所在象限．
Topic. 03
03 区间角
区间角
1.如图，已知角α的终边在图中阴影部分所表示的区域内(包括边界)，用集合表示角α的取值范围。
y轴正半轴
y轴负半轴 x轴 y轴
轴线角
2.（1）写出y=x(x>0)上的角的集合S. （2）S中满足不等式-360°≤β≤720°
变式.（1）写出y=x上的角的集合S. （2）S中满足不等式-360°≤β≤720°
象限角
四个象限角如何用集合的形式表示？
第一象限第二象限
第三象限第四象限
象限角
人教A版2019必修第一册
第 5 章三角函数
5.1.1 任意角
目录
01. 轴线角、象限角 02. 区间角

人教版高中数学任意角的三角函数第二课时(共15张PPT)教育课件

凡事都是多棱镜，不同的角度会
凡事都是多棱镜，不同的角度会看到不同的结果。若能把一些事看淡了，就会有个好心境，若把很多事看开了，就会有个好心情。让聚散离合犹如月缺月圆那样寻常，让得失利弊犹如花开花谢那样自然，不计较，也不刻意执着；让生命中各种的喜怒哀乐，就像风儿一样，来了，不管是清风拂面，还是寒风凛冽，都报以自然的微笑，坦然的接受命运的馈赠，把是非曲折，都当作是人生的
之前有个网友说自己现在紧张得不得了，获得了一个大公司的面试机会，很不想失去这个机会，一天只吃一顿饭在恶补基础知识。不禁要问，之前做什么去了？机会当真就那么少？在我看来到处都是机会，关键看你是否能抓住。运气并非偶然，运气都是留给那些时刻准备着的人的。只有不断的积累知识，不断的进步。当机会真的到来的时候，一把抓住。相信学习真的可以改变一个人的运气。在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙，比房子、比车子、比票子、比小孩的教育、比工作，往往被压得喘不过气来。而另外总有一些人会运用自己的心智去分辨哪些快乐或者幸福是必须建立在比较的基础上的，而哪些快乐和幸福是无需比较同样可以获得的，然后把时间花在寻找甚至制造那些无需比较就可以获得的幸福和快乐，然后无怨无悔地生活，尽情欢乐。一位清洁阿姨感觉到快乐和幸福，因为她刚刚通过自己的双手还给路人一条清洁的街道；一位幼儿园老师感觉到快乐和幸福，因为他刚给一群孩子讲清楚了吃饭前要洗手的道理；一位外科医生感觉到幸福和快乐，因为他刚刚从死神手里抢回了一条人命；一位母亲感觉到幸福和快乐，因为他正坐在孩子的床边，孩子睡梦中的脸庞是那么的安静美丽，那么令人爱怜。。。。。。