2012年北京市石景山区高三一模数学文科试题答案

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2012年石景山一模试题(文科)答案含答案

2012年石景山区高三统一测试高三数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．注：两空的题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵ C b B c a cos cos )2(=-，由正弦定理，得∴ C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-． …………2分∴ A C B C B B C B A sin )sin(cos sin cos sin cos sin 2=+=+=，………4分 ∵ ()π，0∈A , ∴0sin ≠A ∴ 21cos =B ．又∵ π<<B 0 ， ∴ 3π=B ． …………6分（Ⅱ）由正弦定理BbA a sin sin =，得622232=⨯=b …………8分,43A B ππ==Q426sin +=∴C …………11分 2334266221sin 21+=+⨯⨯⨯==∴C ab s ． …………13分16．（本小题满分13分）解：（I ）由频率分布表得31000.03M ==, …………1分所以100(333715)42m =-+++=， …………2分420.42100n ==，0.030.030.370.420.151N =++++=． …………3分…………5分（Ⅱ）由题意知，全区90分以上学生估计为4215600342100+⨯=人．………7分（III ）设考试成绩在(]0,30内的3人分别为A 、B 、C ；考试成绩在(]30,60内的3人分别为a 、b 、c ，从不超过60分的6人中，任意抽取2人的结果有： (A ，B)，(A ，C)，(A ，a)，(A ，b)，(A ，c)， (B ，C)，(B ，a)，(B ，b)，(B ，c)，(C ，a)，(C ，b)，(C ，c)，(a ，b)，(a ，c)，(b ，c)共有15个. …………10分设抽取的2人的分数均不大于30分为事件D ．则事件D 含有3个结果： (A ，B)，(A ，C) ，(B ，C) …………11分 ∴31()155P D == ．…………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）证明:因为多面体1111D C B A ABCD -为正方体，所以1111B C A ⊥面ABB ；因为111A B A ⊂面ABB ，所以111B C A ⊥B ．…………2分又因为11A AB ⊥B ，1111B C AB B ⋂=，所以111DC A A B ⊥B 面.…………4分因为11A A ⊂B 面BE ,所以平面11ADC B ⊥平面1A BE . …………6分（Ⅱ）当点F 为11D C 中点时，可使F B 1//平面BE A 1. …………7分以下证明之：易知：EF //112C D ，且EF 11=2C D ， …………9分设11AB A B O ⋂=，则1B O //112C D 且1B O 11=2C D , 所以EF //1B O 且EF 1=B O ，所以四边形1B OEF 为平行四边形. 所以1B F //OE . …………11分E F A BCD B 1A 1 D 1C 1又因为11B F A BE ⊄面，1OE A BE ⊂面．所以F B 1//面BE A 1 …………13分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）2222'()2a x af x x x x+=+= …………1分由已知'(2)1f =，解得3a =-. …………3分（II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.（1）当0a ≥时, '()0f x >，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；……5分（2）当0a <时2('()x x f x x=.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下：由上表可知，函数()f x 的单调递减区间是；单调递增区间是)+∞. …………8分（II ）由22()2ln g x x a x x =++得222'()2a g x x x x=-++，…………9分由已知函数()g x 为[1,2]上的单调减函数，则'()0g x ≤在[1,2]上恒成立，即22220ax x x-++≤在[1,2]上恒成立.即21a x x≤-在[1,2]上恒成立.…………11分令21()h x x x =-，在[1,2]上2211'()2(2)0h x x x x x=--=-+<，所以()h x 在[1,2]为减函数. min 7()(2)2h x h ==-,所以72a ≤-. …………14分19．（本小题满分14分）解：解：（Ⅰ）由题意，2221a cb a bc ⎧-=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得1a c ==．即：椭圆方程为.12322=+y x ------------4分（Ⅱ）当直线AB 与x轴垂直时，AB =，此时AOB S ∆= -----------6分当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为：)1(+=x k y ，代入消去y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-= ．设1122(,),(,)A x y B x y ，则212221226233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ -----------8分所以221)23k AB k +=+ ， ------------11分由222AB k k =⇒=⇒= ------------13分所以直线0AB l y -=或0AB l y +=． ---------14分20．（本小题满分13分）解：（I ）因为2221122,212(22)1(21)++=++=++=+n n n n n n n a a a a a a a所以数列}1{2+n a 是“平方递推数列” ． --------2分由以上结论21lg(21)lg(21)2lg(21)n n n a a a ++=+=+ ，所以数列)}1{lg(2+n a 为首项是lg5公比为2的等比数列． --------4分（II ）11121lg(21)[lg(21)]22lg5lg5---+=+⨯==n n n n a a ，11221215,(51)2--+==-n n n n a a ．--------6分1lg lg(21)lg(21)(21)lg 5nn n T a a =++++=-L ，215nn T -=．--------9分（III ）11lg (21)lg512lg(21)2lg52---===-+n n n n n n T b a ，11222n n S n -=-+． --------13分[注：若有其它解法，请酌情给分]。

北京市石景山区高三数学第一学期期末考试文北师大版

石景山区2011—2012学年第一学期期末考试试卷高三数学（文科）第Ⅰ卷选择题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃)(B A C U （）A ． }3{B ． }2{C ．}4,2,1{D ．}4,1{2．已知复数i1i1z -+=，则复数z 的模为（） A ． 2B ． 2C ．1D ．03．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，x x x f -=22)(，则=)1(f （）4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）A ．38 B ．34 C ．4 D ．25．执行右面的框图，若输入实数2=x ，则输出结果为（）A ．22 B ．41 A ．-3 B ．-1 C ．1 D ．3正视图侧视图俯视图C ．12-D ．216.设抛物线x y 82=上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线准线的距离为（）A ．4B ．6C ．8D ．127.以下四个命题中，真命题的个数是（） ①命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”； ②若q p ∨为假命题，则p 、q 均为假命题；③命题p ：存在R x ∈,使得012<++x x ，则p ⌝：任意R x ∈,都有012≥++x x ；④在ABC ∆中,B A <是B A sin sin <的充分不必要条件. A ．1 B ．2 C ．3 D ．48.对于使M x x ≤+-22成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界,若+∈R b a 、，且1=+b a ，则122a b--的上确界为（） A ．92B ．92-C ．41 D ．-4第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．在ABC ∆中，若32,120,2=︒=∠=a A c ，则=∠B ．10．统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如下图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀．则及格人数是；优秀率为．11．已知向量)1,3(=a，)1,0(=b ，)3,(k c = ，若b a 2+与c 垂直，则=k ．12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S = ．13．若实数,x y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-.1,2,01x y x y x 则2x y +的最大值为．14.已知函数)1,0(log )(≠>+-=a a b x x x f a 且，当2131<<a 且43<<b 时，函数)(x f 的零点*0),1,(N n n n x ∈+∈，则=n ．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数x x x f 2sin 21cos 3)(2+=．（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）甲、乙两名篮球运动员在四场比赛中的得分数据以茎叶图记录如下：甲乙 1 8 6 0 02 4 4 23（Ⅰ）求乙球员得分的平均数和方差；（Ⅱ）分别从两人得分中随机选取一场的得分，求得分和超过55分的概率．FCA（注：方差[]222212)()()(1x x x x x x ns n -++-+-=其中x 为1x ，2x ，⋯n x 的平均数）17．（本小题满分13分）如图，矩形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，AB ∥CD ，2AB AD ==，4CD =，M 为CE 的中点．（Ⅰ）求证：BM ∥平面ADEF ；（Ⅱ）求证：BC ⊥平面BDE ．18．（本小题满分14分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）过点M （0，2），离心率36=e .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线1+=x y 与椭圆相交于B A 、两点，求AMB S ∆.19．（本小题满分14分）已知.,ln )(R a x ax x f ∈-=（Ⅰ）当2=a 时，求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程；（Ⅱ）若)(x f 在1=x 处有极值，求)(x f 的单调递增区间；（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 在区间(]e ,0的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）对于给定数列{}n c ，如果存在实常数,p q 使得1n n c pc q +=+对于任意*n N ∈都成立，我们称数列{}n c 是 “κ类数列”．（Ⅰ）若n a n 2=，32n n b =⋅，*n N ∈，数列{}n a 、{}n b 是否为“κ类数列”？若是，指出它对应的实常数,p q ，若不是，请说明理由；（Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“κ类数列”，则数列}{1++n n a a 也是“κ类数列”；（Ⅲ）若数列{}n a 满足12a =，)(23*1N n t a a n n n ∈⋅=++，t 为常数．求数列{}n a 前2012项的和．并判断{}n a 是否为“κ类数列”，说明理由．石景山区2011—2012学年第一学期期末考试试卷高三数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．注：两空的题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）x x x f 2sin 2122cos 13)(++∙=232sin 212cos 23++=x x 23)32sin(++=πx ……………5分π=T ……………7分（Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以ππ65320≤+≤x …………9分当232ππ=+x 时，即12π=x 时，)(x f 的最大值为231+；………11分当032=+πx 时，即6π-=x 时，)(x f 的最小值为23. ………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知，乙球员四场比赛得分为18,24,24,30，所以平均数24430242418=+++=x ； ……………………2分[]18)2430()2424()2424()2418(4122222=-+-+-+-=s . ……5分（Ⅱ）甲球员四场比赛得分为20,20,26,32，分别从两人得分中随机选取一场的得分，共有16种情况：（18，20）（18，20）（18，26）（18，32）（24，20）（24，20）（24，26）（24，32）（24，20）（24，20）（24，26）（24，32）（30，20）（30，20）（30，26）（30，32） …………9分得分和超过55分的结果有：（24，32）（24，32）(30，26)（30，32） …………11分求得分和超过55分的概率为41. ………13分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）证明：取DE 中点N ，连结,MN AN ．在△EDC 中，,M N 分别为,EC ED 的中点， ………2分所以MN ∥CD ，且12MN CD =．由已知AB ∥CD ，12AB CD =，所以MN ∥AB ，且MN AB =．所以四边形ABMN 为平行四边形． ………4分所以BM ∥AN ．又因为AN ⊂平面ADEF ，且BM ⊄平面ADEF ，所以BM ∥平面ADEF ． ………………………………6分（Ⅱ）证明：在矩形ADEF 中，ED AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，所以ED ⊥平面ABCD ．所以ED BC ⊥． ………………………………9分在直角梯形ABCD 中，2AB AD ==，4CD =，可得BC = 在△BCD中，4BD BC CD ===，因为222BD BC CD +=，所以BC BD ⊥．因为BD DE D ⋂=,所以BC ⊥平面BDE ．………………………13分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得36,2==a c b 结合222c b a +=，解得122=a所以，椭圆的方程为141222=+y x . ………………5分（Ⅱ）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+1141222x y y x 得12)1(322=++x x ………………6分即09642=-+x x ，经验证0>∆.设),(),,(2211y x B y x A . 所以49,232121-=⋅-=+x x x x ， ………………8分 221221221)2)()AB x x y y x x -=-+-=（（，2103]4)[2AB 21221=-+=x x x x （ ………………11分因为点M 到直线AB 的距离222120=+-=d ， ………………13分所以4532221032121=⨯⨯=⨯⨯=∆d AB S AMB . ………………14分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得)(x f 的定义域为(0)+∞，，因为()ln f x ax x =-，所以'1()f x a x =-当2a =时，()2ln f x x x =-，所以(1)2f =，因为'1 ()2f x x =-，所以'1 (1)211f =-=……………………2分所以曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为2(1)(1)y f x '-=-，即10x y -+=. …………………………4分（Ⅱ）因为)(x f 在1=x 处有极值，所以(1)0f '=，由（Ⅰ）知(1)1f a '=-，所以1a =经检验，1a =时)(x f 在1=x 处有极值． …………………………5分所以()ln f x x x =-，令'1()10f x x=->解得10x x ><或；因为)(x f 的定义域为(0)+∞，，所以'()0f x >的解集为(1)+∞，，即)(x f 的单调递增区间为(1)+∞，. …………………………………………8分（Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3， ① 当0≤a 时，因为(]e x ,0∈，所以0)('<x f ，所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，解得ea 4=，舍去. ……………………10分 ②当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a上单调递增，3ln 1)1()(min =+==a a f x f ，解得2e a =，满足条件. …………………12分③ 当e a≥1时，因为(]e x ,0∈，所以0)('<x f ，所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，解得ea 4=，舍去. 综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3. ……………14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2,n a n =则有12,n n a a +=+*n N ∈故数列{}n a 是“κ类数列”，对应的实常数分别为1,2； …………… 1分因为32n n b =⋅，则有12n n b b +=，*n N ∈. 故数列{}n b 是“κ类数列”，对应的实常数分别为2,0. ……………3分（Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“κ类数列”，则存在实常数q p 、，使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立，且有21n n a pa q ++=+对于任意*n N ∈都成立，因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立，故数列{}1n n a a ++也是“κ类数列”．对应的实常数分别为,2p q ． ……………6分（Ⅲ）因为 *132()n n n a a t n N ++=⋅∈ 则有1232a a t +=⋅，33432a a t +=⋅， 20092009201032a a t +=⋅20112011201232a a t +=⋅故数列{}n a 前2012项的和2012S =()12a a ++()34a a +++()20092010a a ++()20112012a a +()320092011201232323232221t t t t t =⋅+⋅++⋅+⋅=-……………9分若数列{}n a 是“κ类数列”，则存在实常数q p 、使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立，且有21n n a pa q ++=+对于任意*n N ∈都成立，因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立，而*132()n n n a a t n N ++=⋅∈，且)(23*121N n t a a n n n ∈⋅=++++，则有132322n n t t p q +⋅=⋅+对于任意*n N ∈都成立，可以得到(2)0,0t p q -==，当2,0p q ==时，12n n a a +=，2n n a =，1t =，经检验满足条件. 当0,0t q == 时，1n n a a +=-，12(1)n n a -=-，1p =-经检验满足条件. 因此当且仅当1t =或0t =时，数列{}n a 是“κ类数列”.对应的实常数分别为2,0或1,0-． ………………… 13分注：若有其它解法，请酌情给分．。

2012北京石景山高三一模数学文

2012北京石景山高三一模数学文一、选择题（共8小题；共40分）1. 设集合B，N=x∣2x−2>0，则M∩N等于 ( )A. −1, 1B. 1, 3C. 0, 1D. −1, 02. 在复平面内，复数2−i对应的点位于 ( )1+iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 函数y=1+sinπ−x的图象 ( )A. 关于x=π对称 B. 关于y轴对称2C. 关于原点对称D. 关于x=π对称4. 设m,n是两条不同的直线，α,β,γ是三个不同的平面，下列命题正确的是 ( )A. 2a−c cos B=b cos CB. 2sin A−sin C cos B=sin B cos CC. 2sin A cos B=sin C cos B+sin B cos C=sin B+C=sin AD. 若m⊥α,n∥α,则m⊥n5. 执行下面的框图，若输入N=6，则输出p的值是 ( )A. 120B. 720C. 1440D. 50406. 直线x+y=5和圆O:x2+y2−4y=0的位置关系是 ( )A. 相离B. 相切C. 相交不过圆心D. 相交过圆心7. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 ( )．A. 8+433B. 8+423C. 8+233D. 3238. 如图，已知平面α∩β=l，A、B是l上的两个点，C、D在平面β内，且DA⊥α,CB⊥α,AD=4，AB=6,BC=8，在平面α上有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则△PAB面积的最大值是 ( )．A. 932B. 365C. 12D. 24二、填空题（共6小题；共30分）9. 设向量a=cosθ,1，b=1,3cosθ，且a∥b，则cos2θ=．10. 等差数列a n前9项的和等于前4项的和．若a1=1，a4+a k=0，则k=．11. 已知点P x,y的坐标满足条件x+y≤4,y≤x,y≥1,点O为坐标原点，那么∣PO∣的最小值等于，最大值等于．12. 在区间0,9上随机取一实数x，则该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率为．13. 设函数f x=−x+a,x<12x,x≥1的最小值为2，则实数a的取值范围是．14. 集合U=x,y∣x∈R,y∈R，M=x,y∣∣x∣+∣y∣<a，P=x,y∣y=f x，现给出下列函数：①y=a x，②y=log a x，③y=sin x+a，④y=cos ax，若0<a<1时，恒有P∩∁U M=P，则所有满足条件的函数f x的编号是．三、解答题（共6小题；共78分）15. 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a、b、c，且2a−c cos B=b cos C．（1）求角B的大小；，a=2，求△ABC的面积．（2）若A=π416. 我区高三期末统一测试中某校的数学成绩分组统计如下表：（1）求出表中m、n、M、N的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图；（2）若我区参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中我区成绩在90分以上的人数；（3）若该校教师拟从分数不超过60的学生中选取2人进行个案分析，求被选中2人分数不超过30分的概率．17. 如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（1）证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE ?证明你的结论．18. 已知函数f x=x2+2a ln x．（1）若函数f x的图象在2,f2处的切线斜率为1，求实数a的值；（2）求函数f x的单调区间；（3）若函数g x=2x+f x在1,2上是减函数，求实数a的取值范围．19. 已知椭圆x2a +y2b=1（a>b>0）右顶点到右焦点的距离为3−1，短轴长为22．（1）求椭圆的方程；（2）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若线段AB的长为332，求直线AB的方程．20. 若数列A n满足A n+1=A n2，则称数列A n为"平方递推数列"．已知数列a n中，a1=2，点（a n,a n+1）在函数f x=2x2+2x的图像上，其中n为正整数．（1）证明数列2a n+1是"平方递推数列"，且数列lg2a n+1为等比数列；（2）设（1）中"平方递推数列"的前n项之积为T n，即T n=2a1+12a2+1⋯2a n+ 1，求数列a n的通项及T n关于n的表达式；（3）记b n=log2an+1T n，求数列b n的前n项和S n．答案第一部分1. B2. D3. A4. D5. B6. A7. A8. C第二部分9. −1310. 10【解析】提示：a5+a6+⋯+a9=0=5a7=5a4+a102．11. 2；10【解析】平面区域如图：当P取1,1时，有最小值；当P取3,1时，有最大值．12. 29【解析】由不等式1≤log2x≤2，可得2≤x≤4，所以所求概率为4−29−0=29．13. a≥3【解析】当x≥1时，f x=2x为增函数，且f1=2．当x<1时，f x=−x+a为减函数，且f1=a−1．要满足题意，必有a−1≥2，解得a≥3．14. ①②④【解析】P∩∁U M=P即P⊆∁U M，M表示以±a,0，0,±a为顶点的正方形内部的点（不包括边界），所以满足题意条件的函数的图象不经过这个正方形内部．分别画出四个函数的图象发现，只有③的函数图象不满足题意．第三部分15. （1）由已知及正弦定理，得2sin A−sin C cos B=sin B cos C,即2sin A cos B=sin C cos B+sin B cos C=sin B+C=sin A.由A∈0,π，得sin A≠0，所以cos B=1 .又因为0<B<π，所以B=π3．（2）由正弦定理，得b=a sin Bsin A= 6.由A=π4，B=π3，得sin C=sin π−π4−π3=sinπ4+π3=sinπcosπ+cosπsinπ=6+2.所以△ABC的面积为S=12ab sin C=1×2×6×6+2=3+3.16. （1）由频率分布表得M=30.03=100，所以m=100−3+3+37+15=42，n=42100=0.42，N=0.03+0.03+0.37+0.42+0.15=1．（2）由题意知，全区90分以上学生估计为42+15100×600=342人．（3）设考试成绩在0,30内的3人分别为A、B、C；考试成绩在30,60内的3人分别为a、b、c，从不超过60分的6人中，任意抽取2人的结果有：A,B,A,C,A,a,A,b,A,c,B,C,B,a,B,b,B,c,C,a,C,b,C,c,a,b,a,c,b,c共有15个．设抽取的2人的分数均不大于30分为事件D．则事件D含有3个结果：A,B,A,C,B,C．∴P D=315=15.17. （1）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，因为B1C1⊥平面ABB1A1，A1B⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B．又因为A1B⊥AB1，B1C1∩AB1=B1，所以A1B⊥平面ADC1B1．因为A1B⊂平面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE．（2）当点F为C1D1中点时，可使B1F∥平面A1BE．证明如下：设AB1∩A1B=O，连结OE，EF．因为EF是△C1DD1的中位线，所以EF∥C1D，且EF=12C1D．则B1O∥C1D且B1O=12C1D，所以EF∥B1O，且EF=B1O，从而四边形B1OEF为平行四边形，于是B1F∥OE．又因为B1F⊄平面A1BE，OE⊂平面A1BE，所以B1F∥平面A1BE．18. （1）由已知，得fʹx=2x+2a=2x2+2a.由题意，得fʹ2=222+a2=1,解得a=−3．（2）函数f x的定义域为0,+∞．①当a≥0时，fʹx>0，f x的单调递增区间为0,+∞；②当a<0时fʹx=2 x+−a x−−ax．当x变化时，fʹx,f x的变化情况如下：由上表可知，函数f x（3）由g x=2x+x2+2a ln x，得gʹx=−22+2x+2a.根据题意，gʹx=−2x2+2x+2ax≤0在1,2上恒成立，即a≤1−x2在1,2上恒成立．令 x=1x−x2，在1,2上，因为ʹx=−1x2−2x=−1x2+2x <0,所以 x在1,2为减函数，从而x min= 2=−7 2 ,因此，a≤−72．19. （1）由题意，a−c=3−1b=2a2=b2+c2解得a=3,c=1．_{ }即：椭圆方程为x23+y22=1（2）当直线AB与x轴垂直时，∣AB∣=3，不符合题意故舍掉；当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k x+1代入消去y得：2+3k2x2+ 6k2x+3k2−6=0．设A x1,y1,B x2,y2，则x1+x2=−6k22x1x2=3k2−62所以∣AB∣=43k2+12+3k2，由∣AB∣=332⇒k2=2⇒k=±2，所以直线l AB:2x−y+2=0或l AB:2x+y+2=0．20. （1）因为a n+1=2a n2+2a n,2a n+1+1=22a n2+2a n+1=2a n+12所以数列2a n+1是"平方递推数列"．由以上结论lg2a n+1+1=lg2a n+12=2lg2a n+1所以数列lg2a n+1为首项是lg5，公比为2的等比数列．（2）因为lg2a n+1=lg2a1+1×2n−1=2n−1lg5=lg52n−1所以2a n+1=52n−1,a n=1252n−1−1．所以lg T n=lg2a1+1+⋯+lg2a n+1=2n−1lg5故T n=52n−1．（3）b n=lg T nlg2a n+1=2n−1lg52lg5=2−12S n=2n−2+12．。

北京市各区2012届高三第一学期文科数学期末试卷汇编

北京市昌平区2012届高三上学期期末考试试题（数学文）北京市朝阳区2012届高三上学期期末考试试题（数学文）北京市东城区2012届高三上学期期末教学统一检测（数学文）北京市房山区2012届高三上学期期末统测数学（文）试题北京市丰台区2012届高三上学期期末考试试题（数学文）北京市海淀区2012届高三上学期期末考试试题（数学文）北京市石景山区2012届高三上学期期末考试数学（文）试卷北京市西城区2012届高三上学期期末考试试题（数学文）2012年2月昌平区2011－2012学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（文科） 2012 .1考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2.答题前，考生务必将学校、班级、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔．3.修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1．设全集}7,5,3,1{=U ，集合}7,3,1{},5,3{==B A ，则()U A B ð等于A ．{5}B ．{3，5}C ．{1，5，7}D ．Φ2．21i -等于A ． 22i -B ．1i -C ．iD ．1i +3．“x y >”是“22x y>”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是A ．910B ．45C ．25D ．125.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．2 B ．4 C ．6. D ．8 6. 某程序框图如图所示，则输出的S =A ．120B ． 57C ．56D ． 267.某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元.主视俯视同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品.则获得利润最大时生产产品的档次是A.第7档次B.第8档次C.第9档次D.第10档次8. 一圆形纸片的圆心为点O ,点Q 是圆内异于O 点的一定点，点A 是圆周上一点.把纸片折叠使点A 与Q 重合，然后展平纸片，折痕与OA 交于P 点.当点A 运动时点P 的轨迹是 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线第Ⅱ卷（非选择题共110分）填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9.已知函数x x y cos sin = ，则函数的最小正周期是 .10.已知向量(2,1)=a ，10⋅=a b ， 7+=a b ，则=b .11.某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106] .已知样本中产品净重小于100克的个数是48，则a =___________ ；样本中净重在[98，104）的产品的个数是__________ .12. 已知双曲线122=-y m x 的右焦点恰好是抛物线x y 82=的焦点，则m = .13. 已知D是由不等式组0,0,x y x -≥⎧⎪⎨+≥⎪⎩所确定的平面区域，则圆224x y +=在区域D 内的弧长为_____________；该弧上的点到直线320x y ++=的距离的最大值等于__________ .14.设函数)(x f 的定义域为R ，若存在与x 无关的正常数M ，使|||)(|x M x f ≤对一切实数x 均成立，a则称)(x f 为有界泛函.在函数①x x f 5)(-=，②x x f 2sin )(=，③xx f )21()(=，④x x x f cos )(=中，属于有界泛函的有__________(填上所有正确的序号) .三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15.（本小题满分13分）在ABC ∆中，AA A cos cos 2cos 212-=．（I ）求角A 的大小；（II ）若3a =，sin 2sin B C =，求ABCS ∆．16．（本小题满分13分）已知数列}{n a 是等差数列,22, 1063==a a ，数列}{n b 的前n 项和是nS ，且131=+n n b S .（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）求证：数列}{n b 是等比数列；17.（本小题满分14分）如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，ABCD PA 底面⊥，垂足为点A ，2==AB PA ,点M ，N 分别是PD ，PB 的中点．（I ）求证:ACM PB 平面// ；（II ）求证:⊥MN 平面PAC ；（III ）求四面体A MBC -的体积.18.(本小题满分13分)已知函数ax x x x f ++=1ln )(（a 为实数）.（I ）当0=a 时，求)(x f 的最小值；（II ）若)(x f 在),2[+∞上是单调函数，求a 的取值范围.19.(本小题满分14分)已知椭圆C 的中心在原点，左焦点为(，离心率为23．设直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点P ，记点P 在第一象限时直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为B A 、，且向量+=.求：（I ）椭圆C 的方程；（II ）||的最小值及此时直线l 的方程.20. (本小题满分13分)M 是具有以下性质的函数()f x 的全体：对于任意s ，0t >，都有()0f s >，()0f t >，且()()()f s f t f s t +<+.（I ）试判断函数12()log (1)f x x =+，2()21x f x =-是否属于M ？（II ）证明：对于任意的0x >，0(x m m +>∈R 且0)m ≠都有[()()]0m f x m f x +->；（III ）证明：对于任意给定的正数1s >，存在正数t ，当0x t <≤时，()f x s <.昌平区2011－2012学年第一学期高三年级期末质量抽测数学(文科)试卷参考答案及评分标准 2012.1一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．) 9．π 10. 26 11. 0.125；120 12. 313． 65π;5102+14. ① ② ④三、解答题(本大题共6小题，共80分)15.（本小题满分13分）解：（I ）由已知得：AA A cos cos )1cos 2(2122-=-，……2分.21cos =∴A ……4分 π<<A 0 ，.3π=∴A …………6分（II ）由C c B b sin sin = 可得：2sin sin ==c bC B ………7分∴ c b 2= …………8分214942cos 222222=-+=-+=c c c bc a c b A ………10分解得：32b , 3==c ………11分2332333221sin 21=⨯⨯⨯==A bc S . ……13分16（本小题满分13分）解：（1）由已知⎩⎨⎧=+=+.225,10211d a d a 解得 .4,21==d a.244)1(2-=⨯-+=∴n n a n ………………6分（2）由于nn b S 311-=， ① 令n =1，得.31111b b -= 解得431=b ，当2≥n 时，11311---=n n b S ② －②得n n n b b b 31311-=- ， 141-=∴n n b b 又0431≠=b ,.411=∴-n n b b ∴数列}{n b 是以43为首项，41为公比的等比数列.……………………13分17.（本小题满分14分）证明：（I ）连接O BD AC MN MO MC AM BD AC = 且,,,,,,的中点分别是点BD PD M O ,, ACM PB PB MO 平面⊄∴,//∴ACM PB 平面//. …… 4分(II) ABCD PA 平面⊥ ，ABCD BD 平面⊂BD PA ⊥∴是正方形底面ABCDBD AC ⊥∴又A AC PA =⋂ PAC BD 平面⊥∴ ……7分在中PBD ∆，点M ，N 分别是PD ，PB 的中点．∴BD MN //PAC MN 平面⊥∴. …… 9分（III ）由h S V V ABC ABC M MBC A ⋅⋅==∆--31 ……11分PAh 21= ……12分 32212131=⋅⋅⋅⋅⋅=∴-PA AD AB V MBC A . ……14分18.(本小题满分13分)解：(Ⅰ) 由题意可知：0>x ……1分当0=a 时21)(x x x f -=' …….2分当10<<x 时，0)(<'x f 当1>x 时，0)(>'x f ……..4分故1)1()(m in ==f x f . …….5分(Ⅱ) 由222111)(x x ax a x x x f -+=+-='① 由题意可知0=a 时，21)(x x x f -=',在),2[+∞时，0)(>'x f 符合要求 …….7分② 当0<a 时，令1)(2-+=x ax x g 故此时)(x f 在),2[+∞上只能是单调递减0)2(≤'f 即04124≤-+a 解得41-≤a …….9分当0>a 时，)(x f 在),2[+∞上只能是单调递增 0)2(≥'f 即,04124≥-+a 得41-≥a 故0>a …….11分综上),0[]41,(+∞⋃--∞∈a …….13分19. （本小题满分14分）解：(Ⅰ)由题意可知3=c ，23==a c e ，所以2=a ，于是12=b ，由于焦点在x 轴上，故C 椭圆的方程为2214x y += ………………………………5分（Ⅱ）设直线l 的方程为：m kx y +=)0(<k ，),0(),0,(m B k mA -⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14,22y x m kx y 消去y 得：012)41(222=-+++m kmx x k …………………7分直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，0)1)(41(42222=-+-=∆m k m k即1422+=k m ① …………………… 9分 ∵OB OA OM +=222||m k m OM +=∴② ……………………11分将①式代入②得：||3OM ==当且仅当22-=k 时，等号成立，故min ||3OM =，此时直线方程为：03222=-+y x . …………………14分20（本小题满分13分）(Ⅰ)由题意可知，0)(,0)(,0)(,0)(2211>>>>t f s f t f s f 若)1(log )1(log )1(log 222++<+++t s t s 成立则1)1)(1(++<++t s t s 即0<st与已知任意s ，0t >即0>st 相矛盾，故M x f ∉)(1； ……2分若12222-<-++ts ts成立则01222<--++ts t s即0)21)(12(<--t s s ，0t > 021,12<->∴t s 即0)21)(12(<--ts 成立 …..4分故M x f ∈)(2.综上，M x f ∉)(1，M x f ∈)(2. ……5分(II) 当0>m 时，)()()()(x f m f x f m x f >+>+ 0)()(>-+∴x f m x f 当0<m 时，)()()()()(m x f m f m x f m m x f x f +>-++>-+=0)()(<-+∴x f m x f故0)]()([ >-+x f m x f m . ……9分(III) 据（II ））上为增函数在（∞+.0)(x f ，且必有)(2)2(x f x f >（*） ①若s f <)1(，令1=t ，则t x ≤<0时 s x f <)(；②若,)1(s f >则存在*N ∈k ，使t f k 12)1(=<由（*）式可得s f f f kk k <<<<<-1)1(21)21(21)21(1即当s x f t x <≤<)(0时，综①、②命题得证。

2012届北京市高三一模文科数学分类汇编3：三角函数

2012北京市高三一模数学文分类汇编：三角函数【2012年北京市西城区高三一模文】11. 函数22sin 3cos y x x =+的最小正周期为_____．【答案】π【解析】函数x x y 2cos 2cos 212+=+=，所以周期为ππ=22。

【2012北京市门头沟区一模文】10. 在ABC ∆中，已知2=a ，3=b ，7=c ，则ABC ∆的面积是．【答案】233 【2012北京市门头沟区一模文】已知31)4tan(=-πα，则α2sin 等于(A)32(B)31 (C)54 (D)52 【答案】C【2012北京市海淀区一模文】（10）若tan 2α=，则sin 2α= . 【答案】45【2012北京市房山区一模文】12．已知函数()ϕω+=x x f sin )(（ω>0, 20πϕ<<）的图象如图所示，则ω=____，ϕ=___.【答案】2，3π【2012北京市东城区一模文】（6）已知sin(45)10α-=-，且090<<α，则cos α的值为（A ）513 （B ）1213 （C ） 35 （D ）45【答案】D【2012北京市朝阳区一模文】9.若sin θ=,(,)2θπ∈π，则tan θ= .【答案】【2012北京市石景山区一模文】3.函数1sin()y x π=+-的图象（）【答案】A【解析】函数x x y sin 1)sin(1+=-+=π的图象关于2π=x 对称，选A.【2012北京市石景山区一模文】15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且C b B c a c o s c o s )2(=-．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2,4==a A π，求ABC ∆的面积.【答案】解：（Ⅰ）∵ C b B c a cos cos )2(=-，由正弦定理，得∴ C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-． …………2分∴ A C B C B B C B A sin )sin(cos sin cos sin cos sin 2=+=+=，………4分 ∵ ()π，0∈A , ∴0sin ≠A ∴ 21cos =B ．又∵ π<<B 0 ， ∴ 3π=B ． …………6分（Ⅱ）由正弦定理BbA a sin sin =，得622232=⨯=b …………8分,43A B ππ==426sin +=∴C …………11分 A ．关于2x π=对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于x π=对称2334266221s i n 21+=+⨯⨯⨯==∴C ab s ． …………13分【2012北京市朝阳区一模文】15. （本题满分13分）已知函数π()cos()4f x x =-. （Ⅰ）若3()5f α=，其中π3π,44α<<求πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】解：（Ⅰ）因为π3()cos()45f αα=-=，且ππ042α<-<， …………1分所以π4sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭. .…………5分. （II ）()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+=ππsin()cos()44x x +⋅+ =1πsin(2)22x +=1cos 22x . .…….…..10分当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 则当0x =时，()g x 的最大值为12；当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ………13分【2012北京市门头沟区一模文】15.（本小题满分13分）已知向量)1,(sin -=x a ，)2,cos 3(x b =，函数2)()(b a x f +=．（I ）求函数)(x f 的最小正周期；（II ）若]2,4[ππ-∈x ，求函数)(x f 的值域．【答案】解：（I ）由已知222)21()cos 3(sin )()(+-++=+=x x b a x f ……2分化简，得3)62sin(2)(++=πx x f……4分函数)(x f 的最小正周期ππ==22T……6分（II ）]2,4[ππ-∈x ，则67623πππ≤+≤-x ， ……8分所以1)62sin(23≤+≤-πx……10分函数)(x f 的值域是]5,33[-……13分【2012年北京市西城区高三一模文】15.（本小题满分13分）在△ABC 中，已知2sin cos sin()B A A C =+．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若2BC =，△ABC AB ．【答案】（Ⅰ）解：由πA B C ++=，得sin()sin(π)sin A C B B +=-=． ……3分所以原式化为B A B sin cos sin 2=． …………4分因为(0,π)B ∈，所以 0sin >B ，所以 21cos =A ． …………6分因为(0,π)A ∈，所以 π3A =． …………7分（Ⅱ）解：由余弦定理，得 222222cos BC AB AC AB AC A AB AC AB AC =+-⋅⋅=+-⋅．………9分因为 2BC =，1πsin 23AB AC ⋅⋅= 所以 228AB AC +=． …………11分因为 4AB AC ⋅=，所以 2AB =. ………13分【2012北京市海淀区一模文】（15）（本小题满分13分）已知函数()sin sin()3f x x x π=+-. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c . 已知()f A =a =，试判断ABC ∆的形状.【答案】解：（Ⅰ）()sin sin()3f x x x π=+-1sin sin 2x x x =+- ………………………………………2分3sin 22x x =-1cos 22x x ÷ç÷=-ç÷ç÷)6x π=-. ………………………………………4分由22,262k x k k πππππ-<-<+?Z ，得：222,33k x k k ππππ-<<+?Z . 所以 ()f x 的单调递增区间为2(2,2)33k k ππππ-+，k ÎZ . ………………………………………6分（Ⅱ）因为 ()2f A =，所以)6A π-=.所以1sin()62A π-=. ………………………………………7分因为 0A π<<，所以 5666A πππ-<-<. 所以 3A π=. ………………………………………9分因为 sin sin a bA B=，a =，所以 1sin 2B =. ………………………………………11分因为 a b >，3A π=，所以 6B π=.所以 2C π= .所以 ABC ∆为直角三角形. ………………………………………13分【2012北京市东城区一模文】（15）（本小题共13分）已知函数22()(sin2cos2)2sin 2f x x x x =+-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向右平移8π个单位长度得到的，当x ∈[0,4π]时，求()y g x =的最大值和最小值.【答案】解：（Ⅰ）因为22()(sin 2cos2)2sin 2f x x x x =+-sin 4cos 4x x =+)4x π=+ , …………6分所以函数()f x 的最小正周期为2π. …………8分（Ⅱ）依题意,()y g x ==[4()8x π-4π+])4x π=-. …………10分因为04x π≤≤，所以34444x πππ-≤-≤. …………11分当442x ππ-=，即316x π=时，()g x当444x ππ-=-，即0x =时， ()g x 取最小值1-. …………13分【2012北京市房山区一模文】15．（本小题共13分）已知ABC △中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且552c o s =A ，10103cos =B ．（Ⅰ）求()B A +cos 的值；（Ⅱ）设10=a ，求ABC △的面积．【答案】解：（Ⅰ）∵C B A ,,为ABC ∆的内角，且，552cos =A ，10103cos =B ∴555521cos 1sin 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=A A1010101031cos 1sin 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=B B ………………………………………4分∴()B A +cos B A B A sin cos cos +=10105510103552⨯-⨯=22=………………………………………7分（Ⅱ）由（I ）知， 45=+B A∴ 135=C ………………………………………8分 ∵10=a ，由正弦定理BbA a sin sin =得 555101010sin sin =⨯=⨯=A Ba b ……………………………………11分 ∴ABC S ∆252251021sin 21=⨯⨯⨯==C ab ……………………………………13分【2012北京市丰台区一模文】15．（本小题共13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin cos cos .a B b C c B -= （I ）判断△ABC 的形状；（Ⅱ）若()sin cos f x x x =+，求f （A ）的最大值．【答案】。

北京市各区2012年高考数学一模试题分类解析(4) 三角函数文

四、三角函数（必修四）6．（2012高考模拟文科）如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ， 105,45=∠=∠CAB ACB 后，就可以计算出A 、B 两点的距离为（ A ）A ．m 250B ．m 350C ．m 225D ．m 22256. （2012东城一模文科）已知sin(45)α-=090<<α，则cos α的值为（ D ）A ．513 B ． 1213 C ． 35 D ．453．（2012石景山一模文科）函数1sin()y x π=+-的图象（ A ）A ．关于2x π=对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于x π=对称9．（2012石景山一模文科）设向量(cos ,1),(1,3cos )a b θθ==，且b a //，则θ2cos = ．答案: 31-11. （2012高考仿真文科）在△ABC 中，若b=1,c=3,6π=∠A ,则a=________,=B sin ________________.答案：211，9. （2012朝阳一模文科）若sin θ=,(,)2θπ∈π，则tan θ= .答案：9. （2012东城示范校二模文）若点)sin ,(cos ααP 在直线x y 2-=上，则)4tan(πα+= ______________ ．答案：13-12．（2012房山一模文科）已知函数()ϕω+=x x f sin )(（ω>0, 20πϕ<<）的图象如图所示，则ω=____，ϕ=___.答案：2，3π10．（2012海淀一模文科）若tan 2α=，则sin 2α= .答案：454．（2012门头沟一模文科）已知31)4tan(=-πα，则α2sin 等于（ C ）A ．32B ． 31C ．54 D ．52 10. （2012门头沟一模文科）在ABC ∆中，已知2=a ，3=b ，7=c ，则ABC ∆的面积是．答案：233 2．（2012密云一模文科）函数cos y x =的一个单调递增区间为（ D ）A ．,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．()0,π C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),2ππ 11. （2012西城一模文科）函数22sin 3cos y x x =+的最小正周期为_____．答案：π17．（2012高考模拟文科）（本小题满分12分）已知向量()()x ωx ωb x ωx ωa cos 3,cos ,cos ,sin ==（ω＞0），函数()23-⋅=b a x f 的最小正周期为π。

石景山区高三一模数学文有答案

石景山区高三一模数学文有答案北京市石景山区 2010 年高三统一测试数学试题（文科）考生须知： 1．本试卷为闭卷考试，满分150分，考试时刻为120分钟。

2．本试卷各题答案均答在本题规定的位置。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数21i +等于（）A ．2i -B ．2iC ．1i -D ．1i + 2．已知命题:,2p x R x ∀∈≥，那么命题p ⌝为（）A ．,2x R x ∀∈≤B ．,2x R x ∀∈≤C ．2,-≤∈∀x R xD ．2,-<∈∀x R x3．已知平面向量)2,1(=a ，m b a m b 则且,//),,2(-=的值为（）A ．1B ．-1C ．4D ．-44．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：㎝2）为（）A ．80B ．60C ．40D ．205．通过点P （2，-3）作圆25)1(22=++y x 的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB所在直线方程为（）A ．05=--y xB ．05=+-y xC ．05=++y xD ．05=-+y x6．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（） A ．求数列}1{n 的前10项和)(*N n ∈B ．求数列}21{n 的前10项和)(*N n ∈C ．求数列}1{n 的前11项和)(*N n ∈D ．求数列}21{n的前11项和)(*N n ∈7．已知函数)(x f 的导函数)(x f '的图象如图所示，那么函数)(x f 的图象最有可能的是（）8．已知函数x x f x2log )31()(-=，正实数c b a ,,是公差为正数的等差数列，且满足0)()()(<⋅⋅c f b f a f 。

若实数d 是方程0)(=x f 的一个解，那么下列四个判定：①a d <;②;b d <③;c d >④c d >中有可能成立的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市石景山区2012届高三一模文综试题及答案

北京石景山区2012届高三统一测试文科综合能力测试本试卷分第1卷（选择翘）和第1l卷（非选择题）两部分，试题答案写在答题卡上，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第1卷（选择题共1 40分）本卷共35小题，每小题4分，共计140分。

在每小题列出的四个选项巾，只有一项是最符合题目要求的。

读图1，此时②点为正午，太阳高度角为90°，④点为昏线与赤道的交点。

回答1～3题。

1．图示日期前后，下列地区发生的现象，可信的是（）A．天安门广场国旗班5：30升国旗B．华北平原农民正忙于收割小麦C．北大的学生在昆明湖上溜冰D．可去舟山桃花岛看桃花2．关于四个地点的下列叙述正确的是（）A．这一天①点昼长大于②点B．①点盛行西南风、③点盛行西北风C．③④两点的太阳高度角相等D．③点的气候类型属于热带沙漠气候3．关于④所在地区的叙述，不正确的是（）A．位于板块交界处，多火山、地震B．分布着世界上面积最大的热带雨林C．矿产资源丰富，以锡和石油最著名D．是世界上人口稠密的地区之一读“巴黎—达卡汽车拉力赛”路线圈，回答4—6题。

4．比赛期间，选手们从巴黎到达喀尔可能经历的现象是（）A．看到巴黎郊区绿树如茵B．在西班牙遇到阴雨天气C．看到草木茂盛的非洲草原D．比赛期间沿途各地白昼缩短5．从巴黎到达喀尔选手们依次可以褥到的自然景观是（）A．温带落叶阔叶林、亚热带常绿阔叶林、热带草原、热带荒漠B．温带落叶阔叶林、亚热带常绿阔叶林、热带荒漠、热带草原C．热带草原、热带荒漠、亚热带常绿阔叶林、温带落叶阔叶林D．温带落叶阔叶林、亚热带常绿硬叶林、热带荒漠、热带草原6．从巴黎到达喀尔的自然景观变化属于（）A．经度地带性B．纬度地带性C．垂直地带性D．非地带性全球最大的连锁咖啡店贩卖的咖啡饮料，使用的材料包括咖啡豆、奶、糖和纸杯等。

图3为该咖啡店各种原料的来源地。

据此回答7—8题。

7．该连锁咖啡店主要是通过大量采购各种原料来降低成本。

2012北京市高三一模文科数学分类汇编5：立体几何.pdf

2012北京市高三一模数学文分类汇编：立体几何【2012年北京市西城区高三一模文】5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A 【解析】正六棱柱的左视图是一个以AB长为宽，高为2的矩形，所以左视图的面积为，选A. 【2012北京市门头沟区一模文】己知某几何体的三视图如右图所示，则其体积为 (A) 4(B)8 (C)(D) 【答案】A 【2012北京市海淀区一模文】（12已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是，左视图的面积是 . 【答案】【2012北京市房山区一模文】3．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为( ) （A）（B）2（C）4（D）5 【答案】A 【2012北京市东城区一模文】（9）已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是 . 【答案】【2012北京市朝阳区一模文】10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【2012北京市朝阳区一模文】5. 关于两条不同的直线,与两个不同的平面,，下列命题正确的是 A．且，则 B．且，则 C．且，则 D．且，则【答案】C 【2012北京市丰台区一模文】4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） A．B． C．D．【答案】B 【2012北京市石景山区一模文】4.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（） A．B．C．D．【答案】D 【解析】根据线面垂直的性质可知选项D正确。

【2012北京市石景山区一模文】7． A． B． C． D．【答案】A 【解析】由三视图可知，该组合体下面是边长为2的正方体，上面是底边边长为2，侧高为2的四棱锥。

四棱锥的高为，四棱锥的体积为，所以组合体的体积为，答案选 A. 【2012北京市石景山区一模文】8．，、是上的两个点，、在平面内，且，，在平面上有一个动点，使得，则面积的最大值是（） A．B．C．D．【答案】C 【2012年北京市西城区高三一模文】17．（本小题满分14分）如图，矩形中，，．，分别在线段和上，∥，将矩形沿折起．记折起后的矩形为，且平面平面．（）∥平面；（），求证：；（Ⅲ）求四面体体积的最大值．【答案】（Ⅰ）证明：因为四边形，都是矩形，所以 ∥∥，．所以四边形是平行四边形，……………2分所以 ∥， ………………3分因为平面，所以 ∥平面． ………4分（Ⅱ）证明：连接，设．因为平面平面，且，所以平面， ………5分所以． ………………6分又，所以四边形为正方形，所以． …………7分所以平面， …………8分所以． ……9分（Ⅲ）解：设，则，其中．由（Ⅰ）得平面，所以四面体的体积为． ……11分所以． ………13分当且仅当，即时，四面体的体积最大． ………14分【2012北京市门头沟区一模文】17. （本小题满分13分）已知边长为2的正方形ABCD所在平面外有一点P，平面ABCD，且，E是PC上的一点．I）求证：AB//平面；（II）求证：平面平面；（III）线段为多长时，平面？【答案】解：（I）证明：正方形ABCD中， AB//，又AB平面，平面所以AB//平面……3分（II）证明：正方形ABCD中，，平面ABCD，平面ABCD，，……5分又，所以平面，……6分平面，平面平面……8分（III）由（II）可知，所以只需可证平面，在中，可求，，， ……13分【2012北京市石景山区一模文】17 ．（本小题满分13分）如图所示，在正方体中，是棱的中点．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使//平面？证明你的结论．【答案】解：（Ⅰ）证明: 因为多面体为正方体，所以；因为，所以． …………2分又因为，，所以.…………4分因为,所以平面平面. …………6分（Ⅱ）当点F为中点时，可使//平面. …………7分以下证明之：易知：//，且， …………9分设，则//且, 所以//且，所以四边形为平行四边形. 所以//. …………11分又因为，．所以//面 …………13分【2012北京市海淀区一模文】(17)（本小题分）（如图1所示），将菱形ABCD沿对角线翻折，使点翻折到点的位置（如图2所示），点E，F，M分别是AB，DC1，BC1的中点．（Ⅰ）证明：BD //平面；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）当时，求线段AC1 的长．【答案】证明：（Ⅰ）因为点分别是的中点，所以． ………………………………………2分又平面，平面, 所以平面． ………………………………………4分（Ⅱ）在菱形中，设为的交点, 则． ………………………………………5分所以在三棱锥中， . 又所以平面． ………………………………………7分又平面，所以． ………………………………………9分（Ⅲ）连结．在菱形中，，所以是等边三角形. 所以． ………………………………………10分因为为中点，所以．又，．所以平面，即平面． ………………………………………12分又平面，所以．因为，，所以． ………………………………………14分【2012北京市房山区一模文】17.（本小题共14分）在直三棱柱中，，.点分别是，的中点，是棱上的动点. （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若//平面，试确定点的位置，并给出证明. 【答案】(I) 证明：∵在直三棱柱中，，点是的中点， ∴ …………………………1分 ,, ∴⊥平面 ………………………3分平面 ∴，即 …………………5分又 ∴平面 …………………………………6分（II）当是棱的中点时，//平面.……………………………7分证明如下: 连结,取的中点H，连接, 则为的中位线 ∴∥，…………………8分 ∵由已知条件，为正方形 ∴∥， ∵为的中点， ∴…………………………………11分 ∴∥，且 ∴四边形为平行四边形 ∴∥ …………………………………12分又∵ ∴//平面 ………………………………………14分【2012北京市东城区一模文】（17）（本小题共14分）如图，在边长为的正三角形中，，，分别为，，上的点，且满足.将△沿折起到△的位置，使平面平面，连结，.（如图）（Ⅰ）若为中点，求证：∥平面；（Ⅱ）求证：. 图1 图2 【答案】证明：（Ⅰ）取中点，连结．在△中，分别为的中点，所以∥，且．因为，所以∥,且，所以∥，且．所以四边形为平行四边形．所以∥． …………5分又因为平面，且平面，所以∥平面． …………7分（Ⅱ）取中点，连结. 因为，，所以，而，即△是正三角形. 又因为, 所以. 所以在图2中有. …………9分因为平面平面，平面平面，所以⊥平面. …………12分又平面，所以⊥. …………14分【2012北京市朝阳区一模文】17. （本题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，平面，，，，，且是的中点. （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）在上是否存在一点，使得最大？若存在，请求出的正切值；若不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）证明：取的中点，连接. 在中，是的中点，是的中点，所以. ……………2分又因为，所以且. 所以四边形为平行四边形，所以. ………………4分又因为平面，平面，故平面. ……………………6分（Ⅱ）解：假设在上存在一点，使得最大. 因为平面，所以. 又因为，所以平面. ………………………8分在中，. 因为为定值，且为锐角，则要使最大，只要最小即可. 显然，当时，最小. 因为，所以当点在点处时，使得最大. …………11分易得=. 所以的正切值为. ……………………13分【2012北京市丰台区一模文】17．（本小题共14分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．（I）求证：AD平面PBE；（Ⅱ）若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ; （Ⅲ）若，试求的值．【答案】 P B C D E 图1 图2 D M B E F A C N D M B E F A C C1 D1 A1 B1 D C B A E。

2012年北京石景山一模

北京石景山区2012届高三统一测试可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Fe 56在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

请把答案涂在机读卡上。

6．下列说法不正确的是A．赤潮、白色污染、绿色食品中的“赤”“白”“绿”均指相关物质的颜色B．可以用Si3N4、Al2O3制作高温结构陶瓷制品C．污水处理的方法有多种，常用的化学方法有：混凝法、中和法、沉淀法D．是世界通用的循环再生标志，简称回收标志7．青霉素是一种良效广谱抗生素，经酸性水解后得到青霉素氨基酸分子的结构简式如图，下列关于该物质的叙述不正确．．．的是A．属于α-氨基酸B．能发生加聚反应生成多肽C．核磁共振氯谱上共有5个峰D．青霉素过敏严重者会导致死亡，用药前一定要进行皮肤敏感试验8．已知短周期元素的四种离子：a A2+、b B+、c C3-、d D—都具有相同的电子层结构，则下列叙述中正确的是A．原子序数d>c>b>aB．单质的还原性D<C<B<AC．离子半径C3->D—> B+>A2+D．A、B、C最高价氧化物对应水化物溶液（等物质的燕浓度）的pH值C>B>A9．下列各组离子能大量共存的是①“84”消毒液的水溶液中：Fe2+、Cl—、Ca2+、Na+②加入KSCN显红色的溶液：K+、NH+4、Cl—、S2—③能够与金属Cu常温下反应放出气体的溶液；Fe3+、Al3+、SO2—4、K+④pH=2的溶液中：NH+4、Na+、Cl—、Cu2+⑤无色溶液中：K+、CH3COO—、HCO—3、MnO—4A．②③B．①③C．①⑤D．③④10．弱酸酸式盐的酸根离子电离和水解并存，已知HSO—3电离大子水解。

以NaHXO3表示NaHCO3和NaHSO3。

对于NaHCO3和NaHSO3溶液，下列关系式中不正确．．．的是11．关于下列四个图象的说法正确的是A．图①表示反应B．图②内氢氧燃料电池示意图，正、负极通入的气体体积之比为2：1C．图③表示物质a、b的溶解度曲线，可以用重结晶方法从a、b混合物中提纯aD．图④可以表示压强对可逆反应的影响，且乙的压强大12．根据下列实验现象，所得结论不正确的是25．（12分）A、B、C为中学常见单质，其中一种为金属；通常情况下，A为固体，B为液体，C为气体。

石景山一模(数学文)解析版

2012年石景山区高三统一测试数学（文科）第Ⅰ卷选择题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合}032|{2<--=x x x M ,{|220}N x x =->，则N M 等于（）A ．(1,1)-B ．(1,3) C ．(0,1) D ．(1,0)-【答案】B 【解析】}31|{}032|{2<<-=<--=x x x x x M ,}1{>=x x N ，所以}31{<<=x x N M ，答案选B.2．在复平面内，复数21ii-+对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】i i i i i i i i 2321231)1(1)1)(2(12-=-=-+--=+-）（，所以对应点在第四象限，答案选D. 3.函数1sin()y x π=+-的图象（）【答案】A【解析】函数x x y sin 1)sin(1+=-+=π的图象关于2π=x 对称，选A.4.设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A ．αα//,//,//n m n m 则若B ．βαγβγα//,,则若⊥⊥A ．关于2x π=对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于x π=对称C ．n m n m //,//,//则若ααD ．n m n m ⊥⊥则若,//,αα【答案】D【解析】根据线面垂直的性质可知选项D 正确。

5．执行右面的框图，若输入的N 是6，则输出p 的值是（）A ．120B ．720C ．1440D ．5040 【答案】B【解析】第一次循环：2,1,1===k p k ，第二次循环：3,2,2===k p k ，第三次循环：4,6,3===k p k ，第四次循环：5,24,4===k p k ，第五次循环：6,120,5===k p k ，第六次循环：,720,6==p k 此时条件不成立，输出720=p ，选B.6．直线5x y +=和圆22: x 40O y y +-=的位置关系是（） A ．相离 B ．相切 C ．相交不过圆心 D ．相交过圆心【答案】A【解析】圆的标准方程为4)2(22=-+y x ，圆心为)2,0(，2=r ，圆心到直线的距离为222323252=>==-=r d ，所以直线与圆相离，选A.7．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A ．83+B ．83+C ．83+D ．323【答案】A【解析】由三视图可知，该组合体下面是边长为2的正方体，上面是底边边长为2，侧高为2的四棱锥。

2011-2012学年北京市石景山区高三(上)期末数学试卷(文科)(附答案解析)

2011-2012学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合U={1, 2, 3, 4}，A={1, 2}，B={2, 4}，则∁U(A∪B)=()A.{3}B.{2}C.{1, 2, 4}D.{1, 4}2. 已知复数z=1+i1−i，则复数z的模为（）A.2B.√2C.1D.03. 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x2−x，则f(1)=()A.−3B.−1C.1D.34. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）A.8 3B.43C.4D.25. 执行右面的框图，若输入实数ρ√2，则输出结果为（）A.√22B.14C.√2−1D.126. 设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )A.4B.6C.8D.127. 以下四个命题中，真命题的个数是（）①命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2−3x+2≠0”；②若p∨q为假命题，则p、q均为假命题；③命题p：存在x∈R，使得x2+x+1<0，则−p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0④在△ABC中，A<B是sin A<sin B的充分不必要条件．A.1B.2C.3D.48. 对于使−x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做−x2+2x的上确界，若a，b∈R+，且a+b=1，则−12a−2b的上确界为（）A.92B.−92C.−14D.−4二、填空题：本大题共6个小题，每小题0分，共30分．在△ABC中，已知c=2，∠A=120∘，a=2√3，则∠B=________．统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如图示，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数是________；优秀率为________．已知向量a→=(√3,1)，b→=(0,1)，c→=(k,√3)，若a→+2b→与c→垂直，则k＝________．已知等差数列的前n项和为S n，若a4＝18−a5，则S8＝________．若实数x，y满足条件{x−y+1≥0x+y≥2x≤1，则2x+y的最大值为________．已知函数f(x)=log a x−x+b(a>0，且a≠1)，当13<a<12且3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n, n+1)，n∈N∗，则n=________．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．已知函数f(x)=√3cos2x+12sin2x．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[−π6, π4]上的最大值和最小值．甲、乙两名篮球运动员在四场比赛中的得分数据以茎叶图记录如下：（1）求乙球员得分的平均数和方差；（2）分别从两人得分中随机选取一场的得分，求得分和超过55分的概率．（注：方差s2=1n[(x1−x¯)2+(x2−x¯)2+...+(x n−x¯)2其中x¯为x1，x2，x3...x n的平均数）如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB // CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．（1）求证：BM // 平面ADEF；（2）求证：BC⊥平面BDE．已知椭圆x2a+y2b=1(a>b>0)过点M(0, 2)，离心率e=√63．(1)求椭圆的方程；(2)设直线y=x+1与椭圆相交于A，B两点，求S△AMB．已知f(x)=ax−ln x，a∈R（1）当a=2时，求曲线f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）若f(x)在x=1处有极值，求f(x)的单调递增区间；（3）是否存在实数a，使f(x)在区间(0, e]的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．对于给定数列{c n}，如果存在实常数p，q使得c n+1=pc n+q对于任意n∈R∗都成立，我们称数列{c n}是“K类数列”．（1）若a n=2n，b n=3⋅2n，n∈N∗，数列{a n}，{b n}是否为“K类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；（2）证明：若数列{c n}是“K类数列”，则数列{a n+a n+1}也是“K类数列”；（3）若数列a n满足a1=2，a n+a n+1=3t⋅2n(n∈N∗)，t为常数．求数列{a n}前2012项的和．并判断{a n}是否为“K类数列”，说明理由．参考答案与试题解析2011-2012学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据A与B求出两集合的并集，找出全集U中不属于并集的部分即可求出所求的集合．【解答】解：∵A={1, 2}，B={2, 4}，∴A∪B={1, 2, 4}，∵全集U={1, 2, 3, 4}，∴∁U(A∪B)={3}．故选A2.【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数z为i，从而求得它的模．【解答】解：由于复数z=1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i2=i，故复数z的模为1，故选C．3.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质【解析】要计算f(1)的值，根据f(x)是定义在R上的奇函数，我们可以先计算f(−1)的值，再利用奇函数的性质进行求解，当x≤0时，f(x)=2x2−x，代入即可得到答案．【解答】解：∵当x≤0时，f(x)=2x2−x，∴f(−1)=2×(−1)2−(−1)=3，又∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(1)=−f(−1)=−3.故选A.4. 【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知该几何体为一个三棱锥，高为2，底面为腰长为2的等腰直角三角形，利用锥体体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知该几何体为一个三棱锥，高为2，底面为腰长为2的等腰直角三角形，体积V=13Sℎ=13×(12×2×2)×2=43故选B5.【答案】D【考点】程序框图【解析】由程序框图可知该程序利用分段函数求值的，分段函数为y={x−1,x≤1log2x，x>1，将x=√2代入分段函数即可．【解答】解：由程序框图可知，本程序是条件结构，对应的分段函数为y={x−1,x≤1log2x，x>1，因为√2>1，所以y=log2√2=12．故选D．6.【答案】B【考点】抛物线的性质【解析】先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到y轴的距离求得点到准线的距离进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，进而求得答案．【解答】解：抛物线y2=8x的准线为x=−2，∵点P到y轴的距离是4，∴点P到准线的距离是4+2=6，根据抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，所以点P到该抛物线焦点的距离是6.故选B.7.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据逆否命题的定义，可得①是真命题；根据含有逻辑词“或”的命题真假的判断，可得②是真命题；根据含有量词的命题否定方法，可得③是真命题；根据正弦定理和充要条件的判断，可得④是假命题．由此可得答案．【解答】解：对于①，命题“若p则q”的逆否命题是“若非q则非p”故命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2−3x+2≠0”，可得①正确；对于②，命题“p∨q”只要存在真命题它就是真命题而p∨q为假命题，说明p、q中没有真命题，得它们均为假命题，可得②正确；对于③，含有量词的命题“存在x∈R，p(x)”的否定是“任意x∈R，−p(x)”故命题p“存在x∈R，使得x2+x+1<0”的否定−p是“任意x∈R，都有x2+x+1≥0”，可得③正确；对于④，在△ABC中，A<B等价于a<b，根据正弦定理得到sin A<sin B故在△ABC中，A<B是sin A<sin B的充要条件，可得④不正确综上所述，真命题是①②③，共3个故选：C8.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】由题意可知，求的是12a +2b的最小值，并且a，b>0，a+b=1，由此想到利用1的整体代换构造积为定值．【解答】解：∵12a +2b=a+b2a+2(a+b)b=52+b2a+2ab≥52+2√b2a⋅2ab=92，（当且仅当a=b=12时取到等号）∴−12a −2b≤−92（当且仅当a=b=12时取到上确界）故选B．二、填空题：本大题共6个小题，每小题0分，共30分．【答案】30∘【考点】正弦定理【解析】先根据正弦定理利用题设条件求得sin C，进而求得C，最后利用三角形内角和求得B．【解答】解：由正弦定理可知asin A =csin C∴sin C=c⋅sin Aa =2√322√3=12∴C=30∘∴∠B=180∘−120∘−30∘=30∘故答案为：30∘【答案】800,20%【考点】频率分布直方图【解析】由题意分析直方图可知：不低于60分或不低于80分的频率，又由频率、频数的关系可得：不低于60分段的频数，进而可得答案．【解答】解：根据题意可得：不低于80分的频率=(0.01+0.01)×10=0.2=20%，而不低于60分的频率=(0.025+0.035+0.01+0.01)×10=0.8，故不低于60分的频数=0.8×1000=800．故填：800；20%．【答案】−3【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】由向量a→=(√3,1)，b→=(0,1)，c→=(k,√3)，先求出a→+2b→=(√3, 3)，再由a→+2b→与c→垂直，求出k的值．【解答】∵向量a→=(√3,1)，b→=(0,1)，c→=(k,√3)，∴a→+2b→=(√3, 3)，∵a→+2b→与c→垂直，∴(√3,3)⋅(k, √3)=√3k+3√3=0，∴k＝−3．【答案】72【考点】等差数列的前n项和【解析】先根据a4＝18−a5求得a4+a5，进而求得a1+a8代入S8中答案可得．【解答】∵a4＝18−a5，∴a4+a5＝18，∴a1+a8＝18，∴S8=(a1+a8)×82=72【答案】4【考点】简单线性规划【解析】足约束条件{x −y +1≥0x +y ≥2x ≤1的平面区域，求出可行域中各个角点的坐标，分析代入后即可得到答案．【解答】解：满足约束条件{x −y +1≥0x +y ≥2x ≤1的平面区域如下图所示：由图可知：当x =1，y =2时，2x +y 取最大值4故答案为：4【答案】2【考点】函数的零点【解析】利用函数零点的判定定理及其单调性即可得出n ．【解答】解：∵ 函数f(x)=log a x −x +b(a >0，且a ≠1)，当13<a <12时，函数f(x)单调递减．∵ 当13<a <12且3<b <4时，f(2)=log a 2−2+b >log 122−2+b =b −3>0；f(3)=log a 3−3+b <log 133−3+b =b −4<0．∴ f(2)f(3)<0．由函数零点的判定定理及其单调性可知：函数f(x)的零点x 0∈(2, 3)．因此n =2．故答案为2三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【答案】解：(1)由题意得，f(x)=√3(1+cos 2x)2+12sin 2x =√32cos 2x +12sin 2x +√32=sin (2x +π3)+√32; 则f(x)的最小正周期T =π .(2)∵ −π6≤x ≤π4，∴ 0≤2x +π3≤5π6，当2x +π3=π2时，即x =π12时，f(x)有最大值为1+√32，当2x +π3=0时，即x =−π6时，f(x)有最小值为√32．【考点】求二倍角的余弦求二倍角的正弦求两角和与差的正弦正弦函数的定义域和值域三角函数的周期性及其求法【解析】(1)根据二倍角的余弦、两角和的正弦公式化简解析式，再求出函数的最小正周期.(2)由x 的范围求出2x +π3的范围，再由正弦函数的最值求出此函数的最值，以及对应的x 的值．【解答】解：(1)由题意得，f(x)=√3(1+cos 2x)2+12sin 2x =√32cos 2x +12sin 2x +√32=sin (2x +π3)+√32; 则f(x)的最小正周期T =π . (2)∵ −π6≤x ≤π4，∴ 0≤2x +π3≤5π6，当2x +π3=π2时，即x =π12时，f(x)有最大值为1+√32，当2x +π3=0时，即x =−π6时，f(x)有最小值为√32．【答案】解：（1）由茎叶图可知，乙球员四场比赛得分为18，24，24，30，所以平均数x ¯=18+24+24+304=24； …s 2=14[(18−24)2+(24−24)2+(24−24)2+(30−24)2]=18．…（2）甲球员四场比赛得分为20，20，26，32，分别从两人得分中随机选取一场的得分，共有16种情况：(18, 20)(18, 20)(18, 26)(18, 32) (24, 20)(24, 20)(24, 26)(24, 32) (24, 20)(24, 20)(24, 26)(24, 32) (30, 20)(30, 20)(30, 26)(30, 32)… 得分和超过5的结果有：(24, 32)(24, 32)(30, 26)(30, 32)…求得分和超过5的概率为14．…【考点】极差、方差与标准差茎叶图众数、中位数、平均数【解析】（1）由茎叶图读出乙球员四场比赛得分，再按照平均数和方差公式计算即可．（2）本问是道古典概型问题．分别从两人得分中随机选取一场的得分共有16种情况，得分和超过5的结果有(24, 32)(24, 32)(30, 26)(30, 32)，易求所求的概率为14 【解答】解：（1）由茎叶图可知，乙球员四场比赛得分为18，24，24，30，所以平均数x ¯=18+24+24+304=24； …s 2=14[(18−24)2+(24−24)2+(24−24)2+(30−24)2]=18．…（2）甲球员四场比赛得分为20，20，26，32，分别从两人得分中随机选取一场的得分，共有16种情况： (18, 20)(18, 20)(18, 26)(18, 32) (24, 20)(24, 20)(24, 26)(24, 32) (24, 20)(24, 20)(24, 26)(24, 32) (30, 20)(30, 20)(30, 26)(30, 32)… 得分和超过5的结果有：(24, 32)(24, 32)(30, 26)(30, 32)… 求得分和超过5的概率为14．…【答案】证明：（1）取DE 中点N ，连结MN ，AN ．在△EDC 中，M ，N 分别为EC ，ED 的中点，… 所以MN // CD ，且MN =12CD ．由已知AB // CD ，AB =12CD ，所以MN // AB ，且MN =AB ．所以四边形ABMN 为平行四边形． … 所以BM // AN ．又因为AN ⊂平面ADEF ，且BM ⊄平面ADEF ，所以BM // 平面ADEF ． …（2）在矩形ADEF 中，ED ⊥AD ．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF ∩平面ABCD =AD ，所以ED ⊥平面ABCD ．所以ED ⊥BC ． …在直角梯形ABCD 中，AB =AD =2，CD =4，可得BC =2√2．在△BCD 中，BD =BC =2√2，CD =4，因为BD 2+BC 2=CD 2，所以BC ⊥BD ．因为BD ∩DE =D ，所以BC ⊥平面BDE ．… 【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）取DE 中点N ，连结MN ，AN ，证明四边形ABMN 为平行四边形，从而可证BM // 平面ADEF ；（2）先证明ED ⊥平面ABCD ，可得ED ⊥BC ，再利用勾股定理，证明BC ⊥BD ，利用线面垂直的判定定理，证明BC ⊥平面BDE ．【解答】证明：（1）取DE 中点N ，连结MN ，AN ．在△EDC 中，M ，N 分别为EC ，ED 的中点，… 所以MN // CD ，且MN =12CD ．由已知AB // CD ，AB =12CD ，所以MN // AB ，且MN =AB ．所以四边形ABMN 为平行四边形． … 所以BM // AN ．又因为AN ⊂平面ADEF ，且BM ⊄平面ADEF ，所以BM // 平面ADEF ． …（2）在矩形ADEF 中，ED ⊥AD ．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF ∩平面ABCD =AD ，所以ED ⊥平面ABCD ．所以ED ⊥BC ． …在直角梯形ABCD 中，AB =AD =2，CD =4，可得BC =2√2．在△BCD 中，BD =BC =2√2，CD =4，因为BD 2+BC 2=CD 2，所以BC ⊥BD ．因为BD ∩DE =D ，所以BC ⊥平面BDE ．… 【答案】解：(1)由题意得b =2,ca =√63结合a 2=b 2+c 2，解得a 2=12 所以，椭圆的方程为x 212+y 24=1．(2)由{x 212+y 24=1，y =x +1，得x 2+3(x +1)2=12，即4x 2+6x −9=0，经验证Δ>0．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．所以x 1+x 2=−32，x 1⋅x 2=−94， |AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√2(x 1−x 2)2=√2[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =3√102因为点M 到直线AB 的距离d =2=√22，所以S △AMB =12×|AB|×d=12×3√102×√22=3√54．【考点】椭圆中的平面几何问题椭圆的离心率直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】（1）利用椭圆过点M(0, 2)，离心率e =√63，求出几何量，即可得到椭圆的方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求出|AB|，计算M 到直线AB 的距离，即可求S △AMB ．【解答】解：(1)由题意得b =2,ca =√63结合a 2=b 2+c 2，解得a 2=12 所以，椭圆的方程为x 212+y 24=1．(2)由{x 212+y 24=1，y =x +1，得x 2+3(x +1)2=12，即4x 2+6x −9=0，经验证Δ>0．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．所以x 1+x 2=−32，x 1⋅x 2=−94， |AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√2(x 1−x 2)2=√2[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =3√102因为点M 到直线AB 的距离d =√2=√22，所以S △AMB =12×|AB|×d =12×3√102×√22=3√54．【答案】解：（1）当a =2时，f(x)=2x −ln x ，函数的定义域为(0, +∞) 求导函数可得：f′(x)=2−1x∴ f′(1)=1，f(1)=2∴ 曲线f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y −2=x −1，即x −y +1=0；（2）∵ f(x)在x =1处有极值，∴ f′(1)=0 ∵ f′(x)=a −1x ∴ a −1=0，∴ a =1 ∴ f′(x)=1−1x令f′(x)>0，可得x <0或x >1 ∵ x >0，∴ x >1∴ f(x)的单调递增区间为(1, +∞)；（3）假设存在实数a ，使f(x)在区间(0, e]的最小值是3，①当a ≤0时，∵ x ∈(0, e],∴ f′(x)<0，∴ f(x)在区间(0, e]上单调递减 ∴ f(x)min =f(e)=ae −1=3，∴ a =4e（舍去）；②当0<1a <e 时，f(x)在区间(0, 1a )上单调递减，在(1a , e]上单调递增 ∴ f(x)min =f(1a )=1+ln a =3，∴ a =e 2，满足条件；③当1a ≥e 时，∵ x ∈(0, e],∴ f′(x)<0，∴ f(x)在区间(0, e]上单调递减∴f(x)min=f(e)=ae−1=3，∴a=4e（舍去），综上所述，存在实数a=4e，使f(x)在区间(0, e]的最小值是3．【考点】导数求函数的最值利用导数研究函数的极值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）当a=2时，f(x)=2x−ln x，函数的定义域为(0, +∞)，求导函数，即可确定切点与切线的斜率，从而可得曲线f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）利用f(x)在x=1处有极值，确定a的值，利用导数大于0，结合函数的定义域，即可得到f(x)的单调递增区间；（3）分类讨论，确定函数f(x)在区间(0, e]上的单调性，从而可得函数的最小值，利用最小值是3，建立方程，即可求得结论．【解答】解：（1）当a=2时，f(x)=2x−ln x，函数的定义域为(0, +∞)求导函数可得：f′(x)=2−1x∴f′(1)=1，f(1)=2∴曲线f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y−2=x−1，即x−y+1=0；（2）∵f(x)在x=1处有极值，∴f′(1)=0∵f′(x)=a−1x∴a−1=0，∴a=1∴f′(x)=1−1x令f′(x)>0，可得x<0或x>1∵x>0，∴x>1∴f(x)的单调递增区间为(1, +∞)；（3）假设存在实数a，使f(x)在区间(0, e]的最小值是3，①当a≤0时，∵x∈(0, e],∴f′(x)<0，∴f(x)在区间(0, e]上单调递减∴f(x)min=f(e)=ae−1=3，∴a=4e（舍去）；②当0<1a <e时，f(x)在区间(0, 1a)上单调递减，在(1a, e]上单调递增∴f(x)min=f(1a)=1+ln a=3，∴a=e2，满足条件；③当1a≥e时，∵x∈(0, e],∴f′(x)<0，∴f(x)在区间(0, e]上单调递减∴f(x)min=f(e)=ae−1=3，∴a=4e（舍去），综上所述，存在实数a=4e ，使f(x)在区间(0, e]的最小值是3．【答案】（1）解：因为a n=2n，所以有a n+1=a n+2，n∈N∗故数列{a n}是“κ类数列”，对应的实常数分别为1，2；…因为b n=3⋅2n，所以有b n+1=2b n，n∈N∗．故数列{b n}是“κ类数列”，对应的实常数分别为2，0．…（2）证明：若数列{a n}是“κ类数列”，则存在实常数p、q，使得a n+1=pa n+q对于任意n∈N∗都成立，且有a n+2=pa n+1+q对于任意n∈N∗都成立，因此(a n+1+a n+2)=p(a n+a n+1)+2q对于任意n∈N∗都成立，故数列{a n+a n+1}也是“κ类数列”，对应的实常数分别为p，2q．…（3）因为a n+a n+1=3t⋅2n(n∈N∗)，所以有a1+a2=3t⋅2，a3+a4=3t⋅23…，a2009+a2010=3t⋅22009a2011+a2012=3t⋅22011故数列{a n}前2012项的和S2012=(a1+a2)+(a3+a4)+...+(a2009+a2010)+(a2011+a2012)=3t⋅2+3t⋅23+...+3t⋅22009+3t⋅22011=2t(22012−1)…若数列{a n}是“κ类数列”，则存在实常数p、q，使得a n+1=pa n+q对于任意n∈N∗都成立，且有a n+2=pa n+1+q对于任意n∈N∗都成立，因此(a n+1+a n+2)=p(a n+a n+1)+2q对于任意n∈N∗都成立，而a n+a n+1=3t⋅2n(n∈N∗)，且a n+1+a n+2=3t⋅2n+1(n∈N∗)，则有3t⋅2n+1=3t⋅p2n+2q对于任意n∈N∗都成立，可以得到t(p−2)=0，q=0，当p=2，q=0时，a n+1=2a n，a n=2n，t=1，经检验满足条件．当t=0，q=0时，a n+1=−a n，a n=2(−1)n−1，p=−1经检验满足条件．因此当且仅当t=1或t=0时，数列{a n}是“κ类数列”．对应的实常数分别为2，0或−1，0．…【考点】数列的应用【解析】（1）由数列通项，可得a n+1=a n+2，b n+1=2b n，对照新定义，即可得到结论；（2）若数列{a n}是“κ类数列”，则存在实常数p、q，使得a n+1=pa n+q对于任意n∈N∗都成立，且有a n+2=pa n+1+q对于任意n∈N∗都成立，从而可得(a n+1+a n+2)=p(a n+a n+1)+2q对于任意n∈N∗都成立，即可得到结论；（3）利用等比数列的求和公式，可求数列{a n}前2012项的和，利用新定义，可以判断{a n}是“K类数列”．【解答】（1）解：因为a n=2n，所以有a n+1=a n+2，n∈N∗故数列{a n}是“κ类数列”，对应的实常数分别为1，2；…因为b n=3⋅2n，所以有b n+1=2b n，n∈N∗．故数列{b n}是“κ类数列”，对应的实常数分别为2，0．…（2）证明：若数列{a n}是“κ类数列”，则存在实常数p、q，使得a n+1=pa n+q对于任意n∈N∗都成立，且有a n+2=pa n+1+q对于任意n∈N∗都成立，因此(a n+1+a n+2)=p(a n+a n+1)+2q对于任意n∈N∗都成立，故数列{a n+a n+1}也是“κ类数列”，对应的实常数分别为p，2q．…（3）因为a n+a n+1=3t⋅2n(n∈N∗)，所以有a1+a2=3t⋅2，a3+a4=3t⋅23…，a2009+a2010=3t⋅22009a2011+a2012=3t⋅22011故数列{a n}前2012项的和S2012=(a1+a2)+(a3+a4)+...+(a2009+a2010)+(a2011+a2012)=3t⋅2+3t⋅23+...+3t⋅22009+3t⋅22011=2t(22012−1)…若数列{a n}是“κ类数列”，则存在实常数p、q，使得a n+1=pa n+q对于任意n∈N∗都成立，且有a n+2=pa n+1+q对于任意n∈N∗都成立，因此(a n+1+a n+2)=p(a n+a n+1)+2q对于任意n∈N∗都成立，而a n+a n+1=3t⋅2n(n∈N∗)，且a n+1+a n+2=3t⋅2n+1(n∈N∗)，则有3t⋅2n+1=3t⋅p2n+2q对于任意n∈N∗都成立，可以得到t(p−2)=0，q=0，当p=2，q=0时，a n+1=2a n，a n=2n，t=1，经检验满足条件．当t=0，q=0时，a n+1=−a n，a n=2(−1)n−1，p=−1经检验满足条件．因此当且仅当t=1或t=0时，数列{a n}是“κ类数列”．对应的实常数分别为2，0或−1，0．…。

2012年北京市石景山区高考数学一模试卷(文科)(附答案解析)

2012年北京市石景山区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合M={x|x2−2x−3<0}，N={x|2x−2>0}，则M∩N等于（）A.(−1, 1)B.(1, 3)C.(0, 1)D.(−1, 0)2. 在复平面内，复数2i1+i对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 函数y=1+sin(π−x)的图象（）A.关于x=π2对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于x=π对称4. 已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确()A.若m // α，n // α，则m // nB.若α⊥γ，β⊥γ，则α // βC.若m⊥α，n⊥α，则m // nD.若m // α，m // β，则α // β5. 执行程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A.120B.720C.1440D.50406. 直线x+y=5和圆O:x2+y2−4y=0的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交不过圆心D.相交过圆心7. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A.8+4√33B.8+4√23C.8+2√33D.3238. 如图，已知平面α∩β=l，A、B是l上的两个点，C、D在平面β内，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，AB= 6，BC=8，在平面α上有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则△PAB面积的最大值是（）A.9√32B.365C.12D.24二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．设向量a→=(cosθ, 1)，b→=(1, 3cosθ)，且a→ // b→，则cos2θ=________．等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，a k+a4＝0，则k＝________．已知点P(x, y)的坐标满足条件{x+y≤4y≥xx≥1，点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于________，最大值等于________．在区间[0, 9]上随机取一实数x，则该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率为________．设函数f(x)={−x+a,x<12x，x≥1的最小值为2，则实数a的取值范围是________．集合U ={(x, y)|x ∈R, y ∈R}，M ={(x, y)||x|+|y|<a}，P ={(x, y)|y =f(x)}，现给出下列函数：①y =a x ，②y =log a x ，③y =sin (x +a)，④y =cos ax ，若0<a <1时，恒有P ∩∁U M =P ，则所有满足条件的函数f(x)的编号是________．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且(2a −c)cos B ＝b cos C ． (Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若A =π4,a =2，求△ABC 的面积．我区高三期末统一测试中某校的数学成绩分组统计如表：（1）求出表中m 、n 、M 、N 的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图；（2）若我区参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中我区成绩在90分以上的人数；（3）若该校教师拟从分数不超过60的学生中选取2人进行个案分析，求被选中2人分数不超过30分的概率．如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．(1)证明：平面ADC 1B 1⊥平面A 1BE ；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F // 平面A 1BE ？证明你的结论．已知函数f(x)=x 2+2a ln x ．（1）若函数f(x)的图象在（2, f(2)）处的切线斜率为1，求实数a 的值；（2）求函数f(x)的单调区间；（3）若函数g(x)=2x +f(x)在[1, 2]上是减函数，求实数a 的取值范围．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)右顶点到右焦点的距离为√3−1，短轴长为2√2．（1）求椭圆的方程；（2）过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若线段AB 的长为3√32，求直线AB 的方程．若数列{A n }满足A n+1=A n 2，则称数列{A n }为“平方递推数列”．已知数列{a n }中，a 1=2，点(a n , a n+1)在函数f(x)=2x 2+2x 的图象上，其中n 为正整数．（1）证明数列{2a n +1}是“平方递推数列”，且数列{lg (2a n +1)}为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数列”的前n 项之积为T n ，即T n =(2a 1+1)(2a 2+1)…(2a n +1)，求数列{a n }的通项及T n 关于n 的表达式；T n，求数列{b n}的前n项和S n．（3）记b n=log2an+1参考答案与试题解析2012年北京市石景山区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.【答案】 B【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】分别求出两集合中两不等式的解集，找出两解集中的公共部分，即可得到两集合的交集．【解答】解：由集合M 中的不等式x 2−2x −3<0，因式分解得：(x −3)(x +1)<0，可化为：{x −3>0x +1<0或{x −3<0x +1>0，解得：−1<x <3，∴ M ={x|−1<x <3}，由集合N 中的不等式2x −2>0，解得：x >1， ∴ N ={x|x >1}，则M ∩N ={x|1<x <3}=(1, 3)．故选B 2.【答案】 A【考点】复数代数形式的乘除运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．【解答】解：∵ 复数2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i ， ∴ 复数对应的点的坐标是(1, 1)∴ 复数2i1+i 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A ． 3. 【答案】 A【考点】正弦函数的对称性【解析】化简函数，可得则函数是由正弦函数y =sin x 向上平移1个单位得到，由此可得结论．【解答】解：由题意y =1+sin (π−x)=1+sin x ，则函数是由正弦函数y =sin x 向上平移1个单位得到 ∴ 函数y =1+sin (π−x)的图象关于x =π2对称故选A ． 4.【答案】 D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】通过举反例可得A 、B 、C 不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D 正确，从而得出结论．【解答】解：A ，m ，n 平行于同一个平面，故m ，n 可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A 错误； B ，α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B 错误； C ，α，β平行于同一条直线m ，故α，β 可能相交，可能平行，故C 错误； D ，垂直于同一个平面的两条直线平行，故D 正确．故选D . 5.【答案】 B【考点】程序框图【解析】通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．【解答】解：经过第一次循环得到{k =2p =1 经过第二次循环得到{k =3p =2经过第三次循环得到{k =4p =6；经过第四次循环得{k =5p =24经过第五次循环得{k =6p =120；输出结果此时执行输出720，故选B 6.【答案】 A【考点】直线与圆的位置关系【解析】将圆O的方程化为标准方程，找出圆心O坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心O到直线x+y=5的距离d，判断d与r的大小关系，即可得出直线与圆O的位置关系．【解答】解：将圆O的方程化为标准方程得：x2+(y−2)2=4，可得：圆心O(0, 2)，半径r=2，∵圆心O到直线x+y=5的距离d=√2=3√22>2=r，∴直线与圆O的位置关系是相离．故选A7.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】根据三视图可知，几何体是组合体，下面是正方体，棱长为2，上面是侧棱长为2，底面边长为2的正四棱锥，求出相应的体积，即可求得结论．【解答】解：由题意知，根据三视图可知，几何体是组合体，下面是正方体，棱长为2，体积为8；上面是侧棱长为2，底面边长为2的正四棱锥，所以底面积为4，高为√4−2=√2，故体积为4√23∴几何体的体积为8+4√23故选B．8.【答案】C【考点】棱锥的结构特征【解析】本题在二面角背景下求三角形的面积，需要借助直二面角的相关知识研究三角形的几何特征，再由面积公式求出面积，由题设条件知两个直角三角形△PAD与△PBC是相似的直角三角形，根据题设条件可得出PB=2PA，作PD⊥AB，垂足为D，令AD=t，将三角形的面积用t表示出来，再研究面积的最值选出正确选项．【解答】解：由题意平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA⊂β，CB⊂β，且DA⊥α，CB⊥α，∴△PAD与△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，∴PB=2PA．作PM⊥AB，垂足为M，则PM⊥β，令AM=t∈R，在两个Rt△PAM与Rt△PBM中，AM是公共边及PB=2PA，∴PA2−t2=4PA2−(6−t)2，解得PA2=12−4t．∴PM=√12−4t−t2，即此四棱锥的高等于√12−4t−t2．∴S=12×AB×PM=12×6×√12−4t−t2=3√16−(t+2)2≤12．即三角形面积的最大值为12，故选C．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．【答案】−13．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值平面向量数量积【解析】由两个向量共线的性质可得cosθ⋅3cosθ−1=0，cos2θ=13，再由cos2θ=2cos2θ−1求得结果．【解答】解：∵向量a→=(cosθ,1)，b→=(1,3cosθ)，且a→ // b→，则有cosθ⋅3cosθ−1=0，∴cos2θ=13，故cos2θ=2cos2θ−1=−13，【答案】10【考点】等差数列的前n项和【解析】先根据“等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和”求得公差，再由a k+a4＝0求得结果．【解答】∵等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和∴9+36d＝4+6d∴d=−16又∵a k+a4＝0∴1+(k−1)d+1+3d＝0∴k＝10【答案】√2,√10【考点】求线性目标函数的最值【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=|PO|表示(0, 0)到可行域的距离，只需求出(0, 0)到可行域的距离的最值即可．【解答】解：画出可行域，如图所示：易得A(2, 2)，OA=2√2B(1, 3)，OB=√10；C(1, 1)，OC=√2故|OP|的最大值为√10，最小值为√2．故填：√2√10．【答案】29【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）指、对数不等式的解法【解析】解不等式1≤log2x≤2，可得2≤x≤4，以长度为测度，即可求在区间[0, 9]上随机取一实数x，该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率．【解答】解：本题属于几何概型解不等式1≤log2x≤2，可得2≤x≤4，∴在区间[0, 9]上随机取一实数x，该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率为4−29−0=29故答案为：29【答案】[3, +∞)【考点】指数函数单调性的应用【解析】由题意可得x=1时，f(x)有最小值为2，故有−1+a≥2，由此求得实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f(x)={−x+a,x<12x，x≥1的最小值为2，f(x)在[1, +∞)上是增函数，在(−∞, 1)上是减函数，可得x=1时，f(x)有最小值为2，故有−1+a≥2，a≥3，故答案为[3, +∞)．【答案】①②④【考点】绝对值不等式的解法与证明对数函数的值域与最值余弦函数的定义域和值域【解析】利用补集的定义求出∁uM，由P∩∁uM=P，得到P⊆∁uM，故P中的函数f(x)必须满足||x|+|y|≥a，检验各个选项是否满足此条件．【解答】解：∵∁uM={(x, y)||x|+|y|≥a}，0<a<1时，P∩∁uM=P，∴P={(x, y)y=f(x)}⊆∁uM，如图所示：结合图形可得满足条件的函数图象应位于曲线|x|+|y|=a(−a≤x≤a )的上方．①中，x∈R，y>0，满足|x|+|y|≥a，故①可取．②中，x>0，y=log a x∈R，满足||x|+|y|≥a，故②可取．③中的函数不满足条件，如x=0，a=π4时，y=√22，不满足|x|+|y|≥a．④中x∈R，−1≤y≤1，满足||x|+|y|≥a，故④可取．故答案为①②④．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【答案】（1）∵(2a−c)cos B＝b cos C，由正弦定理，得∴(2sin A−sin C)cos B＝sin B cos C．∴2sin A cos B＝sin C cos B+sin B cos C＝sin(B+C)＝sin A，∵A∈(0, π)，∴sin A≠0．∴cos B=12．又∵0<B<π，∴B=π3．（2）由正弦定理asin A=bsin B，得b=2×√32√22=√6．∵A=π4，B=π3，∴C=5π12，∴sin C＝sin 5π12=sin(π6+π4)＝sinπ6cos π4+cos π4 sin π6=√6+√24．∴S=12ab⋅sin C=12×2×√6×√6+√24=3+√32．【考点】解三角形【解析】(Ⅰ)由正弦定理可得2sin A cos B＝sin A，故可得cos B=12，又0<B<π，可得B=π3．(Ⅱ)由正弦定理求得b=2×√32√22=√6，由三角形内角和公式求得C=5π12，可得sin C的值，由此求得S=12ab⋅sin C的值．【解答】（1）∵(2a−c)cos B＝b cos C，由正弦定理，得∴(2sin A−sin C)cos B＝sin B cos C．∴2sin A cos B＝sin C cos B+sin B cos C＝sin(B+C)＝sin A，∵A∈(0, π)，∴sin A≠0．∴cos B=12．又∵0<B<π，∴B=π3．（2）由正弦定理asin A =bsin B，得b=2×√32√22=√6．∵A=π4，B=π3，∴C=5π12，∴sin C＝sin 5π12=sin(π6+π4)＝sinπ6cos π4+cos π4 sin π6=√6+√24．∴S=12ab⋅sin C=12×2×√6×√6+√24=3+√32．【答案】解：（1）由频率分布表，得总数M=30.03=100，…所以m=100−(3+3+37+15)=42，…得第四组的频率n=42100=0.42，N=0.03+0.03+0.37+0.42+0.15=1．…所求的频率分布直方图如右图所示…（2）由题意，90分以上的人分别在第五组和第六组，它们的频率之和为0.42+0.15=0.57，∴全区90分以上学生估计为0.57×600=342人．…（3）设考试成绩在(0, 30]内的3人分别为A、B、C；考试成绩在(30, 60]内的3人分别为a、b、c，从不超过60分的6人中，任意抽取2人的结果有：(A, B)，(A, C)，(A, a)，(A, b)，(A, c)，(B, C)，(B, a)，(B, b)，(B, c)，(C, a)，(C, b)，(C, c)，(a, b)，(a, c)，(b, c)共有15个．…设抽取的2人的分数均不大于30分的事件为事件D．则事件D含有3个结果：(A, B)，(A, C)，(B, C)…∴被选中2人分数不超过30分的概率为P(D)=315=15．…【考点】频率分布直方图频率分布表【解析】（1）根据频率公式，结合表中第一组数据的频率算出总数M．再用减法可得第五组的频数m，由此可算出第五组的频率n的值，而N是各组的频率之和，显然为1．（2）90分以上的人有两组，分别是第五、六两组，算出它们的频率之和为0.57，由此不难估算出这次测试中我区成绩在90分以上的人数．（3）根据题意，列出从不超过60分的6人中，任意抽取2人的结果有15种，而分数不超过30分的结果有3种，再结合等可能事件的概率公式，可得要求的概率．【解答】解：（1）由频率分布表，得总数M=30.03=100，…所以m=100−(3+3+37+15)=42，…得第四组的频率n=42100=0.42，N=0.03+0.03+0.37+0.42+0.15=1．…所求的频率分布直方图如右图所示…（2）由题意，90分以上的人分别在第五组和第六组，它们的频率之和为0.42+0.15=0.57，∴全区90分以上学生估计为0.57×600=342人．…（3）设考试成绩在(0, 30]内的3人分别为A、B、C；考试成绩在(30, 60]内的3人分别为a、b、c，从不超过60分的6人中，任意抽取2人的结果有：(A, B)，(A, C)，(A, a)，(A, b)，(A, c)，(B, C)，(B, a)，(B, b)，(B, c)，(C, a)，(C, b)，(C, c)，(a, b)，(a, c)，(b, c) 共有15个．…设抽取的2人的分数均不大于30分的事件为事件D ．则事件D 含有3个结果：(A, B)，(A, C)，(B, C) …∴ 被选中2人分数不超过30分的概率为P(D)=315=15． … 【答案】(1)证明：∵ ABCD −A 1B 1C 1D 1为正方体， ∴ B 1C 1⊥平面AA 1B 1B ， ∵ A 1B ⊆平面AA 1B 1B ， ∴ B 1C 1⊥A 1B ，又∵ 正方形AA 1B 1B 中，A 1B ⊥AB 1，且B 1C 1，AB 1是平面ADC 1B 1内的相交直线， ∴ A 1B ⊥平面ADC 1B 1， ∵ A 1B ⊆平面A 1BE ，∴ 平面ADC 1B 1⊥平面A 1BE ．(2)解：当点F 为C 1D 1中点时，可使B 1F // 平面A 1BE ．证明如下：∵ △C 1D 1D 中，EF 是中位线，∴ EF // C 1D 且EF =12C1D ，设AB 1∩A 1B =O ，则平行四边形AB 1C 1D 中， B 1O // C 1D 且B 1O =12C 1D ，∴ EF // B 1O 且EF =B 1O ，∴ 四边形B 1OEF 为平行四边形，B 1F // OE ， ∵ B 1F ⊈平面A 1BE ，OE ⊆平面A 1BE ， ∴ B 1F // 平面A 1BE .【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）由B 1C 1⊥平面AA 1B 1B ，得B 1C 1⊥A 1B ．结合正方形AA 1B 1B 中，A 1B ⊥AB 1，可得A 1B ⊥平面ADC 1B 1．最后根据面面垂直的判定定理，得到平面ADC 1B 1⊥平面A 1BE ；（2）设AB 1∩A 1B =O ，取C 1D 1中点F ，连接OE 、EB 、B 1F ．根据三角形中位线定理，得EF // C 1D 且EF =12C 1D ，平行四边形AB 1C 1D 中，有B 1O // C 1D 且B 1O =12C 1D ，从而得到EF // B 1O 且EF =B 1O ，四边形B 1OEF 为平行四边形，B 1F // OE ，所以B 1F // 平面A 1BE ，即存在C 1D 1中点F ，使B 1F // 平面A 1BE ．【解答】(1)证明：∵ ABCD −A 1B 1C 1D 1为正方体， ∴ B 1C 1⊥平面AA 1B 1B ， ∵ A 1B ⊆平面AA 1B 1B ， ∴ B 1C 1⊥A 1B ，又∵ 正方形AA 1B 1B 中，A 1B ⊥AB 1，且B 1C 1，AB 1是平面ADC 1B 1内的相交直线， ∴ A 1B ⊥平面ADC 1B 1， ∵ A 1B ⊆平面A 1BE ，∴ 平面ADC 1B 1⊥平面A 1BE ．(2)解：当点F 为C 1D 1中点时，可使B 1F // 平面A 1BE ．证明如下：∵ △C 1D 1D 中，EF 是中位线，∴ EF // C 1D 且EF =12C 1D ，设AB 1∩A 1B =O ，则平行四边形AB 1C 1D 中， B 1O // C 1D 且B 1O =12C 1D ，∴ EF // B 1O 且EF =B 1O ，∴ 四边形B 1OEF 为平行四边形，B 1F // OE ， ∵ B 1F ⊈平面A 1BE ，OE ⊆平面A 1BE ， ∴ B 1F // 平面A 1BE . 【答案】解：（1）f′(x)=2x +2a x=2x 2+2ax…由已知f ′(2)=1，解得a =−3．… （2）函数f(x)的定义域为(0, +∞)．①当a ≥0时，f ′(x)>0，f(x)的单调递增区间为(0, +∞)； … ②当a <0时f′(x)=2(x+√−a)(x−√−a)x．当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下：；单调递增区间是(√−a ，+∞)．… （3）由g(x)=2x +x 2+2a ln x 得g′(x)=−2x 2+2x +2a x，…由已知函数g(x)为[1, 2]上的单调减函数，则g ′(x)≤0在[1, 2]上恒成立，即−2x +2x +2a x≤0在[1, 2]上恒成立．即a ≤1x−x 2在[1, 2]上恒成立．…令ℎ(x)=1x−x 2，在[1, 2]上ℎ′(x)=−1x 2−2x =−(1x 2+2x)<0，所以ℎ(x)在[1, 2]为减函数.ℎ(x)min =ℎ(2)=−72，所以a ≤−72．…【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】（1）先对函数求导，然后由由已知f ′(2)=1，可求a（2）先求函数f(x)的定义域为(0, +∞)，要判断函数的单调区间，需要判断导数f′(x)=2x +2a x=2x 2+2ax的正负，分类讨论：分①当a ≥0时，②当a <0时两种情况分别求解（2）由g(x)可求得g′(x)，由已知函数g(x)为[1, 2]上的单调减函数，可知g ′(x)≤0在[1, 2]上恒成立，即a ≤1x−x 2在[1, 2]上恒成立，要求a 的范围，只要求解ℎ(x)=1x−x 2，在[1, 2]上的最小值即可【解答】解：（1）f′(x)=2x +2a x=2x 2+2ax…由已知f ′(2)=1，解得a =−3．… （2）函数f(x)的定义域为(0, +∞)．①当a ≥0时，f ′(x)>0，f(x)的单调递增区间为(0, +∞)； … ②当a <0时f′(x)=2(x+√−a)(x−√−a)x．当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下：由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,√−a)；单调递增区间是(√−a ，+∞)．… （3）由g(x)=2x +x 2+2a ln x 得g′(x)=−2x 2+2x +2a x，…由已知函数g(x)为[1, 2]上的单调减函数，则g ′(x)≤0在[1, 2]上恒成立，即−2x 2+2x +2a x≤0在[1, 2]上恒成立．即a ≤1x −x 2在[1, 2]上恒成立．…令ℎ(x)=1x −x 2，在[1, 2]上ℎ′(x)=−1x 2−2x =−(1x 2+2x)<0，所以ℎ(x)在[1, 2]为减函数.ℎ(x)min =ℎ(2)=−72，所以a ≤−72．…【答案】解：（1）由题意，{a −c =√3−1b =√2a 2=b 2+c 2，解得a =√3，c =1． ∴ 椭圆方程为x 23+y 22=1−−−−−−−−−−−−（2）当直线AB 与x 轴垂直时，|AB|=√3，不符合题意故舍掉；-----------当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为：y =k(x +1)，代入消去y 得：(2+3k 2)x 2+6k 2x +(3k 2−6)=0．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−6k 22+3k 2，x 1x 2=3k 2−62+3k 2−−−−−−−−−−− 所以|AB|=4√3(k 2+1)2+3k ，------------ ∵ 线段AB 的长为3√32， ∴4√3(k 2+1)2+3k 2=3√32∴ k 2=2∴ k =±√2，------------所以直线AB 的方程为：√2x −y +√2=0或√2x +y +√2=0．--------- 【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】（1）由椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)右顶点到右焦点的距离为√3−1，短轴长为2√2，建立方程组，即可求得椭圆方程；（2）当直线AB 与x 轴垂直时，|AB|=√3，不符合题意；当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为：y =k(x +1)，代入消去y ，利用韦达定理计算|AB|，结合线段AB 的长为3√32，即可求得k 的值，从而可得直线AB的方程．【解答】解：（1）由题意，{a −c =√3−1b =√2a 2=b 2+c 2，解得a =√3，c =1． ∴ 椭圆方程为x 23+y 22=1−−−−−−−−−−−−（2）当直线AB 与x 轴垂直时，|AB|=3，不符合题意故舍掉；-----------当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为：y =k(x +1)，代入消去y 得：(2+3k 2)x 2+6k 2x +(3k 2−6)=0．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−6k 22+3k 2，x 1x 2=3k 2−62+3k 2−−−−−−−−−−−所以|AB|=4√3(k 2+1)2+3k 2，------------ ∵ 线段AB 的长为3√32， ∴4√3(k 2+1)2+3k 2=3√32∴ k 2=2∴ k =±√2，------------所以直线AB 的方程为：√2x −y +√2=0或√2x +y +√2=0．--------- 【答案】（1）证明：因为a n+1=2a n 2+2a n ，2a n+1+1=2(2a n 2+2a n )+1=(2a n +1)2 所以数列{2a n +1}是“平方递推数列”．--------由以上结论lg (2a n+1+1)=lg (2a n +1)2=2lg (2a n +1)，所以数列{lg (2a n +1)}为首项是lg 5公比为2的等比数列．--------（2）解：由题意，lg (2a n +1)=[lg (2a 1+1)]×2n−1=2n−1lg 5=lg 52n−1，∴ 2a n +1=52n−1，a n =12(52n−1−1)．--------∴ lg T n =lg (2a 1+1)+⋯+lg (2a n +1)=(2n −1)lg 5，∴ T n =52n−1．-------- （3）解：b n =lg Tn lg (2a n+1)=(2n −1)lg 52n−1lg 5=2−12n−1，∴ 数列{b n }的前n 项和S n =2n −2+12n−1．-------- [注：若有其它解法，请酌情给分] 【考点】数列的求和等比关系的确定数列递推式【解析】（1）利用点(a n , a n+1)在函数f(x)=2x 2+2x 的图象，结合新定义，可得数列{2a n +1}是“平方递推数列”，两边取对数，即可证得数列{lg (2a n +1)}为首项是lg 5公比为2的等比数列；（2）由题意，lg (2a n +1)=[lg (2a 1+1)]×2n−1=2n−1lg 5=lg 52n−1，从而可得数列{a n }的通项，进而先求对数的和，即可求得结论；（3）确定数列{b n }的通项，利用等比数列的求和公式可结论．【解答】（1）证明：因为a n+1=2a n 2+2a n ，2a n+1+1=2(2a n 2+2a n )+1=(2a n +1)2 所以数列{2a n +1}是“平方递推数列”．--------由以上结论lg (2a n+1+1)=lg (2a n +1)2=2lg (2a n +1)，所以数列{lg (2a n +1)}为首项是lg 5公比为2的等比数列．--------（2）解：由题意，lg (2a n +1)=[lg (2a 1+1)]×2n−1=2n−1lg 5=lg 52n−1，∴ 2a n +1=52n−1，a n =12(52n−1−1)．--------∴ lg T n =lg (2a 1+1)+⋯+lg (2a n +1)=(2n −1)lg 5，∴ T n =52n−1．-------- （3）解：b n =lg T n lg (2a n +1)=(2n −1)lg 52n−1lg 5=2−12n−1，∴ 数列{b n }的前n 项和S n =2n −2+12n−1．-------- [注：若有其它解法，请酌情给分]。

北京石景山区2012-2013学年高三第一学期期末考试数学(文)试卷

北京市石景山区2012-2013学年高三第一学期期末考试数学（文）试卷本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃B A C U ）（（） A ． {}2,1B ． {}4,32，C ．{}4,3D ．{}4,3,2,12. 若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z （） A ． 13i --B ．i +2C ．13i +D ．i +33．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD ===则（）A ．(2,4)B ．(3,7)C ．(1,1)D ．(1,1)--4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（）A ．ln y x =B ．2y x =C ．cos y x =D ．||2x y -=5．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 6．执行右面的框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A．38B．4C．2D．348.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[]k，即[]{}5k n k n=+∈Z，0,1,2,3,4k=．给出如下四个结论：①[]20133∈；②[]22-∈；③[][][][][]01234Z=∪∪∪∪；④整数,a b属于同一“类”的充要条件是“[]0a b-∈”．其中，正确结论的个数为（）．A．B．2C．3D．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 不等式2560x x-+≤的解集为 .10．直线+0x y=被圆22+4+0x x y=截得的弦长为．11．已知不等式组y xy xx a≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S的面积为4，则=a；若点SyxP∈),(，则yxz+=2的最大值为 .12．在等比数列{}na中，141=,=42a a-，则公比=q；123++++=na a a aL．13．在ABC∆中，若2,60,a B b=∠=︒=c=．14.给出定义：若11< +22m x m-≤(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作{}x，即{}=x m.在此基础上给出下列关于函数()={}f x x x -的四个命题：①=()y f x 的定义域是R ，值域是11(,]22-； ②点(,0)k 是=()y f x 的图像的对称中心，其中k Z ∈； ③函数=()y f x 的最小正周期为；④ 函数=()y f x 在13(,]22-上是增函数．则上述命题中真命题的序号是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=．（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．16．（本小题共14分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，36BC AC ==，．D 、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图2．（Ⅰ）求证： //BC 平面1A DE ；（Ⅱ）求证： BC ⊥平面1A DC ；（Ⅲ）当D 点在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值．图1图2A 1BCDE17．（本小题共13分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有个数字，数字分别是､2､､4．现从盒子中随机抽取卡片．（Ⅰ）若一次抽取张卡片，求张卡片上数字之和大于7的概率；（Ⅱ）若第一次抽张卡片，放回后再抽取张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字的概率． 18．（本小题共13分）已知函数()=ln +1,f x x ax a R -∈是常数．（Ⅰ）求函数=()y f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线的方程；（Ⅱ）证明函数=()(1)y f x x ≠的图象在直线的下方；（Ⅲ）若函数=()y f x 有零点，求实数a 的取值范围． 19．（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为:=+l y x m 交椭圆于不同的两点A B 、．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m 的取值范围；（Ⅲ）若直线不经过椭圆上的点(4,1)M ，求证：直线MA MB 、的斜率互为相反数． 20．（本小题共13分）定义：如果数列{}n a 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{}n a 为“三角形”数列．对于“三角形”数列{}n a ，如果函数()y f x =使得()n n b f a =仍为一个“三角形”数列，则称()y f x =是数列{}n a 的“保三角形函数”(*)n N ∈．（Ⅰ）已知{}n a 是首项为2，公差为的等差数列，若()(1)xf x k k =>是数列{}n a 的“保三角形函数”，求k 的取值范围；（Ⅱ）已知数列{}n c 的首项为2013，n S 是数列{}n c 的前n 项和，且满足+1438052n n S S -=，证明{}n c 是“三角形”数列；（Ⅲ）若()lg g x x =是（Ⅱ）中数列{}n c 的“保三角形函数”，问数列{}n c 最多有多少项?(解题中可用以下数据 :lg20.301,lg30.477,lg2013 3.304≈≈≈)石景山区2012—2013学年第一学期期末考试高三数学（文）参考答案一、选择题共二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(9题、11题第一空2分,第二空3分) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）因为cos 0x ≠，所以+,2x k k Z ππ≠∈.所以函数)(x f 的定义域为{+,}2x x k k Z ππ≠∈｜ ……………2分sin 2sin cos ()cos x x x f x x+=（）()2sin sin +cos =2sin +sin2x x x x x =２s i n (2-)14x π=+ ……………5分π=T ……………7分（Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以7-2-1244x πππ≤≤ ……………9分当2-44x ππ=时，即4x π=时，)(x f 的最大值为2； ……………11分当2--42x ππ=时，即8x π=-时，)(x f 的最小值为. ………13分16．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：11//,,DE BC DE A DE BC A DE ⊂⊄ 面面 1//BC A DE ∴面 ……4分（Ⅱ）证明：在△ABC 中，90,//,C DE BC AD DE ∠=︒∴⊥1A D DE ∴⊥.又11,,A D CD CD DE D A D BCDE ⊥⋂=∴⊥面.由1,.BC BCDE A D BC ⊂∴⊥面1,,BC CD CD BC C BC A DC ⊥⋂=∴⊥面. ……………9分（Ⅲ）设DC x =则16A D x =-由（Ⅱ）知，△1ACB ，△1A DC 均为直角三角形．1A B =1A B =………………12分当=3x 时,1A B 的最小值是即当D 为AC 中点时, 1A B 的长度最小,最小值为14分 17．（本小题共13分）（Ⅰ）设A 表示事件“抽取张卡片上的数字之和大于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)．其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)，所以1()2P A =． …………………6分（Ⅱ）设B 表示事件“至少一次抽到”，第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有： (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，共16个基本结果．事件B 包含的基本结果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3)，共7个基本结果．所以所求事件的概率为7()16P B =． …………………13分 18.（本小题共13分）（Ⅰ）1()=f x a x'- …………………2分 (1)=+1f a -，=(1)=1l k f a '-，所以切线 l 的方程为(1)=(1)l y f k x --，即=(1)y a x -． …………………4分（Ⅱ）令()=()(1-)=ln +1>0F x f x a x x x x --，，则11()=1=(1)()=0=1.F x x F x x ''--，解得(1)<0F ，所以>0x ∀且1x ≠，()<0F x ，()<(1)f x a x -，即函数=()(1)y f x x ≠的图像在直线 l 的下方． …………………9分（Ⅲ）=()y f x 有零点，即()=ln +1=0f x x ax -有解，ln +1=x a x.令 ln +1()=x g x x ，22ln +11(ln +1)ln ()=()==x x xg x x x x -''-，解()=0g x '得=1x . …………………11分则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,+)∞上单调递减，当=1x 时，()g x 的最大值为(1)=1g ，所以1a ≤. …………………13分 19．（本小题共14分）（Ⅰ）由题意知,2a =2e =，解得a b c 故椭圆方程为221205x y +=． …………………4分（Ⅱ）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200x mx m ++-=， 22=(8)-20(4-20)>0m m ∆，解得55m -<<． …………………7分（Ⅲ）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，只要证明120k k +=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212128420,55m m x x x x -+=-=． …………………9分 12122112121211(1)(4)(1)(4)44(4)(4)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----122112122(1)(4)(1)(4)2(5)()8(1)2(420)8(5)8(1)055x m x x m x x x m x x m m m m m =+--++--=+-+----=---=分子所以直线MA MB 、的斜率互为相反数． …………………14分 20．（本小题共13分）（Ⅰ）显然121,n n n n a n a a a ++=++>对任意正整数都成立，即{}n a 是三角形数列．因为1k >，显然有12()()()n n n f a f a f a ++<<< ，由12()()()n n n f a f a f a +++>得12n n n k k k +++>k <所以当k ∈时， ()x f x k =是数列{}n a 的保三角形函数. …………………3分（Ⅱ）由1438052n n s s +-=，得1438052n n s s --=，两式相减得1430n n c c +-=，所以1320134n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭…………………5分经检验，此通项公式满足1438052n n s s +-=. 显然12n n n c c c ++>>,因为1112332132013201344164n n n n n n c c c +-+++==⋅>（）+2013(）（）, 所以{}n c 是三角形数列. …………………8分（Ⅲ）133()lg[2013]=lg2013+(n-1)lg 44n n g c -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以(n g c ）是单调递减函数.由题意知，3lg2013+(n-1)lg >04⎛⎫⎪⎝⎭①且12lg lg lg n n n c c c --+>②,由①得3-1lg >-lg 20134n （），解得27.4n <, 由②得3lg>-lg 20134n ，解得26.4n <. 即数列{}n b 最多有26项. …………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

20.三角函数的化简求值

1.广东省2012年高考数学考前十五天每天一练（4）已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（D ） A ． 43-B ．54C ．34-D ．452.陕西省西工大附中2011届高三第八次适应性训练数学（文）观察下列几个三角恒等式:①tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101++= ； ②tan13tan35tan35tan 42tan 42tan131++= ； ③tan 5tan100tan100tan(15)+-tan(15)tan 51+-=；一般地,若tan ,tan ,tan αβγ都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 .【答案】90,tan tan tan tan tan tan 1αβγαββγγα++=++=当时3.陕西省咸阳市2012届高三上学期高考模拟考试（文科数学） sin 330 的值是（）A ．12 B. 12- C. D. 【答案】B4.2012北京宏志中学高考模拟训练-数学理cos300= （）(A)-12 (C)12【答案】C5.2012北京宏志中学高考模拟训练-数学理已知2sin 3α=，则cos(2)πα-= （）（A ）（B ）19-6..山东省烟台市2012届高三五月份适应性练习数学文（二）（2012烟台二模）22sin(250)cos 70cos 155sin 25-︒︒︒-︒的值为A ．B ．一12C ．12D 【答案】C7.山东省烟台市2012届高三五月份适应性练习数学文（三）已知倾斜角为α的直线的值为则平行与直线α2tan 022，y x l =+- A.54 B.34 C.43 D.32 【答案】A4．（福建省厦门市2012年高中毕业班适应性考试）已知a ∈（3,2ππ），且cos 5α=-，则tan α DA ．43B ．一43C ．-2D ．22．（2011年江苏海安高级中学高考数学热身试卷）已知tan 2α=，则s i n ()c o s ()s i n ()c o s ()παπααα++--+-＝．【答案】1贵州省五校联盟2012届高三年级第三次联考试题)10.如果33sin cos cos sin θθθθ->-，且()0,2θπ∈，那么角θ的取值范围是（）A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． 5,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭C(贵州省五校联盟2012届高三第四次联考试卷) 5.已知πα<<0，21cos sin =+αα ，则α2cos 的值为（） A．4- B.47 C.47± D.43- A(贵州省2012届高三年级五校第四次联考理) 13.函数sin y x x =-的最大值是 . 2(贵州省2012届高三年级五校第四次联考文) 4. 若4cos ,,0,52παα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．17 B ．7 C ．177或D ．177-或-A洋浦中学2012届高三第一次月考数学理科试题13．已知函数22()1xf x x =+，则11(1)(2)(3)()()23f f f f f ++++= .25冀州市中学2012年高三密卷（一）6. 已知角α2的顶点在原点, 始边与x 轴非负半轴重合, 终边过⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,21, )[πα2,02∈ 则 =αtan ( )A. 3-B. 3C. 33D. 33±B冀州中学高三文科数学联排试题 10．已知sin θ+cos θ=15，θ∈(0，π)，则tan θ的值为 A ． 43- B ．34- C ．43或43- D ．43-或34-A河北省南宫中学2012届高三8月月考数学（文） 6.已知2tan =α，则ααcos sian 的值为（）A.21B.32C.52D.1C冀州中学第三次模拟考试文科数学试题13. 已知2()4f x x x =-，则(sin )f x 的最小值为 -32012年普通高考理科数学仿真试题(三) 12.定义一种运算：⎩⎨⎧≤=⊗a b b a a b a ,,,令()()45sin cos 2⊗+=x x x f ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，则函数⎪⎭⎫⎝⎛-2πx f 的最大值是 A.45B.1C.—1D.45-【答案】A2012年普通高考理科数学仿真试题(四) 17.（本小题满分12分）已知函数()().1cos 2267sin 2R x x x x f ∈-+⎪⎭⎫⎝⎛-=π （I ）求函数()x f 的周期及单调递增区间；＞b.（II ）在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,A 经过函数()x f 的图象，b,a,c 成等差数列，且9=⋅AC AB ，求a 的值. 【答案】9（广东省韶关市2012届第二次调研考试）．已知A 是单位圆上的点，且点A 在第二象限，点B 是此圆与x 轴正半轴的交点，记AOB α∠=, 若点A 的纵坐标为35．则sin α=35_____________; tan(2)πα-=___247____________. 5（广东省深圳市2012高三二模文）. tan 2012︒∈A. (0,3B. (3C. (1,3--D. (3- 【答案】B16(上海市财大附中2012届第二学期高三数学测验卷理）对任意的实数α、β，下列等式恒成立的是( ) AA ()()2sin cos sin sin αβαβαβ⋅=++-B ．()()2cos sin sin cos αβαβαβ⋅=++-C ．cos cos 2sinsin22αβαβαβ+-+=⋅ D ．cos cos 2coscos22αβαβαβ+--=⋅17.（上海市财大附中2012届第二学期高三数学测验卷文）已知πα<<0，21cos sin =+αα ，则α2cos 的值为( ) A A ．47- B ．47 C ．47± D ．43-3．广东省中山市2012届高三期末试题数学文已知233sin 2sin ,(,),52cos πθθθπθ=-∈且则的值等于 A ．23 B ．43 C ．—23 D ．—43AB7. 广东实验中学2011届高三考前已知24sin 225α=-, (,0)4πα∈-，则s i n c o s αα+=A ．15-B ．51 C ．75- D ．5716. 北海市合浦县教育局教研室2011-2012学年高一下学期期中考试数学试题已知函数R x x x x f ∈-=,cos sin 3)(，若1)(≥x f ，则x 的取值范围是 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+z k k x k x ,232ππππ 15. 北海市合浦县教育局教研室2011-2012学年高一下学期期中考试数学试题若⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=)0(21)0(6sin )(x x x x x f π，则=)]1([f f 21- 。

北京市石景山区高三数学一模试题文(石景山一模,含解析)

北京市石景山区2013届高三统一测试数学（文）试题本试卷共150分，考试时长120分钟，请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合2{|4}M x x =≤,2{|log 1}N x x =≥，则N M 等于（） A ． [-2，2] B ．{2}C ．[2，+∞）D ． [-2,+∞）【答案】B【解析】{22}M x x =-≤≤,{2}N x x =≥,所以{2}{2}M N x x ===,选B.2．若复数2(-)a i 在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是（）A ． 1B ．-1C D ．【答案】A【解析】22()12a i a ai -=--,对应点的坐标为2(1,2)a a --，由题意知210,20a a -=-<，解得1a =，选A.3．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p =（m ，n ），q =（3，6），则向量p 与q 共线的概率为（） A ．13B ．14C ．16D ．112【答案】D【解析】由题意可得,基本事件（m ，n ）（m ，n=1，2，…，6）的个数=6×6=36．若,p q 共线，则630m n -=，得到2n m =．满足此条件的共有（1，2），（2，4），（3，6）三个基本事件．因此向量,p q 共线的概率313612P ==,选D. 4．执行右面的框图，输出的结果s 的值为（）A ．-3B ．2C ．12-D ．13【答案】A【解析】第1次循环，1,3i S ==-；第2次循环，12,2i S ==-；第3次循环，13,3i S ==；第4次循环，4,2i S ==；第5次循环，5,3i S ==-, …框图的作用是求周期为4的数列，输出S 的值，不满足2014≤2013，退出循环，循环次数是2013次，201350341=⨯+,所以即输出的结果为﹣3，故选A ．5．设a ∈R ，则“1a =”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2：x+（a+1）y+4=0平行的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线1l 的斜率为2a -，直线2l 的斜率为11a -+，所以如两直线平行则有112aa -=-+，解得1a =或2a =-。