第7讲图形(1)

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人教版四年级数学下册第七单元第1课时《轴对称图形的性质及画法》课件

7 图形的运动(二)
轴对称图形的性质及画法
说一说：下面哪些是轴对称图形？它们有几条对称轴？
思考：仔细观察这些图形,你发现了什么?
思考：仔细观察这些图形,你发现了什么?
对称轴对称轴两边的图形完全重合了。
交流: A、A′和B、B′到对称轴的距离分别是多少？
你发现了什么？
轴对称图形中每组对应点到对称轴的
知识点 2 画一个图形的轴对称图形
2．以虚线为对称轴，画出各图的轴对称图形。
易错辨析
3．以虚线为对称轴，画出小船的轴对称图形。
辨析：没有正确理解轴对称图形的特征导致作图错误。
提升点 1 从不同方向画同一图形的轴对称图形
4．以虚线为对称轴，画出梯形两个不同方向的轴对称图形。
提升点 2 以对角线为对称轴画轴对称图形的另一半
5．画出轴对称图形的另一半(以虚线为对称轴)。
6．手工课上，亮亮将一张长方形纸对折，剪掉一个等腰直角三角形后得到下图。想一想，亮亮将这张纸展开后，会是什么样子呢？请你画一画。
(答案不唯一)
根据对称轴补全轴对称图形
练习
教材习题
1．选择合适的方法画出下面的角，并说说它们分别是哪一种角。（选题源于教材P46第12题）
画角略。10°、45°、60°的角是锐角，90°的角是直角，105°、120°的角是钝角，180°的角是平角。
知识点 1 补全轴对称图形
1．以虚线为对称轴，画出轴对称图形的另一半。
知识点轴对称图形的特征及对称轴
1．填一填。 (1)将图形沿着一条直线对折，如果直线两边的部分能够
( 完全重合 )，这样的图形就是轴对称图形，折痕所在的直线就是这个图形的( 对称轴 )。 (2)在轴对称图形中，对称点的连线与对称轴 (互相垂直 )，对称点到对称轴的距离( 相等 )。

2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7讲抛物线讲义(理)(含解析)

第7讲抛物线[考纲解读] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质(范围、对称性、顶点、准线)．(重点)2.能根据几何性质求最值，能利用抛物线的定义进行灵活转化，并能理解数形结合思想，掌握抛物线的简单应用．(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容．预测2020年高考将会考查：①抛物线的定义及其应用；②抛物线的几何性质；③直线与抛物线的位置关系及抛物线与椭圆或双曲线的综合．试题以选择题、填空题、解答题形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度．试题中等偏难.1．抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做01焦点，直线l叫做抛物线的□02准线．抛物线的□2．抛物线的标准方程与几何性质3．必记结论(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．(2)y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.(3)直线AB 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图．①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.②|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . ③1|AF |＋1|BF |为定值2p . ④弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．⑤以AB 为直径的圆与准线相切．⑥焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°.1．概念辨析(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a .( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．小题热身(1)若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716B.1516C.78 D ．0答案 B解析 M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y＋116＝1，∴y ＝1516. (2)已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4x D ．y 2＝±42x答案 D解析 ∵双曲线x 2－y 2＝1的焦点坐标为(±2，0)， ∴抛物线C 的焦点坐标为(±2，0)．设抛物线C 的方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝ 2.∴p ＝22，∴抛物线C 的方程是y 2＝±42x .故选D.(3)若过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64 答案 B解析由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x ，得(x －2)2＝8x ，即x 2－12x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝12，弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.故选B.(4)抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，－132解析由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .∴2p ＝18，p ＝116，∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132.题型一抛物线的定义及应用(2016·浙江高考)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点F 的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．答案 9解析设M (x 0，y 0)，由抛物线的方程知焦点F (1,0)．根据抛物线的定义得|MF |＝x 0＋1＝10，∴x 0＝9，即点M 到y 轴的距离为9.条件探究1 将举例说明条件变为“过该抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝3”，求△AOB 的面积．解焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得点A 的横坐标为2，纵坐标为22，AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2－5x ＋2＝0，所以点B 的横坐标为12，纵坐标为－2，所以S △AOB ＝12×1×(22＋2)＝322. 条件探究 2 将举例说明条件变为“在抛物线上找一点M ，使|MA |＋|MF |最小，其中A (3,2)”．求点M 的坐标及此时的最小值．解如图，点A在抛物线y2＝4x的内部，由抛物线的定义可知，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|，其中|MH|为点M到抛物线的准线的距离．过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|≥|AB|＝4，当且仅当点M在M1的位置时等号成立．此时点M的坐标为(1,2)．利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．(3)看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．1．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，且点A在第一象限，|AF|＝3|BF|，则直线l的斜率为( )A.33B.32C. 3 D．3答案 C解析设抛物线的准线交x轴于F′，分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，直线l交准线于C，如图所示：则|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |，|AF |＝3|BF |，|AN |＝2|BF |，|AB |＝4|BF |，cos ∠NAB ＝12，∠NAB ＝60°，则直线l 的斜率为 3. 2．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3 C. 5 D.92答案 A解析如图所示，A (0,2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，由抛物线的定义知|PP ′|＝|PF |，∴|AP |＋|PP ′|＝|AP |＋|PF |≥|AF |＝14＋4＝172.故选A. 题型二抛物线的标准方程和几何性质1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－y D ．y 2＝－x 或x 2＝－8y答案 D解析设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .2．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若△FPM 为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为_______．答案 x 2＝4y解析 △FPM 为等边三角形，则|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22p ，则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－p 2，因为焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，△FPM 是等边三角形，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 22p ＋p2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，所以抛物线方程为x 2＝4y .1．求抛物线标准方程的方法(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数2p 的关系．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．1．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8y D ．x 2＝16y答案 D解析双曲线的离心率e ＝ca＝1＋b 2a 2＝2，所以b a ＝3，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x 即 y ＝±3x ，抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，焦点到渐近线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 21＋32＝p4＝2，所以p ＝8，所以抛物线C 2的方程为x 2＝16y . 2．(2018·枣庄二模)抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3,1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( )A.43 B ．－43 C ．±43 D ．－169 答案 B解析令y ＝1，代入y 2＝4x 可得x ＝14，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.由抛物线的光学性质可知，直线AB 经过焦点F (1,0)，所以k ＝1－014－1＝－43.故选B. 题型三直线与抛物线的综合问题角度1 直线与抛物线的交点问题1．(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1,0)解析由已知，直线l ：x ＝1，又因为l 被抛物线截得的线段长为4，抛物线的图象关于x 轴对称，所以点(1,2)在抛物线上，即22＝4a ×1，解得a ＝1.故抛物线的方程为y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)．2．(2018·长郡中学新高三实验班选拔考试)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)及点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2，动直线l ：y ＝kx ＋1与抛物线C 交于A ，B 两点，若直线AD 与BD 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π.(1)求抛物线C 的方程；(2)若H 为抛物线C 上不与原点O 重合的一点，点N 是线段OH 上与点O ，H 不重合的任意一点，过点N 作x 轴的垂线依次交抛物线C 和x 轴于点P ，M ，求证：|MN |·|ON |＝|MP |·|OH |.解 (1)把y ＝kx ＋1代入x 2＝2py 得x 2－2pkx －2p ＝0，设A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 222p ，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p . 由α＋β＝π可知，直线AD 的斜率与直线BD 的斜率之和为零，所以x 212p ＋p 2x 1＋x 222p ＋p 2x 2＝0，去分母整理得(x 1＋x 2)(x 1x 2＋p 2)＝0，即2pk (p 2－2p )＝0，由该式对任意实数k 恒成立，可得p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)证明：设过点N 的垂线方程为x ＝t (t ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，x 2＝4y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 24，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 24.令|MN ||MP |＝λ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，λt 24，所以直线ON 的方程为y ＝λt4x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝λt 4x ，x 2＝4y且x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λt ，y ＝λ2t 24，即点H ⎝⎛⎭⎪⎫λt ，λ2t 24，所以|OH ||ON |＝x H x N ＝λt t ＝λ，所以|MN ||MP |＝|OH ||ON |，即|MN |·|ON |＝|MP |·|OH |. 角度2 与抛物线弦中点有关的问题3．(2018·郑州模拟)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14m .(2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.(3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＞0⇒m ＞－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，y P ， ∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，1m . 得QA →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－1m，mx 21－1m ，QB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1m，mx 22－1m ，若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 21－1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 22－1m ＝0，结合(*)化简得－4m2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，－12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. ∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．1．直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组． (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决． 2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：为了回避讨论直线斜率存在和不存在，可以灵活设直线方程，见巩固迁移2.1．已知直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(4,4)，则线段AB 的中点到准线的距离是________．答案 258 解析抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1，所以k AF ＝4－04－1＝43. 所以直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即y ＝43(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝43x －1消去y ，整理得4x 2－17x ＋4＝0，所以线段AB 的中点的横坐标为178. 所以线段AB 的中点到准线的距离是178－(－1)＝258. 2．(2018·衡水模拟)已知抛物线C ：y 2＝ax (a >0)上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12到焦点F 的距离为2t . (1)求抛物线C 的方程；(2)抛物线上一点A 的纵坐标为1，过点Q (3，－1)的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点(均与点A 不重合)，设直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．解 (1)由抛物线的定义可知|PF |＝t ＋a 4＝2t ，则a ＝4t ，由点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12在抛物线上，则at ＝14.所以a ×a 4＝14，则a 2＝1，由a >0，则a ＝1，故抛物线的方程为y 2＝x .(2)证明：因为A 点在抛物线上，且y A ＝1.所以x A ＝1，所以A (1,1)，设过点Q (3，－1)的直线l 的方程为x －3＝m (y ＋1)．即x ＝my ＋m ＋3，代入y 2＝x 得y 2－my －m －3＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝m ，y 1y 2＝－m －3，所以k 1·k 2＝y 1－1x 1－1·y 2－1x 2－1 ＝y 1y 2－y 1＋y 2＋1m 2y 1y 2＋m m ＋2y 1＋y 2＋m ＋22 ＝－m －3－m ＋1m 2－m －3＋m m ＋2m ＋m ＋22＝－12，为定值．。

2022届新高考高三数学一轮复习考点讲义第7讲：三角函数【含答案】

三角函数一、知识点 (一)角的概念的推广1、角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

其中顶点，始边，终边称为角的三要素。

角可以是任意大小的。

(1)角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。

①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角； ②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角。

(2)在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。

②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角。

(3)终边相同的角的集合：设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为},360|{Z n n S ∈⋅+α=ββ= 。

集合S 的每一个元素都与α的终边相同，当0=k 时，对应元素为α。

2、弧度制和弧度制与角度制的换算(1)角度制：把圆周360等分，其中1份所对的圆心角是1度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制。

(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。

任一已知角α的弧度数的绝对值rl =α||，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。

(3)角度制与弧度制的互化：π=2360，π=180；815730.571801'≈≈π= rad ； rad 01745.01801≈π= 。

3、特殊角的三角函数值0 3045 60 90 120 135 150 1800 6π4π 3π 2π 32π 43π 65ππ sin 0 2122 23 1 232221 0 cos 1 232221 0 21- 22- 23- 1- tan 0 331 3 ⨯3- 1- 33- 0210 225 240 270 300 315 330 36067π 45π 34π 23π 35π 47π 611ππ2sin21- 22- 23- 1- 23- 22- 21- 04、平面直角坐标系中特殊线表示的角的集合：其中：Z n ∈，Z k ∈；x 轴正半轴 360⋅nπk 2 第一象限角平分线36045⋅+nπ+πk 24 x 轴负半轴 360180⋅+n π+πk 2 第二象限角平分线 360135⋅+nπ+πk 243 x 轴 180⋅n πk 第三象限角平分线 360225⋅+nπ+πk 245 y 轴正半轴 36090⋅+n π+πk 22第四象限角平分线 360315⋅+nπ+πk 247 y 轴负半轴 360270⋅+n π+πk 223 第一、三象限角平分线 18045⋅+n π+πk 4y 轴 18090⋅+nπ+πk 2 第二、四象限角平分线 180135⋅+n π+πk 43 坐标轴 90⋅n 2πk 象限角平分线 9045⋅+n 24π+πk 5、弧长及扇形面积公式：弧长公式：r l ⋅α=||扇形弧长，扇形面积公式：lr r S 21||212=⋅α=扇形，α是圆心角且为弧度制，r 是扇形半径。

北师大版六年级数学上册第7课时圆的面积(一)(教案)

第7课时圆的面积(一)教材第14～15页内容。

1．结合实例认识圆的面积，经历圆面积计算公式的推导过程，掌握圆的面积计算公式。

2．在探究圆面积公式的活动中，体会将曲线转化为直线的思想。

能正确运用圆的面积公式计算圆的面积。

能运用圆的面积知识解决一些简单的实际问题。

一、导入(教师出示14页情境主题图)请同学们观察这幅图，说说如何得到一个圆的面积。

学生观察并讨论，然后指名回答。

二、自主探索1．同学们充分发挥自己感官，估计圆的面积大小。

2．用数方格的方法求圆的面积。

①投影出示P15方格图，让同学们看懂图意后估算圆的面积，学生可以讨论交流。

②指明反馈估算结果，并说明估算方法及依据。

三、合作探究拿出我们剪好的图形拼一拼，看看能成为一个什么图形？并考虑你拼成的图形与原来的圆形有什么关系？如果把一个圆等分的份数越多，拼成的图形越接近什么图形呢？能否由平行四边形或者长方形的面积公式得到圆形的面积公式呢？并说出你的理由。

四、汇报点评拼成的平行四边形的底也就是圆形周长的一半；平行四边形的高就是圆形的半径。

而平行四边形的面积＝底×高，那么圆形面积公式＝圆周长的1/2×半径，即可。

S＝πr2五、巩固练习1．第15页第1题。

2．第15页第2题。

六、课堂小结通过今天的学习，同学们既要会用圆的面积公式计算圆的面积，而且能用圆的面积知识解决简单的实际问题。

圆的面积(一)长方形的长＝圆周长的一半长方形的宽＝圆的半径S＝πr2因为本节课的重点是让学生参与推导公式的过程，知道公式的由来，利用公式能够正确地解决实际问题。

此时教师放手不必要放得太大，造成不必要的麻烦，因为学生探索的开始还是带有一定的盲目性的，造成时间上的浪费，所以需要老师及时地正确地引导，让学生在前边根据长方形公式推导正方形、平行四边形、梯形的面积计算公式的基础上，参与公式的推导过程，当学生转化成了不同学过的图形时，再引导学生根据长方形的面积计算公式，推导出圆的面积计算公式，并让学生明白只要转化成学过的图形，就能推导出圆的面积公式。

人教版八年级数学上专题讲座第7讲角平分线问题的处理方法

第7讲角平分线问题的处理方法【板块一】角的平分线的性质与判定的应用题型一角平分线性质应用【例1】如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BD＝CD，求证:BE＝CF．题型二角平分线判定应用（一）直接用角平分线判定【例2】如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC延长线上的点，P A平分∠BAC，PB平分∠CBD．求证：PC平分∠BCE．（二）隐藏角平分线【例3】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为BC上一点，E为AD延长线上一点，且∠CBE＝∠CAE．求∠AEC的度数针对练习11．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC中点，且AE平分∠BAD．（1）求证：DE平分∠ADC；（2）求证：AE⊥DE；（3）求证：AD＝AB＋CD．2．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，BD，CE交于点P，求证：AP平分∠BPE．【板块二】角平分线问题常用处理方法方法技巧做垂直作对称（截长补短）作平行延长方法一作垂直原理：作角平分线上的点到角两边的距离，得距离相等．其原理是角平分线的基本性质．【例4】如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＋∠B＝180°，求证：BC＝CD．【例5】如图，AD是△ABC的角平分线，求证：BD ABCD AC．方法二作对称（截长补短）以角平分线为轴进行翻折，其原理是轴对称性质，实际操作中可以通过截取实现．【例6】如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，BC＝CD，求证：∠ADC＋∠B＝180°．方法三作平行原理：角平分线十平行→等腰三角形．【例7】如图，△ABC中，∠BAC＝2∠ABC，I为△ABC的三条角平分线的交点．求证：BC＝AI＋AC．方法四延长原理：补全图形，构造等腰三角形三线合一定理基本图形，从而运用定理解题．【例8】如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．（1）如图1，CF平分∠ACB交AB于F，BE⊥CF于E，探究CF，BE之间的数量关系；（2）如图2，若D为线段BC上一点，∠EDB＝12∠ACB，BE⊥DE，垂足为E，DE交AB于F，线段DF，BE的数量关系是否发生变化？请说明理由．针对练习21．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠BDC＝36°，∠ADB＝72°求证：AB＝AC．2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F．（1)请写出FE与FD之间的数量关系并证明；（2)如果∠ACB不是直角，其他条件不变，①中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．3．如图，△AOB为等腰直角三角形，点A，点B分别在x轴，y轴的正半轴上，点P为动点，P A⊥PB．（1）如图1，当P点在第一象限时，求∠OP A的度数；（2）如图2，当P点在第四象限时，求∠OP A的度数，4．如图，已知BD为△ABC的外角∠ABE的平分线．（1)求证：AD＋CD>AB＋BC；（2）若AD＝CD，求证：∠ADC＝∠ABC；（3）若AD＝CD，作DH⊥CE于H，若AB＝6，BC＝4，求BH的长．。

高斯奥数一年级上册含答案第7讲生活中的可能性

第七讲生活中的可能性前续知识点：一年级第一讲；XX模块第X讲后续知识点：X年级第X讲；XX模块第X讲阿瓜卡莉娅卡莉娅阿瓜把相应的人物换成红字标明的人物．把熊大玩偶换成一只普通熊玩偶即可．在任何情况下都会发生的事件，是“一定”会发生的事件；在任何情况下都不会发生的事件，是“不可能”发生的事件；在某种情况下会发生，而在其他情况下不会发生的事件，是“可能”发生的事件．【提示】“可能”跟“一定”有什么区别？判断：“一定”的画“√”，“不可能”的画“×”，“可能”的画“○”．世界上每天都有人出生．三天后下雨．太阳从西边升起．我从出生到现在，没吃过一点儿东西．吃饭时，人用左手拿筷子．地球每天都在转动．例题1哪个盒子里一定能摸到红球？哪个盒子里不可能摸到绿球？哪个盒子里可能摸到蓝球？A B C练习1【提示】图形的数量和摸到的可能性有什么关系？按要求涂一涂．例题3 看图回答问题．摸到什么颜色球的可能性最小？摸到什么颜色球的可能性最大？可能摸出：摸出的不可能是◆：例题2按要求涂一涂．摸出的一定是●：摸出的可能是▲：练习2【提示】球的数量和摸到的可能性有什么关系？在下图的扑克牌中摸一张．摸到哪种花色的牌的可能性最大呢？在可能性最大的花色下面的括号中画“√”．【提示】总挑不到他要的水果说明什么？小敏准备联欢会的抽奖箱，每张奖券上画着一个符号．有24张画❀的、13张画☆的和1张画☀的．请将相应奖项和奖券连线．一等奖二等奖三等奖❀ ☆☀水果篮里面装有多种水果，有雪梨、苹果和香瓜，数量分别是23个、17个和2个．小熊挑水果吃，它多次取出水果又放回，总挑不到它要的水果，你知道小熊要吃哪种水果吗？例题4♠ ♥ ♣ ♦（）（）（）（）练习3练习4数量越多，可能性越大；反之，数量越少，可能性越小．如果题目中没有告诉我们具体的数量，我们就要先进行计算，再比较数量多少，从而判断可能性大小．【提示】每种彩票分别剩下多少？例题5彩票站设有5个一等奖，10个二等奖，15个三等奖．丁丁购买时已经出现了2个一等奖，8个二等奖，9个三等奖，如果丁丁能够中奖，那么她中几等奖的可能性最大呢？例题6 从下面6个箱子里，分别摸出一个球，结果是哪个？用线连一连．不可能是绿色的球一定是蓝色的球不可能是蓝色的球蓝色的球可能性很小蓝色的球可能性很大【提示】逐一分析每个箱子，分别做判断即可．一天，阿凡提骑着毛驴，驮着和富人打赌赢来的一袋金币往回走，路上碰见了巴依老爷．巴依老爷听说阿凡提赢了一袋金币，就指挥他的仆人拦住了阿凡提，蛮不讲理地说：“阿凡提，如果你能做到我的一个要求，我就让你把金币带回家去．否则，你别想占便宜，拿了别人的金币就走!”阿凡提看了看巴依老爷，胸有成竹地说：“好吧，把你的要求说出来．”巴依老爷不怀好意地说：“阿凡提，你把袋子里的金币全部抛向空中，落地后金币朝上的要全部都是正面．不然的话，你就别想拿走金币，金币就要全部归我所有!”阿凡提想了想，说道：“好吧．”你知道阿凡提用了什么办法吗？阿凡提抛金币课外阅读作业1. 判断：“一定”的画“√”，“不可能”的画“×”，“可能”的画“○”．（1）公鸡长期在水中生活．（）（2）花是香的．（）（3）月球绕着地球转．（）（4）公鸡下蛋．（）（5）每个星期有7天．（）2. 按要求涂一涂．3. 盒子里面放了9只红色袜子，1只蓝色袜子，从中任取一只，摸到什么颜色袜子的可能性大？4. 超市举行幸运大抽奖活动，抽奖转盘如图，转到几等奖的可能性最大？摸出的可能是★：不可能摸出♡：5. 小伟去买彩票，一等奖有2个，二等奖有10个，三等奖有15个．小伟购买时已经出现了1个一等奖，2个二等奖，9个三等奖．小伟中几等奖的可能性最大？第七讲生活中的可能性1. 例题1答案：B ；B 、C ；A 、C 详解：A 中有红球、蓝球和绿球，所以可能摸到3种颜色的球；B 中只有红球，所以一定摸到红球；C 中有红球、蓝球，没有绿球，所以可能摸到红球、蓝球，不可能摸到绿球． 2. 例题2答案：详解：摸出的可能是▲，则至少有一个▲即可（答案不唯一）；摸出的一定是●，则需要全部是●． 3.例题3答案：蓝；黄详解：第一个图中可以看出有4个红球、3个黄球和1个蓝球，数量越少摸到的可能性就越小，所以摸到蓝球的可能性最小；第二个图中可以看出有4个黄球、2个蓝球和2 个红球，数量越多摸到的可能性就越大，所以摸到黄球的可能性最大． 4.例题4答案：香瓜详解：三种水果中，香瓜的数量最少，被小熊抽到的可能性最小，小熊多次取出又放回，说明它想吃的水果抽到的可能性最小，所以小熊要吃香瓜． 5.例题5答案：三等奖详解：丁丁购买时还剩下一等奖：523-=（个），二等奖：1082-=（个），三等奖：1596-=（个）．三等奖剩下的最多，所以中三等奖的可能性最大． 6.例题6 答案：7. 练习1答案：简答：根据常识进行判断即可．8. 练习2答案：世界上每天都有人出生．三天后下雨．太阳从西边升起．我从出生到现在，没吃过一点儿东西．吃饭时，人用左手拿筷子．地球每天都在转动． √ × ○√× ○不可能是绿色的球一定是蓝色的球不可能是蓝色的球蓝色的球可能性很小蓝色的球可能性很大简答：摸出的不可能是◆，则全部是◇即可；可能摸出●，则至少有一个●即可（答案不唯一）．9. 练习3答案：♠简答：♠有3张，♥有0张，♣有1张，♦有2张．所以摸到♠的可能性最大．10. 练习4答案：简答：三种奖券中，画☀的数量最少，则为一等奖，画❀的数量最多，则为三等奖，剩下的为二等奖．11. 作业1答案：（1）×；（2）○；（3）√；（4）×；（5）√简答：根据生活常识判断即可．12. 作业2答案：★ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥简答：（1）摸出的可能是★，则只要有★且不全是★即可．（答案不唯一）（2）不可能摸出♡，则全部为♥即可．13. 作业3答案：红色简答：红色袜子有9只，蓝色袜子有1只，摸到红色袜子的可能性大．一等奖二等奖三等奖14.作业4答案：幸运简答：通过观察可以发现抽奖转盘中幸运奖占得地方比较大，所以抽中幸运奖的可能性最大．15.作业5答案：二简答：根据题意，一等奖剩下1个，二等奖剩下8个，三等奖剩下6个，二等奖剩下的最多，所以小伟中二等奖的可能性最大．。

奥数一年级教案第7讲[1].基础班.教师版

图形变变变图形与图形之间都存在着许多的内在联系，在这节课中我们的主要目的就是通过对不同图形进行切割，拼组让学生感知到图形之间的变化．让学生通过观察、动手实际操作来找到不同的剪拼方法，通过折一折、画一画、拼一拼的方式，来培养学生的动手能力和空间想象能力．这节课中每种图形的剪拼方法并不唯一，老师要激发学生探究的欲望，鼓励学生用多种方法来解决问题，这样才能更好的发现图形之间的内在联系．1、教学点为各位老师提供了本节课挂图．2、第六次课时，提前通知学生准备本节课学具．图形变变变【教学思路】课前先让学生动手摆一摆，然后再进行交流．在这5块积木中，如果用2号、3号、4号、5号这四块，就可以拼成一个正方形．但是要加上1号又应该怎么拼呢？我们可以把1号放在中间，然后把2、3、4、5包围在四周，具体拼法如下：小朋友们，你想不想成为一个奇妙的魔术师呢？今天这节课就让我们进入美妙的图形王国，那里有很多有趣的图形，正等着大家用魔幻的双手来让它们变化，现在就让我们一起去动手试一试吧！晚饭后，小牛哥哥和小牛弟弟玩拼图游戏．哥哥拿出5块积木(如下图)，让弟弟把这5块木板拼成一个正方形．聪明的弟弟很快就拼好了．小朋友，你知道他是怎样拼的吗？动手试一试．请把下图中的正方形分成形状相同、大小相等的四块，然后再拼成一个等腰三角形．【教学思路】把一个正方形的对角重合对折两次，如下图（1），就可以把一个正方形分成形状、大小相等的四个直角三角形．剪出这四个三角形，然后动手拼一拼，可拼成一个等腰三角形，如下图（2）．（1）（2）把下面这个等腰梯形剪成大小一样的三块，怎样剪？【教学思路】题目要求我们剪一剪，其实可以通过画一画的方法画出你是怎么剪的就行了．这道题的方法如右上图：请用八个等腰直角三角形拼成一个大正方形．【教学思路】让学生动手摆一摆，培养学生的动手操作能力，具体操作如下图：该怎样裁剪？怎样拼呢？【教学思路】要想把两块一样大小的正方形，剪拼成一个最大的正方形，我们可以把这两个小正方形对折，然后剪出四个大小一样的三角形，这四个三角形就可以拼成一个最大的正方形．如下图：有一张纸，被分成大小相等的16个方格．请你沿着方格纸的边把这张纸剪成两部分，使得这两部分正好可以拼成一个正方形．该怎样剪拼呢？（中间空白是空的）【教学思路】数一数一共16个方格，要想剪成两部分拼成一个正方形，这个正方形每条边就应该是4个方格．如下图，第一层有7个方格，我们可以剪掉3个；补到第二层上正好是四个；再把第二层上右边多的一个补到第三层也正好是4个，把第三层上剪出4个放到第四层，这样就拼出了一个正方形．沿粗线剪开：变成下面两部分：拼成正方形：动动手：用下面左边的3个图形，拼成右边的大正方形．【教学思路】这道题老师可以先准备好教具让学生摆一摆，然后再让学生把答案画出来．答案有以下几种，其实我们可以发现这几种方法基本相同，只是方位发生了变化．请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“中国加油”这四个字中的一个，该怎么剪？【教学思路】数一数，这个长方体一共有28个小方块，要把它分成大小一样的4块，每块应该有7块小方块．因为这四块中每块还必须有一个字，通过尝试沿下面的粗线剪开就可到了答案．沿粗线剪开：分成大小一样的四块：【教学思路】方法1：先把这个图形分成一样的8个小正方形，然后沿折线剪开，就可以拼成右边的图形．方法2：先把这个图形分成一样的4个小长方形，然后沿折线剪开，就可以拼成右边的图形方法1方法2拓展与提高有一天，小动物们在草地上做游戏．小象齐齐看到了一大张纸，是一个正方形缺了一部分，齐齐想：这个图形如果剪一剪、拼一拼，成为一个正方形的框(中间含有一个正方形的空缺)就可以用来当野餐的餐桌了．可是该怎么剪、怎么拼才能符合要求呢？（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用．）下图所示这块木料可看成由五个小正方形组成．聪明的木工只锯了两次，就拼出了一个正方形桌面．想一想，他是怎样锯、怎样拼的？下面的正方形中共有12个数，请你先算一算它们的和，再把这个大正方形剪成形状、大小都相同的两块，使每块内6个数加起来的和是39．【教学思路】首先我们可以把这个正方形平均分成两份，变成两个长方形，如下图：第一个长方形里面的数相加：11012736847++++++=，第二个长方形里面的数相加：29115431++++=，如果把第一个长方形里面的8，放到第二个长方形中，两边数字的和都是39，并且都是6个数字．但是如果把8分给右边的长方形，两个图形的形状就不相同，这时我们就得想办法使两个图形的形状相同，如下图：沿着中间的粗线剪开，就变成了两个大小一样的图形，计算可知：左边=1101273639+++++=．两边得数相等符合题意．+++++=，右边=829115439最后老师可把剪下的这两块，拿给学生比一比验证大小形状是否一样．请把下图中长方形分成形状相同、大小相等的两块，然后再拼成一个正方形．【教学思路】数一数，这个长方形一共有36块小方块，要剪拼成一个正方形，这个正方形每边应该有6个小方块．具体操作如下图：1．把下面的正方形剪成大小、形状都一样的四块，但是不能剪成四个正方形、长方形或三角形，应该怎样剪？【答案】答案不唯一，以下提供几种思考．2．把一个三边都相等的三角形剪成4个形状、大小都相同的三角形，该怎么剪？【答案】具体操作如右上图：3．把下图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？【答案】具体操作如右上图：4．你能把下面的三块图形拼成一个长方形吗？【答案】具体操作如下：5．把下面这个长方形沿格线剪成大小相等、形状相同的四块，使每块内都含有“我爱北京”这四个字中的一个字，该怎样剪呢？【答案】沿下面的粗线剪开，就得到了大小相等、形状相同的四块，并且每块内都含有“我爱北京”这四个字中的一个字，有一样东西，你只能用左手拿它，右手却拿不用什么办法能使眉毛长在眼睛下面？到，这是什么东西？小丽明明知道问题的答案，为什么还不断地去人能登上珠穆朗玛峰，有一个地方却永问其他同学呢？远登不上去，那是什么地方？强强跑赛得了第一名，为什么还不高兴呢？某个人到外国去了，可是周围全是中国人，这是怎么回事？【答案】（1）右手；（2）倒立；（3）她在考别人；（4）自己的头顶；（5）倒数第一名；（6）是外国人来到了中国．篮球运动起源于1891年，由美国的体育教师詹姆士·奈史密斯博士发明。

2018版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数I 第7讲函数图象理

第7讲函数图象一、选择题1．函数y ＝|x |与y ＝x 2＋1在同一坐标系上的图像为( )解析因为|x |≤x 2＋1，所以函数y ＝|x |的图像在函数y ＝x 2＋1图像的下方，排除C 、D ，当x →＋∞时，x 2＋1→|x |，排除B ，故选A. 答案 A2．函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )．A ．2B ．4C ．6D ．8解析此题考查函数的图象、两个函数图象的交点及函数的对称性问题．两个函数都是中心对称图形．如上图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在[－2,4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8. 答案 D3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x －tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2，若实数x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0<t <x 0，则f (t )的值( )．A ．大于1B ．大于0C ．小于0D ．不大于0解析分别作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 与y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象，得到0<x 0<π2，且在区间(0，x 0)内，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x的图象位于函数y ＝tan x 的图象上方，即0<x <x 0时，f (x )>0，则f (t )>0，故选B. 答案 B4．如图，正方形ABCD 的顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，顶点C 、D 位于第一象限，直线l ：x ＝t (0≤t ≤2)将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f (t )，则函数S ＝f (t )的图象大致是( )．解析当直线l 从原点平移到点B 时，面积增加得越来越快；当直线l 从点B 平移到点C 时，面积增加得越来越慢．故选C.答案 C5．给出四个函数，分别满足①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， ②g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，③h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，④m (x ·y )＝m (x )·m (y )．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是( )A ．①甲，②乙，③丙，④丁B ．①乙，②丙，③甲，④丁C ．①丙，②甲，③乙，④丁D ．①丁，②甲，③乙，④丙解析图象甲是一个指数函数的图象，它应满足②；图象乙是一个对数函数的图象，它应满足③；图象丁是y ＝x 的图象，满足①. 答案 D6．如右图，已知正四棱锥S －ABCD 所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE ＝x (0<x <1)，截面下面部分的体积为V (x )，则函数y ＝V (x )的图象大致为( )．解析 (1)当0<x <12时，过E 点的截面为五边形EFGHI (如图1所示)，连接FI ，由SC 与该截面垂直知，SC ⊥EF ，SC ⊥EI ，∴EF ＝EI ＝SE tan 60°＝3x ，SI ＝2SE ＝2x ，IH ＝FG ＝BI ＝1－2x ，FI ＝GH ＝2AH ＝2 2x ，∴五边形EFGHI 的面积S ＝FG ×GH ＋12FI ×EF 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12FI 2＝22x －32x 2，∴V (x )＝V C －EFGHI ＋2V I －BHC ＝13(22x －32x 2)×CE ＋2×13×12×1×(1－2x )×22(1－2x )＝2x 3－2x 2＋26，其图象不可能是一条线段，故排除C ，D. (2)当12≤x <1时，过E 点的截面为三角形，如图2，设此三角形为△EFG ，则EG ＝EF ＝EC tan 60°＝3(1－x )，CG ＝CF ＝2CE ＝2(1－x )，三棱锥E －FGC 底面FGC 上的高h ＝EC sin 45°＝22(1－x )， ∴V (x )＝13×12CG ·CF ·h ＝23(1－x )3，∴V ′(x )＝－2(1－x )2，又显然V ′(x )＝－2(1－x )2在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，V ′(x )<0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴函数V (x )＝23(1－x )3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，且递减的速率越来越慢，故排除B ，应选A. 答案 A 二、填空题7．函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________．解析函数y ＝11－x ＝－1x －1和y ＝2sin πx 的图象有公共的对称中心(1,0)，画出二者图象如图所示，易知y ＝11－x与y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象共有8个交点，不妨设其横坐标为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，且x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7<x 8，由对称性得x 1＋x 8＝x 2＋x 7＝x 3＋x 6＝x 4＋x 5＝2，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＋x 8＝8. 答案 88．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．解析作出函数y ＝log 2(－x )及y ＝x ＋1的图象．其中y ＝log 2(－x )与y ＝log 2 x 的图象关于y 轴对称，观察图象(如图所示)知－1<x <0，即x ∈(－1,0)．也可把原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧－x >0，－x <2x ＋1后作图．答案 (－1,0)9．设f (x )表示－x ＋6和－2x 2＋4x ＋6中较小者，则函数f (x )的最大值是________．解析在同一坐标系中，作出y ＝－x ＋6和y ＝－2x 2＋4x ＋6的图象如图所示，可观察出当x ＝0时函数f (x )取得最大值6.答案 6 10.已知函数f(x)=(12)x的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=x 对称，令h(x)=g(1-|x|)，则关于h(x)有下列命题： ①h(x)的图象关于原点对称； ②h(x)为偶函数； ③h(x)的最小值为0； ④h(x)在(0，1)上为减函数.其中正确命题的序号为_________.(将你认为正确的命题的序号都填上) 解析 g(x)= 12log x,∴h(x)= 12log (1-|x|),∴h(x)= ()()1212log 1x 1x 0,log 1x 0x 1+-<≤⎧⎪⎨-<<⎪⎩，，得函数h(x)的大致图象如图，故正确命题序号为②③.答案 ②③ 三、解答题11．讨论方程|1－x |＝kx 的实数根的个数．解设y ＝|1－x |，y ＝kx ，则方程的实根的个数就是函数y ＝|1－x |的图象与y ＝kx 的图象交点的个数．由右边图象可知：当－1≤k <0时，方程没有实数根；当k ＝0或k <－1或k ≥1时，方程只有一个实数根；当0<k <1时，方程有两个不相等的实数根．12．设函数f (x )＝x ＋1x的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标．解析 (1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点为P ′(4－x,2－y )，代入f (x )＝x ＋1x，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4，消去y得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0，Δ＝(m ＋6)2－4(4m ＋9)， ∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点， ∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．13．当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围．解设f1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2) 时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 的下方即可．当0<a <1时，综合函数图象知显然不成立．当a >1时，如图，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log a 2≥1， ∴1＜a ≤2.∴a 的取值范围是(1,2]14．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象并判断其零点个数； (3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集；(5)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有三个不相等的实根}．解 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)∵f (x )＝x |m －x |＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －，x ≥4，－x x －，x <4.∴函数f (x )的图象如图：由图象知f (x )有两个零点．(3)从图象上观察可知：f (x )的单调递减区间为[2,4]． (4)从图象上观察可知：不等式f (x )>0的解集为：{x |0<x <4或x >4}．(5)由图象可知若y ＝f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则0<m <4，∴集合M ＝{m |0<m <4}．。

高考数学一轮复习第七章第七讲抛物线课件

解析：如图 D81，分别过 P，Q 两点作准线 x＝－2p的垂线，
垂足分别为 P1，Q1.分别过 P，Q 两点ห้องสมุดไป่ตู้ x 轴
的垂线，垂足分别为 P2，Q2.准线 x＝－p2交
x 轴于点 D－p2，0.
∵|PP1|＝|PF|＝4，|FP2|＝12|PF|＝2，
图 D81
∴|DF|＝|DP2|－|FP2|＝4－2＝2. ∵|FQ2|＝21|QF|＝12|QQ1|， ∴|DF|＝|QQ1|＋|FQ2|＝23|QF|. ∴32|QF|＝2，|QF|＝43. 答案：34
A.直线 AB 的斜率为 2 6 B.|OB|＝|OF| C.|AB|＞4|OF| D.∠OAM＋∠OBM＜180°
解析：如图 7-7-5，
图 7-7-5 ∵Fp2，0，M(p，0)，且|AF|＝|AM|，
∴A34p， 26p，由抛物线焦点弦的性质可得 xA·xB＝p42，则 xB＝p3，
则 Bp3，－ 36p，
F0，－p2 y≤0，x∈R
(续表) 准线方程开口方向
焦半径通径长
x＝－p2 向右 x0＋p2
x＝p2 向左－x0＋2p
2p
y＝－p2 向上 y0＋p2
y＝p2 向下－y0＋2p
【名师点睛】如图 7-7-1，设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
由yy＝ 2＝k4(xx－，1)，得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
得 xA·xB＝1，① 因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得 xA＋1＝2(xB＋1)，即 xA＝2xB＋1，② 由①②解得 xA＝2，xB＝21，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝29. 答案：B

苏科版数学七年级下册第七章平面图形认识第一节 7.1探索直线平行的条件课件 17张ppt

线被哪一条直线截成的同位角?
A
4.如图,∠1=∠2,直线AB、CD平行吗？
说明你的理由.
D 21 E
A E1 C
3
3
B
FC
(第1题)
B 2F D
(第2题)
议一议如图,直线a、b被直线c所截,∠2＝∠3,直线a与直线b平
行吗?为什么? 解:因为∠1与∠3是对顶角,
c
1
3
b
2
a
所以∠1=∠3.理由是:对顶角相等. 这样由∠1=∠3、∠2=∠3,可得∠1=∠2. 因为∠1=∠2，所以a∥b.
7.1 探索直线平行的条件
生活中的平行线：思考交流你能找出它们的共同点吗？生活中还有哪些平行线？
平行线的介绍
1.在同一平面内,两条直线的位置关系是:相交或平行.
2.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线. 3.如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
知识回顾我们通常用“//”表示平行.
试说明理由. 8.如图,回答下列问题: (1)∠1与∠2互为什么角?
(第5题)
a
1
b 2
(第6题) c
(2)∠1与∠2可能相等吗?试说明理由.
作业：完成课时作业本相应习题. 要求：字迹工整，表述科学.
图中的∠1与∠2这样的一对角称为：同位角. 实践告诉我们一个基本事实：同位角相等,两直线平行.
同位角的介绍图中的∠1与∠2这样的一对角称为:同位角.
同位角是F 形状
如图:两条直线a、b被第三条直线c所截而成的 8个角中,在两条被截线的同侧,在截线的同旁, 这样的一对角称为同位角.
同位角的特点： ①必须是两直线被第三条直线所截成的角; ②没有公共端点;③在第三条直线同旁; 注意:同位角不一定相等.

2022届新教材高考数学一轮复习第7章7.1基本立体图形直观图表面积和体积课件新人教A版

体叫做棱锥
记作棱锥 S-ABCD 记作棱台 ABCD-A'B'C'D'
名称棱柱
底面:两个互相平行
的面;
侧面:底面以外的其
相关余各面;
概念侧棱:相邻侧面的公
共边;
顶点:侧面与底面的
公共顶点
棱锥
棱台
底面:多边形面; 上底面:平行于原棱锥底
侧面:有公共顶
面的截面;
点的各个三角
下底面:原棱锥的底面;
④过任意两条母线
的截面是矩形
圆锥
①圆锥有无数条母线,
它们有公共点即圆锥
的顶点,且长度相等.
②平行于底面的截面
都是圆.
③过轴的截面是全等
的等腰三角形.
④过任意两条母线的
截面是等腰三角形
圆台
①圆台有无数条母
线,且长度相等,延
长后相交于一点.
②平行于底面的截
面是圆.
③过轴的截面是全
等的等腰梯形.
④过任意两条母线
2.紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建
S 圆锥侧=πrl
S 圆台侧=π(r1+r2)l
6.柱、锥、台、球的表面积与体积公式
几何体
表面积
柱体(棱柱和圆柱)
S 表面积=S 侧+2S 底
锥体(棱锥和圆锥)
台体(棱台和圆台)
球
体积
V= Sh
1
Sh
3
S 表面积=S 侧+S 底
V=
S 表面积=S 侧+S 上+S 下
1
V= (S
3
S= 4πR
2
V=
吗?
不一定,因为“其余各面都是平行四边形”并不等价于“相邻两个四边形的

人教版春季四年级第七讲三角形(一) 提升版-教培星球

第7讲三角形（一）知识点一：三角形的特性1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。

2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。

三角形只有3条高。

重点：三角形高的画法：一落二移三画四标3、三角形具有稳定性。

如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。

4、三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边。

三角形任意两边之差小于第三边。

两边之差〈第三边〈两边之和。

判断三条线段能不能组成三角形，只要看最短的两条边的和是不是大于第三条边。

5、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。

知识点二：三角形的分类1、按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。

2、按照边长短来分：三边不等的△，三边相等的△,等腰△（等边三角形或正三角形是特殊的等腰△）。

3、等边△的三边相等，每个角是60度。

（顶角、底角、腰、底的概念）4、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。

5、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

6、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。

7、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。

8、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

9、三条边都相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。

10、等边三角形是特殊的等腰三角形考点1：三角形的特性【典例1】（桐梓县期末）下面每组中三条线段，不能围成三角形的是（）A．5m、7m、9m B．7dm、5dm、ldmC．4cm、8cm、5cm【典例2】（桐梓县期末）下面形状中具有稳定性的是（）A．B．C．【典例3】（峄城区期末）把一根13厘米的小棒截成3根整厘米的小棒围成一个三角形．最长的一根小棒不能超过（）厘米．【典例4】（浦城县期末）动物王国举行围篱笆比赛，（）围的比较牢固．A．小熊B．公鸡C．小狗【典例5】（鄄城县期末）爷爷要给一块地围上篱笆，（）形状的篱笆稳固不易变形．A．B．C．D．【典例6】（微山县期末）下面三种物品，利用了三角形稳定性的是（）A．三角形花坛B．红领巾C．自行车的三角形车架考点2：三角形的分类【典例1】（邛崃市期末）如图中是锐角三角形．【典例2】（梁子湖区期末）在图中，一共有个钝角三角形，6个直角三角形，个等腰三角形，个等边三角形．【典例3】（灌阳县期末）红领巾按角分类属于三角形，按边分类属于三角形．．【典例4】（洪山区期末）三角形如果有两个角是锐角，就一定是锐角三角形．．（判断对错）综合练习一．选择题1．（宁化县期中）任意一个三角形中，（）有两个锐角。

2021七年级数学考点01 图形的认识(1)(线段、射线、直线)

考点01 图形的认识（1）（线段、射线、直线）知识框架⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩直线相关概念线段相关概念射线相关概念直线、射线、线段的区别与联系直线、射线、线段基本概念直线、射线、线段的实际生活中的应用作图问题利用线段解决计数问题与线段有关的计算问题实际背景下的计算问题分类讨论思想在计算中的运用线段中的动态基础知识点重难问点题型题基础知识点知识点1-1直线相关概念1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述．2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB (或直线BA )．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线l ．3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸．（2）直线没有粗细．（3）两点确定一条直线．（4）两条直线相交有唯一一个交点．4.点与直线的位置关系：（1）点在直线上，如图3所示，点A 在直线m 上，也可以说：直线m 经过点A ．（2）点在直线外，如图4，点B 在直线n 外，也可以说：直线n 不经过点B ．1．（2021·浙江）木工师傅用刨子可将木板刨平，如图，经过刨平的木板上的两个点，而且只能弹出一条墨线，其数学原理为___________．2．（2021·浙江浙江省·七年级期末）若两直线相交，最多1个交点；三条直线相交最多有3个交点；四条直线相交最多有6个交点，像这样的十条直线相交最多的交点个数为（）A．36个B．45个C．50个D．55个3．（2021·广西覃塘区·七年级期末）平面上有6个点，其中任意3个点都不在同一条直线上，若经过每两点画一条直线，则一共可以画出的直线条数是________．4．（2021·偃师市实验中学初一月考）按下所语句画图:点M在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，直线a，b，c两两相交，下图中正确的是（）A．B．C．D．5．（2020·浙江杭州市·七年级期末）如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，如果在一条至少有两颗棋子的直线（包括图中没有画出的直线）上只有颜色相同的棋子，我们就称“同棋共线”．图中“同棋共线”的线共有（）A．12条B．10条C．8条D．3条6．（2021·绵阳市七年级课时练习）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空：（1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有______个交点，4条直线相交最多有______个交点，……，像这样，8条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点：（2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成______部分，4条直线最多把平面分成______部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成______部分，n条直线最多把平面分成______部分．知识点1-2线段相关概念1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段．2.表示方法：（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA．（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a．3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．如图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的．注：（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短．（2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．（3）线段的比较：①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．①叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图所示，点C是线段AB的中点，则12AC CB AB==，或AB＝2AC＝2BC．若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．1．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·）A，B两点间的距离是指（）A ．过A ，B 两点间的直线 B ．连接A ，B 两点间的线段C ．直线AB 的长D ．连接A ，B 两点间的线段的长度2．（2021·浙江台州市·中考真题）小光准备从A 地去往B 地，打开导航、显示两地距离为37.7km ，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km ，50km ，51km （如图）．能解释这一现象的数学知识是（）A ．两点之间，线段最短B ．垂线段最短C ．三角形两边之和大于第三边D ．两点确定一条直线3．（2021·浙江衢州市·七年级期末）如图，根据“两点之间线段最短”，可以判定AC +BC ___AB （填“＞”“＜”或“＝”）．4．（2021·浙江衢州市·七年级期末）杭衢高铁线上，要保证衢州、金华、义乌、诸暨、杭州每两个城市之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（）A ．20种B ．15种C ．10种D ．5种5．（2021·浙江浙江省·七年级期末）如图，已知A B C D E 、、、、五点在同一直线上，点D 是线段AB 的中点，点E 是线段BC 的中点，若线段12AC =，则线段DE 等于（）A ．6B ．7C ．8D ．96．（2021·浙江浙江省·）已知 A B C 、、三点在同一条直线上，且线段4cm,6cm AB BC ==，点D E 、分别是线段AB BC 、的中点点F 是线段DE 的中点，则BF =_______cm ． 7．（2021·浙江浙江省·七年级期中）如图，点M 为线段AB 的中点，C 为线段MB 上的任意一点（不与点M ，B 重合）．在同一直线上有一点N ，若1223CN AC <<，则（）A ．点N 不能在射线AP 上B ．点N 不能在线段AM 上C ．点N 不能在线段MB 上D ．点N 不能在射线BQ 上8．（2021·杭州市公益中学七年级月考）已知点C 在线段AB 上，AC ＝2BC ，点D 、E 在直线AB 上，点D 在点E 的左侧，（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；①当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式32AD ECBE+=，则CDAB＝．9．（2021·广东光明区·）定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的12，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为﹣1，0，2，满足AB＝12BC，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示．（1）A，B，C三点中，点是点M，N的“倍分点”；（2）若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数有个，分别是；（3）若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数．知识点1-3射线相关概念1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点．如图所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点．l2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长．3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l．注：(1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图中射线OA，射线OB是不同的射线．(2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线．1．（2021·山西祁县·）日常生活中，手电筒发射出来的光线，类似于几何中的（）A．折线B．直线C．射线D．线段2．（2021·全国七年级课时练习）图中的直线a、射线b、线段c可以相交的是（）A．B．C．D．3．（2021·贵州贵阳市·七年级期末）如图，下面语句中不正确的是（）A．直线OA和直线AB是同一条直线B．射线OA和射线OB是同一条射线C．线段AB和线段BA是同一条线段D．射线OA和射线AB是同一条射线4．（2021·江西余干县·七年级期末）如图，下列说法正确的是（）A．图中有两条线段B．图中共有6条射线C．射线AB与射线BC是同一射线D．直线AC与直线BC不同5．（2021·河北丰宁满族自治县·）下列说法中正确的是（）A．画一条2厘米长的射线B．画一条2厘米长的直线C．画一条3厘米长的线段D．在线段、射线、直线中，直线最长知识点1-4直线、射线、线段的区别与联系1.直线、射线、线段之间的联系（1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线．（2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线．2．三者的区别如下表注：（1）联系与区别可表示如下：（2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样． 1．（2021·全国九年级专题练习）下列有关直线、射线、线段的说法，错误的是（） A ．直线没有端点 B ．两点确定一条直线 C ．射线是直线的一半长 D ．两点之间线段最短2．（2021·吉林吉林市·七年级期末）下列说法正确的是（）A ．直线AB 与直线BA 不是同一条直线 B ．射线AB 与射线BA 是同一条射线C ．延长线段AB 和延长线段BA 的含义一样D ．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 3．（2021·湖南涟源市·七年级期末）如图，下列语句描述正确的是（）A ．点O 在直线AB 上B ．点B 是直线AB 的一个端点C ．点O 在射线AB 上D ．射线AO 和射线OA 是同一条射线 4．（2021·北京交通大学附属中学七年级期末）下列说法错误的是（）A ．直线AB 和直线BA 是同一条直线 B ．若线段5AB =，3AC =，则BC 不可能是1 C ．画一条5厘米长的线段D ．若线段2AM =，2BM =，则M 为线段AB 的中点5．（2021·浙江杭州市·）已知线段10MN cm =，现有一点P 满足20PM PN cm +=．有下列说法；①点P必在线段MN上；①点P必在直线MN外；①点P必在直线MN上；①点P可能在直线MN上；①点P可能在直线MN外，其中正确的说法是（）A．①①B．①①C．①①D．①①①6．（2020·河北省初一期末）已知点A，B，C在同一条直线上，若线段AB=3，BC=2，AC=1，则下列判断正确的是（）A．点A在线段BC上B．点B在线段AC上C．点C在线段AB上D．点A在线段CB的延长线上重难点题型题型1 直线、射线、线段基本概念解题技巧：熟练掌握直线、射线、线段基本性质和概念。

一年级第7讲简单数图形(1)

简单数图形
1、学会用枚举法进行数图形，并能有序的数出并计算出图形个数； 2、掌握立体图形计数的方法； 3、培养学生的分析能力，并养成有序思考的习惯。
跳跳说，好久都没有出去野餐了，笨笨也说，是啊，最近我们都没有出去玩，不如我们去蘑菇森林野餐吧，也可以来一场蘑菇大餐，其他小伙伴们都觉得这个提议很好。于是，奇奇、笨笨、跳跳、乐乐和希博士准备好野餐需要带的东西就出发了，我们也一起去蘑菇森林里看看吧。
数一数，下面分别有多少个小正方体？
要搭成正方体，至少还缺几个小正方体？
要搭成较大的正方体，至少还缺几个小正方体？
连接下面这四个点，你能够画出多少条线段，并画出。
通过下面这五个点，你能够画出几条线段？请画出所有线段。
总结
1、我们在数数的时候，遵循不重复、不遗漏的原则，才能使数出的结果准确。分类数图形的方法能够帮助我们找到图形的规律从而有秩序、有条理并且正确地数出图形的个数。
2、在数数时，应养成顺序数数和分类数数的习惯，这对解决数数问题很重要。
3、在解决数图形问题时，可以首先认真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适当的方法，既可以逐个计数，也可以把图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数，再把他们的个数合起来。
3、数一数，下图中有几个三角形？
数一数，下面各图中分别有几条线段？几个角？几个三角形？
数一数，下面各图中分别有几条线段？几个角？你发现了什么？
下面的图形有几个小正方体？为什么？
下面的图形中有几个小正方体？
下图由3层正方形木块垒成的，求图中共有多少个小正方体？
( 7 )个 ( 12 )个 ( 10 )个
Байду номын сангаас
数一数，有多少个小正方体？你是怎么数的

高考数学一轮复习第8章解析几何第7讲抛物线

第七讲抛物线知识梳理·双基自测知识梳理知识点一抛物线的定义抛物线需要满足以下三个条件： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离__相等__； (3)定点F 与定直线l 的关系为__点F ∉l __．知识点二抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 离心率 e ＝__1__ 准线方程 __x ＝－p 2____x ＝p 2____y ＝－p 2____y ＝p 2__范围 x ≥0,y ∈R x ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈R y ≤0,x ∈R 开口方向向右向左向上向下焦半径 (其中P (x 0,y 0)) |PF |＝__x 0＋p2__|PF |＝__－x 0＋p2__|PF |＝__y 0＋p2__|PF |＝__－y 0＋p2__重要结论抛物线焦点弦的处理规律直线AB 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ,交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,如图．(1)y 1y 2＝－p 2,x 1x 2＝p 24． (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ,x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ,即当x 1＝x 2时,弦长最短为2p ． (3)1|AF |＋1|BF |＝2p． (4)弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．(5)以AB 为直径的圆与准线相切．(6)焦点F 对A ,B 在准线上射影的张角为90°． (7)A 、O 、D 三点共线；B 、O 、C 三点共线．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线,且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0,准线方程是x ＝－a4．( × ) (3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形．( × ) (4)AB 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2＝p24,y 1y 2＝－p 2,弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ．( √ )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径,那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a ．( √ )题组二走进教材2．(必修2P 69例4)(2021·甘肃张掖诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,如果x 1＋x 2＝6,则|PQ |等于( B )A ．9B ．8C ．7D ．6[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0),准线方程为x ＝－1．根据题意可得,|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8．3．(2021·河南郑州名校调研)抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( B ) A ．－1716B ．－1516C ．716D ．1516[解析] 由抛物线的方程y ＝－4x 2,可得标准方程为x 2＝－14y ,则焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫0，－116,准线方程为y ＝116,设M (x 0,y 0),则由抛物线的定义可得－y 0＋116＝1,解得y 0＝－1516．故选B ．题组三走向高考4．(2019·课标全国Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点,则p ＝( D ) A ．2 B ．3 C ．4D ．8[解析] ∵抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0, ∴椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的一个焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0, ∴3p －p ＝p 24,∴p ＝8．故选D ．5．(2020·新课标Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,则p ＝( C )A ．2B ．3C ．6D ．9[解析] A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等,故有：9＋p2＝12⇒p ＝6；故选C ．考点突破·互动探究考点一抛物线的定义及应用——多维探究角度1 轨迹问题例1 (1)动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切,且和直线x ＝1相切,则动圆圆心的轨迹是( D ) A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线[解析] 设动圆的圆心为C ,则C 到定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1的圆心的距离等于r ＋1,而动圆的圆心到直线x ＝1的距离等于r ,所以动圆到直线x ＝2距离为r ＋1,即动圆圆心到定点(－2,0)和定直线x ＝2的距离相等,根据抛物线的定义知,动圆的圆心轨迹为抛物线,所以答案为D ．角度2 到焦点与到定点距离之和最小问题(2)①(2021·河北保定七校联考)已知M是抛物线x2＝4y上一点,F为其焦点,C为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心,则|MF|＋|MC|的最小值为(B)A．2 B．3C．4 D．5②(2021·山西运城联考)已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F,O为原点,点P是抛物线C的准线上的一动点,点A在抛物线C上,且|AF|＝4,则|P A|＋|PO|的最小值为(B)A．4 2 B．213C．313 D．4 6[解析]①设抛物线x2＝4y的准线方程为l：y＝－1,C为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心,所以C的坐标为(－1,2),过M作l的垂线,垂足为E,根据抛物线的定义可知|MF|＝|ME|,所以问题求|MF|＋|MC|的最小值,就转化为求|ME|＋|MC|的最小值,由平面几何的知识可知,当C,M,E在一条直线上时,此时CE⊥l,|ME|＋|MC|有最小值,最小值为|CE|＝2－(－1)＝3,故选B．②由抛物线的定义知|AF|＝y A＋p2＝y A＋2＝4,∴y A＝2,代入x2＝8y,得x A＝±4,不妨取A(4,2),又O关于准线y＝－2的对称点为O′(0,－4),∴|P A|＋|PO|＝|P A|＋|PO′|≥|AO′|＝(－4－2)2＋(0－4)2＝213,当且仅当A、P、O′共线时取等号,故选B．[引申]本例(2)①中,(ⅰ)|MC|－|MF|的最大值为__2__；最小值为__－2__；(ⅱ)若N为⊙C上任一点,则|MF|＋|MN|的最小值为__2__．角度3到准线与到定点距离之和最小问题(3)已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0,抛物线y2＝8x的准线为l,设抛物线上任意一点P到直线l的距离为d,则d＋|PC|的最小值为(A)A．41 B．7C．6 D．9[解析]由题意得圆的方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝4,圆心C的坐标为(－3,－4)．由抛物线定义知,当d＋|PC |最小时为圆心与抛物线焦点间的距离,即d ＋|PC |＝(－3－2)2＋(－4)2＝41．角度4 到两定直线的距离之和最小问题(4)(2021·北京人大附中测试)点P 在曲线y 2＝4x 上,过P 分别作直线x ＝－1及y ＝x ＋3的垂线,垂足分别为G ,H ,则|PG |＋|PH |的最小值为( B )A ．322B ．2 2C ．322＋1D ．2＋2[解析] 由题可知x ＝－1是抛物线的准线,焦点F (1,0),由抛物线的性质可知|PG |＝|PF |,∴|PG |＋|PH |＝|PF |＋|PH |≤|FH |＝|1－0＋3|2＝22,当且仅当H 、P 、F 三点共线时取等号,∴|PG |＋|PH |的最小值为22．故选B ．名师点拨利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线． (2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．(3)看到准线想焦点,看到焦点想准线,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．〔变式训练1〕(1)(角度1)到定点A (0,2)的距离比到定直线l ：y ＝－1大1的动点P 的轨迹方程为__x 2＝8y __． (2)(角度1)(2021·吉林省吉林市调研)已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ,点A (4,3),P 为抛物线上一点,且P 不在直线AF 上,则△P AF 周长取最小值时,线段PF 的长为( B )A ．1B ．134C ．5D ．214(3)(角度2)(2021·山西大学附中模拟)已知点Q (22,0)及抛物线y ＝x 24上一动点P (x ,y ),则y ＋|PQ |的最小值是__2__．(4)(角度3)(2021·上海虹口区二模)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1,抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为( C )A ．3716B ．115C ．2D ．74[解析] (1)由题意知P 到A 的距离等于其到直线y ＝－2的距离,故P 的轨迹是以A 为焦点,直线y ＝－2为准线的抛物线,所以其方程为x 2＝8y ．(2)求△P AF 周长的最小值,即求|P A |＋|PF |的最小值,设点P 在准线上的射影为D ,根据抛物线的定义,可知|PF |＝|PD |,因此,|P A |＋|PF |的最小值,即|P A |＋|PD |的最小值．根据平面几何知识,可得当D ,P ,A 三点共线时|P A |＋|PD |最小,此时P (94,3),且|PF |＝94＋1＝134,故选B ．(3)抛物线y ＝x 24即x 2＝4y ,其焦点坐标为F (0,1),准线方程为y ＝－1．因为点Q 的坐标为(22,0),所以|FQ |＝(22)2＋12＝3．过点P 作准线的垂线PH ,交x 轴于点D ,如图所示．结合抛物线的定义,有y ＋|PQ |＝|PD |＋|PQ |＝|PH |＋|PQ |－1＝|PF |＋|PQ |－1≥|FQ |－1＝3－1＝2,即y ＋|PQ |的最小值是2．(4)直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线,抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0),则点P 到直线l 2：x ＝－1的距离等于PF ,过点F 作直线l 1：4x －3y ＋6＝0的垂线,和抛物线的交点就是点P ,所以点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离和到直线l 2：x ＝－1的距离之和的最小值就是点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离,所以最小值为|4－0＋6|32＋42＝2,故选C ．考点二抛物线的标准方程——自主练透例2 (1)过点P (－3,2)的抛物线的标准方程为__y 2＝－43x 或x 2＝92y __．(2)焦点在直线x －2y －4＝0上的抛物线的标准方程为__y 2＝16x 或x 2＝－8y __,准线方程为__x ＝－4或y ＝2__．(3)如图,过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ,B ,C ,若|BC |＝2|BF |,且|AF |＝3,则抛物线的方程为( B )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92xD ．y 2＝9x[解析] (1)设所求抛物线的方程为y 2＝－2px (p ＞0)或x 2＝2py (p ＞0)． ∵过点(－3,2),∴4＝－2p ·(－3)或9＝2p ·2． ∴p ＝23或p ＝94．∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y ．(2)令x ＝0,得y ＝－2,令y ＝0,得x ＝4． ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,－2)．当焦点为(4,0)时,p2＝4,∴p ＝8,此时抛物线方程为y 2＝16x ；当焦点为(0,－2)时,p2＝2,∴p ＝4,此时抛物线方程为x 2＝－8y ．∴所求的抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y , 对应的准线方程分别是x ＝－4,y ＝2．(3)如图,分别过点A ,B 作准线的垂线,分别交准线于点E ,D ,设|BF |＝a ,则由已知得|BC |＝2a ,由定义得|BD |＝a ,故∠BCD ＝30°．在直角三角形ACE 中,∵|AE |＝|AF |＝3,|AC |＝3＋3a ,2|AE |＝|AC |, ∴3＋3a ＝6,从而得a ＝1．∵BD ∥FG ,∴|BD ||FG |＝|BC ||FC |,即1p ＝23,求得p ＝32,因此抛物线的方程为y 2＝3x ．名师点拨求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法,若焦点位置确定,因为未知数只有p ,所以只需一个条件确定p 值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量．一般焦点在x 轴上的抛物线的方程可设为y 2＝ax (a ≠0)；焦点在y 轴上的抛物线的方程可设为x 2＝ay (a ≠0)．〔变式训练2〕(1)(2021·重庆沙坪坝区模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ,过点(p,0)且垂直于x 轴的直线与抛物线C 在第一象限内的交点为A ,若|AF |＝1,则抛物线C 的方程为( A )A ．y 2＝43xB ．y 2＝2xC ．y 2＝3xD ．y 2＝4x(2)(2021·安徽蚌埠一中期中)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,其上的点P (m ,－3)到焦点的距离为5,则抛物线方程为( D )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝－4yD ．x 2＝－8y[解析] (1)由题意知x A ＝p ,又|AF |＝x A ＋p 2＝3p 2＝1,∴p ＝23,∴抛物线C 的方程为y 2＝43x ,故选A ．(2)由题意可知抛物线的焦点在y 轴负半轴上,故设其方程为x 2＝－2py (p ＞0),所以3＋p2＝5,即p ＝4,所以所求抛物线方程为x 2＝－8y ,故选D ．考点三抛物线的几何性质——师生共研例3 (1)(2021·广西四校联考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9,则该抛物线的焦点到准线的距离为( C )A ．4B ．9C ．10D ．18(2)(2021·四川眉山模拟)点F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点,过F 的直线交抛物线C 于A ,B 两点(点A 在第一象限),过A 、B 分别作抛物线C 的准线的垂线段,垂足分别为M 、N ,若|MF |＝4,|NF |＝3,则直线AB 的斜率为( D )A ．1B ．724C ．2D ．247[解析] (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0,准线方程为x ＝－p 2．由题意可得4＋p2＝9,解得p ＝10,所以该抛物线的焦点到准线的距离为10．故选C ．(2)由抛物线定义知|AM |＝|AF |,|BN |＝|BF |,∴∠AFM ＋∠BFM ＝360°－∠MAF －∠NBF2＝90°,∴∠MFN ＝90°, 又|MF |＝4,|NF |＝3, ∴|MN |＝5,∴p ＝|KF |＝|MF |·|NF ||MN |＝125, 又∠AFM ＝∠AMF ＝∠MFK ,∴k AB ＝tan(180°－2∠MFK )＝－2tan ∠MFK 1－tan 2∠MFK ＝－831－⎝⎛⎭⎫432＝247．故选D ．名师点拨在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．〔变式训练3〕(1)(2021·广东茂名五校联考)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1,0),过焦点的直线交抛物线于A 、B 两点,若|AF |＝4|BF |,则|AB |＝__254__．(2)(2021·湖北荆州模拟)从抛物线y 2＝4x 在第一象限内的一点P 引抛物线准线的垂线,垂足为M ,且|PM |＝9,设抛物线的焦点为F ,则直线PF 的斜率为( C )A ．627B ．1827C ．427D ．227[解析] (1)∵p2＝1,∴p ＝2,不妨设直线AB 方程为x ＝my ＋1, A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x x ＝my ＋1,得y 2－4my －4＝0, ∴y 1y 2＝－4,又|AF |＝4|BF |,∴y 1＝－4y 2, ∴y 2＝－1,从而x 2＝14,∴|BF |＝1＋14＝54,∴|AB |＝5|BF |＝254．(2)设P (x 0,y 0),由抛物线y 2＝4x , 可知其焦点F 的坐标为(1,0), 故|PM |＝x 0＋1＝9,解得x 0＝8, 故P 点坐标为(8,42), 所以k PF ＝0－421－8＝427．故选C ．考点四直线与抛物线的综合问题——师生共研例4 (1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 212－y 24＝1的一个焦点重合,直线y ＝x －4与抛物线交于A ,B 两点,则|AB |等于( B )A ．28B ．32C ．20D ．40(2)(2021·陕西师大附中期中)已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点,则弦AB 所在直线的方程是( B )A ．y ＝x －1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－x ＋2D ．y ＝－2x ＋3(3)(2021·湖南五市十校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0),直线y ＝x －1与C 相交所得的长为8． ①求p 的值；②过原点O 的直线l 与抛物线C 交于M 点,与直线x ＝－1交于H 点,过点H 作y 轴的垂线交抛物线C 于N 点,求证：直线MN 过定点． [解析] (1)双曲线x 212－y 24＝1的焦点坐标为(±4,0),故抛物线的焦点F 的坐标为(4,0)．因此p ＝8,故抛物线方程为y 2＝16x ,易知直线y ＝x －4过抛物线的焦点．设A 、B 两点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝16x ，y ＝x －4，可得x 2－24x ＋16＝0,故x 1＋x 2＝24．故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝24＋8＝32．故选B ．(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∴y 1＋y 2＝2,由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1y 22＝4x 2,知k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2, ∴AB 的方程为y －1＝2(x －1),即2x －y －1＝0,故选B ．(3)①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px y ＝x －1,消x 可得y 2－2py －2p ＝0,∴y 1＋y 2＝2p ,y 1y 2＝－2p ,∴弦长为1＋12·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2·4p 2＋8p ＝8,解得p ＝2或p ＝－4(舍去),∴p ＝2,②由①可得y 2＝ 4x ,设M ⎝⎛⎭⎫14y 20，y 0, ∴直线OM 的方程y ＝4y 0x , 当x ＝－1时,∴y H ＝－4y 0, 代入抛物线方程y 2＝4x ,可得x N ＝4y 20, ∴N ⎝⎛⎭⎫4y 20，－4y 0, ∴直线MN 的斜率k ＝y 0＋4y 0y 204－4y 20＝4y 0y 20－4, 直线MN 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4⎝⎛⎭⎫x －14y 20,整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1), 故直线MN 过点(1,0)．名师点拨(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要将两方程联立,消元,用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上),可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ,若不过焦点,则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率问题一般用“点差法”求解．〔变式训练4〕(1)(2021·甘肃诊断)直线l 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点,且交抛物线于A ,B 两点,交其准线于C 点,已知|AF |＝4,CB →＝3BF →,则p ＝( C )A ．2B ．43C ．83D ．4(2)(2021·安徽皖南八校模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 到直线x －y ＋1＝0的距离为2． ①求抛物线C 的方程；②过点F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,交y 轴于点P ．若|AB →|＝3|BP →|,求直线l 的方程．[解析] (1)过A ,B 分别作准线的垂线交准线于E ,D 两点,设|BF |＝a ,根据抛物线的性质可知,|BD |＝a ,|AE |＝4,根据平行线段比例可知|BD ||AE |＝|CB ||AC |, 即a 4＝3a 3a ＋a ＋4,解得a ＝2, 又|BD ||GF |＝|BC ||CF |,即a p ＝3a 4a, 解得p ＝43a ＝83,故选C ．(2)①由抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0),可得焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0,因为焦点到x －y ＋1＝0的距离为2,即⎪⎪⎪⎪p 2＋12＝2,解得p ＝2,所以抛物线C 的方程y 2＝4x ．②由①知焦点F (1,0),设直线l ：y ＝k (x －1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ,整理得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0,所以x 1＋x 2＝2＋4k2, ① x 1x 2＝1,②又由|AB →|＝3|BP →|,得AB →＝3BP →,可得x 1＝4x 2,③ 由②③,可得x 1＝2,x 2＝12, 代入①,可得2＋4k 2＝52,解得k ＝±22, 所以直线l 的方程为22x － y －22＝0或22x ＋y －22＝0．名师讲坛·素养提升巧解抛物线的切线问题例5 (1)抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ．若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线,则p ＝( D )A ．316B ．38C ．233D ．433(2)(2019·新课标Ⅲ,节选)已知曲线C ：y ＝x 22,D 为直线y ＝－12上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B ．证明：直线AB 过定点．[解析] (1)抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2,双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为(2,0),两点连线的方程为y ＝－p 4(x －2),联立⎩⎨⎧ y ＝－p 4(x －2)，y ＝12p x 2，得2x 2＋p 2x －2p 2＝0．设点M 的横坐标为m ,易知在M 点处切线的斜率存在,则在点M 处切线的斜率为y ′⎪⎪⎪⎪x ＝m ＝⎝⎛⎭⎫12p x 2′x＝m ＝m p．又双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x 3±y ＝0,其与切线平行,所以m p ＝33,即m ＝33p ,代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0,得p ＝433或p ＝0(舍去)． (2)设D ⎝⎛⎭⎫t ，－12,A (x 1,y 1),则x 21＝2y 1,由于y ′＝x , ∴切线DA 的斜率为x 1,故y 1＋12x 1－t＝x 1, 整理得：2tx 1－2y 1＋1＝0．设B (x 2,y 2),同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0．故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0,即y －12＝tx ． ∴直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫0，12．名师点拨利用导数工具解决抛物线的切线问题,使问题变得巧妙而简单,若用判别式解决抛物线的切线问题,计算量大,易出错．注意：直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件,过抛物线外一点与抛物线只有一个公共点的直线有0条或3条；过抛物线上一点和抛物线只有一个公共点的直线有2条．〔变式训练5〕(1)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0),过点M ⎝⎛⎭⎫－p 2，0作C 的切线,则切线的斜率为__±1__． (2)已知抛物线x 2＝8y ,过点P (b,4)作该抛物线的切线P A ,PB ,切点为A ,B ,若直线AB 恒过定点,则该定点为( C )A ．(4,0)B ．(3,2)C ．(0,－4)D ．(4,1)[解析] (1)设斜率为k ,则切线为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋p 2代入y 2＝2px 中得k 2x 2＋p (k 2－2)x ＋k 2p 24＝0． Δ＝0,即p 2(k 2－2)2－4·k 2·k 2p 24＝0．解得k 2＝1,∴k ＝±1．(2)设A ,B 的坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2),∵y ＝x 28,y ′＝x4,∴P A ,PB 的方程y －y 1＝x 14(x －x 1),y －y 2＝x 24(x －x 2),由y 1＝x 218,y 2＝x 228,可得y ＝x 14x －y 1,y ＝x 24x －y 2,∵切线P A ,PB 都过点P (b,4),∴4＝x 14×b －y 1,4＝x 24×b －y 2,故可知过A ,B 两点的直线方程为4＝b4x －y ,当x ＝0时,y ＝－4,∴直线AB 恒过定点(0,－4)．故选C ．。

七年级数学上册第7章7.1几何图形(1)课件浙教版

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1
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4
3
7
问题1
七巧板的七块板分别是什么形状?
探究七巧板是我们祖先的一项卓越创造,在19世纪
活动
曾极为流行,七巧板虽然只有七块板组成,但用它们可以拼出人,动物,交通工具等各种图形.
问题2 能用七巧板拼出下图吗?
长征2号F型火箭
考一考
现在给定你图形：两个圆、两个三角形、两条线段
尽可能多的构思独特而有意义的图形，并写上贴切诙谐的解说词，你能想出几个？
如图，下列各几何图形哪些表示平面图形？哪些表示立体
图形？
画立体
几何时
，我们
常把被
（1）
（2）
（3）
遮挡的轮廓线
画成虚
线。
（4）
（5）
1.一个长方体如图. (1)它有多少个面?多少条棱(线段)?
多少个顶点?
有6个面,12条棱,8个顶点;
(2)从它的表面上,你观察到哪些平面图形?
点, 线段, 角, 长方形.
解说词：2008北京奥运
合作探究互动
解说词：三毛的弟弟二毛
点动成线
线动成面
面动成体
2.如图:第二行的图形绕虚线旋转一周,便能形成第一行的某个几何体.用线连一连.
议一议图中你熟悉的物体类似于哪些几
何图形呢?
观察下面的物体或情景,你看到了哪些面?
哪些面是平的它?们哪只些能面给是我曲的?
们以平面的形象，但并非等同于平面。
平面 (是无限伸展的)
曲面
下列几何体的面哪些是平的？哪些是曲的？立方体长方体圆柱体圆锥体球体
课堂小结
你有哪些收的联系：
(1)点动成线； (2)线动成面； (3)面动成体.

第7讲—第四章数字图像处理技术(1)

64048024921600个字节900kb图像大小文件体积图像颜色深度文件体积图像文件的体积18bmp格式bitmapmicrosoft公司开发用于windows环境使用要点不适于提供印刷文件文件头文件头调色板数据调色板数据反向排列反向排列图像数据图像数据特点一般采用非压缩数据格式图像文件的数据格式19tiff格式tagimagefileformataldus公司开发用于精确描述图像的场合使用要点不适于网络传送文件头文件头标识信息区标识信息区图像数据图像数据特点可采用多种压缩数据格式20tga格式tagaimageformattruevision公司开发用于屏显和动画帧显示32显示模式依赖显示卡图像分辨率固定为96dpi文件头文件头调色板信息调色板信息图像数据图像数据数据补充区数据补充区21gif格式graphicsinterchangeformatcompuserve公司开发用于屏显和网络使用要点不适于保存高质量印刷文件特点扩展名采用
● 注意：图像文件的扩展名不要轻易修改，否则不能使用注意：图像文件的扩展名不要轻易修改，
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● 图像文件的体积图像文件的体积是指图像文件的数据量，图像文件的体积是指图像文件的数据量，其计量单位是字节 Byte）。存储位图图像所需的空间可用下列的公式计算：）。存储位图图像所需的空间可用下列的公式计算（Byte）。存储位图图像所需的空间可用下列的公式计算：文件的字节数= 位图高度*位图宽度*位图颜色深度）文件的字节数=（位图高度*位图宽度*位图颜色深度）/8
1) 二值图像：仅由两种颜色组成。二值图像：仅由两种颜色组成。 2) 彩色与灰度图像：图像的颜色彩色与灰度图像：数量多，表现力较强，色彩丰富。数量多，表现力较强，色彩丰富。图像的种类
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● 颜色模型使用颜色模型的目的是尽可能多、尽可能有效地描述各种颜色，使用颜色模型的目的是尽可能多、尽可能有效地描述各种颜色，以便在需要时能方便地加以选择。根据需要的不同，各个领域一般使以便在需要时能方便地加以选择。根据需要的不同，用不同的颜色模型。如电视工业、计算机工业、用不同的颜色模型。如电视工业、计算机工业、印刷业和专业摄影界都使用自己的颜色模型和标准。都使用自己的颜色模型和标准。在多媒体应用中经常涉及的几种通用颜色模型主要有以下几种：在多媒体应用中经常涉及的几种通用颜色模型主要有以下几种：使用红色（Red）、绿色（Green）、）、绿色）、蓝 Blue） ● RGB 使用红色（Red）、绿色（Green）、蓝（Blue）三种基色相加来生成所有其他颜色，因此也称为加法色彩模型。色相加来生成所有其他颜色，因此也称为加法色彩模型。使用Cyan Cyan（）、Magenta 品红）、Yellow（黄色） Magenta（）、Yellow ● CMYK 使用Cyan（蓝）、Magenta（品红）、Yellow（黄色）分别为Red Green、Blue的补色 Red、的补色。模型采用减法合成色彩。别为Red、Green、Blue的补色。此模型采用减法合成色彩。 HLS模型则模拟了人眼感知颜色的方式模型则模拟了人眼感知颜色的方式， ● HLS HLS模型则模拟了人眼感知颜色的方式，使用三个数值色相H 亮度L 饱和度S 来描述一个像素的颜色。（色相H、亮度L、饱和度S）来描述一个像素的颜色。

数学一轮复习第三章三角函数解三角形第7讲解三角形应用举例学案含解析

第7讲解三角形应用举例［考纲解读］1。

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．（重点)2.利用正、余弦定理解决实际问题，主要考查根据实际问题建立三角函数模型,将实际问题转化为数学问题．(难点）［考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个考查内容．预计2021年会强化对应用问题的考查．以与三角形有关的应用问题为主要命题方向，结合正、余弦定理求解平面几何中的基本量，实际背景中求距离、高度、角度等均可作为命题角度．试题可以为客观题也可以是解答题，难度以中档为主。

1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线错误!上方的角叫仰角,在水平线错误!下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②）．3．方向角相对于某一正方向的水平角．（1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③）．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ为坡角）．（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．1．概念辨析(1）东北方向就是北偏东45°的方向．（)（2）从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.（）（3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()（4)方位角大小的范围是［0,2π)，方向角大小的范围一般是错误!。

（)答案（1）√(2）×（3）√（4）√2．小题热身（1）在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的() A．北偏西34°27′ B．北偏东55°33′C．北偏西55°33′ D．南偏西34°27′答案A解析由方向角的概念知，B在A的北偏西34°27′。

高二数学选修2-1复习教案第7讲抛物线

高二第7讲抛物线标准方程及性质一、教学目标1. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(焦点、准线、范围、对称性、顶点、离心率)．2. 理解数形结合的思想；会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．3. 了解抛物线的简单应用，会用坐标研究直线与抛物线位置的关系．二、教学重、难点1．重点：抛物线的定义及其标准方程、抛物线性质的应用、直线与抛物线的位置关系 2．难点：焦半径、焦点弦的应用、直线与抛物线的位置关系．三、教学方法：一学、二记、三应用四、知识梳理1. 抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（1）在平面内；（2）动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等；（3）定点不在定直线上．定点F 叫做抛物线的焦点、定直线l 叫做抛物线的准线． 2.3.答：一是求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程；二是求抛物线的焦点坐标时，首先要把抛物线方程化为标准方程，再求解. 要注意标准方程中一次项变量决定焦点所在位置．y 2＝ax 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a 4. B 、辨明两个易误点：（a ）抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．（b ）对于抛物线标准方程中参数p ，易忽视只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．4、抛物线的焦点弦及其性质如图，设AB 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点弦，A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线l ：x ＝－p 2，AM ⊥l ，BN ⊥l ，且C ，D 分别为AB ，MN 的中点，则 ⑴ MF ⊥NF ，DF ⊥AB ，AD ⊥BD ； ⑵ y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p24；⑶ x 1＝p 2＋|AF |cosα，x 2＝p 2＋|BF |cos(α＋π)＝p2－|BF |cosα；⑷ |AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2；⑸ |AF |＝p 1－cosα，|BF |＝p1＋cosα（设α为直线AB 与对称轴的夹角，|AF |≥|BF |）；⑹ |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝|y 1－y 2|22p ＝2psin 2α（设α为直线AB 与对称轴的夹角）；⑺ 1|AF |＋1|BF |＝2p（定值）； ⑻ 直角梯形ABNM 的对角线交于顶点（原点O ），且S △AOB ＝S △MON ＝p 4|y 1－y 2|＝p 22sinα；⑼ CD 被抛物线平分，即R 为CD 的中点；⑽ 设动弦AB 两端点在准线上的摄影点分别为C 、D ，线段CD 的中的为点M ，则A 、O 、D 三点共线，B 、O 、C 三点共线；以AB 为直径的圆与准线相切于点M ；抛物线在点A 、B 处的切线相交于点M;以CD 为直径的圆与动弦恒切与焦点F,即∠CFD ＝90°．分别以AF 、BF 为直径的圆必与y 轴相切．五、课前测试1.抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－22.（2019课标全国Ⅱ卷）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp +=的一个焦点，则p =（）A ．2B ．3C ．4D ．83.已知d 为抛物线y ＝2px 2(p >0)的焦点到准线的距离，则pd 等于( )A.12p 2 B ．p 2 C.12 D.14六、典例剖析题型一抛物线定义及应用例1：判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )(3)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是（a4，0），准线方程是x ＝－a4.( )(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )例2（1）(2019·河北三市联考)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( )A.53B.75C.97 D ．2(2)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A ．25－1B ．25－2 C.17－1 D.17－2(3) （选讲提升）（佛山市2019届高三教学质量检测（二））已知抛物线)0(22>=p py x 的焦点为F ，准线为l ，点),4(0y P 在抛物线上，K 为l 与y 轴的交点，且PF PK 2=，则0y = 。

第7讲 图形(1)

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