高中苏教数学必修2同步课件1.2.1平面的基本性质课件2
数学必修二2《平面(2)》课件
1.平面的基本性质
(1)公理1：若一条直线上的两点在一个平面内， 则这条直线在此平面内.
①图形语言：
A
l
B
②符号语言：Al, B l且A, B l
③该公理反映了直线与平面的位置关系：
可用于判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又 可用直线检验平面.
同理可证 C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线 l1、l2、l3 在同一平面内． 证法 2：(辅助平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l1、l2 确定一个平面 α. ∵l2∩l3＝B，∴l2、l3 确定一个平面 β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证 B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点 A、B、C 既在平面 α 内，又在平面 β 内． ∴平面 α 和 β 重合，即直线 l1、l2、l3 在同一平面内．
系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝ A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α. 解：(1)点 A 在平面 α 内，点 B 不在平面 α 内，如图(1)； (2)直线 l 在平面 α 内，直线 m 与平面 α 相交于点 A，且点 A 不在直线 l 上，如图(2)； (3)直线 l 经过平面 α 外一点 P 和平面 α 内一点 Q，如图(3)．
共线问题 [例 3] 已知△ABC 在平面 α 外，其三边 所在的直线满足 AB∩α＝P，BC∩α＝Q， AC∩α＝R，如图所示． 求证：P，Q，R 三点共线． [证明] 法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面 α. 又 AB⊂平面 ABC，∴P∈平面 ABC. ∴由公理 3 可知：点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上， 同理可证 Q，R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上． ∴P，Q，R 三点共线．
高中数学新同步苏教必修2课件：第1章 1.2 1.2.1 平面的基本性质
点线共面问题
【例2】 已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交，证 明：这四条直线共面．
思路探究：法一： a，b确定一个平面 → l在平面内 → a，c，l共面 → a，b，c，l共面 法二： a，b确定一个平面 → b，c确定另一个平面 → 两平面重合
[证明] 如图． 法一：∵a∥b，∴a，b确定平面α. 又∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴l上有两点A，B在α内，即直线l α. ∴a，b，l共面． 同理，a，c，l共面，即c也在a，l确定的平面内． 故a，b，c，l共面．
2.平面的基本性质
(1)平面的基本性质
①公理 1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内，那么这条直
线上所有的点都在这个平面内．
用符号表示为：
A∈α
B∈α
⇒AB
α
．
②公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共
点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条 直线 ．
用符号表示为：
பைடு நூலகம்
P∈α P∈β
D [A错误，不共线的三点可以确定一个平面． B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面． C错误，四边形不一定是平面图形． D正确，两条相交直线可以确定一个平面．]
3．如图所示，用符号可表达为________．
α∩β＝m，n α 且 m∩n＝A [由题图可知平面 α 与平面 β 相交 于直线 m，且直线 n 在平面 α 内，且与直线 m 相交于点 A，故用符 号可表示为：α∩β＝m，n α 且 m∩n＝A.]
法二：∵a∥b， ∴过a，b确定平面α，又∵A∈a，B∈b， ∴AB α，即l α. 又∵b∥c，∴过b，c确定平面β， 而B∈b，C∈c，∴BC β，即l β. ∴b，l α，b，l β，而b∩l＝B， ∴α与β重合，故a，b，c，l共面．
(教师用书)高中数学 1.2.1 平面的基本性质同步教学课件 苏教版必修2
点、线、面之间的位置关系 1．2.1 平面的基本性质
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)掌握平面的概念及表示． (2)掌握平面的基本性质(3 个公理及其推论)及作用． (3)初步体会图形、符号、文字语言的相互转化．
2.过程与方法 (1)建立类比的思想，联系直线的无限延伸性去理解平面 的无限延展性． (2)结合具体实例掌握平面的三大公理及其推论，建立公 理化思想，初步认识公理的作用． (3)利用联想、化归等方法，引导学生找到平面图形和立 体图形的异同，以及两者的内在联系． 3．情感、态度和价值观 (1)逐步培养学生将立体图形转化为平面图形的能力； (2)培养学生的空间想象能力．
推论1
推论2
推理3
经过两条平行直线，有 且只有一个平面
三种语言的转换
用符号语言表示下列语句，并画出图形． (1)三个平面 α、β、γ 相交于一点 P，且平面 α 与平面 β 交于 PA， 平面 α 与平面 γ 交于 PB， 平面 β 与平面 γ 交于 PC； (2)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD，平面 ABC 与平面 ADC 交于 AC.
●重点难点 重点：平面的概念及其表示，平面的基本性质——三大 公理及其推论，注意它们的条件、结论、作用，图形、符号、 文字语言的相互转化． 难点：平面的基本性质—— 三大公理及其推论，图形、 符号、文字语言的相互转化． 重难点突破：以学生身边熟悉的物体(如桌面、黑版面等) 为切入点，引导学生观察、思考、举例和互相交流，归纳出 平面的概念；针对三个公理的学习，可引导学生多联系实际， 发挥空间想象能力，教师多演示，让学生在思考训练中化解 疑难点．
用文字语言和符号语言表示下图．
图 1－2－2
【解】 文字语言：平面 α 内两条直线 m 和 n 相交于点 A. 符号语言：m⊂α，n⊂α，且 m∩n＝A.
高中数学苏教版必修第二册第十三章《平面的基本性质》示范公开课教学课件
（2）若平面与直线有两个公共点呢？
不一定在
在
两点确定一条直线
（3）为什么两个公共点可以？
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
作用：①判定线面之间的关系； ②判断点是否在平面内等等.
下列条件能否确定一个平面？
∴点O在平面内
又点O，C，D在平面内
∴平面,相交于O，C，D所在直线（基本事实3）
故O，C，D三点共线
基本事实1：过不在一条直线的三个点，有且只有一个平面.
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面.
推论2：两条相交直线确定一个平面.
以下图的长方体为例，你能说明下列点、直线和平面的位置关系吗？
（1）点，与直线是什么位置关系？（2）点，与平面是什么位置关系？（3）直线与直线是什么位置关系？（4）直线、直线平面是什么位置关系？
点在直线上，点不在直线上；点在平面内，点不在平面内；直线与直线相交于点；直线在平面内、直线不在平面内．
如何从集合的角度理解点、线、面之间的关系？
解：（1），. (如图①)（2），，，，.(如图②)（3）.(如图③)
已知：，，，．求证：直线，，共面．
因为直线与点可以确定平面，所以只需证明，，都在平面内．
证明：因为，所以与可以确定平面（推论1）．因为，所以．又，所以（基本事实2）．同理，，所以，，在同一平面内，即它们共面．
如图，在长方体中，为棱的中点，画出由，，三点所确定的平面与长方体表面的交线．
符号表示
点在直线上
点不在直线上
点在平面内
高中数学 1.21.2.1 平面的基本性质课件 苏教版必修2
栏 目 链 接
1.了解平面的含义，掌握平面的画法及表示.
2.理解平面的基本性质，掌握其简单应用.
3.正确使用图形语言和符号语言.
栏 目
链
接
栏 目 链 接
1．我们知道，几何里的平面是无限延展的，通常把
水平的平面画成一个平行四边形，常用符号的规定是：①
A∈α，读作：“____点__A__在__平__面__α_内_____”；B α，读作：
平面？
栏
(3)共点的三条直线可以确定几个平面？
目 链
接
分析：(1)可利用公理2判定．
(2)可利用公理3的推论3判定．
(3)需分类讨论进行判定．
解析：(1)不共面的四点组成一个三棱锥即四面体故可 以确定四个平面．
(2)三条直线两两平行但不共面，它们可以确定三个平
面．
栏
目
链
(3)共点的三条直线可以确定一个或三个平面．
(2)符号语言：A∈l，B∈l，A∈α，B∈α ___l⊂__α_．
栏 目
链
3．公理2.(1)文字语言：如果两个平面有__一__个___公__共_，点那 接
么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是
_经__过__这__个__公__共__点__的__一__条__直__线_．
(2)符号语言：P∈α，P∈β ___α_∩__β_＝__l，__P__∈__l ___．
一个平面．
目 链
接
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理3和三个推论是证明点和点、点和线、线和线共面 的重要依据，是把空间问题化归成平面问题的重要渠道.
栏 目 链 接
题型1 点、线共面
苏教版高中数学必修二课件平面的基本性质(2)
平面的概念：
平面是现实世界存在着的客观事 物形态的数学抽象。
C
α
A
D B
α
A
β
B
【例1】已知命题：
1、10个平面重叠起来，要比5个平面重 叠起来厚；
2、有一个平面的长是50m，宽是20m；
3、黑板面是平面；
4、平面是绝对的平，没有大小、没有厚 度，可以无限延展的抽象的数学概念。
其中正确的命题是
（）4
根据公理3，经过不共线三点A，B，C有一个平面α. 因为B∈α，C∈α，
所以根据公理1，，l 即平面α经过直线和点A. l 因为B，C在上 l 所以经过直线和点l A的平面一定经过点A，B，C 于是再根据公理3可知经过直线和点A的l平面只有一个。
推论1:经过一条直线和
这条直线外的一点,有且 只有一个平面.
思考：
（1）一条直线可以将平面分成两个部 分，那么一个平面可以将空间分成几个 部分呢？
（2）两个平面可以将空间分成几个部
分呢？
β
C
D
B
α
A
α
B
A
位置关系
点P在直线AB上 点C不在直线AB上 点M在平面AC内
符号表示
P∈AB
CAB
M∈平面AC
D1
A1 D
A
P
C1
B1
M
C
B
点A1不在平面AC内A1源自面ACαBC A推论2:经过两条相交直
a
线,有且只有一个平面.
α
b
推论3:经过两条平行直
A
线,有且只有一个平面. a
αb
【例3】已知：A，Bl ，C，Dl l l 求证：直线AD，BD，CD共面。
高中数学 第一章 1.2.1平面的基本性质配套课件 苏教版必修2
第二十一页，共37页。
研一研·问题探究、课堂(kètáng)更高效
1.2.1
小结 证明直线共面通常有两种思路： (1)先由部分元素确定一个平面， 再证明其余元素在这平面 内； (2)先由部分元素确定若干平面， 再证明这些平面重合．
第二十二页，共37页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高效
1.2.1
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高效
1.2.1
问题 9 如图所示，两条相交直线能不能确定一个平面？为 什么？
答 能确定一个平面，因为直线 AB，AC 相交于点 A，三点 A，B，C 确定的平面就是直线 AB 和 AC 确定的平面． 推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．
第十九页，共37页。
第五页，共37页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高效
1.2.1
探究点一 平面的概念 问题 1 观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱所在的直
线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？ 答 长方体由上下、前后、左右六个面围成．有些面是平行 的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱 所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个 平面内的直线等等．
1.2.1
第二十四页，共37页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更高效
方法二 ∵AP∩AR＝A， ∴直线 AP 与直线 AR 确定平面 APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面 APR∩平面 α＝PR. ∵B∈平面 APR，C∈平面 APR，∴BC⊂平面 APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面 APR，又 Q∈α， ∴Q∈PR， ∴P、Q、R 三点共线．
第十五页，共37页。
研一研·问题探究、课堂(kètáng)更高效
高中数学 1.2.1平面的基本性质课件2课件 苏教版必修2
Ａ
Ｂ
内又在平面ＡＢ１内，所以点
P在平面 与平面AB1 的交线
上.同理,点A1在平面 与平面
AB1的交线上,因此,PA1就是平面
与平面AB1的交线.
第九页，共12页。
巩固练习:
1.请指出下列说法是否正确,并说明理由:
(1)空间三点确定一个平面.
(2)平面 与平面 若有公共点,就不止一个
(3)因为平面型斜屋面不与地面相交,所以屋面所
在的平面与地面∩不相交. 2 . 如
a
bA
c
图
:
平
第十页，共12页。
3
.
已
知
:
如
图
,
D
,
E
分A别
是
△
A
B
C
的
边
平面 经过D,E 两点 (1)求直线AB 与平面 B的交点 P
(2)求证:D,E,P三D点共线E .P
C
第十一页，共12页。
今天(jīntiān)的作业是练习中 的二,三题.
第十二页，共12页。
平 面 的 基 本 性 质
(2)
第一页，共12页。
一.复习(fùxí)提问:
1.你是怎样来认识一个(yī ɡè)平面的?怎样 来表示一个(yī ɡè)平面?它的记法是什么?
2.空间中的点,线,面之间的位置关系(guān xì) 是怎样用符号来表示的?
3.平面有哪些性质?
第二页，共12页。
想 一 过一条(yī tiáo)直线L和直线
Ｃ
在平面 内．
第八页，共12页。
例２．如图，在长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，
Ｐ为棱ＢＢ１的中点，画出 由Ａ１，Ｃ１，Ｐ三点所确定
苏教版高中数学必修二课件平面性质仇清钟2.ppt
通常用平行四边形来表示平面， 当平面水平放置时,通常把平行四 边形的锐角画成 45 ，横边画成 邻边的2倍长。
如图：
D
C
A
B
一个平面在不同的摆放状态下的画法
3.平面的表示法
α 平面α
A
C B
平面ABC
ß
平面 ß
A
D
B
C
平面AC或平面BD
从集合的角度来说，直线可 以看作是点的集合.
那么，平面可以看作怎样的 集合？
的集合是经过这个公共点的一条直线。
P P
l且P l
l
P
M3010202平 面的基本性质-公理2.swf
表示两平面相交的画法：
注：被遮挡的部分用虚线画出来或不画。
例1判断下列命题的真假：
（1）⑴平面 与平面 若有公共点，就不止
一个； （2）因为平面型斜屋面不与地面相交，所以屋 面所在的平面与地面不相交； （3）两个平面的交线可能是一条线段； （4） 10个平面重叠起来，要比5个平面重叠 起来厚；
高中数学课件
（鼎尚图文*****整理制作）
平静的水面
平静的湖面 、广阔 无垠的海面 、光滑 的桌面的画面给你 留下怎样的印象？
1.2.1平面的基 本性质
第一课时
一.平面的基本概念:
1.几何里的平面的特征:
（1）平 （2）无限延展
（不是凹凸不平） （没有边界）
（3）不计厚薄
（没有质量）
2. 平面的画法：
两条直线交于一点，那两个面 呢？
ββBiblioteka αα请大家拿起一本书，把这本书的一个
角放在桌面上，如果我们分别把这本书和 桌面都看作一个平面的话，试问这两个平 面是否就只有这一个公共点，如果还有其 他公共点的话，它们和这个公共点有什么 关系？
高中数学 1.2.1平面的基本性质课件1课件 苏教版必修2
第七页，共30页。
l
一条直线(zhíxiàn)可以把平面分成两 部分，我们所画的只是一条直线(zhíxiàn) 的一部分，因此，刚才所说的物体如果是 平的，也只是它所在平面的一部分.
言：
公理2可以帮助我们解决哪些几何问题？
⑴判断两个平面是否相交；
⑵判定点是否在直线上.
如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直
线叫做这两个平面的交线.
第二十页，共30页。
【例1】已知命题：
数学(shùxué) 运用
①10个平面重叠(chóngdié)起来，要比5 个平面
重叠(chóngdié)起来厚；
第一页，共30页。
第二页，共30页。
第三页，共30页。
第四页，共30页。
情境(qíngjìng) 引入
问题1：平静(píngjìng)的湖面，广阔的草 原，这些
问题2：如画何面形会象给(你xín留gx下ià怎ng样)直的观印的象在呢纸？上 表示平面？
如何表示点与直线，直线与平面
的位置关系？
第五页，共30页。
一个平面面可(p以íng把m空ià间n)可(k以ōn把gj空iān间)分 成几 成部两分部呢分？.
第八页，共30页。
2. 平面(píngmiàn)的 画法通常我们画出直线的一部分来表示
直线；同样地，我们也可以画出平面 (píngmiàn)的一部分来表示平面 (píng当m我ià们n)从.(“适借当代的”角) 度和距离来观察桌
与正方体表面的交线； (2)试作出平面(píngmiàn)A1C1M与 平面 (píngmiàn)ABCD的交
13.2.1平面的基本性质苏教版高中数学必修第二册课件
小
学
结
·
探 新
1．把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所
提 素
知
养
在平面是否只相交于一点？为什么？
合
作 探
[提示]
由图可知它们不是相交于一点，而是相交于一条直线．
课 时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
32
·
情 景
图形表示如图．
业
返 首 页
·
20
·
情
课
景
堂
导 学
1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形
小 结
·
探 有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言 提
新
素
知 表示，再用符号语言表示．
养
合 作
2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈” 课
探
时
究 或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示． 分
学
结
·
探 新
N∈l，那么下列说法正确的是(
)
提 素
知
养
A．l⊂α
B．l⊄α
合
作 探
C．l∩α＝M
D．l∩α＝N
课 时
究
A
[∵M∈a，N∈b，a⊂α，b⊂α，∴M∈α，N∈α.而 M，N 确
分 层
释
作
疑 难
定直线 l，根据基本事实 2 可知 l⊂α.故选 A．]
业
返 首 页
·
13
·
情
课
景
堂
导 学
2．下列说法正确的是( )
高中数学 1.2.1平面的基本性质课件 苏教版必修2
⇒O、C1、M 三点共线．
规律总结：证明点共线的问题，一般转化为证明这些 点是某两个平面的公共点．这样，可根据公理2证明 这些点都在这两个平面的公共直线上．
线共点问题
已知空间四边形 ABCD 中，E、H 分别是边 AB、AD 的中点，F、
G 分别是边 BC、CD 上的点，且CCFB＝CCGD＝23(如右图所示)，求证：
栏
目 链
预习
接
规律总结：判定平面的个数问题关键是要紧紧地抓住已知
典例
条件，要做到不重不漏．平面的确定问题主要是根据已知
条件、公理3及其三个推论来判定平面的个数．
►变式训练 1．过三点能确定__________个平面．
解析：若三点共线能确定无数个平面；若三点不共 线只能确定一个平面． 答案：1个或无数
AO1∈CA⊂1平C 面A1ACC1⇒O∈平面A1ACC1
平面BC1D∩直线A1C＝O⇒O∈平面BC1D
学习
栏
目 链
预习
接
典例
⇒O在平面A1ACC1与平面BC1D的交线上.
AC∩BD＝M⇒M∈平面BC1D且M∈平面A1ACC1
C1∈平面BC1D且C1∈平面A1ACC1
学习
三条直线 EF、GH、AC 交于一点．
栏
分析：欲证三线共点，可证其中两条直线有交点，且该交点在第
目 链
预习
三条直线上．
接
典例
证明：∵E、H 分别是 AB、AD 的中点，∴EH 綊12BD.
∵CCFB＝CCGD＝32，∴FG 綊32BD.
∴EH∥FG，且EH≠FG.
学习
故四边形EFGH为梯形，从而两腰EF、GH必相交于一点P.
苏教版数学必修二新素养同步讲义：1.2.1 平面的基本性质
1．2点、线、面之间的位置关系1．2.1平面的基本性质1.了解平面的概念．2.理解平面的三个公理及其推论．3．掌握平面的三个公理及其推论的应用，平面的画法和表示方法，以及图形语言与符号语言的互译．1．平面的概念及相关知识(1)平面：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的．(2)画法：通常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于邻边长的2倍，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来．(3)表示方法①一个希腊字母：如α、β、γ等；②两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点；③四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点．2．点、直线、平面之间的关系(1)两个平面的交线若两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线．(2)常见的文字语言、符号语言与图形语言的对应关系数学符号表示文字语言表达图形语言表达A∈l 点A在直线l上A∉l 点A在直线l外A∈α点A在平面α内续表数学符号表示文字语言表达图形语言表达A∉α点A在平面α外l⊂α直线l在平面α内l⊄α直线l在平面α外l∩m＝A 直线l，m相交于点Aα∩β＝l 平面α、β相交于直线l3.平面的基本性质(1)公理公理文字语言图形语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内A∈l，B∈l，A∈α，B∈α⇒l⊂α公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线⎩⎪⎨⎪⎧P∈αP∈β⇒α∩β＝l且P∈l公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面三点A，B，C，A∉直线BC⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α推论文字语言图形语言符号语言推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面点A和直线a，且A∉a⇒有且只有一个平面α，使A∈α，a⊂α推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面直线a和b，且a∩b＝O⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面直线a和b，且a∥b，⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面．()(2)22个平面重叠起来要比10个平面重叠起来厚一些．()(3)一条直线在平面α内，可用下图表示．()(4)直线a与直线b相交于点A，可用符号表示为a∩b＝A.()(5)平面ABCD的面积为100 m2.()(6)过三点A，B，C有且只有一个平面．()★★答案★★：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(6)×2．点A在直线l上，直线l在平面α外的符号表示是()A．A∈l，l∉αB．A⊂l，l∉αC．A∈l，l⊄αD．A⊂l，l⊄α★★答案★★：C3．根据图填入相应的符号：A__________平面ABC，A________平面BCD，BD__________平面ABC，平面ABC________平面ACD＝AC.★★答案★★：∈∉⊄∩文字语言、图形语言、符号语言的相互转化(1)用符号语言表示下面的语句，并画出图形．平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.(2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.解：(1)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用图形表示：(如图1所示)(2)文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，β内，图形语言表示如图2所示．(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．1.(1)将下列文字语言转化为符号语言．①点A在平面α内，但不在平面β内．②直线a经过平面α外一点M.③直线l在平面α内，又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l)．(2)将下列符号语言转化为图形语言．①a⊂α，b∩α＝A，A∉a.②α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P.解：(1)①A∈α，A∉β.②M∈a，M∉α.③α∩β＝l.(2)点、线共面问题证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．解：已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．证明：法一：(纳入平面法)因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.又因为l2⊂α，所以B∈α.同理可证C∈α.又因为B∈l3，C∈l3，所以l3⊂α.所以直线l1，l2，l3在同一平面内．法二：(辅助平面法)因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β.因为A∈l2，l2⊂α，所以A∈α.因为A∈l2，l2⊂β，所以A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．证明点、线共面的常用方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．2.已知直线a，b，c两两平行，但不共面，求经过其中2条直线的平面个数．解：根据推论3：两条平行直线确定一个平面，又a，b，c两两平行但不共面，故可确定3个平面．点共线、线共点问题如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB、AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．证明：连结EF，D1C，A1B，因为E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点， 所以EF 綊12A 1B .又因为A 1B 綊D 1C ， 所以EF 綊12D 1C ，所以E ，F ，D 1，C 四点共面， 可设D 1F ∩CE ＝P .又D 1F ⊂平面A 1D 1DA ，CE ⊂平面ABCD ， 所以点P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点． 又因为平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ， 所以据公理3可得P ∈DA ， 即CE ，D 1F ，DA 三线交于一点．若将题目条件中的“E ，F 分别为AB ，AA 1的中点”改成E ，F 分别为AB ，AA 1上的点，且D 1F ∩CE ＝M ，求证：点D 、A 、M 三点共线．证明：因为D 1F ∩CE ＝M ， 且D 1F ⊂平面A 1D 1DA ， 所以M ∈平面A 1D 1DA ， 同理M ∈平面BCDA ， 从而M 在两个平面的交线上， 因为平面A 1D 1DA ∩平面BCDA ＝AD ，所以M ∈AD 成立．所以点D 、A 、M 三点共线．(1)证明三点共线的方法①首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理2可知，这些点都在两个平面的交线上．②选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上． (2)证明三线共点的步骤①说明两条直线共面且交于一点．②说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交．③得到交线也过此点，从而得到三线共点．3.已知三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线相交于同一点．证明：因为α∩γ＝b，β∩γ＝a，所以a⊂γ，b⊂γ.又由于直线a和b不平行，所以a，b必相交．设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b.因为a⊂β，b⊂α，所以P∈β，P∈α.又α∩β＝c，所以P∈c，即交线c经过点P.所以a，b，c三条直线相交于同一点．1．立体几何中的平面与平面几何中的平面图形的区别(1)平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们有大小之分，可以度量．(2)立体几何中的平面是无大小、厚薄之分的，是不可度量的，它可以无限延展，没有边界．(3)立体几何中的平面是理想的，绝对平的．2．符号语言的理解立体几何中引用集合的观点，把点看作元素，直线(平面)为点的集合．点与直线(平面)的关系是属于或不属于关系，用符号“∈”或“∉”表示．直线与平面的关系是包含或不包含关系，用符号“⊂”或“⊄”表示．已知直线a∥直线b，直线m与a、b分别交于点A、B.求证：过a、b、m有且只有一个平面．【证明】因为a∥b，所以过a、b有一个平面α.又m∩a＝A，m∩b＝B，所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.又A∈m，B∈m，所以m⊂α，a、b、m共面于α.假设过a、b、m有一个异于α的平面β，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β.这与a∥b，过a、b有且只有一个平面相矛盾．所以过a、b、m有且只有一个平面．(1)“有”表示存在，“只有”表示惟一，“且”表示联立命题，所以此类问题的证明既要证明“存在性”又要证明“惟一性”．(2)“存在性”的证明一般由公理或推论得出题设要求的要素即可．(3)证明“惟一性”通常采用“反证法”．即从题设的结论入手，假设结论的反面成立，然后进行推理、论证，推出与条件或定义、定理、公理相矛盾的结论，说明结论反面是不成立的，从而肯定了命题的结论是成立的．1．若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则()A．C∈αB．C∉αC．AB⊄αD．AB∩α＝C★★答案★★：A2．下列说法正确的是()A．三点确定一个平面B．平面α和β有不同在一条直线上的三个交点C．梯形一定是平面图形D．四边形一定是平面图形★★答案★★：C3．一个平面把空间分成________部分，两个平面把空间分成________部分．解析：一个平面把空间分成两部分；两个平面相交时，把空间分成四部分，平行时把空间分成三部分．★★答案★★：24或34．如图，已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于点P，Q，R，求证：P，Q，R三点共线．证明：因为AB∩α＝P，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC，P∈α.所以点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证，点Q和R均在这条交线上．所以P，Q，R三点共线．[A基础达标]1．下面给出了三个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a都平行的两条直线．其中，能确定一个平面的条件有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选B.①空间三点共线时不能确定一个平面．②点在直线上时不能确定一个平面．③和直线a都平行的两直线平行，能确定一个平面．故选B.2．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，且M∈l，N∈l，那么() A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A.因为M∈a，N∈b，a⊂α，b⊂α，所以M∈α，N∈α.而M，N确定直线l，根据公理1可知，l⊂α.故选A.3．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合解析：选C.选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错．4．空间四点A，B，C，D共面但不共线，那么这四点中()A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线解析：选B.若AB∥CD，则AB，CD共面，但A，B，C，D任何三点都不共线，故排除A，C；若直线l与直线外一点A在同一平面内，且B，C，D三点在直线l上，所以排除D.故选B.5.如图，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过()A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点D解析：选D.根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D.6．已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．解析：当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．★★答案★★：1或2或37．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．解析：如图，因为AC∥BD，所以AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.因为l∩α＝O，所以O∈α.又因为O∈AB⊂β，所以O∈直线CD，所以O，C，D三点共线．★★答案★★：共线8．如图所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________．(把正确图形的序号都填上)解析：图形①中，连结MN，PQ(图略)，则由正方体的性质得MN∥PQ，根据推论3可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形①正确．分析可知③中四点共面，②④中四点均不共面．★★答案★★：①③9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)直线AC1在平面CC1B1B内；(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D 的交线为OO1；(3)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；(4)由A，C1，B1确定的平面与由A、C1、D确定的平面是同一个平面．解：(1)错误．如图所示，点A∉平面CC1B1B，所以直线AC1⊄平面CC1B1B.(2)正确．如图所示．因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C，O∈直线BD⊂平面BB1D1D，O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C，O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.(3)(4)都正确，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以A，B1，C1，D共面．10．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．证明：如图．(1)因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1，在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF、BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)正方体AC 1中，设平面A 1ACC 1确定的平面为α，又设平面BDEF 为β.因为Q ∈A 1C 1，所以Q ∈α.又Q ∈EF ，所以Q ∈β.则Q 是α与β的公共点，同理P 是α与β的公共点，所以α∩β＝PQ .又A 1C ∩β＝R ，所以R ∈A 1C .所以R ∈α，且R ∈β，则R ∈PQ .故P ，Q ，R 三点共线．[B 能力提升]1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB ＝13BB 1，那么正方体的过点M ，N ，C 1的截面图形是( ) A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形解析：选C.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB ＝13BB 1.如图，延长C 1M 交CD 于点P ，延长C 1N 交CB 于点Q ，连结PQ 交AD 于点E ，AB 于点F ，连结NF ，ME ，则正方体的过点M ，N ，C 1的截面图形是五边形，故选C.2．已知A 、B 、C 、D 为不共面的四点，E 、F 、G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、DA 上，(1)如果EH ∩FG ＝P ，那么点P 在________上；(2)如果EF ∩GH ＝Q ，那么点Q 在________上．解析：(1)如图，由AB 、AD 确定平面α.因为E 、H 在AB 、DA 上，所以E ∈α，H ∈α，所以直线EH ⊂α，又因为EH ∩FG ＝P ，所以P ∈EH ，P ∈α.设BC 、CD 确定平面β，同理可证，P ∈β，所以P 是平面α，β的公共点，因为α∩β＝BD ，所以点P 在直线BD 上．同理可证(2)点Q 在直线AC 上．★★答案★★：(1)BD所在的直线(2)AC所在的直线3．在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于点E，F，G，H.求证：E，F，G，H必在同一直线上．证明：因为AB∥CD，所以四边形ABCD是一个平面图形，即AB，CD确定一个平面β，则AB⊂β，AD⊂β.因为E∈AB，所以E∈β，因为H∈AD，所以H∈β.又因为E∈α，H∈α，所以α∩β＝EH.因为DC⊂β，G∈DC，所以G∈β.又因为G∈α，所以点G在α与β的交线EH上．同理，点F在α与β的交线EH上．所以E，F，G，H四点共线．4．(选做题)如图，定线段AB所在的直线与定平面α相交，交点为O，P为定直线外一点，P∉α，直线AP，BP与平面α分别相交于A′，B′，试问，如果P点任意移动，直线A′B′是否恒过一定点，请说明理由．解：随着P点移动，直线A′B′恒过定点O，O为直线AB与平面α的交点．理由如下：直线AB和直线外一点P可确定平面β，因为AP∩α＝A′，BP∩α＝B′，所以α∩β＝A′B′，而AB∩α＝O，所以O一定在交线A′B′上，即直线A′B′恒过定点O.。
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平⑵
面
的
基
本
性
质
一•复习提间:
1•你昱倉样耒么诂一个年而的？怎样亲恚孑一个年而？仓的他注蛊什
2•空向中的点•孩•而之向的怎蛊弟畫蛊怎样用後场采蓉云的？
3•年而侖哪竣僅麦？
—过一条直线L和直线包外一点A的平面有几个？?
■
推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.
已知：直线L,点A E L 求证：过直线L和点A有且只有一
• A 个平面
分析：先在直线L上任取两点B, C, 这样A, B, C三点就能确定一个平面，
珥证明L在这个平面内.
证明：在直线L上任取两点B,C
因为点A不在直线L上, 根据公理3,经过不井线
的三点A,B,C有一个平面Q
因为Bw Q, C
所以根据公理1, L C a
即平面Q经过直线L和点A・因为B, C在直线
L上,
所以经过直线L和点A的平面一定经HA,B ,C
于是再根据公理3,经jj不共线的三点ABC的平面只有一个,所以经11直线L和点A的平面只有一
个.
推论2.经过两条相交直线, 有且只有平
推论3.经过两条平行直线,有且只*一个平面
右图是一张倒置的课桌，你能用所学的知识检查_下桌子的四条腿是否在同一个平面内？
例 1 ・ 已知：AWL, BGL , CGL, D 年 L
求证：直线AD, B D, CD 共面.
因为直线L 与点D 可以确
所以只需证明AD 5B
内・
:分析:
平面 在平面 D
5C B
fc
在长方体A B C D- A P为棱B B 1的中点，画出由A「C 的平面a与长方休表面的交线. 1 B 1 C 1 D 1 中，
1, P三点所确定
作法：连结AiP,PCi,AG,它们就是平面与长方体表面的交线.
分析：弟圭P疡农年而G Ax A
内又忌年而AB〔杓，所以虫P卷年而Of 彫年而AB〕的立銭£•徇理•圭州卷年而4$年而ABj的立偻£.0此尸人就昱年而0C 鸟年而AB〔的立銭.
网画豔冈8
1.情指出下列说法是否正确，并说明理由：
(1) 空间三点确定一平面.
(2) 平面与平面若有公共点，就不止-
(3) 因为平面型斜屋面不与地面相交，所以屋萌
在的平面与地神不相交. a
3.已知：如平面
⑴求克线AB/J^ 面(2)求证:D,A
经过D,E
是少3(：的
£ B
点
令天的仆业昱依习的二，三题・O
O。