安徽省安庆市桐城市某中学2019-2020学年高一质量检测数学试卷

高一数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.本场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为
A. B. C. D.
2.已知角的终边经过点，则
A. B. C. D.
3.的值为
A. B. C. D.
4.已知平面向量是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影
为
A.1
B.
C.2
D.
5.函数在上单调递增，则的范围是
A. B. C. D.
6.已知向量，，则与共线的单位向量为
A. B.
C.或
D.或
7.已知，，则
A. B. C. D.
8.已知，分别为直角坐标系xOy的x，y轴正上方上单位向量，，
，则平行四边形ABCD的面积为
A.25
B.50
C.75
D.100
9.设，则
A.2sin x
B.2cos x
C.
D.
10.设中BC边上的中线为AD，点O满足，则
A. B. C.
D.
11.将函数向左平移个单位，得到的图象，则满足
A.图象关于点对称，在区间上为增函数
B.函数最大值为2，图象关于点对称
C.图象关于直线对称，在上的最小值为1
D.最小正周期为，在有两个根
12.已知函数，则函数的零点个数为
A.4
B.7
C.8
D.9
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.九章算术是中国古代的数学名著，其中方田一
章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆
弧和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧长为
，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是______，弧田的面积是______．
14.已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______．
15.若，，则______．
16.对下列命题：
17.若向量与同向，且，则；
18.若向量，则与的长度相等且方向相同或相反；
19.对于任意向量，若与的方向相同，则；
20.由于方向不确定，故不与任意向量平行；
21.向量与平行，则向量与方向相同或相反．
22.其中正确的命题的个数为______
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
23.已知，，且、求：
24.Ⅰ的值；
25.Ⅱ的值．
26.已知中，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段
OB的一个靠近B的三等分点，设．
27.用向量与表示向量；
28.若，求证：C、D、E三点共线．
29.为了践行习总书记提出的“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念，我
市在经济速发展同时，更注重城市环境卫生的治理，经过几年的治理，市容市貌焕然一新，为了调查市民对城区环境卫生的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行
调查，并将满意程度统计成如图所示的频率分布直方图，其中．
30.求a，b的值；
31.若按照分层抽样的方式从，中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取
2人，求至少有1人的分数在的概率．
32.已知函数，的部分图象
如图所示．
33.求的解析式，并说明的图象怎样经过2次变换得到的图象；
34.若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
35.已知点A，B，C的坐标分别为，，，
36.若，求角的值；
37.若，求的值．
38.已知函数是定义在R上的奇函数．
39.求a的值：
40.求函数的值域；
41.当时，恒成立，求实数m的取值范围．
42.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由于时针是顺时针转动，形成的角是负角，
又由于时针转动1小时，转动的弧度数为，因此时针转过2小时所形成的弧度数为，
故选：B．
根据弧度制的定义，即可求解．
本题考查了弧度制的概念与应用问题，是基础题目．
2.【答案】C
【解析】解：角的终边经过点，，
则，
故选：C．
由题意利用任意角的三角函数的定义求得的值，再利用二倍角的余弦公式，求得
的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
由诱导公式，两角和的正弦函数公式化简所求，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】
解：
．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，考查向量垂直，属基础题．
先根据向量垂直，得到，再根据投影公式即可求出．
【解答】
解：平面向量是非零向量，，，
，
即，即，
向量在向量方向上的投影为．
故选B．
5.【答案】B
【解析】解：，
由上单调递增，
，得，
故选：B．
利用三角函数的诱导公式以及倍角公式进行化简，结合三角函数的单调性建立不等式关系进行求解即可．
本题主要考查三角函数的性质，结合三角函数的倍角公式进行化简是解决本题的关键．比较基础．
6.【答案】D
【解析】解：因为向量，，
则；
与共线的单位向量为：；
与共线的单位向量为：或
故选：D．
直接利用与共线的单位向量为：即可求解．
本题考查了数量积运算性质、向量线性运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】B
【解析】解：设，则，，
，，即，
，舍或，则，
则
，
故选：B．
利用换元法，结合三角函数的诱导公式进行转化．
本题主要考查三角函数值的计算，利用换元法结合三角函数的诱导公式以及倍角公式进行转化是解决本题的关键．难度中等．
8.【答案】A
【解析】解：由题意知，，；
由，，
所以，
所以；
又，
，
所以平行四边形ABCD的面积为．
故选：A．
判断，再计算、的值，即可求出平行四边形ABCD的面积．
本题考查了平面向量的数量积计算问题，是基础题．
9.【答案】A
【解析】解：，
则，
．
故选：A．
由，然后结合已知角的范围
进行化简即可．
本题主要考查了利用同角平方关系化简三角函数式，属于基础试题．
10.【答案】A
【解析】解：为中BC边上的中线，
；
；
，
；
故选：A．
由于AD为中BC边上的中线，可得；又因为，可得O
为AD的三等分点，再利用平面向量基本定理由此即可求解．
本题考查平面向量的基本定理，考查学生的分析能力，转化能力；属于中档题．
11.【答案】C
【解析】解：将函数的图象向左平移个单位，
得到的图象，
故的最大值为2，最小正周期为．
令，求得，故的图象不关于点对称，故A不正确；
令，求得，故的图象不关于点对称，故B不正确；
令，求得，为最大值，故的图象关于直线对称，
在上，，的最小值为1，故C正确；
在上，，由，可得，
此时，，，故在上仅有一个实数根，故D错误，
故选：C．
由题意利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．12.【答案】B
【解析】解：令，解得或，
则令，可得或，
作出函数的图象如下图所示，
由图象可知，有3个零点，有3个零点，有1个零点，故函数有7个零点．
故选：B．
先令，可解得或，再令，则或，作出函数的图象，观察图象即可得出结论．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，整体思想的运用，考查计算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：如图，弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为6，
，可得，，
，
弧田的面积．
故答案为：，．
由已知利用弧长公式可求，可得，，即可求解AB的值，由弧田的面积即可计算得解．
本题主要考查了弧长公式，扇形的面积公式，三角形的面积公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．
14.【答案】且
【解析】解：向量，，若与的夹角是锐角，
则：，解得．
当时，向量共线，
所以：且．
故答案为：且．
直接利用响亮的数量积和坐标运算的应用求出结果．
本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
15.【答案】2
【解析】解：由，得，即．
又，
．
故答案为：2．
由已知求得，再由展开两角和
的正切求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正切，是基础题．
16.【答案】1
【解析】解：向量不能比较大小，故不正确；
向量，只能说长度相等，方向不定；故错误；
由相等向量的定义可得其正确；
错误，与任意向量平行；
若其中一个是，其错误；
故真命题只有即1个；
故答案为：1．
直接根据向量的基本性质以及的特殊性即可判断．
本题考查向量的性质，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．
17.【答案】解：Ⅰ解：，，
，，
，，
，
Ⅱ由Ⅰ得，
，
又，．
【解析】Ⅰ由，的范围求出的范围，由题意和平方关系求出和，由两角和的余弦公式求出的值；
Ⅱ由两角差的余弦公式求出的值，再由的范围求出的值．
本题考查两角和与差的余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，注意角之间的关系以及三角函数值的符号，属于中档题．
18.【答案】解：
与
又与有公共点C，
、D、E三点共线
【解析】由点C是点B关于点A的对称点，则A为BC的中点，由于，
，结合已知条件，及向量加减法的三角形
法则，我们易得结论．
要证明C、D、E，我们可以证明与共线，即存在一个实数，使成立．
本题考查的知识点是向量加减法的三角形法则和向量的共线定理，后者是难点，在利用向量法证明三点共线时，我们可利用三点构造出两个向量，先证明这两个向量共线，再说明它们有公共点，进而得到三点共线．
19.【答案】解：由频率分布直方图得：
，，
又，解得，．
，两段频率比为：：3，
按照分层抽样的方式从，中随机抽取5人，
分数在中抽取2人，记为，，
分数在中抽取3人，记为，，，
从这5人中随机抽取2人的所有情况为：
，，，，，，
，，，，共10个，
其中，至少有1人的分数在包含的基本事件有7个，
至少有1人的分数在的概率．
【解析】由频率分布直方图列出方程组，由此能求出a，b．
，两段频率比为：：3，按照分层抽样的方式从，
中随机抽取5人，分数在中抽取2人，记为，，分数在中抽取3人，记为，，，从这5人中随机抽取2人，利用列举法能求出至少有1人的分数在的
概率．
本题考查概率的求法，考查频率分布直方图、列举法、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：由图得，
因为为函数递增区间上的零点，
所以，即．
因为，所以，
即，
图象变换：
将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍纵坐标不变得到，
再将所得图象向左平移个单位长度得到的图象；
因为，所以，
所以当时，取最小值，
当时，取最大值1，
因为恒成立，即恒成立，
所以，
即．
【解析】现根据图象求出的解析式；再结合图象变化规律说明的图象怎样经过2次变换得到的图象；
先结合正弦函数的性质求出的范围；再结合恒成立问题即可求解．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，诱导公式，函数的图象变换规律，以及恒成立问题，属于中档题．
21.【答案】解：，
化简得
．
．
，
，
，
．
【解析】根据两向量的模相等，利用两点间的距离公式建立等式求得的值，根据的范围求得．
根据向量的基本运算根据求得和的关系式，然后同角和与差的关系可得到，再由可确定答案．
本题主要考查两角和与差的基本关系和三角与向量的综合题．三角函数与向量的综合题是高考的重点，每年必考的，一定多复习．
22.【答案】解：是R上的奇函数，，即．即，化为恒成立，
可得；
在R上递增，
，，
，
函数的值域为；
由可得，，即．
当时，，
则，
令，则有，
函数在上为增函数，
，
，故实数m的取值范围为．
【解析】由是R上的奇函数，可得，应用指数的运算性质，结合恒成立思想，可得a的值；
化，应用指数函数的值域以及不等式的性质，可得的值域；。