第一讲不等式和绝对值不等式(三)续
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2.基本不等式
则x y 的最大值是
。
解决最大（小）值问题
结论：利用
求最值时要注意下面三条：
（1）一正：各项均为正数
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 积定，和最小 两个正数和为定值，积有最大值。 和定，积最大
（3）三相等Βιβλιοθήκη 求最值时一定要考虑不等式是否能取 “＝”。
题型三：构造积为定值，利用基本不等式求最值
ab叫做a,b的 几何平均数
这样，基本不等式可以表述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
注意：
重要不等式与基本不等式有什么区别与联系？
题型一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
例1：设a>0，b>0，给出下列不等式
(1)a 1 2 (2)(a 1 )(b 1) 4
1．利用基本不等式求最值需注意的问题 (1)各数(或式)均为正； (2)和或积其中之一为定值； (3)等号能否成立，
即“一正二定三相等”，这三个条件缺一不可．
注意：要特别注意不等式成立的条件及等号成 立的条件．
创设应用基本不等式的条件 合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而 拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正 必 要时需出现积为定值或和为定值．
第一讲 不等式和绝对值不等式 2、基本不等式及其应用
一、重要不等式(定理一）：
一般地，对于任意实数a,b，我们有
a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
文字语言：两个数的平方和不小于它们积的2倍
二、基本不等式（定理二）
如果a, b>0, 那么
当且仅当a=b时，等号成立。
如果a,b都是正数，我们就称 a b为a,b的 算术平均数 2
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式
B．3
C.523 5
D．4
3 2
解析：y＝3x＋
1 2x2
＝
3x 2
＋
3x 2
＋
1 2x2
≥3
3
33 1 2x·2x·2x2
＝
3 3
98＝323 9.
当且仅当32x＝21x2，即x＝ 3 13时，等号成立． 答案：A
3．设x＞0，则y＝x＋x42的最小值为(
)
ห้องสมุดไป่ตู้
A．2
B．2 2
C．3 2
D．3
解析：y＝x＋x42＝x2＋x2＋x42≥3· 3 x2·x2·x42＝3， 当且仅当x2＝x42时取“＝”号． 答案：D
(3)如果a，b，c∈R＋，那么abc≤
a＋b＋c 3
3
，当且
仅当a＝b＝c时，等号成立．( )
(4)如果a1，a2，a3，…，an都是实数．那么a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理3，只有在a，b，c都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如a＝1，b＝－1，c＝－3，
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[学习目标] 1.探索并了解三个正数的算术—几何平 均不等式的证明过程，会用三项的平均值不等式证明一 些简单问题(难点)． 2.能够利用三项的平均值不等式求 一些特定函数的最值(重点)． 3.会建立函数不等式模 型，会解决简单的应用问题(重点)．
解：设切去的正方形的边长为x，无盖盒子的容积为V， 则V＝(a－2x)2x＝14(a－2x)(a－2x)·4x≤14 （a－2x）＋（3 a－2x）＋4x3＝22a73， 当因且此仅V取当最a－大2值x＝22a473x，，即x＝a6时，等号成立． 故当切去的小正方形边长是原来的正方形的边长的16 时，盒子的容积最大．
高中数学-选修4-5不等式的基本性质
即 加法法则：同向可相加
性质6 若a > b>0 ，且 c >d>0，那么 ac > bd . 也就是说，两边都是正数的同向不等式相乘，所得 的不等式和原不等式同向。
即 乘法法则：同向可相乘
性质7 如果 a > b>0, 那么an bn.(n N, n 1)
也就是说，当不等式的两边都是正数时，不等式两 边同时乘方所得的不等式与原不等式同向
第一讲 不等式和绝对值不等式 1、不等式的基本性质
一、实数比较大小的理论依据
ab0 a b ab0 a b ab0 a b
要比较两个实数的大小，只要考察他们的差与0 的大小就可以了.
二、不等式的基本性质
性质1： 如果 a > b ，那么 b < a ；
如果 b < a ，那么 a > b.
题型3：利用不等式的性质求取值范围
例4：已知12 a 60,15 b 36,求a b 及 a的取值范围。
b
例5：已知f (x) ax2 c,且 4 f (1) 1, 1 f (2) 5,求f (3)的取值范围。
a>b b<a
性质2：如果 a > b ，且 b > c ，那么 a > c .
a > b ，b > c
等价命题是： c<b, b<a
a>c c<a
性质3：如果 a > b，那么 a + c > b + c。
(1) 等价命题：如果 a < b，那么 a + c < b + c
(2) 移项法则：如果 a + b > c，那么 a > c－b
性质6 若a > b>0 ，且 c >d>0，那么 ac > bd . 也就是说，两边都是正数的同向不等式相乘，所得 的不等式和原不等式同向。
即 乘法法则：同向可相乘
性质7 如果 a > b>0, 那么an bn.(n N, n 1)
也就是说，当不等式的两边都是正数时，不等式两 边同时乘方所得的不等式与原不等式同向
第一讲 不等式和绝对值不等式 1、不等式的基本性质
一、实数比较大小的理论依据
ab0 a b ab0 a b ab0 a b
要比较两个实数的大小，只要考察他们的差与0 的大小就可以了.
二、不等式的基本性质
性质1： 如果 a > b ，那么 b < a ；
如果 b < a ，那么 a > b.
题型3：利用不等式的性质求取值范围
例4：已知12 a 60,15 b 36,求a b 及 a的取值范围。
b
例5：已知f (x) ax2 c,且 4 f (1) 1, 1 f (2) 5,求f (3)的取值范围。
a>b b<a
性质2：如果 a > b ，且 b > c ，那么 a > c .
a > b ，b > c
等价命题是： c<b, b<a
a>c c<a
性质3：如果 a > b，那么 a + c > b + c。
(1) 等价命题：如果 a < b，那么 a + c < b + c
(2) 移项法则：如果 a + b > c，那么 a > c－b
2020学年高中数学第1讲不等式和绝对值不等式1不等式3.三个正数的算术几何平均不等式课件新人教A版选修4_5
14
[证明] (1)因为 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又 abc ＝1，
故有 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca ＝ab＋abbcc＋ca ＝1a＋1b＋1c. 所以1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.
15
(2)因为 a，b，c 为正数且 abc＝1，故有 (a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33 a＋b3b＋c3a＋c3 ＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c) ≥3×(2 ab)×(2 bc)×(2 ac) ＝24， 所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
22
[解] 设圆柱形桶的底面半径为 r 米，高为 h 米，则底面积为 πr2 平方米，侧面积为 2πrh 平方米．
设用料成本为 y 元，则 y＝30πr2＋40πrh. ∵桶的容积为π2， ∴πr2h＝π2， ∴rh＝21r.
16
用平均不等式求解实际问题
【例 2】如图所示，在一张半径是 2 米的圆桌的正
中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子
边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不
亮的．由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和
电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正
比，而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即 E＝
5
已知 a，b，c 为正数，则ab＋bc＋ac有( )
A．最小值为 3
B．最大值为 3
C．最小值为 2
D．最大值为 2
A [ab＋bc＋ac≥3 3 ab×bc×ac＝3， 当且仅当ab＝bc＝ac，即 a＝b＝c 时，取等号．]
6
教材整理 2 基本不等式的推广 阅读教材 P9～P9“例 5”以上部分，完成下列问题． 对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均 不小于 它们 的几何平均，即a1＋a2＋n …＋an ≥ n a1a2…an，当且仅当 a1＝a2＝… ＝an 时，等号成立．
不等式的基本性质
4 3 2
4
3
2
= 2x (x -1)+(1- x)(1+ x) 3 =(x -1)(2x - x -1) 2 = (x 1)(x 1)(2x 2x 1) 1 1 = (x -1) 2(x + 2) + 2 > 0
2 2
3
∴A>B
1、不等式的基本性质： ①对称性： a b b a
考点突破 利用不等式性质判断命题真假 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的 条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意 捏造性质．解有关不等式的简单判断和选择题时，
也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵
循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简
单，便于验证计算．
对于实数 a，b，c，下列命题中的真命题 是( ) A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 1 1 B．若 a＞b＞0，则a＞b b a C．若 a＜b＜0，则 ＞ a b 1 1 D．若 a＞b，a＞b，则 a＞0，b＜0
本专题知识结构
第一讲 不等式和绝对值不等式
不 等 式 选 讲
第二讲 证明不等式的基本方法 第三讲 柯西不等式与排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式
第一讲
不等式和绝对值不等式
1.不等式的基本性质
知识回顾
A B a b b>a B b
a>b
A a
a>b a-b>0
解：
2
2
2 2 2
4 2 4
4
,
4
4
3
2
= 2x (x -1)+(1- x)(1+ x) 3 =(x -1)(2x - x -1) 2 = (x 1)(x 1)(2x 2x 1) 1 1 = (x -1) 2(x + 2) + 2 > 0
2 2
3
∴A>B
1、不等式的基本性质： ①对称性： a b b a
考点突破 利用不等式性质判断命题真假 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的 条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意 捏造性质．解有关不等式的简单判断和选择题时，
也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵
循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简
单，便于验证计算．
对于实数 a，b，c，下列命题中的真命题 是( ) A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 1 1 B．若 a＞b＞0，则a＞b b a C．若 a＜b＜0，则 ＞ a b 1 1 D．若 a＞b，a＞b，则 a＞0，b＜0
本专题知识结构
第一讲 不等式和绝对值不等式
不 等 式 选 讲
第二讲 证明不等式的基本方法 第三讲 柯西不等式与排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式
第一讲
不等式和绝对值不等式
1.不等式的基本性质
知识回顾
A B a b b>a B b
a>b
A a
a>b a-b>0
解：
2
2
2 2 2
4 2 4
4
,
4
第一讲 不等式和绝对值不等式综合
1 已知： 求函数y=x y=x（ 3x） 1. 已知：0＜x＜ ，求函数y=x（1-3x）的最大值 3 配凑成和成 ， 分析一、 原函数式可化为： 分析一、 原函数式可化为：y=-3x2+x， 定值 利用二次函数求某一区间的最值
分析二、 分析二、 挖掘隐含条件
3x＞ ∵3x+1-3x=1为定值， ∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜1 则1-3x＞0； 为定值 3 1 3x＞ 可用均值不等式法 ∵0＜x＜ ，∴1-3x＞0 ∵0＜ 3 1 3x +1− 3x 2 1 1• ∴y=x（ 3x） 3x（ 3x） ∴y=x（1-3x）= 3x（1-3x）≤ ( )= 3 12
a,b, x, y ∈ R
+
x + y 的最小值 a b ay xb x 解： + y = ( x + y ) ⋅ 1 = ( x + y )( + ) = a + b + +
x y x y
a b ， + =1 且 x y
ay xb ≥ a+b+2 ⋅ = ( a + b)2 x y
ay xb = 当且仅当 x y
当且仅当a = b = c时,等号成立.
(2)a + b + c为定值时
a + b + c ≥ 3 abc
3
a+b+c 3 abc ≤ ( ) 3 当且仅当a = b = c时,等号成立.
关于“平均数”的概念： 关于“平均数”的概念： 1．如果 a1 , a2 ,L , an ∈ R , n > 1且n ∈ N
3
2
3x=1当且仅当 3x=1-3x 即x=1 时 y
高中数学——不等式的基本性质
第一性质
(第一课时)
观察以下四个不等式：
a+2 > a+1----------------(1) a+3>3a-------------------(2) 3x+1<2x+6--------------(3) x<a------------------------(4)
要比较两个实数a与b的大小，可以转化为比
较它们的差a - b 与0的大小。在这里，0为实数
比较大小提供了“标杆”。
例1、试比较 2x4+1 与 2x3+x2 的大小
解： (2x4+1) - (2x3+x2 ) = 2x4+1 - 2x3 _ x2 = (2x4 - 2x3 )- (x2 -1) = 2x3 (x -1) - (x -1) (x +1) = (x－1) [2x3 - (x +1) ] = (x－1)[(2x3－2x2) + (2x2－2x) + (x－1)] = (x -1)2 (2x2 + 2x + 1) = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] 技能： 分组组合；添项、拆项；配方法。
练习
比较x2+y2与xy+x+y-1的大小．
【解题回顾】用作差比较法比较两个实数的大小，步骤 是：作差——变形——判断符号．常见的变形 手段是通分、因式分解或配方等；变形的结果 是常数、若干个因式的积或完全平方式等.
例2、比较
练习题
1. 已知 x≠0 , 比较 (x2 +2)2 与 x4+x2 +4的 大小. 2.比较 (x2 +2)2 与 x4+5x2 +2的大小 3. 比较 x3 与 x2-x + 1的大小.
(第一课时)
观察以下四个不等式：
a+2 > a+1----------------(1) a+3>3a-------------------(2) 3x+1<2x+6--------------(3) x<a------------------------(4)
要比较两个实数a与b的大小，可以转化为比
较它们的差a - b 与0的大小。在这里，0为实数
比较大小提供了“标杆”。
例1、试比较 2x4+1 与 2x3+x2 的大小
解： (2x4+1) - (2x3+x2 ) = 2x4+1 - 2x3 _ x2 = (2x4 - 2x3 )- (x2 -1) = 2x3 (x -1) - (x -1) (x +1) = (x－1) [2x3 - (x +1) ] = (x－1)[(2x3－2x2) + (2x2－2x) + (x－1)] = (x -1)2 (2x2 + 2x + 1) = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] 技能： 分组组合；添项、拆项；配方法。
练习
比较x2+y2与xy+x+y-1的大小．
【解题回顾】用作差比较法比较两个实数的大小，步骤 是：作差——变形——判断符号．常见的变形 手段是通分、因式分解或配方等；变形的结果 是常数、若干个因式的积或完全平方式等.
例2、比较
练习题
1. 已知 x≠0 , 比较 (x2 +2)2 与 x4+x2 +4的 大小. 2.比较 (x2 +2)2 与 x4+5x2 +2的大小 3. 比较 x3 与 x2-x + 1的大小.
第一讲 不等式和绝对值不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法
如下：
(1)分离参数法：
运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立
中的参数范围问题．
(2)更换主元法：
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常 困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，
常可得到简捷的解法．
5 ②当－ ≤x≤2 时， 2 3 原不等式变形为 2－x－2x－5>2x，解得 x<－ . 5 5 3 ∴解集为{x|－ ≤x<－ }． 2 5 ③当 x>2 时，原不等式变形为 x－2－2x－5>2x， 7 解得 x<－ ，∴原不等式无解． 3 3 综上可得，原不等式的解集为{x|x<－ }. 5
2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：5
3．(2011· 陕西高考)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R 恒成立，则a的取值范围是________．
解析：令 f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝ －2x＋1x≤－1， 3－1<x<2， 2x－1x≥2， ∴f(x)≥3. ∵|x＋1|＋|x－2|≥a 对任意 x∈R 恒成立，∴a≤3.
[解析]
x＋3z 由 x－2y＋3z＝0 得 y＝ ， 2
2 2 y2 x ＋9z ＋6xz 6xz＋6xz 则xz＝ ≥ ＝3， 4xz 4xz
当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
[答案]
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 1 [例 3] 设 a， c 为正实数， b， 求证：3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c 1 [证明]因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得 3＋ a
3绝对值不等式
所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε.
定理2 如果a, b, c是实数，那么
|a-c|≤|a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。
证明：根据绝对值三角不等式有 |a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。
例 : 若 x m , y m ,下列不等式中一定成立的是( B )
①分段讨论法：
|
ax
b
|
c(c
0)
ax ax
b b
0 c
或
ax b 0 (ax b)
c
|
ax
b
|
c(c
0)
ax ax
b b
0 c
或
ax b 0 (ax b)
c
②换元法：令t=ax+b, 转化为|t|≤c和|t|≥c 型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。
绝对值不等式的解法
探究 你能根据定理1的研究思路，探究一下 |a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？例如： |a|-|b|与|a+b|，|a|+|b|与|a-b|，|a|-|b|与 |a-b|等之间的关系。
|a|-|b|≤|a+b|,
|a|+|b|≥|a-b|,
|a|-|b|≤|a-b|.
如果a, b是实数，那么
A1 A -3 -2
B B1
12
x
解 法1： 设 数 轴 上 与 2，1对 应 的 点 分 别 是A，，B
那 么A，， 两 点 的 距 离 是3， 因 此 区 间 2，1上 的
定理2 如果a, b, c是实数，那么
|a-c|≤|a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。
证明：根据绝对值三角不等式有 |a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。
例 : 若 x m , y m ,下列不等式中一定成立的是( B )
①分段讨论法：
|
ax
b
|
c(c
0)
ax ax
b b
0 c
或
ax b 0 (ax b)
c
|
ax
b
|
c(c
0)
ax ax
b b
0 c
或
ax b 0 (ax b)
c
②换元法：令t=ax+b, 转化为|t|≤c和|t|≥c 型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。
绝对值不等式的解法
探究 你能根据定理1的研究思路，探究一下 |a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？例如： |a|-|b|与|a+b|，|a|+|b|与|a-b|，|a|-|b|与 |a-b|等之间的关系。
|a|-|b|≤|a+b|,
|a|+|b|≥|a-b|,
|a|-|b|≤|a-b|.
如果a, b是实数，那么
A1 A -3 -2
B B1
12
x
解 法1： 设 数 轴 上 与 2，1对 应 的 点 分 别 是A，，B
那 么A，， 两 点 的 距 离 是3， 因 此 区 间 2，1上 的
第一讲 不等式和绝对值不等式(3)
第一讲不等式和绝对值不等式
五: 绝对值不等式
绝对值的几何意义
|a|
0
o
a
A
x
表示数轴上坐标为a 表示数轴上坐标为a 的点A 的点A到原点的距离
A B 表示数轴上坐标为a 表示数轴上坐标为a、b 的两点A 的两点A、B之间的距离
a
|a-b|
b
x
定理1 绝对值三角不等式) 定理1 (绝对值三角不等式) ------如果 如果a 是实数, |a+b|≤ ------如果a、b是实数,则|a+b|≤|a|+|b| ------当且仅当ab≥0时 当且仅当ab≥0 ------当且仅当ab≥0时,等号成立
综合1 知定理成立. 综合10,20知定理成立.
定理1 绝对值三角不等式) 定理1 (绝对值三角不等式) ------如果 如果a 是实数, |a+b|≤ ------如果a、b是实数,则|a+b|≤|a|+|b| ------当且仅当ab≥0时 当且仅当ab≥0 ------当且仅当ab≥0时,等号成立
uuuur a+b r a r b
r a
uuuur a+b
r b
如果a 是向量, |a+b|≤ 定理 如果a、b是向量,则|a+b|≤|a|+|b| ------当且仅当 当且仅当a 同向时, ------当且仅当a、b 同向时,等号成立
定理2 如果a 是实数, 定理2 如果a、b、c是实数, -------那么|a-c|≤|a-b|+|b那么|a -------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c| -------当且仅当(a-b)(b当且仅当(a ≥0时 等号成立. -------当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立. 定理3 如果a 是实数, 定理3 如果a、b是实数, -------那么||a|-|b||≤ 那么||a| -------那么||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b| 当且仅当ab 当且仅当ab ≤0时, 等号成立. 等号成立. -
五: 绝对值不等式
绝对值的几何意义
|a|
0
o
a
A
x
表示数轴上坐标为a 表示数轴上坐标为a 的点A 的点A到原点的距离
A B 表示数轴上坐标为a 表示数轴上坐标为a、b 的两点A 的两点A、B之间的距离
a
|a-b|
b
x
定理1 绝对值三角不等式) 定理1 (绝对值三角不等式) ------如果 如果a 是实数, |a+b|≤ ------如果a、b是实数,则|a+b|≤|a|+|b| ------当且仅当ab≥0时 当且仅当ab≥0 ------当且仅当ab≥0时,等号成立
综合1 知定理成立. 综合10,20知定理成立.
定理1 绝对值三角不等式) 定理1 (绝对值三角不等式) ------如果 如果a 是实数, |a+b|≤ ------如果a、b是实数,则|a+b|≤|a|+|b| ------当且仅当ab≥0时 当且仅当ab≥0 ------当且仅当ab≥0时,等号成立
uuuur a+b r a r b
r a
uuuur a+b
r b
如果a 是向量, |a+b|≤ 定理 如果a、b是向量,则|a+b|≤|a|+|b| ------当且仅当 当且仅当a 同向时, ------当且仅当a、b 同向时,等号成立
定理2 如果a 是实数, 定理2 如果a、b、c是实数, -------那么|a-c|≤|a-b|+|b那么|a -------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c| -------当且仅当(a-b)(b当且仅当(a ≥0时 等号成立. -------当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立. 定理3 如果a 是实数, 定理3 如果a、b是实数, -------那么||a|-|b||≤ 那么||a| -------那么||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b| 当且仅当ab 当且仅当ab ≤0时, 等号成立. 等号成立. -
含多个绝对值的不等式的解法(人教A版选修4-5)
小结2：函数图像法解题步骤
1.构造函数 2.分段讨论去掉绝对值符号，写成分段函数 3.画出函数图像 4.观察图像，结合函数零点及不等号写出解集
小结3：利用绝对值的几何意义，先找边界值，再结合 数轴观察求解
变 式 训 练
三、自主练习
1．解不等式|x－1|＋|x－2|>5.
解析：方法一 分类讨论|x－1|＝0.|x－2|＝0的根1,2 把数轴分成三个区间．在这三个区间上，根据绝对值的定 义．代数式|x－1|＋|x－2|有不同的解析表达式，因而原不 等式的解集为以下三个不等式组解集的并集．
(1)因为在x≤1的限制条件之下：
|x－1|＋|x－2|＝1－x＋2－x＝3－2x，所以当x≤1时，
|x－1|＋|x－2|>5⇔3－2x>5⇔2x<－2⇔x<－1.
变 式 训 练
x≤1， 因此不等式组 的解集为(－∞，－1)． |x－1|＋|x－2|>5
(2)因为在 1<x<2 的限制条件之下： |x－1|＋|x－2|＝x－1＋2－x＝1. 所以当 1<x<2 时．不等式|x－1|＋|x－2|>5 无解． 1<x<2， 因此不等式组 的解集为∅. |x－1|＋|x－2|>5 (3)由于在 x≥2 的限制条件之下： |x－1|＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3， 所以当 x≥2 时，|x－1|＋|x－2|>5⇔2x－3>5⇔ a 0 a 0 a a 0
• 3.解绝对值不等式的关键是 • 4.去绝对值的常用方法有
二、新课教学
例1 解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.
小结1：零点分段讨论法的解题步骤 1.求零点，即求使各绝对值等于零的值，并按顺序标 在数轴上，划分区间 2.分区间讨论，去掉绝对值符号并解不等式（组）， 得到每一区间上的解集 3.求每一区间所得解集的并集，即为原不等式的解集
选修4-5不等式选讲
选修4-5 不等式选讲
根据课程标准，本专题介绍一些重 要的不等式和它们的证明、数学归纳法 和它的简单应用。
本专题的内容是在初中阶段掌握了 不等式的基本概念，学会了一元一次不 等式、一元一次不等式组的解法，多数 学生在学习高中必修课五个模块的基础 上展开的．作为一个选修专题，教科书 在内容的呈现上保持了相对的完整性．
第二部分讨论了有关绝对值不等式的性质及 绝对值不等式的解法．绝对值是与实数有关 的一个基本而重要的概念，讨论关于绝对值 的不等式具有重要的意义．
• 绝对值三角不等式是一个基本的结论，教 科书首先引导学生借助于实数在数轴上的 表示和绝对值的几何意义，探究归纳出绝 对值三角不等式，接着联系向量形式的三 角不等式，得到绝对值三角不等式的几何 解释，最后用代数方法给出证明．这样， 数形结合，引导学生多角度认识这个不等 式，逐步深化对它的理解．利用绝对值三 角不等式可以解决一种特殊形式的函数的 极值问题，教科书安排了一个这样的实际 问题。
• 课程标准对于本专题的几个教学内容都明 确的教学要求，如：对于解含有绝对值的 不等式，只要求能解几种特殊类型的不等 式，不要求学生会解各种类型的含有绝对 值的不等式。对于数学归纳法证明不等式 的要求也只要求会证明一些简单问题。只 要求通过一些简单问题了解证明不等式的 基本方法，会利用所学的不等式证明一些 简单不等式，等等。
数学归纳法证明一些简单问题。 7．会用数学归纳法证明贝努利不等式：
(1＋x)n ＞1＋nx（x＞-1,n为正整数）。
了解当n为实数时贝努利不等式也成立。
• 8．会用上述不等式证明一些简单问 题。能够利用平均值不等式、柯西 不等式求一些特定函数的极值。
• 9．通过一些简单问题了解证明不等 式的基本方法：比较法、综合法、 分析法、反证法、放缩法。
根据课程标准，本专题介绍一些重 要的不等式和它们的证明、数学归纳法 和它的简单应用。
本专题的内容是在初中阶段掌握了 不等式的基本概念，学会了一元一次不 等式、一元一次不等式组的解法，多数 学生在学习高中必修课五个模块的基础 上展开的．作为一个选修专题，教科书 在内容的呈现上保持了相对的完整性．
第二部分讨论了有关绝对值不等式的性质及 绝对值不等式的解法．绝对值是与实数有关 的一个基本而重要的概念，讨论关于绝对值 的不等式具有重要的意义．
• 绝对值三角不等式是一个基本的结论，教 科书首先引导学生借助于实数在数轴上的 表示和绝对值的几何意义，探究归纳出绝 对值三角不等式，接着联系向量形式的三 角不等式，得到绝对值三角不等式的几何 解释，最后用代数方法给出证明．这样， 数形结合，引导学生多角度认识这个不等 式，逐步深化对它的理解．利用绝对值三 角不等式可以解决一种特殊形式的函数的 极值问题，教科书安排了一个这样的实际 问题。
• 课程标准对于本专题的几个教学内容都明 确的教学要求，如：对于解含有绝对值的 不等式，只要求能解几种特殊类型的不等 式，不要求学生会解各种类型的含有绝对 值的不等式。对于数学归纳法证明不等式 的要求也只要求会证明一些简单问题。只 要求通过一些简单问题了解证明不等式的 基本方法，会利用所学的不等式证明一些 简单不等式，等等。
数学归纳法证明一些简单问题。 7．会用数学归纳法证明贝努利不等式：
(1＋x)n ＞1＋nx（x＞-1,n为正整数）。
了解当n为实数时贝努利不等式也成立。
• 8．会用上述不等式证明一些简单问 题。能够利用平均值不等式、柯西 不等式求一些特定函数的极值。
• 9．通过一些简单问题了解证明不等 式的基本方法：比较法、综合法、 分析法、反证法、放缩法。
不等式的基本性质
题型一
题型二
题型三
题型四
反思对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等
式的相关性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、
取倒数、开方、平方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去
选正确的选项,这种方法一般要注意选取的值应具有某个方面的代
表性,如选取0、正数、负数等.
题型一
题型二
谢谢！
≤ .
2 2 2 2
2
2
2
题型一
题型二
题型三
题型四
π+ππ≤ 和− ≤2
2
2
2
-
π
π
≤ 的错误,导致该种错误的原因是忽视了 , 不能同时取到
2
2
2 2
4
π
和 − 以及忽视了α,β 的大小关系.
4
错因分析:在解答本题的过程中易出现 − ≤
题型一
题型二
正解: ∵
题型三
题型四
π
π
− 2≤α<β≤2,
π π -
π
即
的取值范围为 - ,
,
的取值范围为 - ,0 .
2
2 2 2
2
题型一
题型二
题型三
题型四
反思求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面,严
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.
在使用不等式的性质时,如果是由两个变量的取值范围求其差的取
值范围,一定不能直接作差,而要先转化为同向不等式后再求和.
第一讲 不等式
和绝对值不等式
一 不等式
1.不等式的基本
性质
学习目标：
高中数学教案 选修4-5教案 第一讲 不等式和绝对值不等式 二 绝对值不等式(1)——绝对值三角不等式
绝对值三角不等式目的要求： 理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明不等式 重点难点： 绝对值三角不等式。
教学设计：一、 引入：实数a 的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a 的点A 到原点的距离：任意两个实数a,b 在数轴上的对应点分别为A 、B ，那么|a-b|的几何意义是A 、B 两点间的距离。
二、 给出定理1.综上所述可得定理：定理1 如果a, b 是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立。
（这个不等式称为绝对值三角不等式。
）2.探究 如果把定理1中的实数a, b 分别换成向量a, b, 能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？3.探究 当向量a, b 共线时，有怎样的结论？Ob ba b a ab +=+>有当,0)1(xOba+b 时当0)2(<ab ba b a b a i +<+<>有时当,0,0)(.,,之间的关系下面研究b a b a +ab b a +xyO.||||||,,,,,,,,,,b a b a b a b a b a b a b a +<++不等式因此我们有向量形式的构成三角形向量三角形法则的法加量由向么那时不共线当向量分别替换用向量在上面的不等式中.边形的两边之和大于第三它的几何意义就是三角4..,1度给出它的证明我们再从代数推理的角为了更好地理解定理：5.5.等之间的关系与与与例如吗系关间的其他之等探究一下的研究思路根据定理能你探究|||||||,||||||,||||:|?||,||,||,||,1b a b a b a b a b a b a b a b a b a ---++--+ 我们有例如题实数的绝对值不等式问我们可以讨论涉及多个方法根据这样的思想最基本、最重要的是这个实数的绝对值不等式以上我们讨论了关于两,.,.,?2的几何解释吗你能给定理探究三、 教学实例：关于绝对值三角不等式的简单应用，只要对不等式稍加变形即可.我们有一般地,.||||||b a b a +≤+|,|,0ab ab ab =≥时当证明()2||b a b a +=+22||||2||b ab a ++=()2||||b a +=||b a +=|,|,0ab ab ab -=<时当()2||b a b a +=+22||||2||b ab a +-=22||2bab a ++<22||||2||b ab a ++=()2||||b a +=||b a +=.||||||b a b a +≤+所以.,0等号成立时当且仅当≥ab ∙∙∙xa bcCBA52.1-图∙∙∙xa bcCBA62.1-图.2.,,62.1的几何解释情形时定理请同学们自己给出其他之间时的一种情形不在给出了当点如图C A B -.||||||||||,,.,b a b a b a b a +≤-≤-那么是实数例如果的结论我们可以得出许多正确事实上()().,0,||||||,,,2等号成立时当且仅当那么是实数如果定理≥---+-≤-c b b a c b b a c a c b a .||||||,,,,,,,,,52.1c b b a c a C A B C B A c b a -+-=--之间时在当点所对应的点分别为在数轴上如图.5|3232|,||,||,01εεεε<--+<-<->b a y x b y a x 求证已知例有关绝对值三角不等式的实际应用题，首先把实际问题转化为数学问题，在求解。
5.2不等式和绝对值不等式(四)课件(人教A版选修4-5)
课外练习:
1.解不等式|2x-4|-|3x+9|<1
2.对任意实数 x，若不等式|x+1| |x 2|>k 恒成立， 则 k 的取值范围是（B ） ( A)k 3 ( B)k 3 (C )k ≤ 3 ( D) k ≤ 3
3.不等式 x 4 x 3 a 有解的条件是( B )
5.解不等式: x 5 2x 3 1
5答案
补充练习: 5.解不等式 x 5 2x 3 1.
解: (零点分段讨论法)如图 ⑴当 x >5 时,原不等式可变形为 x 5 (2 x 3) 1,∴ x <9,∴5< x <9; 3 ⑵当 x ≤ 5 时,原不等式可变形为 5 x (2 x 3) 1, 2 1 1 ∴ x ∴ x ≤5; 3 3 3 ⑶当 x ≤ 时,原不等式可变形为 5 x (2x 3) 1 , 2 ∴ x 7 ,∴ x 7 1 ∴综上所述,原不等式的解集为 (, 7) ( , ) 3
还有没有其他方法?
2.怎么解不等式|x-1|+|x+2|≥5 呢?
解绝对值不等式关键是去绝对值符号, 你有什么方法解决这个问题呢?
方法一：利用绝对值的几何意义(体现了数形结 合的思想).
解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或x=2
-3 -2
所以原不等式的解为 x x ≥ 2或x ≤ 3
第一讲不等式和绝对值不等式（三）
接上节课思考
知识要点
练习第1题
练习第2题
课堂练习
上节课的 课外练习 讲解
方法小结
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不 等式（组） ，根据式子的特点可用下列解法公式进行转化：
新老教材中不等式内容对比
新老教材中“不等式”内容对比1新老教材中“不等式”内容的差异内容分布对比基本不等式内容差异比较新老教材中的不等式的内容，明显的差异在于新教材的必修与选修内容的总和超过了老教材，把原解读几何中的“二元一次不等式（组）与简单的线性规划”放在必修中，把“柯西不等式与排序不等式”、“数学归纳法”及“用数学归纳法证明不等式”也放在了选修中，如果确实选修了，将使不等式的学习内容更加完整和丰富。
2“课标”i与“大纲”ii要求的差异2.1“课标”的要求“课标必修”要求学生通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其i相应于新教材的“数学课程标准”简称为“课标”。
ii相应于老教材的“数学教案大纲”简称为“大纲”。
简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。
由于云南省目前规定学生水平考试的内容仅是必修1—5，共10个学分。
而“课标”中明确指出选修系列4中的专题不是必选内容，因此云南学生一方面得根据高考考试大纲及考试内容，另一方面又得根据学校的课时量及学生实际情况选择系列4中的专题进行学习。
如果选修专题4-4，将会特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。
2.2 “大纲”的要求“大纲”中要求理解不等式的性质及其证明；掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握二次不等式、简单的绝对值不等式和简单的分式不等式的解法；理解不等式。
2新教材的优点与不足3.1 新教材的优点新教材特别重视知识的生长点及应用价值。
课本开篇从问题导入不等式，用5个问题说明日常生活、生产实践、工作、数学问题本身都存在着大量的不等关系，为了研究这些不等关系，必须对不等式的性质及内容进行学习，当给出了不等式的性质后，只通过一个例题简单地应用了不等式的性质，然后就是练习和习题，而且习题中又出现了5个生活、生产实践、工作、数学问题中需要用不等式表达或解决的问题，让学生真正感受到不等关系与不等式的大量存在，体会不等关系的意义和价值。
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方法二：利用|x-1|=0,|x+2|=0的零点,把数轴分为三段, 然后分段考虑把原不等式转化为不含绝对值符号的不等 式求解（零点分段讨论法）.(体现了分类讨论的思想)
解:(1)当x>1时，原不等式同解于 x>1 x≥2 (x-1)+(x+2) ≥5 (2)当-2≤x≤1时，原不等式同解于
-(x-1)+(x+2) ≥5 (3)当x<-2时，原不等式同解于 x<-2 x≤-3 -(x-1)-(x+2) ≥5 综合上述知不等式的解集为 x x ≥ 2 或 x ≤ 3
则 a 与 b 的值为（ ） D (A) a
1, b 3
(B) a
1, b 3
(C) a 1, b 3 (D) a
1 2
,b
3 2
3.不等式 4.不等式
x2 ≥ x
x3 x 1 x
1, 的解集是___________.
的解集是
{x | x ．
解绝对值不等式关键是去绝对值符号, 你有什么方法解决这个问题呢?
方法一：利用绝对值的几何意义(体现了数形结 合的思想).
解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或x=2
所以原不等式的解为 x x ≥ 2 或 x ≤ 3
-3 -2 1 2
方法回顾
2几何意义
、分类讨论
、函数图象
2.解不等式|x-1|+|x+2|≥5
( A)k 3 ( B ) k 3 (C ) k ≤ 3
x3 a
(D ) k ≤ 3
3.不等式 x 4
( A )0 a 1 10
有解的条件是( B )
(C ) a 1 10
( B )a 1
( D )a 1
1.解不等式|2x-4|-|3x+9|<1 解：１０当x>2时，原不等式可化为 x>2 x>2 (2x-4)-(3x+9)<1 2０当-3≤x≤2时，原不等式可化为
x ≥ 4或 x ≤ 1 1 x 4 或 x 5或 x 1 1 x 3
x 5 或 x 1或 1 x 3
∴
原不等式的解集为
5 或 x 1或 1 x 3 }
x | x
．
还有没有其他方法?
2.怎么解不等式|x-1|+|x+2|≥5 呢?
3}
5.解不等式:
x 5 2x 3 1
5答案
补充练习: 5.解不等式
x 5 2x 3 1.
解: (零点分段讨论法)如图 ⑴当 x >5 时,原不等式可变形为 x 5 (2 x 3) 1 ,∴ x <9,∴5< x <9; ⑵当 ∴
1 3 3 2 x∴ 3 2 1 3 x x≤ 5
x x ≥ 2 或 x ≤ 3
方法小结
-3
-2
2
x
课堂练习: 1. 不等式 |x2－5x+6|≤x2－4 的解集( A ) (A){x| x≥2} (B){x| x≤2} (C){x| x≥
4 5
}(D){ x |
4 5
x ≤ 2}
2. 设不等式 x a b 的解集为 x 1 x 2 ，
1答案 2几何意义 、分类讨论 、函数图象
1.解不等式 | x 2 3 x 4 | 解:原不等式等价于
x2 3x 4≥ 0 （Ⅰ） 2 x 3x 4 x 1
x 1．
x2 3x 4 0 或 （Ⅱ） 2 ( x 3 x 4) x 1
-2 ≤ x ≤ 1
x
2.解不等式|x-1|+|x+2|≥5 方法三：通过构造函数，利用函数的图象(体现了 函数与方程的思想)． 解 原不等式化为|x-1|+|x+2|-5 ≥0 令f(x)=|x-1|+|x+2|-5 ,则 (x-1)+(x+2)-5 (x>1) f(x)= -(x-1)+(x+2)-5 (-2≤x≤1) y -(x-1)-(x+2)-5 (x<-2) 2x-4 (x>1) f(x)= -2 (-2≤x≤1) -2x-6 (x<-2) 1 -2 由图象知不等式的解集为
⑵ f x a ( a 0 ) a f x a；
⑶ f x g ( x ) f x g ( x ) 或 f x g ( x )；
⑷ f x g ( x ) g ( x ) f x g ( x )；
-3 ≤ x ≤ 2
6 5
x≤ 2
6 综上所述,原不等式的解集为 x x 或 x 1 3 5
-(2x-4)-(3x+9)<1 3０当x<-3时，原不等式可化为 x<-3 x<-13 -(2x-4)+(3x+9)<1
⑸
f
x gx f x 2 g x
2
课堂练习二(挑战)：
1.试解不等式 |
x 3 x 4 | x 1 ．
2
尝试 1:分类讨论去绝对值符号.
尝试 2:运用推广的解法公式. 尝试 3:数形结合(函数图象).
2.试解不等式|x -1|+|x +2|≥5 解绝对值不等式关键是去绝对值符号, 你有什么方法解决这个问题呢?
主要方法有： ⑴同解变形法:运用解法公式直接转化； ⑵定义法:分类讨论去绝对值符号； ①含一个绝对值符号直接分类；②含两个或两 个以上绝对值符号:零点分段法确定. ⑶数形结合（运用绝对值的几何意义）; ⑷利用函数图象来分析.
课外练习:
1.解不等式|2x-4|-|3x+9|<1
2.对任意实数 x，若不等式|x+1| |x 2|>k 恒成立， 则 k 的取值范围是（B ）
第一讲不等式和绝对值不等式（三）
接上节课思考
知识要点
练习第1题
练习第2题
课堂练习
上节课的 课外练习 讲解
方法小结
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不 等式（组） ，根据式子的特点可用下列解法公式进行转化：
⑴ f x a ( a 0 ) f x a 或 f x a；
时,原不等式可变形为 5 x ( 2 x 3) 1 , ≤5;
⑶当 x ≤
时,原不等式可变形为 5 x (2 x 3) 1 ,
7
1 3 , )
∴ x 7 ,∴ x
∴综上所述,原不等式的解集为 ( , 7 ) (
方法小结: 解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号 转化为一般不等式来处理。
解:(1)当x>1时，原不等式同解于 x>1 x≥2 (x-1)+(x+2) ≥5 (2)当-2≤x≤1时，原不等式同解于
-(x-1)+(x+2) ≥5 (3)当x<-2时，原不等式同解于 x<-2 x≤-3 -(x-1)-(x+2) ≥5 综合上述知不等式的解集为 x x ≥ 2 或 x ≤ 3
则 a 与 b 的值为（ ） D (A) a
1, b 3
(B) a
1, b 3
(C) a 1, b 3 (D) a
1 2
,b
3 2
3.不等式 4.不等式
x2 ≥ x
x3 x 1 x
1, 的解集是___________.
的解集是
{x | x ．
解绝对值不等式关键是去绝对值符号, 你有什么方法解决这个问题呢?
方法一：利用绝对值的几何意义(体现了数形结 合的思想).
解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或x=2
所以原不等式的解为 x x ≥ 2 或 x ≤ 3
-3 -2 1 2
方法回顾
2几何意义
、分类讨论
、函数图象
2.解不等式|x-1|+|x+2|≥5
( A)k 3 ( B ) k 3 (C ) k ≤ 3
x3 a
(D ) k ≤ 3
3.不等式 x 4
( A )0 a 1 10
有解的条件是( B )
(C ) a 1 10
( B )a 1
( D )a 1
1.解不等式|2x-4|-|3x+9|<1 解：１０当x>2时，原不等式可化为 x>2 x>2 (2x-4)-(3x+9)<1 2０当-3≤x≤2时，原不等式可化为
x ≥ 4或 x ≤ 1 1 x 4 或 x 5或 x 1 1 x 3
x 5 或 x 1或 1 x 3
∴
原不等式的解集为
5 或 x 1或 1 x 3 }
x | x
．
还有没有其他方法?
2.怎么解不等式|x-1|+|x+2|≥5 呢?
3}
5.解不等式:
x 5 2x 3 1
5答案
补充练习: 5.解不等式
x 5 2x 3 1.
解: (零点分段讨论法)如图 ⑴当 x >5 时,原不等式可变形为 x 5 (2 x 3) 1 ,∴ x <9,∴5< x <9; ⑵当 ∴
1 3 3 2 x∴ 3 2 1 3 x x≤ 5
x x ≥ 2 或 x ≤ 3
方法小结
-3
-2
2
x
课堂练习: 1. 不等式 |x2－5x+6|≤x2－4 的解集( A ) (A){x| x≥2} (B){x| x≤2} (C){x| x≥
4 5
}(D){ x |
4 5
x ≤ 2}
2. 设不等式 x a b 的解集为 x 1 x 2 ，
1答案 2几何意义 、分类讨论 、函数图象
1.解不等式 | x 2 3 x 4 | 解:原不等式等价于
x2 3x 4≥ 0 （Ⅰ） 2 x 3x 4 x 1
x 1．
x2 3x 4 0 或 （Ⅱ） 2 ( x 3 x 4) x 1
-2 ≤ x ≤ 1
x
2.解不等式|x-1|+|x+2|≥5 方法三：通过构造函数，利用函数的图象(体现了 函数与方程的思想)． 解 原不等式化为|x-1|+|x+2|-5 ≥0 令f(x)=|x-1|+|x+2|-5 ,则 (x-1)+(x+2)-5 (x>1) f(x)= -(x-1)+(x+2)-5 (-2≤x≤1) y -(x-1)-(x+2)-5 (x<-2) 2x-4 (x>1) f(x)= -2 (-2≤x≤1) -2x-6 (x<-2) 1 -2 由图象知不等式的解集为
⑵ f x a ( a 0 ) a f x a；
⑶ f x g ( x ) f x g ( x ) 或 f x g ( x )；
⑷ f x g ( x ) g ( x ) f x g ( x )；
-3 ≤ x ≤ 2
6 5
x≤ 2
6 综上所述,原不等式的解集为 x x 或 x 1 3 5
-(2x-4)-(3x+9)<1 3０当x<-3时，原不等式可化为 x<-3 x<-13 -(2x-4)+(3x+9)<1
⑸
f
x gx f x 2 g x
2
课堂练习二(挑战)：
1.试解不等式 |
x 3 x 4 | x 1 ．
2
尝试 1:分类讨论去绝对值符号.
尝试 2:运用推广的解法公式. 尝试 3:数形结合(函数图象).
2.试解不等式|x -1|+|x +2|≥5 解绝对值不等式关键是去绝对值符号, 你有什么方法解决这个问题呢?
主要方法有： ⑴同解变形法:运用解法公式直接转化； ⑵定义法:分类讨论去绝对值符号； ①含一个绝对值符号直接分类；②含两个或两 个以上绝对值符号:零点分段法确定. ⑶数形结合（运用绝对值的几何意义）; ⑷利用函数图象来分析.
课外练习:
1.解不等式|2x-4|-|3x+9|<1
2.对任意实数 x，若不等式|x+1| |x 2|>k 恒成立， 则 k 的取值范围是（B ）
第一讲不等式和绝对值不等式（三）
接上节课思考
知识要点
练习第1题
练习第2题
课堂练习
上节课的 课外练习 讲解
方法小结
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不 等式（组） ，根据式子的特点可用下列解法公式进行转化：
⑴ f x a ( a 0 ) f x a 或 f x a；
时,原不等式可变形为 5 x ( 2 x 3) 1 , ≤5;
⑶当 x ≤
时,原不等式可变形为 5 x (2 x 3) 1 ,
7
1 3 , )
∴ x 7 ,∴ x
∴综上所述,原不等式的解集为 ( , 7 ) (
方法小结: 解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号 转化为一般不等式来处理。