南通市2020届高三下开学模拟考试数学试题含答案及附加题

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江苏省南通市2020届四校联盟高三数学模拟测试卷含附加题(解析版)2020.3

（1）求证：AC1∥平面 PBD；
（2）求证：BD⊥A1P．
16．（14
分）在△ABC
中，内角
A，B，C
所对的边分别为
a，b，c，cosB=
4．
5
（1）若 c＝2a，求��的值；
��
（2）若 C﹣B= ��，求 sinA 的值．
e=
12，A，B
是椭圆的左、右顶点，P
是椭圆上不同于
A，B
的
一点，直线 PA，PB 倾斜角分别为 α，β，则��((��−+��)) =
．
10．在△ABC
所在的平面上有一点
→
P，满足��
4
17．（14
分）在平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
C：��22
+
��2 ��2
=1（a＞b＞0）的右焦点为
F（1，0），且过
点(1，
3)．过点
F
且不与
x
轴重合的直线
l
与椭圆
C
交于
A，B
两点，点
P
→
在椭圆上，且满足��
+
→
��
��．已知
3
CD＝4m，CE＝2m．
（1）当 M，D 重合时，求路灯在路面的照明宽度 MN；
（2）求此路灯在路面上的照明宽度 MN 的最小值．

南通市2020年高三数学试卷全真模拟卷(六)含答案(南通教研室)

2020年江苏高考数学全真模拟试卷(六)（南通教研室）数学Ⅰ试题一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合A ={－1,0，2},B ={0，1,2,3},则A U B = ▲ ． 2.复数z ＝1＋i2－i(i 为虚数单位)的实部为 ▲ ．3.某新媒体就我国提前进入“5G 移动通信技术”商用元年的欢迎程度进行调查,参加调查的总人数为1000其中持各种态度的人数如下表:该媒体为进一步了解被调查者的具体想法,打算从中抽取50人进行更为详细的调查,则应抽取持“很欢迎”态度的人数为 ▲ ． 4.执行如图所示的伪代码,则输出的S 的值为 ▲ ．5.从3,4,12这3个数中随机取出2个数(逐个、不放回),分别记为a ,b,则 “ ab是整数”的概率为 ▲ ． 6.已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为72,则三棱锥A 1-BC 1D 的体积为 ▲ ． 7.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ,且它的一个焦点为F ( 2 ,0),则双曲线C 的一条准线与两条渐近线所成的三角形的面积为 ▲ ．（第4题图）8.在平面直角坐标系xOy 中,过点P (1,t )作斜率为 1e (e 为自然对数的底数)的直线,与曲线y ＝ln x 相切于点T ,则实数t 的值为 ▲ ．9.设等比数列{a n }的公比为q (q ＞1)其前n 项和为S n ,若a 2 + a 4= 52 a 3, S 2m =9S m ,则正整数m 的值为 ▲ ．10.已知f (x ) 是定义在R 上的偶函数,且在[0,＋∞)上单调递减,则满足不等式 f (a 2－a ＋1) ≥ f (－34)的实数a 的取值集合为 ▲ ．11.在△AOB 中,已知OA =1,OB = 3 ,∠AOB ＝π2 .若点C ,D 满足OC →= 916 OA → ＋716 OB → ,CD → ＝12(CO → ＋CB → ),则CD → ・CO →的值为 ▲ ．12.在△ABC 中角A ,B ,C 的对边分別为a ,b ,c ,且35bc cos A ＝21ac cos B ＝15ab cos C ,则cos C 的值为 ▲ ．13.已知函数f (x ) = ⎩⎨⎧x ＋1x ， x ＞0，x －1x ，x ＜0，若函数g (x ) =｜f (x )｜＋x －m 恰好有2个不同的零点,则实数m 的取值范围是 ▲ ．14.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆O :x 2+y 2=1,直线l :x ＋ay －3=0(a >0),过直线l 上一点P 作圆O 的两条切线,切点分別为S ,T ,且PS → ・PT → ＝23 ,则实数a 的最小值是 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)已知向量a = (cos x 2 , sin x 2 ), b = ( 3 sin x 2 ，－sin x2 ),函数f (x ) =a ・b ＋1．(1) 求函数f (x )图象的对称轴方程;(2) 求函数f (x )在[－π,0]上的最大值和最小值以及相应的x 的值．如图,在四面体A -BCD 中,已知平面ABC ⊥平面BCD ,△ABC 为正三角形,△BCD 为等腰直角三角形,其中C 为直角顶点,E ,F 分别为校AC ,AD 的中点. (1) 求证: CD ∥平面BEF ; (2) 求证: BE ⊥平面ACD .17.(本小题满分14分)为了打击海盗犯罪,甲、乙、丙三国海军进行联合军事演习,分别派出一艘军舰A ,B ,C .演习要求: 任何时刻军舰A ,B ,C 均不得在同一条直线上.(1) 如图1, 若演习过程中,A ,B 间的距离始终保持 3 n mile , B ,C 间的距离始终保持 2 n mile ,求∠ACB 的最大值.(2) 如图2, 若演习过程中,A ,C 间的距离始终保持1n mile ,B ,C 间的距离始终保持 2 n mile .且当∠ACB 变化时, 模拟海盗船D 始终保持: 到B 的距离与A ,B 间的距离相等, ∠ABD = 90°, 与C 在直线AB 的两侧,求C 与D 间的最大距离.（第16题）ADBE F（第17题） ACD B（图2）（图1）BCA在平面直角坐标系xOy 中已知精圆C ：x 24+ y 2=1，集点在x 轴上的啊圆C 2与C 1的离心率相同,且椭圆C 1的外切矩形ABCD (两组对边分别平行于x 轴、y 轴)的顶点在椭圆C 2上. (1) 求椭圆C 2的标准方程.(2) 设P (m ,n )为椭圆C 2上一点(不与点A ,B ,C ,D 重合). ① 若直线:mx ＋4my －4=0,求证:直线l 与椭圆C 1相交；② 记①中的直线l 与椭圆C 1的交点为S ,T ,求证△PST 的面积为定值.19.(本小题满分16分)已知函数f (x )＝a x (x －b )(x －c ),其中a >0,b <c. （1）若a ＝－b ＝c ＝1,求函数f (x )的单调减区间；（2）若数f (x )的极值点是x ＝±1,求b ,c 的值；（3）若b ＝－1,曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线斜率为－1，求证: f (x )的极大值大于 14.20.(本小题满分16分)已知数列{a n }的各项均为正数,其前n 项的积为T n ,记b 1＝T 1，bn ＝nT n (n ≥2) （1）若数列{a n }为等比数列,数列{b n }为等差数列,求数列{a n }的公比. （2）若a 1=1,a 2=2,且na n -1－(n －1)a n = a n -1 a n ,(n ≥3)①求数列{b n }的通项公式.②记c n =ln b n ,那么数列{c n }中是否存在两项c s ,c t ,(s ,t 均为正偶数,且s <t ), 使得数列c s , c 8,c t ,成等差数列? 若存在,求s ,t 的值;若不存在, 请说明理由.数学Ⅱ附加题21【选做題】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题．．．．．．．．,并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，．若多做,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚 A.[选修4-2:矩阵与变换] (本小题满分10分)已知矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征值为3和一1, 对应的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1 .（1）求矩阵M ;（2）设矩阵M 的逆矩阵为M -1，X =⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤42，且M -1X =B ,求实数m ,n 的值.B.[选修4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)已知圆C 的坐标方程为ρ＝2 2 cos(θ+π4 ).（1）求圆心C 的极坐标;（2）现以极点O 为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系xOy ，求直线⎩⎨⎧x = 2 2 t y =－1＋ 2 2t (l 为参数)被圆C 截得的弦长.C.[选修45:不等式选讲] (本小题满分10分)已知a 、b 、c ∈R ，且a 2+b 2+2c 2=4,求实数a ＋b ＋c 的最大值.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图,在空间直角坐标系O -xyx 中,已知正四棱锥 P -ABCD 的所有棱长均为6,正方形 ABCD 的中心为坐标原点O ,A D ,B C 平行于x 轴, AB 、CD 平行于y 轴,顶点P 在z 轴的正半轴上,点M 、N 分别在P A ，BD 上，且PM PA ＝BN BD ＝λ (0≤λ≤1).(1) 若λ＝13 ,求直线MN 与PC 所成角的大小;(2) 若二面角A -PN -D 的平面角的余弦值为 610,求λ的值.23.(本小题满分10分)已知集合P =(1,2,3,…n (n ∈N ),从P 中任取2个元素,分别记为a ,b . （1）若n =10,随机变量X 表示ab 被3除的余数,求X =0的概率;（2）若n =5k +1(k ＞1且k ∈N ),随机变量Y 表示a ＋b 被5除的余数,求Y 的概率分布及数学期望E （Y ）.（第22题）。

江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数学试题(含答案解析)

开始输出n 输入p结束n ←1, S ←0S < pn ←n + 1S ←S + 2n NY（第5题）江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数学试题2020.05(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}2log (1)2B x x =-<，则A B =I ▲ ． 2．设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ．3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线2x ﹣y ﹣1＝0上方的概率为．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ． 5．执行右边的程序框图，若p ＝14，则输出的n 的值为 ▲ ．6．函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．7．等差数列}{n a 中，若100119753=++++a a a a a ，则=-1393a a ▲ ．8．现用一半径为10 cm ，面积为80π cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲ cm 3．9．已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ．10．已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥，则3z x y =+-的取值范围是 ▲ ．11．若函数()()ππ()sin 63f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．12．在△ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为 ▲ ． 13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．已知[)0,2θπ∈，若关于k ()33sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，．（1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =， AC 交BD 于O ，锐角PAD ∆所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =．（1）求证：//PA 平面QBD ；（2）求证：BD AD ⊥．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：224x y +=，直线l ：43200x y +-=．43()55A ，为圆O 内一点，弦MN 过点A ，过点O 作MN 的垂线交l 于点P ．（1）若MN ∥l ，求△PMN 的面积．（2）判断直线PM 与圆O 的位置关系，并证明．18．(本小题满分16分)如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面。

【附加15套高考模拟试卷】江苏省南通市2020届高三下学期第二次调研测试数学试题含答案

江苏省南通市2020届高三下学期第二次调研测试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列关于命题的说法错误的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”B ．已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b <，则()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题C ．命题“x R ∃∈,使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++≥”D ．“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=”的逆命题为真命题2．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为123100,,,,x x x x L，它们的平均数为x ，方差为2s ；其中扫码支付使用的人数分别为132x +，232x +，332x +，L ，10032x +，它们的平均数为x '，方差为2s '，则x '，2s '分别为（）A ．32x +，232s +B ．3x ，23sC ．32x +，29s D ．32x +，292s +3．如图，在ABC △中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u r u u u r ，||1AD =u u u r ，则AC AD ⋅=u u u r u u u r（）A ．23B ．32C ．33 D ．34．.一个空间几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则它的外接球的表面积为( ）A ．4πB ．1123πC ．283πD ．16π5．阅读如图的程序框图，当程序运行后，输出S 的值为( )A ．57B ．119C ．120D ．2476．已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为（） A ．B ．2C ．3D ．47．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（）A ．65B ．184C ．183D ．1768． “牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上（图1），好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如（图2）所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A ．,a bB ．,a cC ．,c bD ．,b d9．在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，22AC =PB ⊥面ABC ，M ，N ，Q 分别为AC ，PB ，AB 的中点，3MN =，则异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值为（）A ．105B．155C．35D．4510．已知数列{}n a和{}n b的前n项和分别为n S和n T，且0na>，2*634()n n nS a a n N=+-∈,()()1111nn nba a+=--，若对任意的n*∈N,nk T>恒成立，则的最小值为（）A．13B．19C．112D．11511．设a b，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a b，与α所成的角相等，则a b∥B．若aαβ∥，b∥，αβ∥，则a b∥C．若a b a bαβ⊂⊂P，，，则αβ∥D．若a bαβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b⊥r r12．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n=，则p的值可以是( )(参考数据: sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈)A．2.6B．3C．3.1D．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届江苏省普通高中高三下学期高考全真模拟卷(八)数学试题(解析版)

绝密★启用前江苏省普通高中2020届高三下学期高考全真模拟卷(八)(南通密卷)数学试题(解析版)注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本试卷共2页，均为非选择题（第1题~第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米色水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4.作答试题必须用0.5毫米色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 已知集合{}1A x x =>-，{}2,1,0,1,2,3B =--，则A B =________.【答案】{}0,1,2,3【解析】【分析】根据交集的定义可求得集合A B . 【详解】{}1A x x =>-,{}2,1,0,1,2,3B =--,因此,{}0,1,2,3A B =.故答案为：{}0,1,2,3.【点睛】本题考查交集的计算,考查计算能力,属于基础题.2. 已知复数2z ai =+的模为5,其中0a >,i 为虚数单位,则实数a 的值是________.【答案】1【解析】【分析】根据复数的模长公式结合实数a 的取值范围可求得实数a 的值.【详解】2z ai =+,则2225z a =+=,解得1a =±,0a >,因此,1a =. 故答案为：1.【点睛】本题考查利用复数的模长公式求参数,考查计算能力,属于基础题.3. 执行如图所示的伪代码,则输出的n 的值为________.【答案】6 【解析】【分析】。

2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷07(解析版)

直线 AB 的方程为____________．
答案：x＋y－3＝0
解析：设圆心为 C，由题知 kAB·kCP＝－1，又 kCP＝2－1＝1，∴ kAB＝－1，∴ 直线 AB 的方程为 y＝ 1－0
－(x－1)＋2，即 x＋y－3＝0.
11. 在△ABC 中，BC＝2，A＝2π，则A→B·A→C的最小值为________． 3
抛物线 y2＝－4x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为________．
答案： y＝± 3x 解析：由题设知a2＝1，又易知双曲线焦点在 x 轴上，且 a＝1，所以 b2＝c2－a2＝3，从而双曲线方程为
c2
x2－y2＝1，所以双曲线渐近线方程为 y＝± 3x. 3
7. 在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P(m，1)到直线 4x－3y－1＝0 的距离为 4，且点 P 在不等式 2x＋y≥3 表示的平面区域内，则 m＝________．答案：6 解析：由题知|4m－4|＝4，得 m＝6 或－4，∴ P(6，1)或 P(－4，1)．又 2x＋y≥3，∴ m＝6. 5
11
＝
a
[π
－ 1 x4＋4x3－12x2 25 3
＋12×104]，(10
分)
11
令 f(x)＝－ 1 x4＋4x3－12x2，则 25 3
f′(x)＝－
4
x3＋4x2－24x＝－4x
1 x2－x＋6 25
.
25
由 f′(x)＝0，解得 x＝0(舍去)或 x＝10 或 x＝15，(12 分)
列表如下：
a
a
14. 已知等比数列{an}的首项为4，公比为－1，其前 n 项和为 Sn，若 A≤Sn－ 1 ≤B 对 n∈N*恒成立，则 B

2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期模拟考试数学试题解析版

2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期模拟考试数学试题一、填空题1．已知全集2,1,0,1,{}2U ＝﹣﹣，集合2,,}1,{1A ＝﹣﹣则UA ＝_____．【答案】{}0,2【解析】根据补集的定义求解即可. 【详解】解：2,1,0,1,2{}{,2,1,1,}U A ＝﹣﹣＝﹣﹣ {}0,2U A ∴＝．故答案为{}0,2．【点睛】本题主要考查了补集的运算,属于基础题.2．已知复数()()1z i a i =⋅+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为_____．【答案】1﹣【解析】利用复数的乘法求解z 再根据纯虚数的定义求解即可. 【详解】解：复数()()()111z i a i a a i ⋅+++＝﹣＝﹣为纯虚数, 10,10,a a ∴+≠＝﹣解得1a =﹣．故答案为：1﹣．【点睛】本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题. 3．数据1,3,5,7,9的标准差为_____．【答案】【解析】先计算平均数再求解方差与标准差即可. 【详解】解：样本的平均数1357955x ++++==,∴这组数据的方差是()()()()()222222115355575955S ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦ 28,S ∴＝标准差22S ＝, 故答案为：22 【点睛】本题主要考查了标准差的计算,属于基础题. 4．函数()12x f x =-的定义域是__________．【答案】(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.5．在一底面半径和高都是2m 的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出的32m 种子，则取出了带麦锈病种子的概率是_____．【答案】14π【解析】求解32m 占圆柱形容器的的总容积的比例求解即可. 【详解】解：由题意可得：取出了带麦锈病种子的概率221224ππ==⨯⨯．故答案为：14π．【点睛】本题主要考查了体积类的几何概型问题,属于基础题.6．如图是一个算法伪代码，则输出的i 的值为_______________.【答案】5【解析】执行循环结构流程图，即得结果. 【详解】执行循环结构流程图得9123410S =----=-<,结束循环，输出415i =+=. 【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析与运算能力，属基础题.7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()22210y x b b-=>经过点（3,4），则该双曲线的准线方程为_____．【答案】3x ±＝【解析】代入()3,4求解得b ,再求准线方程即可. 【详解】解：双曲线()22210y x b b-=>经过点()3,4,221631b∴=﹣,解得22b ＝,即b ．又1,a ∴＝c ==故该双曲线的准线方程为：3x ±＝．故答案为：3x ±＝．【点睛】本题主要考查了双曲线的准线方程求解,属于基础题.8．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，396,,S S S 成等差数列，则258a a a +的值为_____．【答案】2【解析】设等比数列{}n a 的公比设为,q 再根据396,,S S S 成等差数列利用基本量法求解,q 再根据等比数列各项间的关系求解258a a a +即可. 【详解】解：等比数列{}n a 的公比设为,q396,,S S S 成等差数列,可得9362,S S S +＝若1,q ＝则1111836,a a a +＝显然不成立,故1,q ≠则()()()9361111112111a q a q a q qqq---⋅=+---,化为6321,q q +＝解得312q ＝﹣,则43251176811112214a a a q a q qa a q q -+++====故答案为：2．【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解以及运用,属于中档题.9．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是______.（写出所有正确命题的序号） ①因为当3x π=时，2sin sin 3x x π⎛⎫+≠⎪⎝⎭，所以23π不是函数sin y x =的周期； ②对于定义在R 上的函数()f x ，若()()22f f -≠，则函数()f x 不是偶函数； ③“M N >”是“22log log M N >”成立的充分必要条件； ④若实数a 满足24a <，则2a ≤. 【答案】①②④.【解析】由周期函数的定义判断①；由偶函数的概念判断②；由充分必要条件的判定判断③；求解一元二次不等式判断④. 【详解】因为当3x π=时，2sin sin 3x x π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，所以由周期函数的定义知23π不是函数sin y x =的周期，故①正确；对于定义在R 上的函数()f x ，若()()22f f -≠，由偶函数的定义知函数()f x 不是偶函数，故②正确；由M N >，不一定有22log log M N >，反之成立，则“M N >”是“22log log M N >”成立的必要不充分条件，故③错误；若实数a 满足24a <，则22a -≤≤，所以2a ≤成立，故④正确. ∴正确命题的序号是①②④. 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题. 10．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为_____．【答案】43【解析】画图直观图可得该几何体为棱锥,再计算高求解体积即可. 【详解】解：如图,是一个四棱锥的平面展开图,其中间是边长为2的正方形,上面三角形是等边三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,∴此四棱锥S ABCD ﹣中,ABCD 是边长为2的正方形,SAD 是边长为2的等边三角形,故CD AD ⊥,又CD SD ⊥,AD SD D ⋂= 故平面SAD ⊥平面ABCD ,∴SAD 的高SE 是四棱锥S ABCD ﹣的高, ∴此四棱锥的体积为:112233ABCD V S SE ⨯=⨯⨯=正方形＝故答案为：3．【点睛】本题主要考查了四棱锥中的长度计算以及垂直的判定和体积计算等,需要根据题意11．在平面直角坐标系xOy 中，若函数()f x lnx ax ＝﹣在1x ＝处的切线与圆22210C x x y a ++：﹣﹣＝存在公共点，则实数a 的取值范围为_____．【答案】(][)0,12,+∞【解析】利用导数的几何意义可求得函数()f x lnx ax ＝﹣在1x ＝处的切线,再根据切线与圆存在公共点,利用圆心到直线的距离满足的条件列式求解即可. 【详解】解：由条件得到()1'f x a x=- 又()()1,'11f a f a =-=-所以函数在1x ＝处的切线为()()()1111y a x a a x ＝﹣﹣-＝﹣﹣, 即()110a x y ﹣﹣﹣＝圆C 方程整理可得：()221x y a -+= 即有圆心()1,0C 且0a ＞所以圆心到直线的距离d ==≤,≤解得2a ≥或01≤＜a , 故答案为：(][)0,12,+∞．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解切线方程的问题,同时也考查了根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题,属于基础题.12．已知函数()32,f x ax bx cx ++＝若关于x 的不等式()0f x ＜的解集是()(),10,2∞⋃﹣﹣，则b ca+的值为_____．【答案】3-【解析】根据题意可知20ax bx c ++＝的两根为1,2-,再根据解集的区间端点得出参数的关系,再求解b ca+即可. 【详解】解：因为函数()()322f x ax bx cx x ax bx c =++=++,关于x 的不等式()0f x <的解集是()(),10,2-∞-⋃20ax bx c ∴++＝的两根为：1﹣和2；所以有：()12ba +﹣=-且()12c a⨯﹣=； b a ∴＝﹣且2c a ＝﹣；23b c a aa a+--∴==-；故答案为：3﹣ 【点睛】本题主要考查了不等式的解集与参数之间的关系,属于基础题.13．在边长为4的菱形ABCD 中，60,A ︒＝点P 在菱形ABCD 所在的平面内．若3,PA PC ＝PB PD ⋅=_____．【答案】1-【解析】以菱形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系,再设(),P x y ,根据3,PA PC ＝P 的坐标,进而求得PB PD ⋅即可.【详解】解：连接,,AC BD 设,AC BD 交于点,O 以点O 为原点, 分别以直线,OC OD 为,x y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则：()23,23()0202()(),A C B D --，，,，,，设(),P x y321,PA PC ==,((2222392321x y x y ⎧++=⎪∴⎨⎪-+=⎩①﹣②得,312,x =-解得3x =, 32y ∴=±, 332P ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭或332P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,显然得出的PB PD ⋅是定值,∴取332P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭则3731,,,2222PB PD ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 37144PB PD ∴⋅=-=-．故答案为：1-．【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题,属于中档题.14．设函数()21722,04,k x x f x x x ⎧+⎛⎫-+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩，()43g x k x ⎛⎫⎪⎝⎭＝-，其中0k >．若存在唯一的整数,x 使得()()f x g x <，则实数k 的取值范围是_____．【答案】17[3,6] 【解析】根据分段函数的解析式画出图像,再根据存在唯一的整数x 使得()()f x g x <数形结合列出临界条件满足的关系式求解即可. 【详解】解：函数()21722,04,0k x x f x x x ⎧+⎛⎫-+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩,且0,k ＞画出()f x 的图象如下：因为()43g x k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,且存在唯一的整数,x 使得()()f x g x <, 故()g x 与()f x 在0x <时无交点,174k k +∴≥,得173k ≥；又()43g x k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,()g x ∴过定点4,03⎛⎫⎪⎝⎭又由图像可知,若存在唯一的整数x 使得()()f x g x <时43x >,所以2x ≥ ()()58533939g k f ≥≥=＝,∴存在唯一的整数3,x =使得()()f x g x <所以()()22243g k f =≤=6k ⇒≤ ()()844163g k f ∴≤=＝6k ⇒≤.根据图像可知,当4x ≥时, ()()f x g x >恒成立.综上所述, 存在唯一的整数3,x =使得()()f x g x <,此时1763k ≤≤ 故答案为：17[3,6] 【点睛】本题主要考查了数形结合分析参数范围的问题,需要根据题意分别分析定点4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭右边的整数点中3x =为满足条件的唯一整数,再数形结合列出2,4x =时的不等式求k 的范围.属于难题.二、解答题15．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，对角线,AC BD 交于点,O M 为棱PD 的中点，MA MC =．求证：（1）//PB 平面AMC ；（2）平面PBD ⊥平面AMC ．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】(1) 连结,OM 根据中位线的性质证明//PB OM 即可. (2) 证明AC BD ⊥,AC PD ⊥再证明AC ⊥平面PBD 即可.【详解】解：()1证明：连结,OMO 是菱形ABCD 对角线AC BD 、的交点,O ∴为BD 的中点, M 是棱PD 的中点, //,OM PB ∴OM ⊂平面,AMC PB ⊄平面,AMC//PB ∴平面,AMC()2解：在菱形ABCD 中,,AC BD ⊥且O 为AC 的中点,,MA MC ＝AC OM ∴⊥, OM BD O ⋂＝, AC ∴⊥平面,PBD AC ⊂平面AMC ,∴平面PBD ⊥平面AMC ．【点睛】本题主要考查了线面平行与垂直的判定,属于基础题.16．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知tan ,tan ,tan A B C 成等差数列，cos cos ,cos A C B 成等比数列．（1）求A 的值；（2）若ABC 的面积为1,求c 的值．【答案】（1）4A π＝；（2）3c ＝【解析】(1)根据,,tanA tanB tanC 成等差数列与三角形内角和可知()tanC tan A B =-+,再利用两角和的正切公式,代入2,tanB tanA tanC +＝化简可得22tan tan tan 3A B A -=,同理根据三角形内角和与余弦的两角和公式与等比数列的性质可求得2tanAtanB ＝,联立即可求解求A 的值.(2)由(1)可知2,tan 3tanB C =＝,再根据同角三角函数的关系与正弦定理可求得b ,再结合ABC 的面积为1,利用面积公式求解即可. 【详解】解：()1,,tanA tanB tanC 成等差数列, 可得2,tanB tanA tanC +＝而()1tanA tanB tanC tan A B tanAtanB +=-+-＝,即tan tan 2tan tan tan tan 1A BB A A B +-=-,展开化简得222tan tan 2tan tan tan tan A B B A B B --=,因为tan 0B ≠,故 22tan tan tan 3A B A -=①又cosA cosB 成等比数列,可得()cosAcosB cosC cos A B sinAsinB cosAcosB +＝＝-＝-, 即2sinAsinB cosAcosB ＝, 可得2,tanAtanB ＝②联立①②解得1tanA ＝（负的舍去）, 可得锐角4A π＝；()2由()1可得2,3tanB tanC ＝＝,由sin 2cos BtanB B ＝＝22,1,sin B cos B B +＝为锐角,解得5sinB ＝,因为sin 3cos C tanC C =＝22,1,sin C cos C C +＝为锐角,故可得sinC ,由正弦定理可得sin2253sin10c Bb c cC==＝,又ABC的面积为1,可得21122212232bcsinA c⋅⋅=＝,解得3c＝．【点睛】本题主要考查了等差等比中项的运用以及正切的和差角公式以及同角三角函数关系等.同时也考查了正弦定理与面积公式在解三角形中的运用,属于中档题.17．某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以AB为直径的圆，且300AB=米，景观湖边界CD与AB平行且它们间的距离为502米．开发商计划从A点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作PQ．设2AOPθ∠=．（1）用θ表示线段,PQ并确定sin2θ的范围；（2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将PQ的长度设计到最长，求PQ的最大值．【答案】（1）502300sincosPQθθ-＝2sin21θ<≤；（2）6.【解析】(1)过点Q作QH AB⊥于点,H再在AOP中利用正弦定理求解AP,再根据sin2QHAQπθ⎛⎫-⎪⎝⎭＝求解AQ,进而求得PQ.再根据0PQ>确定sin2θ的范围即可.(2)根据(1)有150232cosPQ sinθθ⎫=-⎪⎭,再设()132cosf sinθθθ=-,求导分析函数的单调性与最值即可. 【详解】解：()1过点Q 作QH AB ⊥于点,H 则502QH ＝在AOP 中,150,2OA OP AOP θ∠＝＝＝,2OAP πθ∴∠-＝, 由正弦定理得：sin 2sin 2OP APπθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭,300AP sin θ∴＝,502cos sin 2QH AQ πθθ∴=⎛⎫- ⎪⎝⎭＝, 502==300cos PQ AP AQ sin θθ∴--, 5023000cos PQ sin θθ->＝,因为cos 0θ>, 化简得2sin 213θ<≤ ()2502130050232cos PQ sin sin θθθ⎫=-⎪⎭＝, 令()132cos fθθθ=-2sin 21θ<≤,且2(0,)θπ∈, ()22sin tan '32cos 32cos cos f θθθθθθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()222sin cos tancoscosθθθθθ⎛⎫+⎪=⎪⎝⎭()()23cos tan1tan cos tan tanθθθθθθ⎡⎤=+=-⎣⎦因为(0,)2πθ∈,故cos0θ>令'()0,fθ＝即3tan tan0θθ+-=,230(,)tan tanθθθ∴+=记000,2tanθθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,当00θθ＜＜时,()()'0,f fθθ>单调递增；当02πθθ＜＜时,()()'0,f fθθ<单调递减,又233sinθ=>,∴当tanθ时,()fθ取最大值,此时33sin cosθθ,1c osPQθθ⎫=-=⎪⎭PQ∴的最大值为【点睛】本题主要考查了三角函数在实际中的应用,需要根据题意建立角度与长度间的关系,进而求导分析函数的单调性,根据三角函数值求解对应的最值即可.属于难题.18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心为坐标原点,O焦点在x轴上，右顶点()2,0A到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为12．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若,M N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设()4,0P-，连接PM交椭圆C 于另一点E．求证：直线NE过定点,B并求出点B的坐标；（3）在（2）的条件下，过点B的直线交椭圆C于,S T两点，求OS OT⋅的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明详见解析，()1,0B -；（3）54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)根据题意列出关于,,a b c 的等式求解即可.(2)先根据对称性,直线NE 过的定点B 一定在x 轴上,再设直线PM 的方程为(4)y k x +＝,联立直线与椭圆的方程, 进而求得NE 的方程,并代入11(4)y k x +＝,22(4)y k x +＝化简分析即可.(3)先分析过点B 的直线ST 斜率不存在时OS OT ⋅的值,再分析存在时,设直线ST 的方程为(1)y m x +＝,联立直线与椭圆的方程,得出韦达定理再代入3434OS OT x x y y ⋅=+求解出关于k 的解析式,再求解范围即可. 【详解】解：()1设椭圆C 的标准方程()222210,x y a b a b+=>>焦距为2c ,由题意得,2,a ＝由212a c c a a a c-==-,可得1,c ＝则2223b a c ＝﹣＝,所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；()2证明：根据对称性,直线NE 过的定点B 一定在x 轴上,由题意可知直线PM 的斜率存在, 设直线PM 的方程为(4)y k x +＝,联立22(4)143y k x x y +⎧⎪⎨+=⎪⎩＝,消去y 得到()2222433264120k x k x k +++﹣＝, 设点1122(,),(,)M x y E x y ,则11(,)N x y ﹣．所以22121222326412,4343k k x x x x k k -+=-=++,所以NE 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--,令0,y ＝得()221221y x x x x y y -==+,将11(4)y k x +＝,22(4)y k x +＝代入上式并整理,()121212248x x x x x x x ++=++,整理得()()2222128241281322432k k x k k --==--++,所以,直线NE 与x 轴相交于定点(1,0)B -．()3当过点B 的直线ST 的斜率不存在时,直线ST 的方程为1x =-331,1,22S T ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,, 此时54OS OT ⋅=-, 当过点B 的直线ST 斜率存在时,设直线ST 的方程为(1)y m x =+,且3344(,),(,)S x y T x y 在椭圆C 上,联立方程组22(1)143y m x x y +⎧⎪⎨+=⎪⎩＝,消去y ,整理得22224384120m x m x m +++（）﹣＝, 则()()()()22222844341214410mmm m ++＝﹣﹣＝＞．所以223434228412,,4343m m x x x x m m -+=-=++ 所以()()()222343434324439111m y y m x x m x x x m x =++=++=-++, 所以()2342342451253344343m OS OT x x y m m y +⋅=+=-=-++-, 由20,m ≥得54,4OS OT ⎡⎫⋅∈--⎪⎢⎣⎭,综上可得,OS OT ⋅的取值范围是54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及定值和范围的问题,需要分析直线的斜率是否存在的情况,再联立直线与椭圆的方程,根据韦达定理以及所求的解析式,结合参数的范围进行求解.属于难题.19．已知函数()212ax f x bx+＝，其中0,0a b >>．（1）①求函数()f x 的单调区间； ②若12,x x 满足)1,2i x i =>，且1220,0x x x >+>．求证：()()122f x f x b>+ ．（2）函数()2ln 12g x ax x -＝．若12,x x ⎛∈ ⎝对任意，12,x x ≠都有()()()()1212||||f x f x g x g x ->-，求b a -的最大值．【答案】（1）①单调递增区间⎛-∞ ⎝，⎫+∞⎪⎭，单调递减区间⎛ ⎝；②详见解析；（2）116. 【解析】(1)①求导可得()221,02ax f x x bx-'=≠,再分别求解()0f x '>与()0f x '<的解集,结合定义域分析函数的单调区间即可.②根据(1)中的结论,求出()()122f x f x +的表达式,再分10x ＜与1>0x 两种情况,结合函数的单调性分析()()122f x f x +的范围即可.(2)求导分析()2ln 12g x ax x -＝的单调性,再结合()f x 单调性,设12,x x <去绝对值化简可得()()()()11220[]f x g x f x g x ---＞,再构造函数()()()M x f x g x ＝﹣,x⎛∈ ⎝,根据函数的单调性与恒成立问题可知10≥,再换元表达b a -求解最大值即可. 【详解】解：()()2211,02ax f x x bx -'=≠,由()0f x '>可得x>或x <由()0f x '<可得x<<故函数的单调递增区间⎛-∞ ⎝,⎫+∞⎪⎭,单调递减区间⎛ ⎝；1220,0x x x +②＞＞,10x ∴＞或10x ＜,若10x ＞,因为i x ,故1x ＞2x由①知f x （）在⎫+∞⎪⎭上单调递增,()()1223f x f x f b b +=>＞, 若10,x ＜由1x 可得1x <x 1, 因为1220,0x x x +＞＞, 所以21x x ＞﹣, 由f x ①（）在⎫+∞⎪⎭上单调递增,()()()()()1211122f x f x f x f x f x ++-->＞=综上()()122f x f x +． ()20x＜时,()2110axg x ax x x -'=-=<,g x （）在⎛ ⎝上单调递减,不妨设12,x x ＜由(1)()f x 在⎛ ⎝上单调递减,由()()()()1212f x f x g x g x ->-, 可得()()()()1212f x f x g x g x ->-, 所以()()()()11220[]f x g x f x g x ---＞,令()()()M x f x g x ＝﹣,x ⎛∈ ⎝, 可得M x （）单调递减, 所以()()()222211211022ax bx ax M x ax bx x bx---'=-+=≤在⎛ ⎝上恒成立, 即120bx ≥﹣在⎛ ⎝上恒成立,即10≥,所以b ≤,2111241616b a a ⎫≤-=-+≤⎪⎭﹣ ,所以b a ﹣的最大值116．【点睛】本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题,同时也考查了利用导数求解函数不等式以及构造函数分析函数的最值解决恒成立的问题.需要根据题意结合定义域与单调性分析函数的取值范围与最值等.属于难题.20．已知{}{}{},,n n n a b c 都是各项不为零的数列，且满足1122,*,n n n n a b a b a b c S n N ⋯+=++∈其中n S 是数列{}n a 的前n 项和，{}n c 是公差为()0d d ≠的等差数列．（1）若数列{}n a 是常数列，2d =，23c =，求数列{}n b 的通项公式；（2）若n a n λ=λ（是不为零的常数），求证：数列{}n b 是等差数列；（3）若11a c d k ===（k 为常数，*k N ∈），()2,*n n k b c n n N +≥∈=．求证：对任意112,*,n n n n b b n n N a a ++≥∈>的恒成立．【答案】（1）43n b n -＝；（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】(1)根据2d =,23c =可求得n c ,再根据{}n a 是常数列代入1122,*,n n n n a b a b a b c S n N ⋯+=++∈根据通项与前n 项和的关系求解{}n b 即可.(2)取1n =,并结合通项与前n 项和的关系可求得11,n n n n n n S c S c a b ﹣﹣﹣＝再根据1n n n a S S -=-化简可得1n n n S d nc nb λλ+﹣＝,代入()112n n n S λ--=化简即可知()1332n n b n b d --=≥,再证明2132b b d -=也成立即可. (3)由(2) 当2n ≥时,11()n nn n n n n S c c a c a b +﹣﹣﹣＝,代入所给的条件化简可得1,n n S ka ﹣＝()11n n n n S S a k a ++﹣＝＝,进而证明可得11n n k a a k-+=,即数列{}n a 是等比数列.继而求得21n n k a k -+⎛⎫= ⎪⎝⎭,再根据作商法证明11n n n n b b a a ++>即可. 【详解】()1解：22,3,d c ＝＝21n c n ∴＝﹣．{}n a 是各项不为零的常数列,12,n a a a ∴⋯＝＝＝则1n S na ＝,则由1122n n n n c S a b a b a b ++⋯+＝,及21,n c n＝﹣得()1221n n n b b b ++⋯+﹣＝, 当2n ≥时,()()121123n n n b b b ++⋯+﹣﹣﹣＝,两式作差,可得43n b n＝﹣．当1n ＝时,11b ＝满足上式,则43n b n＝﹣； ()2证明：1122n n n n a b a b a b c S ++⋯+＝,当2n ≥时,11221111n n n n a b a b a b c S ++⋯+﹣﹣﹣﹣＝,两式相减得：11,n n n n n n S c S c a b ﹣﹣﹣＝即()()11111,n n n n n n n n n n n n n n S a c S c a b S c c a c a b ++﹣﹣﹣﹣﹣﹣＝﹣＝．即1n n n S d nc nb λλ+﹣＝．又()112n n n S λ--=,()12n n n n d nc nb λλλ-∴+=,即12n n n d c b -+=． ∴当3n ≥时,1122n n n d c b ---+=,两式相减得：()1332n n b n b d --=≥．∴数列{}n b 从第二项起是公差为32d 的等差数列．又当1n ＝时,由1111,S c a b ＝得11c b ＝,当2n ＝时,由22112113222b d c d c d b d -=+=++=+,得2132b b d -=．故数列{}n b 是公差为32d 的等差数列；()3证明：由()2,当2n ≥时,()11n n n n n n n S c c a c a b +﹣﹣﹣＝,即()1n n nn S d a b c ﹣＝﹣, n n k b c +＝,n n b c kd ∴+＝,即n n b c kd ﹣＝, 1•,n n S d a kd ∴﹣＝即1n n S ka ﹣＝． ()11n n n n S S a k a ∴++﹣＝＝,当3n ≥时,()111,n n n S k a ka +﹣﹣＝＝即11n n k a a k-+=．故从第二项起数列{}n a 是等比数列,∴当2n ≥时,221n n k a a k -+⎛⎫= ⎪⎝⎭．()()()22111n n k n b c c kd c n k k k n k k k n k +++-+=+-+=+＝＝＝．另外,由已知条件可得()1221122a a c a b a b ++＝, 又()2122,,2c k b k b k k +＝＝＝,21a ∴＝,因而21n n k a k -+⎛⎫= ⎪⎝⎭．令nn nb d a =, 则()()()()()11111111101n n n n n n n k k n k d b a nd a k k b n +++-=++-=-=-+++<+．故对任意的2,*,n n N ≥∈11n n n n b b a a ++>恒成立．【点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用,需要熟练运用通项与前n 项和的关系分析数列的递推公式继而求解通项公式或证明等差数列等.同时也考查了数列中的不等式证明等,需要根据题意分析数列为等比数列并求出通项,再利用作商法证明.属于难题.21．已知二阶矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111α⎡-⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值24λ=的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.求矩阵A .【答案】2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵A 【详解】由特征值、特征向量定义可知，111A αλα=，即11111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得1,1.a b c d -=-⎧⎨-=⎩同理可得3212,328.a b c d +=⎧⎨+=⎩解得2a =，3b =，2c =，1d =.因此矩阵2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为2cos {sin x y αα== （α为参数）．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ-=P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．【答案】（1）2214x y +=，4x y +=（2）max 2d = 【解析】【详解】试题分析：利用cos ,sin x y ρθρθ==将极坐标方程化为直角坐标方程：cos()4πρθ-=ρcosθ＋ρsinθ＝4，即为x ＋y ＝4．再利用点到直线距离公式得：设点P 的坐标为（2cosα，sinα），得P 到直线l 的距离2d =≤试题解析：解：cos()4πρθ-=化简为ρcosθ＋ρsinθ＝4，则直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝4．设点P 的坐标为（2cosα，sinα），得P 到直线l 的距离2d =≤，d max ＝2．【考点】极坐标方程化为直角坐标方程，点到直线距离公式 23．若正数,,a b c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值.【答案】1【解析】试题分析：由柯西不等式得[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭9≥=，所以1111323232a b c ++≥+++试题解析：因为,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是由均值不等式可知[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++⎪+++⎝⎭33133(32)(32)(32)9(32)(32)(32)a b c a b c ≥⋅+++=+++，当且仅当13a b c ===时，上式等号成立．从而1111323232a b c ++≥+++．故111323232a b c +++++的最小值为1．此时13a b c ===．【考点】柯西不等式24．如图，在正四棱锥P ABCD ﹣中，底面正方形的对角线,AC BD 交于点O 且12OP AB ＝．（1）求直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）求锐二面角B PD C --的大小．【答案】（16（2）60︒. 【解析】(1) 以,,OE OF OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系, 设底面正方形边长为2,再求解BP 与平面PCD 的法向量,继而求得直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值即可.(2)分别求解平面BPD 与平面PDC 的法向量,再求二面角的余弦值判断二面角大小即可. 【详解】解：()1在正四棱锥P ABCD ﹣中,底面正方形的对角线,AC BD 交于点,O 所以OP ⊥平面,ABCD 取AB 的中点,E BC 的中点,F 所以,,OP OE OF 两两垂直,故以点O 为坐标原点,以,,OE OF OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系．设底面正方形边长为2, 因为1,2OP AB ＝所以1,OP ＝所以()()()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1B C D P ﹣﹣﹣, 所以()1,1,1BP ＝﹣﹣,设平面PCD 的法向量是(),,n x y z =,因为()0,2,0CD =-,()1,1,1CP =﹣, 所以20CD n y ⋅=-＝,0CP n x y z ⋅+＝﹣＝,取1,x ＝则0,1y z ＝＝﹣, 所以()1,0,1n =- 所以6,BP n cos BP n BP n⋅=＜＞＝所以直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值为63． ()2设平面BPD 的法向量是(),,n x y z =,因为()1,1,1BP ＝﹣﹣,()-2,-2,1BD =,所以0,BP n x y z ⋅+＝﹣﹣＝220BD n x y ⋅＝﹣﹣＝,取1,x ＝则1,0,y z ＝﹣＝所以()1,1,0n =-,由()1知平面PCD 的法向量是()1,0,1n =-,所以12m ncos m n m n ⋅＜,＞＝＝所以,60m n ︒＜＞＝,所以锐二面角B PD C ﹣﹣的大小为60︒．【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解线面夹角以及二面角的问题,属于中档题.25．定义：若数列{}n a 满足所有的项均由1,1﹣构成且其中1﹣有m 个，1有p 个()3m p +≥，则称{}n a 为“(),m p ﹣数列”．（1）(),,i j k a a a i j k ＜＜为“()3,4﹣数列”{}n a 中的任意三项，则使得1i j k a a a ＝的取法有多少种？（2）(),,i j k a a a i j k ＜＜为“(),m p ﹣数列”{}n a 中的任意三项，则存在多少正整数(),m p 对使得1100,m p ≤≤≤且1i j k a a a =的概率为12. 【答案】（1）16；（2）115.【解析】(1)易得使得1i j k a a a ＝的情况只有“1,1,1﹣﹣”,“1,1,1”两种,再根据组合的方法求解两种情况分别的情况数再求和即可.(2)易得“1,1,1﹣﹣”共有21m p C C 种,“1,1,1”共有3P C 种.再根据古典概型的方法可知213312m p pm pC C C C ++=,利用组合数的计算公式可得()()2232320pm p p mp m m +﹣﹣﹣﹣﹣＝,当p m =时根据题意有()(),,,2,3,4,{},100m p k k k ∈⋯=,共99个；当2232320p p mp mm +﹣﹣﹣﹣＝时求得()232m p +＝,再根据1100,m p ≤≤≤换元根据整除的方法求解满足的正整数对即可.【详解】解：（1）三个数乘积为1有两种情况：“1,1,1﹣﹣”,“1,1,1”, 其中“1,1,1﹣﹣”共有：213412C C ＝种, “1,1,1”共有：344C =种,利用分类计数原理得：(),,i j k a a a i j k ＜＜为“()3,4﹣数列”{}n a 中的任意三项,则使得1i j k a a a ＝的取法有：12416+＝种．（2）与(1)同理,“1,1,1﹣﹣”共有21m p C C 种, “1,1,1”共有3P C 种,而在“(),m p ﹣数列”中任取三项共有3m p C +种,根据古典概型有：213312m p pm pC C C C ++=, 再根据组合数的计算公式能得到：()()2232320pm p p mp m m +﹣﹣﹣﹣﹣＝, p m ①＝时,应满足11003m p m p p m ≤≤≤⎧⎪+≥⎨⎪=⎩,()(),,,2,3,{,}4,100m p k k k ∴∈⋯=,共99个,2232320p p mp m m +②﹣﹣﹣﹣＝时,应满足221100332320m p m p p p mp m m <≤<⎧⎪+≥⎨⎪--+--=⎩,视m 为常数,可解得()232m p +±＝,1,m ≥5≥,根据p m ≥可知,()232m p ++＝,1m ≥,5≥,根据p m ≥可知,()232m p ++＝,（否则1p m≤﹣）,下设k则由于p 为正整数知k 必为正整数,1100m ≤≤, 549k ∴≤≤,化简上式关系式可以知道：()()21112424k k k m -+-=＝, 1,1k k ∴+﹣均为偶数, ∴设()*21,k t t N +∈＝,则224,t ≤≤()211246t t k m +-∴=＝, 由于,1t t +中必存在偶数,∴只需,1t t +中存在数为3的倍数即可,2,3,5,6,8,9,11,,23,24t ∴⋯＝, 5,11,13,,47,49k ∴⋯＝．检验：()()()23114850100,22424m k k p ++-++=≤＝＝符合题意,∴共有16个,综上所述：共有115个数对(),m p 符合题意．【点睛】本题主要考查了排列组合的基本方法,同时也考查了组合数的运算以及整数的分析方法等,需要根据题意。

江苏省南通市四校联盟2020年高三下学期数学模拟测试试卷含答案

江苏省南通市2020届四校联盟高三数学模拟测试卷一、填空题（共14题,每题5分,计70分.不写解答过程,把答案写在答题纸指定位置上） 1．已知集合{}A |3|1x x =-≤，{}2B 540x x x =-+≥，则A B =I ▲ ．{}42.复数21z i =-，（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数为 ▲ ．1i - 3．设向量a r ＝(l ，k )，b r ＝(﹣2，k ﹣3)，若a r ∥b r，则实数k 的值为 ▲ ．14．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为．10115．函数f(x) =)34log 21-x （的定义域为 ▲.(-3/4,1]6．已知命题p ：－1<x －a <1，命题q ：(x －4)(8－x )>0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ▲ ．[5，7]7．在正四棱锥S ﹣ABCD 中，点O 是底面中心，SO ＝2，侧棱SA ＝2，则该棱锥的体积为 ▲ ．32/38．若函数()cos(2)f x x θ=+(0θπ<<)的图象关于直线12x π=对称，则θ＝▲ ．56π 9．已知椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率12e =，A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-+的值为▲ ．1710．在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则PA PBPB PC⋅⋅uu u r uu u ruu u r uuu r = ▲ ． 12- 11.如图，将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表.已知表中的第一列125,,,a a a L 构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列，若3865,524==a a ，则d = ▲ ． 312．己知x ∈(0，3)，则28132x y x x-=+-的最小值为 ▲ ．7213.若函数f (x) = x 3-ax 2-+x , x >0存在零点，则实数a 的取值范围为▲.[2,+∞) 14．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件： ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <；②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <．则m 的取值范围是．(4,2)--二、解答题（共6小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是菱形，点P 是侧棱C 1C 的中点．（1）求证：AC 1∥平面PBD ；（2）求证：BD ⊥A 1P ．（1）证明：连结AC 交BD 于O 点，连结OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以O 点是AC 的中点，所以AO OC =．又因为点P 是侧棱1C C 的中点，所以1CP PC =．在1ACC ∆中，11C PAO OC PC==, 所以1//AC OP ．………………4分又因为OP PBD ⊂面，1AC PBD ⊄面，所以1//AC 平面PBD ．………………7分（2）证明：连结11A C .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ，PD 1C 1B 1A 1D C BAOPD 1C 1B 1A 1D CBA又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又1AC CC C =I ，111,AC AC CC AC ⊂⊂面面,所以1BD AC ⊥面．………………10分又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，因为111A ACC A ∈面，所以11A P AC ⊂面，所以1BD A P ⊥．………………14分16．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝45．（1）若c ＝2a ，求sin Bsin C 的值；（2）若C －B ＝π4，求sin A 的值．解：（1）解法1：在△ABC 中，因为cos B ＝45，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝45．………………2分因为c ＝2a ，所以(c2)2＋c 2－b 22c ×c 2＝45，即b 2c 2＝920，所以b c ＝3510．………………4分又由正弦定理得sin B sin C ＝b c ，所以sin B sin C ＝3510．………………6分解法2：因为cos B ＝45，B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35．………………2分因为c ＝2a ，由正弦定理得sin C ＝2sin A ，所以sin C ＝2sin(B ＋C )＝65cos C ＋85sin C ，即－sin C ＝2cos C ．………………4分又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得sin C ＝255，所以sin B sin C ＝3510．………………6分（2）因为cos B ＝45，所以cos2B ＝2cos 2B －1＝725．………………8分又0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35，所以sin2B ＝2sin B cos B ＝2×35×45＝2425．………………10分因为C －B ＝π4，即C ＝B ＋π4，所以A ＝π－(B ＋C )＝3π4－2B ，所以sin A ＝sin(3π4－2B )＝sin 3π4cos2B －cos 3π4sin2B ＝31250．………………14分 17．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x yC a b a b +=＞＞的右焦点为()1,0F ，且过点3(1,)2．过点F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，点P 在椭圆上，且满足()0OA OB tOP t +=u u u r u u u r u u u r＞．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若t =AB 的方程． .解：（1）由题意可知，1c =，且221914a b+=，又因为222a b c =+，解得2,a b ==，………2分所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=………4分；（2）若直线AB 的斜率不存在，则易得33(1,),(1,)22A B -，(2,0)2OA OB OP ∴+==u u u r u u ur ，得P ，显然点P 不在椭圆上，舍去………5分；因此设直线l 的方程为()1y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=………7分，因为21,22434k x k ±=+，所以2122834k x x k +=+………8分，则由()()1212,k 2OA OB x x x x +=++-=u u u r u u u r u ur ，得1212(2))P x x x x ++-………10分将P 点坐标代入椭圆C 的方程，得22212123()4(2)6x x k x x +++-=()*………11分（第17题）;将2122834k x x k +=+带入等式()*得234k =，2k ∴=±………12分，因此所求直线AB的方程为)12y x =±-………14分设直线l 的方程为1x my =+求解亦可18．（16分）某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB 为地面，,CD CE 为路灯灯杆，CD AB ⊥，2π3DCE ∠=，在E 处安装路灯，且路灯的照明张角π3MEN ∠=．已知4m,2m CD CE ==．（1）当,M D 重合时，求路灯在路面的照明宽度MN ；（2）求此路灯在路面上的照明宽度MN 的最小值．解：（1）当,M D 重合时，由余弦定理知，ME DE ==，所以222cos 2CD DE CE CDE CD DE +-∠==⋅……2分，因为π2CDE EMN ∠+∠=，所以sin cos EMN CDE ∠=∠=，因为cos 0EMN ∠＞，所以cos 14EMN ∠==，……4分因为π3MEN ∠=，所以2πsin sin 3ENM EMN ⎛⎫∠=-∠⎪⎝⎭2π2πsincos cos sin 33EMN EMN =∠-∠=……6分 ∴在EMN ∆中，由正弦定理可知，sin sin MN EMMEN ENM=∠∠，解得MN =……8分；（2）易知E 到地面的距离2ππ42sin 5m 32h ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，……10分由三角形面积公式可知，11π5sin 223EMN S MN EM EN =⋅⋅=⋅⋅△，MN EM EN =⋅,……12分（第18题）又由余弦定理可知，222π2cos 3MN EM EN EM EN EM EN =+-⋅⋅⋅≥，……13分当且仅当EM EN =时，等号成立，所以2MN MN，解得3MN ≥……14分；答：（1）路灯在路面的照明宽度为m 2；（2）照明宽度MN的最小值为m 3.……16分 19．（本小题满分16分）已知函数x x x x f 3231)(23+-=（R x ∈）的图象为曲线C ．（1）求曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）若曲线C 上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围；（3）试问：是否存在一条直线与曲线C 同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．【解】（1）34)(2+-='x x x f ，则2()(2)11k f x x '==--≥-， ----------4分（2）由（1）可知，⎪⎩⎪⎨⎧-≥--≥111kk ---------------------------------------------------------6分得：(][)+∞+-∞-∈,22)3,1(22,Y Y x ；-------------------------------9分（3）设存在过点A ),(11y x 的切线曲线C 同时切于两点，另一切点为B ),(22y x ，21x x ≠，过A ),(11y x 的切线方程是： )232()34(2131121x x x x x y +-++-=，-----------------11分同理：过B ),(22y x 的切线方程是)232()34(2232222x x x x x y +-++-=，则有：3434222121+-=+-x x x x ，得421=+x x ，----------------------13分又由22322131232232x x x x +-=+-，即0))((2))((32212122212121=+-+++--x x x x x x x x x x 04)(31222121=+++-x x x x ，即012)(22211=-++x x x x 即0124)4(222=-+⨯-x x ，044222=+-x x得22=x ，由421=+x x 得21=x ，这与21x x ≠矛盾，所以不存在----------16分 20．（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且111λ+++-=-n n n n n n a S a S a a 对一切*n ∈N 都成立．（1）时；当1=λ，①求数列{}n a 的通项公式；②若,)1(n n a n b +=求数列{}n b 的前n 项的和;n T（2）是否存在实数λ，使数列{}n a 是等差数列.如果存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【详解】(1)①若1λ=，因为111n n n n n n a S a S a a λ+++-=- 则()()1111n n n n S a S a +++=+，111a S ==. 又∵0n a >，0n S >，∴1111n n n nS a S a +++=+，∴3131221212111111n n n nS S a a S a S S S a a a +++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++，化简，得1112n n S a +++=. ① ∴当2n ≥时，12n n S a +=. ② ②－①，得12n n a a +=，∴()122n na n a +=≥. ∵当1n =时，22a =，∴1n =时上式也成立，∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，12n n a -=.………………4分②因为()1n n b n a =+，∴()112n n b n -=+⋅所以012212232422(1)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L 所以123122232422(1)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L将两式相减得：1212222(1)2n n n T n --=++++-+⨯L12(12)2(1)2212n n n n n --=+-+⨯=-⨯-所以2nn T n =⋅………………8分(2)令1n =，得21a λ=+.令2n =，得()231a λ=+. 要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得0λ=. 当0λ=时，()111n n n n S a S a ++=+，且211a a ==.………………10分当2n ≥时，()()()1111n n n n n n S S S S S S +-+-=+-，整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+，从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++，化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=. 综上所述，()*1Nn a n =∈，所以0λ=时，数列{}n a 是等差数列. ………………16分数学附加试卷（满分40分，考试时间30分钟） 21A ．（本小题满分10分）己知矩阵，其中，点P(2，2)在矩阵的变换下得到的点Q(2，4)·（1)求实数a ，b 的值：（2）求矩阵A 的逆矩阵．解：（1）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-422211b a ，所以⎩⎨⎧=+=-422222b a 所以⎩⎨⎧==12b a ．………………5分（2）31112)det(=-=A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-32313131323131311A ．………………10分 21B ．在极坐标系中，已知(A 1，3π)，(B 9，3π)，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．解：由题意，线段AB 的中点坐标为(5,)3π，设点(,)P ρθ为直线l 上任意一点，在直角三角形OMP 中，cos()53πρθ-=，所以，l 的极坐标方程为cos()53πρθ-=，………………5分令0θ=，得10ρ=，即(10,0)C ．（8分）所以，ABC ∆的面积为：1(91)10sin 20323π⨯-⨯⨯=．………………10分22.(本小题満分10分)1()2,0,()12(),0m x x xf x x n x x ⎧+->⎪=⎨⎪++<⎩已知函数是奇函数.（1）求实数m ，n 的值：（2）若对任意实数x ，都有0)()(2≥+xxe f e f λ成立.求实数的取值范围.23．（本小题满分10分）已知()2120121n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n N ∈．记()021nn n kk T k a-==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n N ∈，n T 都能被42n +整除．解：（1）210221055535C 3C 5C 30T a a a =++=++=．………………3分（2） ∵()()()()()()()()()()121221!212!1C121C 1!!!!n kn kn n n n n n k n k n n k n k n k n k ++++++⋅++=++⋅==+++-+-∴()()()12121002121C21C nnnn k n kn n kn n k k k T k ak k -++-++====+=+=+∑∑∑ ()()()()11121212102121C21C21C nnnn k n kn kn n n k k k n k n n k n +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑(()11)()()()()()1221221220221C21C 2212C 21221C 22nnn kn k n nn n nn n nk k n n n n n +++++===+-+=+⋅⋅+-+⋅⋅=+∑∑………………7分∴()()()()1221212121C 21C C 221C nn n n n n n n n T n n n ----=+=++=+． ∵*21C n n N -∈，∴n T 能被42n +整除．………………10分。

2020年江苏南通高三下学期高考模拟数学试卷

，
．
，
，求函数的单调增区间．
16. 如图，在四棱锥
锐角
所在平面
中，底面
底面
，
为梯形，
，
，交于，
，点在侧棱上，且
．
2
（ 1 ）求证：（ 2 ）求证：
平面
．
．
17. 在平面直角坐标系中，圆
，直线
点，弦过点，过点作的垂线交于点．
（1）若
，求
的面积．
（ 2 ）判断直线与圆的位置关系，并证明．
2 若对任意，
，必存在
使得
，求数列的通项公式．
（，，为常
，已知
，且
20. 若实数满足（ 1 ）求函数
，则称
为函数
的不动点．
的不动点．
3
（ 2 ）设函数
1若
时，存在一个实数
，其中，，为实数．
，使得
既是
点（
是函数的导函数），求实数的取值范围．
2令
，若存在实数，使，
，
为正数的等比数列，求证：函数存在不动点．
，，
，，
，所以直线
，与圆相切，得证．
时，体积最大．
设
，则
，
，
若以为底、为高，则圆柱底面半径
，
，
，
，
当
时，
，当
时，
，
所以
，
若以为底，为高，则圆柱底面半径
，
，
，
当所以
时，
，令
，得
、
，
，当
时，
，
，

【数学】2020南通二模参考答案与评分建议

2020届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}14A =，，{}57B a =-，．若{}4A B =，则实数a 的值是 ▲ ．【答案】9 2．若复数z 满足2i iz=+，其中i 是虚数单位，则 z 的模是 ▲ ．3．在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8．则该农作物的年平均产量是 ▲ 吨．【答案】104．右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．【答案】525．“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头．甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是 ▲ ．【答案】236．在△ABC 中，已知B = 2A ，AC，则A 的值是 ▲ ．【答案】π67．在等差数列{a n } ( n ∈ N *)中，若a 1 = a 2 + a 4，a 8 = -3，则a 20的值是 ▲ ．【答案】-158．如图，在体积为V 的圆柱O 1O 2中，以线段O 1O 2上的点O 为顶点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V 1，V 2，则12V V V+的值是 ▲ ．【答案】139．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的左顶点为A ，右焦点为F ，过F作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q ．若△APQ 为直角三角形，则该双曲线的离心率是 ▲ ．【答案】2（第8题）（第4题）10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线2y x =上，过点P 作圆C ：22(4)8x y -+=的一条切线，切点为T ．若PT PO =，则PC 的长是 ▲ ．11．若x > 1，则91211x x x +++-的最小值是 ▲ ．【答案】812．在平面直角坐标系xOy 中，曲线e x y =在点()00e x P x ，处的切线与x 轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数．若点B ( x 0，0 )，△PAB 的面积为3，则0x 的值是 ▲ ．【答案】ln 613．图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME -7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中OA 1 = A 1A 2 = A 2A 3 = … = A 7A 8 = 1，则6778A A A A ⋅的值是 ▲ ．14．设函数f ( x )2log 04(8)48x a x f x x ⎧-<⎪=⎨-<<⎪⎩，≤，，．若存在实数m ，使得关于x 的方程f ( x ) = m 有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】()1-∞，说明：第6题答案写成角度也对；第12题自然对数符合“ln ”书写错误不给分；第14题答案写成“1a <”或者“{}|1a a <”也算正确。

南通市2020届高三下开学模拟考试数学试题含附加题

（第5题）江苏省南通市2020届高三第二学期开学模拟考试数学试题2020.03(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1．已知集合{}|02A x x =<<，集合{}|1B x x =>，则A B =U ▲ ．2．设复数z 满足(2i)1i z -=+（i 为虚数单位），则复数z = ▲ ．3．某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45 s ，黄灯时间为3 s ，绿灯时间为向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为 ▲ ． 4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的15，且第一组数据的频数为25，则样本容量为 ▲ ．5．右图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．6．各棱长都为2的正四棱锥的体积为 ▲ ．7．将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3πx =对称，则ω的最小值为 ▲ ．8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数.当0x ≥时，23()1x f x x -=+，则不等式(ln )f x <1的解集为 ▲ ．9．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26a =，若137,,a a a 成等比数列，则8S = ▲ ．10．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___ _ ▲_ __.11．已知函数x m x f ln )(= 图像与函数x x g 2)(=图像在交点处切线方程相同，则m 的值为_________12．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：y mx =与曲线3()2f x x x =+从左至右依次交于A 、B 、C 三点，若直线l 2：2y kx =+上存在P 满足PA PC 1+=u u u r u u u r ，则实数k 的取值范围是．13．在平面直角在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221O x y +=：，圆22(4)4C x y -+=：，动点P在直线20x +-=上的两点E F ，之间，过点P 分别作圆O C ，的切线，切点为A B ，，若满足2PB PA ≥，则线段EF 的长度为 ▲ ．14．若△ABC 中，AB，BC =8，B ∠=45°，D 为△ABC 所在平面内一点且满足()()4AB AD AC AD ⋅⋅⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，则AD 长度的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=．（1）求证：sin 2sin()C A B =-；（2）若3cos 5A =，求tan C 的值．16．(本小题满分14分)CADB（第15题）ABCB 1C 1A 1MN （第16题）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知M ，N 分别为线段1BB ，1A C 的中点，MN 与1AA 所成角的大小为90°，且1MA MC =．求证：（1）平面1A MC ⊥平面11A ACC ；（2）//MN 平面ABC ．17．(本小题满分14分)已知点O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F，离心率，点I ，J 分别是椭圆C 的右顶点、上顶点，IOJ △的边IJ ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()2,0H -的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程．18．(本小题满分16分)某校有一块圆心O, 为半径为200 米, 圆心角为32π的扇形绿地OPQ , 半径OP ,OQ 的中点分别为N M ,,A 为弧PQ 上的一点, 设α=∠AOQ , 如图所示,拟准备两套方案对该绿地再利用..(1) 方案一：将四边形绿地OMAN 建成观赏鱼池, 其面积记为1S , 试将1S 表示为关于α 的函数关系式; 并求α 为何值时, 1S 取得最大？(2) 方案二：将弧AQ 和线段NQ AN ,围成区域建成活动场地, 其面积记为2S , 试将2S 表示为关于α 的函数关系式; 并求α 为何值时,2S 取得最大？19．(本小题满分16分)已知正项数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足22n nn S a a =+，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）如果对任意正整数n ，不等式22nn n a a a ++->都成立，求证：实数c 的最大值为1．20．(本小题满分16分)已知函数()xax bf x e-=（其中,a b R ∈）．（1）当1a =时，若函数()y f x =在[)0,+∞上单调递减，求b 的取值范围；（2）当1b =，0a ≠时，①求函数()y f x =的极值；②设函数()y f x =图象上任意一点处的切线为l ，求l 在x 轴上的截距的取值范围．江苏省南通市2020届高三第二学期开学模拟考试附加题2020.03(总分160分，考试时间120分钟)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4—2 ：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A 的逆矩阵111 3341 33-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ．求矩阵A 的特征值和相应的特征向量．B ．[选修4—4 ：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C 的圆心极坐标为(2,)4π，且圆C 经过极点，求圆C 的极坐标方程．C ．[选修4—5 ：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，33311127abc a b c +++的最小值为m ．22．把编号为1，2，3，4，5的五个大小、形状相同的小球，随机放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里．每个盒子里放入一个小球．(1)求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率；(2)设小球的编号与盒子编号相同的情况有X 种，求随机变量X 的分布列与期望．23．设0()(1)nk knk m P n m C m k==-+∑，，()n n m Q n m C +=，，其中*m n ∈N ，．（1）当1m =时，求(1)(1)P n Q n ⋅，，的值；（2）对*m ∀∈N ，证明：()()P n m Q n m ⋅，，恒为定值．江苏省南通市2020届高三第二学期开学模拟考试数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1.{}|0x x > 2．13+i 55 3. 512 4. 150 5. 76.7. 12 8. 441(,)e e9. 88 10．x 25＋y 24＝111. e12. k k ≤≥13.14.二．解答题：本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．AB CB 1C 1A 1 MN请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（本小题满分14分）（1）证明：因为12BD AD c -=，所以1cos cos 2a Bb Ac -=， …… 3分由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以sin 2sin()C A B =-． …… 6分（2）解：由（1）得，sin()2sin()A B A B +=-， …… 8分所以sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B +=-，化简，得3cos sin sin cos A B A B =． …… 10分又3cos 5A =，所以4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =， …… 12分所以44tan tan 4839tan tan()1tan tan 4411139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． …… 14分16．证明：（1）因为MN 与1AA 所成角的大小为90°，所以MN ⊥1AA ，因为1MA MC =，且N 是A 1C 的中点，所以MN ⊥1A C ．又111AA AC A =I ，1AC ，1AA ⊂平面11A ACC ，故MN ⊥平面11A ACC ，因为MN ⊂平面1A MC ，所以平面1A MC ⊥平面11A ACC ．（2）取AC 中点P ，连结NP ，BP ．因为N 为A 1C 中点，P 为AC 中点，所以PN //AA 1，且PN 12=AA 1．在三棱柱111ABC A BC -中，BB 1 // AA 1，且BB 1=AA 1．又M 为BB 1中点，故BM // AA 1，且BM 12=AA 1．所以PN // BM ，且PN =BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形，从而MN // BP ．又MN ⊄平面ABC ，BP ⊂平面ABC ，故//MN 平面ABC ．17. （1）由题意得IOJ △，所以IJ = 设椭圆C 的半焦距为c，则222c aa b c ===⎧⎪+⎪⎪⎩1a b ⎧==⎪⎨⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）由题知，点1F 的坐标为()1,0-，显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()()20y k x k =+≠，点()11,A x y ，()22,B x y ．联立()22122x y y k x +==+⎧⎪⎨⎪⎩，消去y ，得()2222128820k x k x k ++-+=，所以()()()()222228412828120Δk k k k =+=-->-，所以2102k <<．()* 且2122812k x x k +=-+，21228212k x x k -=+．因为11AF BF ⊥，所以110AF BF ⋅=u u u u r u u u r，则()()1122110x y x y ---⋅---=,,，12121210x x x x y y ++++=，()()1212121220x x x x k x k x ⋅++++++=，整理得()()()2221212121140k x x k x xk +++++=+．即()()()22222221828121401212k k k k k k k +-⎛⎫+⋅-+++= ⎪++⎝⎭．化简得2410k -=，解得12k =±．因为12k =±都满足()*式，所以直线AB 的方程为()122y x =+或()122y x =-+．即直线AB 的方程为220x y -+=或220x y ++=．18. （1）由已知，AOQ α∠=,]3π2,0(∈α，1ONA OMA S S S =+△△；故1112100200sin 100200sin()223S π=⨯⨯⨯α+⨯⨯⨯-α， ……3分整理得1)6S π=+α（平方米）， ……5分∴当3π=α时，1max ()S =（平方米）. ……7分（2）由已知，2ONA AOQ S S S ∆=-扇形，∴211200200100200sin 22S =⨯⨯⨯α-⨯⨯⨯α，即2100002sin S =α-α（）； (10)分∴2()100002cos S 'α=-α（），故2()0S 'α>； ……11分∴2()S α在2π(0]3,上为增函数， ……12分∴当32π=α时，2max 4()100003S π=-（（平方米）. ……14分答：（1）当3π=α时，1max ()S =（平方米）；（2）2S 关于α的函数表达式2100002sin S =α-α（），2π(0]3,α∈当32π=α时，2max 4()100003S π=（（平方米）. ……16分19．解：⑴当1n =时，21112S a a =+，解得11a =，或10a =（舍）. ………………2分由22n n n S a a =+得，21112n n n S a a +++=+，2211122()()n n n n n n S S a a a a +++-=+-+，即221112()()n n n n n a a a a a +++=-+-，也就是2211()()0n n n n a a a a ++--+=，11()(1)0n n n n a a a a +++--=， ……………4分由于数列{}n a 各项均为正数，所以110n n a a +--=，即11n n a a +-=.所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以数列{}n a 的通项公式为n a n =. ……………………………………6分 ⑵对任意正整数n ，1==>=，所以c 的最大值为max 1c ≥. …………………10分另一方面，任取实数1a >时.==-==. ……………………12分 ①当2a ≥时，对任意的正整数n< ……………14分②当12a <<时，只要(20a -<，即22(2)(2)a n a n -+<，也就是2(2)2(1)a n a ->-所以满足条件的1c ≤，从而max 1c ≤. 因此c 的最大值为1. ………………16分20．（1）1a =时， ()x x b f x e -=的导函数1'()xx bf x e -++=，∴由题意知对任意()0,x ∈+∞有1'()0xx bf x e -++=≤，即10x b -++≤ ∴()min 1b x ≤-，即1b ≤-.（2）1b =时， 1()x ax f x e -=的导函数1'()xax af x e -++=，①(i)当0a >时，有'1(,),()0a x f x a +∈-∞>；'1(,),()0a x f x a +∈+∞<， ∴函数()y f x =在1(,)a x a +∈-∞单调递增，1(,)a x a+∈+∞单调递减， ∴函数()y f x =在1a x a+=取得极大值1a a a e +-⋅，没有极小值．(ii)当0a <时，有'1(,),()0a x f x a +∈-∞<；'1(,),()0a x f x a +∈+∞>， ∴函数()y f x =在1(,)a x a +∈-∞单调递减，1(,)a x a+∈+∞单调递增，∴函数()y f x =在1a x a+=取得极小值1a a a e +-⋅，没有极大值．综上可知: 当0a >时，函数()y f x =在1a x a +=取得极大值1a a a e +-⋅，没有极小值；当0a <时，函数()y f x =在1a x a+=取得极小值1a a a e +-⋅，没有极大值．②设切点为1(,)t at T t e -，则曲线在点T 处的切线l 方程为11()t tat at ay x t e e --++-=-，当1a t a+=时，切线l 的方程为11a a t at y a e e +--==⋅，其在x 轴上的截距不存在．当1a t a+≠时， ∴令0y =，得切线l 在x 轴上的截距为1(1)111111111111211at at a a a x t t t t at a at a at a t a t a at a---+=+=+=++=++--------=--+++--∴当110t a -->时，11111122411x t a a a a t a =--+++≥+=+--，当110t a --<时，1111112211x t a a a a t a =--+++≤-+=--，∴当切线l 在x 轴上的截距范围是11,4,a a ⎛⎤⎡⎫-∞++∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U .江苏省南通市2020届高三第二学期开学模拟考试数学附加题参考答案与评分标准21A 解：由111334133-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，得1141⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， …………………………5分由特征多项式1141λλ----＝2(1)40λ--=，得1231 λλ==-，，所以特征值13λ=对应的特征向量12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α1，特征值21λ=-对应的特征向量12⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α2． ………………………10分21B ．解：方法一设圆C 上任意一点的极坐标(,)P ρθ，过OC 的直径的另一端点为B ，连接,PO PB ．则在直角三角形OPB 中，,24OPB POB ππθ∠=∠=-．所以4cos()4πρθ=-，即为圆C 的极坐标方程．……………………………………10分方法二(2,)4C π的直角坐标为)，半径2r =，所以圆C的直角坐标方程为22((4x y +=，…………………………5分即220x y +--=，故圆C 的极坐标方程为24cos()04πρρθ--=，即4cos()4πρθ=-． ……………………………………………………………10分21C 解关于x 的不等式12x x m +-<．因为a ，b ，0c >，所以3331112727abc abc a b c +++≥327abc abc=+18=≥，当且仅当a b c ====”，所以18m =．…………………………………………………………………………6分所以不等式12x x m +-<即1218x x +<+，所以2181218x x x --<+<+，解得193x >-，所以原不等式的解集为19(,)3-+∞．………………………………………………10分 22．（1）记恰有2个小球与盒子编号相同为事件A ，将5个小球随机放入五个盒子中，每个盒子放一个共有55A 即120种不同的放法，事件A 共有24220C ⨯=种放法，201()1206P A ∴== 答：恰有2个盒子与小球编号相同的概率为16…………………… 4分（2）随机变量X 的可能值为0,1,2,3,515(2333)4411(0)12012030C P X+++====15(333)453(1)1201208C P X++====252201(2)1201206C P X⨯====35101(3)12012012C P X====1(5)P X==()012351308612120E x ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= …………………… 10分 23．（1）当1m =时，110111(1)(1)(1)111nn kkk k nn k k P n C C k n n ++===-=-=+++∑∑，，………………………………2分又11(1)1n Q n C n +==+，，显然(1)(1)1P n Q n ⋅=，，. ………………………………………………4分（2）0()(1)nkk nk m P n m C m k ==-+∑，111111(1)()(1)n k k k nn n k m m C C m k m k ----==+-++-++∑ 1111111(1)(1)n nkk k k n n k k m m CC m k m k----===+-+-++∑∑ 111(1,)(1)nk k n k mP n m C m k--==-+-+∑ 0(1,)(1)n k knk m m P n m C n m k==-+-+∑(1,)(,)mP n m P n m n=-+即()(1)nP n m P n m m n=-+，，，………………………………………………………8分由累乘，易求得!!1()(0)()!n n mn m P n m P m n m C +==+，，，又()nn m Q n m C +=，，所以()()1P nm Q n m ⋅=，，．…………………………………10分。

江苏省南通市通州区2020届高三年级第二学期复学后联考数学试卷+附加题(含答案)

南通市通州区2020届复学后联考数学试卷Ⅰ试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4}，则A ∪B ＝ ▲ ． 2．已知复数z 满足(z-2)i=1+i(i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ． 3. 根据如图所示的伪代码，可这输出的S= ▲ . 4．函数()f x ＝2ln x x -的单调减区间为 ▲ ．．5．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为 ▲ ．6．若函数2ln 2)(3+-=x x x f 的图像在1=x 处的切线l 与两坐标轴分别交于点A ，B ，则线段AB 的长为 ▲ .7．已知各项均不相等的数列{}n a 为等差数列，且1041,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项.若 6b a k =，则=k ▲ .8．在△ABC 中，如果sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，则sin C ＝ ▲ ．9．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别为S 1、S 2，则S 1：S 2＝ ▲ ．10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在如图所示的直角坐标系xOy 中，设军营所在平面区域的边界为x 2＋y 2＝4，河岸线所在直线方程为x ＋y ﹣6＝0，假定将军从点P(3，﹣2)处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军行走的最短路程为 ▲ ． 11.在 ABC ∆中AD ,3,,0===⋅与BE 交于点F.若,3,4==AC 则⋅的值为 ▲ . 12．已知0a >，0b >，且31126a b a b ++≤+，则3ab a b+的最大值为 ▲ . 13．已知椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率12e =，A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-+的值为 ▲ ．14．已知函数4()ln 2f x x x xλλ=+-≥，，曲线()y f x =上总存在两点M(1x ，1y )，N(2x ，2y )使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行，则1x ＋2x 的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 为棱PD 的中点，PA ⊥平面ABCD ．（1）求证：PB //平而AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA ＝AD ，求证：AE ⊥平面PCD ．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝45．（1）若c ＝2a ，求sin Bsin C 的值；（2）若C －B ＝π4，求sin A 的值．17．（本小题满分14分）如图，圆O 是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A ，B 两点在⊙O 上，A ，B ，C ，D 恰是一个正方形的四个顶点.根据规划要求，在A ，B ，C ，D 四点处安装四盏照明设备，从圆心O 点出发，在地下铺设4条到A ，B ，C ，D 四点线路OA ，OB ，OC ，OD . （1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路OA ，OB ，OC ，OD 总长度的最小值.18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1、A 2，上、下顶点分别为B 1、B 2．设直线A 1B 1倾斜角的余弦值为3，圆C 与以线段OA 2为直径的圆关于直线A 1B 1对称．（1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线A 1B 1与圆C 的位置关系，并说明理由；（3）若圆C 的面积为4π，求圆C 的方程．19．（本小题满分16分）已知函数.)(,)(221xe xf c bx ax x f =++=（1）当0,1,21===c b a 时，设)()()(12x f x mf x f -=，且函数)(x f 在R 上单调递增. ①求实数m 的取值范围；②设),()3()(22x f m x x h -=当实数m 取最小值时，求函数)(x h 的极小值. (2) 当1,1,0=>=c b a 时，证明：函数)()()(12x f x f x g --有两个零点.20．（本小题满分16分）20.已知无穷数列{}n a 的前n 项中的最大项为n A ，最小项为n B ，设n n n B A b +=x（1）若,12-=n a n 求数列{}n b 的通项公式；（2）若nn n a 212-=，求数列{}n b 的前n 项和n s ；（3）若数列{}n b 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列.Ⅱ试题21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换设a ，b ∈R ．若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1b 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0．求实数a ，b 的值． B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知(A 1，3π)，(B 9，3π)，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．C ．选修4—5：不等式选讲已知实数a ，b 满足||2a b +„，求证：22|22|4(||2)a a b b a +-++„．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）由数字0,1,2,3,4组成一个五位数α.（1）若α的各数位上数字不重复，求α是偶数的概率；（2）若α的各数位上数字可以重复，记随机变量X表示各数位上数字是0的个数，求X的分布列及数学期望.23．（本小题满分10分）如图，F是抛物线y2＝2px(p > 0)的焦点，过点F且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，交抛物线的准线于点H，其中y1>0,y1y2=-4．过点H作y轴的垂线交抛物线于点P，直线PF交抛物线于点Q.（1)求p的值；（2)求四边形APBQ的而积S的最小值．参考答案及评分标准Ⅰ试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{1，2，3，4}2. .3.5.4. (2，+∞) 5. 30．6. 22 7.94. 8．49．3：2 10211. 4912. 19 13．1714．(8，+∞)．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）证明:（1）连接BD 交AC 于O ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 是BD 的中点，因为E 为PD 的中点，所以OE //PB又因为PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ,所以PB //平面AEC ………………6分（2）因为PA AD =且E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥ 又因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥ 因为四边形ABCD 是矩形，所以CD ⊥AD ，因为,PA AD ⊂平面PAD 且PA AD A =I所以CD ⊥平面PAD 又因为AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥,PD CD ⊂平面PDC 且PD CD D =I ,所以AE ⊥平面PCD ………………14分16．（本小题满分14分）解：（1）解法1：在△ABC 中，因为cos B ＝45，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝45．………………2分因为c ＝2a ，所以(c2)2＋c 2－b 22c ×c 2＝45，即b 2c 2＝920，所以b c ＝3510．………………4分又由正弦定理得sin B sin C ＝b c ，所以sin B sin C ＝3510．………………6分解法2：因为cos B ＝45，B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35．………………2分因为c ＝2a ，由正弦定理得sin C ＝2sin A ，所以sin C ＝2sin(B ＋C )＝65cos C ＋85sin C ，即－sin C ＝2cos C ．………………4分又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得sin C ＝255，所以sin B sin C ＝3510．………………6分（2）因为cos B ＝45，所以cos2B ＝2cos 2B －1＝725．………………8分又0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35，所以sin2B ＝2sin B cos B ＝2×35×45＝2425．………………10分因为C －B ＝π4，即C ＝B ＋π4，所以A ＝π－(B ＋C )＝3π4－2B ，所以sin A ＝sin(3π4－2B )＝sin 3π4cos2B －cos 3π4sin2B ＝31250．………………14分17．（本小题满分14分）（1）连接AB ，∵AB ＝10，∴正方形ABCD 的面积为100，又OA ＝OB ＝10，∴△AOB 为正三角形，则3AOB π∠=，而圆的面积为100π，∴扇形AOB 的面积为1005063ππ=，又三角形AOB 的面积为1102⨯⨯=.∴弓形面积为503π-，则广场面积为100503π+-（平方米）；………………6分（2）过O 作OK ⊥CD ，垂足为K ，过O 作OH ⊥AD （或其延长线），垂足为H ，设∠OAD ＝θ（0＜θ4π＜），则OH ＝10sinθ，AH ＝10cosθ，∴DH ＝|AD ﹣AH |＝|2OH ﹣AH |＝|20sinθ﹣10cosθ|，∴OD == (12)分∴当θ8π=时，)101min OD =.∴4条线路OA ，OB ，OC ，OD 总长度的最小值为)210120⨯+=（米）. ………………14分18．（本小题满分16分）解：（1）设椭圆E 的焦距为2c （c >0），因为直线11A B =，于是228a b =，即2228()a a c =-，所以椭圆E 的离心率e = (4)分（2）由e =可设()40a k k =>，c ，则b ，于是11A B 的方程为：40x k -+=，故2OA 的中点()20k , 到11A B 的距离d =242k kk +=，又以2OA 为直径的圆的半径2r k =，即有d r =，所以直线11A B 与以2OA 为直径的圆相切．因为圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称，所以直线11A B 与圆C 相切．………………10分（3）由圆C 的面积为4π知，圆半径为2，从而1k =，设2OA 的中点()20, 关于直线11A B：40x -+=的对称点为()m n , ，则1,224022n m m n ⎧=-⎪-⎨+⎪-+=⎩．解得23m n =,所以，圆C 的方程为()(22243x y -+=．………………16分19．（本小题满分16分）（1）①x x me x f x --=221)(,得,1)(--='x me x f x由题意知0)(≥'x f 在R 上恒成立，x ex m 1+≥∴ 在R 上恒成立。

江苏省南通市通州区2020届高三年级第二学期复学后联考数学试卷含附加题(解析版)

江苏省南通市通州区2020届高三年级第二学期复学后联考数学试卷第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4}，则A U B ＝． 2．已知复数z 满足(z ﹣2)i ＝1＋i(i 为虚数单位），则z 的模为． 3．根据如图所示的伪代码，则输出的S ＝． 4．函数2()ln f x x x =-的单调减区间为．5．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为．6．若函数3()2ln 2f x x x =-+的图像在1x =处的切线l 与两坐标轴分别第3题交于点A ，B ，则线段AB 的长为．7．已知各项均不相等的数列{}n a 为等差数列，且1a ，4a ，10a 恰为等比数列{}n b 的前三项，若6b a k =，则=k ．8．在△ABC 中，如果sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，则sin C ＝．9．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别为S 1、S 2，则S 1：S 2＝．10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在如图所示的直角坐标系xOy 中，设军营所在平面区域的边界为x 2＋y 2＝4，河岸线所在直线方程为x ＋y ﹣6＝0，假定将军从点P(3，﹣2)处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军行走的最短路程为．11．在△ABC 中，AB AC 0⋅=u u u r u u u r ，BD DC =u u u r u u u r ，AC 3AE =u u u r u u u r ，AD 与BE 交于点F ．若AB 4=u u u r，AC 3=u u u r，则BF AC ⋅u u u r u u u r 的值为．12．已知a ＞0，b ＞0，且31126a b a b ++≤+，则3ab a b+的最大值为．13．已知椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率12e =，A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-+的值为． 14．已知函数4()ln f x x x xλ=+-，2λ≥，曲线()y f x =上总存在两点M(1x ，1y )，N(2x ，2y )使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行，则12x x +的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 为棱PD 的中点，PA ⊥平面ABCD ．（1）求证：PB //平而AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA ＝AD ，求证：AE ⊥平面PCD ．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cosB ＝45．（1）若c ＝2a ，求sin Bsin C的值；（2）若C ﹣B ＝4π，求sinA 的值．17．（本小题满分14分）如图，圆O 是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A ，B 两点在⊙O上，A ，B ，C ，D 恰是一个正方形的四个顶点.根据规划要求，在A ，B ，C ，D 四点处安装四盏照明设备，从圆心O 点出发，在地下铺设4条到A ，B ，C ，D 四点线路OA ，OB ，OC ，OD ．（1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路OA ，OB ，OC ，OD 总长度的最小值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1、A 2，上、下顶点分别为B 1、B 2．设直线A 1B 1倾斜角的余弦值为3，圆C 与以线段OA 2为直径的圆关于直线A 1B 1对称．（1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线A 1B 1与圆C 的位置关系，并说明理由；（3）若圆C 的面积为4π，求圆C 的方程．19．（本小题满分16分）已知函数21()f x ax bx c =++，2()xf x e =．（1）当12a =，1b =，0c =时，设21()()()f x mf x f x =-，且函数()f x 在R 上单调递增．①求实数m 的取值范围；②设22()(3)()h x x m f x =-，当实数m 取最小值时，求函数()h x 的极小值．（2）当0a =，1b >，1c =时，证明：函数21()()()g x f x f x --有两个零点．20．（本小题满分16分）已知无穷数列{}n a 的前n 项中的最大项为n A ，最小项为n B ，设n n n B A b +=．（1）若21n a n =-，求数列{}n b 的通项公式；（2）若nn n a 212-=，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）若数列{}n b 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换设a ，b ∈R ．若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1b 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0．求实数a ，b 的值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知(A 1，3π)，(B 9，3π)，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．C ．选修4—5：不等式选讲已知实数a ，b 满足||2a b +…，求证：22|22|4(||2)a a b b a +-++…．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）由数字0,1,2,3,4组成一个五位数α.（1）若α的各数位上数字不重复，求α是偶数的概率；（2）若α的各数位上数字可以重复，记随机变量X表示各数位上数字是0的个数，求X的分布列及数学期望.23．（本小题满分10分）如图，F是抛物线y2＝2px(p > 0)的焦点，过点F且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，交抛物线的准线于点H，其中y1>0,y1y2=-4．过点H作y轴的垂线交抛物线于点P，直线PF交抛物线于点Q.（1)求p的值；（2)求四边形APBQ的而积S的最小值．江苏省南通市通州区2020届高三年级第二学期复学后联考数学试卷第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4}，则A U B ＝．答案：{1，2，3，4} 考点：集合并集运算解析：∵集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4}，∴A U B ＝{1，2，3，4}． 2．已知复数z 满足(z ﹣2)i ＝1＋i(i 为虚数单位），则z 的模为．考点：复数解析：123iz i i+=+=-，∴z = 3．根据如图所示的伪代码，则输出的S ＝．答案：21 考点：伪代码解析：第一次：S ＝1，i ＝1；第二次：S ＝3，i ＝2；第三次：S ＝7，i ＝3；第四次：S ＝13，i ＝4；第五次：S ＝21，i ＝5．∴输出的S ＝21． 4．函数2()ln f x x x =-的单调减区间为．答案：，+∞) 考点：利用导数研究函数的单调性解析：首先定义域为(0，+∞)，求导得1()2f x x x'=-，当()0f x '<是，解得2x >，所以减区间为，+∞)． 5．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为．答案：30考点：计数原理解析：若从0、2中选一个数字是0，则组成三位数有12个，若从0、2中选一个数字是2，则组成三位数有18个，故一共有30个． 6．若函数3()2ln 2f x x x =-+的图像在1x =处的切线l 与两坐标轴分别交于点A ，B ，则线段AB 的长为．答案：考点：利用导数研究函数切线解析：∵3()2ln 2f x x x =-+，∴22()3f x x x'=-，则k ＝1，(1)3f =，所以31y x -=-，2y x =+，与坐标轴两交点分别为(0，2)，(﹣2，0)，故AB ＝．7．已知各项均不相等的数列{}n a 为等差数列，且1a ，4a ，10a 恰为等比数列{}n b 的前三项，若6b a k =，则=k ．答案：94考点：等差数列与等比数列解析：由1a ，4a ，10a 恰为等比数列{}n b 的前三项，得公比104241q -==-， ∴412a a =，1014a a =，由6b a k =，(2)k a k d =+，696b d =，∴k ＝94． 8．在△ABC 中，如果sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，则sin C ＝．答案：4考点：正余弦定理解析：∵sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，∴a ：b ：c ＝2：3：4，设a ＝2x ，b ＝3x ，c ＝4x ，则22222222491631cos C 2223124a b c x x x x ab x x x +-+--====-⋅⋅，所以sinC 4=． 9．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别为S 1、S 2，则S 1：S 2＝．答案：3：2考点：圆柱、球的表面积解析：设球的半径为R ，则S 1：S 2＝2(222)R R R ππ+⋅：24R π＝3：2．10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在如图所示的直角坐标系xOy 中，设军营所在平面区域的边界为x 2＋y 2＝4，河岸线所在直线方程为x ＋y ﹣6＝0，假定将军从点P(3，﹣2)处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军行走的最短路程为．2考点：对称点求法，两点间距离公式的计算解析：设点Q 与点O 关于直线x ＋y ﹣6＝0对称，连接PQ ，则PQ ﹣2即为所求最小值，首先求得点Q(6，6)，则PQ =∴PQ ﹣222．11．在△ABC 中，AB AC 0⋅=u u u r u u u r ，BD DC =u u u r u u u r ，AC 3AE =u u u r u u u r ，AD 与BE 交于点F ．若AB 4=u u u r，AC 3=u u u r，则BF AC ⋅u u u r u u u r 的值为．答案：94考点：平面向量数量积解析：以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，如图，则A(0，0)，B(0，4)，C(3，0)，D(1.5，2)，E(1，0)，求得直线AD 为：43y x =，BE ：44y x =-+，联立解得34x =，1y =，即F(34，1)，∴BF u u u r ＝(34，﹣3)，AC uuu r ＝(3，0)，故9BF AC 4⋅=u u u r u u u r ．12．已知a ＞0，b ＞0，且31126a b a b ++≤+，则3aba b+的最大值为．答案：19考点：基本不等式解析：∵31126a b a b ++≤+，∴31126a b a b +≤+-， ∴313131(12)()[()6]()a b a b a b a b++≤+-+，即2313136()6()1527a b a b a b b a +-+≥++≥，当且仅当a ＝6b 取“＝”， ∴23131()6()270a b a b +-+-≥，解得319a b +≥，故139ab a b ≤+．13．已知椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率12e =，A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-+的值为．答案：17考点：椭圆的性质解析：∵12e =，∴2222223tan tan 14b c a e a a αβ-⋅=-==-=-， ∴31cos()cos cos sin sin 1tan tan 143cos()cos cos sin sin 1tan tan 714αβαβαβαβαβαβαβαβ--++====+--+． 14．已知函数4()ln f x x x xλ=+-，2λ≥，曲线()y f x =上总存在两点M(1x ，1y )，N(2x ，2y )使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行，则12x x +的取值范围为．答案：(8，+∞)考点：利用导数研究函数的切线解析：∵4()ln f x x x x λ=+-，∴211()4()1f x x xλ'=-+-， ∵曲线()y f x =上总存在两点M(1x ，1y )，N(2x ，2y )使曲线在M 、N 两点处的切线互相平行， ∴22112211114()14()1x x x x λλ-+-=-+-，则12114x x λ+=，∴21212124()()2x x x x x x λ+=+<，取不到等号是因为12x x ≠，故1216x x λ+>，由2λ≥，得168λ≤，要使1216x x λ+>恒成立，则128x x +>．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 为棱PD 的中点，PA ⊥平面ABCD ．（1）求证：PB //平而AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA ＝AD ，求证：AE ⊥平面PCD ．证明:（1）连接BD 交AC 于O ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 是BD 的中点，因为E 为PD 的中点，所以OE //PB又因为PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ,所以PB //平面AEC ………………6分（2）因为PA AD =且E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥ 又因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥ 因为四边形ABCD 是矩形，所以CD ⊥AD ，因为,PA AD ⊂平面PAD 且PA AD A =I所以CD ⊥平面PAD 又因为AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥,PD CD ⊂平面PDC 且PD CD D =I ,所以AE ⊥平面PCD ………………14分16．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cosB ＝45．（1）若c ＝2a ，求sin Bsin C的值；（2）若C ﹣B ＝4，求sinA 的值．解：（1）解法1：在△ABC 中，因为cos B ＝45，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝45．………………2分因为c ＝2a ，所以(c2)2＋c 2－b 22c ×c 2＝45，即b 2c 2＝920，所以b c ＝3510．………………4分又由正弦定理得sin B sin C ＝b c ，所以sin B sin C ＝3510．………………6分解法2：因为cos B ＝45，B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35．………………2分因为c ＝2a ，由正弦定理得sin C ＝2sin A ，所以sin C ＝2sin(B ＋C )＝65cos C ＋85sin C ，即－sin C ＝2cos C ．………………4分又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得sin C ＝255，所以sin B sin C ＝3510．………………6分（2）因为cos B ＝45，所以cos2B ＝2cos 2B －1＝725．………………8分又0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35，所以sin2B ＝2sin B cos B ＝2×35×45＝2425．………………10分因为C －B ＝π4，即C ＝B ＋π4，所以A ＝π－(B ＋C )＝3π4－2B ，所以sin A ＝sin(3π4－2B )＝sin 3π4cos2B －cos 3π4sin2B ＝31250．………………14分17．（本小题满分14分）如图，圆O 是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A ，B 两点在⊙O 上，A ，B ，C ，D 恰是一个正方形的四个顶点.根据规划要求，在A ，B ，C ，D 四点处安装四盏照明设备，从圆心O 点出发，在地下铺设4条到A ，B ，C ，D 四点线路OA ，OB ，OC ，OD ．（1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路OA ，OB ，OC ，OD 总长度的最小值．（1）连接AB ，∵AB ＝10，∴正方形ABCD 的面积为100，又OA ＝OB ＝10，∴△AOB 为正三角形，则3AOB π∠=，而圆的面积为100π，∴扇形AOB 的面积为1005063ππ=，又三角形AOB 的面积为1102⨯⨯=.∴弓形面积为503π-则广场面积为100503π+-（平方米）；………………6分（2）过O 作OK ⊥CD ，垂足为K ，过O 作OH ⊥AD （或其延长线），垂足为H ，设∠OAD ＝θ（0＜θ4π＜），则OH ＝10sinθ，AH ＝10cosθ，∴DH ＝|AD ﹣AH |＝|2OH ﹣AH |＝|20sinθ﹣10cosθ|， ∴OD==分∴当θ8π=时，)101min OD =-.∴4条线路OA ，OB ，OC ，OD 总长度的最小值为)210120⨯+=（米）. ………………14分18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1、A 2，上、下顶点分别为B 1、B 2．设直线A 1B 1倾斜角的余弦值为3，圆C 与以线段OA 2为直径的圆关于直线A 1B 1对称．（1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线A 1B 1与圆C 的位置关系，并说明理由；（3）若圆C 的面积为4π，求圆C 的方程．解：（1）设椭圆E 的焦距为2c （c >0），因为直线11A B =，于是228a b =，即2228()a a c =-，所以椭圆E 的离心率e =………………4分（2）由e =()40a k k =>，c =，则b =，于是11A B的方程为：40x k -+=，故2OA 的中点()20k , 到11A B 的距离d =242k kk +=，又以2OA 为直径的圆的半径2r k =，即有d r =，所以直线11A B 与以2OA 为直径的圆相切．因为圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称，所以直线11A B 与圆C 相切．………………10分（3）由圆C 的面积为4π知，圆半径为2，从而1k =，设2OA 的中点()20, 关于直线11A B：40x -+=的对称点为()m n , ，则1,224022n m m n ⎧=-⎪-⎨+⎪-+=⎩．解得23m n ==,所以，圆C 的方程为()(22243x y -+=．………………16分19．（本小题满分16分）已知函数21()f x ax bx c =++，2()xf x e =．（1）当12a =，1b =，0c =时，设21()()()f x mf x f x =-，且函数()f x 在R 上单调递增．①求实数m 的取值范围；②设22()(3)()h x x m f x =-，当实数m 取最小值时，求函数()h x 的极小值．（2）当0a =，1b >，1c =时，证明：函数21()()()g x f x f x --有两个零点．（1）①x x me x f x--=221)(,得,1)(--='x me x f x由题意知0)(≥'x f 在R 上恒成立，xe x m 1+≥∴ 在R 上恒成立。

江苏省南通市2020届高三第二学期开学模拟考试数学试题含附加题及参考答案

（第5题）江苏省南通市2020届高三第二学期开学模拟考试数学试题2020.03(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1．已知集合{}|02A x x =<<，集合{}|1B x x =>，则A B =U ▲ ．2．设复数z 满足(2i)1i z -=+（i 为虚数单位），则复数z = ▲ ．3．某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45 s ，黄灯时间为3 s ，绿灯时间为西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为 ▲ ． 4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的15，且第一组数据的频数为25，则样本容量为 ▲ ．5．右图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ． 6．各棱长都为2的正四棱锥的体积为 ▲ ．7．将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3πx =对称，则ω的最小值为 ▲ ．8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数.当0x ≥时，23()1x f x x -=+，则不等式(ln )f x <1的解集为 ▲ ．9．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26a =，若137,,a a a 成等比数列，则8S = ▲ ．10．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___ _ ▲_ __.11．已知函数x m x f ln )(= 图像与函数x x g 2)(=图像在交点处切线方程相同，则m 的值为_________12．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：y mx =与曲线3()2f x x x =+从左至右依次交于A 、B 、C 三点，若直线l 2：2y kx =+上存在P 满足PA PC 1+=u u ur u u u r ，则实数k 的取值范围是．13．在平面直角在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221O x y +=：，圆22(4)4C x y -+=：，动点P在直线20x -=上的两点E F ，之间，过点P 分别作圆O C ，的切线，切点为A B ，，若满足2PB PA ≥，则线段EF 的长度为 ▲ ．14．若△ABC 中，AB，BC =8，B ∠=45°，D 为△ABC 所在平面内一点且满足()()4AB AD AC AD ⋅⋅⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，则AD 长度的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=．（1）求证：sin 2sin()C A B =-；（2）若3cos 5A =，求tan C 的值．CADB（第15题）ABCB 1C 1A 1MN （第16题）16．(本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知M ，N 分别为线段1BB ，1A C 的中点，MN 与1AA 所成角的大小为90°，且1MA MC =．求证：（1）平面1A MC ⊥平面11A ACC ；（2）//MN 平面ABC ．17．(本小题满分14分)已知点O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率，点I ，J 分别是椭圆C 的右顶点、上顶点，IOJ △的边IJ ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()2,0H -的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程．18．(本小题满分16分)某校有一块圆心O, 为半径为200 米, 圆心角为32π的扇形绿地OPQ , 半径OP ,OQ 的中点分别为N M ,,A 为弧PQ 上的一点, 设α=∠AOQ , 如图所示,拟准备两套方案对该绿地再利用..(1) 方案一：将四边形绿地OMAN 建成观赏鱼池, 其面积记为1S , 试将1S 表示为关于α 的函数关系式; 并求α 为何值时, 1S 取得最大？(2) 方案二：将弧AQ 和线段NQ AN ,围成区域建成活动场地, 其面积记为2S , 试将2S 表示为关于α 的函数关系式; 并求α 为何值时,2S 取得最大？19．(本小题满分16分)已知正项数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足22n nn S a a =+，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）如果对任意正整数n ，不等式22n n n a a a ++->都成立，求证：实数c 的最大值为1．20．(本小题满分16分)已知函数()xax bf x e -=（其中,a b R ∈）．（1）当1a =时，若函数()y f x =在[)0,+∞上单调递减，求b 的取值范围；（2）当1b =，0a ≠时，①求函数()y f x =的极值；②设函数()y f x 图象上任意一点处的切线为l ，求l 在x 轴上的截距的取值范围．江苏省南通市2020届高三第二学期开学模拟考试附加题2020.03(总分160分，考试时间120分钟)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4—2 ：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A 的逆矩阵111 3341 33-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ．求矩阵A 的特征值和相应的特征向量．B ．[选修4—4 ：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C 的圆心极坐标为(2,)4π，且圆C 经过极点，求圆C 的极坐标方程．C ．[选修4—5 ：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，33311127abc a b c+++的最小值为m ．22．把编号为1，2，3，4，5的五个大小、形状相同的小球，随机放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里．每个盒子里放入一个小球．(1)求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率；(2)设小球的编号与盒子编号相同的情况有X 种，求随机变量X 的分布列与期望．23．设0()(1)nk knk m P n m C m k==-+∑，，()n n m Q n m C +=，，其中*m n ∈N ，．（1）当1m =时，求(1)(1)P n Q n ⋅，，的值；（2）对*m ∀∈N ，证明：()()P n m Q n m ⋅，，恒为定值．江苏省南通市2020届高三第二学期开学模拟考试数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1. {}|0x x > 2． 13+i 55 3. 512 4. 150 5.7 6. 37. 12 8. 441(,)e e9. 88 10．x 25＋y 24＝111. e12. k k ≤≥14.AB CB 1C 1A 1 MN二．解答题：本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（本小题满分14分）（1）证明：因为12BD AD c -=，所以1cos cos 2a Bb Ac -=， …… 3分由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以sin 2sin()C A B =-． …… 6分（2）解：由（1）得，sin()2sin()A B A B +=-， …… 8分所以sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B +=-，化简，得3cos sin sin cos A B A B =． …… 10分又3cos 5A =，所以4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =， …… 12分所以44tan tan 4839tan tan()1tan tan 4411139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． …… 14分16．证明：（1）因为MN 与1AA 所成角的大小为90°，所以MN ⊥1AA ，因为1MA MC =，且N 是A 1C 的中点，所以MN ⊥1A C ．又111AA AC A =I ，1AC ，1AA ⊂平面11A ACC ，故MN ⊥平面11A ACC ，因为MN ⊂平面1A MC ，所以平面1A MC ⊥平面11A ACC ．（2）取AC 中点P ，连结NP ，BP ．因为N 为A 1C 中点，P 为AC 中点，所以PN //AA 1，且PN 12=AA 1．在三棱柱111ABC A BC -中，BB 1 // AA 1，且BB 1=AA 1．又M 为BB 1中点，故BM // AA 1，且BM 12=AA 1．所以PN // BM ，且PN =BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形，从而MN // BP ．又MN ⊄平面ABC ，BP ⊂平面ABC ，故//MN 平面ABC ． 17. （1）由题意得IOJ △，所以IJ 设椭圆C 的半焦距为c，则2222c aa b c ===⎧⎪+⎪⎪⎩1a b ⎧==⎪⎨⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）由题知，点1F 的坐标为()1,0-，显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()()20y k x k =+≠，点()11,A x y ，()22,B x y ．联立()22122x y y k x +==+⎧⎪⎨⎪⎩，消去y ，得()2222128820k x k x k ++-+=，所以()()()()222228412828120Δk k k k =+=-->-，所以2102k <<．()* 且2122812k x x k +=-+，21228212k x x k-=+．因为11AF BF ⊥，所以110AF BF ⋅=u u u u r u u u r，则()()1122110x y x y ---⋅---=,,，12121210x x x x y y ++++=，()()1212121220x x x x k x k x ⋅++++++=，整理得()()()2221212121140k x x k x xk +++++=+．即()()()22222221828121401212k k k kk k k +-⎛⎫+⋅-+++= ⎪++⎝⎭．化简得2410k -=，解得12k =±．因为12k =±都满足()*式，所以直线AB 的方程为()122y x =+或()122y x =-+．即直线AB 的方程为220x y -+=或220x y ++=． 18. （1）由已知，AOQ α∠=,]3π2,0(∈α，1ONA OMA S S S =+△△；故1112100200sin 100200sin()223S π=⨯⨯⨯α+⨯⨯⨯-α， ……3分整理得1)6S π=+α（平方米）， ……5分∴当3π=α时，1max ()S =（平方米）. ……7分（2）由已知，2ONA AOQ S S S ∆=-扇形，∴211200200100200sin 22S =⨯⨯⨯α-⨯⨯⨯α，即2100002sin S =α-α（）； (10)分∴2()100002cos S 'α=-α（），故2()0S 'α>； ……11分∴2()S α在2π(0]3,上为增函数， ……12分∴当32π=α时，2max 4()100003S π=-（（平方米）. ……14分答：（1）当3π=α时，1max ()S =（平方米）；（2）2S 关于α的函数表达式2100002sin S =α-α（），2π(0]3,α∈当32π=α时，2max 4()100003S π=（（平方米）. ……16分19．解：⑴当1n =时，21112S a a =+，解得11a =，或10a =（舍）. ………………2分由22n n n S a a =+得，21112n n n S a a +++=+，2211122()()n n n n n n S S a a a a +++-=+-+，即221112()()n n n n n a a a a a +++=-+-，也就是2211()()0n n n n a a a a ++--+=，11()(1)0n n n n a a a a +++--=， ……………4分由于数列{}n a 各项均为正数，所以110n n a a +--=，即11n n a a +-=.所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以数列{}n a 的通项公式为n a n =. ……………………………………6分 ⑵对任意正整数n ，1==>=，所以c 的最大值为max 1c ≥. …………………10分另一方面，任取实数1a >时.==-==. ……………………12分 ①当2a ≥时，对任意的正整数n< ……………14分②当12a <<时，只要(20a -<，即22(2)(2)a n a n -+<，也就是2(2)2(1)a n a ->-所以满足条件的1c ≤，从而max 1c ≤. 因此c 的最大值为 1. ………………16分20．（1）1a =时， ()x x b f x e -=的导函数1'()xx bf x e -++=，∴由题意知对任意()0,x ∈+∞有1'()0xx bf x e -++=≤，即10x b -++≤ ∴()min 1b x ≤-，即1b ≤-.（2）1b =时， 1()x ax f x e -=的导函数1'()xax af x e -++=，①(i)当0a >时，有'1(,),()0a x f x a +∈-∞>；'1(,),()0a x f x a +∈+∞<， ∴函数()y f x =在1(,)a x a +∈-∞单调递增，1(,)a x a+∈+∞单调递减， ∴函数()y f x =在1a x a+=取得极大值1a a a e +-⋅，没有极小值．(ii)当0a <时，有'1(,),()0a x f x a +∈-∞<；'1(,),()0a x f x a+∈+∞>，∴函数()y f x =在1(,)a x a +∈-∞单调递减，1(,)a x a+∈+∞单调递增， ∴函数()y f x =在1a x a+=取得极小值1a a a e +-⋅，没有极大值．综上可知: 当0a >时，函数()y f x =在1a x a +=取得极大值1a a a e +-⋅，没有极小值；当0a <时，函数()y f x =在1a x a+=取得极小值1a a a e +-⋅，没有极大值．②设切点为1(,)t at T t e -，则曲线在点T 处的切线l 方程为11()t tat at ay x t e e --++-=-，当1a t a+=时，切线l 的方程为11a a t at y a e e +--==⋅，其在x 轴上的截距不存在．当1a t a+≠时， ∴令0y =，得切线l 在x 轴上的截距为1(1)111111111111211at at a a a x t t t t at a at a at a t a t a a t a---+=+=+=++=++--------=--+++--∴当110t a -->时，11111122411x t a a a a t a =--+++≥+=+--，当110t a --<时，1111112211x t a a a a t a =--+++≤-+=--，∴当切线l 在x 轴上的截距范围是11,4,a a⎛⎤⎡⎫-∞++∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U .江苏省南通市2020届高三第二学期开学模拟考试数学附加题参考答案与评分标准21A 解：由111334133-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，得1141⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， …………………………5分由特征多项式1141λλ----＝2(1)40λ--=，得1231 λλ==-，，所以特征值13λ=对应的特征向量12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α1，特征值21λ=-对应的特征向量12⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α2． ………………………10分21B ．解：方法一设圆C 上任意一点的极坐标(,)P ρθ，过OC 的直径的另一端点为B ，连接,PO PB ．则在直角三角形OPB 中，,24OPB POB ππθ∠=∠=-．所以4cos()4πρθ=-，即为圆C 的极坐标方程．……………………………………10分方法二(2,)4C π的直角坐标为)，半径2r =，所以圆C的直角坐标方程为22((4x y +=，…………………………5分即220x y +--=，故圆C 的极坐标方程为24cos()04πρρθ--=，即4cos()4πρθ=-． ……………………………………………………………10分21C 解关于x 的不等式12x x m +-<．因为a ，b ，0c >，所以3331112727abc abc a b c +++≥327abc abc=+18=≥，当且仅当a b c ====”，所以18m =．…………………………………………………………………………6分所以不等式12x x m +-<即1218x x +<+，所以2181218x x x --<+<+，解得193x >-，所以原不等式的解集为19(,)3-+∞．………………………………………………10分 22．（1）记恰有2个小球与盒子编号相同为事件A ，将5个小球随机放入五个盒子中，每个盒子放一个共有55A 即120种不同的放法，事件A 共有24220C ⨯=种放法，201()1206P A ∴== 答：恰有2个盒子与小球编号相同的概率为16…………………… 4分（2）随机变量X 的可能值为0,1,2,3,515(2333)4411(0)12012030C P X+++====15(333)453(1)1201208C P X++====252201(2)1201206C P X⨯====35101(3)12012012C P X====1(5)P X==()012351308612120E x ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= …………………… 10分 23．（1）当1m =时，1100111(1)(1)(1)111nn kkk k nn k k P n C C k n n ++===-=-=+++∑∑，，………………………………2分又11(1)1n Q n C n +==+，，显然(1)(1)1P n Q n ⋅=，，. ………………………………………………4分（2）0()(1)n k k n k m P n m C m k ==-+∑，111111(1)()(1)n k k k nn n k m m C C m k m k ----==+-++-++∑ 1111111(1)(1)n nkk k k n n k k m m CC m k m k----===+-+-++∑∑ 111(1,)(1)nk k n k mP n m C m k--==-+-+∑0(1,)(1)n k knk m m P n m C n m k==-+-+∑(1,)(,)mP n m P n m n=-+即()(1)nP n m P n m m n=-+，，，………………………………………………………8分由累乘，易求得!!1()(0)()!n n mn m P n m P m n m C +==+，，，又()nn m Q n m C +=，，所以()()1P nm Q n m ⋅=，，．…………………………………10分。

江苏省南通市通州区2020届高三年级第二学期复学后联考数学试卷含附加题

南通市通州区2020届高三年级第二学期数学试卷Ⅰ试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4}，则A ∪B ＝ ▲ ．2．已知复数z 满足(z-2)i=1+i(i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ．3. 根据如图所示的伪代码，可这输出的S= ▲ . 4．函数()f x ＝2ln x x -的单调减区间为 ▲ ．． 5．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为 ▲ ．6．若函数2ln 2)(3+-=x x x f 的图像在1=x 处的切线l 与两坐标轴分别交于点A ，B ，则线段AB 的长为 ▲ .7．已知各项均不相等的数列{}n a 为等差数列，且1041,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项.若6b a k =，则=k ▲ .8．在△ABC 中，如果sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，则sin C ＝ ▲ ．9．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别为S 1、S 2，则S 1：S 2＝ ▲ ．10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在如图所示的直角坐标系xOy 中，设军营所在平面区域的边界为x 2＋y 2＝4，河岸线所在直线方程为x ＋y ﹣6＝0，假定将军从点P(3，﹣2)处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军行走的最短路程为 ▲ ．11.在 ABC ∆中AD AE AC DC BD AC AB ,3,,0===⋅与BE 交于点F.若,3,4==则⋅的值为 ▲ .12．已知0a >，0b >，且31126a b a b ++≤+，则3aba b+的最大值为 ▲ . 13．已知椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率12e =，A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-+的值为 ▲ ．14．已知函数4()ln 2f x x x xλλ=+-≥，，曲线()y f x =上总存在两点M(1x ，1y )，N(2x ，2y )使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行，则1x ＋2x 的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 为棱PD 的中点，PA ⊥平面ABCD ．（1）求证：PB //平而AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA ＝AD ，求证：AE ⊥平面PCD ．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝45．（1）若c ＝2a ，求sin Bsin C 的值；（2）若C －B ＝π4，求sin A 的值．17．（本小题满分14分）如图，圆O 是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A ，B 两点在⊙O 上，A ，B ，C ，D 恰是一个正方形的四个顶点.根据规划要求，在A ，B ，C ，D 四点处安装四盏照明设备，从圆心O 点出发，在地下铺设4条到A ，B ，C ，D 四点线路OA ，OB ，OC ，OD . （1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路OA ，OB ，OC ，OD 总长度的最小值.18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1、A 2，上、下顶点分别为B 1、B 2．设直线A 1B 1倾斜角的余弦值为223，圆C 与以线段OA 2为直径的圆关于直线A 1B 1对称．（1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线A 1B 1与圆C 的位置关系，并说明理由；（3）若圆C 的面积为4π，求圆C 的方程．O AABB xy19．（本小题满分16分）已知函数.)(,)(221xe xf c bx ax x f =++= （1）当0,1,21===c b a 时，设)()()(12x f x mf x f -=，且函数)(x f 在R 上单调递增.①求实数m 的取值范围；②设),()3()(22x f m x x h -=当实数m 取最小值时，求函数)(x h 的极小值. (2) 当1,1,0=>=c b a 时，证明：函数)()()(12x f x f x g --有两个零点.20．（本小题满分16分）20.已知无穷数列{}n a 的前n 项中的最大项为n A ，最小项为n B ，设n n n B A b +=（1）若,12-=n a n 求数列{}n b 的通项公式；（2）若nn n a 212-=，求数列{}n b 的前n 项和n s ；（3）若数列{}n b 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列.Ⅱ试题21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换设a ，b ∈R ．若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1b 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0．求实数a ，b 的值． B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知(A 1，3π)，(B 9，3π)，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．C ．选修4—5：不等式选讲已知实数a ，b 满足||2a b +„，求证：22|22|4(||2)a a b b a +-++„．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）由数字0,1,2,3,4组成一个五位数α. （1）若α的各数位上数字不重复，求α是偶数的概率；（2）若α的各数位上数字可以重复，记随机变量X 表示各数位上数字是0的个数，求X 的分布列及数学期望.23．（本小题满分10分）如图，F是抛物线y2＝2px(p > 0)的焦点，过点F且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，交抛物线的准线于点H，其中y1>0,y1y2=-4．过点H作y轴的垂线交抛物线于点P，直线PF交抛物线于点Q.（1)求p的值；（2)求四边形APBQ的而积S的最小值．参考答案及评分标准Ⅰ试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{1，2，3，4}2. .3.5.，+∞) 5. 30．6. 22 7.94. 89．3：2 10211. 4912. 19 13．1714．(8，+∞)．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）证明:（1）连接BD 交AC 于O ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 是BD 的中点，因为E 为PD 的中点，所以OE //PB又因为PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ,所以PB //平面AEC ………………6分（2）因为PA AD =且E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥ 又因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥ 因为四边形ABCD 是矩形，所以CD ⊥AD ，因为,PA AD ⊂平面PAD 且PA AD A =I所以CD ⊥平面PAD 又因为AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥,PD CD ⊂平面PDC 且PD CD D =I ,所以AE ⊥平面PCD ………………14分16．（本小题满分14分）解：（1）解法1：在△ABC 中，因为cos B ＝45，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝45．………………2分因为c ＝2a ，所以(c2)2＋c 2－b 22c ×c 2＝45，即b 2c 2＝920，所以b c ＝3510．………………4分又由正弦定理得sin B sin C ＝b c ，所以sin B sin C ＝3510．………………6分解法2：因为cos B ＝45，B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35．………………2分因为c ＝2a ，由正弦定理得sin C ＝2sin A ，所以sin C ＝2sin(B ＋C )＝65cos C ＋85sin C ，即－sin C ＝2cos C ．………………4分又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得sin C ＝255，所以sin B sin C ＝3510．………………6分（2）因为cos B ＝45，所以cos2B ＝2cos 2B －1＝725．………………8分又0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35，所以sin2B ＝2sin B cos B ＝2×35×45＝2425．………………10分因为C －B ＝π4，即C ＝B ＋π4，所以A ＝π－(B ＋C )＝3π4－2B ，所以sin A ＝sin(3π4－2B )＝sin 3π4cos2B －cos 3π4sin2B ＝31250．………………14分17．（本小题满分14分）（1）连接AB ，∵AB ＝10，∴正方形ABCD 的面积为100，又OA ＝OB ＝10，∴△AOB 为正三角形，则3AOB π∠=，而圆的面积为100π，∴扇形AOB 的面积为1005063ππ=，又三角形AOB 的面积为1102⨯⨯=∴弓形面积为503π-则广场面积为100503π+-（平方米）；………………6分（2）过O 作OK ⊥CD ，垂足为K ，过O 作OH ⊥AD （或其延长线），垂足为H ，设∠OAD ＝θ（0＜θ4π＜），则OH ＝10sinθ，AH ＝10cosθ，∴DH ＝|AD ﹣AH |＝|2OH ﹣AH |＝|20sinθ﹣10cosθ|， ∴OD==……………12分∴当θ8π=时，)101min OD =.∴4条线路OA ，OB ，OC ，OD 总长度的最小值为)210120⨯+=（米）. ………………14分18．（本小题满分16分）解：（1）设椭圆E 的焦距为2c （c >0），因为直线11A B =，于是228a b =，即2228()a a c =-，所以椭圆E 的离心率e =………………4分（2）由e =()40a k k =>，c =，则b ，于是11A B 的方程为：40x k -+=，故2OA 的中点()20k , 到11A B 的距离d =2423k kk +=，又以2OA 为直径的圆的半径2r k =，即有d r =，所以直线11A B 与以2OA 为直径的圆相切．因为圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称，所以直线11A B 与圆C 相切．………………10分（3）由圆C 的面积为4π知，圆半径为2，从而1k =，设2OA 的中点()20, 关于直线11A B：40x -+=的对称点为()m n , ，则1,224022n m m n ⎧=-⎪-⎨+⎪-+=⎩．解得23m n ==,所以，圆C 的方程为()(22243x y -+=．………………16分19．（本小题满分16分）（1）①x x me x f x --=221)(,得,1)(--='x me x f x由题意知0)(≥'x f 在R 上恒成立，x ex m 1+≥∴ 在R 上恒成立。