2018年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试题

合集下载

2018全国高中数学联赛模拟试题2及参考答案

由（1）式， x 12 | y2 x 1 | y x 1
x2 x 1

x
y
1
2
．又因为
y 则
为整数，
x 1
2
2
x 1 x2 x 1 为完全平方数．而 x2 x 1 x x 1 1 x 1, x2 x 1 1，
和为 15 的形如 4、5、6 的有 6 种，形如 5、5、5 的有 1 种，形如 6、6、3 的有 3 种，合计 10
种．
8. 2 2, 2 2 ．

解析：设 z2 x yi x, y

．则 z1
z2i z
z2 i
1

y xi
x y 1i
2
2
证明： B ．
4
4
A
3
3
2
2
三、（本题满分 50 分）
设整数 n 4 ， a1, a2, , an 为区间 0, 2n 内两两不同的整数．证明：集合 A a1, a2 , , a n 存在所有
元素之和能被 2n 整除的子集．
四、（本题满分 50 分）
设有 17 支球队参加足球比赛，采用单循环赛制，比赛中偶尔会出现一个循环的三元集（即集合a,b, c，其中 a 队击败 b 队， b 队击败 c 队， c 队击败 a 队），若没有平局，则比赛结束．问：最多有多少
b a
x 1
,
B
x2
,
b a
x 2
,
P x,
y ．
b
由 OAPB 知， x x1 x2 , y

a
x1

2018年全国高联数学试题

2018年全国高联数学试题高中联赛（高联）是中国举办的一项全国性高中生学科竞赛活动，旨在提高高中生的学科水平、促进学科交流和合作。

其中，数学竞赛一直是高联中最受关注的科目之一。

2018年的全国高联数学试题是一份具有挑战性和思维性的试卷，下面将从试题的各个方面进行解析。

首先，试题的命题思路和难度水平。

高联数学试题在命题思路上注重考查学生的数学思维、解决实际问题的能力和数学应用的广度。

试题难度较高，要求学生具备扎实的数学基础和良好的数学解题能力。

通过分析试题的命题思路和难度水平，可以帮助学生更好地了解数学学科的要求，有针对性地提高自己的数学水平。

其次，试题的题型和内容。

2018年高联数学试题涵盖了数学的各个分支，如代数、几何、数论、概率等。

试题的题型丰富多样，有选择题、填空题、计算题、证明题等，涵盖了数学学科的不同方面。

学生在解答试题时，需要熟悉各种题型的解题方法和技巧，能够灵活运用数学知识解决问题。

第三，试题的解题思路和解题技巧。

对于每一道试题，学生需要运用所学的数学知识和解题技巧进行解答。

在解题过程中，需要分析题目的要求，提炼出问题的关键点，选择合适的解题方法和策略。

同时，还需要注意解题的思路和步骤，确保解答的准确性和完整性。

掌握解题思路和技巧，能够更快、更准确地解答试题，提高解题效率。

最后，试题的答案和解析。

解答试题不仅要得出正确的答案，还要给出解题的过程和方法。

答案和解析的内容应当清晰、详细，能够帮助学生理解和掌握解题的思路和方法。

对于解答不出的题目，还可以分析解题思路和技巧，帮助学生提升解题的能力。

综上所述，2018年全国高联数学试题的解析是一项需要对试题的命题思路和难度水平、题型和内容、解题思路和解题技巧、答案和解析进行详细分析和讲解的工作。

通过对试题的解析，学生可以更好地理解和掌握数学学科的知识和技能，提高数学解题的能力和水平。

2018年全国高中数学联合竞赛一试(含答案)

则(�� + ��)��2 + 2(�� − ��)�� + 2 = 0，
整理得：(��2 + 2�� + 2) + (��2 − 2��)�� = 0
由图结合对称性得：
��1 = �� − 2, ��2 = 2�� − [4 + 2(2�� − 6)] = 8 − 2�� 所以，由函数单调性，不等式1 ≤ ��(��) ≤ 2在[1，2]内
分析：�� + ��为偶数，则��与��奇偶性相同，
故当�� ≥ 2 时，
�� = √�� ± √�� − 1 ≤ √�� + √�� − 1 < 2√�� (2) ��与��+1异号时结论显然成立，
当��与��+1同号时：由(1)得�� = ±√��，不妨得：�� = √�� − √�� − 1
6. 设复数��满足|��|=1，使得关于�� 的方程z��2 + 2��̅�� +
2 = 0有实根，则这样的复数��的和为

2018 年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛

2 3 sin x cos x 2cos2 x 1 1 a 3 sin 2 x cos 2 x 1 a
p d2 p ，所以 an （常数），即 {an } 为常数列． d 2d
三、解答题
13．【解析】（Ⅰ） f x 4cos x sin x

3 1 sin x cos x a 4cos x a 6 2 2
1
二、填空题
7． 1, 2 8．
4,5
4
2 2
【解析】因为圆 C 的方程可化为 x 4 y 1 ，所以圆 C 的圆心为 4, 0 ，半径为 1 ．若 y kx 2 上至少存在一点 A x0 , kx0 2 ，以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则存在 x0 R ，使得 AC 1 1 2 成立，即 AC min 2 ．又因为 AC min 为点 C 到直线 y kx 2 的距离
1 ． 2
| sin x | | sin x | | x | | 2 cos x |
x x x x y x2 1 【解析】由已知 y ，所以 z ， 2 x 1 2 x x 1 xy 1 x x 1 1 1 1 1 x x2 x 1 1 3 1 1 4 因为 x 1 ，即 0 1 ，所以 1 2 1 ，故 1 z ． x 4 x x 3
8 4 4． 3 3
1 1 , 2 5
【解析】注意到两直线是平行的，故点 M 的轨迹为与两直线距离相等，且平行于两直线的直线，其方程为 x 2 y 1 0 ，即 M x0 , y0 满足 x0 2 y0 1 0 ．而满足不等式 y0 x0 2 的点在直线 y x 2 的左上方．问题转化为求射线 x0 2 y0 1 0 （ x0 而

2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)

说明： 1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、（本题满分 40 分）设 a, b 是实数，函数 f (x) = ax + b + 9 ． x
知，满足条件的情况数为 36 × 2 =72 种．从而所求概率为= 72 7= 2 1 ． 6! 720 10
4. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 通过原点， n (3, 1) 是 l 的一个法向
量．已知数列{an}满足：对任意正整数 n ，点 (an1, an ) 均在 l 上．若 a2 6 ，则
11.（本题满分 20 分）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中， A 、 B 与 C 、 D 分别是椭圆
x2 y2 : a2 b2 1 (a b 0) 的左、右顶点与上、下顶 A 点．设 P, Q 是上且位于第一象限的两点，满足
y
R
P
C
M
Q
O
Bx
OQ ∥ AP ， M 是线段 AP 的中点，射线 OM 与椭
是 0 1 2 4 8 16 31 ．
2. 已知圆锥的顶点为 P ，底面半径长为 2 ，高为1．在圆锥底面上取一点 Q ，
使得直线 PQ 与底面所成角不大于 45 ，则满足条件的点 Q 所构成的区域的面积
为
．
答案： 3 ．
解：圆锥顶点 P 在底面上的投影即为底面中心，记之为 O ．由条件知， OP tan OQP 1 ，即 OQ 1 ，故所求的区域面积为 22 12 3 ． OQ

2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

2,
4,
6,,
48
，
故 B C 的元素个数为 24 ． 2. 设点 P 到平面的距离为 3 ，点 Q 在平面上，使得直线 PQ 与所成
角不小于 30 且不大于 60 ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
．
答案：8 ．
解：设点 P 在平面上的射影为 O ．由条件知，OP OQ

tan
OQP

3, 3求的区域面积为 32 12 8 ．
3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a, b, c, d , e, f ，则 abc + def 是偶数的
概率为
．
答案： 9 ． 10
在[9,) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9) 1，故结合图像可知
a (0, 3) ， b (3, 9) ， c (9, ) ，
并且 f (a) f (b) f (c) (0, 1) ．
…………………4 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1，
注意到 f ( 2) f () 1, f (8 2) f (2) f (2) 2 ，
所以 1 f (x) 2 f ( 2) f (x) f (8 2) ，
而1 2 8 2 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x [ 2, 8 2] ． 6. 设复数 z 满足 z 1，使得关于 x 的方程 zx2 2zx 2 0 有实根，则这样
证明： (1) 约定 S0 0 ．由条件知，对任意正整数 n ，有
1

an
(2Sn

2018年全国高中数学联赛吉林赛区预赛试题+答案

2 f (x)
.
解析 1
(
)
(√
)
7π
3
1
f (x) = 4 cos x · sin
x+ 6
+ a = 4 cos x · − 2 sin x − 2 cos x + a
√
√
= −2 3 sin x cos x − 2 cos2 x + 1 − 1 + a = − 3 sin 2x − cos 2x − 1 + a
1
|AC|min ≤ 2.
y = kx − 2
d = √|4k − 2| k2 + 1
C
√|4k − 2| ≤ 2 k2 + 1
4 0≤k≤ 3
9.
ABC
∠AC B
=
π , AC
=
BC
=
2
P
AB
−C−→P · −C→A + −C−→P · −C−→B =
2 .
BP = 2P A
答案 4.
解法一
C−−→P = −C→A + −A→P = −C→A + 1 A−−→B = −C→A + 1 (A−→C + −C−→B) = 2 C−→A + 1 C−−→B
2018
6
5
30
1.
A = {x ∈ Z| log2 x ≤ 2}
A： 7
B： 8
C： 15
D： 16
2.
P − ABC
△ABC
3
P A = 3, P B = 4, P C = 5
P − ABC
A： 3
B：
√ 10

全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试题

2016年全国高中数学联赛〔##赛区〕预赛暨2016年##省高中数学联赛试题考生注意：本试卷共计4页,16道题,满分150分一、选择题〔本题共6个小题,每小题5分,满分30分〕本题共有6个小题,每小题均给出〔A 〕、〔B 〕、〔C 〕、〔D 〕四个结论,其中有且仅有一个是正确的,请将正确答案的代表字母填在题后的括号内.每小题选对得5分；不选、选错或多选一律得0分. 1．设集合12{|,[1,4]}M y y x x ==∈,2{|log (1)}N x y x ==-,则()R M C N =[ ] 〔A 〕{|12}x x ≤≤ 〔B 〕{|14}x x ≤≤ 〔C 〕{|1x x ≤≤ 〔D 〕∅ 2．函数()e 23x f x x =+-的零点所在的一个区间是[ ] 〔A 〕(1,0)-〔B 〕1(0,)2〔C 〕1(,1)2〔D 〕3(1,)2 3．设)4,43(ππ-∈x 且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,则cos2x 的值是[ ] 〔A 〕725- 〔B 〕2425- 〔C 〕2425 〔D 〕725 4．∆ABC 中,"A B C <<"是"cos2cos2cos2A B C >>"的[ ] 〔A 〕既不充分也不必要条件〔B 〕充分必要条件〔C 〕必要不充分条件〔D 〕充分不必要条件 5．已知椭圆E ：1422=+y m x ,对于任意实数k ,下列直线被椭圆E 所截弦长与l ：1+=kx y 被椭圆E 所截得的弦长不可能．．．相等的是 [ ] 〔A 〕0kx y k ++=〔B 〕01=--y kx 〔C 〕0kx y k +-=〔D 〕20kx y +-= 2016年全国高中数学联赛〔##赛区〕预赛试题第1页〔共4页〕 6．一个有限项的数列满足：任何3个连续项之和都是负数,且任何4个连续项之和都是正数,则此数列项数的最大值为 [ ]市〔区、县〕学校##性别##号_________________________ 〔密封装订线内不要答题〕〔A 〕7 〔B 〕6〔C 〕5〔D 〕4 得分二、填空题〔本题共6个小题,每小题5分,满分30分〕请将答案写在题中横线上,各小题只要求直接写出结果.7．一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为______________________． 8．设实数,x y 满足条件10,10,10,x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩则2x y -的最大值为________________． 9．在公差不为0的等差数列{}n a 中,410a =,且3a ,6a ,10a 成等比数列.则数列{}n a 的通项公式为___________________．10．英语竞赛后,小明、小乐和小强各获得一枚奖牌,其中一人得金牌,一人得银牌, 一人得铜牌。

2018年全国高中数学联赛真题(一试和二试)(A卷)试题(教师版)

1 1
x2 f (x) 2
的解集为
．
解析 [π − 2, 8 − 2π]．由 f (x) 为偶函数及在 [0, 1] 上严格递减知，f (x) 在 [−1, 0] 上严格递增，再结合 f (x) 以 2 为周期可知，[1, 2] 是 f (x) 的严格递增区间．注意到 f (π − 2) = f (π) = 1, f (8 − 2π) = f (−2π) = f (2π) = 2，所以 1 f (x) 2 ⇔ f (π − 2) f (x) f (8 − 2π)，而 1 < π − 2 < 8 − 2π < 2，故原不等式组成立当且仅当 x ∈ [π − 2, 8 − 2π]．
·
1 b2
2 · |F1F2| · |yP | = a2 −
= b2
16 · · · yP
11 =· a√2 1+5．b2
=
1，解得
a2
=
20, b2
=
5．从而
5. 设 f (x) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间 [0, 1] 上严格递减，且满足 f (π) =
1,
f
(2π)
=
2，则不等式组
离实部与虚部后等价于 ax2 + 2ax + 2 = 0，①
bx2 − 2bx = 0．②
若 b = 0，则 a2 = 1，但当 a = 1 时，① 无实数解，从而 a = −1，此时存在实数
√
x = −1 ± 3 满足 ① ，② ，故 z = −1 满足条件．若 b = 0，则由 ② 知 x ∈ {√0, 2}，但
=
− sin ∠M OC
=
MC −
=

相关主题

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

A．3
B．2
C．1
D．0
6．设 x, y, z 0 ，满足 x y xy ， x y z xyz ，则 z 范围为（）
A． (0, 3]
二、填空题
B． (1, 3]
C． (0, 4] 3
D． (1, 4] 3
7．函数 y

1 6x

8

log2 (
x3 x 1
②若 an等方差数列，则 an2 是等方差数列；
③若 an等方差数列，则 akn（ k N*， k 是常数）也是等方差数列；
④若 an既是等方差数列，又是等方差数列，则此数列是常数列．
其中正确命题的序号为
．
三、解答题
13．已知函数 f (x) 4 cos x sin(x 7 ) a 的最大值为 2． 6
第3页共4页
16．设 x, y, z 0 ，且至多由一个为 0，求
的最小值．
f (x, y, z)
x2 y2
256 yz z2

y2 256zxz z2 x2

z2 256xyz x2 y2
第4页共4页
A．3
B． 10
C． 11
D． 2 3
3．已知函数 f (x) 满足： f (1) 1 ,4 f (x) f ( y) f (x y) f (x y) （ x, y R），则 4
f (2019) （）
A． 1 2
B． 1 2
C． 1 4
D． 1 4
4．已知 f (x) sin x ，则对 x R，下列说法错误的是（
）
2 cos x
A． f (x) 1 sin x B． f (x) x C． f (x) 3 D． f ( x) f ( x) 0
3
3
5．已知
f
(x)

(2x 1)2 2x x
1 在[2018,0)
(0,2018] 上的最大值为
M
，最小值为
N
，则
M N （）

2)
的定义域为
．
8．已知圆 C 的方程为 x2 y2 8x 15 0 ，若直线 y kx 2 （ k R）上至少存在一点，
使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值为
．
9．如图，在 RtABC 中， ACB ， AC BC 2 ，点 P 是斜边 AB 上一点，且 2
2018 年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试题
一、选择题
1．集合 A x Z | log2 x 2的真子集个数为（）
A．7
B．8
C．15
D．16
2．三棱锥 P ABC 的底面 ABC 是边长为 3 的正三角形，PA 3, PB 4, PC 5 ，则此
三棱锥 P ABC 的体积为（）
BP 2 AP ，则 CP PA CP CB
．
第1页共4页
10．已知点 P 在直线 x 2 y 1 0 上，点 Q 在直线 x 2 y 3 0 上， PQ 的中点为
M (x0 ,
y0 )
且
y0

x0
2
，则
y0 x0
的取值范围为
．
a b 2 0
11．若实数 a, b 满足条件 b a 1 a 1
0
，则
a 2b 2a b
的最大值为
．
12．在数列 an中，若
an2

a2 n1

p(n

2, n N*，
p
是常数），则称数列 an为“等方差
数列”．下列是对“等方差数列”的判断：
①数列 (1)n 是等方差数列；
（1）求 a 的值及 f (x) 的最小正周期；
（2）求 f (x) 的单调递减区间．
第2页共4页
14．已知数列 an为等差数列，且满足 3a5 8a12 0 ，数列 bn满足 bn an an1 an2 (n N*）． bn 的前 n 项和记为 Sn ，则 n 为何值时， Sn 取得最大值？并
说明理由．
15．已知抛物线 y ax2 过点 P(1,1) ，过点 Q( 1 ,0) 作斜率大于 0 的直线 l 交抛物线于 2
M , N 两点（点 M 在 Q, N 之间），过点 M 作 x 轴的平行线，交 OP 于 A ，交 ON 于 B ， APM 与 OAB 的面积记为 S1, S2 ，比较 S1 与 3S2 的大小，说明理由．