2021届湖南省常德一中高三第十一次月考理科数学试卷

2021年湖南省常德一中高三第十一次月考理科数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}2|16,A x x B m =≥=，若A B A =，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(),4-∞- B ．[)4,+∞ C ．[]4,4-D ．(][),44,-∞-+∞2．已知a ，b ∈R ，21i =-则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()()()sin ,22f x x x ππθθθ⎛⎫⎡⎤=+++∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭是偶函数，则θ的值是（ ）A ．0B ．6π C ．4π D ．3π 4．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()24f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为（ ）A ．()()5,05,-+∞ B ．()(),55,-∞-+∞ C ．()()3,05,-+∞ D ．()(),00,3-∞5．在四边形ABCD 中，()()1,2,4,2,AC BD ==-则该四边形的面积为（ ）A ．．5D ．106．512x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为（ ） A ．252 B ．-252 C ．160D ．-1607．已知α∈R ，sinα＋2cosα=√102，则tan2α=（ ）A ．43B ．34C ．−34D ．−43 8．设非零常数d 是等差数列1239,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能地取值1239,,,,x x x x ，则方差D ξ=（ ） A ．2103d B ．2203d C ．210d D ．26d9．设关于,x y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点()00,P x y 满足0022x y -=，则m 的取值范围是（ ）A ．4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭10．设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C = A ．4 B．C ．8 D．11．若函数()()22ln 0f x x a x a x=+->有唯一零点0x ，且0m x n <<（,m n 为相邻整数），则m n +的值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7二、填空题12．已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_____13．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_________种（用数字作答）.14．抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过Fx轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF ∆的面积是___________.15．已知两个等比数列{}{},n n a b 满足()11122330,1,2,3a a a b a b a b a =>-=-=-=，若数列{}n a 唯一，则a 的值为__________.三、解答题16．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，72,,cos 42CAD AC ADB π∠==∠=-.（1）求sin C ∠的值；（2）若5BD =，求ABD ∆的面积. 17．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位/人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X .附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//,AD BC AD CD ⊥，且22AD CD ==42BC =2PA =，点M 在PD 上．（1）求证：AB PC ⊥；（2）若二面角M AC D --的大小为45，求BM 与平面PAC 所成角的正弦值．19．如图，椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：经过点P （1.），离心率e=，直线l 的方程为x=4.（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为123,,k k k .问：是否存在常数λ，使得123+=k k k λ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.20．设函数()ln f x x ax =-，()x g x e ax =-，其中a 为实数.（1）若()f x 在(1,)+∞上是单调减函数，且()g x 在(1,)+∞上有最小值，求a 的取值范围；（2）若()g x 在(1,)-+∞上是单调增函数，试求()f x 的零点个数，并证明你的结论.21．如图，直线AB 经过圆O 上的点C ，并且,OA OB CA CB ==，圆O 交直线OB 于点E D 、，其中D 在线段OB 上，连结,EC CD .（1）证明:直线AB 是圆O 的切线；（2）若1tan 2CED ∠=，圆O 的半径为3，求OA 的长. 22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是()sin 333ρθθ=射线:3OM πθ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．23．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x −3|．（1）若不等式f(x −1)+f(x)<a 的解集为空集，求实数a 的取值范围；（2）若|a|<1,|b|<3，且a ≠0，判断f(ab)|a|与f(b a )的大小，并说明理由．参考答案1．D【解析】试题分析： 因为{}(][){}2|16,44,,A x x B m =≥=-∞-⋃+∞=且A B A =，所以m A ∈，即m 的值范围是(][),44,-∞-+∞，故选D.考点：1、集合的表示；2、集合的基本运算.2．A【分析】根据复数的基本运算，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：因为2222()a abi b a bi =+-+，若1a b ==，则等式成立，即充分性成立，若2(i)2i a b +=成立，即2222a abi b i -=+，所以22022a b ab ⎧-=⎨=⎩解得11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩ 即必要性不成立，则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的充分不必要条件，故选：A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合复数的基本运算是解决本题的关键，属于基础题．3．B【解析】试题分析：因为函数()()()()()1sin 2(sin cos )22f x x x x x θθθθ=++=+++ 2sin 3x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以当3πθ+2π=，即6πθ=时()f x 是偶函数，故选B. 考点：1、三角函数的奇偶性；2、两角和的正弦公式.4．A试题分析：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()24f x x x =-，所以0x <时()24f x x x =--，由204x x x x >⎧⎨->⎩得5x >，由204x x x x <⎧⎨-->⎩得50x -<<，故选A. 考点：1、函数的奇偶性；2、分段函数的解析式.5．C【解析】试题分析：因为()()1,2,4,2AC BD ==-,所以AC BD ⋅4220=-+⨯=AC BD ⊥,则该四边形的面积为12S AC BD =⋅152==,故选C. 考点：1、平面向量的数量积公式；2、垂直向量及三角形面积公式.6． B【解析】试题分析：因为51012xx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以512x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为55510256c ⎛=- ⎝，故选B. 考点：二项式定理及二项展开式的通项.7．C【解析】【分析】根据同角三角函数关系式和万能公式化简后求出tanα，利用二倍角公式求出tan2α的值．【详解】 由sinα+2cosα=√102， 则（sinα+2cosα）2=52，即sin 2α+4sinαcosα+4cos 2α=52，可得tan 2α+4tanα+4tan 2α+1=52， 解得tanα=3．那么tan2α=2tanα1−tan 2α=−34．【点睛】本题主要考察了同角三角函数关系式和万能公式的应用，属于基本知识的考查．8．B【解析】试题分析：因为等差数列1239,,,,x x x x 的公差是d ，所以111989492xx d x d ⨯⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，方差为()()()()()()()222222222143202349d d d d d d d d ⎡⎤-+-+-+-+++++⎣⎦2203d =，故选B. 考点：1、等差数列的通项与求和；2、随机变量的期望与方差.9．D【解析】试题分析：因为21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩所以可以画出可行域，要使可行域存在必有21m m <-+，要使可行域包含直线112y x =-上的点，只要边界点(),12m m --在直线112y x =-的上方，且点(),m m -在直线112y x =-的下方，即得2111212112m m m m m m ⎧⎪<-+⎪⎪->--⎨⎪⎪<--⎪⎩，解得23m <-，故选D.考点：1、可行域的画法；2、二元一次不等式的几何意义.【方法点睛】本题主要考查可行域、二元一次不等式的几何意义以及含参数约束条件的应用，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求解的关键.10．C【详解】试题分析：依题意设两圆方程分别为()()()()222222,x a y a a x b y b b -+-=-+-=，分别将()4,1代入得221710017100a ab b ⎧-+=⎨-+=⎩，所以10,17a b ab +==，圆心距8==. 考点：圆与圆的位置关系.11． C【解析】试题分析：因为()()22ln 0f x x a x a x =+->，所以()22'2a f x x x x =--，设()222g x x x=-，若函数()f x 单调递增，()max a g x ≥，若()f x 单调递减，则故()min a g x ≤，而()g x 在()0,+∞上是递增函数可得()(),g x ∈-∞+∞，()max a g x ≥与()min a g x ≤不成立，即()f x 既不是单调递增又不是单调递减，由已知函数()()22ln 0f x x a x a x=+->有唯一零点0x ，故0x 既是极值点又是零点,于是得()200002ln 0f x x a x x =+-=且()02002'20a f x x x x =--=，两式消去a 得()33000222ln 0x x x +--=，设()()33222ln h x x x x =+--，可得()()20,30h h ><，因此023x <<，2,3,5m n m n ==+=，故选C.考点：1、利用导数研究函数的单调性及极值；2、零点定理的应用.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及极值以及零点定理的应用，属于难题. 判断函数()y f x =零点个数的常用方法：(1)直接法： 令()0,f x =则方程实根的个数就是函数零点的个；(2)零点存在性定理法：判断函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0,f a f b <再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.本题就是利用方法(2)确定,m n 的值的. 12．12π 【解析】试题分析：因为该组合体的正视图、侧视图、俯视图均是圆及边长为2的正方形，所以该组合体是棱长为2的正方体及其外接球，可知外接球直径2R 等于正方体对角线长所以该球的表面积是2412R ππ=，故答案为12π. 考点：1、几何体三视图的应用；2、球的表面积公式.13．60 【解析】试题分析：因为8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖，所以只需将三张分给四人，然后将无奖奖券补够一人两张即可，三张分给四人有两种：一是三人每人一张另一个无，共3424A =种分法；二是一人一张，一人两张，另二人无，共223436C A =种分法，共有243660+=种分法，故答案为60.考点： 排列与组合的分组与分配问题.14．【解析】试题分析：因为抛物线24y x =的焦点为F 为()1,0，所以经过F 的直线方程为)1y x =-，解得3A x =，由抛物线定义知AK AF =3=14+=，又因为AK x 轴，所以60o FAK ∠=，AFK ∆为正三角形，面积是1442⨯⨯=考点：1、抛物线的标准方程、定义；2、三角形面积公式.【方法点睛】本题主要考查抛物线的标准方程、定义 及三角形面积公式,属于难题. 抛物线的定义有关的问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离解决问题.本题是根据A 到焦点的与到准线的距离相等AK AF =3=14+=并判定出AFK ∆为正三角形进而求面积的. 15．13【解析】试题分析：因为()11122330,1,2,3a a a b a b a b a =>-=-=-=，所以()()()2221231,2,3,213b a b aq b aq aq a aq =+=+=++=++，得24310aq aq a -+-=，因为0a >所以2440a a ∆=+>，而数列{}n a 唯一，所以方程必有一根为零，310a -=，1,3a =，故答案为13.考点：1、等比数列的通项与性质；2、一元二次方程根与系数之间的关系.【思路点睛】本题主要考查等比数列的通项与性质以及一元二次方程根与系数之间的关系，属于难题.要解答本题首先理清等比数列{}{},n n a b 之间的关系，设出数列{}n a 的公比q ，将123,,b b b 分别用,a q 表示，再根据数列{}n b 是等比数列列出关于q 的一元二次方程，然后根据数列{}n a 唯一求出a 的值. 16．（1）45；（2）7. 【解析】试题分析：（1）先由cos ADB ∠=得出sin ADB ∠=，再利用两角差的正弦公式将sin sin 4C ADB π⎛⎫∠=∠-⎪⎝⎭展开，代入求值即可；（2）由正弦定理sin sin AD ACC ADC=∠∠得到AD 的值，再利用三角形面积公式即可. 试题解析：（1）因为cos 10ADB ∠=-，所以sin 10ADB ∠=. 又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-.所以4sin sin sin cos cos sin 4441021025C ADB ADB ADB πππ⎛⎫∠=∠-=∠⋅-∠⋅=+=⎪⎝⎭.（2）在ACD ∆中，由sin sin AD ACC ADC=∠∠，得74sin sin AC C AD ADC ⨯⋅∠===∠所以11sin 572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⨯⨯=. 考点：1、两角差的正弦余弦公式；2、正弦定理及三角形面积公式. 17．（1）有0097.5的把握认为视觉和空间能力与性别有关；（2）12. 【解析】试题分析：（1）直接根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++算出2K 的观测值，与表格对应数值进行比较即可得出结论；（2）根据古典概型的概率公式算出甲、乙两人被抽到0,1,2人的概率，列出分布列，进而根据求期望的公式求解.试题解析：（1）由表中数据得2K 的观测值()225022128850 5.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ .所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关.（2）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C =种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种；恰有一人被抽到有112612C C =种；两人都被抽到有221C =种.∴X 可能取值为0,1,2.()()()1512310,1,22828728P X P X P X =======. X 的分布列为：∴()1512110122828282E X =⨯+⨯+⨯=. 考点：1、独立性检验及古典概型的概率公式；2、离散型随机变量的均值期望. 18．（1）详见解析；（2）539【解析】试题分析：第一问应用空间的垂直关系的转换，应用线面垂直得出线线垂直的 关系，第二问根据所给的二面角的大小，结合空间向量，从而确定出 点M 的位置，再用空间向量确定出线面角的正弦值．试题解析：（Ⅰ）如图，设E 为BC 的中点，连结AE ，则,//AD EC AD EC =，所以四边形AECD 为平行四边形，故AB AC ⊥，又45ABC ACB ∠=∠=， 所以，故AB PA ⊥，又因为AB ⊥平面A xyz -，所以AB PC ⊥，且，所以PAC 平面ACD ，故有A 分（Ⅱ）如图，以θ为原点，分别以射线1(,,)x y z =n 为AMC 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．则，设，易得，设平面ACD 的一个法向量为，则，令得，即．又平面PAC 的一个法向量为，由题知，解得，即，而是平面ACD 的一个法向量，设平面BM 与平面ACD 所成的角为，则．故直线BM 与平面ACD 所成的角的正弦值为．分考点：空间的垂直关系的转换，二面角，线面角．19．（1）22143x y +=（2）存在【解析】2231911124P a b +=（）由（，）在椭圆上得： ①222,3a c b c =∴= ②②代入①得222221,4,3, 1.43x y c a b C ===∴+=椭圆：考点：本题主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线的交点等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查逻辑推理能力，推理论证能力和计算能力. 20．（1）(,)a e ∈+∞（2）当0a ≤或1a e -=时，()f x 的零点个数为1；当10a e -<<时，()f x 的零点个数为2. 【详解】 （1）∵11()0ax f x a x x='-=-<，考虑到函数()f x 的定义域为(0,)+∞，故0a >，进而解得1x a ->，即()f x 在1(,)a -+∞上是单调减函数. 同理，()f x 在1(0,)a -上是单调增函数. 由于()f x 在(1,)+∞是单调减函数，故1(1,)(,)a -+∞⊆+∞，从而11a -≤，即1a ≥.令()0xg x e a '=-=，得ln x a =，当ln x a <时，()0g x '<；当ln x a >时，()0g x '>，又()g x 在(1,)+∞上有最小值，所以ln 1a >，即a e >， 综上所述，(,)a e ∈+∞.（2）当0a ≤时，()g x 必是单调增函数；当0a >时，令()0xg x e a '=->，解得x a e <，即ln x a >，∵()g x 在(1,)-+∞上是单调函数，类似（1）有ln 1a ≤-，即10a e -<≤， 综合上述两种情况，有1a e -≤. ①当0a =时，由(1)0f =以及1()0f x x'=>，得()f x 存在唯一的零点； ②当0a <时，由于()(1)0a a a f e a ae a e =-=-<，(1)0f a =->，且函数()f x 在[,1]a e上的图象不间断，∴()f x 在(,1)a e 是单调增函数，∴()f x 在(,1)a e 上存在零点. 另外，当0x >时，1()0f x a x'=->，则()f x 在(0,)+∞上是单调增函数，()f x 只有一个零点. ③当10a e -<≤时，令1()0f x a x，解得1x a -=. 当10x a -<<时，()0f x '>；当1x a ->时，()0f x '<. ∴1x a -=是()f x 的最大值点，且最大值为1()ln 1f a a -=--.1)当ln 10a --=，即1a e -=时，()f x 有一个零点x e =. 2)当ln 10a -->，即10ae 时，()f x 有两个零点. 实际上，对于10a e ，由于11()10f e ae --=--<，1()0f a ->，且函数()f x 在11[,]e a --上的图象不间断，∴()f x 在11(,)e a --上存在零点.另外，当1(0,)x a -∈时，1()0f x a x'=->，故()f x 在1(0,)a -上是单调增函数，∴()f x 在1(0,)a -上有一个零点.下面需要考虑()f x 在(,)a+∞１上的情况，先证112()()0a f e a a e ---=-<， 为此，我们要证明：当x e >时，2x e x >，设2()xh x e x =-，则，再设()()2x l x h x e x ='=-，则()2x l x e =-'.当1x >时，()220xl x e e =->->'，∴()()l x h x '=在(1,)+∞上是单调增函数，故当2x >时，2()2(2)40x h x e x h e ''=->=->，从而()h x 在(2,)+∞上是单调增函数，进而当x e >时，22()()0x e h x e x h e e e =->=->，即当x e >时，2x e x >.当10ae ，即1a e ->时，11112()()0a a a f e a ae a a e -----=-=-<，又1()0f a ->，且函数()f x在11[,]a a e --的图象不间断，∴()f x 在11(,)a a e --上存在零点. 又当1x a ->时，1()0f x a x'=-<，故()f x 在1(,)a -+∞是单调减函数，所以，()f x 在1(,)a -+∞上只有一个零点.综上所述，当0a ≤或1a e -=时，()f x 的零点个数为1；当10ae 时，()f x 的零点个数为2. 【考点定位】本小题主要考查导数的运算及用导数研究函数的性质，考查函数、方程及不等式的相互转化，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题及推理论证能力.21．（1）证明见解析；（2）5. 【解析】试题分析：（1）连结OC 根据等腰三角形性质知OC AB ⊥，进而得AB 是圆O 的切线；（2）作 DH OC ⊥与H ，如图，先根据圆周角定理得到90o DCE ∠=，利用1tan 2CD CED CE ∠==和勾股定理计算出5CD =,再证明CDH E ∠=∠，接着在Rt CDH ∆中求出65CH =，则95OH OC CH =-=，然后根据平行线分线段成比例定理计算出5OB =，从而得到5OA =.试题解析：（1）证明：连结OC ，因为,OA OB CA CB ==，所以OC AB ⊥.又OC 是圆O 的半径，所以AB 是圆O 的切线 .（2）作 DH OC ⊥与 H ，如图，先根据圆周角定理得到90o DCE ∠=，利用1tan 2CD CED CE ∠==和勾股定理计算出5CD =,再证明CDH E ∠=∠，接着在Rt CDH ∆中求出65CH =，则95OH OC CH =-=，然后根据平行线分线段成比例定理计算出5OB =，从而得到5OA =.考点： 1、圆周角定理切线的性质；2、勾股定理及平行线分线段成比例定理. 22．（1）2cos ρθ=；（2）2 【分析】（1）先由圆的参数方程消去参数，得到圆的普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出圆的极坐标方程；（2）由题意，先设,P Q 两点的极坐标为：1(,)ρθP ，2(,)ρθQ ，将3πθ=代入直线l 的极坐标方程，得到2ρ；将3πθ=代入圆的极坐标方程，得到1ρ，再由12ρρ=-PQ ，即可得出结果. 【详解】（1）因为，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），消去参数可得：()2211x y -+=；把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入()2211x y -+=，化简得：2cos ρθ=，即为此圆的极坐标方程； （2）设,P Q 两点的极坐标为：1(,)ρθP ，2(,)ρθQ ，因为直线l 的极坐标方程是()sin 333ρθθ=:3OM πθ=，将3πθ=代入()sin 333ρθθ=313332ρ⎫=⎪⎪⎝⎭，即23ρ=； 将3πθ=代入2cos ρθ=得12cos 13πρ==，所以122PQ ρρ=-=．【点睛】本题主要考查圆的参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标下的两点间距离，熟记公式即可，属于常考题型.23．（1）(−∞,1]；（2）f(ab)|a|>f(ba).【解析】试题分析：（1）因为f(x−1)+f(x)=|x−4|+|x−3|≥|x−4+3−x|=1，不等式f(x−1)+f(x)<a的解集为空集，则1≥a即可；（2）分析法只需证明(a2−1)(b2−9)>0即可，而|a|<1,|b|<3，因此可证(a2−1)(b2−9)>0，即f(ab)|a|>f(ba).试题解析：（1）因为f(x−1)+f(x)=|x−4|+|x−3|≥|x−4+3−x|=1，不等式f(x−1)+f(x)<a的解集为空集，则1≥a即可．所以实数a的取值范围是(−∞,1]．（2）f(ab)|a|>f(ba)，证明：要证f(ab)|a|>f(ba)，只需证|ab−3|>|b−3a|，即证(ab−3)2>(b−3a)2，又(ab−3)2−(b−3a)2=a2b2−9a2−b2+9=(a2−1)(b2−9)，因为|a|<1,|b|<3，所以(ab−3)2−(b−3a)2>0，所以原不等式成立．考点：1、绝对值不等式的性质；2、比较大小、绝对值不等式的证明.。