一次函数动点存在性问题(新初三)
一次函数综合—线段和差、存在性问题解析
一次函数的应用—线段和差、存在性问题一、一次函数线段和差最值问题
【知识点】
1. 最短路径原理
【原理1】作法作图原理
在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小。连AB，与l 交点即为
P．
两点之间线段最短．
PA+PB 最小值为AB．
【原理2】作法作图原理
在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小．作 B 关于l 的对称
点B＇连A B＇，与l 交
点即为P．
两点之间线段最短．
PA+PB 最小值为A B＇．
【原理3】作法作图原理
在直线l 上求一点P，使作直线AB，与直线l
的交点即为P．
三角形任意两边之差小于第
三边．≤AB .
PB
PA－
（1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式； （2）求三角形周长最小值；
（3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。 3. 口诀：“和小异，差大同”
（一）一次函数线段和最小值问题
【例题讲解】★★☆例题1．在平面直角坐标系xOy 中，y 轴上有一点P ，它到点(4,3)A ，(3,1)B 的距离
之和最小，则点P 的坐标是( ) A ．(0,0)
B ．4
(0,)7
C ．5
(0,)7
D ．4
(0,)5
【答案】C
的值最大 .
【原理 4】
作法
作图
原理
在直线 l 上求一点 P ，使
的值最大 .
作 B 关于 l 的对称点 B ＇作直线 A B ＇，与 l 交点即为 P ．
三角形任意两边之差小于第三边．≤A B ＇ .
PB PA －PB PA －PB PA －
【解析】解：作A 关于y 轴的对称点C ，连接BC 交y 轴于P ，
则此时AP PB +最小，
即此时点P 到点A 和点B 的距离之和最小，
一次函数与特殊三角形~存在性问题
一次函数与特殊三角形~存在性问题
坚持的力量，时间的证明，难忘的经历！
一次函数与特殊三角形~存在性问题—【数学压轴题】盘点
思考题目：
一次函数与等腰三角形~存在性问题【两定一动】
一次函数与直角三角形~存在性问题【两定一动】
一次函数与等腰直角三角形~存在性问题【一定两动】
适用范围：
初二与初三学生【考点串讲，拓展思路，体味方法】
解题方法：
一次函数与等腰三角形~存在性问题【两定一动】
一次函数与直角三角形~存在性问题【两定一动】
一次函数与等腰直角三角形~存在性问题【一定两动】
【考点总结】
1.一次函数与等腰三角形~存在性问题：
（1）类型：两定一动&一定两动。
（2）思路：代数法&几何法。
注意：遇到'一定两动'时，尽量先画图，再结合【等腰三角形性质——等边对等角&三线合一】进行思考。另外，这里的“等腰三角形~存在性问题”与初三数学中的“菱形~存在性问题”密切相关，大家必须掌握。
2.一次函数与直角三角形~存在性问题：
（1）类型：两定一动&一定两动。
（2）思路：代数法&几何法&函数法。
注意：三种方法都可以使用，'代数法'侧重—计算量；“几何法”侧重—构图及转化能力；“函数法”—侧重公式记忆的应用及特殊情况的处理。另外，这里的“直角三角形~存在性问题”与初三数学中的“矩形~存在性问题”密切相关，大家必须掌握。
3.一次函数与等腰直角三角形~存在性问题：
（1）类型：两定一动&一定两动。
（2）思路：几何法——构造“一线三垂直~全等三角形模型”。
注意：这里的“等腰直角三角形~存在性问题”与初三数学中的“正方形~存在性问题”密切相关，大家必须掌握。
一次函数综合—线段和差、存在性问题
一次函数的应用—线段和差、存在性问题一、一次函数线段和差最值问题
【知识点】
1. 最短路径原理
【原理1】作法作图原理
在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小。连AB，与l 交点即为
P．
两点之间线段最短．
PA+PB 最小值为AB．
【原理2】作法作图原理
在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小．作 B 关于l 的对称
点B＇连A B＇，与l 交
点即为P．
两点之间线段最短．
PA+PB 最小值为A B＇．
【原理3】作法作图原理
在直线l 上求一点P，使作直线AB，与直线l
的交点即为P．
三角形任意两边之差小于第
三边．≤AB .
PB
PA－
（1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式；
（2）求三角形周长最小值；
（3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。
3. 口诀：“和小异，差大同”
（一）一次函数线段和最小值问题
【例题讲解】★★☆例题1．在平面直角坐标系xOy中，y轴上有一点P，它到点(4,3)
A，(3,1)
B 的距离之和最小，则点P的坐标是()
A．(0,0)B．4
(0,)
7C．5
(0,)
7
D．4
(0,)
5
的值最大 .
【原理4】作法作图原理
在直线l 上求一点P，使
的值最大 .作B 关于l 的对称点
B＇作直线A B＇，与l
交点即为P．
三角形任意两边之差小于第
三边．≤A B＇ .
PB PA－
PB PA－
PB PA－
★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,3)
B-，在x轴上存在点P到A，B两点的
A，点(2,1)
距离之和最小，则P点的坐标是．
★★☆练习2．如图，直线34120
+-=与x轴、y轴分别交于点B、A两点，以线段AB为边在第一象限
一次函数存在性问题
一次函数动点问题
1 如图，已知直线1l 的解析式为63+=x y ，直线1l 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，直线2l 经过B 、C 两点，点C 的坐标为（8，0），又已知点P 在x 轴上从点A 向点C 移动，点Q 在直线2l 从点C 向点B 移动．点P 、Q 同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t 秒（101<
（1）求直线2l 的解析式．
（2）设△PCQ 的面积为S ，请求出S 关于t 的函数关系式．
（3）试探究：当t 为何值时，△PCQ 为等腰三角形？
2 已知直线y=3x ＋43与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点， ∠ABC=60°，BC 与x 轴交于点C.
（1）试确定直线BC 的解析式.
（2）若动点P 从A 点出发沿AC 向点C 运动（不与A 、C 重合），同时动点Q 从C 点出发沿CBA 向点A 运动(不
与C 、A 重合) ，动点P 的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q 的运动速度是每秒2个单位长度.设△APQ 的面积为S ，P 点的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
（3）在（2）的条件下，当△APQ 的面积最大时，y 轴上有一点M ，平面内是否存在一点N ，使以A 、Q 、M 、N
为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N 点的坐标；若不存在，请说明理由.
3 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(－4，0)，点B的坐标为(0，b)(b>0)．P是直线AB
上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P'（点P'不在y轴上），连结PP'，P'A，P'C．设点P的横坐标为a．
一次函数背景下的图形存在性问题(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-函数
例题精讲
考点一：一次函数中等腰三角形存在性问题
【例1】．如果一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，M点在x轴上，并且使得以点A、B、M为定点的三角形是等腰三角形，则M点的坐标为．
变式训练
【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线MN的函数解析式为y＝﹣x+3，点A在线段MN上且满足AN＝2AM，B点是x轴上一点，当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为．
【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．
（1）求点C的坐标．
（2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△OPC是等腰三角形时P的坐标．
考点二：一次函数中直角三角形存在性问题
【例2】．已知点A、B的坐标分别为（2，2）、（5，1），试在x轴上找一点C，使△ABC为
直角三角形．
【变2-1】．如图，一次函数y＝kx+1的图象过点A（1，2），且与x轴相交于点B．若点P 是x轴上的一点，且满足△ABP是直角三角形，则点P的坐标是．
【变2-2】．如图，已知一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y＝4x+b的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数y＝x﹣2的图象分别交于点C、D，点D的坐标为（﹣2，﹣4）．
（1）关于x、y的方程组的解为．
（2）求△ABD的面积；
（3）在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
考点三：一次函数中平行四边形存在性问题
【例3】．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，3），B（﹣2，﹣1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
一次函数中的存在性问题讲义
一次函数之存在性问题（讲义）
一、知识点睛
存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存
在的题目，主要考查______________ .
一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：
1. 把函数信息（______________ ）转化为几何信息；
2. 分析特殊状态的形成因素，画出_____________________ ；
3. 结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的______
______ 建立等式来解决问题．
二、精讲精练
1. 如图，直线y 33x 3与x轴、y轴分别交于点A，点B，已知点P是第3
一象限内的点，由点P，O，B组成了一个含60°角的直角三角形，则点P 的坐标为______________ ．
2. 如图，直线y=kx- 4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且OC 4.
OB 3 （1）求点B的坐标和k 的值．
（2）若点A是第一象限内直线y=kx- 4 上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，△ AOB的面积是6？
（3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在一点P，使△ POA是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
3. 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x 轴、y
轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=6 2 ，点C的坐标为（- 9，0）．
（1）求点 B 的坐标．
（2）若直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD的表达式．
（3）若点P 是（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点
一次函数背景下的存在性问题
2021年第02期总第495期
数理化解题研究
一次函数背景下的存在性问题
王帅兵
(河南省郑州市孜文教育信息咨询有限公司450000)
摘 要：一次函数是八年级数学的学习内容，在平面直角坐标系中，研究点和直线的动态特征，以及在动 态情境下产生的几何图形存在性问题，是考察学生思维能力的有效载体，已成为考试的重难点.本文将结合具 体题目，从不同方面探讨存在性问题的解法.
关键词：一次函数;存在性；对称；两圆一线；弦图中图分类号:G632 文献标识码：A 文章编号：1008 -0333(2021)02 -0017 -02
一、两定一动型，注意好“一上一下”
两定一动型,是指在给定两个点的情况下,另一点在
一条线上运动所产生的面积问题,解决这类问题，要做好 题目分析,有一边与坐标轴平行时直接求解;没有边与坐 标轴平行时，用好“铅锤法”(或“割补法”)，同时注意好 “ 一一上 —下”.
例1如图1所示,一次 函数y 二2% +4的图像与坐标 轴分别交于点A 、B ,在一次函
数的图象上是否存在一点P , 使得A AOP 的面积为3？
思路分析由题设条件，易求出点A 和点0坐标分别为(-2,0)和(0,0),点P 为直 图1
线上一动点，不妨设其坐标为(%,y ),当点P 位于%轴上
方时,S △A0P 二2 ； y 二3 ,解得y 二3,代入表达式y 二2% + 4 可得点P 坐标为(-1 /2,3).由于坐标系中的对称性，点 P 也可以位于%轴下方，此时可求出点P 的坐标为 (-7/2,-3).综上，点 P 坐标为(-1/2,3)或者(-7/2, -
初中数学函数动点及存在性问题专项
初中数学函数动点及存在性问题专项
一、从动点角度
关于动点问题，又从两个角度∍⎡
⎢
⎣从寻找满足条件的点的位置角度从由动点问题探究题目中变化的量之间的关系角度
（1）从寻找满足条件的点的位置角度
例1：如图1，在ABC △中，1AB AC ==，点D ，E 在直线BC 上运动，设BD x =，CE y =． （1）如果30BAC ∠=，105DAE ∠=，试确定y 与x 之间的函数关系式；
（2）如果BAC ∠的度数为α，DAE ∠的度数为β，当αβ，满足怎样的关系式时，（1）中y 与x 之
间的函数关系式还成立，试说明理由．
分析：根据角之间的关系找关系
解：（1）在ABC △中，130AB AC BAC ===︒，∠，
75ABC ACB ∴==︒∠∠
105ABD ACE ==︒∠∠ 又105DAE =︒∠，
75DAB CAE ∴+=︒∠∠
又75DAB ADB ABC +==︒∠∠∠ CAE ADB ∴=∠∠ ADB EAC ∴△∽△
AB BD EC AC
∴=
即
11x y =，所以1y x
= （2）当αβ，满足关系式902
α
β-
=︒时，函数关系式1
y x
=
仍然成立 此时，DAB CAE βα+=-∠∠ 又90DAB ADB ABC α
βα+==︒-
=-2
∠∠∠，
CAE ADB ∴=∠∠
又ABD ACE ADB EAC =∴，
∠∠△∽△仍然成立 从而（1）中函数关系式1
y x
=
成立．
例2：如图2，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A
B ，的坐标分别为(40)43()，，，，动点M N ， Ｂ
一次函数与三角形存在性问题
一次函数与三角形的存在性问题
1．如图，直线y=2x+m（m＞0）与x轴交于点A（﹣2，0），直线y=﹣x+n（n＞0）与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y=2x+m（m＞0）相交于点D，若AB=4．
（1）求点D的坐标；（2）求出四边形AOCD的面积；
（3）若E为x轴上一点，且△ACE为等腰三角形，求点E的坐标．
2．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与x轴交于A、与y轴交于B，点C（a，b），其中a＜b，且a、b是方程x2﹣7x+12=0的两根．（1）求直线AC的解析式；
（2）点D为直线AC与y轴的交点，请求出△ABD和△BCD的周长差；
（3）点E是线段AC上一动点，是否存在点E，使△COE为直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
3、如图：直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
3
4
OB
OA
，点C(x,y)是直线
y＝kx＋3上与A、B不重合的动点。（1）求直线y=kx+3的解析式；（2）当点C运动到什么位置时，△AOC的面积是6；（3）过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。
4、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．△ABC的边BC在x轴上，A、C两点的坐标分别为A （0，m）、C（n，0），B（﹣5，0），且（n﹣3）2+=0，点P从B出发，以每秒2个单位的速度
沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．
（1）求A、C两点的坐标；
（2）连接PA，用含t的代数式表示△POA的面积；
一次函数中的动点运动问题
一次函数中的动点运动问题
一次函数中的动点问题一直是难点。其难度在于:①直线或点的旋转、平移、翻折运动；②因动直线或动点产生的面积问题；③因动点产生的三角形存在性问题。
解法分析：本题的第1问是点的平移，点的平移运动遵循“上加下减，左减右加”；本题的第2问是直线的左右平移，尽管是新的背景，但是直线的平移就是直线上点的平移运动，只要找准直线上的一个点进行平移运动，代入即可；本题的第3问是点的旋转运动，经过的路径长就是以O为圆心，AO为半径，圆心角为90°的弧长；本题的第4问是直线的旋转运动，只要求出直线上的任意两点(一般选与坐标轴的两交点)绕旋转中心旋转后的对应点，即可求出型的直线表达式。(旋转后构造“一线三直角模型”，即可求出旋转后对应点的坐标)
对于直线的左右平移按照以下方法进行：①从直线上任意取一点进行左右平移，得到平移后的点的坐标；②设出平移后的直线表达式；
③将平移后的点代入平移后的表达式中，即可求出b，得到新的表达式。
对于平面直角坐标系中点的旋转运动，往往可以通过构造一线三直角模型，借助全等三角形找到对应的等边。
解法分析：本题的第1问和第2问是手拉手旋转型模型，难度不大，围绕旋转角相等，证明▲AOE'≌▲BOF'，即可得到AE'=BF'，AE'⊥BF'。
本题的第3问是求P纵坐标的最大值，这是本题的难点，从动态的角度来看，当P与D'重合时，可以求得点P的纵坐标的最大值。通过画出图形，进行分析，可以得到此时∠A为30°，以此通过30°-60°-90°直角三角形的性质得到点P的纵坐标。
一次函数之存在性问题(一)(讲义及答案)
一次函数之存在性问题（一）（讲义）
➢课前预习
1.如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角是30°，请在直线l上另
找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找到几个？请找出所有符合条件的点C．
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若在直线BC上取点P，使△ABP是等
腰三角形，则符合条件的点P有______个．
B
C A
3.用铅笔做讲义第1，2题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，
再做题，思路受阻时（某个点做了2~3分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．
➢知识点睛
1.存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存
在的题目，主要考查_______________．
2.一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：
①研究背景图形，把函数信息（_________________）转化为几何信息．
②分析不变特征，确定分类标准．
③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解．
3.不变特征举例：
①等腰三角形
以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定点的位置．
②面积相等
借助平行线转化：
l1
l2
如图，满足S
△ABP
=S
△ABC
的点P都在直线l1，l2上．
➢精讲精练
1.直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于点B，C，且
4
3
OC
OB
．
（1）求点B的坐标和k的值．
（2）若点A是直线y=kx-4上的一个动点，且点A在第一象限，则当点A运
动到什么位置时，△AOB的面积是6？
（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
初中数学微课--一次函数得动点问题——平行四边形的存在性
一次函数得动点问题——平行四边形的存在性
1．如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．（1）求直线l2对应的函数解析式；
（2）在坐标平面内是否存在点P，使以点A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，直线l1：y＝2x+1与x轴交于点D，与y轴交于点C，直线l2：y＝mx+4与x轴交于点B，与y轴交于点A，两直线相交于点E（1，b）．
（1）求b，m的值；
（2）点M为直线l1上一点，过点M作x轴的平行线交直线l2于点N，是否存在以点O、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，
请说明理由．
3．如图，两个一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象分别为直线l1和l2，l1与l2交于点A（1，p），l1与x轴交于点B（﹣2，0），l2与x轴交于点C（4，0）
（1）填空：不等式组0＜mx+n＜kx+b的解集为；
（2）若点D和点E分别是y轴和直线l2上的动点，当p＝32时，是否存在以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
初中数学专题数学中存在性问题
存在性试题选 (山希明)
解存在性问题的一般思路：
先对结论作出肯定的假设。然后由肯定假设出发，已知条件或挖掘隐含条件辅以方程思想，数形结合等进行正确的计算、推理，再对得出的结论进行分析检验，判断是否与题设、公理、定理等吻合；若无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的数学对象存在；否则，说明不存在。存在性问题对学生分析和解决问题的能力提出了较高的要求，有较高的区分度，能较好地反映数学的选择功能。
1、已知二次函数图象的顶点坐标为M （2，），直线y=x+2与该一次函数的图象交于A ，B 两点，其中点A 在y 轴上。
（1）求该二次函数的关系式；（2）P 为线段AB 上一动点（不与A ，B 重合），过点P 作x 轴的垂线与二次函数的图歇脚交于点Q ，设线段PQ 的长为m ，点P 的横坐标为x ，求出m 与x 之间的函数关系式，并求自变量x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，线段AB 上是否存在一点P ，使四边形PQMA 为梯形？若存在，求出点P 的坐标，并求出梯形的面积；若不存在，请说明理由。
2、已知梯形ABCD 中，A B ⊥BC ，D C ⊥BC 。
（1）当AB=4，DC=1，BC=4时，在线段BC 上是否存在点P 使A P ⊥PD ？若存在，求BP 的长；若不存在，说明理由。
（2）设AB=a ，DC=b ，AD=c ，a ，b ，c 之间满足什么关系时，在直线BC 上存在点P ，使A P ⊥PD ？。
3、已知抛物线y=-0.5x 2-(m+3)x+m 2-12与x 轴交于A(x 1,0)、B （x 2,0)两点,且x 1<0<x 2,抛物线交y 轴于点C,OB=2OA 。
探究初中数学一次函数中动点题型的命题套路
探究初中数学动点题型的命题套路
母题：（本题12分）如图，直线-y x =+y 轴和x 轴分别交于点A,B ，点P
（m ，0）是x 轴上的一个动点，PC ⊥x 轴交直线AB 于点C （1）当点P 为OB 中点时，求△APC 的面积． （2）若m=1，求△APC 的周长． （3）当CA=CP 时，求m 的值． 第三题的改编：（3）当∠CAP=CPA 时，求m 的值
（3）当∠CAP=22.5°时，求m 的值
（3）当∠CPA=22.5°时，求m 的值
（3）当AP 是∠OAB 的角平分线时，求m 的值
聪明的你还能想到它怎么来考你吗?以上这些问法是不是答案一样？
方法总结归纳：
遇到函数图像中线段垂直，得到的结论：两个端点的横坐标或者纵坐标相等 以此设未知数
例如此题：PC ⊥x 轴交直线AB 于点C ，点P 和点C 的横坐标相等， (主)动点P 横坐标m ，，就是线段OP,（从）动点C 横坐标m ，所以就把这条线段在图中做出来（用直尺和铅笔好好画，画标准），即图中CD=m
直线y=x+b 或者直线y=-x+b ，想到45度角
直线y=
33x+b 或者y=-3
3x+b ，想到30度
直线y=3x+b 或者y=-3x+b ，想到60度 ，转化一下还是30度特殊角
接下来我们讨论这种类型的题怎么想，思路是：
根据CA=CP,题目给的是等量关系，那我们可以想到只要CA 和CP 用两种不同的代数式表示即可
第一种代数式从几何角度去转化（边边角之间的关系），也就是此题的CA=2CD=2OP=2m
另一种代数式从函数关系去考虑：CP 就是C 点的纵坐标，把m 带进去就得 CP=-m+22
一次函数之存在性问题
一次函数之存在性问题（讲义）
一、知识点睛
存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果.
一次函数背景下解决存在性问题的思考方向： 1. 把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息； 2. 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；
3. 结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的几何特征建立等式来解决问题．
二、精讲精练
1. 如图，
直线y x =+x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，已知点P 是第一象限内的点，由点P ，O ，B 组成了一个含60°角的直角三角形，则点P 的坐标为_____________．
2. 如图，直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且
4
3
OC OB =. （1）求点B 的坐标和k 的值．
（2）若点A 是第一象限内直线y =kx -4上的一个动点，则当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？
（3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在一点P ，使△POA 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
3. 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的边OC ，OA 分别与x 轴、y 轴重合，AB ∥
OC ，∠AOC =90°，∠BCO =45°，BC
=，点C 的坐标为(-9，0)． （1）求点B 的坐标．
（2）若直线BD 交y 轴于点D ，且OD =3，求直线BD 的表达式．
（3）若点P 是（2）中直线BD 上的一个动点，是否存在点P ，使以O ，D ，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
一次函数动点问题精心总结版
1、直线
3
6
4
y x
=-+与坐标轴分别交于
A B
、两点，动点P Q
、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B
、两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ
△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；
（3）当
48
5
S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q
、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得
15
3210
4
x x
=+⨯，
解得
80
3
x=秒．∴点P共运动了
80
380
3
⨯=厘米．∵
∴经过
80
3
秒点P与8022824
=⨯+，∴点P、点Q在AB边上相遇，
点Q第一次在边AB上相遇
2解（1）A（8，0）B（0，6）（2）86
OA OB
==
，10
AB
∴=
点Q由O到A的时间是
8
8
1
=（秒）∴点P的速度是
610
2
8
+
=（单位/秒）
当P在线段OB上运动（或03
t
≤≤）时，2
OQ t OP t
==
，2
S t=
当P在线段BA上运动（或38
t
<≤）时，6102162
OQ t AP t t
==+-=-
，,
如图，作PD OA
⊥于点D，由
PD AP
BO AB
=，得
486
5
t
PD
-
=，
2
1324
255
S OQ PD t t
∴=⨯=-+
（3）
824
55
P
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
123
82412241224
555555
I M M
2
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，，，，
2 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），
点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．