北京市西城区第44中学2018届高三上学期12月月考数学(理)试题+Word版含解析

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北京市2023-2024学年高一上学期12月月考试题数学含解析

2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --< D.x ∀∈R ，2230x x --≥4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x = D.1y x=-5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.1206.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b= B.2b a= C.4a b= D.4b a=8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年B.7年C.8年D.9年二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.14.设函数()3log ,x af x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲4.944.904.954.824.80 4.79乙 4.86 4.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.20.已知函数()()12log 21xf x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--【答案】C 【解析】【分析】解不等式()323k k Z -<<∈，求得整数k 的取值，由此可求得A B ⋂.【详解】解不等式323k -<<，得3322k -<<，k Z ∈ ，所以，整数k 的可能取值有1-、0、1，因此，{}2,0,2A B =- .故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--【答案】A 【解析】【分析】利用代入消元法，求解方程组的解集即可．【详解】因为22205x y x y +=⎧⎨+=⎩，所以2y x =-代入225x y +=，即()2225x x +-=，解得1x =±.当=1x -时，()212y =-⨯-=；当1x =时，212y =-⨯=-.故22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是()(){}1,2,1,2--.故选：A.3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --<D.x ∀∈R ，2230x x --≥【答案】D 【解析】【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来得答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是x ∀∈R ，2230x x --≥.故选：D.4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x =D.1y x=-【答案】C 【解析】【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，ln y x =的定义域为{}0x x >，不关于原点对称，所以ln y x =是非奇非偶函数，故A 不正确；对于B ，2x y =的定义域为R ，关于原点对称，而()()122xx f x f x --==≠-，所以2x y =不是奇函数，故B 不正确；对于C ，3y x =的定义域为R ，关于原点对称，而()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以3y x =是奇函数且在R 上是增函数，故C 正确；对于D ，1y x=-定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，()()1f x f x x -==-，所以1y x=-是奇函数，1y x=-在(),0∞-和()0,∞+上单调递增，不能说成在定义域上单调递增，因为不满足增函数的定义，故D 不正确.故选：C .5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.120【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的人数为0.7200140⨯=，故选C.考点：频率分布直方图及其应用．6.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a【答案】C 【解析】【分析】借助中间量0,1可确定大小.【详解】对于lg2a =，由lg2lg1=0,lg2lg10=1><得01a <<，对于12log 3b =，由1122log 3log 10<=得0b <，对于0.22c =，由0.20221>=得1c >，所以b a c <<.故选：C.7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b = B.2b a= C.4a b= D.4b a=【答案】C 【解析】【分析】由对数的运算可得212log log a b +=2log 2ab=,再求解即可.【详解】解:因为212log log a b +=222log log log 2a b ab-==,所以224a b==，即4a b =，故选:C.【点睛】本题考查了对数的运算,属基础题.8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 是偶函数，先得到()0f x <的解集，再由()10f x -<，将1x -代入求解.【详解】因为[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，所以由()0f x <，解得01x ≤<，又因为()f x 是偶函数，所以()0f x <的解集是11x -<<，所以()10f x -<，得111x -<-<，解得02x <<所以()10f x -<的解集是{}02x x <<，故选：C9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由()f x 是R 上的增函数得()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之若对任意0a >，()()f x a f x +<，满足()()y f x a f x =+-无零点，但不满足()f x 是R 上的增函数，不满足必要性，即可判断.【详解】若()f x 是R 上的增函数，则对任意0a >，显然x a x +>，故()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之，若对任意0a >，()()f x a f x +<，即()()0f x a f x +<-，满足()()y f x a f x =+-无零点，但()f x 是R 上的减函数，不满足必要性，故“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的充分而不必要条件.故选：A.10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年 B.7年 C.8年 D.9年【答案】B 【解析】【分析】依题求出经过x 年后，A 产品和B 产品的年产量分别为310(2x，640()5x，根据题意列出不等式，求出x 的范围即可得到答案.【详解】依题经过x 年后，A 产品的年产量为1310(110()22xx+=）B 产品的年产量为1640(140()55x x +=，依题意若A 产品的年产量会超过B 产品的年产量，则3610()40(25xx>化简得154x x +>，即lg 5(1)lg 4x x >+，所以2lg 213lg 2x >-，又20.3010lg =，则2lg 26.206213lg 2≈-所以至少经过7年A 产品的年产量会超过B 产品的年产量.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数模型，解指数型不等式，属于基础题.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.【答案】()()1,22,⋃+∞【解析】【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.【详解】函数()()1lg 12f x x x =-+-需满足1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，故函数()()1lg 12f x x x =-+-的定义域为()()1,22,⋃+∞，故答案为：()()1,22,⋃+∞12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.【答案】①.14②.【解析】【分析】利用韦达定理可得2212x x +、12x x -的值.【详解】因为方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，由韦达定理可得124x x +=，121=x x ，所以，()2221222121242114x x x x x x =+-=-=+⨯，12x x -===.故答案为：14；.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.【答案】1x -+（答案不唯一）【解析】【分析】由题意首先由③得到函数的单调性，再结合函数定义域，特殊点的函数值，容易联想到一次函数，由此即可得解.【详解】由③，不妨设12x x ∀<，即210x x ->，都有()()21210f x f x x x -<-，即()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以由题意可知()f x 是定义域为R 的减函数且满足()01f =，不妨设一次函数y x b =-+满足题意，则10b =-+，即1b =.故答案为：1x -+.14.设函数()3log ,x a f x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.【答案】①.2②.[)9,27【解析】【分析】①代值计算即可；②分别画出()y f x =与3y =的图象，函数有两个零点，结合图象可得答案．【详解】①当5a =时，()35log ,5x f x x x ≤≤=>⎪⎩因为815>，所以()43381log 81log 345f ===<，所以()()8142f f f ⎡⎤===⎣⎦.②因为函数()3y f x =-有两个零点，所以()3f x =，即()y f x =与3y =的图象有两个交点.3=得9x =，3log 3x =得27x =.结合图象可得927a ≤<，即[)9,27a ∈.所以a 的取值范围是[)9,27.故答案为：①2；②[)9,27.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．【答案】①③【解析】【分析】A 即为函数的定义域，B 即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；对②，A ＝R ，B ＝(0，+∞)，当x ＞0时，不存在y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即不具有性质P ；对③，A ＝(0，+∞)，B ＝R ，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）35【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5人中男生人数和女生人数．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为19253320⨯=，女生人数为12852320⨯=．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，则样本空间为：Ω＝{(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，B 3)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)，(G 1，G 2)}，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A 为“抽取的2人中恰有1名女生”，则A ＝{(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)}，事件A 共包含6个样本点．从而()63105P A ==所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为35．【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()0,∞+【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；（2）利用单调性定义证明即可；（3）根据单调性直接求得即可.【小问1详解】由函数()211f x x =-可知210x -¹，即1x ≠±，所以函数()f x 的定义域为{}1D x x =≠±，所以x D ∀∈，()()()221111f x f x x x -===---，故()f x 为偶函数.【小问2详解】假设()12,1,x x ∀∈+∞且12x x <，则()()()()()()()()()()()222221212121122222222212121212111111111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+--=-===--------，由()12,1,x x ∀∈+∞，12x x <知()()222121120,0,110x x x x x x ->+>++>，从而()()120f x f x ->，即()()12f x f x >.所以()f x 是()1,+∞上的减函数.【小问3详解】因为()f x 在()1,+∞上减函数，所以()f x 在()1,+∞的值域为()0,∞+.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙4.864.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）【答案】（1）4.82（2）25（3）甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.【解析】【分析】（1）利用平均数公式计算即可；（2）列表分析，利用古典概型概率公式计算即可（3）由表中数据分析波动性即可得结论.【小问1详解】乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为：4.86 4.90 4.86 4.84 4.74 4.724.826+++++=.【小问2详解】列表：2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙 4.864.904.864.844.744.72甲与乙视力值的差0.0800.090.02-0.060.07由表格可知：2017年到2022年这6年中随机选取2年，这两年甲的视力值都比乙高0.05上的年份由有4年，故所求概率为：2426C 62C 155P ===【小问3详解】从表格数据分析可得：甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.【答案】（1）()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元【解析】【分析】（1）根据利润等于销售总额减去总成本即可得出答案.（2）求出分段函数每一段的最大值，进行比较即可得出答案.【小问1详解】由题意得：()()5020f x x C x =--，()020x <≤.因为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩所以()2150205,01022560502060756,1020x x x x f x x x x x ⎧⎛⎫--+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】当010x <≤时，函数()2145202f x x x =-+-在(]0,10单调递增，此时()()2max 110104510203802f x f ==-⨯+⨯-=.当1020x <≤时，函数()256010736f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()10,16上单调递增，在()16,20上单调递减，此时()()max 256016101673641638016f x f ⎛⎫==-⨯++=> ⎪⎝⎭.综上可得：当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元.20.已知函数()()12log 21x f x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.【答案】（1）1-（2）12m =-（3）21log 3x >【解析】【分析】（1）直接将0x =代入计算；（2）通过计算()()0f x f x --=恒成立可得m 的值；（3）解不等式()12log 212xx ++>-即可.【小问1详解】由已知得()()12log 2110f =+=-；【小问2详解】函数()f x 是偶函数，()()()()11122221log 21log 21log 212x xxx mxf x f x mx mx --⎡⎤+∴--=+--++⎢+⎣-=⎥⎦()1222210log 2x mx x mx x m =-=--=-+=，又()210x m -+=要恒成立，故210m +=，解得12m =-；【小问3详解】当1m =-时，()()12log 21x f x x =++，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时有()12log 212xx ++>-，()2211222112422l 2og 212log 21x xxxx x x --+--⎛⎫⎛⎫⇒==⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝+>--=+<⎭21log 31321223xx⇒⨯>⇒>=解得21log 3x >.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【答案】（1）{}6,10,15B =（2）7（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【小问1详解】{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=【小问2详解】设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。

中考数学习题精选：新定义型问题(含参考答案)

中考数学习题精选：一、选择题1、(2018北京昌平区初一第一学期期末) 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b = ab 2 + a .如：1☆3=1×32+1=10. 则（-2）☆3的值为A ．10B ．-15C . -16D ．-20 答案：D 二、填空题3、（2018北京西城区七年级第一学期期末附加题）1．用“△”定义新运算：对于任意有理数a ，b ，当a ≤b 时，都有2a b a b ∆=；当a ＞b 时，都有2a b ab ∆=．那么， 2△6 = ， 2()3-△(3)-= ．答案：24，-64．（2018北京海淀区第二学期练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 组成圆的折弦，AB BC >，M 是弧ABC 的中点，MFAB ⊥于F ，则AF FB BC =+．如图2，△ABC 中，60ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，D 是AB 上一点，1BD =，作DE AB ⊥交△ABC 的外接圆于E ，连接EA ，则EAC ∠=________°．答案605、(2018北京交大附中初一第一学期期末)如图,在平面内，两条直线l 1，l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p 、q 分别是点M 到直线l 1，l 2的距离，则称(p ，q )为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有______个．图2图1E A三、解答题6、（2018北京平谷区初一第一学期期末）阅读材料：规定一种新的运算：ac=b ad bc d -．例如：1214-23=-2.34××= （1）按照这个规定，请你计算5624的值．（2）按照这个规定，当5212242=-+-x x 时求x 的值．答案（1）5624=20-12=8 ………………………………………………………………………2 （2）由 5212242=-+-x x 得5224221=++-)()(x x ...............................................................4 解得，x = 1 (5)7、（2018北京海淀区七年级第一学期期末）对于任意四个有理数a ，b ，c ，d ，可以组成两个有理数对（a ，b ）与（c ，d ）.我们规定：（a ，b ）★（c ，d ）=bc －ad .例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2．根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对（2，－3）★（3，－2）= ;（2）若有理数对（－3，2x －1）★（1，x +1）=7，则x = ;（3）当满足等式（－3，2x －1）★（k ，x ＋k ）=5＋2k 的x 是整数时，求整数k 的值．答案.解：（1）﹣5……………………..２分（2）1 ……………………..４分（3）∵等式（－3，2x －1）★（k ，x ＋k ）=5＋2k 的x 是整数 ∴（2x ﹣1）k ﹣（﹣3）（x ﹢k ）=5﹢2k ∴（2k ﹢3）x =5 ∴523x k =+ ∵k 是整数 ∴2k +3=±1或±5∴k =1，﹣1，﹣2，﹣4……………………..７分8、(2018北京朝阳区七年级第一学期期末)对于任意有理数a ，b ，定义运算：a ⊙b =()1a a b +-，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，2⊙5=2×（2+5）－1=13；(3)-⊙(5)-＝3(35)123-⨯---=．（1）求(2)-⊙132的值；（2）对于任意有理数m ，n ，请你重新定义一种运算“⊕”，使得5⊕3＝20，写出你定义的运算：m ⊕n ＝（用含m ，n 的式子表示）．答案解：（1）(2)-⊙1132(23)122=-⨯-+- 4=-.（2）答案不唯一，例如：m n ⊕=(1)m n +.9．（2018北京石景山区初三毕业考试）对于平面上两点A ，B ，给出如下定义：以点A 或B 为圆心， AB 长为半径的圆称为点A ，B 的“确定圆”．如图为点A ，B的“确定圆”的示意图．．．．（1）已知点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(3,3)，则点A ，B 的“确定圆”的面积为_________；（2）已知点A 的坐标为(0,0)，若直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点A ，B的“确定圆”的面积为9π，求点B 的坐标；（3）已知点A 在以(0)P m ，为圆心，以1为半径的圆上，点B 在直线33y = 若要使所有点A ，B 的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m 的取值范围．解：（1）25π； ………………… 2分（2）∵直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点,A B 的“确定圆”的面积为9π，∴⊙A 的半径3AB =且直线y x b =+与⊙A 相切于点B ，如图， ∴AB CD ⊥，45DCA ∠=°．①当0b >时，则点B 在第二象限．过点B 作BE x ⊥轴于点E ，∵在Rt BEA ∆中，45BAE ∠=°，3AB =， ∴322BE AE ==．∴323222B（，． AByxl'lECD BB'3A②当0b <时，则点'B 在第四象限．同理可得'22B ．综上所述，点B的坐标为22-（，或22-（． ………………… 6分（3）5m -≤或11m ≥．10．（2018北京延庆区初三统一练习）平面直角坐标系xOy 中，点1(A x ，1)y 与2(B x ，2)y ，如果满足120x x +=，120y y -=，其中12x x ≠，则称点A 与点B 互为反等点．已知：点C (3，4)（1）下列各点中，与点C 互为反等点；D (-3，-4)，E （3，4），F （-3，4）（2）已知点G （-5，4），连接线段CG ，若在线段CG 上存在两点P ，Q 互为反等点，求点P 的横坐标p x 的取值范围；（3）已知⊙O 的半径为r ，若⊙O 与（2）中线段CG 的两个交点互为反等点，求r 的取值范围．解：(1)F ……1分 (2) -3≤p x ≤3 且p x ≠0 ……4分(3)4 < r≤5 ……7分11. （2018北京市朝阳区综合练习（一））对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ，其中A (t ，0)、B (t +2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB 上存在一点Q ，使得P ，Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为线段AB 的伴随点．（1）当t =-3时，①在点P 1（1，1），P 2（0，0），P 3（-2，-1）中，线段AB 的伴随点是； ②在直线y =2x +b 上存在线段AB 的伴随点M 、N ，且MN 5=，求b 的取值范围；（2）线段AB 的中点关于点（2，0）的对称点是C ，将射线CO 以点C 为中心，顺时针旋转30°得到射线l ，若射线l 上存在线段AB 的伴随点，直接写出t 的取值范围．解：（1）①线段AB 的伴随点是: 23,P P . ………………………………………………2分 ②如图1，当直线y =2x +b 经过点（-3，-1）时，b =5，此时b 取得最大值.…………………………………………………………4分如图2，当直线y =2x +b 经过点（-1，1）时，b =3，此时b 取得最小值. ………………………………………………………5分 ∴ b 的取值范围是3≤b ≤5. ………………………………………6分（2）t 的取值范围是-12.2t ≤≤……………………………………8分 12．（2018北京丰台区一模）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形1W ，2W 给出如下定义：点P 为图形1W 上一点，点Q 为图形2W 上一点，当点M 是线段PQ 的中点时，称点M 是图形1W ，2W 的“中立点”．如果点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么“中立点”M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x ．已知，点A (-3，0)，B (0，4)，C (4，0)．图1图2（1）连接BC，在点D(12，0)，E(0，1)，F(0，12)中，可以成为点A和线段BC的“中立点”的是____________；（2）已知点G(3，0)，⊙G的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K可以成为点A和⊙G的“中立点”，求点K的坐标；（3）以点C为圆心，半径为2作圆．点N为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N，使得y轴上的一点可以成为点N与⊙C的“中立点”，直接写出点N的横坐标的取值范围．解：（1）点A和线段BC（2）点A和⊙G的“中立点”在以点O为圆心、半径为1的圆上运动.因为点K在直线y=- x+1上，设点K的坐标为（x，- x+1），则x2+（- x+1）2=12，解得x1=0，x2=1.所以点K的坐标为（0，1）或（1，0）. ………5分（3）（说明：点N与⊙C的“中立点”在以线段NC的中点P为圆心、半径为1的圆上运动.圆P与y轴相切时，符合题意.）所以点N的横坐标的取值范围为-6≤x N≤-2. ………8分13．（2018北京海淀区第二学期练习）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和C ，给出如下定义：若C 上存在一点T 不与O 重合，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在C 上，则称P为C 的反射点．下图为C 的反射点P 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(1,0)，A 的半径为2，①在点(0,0)O ，(1,2)M ，(0,3)N -中，A 的反射点是____________；②点P 在直线y x =-上，若P 为A 的反射点，求点P 的横坐标的取值范围；（2）C 的圆心在x 轴上，半径为2，y 轴上存在点P 是C 的反射点，直接写出圆心C 的横坐标x 的取值范围．解（1）①A 的反射点是M ，N ． ………………1分②设直线y x =-与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为D ，E ，F ，G ，过点D 作⊥DH x 轴于点H ，如图．可求得点D 的横坐标为322-．同理可求得点E ，F ，G 的横坐标分别为22-，22，322．点P 是A 的反射点，则A 上存在一点T ，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在A 上，则'OP OP =.∵1'3≤≤OP ，∴13≤≤OP ．反之，若13≤≤OP ，A 上存在点Q ，使得OP OQ =，故线段PQ 的垂直平分线经过原点，且与A 相交．因此点P 是A 的反射点．∴点P 的横坐标x 的取值范围是32222≤≤x --，或23222≤≤x ． ………………4分（2）圆心C 的横坐标x 的取值范围是44≤≤x -． (7)分yxPOC T P’14、．（2018北京西城区九年级统一测试）对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQk CQ+=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“k 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ BQ =，2AQ k CQ =（或2BQCQ）．已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)Q -，(1,0)C ，⊙C 的半径为r ．（1）如图1，当r =①若1(0,1)A 是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为__________．②2(1A +是否为⊙C 的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）．（2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ， ①当1r =，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．②当k =r 的取值范围．（3）若存在r的值使得直线y b =+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的点”，直接写出b 的取值范围．x解：（1．………………………………………………………………………… 1分②是．……………………………………………………………………………2分（2）①如图9，当r =1时，不妨设直线QM 与⊙C 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM ⊥CM ． ∵ (1,0)Q -，(1,0)C ，r =1， ∴ 2CQ =，1CM =． ∴MQ =此时2MQk CQ== 3分②如图10，若直线QM 与⊙C 不相切，设直线QM 与⊙C 的另一个交点为N （不妨设QN ＜QM ，点N ，M 在x 轴下方时同理）．作CD ⊥QM 于点D ，则MD=ND ．∴ ()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ +=++=+=． ∵ 2CQ =， ∴ 2MQ NQ DQk DQ CQ CQ+===．∴ 当k DQ =此时1CD ==．假设⊙C 经过点Q ，此时r = 2． ∵ 点Q 在⊙C 外，∴ r 的取值范围是1≤r ＜2． …………………………………………… 5分图9 图10（3）b ＜ 7分 15. （2018北京怀柔区一模）P 是⊙C 外一点，若射线．．PC 交⊙C 于点A ，B 两点，则给出如下定义：若0＜PA ⋅PB ≤3，则点P 为⊙C 的“特征点”． (1)当⊙O 的半径为1时．①在点P 1（2,0）、P 2（0,2）、P 3（4，0）中，⊙O 的“特征点”是；②点P 在直线y=x+b 上，若点P 为⊙O 的“特征点”．求b 的取值范围；(2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y=x+1与x轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段MN 上的所有点都不是．．．⊙C 的“特征点”，直接写出点C 的横坐标的取值范围．解：(1)①P 1（2,0）、P 2（0,2）…………………………………………………………………2分 ②如图，在y=x+b 上，若存在⊙O 的“特征点”点P ，点O 到直线y=x+b 的距离m ≤2. 直线y=x+b 1交y 轴于点E ，过O 作OH ⊥直线y=x+b 1于点H.因为OH=2，在Rt △DOE 中，可知OE=22.可得b 1=22.同理可得b 2=-22.∴b 的取值范围是:22-≤b ≤22. …………………………………………………6分(2)x>3或 3-<x . …………………………………………………………………………8分16. （2018北京平谷区中考统一练习）在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y ≠，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.（1）已知点A （2,0），B （0,23），则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_______；（2）若点C （1,2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O 的半径为2，点P 的坐标为(3,m ) .若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．解：（1）60； ······························································································ 1 （2）∵以CD 为边的“坐标菱形”为正方形， ∴直线CD 与直线y =5的夹角是45°．过点C 作CE ⊥DE 于E ．∴D （4,5）或()2,5-． (3)∴直线CD 的表达式为1y x =+或3y x =-+． (5)（3）15m ≤≤或51m -≤≤-． (7)17．（2018北京顺义区初三练习）如图1，对于平面内的点P 和两条曲线1L 、2L 给出如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与1L 、2L 交于1Q 、2Q ，总有12PQ PQ 是定值，我们称曲线1L 与2L “曲似”，定值12PQ PQ 为“曲似比”，点P 为“曲心”．例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为1r 、2r （都是常数）的两个同心圆1C 、2C ，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因为总有12''r O M O N r =是定值，所以同心圆1C 与2C 曲似，曲似比为12r r ，“曲心”为O'．（1）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与抛物线2y x =、212y x =分别交于点A 、B ，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；（2）在（1）的条件下，以O 为圆心，OA 为半径作圆，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，是否存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；（3）在（1）、（2）的条件下，若将“212y x =”改为“21y x m=”，其他条件不变，当存在⊙O 与直线BC 相切时，直接写出m 的取值范围及k 与m 之间的关系式．图2C 2C 1NMO'图1Q 2Q 1L 2L 1P解：（1）是．过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为D ，C ．（3）m 的取值范围是m ＞1，k 与m 之间的关系式为k 2=m 2-1 ． ……… 8分18、（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）对于平面直角坐标系xOy 中的点P ，给出如下定义：记点P 到x 轴的距离为1d ，到y 轴的距离为2d ，若12d d ≥，则称1d 为点P 的最大距离；若12d d <，则称2d 为点P 的最大距离.例如：点P （3-，4）到到x 轴的距离为4，到y 轴的距离为3，因为3 < 4，所以点P 的最大距离为4.（1）①点A （2，5-）的最大距离为；②若点B （a ，2）的最大距离为5，则a 的值为；（2）若点C 在直线2y x =--上，且点C 的最大距离为5，求点C 的坐标；（3）若⊙O 上存在．．点M ，使点M 的最大距离为5，直接写出⊙O 的半径r 的取值范围.xy –1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O解：（1）①5……………………… 1分②5±……………………… 3分（2）∵点C 的最大距离为5，∴当5x <时，5y =±，或者当5y <时，5x =±. ………………4分分别把5x =±，5y =±代入得：当5x =时，7y =-，当5x =-时，3y =，当5y =时，7x =-，当5y =-时，3x =，∴点C （5-，3）或（3，5-）.……………………… 5分（3）5r ≤≤…………………………………7分19、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）在平面直角坐标系xOy 中，点A （0, 6），点B 在x轴的正半轴上. 若点P ,Q 在线段AB 上，且PQ 为某个一边与x 轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P ,Q 的“X 矩形”. 下图为点P ,Q 的“X 矩形”的示意图. （1）若点B （4,0），点C 的横坐标为2，则点B ,C 的“X 矩形”的面积为 . （2）点M ，N 的“X 矩形”是正方形，① 当此正方形面积为4，且点M 到y 轴的距离为3时，写出点B 的坐标，点N 的坐标及经过点N 的反比例函数的表达式；② 当此正方形的对角线长度为3，且半径为r 的⊙O 与它没有交点，直接写出r 的取值范围 .备用图答案：（1）6； …………………………………………………………………………1分（2）① B （6,0） ………………………………………………………………………2分N （1,5）或N （5,1） …………………………………………………………4分xy 5=； ……………………………………………………………………………5分 ② 23230-<<r 或229>r . …………………………………………………8分20、（2018北京东城第一学期期末）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形G ，若在图形G 上存在一点N ，使M ，N 两点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点．（1）当⊙O 的半径为3时，在点P 1（1,0），P 231），P 3（72,0），P 4（5,0）中，⊙O 的和睦点是________；（2）若点P （4,3）为⊙O 的和睦点，求⊙O 的半径r 的取值范围；（3）点A 在直线y =﹣1上，将点A 向上平移4个单位长度得到点B ，以AB 为边构造正方形ABCD ，且C ，D 两点都在AB 右侧．已知点E 22，若线段OE 上的所有点都是正方形ABCD 的和睦点，直接写出点A 的横坐标A x 的取值范围．y x6715325432-1-16O 14xy B A 715325432-1-16O 14PQ答案：解：（1）P 2，P 3； ………………2分（2）由勾股定理可知，OP =5，以点O 为圆心，分别作半径为4和6的圆，分别交射线OP 于点Q ，R ，可知PQ =PR =1，此时P 是⊙O 的和睦点；若⊙O 半径r 满足0<r <4时，点OP -r >1，此时，P 不是⊙O 的和睦点；若⊙O 半径r 满r >6时，r -OP >1，此时，P 也不是⊙O 的和睦点；若⊙O 半径r 满足4<r <6时，设⊙O 与射线OP 交于点T 即PT <1时，可在⊙O 上找一点S ，使PS =1，此时P 是⊙O 的和睦点；综上所述，46r ≤≤． ………………4分（3）523A x --≤≤， 211A x ≤≤． ………………8分21、（2018北京丰台区第一学期期末）28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：如果⊙C 的半径为r ，⊙C 外一点P 到⊙C 的切线长小于或等于2r ，那么点P 叫做⊙C 的“离心点”.（1）当⊙O 的半径为1时，①在点P 1（123），P 2（0，－2），P 350）中，⊙O 的“离心点”是；②点P （m ，n ）在直线3y x =-+上，且点P 是⊙O 的“离心点”，求点P 横坐标m 的取值范围；（2）⊙C 的圆心C 在y 轴上，半径为2，直线121+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B . 如果线段AB 上的所有点都是⊙C 的“离心点”，请直接写出圆心C 纵坐标的取值范围.解：（1）①2P ，3P ； ……2分②设P （m ,－m ＋3），则()5322=+-+m m . …3分解得11=m ，22=m . ……4分故1≤m ≤2. ……6分（2）圆心C 纵坐标C y 的取值范围为：521-≤C y ＜51-或3＜C y ≤4. ……8分22、（2018年北京海淀区第一学期期末）对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点Q （点Q 可以与点P 重合），且12PAQA≤≤，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”．已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标________；（2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan 2BAO ∠=，求点B 的纵坐标t 的取值范围；（3）直线y b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．解：（1）（2，0）(答案不唯一). ………………1分（2）如图，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，且使得1tan 2OAM ∠=，并在AM 上取点N ，使AM =MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N ''，则由题意，线段MN 和M N ''上的点是满足条件的点B . 作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ，∴ ∠MHA =90°，即∠OAM +∠AMH =90°. ∵ AC 是⊙O 的直径，∴ ∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°. ∴ ∠OAM =∠HMC .∴ 1tan tan 2HMC OAM ∠=∠=. ∴12MH HC HA MH ==. 设MH y =，则2AH y =，12CH y =， ∴ 522AC AH CH y =+==，解得45y =，即点M 的纵坐标为45.又由2AN AM =，A 为（-1，0），可得点N 的纵坐标为85，故在线段MN 上，点B 的纵坐标t 满足：4855t ≤≤. ……………3分由对称性，在线段M N ''上，点B 的纵坐标t 满足：8455t -≤≤-.……………4分∴ 点B 的纵坐标t 的取值范围是8455t -≤≤-或4855t ≤≤.（3）41b -≤≤-或14b ≤≤- ………………7分23、（2018北京怀柔区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的横坐标为x ，纵坐标为2x ，满足这样条件的点称为“关系点”.(1)在点A (1,2)、B (2,1)、M (21，1)、N (1，21)中，是“关系点”的； (2)⊙O 的半径为1，若在⊙O 上存在“关系点”P ，求点P 坐标；xy–11–11GPO (3)点C 的坐标为(3，0)，若在⊙C 上有且只有一个．．．．．．“关系点”P ，且“关系点”P 的横坐标满足-2≤x≤2.请直接写出⊙C 的半径r 的取值范围．解：(1)A 、M . ……………………………………………………………………………………2分 (2)过点P 作PG ⊥x 轴于点G …………………………………………………………………3分设P （x ，2x ）∵OG 2+PG 2=OP 2 ………………………………………………………………………………4分 ∴x 2+4x 2=1 ∴5x 2=1∴x 2=51∴x =55±∴P (55，552)或P (55-，552-)……………………………………………………5分(3)r =556或 4117≤<r …………………………………………………………7分24、（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷）以点P 为端点竖直向下的一条射线PN ，以它为对称轴向左右对称摆动形成了射线1PN ，2PN ，我们规定：12N PN ∠为点P 的“摇摆角”，射线PN 摇摆扫过的区域叫作点P 的“摇摆区域”（含1PN ，2PN ）. 在平面直角坐标系xOy 中，点(2,3)P .（1）当点P 的摇摆角为60︒时，请判断(0,0)O 、(1,2)A 、(2,1)B 、(20)C 属于点P的摇摆区域内的点是______________________（填写字母即可）；（2）如果过点(1,0)D ，点(5,0)E 的线段完全在点P 的摇摆区域内，那么点P 的摇摆角至少为_________°；（3）⊙W 的圆心坐标为(,0)a ，半径为1，如果⊙W 上的所有点都在点P 的摇摆角为60︒ 时的摇摆区域内，求a 的取值范围．备用图解：（1）点B ，点C ； …………………………………………2分（2）90°………………………………………………………3分（3）当⊙W 运动到摇摆角的内部，与PF 左边的射线相切时如图28-1∵点(2,3)P 的摇摆角为60° ∴30KPF ∠=︒，3PF =在Rt △PFK 中， tan tan 30KFKPF PF∠=∠︒=在可求得KF =∵30KPF ∠=︒，∴60PKF ∠=︒在Rt △PFK 中， sin sin 60QW QKF KW∠=∠︒=，可求得KW =∴22OW OF KF KW =-+=当⊙W 运动到摇摆角的内部，与PF 右边的射线相切时如图28-2同理可求得OW∴2a ≤xx25、（2018北京密云区初三（上）期末）已知在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G,给出如下的定义：若在图形G 上存在一点Q ,使得Q P 、之间的距离等于1，则称P 为图形G 的关联点. （1）当O 的半径为1时，①点11(,0)2P,2P ,3(0,3)P中，O 的关联点有_____________________.②直线经过（0，1）点，且与y 轴垂直，点P 在直线上.若P 是O 的关联点，求点P 的横坐标x 的取值范围.（2）已知正方形ABCD 的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直.若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r 的取值范围.备用图备用图答案：（1）12P P 、 ………2分（2）如图，以O 为圆心，2为半径的圆与直线y=1交于12,P P 两点.线段12P P 上的动点P （含端点）都是以O 为圆心，1为半径的圆的关联点.故此x ≤≤P2P1yx-5-4-3-154321-5-4-3-2-15432-2O O1…………………………………………………………6分（3）由已知，若P为图形G的关联点，图形G必与以P为圆心1为半径的圆有交点.正方形ABCD边界上的点都是某圆的关联点∴该圆与以正方形边界上的各点为圆心1为半径的圆都有交点故此，符合题意的半径最大的圆是以O为圆心，3为半径的圆；符合题意的半径最小的圆是以O为圆心，221-为半径的圆.综上所述，2213r-≤≤.………………………..8分26、（2018北京平谷区第一学期期末）在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”．（1）以O为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点”；（2）点M,N是一对“互换点”，点M的坐标为(m,n)，且(m＞n)，⊙P经过点M,N．①点M的坐标为(4,0)，求圆心P所在直线的表达式；②⊙P的半径为5，求m－n的取值范围．解：（1）答案不唯一，如：（4,3），（3,4）； (2)（2）①连结MN ，∵OM =ON =4，∴Rt △OMN 是等腰直角三角形．过O 作OA ⊥MN 于点A ，∴点M ,N 关于直线OA 对称． .......................................................... 3 由圆的对称性可知，圆心P 在直线OA 上． ................................. 4 ∴圆心P 所在直线的表达式为y=x ． ................................................. 5 ②当MN 为⊙P 直径时，由等腰直角三角形性质，可知m －n =52； ..... 6 当点M ,N 重合时，即点M ,N 横纵坐标相等，所以m －n =0；.................. 7 ∴m －n 的取值范围是0＜m －n ≤52 . (8)27、（2018北京石景山区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为),(11y x ，点Q 的坐标为),(22y x ，且21x x ≠，21y y ≠，若PQ 为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x 轴平行，则称该等腰三角形为点P ，Q 的“相关等腰三角形”．下图为点P ，Q 的“相关等腰三角形”的示意图．．．．（1）已知点A 的坐标为)1,0(，点B 的坐标为)0,3(-，则点A ，B 的“相关等腰三角形”的顶角为_________°；（2）若点C 的坐标为)3,0(，点D 在直线34=y 上，且C ，D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD 的表达式；（3）⊙O 的半径为2，点N 在双曲线xy 3-=上．若在⊙O 上存在一点M ，使得点M 、N 的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N 的横坐标N x 的取值范围．解：（1）120º； ……………………………………………………………2分（2）∵C ,D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，底角为60°，底边与x 轴平行，∴直线CD 与x 轴成60°角，与y 轴成30°角，通过解直角三角形可得D 的坐标为)343(，或)343(，-，进一步得直线CD 的表达式为33+=x y 或33+-=x y . …………………………………………5分（3）31N x -≤≤-或13N x ≤≤. ……………………8分28、（2018北京通州区第一学期期末）点P 的“d 值”定义如下：若点Q 为圆上任意一点，线段PQ 长度的最大值与最小值之差即为点P 的“d 值”，记为P d .特别的，当点P ，Q 重合时，线段PQ 的长度为0. 当⊙O 的半径为2时：（1）若点⎪⎭⎫⎝⎛-0,21C ，()4,3D ，则=C d _________，=D d _________；（2）若在直线22+=x y 上存在点P ，使得2=P d ，求出点P 的横坐标；（3）直线()033>+-=b b x y 与x 轴，y 轴分别交于点A ，B .若线段AB 上存在点P ，使得32<≤P d ，请你直接写出b 的取值范围.答案：29、（2018北京西城区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点．（1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________； ②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线DE 与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．答案：30、（2018北京昌平区二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A 、B 、C 我们给出如下定义：“横长”a ：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b ：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点.例如：点A (2-,0) ，点 B (1,1) ，点 C (1-, 2-)，则A 、B 、C 三点的 “横长”a =|1(2)--|=3，A 、B 、C 三点的“纵长”b =|1(2)--|=3. 因为a =b ，所以A 、B 、C 三点为正方点.（1）在点R (3，5) ，S (3，2-) ，T (4-，3-)中，与点A 、B 为正方点的是；（2）点P (0，t )为y 轴上一动点，若A ，B ，P 三点为正方点，t 的值为；BC –1–2–3–41234–1–2–3–41234AO xy（3）已知点D (1，0).①平面直角坐标系中的点E 满足以下条件：点A ，D ，E 三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点E 组成的图形；②若直线l ：12y x m =+上存在点N ，使得A ，D ，N 三点为正方点，直接写出m 的取值范围．（备用图）解：（1）点R ……………………… 1分（2）−2或3……………………… 3分（3）①画出如图所示的图像……………………… 5分②52m ≥或2m ≤-……………………… 7分31、（2018北京朝阳区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和直线m ，给出如下定义：若存在一点P ，使得点P 到直线m 的距离等于，则称P 为直线m 的平行点．（1）当直线m 的表达式为y =x 时，①在点P 1（1，1），P 2（0，2），P 3（22-，22）中，直线m 的平行点是； y xD O A–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345yxD O A–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345y DO A –1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345②⊙O 的半径为10，点Q 在⊙O 上，若点Q 为直线m 的平行点，求点Q 的坐标.（2）点A 的坐标为（n ，0），⊙A 半径等于1，若⊙A 上存在直线x y 3=的平行点，直接写出n 的取值范围．答案：（1）①P 2，P 3 (2)分② 解：由题意可知，直线m 的所有平行点组成平行于直线m ，且到直线m 的距离为1的直线.设该直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B .如图1，当点B 在原点上方时，作OH ⊥AB 于点H ，可知OH=1. 由直线m 的表达式为y =x ，可知∠OAB=∠OBA =45°. 所以OB=2.直线AB 与⊙O 的交点即为满足条件的点Q . 连接OQ 1，作Q 1N ⊥y 轴于点N ，可知OQ 1=10. 在Rt △OHQ 1中，可求HQ 1=3. 所以BQ 1=2.在Rt △BHQ 1中，可求NQ 1=NB=2.所以ON=22.所以点Q 1的坐标为（2，22）.同理可求点Q 2的坐标为（22-，2-）.……………………………4分如图2，当点B 在原点下方时，可求点Q 3的坐标为（22，2）点Q 4的坐标为（2-，22-）. ………………………………………………………6分综上所述，点Q 的坐标为（2，22），（22-，2-），（22，2），（2-，22-）.（2）334-≤n ≤334. ……………………………………………………………8分32、（2018北京东城区二模）研究发现，抛物线214y x =上的点到点F (0，1)的距离与到直线l ：1y =-的距离相等.如图1所示，若点P 是抛物线214y x =上任意一点，PH ⊥l 于点H ，则PH PF =.基于上述发现，对于平面直角坐标系x O y 中的点M ，记点M 到点P 的距离与点P 到点F 的距离之和的最小值为d ，称d 为点M 关于抛物线214y x =的关联距离；当24d ≤≤时，称点M 为抛物线214y x =的关联点.（1）在点1(20)M ，，2(12)M ，，3(45)M ，，4(04)M -，中，抛物线214y x =的关联点是______ ；（2）如图2，在矩形ABCD 中，点(1)A t ，，点(13)A t +，C ( t . ①若t =4，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线214y x =的关联距离d 的取值范围；②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线214y x =的关联点，则t 的取值范围是__________. (1) 12M M ，； -----------------------------------------------------------------2分（2）①当4t =时，()41A ，，()51B ，，()53C ，，()43D ，，此时矩形ABCD 上的所有点都在抛物线214y x =的下方， ∴.d MF =∴.AF d CF ≤≤∵=4=29AF CF ，，∴29.d 4≤≤ ---------------------------------------------------------------------------------- 5分②33 1.t --2≤≤2 ------------------------------------------------------------------------8分33、（2018北京房山区二模）已知点P ，Q 为平面直角坐标系xOy 中不重合的两点，以点P 为圆心且经过点Q 作⊙P ，则称点Q 为⊙P 的“关联点”，⊙P 为点Q 的“关联圆”. （1）已知⊙O 的半径为1，在点E （1，1），F （－12，32 ），M （0，－1）中，⊙O 的“关联点”为；（2）若点P （2，0），点Q （3，n ），⊙Q 为点P 的“关联圆”，且⊙Q 的半径为 5 ，求n的值；（3）已知点D （0，2），点H （m ，2），⊙D 是点H 的“关联圆”，直线443y x =-+与 x 轴，y 轴分别交于点A ，B . 若线段AB 上存在⊙D 的“关联点”，求m 的取值范围. 解：（1）① F ，M.………………………………………………………………………2′（注：每正确1个得1分）（2）如图1，过点Q 作QH ⊥x 轴于H . ∵PH =1，QH =n ，PQ =5 ∴由勾股定理得，PH 2+QH 2=PQ 2 即(22215n +=解得，2n =或－2. ………………………………………………………4′（3）由443y x =-+，知A （3，0），B （0，4） ∴可得AB =5I. 如图2（1），当⊙D 与线段AB 相切于点T 时，连接DT .则DT ⊥AB ，∠DTB =90° ∵OA DTsin OBA AB BD∠== ∴可得DT =DH 1=65∴165m =…………………………………………………5′ II. 如图2（2）, 当⊙D 过点A 时，连接AD .由勾股定理得DA =OD 2+OA 2=DH 2=13 ……………………6′ 综合I ，II 可得：6135m -≤≤-或6135m ≤≤………………………………8′34、（2018北京丰台区二模）在平面直角坐标系xOy 中，将任意两点()11,y x P 与()22y x Q，之间的“直距”定义为：2121y y x x D PQ-+-=.例如：点M （1，2-），点N （3，5-），则132(5)5MND =-+---=.yxT 图21()D BAOH 1yxD BAOH 2已知点A (1，0)、点B (-1，4). （1）则_______=AOD ，_______=BO D ；（2）如果直线AB 上存在点C ，使得CO D 为2，请你求出点C 的坐标；（3）如果⊙B 的半径为3，点E 为⊙B 上一点，请你直接写出EO D 的取值范围.答案. （1）1AO D =，5BO D =；（2）如图：解法1：由点A 和点B 坐标可得，直线AB 的解析式为y =-2x +2.设点C 的坐标为（x ，-2x +2），则222x x +-+=，则点C 的坐标为（0，2）或42(,)33-.解法2：由点A 和点B 坐标可得，直线AB 的解析式为y =-2x +2.点C 与点O 之间的“直距CO D ”为2的运动轨迹为以点O 为中心、对角线分别位于坐标轴上、对角线长度为4的正方形.设点C 的坐标为（x ，-2x +2），则利用直线解析式可求得，点C 的坐标为（0，2）或42(,)33-. ………………5分（3）EO D 的取值范围为45EO D -≤≤+7分35、（2018北京海淀区二模）对某一个函数给出如下定义：若存在实数k ，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点1(,)a b ，2(1,)a b +，21b b k -≥都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k 中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数2y x =-+，当x 取值a 和1a +时，函数值分别为12b a =-+，21b a =-+，故211b b k -=-≥，因此函数2y x =-+是限减函数，它的限减系数为1-．（1）写出函数21y x =-的限减系数；（2）0m >，已知1y x=（1,0x m x -≤≤≠）是限减函数，且限减系数4k =，求m 的取值范围．（3）已知函数2y x =-的图象上一点P ，过点P 作直线l 垂直于y 轴，将函数2y x =-的图象在点P 右侧的部分关于直线l 翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数1k ≥-，直接写出P 点横坐标n 的取值范围．答案28．解：（1）函数21y x =-的限减系数是2；（2）若1m >，则10m ->，（1m -，11m -）和（m ，1m ）是函数图象上两点，11101(1)m m m m -=-<--，与函数的限减系数4k =不符，∴1m ≤．若102m <<，（1t -，11t -）和（t ，1t）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则0t m <≤，1111(1)t t t t -=---，∵(1)0t t -->，且2211111(1)()()24244t t t m --=--+≤--+<，∴1141t t ->-，与函数的限减系数4k =不符. ∴12m ≥．若112m ≤≤，（1t -，11t -）和（t ，1t）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则0t m <≤，1111(1)t t t t -=---，∵(1)0t t -->，且2111(1)()244t t t --=--+≤，∴11141(1)t t t t -=≥---，当12t =时，等号成立，故函数的限减系数4k =． ∴m 的取值范围是112m ≤≤．（3）11-n ≤≤．36．（2018北京市东城区初二期末）定义：任意两个数,a b ，按规则c ab a b =++扩充得到一个新数c ，称所得的新数c 为“如意数”.（1）若1,a b =直接写出,a b 的“如意数”c ；（2）如果4,a m b m =-=-,求,a b 的“如意数”c ，并证明“如意数” 0c ≤（3）已知2=1(0)a x x -≠，且,a b 的“如意数”3231,c x x =+-，则b =(用含x 的式子表示) .解：（1） 1.2c =分2224,(4)()(4)()44444(m 2)05a m b mc m m m m m m c m m c （2）分分=-=-∴=-⨯-+-+-=-+-=-+-=--∴≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅26b x =+（3）分37.（2018北京市平谷区初二期末）对于实数a ，我们规定：用符号[]a 表示不大于a 的最大整数，称[]a 为a 的根整数，例如：[]39=，[]310=.(1)仿照以上方法计算：[]=4_______;[]=26________.（2）若[]1=x ，写出满足题意的x 的整数值______________.如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止.例如：对10连续求根整数2次[][]13310=→=，这时候结果为1.（3）对100连续求根整数，______次之后结果为1.（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是________. 解：(1)2, 5 (2)1,2,3 (3) 3 (4)25538.（2018北京市顺义区八年级期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.（1）下列分式: ①211x x -+；②222a b a b --；③22x y x y +-；④222()a b a b -+. 其中是“和谐分式”是(填写序号即可)；（2）若a 为正整数，且214x x ax -++为“和谐分式”，请写出a 的值;（3）在化简22344a a bab b b -÷-时，小东和小强分别进行了如下三步变形:小东：22344=a a ab b b b -⨯-原式223244a a ab b b =--()()222323244a b a ab b ab b b --=- 小强：22344=a a ab b b b -⨯-原式 ()22244a a b a b b =--()()2244a a a b a b b --=- 显然，小强利用了其中的和谐分式, 第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：，请你接着小强的方法完成化简. 解：（1）②………………1分。

四川省南充市南充高级中学2024-2025学年高三上学期10月检测数学试题(含答案)

南充高中高2023级上期第一次月考数学试卷考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效．4．考试结束后将答题卡交回．一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．“”是“”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设l ，m 是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法正确的是（）A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则3．若，则（）ABC ．D ．4．如图，在正方体中，M ,N 分别为DB，的中点，则直线和BN 夹角的余弦值为（）ABC ．D ．sin θ=π4θ=αβγl α∥m α∥l m ∥l α∥l β∥αβ∥l α⊥m α⊥l m∥αγ⊥βγ⊥αβ∥sin 2αα-+=()tan πα-=1111ABCD A B C D -11AC 1A M 23135．在三棱锥中，，则是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形6．杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮踪”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中．若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（）A．B ．C ．D ．7．已知函数，若正实数a ，b 满足，则的最小值为（）A ．1B ．3C ．6D ．98．已知正三棱锥的六条棱长均为6，S 是及其内部的点构成的集合．设集合，则集合T 所表示的曲线长度为（）A ．B ．CD ．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部份分分，有选错的得0分．）9．函数的部分图象如图所示，则（）A ．B ．C ．的图象关于点对称D ．在区间上单调递增10．对于随机事件A 和事件B ，,，则下列说法正确的是（）A ．若A 与B 互斥，则B ．若A 与B 互斥，则C ．若A 与B 相互独立，则D ．若A 与B 相互独立，则11．如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 在平面互相垂直，动点M ,N 分别在正方形对S ABC -()()20SC SA BS SC SA ++-=ABC △38295934()3f x x =()()490f a f b +-=11a b+P ABC -ABC △{}5T Q S PQ =∈=5π2ππ()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭2ω=π6ϕ=()f x π,012⎛⎫⎪⎝⎭()f x 5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭()0.3P A =()0.4P B =()0.3P AB =()0.7P A B = ()0.12P AB =()0.7P A B =角线AC 和BF 上移动，且，则下列结论中正确的有（）A ．，使B ．线段MN存在最小值，最小值为C ．直线MN 与平面ABEF 所成的角恒为45°D ．，都存在过MN 且与平面BEC 平行的平面三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．)12．复数的共轭复数______．13．已知向量,,,当时，向量在向量上的投影向量为______．（用坐标表示）14．已知在中，满足,点M 为线段AB 上的一个动点，若的最小值为-3，则BC 边的中线长为______．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）如图,四边形ABCD 为矩形,且,,平面ABCD ,,E 为BC 的中点．（1）求证：；（2）求四棱锥的外接球体积．16．（15分）的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知．（1）求角A 的值；（2）若，，求b ,c ．17．（15分）全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与(0CM BN a a ==<<(a ∃∈12MN CE=23(a ∀∈2i12iz +=-z =()2,1,1a =- ()1,,1b x = ()1,2,1c =-- a b ⊥b c ABC △34AB ACAB AC +=MA MC ⋅ 2AD =1AB =PA ⊥1PA =PE DE ⊥P ABCD -ABC △cos cos a B b A b c -=+a =ABC △“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为,,，在实践技能考试中“合格”的概率依次为,,，所有考试是否合格互不影响．（1）求甲没有获得执业医师证书的概率；（2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率．18．（17分）为深入学习贯彻习近平总书记关于禁毒工作重要指示精神，切实落实国家禁毒委员会《关于加强新时代全民禁毒宣传教育工作的指导意见》，巩固青少年毒品预防教育成果，大力推进防范青少年滥用涉麻精药品等成瘾性物质宣传教育活动，进一步增强青少年学生识毒防毒拒毒意识和能力，某市每年定期组织同学们进行禁毒知识竞赛活动，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：,,…，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．19．（17分）如图，三棱柱中，，且与均为等腰直角三角形，．（1）若为等边三角形，证明：平面平面ABC ；(2)若二面角的平面角为，求以下各值：①求点到平面的距离；②求平面与平面所成角的余弦值．453423122323[)40,50[)50,60[]90,100[)50,60[)60,70z 2s 111ABC A B C -2AB =ABC △1ABA △1π2ACB AA B ∠=∠=1A BC △1AAB ⊥1A AB C --π31B 1ACB 11B AC 1ACB南充高中高2023级上期第一次月考数学试卷参考答案题号1234567891011选项BCACDBABACDBCAD12．-i 13． 1415．【详解】(1)连结AE ,∵E 为BC 的中点,,∴为等腰直角三角形,则,同理可得,∴,∴,又平面ABCD ,且平面ABCD ,∴,又∵,∴平面PAE ,又平面PAE ,∴．(2)∵平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形∴的外接球直径∴,故：∴四棱锥．16．【答案】(1)(2)2，2【分析】（1）∵，由正弦定理可得：,∵,∴，即，∵，∴，∵，∴．（2）由题意，，所以，由，得，所以，解得：．17．【详解】（1）记甲，乙，丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件，，，在实践考试中合格依次为，，，设甲没有获得执业医师证书的概率为P．()1,2,1-1EC CD ==DCE △45DEC ∠=︒45AEB ∠=︒90AED ∠=︒DE AE ⊥PA ⊥DE ⊂PA DE ⊥AE PA A = DE ⊥PE ⊂DE PE ⊥PA ⊥P ABCD -2R R =3344ππ33V R ===P ABCD -2π3cos cos a B b A b c -=+sin cos sin cos sin sin A B B A B C -=()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin cos sin cos sin sin cos cos sin A B B A B A B A B -=++2sin cos sin B A B -=sin 0B ≠1cos 2A =-()0,πA ∈2π3A =1sin 2ABC S bc A ===△4bc =222222cos a b c bc A b c bc =+-=++()2216b c a bc +=+=4b c +=2b c ==1A 1B 1C 2A 2B 2C ()1241311525P P A A =-=-⨯=（2）甲、乙、丙获得执业医师证书依次为，，，并且与，与，与相互独立，则,,由于事件，，彼此相互独立，“恰有两人获得执业医师证书”即为事件：，概率为18．【答案】(1)0.030 (2)84 (3)平均数为62；方差为23【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1得，，解得．（2）成绩落在内的频率为，落在内的频率为，显然第75百分位数，由，解得，所以第75百分位数为84；（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，所以；由样本方差计算总体方差公式，得总方差为19．【答案】(1)见解析【分析】（1）设AB 的中点为E ，连接CE ，,如图所示，因为与均为等腰直角三角形，，故,且,,因为为等边三角形，故,12A A 12B B 12C C 1A 2A 1B 2B 1C 2C ()12412525P A A =⨯=()12321432P B B =⨯=()12224339P C C =⨯=12A A 12B B 12C C ()()()()()()()()()121212121212121212A A B B C C A A B B C C A A B B C C ++21421421411115295295293P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0.050.10.2100.250.11a +++++=0.030a =[)40,800.050.10.20.30.65+++=[)40,900.050.10.20.30.250.9++++=()80,90m ∈()0.65800.0250.75m +-⨯=84m =[)50,601000.110⨯=[)60,701000.220⨯=10562065621020z ⨯+⨯==+()(){}222110756622046562231020s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦+1A E ABC △1ABA △1π2ACB A AB ∠=∠=cos 45BC AB ==︒=CE AB ⊥112CE AB ==1112A E AB ==1A BC △1AC BC ==故,即,且AB ，平面，，故平面,且平面ABC ，故平面平面ABC ．（2）①由（1）知，，,且平面平面,故即二面角的平面角，即，故为等边三角形，则，因为，,,且CE ，平面,所以平面设线段中点为F ,则,,而AB ，平面∴平面,又在三角形中易知：∴又在三角形中，由，，又由知：∴求点到平面．②由①知，平面,而,故平面,且平面,故，则,设和的中点分别为M ,N ,连接MN ，BN ，BM ,则,，故,又因为故，且平面,平面,22211AC CE A E =+1CE A E ⊥1A E ⊂1AA B 1A E AB E = CE ⊥1AA B CE ⊂1AA B ⊥CE AB ⊥1A E AB ⊥1AA B ABC AB =1CEA ∠1A AB C --1π3CEA ∠=1CEA △11CA CE ==CE AB ⊥1A E AB ⊥1A E CE E = 1A E ⊂1CA E AB ⊥1CA E 1A E 1CF A E ⊥AB CF ⊥1A E ⊂11ABB A CF ⊥11ABB A 1CEA △CF =1111111332A BB VC A BB CF S -=⋅==△1A BC 11AC =1BC A B ==1A BC S =△1111113C A BB B A BC A BC V V S d --==⋅⋅△d =1B 1ACB AB ⊥1CA E 1AB A B ∥11A B ⊥1CA E 1AC 1CA E 111A B AC ⊥1B C ==1AC 1B C 11MN A B ∥11112MN A B ==1MN AC ⊥1BC A B ==1BM AC ⊥MN ⊂11A B C BM ⊂1A BC故∠BMN 即二面角-的平面角，且因为，故,则所以．故平面与平面．11B AC B --MN ===11BB AA BC ===1BN B C ⊥BN ===222cos 2BM MN BN BMN BM MN +-∠===⋅11B AC 1ACB。

2024届天津市南开中学高三上学期12月月考英语试题及答案

南开中学2024届高三第二次月检测英语学科试卷时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分，共150分。

考试结束后，将答题卡与答题纸一并交回。

第Ⅰ卷(共 115 分)第一部分：听力(20分)第一节(共5小题；每小题1分，满分5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你将有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. Where is the clock?A. Opposite the mirror.B. Above the shelves.C. On the desk.2. What will the bar provide this evening?A. Hot dogs.B. Tea.C. Sandwiches.3. What are the speakers probably talking about?A. An accident.B. A shop.C. A cyclist.4. What did the man do yesterday?A. he attended a party.B. He saw a film.C. He went out eating.5. What did the man think of the ending?A. Sad.B. Boring.C. Original.第二节 (共10小题,每小题1.5分, 满分 15 分)听下面 3 段材料，每段材料后有几个小题。

从题中所给的 ABC三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置，听每段材料前，你将有时间阅读各个小题。

每小题5 秒钟。

听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间，每段材料读两遍。

听下面一段对话，回答第6至第8小题。

6. What is“Priceless”?A. A quiz show.B. A game show.C. A chat show.17. What kind of film is“Let Him Go”probably?A. A sci-fi film.B. An adventure film.C. A comedy.8. What will the man probably do first?A. Prepare dinner.B. Watch a game.C. Finish the reports.听下面一段对话，回答第9至第11小题。

湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期第二次月考物理试题 Word版含解析

长郡中学2025届高三月考试卷（二）物理本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。

时量75分钟。

满分100分。

第I卷选择题（共44分）一、选择题（本题共6小题，每小题4分，共24分。

每小题只有一项符合题目要求）1. 2024年8月郑钦文斩获巴黎奥运会网球女单冠军。

关于网球运动中蕴含的力学知识，若忽略空气阻力，以下说法正确的是（）A. 球在空中飞行时，受重力和推力的作用B. 球撞击球拍时，球拍对球的力大于球对球拍的力C. 球的速度越大，惯性越大D. 球在空中飞行时，处于失重状态【答案】D【解析】【详解】A．球在空中飞行时，只受重力作用，不受推力，故A错误；B．球撞击球拍时，由牛顿第三定律可知球拍对球的力等于球对球拍的力，故B错误；C．球的惯性由质量决定，与速度无关，故C错误；D．球在空中飞行时，只受重力，则处于完全失重状态，故D正确。

故选D。

2. 探月工程中，“嫦娥三号”探测器的发射过程可以简化如下：卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经过P点时变轨进入距离月球表面100公里的圆形轨道1，在轨道1上经过Q点时变轨进入椭圆轨道2，轨道2与月球表面相切于M点，月球车将在M点着陆月球。

下列说法正确的是（）A. “嫦娥三号”在轨道1上的速度比月球的第一宇宙速度大B. “嫦娥三号”在地月转移轨道上经过P 点的速度比在轨道1上经过P 点时大C. “嫦娥三号”在轨道1上的运动周期比在轨道2上的小D. “嫦娥三号”在轨道1上经过Q 点时的加速度小于在轨道2上经过Q 点时的加速度【答案】B 【解析】【详解】A ．月球的第一宇宙速度等于近月轨道的环绕速度，根据解得由于轨道1的半径大于近月卫星的半径，则“嫦娥三号”在轨道1上的速度比月球的第一宇宙速度小，故A 错误；B ．地月转移轨道变轨到轨道1是由高轨道变轨到低轨道，需要在两轨道切点P 位置减速，即“嫦娥三号”在地月转移轨道上经过P 点的速度比在轨道1上经过P 点时大，故B 正确；C ．根据开普勒定律可知由于轨道1的半径大于轨道2的半长轴，则“嫦娥三号”在轨道1上的运动周期比在轨道2上的大，故C 错误；D ．根据解得22Mm v G m r r=v =33122212r a T T =2MmGma r =卫星与月心间距相等，加速度大小相等，即“嫦娥三号”在轨道1上经过Q 点时的加速度等于在轨道2上经过Q 点时的加速度，故D 错误。

2023-2024学年北京西城区八中高三(上)期中数学试题及答案

2023-2024学年度第一学期期中练习题年级：高三科目：数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合{|5}A x N x =∈≤与集合{|(2)0}B x x x =->，则A B =()A ．{2,3,4}B ．{3,4,5}C ．[2,5)D ．(2,5]2.复数2i12iz -=+的虚部为()A ．1B ．1-C ．iD ．i-3.下列函数中最小值为4的是()A.224y x x =++ B.4|sin ||sin |y x x =+C.222xxy -=+ D.4ln ln y x x=+4.在空间中，若,,a b c 是三条直线，,αβ是两个平面，下列判断正确的是()A ．若a 的方向向量与α的法向量垂直，则//a α；B ．若//a α，βα⊥，则a β⊥；C ．若αβ⊥，c αβ= ，a c ⊥，则a α⊥；D ．若,αβ相交但不垂直，c α⊂，则在β内一定存在直线l ，满足l c ⊥.5.“0x >”是“+sin 0x x >”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知向量a，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,a a b <+> =()A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19357.如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A .若函数x y a =(0a >且1a ≠)及log b y x =（0b >且1b ≠）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则,a b 满足()A.1a b << B.1b a << C.1b a >> D.1a b >>8.在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =()A ．31010B.1010C.1010-D .31010-9.某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,,a b c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.则哪种方案能通过考试的概率更大()A ．方案一B ．方案二C ．相等D ．无法比较10.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱11,AD B C 上的动点，设1,AE x B F y ==.若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是()A.[0,1]B.13[,]22C.[1,2]D.3[,2]2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l x ay ++=.若12l l ⊥，则实数a =.12.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑____________．13.函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移________个单位长度得到.14.已知直线:330l mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若||23AB =，则||CD =______.ABCD1D 1A 1B 1C E F15.对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P.（1）下列函数中具有性质P 的有.①()2f x x =-+②()sin f x x =([0,2])x π∈③1()f x x x=+，((0,))x ∈+∞④()ln(1)f x x =+（2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.(本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+.（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos 2cos sin b A b A a B =-，且02A π<<，求角A 的值，进而再求()f B 的取值范围.17.（本小题满分14分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，按照[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分组，并整理得到如下频率分布直方图：图1：甲大学图2：乙大学根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级:学习时间t (分钟/天)20t <2050t ≤<50t ≥等级一般爱好痴迷（Ⅰ）从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；（Ⅱ）从这两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（Ⅲ）试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值X 甲与X 乙的大小，及方差2S 甲与2S 乙的大小．(只需写出结论)18.（本小题满分14分）羡除是《九章算术》中记载的一种五面体.如图五面体ABCDEF ，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，其中EF ∥AD ∥BC ，4AD =，2EF BC AB ===，ED =M为AD 中点，平面BCEF 与平面ADEF 交于EF .再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得羡除ABCDEF 能够确定，然后解答下列各题：（Ⅰ）求证：BM ∥平面CDE ；（Ⅱ）求二面角B AE F --的余弦值.（Ⅲ）在线段AE 上是否存在点Q ，使得MQ 与平面ABE 所成的角的正弦值为77，若存在，求出AQ AE 的值，若不存在，请说明理由.条件①：平面CDE ⊥平面ABCD ；条件②：平面ADEF ⊥平面ABCD ；条件③：EC =.19.（本小题满分15分）已知椭圆22220:1()x y W a ba b +=>>的焦距为4，短轴长为2，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）设,,A B C 是椭圆W 上的三个点，判断四边形OABC 能否为矩形？并说明理由．20.（本小题满分15分）已知函数212)(1()e 2x f x ax x -=-+．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程；（Ⅱ）若函数()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围；（Ⅲ）若函数()f x 存在最小值，直接写出a 的取值范围．21.（本小题满分14分）设数阵111202122,a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中11122122,,,{1,2,,6}a a a a ∈⋅⋅⋅，设12{,,,}{1,2,,6},l S e e e =⋅⋅⋅⊆⋅⋅⋅其中*12, 6.l e e e l N l <<⋅⋅⋅<∈≤且定义变换k ϕ为“对于数列的每一行，若其中有k 或k -，则将这一行中每个数都乘以-1，若其中没有k 且没有k -，则这一行中所有数均保持不变”12(,,,).l k e e e =⋅⋅⋅0()s A ϕ表示“将0A 经过1e ϕ变换得到1A ，再将1A 经过2e ϕ变换得到2A ，⋅⋅⋅，以此类推，最后将1l A -经过le ϕ变换得到l A ”，记数阵l A 中四个数的和为0()s T A .（Ⅰ）若011A ⎛= ⎝25⎫⎪⎭，写出0A 经过2ϕ变换后得到的数阵1A ；（Ⅱ）若013A ⎛=⎝36⎫⎪⎭，{1,3},S =求0()s T A 的值；（Ⅲ）对任意确定的一个矩阵0A ，证明：0()s T A 的所有可能取值的和不超过4-.2023-2024学年度第一学期期中练习题答案年级：高三科目：数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）BBCDCDACAC二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.-3或012.21n n +13.23π14.415.①②④；(,](0,)e -∞-+∞ 三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）由题知111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+11=sin 2cos 222x x +2=sin(2)24x π+.由222242k x k ππππ-≤+≤π+（k ∈Z ），解得88k x k 3πππ-≤≤π+.所以()f x 单调递增区间为3[,]88k k πππ-π+（k ∈Z ）.……………6分（Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin cos 2sin cos sin sin B A B A A B =-.因为在三角形中sin 0B ≠，所以cos 2cos sin A A A =-.即(cos sin )(cos sin 1)0A A A A -+-=当cos sin A A =时，4A π=；当cos sin 1A A +=时，2A π=.由于02A π<<，所以4A π=.则3+4B C =π.则304B <<π.又2444B ππ7π<+<，所以1sin(214B π-≤+≤.由2())24f B B π=+，则()f B 的取值范围是2222⎡-⎢⎥⎣⎦，.………………13分17.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由图知，甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为(0.0300.0200.015)100.65++⨯=，所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为0.65.………3分（Ⅱ）甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.005102⨯⨯=人，乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.015106⨯⨯=人，所以，随机变量ξ的取值为0,1,2=ξ.所以，(0)==P ξ022628C C 1528C =，(1)==P ξ112628C C 123287C==，(2)==P ξ202628C C 128C =.所以ξ的分布列为ξ012P152837128ξ的数学期望为15311()012287282=⨯+⨯+⨯=E ξ.……………11分（Ⅲ）X <甲X 乙;22ss >甲乙……………13分（Ⅰ）等腰梯形ABCD M 是AD 中点MD BC ∴=MD BC∴∥∴平行四边形BCDM BM CD ∴∥BM ∉ 平面CDE CD ∈平面CDE BM ∴∥平面CDE .（Ⅱ）选②和选③，过程仅在建系之前有区别.选②：取BC 中点为N ，EF 中点为P ，连接MP 和MN平面ADEF ⊥平面ABCD 平面ADEF 平面ABCD AD = PM AD ⊥PM ∈ 平面ADEF PM ∴⊥平面ABCD MN AD ⊥ ，如图建系选③：取MD 中点Q ，连接CQ 和EQ EC = 3EQ=CQ =∴EQ CQ⊥∴二面角2E AD C π--=∴平面ADEF ⊥平面ABCD 取BC 中点为N ，EF 中点为P ，连接MP 和MN平面ADEF ⊥平面ABCD 平面ADEF 平面ABCD AD = PM AD ⊥PM ∈ 平面ADEF PM ∴⊥平面ABCD MN AD ⊥ ，如图建系(0,2,0)A-1,0)B-C (0,2,0)D (0,1,3)E (0,1,3)F -(0,0,0)M (1,0)BA =- (0,3,3)AE = 设平面BAE 的一个法向量(,,)n x y z =00n BA n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0330y y z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩令x =，则3y =-，3z =，则3,3)n =- 易知(1,0,0)m =-是平面AEF的一个法向量cos ,||||7m n m n m n ⋅<>==-经检验，B AE F --为钝角，所以二面角B AE F --的余弦值为77-（Ⅲ）设,[0,1]AQAEλλ=∈，(0,3,3)AQ AE λλλ== ，(0,32,3)MQ MA AQ λλ=+=- ||7|cos ,|7||||MQ n MQ n MQ n ⋅<>==⋅解得153λ±=,均不满足题意，故不存在点Q .解：（Ⅰ）由题意，椭圆W 的方程为2215x y +=.（Ⅱ）设:AC y kx m =+,1122(,),,(),C x A x y y AC 中点00(,)M x y ,33(,)B x y ，2222255(15)10550x y k x kmx m y kx m⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩，222(10)4(15)(55)0km k m ∆=-+->，1221015km x x k +=-+,21225515m x x k-=+.(1)由条件OA OC ⊥，得12120x x y y +=，即1212()()0x x kx m kx m +++=，整理得221212(1)()0k x x km x x m ++++=，将(1)式代入得2222(1)(55)(10)(15)0k m km km m k +-+-++=即22655m k =+(2)又20125215x x km x k +==-+,00215m y kx m k =+=+且M 同时也是OB 的中点,所以30302,2x x y y ==因为B 在椭圆上,所以223355x y +=，即02024205x y +=，222254()20(51515km m k k -+=++，所以22451m k =+(3)由(2)(3)解得2272,5k m ==，验证知222(10)4(15)(55)1200km k m ∆=-+-=>，所以四边形OABC 可以为矩形.20.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）111(0)e 22f e-=⋅=，∴切点为1(0,2e ，又21221()e ]2(1)[22(e 1)x x f x ax x x ax a a --+-'==+-，∴(0)0f '=，∴切线方程为102y e-=.（Ⅱ）定义域为R ，21()2(1)e x f x x ax a -'=+-1当0a =时，21()2e x f x x -'=-，令0()f x '>得0x <，∴()f x 增区间为(,0)-∞；令0()f x '<得0x >，∴()f x 增区间为(0,)+∞；∴()f x 在0x =取极大值，合题意.2当0a <时，由21()2(1)e 0x f x x ax a -'=-=+可得1210,0ax x a-==<，x 1(,)aa --∞1a a-1(,0)a a -0(0,)+∞()f x '-0+0-()f x 减极小值增极大值减∴()f x 在0x =处取得极大值，∴0a <合题意.3当0a >时，由21()2(1)e 0x f x x ax a -'=-=+可得1210,a x x a-==(i)当10aa-<即1a >时，()f x '，()f x 变化情况如下表：x 1(,)aa --∞1a a-1(,0)a a -0(0,)+∞()f x '+0-0+()f x 增极大值减极小值增∴()f x 在0x =处取得极小值，不合题意.(ii)当10aa-=即1a =时,()0f x '≥在R 上恒成立，∴()f x 在R 上增，无极大值点.北京八中2023-2024学年度第一学期期中练习题答案第6页，共6页(iii)当10a a->即01a <<时，()f x '，()f x 变化情况如下表：x(,0)-∞01(0,)a a -1a a -1(,)a a -+∞()f x '+0-0+()f x 增极大值减极小值增∴()f x 在0x =处取得极大值，∴01a <<合题意.综上可得：a 的取值范围是(,1)-∞（Ⅲ）1(0,]221.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）经过2f 变换111A æ-ç=ççè25ö-÷÷÷÷ø（Ⅱ）013A æç=ççè36ö÷÷÷÷ø经过1j 变换得到113A æ-ç=ççè36ö-÷÷÷÷ø经过3j 变换得到313A æç=ççè36ö÷÷÷÷-ø，所以0()13(3+S T A =++-）（-6)= -5（Ⅲ）因为集合S 共有含空集在内的子集64个，令00()A A f j =,对于第一行11a 和12a ①若1112a a =，则含11a 的子集有32个，这32个l A 中第一行为11a -，12a -；不含有11a 的子集有32个，这32个l A 中第一行为11a ，12a ，所有l A 中第一行的和为0。

北京市东城区2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题(含答案)

北京市东城区2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题1．已知集合，，则（）{}51A x x =-<≤{}29B x x =≤A B ⋃=A ．B ．C ．D ．[)3,1-[]3,1-(]5,3-[]3,3-2．已知函数()3sin 2f x x =，将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的解析式为（）A ．()π3sin 28g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()π3sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．D ．()π3sin 28g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()π3sin 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3．设0m n <<，则下列不等关系中不能成立的是（）A ．m n>B ．33m n<C ．11m n >D ．11m n m>-4．已知函数26()(1)f x x x =+-，则下列区间中含有()f x 的零点的是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)5．已知0.50.65log 0.5,5,0.5a b c ===，则（）A ．a c b<<B ．a b c <<C ．c<a<b D ．b<c<a 6．下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A ．2xy =B ．ln ||y x =C ．3y x =D ．tan y x=7．设x ∈R ，则“()10x x +>”是“01x <<”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设()f x 是奇函数，且在()0,∞+内是减函数，又()30f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（）A ．{30xx -<<∣或3}x >B ．{3xx <-∣或03}x <<C ．{30x x -<<∣或03}x <<D ．或{3xx <-∣3}x >9．已知函数()()1104f x x x x =++>，则（）A ．当且仅当12x =，时，()f x 有最小值32B ．当且仅当12x =时，()f x 有最小值2C ．当且仅当1x =时，()f x 有最小值32D ．当且仅当1x =时，()f x 有最小值.210．已知函数()y f x =图象是连续不断的，并且是R 上的增函数，有如下的对应值表A ．()00f <B ．当2x >时，()0f x >C ．函数()f x 有且仅有一个零点D ．函数()()g x f x x=+可能无零点11．函数(01)||x xa y a x =<<的图像的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．12．分贝（dB ）、奈培（Np ）均可用来量化声音的响度，其定义式分别为01dB =10lgA A ，011Np =ln 2A A ，其中A 为待测值，0A 为基准值．如果1dB =Np(R)t t ∈，那么t ≈（）（参考数据：lg e 0.4343≈）A ．8.686B ．4.343C ．0.8686D ．0.115二、填空题（本大题共6小题）13．命题“0x ∀>，20x>”的否定是．14．已知函数()38log xf x x=+，则13f ⎛⎫=⎪⎝⎭.15．函数()()ln 31x f x x +=+的定义域为.16．若函数()sin y A x ωϕ=+(0,0π)ωϕ>≤<的部分图象如图所示，则此函数的解析式为．17．已知函数21,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩，那么((3))f f -= ；当方程()f x a =有且仅有3个不同的根时，实数a 的取值范围是.18．设函数()f x 的定义域为D ，若()f x 满足：“1x D ∀∈，都存在2x D ∈，使得()()120f x f x +=”则称函数()f x 具有性质τ，给出下列四个结论：①函数()f x x =具有性质τ；②所有奇函数都具有性质τ；③若函数()f x 和函数都具有性质，则函数也具有性质；()g x τ()()f x g x +τ④若函数，具有性质，则.2()f x x a =+[2,1]x ∈-τ2a =-其中所有正确结论的序号是 .三、解答题（本大题共6小题）19．已知全集U =R ，{2A x x a =≤-或}x a ≥，{}250B x x x =-<．(1)当1a =时，求()U A B A B A B ⋂⋃⋂,,ð；(2)若A B B = ，求实数a 的取值范围．20．已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边经过点()1,3P -.(1)求sin2cos2tan2ααα、、的值；(2)求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭、πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(3)求sin 2cos 2cos 3sin αααα+-的值.21．设函数()2cos cos (02)f x x x x ωωωω=⋅+<<，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎣⎦上的值域；(3)求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间.条件①：函数()f x 的图象经过点5π1,122⎛⎫⎪⎝⎭；条件②：函数()f x 的图象的一条对称轴为π6x =；条件③：函数()f x 的图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2.22．已知函数()24x f x x =+.(1)判断函数()f x 奇偶性，并证明你的结论；(2)判断函数()f x 在()0,2上的单调性，并证明你的结论；(3)若在区间[]2,0-上不等式()f x m >恒成立，求m 的取值范围.23．函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭部分图象如图所示,已知41πx x -=.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 的最小正周期和对称轴方程；(3)设0α>,若函数()()g x f x α=+为奇函数,求α的最小值.条件①：1π12x =；条件②：2π6x =；条件③.3π2x =注：如果选择多个条件组合分别解答,则按第一个解答计分.24．设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A=∈且}u v ≠为集合A 的生成集．(1)当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；(2)若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．答案1．【正确答案】C【分析】解29x ≤得出集合B ，然后根据并集的运算，即可得出答案.【详解】解29x ≤可得，33x-≤≤，所以{}3|3B x x =-≤≤.所以，{}{}{}51|3353A B x x x x x x ⋃=-<≤⋃-≤≤=-<≤.故选：C.2．【正确答案】B【分析】根据平移变换的性质即可求解.【详解】将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移π8个单位长度，得到ππ33si 2πn 88sin(24f x x x ⎛⎫⎛-=⎫=- ⎪⎪- ⎝⎭⎝⎭，故()π3sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选：B3．【正确答案】D【分析】利用不等式的性质判断ABC ，举反例判断 D.【详解】对于A ：0m n << ，0m n ∴->->，即m n>，A 正确；对于B ：0m n << ，33m n ∴<，B 正确；对于C ：0m n << ，0mn ∴>，m n mn mn ∴<，即11m n >，C 正确；对于D ：取2,1m n =-=-，满足0m n <<，但11112m n m =-<=--，D 错误.故选：D.4．【正确答案】B 【分析】先判断26()(1)f x x x =+-在(0,)+∞上递增，再根据零点存在性定理求解即可.【详解】因为函数26(,1)y x x y +==-在(0,)+∞上都递增，所以26()(1)f x x x =+-在(0,)+∞上递增，又因为()260(1)(11)201f f <=+-=-<，()4(3)f f >>26(2)(21)602f =+-=>，所以()1(2)0f f <，所以区间(1,2)含有()f x 的零点，故选：B.5．【正确答案】A【分析】利用指对数函数性质判断大小关系即可.【详解】由0.600.5055log 0.5log 100.55150.5a c b <==<=<<===，即a c b <<.故选：A6．【正确答案】C【分析】利用指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质、幂函数的图象与性质、正切函数的图象与性质分析即可得解.【详解】解：对于选项A ，指数函数2xy =是非奇非偶函数，故A 错误；对于选项B ，函数ln ||y x =是偶函数，故B 错误；对于选项C ，幂函数3y x =既是奇函数，又是定义域R 上的增函数，故C 正确；对于选项D ，正切函数tan y x =在每个周期内是增函数，在定义域上不是增函数，故D 错误.故选：C.7．【正确答案】B【分析】根据题意解出不等式比较两范围大小即可得出结果.【详解】解不等式()10x x +>可得0x >或1x <-；显然{}1|0x x <<是{0xx 或}1x <-的真子集，所以可得“()10x x +>”是“01x <<”的必要不充分条件.故选：B8．【正确答案】D【分析】根据题意，得到函数()f x 在(0,)+∞为减函数，且()30f =，结合不等式()0x f x ⋅<，分类讨论，即可求解.【详解】由函数()f x 是奇函数，且在()0,∞+内是减函数，可得函数()f x 在(),0∞-为减函数，又由()30f -=，可得()()330f f =--=，因为不等式()0x f x ⋅<，当0x >时，则()0f x <，解得3x >；当0x <时，则()0f x >，解得3x <-，所以不等式()0x f x ⋅<的解集为{3xx <-∣或3}x >.故选：D.9．【正确答案】B【分析】根据题意，由基本不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为0x >，则()11124f x x x =++≥=，当且仅当14x x =时，即12x =时，等号成立，所以当且仅当12x =时，()f x 有最小值 2.故选：B10．【正确答案】D【分析】根据函数的单调性，结合表格中的数据判断AB ；利用零点存在性定理判断CD.【详解】对于A ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以()()010.240f f <=-<，正确；对于B ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以当2x >时，()()2 1.210f x f >=>，正确；对于C ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，()10f <且()20f >，即()()120f f <，所以函数()f x 有且仅有一个在区间()1,2的零点，正确；对于D ，因为函数()()g x f x x=+连续，且()()()()()0010,1110g f f g f =<<=+>，即()()010g g <，所以函数()()g x f x x=+在区间()0,1上一定存在零点，错误，故选：D.11．【正确答案】D【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.【详解】根据01a <<(01)||xxa y a x =<<,0,0x xa x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩ 01a <<，∴xy a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||x xa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增故选：D.本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．【正确答案】A【分析】结合题意得到00110lgln 2A A t A A =⨯，再利用换元法与换底公式即可得解.【详解】因为01dB =10lgA A ，011Np =ln 2A A ，1dB =Np(R)t t ∈，所以00110lgln 2A A t A A =⨯，令0A x A =，则110lg ln 2x t x=⨯，所以lg ln e lg e2020lg 20lg 20lg e 200.43438.686ln ln lg x t x x x x x =⋅=⋅=⋅=≈⨯=.故选：A.13．【正确答案】000,20x x ∃>≤【分析】直接根据全称命题的否定为特称命题解答即可；【详解】命题“0x ∀>，20x>”为全称命题，又全称命题的否定为特称命题，故其否定为“000,20x x ∃>≤”故000,20x x ∃>≤14．【正确答案】1【分析】结合指数与对数的运算法则，计算即可.【详解】结合题意.()113333118log 2121133f ⎛⎫=+=-=-= ⎪⎝⎭故答案为.115．【正确答案】()()3,11,---+∞ 【分析】根据对数的真数大于零，分母不等于零列不等式求解.【详解】由已知得3010x x +>⎧⎨+≠⎩，解得3x >-且1x ≠-，即函数定义域为()()3,11,---+∞ .故答案为.()()3,11,---+∞ 16．【正确答案】π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【分析】根据图象，可得()3332A --==，πT =，图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在π3x =附近单调递减.进而可求出2ω=，π22ππ,3k k ϕ⨯+=+∈Z ，根据ϕ的范围即可解出ϕ，进而得到解析式.【详解】由已知可得，函数最大值为3，最小值为-3，所以()3332A --==.又由图象知，5πππ2632T =-=，所以πT =.因为0ω>，所以2ππT ω==，所以2ω=，所以()3sin 2y x ϕ=+.又由图象可推得，图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在π3x =附近单调递减，所以有π22ππ,3k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π2π,3k k ϕ=+∈Z .又0πϕ≤<，所以.π3ϕ=所以，函数的解析式为.π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故答案为.π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭17．【正确答案】2[)0,1【分析】入解析式即可求出((3))f f -；方程()f x a =有且仅有3个不同的根即()y f x =与y a =的图象有3个交点，结合()y f x =图象，即可得出答案.【详解】因为()21,02,0x x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩，所以()()23363f -=--=，所以()((3))32f f f -==；画出函数()fx 的图象，方程()f x a =有且仅有3个不同的根即()y f x =与y a =的图象有3个交点，由图可得.01a ≤<故2；[)0,1.18．【正确答案】①②④【分析】根据函数具有性质τ，知函数的值域关于原点对称，从而依次判断得结论.【详解】由题知，若()f x 满足性质τ即：“1x D ∀∈，都存在2x D ∈，使得()()120f x f x +=”则()f x 的值域关于原点对称.对于①，函数()f x x =，值域为R 关于原点对称，显然具有性质τ，故正确；对于②，因为所有的奇函数对应定义域内任意x 的都有()()f x f x -=-，则值域关于原点对称，显然具有性质τ，故正确；对于③，设2()1f x x =-，x ⎡∈⎣，值域为[]1,1-，具有性质τ，()1g x =+，x ⎡∈⎣，值域为[]1,1-，具有性质τ，2()()f x g x x +=，x ⎡∈⎣，值域为，不具有性质，故错误；1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦τ对于④，若函数，具有性质，则的值域关于原点对称.2()f x x a =+[2,1]x ∈-τ()f x 又，时，的值域为，2()f x x a =+[2,1]x ∈-()f x [,4]a a +则，解得，故正确.40a a ++=2a =-故答案为:①②④.19．【正确答案】(1){}15A B x x ⋂=≤<，{1A B x x ⋃=≤-或}0x >，(){}01UA B x x ⋂=<<ð(2)(][),07,-∞+∞ 【分析】（1）代入数据计算得到集合A 和B ，再根据的交并补运算计算得到答案.（2）确定B A ⊆，再根据集合的包含关系计算得到答案.【详解】（1）1a =时，{1A x x =≤-或}1x ≥，{}{}25005B x x x x x =-<=<<，{}15A B x x ⋂=≤<，{1A B x x ⋃=≤-或}0x >，{}11U A x x =-<<ð，故(){}01UA B x x ⋂=<<ð.（2）A B B = ，则B A ⊆，{2A x x a =≤-或}x a ≥，{}05B x x =<<，则25a -≥或0a ≤，解得0a ≤或7a ≥，即(][),07,a ∈-∞+∞ .20．【正确答案】(1)343sin 2,cos 2,tan 2554ααα=-=-=(2)π1πtan ,tan 2424αα⎛⎫⎛⎫+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)111-【分析】(1)已知角α的终边上一点(),P x y ,则sin αα==再结合二倍角公式代入运算即可;(2)已知角α的终边上一点(),P x y ,则tan ,y x α=再结合正切两角和差公式运算即可;(3)通过sin tan ,cos ααα=构造齐次式分式,再代入正切值运算即可.【详解】（1）角α的终边经过点()1,3P -,sin αα∴====3sin 22sin cos 2,5ααα⎛∴==⨯=- ⎝224cos 22cos 121,5αα=-=⨯-=-sin 23tan 2.cos 24ααα==（2）由题得3tan 3,1α-==-()πtan 1311tan ,41tan 132ααα+-+⎛⎫∴+===- ⎪---⎝⎭()πtan 131tan 2.41tan 13ααα---⎛⎫-=== ⎪++-⎝⎭（3）由(2)知tan 3,α=-()sin 2cos tan 2321.2cos 3sin 23tan 23311αααααα++-+∴===----⨯-21．【正确答案】(1)()1sin 262πf x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭;(2)30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(3)π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据三角函数的恒等变换可得()π1sin 262f x x ω⎛⎫=++⎪⎝⎭，分别选择条件①，②，③都可得到1ω=，从而可得()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭；（2）通过换元法并结合正弦函数的图象与单调性，求解值域即可.（3）通过换元法并结合正弦函数的单调性即可求解()f x 在[]0,π上的单调递增区间.【详解】（1）结合题意可得：()211cos cos 2cos 2,22f x x x x x x ωωωωω=⋅+=++所以()π1sin 2,(02)62f x x ωω⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭，若选条件①：因为函数()f x 的图象经过点5π1,122⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π5ππ11sin 21212622f ω⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即5ππsin 0sin π66k ω⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以5πππ,Z 66k k ω+=∈，即6155k ω=-，Z k ∈,因为02ω<<，所以当1k =时，1ω=,满足题意,故函数()f x 的解析式为()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭.若选条件②：因为函数()f x 的图象的一条对称轴为π6x =；所以πππ2π662k ω⨯+=+，Z k ∈,即31k ω=+,Z k ∈，因为02ω<<，所以当1k =时，1ω=,满足题意,故函数()f x 的解析式为()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭.若选条件③：因为函数()f x 的图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2，所以π,22T =即πT =，由周期公式可得2ππ2T ω==，解得,满足题意,1ω=故函数的解析式为.()f x ()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭（2）由（1）问可得，()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭令，因为，所以，π26t x =+π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ππ7π2,666t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦由的图象可知：1sin 2y t =+在上单调递增，在单调递减；1sin 2y t =+ππ,62⎡⎤⎢⎣⎦π7π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦当，即时，；π2t =π6x =()max ππ13sin 26622f x ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭当，即时，.7π6t =π2x =()minππ1sin 20262f x ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭所以在上的值域为.()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）由（1）问可得，()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭令，因为，所以，π26t x =+[]0,πx ∈ππ13π2,666t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦由的图象可知：1sin 2y t =+①在上单调递增， 1sin 2y t =+ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，解得：，所以在单调递增；πππ2662x ≤+≤π06x ≤≤()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦②在单调递增，1sin 2y t =+3π13π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，解得：，所以在单调递增；63ππ13π262x ≤+≤2ππ3x ££()f x 2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦函数在上的单调递增区间为,.()f x []0,ππ0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦22．【正确答案】(1)奇函数，证明见解析(2)单调递增，证明见解析(3)14m <-【分析】（1）通过判断()(),f x f x -的关系得奇偶性；（2）任取()12,0,2x x ∈，且12x x >，通过计算()()12f x f x -的正负来确定单调性；（3）将恒成立问题转化为最值问题，利用奇偶性和单调性求出()f x 在区间[]2,0-上的最小值即可.【详解】（1）函数()f x 为奇函数．证明：由已知函数()24xf x x =+的定义域为R ，又()()()2244xxf x f x x x --==-=-+-+，所以函数()f x 为奇函数；（2）函数()f x 在()0,2上单调递增.证明：任取()12,0,2x x ∈，且12x x >，则()()()()()()()()()()22122121121212222222121212444444444x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++，因为()12,0,2x x ∈，且12x x >，所以1212400,x x x x <--<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在()0,2上单调递增；（3）在区间[]2,0-上不等式()f x m >恒成立，即()min f x m >，又由（1）（2）得函数()f x 在[]2,0-上单调递增，故()()min 212444f x f -=-==-+，所以14m <-.23．【正确答案】(1)选择条件①②或者①③或者②③均可求得()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)最小正周期π,T =对称轴方程为ππ,Ζ32k x k =+∈(3)π12【分析】（1）根据图像得函数()f x 的一个周期为π,从而求得ω=2,选择两个条件,根据五点法求函数解析式参数的方法代入求解即可.（2）根据函数解析式,代入2π,T ω=求得最小正周期；根据正弦函数的对称轴为ππ,Ζ,2k k +∈代入求得()f x 的对称轴方程.（3）根据()g x 的解析式,结合()11sin sin ,Ζx k x k π+=±∈,可得若()g x 为奇函数,则π2π,Ζ,6k k α'='-∈再进行计算即可.【详解】（1）根据图像和41πx x -=,2ππ,0,2,T ωωω∴==>∴= ()()sin 2.f x A x ϕ∴=+若选条件①②,则根据五点法得1ππ20,,66x ϕϕϕ+=+=∴=-则()2ππsin 21,2,66f x A A ⎛⎫=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭若选条件①③,则根据五点法得1ππ20,,66x ϕϕϕ+=+=∴=-则()3ππsin 21,2,26f x A A ⎛⎫=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭若选条件②③,则当23π23x x x +==时,()f x 取得最大值A ,∴根据五点法得πππ2,,326ϕϕ⨯+=∴=-()2ππsin 21,2,66f x A A ⎛⎫∴=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭（2）()π2sin 2,6f x x ⎛⎫=-∴ ⎪⎝⎭ 最小正周期2ππ.2T ==令ππ2π,Ζ,62x k k -=+∈解得ππ,Ζ,32k x k =+∈∴()f x 的对称轴方程为ππ,Ζ.32k x k =+∈（3）由题得()()()ππ2sin 22sin 22,66g x f x x x ααα⎡⎤⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()g x 为奇函数,π2π,Ζ,6k k α∴'='-∈解得ππ,Ζ.122k k α''=+∈0,α>∴ 当0k '=时,α取得最小值π.1224．【正确答案】(1){}6,10,15B =(2)7(3)不存在，理由见解析【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【详解】（1）{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.（3）不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。

2024-2025学年北京市海淀区清华大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题(含答案)

2024-2025学年清华大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x∣1<3x≤9},B={x∈Z∣x≥1}，则A∩B=( )A. (1,2]B. {1,2}C. [1,2]D. {1}2.已知复数z=1+2i2−i，则z的共轭复数z=( )A. −12B. 2+iC. −iD. i3.已知a<b，则( )A. a2<b2B. e−a<e−bC. ln(|a|+1)<ln(|b|+1)D. a|a|<b|b|4.已知f(x)=sinωx(ω>0)，f(x1)=−1，f(x2)=1，|x1−x2|min=π4，则ω=( )A. 1B. 2C. 3D. 45.如图，在▵ABC中，点D，E满足BC=2BD，CA=3CE.若DE=x AB+y AC(x,y∈R)，则x+y=( )A. −12B. −13C. 12D. 136.若α是第二象限角，且tan(π−α)=12，则cos(π2+α)=( )A. 32B. −32C. 55D. −557.已知数列{a n}为无穷项等比数列，S n为其前n项和，a1>0，则“{S n}存在最小项”是“S2≥0”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.若过点(a,b)可以作曲线y=e x的两条切线，则( )A. e b<aB. e a<bC. 0<a<e bD. 0<b<e a9.血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的是A. 首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B. 每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C. 每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D. 首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒10.数列{a n}满足a4n−3=−1，a4n−1=1，a2n=a n，该数列的前n项和为S n，则下列论断中错误的是( )A. a31=1B. a2024=−1C. ∃非零常数T，∀n∈N∗，使得a n+T=a nD. ∀n∈N∗，都有S2n=−2二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

西城区2023-2024学年第一学期期末高三数学试题答案

20232024学年度第一学期期末试卷第1页（共6页）北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考 2024.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（ 1 ）C （ 2 ）A （ 3 ）D （ 4 ）D （ 5 ）C（ 6 ）B（ 7 ）D（ 8 ）A（ 9 ）B（10）A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）12（12）3 （答案不唯一）（13）(4,)+∞ 4（14）2x =−2（15）①②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题设2πππ2sin cos 2cos 0666a −=，解得a………3分所以2()cos 2cos f x x x x =−2cos21x x =−− ………5分 π2sin (2)16x =−−．………6分所以()f x 的最小正周期为π．………7分（Ⅱ）因为π02x ≤≤，所以ππ5π2666x −−≤≤．………9分所以1πsin (2)126x −−≤≤，即π22sin (2)116x −−−≤≤．20232024学年度第一学期期末试卷第2页（共6页）当ππ262x −=，即π3x =时，()f x 取得最大值1；当ππ266x −=−，即0x =时，()f x 取得最小值2−． ………11分由题设2m −≤，且1M ≥．所以m 的最大值是2−；M 的最小值是1．………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）记“这2人都最喜爱使用跑步软件一”为事件A ，则80303(A)2008020P =⨯=． ………4分（Ⅱ）因为抽取的8人中最喜爱跑步软件二的人数为208280⨯=，所以X 的所有可能取值为0,1,2．………5分3638C 5(0)14C P X ===， 122638C C 15(1)28C P X ===， 212638C C 3(2)28C P X ===． ………8分所以X 的分布列为故X 的数学期望0121428284EX =⨯+⨯+⨯=． ………10分（Ⅲ）222231s s s ．………13分20232024学年度第一学期期末试卷第3页（共6页）（18）（共14分）解：（Ⅰ）因为PD AD =，E 为PA 中点，所以DE PA ⊥．………1分又因为平面PAB ⊥平面PAD ，平面PAB 平面PAD PA =，且DE ⊂平面PAB ．所以DE ⊥平面PAB ． ………2分所以DE AB ⊥．………3分因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AB ⊥．所以AB ⊥平面PAD ．………4分（Ⅱ）因为AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，所以CD ⊥平面PAD ．又PD ⊥平面ABCD ，所以,,DA DC DP 两两相互垂直． ………5分如图建立空间直角坐标系D x y z −，………6分则(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，(1,0,1)E ．所以(2,0,0)CB =,(0,2,2)CP =−,(1,0,1)DE =．设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0.CB CP ⎧=⎪⎨=⎪⎩⋅⋅m m 即20,220.x y z =⎧⎨−+=⎩令1y =，则1z =．于是(0,1,1)=m ． ………8分设直线DE 与平面PBC 所成角为α，则 1||sin ,|cos |2||||DE DE DE α=〉=〈=⋅m m m ．………10分所以直线DE 与平面PBC 所成角的大小为30．………11分（Ⅲ）因为(1,0,1)EP =−，所以点E 到平面PBC 的距离为2||||EP d ==⋅m m ． ………13分因为CB CP ⊥，所以四面体PEBC 的体积为11123323PBC V S d CB CP d =⋅=⋅⋅⋅⋅=△． ………14分20232024学年度第一学期期末试卷第4页（共6页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，22222,411,c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩………3分解得228,2a b ==．………4分所以椭圆E 的方程为22182x y +=．………5分（Ⅱ）若直线AB 与y 轴重合，则点M 与原点重合，符合题意，此时直线AB 的方程为0x =．………6分若直线AB 与y 轴不重合，设其方程为1y k x =+．由221,48y k x x y =+⎧⎨+=⎩ 得22(41)840k x kx ++−=． ………8分设1122(,),(,)A x y B x y ，则122841kx x k −+=+． ………9分所以1224241M x x k x k +−==+，21141M M y kx k =+=+．………10分因为M 是CD 的中点，所以282241D M C k x x x k −=−=−+，222141D M Cy y y k =−=−+． ………11分因为2248D D x y +=，………12分所以222282(2)4(1)804141k k k −−+−−=++．整理得340k k +=． ………13分解得0k =．………14分但此时直线AB 经过点C ，不符合题意，舍去．综上，直线AB 的方程为0x =．………15分20232024学年度第一学期期末试卷第5页（共6页）（20）（共15分）解：（Ⅰ）当1a =时，e ()x f x x =，所以2(1)e ()xx f x x −'=．………1分所以(1)e f =，(1)0f '=．………3分所以曲线()y f x =在点(,())11f 处的切线方程为e 0y −=． ………4分（Ⅱ）()f x 的定义域为(,0)(0,)−∞+∞，且2(1)e ()axax f x x −'=．………6分令()0f x '=，得1x a=． ()f x '与()f x 的情况如下：所以()f x 的单调递增区间为(,)a +∞；单调递减区间为(,0)−∞和1(0,)a．………10分（Ⅲ）当12x x <且120x x ⋅>时，121211()()f x f x x x −<−，证明如下：令1()()g x f x x=−，则2(1)e 1()ax ax g x x −+'=．设()(1)e 1ax x h ax =−+，则2()e ax x h a x '=．………12分所以当(0),x ∈−∞时，()0x h '<；当()0,x ∈+∞时，()0x h '>．所以()h x 在(0),−∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增．从而()(0)0h x h >=，即()0g x '>．所以()g x 的单调递增区间为(0),−∞和()0,+∞．………14分当120x x <<时，12()()g x g x <，即121211()()f x f x x x −<−；当120x x <<时，12()()g x g x <，即121211()()f x f x x x −<−．综上，当12x x <且120x x ⋅>时，121211()()f x f x x x −<−．………15分20232024学年度第一学期期末试卷第6页（共6页）（21）（共15分）解：（Ⅰ）:(1,2),(2,3),(3,1)A ，或:(1,3),(3,2),(2,1)A ．………4分（Ⅱ）因为(,)p q 和(,)q p 不同时出现在A 中，故26C 15m =≤，所以1,2,3,4,5,6每个数至多出现5次．又因为1(1,2,,1)i i x y i m +==−，所以只有1,m x y 对应的数可以出现5次，故1(4425)132m ⨯⨯+⨯=≤．………9分（Ⅲ）当N 为奇数时，先证明(2)()21T N T N N +=++．因为(,)p q 和(,)q p 不同时出现在A 中，所以21()C (1)2N T N N N =−≤．当3N =时，构造:(1,2),(2,3),(3,1)A 恰有23C 项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1．对奇数N ，如果可以构造一个恰有2C N 项的序列A ，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1，那么对奇数2N +而言，可按如下方式构造满足条件的序列A '：首先，对于如下21N +个数对集合：{(1,1),(1,1)}N N ++，{(1,2),(2,1)}N N ++， {(2,1),(1,2)}N N ++，{(2,2),(2,2)}N N ++， ……，{(,1),(1,)}N N N N ++，{(,2),(2,)}N N N N ++，{(1,2),(2,1)}N N N N ++++，每个集合中都至多有一个数对出现在序列A '中，所以(2)()21T N T N N +++≤．其次，对每个不大于N 的偶数{2,4,,1}i N ∈−，将如下4个数对并为一组：(1,),(,2),(2,1),(1,1)N i i N N i i N ++++++，共得到12N −组，将这12N −组数对以及(1,1),(1,2),(2,1)N N N N ++++按如下方式补充到A 的后面，即：,(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,1),,A N N N N N +++++(1,1),(1,2),(2,),(,1),(1,2),(2,1)N N N N N N N N N N N +−−++++++．此时恰有()21T N N ++项，所以(2)()21T N T N N +=++．综上，当N 为奇数时，()(()(2))((2)(4))((5)(3))(3)T N T N T N T N T N T T T =−−+−−−++−+[2(2)1][2(4)1](231)3N N =−++−+++⨯++1(1)2N N =−． ………15分。

四川省绵阳市2024届高三数学上学期第四次月考理试题含解析

高中2021级高三第四学月测试理科数学本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B 铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后将答题卡收回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.已知集合{}*2450M x x x =∈--≤N ，{}04N x x =≤≤，则M N ⋂=（）A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{}04x x ≤≤ D.{}14x x ≤≤【答案】B 【解析】【分析】解不等式求出集合M ，根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】解2450x x --≤，得：15x -≤≤，所以{}{}*151,2,3,4,5M x x =∈-≤≤=N ，{}04N x x =≤≤，所以{1,2,3,4}M N ⋂=.故选：B.2.在复平面内，复数342i i++对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】通过复数的运算求出复数的代数形式，然后再进行判断即可．【详解】由题意得()()()5234522222i ii i i i i -+===-+++-，所以复数342i i++在复平面内对应的点为()2,1-，在第四象限．故选D ．【点睛】解题的关键是将复数化为代数形式，然后再根据复数的几何意义进行判断，属于基础题．3.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若53a a ＝59，则95S S 等于（）A.1 B.－1C.2D.12【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列的求和公式计算即可.【详解】95S S ＝19159()25()2a a a a ++＝5395a a ＝1.故选：A.4.已知向量a，b不共线，向量3c a b =+，2d a kb =+，且c d ∥，则k =（）A.－3 B.3C.－6D.6【答案】D 【解析】【分析】设d c λ=，从而得到23a kb a b λλ+=+ ，得到方程，求出k 的值.【详解】设d c λ=，则()233a kb a b a b λλλ+=+=+ ，故2,36k λλ===．故选：D5.南山中学某学习小组有5名男同学，4名女同学，现从该学习小组选出3名同学参加数学知识比赛，则选出的3名同学中男女生均有的概率是（）A.45B.56C.67D.78【答案】B 【解析】【分析】首先计算出基本事件总数，依题意选出的3名同学中男女生均有，分为两种情况：①1名男同学，2名女同学；②2名男同学，1名女同学，计算出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：从有5名男同学，4名女同学，现从该学习小组选出3名同学参加数学知识比赛，则有3998784321C ⨯⨯==⨯⨯；依题意选出的3名同学中男女生均有，分为两种情况：①1名男同学，2名女同学，有1254C C 30=（种）；②2名男同学，1名女同学，215440C C =（种）；故概率为30405846P +==故选：B【点睛】本题考查简单的组合问题，古典概型的概率问题，属于基础题.6.已知1sin cos 3αβ-=，1cos sin 2αβ+=，则()sin αβ-=（）A.572B.572- C.5972D.5972-【答案】C 【解析】【分析】将已知等式平方后相加，结合同角的三角函数关系以及两角和的正弦公式，即可求得答案.【详解】由题意得()2221sin cos sin cos 2sin cos 9αβαβαβ-=+-=，()2221cos sin cos sin 2cos sin 4αβαβαβ+=++=，两式相加得()1322sin cos cos sin 36αβαβ--=，得()59sin 72αβ-=，故选：C7.在2022年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的数学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,80,90,90,100,90分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（）A.该省考生数学成绩的中位数为75分B.若要全省的合格考通过率达到96%，则合格分数线约为44分C.从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人D.若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试数学成绩的平均分约为70.5.【答案】A 【解析】【分析】根据频率分布直方图计算中位数、平均分，由不合格率为4%求得合格线，利用优秀率估算抽取的1000人中的优秀从数，从而判断各选项．【详解】由频率分布直方图知中位数在[70,80]上，设其为x ，则700.5(0.10.150.2)80700.3x --++=-，解得71.67x ≈，A 错；要全省的合格考通过率达到96%，设合格分数线为y ，则4010.96100.1y --=，44y =，B 正确；由频率分布直方图优秀的频率为0.1，因此人数为10000.1100⨯=，C 正确；由频率分布直方图得平均分为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，考试数学成绩的平均分约为70.5,D 正确．故选：A.8.在[2,3]-上随机取一个数k ，则事件“直线3y kx =+与圆22(2)9x y ++=有公共点”发生的概率为（）A.715B.815C.25D.35【答案】A 【解析】【分析】根据直线与圆有公共点，求出k 的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可.【详解】若直线3y kx =+，即30kx y -+=与圆22(2)9x y ++=有公共点，则圆心到直线距离3d =≤，故5≥解得43k ≥或43k ≤-，由几何概型的概率公式，得事件“直线3y kx =+与圆22(2)9x y ++=有公共点”发生的概率为()()44323373215P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==--.故选：A.9.已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且3x π=时，函数()f x 取最小值，若函数()f x 在[]0,a 上单调递减，则a 的最大值是（）A.6πB.56π C.23π D.3π【答案】D 【解析】【分析】由周期求得ω，再由最小值求得ϕ函数解析式，然后由单调性可得a 的范围，从而得最大值．【详解】由题意22πωπ==，cos(2)13πϕ⨯+=-，22,Z 3k k πϕππ+=+∈，又2πϕ<，∴3πϕ=，()cos(2)3f x x π=+，[0,]x a ∈时，2[,2]333x a πππ+∈+，又()f x 在[0,]a 上单调递减，所以23a ππ+≤，3a π≤，即03a π<≤，a 的最大值是3π．故选：D ．10.点P 是以12,F F 为焦点的的椭圆上一点，过焦点作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【答案】A 【解析】【分析】P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，延长2F M 交1F 延长线于Q ，可证得2PQ PF =，且M 是2PF 的中点，由此可求得OM 的长度是定值，即可求点M 的轨迹的几何特征．【详解】解：由题意，P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，延长2F M 交1F P 延长线于Q ，得2PQ PF =，由椭圆的定义知122PF PF a +=，故有112PF PQ QF a +==，连接OM ，知OM 是三角形12F F Q 的中位线OM a ∴=，即点M 到原点的距离是定值，由此知点M 的轨迹是圆故选：A ．【点睛】本题在椭圆中求动点Q 的轨迹，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的判定和三角形中位线定理等知识，属于中档题．11.已知直线(2)(0)y k x k =+＞与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =,则k=A.13B.3C.23D.223【答案】D 【解析】【详解】将y=k(x+2)代入y 2=8x,得k 2x 2+(4k 2-8)x+4k 2=0.设交点的横坐标分别为x A ,x B ,则x A +x B =28k-4,①x A ·x B =4.又|FA|=x A +2,|FB|=x B +2,|FA|=2|FB|,∴2x B +4=x A +2.∴x A =2x B +2.②∴将②代入①得x B =283k -2,x A =283k -4+2=283k -2.故x A ·x B =228162233k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=4.解之得k 2=89.而k>0,∴k=3,满足Δ>0.故选D.12.已知函数()22e1xf x ax bx =-+-，其中a 、b ∈R ，e 为自然对数的底数，若()10f =，()f x '是()f x 的导函数，函数()f x '在区间()0,1内有两个零点，则a 的取值范围是（）A.()22e3,e 1-+ B.()2e3,-+∞C.()2,2e2-∞+ D.()222e6,2e 2-+【答案】A 【解析】【分析】由()0f x '=可得222e 21e x ax a =--+，作出函数函数22e x y =与221e y ax a =--+的图象在()0,1上有两个交点，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】因为()22e1xf x ax bx =-+-，则()21e 10f a b =-+-=，可得21e b a =+-，所以，()()222e 1e1xf x ax a x =-++--，则()222e21e xf x ax a '=-++-，由()0f x '=可得222e 21e x ax a =--+，因为函数()f x '在区间()0,1内有两个零点，所以，函数22e xy =与221e y ax a =--+的图象在()0,1上有两个交点，作出22e xy =与()2221e 211e y ax a a x =--+=--+的函数图象，如图所示：若直线221e y ax a =--+经过点()21,2e，则2e1a =+，若直线221e y ax a =--+经过点()0,2，则2e 3a =-，结合图形可知，实数a 的取值范围是()22e 3,e 1-+.故选：A ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卷的横线上.13.若一组数据123,,,,n x x x x ⋯的方差为10，则另一组数据1221,21,,21n x x x --⋯-的方差为______．【答案】40【解析】【分析】由题意先设出两组数据的平均数，然后根据已知方差、方差公式运算即可得解.【详解】由题意设123,,,,n x x x x ⋯的平均数为x ，则1221,21,,21n x x x --⋯-的平均数为21x -，由题意123,,,,n x x x x ⋯的方差为()()()222212110n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦ ，从而1221,21,,21n x x x --⋯-的方差为()()()222221121222222441040n s x x x x x x s n ⎡⎤=-+-++-==⨯=⎢⎥⎣⎦ .故答案为：40.14.若二项式2nx的展开式中第5项是常数项，则展开式中各项系数的和为__________.【答案】1【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第五项，令x 的指数为0，求出n 的值，令1x =，可得展开式中各项系数的和．【详解】解：2nx ⎫⎪⎭展开式的第5项为44452()n n T C x -=-二项式2nx ⎫-⎪⎭的展开式中第5项是常数项，∴4402n --=，12n ∴=∴二项式为122x ⎫-⎪⎭令1x =，可得展开式中各项系数的和()12121n T =-=故答案为：1．【点睛】本题考查展开式的特殊项，正确运用二项展开式是关键，属于基础题．15.在平面直角坐标系中，A,B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为___．【答案】45π【解析】【详解】由题意，圆心C 到原点的距离与到直线的距离相等，所以面积最小时，圆心在原点到直线的垂线中点上，则d =r =，45S π=．点睛：本题考查直线和圆的位置关系．本题中，由,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆，则半径就是圆心C 到原点的距离，所以圆心C 到原点的距离与到直线的距离相等，得到解答情况．16.过双曲线22221(0)x y b a a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线24y cx =于点P ，O 为坐标原点，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为_________．【答案】152【解析】【详解】试题分析：因为,,OF c OE a OE EF ==⊥，所以EF b =，因为1()2OE OF OP =+，所以E为PF 的中点，2PF b =，又因为O 为FF '的中点，所以//PF EO '，所以2PF a '=，因为抛物线的方程为24y cx =，所以抛物线的焦点坐标为(,0)c ，即抛物线和双曲线的右焦点相同，过F 点作x 的垂线l ，过P 点作PD l ⊥，则l 为抛物线的准线，所以2PD PF a '==，所以点P 的横坐标为2a c -，设(,)P x y ,在Rt PDF ∆中，222PD DF PF +=，即22222244,44(2)4()a y b a c a c c b +=+-=-，解得12e =.考点：双曲线的简单的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程、以及谁去下的简单的几何性质的应用，同时考查了双曲线的定义及性质，着重考查了学生推理与运算能力、数形结合思想、转化与化归思想的应用，属于中档试题，本题的解答中，根据题意得到抛物线和双曲线的右焦点相同，得出点P 的横坐标为2a c -，再根据在Rt PDF ∆中，得出22244(2)4()a c a c c b +-=-是解答的关键.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2log ,,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）12n n a -=（2）212212233n n T n n +=⨯+--【解析】【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a .（2）根据分组求和法求得正确答案.【小问1详解】依题意，21n n S a =-，当1n =时，11121,1a a a =-=，当2n ≥时，1121n n S a --=-，所以()11122,22n n n n n n n a S S a a a a n ---=-=-=≥，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=，1a 也符合.所以12n n a -=.【小问2详解】由（1）得11,2,n n n n b n --⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()321202422222n n T n -=++++-++++ ()214022214n n n -+-=⨯+-222433n n n =⨯+--21212233n n n +=⨯+--.18.某水果种植户对某种水果进行网上销售，为了合理定价，现将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x （元）789111213销量y （kg ）120118112110108104（1）已知销量与单价之间存在线性相关关系求y 关于x 的线性回归方程；（2）若在表格中的6种单价中任选3种单价作进一步分析，求销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的分布列和期望．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b =()121((ni i i n i i x x y y x x ==---∑∑，a y bx =-$$．【答案】（1） 2.5137y x =-+；（2）见解析【解析】【分析】（1）由已知表格中数据求得ˆa与ˆb ，则可求得线性回归方程；（2）求出ξ的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率，可得分布列与期望．【详解】解：（1）()1789111213106x =+++++=，()11201181121101081046y =+++++=112．ˆb =()121()()ni i i ni i x x y y x x ==---∑∑═70 2.528-=-，()112 2.510137ˆˆa y bx =-=--⨯=．∴y 关于x 的线性回归方程为 2.5137ˆyx =-+；（2）6种单价中销售量在[110，118]内的单价种数有3种．∴销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的取值为0，1，2，3，P （ξ=0）=0336120C C =，P （ξ=1）=123336920C C C ⋅=，P （ξ=2）=213336920C C C ⋅=，P （ξ=3）=3336120C C =．∴ξ的分布列为：ξ0123P120920920120期望为E （ξ）=199130123202020202⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查离散型随机变量的期望，考查计算能力，求离散型随机变量ξ的分布列与均值的方法：（1）理解离散型随机变量ξ的意义，写出ξ的所有可能取值；（2）求ξ取每个值的概率；（3）写出ξ的分布列；（4）根据均值的定义求E（）ξ19.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-=且π2C ≠.（1）求证：π2B A =+；（2）求cos sin sin A B C ++的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）)【解析】【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可把题设中的边角关系化简为cos sin A B =，结合诱导公式及π2C ≠可证π2B A =+.（2）根据π2B A =+及cos sin A B =，结合诱导公式和二倍角余弦公式将ππcos sin sin 2sin sin 2sin sin 222A B C B C A A ⎛⎫⎛⎫++=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为2132cos 22A ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，先求出角A 的范围，然后利用余弦函数和二次函数的性质求解即可.【小问1详解】因为sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-=，由正弦定理得，2222sin b c a bc B +-=，由余弦定理得2222cos 2sin b c a bc A bc B +-==，所以cos sin A B =，又cos sin()2A A π=-，所以πsin()sin 2A B -=.又0πA <<，0πB <<，所以π2A B -=或ππ2A B -+=，所以π2A B +=或π2B A =+，又π2C ≠，所以ππ2A B C +=-≠，所以π2B A =+，得证.【小问2详解】由（1）知π2B A =+，所以ππ22C A B A =--=-，又cos sin A B =，所以ππcos sin sin 2sin sin 2sin sin 222A B C B C A A ⎛⎫⎛⎫++=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22132cos cos 22cos 2cos 12cos 22A A A A A ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，因为0ππ0π2π02π2A B A C A ⎧⎪<<⎪⎪<=+<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，所以π04A <<，所以2cos 12A <<，因为函数2132cos 22y A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在2cos 2A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，所以22213131322cos 2132222222A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-<+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以cos sin sin A B C ++的取值范围为).20.椭圆有两个顶点(1,0),(1,0),A B -过其焦点(0,1)F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与BD 交于点Q．（1）当2CD =时，求直线l 的方程；（2）当P 点异于,A B 两点时，证明：OP OQ ⋅为定值．【答案】（1）1y =+；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）先由题意求出椭圆方程，直线l 不与两坐标轴垂直，设l 的方程为()10,1y kx k k =+≠≠±，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，再由弦长公式列方程可求出k 的值，从而可得直线方程；（2）表示直线AC ，BD 的方程，联立方程组可得1221121211.11Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=--+-而12222kx x k =--+代入化简可得Q x k =-，而1P x k =-，则可得P Q OP OQ x x ⋅= 的结果【详解】（1）由题意，椭圆的方程为2212y x +=易得直线l 不与两坐标轴垂直，故可设l 的方程为()10,1y kx k k =+≠≠±，设()()1122,,,C x y D x y ，由221,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()222210k x kx ++-=，判别式()2Δ810.k =+>由韦达定理得12122221,22k x x x x k k +=-=-++，①故12322CD x x =-=，解得k =即直线l 的方程为1y =+．（2）证明：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，故其方程为()1111y y x x =++，直线BD 的斜率为221BD y k x =-，故其方程为()2211y y x x =--，由()()11221,11,1y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩两式相除得()()()()()()2121121211111111y x kx x x x y x kx x ++++===--+-1221121211kx x kx x kx x kx x +++-+-即1221121211.11Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=--+-由（1）知12222kx x k =--+，故()()()()()()222222222222122111222212111222Q Q k k k kkx x k x x k k k k k k k x k x x k x k k k ---+--++-++++===-+-⎛⎫----+-++ ⎪+++⎝⎭11k k -+解得Q x k =-．易得1,0P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k⋅==-⋅-= ，所以OP OQ ⋅为定值121.已知函数2313()(4)e 32xf x x a x x ⎛⎫=---⎪⎝⎭()R a ∈．（1）若0a ≤，求()f x 在()0,∞+上的单调区间；（2）若函数()f x 在区间()0,3上存在两个极值点，求a 的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+∞（2）3e e,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）对函数求导得到()()()3e xf x x ax '=--，再根据导数与函数单调性间的关系即可求出结果；（2）对函数求导得()()()3e xf x x ax '=--，令()e xg x ax =-，将问题转化为()e xg x ax =-在()0,3内有两个交点，再应用导数研究的单调性并确定其区间最值及边界值，进而可得a 的范围.【小问1详解】因为2313()(4)e 32xf x x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，所以()()()()()()()24e e 33e 33e x x x xf x x a x x x ax x x ax '=-+--=---=--，又因为0a ≤，0x >，则e 0x ax ->，所以，当()0,3x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()3,x ∈+∞时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增,所以()f x 在(0,)+∞上的单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+∞．【小问2详解】由（1）知，当0a ≤，函数()f x 在()0,3上单调递减，此时()f x 在()0,3上不存在极值点，不符合题意，所以0a >，设()e xg x ax =-，[0,)x ∈+∞，所以()e xg x a '=-，当01a <≤时，当()0,3x ∈时，()e 0xg x a '=->，所以()g x 在()0,3上单调递增，所以当()0,3x ∈时，()()010g x g >=>，所以当()0,3x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()0,3上单调递减，故()f x 在()0,3上不存在极值点，不符合题意；当1a >时，令()0g x '<，解得0ln x a <<，令()0g x '>，解得ln x a >，所以函数()g x 在()0,ln a 上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增，所以函数()g x 的最小值为()()ln 1ln g a a a =-，若函数()f x 在()0,3上存在两个极值点，则()()()00,ln 0,30,0ln 3,g g a g a ⎧>⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎩，即()310,1ln 0,e 30,0ln 3,a a a a >⎧⎪-<⎪⎨->⎪⎪<<⎩解得3e e 3a <<．综上，a 的取值范围为3e e,3⎛⎫⎪⎝⎭．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知曲线12,C C 的参数方程分别为11:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），222cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．（1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．若射线()π06θρ=>与曲线12,C C 分别交于,A B 两点（异于极点），点()2,0P ，求PAB 的面积．【答案】（1）224x y -=；22(2)4x y -+=（2【解析】【分析】（1）利用消参法与完全平方公式求得1C 的普通方程，利用22cos sin 1θθ+=得到2C 的普通方程；（2）分别求得12,C C 的极坐标方程，联立射线，从而得到A ρ，B ρ，进而利用三角形面积公式即可得解.【小问1详解】因为曲线1C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），则22212x t t=++，22212y t t =+-，两式相减，得1C 的普通方程为：224x y -=；曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），所以2C 的普通方程为：()2224x y -+=.【小问2详解】因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 4ρθρθ-=ππ()42k θ≠+，即24cos 2ρθ=，联立2π64cos 2θρθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得A ρ=，所以射线π(0)6θρ=>与曲线1C 交于A π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，而2C 的普通方程()2224x y -+=，可化为224x y x +=，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos ρρθ=，即4cos ρθ=，联立π64cos θρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得B ρ=，所以射线π(0)6θρ=>与曲线2C 交于B π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，又点()2,0P ，所以2OP =，则1π||()sin 26POA B PAB POB A S S OP S ρρ=-=⨯⨯-= ．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()(),h x x m g x x n =-=+，其中00m n >>，.（1）若函数()h x 的图像关于直线1x =对称，且()()23f x h x x =+-，求不等式()2f x >的解集.（2）若函数()()()x h x g x ϕ=+的最小值为2，求11m n+的最小值及相应的m 和n 的值.【答案】（1）()2,2,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭；（2）11m n+的最小值为2，相应的m n 1==【解析】【分析】()1先根据对称性求出1m =，对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；()2根据绝对值三角不等式即可求出2m n +=，可得()11111m n m n 2m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，再根据基本不等式即可求出.【详解】()1函数()h x 的图象关于直线x 1=对称，1m ∴=，()()f x h x 2x 3x 12x 3∴=+-=-+-，①当x 1≤时，()321432x x x x =-+-=->，解得2x 3<，②当31x 2<<时，()f x 32x x 12x 2=-+-=->，此时不等式无解，②当3x 2≥时，()f x 2x 3x 13x 42=-+-=->，解得x 2>，综上所述不等式()f x 2>的解集为()2,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ．()()()()()2x h x g x x m x n x m x n m n m n ϕ=+=-++≥--+=+=+ ，又()()()x h x g x ϕ=+的最小值为2，2m n ∴+=，()111111n m 1m n 222m n 2m n 2m n 2⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当1m n ==时取等号，故11m n+的最小值为2，其相应的1m n ==．【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；。

北京市西城区2023-2024学年高三上学期期末考试数学含答案

北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高三数学（答案在最后）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}13A x x =-<<，{}24B x x =≥，则A B = （）A.()1,-+∞B.(]1,2-C.(](),21,-∞--+∞D.(](),21,3-∞-- 2.在复平面内，复数2i i-对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设a ，b ∈R ，且a b >，则（）A.11a b< B.tan tan a b> C.32a b-<- D.a a b b>4.已知双曲线C 的一个焦点是()10,2F ，渐近线为y =，则C 的方程是（）A.2213y x -= B.2213x y -= C.2213x y -= D.2213y x -=5.已知点()0,0O ，点P 满足1PO =.若点(),4A t ，其中t ∈R ，则PA 的最小值为（）A.5B.4C.3D.26.在ABC △中，60B ∠=︒，b =，2a c -=，则ABC △的面积为（）A.2B.4 C.32D.347.已知函数()1ln1xf x x+=-，则（）A.()f x 在()1,1-上是减函数，且曲线()y f x =存在对称轴B.()f x 在()1,1-上是减函数，且曲线()y f x =存在对称中心C.()f x 在()1,1-上是增函数，且曲线()y f x =存在对称轴D.()f x 在()1,1-上是增函数，且曲线()y f x =存在对称中心8.设a ，b 是非零向量，则“a b <”是“2a b b ⋅< ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.设{}n a 是首项为正数，公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为n S .若存在无穷多个正整数k ，使0k S ≤，则q 的取值范围是（）A.(),0-∞ B.(],1-∞- C.[)1,0- D.()0,110.如图，水平地面上有一正六边形地块ABCDEF ，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板111111A B C D E F .若其中三根柱子1AA ，1BB ，1CC 的高度依次为12m ，9m ，10m ，则另外三根柱子的高度之和为（）A.47mB.48mC.49mD.50m第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.在(4x -的展开式中，2x 的系数为______.（用数字作答）12.设0ω>，函数()sin f x x ω=.若曲线()y f x =关于直线6x π=对称，则ω的一个取值为______.13.已知函数()()222log log 4f x x x =--，则()f x 的定义域是______；()f x 的最小值是______.14.已知抛物线C ：28y x =.①则C 的准线方程为______.②设C 的顶点为O ，焦点为F .点P 在C 上，点Q 与点P 关于y 轴对称若OF 平分PFO ∠，则点P 的横坐标为______.15.设a ∈R ，函数()322,,,.x x a f x x a x a ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩给出下列四个结论：①()f x 在区间()0,+∞上单调递减；②当0a ≥时，()f x 存在最大值；③当0a <时，直线y ax =与曲线()y f x =恰有3个交点；④存在正数a 及点()()11,M x f x （1x a >）和()()22,N x f x （2x a ≤），使1100MN ≤.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题13分）已知函数()22sin cos 2cos f x a x x x =-的一个零点为6π.（Ⅰ）求a 的值及()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()m f x M ≤≤对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求m 的最大值和M 的最小值.17.（本小题13分）生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.（Ⅰ）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；（Ⅱ）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人.记X 为这3人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为1x ，2x ，3x ，4x ，其方差为21s ；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为1y ，2y ，3y ，4y ，其方差为22s ；1x ，2x ，3x ，4x ，1y ，2y ，3y ，4y 的方差为23s .写出21s ，22s ，23s 的大小关系.（结论不要求证明）18.（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，平面PAB ⊥平面PAD ，E 为PA 中点，2PD AD ==.（Ⅰ）求证：AB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求直线DE 与平面PBC 所成角的大小；（Ⅲ）求四面体PEBC 的体积.19.（本小题15分）已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，且经过点()2,1C .（Ⅰ）求E 的方程：（Ⅱ）过点()0,1N 的直线交E 于点A ，B （点A ，B 与点C 不重合）.设AB 的中点为M ，连接CM 并延长交E 于点D .若M 恰为CD 的中点，求直线AB 的方程.20.（本小题15分）已知函数()e axf x x=，其中0a >.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）当12x x <且120x x ⋅>时，判断()()12f x f x -与1211x x -的大小，并说明理由.21.（本小题15分）给定正整数3N ≥，已知项数为m 且无重复项的数对序列A ：()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 满足如下三个性质：①{},1,2,,i i x y N ∈⋅⋅⋅，且i i x y ≠（1,2,,i m =⋅⋅⋅）；②1i i x y +=（1,2,,1i m =⋅⋅⋅-）；③(),p q 与(),q p 不同时在数对序列A 中.（Ⅰ）当3N =，3m =时，写出所有满足11x =的数对序列A ；（Ⅱ）当6N =时，证明：13m ≤；（Ⅲ）当N 为奇数时，记m 的最大值为()T N ，求()T N .北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.C2.A3.D4.D5.C6.B7.D8.A9.B10.A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.1213.3（答案不唯一）13.()4,+∞14.2x =-215.①②④三、解答题（共6小题，共85分）16.（共13分）解：（Ⅰ）由题设22sincos 2cos 0666a πππ-=，解得a =所以()2cos 2cos f x x x x=-2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为π.（Ⅱ）因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤.所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，即22sin 2116x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭.当262x ππ-=，即3x π=时，()f x 取得最大值1，当266x ππ-=-，即0x =时，()f x 取得最小值2-.由题设2m ≤-，且1M ≥.所以m 的最大值是2-；M 的最小值是1.17.（共13分）解：（Ⅰ）记“这2人都最喜爱使用跑步软件一”为事件A ，则()803032008020P A =⨯=.（Ⅱ）因为抽取的8人中最喜爱跑步软件二的人数为208280⨯=，所以X 的所有可能取值为0，1，2.()3638C 50C 14P X ===，()122638C C 151C 28P X ===，()212638C C 32C 28P X ===.所以X 的分布列为X012P5141528328故X 的数学期望515330121428284EX =⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）222231s s s <<.18.（共14分）解：（Ⅰ）因为PD AD =，E 为PA 中点，所以DE PA ⊥.又因为平面PAB ⊥平面PAD ，平面PAB 平面PAD PA =，且DE ⊂平面PAB .所以DE ⊥平面PAB .所以DE AB ⊥.因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AB ⊥.所以AB ⊥平面PAD .（Ⅱ）因为AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，所以CD ⊥平面PAD .又PD⊥平面ABCD ，所以DA ，DC ，DP 两两相互垂直.如图建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,0,2P ，()1,0,1E .所以()2,0,0CB = ，()0,2,2CP =- ，()1,0,1DE =.设平面PBC 的法向量为(),,m x y z = ，则0,0.m CB m CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,220.x y z =⎧⎨-+=⎩令1y =，则1z =.于是()0,1,1m =.设直线DE 与平面PBC 所成角为α，则1sin cos ,2m DE m DE m DE α⋅===⋅ .所以直线DE 与平面PBC 所成角的大小为30°.（Ⅲ）因为()1,0,1EP =-，所以点E 到平面PBC 的距离为22m EP d m⋅==.因为CB CP ⊥，所以四面体PEBC 的体积为11123323PBC V S d CB CP d =⋅=⋅⋅⋅⋅=△.19.（共15分）解：（Ⅰ）由题设，222223,2,411,c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得28a =，22b =.所以椭圆E 的方程为22182x y +=.（Ⅱ）若直线AB 与y 轴重合，则点M 与原点重合，符合题意，此时直线AB 的方程为0x =.若直线AB 与y 轴不重合，设其方程为1y kx =+.由221,48y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()2241840k x kx ++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122841kx x k -+=+.所以1224241M x x k x k +-==+，21141M M y kx k =+=+.因为M 是CD 的中点，所以282241D M C k x x x k -=-=-+，222141D M C y y y k =-=-+.因为2248D D x y +=，所以222282241804141k k k -⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.整理得340k k +=.解得0k =.但此时直线AB 经过点C ，不符合题意，舍去.综上，直线AB 的方程为0x =.20.（共15分）解：（Ⅰ）当1a =时，()e x f x x =，所以()()21e xx f x x -='.所以()1e f =，()10f '=.所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为e 0y -=.（Ⅱ）()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞ ，且()()21e ax ax f x x -='.令()0f x '=，得1x a=.()f x '与()f x 的情况如下：x (),0-∞10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '－－＋()f x所以()f x 的单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭；单调递减区间为(),0-∞和10,a ⎛⎫⎪⎝⎭.（Ⅲ）当12x x <且120x x ⋅>时，()()121211f x f x x x -<-，证明如下：令()()1g x f x x=-，则()()211ax ax e g x x -+='.设()()1e 1axh x ax =-+，则()2e axh x a x ='.所以当(),0x ∈-∞时，()0h x '<；当()0,x ∈+∞时，()0h x '>.所以()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增.从而()()00h x h >=，即()0g x '>.所以()g x 的单调递增区间为(),0-∞和()0,+∞.当120x x <<时，()()12g x g x <，即()()121211f x f x x x -<-；当120x x <<时，()()12g x g x <，即()()121211f x f x x x -<-.综上，当12x x <且120x x ⋅>时，()()121211f x f x x x -<-.21.（共15分）解：（Ⅰ）A ：()1,2，()2,3，()3,1，或A ：()1,3，()3,2，()2,1.（Ⅱ）因为(),p q 和(),q p 不同时出现在A 中，故2615m C ≤=，所以1，2，3，4，5，6每个数至多出现5次.又因为1i i x y +=（1,2,,1i m =⋅⋅⋅-），所以只有1x ，m y 对应的数可以出现5次，故()14425132m ≤⨯⨯+⨯=.（Ⅲ）当N 为奇数时，先证明()()221T N T N N +=++.因为(),p q 和(),q p 不同时出现在A 中，所以()()21C 12N T N N N ≤=-.当3N =时，构造A ：()1,2，()2,3，()3,1恰有23C 项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1.对奇数N ，如果可以构造一个恰有2C N 项的序列A ，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1，那么对奇数2N +而言，可按如下方式构造满足条件的序列A '：首先，对于如下21N +个数对集合：()(){}1,1,1,1N N ++，()(){}1,2,2,1N N ++，()(){}2,1,1,2N N ++，()(){}2,2,2,2N N ++，……，()(){},1,1,N N N N ++，()(){},2,2,N N N N ++，()(){}1,2,2,1N N N N ++++每个集合中都至多有一个数对出现在序列A '中，所以()()221T N T N N +≤++.其次，对每个不大于N 的偶数{}2,4,,1i N ∈⋅⋅⋅-，将如下4个数对并为一组：()1,N i +，(),2i N +，()2,1N i ++，()1,1i N ++，共得到12N -组，将这12N -组数对以及()1,1N +，()1,2N N ++，()2,1N +按如下方式补充到A 的后面，即：A ，()1,1N +，()1,2N +，()2,2N +，()2,3N +，()3,1N +，…，()1,1N N +-，()1,2N N -+，()2,N N +，(),1N N +，()1,2N N ++，()2,1N +.此时恰有()21T N N ++项，所以()()221T N T N N +=++.综上，当N 为奇数时，()()()()()()()()()()()224533T N T N T N T N T N T T T =--+---+⋅⋅⋅+-+。

北京市第十三中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷

北京市第十三中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷一、单选题1．集合{}{}1,2,2,4A B ==，全集为{}1,2,3,4U =，则()U C A B ⋃= A ．{}2B ．{}3C ．{}1,2,3D ．{}1,42．已知向量(1,1)a =v，(2,)b t =-v ，若a v ∥b v ，则实数t ＝A ．12B ．12-C ．2D ．－23．复数512z i i=++，则z 的共轭复数z 在复平面内所对应的点在（）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知角a 的终边在第三象限，且tan 2α=，则sin cos αα-=（）A ．1-B ．1C ． D5．函数)y x ωϕ=+其中0,0ωϕπ><<，的图象的一部分如图所示，则A ．3,84ππωϕ== B ．,84ππωϕ==C ．,42ππωϕ==D ．3,44ππωϕ==6．已知函数()233,0,0x a x f x x a x -+-<⎧=⎨-+≥⎩对任意的12,x x ∈R ，总满足以下不等关系：()()()12120x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦，则实数a 的取值范围为（）A ．34a ≤B ．34a ≥C ．1a <D ．1a ≥7．设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u v 与AC u u uv 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>u u u v u u u v u u u v ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知等边ΔABC 边长为3，点D 在BC 边上，且BD CD >，AD =下列结论中错误的是 A ．2BDCD= B ．2ABDACDS S ∆∆= C ．cos 2cos BADCAD∠=∠D ．sin 2sin BADCAD∠=∠9．李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过t 天后，用户人数()()0ktA t A e =，其中k 为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（）（本题取lg 20.30=） A ．31B ．32C ．33D ．3410．关于函数()sin cos2f x x x =+，给出下列三个命题： ①()f x 是周期函数；②曲线()y f x =关于直线π2x =对称； ③()f x 在区间[)0,2π上恰有3个零点．其中真命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题11．在(4x 的展开式中，3x 的系数为．12．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ．若210a =，540S =，则5a =，n S 的最大值为．13．已知函数()(),0,,0cos x x f x sinx x θ⎧+≥=⎨<⎩是偶函数，则θ的一个取值为.14．若24AB AC AB ⋅==uu u r uu u r uu u r ，且1AP =u u u r ，则AB =u u u r ，CP AB ⋅u u u r u u u r 的最大值为. 15．设 a n 与 b n 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合{}*|,N k k M k a b k ==∈，给出下列4个结论：①若 a n 与 b n 均为等差数列，则M 中最多有1个元素； ②若 a n 与 b n 均为等比数列，则M 中最多有2个元素； ③若 a n 为等差数列， b n 为等比数列，则M 中最多有3个元素； ④若 a n 为递增数列， b n 为递减数列，则M 中最多有1个元素.其中正确结论的序号是.三、解答题16．已知函数()4sin cos()3π=+f x x x （1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间；（2）求函数()f x 在区间[,]46ππ-上的值域和取得最大值时相应的x 的值. 17．李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记x 为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明在这场比赛中的命中次数，比较与x 的大小（只需写出结论）18．在ABC V 中，222bc a b c =--.(1)求A ∠的大小；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得ABC V 存在，求ABC V 的面积.条件①：1cos 3B =；条件②：sin C =；条件③：a =19．设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.20．已知函数()323f x x x =-．(1)求()f x 在区间[]2,1-上的最大值；(2)若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围； (3)问过点()1,2.75A -存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）21．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在正整数r ，t ，且r t <，使得r S t =，t S r =同时则称数列{}n a 为“,()M r t 数列”．(1)若首项为3，公差为d 的等差数列{}n a 是“(,2)M r r 数列”，求d 的值； (2)已知数列{}n a 为等比数列，公比为q ．①若数列{}n a 为“(,2)M r r 数列”，4r ≤，求q 的值；②若数列{}n a 为“,()M r t 数列”，(1,0)q ∈-，求证：r 为奇数，t 为偶数．。

北京市2025届高三上学期10月月考数学试题含答案

北京市2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题（答案在最后）(清华附中朝阳望京学校)2024.10.10姓名____________一、选择题共10小题,每小题4分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1.已知全集{}0U x x =>，集合{}23A x x =≤≤，则U A =ð（）A.(][)0,23,+∞B.()()0,23,+∞ C.(][),23,-∞⋃+∞ D.()(),23,-∞⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】由补集定义可直接求得结果.【详解】()0,U =+∞ ，[]2,3A =，()()0,23,U A ∴=+∞ ð.故选：B.2.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a b =，222a b ==，48a =，则{}n b 的公比为（）A.2B.2- C.4D.4-【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的基本量运算可得111a b ==-，然后利用等比数列的概念结合条件即得.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则242822a a d d +=+==，所以3d =，∴22123b a a ===+，111a b ==-，所以212b q b ==-.故选：B.3.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称．若3sin 5α=，则cos β=（）A.45-B.45C.35-D.35【答案】D 【解析】【分析】根据对称关系可得()22k k παβπ+=+∈Z ，利用诱导公式可求得结果.【详解】y x = 的倾斜角为4π，α\与β满足()22242k k k ππαβππ+=⨯+=+∈Z ，3cos cos 2cos sin 225k ππβπααα⎛⎫⎛⎫∴=+-=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.4.若点()1,1M 为圆22:40C x y x +-=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A.20x y --=B.20x y +-=C.0x y -=D.0x y +=【答案】C 【解析】【分析】由垂径定理可知MC AB ⊥，求出直线AB 的斜率，利用点斜式可得出直线AB 的方程.【详解】圆C 的标准方程方程为()2224x y -+=，()221214-+< ，即点M 在圆C 内，圆心()2,0C ，10112MC k -==--，由垂径定理可知MC AB ⊥，则1AB k =，故直线AB 的方程为11y x -=-，即0x y -=.故选：C.5.已知D 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AB AD ⋅的取值范围是（）A.B.2]C.[0,2]D.[2,4]【答案】D 【解析】【分析】根据向量数量积的几何意义可得||cos [1,2]AD DAB ∠∈ ，再由||||cos AD AB D A A B AD B =∠⋅即可求范围.【详解】由D 在边BC 上运动，且△ABC 为边长为2的正三角形，所以03DAB π≤∠≤，则[]cos 1,2AB DAB ∠∈ ，由||||cos [2,4]AD AB D D B A A A B =∠⋅∈.故选：D6.若0a b >>，则①11b a >；②11a ab b +>+>的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】A 【解析】【分析】对①，由a b >两边同除ab 化简即可判断；对②，由a b >得a ab b ab +>+，两边同除()1b b +化简即可判断；>>【详解】对①，0a b a b ab ab>>⇒>，即11b a >，①对；对②，由()()011a b a ab b ab a b b a >>⇒+>+⇒+>+，则()()()()111111a b b a a a b b b b b b +++>⇒>+++，②对；对③，由>，>，与0a b >>矛盾，③错；故选：A7.若命题“2,20x x x m ∃∈++≤R ”是真命题，则实数m 的取值范围是（）A.1m < B.1m ≤ C.1m > D.1m ≥【答案】B 【解析】【分析】不等式能成立，等价于方程有实数解，用判别式计算求参数即可.【详解】由题可知，不等式220x x m ++≤在实数范围内有解，等价于方程220x x m ++=有实数解，即440m ∆=-≥，解得1m ≤.8.“1a =”是“函数()22x x af x a+=-具有奇偶性”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要性的定义，及奇偶性的定义求参数a ，判断题设条件间的关系即可.【详解】当1a =时21()21x x f x +=-，则定义域为{|0}x x ≠，211221()()211221x x x x xx f x f x --+++-===-=----，故()f x 为奇函数，充分性成立；若2()2x x af x a+=-具有奇偶性，当()f x 为偶函数，则212()()212x x x xa a f x f x a a --++⋅-===--⋅，所以212212x xx xa a a a ++⋅=--⋅恒成立，可得0a =；当()f x 为奇函数，则212()()212x x x xa a f x f x a a --++⋅-===---⋅，所以212212x xx xa a a a ++⋅-=--⋅恒成立，可得1a =或=−1；所以必要性不成立；综上，“1a =”是“函数()22x x af x a+=-具有奇偶性”的充分而不必要条件.故选：A9.已知函数()32x x f x =-，则（）A.()f x 在R 上单调递增B.对R,()1x f x ∀∈>-恒成立C.不存在正实数a ，使得函数()xf x y a=为奇函数D.方程()f x x =只有一个解【答案】B【分析】对()f x 求导，研究()f x '在0x ≥、0x <上的符号，结合指数幂的性质判断()f x '零点的存在性，进而确定单调性区间、最小值，进而判断A 、B 的正误；利用奇偶性定义求参数a 判断C ；由(0)0f =、(1)1f =即可排除D.【详解】由3ln 3ln 22[(ln 3ln ()322]2x x x xf x =-'=-，而20x >，当0x ≥时()0f x '>，即(0,)+∞上()f x 递增，且(30)2x x f x =->恒成立；而0x <，令()0f x '=，可得3ln 2()2ln 3x=，所以00x x ∃=<使03ln 2(2ln 3x =，综上，0(,)x -∞上()0f x '<，()f x 递减；0(,)x +∞上()0f x '>，()f x 递增；故在R 上不单调递增，A 错误；所以0x x =时，有最小值0000002()323()3ln 3[1]3(1)ln 2x x x x xf x ===---，而0031x <<，ln 310ln 2<-，所以0ln 3ln 4111ln 2()ln 2f x >-->=-，故R,()1x f x ∀∈>-恒成立，B 正确；令()()x f x y g x a ==为奇函数且0a >，则3232()()x x x x x xg x g x a a ------==-=-恒成立，所以6(23)23x x x x x xxaa --=恒成立，则a =满足要求，C 错误；显然000)20(3f -==，故0x =为一个解，且(1)321f =-=，即1x =为另一个解，显然不止有一个解，D 错误.故选：B【点睛】关键点点睛：A 、B 判断注意分类讨论()f x '的符号，结合指数幂的性质确定导函数的零点位置，C 、D 应用奇偶性定义得到等式恒成立求参、特殊值法直接确定()f x x =的解.10.如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度()V x （单位：米/分钟）与时间x （单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”()v x 为无人机在时间段[]0,x 内的最大速度与最小速度的差，则()v x 的图像为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据速度差函数的定义，分[0,6],[6,10],[10,12],[12,15]x x x x ∈∈∈∈四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图像.【详解】由题意可得，当[0,6]x ∈时，无人机做匀加速运动，40()603V x x =+，“速度差函数”40()3v x x =；当[6,10]x ∈时，无人机做匀速运动，()140V x =，“速度差函数”()80v x =；当[10,12]x ∈时，无人机做匀加速运动，()4010V x x =+，“速度差函数”()2010v x x =-+；当[12,15]x ∈时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”()100v x =，结合选项C 满足“速度差函数”解析式，故选：C.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数()1ln 1f x x x =+-的定义域是____________.【答案】()()0,11+，⋃∞.【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得，10x x -≠⎧⎨>⎩故答案为：()()0,11,+∞ .【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12.直线:1l x y +=截圆22220x y x y +--=的弦长=___________.【答案】【解析】【分析】由圆的弦长与半径、弦心距的关系，求直线l 被圆C 截得的弦长．【详解】线l 的方程为10x y +-=，圆心(1,1)C 到直线l 的距离2d ==．∴此时直线l 被圆C 截得的弦长为=．.13.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点，平面AEF 与平面PBC ____________（填“垂直”或“不垂直”）；AEF △的面积的最大值为_____________．【答案】①.垂直②.【解析】【分析】根据线面垂直的的性质定理，判定定理，可证AE ⊥平面PBC ，根据面面垂直的判定定理，即可得证.分析可得，当点F 位于点C 时，面积最大，代入数据，即可得答案.【详解】因为PA ⊥底面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又底面ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥，又AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以⊥BC 平面PAB ，因为AE ⊂平面PAB ，所以BC AE ⊥，又2PA AB ==，所以PAB 为等腰直角三角形，且E 为线段PB 的中点，所以AE PB ⊥，又BC PB B ⋂=，,BC PB ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ，因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥与平面PBC .因为AE ⊥平面PBC ，EF ⊂平面PBC ，所以AE EF ⊥，所以当EF 最大时，AEF △的面积的最大，当F 位于点C 时，EF 最大且EF ==，所以AEF △的面积的最大为12⨯⨯=.14.设函数()221,,x x af x x a x a⎧-<=⎨+≥⎩①若2a =-，则()f x 的最小值为__________.②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是__________.【答案】①.2-②.1a ≤-【解析】【分析】对①，分别计算出每段的范围或最小值即可得；对②，由指数函数在开区间内没有最小值，可得存在最小值则最小值一定在x a ≥段，结合二次函数的性质即可得.【详解】①当2a =-时，()221,22,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩，则当2x <-时，()3211,4xf x ⎛⎫=-∈--⎪⎝⎭，当2x ≥-时，()222f x x =-≥-，故()f x 的最小值为2-；②由()221,,x x a f x x a x a⎧-<=⎨+≥⎩，则当x a <时，()()211,21x af x =-∈--，由()f x 有最小值，故当x a ≥时，()f x 的最小值小于等于1-，则当1a ≤-且x a ≥时，有()min 1f x a =≤-，符合要求；当1>-a 时，21y x a a =+≥>-，故不符合要求，故舍去.综上所述，1a ≤-.故答案为：2-；1a ≤-.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，21(R)n n n a a a λλ+-=∈．给出下列四个结论：①{}n a 是递增数列；②{}R,n a λ∀∈都不是等差数列；③当1λ=时，1a 是{}n a 中的最小项；④当14λ≥时，20232022S >．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】③④【解析】【分析】利用特殊数列排除①②，当0λ≠时显然有0n a ≠，对数列递推关系变形得到1n n na a a λ+=+，再判断③④即可.【详解】当数列{}n a 为常数列时，210n n n a a a +-=，{}n a 不是递增数列，是公差为0的等差数列，①②错误；当1λ=时，211n n na a a +-=，显然有0n a ≠，所以11n n na a a +=+，又因为10a >，所以由递推关系得0n a >，所以110n n na a a +-=>，故数列{}n a 是递增数列，1a 是{}n a 中的最小项，③正确；当14λ≥时，由③得0n a >，所以由基本不等式得11n n n a a a λ+=+≥=≥，当且仅当n na a λ=时等号成立，所以2320232022a a a ++⋅⋅⋅+≥，所以20232022S >，④正确.故选：③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知222b c a bc +=+.（1）求A 的大小；（2）如果cos 2B b ==，求ABC V 的面积.【答案】（1）3π；（2）2【解析】【分析】（1）利用余弦定理的变形：222cos 2b c a A bc+-=即可求解.（2）利用正弦定理求出3a =，再根据三角形的内角和性质以及两角和的正弦公式求出sin C ，由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）222b c a bc +=+。

北京市第三十五中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷

= 1中， b
=
4
，c
=
a2 + b2 =
a2 +16 ，
因为双曲线 C
的离心率为
e
=
c a
=
a2 +16 a
=
5 3
，\ a
=
3，c
=
5，
由双曲线的性质可知 PF2 ³ c - a = 2 ，由双曲线的定义可得 PF1 - PF2 = 2a = 6 ，
答案第31 页，共22 页
解得 PF2 = 4 或16 . 故选：A. 【点睛】关键点点睛：在利用双曲线的定义求解问题时，需要注意以下两点：
11．
2 y = ±2x
【解析】根据题意得 a2 = 1， 2c = 2 5 ，进而根据双曲线的性质求解即可.
【详解】解：根据题意得 a2 = 1 ， 2c = 2 5 ，所以 c = 5 ， b = c2 - a2 = 2 ，
由于双曲线焦点在
x
轴上，故渐近线方程为：
y
=
±
b a
x
=
±2x
.
故答案为： 2 ； y = ±2x .
=
24 7
时，求直线
PQ
的方程；
（3）设线段 PQ 的中点在直线 x + y = 0 上，求直线 PQ 的方程.
17．已知椭圆 C :
x2 a2
+
y2 b2
=1 (a
>
b
> 0) 的一个焦点为 F(-1,0)
， A1(-a,0) ，
A2(a,0) ，且
A2F = 3 ．（1）求椭圆 C 的方程；
试卷第31 页，共3Βιβλιοθήκη 页答案第41 页，共22 页

北京市第一○一中学2025届高三上学期开学检测数学试题

北京市第一○一中学2025届高三上学期开学检测数学试题一、单选题1．已知集合{}{}2|10,2,3,4,5A x x B =∈<=R 则A B ⋂=（）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,42．若0a b +<，且0b >，则（） A ．22ab a b <<B ．22a b ab <<-C ．22b ab a <-<D ．22a ab b <-<3．在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点M 的初始位置坐标为12⎛ ⎝⎭，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是A ．12⎫⎪⎪⎝⎭B ．12⎛- ⎝⎭C ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D ．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭4．如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，那么此系统的可靠性是（）A ．0.999B ．0.981C ．0.980D ．0.7295．若函数y (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．46．若两个正实数,x y 满足121y x+=，若至少存在一组,x y 使得226x m m y +≤--成立，则实数m 的取值范围是（） A ．{|42}m m -≤≤-B ．{|42}m m -<<-C ．{3}-D ．∅7．设()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，已知当[]2,3x ∈时，()f x x =，则当 []2,0x ∈- 时，()f x 的解析式为（） A ．4x +B ．2x -C ．31x -+D ．21x ++8．2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强､视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用､城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处C 点的高度，小王在场馆内的,A B 两点测得C 的仰角分别为45,30,60AB =o o （单位：m ），且30AOB ∠=o ，则大跳台最高高度OC =（）A ．45m B． C ．60m D．9．若函数()1,00,01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则“120x x +>”是“()()120f x f x +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知(){}|0M f αα==,(){}|0N g ββ==,若存在,M N αβ∈∈,使得n αβ-<,则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”.若()231x f x -=-与()2xg x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为A ．214(,e e ⎤⎥⎦B ．214,e e ⎛⎤ ⎥⎦⎝C ．242,e e ⎡⎫⎪⎢⎭⎣D ．3242,e e ⎡⎫⎪⎢⎭⎣二、填空题 11．已知复数1iiz +=，则z z ⋅=． 12．已知二项式(2)n x a -的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中3x 项的系数为20，则实数a 的值为.13．设D 为ABC V 内一点，且2155CD CA CB =+u u u r u u u r u u u r，则ACD V 与BCD △的面积比为.14．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，能说明“若{}n a 为递增数列，则*1,N n n n S S +∀∈<”为假命题的一组1a 和公比q 的值为1a =，q =．15．已知正项数列{}n a 满足11a =，2111n n n na a na ++=+，则在下列四个结论中，①2a ②{}n a 是递增数列；③111n n a a n +->+；④1111nn k a k+=<+∑.其中所有正确结论的序号是.三、解答题16．已知{a n }是等差数列，满足13a =，412a =，数列{b n }满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和.17．已知函数()sin 2cos cos 2sin f x x x ϕϕ=-，其中π2ϕ<，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使()f x 存在，并完成下列两个问题． (1)求ϕ的值；(2)若0m >，函数()f x 在区间[]0,m 上最小值为12-，求实数m 的取值范围．条件①：对任意的x ∈R ，都有()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立；条件②：π142f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；条件③：ππ236f f ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．18．在△ABCcos A A +b =2,a =222b a c >+.求： (1)tan 2A 的值； (2)c 和面积S 的值．19．某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷.规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会.现从2022年和2023年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取100位考生，获得数据如下表：假设每次考试是否通过相互独立.(1)从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率；(2)小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率；(3)若2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，则m 的最小值为下列数值中的哪一个？（直接写出结果）20．设函数()e cos xf x a x =+，a ∈R .曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为2y x =+.(1)求a 的值；(2)求证：方程()2f x =仅有一个实根；(3)对任意()0,x ∈+∞，有()sin 2f x k x >+，求正数k 的取值范围.21．定义()1212231,,,n n n a a a a a a a a a τ-=-+-++-L L 为有限项数列{}n a 的波动强度. (1)当(1)n n a =-时，求12100(,,,)a a a τL ；(2)若数列a b c d ,,,满足()()0a b b c -->，求证：(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ≤；(3)设{}n a 各项均不相等，且交换数列{}n a 中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列{}n a 一定是递增数列或递减数列。

2023-2024学年北京西城区育才学校高一(上)期中数学试题及答案

2023北京育才学校高一（上）期中数学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 已知集合{0,1,2,3,4}A =，{}32B x x =−<<，则A B =（）A. (0,1)B. {0,1}C. (0,2)D. {0,1,2}2. 命题“x ∀∈R ，都有230x x −+>”的否定为（） A. x ∃∈R ，使得230x x −+≤ B. x ∃∈R ，使得230x x −+> C. x ∀∈R ，都有230x x −+≤D. x ∃∉R ，使得230x x −+≤3. 下列函数中，是奇函数且在区间(0,)+∞上单调递减的是（）A. 2y x =−B. y =C. 1y x=D. 3y x =4. 如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（） A. 11a b<B. 22a b <C.1a b< D. 2ab b >5. 已知0x >，则44x x−+的最小值为（）A. －2B. 0C. 1D. 6. 定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)0f =，且在区间(,0]−∞上单调递减，则不等式()0f x <的解集为（） A.(2,)+∞B. (,2)(2,)−∞−+∞C. (2,2)−D. (0,2)7. 已知函数26()(1)f x x x=+−，则下列区间中含有()f x 的零点的是（） A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)8. 已知函数2()2f x x ax =−，则“a<0”是“函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象.给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本. 其中，正确的说法是（） A. ①③ B. ①④C. ②③D. ②④10. 已知方程组22124y kx x y =+⎧⎨+=⎩的解集为()(){}1122,,,A x y x y =，且125x x −=，则k =（）A. 1或1−或C. 12或12− D. 2或2−二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 函数()f x =___________.12. 已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x >时，()21f x x =−，则(2)f −=_________. 13. 已知函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②值域为[1,)+∞；③R x ∀∈，都有()()f x f x =−. 试写出一个函数解析式()f x =_________.14. 已知函数21,0()2,0x x f x x x x ⎧−>=⎨+≤⎩，那么((3))f f −=_________；当方程()f x a =有且仅有3个不同的根时，实数a 的取值范围是_________.15. 设函数()f x 的定义域为D ，若()f x 满足：“1x D ∀∈，都存在2x D ∈，使得()()120f x f x +=”则称函数()f x 具有性质τ，给出下列四个结论： ①函数()f x x =具有性质τ； ②所有奇函数都具有性质τ；③若函数()f x 和函数()g x 都具有性质τ，则函数()()f x g x +也具有性质τ； ④若函数2()f x x a =+，[2,1]x ∈−具有性质τ，则2a =−.其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题（本大原共6小题，共85分）16. 已知集合U =R ，{}2230A x x x =−−>，{}40B x x a =−≤.. （1）求A ，UA ；（2）当0a =时，A B ⋃；（3）若AB =R ，求实数a 的取值范围.17. 求下列关于x 的不等式或不等式组的解集.（1）102x x −<+ （2）21510x x ⎧−<⎨−≥⎩（3）22320(R)x ax a a −+≤∈ 18. 已知函数2()4xf x x =+. （1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；（2）定义证明函数()f x 在(0,2)上是增函数；（3）写出函数()f x 在(2,0)−上的单调性（结论不要求证明）. 19. 函数2()21f x x ax =−+，其中R a ∈.（1）若1a =，求函数()f x 在区间[2,3]x ∈−上的值域；（2）若函数()f x 有两个正数零点1x ，()212x x x <，（i ）求a 的取值范围；（ii ）求124x x +的最小值以及取到最小值时a 的值.20. 小华在某市场独家经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1吨该产品获利润500元，未售出的产品，每1吨亏损300元.小华为下一个销售季度购进了130吨该农产品.以x （单位：吨，100150x ≤≤）表示下一个销售季度内，该市场该农产品需求量.y （单位：元）表示下一个销售季度内小华销售该农产品的利润.（1）分别求当120x =时，y 的值；当140x =时，y 的值；（2）将y 表示为x 的函数；（3）求出下一个销售季度利润y 不少于57000元时，市场需求量x 的范围. 21. 已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”. （1）若2()f x ax ax =+是“一阶比增函数”，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 是“一阶比增函数”，求证：1x ∀，2(0,)x ∈+∞，()()()1212f x f x f x x +<+；（3）若()f x 是“一阶比增函数”，且()f x 有零点，求证：()2023f x >有解.参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 【答案】B【分析】应用集合的交运算求集合即可.【详解】{}{}{}0,1,2,3,4320,1A B x x ⋂=⋂−<<=. 故选：B 2. 【答案】A【分析】根据全称命题的否定表示方法选出答案即可. 【详解】命题“,x R ∀∈ 都有230x x −+>”的否定为： “,x R ∃∈ 使得230x x −+≤”，所以选项A 正确. 故选：A. 3. 【答案】C【分析】逐一判断选项中函数的奇偶性和单调性，即可得答案．【详解】A ．函数2y x =−为偶函数，不满足条件．B ．函数y =的定义域为[0，)∞+，定义域不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．C ．函数1y x=为奇函数且在区间(0,)+∞上单调递减，满足条件． D ．函数3y x =为奇函数，在区间(0,)+∞上单调递增，不满足条件．故选：C ． 4. 【答案】D【分析】根据不等式的性质即可逐一判断. 【详解】由0a b <<可得：110a b>>，()()2222-=0a b a b a b a b +−>⇒>,1>ab ，故A ，B ，C 错误,()220ab b b a b ab b −=−>⇒>，故D 正确. 故选：D 5. 【答案】B【分析】由基本不等式求得最小值．【详解】∵0x >，∴4440x x +−≥−=，当且仅当4x x =即2x =时等号成立．故选：B ． 6. 【答案】C【分析】根据偶函数的性质得到()20f −=，[)0,∞+单调递增，然后根据单调性解不等式即可. 【详解】因为()f x 为偶函数，()20f =，(],0−∞单调递减，所以()20f −=，[)0,∞+单调递增，所以不等式()0f x <的解集为()2,2−. 故选：C. 7. 【答案】B【分析】先判断26()(1)f x x x=+−在(0,)+∞上递增，再根据零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数26(,1)y x xy +==−在(0,)+∞上都递增，所以26()(1)f x x x=+−在(0,)+∞上递增，又因为()260(1)(11)201f f <=+−=−<， ()4(3)f f >>26(2)(21)602f =+−=>，所以()1(2)0f f <，所以区间(1,2)含有()f x 的零点，故选：B. 8. 【答案】A 【分析】先由()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求出a 的取值范围，再根据充分条件，必要条件的定义即可判断. 【详解】解：2()2f x x ax =−的对称轴为：22ax a −=−=，若()f x 在(0,)+∞上单调递增，则0a ≤，即a<0，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，反之，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，0a ≤，故 “a<0”是“函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A. 9. 【答案】C【分析】根据图象可知盈利额y 与观影人数x 成一次函数关系，再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即可得出答案.【详解】由图象(1)可设盈利额y 与观影人数x 的函数为y kx b =+，显然0k >，0b <，k 为票价. 当0k =时，y b =，则b −为固定成本. 由图象(2)知，直线向上平移，k 不变，即票价不变，b 变大，且0b <，则b −变小，成本减小.故①错误，②正确；由图象(3)知，直线与y 轴的交点不变，直线斜率变大.k 变大，即提高票价，b 不变，则b −不变，成本不变.故③正确，④错误. 故选：C. 10. 【答案】B【分析】由方程组可得22(12420)k x kx ++−=，应用韦达定理有122412k x x k +=−+，122212x x k =−+，再由22121212()4x x x x x x −=+−列方程求参数值即可.【详解】由题设222(1)4x kx ++=，则22(12420)k x kx ++−=，且22168(12)0k k ∆=++>，所以122412k x x k +=−+，122212x x k =−+，而2212121272()425x x x x x x +=−=−，即2224872()121225k k k −+=++，整理得24222424199164(92)(2)044125k k k k k k k +=⇒−−=+−=++，可得k = 故选：B二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 【答案】[)1,+∞【分析】根据偶次方根的被开方数非负得到不等式，解得即可；【详解】解：因为()f x =10x −≥，解得1x ≥，即函数的定义域为[)1,+∞故答案为：[)1,+∞ 12. 【答案】3−【分析】利用奇函数性质有(2)(2)f f −=−，结合已知解析式求函数值即可. 【详解】由题设(2)(2)(221)3f f −=−=−⨯−=−. 故答案为：3−13. 【答案】21x +（答案不唯一）【分析】根据题设写出一个定义域为R ，值域为[1,)+∞的偶函数即可. 【详解】由题设，()f x 是定义域为R ，值域为[1,)+∞的偶函数，所以2()1f x x =+满足.故答案为：21x +（答案不唯一）14. 【答案】 ①. 2 ②. [)0,1【分析】入解析式即可求出((3))f f −；方程()f x a =有且仅有3个不同的根即()y f x =与y a =的图象有3个交点，结合()y f x =图象，即可得出答案.【详解】因为()21,02,0x x f x x x x ⎧−>=⎨+≤⎩，所以()()23363f −=−−=，所以()((3))32f f f −==；画出函数()f x 的图象，方程()f x a =有且仅有3个不同的根即()y f x =与y a =的图象有3个交点，由图可得：01a ≤<. 故答案为：2；[)0,1. 15. 【答案】①②④【分析】根据函数具有性质τ，知函数的值域关于原点对称，从而依次判断得结论.【详解】由题知，若()f x 满足性质τ即：“1x D ∀∈，都存在2x D ∈，使得()()120f x f x +=” 则()f x 的值域关于原点对称.对于①，函数()f x x =，值域为R 关于原点对称，显然具有性质τ，故正确；对于②，因为所有的奇函数对应定义域内任意x 的都有()()f x f x −=−，则值域关于原点对称，显然具有性质τ，故正确；对于③，设2()1f x x =−，x ⎡∈⎣，值域为[]1,1−，具有性质τ，()1g x =+，x ⎡∈⎣，值域为[]1,1−，具有性质τ，2()()f x g x x +=−，x ⎡∈⎣，值域为1,02⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，不具有性质τ，故错误；对于④，若函数2()f x x a =+，[2,1]x ∈−具有性质τ，则()f x 的值域关于原点对称. 又 2()f x x a =+，[2,1]x ∈−时，()f x 的值域为[,4]a a +，则40a a ++=，解得2a =−，故正确. 故答案为:①②④.三、解答题（本大原共6小题，共85分）16. 【答案】（1）{|1A x x =<−或3}x >，{|13}UA x x =−≤≤；（2）A B ⋃={|0x x ≤或3}x >；（3）34a ≥. 【分析】（1）解一元二次不等式求集合A ，再由补运算求UA ；（2）由题设得{|0}B x x =≤，应用并运算求A B ⋃；（3）根据并集的结果及集合A 、B 有43a ≥，即可求参数范围. 【小问1详解】由{}(1)(3)0{|1A x x x x x =+−>=<−或3}x >，所以{|13}UA x x =−≤≤.【小问2详解】由题设{}4{|0}B x x a x x =≤=≤，所以A B ⋃={|0x x ≤或3}x >. 【小问3详解】由（1）（2）且AB =R ，则43a ≥，即34a ≥. 17. 【答案】（1）{}|21x x −<< （2）{}|13≤<x x （3）答案见解析【分析】（1）转化为一元二次不等式求解即可；（2）分别求解两个不等式，再求交集即可；（3分三种情况讨论，分别求解一元二次不等式即可. 【小问1详解】102x x −<+等价于()()120x x −+<，解得2<<1x −， 102x x −<+的解集为{}|21x x −<<；【小问2详解】由|21|5x −<可得521523x x −<−<⇒−<<，由10x −≥可得1x ≥，综上，13x ≤<，不等式组的解集为{}|13≤<x x 【小问3详解】由22320x ax a −+≤可得()()20x a x a −−≤，当a<0时，2a x a <<；当0a =时，=0x ；当0a >时，2a x a <<；综上，当a<0时，不等式的解集为{}|2x a x a <<；当0a =时，不等式的解集为{}0；当0a >时，不等式的解集为{}|2x a x a <<； 18. 【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）证明见解析（3）单调递增【分析】（1）根据奇偶性的定义判断并证明；（2）根据单调性的定义证明；（3）根据奇函数的性质判断. 【小问1详解】()f x 为奇函数，证明如下： ()f x 的定义域为R ，关于原点对称， ()()24xf x f x x −−==−+，所以()f x 为奇函数. 【小问2详解】令1202x x <<<，()()()()()()211221212222212144444x x x x x x f x f x x x x x −−−=−=++++，因为1202x x <<<，所以210x x −>，1240x x −>，所以()()210f x f x −>，即()()21f x f x >，所以()f x 在()0,2上是增函数. 【小问3详解】()f x 在()2,0−上单调递增.19. 【答案】（1）[0,9]；（2）（i ）1a >，（ii ）54a =时124x x +的最小值为4. 【分析】（1）根据二次函数性质求()f x 在已知区间上的最值，即可得值域；（2）（i ）由二次函数根的分布列不等式组求参数范围；（ii ）应用根与系数关系得1211144x x x x +=+，结合基本不等式求最小值，进而确定12,x x 的值，结合122x x a +=即可得a 的值. 【小问1详解】由题设22()21(1)f x x x x =−+=−，故最小值为(1)0f =，又开口向上且对称轴为1x =，则[2,3]x ∈−上最大值2(2)(21)9f −=−−=，综上，函数()f x 在区间[2,3]x ∈−上的值域为[0,9]. 【小问2详解】由函数()f x 有两个正数零点1x ，()212x x x <，（i ）所以20(0)10Δ440x a f a =>⎧⎪=>⎨⎪=−>⎩，则1a >.（ii ）12122,1x x a x x +==，则12111444x x x x +=+≥=，当且仅当121,22x x ==时等号成立，故124x x +的最小值为4，此时12522x x a +==⇒54a =.20. 【答案】（1）当120x =时，57000y =元；当140x =时，65000y =元；（2）80039000,10013065000,130150x x y x −≤≤⎧=⎨<≤⎩；（3）120150x ≤≤.【分析】（1）根据题设得到解析式，将120x =、140x =代入求值；（2）根据（1）所得解析式即得；（3）讨论不同区间，令57000y ≥求市场需求量x 的范围. 【小问1详解】由题意500300(130),100130500130,130150x x x y x −−≤≤⎧=⎨⨯<≤⎩，即80039000,10013065000,130150x x y x −≤≤⎧=⎨<≤⎩，当120x =时，8001203900057000y =⨯−=元；当140x =时，65000y =元. 【小问2详解】由（1）知：80039000,10013065000,130150x x y x −≤≤⎧=⎨<≤⎩.【小问3详解】当100130x ≤≤，令8003900057000x −≥，可得120x ≥，则120130x ≤≤；当130150x <≤，6500057000y =>恒成立，则130150x <≤；综上，120150x ≤≤. 21. 【答案】（1）0a >（2）证明见解析（3）证明见解析【分析】（1）由题意得()f x y ax a x==+在()0,∞+是增函数，由一次函数性质0a >；（2）由112212,x x x x x x <+<+，可得()()112112f x f x x x x x +<+，()()212212f x f x x x x x +<+，两式相加化简即可得结果；（3）取()0,t ∈+∞，满足()0f t >，记()f t m =，由（2）知()22f t m >，同理()()4224f t f t m >>，()()8248f t f t m >>，则一定存在*n ∈N ，使得()222023f nt nm >>.【小问1详解】由题意得()2f x ax ax y ax a xx+===+在()0,∞+是增函数.由一次函数性质知：当0a >时，y ax a =+在（0,+∞）上是增函数，0a ∴> 【小问2详解】()f x 是“一阶比增函数”，即()f x x 在()0,∞+上是增函数，又1,x ∀ ()20,x ∈+∞，有112212,x x x x x x <+<+，()()112112f x f x x x x x +∴<+，()()212212f x f x x x x x +<+，()()112112x f x x f x x x +∴<+，()()212212x f x x f x x x +<+，()()()()()11221212121212x f x x x f x x f x f x f x x x x x x ++∴+<+=+++【小问3详解】设()00f x =，其中00x >，因为()f x 是“一阶比增函数”，所以当0x x >时，()()000f x f x xx >=.取()0,t ∈+∞，满足()0f t >，记()f t m =，由（2）知()22f t m >，同理()()4224f t f t m >>，()()8248f t f t m >>，所以一定存在*n ∈N ，使得()222023f nt nm >>，所以()2023f x >一定有解.【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。

高三试卷数学-湖北省武昌实验中学2024届高三上学期12月月考数学试卷及参考答案

湖北省武昌实验中学高三年级12月月考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U =R ，，，则（）A.B.C.D. 2．已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则＝（）4．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为（）A ．BC ．D ．5．已知双曲线C ：，直线l 与C 相交于A，B 两点，若线段AB 的中点为，则直线l 的斜率为（）A ．B ．1C D ．26．ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 上靠近点B 的三等分点，连接DE 并延长到点F ，使得，则的值为（）A. B. C. D.7．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，{}1A y y x ==≥{}ln(2)B x y x ==-[2,)+∞[1,)+∞[1,2)[1,2]1z 42z i =-11z i-242221(0)y x b b-=>(1,2)N 1-2DE EF = AF BC ⋅23-112-11223()f x R ()21f x +()2f x +[]1,2x ∈．若，则的值是（）A. B. C. 2D. 12二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知事件A ，B 满足，，则（）A ．若，则B ．若A 与B 互斥，则C ．若，则A 与B 相互独立D ．若A 与B 相互独立，则10．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱BC ，C 1D 1的中点，则下列说法正确的是（）A ．M ，N ，A 1，B 四点共面B ．C ．过点A 1，B ，N 的平面被正方体所截得的截面是等腰梯形D ．过MN 作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为11．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（）A. B. C. 是数列中的最大项D. 12．已知函数与的定义域均为，分别为的导函数，，，若为奇函数，则下列等式一定成立的是（）()2=⋅+x f x a b ()()036f f +=()2log 96f 12-2-()0.3P A =()0.6P B =A B ⊆()0.18P AB =()0.9P A B +=()0.1P A B =()0.12P AB =11A M AB ⊥52π{}n a q n n S n n T 11a >202320241a a >()()20232024110a a --<1q >202320241S S +>2023T {}n T 40471T >()f x ()g x R ()(),f x g x ''()(),f x g x ()()5f x g x '+=()()225f x g x '--+=()g xA ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．展开式中的常数项为．14．在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为，则的方程为__________．15．已知曲线y ＝lnx 与y ＝ax 2（a ＞0）有公共切线，则实数a 的取值范围为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量，（），函数.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若是函数的任意两个相异零点，且的最小值为，求函数在上的值域．18．如图，四棱锥中，是等边三角形，，.（1）证明：；（2）若，，求点到平面的距离．()25f -=()()4g x g x +=()()8g x g x -'='()()8f x f x +'='6xOy 221:2C x y +=l 222:2430C x y x y ++-+=l sin ,sin 22x x a ωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭ cos ,sin 22x x b ωω⎛⎫= ⎪⎝⎭0ω>()2f x a b =⋅2ω=()f x 12,x x ()f x 12x x -π2()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭P ABCD -ABD △PA PB PD ==BC CD =BD PC ⊥BD =CD AP =A PCD DPCA19．已知数列中，，设为前n 项和，．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n 项和．20．为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：序号12345678910成绩（分）38414451545658647480记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为．经计算，，．（1）求；（2）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩　不合格的人数为，求的分布列；（3）经统计，高中生体测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为，求的数学期望．附：若ξ～，则，，．21．已知函数)0()ln()(>-=m x mx x f ．（1）若0)(≤x f 恒成立，求的取值范围；（2）若)(x f 有两个不同的零点21,x x 且122x x >，求实数m 的取值范围.{}n a 21a =n S {}n a 2n n S na ={}n a ()()1sin1cos 1cos 1n n n b a a +=++{}n b n T i i x 2,x s 1021()1690i i x x =-=∑102133050i i x ==∑x X X 2(,)N μσ2,x s 2,μσ[30,82]Y Y ()E Y 2(,)N ξμσ ()0.6827P μσξμσ-+≈≤≤(22)0.9545P μσξμσ-+≈≤≤(33)0.9973P μσξμσ-+≈≤≤m22．已知是椭圆上关于原点对称的两点，且，是椭圆上异于的一点，直线和的斜率满足．（1）求椭圆的标准方程；（2）点是椭圆长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q 作斜率不为0的直线l ，l 与椭圆的两个交点分别为P 、N ，若的值为定值，则称此时的点为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有“稳定点”；若没有，请说明理由．,A B C O ()A M C ,AB MA MB 13MA MB k k ⋅=-C Q C 11PQ QN +Q高三年级12月月考数学参考答案一．单选题 1-8. ADCDB BBD 二．多选题 9. BD 10. BCD 11. BC 12.ACD三．填空题13. 【答案】-160 14．【答案】 15．【答案】 16. 【答案】3．四．解答题17.(1)由已知.---------3分当时，，令，解得：，∴函数的单调递增区间为；---------5分(2)由（1）知，令，得，所以，.当最小时，不妨取，，即，，则.因为，则，故.---------8分因为，所以，，所以函数在上的值域为---------10分2450x y -+=1[,)2e+∞()()22sincossin sin 1cos 222xxx f x x xωωωωω⎛⎫=⋅-=-- ⎪⎝⎭sin cos 114πx x x ωωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭2ω=()π214f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()πππ2π22π242k x k k -≤+≤+∈Z ()3ππππ88k x k k Z -≤≤+∈()f x ()3πππ,π88k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦()π14f x x ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()0f x =πsin 4x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭1πsin 4x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭2πsin 4x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭12x x -1ππ44x ω+=2π3π44x ω+=10x =2π2x ω=12π2x x ω-=12minπ2x x -=ππ22ω=1ω=π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()(π114f x x ⎛⎫⎤=+-∈- ⎪⎦⎝⎭()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭(1⎤-⎦18.【解析】（1）如图，连接，交于点，连接，由，，，可得，所以，又，所以，所以，即为中点，在等腰中，可得，在等腰中，，又，所以平面，又平面，所以．（2）方法一：（对角线交点建系法）由（1）可得，，又，所以，，由于为正三棱锥，点在底面的垂足一定在上，设垂足为，根据正三棱锥的性质可得，如图，以，所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系．可得，，，，，（或）又，（或，）设平面的法向量，可得⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DC n PC n，不妨令，所以345||||=⋅=nAC n d ，故点到平面方法二：（等体积转化法）设点到平面的距离为，可得，由（1）可得，，又，AC BD O PO AD AB=CD BC =AC AC =ABC ACD△△≌BAC DAC ∠=∠AO AO =AOB AOD △△≌BO OD =O BD PBD △BD OP ⊥BCD △BD OC ⊥OP OC O = BD ⊥POC PC ⊂POC BD PC ⊥AC BD ⊥CD =12OD BD ==2CO ==3AO ==P ABD -P ABD AO M 223AM AO ==PM ==OA OB x y (3,0,0)A (2,0,0)C -(0,D P (3,0,PC =- (DC =- DP =(5,0,0)AC =- (3,AD =- (AP =- PCD (,,)x y z =n 3002020x z x x ⎧--=+=⎪⇒⎨-+==⎪⎪⎩⎩x =3)=-n A PCD A PCD h P ACD A PCD V V --=AC BD ⊥CD =12OD BD ==所以，，由于为正三棱锥，点在底面的垂足一定在上，设垂足为，根据正三棱锥的性质可得，，作中点，连接，由于，所以，，所以，所以，所以于是，代入可得所以点到平面19.(1)数列中，，为前n 项和，当时，，，当时，①，②，由②-①得：，，即，当时，，---------3分递推可得：，… ，，，由累乘法可得：，，又因为，所以，即，经检验，当时，符合上式，所以；---------6分(2)由（1）可知，，所以：2CO ==3AO ==P ABD -P ABD AO M 223AM AO ==PM ==1115()3322P ACD ACD V S PM AC OD PM -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△PC N DN PD CD =DN PC ⊥PC ==PN =2DN ==12PDC S PC DN =⨯⨯=△1532A PDC PDC V S h -=⨯⨯=△h =A PCD {}n a 21a =n S {}n a 1n =111122S a a a =⇒=10a ∴=2n ≥2n nS na =()1121n n S n a ++=+()11221n n n n S S n a na ++--+=()()1121n n n n S S n a na ++-=+-()11n n na n a +=-2n ≥11n n a na n +=-112n n a n a n --=-4332a a =3221a a =1341321321221n n n n a a a a n n a a a a n n +--⋅⋅=⨯⨯⨯⨯-- 12n a n a +=21a =1n a n +=1n a n =-1n =10a =1n a n =-1n a n =-1n a n+=，---9分所以nb ++ ；所以数列的前n 项和.---------12分20.【解析】（1）．（2）因为体质测试不合格的学生有3名，所以的可能取值为0，1，2，3．因为，，，．所以的分布列为（3）因为，，所以，．因为9545.0)22()8230(≈+≤≤-=≤≤σμσμx P x P ，所以学生的体质测试成绩恰好落在区间得概率约为，因为100名学生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y ～，所以．【详解】（1）()f x 的定义域为{}0x x >. 令()0f x ≤，得e xm x≤，令()(0)xe g x x x=>，则2e (1)()xx g x x -'=，()()1sin1cos 1cos 1n n n b a a +=++()sin1cos cos 1n n =+()()sin 1cos cos 1n n n n +-⎡⎤⎣⎦=+()()()sin 1cos cos 1sin cos cos 1n n n n n n +-+=+()()()()sin 1cos cos 1sin cos cos 1cos cos 1n n n nn n n n ++=-++()tan 1tan n n =+-123n T b b b =+++L ()()()()tan 2tan1tan 3tan 2tan tan 1tan 1tan n n n n =-+-++--++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()tan 1tan1n =+-{}n b ()tan 1tan1n T n =+-1(38414451545658647480)5610x =⨯+++++++++=X 373107(0)24C P X C ===217331021(1)40C C P X C ===12733107(2)40C C P X C ===333101(3)120C P X C ===X 56x =222222222221(181512520281824)16910s =⨯+++++++++=56μ=13σ=[3082]，0.9545[3082]，(1000.9545)Y B ，1000.954595.45E Y =⨯=（）X 0123P72421407401120令()0g x '=，可得1x =，当(0,1)x ∈时，()0g x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>.所以()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增.所以min ()(1)e g x g ==，所以(0,e]m ∈.（2）()()1122ln ,ln mx x mx x ==，两式相减，得2211ln x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令212x t x =>，则1ln (1)t t x =-，故12ln ln ,11t t t x x t t ==--，记ln (),21t h t t t =>-，则211ln ()(1)t t h t t '--=-，构造函数()()11ln 2H t t t t =--≥，()'22111t H t t t t-=-=，所以()H t 在[)2,+∞上()()'0,H t H t <递减，由于()11121ln 2ln 20222H =--=-<-=，所以当2t >时，()0H t <，所以211ln ()0(1)t t h t t '--=<-，所以函数()h t 在区间(2,)+∞上单调递减，故1()(2)ln 2x h t h =<=，即10ln 21x <<<，而e ()xm g x x==，()g x 在区间(0,1)上单调递减，故()12(ln 2)ln 2m g x g =>=，即2,ln 2m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.22.解：（1）设(),M x y，易知)1B-，由13MA MB k k ⋅=-13=-，化简得22162x y +=，故椭圆的标准方程为22162x y +=. ……4′C(2) 点Q 是椭圆长轴上的不同于左右顶点的任意一点，设0(,0)Q x ，则00x ≠.设直线PN 的方程为01122,(,),(,)x my x P x y N x y =+，由022612x my x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22200(3)260m y mx y x +++-=，01212202226,,033mx y y y m x y m --∴+==∆>++恒成立. ……6′11PQ QN ∴+===== ……10′要使其值为定值，则20612x -=，故当204x =，即02x =±综上，存在这样的稳定点(2,0)Q ±,即椭圆的焦点为稳定点. ……12′C。

北京市西城区回民学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

北京市西城区回民学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．抛物线上y＝(m－4)x，y2)，且y1＞y2，则）A ．m ＞4B ．m ＜4C ．m ≥4D ．m ≠48．已知一个二次函数图象经过()113,P y -，()221,P y -，()331,P y ，()443,P y 四点，若231y y y <<，则1y ，2y ，3y ，4y 的最值情况是（）A ．3y 最小，1y 最大B ．3y 最小，4y 最大C ．2y 最小，4y 最大D ．无法确定二、填空题15．已知双曲线3y x=-与直线（1）若120x x +=，则1y +（2）若120x x +>时，1y +或“<”）16．抛物线2y ax bx c =++的顶点为于此抛物线有如下四个结论：①经过点()C t n ，，则4t +一定是方程三、解答题(2)求此抛物线的解析式；(3)结合图象，直接写出方程2ax bx c ++=(4)结合图象，直接写出当03x <<时y 的取值范围．20．如图，一次函数()1y kx b k 0=+≠的图象与反比例函数(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)结合函数图象，直接写出(3)点P在x轴上，且满足21．2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品，某商家以每套容融套件，若该产品每套的售价是则每天少卖4套．(1)设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为式；(2)求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润22．小朋在学习过程中遇到一个函数整：x…2-32--y…围是________，函数值y的取值范围是________(2)进一步研究，y与x的几组对应值如表，请补充完整(1)点F的坐标是___________(2)过点F的直线与抛物线交于射线AM射出，AM所在直线与①画出沿射线FB方向射出的光线的反射光线②BP所在直线与x轴的交点坐标为24．在平面直角坐标系xOy意两点．(1)当点A 与点O 重合时，在()12,2P ，()22,1P -，()34,4P -中，关于点A 的距离系数为的是________；(2)已知点()2,1B -，()1,1C ，若线段BC 关于点(),1A m -的距离系数小于值范围为________；(3)已知点()4,0A ，()0,T t ，其中24t ≤≤．以点T 为对角线的交点作边长为正方形的各边均与某条坐标轴垂直，点D ，E 为该正方形上的动点，线段一个定值（02DE <<）．①线段DE 关于点A 的距离系数的最小值为________；②若线段DE 关于点A 的距离系数的最大值是32，则DE 的长为________。