中心流形的特点与近似求法
非线性动力学之一瞥—Lorenz系统
2.2
通过前面的讨论可以发现，洛伦兹系统随参数的变化奇点的数目和奇点稳定性将发生改变，这就是奇点分叉的实例。
（1）奇点数目的改变：
前面计算奇点数目时发现，奇点的数目与 无关，而与 和 有关。若 ， 时有三个奇点 和 ； 时就有一个奇点 。若 ，恰与之相反。若 ，也只能有一个奇点 。
（2）奇点稳定性的变化
因为有三个参数，奇点不唯一且变化，所以讨论起来比较麻烦。下面以奇点 为例分析。特征值为
显然， 从负变为正时， 从正变为负，奇点一定从不稳定变为稳定。但是 时，出现了零特征根的情形，在这一点是否稳定需要通过中心流形来判断，方法同前面讨论 时的一样。
{
fprintf(out,"%f,",x[i]);
}
fprintf(out,"\n");
for(i=0;i<=N-1;i++)
{
fprintf(out,"%f,",y[i]);
}
fprintf(out,"\n");
for(i=0;i<=N-1;i++)
{
fprintf(out,"%f,",z[i]);
由条件 可以使幂级数化为
代入第一式可得
展开可得
比较 和 的系数可得
因此
且
得
因此
因此中心流 上的解满足
因此
1） ：
时 ，当 时 ； 时 ，当 时 。因此 时，奇点 是稳定的。
p06_中心流形_V14
• 稳定性定义有多个 , 其中 Lyapunov 意义下的稳定性是 最基本的一个, 它包括线性系统的稳定性问题.
• 线性系统稳定性属于全局稳定性 , 非线性系统稳定性
则是一个局部性的概念.
3
• 不稳定性并不意味着系统轨迹随时间无限膨胀 , 如
van del Pol系统零平衡点在Lyapunov意义下是不 稳定的 , 但趋于定幅为 2 的运动 , 而不是趋于无限 .
例2:
矢量场: F(x, v)=F(v, -x) 该矢量场产生的流是一个绕原点的旋转.
t(x)
O
19
• 非线性系统 理论2: 非线性系统一般不存在上述三个不变子空间, 但 具有类似不变性质的集合. 将平衡点平移到原点, 记以 原点为中心的一个邻域为 d(0)0, 从其中出发的相轨线 为t(x). 引入三个集合: ns维局部稳定流形Wsloc(0), nu维 局部不稳定流形Wuloc(0), nc维局部中心流形Wcloc(0), 其 中ns+nu+nc=n. Eu Wsloc(0) t<=0t(Wsloc(0))=Ws(0) Wuloc(0) Es Wu(0)=t>=0t(Wuloc(0))
的流等价, 也即存在原点邻域N到另一原点邻域上的同
胚映射 , 以致 etA(y)=(x(t,y)), 即两个系统具有相同 的轨道结构-拓扑等价(共轭).
+Perko L, Differential Equations and Dynamical Systems, Third Edition, Spring-Verlag, 2001
8
2. 平衡点附近轨线结构
1 1 0 E s span{(1, 0, 0)， (1,1, 0)} u 1 1 0 例1: A E span(0, 0,1) c E 0 0 2
【国家自然科学基金】_中心流形理论_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140731
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
科研热词 周期解 脉冲哈密顿系统 稳定性开关 滞后免疫反应 欠驱动航天器 控制 姿态稳定 分岔控制 中心流形 hopf分支的方向 flip分岔
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2014年 科研热词 范式理论 lyapunov指数 hopf分支 hopf分岔 首次积分 稳定性 混沌系统 时滞 捕食者-食饵 四维混沌系统 周期解 倒立摆 中心流形理论 poincaré截面 kowalevskaya矩阵 ivlev型功能反应项 推荐指数 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5
2011年 科研热词 规范形 舞动 四分裂输电线 中心流形 galerkin离散法 推荐指数 1 1 1 1 1
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
科研热词 稳定性 解析方法 管理科学与工程 稀疏效应 离散系统 神经网络 电压稳定性 电力系统 时滞效应 捕食-被捕食 商务网站 周期波动 分支 中心流形定理 hopf分支 hopf分岔
2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
科研热词 混沌 中心流形 零动态方法 跨临界分叉 范式 突变 稳定性 碰撞振动 潜艇 水门开度 水轮发电机组 映射 操纵 摆振 强共振 奇异性理论 垂直面运动 动态补偿 分岔 冲击振动 hopf分岔 hopf-pitchfork分岔
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
水力学知识点讲解
《水力学》学习指南中央广播电视大学水利水电工程专业(专科)同学们，你们好！这学期我们学习的水力学是水利水电工程专业重要的技术基础课程。
通过本课程的学习，要求大家掌握水流运动的基本概念、基本理论和分析方法，；能够分析水利工程中一般的水流现象；学会常见的工程水力计算。
今天直播课堂的任务是给大家进行一个回顾性总结，使同学们在复习水力学时，了解重点和难点，同时全面系统的复习总结课程内容，达到考核要求。
第一章绪 论(一)液体的主要物理性质1．惯性与重力特性：掌握水的密度ρ和容重γ；2．粘滞性：液体的粘滞性是液体在流动中产生能量损失的根本原因。
描述液体内部的粘滞力规律的是牛顿内摩擦定律 :注意牛顿内摩擦定律适用范围：1)牛顿流体， 2)层流运动 3．可压缩性：在研究水击时需要考虑。
4．表面张力特性：进行模型试验时需要考虑。
下面我们介绍水力学的两个基本假设： (二)连续介质和理想液体假设1．连续介质：液体是由液体质点组成的连续体,可以用连续函数描述液体运动的物理量。
2．理想液体：忽略粘滞性的液体。
（三）作用在液体上的两类作用力第二章 水静力学水静力学包括静水压强和静水总压力两部分内容。
通过静水压强和静水总压力的计算，我们可以求作用在建筑物上的静水荷载。
（一）静水压强：主要掌握静水压强特性,等压面,水头的概念，以及静水压强的计算和不同表示方法。
1．静水压强的两个特性：（1）静水压强的方向垂直且指向受压面（2）静水压强的大小仅与该点坐标有关，与受压面方向无关，2.等压面与连通器原理：在只受重力作用,连通的同种液体内, 等压面是水平面。
(它是静水压强计算和测量的依据）3．重力作用下静水压强基本公式（水静力学基本公式） p=p 0+γh 或 其中 ： z —位置水头，p/γ—压强水头（z+p/γ）—测压管水头请注意，“水头”表示单位重量液体含有的能量。
4．压强的三种表示方法：绝对压强p ′，相对压强p ， 真空度p v , ↑ 它们之间的关系为：p= p ′-p a p v =│p │（当p ＜0时p v 存在）↑相对压强:p=γh,可以是正值，也可以是负值。
非线性动力学之一瞥——Lorenz系统
非线性动力学非线性系统之一瞥——Lorenz系统2013-01-300 前言0.1非线性系统动力学线性系统是状态变量和输出变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理的系统；非线性系统就是这些量不满足叠加原理的系统。
非线性系统在日常生活和自然界中不胜枚举，也远远多于线性系统。
非线性动力学是研究非线性系统的各种运动状态的定性和定量变化规律，尤其是系统的长时期行为。
研究的对象主要有分叉、混沌和孤立子等。
0.2洛伦兹方程洛伦兹方程是美国气象学家洛伦兹在模拟天气这一非周期性现象时确定，这个方程的三个变量分别模拟温度、湿度和压力。
可以得出结论，初期微小的差别随着时间推移差别会越来越大，洛伦兹基于此提出长期的天气预报是不可能的。
这也被视为研究非线性混沌理论的开始，所以洛伦兹系统在研究非线性系统中具有举足轻重的地位。
本文借助洛伦兹系统对非线性进行简单的介绍。
洛伦兹方程如下。
方程中，、和都为实参数。
实参不同，系统的奇点及数目也是不同的。
1 奇点和稳定性1.1 奇点洛伦兹系统含有三个实参数，当参数变化，奇点的数目可能不同。
首先，一定是系统的奇点。
时，当时，系统仅有一个奇点；当时，系统还有另外两个奇点。
下面仅解时的两个非原点奇点。
令方程第一式得，第三式可得，将两式代入第二式得即，。
1.2 奇点稳定性判别下面根据Liapunov稳定性判别方法，找出系统在原点处大围渐进稳定的条件，取Liapunov函数。
考虑，的情况。
则有将洛伦兹方程代入上式，可得变换为二次型，系数矩阵为已知，，则系数矩阵负定的条件是。
所以该系统是大围渐进稳定的条件是，前提是，。
Liapunov函数V总是存在的，只要构造出合适的Liapunov函数，就可以通过Liapunov稳定性定理直接判断奇点的稳定性，而不需要求解非线性方程组。
有的Liapunov函数不易构造，则可以通过奇点处导算子的特征值来判断：若所有的特征值实部都小于0，则方程组在该奇点是局部渐进稳定的；若特征值实部至少有一个为正，该奇点是不稳定的。
用中心流形与形式级数法研究超音速流中带外挂二元翼的稳定性
运 动 ， 出 了 由 周 期 运 动 进 入 混 沌 的 途 径 。 Ｌｅ 指 ｅ
阶焦点量 ， 解析判断平衡点的稳定性。
１ 系统建模
带外 挂二元翼 系统力学模 型如 图 １ 所示 ， 本文 假设外挂只有俯仰方 向位 移 ， 外挂与机翼之间 由 具有立方非线性刚度的弹簧连接 ， 并忽略外挂上 的 气动力 。机翼具有垂 向平移 和俯仰 两个 自由 度。采用能量法建立 系统动力学方程 ， 为系统总
体所博士研究生 。Ｅ ｍ ｉ ｄ ｌ ｃｅ２ ０ ＠ｙｈ ｏｔｍ ｃ 。 － ａ ：ａ ｎｈ ｒ０ ３ ａｏ． ｏ ．ｎ ｌ ｉ ｔ
：
＾ ＋ 后 ２ 后 ＋
维
工
程
７卷
气 动力 采用 活塞 理论 ：
（） ７ 式中 ￡ （）Ｌ （） Ｌ 和 。ｔ ， （） Ｍ 。 ｔ ， ｔ ，３ （） ｔ ， ３ （） ｔ分别表示第一 阶、 第二阶、 第三阶广义升力和广 义升力矩 ， 并有
动能 ， 为 系统 总 势能 ， 则
。
等 采用慢变参数 法和渐进理论研 究 了硬 弹簧和
软弹簧立方非线性， 结果 表明软弹簧 引起 的非线性
颤振边界对初值具有依赖性 ， 而硬弹簧与初值 的选
取没有关系。文献 ［ ］ ６ 采用 Ｋ Ｍ 渐近法研 究 了带 Ｂ 外挂二元翼极的极 限环 限环振 动。其一 ， 气动力基 本上采用的是以 Ｗａｎｒ ｇｅ 函数描述 的气动力 ， 在超音
速或者超高音速范 围是否适用 ， 需要进 一步验证 。
其二 ， 对分叉点 即颤 振临界点 的稳定性 ， 基本 上都 是通过数值计算 的方 式进行判 断。本 文针对带 外
离散系统中心流形定理
离散系统中心流形定理（Center Manifold Theorem）是控制理论中的一个重要概念。
在考虑自治系统（时不变系统）dx/dt=f(x)时，若对该系统在平衡点（x*）进行线性化，得到的雅克比矩阵为A=df/dt(x*)。
如果f(x)是r阶连续可导，那么在任意平衡点，存在唯一的r阶连续可导的稳定流形，存在唯一的r阶连续可导的不稳定流形，并存在（不一定唯一）r-1阶连续可导的中心流形。
这里的中心流形是指在平衡点附近既不被稳定流形的吸引力控制，也不被不稳定流形的排斥力控制的状态轨线。
在数学上，这个中心流形定理在分岔理论中有重要的应用。
当研究复杂的高维非线性动力系统分岔问题时，中心流形定理可以有效地降低系统的维数，简化对系统行为的研究。
通过中心流形定理，可以将一个高维动力系统在奇点附近的各种性态的研究简化为一个低维（中心流形上）的流的方程的研究，从而大大简化了问题的复杂性。
以上信息仅供参考，如需了解更多关于离散系统中心流形定理的信息，建议咨询数学或物理学专家，或者查阅相关领域的专业书籍。
流体力学第六章相似原理与量纲分析
理量的量纲被选为基本量纲，余下 n-m 个物理量可各自与这m 个物理量组合成无量纲量 1,2,,nm ，定理的结论是：物理 过程的无量纲表达形式为 F(1, 2,, nm ) 0
例 初速为零的自由落体运动位移 s
量纲和谐原理的重要性：
a.一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验 经验公式的 正确性和完整性。
b.量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。
c.可用来建立物理方程式的结构形式。
1. 定理
• 物理过程涉及 n 个物理量，其中有 m 个物理量的量纲是互
相独立的，选这量纲为基本量纲，可组成 n-m 个无量纲量， 物理过程则可由这 n-m 个无量纲量的关系式描述。否则就违反 了量纲和谐原理。
该相同，确定物理量的指数x,y,z,a ，代入指
数方程式即得各物理量之间的关系式。
应用范围：一般情况下，要求相关变量未知
数n小于等于4~5个.
第二节 相似的基本概念
原型：天然水流和实际建筑物称为原型。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）
的代表物，称为模型。 水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑
应点（包括边界上各点）的速度u及加速度a方向相同，且大小
各具有同一比值。 速度比尺： （6-4） 加速度比尺： （6-5）
3.动力相似 动力相似：是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力
方向相同，其大小比值相等。 力的比尺：
（6-6）
4.初始条件和边界条件的相似 初始条件：适用于非恒定流。 边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。
流体运动状态的改变是惯性力和其他各种作用力相互作用 的结果。因此，各种作用力之间的比例关系应以惯性力为一方 来相互比较。
p06_中心流形_V14
Es
t=-1
t=-2j Ec
t=+2j
Ec
• 这些子空间对流etA而言是不变子空间: 起始于该空间 的轨道永远呆在该空间里. 证明: 对半简情况, 可化为Jordan型: A=TJT-1, 从而
e1t etA Te JtT 1 0
e2t
0 n t e
若x0 E s ,则t 时 etA x0 0 若x0 E u , 则t 时 etA x0 若x0 E c ,对任意t，etA x0 保持不变
2. 平衡点附近轨线结构
系统(1): dx/dt=f(x), 解x(t)=x(t,y), x(0)=y 系统(2): dx/dt=Ax+g(x), g(0)=0, Dg(0)=0. 理论1(Hartman-Grobman理论+): 设 f 光滑. 若A=Df(0) 全部特征值有非零实部(双曲平衡点), 则方程(1)和(2)
8
2. 平衡点附近轨线结构
1 1 0 E s span{(1, 0, 0)， (1,1, 0)} u 1 1 0 例1: A E span(0, 0,1) c E 0 0 2
1 0 0 例2: A 0 0 2 0 2 0
2. 平衡点附近轨线结构
• 线性系统 定义1 设dx/dt=Ax的特征值重数(代数重数)与特征向量
所张成的子空间维数 (几何重数 )相同 (称为半简情况 ).
定义三个子空间:
The stable subspace: Re( r ) 0，E s span{ r1 , r 2 ,, ns } The unstable subspace: Re( r ) 0，E u span{ r1 , r 2 ,, nu } The center subspace: Re( r ) 0，E c span{ r1 , r 2 ,, nc }
《流体力学》课件 第五章 相似原理与量纲分析
[ML T ] ] [L] [ML ]
1 2 b1
3 c1
4) 确定无量纲量的表达式： 5) 写出准数方程:
v a2 l b2 ρ c2 g π 3 = a3 b3 c3 v l ρ
p = Eu ρv 2 1 π2 = = ρvl Re
π1 =
π4 =
τ
v a4 l b4 ρ c4
gl = Fr 2 v vτ π4 = = Ho l
13
量纲
物理量所属的种类，反映物理量的本质，与单位之 间存在密切的联系，又有一定的区别。
量纲表达式
导出量与基本量之间的关系式。
规则： I. II. III.
C = A× B
C= A B
C = An
[C ] = [A]× [B] [C ] = [A] [B ] [C ] = [A]n
14
量纲指数
量纲和谐原理 在一个有意义的方程中，任意两项的量纲都必须相同。 量纲分析法推导相似准数
C ρ Cv Cτ
=
C ρ Cv2 Cl
=
C Cv Cl2
7
=
Cp Cl
= Cρ Cg
相似准数的导出
C ρ Cv Cτ ① = Cρ C Cl ②
2 v
v′′ v′y′ v′′ x = = z = Cv v′ v′y v′ x z
=
C Cv Cl2 ③
=
Cp Cl ④
= Cρ Cg
τ ′′ = Cτ τ′
π1 =
F a v∞ d b ρ c
1 a
(v∞ , d , ρ )
π2 =
2 3 c 2
a v∞′ d b′ ρ c′ 1 1
[π 1 ] =
两类偏微分方程的不变流形
两类偏微分方程的不变流形本文主要研究偏微分方程的不变流形,即中心流形,稳定流形和不稳定流形,其中为定义在Banach空间X内的非线性偏微分算子,(?)为线性算子,其谱具有三分性,N为非线性算子且其算子阶小于(?)的算子阶.在动力系统理论中人们特别关心方程(0.1)的一些特殊解(平衡解,周期解,拟周期解等)的存在性和稳定性,而这些特解周围的其它类型解的性质可以通过研究这些特解而得到.KAM(Kolmogorov-Arnold-Moser)理论是研究偏微分方程拟周期解的一个强有力工具,它主要包括正规形方法和Newton-Nash-Moser隐函数定理方法.用正规形方法得到的拟周期解是线性稳定的.最近Xavier Carbe,Ernest Fontich和Rafael de la Llave引入参数化方法来求解线性算子的谱具有三分性的方程的拟周期解.该方法利用线性算子(?)的(离散)谱的三分性把原系统约化到一个有限维的子空间中.虽然该方法也需要无穷次KAM迭代,但是所解的同调方程均是有限维.而需要指出的是该方法需要借助数值模拟等方法预先求出所考察方程的一个近似解K(t),即其中||e||Y充分小.本文主要考察Boussinesq方程关于以上两个方程已经有大量的研究成果.特别地,Rafael de la Llave在2009证明了(0.2)拥有光滑的中心流形.2015年徐君祥证明了(0.2)在适当的条件下存在一族具有2个频率的拟周期解.2016年Rafael de la Llave和Yannick Sire证明了(0.2)有有限维的拟周期解.2008年K.W.Chug和袁小平证明在d = 1情况下(0.3)存在周期解和2-维的拟周期解.2009年,丛洪滋,刘建军和袁小平证明d>1时方程(0.3)也存在2-维拟周期解.2011年丛洪滋和高美娜证明了带导数的复Ginzburg-Landau方程存在2-维拟周期解.2013年程红玉和司建国证明了具有拟周期驱动的复Ginzburg-Landau方程存在(m + 2)-维的拟周期解,此时驱动的频率满足Diophantine条件.本文的具体安排如下:第一章分为五节.第一节介绍所研究问题的背景,特别是两个具体模型的研究背景及研究现状.第二节给出一些常用定义,不等式,引理,命题等.第三节给出有限维和无穷维Hamilton系统的KAM定理.第四节给出具有驱动的非Hamilton系统的KAM定理,其中驱动频率满足Diophantine条件.第五节我们介绍 Xavier Carbe,Ernest Fontich 和Rafael de la Llave 在 2003 年引入的参数化方法并简单地介绍用该方法构造拟周期解的过程.第二章我们构造具有拟周期驱动(驱动频率满足Diophantine条件)的复Ginzburg-Landau方程的拟周期解.具体地,我们把所研究方程的解写成所在空间基的线性组合,把该和代入方程后得到一个格点方程,然后我们做一个变换消去格点方程中的不可积项,再通过作用量角变量变换和一些简单的计算我们得到一个可积系统加小扰动的系统.最后利用第一章所证明的定理1.5得到我们的结果.第三章我们构造Boussinesq方程和复Ginzburg-Landau方程的有界解附近的稳定流形.值得说明的是该解可以是用任何方法得到的(向前)有界解.具体地,假设u(t)=K(t)是(0.1)的解,我们需要找到另一个函数ξ(t)使得u(t)= K(t)+ξ(t也是(0.1)的解.把是u(t)=K(t)和u(t)=K(t)+ξ(t)分别代入(0.1)中并经简单的计算得到关于Ο(t)的发展方程(原方程的变分方和复Ginzburg-Landau 方程程).以拟周期解K(θ+ωt)为例,所求它的稳定流形就是集合W我们称W是函数w的图像,这里函数w是满足的函数.需要用压缩不动点定理来求函数w.第四章是附录,一些引理的详细证明在本章给出。
流体力学中的流动分析方法
流体力学中的流动分析方法流体力学是研究流体运动及其相互作用的学科，广泛应用于各个领域，如航空航天、能源、环境工程等。
在流体力学中，流动分析方法是一种重要的工具，用于揭示流体在不同条件下的运动规律和行为特征。
本文将介绍流体力学中常用的流动分析方法。
一、欧拉法(Eulerian Method)欧拉法是一种宏观描述流体运动的方法，通过对流体中各点的特性参数进行分析来研究流动规律。
在欧拉法中，我们将流体看作是连续介质，假设在流体中每个点都存在一个固定坐标系。
通过对流体的质量、动量和能量守恒方程的求解，可以得到流体在空间和时间上的分布情况。
二、拉格朗日法(Lagrangian Method)拉格朗日法是一种微观描述流体运动的方法，关注的是流体中个体质点的运动轨迹和状态变化。
在拉格朗日法中，我们将流体看作是由无数个质点组成的，每个质点都有其独立的坐标系。
通过观察和分析每个质点的运动情况，可以揭示流体的整体运动规律。
三、雷诺平均法(RANS, Reynolds-Averaged Navier-Stokes)雷诺平均法是一种常用的流动分析方法，适用于大多数实际流动问题的求解。
它基于雷诺分解原理，将流场变量分解为平均值和涨落值，并通过对涨落值的统计平均来求解流动方程。
雷诺平均法对湍流流动的模拟相对简化，适用于具有周期性和稳态特征的流动。
四、计算流体动力学方法(Computational Fluid Dynamics, CFD)计算流体动力学方法是一种基于数值计算和离散化技术的流动分析手段。
通过将流体运动方程离散化为代数方程组，并采用数值方法进行求解，可以模拟和预测流场的分布和变化。
计算流体动力学方法可以对复杂流动问题进行较为精确的数值求解，提供了一种高效、经济且可靠的流动分析工具。
五、边界元法(Boundary Element Method, BEM)边界元法是一种将流动问题转化为边界上的积分方程来求解的方法。
通过将流体运动方程变形为边界上的积分方程，并采用适当的数值方法进行求解，可以得到流场的数值解。
流体流动特性
化规律。
t不变 ，改变x，y，z，代表某一时刻，空间各点的速度分布。
2
3.1 流场及其描述方法
3. 两种方法的比较
拉格朗日法
欧拉法
表达式复杂
表达式简单
不能直接反映参数的空 直接反映参数的空间分
间分布
布
不适合描述流体元的运 适合描述流体元的运动
t
et
d
t
et
c2
(t
1)et
c2et
t
1
由t = 0时刻 x a, y b 可得 c1 a 1, c2 b 1
代回积分式，可得流体质点轨迹方程为
x (a 1)et t 1 y (b 1)et t 1
9
3.2 流体流动的速度场
14
3.2 流体流动的速度场
【例3-2】 有一流场，其流速分布规律为：u= -ky，v= kx，w=0，试求 流线方程。 【解】 由于w=0，所以是二维流动，二维流动的流线方程微分为
dx dy uv
将两个分速度代入流线微分方程
dx dy ky kx
积分上式得到 x2 y2 C
即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆
动变形特性
变形特性
拉格朗日观点是重要的 流体力学最常用的解析 方法
分别描述有限质点的轨 同时描述所有质点的瞬
迹
时参数
3
3.2 流体流动的速度场
速度场——任一瞬时由空间点上速度矢量构成的场， 又称速度分布。
1. 流体质点运动的速度和加速度 在直角坐标系中采用欧拉方法描述的速度函数为
两类偏微分方程的不变流形
高中物理解题技巧之14.近似法
十四、近似法方法简介近似法是在观察物理现象、进行物理实验、建立物理模型、推导物理规律和求解物理问题时，为了分析认识所研究问题的本质属性，往往突出实际问题的主要方面，忽略某些次要因素，进行近似处理.在求解物理问题时，采用近似处理的手段简化求解过程的方法叫近似法.近似法是研究物理问题的基本思想方法之一，具有广泛的应用.善于对实际问题进行合理的近似处理，是从事创造性研究的重要能力之一.纵观近几年的物理竞赛试题和高考试题，越来越多地注重这种能力的考查.赛题精讲例1：一只狐狸以不变的速度1υ沿着直线AB 逃跑，一只猎犬以不变的速率2υ追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F 处，猎犬在D 处，FD ⊥AB ，且FD=L ，如图14—1所示，求猎犬的加速度的大小.解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，故猎犬做匀速率曲线运动，根据向心加速度r r a ,22υ=为猎犬所在处的曲率半径，因为r 不断变化，故猎犬的加速度的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬在D 处的加速度大小，由于2υ大小不变，如果求出D 点的曲率半径，此时猎犬的加速度大小也就求得了.猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段很短的时间t ∆内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为R ，则加速度=a R 22υ 其方向与速度方向垂直，如图14—1—甲所示.在t ∆时间内，设狐狸与猎犬分别 到达D F ''与，猎犬的速度方向转过的角度为=α2υt ∆/R而狐狸跑过的距离是：1υt ∆≈L α 因而2υt ∆/R ≈1υt ∆/L ，R=L 2υ/1υ图14—1图14—2—甲所以猎犬的加速度大小为=a R22υ=1υ2υ/L 例2 如图14—2所示，岸高为h ，人用绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向为θ时，收绳速率为υ，则该位置船的速率为多大？解析 要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率.设船在θ角位置经t ∆时间向左行驶x ∆距离，滑轮右侧的绳长缩短L ∆，如图14—2—甲所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有L ∆=θcos x ∆两边同除以t ∆得：θcos tx t L ∆∆=∆∆，即收绳速率θυυcos 船= 因此船的速率为θυυcos =船例3 如图14—3所示，半径为R ，质量为m 的圆形绳圈，以角速率ω绕中心轴O 在光滑水平面上匀速转动时，绳中的张力为多大？解析 取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆心角θ∆很小时，有近似关系式.sin θθ∆≈∆若取绳圈上很短的一小段绳AB=L ∆为研究对象，设这段绳所对应的圆心角为θ∆，这段绳两端所受的张力分别为A T 和B T （方向见图14—3—甲），因为绳圈匀速转动，无切向加速度，所以A T 和B T 的大小相等，均等于T . A T 和B T 在半径方向上的合力提供这一段绳做匀速圆周运动的向心力，设这段绳子的质量为m ∆，根据牛顿第二定律有：R m T 22sin 2ωθ∆=∆； 因为L ∆段很短，它所对应的圆心角θ∆很小所以22sin θθ∆=∆ 将此近似关系和πθπθ22∆=⋅∆⋅=∆m R m R m 代入上式得绳中的张力为πω22R m T = 例4 在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道ABC ，光滑小球从顶点A 处沿图14—2 图14—2—甲图14—3 图—14—3—甲斜边轨道自静止出发自由地滑到端点C 处所需时间，恰好等于小球从顶点A 处自静止出发自由地经两直角边轨道滑到端点C 处所需的时间.这里假设铅垂轨道AB 与水平轨道BC 的交接处B 有极小的圆弧，可确保小球无碰撞的拐弯，且拐弯时间可忽略不计.在此直角三角形范围内可构建一系列如图14—4中虚线所示的光滑轨道，每一轨道是由若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交接处都有极小圆弧（作用同上），轨道均从A 点出发到C 点终止，且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，由静止出发自由地从A 点滑行到C 点所经时间的上限与下限之比值.解析 直角三角形AB 、BC 、CA 三边的长分别记为1l 、2l 、3l ，如图14—4—甲所示，小球从A 到B 的时间记为1T ，再从B到C 的时间为2T ，而从A 直接沿斜边到C 所经历的时间记为3T ，由题意知321T T T =+，可得1l ：2l ：3l =3：4：5，由此能得1T 与2T 的关系. 因为21121121T gT l gT l ==所以21212T T l l = 因为1l ：2l =3：4，所以 1232T T =小球在图14—4—乙中每一虚线所示的轨道中，经各垂直线段所需时间之和为11T t =，经各水平段所需时间之和记为2t ，则从A 到C 所经时间总和为21t T t +=，最短的2t 对应t 的下限min t ，最长的2t 对应t 的上限.max t小球在各水平段内的运动分别为匀速运动，同一水平段路程放在低处运动速度大，所需时间短，因此，所有水平段均处在最低位置（即与BC 重合）时2t 最短，其值即为2T ，故min t =.35121T T T =+ 2t 的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置，实现它的方案是垂直段每下降小量1l ∆，便接一段水平小量2l ∆，这两个小量之间恒有αcot 12l l ∆=∆，角α即为∠ACB ，水平段到达斜边边界后，再下降一小量并接一相应的水平量，如此继续下去，构成如图所示的微齿形轨道，由于1l ∆、2l ∆均为小量，小球在其中的运动可处理为匀速率运动，分别所经的时间小量)(1i t ∆与)(2i t ∆之间有如下关联：αcot )()(1212=∆∆=∆∆l l i t i t 于是作为)(2i t ∆之和的2t 上限与作为)(1i t ∆之和的1T 之比也为.cot α故2t 的上限必为1T αcot ，即得：.37cot 111max T T T t =+=α 这样:max t min t =7:5例5 在光滑的水平面上有两个质量可忽略的相同弹簧，它们的一对端点共同连接着一个光滑的小物体，另外一对端点A 、B 固定在水平面上，并恰使两弹簧均处于自由长度状态且在同一直线上，如图14—5所示.如果小物体在此平面上沿着垂直于A 、B 连线的方向稍稍偏离初始位置，试分析判断它是否将做简谐运动？解析 因为一个物体是否做简谐运动就是要看它所受的回复力是否是一个线性力，即回复力的大小与位移大小成正经，方向相反.因此分析判断该题中的小物体是否做简谐运动，关键是求出所受的回复力的表达式（即此题中所受合外力的表达式）.以AB 中点为原点，过中点且垂直于AB 的直线为x 轴，如图14—5—甲所示，取x 轴正方向为正方向，小物体所受回复力为：θsin )(20l l k F x --= ①其中k 为弹簧的劲度系数，0l 为弹簧的自由长度，l 为弹簧伸长后的长度，θ为弹簧伸长后与AB 直线的夹角.由几何知识可得lx =θsin ② 220x l l += ③将②、③代入①式得：203202212200)]211(1[2])(1[2l kx x l x k x x l l k F x -=---=+--== 由此可见，小物体受的合外力是一个非线性回复力，因此小物体将不做简谐运动.同时本题表明，平衡位置附近的小振动未必都是简谐运动.例6 三根长度均为m 2，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架ABC ，C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动.杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图14—6所示，现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动.解析 松鼠在AB 轨道运动，当框架不动时，松鼠受到轨道给它的水平力F ′作用，框架也受到松鼠给它的水平力F 作用，设在某一时刻，松鼠离杆AB 的中点O 的距离为x ，如图14—6所示，松鼠在竖直方向对导轨的作用力等于松鼠受到的重力mg ，m 为松鼠的质量.以C 点为轴，要使框架平衡，必须满足条件FL FL mgx 2360sin =︒=，松鼠对AB 杆的水平力为 )3/(2L mgx F =，式中L 为杆的长度.所以对松鼠而言，在其运动过程中，沿竖直方向受到的合力为零，在水平方向受到杆AB 的作用力为F ′，由牛顿第三定律可知F ′=F ，即kx L mgx F =-=')3/(2 其中L mk 32-=即松鼠在水平方向受到的作用力F ′作用下的运动应是以O 点为平衡位置的简谐运动，其振动的周期为.64.22/322s g L k m T ===ππ当松鼠运动到杆AB 的两端时，它应反向运动，按简谐运动规律，速度必须为零，所以松鼠做简谐运动的振幅小于或等于L/2=1m.由以上论证可知，当框架保持静止时，松鼠在导轨AB 上的运动是以AB 的中点O 为平衡位置，振幅不大于1m 、周期为2.64s 的简谐运动.例7 在一个横截面面积为S 的密闭容器中，有一个质量为m 的活塞把容器中的气体分成两部分.活塞可在容器中无摩擦地滑动，活塞两边气体的温度相同，压强都是p ，体积分别是V 1和V 2，如图14—7所示.现用某种方法使活塞稍微偏离平衡位置，然后放开，活塞将在两边气体压力的作用下来回运动.容器保持静止，整个系统可看做是恒温的.（1）求活塞运动的周期，将结果用p 、V 1、V 2、m 和S 表示；（2）求气体温度0=t ℃时的周期τ与气体温度τ'=30℃时的周期τ'之比值.解析 （1）活塞处于平衡时的位置O 为坐标原点.0=x 当活塞运动到右边距O 点x 处时，左边气体的体积由V 1变为V 1+Sx ，右边气体的体积由V 2变为V 2Sx -，设此时两边气体的压强分别为1p 和2p ，因系统的温度恒定不变，根据玻意耳定律有：222111)()(pV Sx V p pV Sx V p =-=+ 而以上两式解出：)1(2,)1(22221111V Sx V pV p V Sx V pV p +=+= ① 按题意，活塞只稍许离开平衡位置，故上式可近似为：),1(11x V S p p -≈ )1(22x V S p p +≈，于是活塞受的合力为.)11()(21221x V V pS S p p +-=-所以活塞的运动方程是x V V V V pS x V V pS ma 21212212)11(+-=+-= 其中a 是加速度，由此说明活塞做简谐运动，周期为)(221221V V pS V mV +=πτ （2）设温度为t 时，周期为τ，温度为t '时，周期为τ'.由于T p T p ''=，得出 T T T TV V pS V m V V V S p V m V '='⋅+=+'='τππτ)(2)(22122121221 所以TT '='ττ，将数值代入得95.0:='ττ 例8 如图14—8所示，在边长为a 的正三角形三个顶点A 、B 、C 处分别固定电量为Q 的正点电荷，在其中三条中线的交点O 上放置一个质量为m ，电量为q 的带正电质点，O点显然为带电质点的平衡位置，设该质点沿某一中线稍稍偏离平衡位置，试证明它将做简谐运动，并求其振动周期.解析 要想证明带电质点是否做简谐运动，则需证明该带电质点沿某一中线稍稍偏离平衡位置时，所受的回复力是否与它的位移大小成正比，方向相反.因此该题的关键是求出它所受回复力的表达式，在此题也就是合外力的表达式.以O 为坐标原点，以AOD 中线为坐标x 轴，如图14—8—甲所示，设带电质点在该轴上偏移x ，A 处Q 对其作用力为1F ，B 、C 处两个Q 对其作用的合力为2F ，取x 轴方向为正方向. 有2221)1()(---=--=r x r kQq x r kQqF 因为a OC OB OA r 33====++=--r xr x21)1(2当x 很小时可忽略高次项所以)361(321a x a Qqk F +-=232222222])()2)[((2))()2()()2((2-+++=+++⋅++=x h a x h kQq x h a xh x h a kQq F2322)24)((2-+++=hx h a x h kQq （略去2x 项）232)333)((2-++=ax a x h kQq23232)31()3)((2--++=x a a x h kQq)3231(363x a a x h kQq -+=)233(363x hx a h a Qqk +-= （略去2x 项）)2331(363h xx a h a Qqk +-=)231(33x a aQq k += 因此带电质点所受合力为qx a Q k x aa x q a Q k F F F x 3221239)2336(3-=--=+= 由此可知，合外力x F 与x 大小成正比，方向相反. 即该带电质点将做简谐运动，其振动周期为kQqam a k m T 32322ππ== 例9 欲测电阻R 的阻值，现有几个标准电阻、一个电池和一个未经标定的电流计，连成如图14—9所示的电路.第一次与电流计并联的电阻r 为50.00Ω，电流计的示度为3.9格；第二次r 为100.00Ω，电流计的示度为5.2格；第三次r 为10.00Ω，同时将待测电阻R 换成一个20.00k Ω的标准电阻，结果电流计的示度为7.8格.已知电流计的示度与所通过的电流成正比，求电阻R 的阻值.解析 在测试中，除待求量R 外，电源电动势E ，电源内阻r ，电流计内阻g R 以及电流计每偏转一格的电流0I ，均属未知.本题数据不足，且电流计读数只有两位有效数字，故本题需要用近似方法求解. 设电源电动势为E ，电流计内阻为g R ，电流计每偏转一格的电流为0I ，用欧姆定律对三次测量的结果列式如下：09.3150505050I R R R r R R R Eg g g gg=⋅+⋅+++ 02.51100100100100I R R R r R R R E g g g gg=⋅+⋅+++ 08.711010200001010I R R R r R R E gg g g g=⋅+⋅+++ 从第三次测量数据可知，当用20k Ω电阻取代R ，而且r 阻值减小时电流计偏转格数明显增大，可推知R 的阻值明显大于20k Ω，因此电源内阻完全可以忽略不计，与R相比，电图14—9流计内阻g R 与r 的并联值对干路电流的影响同样也可以忽略不计，故以上三式可近似为：09.35050I R R E g=+⋅① 02.5100100I R R E g=+⋅② 08.7101020000I R E g=+⋅ ③ 待测电阻R=120k Ω解①、②、③三式，可得g R =50Ω例10 如图14—10所示，两个带正电的点电荷A 、B 带电量均为Q ，固定放在x 轴上的两处，离原点都等于r .若在原点O放另一正点电荷P ，其带电量为q ，质量为m ，限制P 在哪些方向上运动时，它在原点O 才是稳定的？解析 设y 轴与x 轴的夹角为θ，正电点电荷P 在原点沿y 轴方向有微小的位移s 时，A 、B 两处的点电荷对P 的库仑力分别为A F 、B F ，方向如图14—10所示，P 所受的库仑力在y 轴上的分量为βαcos cos B A y F F F -= ① 根据库仑定律和余弦定理得θcos 222rs s r kqQ F A ++= ② θcos 222rs s r kqQ F B +-= ③ θθαcos 2cos cos 22rs s r sr +++= ④ θθβcos 2cos cos 22rs s r sr ++-= ⑤将②、③、④、⑤式代入①得：23222322)cos 2()cos ()cos 2()cos (θθθθrs s r s r kqQ rs s r s r kqQ F y -+--+++=图14—10因为s 很小，忽略2s 得： ])cos 21(cos )cos 21(cos [23233θθθθr s s r rs sr r kqQ F y ---++= 又因为1cos 2,<≤θr s r s 所以利用近似计算x x 231)1(23≈±-得 )]cos 31)(cos ()cos 31)(cos [(3θθθθr s s r r s s r rkqQ F y +--++≈忽略2s 得)1cos 3(23--=θrkqQs F y 当（0)1cos 32>-θ时y F 具有恢复线性形式，所以在31cos 2>θ范围内，P 可围绕原点做微小振动，所以P 在原点处是稳定的.例11 某水池的实际深度为h ，垂直于水面往下看，水池底的视深为多少？（设水的折射率为n ）解析 如图14—11所示，设S 为水池底的点光源，在由S 点发出的光线中选取一条垂直于面MN 的光线，由O 点垂直射出，由于观察者在S 正方，所以另一条光线与光线SO 成极小的角度从点S 射向水面点A ，由点A 远离法线折射到空气中，因入射角极小，故折射角也很小，进入人眼的两条折射光线的反向延长线交于点S ′，该点即为我们看到水池底光源S 的像，像点S ′到水面的距离h '，即为视深. 由几何关系有,/tan ,/tan h AO i h AB r ='=所以h h i r '=/tan /tan ，因为r 、i 均很小，则有i i r r sin tan ,sin tan ≈≈，所以h h i r '≈/sin /sin 又因i r n sin sin =所以视深n h h /='针对训练1．活塞把密闭气缸分成左、右两个气室，每室各与U 形管压强计的一臂相连，压强计的两臂截面处处相同.U 形管内盛有密度为5.7=ρ×102kg/m 3的液体.开始时左、右两气室的体积都为V 0=1.2×10－2m 3，气压都为0.40=ρ×103Pa ，且液体的液面处在同一高度，如图14—12所示.现缓缓向左推动活塞，直到液体在U 形管中的高度差h =40cm.求此时左、右气室的体积V 1、V 2.假定两气室的温度保持不变.计算时可以不计U 形管和连接管道中气体的体积.取g =10m/s 2.2．一汽缸的初始体积为V 0，其中盛有2mol 的空气和少量的水（水的体积可忽略），其平衡时气体的总压强是3.0大气压.经过等温膨胀使其体积加倍，在膨胀过程结束时，其中的水刚好全部消失，此时的总压强为2.0大气压.若让其继续作等温膨胀，使其体积再次加倍，试计算此时：（1）汽缸中气体的温度；（2）汽缸中水蒸气的摩尔数；（3）汽缸中气体的总压强. （假定空气和水蒸气均可当做理想气体处理）3．1964年制成了世界上第一盏用海浪发电的航标灯，它的气室示意图如图14—13所示.利用海浪上下起伏力量，空气能被吸进来，压缩后再推入工作室，推动涡轮机带动发电机发电.当海水下降时，阀门S 1关闭，S 2打开，设每次吸入压强为1.0×106Pa 、温度为7℃的空气0.233m 3（空气可视为理想气体），当海上升时，S 2关闭，海水推动活塞绝热压缩空气，空气压强达到32×105Pa 时，阀门S 1才打开.S 1打开后，活塞继续推动空气，直到气体全部推入工作室为止，同时工作室的空气推动涡轮机工作.设打开S 1后，活塞附近的压强近似保持不变，活塞的质量及活塞筒壁间的摩擦忽略不计.问海水每次上升时所做的功是多少？已知空气从压强为1ρ、体积为V 1的状态绝热的改变到压强为2ρ、体积为V 2的状态过程中，近似遵循关系式1ρ/2ρ=（V 2/V 1）5/3，1mol 理想气体温度升高1K 时，内能改变为3R/2.[R=8.31J/(mol·K)]4．如图14—14所示，在O x 轴的坐标原点O 处，有一固定的电量为)0(>Q Q 的点电荷，在L x -=处，有一固定图14—13图14—14的、电量为Q 2-的点电荷，今有一正试探电荷q 放在x 轴上0>x 的位置，并设斥力为正，引力为负.（1）当q 的位置限制在O x 轴上变化时，求q 的受力平衡的位置，并讨论平衡的稳定性；（2）试定性地画出试探电荷q 所受的合力F 与q 在O x 轴上的位置x 的关系图线.5．如图14—15所示，一人站在水面平静的湖岸边，观察到离岸边有一段距离的水下的一条鱼，此人看到鱼的位置与鱼在水下的真实位置相比较，应处于什么方位.6．如图14—16所示，天空中有一小鸟B ，距水面高m h 31=，其正下方距水面深m h 42=处的水中有一条小鱼A.已知水的折射率为4/3，则小鸟看水中的鱼距离自己是多远？小鱼看到鸟距离自己又是多远？参考答案1．V 1=0.8×10－2m 3 ，V 2=1.6×10－2m 3 2．（1）373K （2）2mol （3）1.0大气压3．8.15×104J 4．（1）平衡是稳定的 （2）5．应在鱼的右上方6．6m ，8m。
应用数学方向,动力系统第三章非线性微分方程动力系统的简化
第三章非线性微分方程动力系统的简化在非线性微分方程动力系统研究中，很自然地期望有一些有效的方法使原系统降阶或简化，井能保持原系统的动态特性。
目前，现有的知识主要有中心流形、范式、奇异摄动及精确线性化等。
本章将简要地叙述相关方面的基本内容3.1中心流形3.1.1中心流形的基本定理本节考虑以下形式非线性微分方程系统Equation Section 3(3.1) 其中，假定和是具有相应维数的常数矩阵，并且的所有特征值具有零实部，的所有特征值具有负实部。
函数和关于其变元皆二阶连续可微，且；(注：f'和是它们各自的雅可比矩阵)。
定义3.1一个集合（流形）被称为系统(3.1)的局部不变流形(Local invariant manifold)是指，对任何的系统(3.1)的初值为的解始终在集合S内，其中，为某正数。
进而，如果，，那么S就称为不变流形(invariant manifold)。
定义3.2如果是系统(3.1)的一个不变流形，并且为光滑函数，，，那么它被称为中心流形（centre manifold）。
对于系统(3.1)，我们有，定理3.1 对系统(3.1)而言，若，，和满足假设条件，那么存在一个中心流形，其中(δ为某一个正数)，且。
证今为函数，取值为又设其中。
首先，将证明系统(3.2)有一个中心流形，充分小。
让为一类李氏函数的集合：该类函数具有李氏常数，和。
于是，在采用上确界范数时，是一个完备空间。
对，，设是以下方程的解：(3.3) 同时，定义一个新的函数如下(3.4)于是，如果是(3.4)的一个不动点的话，就是(3.2)的一个中心流形。
为证明(3.4)不动点的存在，可以从求证对和充分小的，是上的压缩映射而得到。
根据与G的定义，存在一个连续函数，且，使得(3.5) 对所有成立。
因为所有特征值具有负实部，所以存在正常数和C：同样，由于的所有特征具有零实部，对每个常数总存在常数，使得且如果那末就可以利用(3.4)来估计G和类似项，以下总假设。
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轴 的轨 线 也 是 中 心 流 形 ， （ ） 无 数 条 中心 流 形 。 们 的 全 体恰 好 盖 故 ２有 它 ） 连续 的 动 力 系 统 ， 的 称 的 不 变 集 为 不 住 了第 二 、 象 限 和 轴 ， 三 因此 ， 中心 流 形 的 明 显特 点 是 不 唯 一 性 。 ５ 中心 平 衡 点 的 分 岔 在 中 心 流形 里 面 。 由 于 中 心 流 形 的 流 不 变 ） ） ｕ ， ≥０ ∈ Ｖｔ ｌ 性 ， 得 在 中 心 平 衡 点 分 岔 出 的 所 有 解 依 然 在 中 心 流 形 里 面 ， 意 味 使 这 着 我 们 只 要 在 中心 流形 里 考 查 分 岔 即 可 。 这 使 得 高 维 系 流 的 分 岔 问
…
，
（） 的特征向量空间分成三部分 ： ④ ０ ， ． 酽
即： 稳定 子空 间 Ｅ＝ｐ ｎｖ，２… ， ｝ ＇ｓａ ｛ｌ ，
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中心 子 空 间 Ｅ＝ｐ ｎｗｌＯ， ， ） ￣ｓ ａｌ ，２… ｔ 设 ：∈ 是 适 合 ｔ
【 关键词 】 中心流形 ； 特点 ； 近似 求法； 降阶
Ｉ ｌ ａｔ ｅ ａ ｅ ｈ ｄ ｆ Ａｐｐ ｏ ｉ ａ ｅ Ｓ ｌ ｉ ｎ ｏ ｎ ｅ ａ ｉｏ ｄ １ｅ Ｆｅ ｕｒ ｎｄ Ｍ ｔ ｏ ｏ ｒ ｘ ｍ ｔ ｏ ｕｔｏ ｆ Ｃｅ ｔ ｒ Ｍ ｎ ｆ ｌ ｓ Ｙｕａ ￣ｈｕ ｘ ａ
１ 基 本 概 念 与假 设
考虑 ｎ维 系 统 ： ）
由于 （ ， ） 平 衡 点 ， 对 于 ００是 且
（ ｆｙ １ （） ） ｘ＝ ，㈠
在 ，（）—（ ０（ｏ． （）， ， 一＝ ） ＝ｏ １ ： ｙｏ点 ）
设 Ｉ 为ｔ 维非线性系流垂． ） 厂 的平衡点，＝ｘ是 ５ ） 的线性 （ ｘＡ ＝ 在
，
ｙ ｘ＝ ｏ ｅ ， （）ｙｅ ≠Ｏ，（ ）０ ｙ０＝ （） ３ 曲 线 （ ） 于 在 原 点 的 左 导 数 为 零 ， ｙ ） ＊， ３关 且 一 当 — ０ ； ） ＋ ， ， 当 — 一可知 过 第 二 、 象 限任 一 点 的 相 轨 线 都 是 中心 流 形 ， 。 三 过
（ ｐ ｒ ｎ ｆ ａ Ｉ ａｉ ， ｃ ｉ ｌ ｇ， ｉｈ ｕＧｕ ｎ ｘ ，４ ３ ０Ｃｈｎ ） Ｄｅ ａｔ ｔ Ⅱ哪 ｔ ｓ Ｈｅｈ ｌ ｅ Ｙｚ ｏ ａ ｇ ｉ５ ６ ０ ， ｉａ ｍｅ ｏ Ｍ ｃ Ｃｏ ｅ
【 ｓｒｃ ］ｈ ｅｔｒ ｆ ｅ ｔ ｎｆｌｓｉ ｄｓｕ ｓｄ Ｔ ｅｍｅｈｄｏ ｅｓｌｔ ｎｔｅａｐｏｉ ｔ ｅ ｔｒ ｎｆｌｓｉ ｄ ｃ ｒｄ ａｄｗ ｅ ｅ Ａｂｔａ ｔＴ ｅＦ ａ ｅｏ ｎｅ ｍａｉ ｄ ｉ ｓｅ ． ｈ ｔｏ ｆｈ ｏ ｉ ｐ ｒｘｍａｅｃｎｅ ｉ ｄ ｅｌ ｅ ， ｎ ｈｎｔ ｕ ｃ ｒ ｏ ｓ ｃ ｔ ｕｏ ｈ ｍａ ｏ ｓ ａ ｈ
２１ 年 ０１
第 １ 期 ７
Ｓ ＩＮ Ｅ＆Ｔ Ｃ Ｎ Ｌ Ｇ Ｆ Ｒ ＴＯ ＣＥ Ｃ Ｅ Ｈ Ｏ Ｏ Ｙ Ｎ Ｏ ＭＡ Ｉ Ｎ Ｉ
ｏ本刊重点与近似求法
林远华 （ 池学 院数 学 系 广西 宜 州 ５ ６ ０ ） 河 ４ ３ ０
【 摘
数。
要】 本文讨论 了中心流形 的特点 ， 并根据平衡 点邻域 流形 结构稳定性说明 中心流形的近似 求法以及研 究分岔 问题时如何降低 系统维
ｅ ｕｌｂｕ ｐ ｉｔＳｎ ｉｈ ｏ ｒ ｏ ｄ ｑ ｉｉｒｍ ｏｎ ’ ｅｇ ｂ ｕ ｈ ｏ ．
【 ｙｗ ｒ ｓＣ ｎｅ ｎｆｌ； ｅｔｒ； ｔｏ ｆ ｐ ｒ ｉ ｔ ｓ１ｔ ｎ ｃｕｅ ｒｅ Ｋｅ ｏ ｄ ］ ｅｔｒ ｉ ｄ Ｆ ａ ｅ Ｍｅ ｄｏ ｐｏ ｍａｅ ｏｕｉ ； ｌｃｄｏｄ ｒ ｍａ ｏ ｕ ｈ ａ ｘ ０ Ｒｅ
化系流， 中Ａ＝ 其 ） ，２…， Ｄ （ ） ， ｋ， ＾ 是 ｆ ｘ 的特征值 ， Ｒ Ａ ￣０， － 若 ｅ ｋ ＝
因 （ ， ） 一 个 特 征 值 为 ０ 故 （ Ｏ 是 中心 ， 稳 定 子 空 间 和 ＯＯ有 ， ０，） 其 稳定 流 形是 Ｙ轴 ， 心 子 空 间是 轴 ， 中 不稳 定 流形 不 存 在 。 １２ ， 称 双 曲 的 。若 Ｒｅ ￣０ 称 中心 。 ，… ｎ； 是 Ａ－ ， 为 设 Ｉ ２… ， ，ｔ Ｗ， ， ， ｌ，Ｚ ｌ 对 上 式积 分 得 ｌ 和 Ｗ ， … ， 是 相 应 的 （ 的 特 征 向 量 的 全 体 ， 分 别 是 ‘ 。 ， Ｗ Ｗ ） 且 拉 一 ，（）ｙｅ ， ， ｔ＝ｏ ， Ｒ Ａ ０，ｅ ＞ ， Ｒ Ａ ０的 特 征 向 量 的 全 体 ， 以 ＋ ＝ｌ从 而 ｅ＜ Ｒ Ａ ０和 ｅ＝ 所 ｎ ， ，
题 ． 以简 化 为 低 维 系 流 的 分 岔 问题 。 可 ６ 中心 流 形 的 光 滑性 也 要 比稳 定 流形 差 ， 系 统 甚 至 解 析 系 统 未 ） ｃ 必有 ｅ 的局 部 中心 流 形 。
ｐ ｏ ｌｍ ｆ ｂ ｆ ｒ ａ ｉ ｎ ｉ ｉｃ ｓ ｅ ｈ ｍｅ ｈ ｄ ｏ ｅ ｕ ｅ ｏ ｄ ｒ ｏ ｉ ｅ ｅ ｔ ｌ ｅ ｕ ｔｏ ｓ ｅ ｌｒ ｄ ｂ ｈ ｆ ａｕ ｅ ｆ ｓａ ｉｉ ｆ ｓｒ ｃ ｕ ｅ ｏ ｒｂｅ ｏ ｉ ｃ ｔ ｓ ｓ ｄｓ ｕｓ ｄ ｔｅ ｕ ｏ ｔ ｏ ｆ ｒ ｄ ｃ ｄ ｒ ｅ ｆ ｄ ｆ ｒ ｎ ｉ ｑ ａｉ ｎ ｉ ｄ ｃ ａ ｅ ｙ ｔ ｅ ｅ ｔ ｒ ｏ ｔ ｂ ｌｔ ｏ ｔｕ ｔ ｒ ｆ ｆ ａ ｙ