第五节 向量的内积
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线性代数§5.1向量的内积
|| x || || y ||
称为n维向量 x 与 y 的夹角, 规定0 .
例1: 求向量x = (1, 2, 2, 3)与y = (3, 1, 5, 1)的夹角. 解: [x, y]=13+21+25+31=18,
|| x || 12 22 22 32 18,
|| y || 32 12 52 12 36,
由于1, 2, ···, r 是两两正交的非零向量组,则有
当 i j 时, [i, j]=iTj = 0, 当 i = j 时, [i, i]=iTi 0,
用iT ( i =1, 2, ···, r )左乘上式得, 1iT1 + ···+ iiTi + ···+ riTr = iT0 = 0,
2. 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交, 则称该向量 组为正交向量组. 3. 正交向量组的性质
定理1: 若向量组1, 2, ···, r 是n维正交向量组, 则1, 2, ···, r 线性无关.
证明: 设有数1, 2, ···,r, 使得: 11 + 22 + ···+ rr = 0
解: 先正交化. 取
b1= a1=(1, 1, 1, 1),
b2
a2
[b1 ,a2 [b1 ,b1
] ]
b1
(1, 1,0,4)
114
(1,1,1,1) (0, 2, 1,3),
1111
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
] ]
b1
[b2 [b2
,a3 , b2
] ]
b2
(3,5,1, 1) 8 (1,1,1,1) 14(0, 2, 1,3)
称为n维向量 x 与 y 的夹角, 规定0 .
例1: 求向量x = (1, 2, 2, 3)与y = (3, 1, 5, 1)的夹角. 解: [x, y]=13+21+25+31=18,
|| x || 12 22 22 32 18,
|| y || 32 12 52 12 36,
由于1, 2, ···, r 是两两正交的非零向量组,则有
当 i j 时, [i, j]=iTj = 0, 当 i = j 时, [i, i]=iTi 0,
用iT ( i =1, 2, ···, r )左乘上式得, 1iT1 + ···+ iiTi + ···+ riTr = iT0 = 0,
2. 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交, 则称该向量 组为正交向量组. 3. 正交向量组的性质
定理1: 若向量组1, 2, ···, r 是n维正交向量组, 则1, 2, ···, r 线性无关.
证明: 设有数1, 2, ···,r, 使得: 11 + 22 + ···+ rr = 0
解: 先正交化. 取
b1= a1=(1, 1, 1, 1),
b2
a2
[b1 ,a2 [b1 ,b1
] ]
b1
(1, 1,0,4)
114
(1,1,1,1) (0, 2, 1,3),
1111
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
] ]
b1
[b2 [b2
,a3 , b2
] ]
b2
(3,5,1, 1) 8 (1,1,1,1) 14(0, 2, 1,3)
线性代数-向量的内积
故k1[1,1] 0,由于1 r是正交向量组，故1 0.
即[1,1] 0,故k1 0.
例1 已知3维向量空间R3中两个向量 a1(1 1 1)T a2(1 2 1)T
正交 试求一个非零向量a3使a1 a2 a3两两正交
解：设a3(x1 x2 x3)T 则a3应满足a1Ta30 a2Ta30
§4.1向量的内积、长度及正交性
例3 ：齐次线性方程组的解集S{x| Ax0} 是一个向量空间(称为齐次线性方程组的解空间)
例4 ： 非齐次线性方程组的解集S{x| Axb} 不是向量空间 这是因为 当S为空集时 S不是向量空间
当S非空集时 若S 则A(2)2bb 知2S
规范正交基 :设n维向量a1 a2 ar是向量空间的一个基 如果a1 a2 ar两两正交 且都是单位向量 则称a1 a2 ar是V的一个规范正交基
• 一、向量的内积及其性质
§4.1
• 二、向量的长度及其性质
向
• 三、正交向量组
量
• 四、规范正交基及其求法
的
• 五、正交矩阵及其性质
内
• 复习小结
积
§4.1向量的内积、长度及正交性
本节概述
前面学习了向量的线性运算：加法和数乘， 但未涉及到向量的度量性质，如长度、距离等等。 从今天开始，我们就来学习一下这方面的概念。当 然学习这些概念也是为了进一步研究矩阵做准备的。
事实上 设a1e12e2 rer 则
eiTaieiTeii 即ieiTa [a ei]
施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组
b1a1
b2
a2
[b1, [b1,
a2] b1]
b1
br
向量的内积
说明: 内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数, 用 矩阵记号表示, 当x与y都是列向量时, 有 [x, y]=xTy.
向量的内积 设有n维向量x=(x1, x2, , xn)T, y=(y1, y2, , yn)T, 令 [x, y]=x1y1+x2y2+ +xnyn, [x, y]称为向量x与y的内积. 内积的性质 设x, y, z为n维向量, λ为实数, 则 (1)[x, y]=[y, x]; (2)[λx, y]=λ[x, y]; (3)[x+y, z]=[x, z]+[y, z]; (4)当x=0时, [x, x]=0; 当x≠0时, [x, x]>0; (5)[x, y]2≤[x, x][y, y]. ——施瓦茨不等式.
|| y||= yT y = xT PT Px = xT x =|| x|| .
这说明, 经正交变换线段的长度保持不变(从而三角形的 形状保持不变), 这是正交变换的优良特性.
第五章 相似矩阵及二次型
§5.2 方阵的特征值与特征向量
数 学 与 计 算 机 科 学 系
工程技术中的一些问题, 如振动问题和稳定性 问题, 常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量 的问题. 数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组 的问题, 也都要用到特征值的理论.
1 a2 =ξ1= 0 , 1
0 1 1 1 1 a2 =ξ 2 ξ1 = 1 0= 2 . 1 2 1 2 1 [ξ1, ξ1] [ξ1, ξ 2 ]
正交阵 如果n阶矩阵A满足ATA=E(即A1=AT), 那么称A为正交矩 阵, 简称正交阵. 方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单 位向量, 且两两正交. n阶正交阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn 的一个规 范正交基. 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 正交矩阵举例: P = 2 2 2 2 . 1 1 0 0 2 2 0 0 1 1 2 2
线性代数第五章5.1向量的内积
, r 是Ｖ的一组基，则 1 , 2 ,
, r 就是
Ｖ的一组标准正交基.
上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.
注
上述方法中的两个向量组对任意的 1 k r ,
1 , 2 , , k 与 1 , 2 , , k 都是等价的.
四、应用举例 例1 把向量组
化为标准正交向量组. 解: 将 a1 , a2 , 3正交化, 取
i=1,2,
, am 线性无关.
定理 若向量β与 1 , 2 , 5、正交基 若正交向量组1 , 2 , 则称 1 , 2 , 6、标准正交基 若单位向量组 1 , 2 , 则称 为一个标准正交基.
, s 中每个向量都正交，则
β与 1 , 2 , , s 的任一线性组合也正交.
证: 设 a1 , a2 ,
, am 是正交向量组, 若有线性关系
k1a1 k2a2
ki ai , ai 0
ki 0,
故 a1 , a2 ,
km am 0,
用 a i 与等式两边作内积,得
i=1,2,
,m
,m .
则 ai 0, 有 ai , ai 0, 从而得
2、正交矩阵的充要条件 ① Ａ的列向量是标准正交组.
② Ａ的行向量是标准正交组. 3、正交矩阵的性质 ① A A1 即A的转置就是A的逆矩阵; ② 若Ａ是正交矩阵,则 A(或A1 )也是正交矩; ③ 两个同阶的正交阵的乘积仍是正交阵; ④ 正交阵的行列式等于1或-1. 注 正交矩阵Ａ的ｎ个列（行）向量构成向量空间R n 的一个标准正交基.
r 1 , r r 1 r 1 , r 1
则 1 , 2 , 2）标准化 令 1
5.1向量的内积
then β1 , β 2 ,L , β m 为正交组. 标准化过程
(α m , β 1 ) (α m , β 2 ) (α m , β m −1 ) βm = αm − β1 − β 2 −L − β m −1 , ( β1 , β1 ) ( β 2 ,β 2 ) ( β m −1 , β m −1 )
定义 称 α = 模的性质
(α ,α ) =
2 2 a12 + a2 + L + an 为向量 α 的长度或模.
(1) k α = k α ;
(2) Cauchy- Schwarz inequality (α , β ) ≤ α β ; （3）三角不等式 α + β ≤ α + β ; (4) α =0 , 当且仅当 α = 0 时，等号成立. 证明(3) 对 ∀α , β ,∀ t ∈ R, 有(α + t β ,α + t β ) ≥ 0, ⇒ (α ,α + t β ) + ( t β ,α + t β ) ≥ 0 ,
( y, y ) = ( x, x ) = x .
正交变换为保角变换.
let y = Ax , y′ = Ax ′, AT A = E . 由性质1,2可知
( y , y′ ) ( x , x ′ )
y y′ = x x′
.
T
let y = Ax , y′ = Ax′, AT A = E .
性质2 正交变换为保模变换. let y = Ax , AT A = E .
T
then ( y , y ) = y y = ( Ax ) Ax ′ = x T ( AT A ) x = x T x = ( x , x ) .
向量的标准内积
向量的标准内积
向量的标准内积，也称为点积或数量积，是指两个向量之间的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
对于二维向量 u = (u1, u2) 和 v = (v1, v2)，它们的标准内积表示为：
u · v = u1 * v1 + u2 * v2
对于三维向量 u = (u1, u2, u3) 和 v = (v1, v2, v3)，它们的标准内积表示为：
u · v = u1 * v1 + u2 * v2 + u3 * v3
标准内积还可以表示为向量的模（长度）与它们夹角的余弦值的乘积：
u · v = ||u|| * ||v|| * cos(θ)
其中，||u|| 表示向量 u 的模（长度），||v|| 表示向量 v 的模（长度），θ 表示 u 和 v 之间的夹角。
标准内积有以下几个性质：
1. 对于任意向量 u 和 v，有 u · v = v · u，即标准内积满足交换律。
2. 对于任意向量 u，有 u · u = ||u||^2，即向量 u 自身的标准内积等于它的模的平方。
3. 对于任意两个向量 u 和 v，有u · v = ||u|| * ||v|| * cos(θ)，其中
θ 是 u 和 v 之间的夹角。
标准内积在几何学和物理学中有广泛的应用，例如计算向量之间的夹角、判断两个向量是否正交、计算向量的投影等。
5.1向量的内积
任何非零向量都可化为单位向量:
||
||
1
例如,把向量 1 单位化:
1
||||= 12 12 12 3
1 1
|| ||
1 3
1 1
1 1
3
3
是单位向量.
3
引入许瓦兹不等式:
对任意向量,,有 , .
定义3 非零n维向量与的夹角, 规定
为
, arccos
[ , ]
或者说,n阶矩阵A为正交矩阵A的列(行) 向量组构成向量空间Rn的一个正交规范基.
例3 问矩阵
1
2 1
1 2
1
1
2 1
1 2 1
P
2 1
2
0
2 1
2
0
2 0 1
2
0
1
2 2
是否是正交阵?
解: 方法一: ∵PP =E P为正交矩阵
方法二: P 的行向量是单位向量, P 的行向量两两正交. P为正交矩阵
(0≤, ≤)
|| || || ||
例如,求向量=(1,2,2,3)与=(3,1,5,1)的夹角
cos [ , ] 18 2
|| || || || 3 2 6 2
4
三、向量的正交性及其性质
若[,]=0, , , 则称与正交
(或互相垂直).
2
注: (1) [,]=0a1b1+a2b2++anbn=0
记Y
y1 y2
P csions
sin cos
X
x1 x2
则Y PX (其中P是正交矩阵）
26
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定义7 若P为正交阵,则线性变换Y=PX称为 正交变换.
高中数学_向量的内积概念
r x 单位向量。 当 x = 1时，称 为 单位向量。
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r r [ x, y] r r 当 x ≠ 0, y ≠ 0 时, θ = arccos r r r r 夹角。 || x || ⋅ || y || n x y 称为 维向量 与 的夹角。
向量的正交性
维向量， 空间解析几何中两向量垂直推广到 n 维向量，可 得向量的正交性概念。 得向量的正交性概念。 r r r r r r r [ . x 当 x, y] = 0时, 称向量 与y正交当x = 0时, x与任
rT a1 1 1 1 解 记A = rT = a 1 − 2 1, 2
r r r a3应满足齐次方程 x = 0,即 A
x1 1 1 1 0 1 − 2 1 x2 = 0, x3
预备知识： §1. 预备知识：向量的内积
★向量的内积的概念 ★向量的长度 ★向量的正交性 ★向量空间的正交规范基的概念 ★向量组的正交规范化 正交阵、 ★正交阵、正交变换的概念
n维向量是空间三维向量的推广，本节通过定义向 维向量是空间三维向量的推广， 维向量是空间三维向量的推广 量的内积，从而引进n维向量的度量概念 向量的长度， 维向量的度量概念： 量的内积，从而引进 维向量的度量概念：向量的长度， 夹角及正交。 夹角及正交。
rT λ , 为求其中的系数 i (i = 1,2,L, r), 用ei 左乘上式有 rT r r ei α = λ i ei =λ i ,
即
rT r r r λ i = ei α = [α , ei ].
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向量组的正交规范化 r r r V , 设α1 ,α2 ,L,αr是向量空间 的一个基要求
5.1向量的内积
3 Leabharlann 3 是单位向量 是单位向量. 3
定义3 非零n维向量 的夹角〈 定义 非零 维向量α与β的夹角〈α,β 〉规定 为 [α , β ] 〈α , β 〉 = arccos (0≤〈α,β 〉≤π) ≤ || α || ⋅ || β || 例如,求向量 例如 求向量α=(1,2,2,3)与β=(3,1,5,1)的夹角 与 的夹角
M α r X = 0 ′
则方程组的一个基础解系正交单位化即可. 则方程组的一个基础解系正交单位化即可
正交矩阵 定义6 阶方阵,若 ′ 则称A为 定义 设A为n阶方阵 若A′A=E,则称 为正 为 阶方阵 则称 交矩阵. 交矩阵 正交矩阵性质: 正交矩阵性质 (1)A为正交矩阵⇔A−1=A′ 为正交矩阵⇔ 为正交矩阵 ′ (2)A为正交矩阵⇔AA′=E 为正交矩阵⇔ ′ 为正交矩阵 (3)A为正交矩阵⇒|A|=±1 为正交矩阵⇒ 为正交矩阵 ± (4)A为正交矩阵⇒A′,A−1,A*也是正交矩阵 为正交矩阵⇒ ′ 为正交矩阵 也是正交矩阵 (5)若A,B均为 阶正交矩阵⇒AB与BA也是 均为n阶正交矩阵 若 均为 阶正交矩阵⇒ 与 也是 正交矩阵. 正交矩阵
引入许瓦兹不等式 引入许瓦兹不等式: 许瓦兹不等式 对任意向量α,β,有[α,β]≤||α||⋅||β|| 有 ≤ ⋅ ∵||α+β||2 =[α+β,α+β] =[α,α]+2[α,β]+[β,β] ≤||α||2+2||α||⋅||β||+||β||2 ⋅ =(||α||+||β||)2
当||α||=1时,称α为单位向量 时 称 为单位向量.
α 都可化为单位向量: 任何非零向量α都可化为单位向量 || α ||
定义3 非零n维向量 的夹角〈 定义 非零 维向量α与β的夹角〈α,β 〉规定 为 [α , β ] 〈α , β 〉 = arccos (0≤〈α,β 〉≤π) ≤ || α || ⋅ || β || 例如,求向量 例如 求向量α=(1,2,2,3)与β=(3,1,5,1)的夹角 与 的夹角
M α r X = 0 ′
则方程组的一个基础解系正交单位化即可. 则方程组的一个基础解系正交单位化即可
正交矩阵 定义6 阶方阵,若 ′ 则称A为 定义 设A为n阶方阵 若A′A=E,则称 为正 为 阶方阵 则称 交矩阵. 交矩阵 正交矩阵性质: 正交矩阵性质 (1)A为正交矩阵⇔A−1=A′ 为正交矩阵⇔ 为正交矩阵 ′ (2)A为正交矩阵⇔AA′=E 为正交矩阵⇔ ′ 为正交矩阵 (3)A为正交矩阵⇒|A|=±1 为正交矩阵⇒ 为正交矩阵 ± (4)A为正交矩阵⇒A′,A−1,A*也是正交矩阵 为正交矩阵⇒ ′ 为正交矩阵 也是正交矩阵 (5)若A,B均为 阶正交矩阵⇒AB与BA也是 均为n阶正交矩阵 若 均为 阶正交矩阵⇒ 与 也是 正交矩阵. 正交矩阵
引入许瓦兹不等式 引入许瓦兹不等式: 许瓦兹不等式 对任意向量α,β,有[α,β]≤||α||⋅||β|| 有 ≤ ⋅ ∵||α+β||2 =[α+β,α+β] =[α,α]+2[α,β]+[β,β] ≤||α||2+2||α||⋅||β||+||β||2 ⋅ =(||α||+||β||)2
当||α||=1时,称α为单位向量 时 称 为单位向量.
α 都可化为单位向量: 任何非零向量α都可化为单位向量 || α ||
向量的内积
即
t2 α 2 2t[α,β] β 2 0
t的二次三项式有 4[α,β] 4 α 2 β 2 0
有 [α,β]2 α 2 β 2 ，两边开方即得！
6
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定义3. 非零n维向量 与 的夹角 ,
规定为:
, arccos [ , ] . 0 , .
例.求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
以上所讨论的正交规范基的求法, 通常称为施密特
(Schmidt)正交化过程.
12
返回
例
把 向 量 组a1
1 1, a2
1 1
规 范 正 交 化.
1
1
解 正交化：取b1 a1;
b2
a2
[a2 [b1
, ,
b1 b1
] ]
b1
1 1 1
1 3
1 1 1
2 3
2 1 . 1
或者说, n 阶矩阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列 （行）向量组构成向量空间 Rn 的一个 规范正交基.
15
返回
设n 阶矩阵 A = ( a1 , a2 , ……, an ) , 其中 a1 , a2 , …,
an 是 A的列向量组. A为正交矩阵，即是
a1T
E
AT
A
a2T a1
1
例. 把向量 1 单位化.
1
12 12 12 3.
1 1/ 3
1
1 3
1
1 /
1 1/
3 是单位向量.
3
5
返回
许瓦兹Schwarz不等式 许瓦兹不等式: 对任意向量 , , 有
, .
证：若 0不等式显然成立；设 0 ，则对
向量的内积_正交矩阵
= α ′β = β ′α
α = ( α ,α ) = a1 2 + a 2 2 + + a n 2
3 、单位向量： 当 α
=1
时，称α为单位向量
*
将非零向量α单位化： 取向量 α ，
=
1
α
α
(α , β ) = 0 4 、正交： 如果向量α 与β 满足 称 α β
向量 与 正交。
，则
二、主要性质 向量内积的性质： 设 α, β , γ 均为 n 维向量， λ 为实数，则
所以， e1 , e2 , e3 , e4 是 R4 的一组标准正交基
设α1 , α 2 , , α n 是R n的一组基，
利用此组基求 Rn 的一组标准正交基的方法： 步骤一：将 α 1 ,α 2 ,,α n 正交化，得一正交基 施密特（ Schmidt ）正交化法：
( β1 ,α 2 ) 取 β 1 = α 1 , β 2 = α2 − ( β , β ) β1 , 1 1 ( β 1 ,α 3 ) ( β 2 ,α 3 ) β3 = α3 − β1 − β2 ( β1 , β1 ) ( β2, β2 )
即
αi = (αi , αi ) = 1
n维向量组α1 , α 2 , , α m 是R n的一组标准正交基
（1） m=n (α ,α ) = 0 （2）i j
= 1
(i ≠ j) (i = j)
【例】
证明向量组
e1 =
1 1 0 0 2 2 0 0 1 1 1 1 − , e = , e = , e = 2 3 2 4 2 2 2 0 1 1 0 − 0 2 2 0
线性代数§向量的内积
不同基下内积转换公式推导
不同基下内积转换公式
设α, β是向量空间V中的两个向量，在两组不同的基{e1, e2, ..., en}和{f1, f2, ..., fn}下的坐标分别为(x1, x2, ..., xn) 和(y1, y2, ..., yn)，则α和β的内积可以表示为∑(xi*yi)，其中i从1到n求和。这个公式可以用的 情况。
分量表示法
定义
将向量表示为分量形式，通过分量间的运算计算内积。
公式
对于向量A = (a1, a2, ..., an)和B = (b1, b2, ..., bn)，其内 积为A·B = (a1, a2, ..., an) · (b1, b2, ..., bn) = a1b1 + a2b2 + ... + anbn。
子空间划分和基选择策略
子空间划分
设W是数域P上的线性空间V的一个非空子集，若W对于V的加法和数乘也构成数域P上的线性空间， 则称W是V的一个线性子空间或子空间。子空间的划分可以根据不同的维度和基进行。
基选择策略
在线性空间中，基的选择对于内积运算具有重要影响。通常选择正交基作为内积运算的基础，因为正 交基具有良好的性质，如任意两个不同基向量的内积为零。
矩阵表示下内积计算简化方法
在矩阵表示下，两个向量的内 积可以通过矩阵乘法简化计算。
具体地，若A和B是两个向量， 则它们的内积可以表示为A^T * B，其中A^T是A的转置矩阵。
通过矩阵乘法，可以高效地计 算多个向量间的内积。
特征值与特征向量对内积影响分析
特征值和特征向量是线性变换的重要 性质，它们对向量的内积有重要影响。
夹角计算
通过内积可以计算两向量的夹角，即$costheta = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{a}| |mathbf{b}|}$。
向量内积公式推导
向量内积公式推导一、向量内积的定义。
在平面直角坐标系中，设向量→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)。
向量→a与→b的内积（也叫点积、数量积）定义为→a·→b=→a→bcosθ，其中θ为→a与→b的夹角，→a 表示向量→a的模，→b表示向量→b的模。
1. 向量模的计算公式。
- 对于向量→a=(x_1,y_1)，其模→a=√(x_1)^2 + y_{1^2}；- 对于向量→b=(x_2,y_2)，其模→b=√(x_2)^2+y_{2^2}。
2. 根据向量坐标计算夹角余弦值。
- 设向量→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，根据向量减法→a-→b=(x_1-x_2,y_1 - y_2)。
- 根据余弦定理→a-→b^2=→a^2+→b^2-2→a→bcosθ。
- 计算→a-→b^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2+y_1^2-2y_1y_2+y_2^2。
- 又→a^2=x_1^2+y_1^2，→b^2=x_2^2+y_2^2。
- 代入余弦定理可得cosθ=(→a·→b)/(→a→b)=frac{x_1x_2+y_1y_2}{√(x_1)^2+y_{1^2}√(x_2)^2+y_{2^2}}二、向量内积的坐标公式推导。
1. 从定义出发推导坐标公式。
- 已知→a·→b=→a→bcosθ。
- 设→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，→a=√(x_1)^2+y_{1^2}，→b=√(x_2)^2+y_{2^2}。
- 我们将向量→a和→b的起点都移到原点O，设向量→a的终点为A(x_1,y_1)，向量→b的终点为B(x_2,y_2)。
- 则→OA=(x_1,y_1)，→OB=(x_2,y_2)。
- 根据向量减法→AB=→OB-→OA=(x_2-x_1,y_2-y_1)。
- 由→AB^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=x_2^2-2x_1x_2+x_1^2+y_2^2-2y_1y_2+y_1^2。
向量的内积的概念
当
x
1时，称x为
单位向量。
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当
x
0,
y
0
时,
arccos
[ x, y]
称为n维向量x与y的 夹角。 || x || || y ||
向量的正交性
空间解析几何中两向量垂直推广到 n 维向量，可
得向量的正交性概念。
当[
x,
y]
0时,
称向量x与y正交.当x
0时,
x与任
x2
,,
xn
)T
,
y
(
y1 ,
y2
,,
yn
)T
令[
x,
y]
x1
y1
x2
y2
xn
yn ,[ x,
y]称为向量x与y的
内积。
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向量 的内 积是向 量的 一种运 算, 可以 用矩 阵表示,
当x与y均为列向量时,
有[
x,
y]
xT
y,
内积的运算规律：
( i ).交 换 律
:
[
x,
那么称 A 为正交阵。 上式用 A 的列向量表示，即是
aa12TT
anT
a1
,
a2
,
,
an
E,
亦即
aiT
a
j
ij
1,
0
i j i j
(i, j 1,2,, n)
上页 下页 返回
这就说明：方阵A 为正交阵的充分必要条件是A 的列 ( 行)向量都是单位向量且两两正交。从而正交阵A 的 n 个列( 行)向量构成向量空间 R n 的一个规范正交基。
]
br
向量内积两种计算方式等价的证明
向量内积两种计算方式等价的证明一、向量内积是啥呀？向量内积呢，是向量之间一种很重要的运算哦。
简单来说，它能反映出两个向量在方向和长度方面的某种关系。
在二维平面或者三维空间里，我们可以直观地想象一下向量的样子，就像有个箭头指向某个方向，还有一定的长度。
那向量内积就像是这两个向量之间的一种“互动”。
有两种常见的计算向量内积的方式呢。
一种是用向量的坐标来计算，另一种是根据向量的模和它们夹角的余弦值来计算。
这两种方式看起来差别还挺大的，但是呢，它们其实是等价的哦。
这就像是从不同的角度去看同一个东西，虽然方法不一样，但看到的本质是相同的。
二、用坐标计算向量内积。
咱们先说说用坐标计算向量内积是怎么回事。
假如在二维平面里，有向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，那它们的内积a·b就等于x1*x2 + y1*y2。
这个式子看起来很简洁，就是把对应坐标相乘然后加起来就好啦。
在三维空间里也是类似的哦，对于向量a=(x1,y1,z1)和向量b=(x2,y2,z2)，内积a·b = x1*x2 + y1*y2+z1*z2。
这种计算方式很方便呢，特别是当我们知道向量的坐标的时候，直接按照这个公式就能算出内积啦。
就像我们有了一把特殊的钥匙，只要把坐标这个“锁孔”对上，就能轻松得到结果。
三、用模和夹角余弦计算向量内积。
再来说说另一种计算方式。
如果我们知道两个向量的模（也就是长度啦）和它们之间的夹角θ，那向量a和向量b的内积a·b就等于a*b*cosθ。
这里的a就是向量a的模，b就是向量b的模。
这个式子看起来就很有几何意义呢。
比如说，如果两个向量的夹角是0度，也就是它们同向的时候，cosθ就是1，那内积就等于两个向量模的乘积，这就表示它们在这个方向上的“配合度”最高啦。
如果夹角是90度，cosθ就是0，内积就是0，这也符合我们的直觉，因为这时候两个向量是垂直的，互相没有那种在方向上的“贡献”。
线性代数§向量的内积
即
iiTi = 0.
从而得, 1=2= ···=r=0,所以1, 2, ···,r 线性无关.
4. 向量空间的正交基
定义: 若正交向量组1, 2, ···, r是向量空间V的 一组基, 则称1, 2, ···, r 是向量空间V的一组正交基.
例2: 已知三维向量空间中两个向量
设a1, a2, ···, ar 是向量空间V 的一组基. (1) 正交化
取
[b1 [b1
,a2 , b1
] ]
b1
,
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2
,
··· ··· ··· ··· ··· ···
br
ar
例4: 设
a1
2 , a 2
3 , a 3
1,
1 1 0
试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.
解: 先正交化. 取
1
b1=
a1
2,
1
b2
a2
[a2 , || b1
b1]
||2
b1
31 1
a =1e1 + 2e2 + ···+ rer ,
用eiT左乘上式, 有 eiTa =i eiTei =i ,
即
i = eiTa = [a, ei],
这就是向量在规范正交基中的坐标(即线性表示系数)
的计算公式. 利用该公式可方便地计算向量在规范正
向量的内积
教
学
实
施
教学内容
备注
导入新课
力学中功的实例引入
探究新知
1பைடு நூலகம்向量内积的定义
概括地说，向量的内积（点乘/点积/数量积）就是对两个向量执行点乘运算。
定义：两个向量a和向量b的内积：
a·b= |a| × |b| ×cos∠(a, b)
特别地，0·a=a·0 = 0；若a，b是非零向量，则a与b正交的充要条件是a·b= 0。
3、向量内积的几何意义
内积（点乘）的几何意义包括：
1）表征或计算两个向量之间的夹角
2）b向量在a向量方向上的投影
进而可以进一步判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系，具体对应关系为：
1）a∙b>0→方向基本相同，夹角在0°到90°之间
2）a∙b=0→ 正交，相互垂直
3）a∙b<0→ 方向基本相反，夹角在90°到180°之间
《数学》教案
教学课题
向量的内积
所属系部
授课人
备课时间
课 时
9-10
教学目标
知识目标
向量内积的定义、向量内积的性质、向量内积的几何意义
能力目标
直观想象、逻辑推理、二维平面感、独立思考
素养目标
提升数学思维、数学修养
教学重点
向量内积的定义、向量内积的性质
教学难点
向量的夹角判定
教学方法
多媒体教学、板书、讲授、回答问题、练习
2、向量内积的性质
1）a^2 ≥ 0；当a^2 = 0时，必有a= 0（正定性）
2）a·b = b·a（对称性）
3）(λa+ μb)·c= λa·c+ μb·c，对任意实数λ, μ成立（线性）
学
实
施
教学内容
备注
导入新课
力学中功的实例引入
探究新知
1பைடு நூலகம்向量内积的定义
概括地说，向量的内积（点乘/点积/数量积）就是对两个向量执行点乘运算。
定义：两个向量a和向量b的内积：
a·b= |a| × |b| ×cos∠(a, b)
特别地，0·a=a·0 = 0；若a，b是非零向量，则a与b正交的充要条件是a·b= 0。
3、向量内积的几何意义
内积（点乘）的几何意义包括：
1）表征或计算两个向量之间的夹角
2）b向量在a向量方向上的投影
进而可以进一步判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系，具体对应关系为：
1）a∙b>0→方向基本相同，夹角在0°到90°之间
2）a∙b=0→ 正交，相互垂直
3）a∙b<0→ 方向基本相反，夹角在90°到180°之间
《数学》教案
教学课题
向量的内积
所属系部
授课人
备课时间
课 时
9-10
教学目标
知识目标
向量内积的定义、向量内积的性质、向量内积的几何意义
能力目标
直观想象、逻辑推理、二维平面感、独立思考
素养目标
提升数学思维、数学修养
教学重点
向量内积的定义、向量内积的性质
教学难点
向量的夹角判定
教学方法
多媒体教学、板书、讲授、回答问题、练习
2、向量内积的性质
1）a^2 ≥ 0；当a^2 = 0时，必有a= 0（正定性）
2）a·b = b·a（对称性）
3）(λa+ μb)·c= λa·c+ μb·c，对任意实数λ, μ成立（线性）
向量内积及外积
向量内积及外积
向量的内积和外积在计算方式、几何意义以及各自的性质上都有区别。
具体如下：
1、计算方式不同
向量的内积（点乘／数量积），是对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作；向量的外积，又叫叉乘、叉积向量积，其运算结果是一个向量而不是一个标量。
并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
2、几何意义不同
内积（点乘）的几何意义包括：表征或计算两个向量之间的夹角；向量在a向量方向上的投影；在三维几何中，向量a和向量b 的外积结果是一个向量，有个更通俗易懂的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。
3、性质不同
内积性质：a^2≥0；当a^2 = 0时，必有a = 0.（正定性）；（λa +μb)×c =λa×c +μb×c，对任意实数λ，μ成立（线性）；cos∠（a，b) =a×b/(|a|×|b|)；|a×b|≤｜a||b|，等号只在a 与b共线时成立。
向量外积的性质：a × b = -b × a（反称性）；（λa +μb) × c =λ（a ×c) +μ（b ×c)（线性）。
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＝ 1 .若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(
3
A．4
B．－4
C. 9
B
)
4
D．－ 9
4
【提示】 因为n⊥(tm＋n)，则n·(tm＋n)＝0，即
tm·n＋n2＝0，所以m·n＝－ n，2 又4|m|＝3|n|，则有
cos〈m，n〉＝
|
m m|
n |n
|
4m 3| n
n |2
t
4 3t
，1 所以t＝－4.
第五节 向量的内积
知识梳理
1．向量的内积 (1)向量的内积 ①两个向量夹角的定义
已知两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，作 OA ＝ a，OB ＝b，则∠AOB叫做a与b的夹角，记作_〈__a_，__b_〉_．
②两个向量夹角的范围 0≤〈a，b〉≤π，即__[_0_，__π_] _； 当〈a，b〉＝0时，a与b___同__向___； 当〈a，b〉＝π时，a与b___反__向___； 当〈a，b〉＝ 时，a与b__垂__直____，记作___a_⊥__b__．
∴a·b＝3×6cos0°＝18， 若a与b反向，则〈a，b〉＝180°， ∴a·b＝3×6cos180°＝－18. (2)当a⊥b时，〈a，b〉＝90°，∴a·b＝|a||b|cos90°＝0. (3)当〈a，b〉＝60°时， a·b＝|a||b|cos60°＝3×6× 1 ＝9.
知识梳理
2．向量内积的直角坐标运算与应用
(1)内积的直角坐标运算
如果a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝__a_1_b_1_＋__a_2b_2__. (2)向量内积的应用
①求向量的长度
|a|2＝__a_12___a_22_，|a|＝___a1_2 __a_22_.
②求向量的夹角
a1b1 a2b2
典例解析
【举一反三4】 (1)已知向量a＝(3，y)，b＝(7，12)，
且a⊥b，则y等于( B )
A. 7
B. 7
C. 7
D. 7
4
4
3
3
【提示】 ∵a⊥b，∴a·b＝0，即3×7 ＋12y＝0，∴y＝ 7 , 故选B.
4
【思路点拨】 本题重点考 查向量内积的性质．
典例解析
(2)已知△ABC的三个顶点分别为A(－1，2)，B(3，1)，
3
故选B.
同步精练
8．对于非零向量a，b，“a·b＝0”是“|a＋b|＝|a－b|” 的( C )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【提示】 因为|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b，|a－b|2 ＝|a|2＋|b|2－2a·b，所以a·b＝0⇔|a＋b|＝|a－b|， 故选C.
2．已知|a|＝4，|b|＝3，若|a－b|＝5，则a·b等于( C)
A．－2 B．－4
C．0
D．2
【提示】 |a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝16＋9－ 2a·b＝25，解得a·b＝0.故选C.
同步精练
3．已知向量a＝(－3，3)，b＝(m，7)，若a∥b，则m的值
为( D )
A．10 B．－10 C．7
【思路点拨】 本题重点考查了向量的长 度公式，以及用向量的内积证明垂直．
典例解析
【例5】 已知|a|＝5，|b|＝12，当m为何值时，向量a＋ mb与a－mb互相垂直？
当m＝ 5 时，向量a＋mb与a－mb互相垂直
12
【解析】 ∵a＋mb与a－mb互相垂直，∴(a＋ mb)·(a－mb)＝0，
即|a|2－m2|b|2＝0，化简得25－144m2＝0，解得m
＝ 5 .∴当m＝ 5 时，a＋mb与a－mb相互垂直．
12
12
典例解析
【举一反三5】 已知|a|＝5，|b|＝4，且〈a，b〉＝60°， 当k为何值时，向量ka－b与a＋2b相互垂直？
解：∵(ka－b)⊥(a＋2b)，
∴(ka－b)·(a＋2b)＝0， 即k|a|2＋(2k－1)a·b－2|b|2＝0，解得k＝14 . ∴当k＝ 14 时，ka－b与a＋2b垂直． 15
D．－7
【提示】 因为a＝(－3，3)，b＝(m，7)，a∥b，
所以－3m－3×7＝0，解得m＝－7，故选D.
4．已知平面向量a＝
(
1，3)，b＝
3 2
，x
，且a⊥b，则x
的值为( A )
A．1
B．2
C． 1
D．－2
2
2
＝
【提示】 由a⊥b可得－ 1 ，故选A.
3 2
3
x＝0，解得x
2
同步精练
5．设向量a＝(3，4)，b＝(－1，2)，c＝(3，－1)，则
－2a，那么a·b等于( A )
A．－18
B．－6
C．0
D．18
【提示】 由b＝－2a可得|b|＝2|a|＝6，且 〈a，b〉＝π，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝ 3×6·cosπ＝－18，故选A.
【思路点拨】 该题主要考查共线向量 的夹角及向量的内积运算．
典例解析
【例2】 已知△ABC的三个顶点分别为A(6，3)，B(9，
cos〈a，b〉＝a • b
ab
＝____a_12__a_22___b1_2 __b_22__.
③证明垂直
a⊥b⇔__a_1b_1_＋__a_2_b_2＝__0__.
典例解析
【例1】 (2016年山东春季高考)在△ABC中，若|AB|=|BC|
=|CA|＝2，则 AB BC ＝( C )
A．2 3
＝－4×(－32)＋3×(－15)＝83.
本题重点考查了向
(2)∵a·b＝－4×5＋3×6＝－2，
量的内积的坐标运 算及用向量的内积
且|a|＝ 42 32 ＝5，|b|＝ 52 62 61, 求向量的夹角．
∴cos〈a，b〉＝ a •b 2 2 61 .
| a || b | 5 61 305
C(2，－3)，则△ABC是( C )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【提示】 ∵ AB ＝(4，－1)， AC＝(3，－5)， BC＝(－1， －4)，
AB 42 12 17, BC 12 42 17,
∴AB＝BC.又 AB • BC ＝4×(－1)＋(－1)×(－4)＝0， AB BC, ∴AB⊥BC，∠B＝90°，∴△ABC是等腰直角 三角形，故选C.
典例解析
【举一反三3】 已知|a|＝6，|b|＝5，〈a，b〉＝120°， 求|a－b|.
解：∵a·b＝6×5cos120°＝－15， ∴|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2 ＝62－2×(－15)＋52＝91，∴|a－b|＝ 91.
【思路点拨】 本题重点考查向量内积的性 质．|a|2＝a·a，即要求向量的模，先求模的平 方，把求向量模的问题转化为向量内积运算．
B．2 3
C．－2 D．2
【解析】 AB与 BC 始点不同，故 AB 与 BC 的
夹角不是60°，而是其补角120°，即〈 AB, BC 〉
＝120°，所以 AB BC= AB BC cos120°＝2×2×
1 2
＝－2，故选C.
典例解析
【举一反三1】 (2017年山东春季高考)如果|a|＝3，b＝
15
【思路点拨】 本题重点考查 向量内积的性质：a⊥b⇔a·b＝0.
同步精练
一、单项选择题
1．已知向量a，b的方向相同，且|a|＝6，|b|＝4，则a·b
等于( A ) A．24 B．－24
C．12
D．－12
【提示】 因为向量a，b的方向相同，所以〈a， b〉＝0，则a·b＝6×4×cos0＝24.故选A.
2
注：判断两个向量的夹角时一定要有共同的始点．
知识梳理
③两个向量内积的定义 已知a与b为两个非零向量，则__|a_|_|b_|_co_s_〈__a_，__b_〉__叫作a 与b的内积，记作___a_·__b__，即__a_·__b_＝__|a_|_|b_|c_o_s_〈__a_，__b_〉__． 规定：零向量与任何向量的内积为____0____，即 _0_·__a_＝__0_． (2)内积的性质 设a，b是两个非零向量，则
同步精练
11．已知|a|＝4，|b|＝3，〈a，b〉＝ ，则|a＋2b|＝
3
___2__1_9__. 12．已知向量 OA AB, OA ＝3，则 OA OB等于___9_．
【提示】 因为|a|＝4，|b|＝3，〈a，b〉
＝ ，所以|a＋2b|2＝16＋4×9＋4×4×3× 1
3
2
＝76，所以| ，则OA AB＝0，
则
OA
OB
OA
(OA
2
AB)=OA
＝9.
同步精练
三、解答题 13．已知|a|＝3，|b|＝6. (1)若a∥b，求a·b； (2)若a⊥b，求a·b； (3)若〈a，b〉＝60°时，求a·b.
解：(1)当a∥b时，若a与b同向，则〈a，b〉＝0°，
3
于( A )
A．2 37 B．148
C．74
D． 74
【提示】 a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝6×8×
1 2
＝－24，|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝36－
2×(－24)＋64＝148，|a－b|＝ 148=2 37, 故选A.
同步精练
7．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉
典例解析
【例4】 在△ABC中，已知∠A＝90°， AB ＝(x，1)， BC＝(－4，2)，则x的值为( D )