线性振动-1单自由度系统的自由振动
理论力学 第十章振动
k2
k1
δ st
r F1
k eq = k1 + k 2
δ st r
r mg
keq k1 + k 2 = m m
m
r F2
mg = k eqδ st
keq称为等效弹簧刚性系数 并联系统的固有频率为
mg k2
ωn =
当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度等于两个弹簧刚度的和。 这一结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。
O
δ st
x
r F r P
则解为：
x = A sin(ω nt + θ )
表明：无阻尼自由振动是简谐振动。 其运动图线为：
x
A
x
x0
θ ωn
O
t
t+T
x
2.无阻尼自由振动的特点 无阻尼自由振动的特点
（1）固有频率 ）
无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，任何瞬时t， 无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，任何瞬时 ，其 运动规律x（t）总可以写为: 运动规律 （ ）总可以写为: x（t）= x（t+T） （） （ ） T为常数，称为周期，单位符号为s。 为常数， 周期， 符号为 为常数 称为周期 单位符号 。 这种振动经过时间T后又重复原来的运动 后又重复原来的运动。 这种振动经过时间 后又重复原来的运动。 考虑无阻尼自由振动微分方程 考虑无阻尼自由振动微分方程
r F r P
x
两个根为： r1 = +iω n 方程解表示为：
r2 = −iω n
x = C1 cos ω nt + C2 sin ω nt
x = C1 cos ω nt + C2 sin ω nt
《振动力学》课程教学大纲 - 苏州科技学院土木工程学院
《振动力学》课程教学大纲课程编号：20311103总学时数：48（实验6）总学分数：3课程性质：专业必修课适用专业：工程力学一、课程的任务和基本要求：《振动力学》课程是工程力学专业的一门主要课程，主要研究在确定性激励下分析系统的动力响应的基本理论和基本方法。
通过本课程的学习，使学生能够初步掌握建立振动问题力学模型的方法；掌握振动力学的基本概念、基本理论和基本分析计算方法，并能初步应用振动理论研究和解决工程中的各种振动问题。
结合本课程的学习，培养学生的分析能力、计算能力和分析解决工程实际问题的初步能力。
二、基本内容和要求：（一）概论振动的定义，振动具有两重性，研究目标（目的），振动问题的研究方法，振动分析的力学模型，振动的分类，振动研究的分析工具。
（二）谐振振动与谱分析谐振振动的表示方法，谐振振动的谱分析方法，非周期振动的谱分析方法。
（三）单自由度系统的自由振动单自由度线性系统的力学模型和基本概念，单自由度无阻尼系统的自由振动，固有频率的计算，等效质量与等效弹簧刚度，有阻尼系统的自由振动。
（四）单自由度系统的强迫振动简谐激励引起的强迫振动，简谐激励引起的强迫振动瞬态响应过程，偏心质量引起的强迫振动，支撑运动引起的强迫振动，振动的隔离，惯性式测振仪的基本原理，强近振动中的能量关系，阻尼理论，任意周期激励的响应，任意激励的响应。
（五）多自由度系统的振动多自由度系统的运动微分方程，坐标耦合与主坐标，固有频率与主振型，主坐标与正则坐标，固有频率相等和固有频率为零的情况，系统对初始条件的响应，动力减振原理与减振器，有阻尼系统的响应，一般阻尼系统的响应。
（六）多自由度系统振动的近似解法邓克利法，瑞利法，里茨法。
（七）弹性体的振动一维波动方程、弦横向振动的自由振动解、等直杆纵向振动的自由振动解、等直杆纵向振动的强迫振动解、梁的横向振动、梁的横向强迫振动。
三、实践环节和要求：实习一、简谐振动振幅与频率测量；实验目的：掌握激振器（及其功率放大器）、加速度传感器的安装和使用；了解激振器、加速度传感器的工作原理；掌握简谐振动振幅简单的测量方法。
12.3 单自由度体系的自由振动
各杆EI＝ 。 【例12-5】试求图示结构的ω。各杆 ＝C。 】
3l 4 B C D m B y A l l l 4 A l C D l
1
M1 图
解：
δ 11
7l 3 = 12 EI
1 12 EI EI = = 1.309 ω= 3 mδ11 7ml ml 3
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【注二】惯性力 FI = −m&& = maω 2 sin(ωt + α ) = mω 2 y ， 注二】 y FI 永远与位移方向一致，在数值上与位移成比例， 永远与位移方向一致，在数值上与位移成比例，其比例系 数为 mω 2 。
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12.3.4 自振周期与自振频率
1.自振周期 自振周期 因
y = a sin (ωt + α ) = a sin (ωt + α + 2 π ) 2π = a sin ω t + + α = a sin[ω (t + T ) + α ] ω
所以自振周期
T =
2π
ω
表示体系振动一次所需要的时间，其单位为 （ 表示体系振动一次所需要的时间，其单位为s（秒） 。
式中， 为重力加速度 为重力加速度； 式中，g为重力加速度；W=mg为质点 为质点 的重力； 表示将重力W=mg 的重力；∆st=Wk11，表示将重力 施加于振动方向所产生的静位移。 施加于振动方向所产生的静位移。
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T = 2π ∆st g
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《单自由度系的振动》课件
主动控制技术广泛应用于航空航天、机械制造、土木工程等领域， 以减小或消除结构的振动。
优势与局限性
主动控制技术的优点在于能够快速响应并有效抑制振动，但需要外部 能源和复杂的控制系统，增加了系统的复杂性和成本。
被动控制技术
被动控制技术定义
被动控制技术是利用阻尼材料或结构来吸收或耗散振动能量的方 法。
弹性力学模型
描述弹性体的振动特性，适用于弹性体的振动。
振动分析的数值方法
有限元法
将系统离散化为有限个单元，求解每个单元的振动响应。
时域法
在时间域内直接求解系统的振动响应。
频域法
将系统振动问题转化为频率域内的问题，求解系统的振动特性。
04
单自由度系统的振动控 制
主动控制技术
主动控制技术定义
主动控制技术是一种通过向系统提供反向振动来抵消原始振动的方 法。
03
单自由度系统的振动分 析
振动分析的基本方法
解析法
通过数学公式推导，求解系统的振动特性。
实验法
通过实验测量系统的振动响应，分析其特性 。
数值法
利用数值计算方法，求解系统的振动响应。
振动分析的数学模型
线性模型
描述线性系统的振动特性，适用于小振幅振动。
非线性模型
描述非线性系统的振动特性，适用于大振幅振动 。
总结词
在机械系统中，振动控制是提高设备稳定性和延长使用寿命 的关键。
详细描述
机械系统中的许多设备，如发动机、压缩机、机床等，都容 易受到振动的影响。通过采用适当的控制策略，如主动或被 动隔振、阻尼减振等，可以有效减小振动对设备性能的影响 ，提高设备的稳定性和可靠性。
建筑结构中的振动控制
机械振动公式范文
机械振动公式范文机械振动是物体在受到外部力或激励作用下，发生周期性的来回运动的现象。
机械振动广泛应用于各种工程领域，如建筑结构、机械设备和交通工具等。
理解机械振动的公式对于研究和应用机械振动具有重要意义。
1.一维简谐振动公式：简谐振动是最简单的振动形式，其运动方程可以写为：x = A * sin(ωt + φ)其中，x是振动的位移，A是振幅，ω是角频率，t是时间，φ是初相位。
角频率和振动频率之间的关系为ω=2πf，其中f是振动频率。
由于简谐振动是周期性的，其振动周期可以通过振动频率的倒数求得，即T=1/f。
2.振动系统的自由振动公式：在无外力作用下，振动系统将进行自由振动。
对于单自由度的线性振动系统，其自由振动公式可以写为：mx'' + kx = 0其中，m是振动质量，x''是加速度的二阶导数，k是系统的弹簧刚度。
这个方程通常被称为简谐振动的运动方程。
通过求解这个方程可以得到系统的振动频率和振动模态。
3.阻尼振动公式：当振动系统受到阻尼力的作用时，振动将逐渐衰减。
mx'' + cx' + kx = 0其中，c是阻尼系数，x'是速度的一阶导数。
该方程描述了阻尼振动的运动特性，具体形式取决于阻尼系数的大小与系统的质量和刚度。
4.简谐受迫振动公式：当振动系统受到外部力或激励的作用时，振动将呈现非简谐的运动形式。
对于简谐受迫振动系统，其运动方程可以写为：mx'' + cx' + kx = F0 * sin(ωt)其中，F0是外力的振幅，ω是外力的角频率。
该方程描述了简谐受迫振动的运动特性，包括振幅和相位角对外力的响应。
这些是机械振动中常见的公式，用于描述振动的运动方式、振幅、振动频率和振动周期等参数之间的关系。
通过理解和应用这些公式，可以对机械振动进行分析和控制，从而实现相关工程领域的应用和优化。
机械震动--单自由度体系的自由振动
y sy(t)机械振动分析------单自由度无阻尼系统的自由振动机械振动是物体(或物体的一部分)在平衡位置（物体静止时的位置）附近作的往复运动。
可分为自由振动、受迫振动。
又可分为无阻尼振动与阻尼振动。
常见的简谐运动有弹簧振子模型、单摆模型等。
振动在机械中的应用非常普遍,例如在振动筛分行业中基本原理系借电机轴上下端所安装的重锤（不平衡重锤），将电机的旋转运动转变为水平、垂直、倾斜的三次元运动，再把这个运动传达给筛面。
若改变上下部的重锤的相位角可改变原料的行进方向。
物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位置附近的振动称为无阻尼自由振动。
其中仅需用一个独立坐标就可确定振体位置的系统为单自由度系统。
单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。
研究单自由度系统的振动有着非常普遍的实际意义，因为工程上有许多问题通过简化，用单自由度系统的振动理论就能得到满意的结果。
而同时对多自由度系统和连续系统的振动，在特殊坐标系中考察时，显示出与单自由度系统类似的性态。
因此，揭示单自由度振动系统的规律、特点，为进一步研究复杂振动系统奠定了基础。
影响振动作用的因素是振动频率、加速度和振幅。
现在我们就此方面展开对单自由度无阻尼振动的讨论。
主要包括两部分：单自由度无阻尼系统的自由振动和单自由度无阻尼系统的受迫振动。
一、单自由度无阻尼系统的自由振动如下图，设此梁上的集中质量为m ，其重量为W mg ，梁由于质量的重力引起的质量处的静力位移用s y 表示，与s y 相应的质量位置称为质量的静力平衡位置。
若此质量受到扰动离开了静力平衡位置，当扰动除去后，则体系将发生振动，这样的振动称为体系的自由振动。
由于振动的方向与梁轴垂直，故称为横向振动。
在此，只讨论微小振幅的振动，由振动引起的内力限于材料的弹性极限以内，用以表示质量运动的方程将为线性微分方程。
1、建立运动方程建立运动方程常用的基本原理是达朗伯原理（亦称惯性力法或动静法）。
单自由度体系的自由振动
令
ω2 = k
m
y + ω 2 y = 0
运动方程的解 y + ω 2 y = 0 可由振动的初 2
始条件来确定
常系数的线性齐次微分方程，其通解为
y(t) = A1 cosωt + A2 sinωt
若当 t = 0 时 y = y0 初位移
y(0) = y0 = A1 cosω × 0 + A2 sin ω × 0
因此，自振周期（或频率）的计算十分重 要。
例 计算自振频率
14
EI=常数
如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚 结点都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架) 计算刚度系数方便。
两端刚结的杆的侧移刚度为：12EI
l3
一端铰结的杆的侧移刚度为：3EI
l3
例 计算自振频率
1
k11
EI=常数
12 EI l3
y = y0 初速度
y(0) = y0 = −ωA1 sinω × 0 + ωA2 cosω × 0
A1 = y0
A2
=
y0
ω
y(t)
=
y0
cosωt
+
y0
ω
sin ωt
位移的多项表达式
位移、速度的单项表达式
3
y(t)
=
y0
cosωt
+
y0
ω
sin ωt
若令
y(t) = a sinϕ cosωt + a cosϕ sin ωt
结构自振周期、频率
6
自振周期的倒数称为工程频率 f = 1
（或频率），记作 f
T
频率 f 表示单位时间内的振动次数，其常用单位
1车辆振动基本概念
1车辆振动基本概念2轨道不平顺与车辆振动方程基本概念轨道不平顺由表观的几何不平顺和弹性不平顺组成，车辆低速通过轨道时间测得的准静态不平顺是这两种不平顺的合成。
当车辆在动态下快速通过轨道时，测得的轨道随机不平顺中将包含有动力作用下的弹性变形，称为动力不平顺。
轨道不平顺含有三种性质的基本组成：周期性、随机性、局部或单一性。
四种类型：轨道垂直不平顺（高低）：左右轨面高低不平顺的平均值Zv表示了左右轮轨垂直支承点的中心离线路名义中心的高低偏差，它是激起车辆产生垂向振动的主要原因，车体将因它产生浮沉和点头振动，并可使轮轨间产生过大的垂向动作用。
轨道水平不平顺：左右轮轨接触面的高度差所对应行程的夹角相对水平面的变化称为水平不平顺。
引起轨道车辆运行中摇头与滚摆的重要原因。
轨道方向不平顺：左右轮轨垂直接触面的纯滚线在横向的中心线距离设计值的偏移量。
引起轨道车辆运行时摇头与滚摆的重要原因。
轨距不平顺：左右两轨的轨距沿轨道长度方向上的偏差，影响刚轮钢轨的接触几何关系，对轨道车辆动力学性能也有一定的影响。
激起车辆振动的原因：收到外部激扰：轨道不平顺，空气，系统本身、刹车制动系统间的作用、牵引时纵向冲动随机性描述对轨道不平顺呈随机性质的，则需在频域中用功率谱密度表示。
有了不平顺的功率谱密度，就可以在频域中对线性系统轨道车辆在轨道上产生的随机响应进行求解。
轨道沿线路的不平顺基本是一个平稳随机的过程，一般表示为空间谱，他的波幅与波长都是随机变量，通常短波不平顺波幅小而长波不平顺波幅大。
实际运行时平顺中有时有波长相近的几个连续波组合，从而能使车辆在他们激励下产生类似共振的大幅度。
轨道不平顺的空间功率谱密度函数PSD，是描述轨道随机不平顺的重要的频域统计函数，通常会对足够长的线路路面实测或从轨检车检测的大量不平顺数据作统计以形成线路谱。
无论从维护目的评估线路，还是作为激振函数来计算新型车辆在线路上的响应并评价运行平稳性与安全性，建立轨道不平顺功率谱都很有必要。
机械振动ppt课件
设 t 的初始位移和初始速度为：
x() x
x() x
令：
c 1b 1co 0 s ) (b 2si n 0 )(
c2b 1si n 0 )( b 2co 0 s)(
有 ： x ( t) b 1 co 0 ( t s ) b 2 si 0 ( t n )
b1 x
b2
x 0
单自由度系统自由振动
固有振动或自由振动微分方程 ： mxkx0
令： 0
k m
固有频率
单位：弧度/秒（rad/s）
则有 ： x02x0
通解 ： x(t) c 1co0 ts ) c (2sin 0 t)(Asin0(t)
c1
,
c
：
2
任意常数，由初始条件决定
振幅 ： A c12 c22
初相位 ： tg 1 c1
c2
单自由度系统自由振动
m xkx0 x02x0
0
k m
x(t) c 1co0 ts ) c (2sin 0 t)(Asin0(t)
A c12 c22
x
tg 1 c1
c2
T2/0
A
0
t
0
单自由度系统自由振动
m xkx0 x02x0
0
k m
x(t) c 1co0 ts ) c (2sin 0 t)(Asin0(t)
单自由度系统自由振动
• 线性系统的受迫振动
弹簧原长位置
令 x 为位移，以质量块的静平衡位置
m
0
静平衡位置
为坐标原点，λ为静变形。
当系统受到初始扰动时，由牛顿第
k
x
二定律，得：
m x mg k(x)
第二章1-单自由度系统无阻尼自由振动上课讲义
x&0 0
3 2
,2
结论1
▪ 单自由度无阻尼自由振动为简谐振动—— 位移可以表示为时间的简谐函数（正弦或 余弦）
结论2 响应满足叠加原理
▪ 系统在初始位移单独 x 0 作用下的自由振动，
此时
x&0 ， 0
x1 x0cosnt
▪ 系统在初始速度 x& 0 单独作用下的自由振动，
此时
x 0 ， 0
x2
x&0
n
sin nt
系统总响应
▪ 振动系统总的响应=上述两部分响应之和
xx1x2x0cosnt x& 0 nsinnt
▪ 叠加性是线性系统的重要特征
数字特征
▪ A ——振幅，振动物体离开静平衡位置的最
大位移
▪
▪T
n
——圆频率 ——振动周期，旋转矢量转动一周
（2 ），振动物体的位移值也就重复一次，
m& x&F
方程化简
▪ 对于无阻尼自由振动，我们有
Fkx
▪ 因此，原方程改写为：
m& x& kx0
确定微分方程的初始条件
▪ 在t=0时，初始位移为 x 0 ，初始速度为 x& 0
▪ 则方程的初始条件为：
x(0) x0 和 x&(0) x&0
完整形式
▪ 单自由度无阻尼自由振动的运动微分方程 为：
第二章1-单自由度系统无阻尼自 由振动
几种单自由度系统的示例
O θ
S
隔离体受 力分析
kx
k
x(t)
m
O
S
O θ J
2-1无阻尼自由振动
▪ 自由振动：系统在初始激励下，或外加激 励消失后的一种振动形态。
第1章 单自由度系统的振动
第1章 单自由度系统的振动1.1概述机械振动是工程中常见的物理现象。
悬挂在弹簧上的物体在外界干扰下所作的往复运动就是最简单直观的机械振动。
广泛地说，各种机器设备及其零部件和基础，都可以看成是不同程度的弹性系统。
例如桥梁在车辆通过时引起的振动，汽轮机、发电机由于转子不平衡引起的振动等。
因此，机械振动就是在一定的条件下，振动体在其平衡位置附近所作的往复性的机械运动。
实际中的振动系统是很复杂的。
为了便于分析研究和运用数学工具进行计算，需要在满足工程要求的条件下，把实际的振动系统简化为力学模型。
例如图示1.1-1就是个最简单的单自由度质量(m )—弹簧(k )系统。
如果实际系统很复杂，要求的精度较高，简化的力学模型也就复杂。
振动系统中和参数的动态特性，可以用常系数线性微分方程来描述的，称为线性振动。
但工程实际中也有很多振动系统是不能线性化的，如果勉强线性化，就会使系统的性质改变，所得的系统只能按非线性振动系统处理。
机械振动分析方法很多。
对于简单的振动系统，可以直接求解其微分方程的通解。
由于计算机进行数值计算非常方便，所以振动仿真是一种最直接的方法。
由于振动模型中尤其是多自由度振动很方便用矩阵微分方程来描述，所以MATLAB 语言在振动仿真中体现出十分优越的特性。
本章先介绍机械振动的单自由度、多自由度振动的基础，然后介绍仿真计算的各种计算公式，最后通过MATLAB 语言来实现。
1.2单自由度系统的振动1.2.1 无阻尼自由振动如图1.1-1所示的单自由度振动系统可以用如下微分方程描述：0=+kx xm (1.2.1-1) 令mkn =2ω ，方程的通解为t b t a x n n ωωcos sin += (1.2.1-2)式(1.2.1-2)表示了图示(1.1-1)中质量m 的位置随时间而变化的函数关系，反映了振动的形式与特点，称为振动函数。
式(1.2.1-2)中，a 、b 为积分常数，它决定于振动的初始条件。
第六七讲-单自由度系统自由振动
微分方程 特征方程为
y py qy 0 r2 pr qy 0
p p2 4q r
2
（1） 当r1, r2 为两个不等实根
（2） 当r1, r2 为两个相等实根
y C1er1x C2er2x
y C1 C2xer1x
（3） 当r1, r2 为两个不等共轭复根
px
4q p2
4q p2
dt q q
n2 0
其中 n
g l
V mgl cos
弹簧的串联与并联
1、弹簧并联
设平衡时弹簧的静变形为 st
mg (k1 k2 )st
st
mg k1 k2
keq k1 k2
n
keq m
k1 k2 m
keq 为等效弹簧系数
2、弹簧串联
两个弹簧串联，每个弹簧受的力都等于物块 的重量mg ，因此两个弹簧的静伸长分别为：
共振
当 n时，b 在理论上趋向无穷大，此时产生共振现象。
事实上，当 n时，振幅式子无意义，此时 x2有以下解： x2 Bt cos(nt )
对时间t 求导得 x2 B cos(nt ) Bnt sin(nt )
再对时间t 求导得 x2 nB sin(nt ) Bnt sin(nt ) Bt2n2 cos(nt )
Vmax
1 2
mn2
A2
1 kA2 2
n
k m
&6-2 单自由度系统有阻尼自由振动
自由振动在振动过程中能量无损失，振动永 远进行下去，在实际中，由于阻力存在，振 幅逐渐减小，直至为零。 振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。 产生阻尼的原因： 1、介质中振动的介质阻尼 2、材料变形产生的内阻尼 3、接触面摩擦产生的干摩擦阻尼 当振动速度不大时，介质粘性引起的阻力 与速度成正比，这种阻尼称为粘性阻尼：
振动理论03(1)-单自由度系统自由振动
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2014/9/28
管中其中一个臂的水位升高1厘米，另一个臂的水位就
降低1厘米，因此就给出2厘米水柱的失衡重量，产生
-任意瞬时的位置与平衡位置 之间的距离）?
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弹簧力
阻尼力
作用在质量块的力总计 sin
应用牛顿第二定律： 单自由度系统运动微分方程
mx cx kx P0 sin t
惯性力 阻尼力 弹性力 外来的谐力
单自由度扭转系统振动方程
圆盘的惯性矩为 轴的抗扭刚度为 外加扭矩 0 用于转动物体的广义牛顿定律
弹簧－质量系统
研究系统的振动问题时，常常把它简化成由若干个“ 无质量”的弹簧和“无弹性”的质量所组成的模型， 称为弹簧－质量系统(spring mass system)
角振动(angular vibration)：以角位移作为独立坐标的系 统。例如后面将要介绍的圆盘的扭振(Torsional vibration)。
用一根弹簧把一个质量m悬挂 在刚性天花板上。弹簧的刚度 由弹性系数 表示
在质量和刚性天花板之间有油 或者空气缓冲器机构
质量静止时，缓冲器不传递力 质量运动时，缓冲器的阻尼力与
速度成正比，即 c:阻尼常数或粘性阻尼常数
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2014/9/28
假设一个交变外力作用在质 量上
计算外力造成的质量的运动 ，即求出质量运动距离 的时 间函数
振动理论(3) 第3章 单自由度系统自由振动
自由度
自由度
单自由度振动系统的运动方程及其解析解
单自由度振动系统的运动方程及其解析解单自由度振动系统是指只有一个自由度的振动系统，其运动方程可以用一个二阶常微分方程表示。
在这篇文章中，我们将讨论单自由度振动系统的运动方程及其解析解。
1. 引言振动是自然界中一种常见的现象，也是物体在受到扰动后产生的周期性运动。
单自由度振动系统是研究振动现象的基本模型，它可以用来描述弹簧振子、摆锤等物理系统的振动。
2. 运动方程的建立对于单自由度振动系统，其运动方程可以通过牛顿第二定律推导而来。
假设系统的质量为m，位移为x，系统受到的外力为F，弹性系数为k，则可以得到如下的运动方程：m*x'' + k*x = F3. 简谐振动的解析解当外力为零时，即F=0，单自由度振动系统的运动方程简化为：m*x'' + k*x = 0这是一个常系数线性齐次二阶常微分方程，可以通过特征方程的方法求解。
假设解为x(t) = A*cos(ωt + φ)，代入方程中可以得到：-m*ω^2*A*cos(ωt + φ) + k*A*cos(ωt + φ) = 0整理得到：(ω^2*m - k)*A*cos(ωt + φ) = 0由于A*cos(ωt + φ)不为零，所以可以得到特征方程：ω^2*m - k = 0解特征方程可以得到系统的固有频率：ω = sqrt(k/m)因此，单自由度振动系统的解析解为：x(t) = A*cos(ωt + φ)其中A和φ为待定常数，分别表示振幅和相位。
4. 非简谐振动的解析解当外力不为零时，即F≠0，单自由度振动系统的运动方程为：m*x'' + k*x = F这是一个非齐次线性二阶常微分方程，可以通过特解和通解的方法求解。
首先求解齐次方程，得到通解：x_h(t) = A*cos(ωt + φ)然后求解非齐次方程的特解，可以通过待定系数法或者复数法得到特解。
最后将通解和特解相加，得到系统的解析解：x(t) = x_h(t) + x_p(t)其中x_h(t)为齐次方程的通解，x_p(t)为非齐次方程的特解。
单自由度系统自由振动
（1.13） （1.14）
当ζ < 0.2 时，式（1.13）可近似为
ζ= δ 2π
（1.15）
从而由式（1.10）和式（1.14）得到系统的固有频率ωd 和阻尼 ζ 。
2． 实验方法 （1） 等效刚度的测定
由于梁在弹性范围内的挠度与梁所受载荷成正比，因此只要在简支梁的跨中点加载，同 时用百分表读出该点的挠度值，即可测出简支梁跨中的等效刚度。 （2） 自由衰减曲线记录与系统频率和阻尼等参数分析
相对阻尼系数 ζ
（%）
2 3
表 4 等效质量
等效质量（kg）
固有频率 f d （Hz）
附加质量前 m 附加质量后 m + Δ
等效质量： m = Δ
f
2 d
−1
f
2 dΔ
（kg）
七、实验报告要求
1、 实验前做好理论背景知识、测试方法的预习 2、 实验报告内容包括：实验目的、实验原理、实验装置和设备框图、实验数据处理与结果
x(t) 的测量来研究系统的振动规律。
ε
ΔR
ΔU
应变片
动态应变仪
动态分析仪
图3
（3） 等效质量的测定
在原来的简支梁上附加一个已知质量 Δ ，假定附加前后简支梁系统的刚度不变，即
k
=
mω
2 n
=
(m
+
Δ)ω
2 nΔ
其中：
m 为附加前系统等效质量
（1.15）
ωn 为附加前系统的固有频率
m + Δ 为附加后系统等效质量
单自由度系统自由振动
一、实验目的 1． 理解与掌握单自由度系统自由衰减振动的基本知识
140机械振动基础
➢ 临界阻尼 ( = 1) x ent (C1 C2t)
运动特性
衰减振动不是周期振动，但仍可定义周期
T1 及圆频率 p1
p1 p 1 2 p
2π T
T1 p1
T
1 2
运动特性
振幅按几何级数衰减，减幅系数
xmi xmi1
enT1
ln nT1 pT1 2π
运动特性
小阻尼时，阻尼对频率影响小，对振幅影 响大
(M m)&x& cx& kx me 2 sin t
&x&
2nx&
p2x
me 2
M m
sin t
m
e 2 t
&x& M
B0 2 p2 sin t
kx cx&
B
B0
2
,
(1 2 )2 4 22
B0
me M m
系统整体作强迫振动，由于激励力大小不是常
数，而与成正比，故其幅频特性曲线不同
例6 由牵连运动引起的强迫振动
1
(1 2 )2 (2 )2
➢ 相频特性曲线
— 振幅放大因子 增益因子
幅频特性曲线
低频区： «1
1
高频区： »1 0
在低频区和高 频区内可忽略 阻尼的影响！
共振区：
0.75 1.25
共振现象
1
(1 2 )2 (2 )2
d d
0
m 1 2 2 1
max 2
1
1 2
1
2
无阻尼系统共振时的特解
Ai A(iN )
Ae nti Aen(ti NT1 )
enNT1
2
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1 2π
k 1 m 2π
k1 k 2 m(k1 k 2 )
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
组合弹簧的等效刚度 例 质量为m的物块悬挂如图所示。设杆AB的质量不计，两弹 簧的弹簧刚度系数分别为k1和k2,又AC=a，AB=b，求物块的自 由振动频率。 解：将各弹簧的刚度系数按
静力等效的原则，折算到质
量所在处。 先将刚度系数k2换算至质 量m所在处C的等效刚度系 数k。
C
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。 设在C处作用一力F，按静力平衡的 关系，作用在B处的力为
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
串联弹簧与并联弹簧的等效刚度
例 在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、 k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。 解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：二弹簧变形相等。 振动过程中，物块始终作平行移动。处 于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是 st，而弹性力分别是
第1章 单自由度系统的自由振动
机械与结构振动
Mechanical and Structural Vibration
主讲 贾启芬
机械与结构振动
引 言
振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置
附近作往复运动。
振动问题的共同特点
所考察的系统既有惯性又有弹性。 运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。
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k 48EI l3
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.4 扭转振动
等效系统
内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运 转中常常产生扭转振动，简称扭振。
扭振系统称为扭摆。 OA 为一铅直圆轴，圆盘对其转动惯量为IO。 在研究扭摆的运动规律时，假定OA的质量略 去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径 线和该线的静止位置之间的夹角 来决定， 称扭角。圆轴的抗扭刚度系数为kn，表示使 圆盘产生单位扭角所需的力矩。
1 f 2π
Mechanical and Structural Vibration
g
st
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
由材料力学可知，简支梁受集 中载荷作用，其中点静挠度为
st
mgl 3 48EI
1 f 2π 48EI ml 3
求出系统的固有频率为
中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为
C1 x0
v0 x x0 cos pnt sin pnt pn
Mechanical and Structural Vibration
v0 C2 pn
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.1 自由振动方程
另一种形式
x A sin( pnt )
振 幅
v0 2 2 A x0 ( ) pn arctg ( pn x0 ) v0
1.1 无阻尼系统的自由振动
Mechanical and Structural Vibration
第1章单自由度系统的自由振动 关于单自由度系统振动的概念
典型的单自由度系统:弹簧-质量系统
梁上固定一台电动机，当电机沿铅直 方向振动时，可视为集中质量。如不 计梁的质量，则相当于一根无重弹簧， 系统简化成弹簧-质量系统
mg st k
1st
mg k1
2st
mg k2
1 1 1 k k1 k 2
k1 k 2 k k1 k 2
k称为串联弹簧的等效刚度系数 串联后的弹簧刚度系数的倒数等于 各串联弹簧刚度系数倒数的算术和
f
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1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.2 振幅、初相位和频率
用弹簧静变形量st表示固有圆频率的计算公式 物块静平衡位置时
mg k st
k mg
k 固有圆频率 pn m
pn g
st
st
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1.1 无阻尼系统的自由振动
C
Fa b
此力使B 弹簧 k2 产生 变形， a Fa 2 而此变形使C点发生的变形为 c b k 2b 2
得到作用在C处而与k2弹簧等效的刚度系数
k F
c
b2 k2 2 a
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
弹性梁的等效刚度
例 一个质量为m的物块从 h 的高 处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、 长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁 的质量，求该系统自由振动的频率。
解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧 来代替，于是这个系统简化成弹簧—质量系统。如果 知道系统的静变形 st 则求出系统的固有频率
非线性振动的叠加原理不成立。
Mechanical and Structural Vibration
机械与结构振动
引 言
振动问题的分类
按激励特性划分：
自由振动－没有外部激励，或者外部激励除去后， 系统自身的振动。 受迫振动－系统在作为时间函数的外部激励下发 生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。 自激振动－系统由系统本身运动所诱发和控制的 激励下发生的振动。 参激振动－激励源为系统本身含随时间变化的参 数，这种激励所引起的振动。
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第1章单自由度系统的自由振动
目录
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.2 计算固有频率的能量法
1.3 瑞利法 1.4 有阻尼系统的衰减振动
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第1章单自由度系统的自由振动
初 相 位 角
两种形式描述的物 块振动，称为无阻 尼自由振动，简称 自由振动。
无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的 简谐振动
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.2 振幅、初相位和频率
2π m 系统振动的周期 T 2π pn k
系统振动的频率 f
1 pn k 2π T 2π m
系统振动的圆频率为 pn 2πf
圆频率pn 是物块在自由振动中每2 秒内振动的次数。
f、 pn只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关，
而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率f 称为 固有频率，圆频率pn称为固有圆频率。
Mechanical and Structural Vibration
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.4 扭转振动
根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程 d2 d2 2 p IO k n 0 n 2 2 dt dt kn 固有圆频率 pn IO 0 扭振的运动规律 0 cos pn t sin pn t
机械与结构振动
引 言
振动问题的研究方法： 选择合适的广义坐标； 分析运动； 分析受力； 选择合适的动力学定理； 建立运动微分方程； 求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。
Mechanical and Structural Vibration
机械与结构振动
引 言
振动问题的分类
按系统的自由度划分：
pn
对于单自由度振动系统来说，尽管前述直线振动和 当前扭振的结构形式和振动形式均不一样，但其振 动规律、特征是完全相同的。
1.1.3 等效刚度系数
等效的概念
单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程 这一方程，可以等效为广义坐标的形式
d2 q meq 2 keq q＝0 dt
d2 x m 2 kx＝0 dt
k eq－等效刚度：使系统在 广义坐标方向产生单位 位移， 需要在这一坐标方向施 加的力或力矩。 meq－等效质量：使系统在 广义坐标方向产生单位 加速 度，需要在这一坐标方 向施加的力或力矩。
mg k2
如果用一根弹簧刚度系数为 k 的弹 簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧 的静变形等于 st mg
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k
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
如果用一根弹簧刚度系数为k 的弹簧来代替原来的 两根弹簧，此弹簧的静变形等于
d2 x 2 pn x 0 2 dt
无阻尼自由振动微分方程
Mechanical and Structural Vibration
k 其中 pn m
固有圆频率
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.1 自由振动方程
其通解为： x C1 cos p n t C 2 sin p n t
其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。 设t=0时， x x0，v v0 可解
F1 k1 st
F2 k 2 st