专题练：正弦函数、余弦函数的性质--周期性

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1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质知识点一正弦函数、余弦函数的周期性函数的周期性1、(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期．2、A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ＝A sin(ωx ＋φ)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期．3、由sin(x ＋2k π)＝sin_x ，cos(x ＋2k π)＝cos_x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.知识点二正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)对于y ＝sin x ，x ∈R ，恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称． (2)对于y ＝cos x ，x ∈R ，恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称．知识点三正弦、余弦函数的单调性[－1,1][－1,1]对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解． 1、求下列函数的最小正周期． (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )；(2)y ＝|sin x |(x ∈R )．2、下列函数是以π为周期的函数是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin x ＋2C ．y ＝cos2x ＋2D ．y ＝cos3x －13．函数f (x )是周期函数，10是f (x )的一个周期，且f (2)＝2，则f (22)＝________.4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为2，则ω的值为________．类型二三角函数的奇偶性对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．判断函数奇偶性应把握好两个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f (x )与f (－x )的关系．1、判断下列函数的奇偶性．(1) f (x )＝sin(－x )（2）f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (3)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.2、若函数y ＝cos(ωx ＋φ)是奇函数，则( )A ．ω＝0B ．φ＝k π(k ∈Z )C ．ω＝k π(k ∈Z )D ．φ＝k π＋π2(k ∈Z )3、已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (2018)＝7，则f (－2018)＝________.类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用1．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数2、定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．2、已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)的值．3、设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝________.类型四求正弦、余弦函数的单调区间用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．1．函数y ＝sin2x 的单调递减区间。

正弦函数与余弦函数的图象练习题

专项训练:正弦函数与余弦函数的图象一、单选题1．同时具有性质:①最小正周期是；②图象关于直线对称;③在上是增函数的一个函数是 ( ）A ．B ．C ．D ．2．定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时,,则的值为( ). A ．B ．C ．D ．3．函数的部分图象如图，则、可以取的一组值是（）A ．B ．C ．D ．4．函数,是A ．最小正周期为的奇函数B ．最小正周期为的偶函数C ．最小正周期为的奇函数 D ．最小正周期为的偶函数5．函数f (x )＝4x －3tan x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象大致为（ )A ．B ．C ．D ．6．如图是函数()(),(0)2f x cos x ππϕϕ<<＝＋的部分图象，则f (3x 0)＝( ）A ．12 B ．－12 C ．3． 37．已知f (x ）＝sin(ωx ＋φ）(ω>0,｜φ｜〈2π)的最小正周期为π，若其图象向左平移π3个单位长度后关于y 轴对称，则( ）A ． ω＝2，φ＝π3B ． ω＝2，φ＝π6C ． ω＝4，φ＝π6D ． ω＝2，ω＝－π68．函数y =sin2x +cos2x 最小正周期为A ．B ．C ． πD ． 2π9．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) 0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若x 1,x 2∈,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且f (x 1)＝f （x 2），则f (x 1＋x 2）＝（ )A ．12B ． 22C ．32D ． 1 10．下列函数中,周期为π,且在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数的是（ )A ． sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ． cos 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ． cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ． sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．函数y ＝－sin x ，x ∈π3,22π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的简图是( )A ．B ．C ．D ．12．函数f （x )=sin π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象的对称轴方程可以为 ( )A ． x=π12B ． x=5π12 C ． x=π3 D ． x=π613．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）A ．B ．C ．D ．14．函数()22sin sin 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是( ）。

正弦余弦函数的周期性

2 解：（1）的周期是π .
（2）的周期是4π . .
（3）的周期是2π.
第三组3 1 f x 2sin(1 x ), xR;
26
2 f x 2sin(1 x ), x R; 3 f x 2sin(1 x 5 ), x R.
23
26
解：他们的周期都是4π.
最小正周期
如果在周期函数 f (x) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.
正弦函数 y sin x ,余弦函数 y cos x 都是周期函数，
且最小正周期等于2π.
注意：
今后我们谈到函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指此函数的最小正周期.
2 f x 2sin(1 x 5 ), x R.
26
三、例题与练习分析：
第一组1 1 f x 3cos x, xR; 2 f x 4sin x,xR; 3 f x cos x, xR;
解：他们的周期都是2π.
第二组2 1 f x sin 2x, x R; 2 f x sin 1 x, xR; 3 f x sinx, xR;
归纳：这些函数的周期与解析式中的那些量有关吗？与x前面的系数有关
结论:
y Asin( wx ), y Acos(wx )(其中 A, w, 为常数，
且 A 0, w 0 )的周期T与解析式中的 “ w ”有关.
四、小结：问题：你觉得你这节课学习了哪些知识？有什么收获？
正弦函数 y sin x、余弦函数y cos x 的周期都是2π.
三、例题分析：
例1、求下Байду номын сангаас函数的周期.
1 f x 3cos x, x R;

正弦函数、余弦函数的性质(全)

当且仅当 x 2k，（ k Z）时， (cos x)min 1.
y
1
-4 -3
-2
- o
-1

2
3
4
5 6 x
ycox(sxR)
例题
求使函数

y3cos2x( )
取得最大值、最小值的
2
自变量的集合，并写出最大值、最小值。
y
1
3 5 2
而在每个闭区间[ 2k , 3 2k ](k Z )上都是
2
2
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2

2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
当x在区间 [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 , 4 ] 上时，
4
5 6 x
y=cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1

2
3
4
5 6 x
一.周期性
对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
注：1正、T弦要是函非数零常是数周期函数，2k(kZ且 k0)，最小
其值从 1减至-1
五、余弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
-1
x - … …
2
cosx -1
0

三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质三角函数是数学中的重要概念，它们的图像和性质对于初中数学学习者来说是必须掌握的内容。

在本文中，我将详细介绍三角函数的图像与性质，并给出一些例子和说明，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这些知识。

一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像是一条连续的曲线，呈现出周期性变化。

正弦函数的性质包括：1. 周期性：正弦函数的周期是2π，即在每个2π的区间内，正弦函数的图像重复出现。

2. 幅度：正弦函数的幅度表示波峰和波谷的最大差值，通常记为A。

幅度越大，波峰和波谷的差值越大。

3. 对称性：正弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = -f(-x)。

4. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(x) = -f(x)。

举例说明：假设有一条正弦函数的图像，周期为2π，幅度为1。

在区间[0, 2π]内，正弦函数的图像先从0逐渐上升到1，然后下降到0，再下降到-1，最后又上升到0。

这样的周期性变化会一直重复下去。

根据正弦函数的性质，可以得出该图像关于y轴对称，且是奇函数。

二、余弦函数的图像与性质余弦函数也是一种常见的三角函数，它的图像和正弦函数有些相似，但也有一些不同之处。

余弦函数的性质包括：1. 周期性：余弦函数的周期也是2π，与正弦函数相同。

2. 幅度：余弦函数的幅度也表示波峰和波谷的最大差值，通常记为A。

与正弦函数不同的是，余弦函数的幅度表示波峰和波谷的绝对值最大差值。

3. 对称性：余弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = f(-x)。

4. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即f(x) = f(x)。

举例说明：假设有一条余弦函数的图像，周期为2π，幅度为1。

在区间[0, 2π]内，余弦函数的图像先从1逐渐下降到0，然后下降到-1，再上升到0，最后又上升到1。

这样的周期性变化会一直重复下去。

根据余弦函数的性质，可以得出该图像关于y轴对称，且是偶函数。

三、正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一种重要函数，它的图像与正弦函数和余弦函数有很大的不同。

高中数学：正弦函数、余弦函数的性质(1)—周期性、奇偶性含解析

第11课时　正弦函数、余弦函数的性质(1)——周期性、奇偶性课时目标1.掌握周期函数概念，会求三角函数周期．2．能判断三角函数的奇偶性．识记强化1．周期性：(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，则函数y ＝f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．对于一个周期函数f (x )，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．(2)y ＝sin x ，y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z ，k ≠0)都是它们的周期，最小正周期是2π.2．y ＝A sin(w x ＋φ)，x ∈R 及y ＝A cos(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A 、ω、φ为常数且A ≠0，ω>0)的周期为T ＝.2πω3．y ＝sin x ，x ∈R 是奇函数，y ＝cos x ，x ∈R 是偶函数；sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x .4．反映在图象上，正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y 轴对称．课时作业一、选择题1．下列说法中正确的是( )A ．当x ＝时，sin≠sin x ，所以不是f (x )＝sin x 的周期π2(x ＋π6)π6B ．当x ＝时，sin＝sin x ，所以是f (x )＝sin x 的一个周期5π12(x ＋π6)π6C ．因为sin(π－x )＝sin x ，所以π是y ＝sin x 的一个周期D ．因为cos ＝sin x ，所以是y ＝cos x 的一个周期(π2－x )π2答案：A解析：T 是f (x )的周期，对应f (x )的定义域内任意x 都有f (x ＋T )＝f (x )成立．2．函数y ＝－5cos(3x ＋1)的最小正周期为( )A. B ．3ππ3C. D.2π33π2答案：C解析：该函数的最小正周期T ＝＝.2πω2π33．函数y ＝cos的最小正周期是( )(π4－x 3)A ．πB ．6πC ．4πD ．8π答案：B解析：最小正周期公式T ＝＝＝6π.2π|ω|2π|－13|4．下列函数中，最小正周期为π的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sinD ．y ＝cos2xx 2答案：D解析：A 项，y ＝sin x 的最小正周期为2π，故A 项不符合题意；B 项，y ＝cos x 的最小正周期为2π，故B 项不符合题意；C 项，y ＝sin 的最小正周期为T ＝＝4π，故C 项不x 22πω符合题意；D 项，y ＝cos2x 的最小正周期为T ＝＝π，故D 项符合题意．故选D.2πω5．函数f (x )＝x sin ( )(π2－x )A ．是奇函数B ．是非奇非偶函数C ．是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数答案：A解析：由题，得函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．又f (x )＝x sin ＝x cos x ，∴f (－x )＝(－x )cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(π2－x )6．已知函数f (x )＝的定义域为R ，则( )cos (sin x )A ．f (x )是奇函数B ．f (x )是偶函数C ．f (x )既是奇函数又是偶函数D ．f (x )既不是奇函数又不是偶函数答案：B解析：∵函数f (x )＝的定义域为R ，关于原点对称，且f (－x )cos (sin x )＝＝＝＝f (x )，∴f (x )＝为偶函数．cos[sin (－x )]cos (－sin x )cos (sin x )cos (sin x )二、填空题7．若f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－sin x ，则当x ＜0时，f (x )＝________.答案：－x 2－sin x解析：利用奇函数的定义求解．当x ＜0时，－x ＞0，因f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－sin(－x )]＝－x 2－sin x .8．函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝3，则f (6)＝________.答案：3解析：∵函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝3，∴f (6)＝f (2×2＋2)＝f (2)＝3.9．已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (20 15)＝7，则f (－2 015)＝________.答案：－5解析：由f (2 015)＝2 015a ＋b sin2 015＋1＝7，得2 015a ＋b sin2 015＝6，∴f (－2 015)＝－2 015a －b sin2 015＋1＝－(2 015a ＋b sin2 015)＋1＝－6＋1＝－5.三、解答题10．已知函数f (x )＝log |sin x |.12(1)求其定义域和值域；(2)判断奇偶性；(3)判断周期性，若是周期函数，求其周期．解：(1)|sin x |>0⇒sin x ≠0，∴x ≠k π(k ∈Z )．∴定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }∵0<|sin x |≤1，∴log |sin x |≥0，12∴函数的值域是{y |y ≥0}．(2)定义域关于原点对称∵f (－x )＝log |sin(－x )|12＝log |sin x |＝f (x )，12∴函数f (x )是偶函数．(3)∵|sin x |在定义域{x |x ≠k π，k ∈Z }内是周期函数，且最小正周期是π，∴函数f (x )＝log |sin x |是周期函数，最小正周期为π.1211．设f (x )＝log 3.1－2sin x1＋2sin x (1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性．解：(1)∵>0，1－2sin x1＋2sin x ∴－<sin x <，1212∴k π－<x <k π＋，k ∈Z ，π6π6∴该函数的定义域为.{xk π－π6<x <k π＋π6，k ∈Z }(2)由(1)知定义域关于原点对称，又f (－x )＝log 31＋2sin x 1－2sin x＝log 3－1(1－2sin x1＋2sin x )＝－log 31－2sin x1＋2sin x＝－f (x )，∴该函数为奇函数．能力提升12．函数f (x )满足f (x ＋2)＝－，则f (x )的最小正周期是________．1f (x )答案：4解析：f (x ＋4)＝－＝f (x )所以函数f (x )的最小正周期是4.1f (x ＋2)13．求函数f (x )＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期．解：设f (x )的最小正周期为T ，则有f (x ＋T )＝f (x )，对x ∈R 恒成立．即|sin(x ＋T )|＋|cos(x ＋T )|＝|sin x |＋|cos x |.令x ＝0，得|sin T |＋|cos T |＝1.两边平方，得|sin T |·|cos T |＝0.∴角T 的终边在坐标轴上．∴T ＝(k ∈N ＋)．k π2又f＝|sin |＋|cos |(x ＋π2)(x ＋π2)(x ＋π2)＝|cos x |＋|－sin x |＝|cos x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期为.π2。

高一数学正弦函数余弦函数的周期性

• 注意：1周期函数x定义域M，则
必有x+TM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；
• 2“每一个值”只要有一个反例，
则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)）
• 3T往往是多值的（如y=sinx
2,4,…,-2,-4,…都是周期）周
期T中最小的正数叫做f (x)的最小正
正弦函数余弦函数的周期性
一、复习：y=sinx y=cosx
(xR)的图y像
y=sinx
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y
y=cosx
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
• 1正弦函数、余弦函数的图像是有规律
不断重复出现的；
• 2规律是：每隔2重复出现一次（或者
说每隔2k,kZ重复出现）
周期（有些周期函数没有最小正周期）
y=sinx, y=cosx的最小正周期为 2 （一般称为周期）
三、y=sinωx, y=cosωx的最小正周期的确定
• 例1、求下列三角函数的周期：
①y=3cosx
②y=sin(x+ ) 3
③y=cos2x
④y=3sin(
x 2
-5
)
• 小结：形如y=Asin(ωx+φ)
•3 这个规律由诱导公式
sin(2k+x)=sinx, os(2k+x)=cosx
结论：象这样一种函数叫做周期函数。
二、周期函数定义
对于函数f (x)，如果存在一个

高中数学：正弦函数、余弦函数的性质(二)练习

高中数学：正弦函数、余弦函数的性质(二)练习(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(·北京高一检测)已知函数y=sinx和y=cosx在区间M上都是增函数，那么区间M可以是( )A. B.C. D.【解析】选D.y=sinx在和上是增函数，y=cosx在(π，2π)上是增函数，所以区间M可以是.【补偿训练】下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )A.y=sinB.y=cosC.y=sinD.y=cos【解析】选A.对于A，y=sin=cos2x，周期为π，在上为减函数，故A正确，对于B，y=cos=-sin2x，周期为π，在上为增函数，故B错误，对于C，D，两个函数的周期为2π，故C，D错误.2.当-≤x≤时，函数f(x)=2sin有( )A.最大值为1，最小值为-1B.最大值为1，最小值为-C.最大值为2，最小值为-2D.最大值为2，最小值为-1【解析】选D.因为-≤x≤，所以-≤x+≤，所以-≤sin≤1，所以-1≤2sin≤2，即f(x)的最大值为2，最小值为-1.【补偿训练】y=2sin在[π，2π]上的最小值是( ) A.2 B.1 C.-1 D.-2 【解析】选C.因为x∈[π，2π]，所以+∈，所以当+=时y min=2×=-1.3.下列关系式中正确的是( )A.sin11°<cos10°<sin168°B.sin168°<sin11°<cos10°C.sin11°<sin168°<cos10°D.sin168°<cos10°<sin11°【解析】选C.cos10°=sin80°，sin168°=sin12°，因为0°<11°<12°<80°<90°，且y=sinx在上为增函数，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.4.(·衡阳高一检测)函数y=-cos的单调递增区间是( )A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)【解析】选D.转化为求函数y=cos的单调递减区间，由2kπ≤-≤2kπ+π，解得4kπ+≤x≤4kπ+，k∈Z.所以函数y=-cos的单调递增区间是，k∈Z.5.(·泉州高一检测)函数y=sin2x-sinx+2的最大值是( )A.2B.3C.4D.5【解析】选C.y=sin2x-sinx+2=+由x∈R知sinx∈[-1，1]，所以当sinx=-1时y max=(-1)2-(-1)+2=4.二、填空题(每小题5分，共15分)6.函数y=sin的值域是________.【解析】因为∈[0，+∞)，所以sin∈[-1，1].函数y=sin的值域是[-1，1].答案：[-1，1]7.(·宜昌高一检测)函数y=2sin，x∈[0，π]的单调递减区间是________.【解题指南】先求y=2sin的单调递减区间，再与[0，π]求交集.【解析】由2kπ+≤x+≤2kπ+，得2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z.设A=[0，π]，B=，则A∩B=，所以y=2sin，x∈[0，π]的单调递减区间为.答案：8.(·三明高一检测)函数y=sin取最大值时自变量的取值集合是________.【解析】当-=2kπ+，即x=4kπ+，k∈Z时y max=1，所以函数y=sin取最大值时自变量的取值集合为.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.比较下列各组数的大小：(1)sin250°与sin260°.(2)cos与cos.【解析】(1)因为函数y=sinx在[90°，270°]上单调递减，且90°<250°<260°<270°，所以sin 250°>sin 260°.(2)cos=cos=cos，cos=cos=cos.因为函数y=cosx在[0，π]上单调递减，且0<<<π，所以cos>cos，所以cos>cos.10.(·张家界高一检测)已知函数f(x)=sin(2x+)+1，x∈R.(1)写出函数f(x)的最小正周期.(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值.【解析】(1)因为=π，所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)当x∈时，2x+∈，所以当2x+=，即x=时，sin取得最大值，值为1，所以，函数f(x)的最大值为2. 【延伸探究】本题条件下(1)求f(x)的最小值及单调递减区间.(2)求使f(x)=时x的取值集合.【解析】(1)当2x+=2kπ-，即x=kπ-，k∈Z时[f(x)]min=-1+1=0.由2kπ+≤2x+≤2kπ+，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，所以f(x)=sin+1的单调递减区间为，k∈Z.(2)由f(x)=得sin=，所以2x+=2kπ+或2kπ+，即x=kπ或x=kπ+，k∈Z.所以使f(x)=时x的取值集合为.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.函数y=-2cos在区间上是单调函数，则实数a的最大值为( )A. B.6π C. D.【解析】选D.x∈得t=+∈(，+]，则必有y=-2cost在上单调.由于=3π+∈[3π，4π]，y=-2cost在[3π，4π]上为减函数，所以⊆[3π，4π]，所以+≤4π，故a≤.所以a的最大值为.2.(·天水高一检测)若f(x)=3sin(2x+φ)+a，对任意实数x都有f=f，且f()=-4.则实数a的值等于( )A.-1B.-7或-1C.7或1D.±7【解析】选B.因为对任意实数x都有f=f，所以直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴.当x=时，f(x)取得最大值或最小值.所以f=3+a或-3+a.由3+a=-4得a=-7；由-3+a=-4得a=-1.【拓展延伸】正弦曲线与余弦曲线的对称性探究(1)正弦曲线、余弦曲线的对称轴分别过曲线的最高点或最低点，正弦曲线的对称轴是直线x=kπ+(k∈Z)，余弦曲线的对称轴是直线x=kπ(k∈Z).(2)正弦曲线、余弦曲线的对称中心分别是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，正弦曲线的对称中心是(k π，0)(k∈Z)，余弦曲线的对称中心是(k∈Z).二、填空题(每小题5分，共10分)3.(·泰安高一检测)如果函数f(x)=sin(x+)++a在区间上的最小值为，则a的值为________.【解析】由x∈得x+∈.当x+=时，[f(x)]min=-++a=，所以a=.答案：4.(·唐山高一检测)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x∈[3，4]时，f(x)=x-2，则有下面三个式子：①f<f；②f<f；③f(sin1)<f(cos1)；其中一定成立的是________.【解题指南】先用周期性求x∈[-1，0]时的解析式，再求[0，1]上的解析式，分析f(x)在[0，1]上的单调性，借助三角函数线比较sin与cos，sin与cos，sin1与cos1的大小.最后判断三个式子是否成立.【解析】当x∈[-1，0]时，x+4∈[3，4]，所以f(x+4)=x+4-2=x+2.因为f(x)=f(x+2)，所以f(x)是周期为2的函数，所以f(x)=f(x+4)=x+2.当x∈[0，1]时，-x∈[-1，0]，f(-x)=-x+2，又f(x)为偶函数，所以f(x)=f(-x)=-x+2，所以f(x)在[0，1]上为减函数.因为<<1<<，所以0<sin<cos<1，1>sin>cos>0，1>sin1>cos1>0，所以f>f，f<f，f(sin1)<f(cos1).答案：②③三、解答题(每小题10分，共20分)5.求函数y=1-2cos2x+5sinx的最大值和最小值.【解析】y=1-2cos2x+5sinx=2sin2x+5sinx-1=2-.令sinx=t，则t∈[-1，1]，则y=2-.因为函数y=2t2+5t-1在[-1，1]上是增函数，所以当t=sinx=-1时，函数取得最小值-4，当t=sinx=1时，函数取得最大值6.【补偿训练】求函数y=2sin2x+2sinx-1的值域.【解析】将函数配方得y=2-.因为-1≤sinx≤1，所以当sinx=-时，y min=-；当sinx=1时，y max=3.所以函数的值域为.6.已知f(x)=log a cos(其中a>0且a≠1).(1)求f(x)的单调区间.(2)试确定f(x)的奇偶性和周期性.【解析】(1)当a>1时，函数f(x)的增区间为，k∈Z.函数f(x)的减区间为，k∈Z.当0<a<1时，函数f(x)的增区间为(kπ+，kπ+)，k∈Z函数f(x)的减区间为，k∈Z.(2)函数f(x)的定义域不关于原点对称，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.函数f(x)的最小正周期是π.。

4.4.2正弦函数余弦函数的性质(1)周期性与奇偶性

正弦函数余弦函数的性质第一课时周期性与奇偶性【课程标准】学会利用三角函数图象，理解和掌握正弦函数、余弦函数的周期性与单调性.【学习目标】1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义.2.会求常见三角函数的的周期.3.通过图象直观理解奇偶性，并能正确确定相应的对称轴和对称中心．【自主学习】一、设计问题，创设情境问题1：函数的周期性(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且，那么函数f(x)就叫做周期函数．叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．问题2：正弦、余弦函数的周期性正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期．最小正周期为.二、学生探索、尝试解决问题3：正弦、余弦函数的奇偶性正弦函数是，余弦函数是．问题4：三角函数的周期问题例1 求下列函数的周期：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4； (2)y ＝|sin x |.变式训练利用周期函数的定义求下列函数的周期．(1)y ＝cos x 2，x ∈R ； (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4，x ∈R .问题5：三角函数的奇偶性例2 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin x cos x ；(2)f (x )＝cos x 1－sin x； (3)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1.三、运用规律，解决问题下列函数中周期为π2，且为偶函数的是( ) A ．y ＝sin 4xB ．y ＝cos 14xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫14x －π2四、变练演练，深化提高问题6.三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3等于( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32五、信息交流，教学相长判断函数奇偶性应把握好的两个方面：当堂检测1．下列函数中，周期为π2的是( ) A ．y ＝sin xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x 2D ．y ＝cos 4x2．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数4．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫πx 2－π4，x ∈R 的最小正周期为________．5．若函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期为3的奇函数且f (1)＝3，则f (5)＝________.课堂小结分层作业必做课时分层作业（42）A,B 组选做 C 组。

专题37 正、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性和最值(解析版)

专题37 正、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性和最值考点1 正弦函数、余弦函数的周期性1.如果函数y＝sin（πx＋θ）（0＜θ＜2π）的最小正周期是T，且当x＝2时取得最大值，那么（）A．T＝2，θ＝π2B．T＝1，θ＝πC．T＝2，θ＝πD．T＝1，θ＝π2【答案】A【解析】由题意得sin（2π＋θ）＝1，又0＜θ＜2π，∴θ＝π2，最小正周期T＝2ππ＝2.2.下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于D，x∈（－1,1）时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数.3.定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期为π，且当x∈[−π2,0)时，f（x）＝sin x，则f(−5π3)的值为（）A．－12B．12C．－√32D．√32【答案】D【解析】f(−5π3)＝f(π3)＝－f(−π3)＝－sin(−π3)＝sinπ3＝√32.4.设函数f（x）＝sinπ3x，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2013）＝________. 【答案】√3【解析】∵f（x）＝sinπ3x的周期T＝2ππ3＝6.∴f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2013）＝335[f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f （5）＋f（6）]＋f（2011）＋f（2012）＋f（2013）＝335·(sinπ3＋sin23π＋sinπ＋sin43π＋sin53π＋sinπ)＋f（335×6＋1）＋f（335×6＋2）＋f（335×6＋3）＝335×0＋f（1）＋f（2）＋f（3）＝sinπ3＋sin23π＋sinπ＝√3.考点2 正弦函数、余弦函数的奇偶性5.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A．y＝sin（2x＋π2）B．y＝cos（2x＋π2）C．y＝sin2x＋cos2xD．y＝sin x＋cos x【答案】B【解析】由于函数y＝sin（2x＋π2）＝cos2x为偶函数，故排除A；由于函数y＝cos（2x＋π2）＝－sin2x为奇函数，且周期为2π2，故B满足条件；由于函数y＝sin2x＋cos2x＝√2sin（2x＋π4）为非奇非偶函数，故排除C；由于函数y＝sin x＋cos x＝√2sin（x＋π4）为非奇非偶函数，故排除D，故选B.6.下列命题中正确的是（）A．y＝－sin x为奇函数B．y＝|sin x|既不是奇函数也不是偶函数C．y＝3sin x＋1为偶函数D．y＝sin x－1为奇函数【答案】A【解析】y＝|sin x|是偶函数，y＝3sin x＋1与y＝sin x－1都是非奇非偶函数. 7.设f（x）＝12sin（2x＋φ）（φ是常数）.（1）求证：当φ＝π2时，f（x）是偶函数；（2）求使f（x）为偶函数的所有φ值的集合.【答案】（1）证明当φ＝π2时，f（x）＝12sin（2x＋π2）＝12cos2x，f（－x）＝f（x），f（x）是偶函数.（2）解由题意：f（－x）＝f（x），可得12sin（－2x＋φ）＝12sin（2x＋φ）对一切实数x成立，－2x＋φ＝2x＋φ＋2kπ或－2x＋φ＝π－（2x＋φ）＋2kπ，k∈Z，对一切实数x成立，所以φ＝k π＋π2，k ∈Z ，f （x ）为偶函数的φ值的集合是{φ|φ＝k π＋π2，k ∈Z }. 8.函数f （x ）＝sin （ωx ＋φ）（ω＞0,0≤φ≤π）是R 上的偶函数. （1）求φ的值.（2）若f （x ）图象上的点关于M （3π4，0）对称，①求ω满足的关系式；②若f （x ）在区间[0，π2]上是单调函数，求ω的值.【答案】（1）由f （x ）是偶函数，可得f （0）＝±1，故sin φ＝±1，即φ＝k π＋π2，结合题设0≤φ≤π，解得φ＝π2.（2）由（1）知f （x ）＝sin (ωx +π2)＝cos ωx ， ∵f （x ）图象上的点关于M （34π，0）对称，∴f （34π）＝cos 34ωπ＝0，故34ωπ＝k π＋π2（k ∈Z ），即w ＝23（2k ＋1），k ＝0,1,2，…∵f （x ）在区间[0，π2]上是单调函数，可得π2≤12·2πω，即ω≤2，又∵ω＝23（2k ＋1），k ＝0,1,2，… ∴综合以上条件，可得ω＝23或ω＝2. 9.f （x ）＝2√3sin （3ωx ＋π3）（ω＞0）.（1）若f （x ＋θ）是周期为2π的偶函数，求ω及θ值；（2）在（1）的条件下求函数f （x ）在[−π2,π3]的值域.【答案】（1）由于f （x ）＝2√3sin （3ωx ＋π3），可得f （x ＋θ）＝2√3sin[3ω（x ＋θ）＋π3]＝2√3sin （3ωx ＋3ωθ＋π3），再根据f （x ＋θ）是周期为2π的偶函数，可得2π3ω＝2π，3ωθ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z . 求得ω＝13，θ＝k π＋π6，f （x ）＝2√3sin （x ＋π3）. （2）由x ∈[−π2,π3]，可得x ＋π3∈[－π6，2π3]，故当x ＋π3＝－π6时，f （x ）取得最小值为－√3，当x ＋π3＝π2时，f （x ）取得最大值为2，故函数f （x ）的值域为[－√3，2√3]. 考点3 正弦函数、余弦函数的单调性10.函数y ＝sin （－2x ＋π3）在区间[0，π]上的单调递增区间为（） A ．[5π12,11π12] B ．[0,5π12] C ．[π6,2π3] D ．[2π3,π] 【答案】A【解析】y ＝sin （－2x ＋π3）＝－sin （2x －π3），当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π2时，k ∈Z ，函数单调递增，∴函数在区间[0，π]上的单调递增区间为[5π12,11π12].11.函数y ＝lgsin (π6−2x)的单调递减区间是（）A ．(kπ−π6,kπ+π3)（k ∈Z ）B ．(kπ+π3,kπ+5π6)（k ∈Z ）C ．(kπ−π6,kπ+π12)（k ∈Z ）D．(kπ−7π12,kπ+5π6)（k∈Z）【答案】C【解析】令sin(π6−2x)＞0，即sin(2x−π6)＜0，由此得2kπ－π＜2x－π6＜2kπ，k∈Z，解得kπ－5π12＜x＜kπ＋π12，k∈Z，由复合函数的单调性知，求函数y＝lgsin(π6−2x)的单调递减区间即是求t＝sin(π6−2x)＝－sin(2x−π6)单调递减区间，令2kπ－π2＜2x－π6＜2kπ＋π2，解得kπ－π6＜x＜kπ＋π3，k∈Z，{x|kπ－π6＜x＜kπ＋π3，k∈Z}∩{x|kπ－5π12＜x＜kπ＋π12，k∈Z}＝(kπ−π6,kπ+π12)（k∈Z）.12.设函数f（x）＝sin（ωx＋π2）（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）（）A．在（0，π2）单调递减B．在（π4，3π4）单调递减C．在（0，π2）单调递增D．在（π4，3π4）单调递增【答案】A【解析】∵函数f（x）＝sin（ωx＋π2）（ω＞0）的最小正周期为π，∴π＝2πω，ω＝2.∴f（x）＝sin（2x＋π2），由2kπ＋π2≤2x＋π2≤2kπ＋3π2，k∈Z，可得k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，函数f （x ）＝sin （2x ＋π2）在（0，π2）单调递减. 13.下列关系式中正确的是（） A ．sin11°＜cos10°＜sin168° B ．sin168°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin168°＜cos10° D ．sin168°＜cos10°＜sin11° 【答案】C【解析】∵sin168°＝sin （180°－12°）＝sin12°，cos10°＝sin （90°－10°）＝sin80°. 由正弦函数的单调性得sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°. 14.已知函数f （x ）＝2sin （2x －π3），x ∈R ，（1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）求函数f （x ）的单调区间.【答案】（1）根据三角函数的周期公式可得周期T ＝2π2＝π. （2）由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，故函数的单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z ，由π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π，解得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z ，故函数的单调递减区间为[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈Z . 15.已知函数f （x ）＝√2sin （2x ＋π4）－1，x ∈R . （1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）求函数f （x ）的单调递增区间；（3）求函数f （x ）的最值.【答案】（1）由周期公式T ＝2πω，得T ＝2π2＝π， ∴函数f （x ）的最小正周期为π；（2）令－12π＋2k π≤2x ＋π4≤12π＋2k π，k ∈Z ， ∴k π－38π≤x ≤k π＋18π，k ∈Z ，∴函数的单调递增区间为[k π－38π，k π＋18π]（k ∈Z ）. （3）根据正弦函数的性质可知，－1≤sin （2x ＋π4）≤1， ∴－√2≤√2sin （2x ＋π4）≤√2，∴－√2－1≤√2sin （2x ＋π4）－1≤√2－1， ∴函数的最大值为√2－1，最小值为－√2－1. 16.已知函数f （x ）＝sin （2x －π3）. （1）求f （x ）的单调增区间；（2）求f （x ）取最大值时x 值的集合；（3）函数y ＝f （x ）－m 在[0，π2]上有零点，求m 的取值范围. 【答案】（1）∵函数f （x ）＝sin （2x －π3），令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，∴函数f （x ）的增区间为[－π12＋k π，5π12＋k π]，k ∈Z .（2）令2x －π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得x ＝5π12＋k π，k ∈Z ，此时f （x ）＝1.∴f （x ）取得最大值时x 的集合是{x |x ＝5π12＋k π，k ∈Z }.（3）当x ∈[0，π2]时，2x －π3∈[－π3，2π3]， ∴－√32≤sin （2x －π3）≤1，∴函数y ＝f （x ）在x ∈[0，π2]上的值域是[－√32，1]，若函数y ＝f （x ）－m 在x ∈[0，π2]上有零点，则m 的取值范围是－√32≤m ≤1.考点4 正弦函数、余弦函数的最值17.下列函数中，与函数y ＝√x 3定义域相同的函数为（）A ．y ＝1sinx B ．y ＝lnx xC ．y ＝x e xD．y＝sinxx【答案】D【解析】∵函数y＝√x3的定义域为{x∈R|x≠0}，∴对于A，其定义域为{x|x≠kπ}（k∈Z），故A不满足；对于B，其定义域为{x|x＞0}，故B不满足；对于C，其定义域为{x|x∈R}，故C不满足；对于D，其定义域为{x|x≠0}，故D满足.18.函数y＝cos(x+π6)，x∈[0,π2]的值域是（）A．[−√32,12]B．[−12,√32]C．[√32,1]D．[12,1]【答案】B【解析】∵0≤x≤π2，∴π6≤x＋π6≤2π3.∴cos2π3≤cos(x+π6)≤cosπ6，∴－12≤y≤√32，故选B.19.已知函数f（x）＝2sin（2x＋π6）－1（x∈R），则f（x）在区间[0，π2]上的最大值与最小值分别是（）A．1，－2B．2，－1C．1，－1D．2，－2【答案】A【解析】∵0≤x≤π2，∴π6≤2x＋π6≤7π6，∴当2x＋π6＝π2时，即sin（2x＋π6）＝1时，函数取得最大值为2－1＝1，当2x＋π6＝7π6时，即sin（2x＋π6）＝－12时，函数取得最小值为－12×2－1＝－2.20.函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为[−1,12]，则b－a的最大值和最小值之和等于（）A．4π3B．8π3C．2πD．4π【答案】C【解析】利用函数y＝sin x的图象知（b－a）min＝2π3，（b－a）max＝4π3，故b－a的最大值与最小值之和等于2π.21.函数y＝cosωx（ω＞0）在区间[0,1）上至少出现2次最大值，至多出现3次最大值，则ω的取值范围是（）A．2π≤ω≤4πB．2π＜ω≤4πC．2π＜ω≤6πD．2π＜ω＜6π【答案】C【解析】∵函数y＝cosωx（ω＞0）的周期为T＝2πω，且在区间[0,1）上至少出现2次最大值，至多出现3次最大值， ∴13≤T ＜1，即13≤2πω＜1，解得2π＜ω≤6π.22.设f （x ）＝2cos （π4x ＋π3），若对任意的x ∈R ，恒有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）成立，则|x 1－x 2|的最小值是（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A【解析】∵f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2），∴x 1、x 2是函数f （x ）取最大、最小值时对应的x 的值，故|x 1－x 2|一定是T2的整数倍，∵f （x ）＝2cos （π4x ＋π3）的最小正周期T ＝2ππ4＝8，∴|x 1－x 2|＝n ×T2＝4n （n ＞0，且n ∈Z ）， ∴|x 1－x 2|的最小值为4.23.函数f （a ）＝cos 2θ＋a cos θ－a （a ∈[1,2]，θ∈[π6，π3]）的最小值是（） A ．√3−23B ．cos 2θ＋cos θ－1C．3＋（√3－1）a D．cos2θ＋2cosθ－2 【答案】D【解析】∵θ∈[π6，π3]，∴cosθ－1＜0，∴f（a）＝cos2θ＋a cosθ－a＝（cosθ－1）a＋cos2θ在[1,2]上单调递减，∴f（a）的最小值为f（2）＝cos2θ＋2cosθ－2.24.已知f（x）＝－2a sin(2x+π6)＋2a＋b，x∈[π4,3π4]，是否存在常数a，b∈Q，使得f（x）的值域为{y|－3≤y≤√3－1}？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.【答案】∵π4≤x≤3π4，∴2π3≤2x＋π6≤5π3，∴－1≤sin(2x+π6)≤√32.假设存在这样的有理数a，b，则当a＞0时，{−√3a+2a+b=−3,2a+2a+b=√3−1,解得{a=1,b=√3−5,（不合题意，舍去）当a＜0时，{2a+2a+b=−3,−√3a+2a+b=√3−1,解得{a=−1,b=1,故a，b存在，且a＝－1，b＝1.25.已知函数f（x）＝√2a sin（x－π4）＋a＋b.（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调递减区间；（2）当a＜0时，f（x）在[0，π]上的值域为[2,3]，求a，b的值.【答案】（1）∵当a＝1时，f（x）＝√2sin（x－π4）＋1＋b，∴当x－π4∈[π2＋2kπ，3π2＋2kπ]，k∈Z时，函数f（x）的单调递减区间是[3π4＋2kπ，7π4＋2kπ]，k∈Z.（2）∵f（x）在[0，π]上的值域为[2,3]，∴不妨设t＝x－π4，x∈[0，π]，t∈[－π4，3π4]，∴f（x）＝g（t）＝√2a sin t＋a＋b，∴f（x）max＝g（－π4）＝－a＋a＋b＝3，①f（x）min＝g（π2）＝√2a＋a＋b＝2，②∴由①②解得，a＝1－√2，b＝3.26.（1）求函数y＝2－cos x3的最大值和最小值，并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合；（2）求函数y＝cos2x－4cos x＋1，x∈[π3，23π]的值域.【答案】（1）令z＝x3，∵－1≤cos z≤1，∴1≤2－cos z≤3，∴y＝2－cos x3的最大值为3，最小值为1.当z＝2kπ，k∈Z时，cos z取得最大值，2－cos z取得最小值，又z＝x3，故x＝6kπ，k∈Z.∴使函数y＝2－cos x3取得最小值的x的集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}；同理，使函数y＝2－cos x3取得最大值的x的集合为{x|x＝6kπ＋3π，k∈Z}.（2）∵x∈[π3,23π]，∴－12≤cos x≤12.∵y ＝cos 2x －4cos x ＋1＝（cos x －2）2－3， ∴当cos x ＝－12时，y max ＝134；当cos x ＝12时，y min ＝－34，∴y ＝cos 2x －4cos x ＋1的值域为[−34,134].27.已知函数f （x ）＝sin （2x ＋φ），其中φ为实数，若f （x ）≤|f （π6）|对x ∈R 恒成立，且f （π2）＞f （π），求f （x ）的单调递增区间.【答案】由f （x ）≤|f （π6）|对x ∈R 恒成立知，2×π6＋φ＝2k π±π2（k ∈Z ），得到φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6，k ∈Z .代入f （x ）并由f （π2）＞f （π）检验，得φ的取值为－5π6，由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋23π，k ∈Z ，所以单调递增区间是[k π＋π6，k π＋2π3]（k ∈Z ）. 考点5 正弦函数、余弦函数的综合应用28.函数y ＝sin （－2x ＋π4）的单调递增区间是（） A ．[2k π＋38π，2k π＋78π]（k ∈Z ） B ．[k π＋38π，k π＋78π]（k ∈Z ） C ．[k π－18π，k π＋38π]（k ∈Z ） D ．[k π－58π，k π－18π]（k ∈Z ）【答案】B【解析】由于函数y ＝sin （－2x ＋π4）＝－sin （2x －π4），故函数y ＝sin （－2x ＋π4）的单调递增区间为函数y ＝sin （2x －π4）的减区间. 令2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，求得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，k ∈Z ，故所求的函数y ＝sin （－2x ＋π4）的单调递增区间是[k π＋38π，k π＋78π]（k ∈Z ）. 29.对于函数y ＝2sin （2x ＋π6），则下列结论正确的是（） A ．函数的图象关于点（π3，0）对称 B ．函数在区间[－π3，π6]递增 C ．函数的图象关于直线x ＝－π12对称 D ．最小正周期是π2 【答案】B【解析】由于点（π3，0）不在函数y ＝2sin （2x ＋π6）的图象上，故函数图象不关于点（π3，0）对称，故排除A.令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，故函数的增区间为[－π3，π6]，故B 正确.当x ＝－π12时，函数值y ＝0，不是最值，故函数的图象不关于x ＝－π12对称，故排除C. 由函数的解析式可得，最小正周期等于T ＝2π2＝π，故D 不正确. 综上可得，只有B 正确.30.已知函数f （x ）＝log 12cosπx 3，函数g （x ）＝a sin （π6·x ）－2a ＋2（a ＞0），x ∈（0,1），若存在x 1，x 2∈（0,1），使得f （x 1）＝g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是（）A ．（12，43） B ．（23，1） C ．（43，32） D ．[12,43]【答案】A【解析】由于x ∈（0,1），可得f （x ）的值域为（0,1），函数g （x ）＝a ·sin (π6x)－2a ＋2（a ＞0）的值域为（2－2a,2－3a2），由于存在x 1，x 2∈（0,1），使得f （x 1）＝g （x 2）成立，故（0,1）∩（2－2a,2－3a 2）≠∅，若（0,1）∩（2－2a,2－3a2）＝∅，则有2－2a ≥1或2－3a2≤0. 解得a ≤12或a ≥43，故a 的范围为（12，43）.31.函数f （x ）＝M sin （ωx ＋φ）（ω＞0）在区间[a ，b ]上是增函数，且f （a ）＝－M ，f （b ）＝M ，则函数g （x ）＝M cos （ωx ＋φ）在[a ，b ]上（） A ．是增函数 B ．是减函数C ．可以取得最大值M ，可以取得最小值－MD ．可以取得最大值M ，没有最小值【答案】C【解析】∵函数f （x ）在区间[a ，b ]上是增函数，且f （a ）＝－M ，f （b ）＝M . 采用特殊值法，令ω＝1，φ＝0，则f （x ）＝M sin x ，设区间为[－π2，π2].∵M ＞0，g （x ）＝M cos x 在[－π2，π2]上不具备单调性，但有最大值M .32.设f （x ）＝sin （2x ＋φ），若f （x ）≤f （π6）对一切x ∈R 恒成立，则： ①f （－π12）＝0；②f （x ）的图象关于点（5π12，0）对称；③f （x ）既不是奇函数也不是偶函数；④f （x ）的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋2π3]（k ∈Z ）. 以上结论正确的是________（写出所有正确结论的编号）. 【答案】①②③【解析】∵f （x ）≤f （π6）对一切x ∈R 恒成立，∴f （x ）＝sin （2x ＋φ）在x ＝π6时取得最大值，即2×π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，因此函数表达式为f （x ）＝sin （2x ＋π6＋2k π），∵f （－π12）＝sin[2×（－π12）＋π6＋2k π]＝sin2k π＝0，故①是真命题； ∵f （5π12）＝sin （2×5π12＋π6＋2k π）＝sin （π＋2k π）＝0，∴x ＝5π12是函数y ＝f （x ）的零点，得点（5π12，0）是函数f （x ）图象的对称中心，故②是真命题；∵函数y ＝f （x ）的图象既不关于y 轴对称，也不关于原点对称，∴f （x ）既不是奇函数也不是偶函数，故③是真命题；令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，∴f（x）的单调递增区间是[－π3＋kπ，π6＋kπ]（k∈Z），故④是假命题.由以上的讨论，可得正确命题为①②③，共3个，故答案为①②③.33.已知函数f（x）＝√2cos（2x－π4），x∈R. （1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[－π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.【答案】（1）f（x）的最小正周期T＝2π|ω|＝2π2＝π.当2kπ≤2x－π4≤2kπ＋π，即kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8，k∈Z时，f（x）单调递减，∴f（x）的单调递减区间是[kπ＋π8，kπ＋5π8]，k∈Z.（2）∵x∈[－π8，π2]，则2x－π4∈[－3π4，3π4]，故cos（2x－π4）∈[－√22，1]，∴f（x）max＝√2，此时2x－π4＝0，即x＝π8；f（x）min＝－1，此时2x－π4＝－3π4，即x＝－π4.34.设函数f（x）＝√1－2sinx.（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的值域及取最大值时x的值.【答案】（1）由1－2sin x≥0，根据正弦函数图象知，定义域为{x|2kπ＋5π6≤x≤2kπ＋13π6，k∈Z}.（2）∵－1≤sin x≤1，∴－1≤1－2sin x≤3，∵1－2sin x≥0，∴0≤1－2sin x≤3，∴f（x）的，k∈Z时，f（x）取得最大值.值域为[0，√3]，当x＝2kπ＋3π2。

第课时正弦函数、余弦函数的性质周期性和奇偶性全文

跟踪训练 2 (1)下列函数中周期为π2，且为偶函数的是
A.y＝sin 4x
B.y＝cos 14x
√C.y＝sin
4x＋π 2
D.y＝cos
1x－π 42
解析显然周期为π2的有 A 和 C，
又因为 y＝sin4x＋π2＝cos 4x 是偶函数，故选 C.
(2)函数 f(x)＝x2cos x＋π2 的奇偶性是___奇__函__数____.
f
5π
3
的
解析 f 53π＝f 53π－π＝f 23π＝f 23π－π＝f －π3
＝－f
π3＝－sin
π3＝－
3 2.
2.若本例中条件变为定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数，又是周期函数，
f
x＋π2 ＝－f(x)，f
π 3 ＝1，则
f
5π 3 的值为____1____.
解析 ∵f x＋π2＝－f(x)， ∴f(x＋π)＝－f x＋π2＝－(－f(x))＝f(x)，
∴T＝π，
∴f 53π＝f 53π－2π＝f －π3＝f π3＝1.
总结：三角函数周期性与奇偶性的解题策略 (1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y ＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0， ω>0)的形式，再利用公式求解. (2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(A≠0，ω>0)或y＝Acos ωx(A≠0，ω>0) 其中的一个.
3.函数y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数.( × )

2019-142(1)正弦函数、余弦函数的函数的周期性-文档资料

二：周期概念的拓展
思考1：判断下列说法是否正确
函数f(x)=sinx,x∈[0，10π]是周期函数( ╳ )
思考2：周期函数的定义域有什么特点？
x在定义域内，x+T也在定义域内周期函数的定义域是个无限集
例1 求下列函数的周期： ⑴y=3cosx,x∈R; ⑵y=sin2x,x∈R;
x
⑶y=2sin( - ),x∈R;
（1）定义法（2）公式法（3）图象法 3.什么叫周期函数的最小正周期？
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期
4.周期函数的周期与函数的定义域有关，周期函数不一定存在最小正周期.
5.周期函数的周期有许多个，若T为周期函数f(x)的周
期，那么T的整数倍也是f(x)的周期.
-π
π
3π
5π
x
O
2π
4π
6π
-1 y
y=cosx
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2
-1
2
2
2
根据正弦函数和余弦函数的定义域为R,值域是[-1,1]
一、周期函数的概念
1 y y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π O
π
3π
5π
x
2π
4π
6π
-1
思考1:观察上图,正弦曲线每相隔 2π 个单位重复出现.
1.定义是对定义域中的每一个x值来说的, 只有个别的x值
满足:f(xT)f(x) 不能说T是yf(x)的周期.
例如:sin()sin, 但是sin()sin.

高中数学学案正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性

第2课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性1.周期函数(1)周期函数.条件①对于函数f(x),存在一个非零常数T②当x取定义域内的每一个值时,都有f(x＋T)＝f(x)结论函数f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期(2)最小正周期.条件周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做f(x)的最小正周期状元随笔关于最小正周期(1)并不是所有的周期函数都有最小正周期,如常数函数f(x)＝C,对于任意非零常数T,都有f(x＋T)＝f(x),即任意常数T都是函数的周期,因此没有最小正周期．(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B,y＝Acos(ωx＋φ)＋B,可以利用公式T＝2π|ω|求最小正周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sin x y＝cos x周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π2π奇偶性奇函数偶函数状元随笔关于正、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数,反映在图象上,正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y 轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．提醒：诱导公式三是正弦函数、余弦函数的奇偶性的另一种表示形式．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”,错误的打“×”)(1)如果存在常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x＋T)＝f(x),那么这个函数的周期为T.( )(2)如果存在非零常数T,使得定义域内存在一个值x,有f(x＋T)＝f(x),那么这个函数的周期为T.( )(3)函数y ＝sin x,x∈(－π,π]是奇函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 2．下列函数中,周期为π2的是( )A ．y ＝sin x2 B ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝cos 4x解析：对于A,T ＝2π12＝4π,对于B,T ＝2π2＝π,对于C,T ＝2π14＝8π,对于D,T ＝2π4＝π2.答案：D3．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：由于x∈R ,且f(－x)＝sin x ＝－sin(－x)＝－f(x),所以f(x)为奇函数,故选A. 答案：A4．下列函数中是偶函数的是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝－sin x C ．y ＝sin|x| D ．y ＝sin x ＋1解析：A 、B 是奇函数,D 是非奇非偶函数,C 符合f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x),∴y＝sin|x|是偶函数．答案：C类型一求三角函数的周期例1 (1)下列函数中,不是周期函数的是( ) A.y ＝|cos x| B ．y ＝cos|x| C ．y ＝|sin x|D ．y ＝sin|x|(2)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6的周期为________．【解析】 (1)画出y ＝sin|x|的图象,易知y ＝sin|x|不是周期函数．(2)方法一因为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6, 即2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x ＋6π－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6.所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6的最小正周期是6π.方法二函数的周期T ＝2π|ω|＝2π13＝6π.【答案】 (1)D (2)6π(1)作出函数的图象,根据周期的定义判断．(2)利用周期的定义,需要满足f(x ＋T)＝f(x) ；也可利用公式T ＝2π|ω|计算周期．方法归纳求函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义,寻求对任意实数x 都满足f(x ＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．(2)公式法：对形如y ＝Asin(ωx＋φ)和y ＝Acos(ωx＋φ)(其中A,ω,φ是常数,且A≠0),可利用T ＝2π|ω|来求． (3)图象法：可画出函数的图象,借助于图象判断函数的周期,特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．跟踪训练1 求下列函数的周期． (1)y ＝2sin 2x ；(2)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.解析：(1)方法一因为2sin(2x ＋2π)＝2sin 2x,即2sin 2(x ＋π)＝2sin 2x. 由周期函数的定义,可知原函数的周期为π.方法二 T ＝2π2＝π.(2)方法一因为cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6＋2π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6,即cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋4π＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.由周期函数的定义,可知原函数的周期为4π. 方法二 T ＝2π12＝4π(1)利用周期的定义求函数周期． (2)利用公式T ＝2π|ω |求函数周期．类型二正、余弦函数的奇偶性问题例2 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2； (2)f(x)＝sin(cos x)．【解析】 (1)函数的定义域为R.且f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝－sin 2x.因为f(－x)＝－sin(－2x)＝sin 2x ＝－f(x),所以函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2是奇函数．(2)函数的定义域为R.且f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cos x)＝f(x), 所以函数f(x)＝sin(cos x)是偶函数.先用诱导公式化简,再利用定义法判断函数的奇偶性．方法归纳利用定义判断函数奇偶性的三个步骤注意：若函数f(x)的定义域不关于原点对称,无论f(－x)与f(x)有何关系,f(x)仍然是非奇非偶函数．跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|sin x|＋cos x ；所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×π2＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π6＝12 利用周期性f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6代入求值．1.4.1-2.2[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．函数y ＝－5cos(3x ＋1)的最小正周期为( ) A.π3B ．3π C.2π3 D.3π2解析：该函数的最小正周期T ＝2πω＝2π3.答案：C2．函数f(x)＝2sin 2x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：因为f(x)的定义域是R,且f(－x)＝2sin 2(－x)＝－2sin 2x ＝－f(x), 所以函数f(x)为奇函数．答案：A3．函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 0112π－2 010x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 0112π－2 010x＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2 010x ＋1 005π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2 010x ＝－cos 2 010x, f(x)定义域为R,且f(－x)＝－cos(－2 010x)＝－cos 2 010x ＝f(x), 所以函数f(x)为偶函数．答案：B4．函数f(x)＝xsin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ( )A ．是奇函数B ．是非奇非偶函数C ．是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：由题,得函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(x)＝xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝xcos x,所以f(－x)＝(－x)·cos(－x)＝－xcos x ＝－f(x),所以函数f(x)为奇函数．答案：A5．下列函数中是奇函数,且最小正周期是π的函数是( ) A ．y ＝cos|2x| B ．y ＝|sin x|C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2xD ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x解析：y ＝cos|2x|是偶函数；y ＝|sin x|是偶函数； y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数；y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数,且其最小正周期T ＝π.答案：D二、填空题(每小题5分,共15分)6．f(x)＝sin xcos x 是________(填“奇”或“偶”)函数．解析：x∈R 时,f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sin xcos x ＝－f(x),即f(x)是奇函数．答案：奇 7．函数y ＝cos1－x π2的最小正周期是________．解析：∵y＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2x ＋π2,∴T＝2ππ2＝2π×2π＝4.答案：48．函数f(x)是以2为周期的函数,且f(2)＝3,则f(8)＝________. 解析：∵f(x)的周期为2, ∴f(x＋2)＝f(x),∴f(8)＝f(2＋3×2)＝f(2)＝3. 答案：3三、解答题(每小题10分,共20分) 9．求下列函数的最小正周期： (1)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6；(2)y ＝|sin x 2|. 解析：(1)利用公式T ＝2π|ω|,可得函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6的最小正周期为T ＝2π|－2|＝π. (2)易知函数y ＝sin x 2的最小正周期为T ＝2π12＝4π,而函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的图象是由函数y ＝sin x 2的图象将在x 轴下方部分翻折到上方后得到的,此时函数周期减半,即y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的最小正周期为2π. 10．判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝3cos 2x ；(2)f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2；(3)f(x)＝x·cos x. 解析：(1)因为x∈R ,f(－x)＝3cos(－2x)＝3cos 2x ＝f(x), 所以f(x)＝3cos 2x 是偶函数． (2)因为x∈R ,f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x 4,所以f(－x)＝－cos 3－x 4＝－cos 3x 4＝f(x),所以函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2是偶函数．(3)因为x∈R ,f(－x)＝－x·cos(－x)＝－x·cos x＝－f(x), 所以f(x)＝xcos x 是奇函数． [能力提升](20分钟,40分) 11．下列说法中正确的是( )A ．当x ＝π2时,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≠sin x ,所以π6不是f(x)＝sin x 的周期B ．当x ＝5π12时,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x,所以π6是f(x)＝sin x 的一个周期C ．因为sin(π－x)＝sin x,所以π是y ＝sin x 的一个周期D ．因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x,所以π2是y ＝cos x 的一个周期解析：若T 是f(x)的周期,则对于f(x)的定义域内任意x 都有f(x ＋T)＝f(x)成立,B,C,D 错误．答案：A12．若函数f(x)的定义域为R,最小正周期为3π2,且满足f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x<0，sin x ，0≤x<π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22. 答案：2213．已知函数y ＝12cos x ＋12|cos x|.(1)画出函数的图象；(2)这个函数是周期函数吗？如果是,求出它的最小正周期．解析：(1)y ＝12cos x ＋12|cos x|＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤2kπ－π2，2kπ＋π2k∈Z ，0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2kπ＋π2，2kπ＋3π2k∈Z ，函数图象如图所示．(2)由图象知这个函数是周期函数,且最小正周期是2π. 14．已知f(x)是R 上的奇函数,且f(x ＋2)＝－f(x)． (1)求证：f(x)是以4为周期的函数； (2)当0≤x≤1时,f(x)＝x,求f(7.5)的值．解析：(1)证明：f(x ＋4)＝f[(x ＋2)＋2]＝－f(x ＋2)＝－[－f(x)]＝f(x), 所以f(x)是以4为周期的函数． (2)由(1)可知f(x ＋4)＝f(x),所以f(7.5)＝f(3.5＋4)＝f(3.5)＝f(－0.5＋4)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.。