2010-2011公共基础《概率论》期末考试试卷答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2010-2011学年第 1 学期 考试科目： 概率论 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、 填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）1、事件A 在4次独立重复试验中至少成功一次的概率为8180，则事件A 在一次试验中成功的概率为_________________.2、三个人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是0.2、1/3、0.25．则密码被破译的概率为_________________.3、设随机变量X 的分布函数0,0.4,()0.8,1,F x ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩ 111133x x x x <--≤<≤<≥，则{1}P X ==________. 4、连续型随机变量(),0),(~>λλE X 则=k _____ 时，41)2(=<<k X k P .5、设随机变量12,X X 相互独立，其中1~[0,6],X U 2X 服从参数3λ=的泊松分布，记123Y X X =-，则D Y =____________.6、若随机变量ξ在[1，5]上服从均匀分布，则方程210X X ξ++=有实根的概率为____.7、如果公共汽车车门的高度按男子碰头率在1％以下设计，而成年男子的身高 服从正态分布(165,36)N (cm)，则公共汽车车门的高度应为_____.(已知(2.33)0.9Φ=) 8、设某工厂生产的圆盘其直径在区间(,)a b 上服从均匀分布,则该圆盘面积的数学期望为_________________.二、选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1、设A ，B 为任意两个事件，0)(,>⊂B P B A ，则下式成立的为（ ）(A) B )|()(A P A P < (B) B )|()(A P A P ≤ (C) B )|()(A P A P > (D) B )|()(A P A P ≥ 2、下列函数可以作为某随机变量的密度函数的为：( )(A) ⎩⎨⎧∈=其他,0],0[,cos )(πx x x f (B) ⎪⎩⎪⎨⎧<=其他,02,21)(x x f(C) ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=--,00,21)(222)(x x e x f x σμπσ (D) ⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x3、设某连续型随机变量X的概率密度为221()x x f x -+-=，则下列结论正确的是（ ） (A) 1()1,()2E X D X ==(B) ()2,()1E X D X ==(C) ()0,()2E X D X == (D) ()1,()2E X D X =-= 4、设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为010.20.8X P010.20.8Y P则有( ).(A) ()0;P X Y == (B) ()0.4;P X Y == (C) ()0.68;P X Y == (D) () 1.P X Y == 5、设A ，B 是两个随机事件，()()()245,,556P A P B P B A ===，则（ ）()()()()()()()()1351224825A P AB B P AB C P AB D P AB ====三、解答题（本大题共 6 小题，1-4每小题 10 分，第5题15第6题6分，共 61 分）1、设离散型随机变量X 只取1、2、3三个可能值，取各相应值的概率分别是14,a -,2a ,求随机变量X 的概率分布函数. （10分）2、设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的20%，50%，30%，而且各车间的次品率依次为6%，4%，3%.现从待出厂的产品中任意取一个检查，问：（1）该产品是次品的概率？（2）如果该产品是次品，则该产品是由乙车间生产的概率有多大？（10分）3、设随机变量X 的概率密度函数为21(),(),(1)X f x x x π=-∞<<+∞+求随机变量1Y =-().Y f y （10分）4、设随机变量X 的概率密度为：(),0220,a a x x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其余，求：（1） 常数a 的值；（2分） （2） X 的分布函数()F x ；（4分）（3） 条件概率112P X X ⎧⎫>≤⎨⎬⎩⎭。

（4分）5、设随机变量X 与Y 相互独立，它们的密度函数分别为：1,03()30,X x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 33,0()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩试求：(1) (X,Y)的联合密度函数；（5分） (2) 概率()P Y X <；（5分） (3) 试求()D X Y -。

（5分）6、某学院有400名学生参加全国大学生英语四级考试，按历年的资料统计，该考试的通过率为0.8。

试计算这400名学生中至少有300人通过的概率。

（10分） （已知(2.5)0.9938Φ=）华南农业大学期末考试试卷参考答案（ A 卷 ）2010－2011学年第1学期 考试科目：概率论考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟一、填空题（每空3分，共24分）1. 2/3 ；2. 0.6 ；3. 0.4 ；4.λ2ln ； 5. 30 ； 6. 3/4 ;7. 178.98cm 或179cm ; 8.22()12b ab a π++二、选择题（每题3分，本题共15分）1～5：B 、D 、A 、C 、C ；三、解答题（13分）1、解：由2114a a -+=得1231().22a a ==-或舍去…………………………4分即111(1),(2),(3).424P X P X P X ====== (2)分所以0,10,12(1)2()()(1)(2)3341313x x x P X x F x P X x P X P X x x x x <⎧⎪<⎧⎪≤<⎪=≤<⎪⎪=≤==⎨⎨=+=≤<⎪⎪≤<⎪⎪≥⎩⎪≥⎩当时当时1，当1时，当1时43，当2时，当2时，当时，当时…4分2、解：设B={该产品是次品}，123A A A 、、分别表示该产品由甲、乙、丙三个车间生产，则 ………………………………………………………………………1分123123()0.2,()0.5,()0.3;(|)0.06,(|)0.04,(|)0.03.P A P A P A P B A P B A P B A ====== ………………………2分（1） 由全概率公式有112233()()(|)()(|)()(|)0.20.060.50.040.30.030.041.P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=⨯+⨯+⨯= ………………4分（2） 由贝叶斯公式有 222()(|)0.50.0420(|)0.4878.()0.04141P A P B A P A B P B ⨯====…………………3分3、解：设Y 的分布函数为()Y F y ，则333()()(1)((1))1((1))1[(1)].Y X F y P Y y P y P X y P X y F y =≤=-≤=≥-=-≤-=--……………………5分所以，322326()()[(1)]3(1)(1)3(1)[(1)]13(1).()(1(1))Y Y X X f y F y f y y y f y y y y π'==--⋅-⋅-=--=-⋅-∞<<∞+-……5分4、解：（1）()2220124a afx dxa x dx ax x a +∞-∞⎛⎫⎛⎫=-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰（2分）即()11,0220,x x fx ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其余（2）()()20,,0241,2x x x F x fx d x x x x -∞<⎧⎪⎪==-≤<⎨⎪≥⎪⎩⎰（4分） （3）{}()()11111522121112P X F F P X X P X F ⎧⎫⎛⎫<≤-⎨⎬ ⎪⎧⎫⎩⎭⎝⎭>≤===⎨⎬≤⎩⎭（4分）5、解：（1）因为随机变量X ，Y 相互独立，……………………………………2分所以它们的联合密度函数为：3,03,0(,)()()0,y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>==⎨⎩其他 ……………………… ………3分（2）{}(,)y xP Y X f x y dxdy<<=⎰⎰3300[]xyedy dx -=⎰⎰ ………………………………………3分 330(1)xedx -=-⎰339181()333xx ee--=+=+()9183e -=+ …………………………………………2分 （3）301332E X xdx ==⎰；()32233011339E Xx dx x===⎰；所以()()222333()24D XE X E X =-=-=；………………………2分3333011333yyyyE Y y edy ye edy e∞∞--∞--∞=⋅=-+=-=⎰⎰2230239yE Yy edy ∞-=⋅=⎰()()222211939D YE YEY ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ ………………………………2分 所以3131()()()4936D X Y D X D Y -=+=+=…………………………………1分[解法二]由密度函数可知~(0,3),(3)X U Y E ，所以，22(30)311(),(),12439D X D Y -====……………………………………3分所以3131()()()4936D X Y D X D Y -=+=+= …………………………………2分6、解：记：1,0,i X ⎧=⎨⎩第i 个人通过考试第i 个人未通过考试，i=12400.，，…，……………1分 由题设，这400名学生通过考试的人数4001i i X =∑服从二项分布(400,0.8)B ，由deMoivre —Laplace 中心极限定理, 近似地有4001320~(0,1).8i i X N =-∑…………………………2分所以400400113203003203001( 2.5)(2.5)0.9938.88i i i i X P X P ==⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎪≥=≥≈-Φ-=Φ= ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭∑∑ ………………………………………………3分。