二阶系统的传递函数

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二阶系统的时间响应及动态性能

当ξ 固定，ωn 增加时，系统极点在 s 平面按图 3-15 中所示的射线轨迹（II）移动，对应系统超调量σ ％不变；由于极点远离虚轴，ξω n 增加，调节时间 ts 减小。图 3-16(b)给出了ξ =0.5( β = 60° )，ω n 变化时的系统单位阶跃响应过程。
一般实际系统中（如图 3-6 所示），T0 是系统的固定参数，不能随意改变，而开环增益 K 是各环节总的传递系数，可以调节。 K 增大时，系统极点在 s 平面按图 3-15 中所示的垂直线（III）移动，阻尼比ξ 变小，超调量σ ％会增加。图 3-16(c)给出 T0 = 1， K 变化时系

性。

66

例 3-3 某系统闭环传递函数 Φ(s) =

16

，计算系统的动态性能指标。

s 2 + 10s + 16

解 Φ(s) =

16

=

16

=

ω

2 n

s 2 + 10s + 16 (s + 2)(s + 8) (s + 1 T1 )(s + 1 T2 )

T1

=

1 2

二阶振荡环节传递函数

引言

二阶振荡环节传递函数是控制系统中的一种常见传递函数，用于描述振荡系统的动态特性和频率响应。它可以被广泛应用于电子、机械和航空等领域中的控制系统设计和分析。

二阶振荡系统简介

二阶振荡系统是指系统的传递函数具有二阶多项式形式的振荡系统。它由两个一阶环节级联或串联而成，常用的结构有二阶低通滤波器、二阶带通滤波器、机械振动系统等。在控制系统中，二阶振荡系统的传递函数通常表示为：

G(s)=

(s2+2ξωn s+ωn2)

其中，$ K $ 表示系统的增益，$ ξ $ 表示系统的阻尼比，$ ω_n $ 表示系统的自然频率。

二阶振荡系统的特点是具有明显的振荡行为，其频率响应曲线在某个频率处达到峰值，且在峰值附近有相位差发生。因此，二阶振荡系统在控制系统设计中占据重要地位。

二阶振荡系统的频率响应

二阶振荡系统的频率响应可以通过传递函数来分析和计算。传递函数中的极点（Pole）对于系统的振荡特性起决定性的作用。二阶振荡系统的极点由下式给出：

s=−ξωn±ωn√1−ξ2

根据极点的位置，可以将二阶振荡系统分为三种情况：

1.当$ 0<ξ<1 $ 时，极点为一对复共轭极点，表示系统是过阻尼的，振荡频

率较低；

2.当$ ξ=1 $ 时，极点为一对重根，表示系统是临界阻尼的，振荡频率最低；

3.当$ ξ>1 $ 时，极点为一对实轴上的负实数，表示系统是欠阻尼的，振荡

频率较高。

根据传递函数的形式，二阶振荡系统的频率响应曲线可以分为低通、高通和带通三种类型，具体如下：

1. 二阶低通滤波器

自动控制原理第三章二阶系统的数学模型及单位阶跃响应.ppt

h (t) 1
1
1t
eT 1
1
1t
eT 2,(t0 )
T 2/T 1 1 T 1/T 2 1
t
0
c(t)
过阻尼二阶系统阶跃响应指标分析
t
1 .误 e s s差 lt i[r m (t) c (t) ]0 0
2.响应没有振％荡 0
对于过阻尼二阶系统的响应指标，只着重讨论 t s ，
它反映了系统响应过渡过程的长短，是系统响应快
C(s)
二阶系统的传递函数
开环传递函数：
G(s) n2 s(s2n)
闭环传递函数：
C(s) R(s)
s22n2nsn2
二阶系统的特征方程为
s22nsn 20
解方程求得特征根：
s1,2nn 21
s1,s2完全取决于，n两个参数。
当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：
c(t)A 0A 1 es1 tA 2 es2 t
欠阻尼二阶系统单位响应系统的输出
c(s)s22n2nsn2
1 s
1 s(s s n ) 2n d 2(s n)n 2 d 2
拉氏反变换得：
c(t)1e nt[co sdt12(sindt)]
c(t)11 12entsin(dtarccos)
欠阻尼二阶系统输出分析
二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量组成。稳态分量值等于1，暂态分量为衰减过程，振荡频率为ωd。

实验二阶系统

系统具有一对实部为负的共扼复根，时间响应是衰减振荡特性，故又称为振荡环节。系统的传递函数为
由于0<ξ<1，特征方程有一对共轭复根
由上式可看出，系统的响应由稳态分量与瞬态分量两
部分组成，稳态分量值等于1，也就是说，稳态（即 t→∞)时，输入信号（单位阶跃函数）与输出信号c (∞) 之间不存在稳态误差。瞬态分量是一个随时间t增长而衰减的振荡过程，振荡频率为ωd，其值取决于阻尼比ξ及无阻尼自然振荡频率ωn 。如果采用无因次时间ωnt作横坐标参数，这样，时间响应仅仅为阻尼比ξ的函数，上则式为
系统的调节时间ts比具有较大阻尼的系统调节时间要长。对于过
阻尼系统，由于响应曲线上升极
慢，所以调节时间也较长。
列写调节时间ts的表达式是相当困难的，但可以用下列公式进行。当0<ξ<0.9，且采用2％的误差带时， ts近似等于系统时间常数的4倍，即
如果采用5％的误差带时，ts近似等于系统时间常数的3倍，即
(n=0, 1，2，…）关系。因为峰值时间对应于第一次
峰值过调量，所以ωdtp= ,因此
上式表明，峰值时间tp等于阻尼振荡周期的一半。 2、超调量Mp
将式峰值时间tp代入式(4-17），得到输出量的最大值为
所以超调量为
超调量随着阻尼比的增大而减小。
3、衰减率ψ
衰减率同超调量一

二阶系统

3－4 二阶系统

用二阶微分方程描述的系统，称二阶系统。它在控制系统中应用极为广泛。例如，R L C --网络、忽略电枢电感后的电动机、弹簧－质量－阻尼器系统、扭转弹簧系统等等。此外，许多高阶系统，在一定条件下，往往可以简化成二阶系统。因此，详细研究和分析二阶系统的特性，具有重要的实际意义。

以图1-7、图2-21所示随动系统为例进行研究。这里把图2-21进一步简化成图3-9(a)。图中i K K K K m 21=，系统闭环传递函数为

s s T K s R s C m ++=2)()( （3-9）为了使研究的结论具有普遍性，将上式写成典型形式或标准形式

或 2222)()(n

n n s s s R s C ωξωω++= （3-10）

图3-9(b)为二阶系统的一般结构图形式。式中

K T T m n ==ω1；K T 12=ξ；m

KT 21=ξ 可见，二阶系统的响应特性完全可以由阻尼比ξ和自然频率n ω (或时间常数T )两个参数确定。一般形式的闭环特征方程为

方程的特征根(系统闭环极点)为

当阻尼比较小，即10<<ξ时，方程有一对实部为负的共轭复根

系统时间响应具有振荡特性，称为欠阻尼状态。

当1=ξ时，系统有一对相等的负实根

系统时间响应开始失去振荡特性，或者说，处于振荡与不振荡的临界状态，故称为临界阻尼状态。

当阻尼比较大，即1>ξ时，系统有两个不相等的负实根

这时系统时间响应具有单调特性，称为过阻尼状态。

当0=ξ时，系统有一对纯虚根，即n j s ω±=2,1，称为无阻尼状态。系统时间响应为等幅振荡，其幅值取决于初始条件，而频率则取决于系统本身的参数。

3.3二阶系统

1 c() lim sG( s) R( s) lim s 1; s 0 s 0 ( s s1 )( s s2 ) s
2
e( ) 0
过渡过程时间（按近似后一阶系统求出）
ts (3 ~ 4)
1 ( 2 1)n
单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。
• 典型二阶系统是一个前向通道为惯性环节和积分环节串联的单位负反馈系统。
• 令
K1 K 2 1

2 n

2n
则二阶系统传递函数的标准形式为
2 n C (s) G( s) 2 2 R( s ) s 2n s n
其中ζ称为阻尼比，τ为时间常数，ωn为系统的自然振荡角频率（无阻尼自振角频率）。
3.3 二阶系统的时域分析
一、二阶系统数学模型及其标准形式
R( s) ＋
－
K1 s 1
K2 s
C (s)
RLC电路、电动机转速控制系统
R( s)
2 n 2 s 2 2n s n
C (s)
K1 K 2 C ( s) G( s) 2 R( s ) s s K1 K 2
dc(t ) / dt 0
则
故
n e
nt p
sin(d t p ) d e
tan(d t p )

自控原理实验二阶系统的阶跃响应

二阶系统的阶跃响应

一、实验目的

1. 通过实验了解参数ζ(阻尼比)、n ω(阻尼自然频率)的变化对二阶系统动态性能的影响；

2. 掌握二阶系统动态性能的测试方法。

二、实验内容

1. 观测二阶系统的阻尼比分别在0<ζ<1，ζ=1和ζ>1三种情况下的单位阶跃响应曲线；

2. 调节二阶系统的开环增益K ，使系统的阻尼比2

1=ζ，测量此时系统的

超调量p δ、调节时间t s (Δ= ±0.05)；

3. ζ为一定时，观测系统在不同n ω时的响应曲线。

三、实验原理

1. 二阶系统的瞬态响应

用二阶常微分方程描述的系统，称为二阶系统，其标准形式的闭环传递函数为

2)()

n n S S S R S C ωζωω++= (2-1)

闭环特征方程：022

2=++n n S ωζω

其解 12

2,1-±-=ζωζωn n S ，

针对不同的ζ值，特征根会出现下列三种情况： 1）0<ζ<1（欠阻尼），2

2,11ζ

ωζω-±-=n n j S

此时，系统的单位阶跃响应呈振荡衰减形式，其曲线如图2-1的(a)所示。它的数学表达式为：

)(111)(2

βωζζω+--

=-t Sin e t C d t n

式中2

1ζωω-=n d ，ζ

ζβ2

1-=-tg

。

2）1=ζ（临界阻尼）n S ω-=2,1

此时，系统的单位阶跃响应是一条单调上升的指数曲线，如图2-1中的(b)所示。

3）1>ζ（过阻尼），122,1-±-=ζωζωn n S

此时系统有二个相异实根，它的单位阶跃响应曲线如图2-1的(c)所示。

二阶传递函数离散化

二阶传递函数是指具有两个极点和一个零点的传递函数。在离散

化二阶传递函数之前，首先需要了解传递函数的概念。

传递函数是描述线性时不变系统的输入与输出关系的数学模型。

一般形式下传递函数可以表示为：

H(z) = Y(z) / X(z)

其中H(z)为传递函数，X(z)为系统的输入信号的z变换，Y(z)为

系统的输出信号的z变换。传递函数可以帮助我们理解系统的稳定性、频率响应以及对输入信号进行滤波等。

离散化是将连续时间系统转换为离散时间系统的过程。在离散化

过程中，最常用的方法是将连续时间信号通过采样转换为离散时间信号。而对于传递函数的离散化，可以通过将连续时间传递函数转换为

离散时间传递函数。

对于二阶传递函数的离散化，可以通过以下步骤实现：

1.将连续时间传递函数的形式转换为z变换形式。这可以通过将传递函数中的s变量替换为z变量来实现。具体的方法是令z =

e^(sT)，其中T为采样周期。将传递函数中的所有s替换为z，并将连续时间变量转换为离散时间变量。

2.将z变换传递函数约化为离散时间域差分方程的形式。z变换传递函数通常可以表示为多项式的比例，具体形式为：

H(z) = (b0 + b1z^(-1) + b2z^(-2)) / (a0 + a1z^(-1) +

a2z^(-2))

其中b0,b1,b2为输出信号中的系数，a0,a1,a2为输入信号中的系数。

3.将离散时间域差分方程转换为差分方程的形式。差分方程表示了离散时间系统的输入与输出关系。通过对离散时间域差分方程进行变换，可以得到差分方程的形式。

二阶系统的最优控制

肖　滨

(海军潜艇学院　青岛　266071) 摘　要　应用最优控制理论验证了二阶系统最优控制为典型的Bang 2Bang 控制,通过理论推导得出了其相轨迹,并讨论了二阶系统最优控制的实现。

关键词　最优控制　二阶系统　Bang 2Bang 控制

The Opti m al Con trol of Second -Order System

X iao B in

(N avy S ub m arine A cad e m y ,Q ing d ao ,266071)

ABSTRACT T h is paper demo strated that the op ti m al contro l of second 2o rder system is the typ ical Bang 2Bang contro l by app lying the Op ti m al Contro l T heo ry .T he state track about th is contro l m ethod is obtained also by using theo ry inference ,and how to realize the op ti m al contro l of second 2o rder system is discussed deep ly at last .

KEY WOR D S op ti m al contro l ,second 2o rder system ,Bang 2Bang contro l

二阶系统分析

3.3 二阶系统的时间响应及动态性能

3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类

常见二阶系统结构图如图3-６所示其中K ，T 为环节参数。系统闭环传递函数为

s s T K

s ++=

Φ21)(

化成标准形式

22)(n

n n

s s s ωξωω++=Φ （首1型）（3-5） 1

)(22++=

Φs T s T s ξ （尾1型）（3-6）

式中，K

T T 1=

，11T K T n ==ω，1121KT =ξ。

ξ、n ω分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率，是二阶系统重要的特征参数。二阶系统的首1标准型传递函数常用于时域分析中，频域分析时则常用尾1标准型。

二阶系统闭环特征方程为

02)(2

2=++=n n s s s D ωξω

其特征特征根为

2,1-±-=ξωξωλn n

若系统阻尼比ξ取值范围不同，则特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将二阶系统分类，见表3-3。

数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成。通解由微分方程的特征根决定，代表自由响应运动。如果微分方程的特征根是1λ，2λ，, n λ且无重根，则把函数t

1λ，t

e 2λ，, t

n e

λ称为该微分方程所描述运动的模态，也叫振型。

如果特征根中有多重根λ，则模态是具有t

te λ， ,2

t e t λ形式的函数。

如果特征根中有共轭复根ωσλj ±=，则其共轭复模态t e )j (ωσ+与t

e )j (ωσ-可写成实函

数模态t e

ωσsin 与t e t ωσcos 。

每一种模态可以看成是线性系统自由响应最基本的运动形态，线性系统自由响应则是其相应模态的线性组合。

二阶传递函数的调节时间

二阶传递函数是控制工程中常见的数学模型，通常用于描述惯性系统或者振荡系统的动态特性。调节时间是指系统从初始状态到稳定状态所需的时间，对于二阶传递函数来说，调节时间可以从不同角度进行解释和计算。

首先，我们可以从阶跃响应的角度来计算二阶传递函数的调节时间。对于一个二阶系统，其阶跃响应可以用一些特定的公式来表示，从阶跃响应曲线中可以得到系统的调节时间。调节时间可以通过观察阶跃响应曲线上的时间点，比如上升时间（rise time）、上升时间的百分比（如5%上升时间、10%上升时间）来计算。

其次，我们还可以从频域响应的角度来计算二阶传递函数的调节时间。通过对传递函数进行频域分析，可以得到系统的频率响应曲线，从中可以得到系统的调节时间。例如，可以通过计算系统的带宽（bandwidth）来估计系统的调节时间。

另外，从控制理论的角度来看，我们可以利用二阶传递函数的参数来计算调节时间。对于一个标准的二阶传递函数，其参数包括阻尼比（damping ratio）和自然频率（natural frequency），这

些参数可以用来计算系统的调节时间。

总之，二阶传递函数的调节时间可以从不同的角度进行计算和

解释，包括阶跃响应、频域响应和控制理论等方面。在实际工程中，根据具体的系统特性和需求，可以选择合适的方法来计算和评估系

统的调节时间。

二阶系统参数计算

二阶系统参数计算是控制系统设计和分析中非常重要的一部分。二阶系统是指具有两个自由度的系统，通常用于描述振动、滤波等多种现象。在控制系统中，我们常常需要计算二阶系统的参数，以便进行系统性能评估和控制器设计。

二阶系统的参数主要包括阻尼比、固有频率和系统增益。阻尼比描述了系统的阻尼性质，固有频率表示了系统的固有振动频率，系统增益则反映了系统的放大倍数。

我们来讨论阻尼比的计算。阻尼比可以通过系统的阻尼系数和临界阻尼比来计算。阻尼系数可以通过系统的阻尼比和固有频率来计算，公式为：

阻尼系数 = 2 * 阻尼比 * 固有频率

临界阻尼比是指系统在阻尼比等于1时的阻尼比，可以通过阻尼系数和固有频率来计算，公式为：

临界阻尼比 = 阻尼系数 / (2 * 固有频率)

我们来计算固有频率。固有频率可以通过系统的质量和刚度来计算，公式为：

固有频率 = sqrt(刚度 / 质量)

其中，质量是指系统的质量，刚度是指系统的刚度。固有频率是系统在没有任何外界干扰时的振动频率。

我们来计算系统增益。系统增益可以通过系统的输出和输入之间的关系来计算。在频域中，系统增益可以通过系统的传递函数来计算。传递函数是指系统的输出和输入之间的比值，通常用一个复数来表示。在时域中，系统增益可以通过系统的冲击响应或阶跃响应来计算。冲击响应是指系统对一个冲击输入的响应，阶跃响应是指系统对一个阶跃输入的响应。

通过计算阻尼比、固有频率和系统增益，我们可以对二阶系统的性能进行评估和控制器设计。阻尼比决定了系统的响应速度和稳定性，固有频率决定了系统的振动频率，系统增益决定了系统的放大倍数。

二阶传递函数

二阶传递函数是一种很常见的函数，它是一种有限输入和有限输出的函数，其定义域是实数集，值域也是实数集。

二阶传递函数通常用于研究系统的输入和输出之间的关系。它是一种重要的系统控制理论，它可以用来模拟由多个阶的传递组件构成的系统。例如，电动机控制系统就是一个典型的二阶传递函数系统，它可以利用二阶传递函数来模拟系统的输入和输出之间的关系，从而实现电动机的控制。

二阶传递函数还可以用来模拟计算机系统中的内存控制器和存储系统。它可以描述计算机系统中的存储器控制器和存储器之间的关系，从而实现对计算机系统中的内存控制和存储的控制。

二阶传递函数还可以用来模拟控制电路中的高速数字计算器。它可以用来描述高速数字计算器中的输入和输出之间的关系，从而实现对控制电路中的高速数字计算的控制。

二阶传递函数还可以用来模拟经济系统中的供求关系。可以利用二阶传递函数来描述经济系统中的供求关系，从而更好地控制经济系统。

二阶传递函数是一种重要的函数，它被广泛应用于控制系统、计算机系统、控制电路和经济系统中，用来描述各种输入和输出之间的

关系。

自动控制原理实验二阶系统的阶跃响应

实验二二阶系统的阶跃响应

一、实验目的

1. 通过实验了解参数ζ(阻尼比)、n ω(自然频率)的变化对二阶系统动态性能的影响；

2. 掌握二阶系统动态性能的测试方法。

二、实验设备

1. THBDC-1型控制理论·计算机控制技术实验平台；

2. PC 机一台(含上位机软件)、USB 数据采集卡、37针通信线1根、16芯数据排线、USB 接口线；

三、实验内容

1. 观测二阶系统的阻尼比分别在01三种情况下的单位阶跃响应曲线；

2. ζ为一定时，观测系统在不同n ω时的响应曲线。

四、实验原理

1. 二阶系统的瞬态响应

用二阶常微分方程描述的系统，称为二阶系统，其标准形式的闭环传递函数为

222

2)()(n n n S S S R S C ωζωω++= (2-1) 开环传递函数2()(2)

n n G s S S ωξω=+ （2-2）

闭环特征方程：0222=++n

n S ωζω 其解 122,1-±-=ζωζωn n S ，针对不同的ζ值，特征根会出现下列三种情况：

1）0

此时，系统的单位阶跃响应呈振荡衰减形式，其曲线如图2-1的(a)所示。它

的数学表达式为：()1()n t d C t Sin t ζωωβ-=+ 式中21ζωω-=n d ，ζζβ2

11-=-tg 。

2）1=ζ（临界阻尼）n S ω-=2,1

此时，系统的单位阶跃响应是一条单调上升的指数曲线，如图2-1中的(b)所示。

3）1>ζ（过阻尼），122,1-±-=ζωζωn n S ，此时系统有二个相异实根，它的单位阶跃响应曲线如图2-1的(c)所示。

simulink二阶传递函数

Simulink是Matlab的一个重要扩展包，主要应用于系统建模和

仿真领域。在Simulink中，二阶传递函数是非常常见的模型，可以用

来模拟二阶系统的动态响应。本文将详细介绍Simulink二阶传递函数

的建模方法。

第一步，打开Simulink软件，创建一个新的模型。在库浏览器

中找到“Continuous”库，选择“Transfer Fcn”模块，将之拖放到

新建的模型中。

第二步，双击“Transfer Fcn”模块，打开其参数窗口。这里需

要输入关于模型的参数，例如传递函数的分子、分母系数、输入信号

的初始值等等。对于二阶传递函数，其传递函数形式一般为：

G(s)=k/((s^2)(T^2)+2ζωT s+ω^2)，其中k是增益系数，T是系统

的时间常数，ζ是阻尼比，ω是系统的自然频率。在参数窗口中填写

这些参数即可设置好二阶传递函数模型。

第三步，添加输入信号。系统的输入信号可以通过“Sources”

库的“Step”、“Sine Wave”等模块生成，这里以“Step”信号为例。将“Step”模块拖放到模型中，并将其输出端口与“Transfer Fcn”

模块的输入端口相连。

第四步，添加输出端口。将“Transfer Fcn”模块的输出端口与“Scope”模块相连，其中“Scope”用于显示系统的响应结果。

第五步，运行模型。连线完成后，单击Simulink界面上的“Run”按钮来运行模型。此时“Scope”窗口会显示出系统的响应曲线。

以上就是建立二阶传递函数模型的基本步骤。在实际应用中，我

二阶传递函数离散化

二阶传递函数是指具有两个极点和两个零点的传递函数。离散化是指将连续时间系统转换为离散时间系统的过程。本文将讨论如何将二阶传递函数进行离散化。

在进行离散化之前，首先需要了解离散化的原理和方法。常用的离散化方法有零阶保持法（ZOH），一阶保持法（FOH）和双线性变换法。这些方法可以将连续时间系统的传递函数转换为离散时间系统的传递函数。

零阶保持法是最简单的离散化方法之一。它假设在两个采样点之间的时间内，输入信号保持不变。因此，在进行离散化时，采样点上的输出值等于连续时间系统在该点上的输出值。这种方法简单易行，但会引入噪声和失真。

一阶保持法考虑了在采样周期内输入信号的变化。它使用线性插值法来估计采样周期内的输出值。一阶保持法比零阶保持法更准确，但仍然存在一定的误差。

双线性变换法是一种更精确的离散化方法。它通过将连续时间系统的传递函数进行拉普拉斯变换和z变换，然后进行近似和替换，得到离散时间系统的传递函数。双线性变换法可以准确地将连续时间系统转换为离散时间系统，但计算复杂度较高。

在离散化二阶传递函数时，可以使用上述方法之一。具体步骤如下：

将二阶传递函数表示为拉普拉斯变换的形式，即将s替换为Laplace变量。

然后，根据选择的离散化方法，将拉普拉斯变换的形式转换为z变换的形式。这一步需要根据离散化方法的特点进行近似和替换。

将z变换的形式转换为离散时间传递函数的形式，即将Laplace变量替换为z变量。

需要注意的是，在离散化过程中，需要选择合适的采样周期。采样周期的选择应该满足系统稳定性和动态响应的要求。