第08章重积分习题详解

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重积分—二重积分的计算(高等数学课件)

1
y2
2 1
1 2
x
2
y
y y
2
2
dy
1 2
2 [ 1
y(
y
2)2
y5 ] dy
45 8
x y2
2
o1 (1,1)
y x2 (4,2)
x
课程小结
本讲主要讲了X型区域和Y型区域的区分，通过例题学习在两种区域下二重积分转化成累次积分的计算方法。
重积分
直角坐标系中二重积分的计算（三）
知识点讲解
1.一般型区域
1.二元极限定义
边界为分段光滑曲线的有界闭域,一般可把它分解成有限个除边界外无公共
内点的 X 型区域或 Y 型区域.
y
如图a 所示, D 被分解成三个区域, 其中I 、III 为X 型
区域,II 为 Y 型区域.
III
II D
I
O
x
图a
2.例题分析
1.二元函数极限
例1 设 D ( x, y) 2x x2 y2 4x , f ( x, y) 为 D上的连
y
D2 ( x, y) 4x x2 y 2x x2 ,0 x 2 , O
D3 ( x, y) 4x x2 y 4x x2 , 2 x 4 .
所以有
I
2
dx
4 x x2
2
2xx2
f ( x, y)dy dx
f ( x, y)dy
0
2 x x2
0
4xx2
变换公式
i
1 2
(ri
ri )2 i
1 2
ri2i
1 2
(2ri
ri )rii
ririi

重积分习题及解答

重积分练习一. 填空1.⎰⎰12),(xx dy y x f dx 交换积分次序后为_________________.2.用柱面坐标系化三重积分为三次积分________________),,(=⎰⎰⎰Ωdv z y x f其中2,1,1:22===+Ωz z y x 围成. 3. (化为柱面坐标中的三次积分)__________________),,(22222211111111==⎰⎰⎰--+-------dz z y x f dydxI y x y x x x (化为柱面坐标中的三次积分) 二．选择题1. =+⎰⎰-dy y x dxx x243221( ).A. ⎰⎰302πθrdr d . B.⎰⎰232ππθrdr d C.⎰⎰3022πθdr r d . D.⎰⎰2322ππθdr r d2.若区域D 由1)1(22=+-y x 所围,则⎰⎰Ddxdy y x f ),(化成累次积分为 ( )A.⎰⎰πθθθθ0cos 20)sin ,cos (rdr r r f d . B. ⎰⎰-ππθθθθcos 20)sin ,cos (rdr r r f dC.⎰⎰20cos 20)sin ,cos (2πθθθθrdr r r f d D. ⎰⎰-22cos 20)sin ,cos (ππθθθθrdr r r f d三．计算1．. 计算⎰⎰-+=+-⋅+22)(4122222x a a xady y x a y x dx2．计算⎰⎰-Ddxdy y x ||,其中D 是由2,0,1,0====y y x x 所围成的区域.3. 求由x e z y 222-=+与平面1,0==x x 所围立体体积.4.D 由直线x y y x ===,2,4所围成,求⎰⎰--Dxdxdy x e 22.5.计算⎰⎰-=Dd y x I σ||,其中0,0,1:22≥≥≤+y x y x D .6.计算⎰⎰⎰Ω+dV z x )(,其中22221,:y x z y x z --=+=Ω所围的空间区域.四．应用题。

高等数学重积分习题课PPT课件

质心定义
质心是物体质量的中心点，对于连续分布的物体，质心可以通过重积分计算得到。
形心定义
形心是物体几何形状的中心点，对于平面图形或立体图形，形心可以通过重积分计算得到。
质心与形心的关系
在某些情况下，质心和形心可能重合，但在一般情况下，它们是不同的点。质心和形心的求解方法类似，都需要用到重积分。
保号性
若在区域$D$上，有$f(x,y) leq g(x,y)$，则 $iint_{D} f(x,y) dsigma leq iint_{D} g(x,y) dsigma$。
积分区域的可加性
若区域$D$被划分为两个子区域$D_1$和$D_2$，且它们没有公共部分，则$iint_{D} f(x,y) dsigma = iint_{D_1} f(x,y) dsigma + iint_{D_2} f(x,y) dsigma$。
球面坐标系下三重积分计算
球面坐标变换
将直角坐标系下的三重积分通过球面坐标变换转化为球面坐标系下的三重积分。
投影法与截面法在球面坐标系中的应用
类似于直角坐标系和柱面坐标系下的方法，通过投影或截面将三重积分转化为二重积分或一重积分进行计算。
利用球面坐标系的性质简化计算
根据球面坐标系的性质，选择合适的积分顺序和积分限，简化三重积分的计算过程。
学习方法与建议
01
重视基础知识的学习
在学习重积分的过程中，需要重视基础知识的学习，如多元函数的微分学、向量分析等，这些知识是理解和应用重积分的基础。
02
多做习题巩固知识
通过大量的习题练习，可以加深对重积分知识的理解和掌握，提高解题能力和思维水平。
03
寻求帮助和辅导

重积分知识点总结例题

重积分知识点总结例题1. 重积分的定义在介绍重积分的定义之前，首先需要了解多元函数的概念。

多元函数是指自变量有多个的函数，通常表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n)$。

在平面上，一元函数是自变量只有一个的函数，并且可以表示为$y = f(x)$。

而在空间中，两元函数是自变量有两个的函数，并且可以表示为$z = f(x, y)$，三元函数是自变量有三个的函数，并且可以表示为$w = f(x, y, z)$。

在多元函数的情况下，我们需要对其在一个区域上进行积分。

这就引出了重积分的概念。

重积分可以看作是对一个区域上的函数值在该区域上的加权平均。

重积分的定义如下：设$f(x, y)$是定义在闭区域$D$上的有界函数，$D$的面积记为$A(D)$，取$D$上的任意一组分割$P = \{R_i\}$和抽样点$Q = \{(\xi_i, \eta_i)\}$，$M_{ij}$是$f(x, y)$在$R_{ij}$上任意一点的函数值。

作Riemann和$$S(P, Q, f) = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} M_{ij} \Delta \sigma_{ij}$$如果极限$L$存在，不依赖于分割$P$和点$Q$的取法，即$L = \lim_{\lambda(P) \to0,\delta(Q) \to 0} S(P, Q, f)$存在，则称$f(x, y)$在闭区域$D$上可积，这个极限$L$称为$f(x, y)$在$D$上的重积分，记作$$\iint_D f(x, y) d\sigma = L$$其中，$d\sigma$表示对$D$内的面积元素进行积分。

如果$f(x, y)$在$D$上可积，则称$f(x, y)$在$D$上可积，否则称为不可积。

2. 重积分的性质重积分具有一些重要的性质，这些性质有助于我们进行重积分的计算和应用。

下面我们将介绍一些重要的性质。

（1）可加性设$f(x, y)$在闭区域$D$上可积，$D_1$和$D_2$是$D$的两个互不相交的子区域，其并集为$D = D_1 \cup D_2$，则有$$\iint_D f(x, y) d\sigma = \iint_{D_1} f(x, y) d\sigma + \iint_{D_2} f(x, y) d\sigma$$这就是重积分的可加性。

重积分的计算方法与例题

重积分的计算方法：重积分的计算是化为三次积分进行的。

其实质是计算一个定积分（重积分）和一个二重积分。

从顺序看：Z2如果先做定积分f （x,y,z ）dz ，再做二重积分F （x,y ）d ，就是“投影法”,Z 1D也即“先一后二”。

步骤为：找及在xoy 面投影域D 。

多D 上一点（x,y ） “穿线”确定 Z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域 D 上的二重积分，完成 “ 后二 ” 这一步。

Z2f(x, y,Z)dv [ f(x,y,Z)dZ]dD Z 1c2如果先做二重积分 f （x, y, Z ）d 再做定积分F ⑵dZ ，就是“截面法”，也D Zc 1即“先二后一”。

步骤为：确定位于平面Z G 与Z c 2之间，即Z [c 1,c 2]，过Z 作平行于xoy 面的平面截，截面D z 。

区域D z 的边界曲面都是Z 的函数。

计算区域D z 上的二重积分 f （x,y,z ）d ，完成了“先二”这一步（二重积分）；DZ为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。

可以按以下几点考虑：将积分区域投影到xoy 面，得投影区域D （平面）（1） D 是X 型或丫型，可选择直角坐标系计算（当的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）进而计算定积分c2F （Z ）dz ，完成“后一”这步。

c2f (x, y,Z)dv [ f (x,y,Z)d ]dZc 1 D Z当被积函数 f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且D z 的面积（Z ）容易求出时，“截面法” 尤为方便。

，且被积函数形如f （X 2 y 2）,fd ）时，可选择X面坐标系计算或不易作出的情形不赘述。

三重积分的计算方法小结:1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域况选取。

一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；截面法（先二后一）：D z 是在z 处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。

第08章重积分习题详解

第八章重积分习题8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有面上的闭区域，薄板上分布有面密度xOy D 为的电荷，且在上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷．(,)x y µµ=(,)x y µD Q 解用一组曲线将分成个小闭区域，其面积也记为.任取一点D n i σ∆(1,2,,)i i n σ∆=L ,则上分布的电量.通过求和、取极限，便得到该板上的全(,)i i i ξησ∈∆i σ∆(,)i i i Q µξησ∆≈∆部电荷为lim (,)(,)d ,nQ x y µξησµσ=∆=其中1i λ≤=2.设23)d y σ+其中2D =解1Ω的体积；上方的I 1D 曲面(z x =3.(1)(2)DD∫∫(3)其中，、为两个无公共12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+∫∫∫∫∫∫12D D D=U 1D 2D 内点的闭区域.证(1)由于被积函数，故由二重积分定义得(,)1f x y ≡011d lim (,)lim lim .nniiii i i Df λλλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑∫∫(2)11(,)d lim (,)lim (,)(,)d .nniiii i i i i DDkf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑∫∫∫∫(3)因为函数在闭区域上可积，故不论把怎样分割，积分和的极限总是不(,)f x y D D变的，因此在分割时，可以使和的公共边界永远是一条分割线。

这样在D 1D 2D (,)f x y 上的积分和就等于上的积分和加上的积分和，记为12D D U 1D 2D 1212(,)(,)(,).i i i i i i i i i D D D D f f f ξησξησξησ∆=∆+∆∑∑∑U 令所有的直径的最大值，上式两端同时取极限，即得i σ∆0λ→1212(,)d (,)d (,)d .D D D D f x y f x y f x y σσσ=+∫∫∫∫∫∫U 4.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：(1)与，其中积分区域是由轴、轴与直线所2()d Dx y σ+∫∫3()d Dx y σ+∫∫D x y 1x y +=围成；(2)所围D∫∫22=成；(3)分别为(1,0),(1,1),(4)解(2)．从3)y +而(Dx y +∫∫(3)点满足0ln(x ≤+.DDσ(4)由于积分区域位于半平面内，故在上有，从而有D {(,)|e}x y x y +≥D ln()1x y +≥．因此2[ln()]ln()x y x y +≥+2[ln()]d ln()d .DDx y x y σσ+≥+∫∫∫∫5.利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1)其中；()d DI xy x y σ=+∫∫{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤(2)其中；22sin sin d DI x y σ=∫∫{(,)0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤(3)其中；(1)d DI x y σ=++∫∫{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤(4)其中.22(49)d DI x y σ=++∫∫22{(,)4}D x y x y =+≤解(1)在积分区域上，，，从而，又的面积等D 01x ≤≤01y ≤≤0()2xy x y ≤+≤D 于，因此10()d 2.Dxy x y σ≤+≤∫∫(2)在积分区域上，，，从而，又的面D 0sin 1x ≤≤0sin 1y ≤≤220sin sin 1x y ≤≤D 积等于，因此2π2220sin sin d π.Dx y σ≤≤∫∫(3)在积分区域上，，的面积等于，因此D 014x y ≤++≤D 22(1)d 8.Dx y σ≤++≤∫∫(4)，又25,D 1.(1)D ∫∫(2)D∫∫(3)D ∫∫(4)解8.3x =(2)22020(422)d .3Dx x x =+−=∫(3)11323323(3)d d (3)d Dx x y y y x x y y xσ++=++∫∫∫∫14113330001d ()d 1.44x x y y x y y y y ⎡⎤=++=++=⎢⎥⎣⎦∫∫(4)可用不等式表示为，于是D 0,0πy x x ≤≤≤≤ππ00π0cos()d d cos()d [sin()]d 3(sin 2sin )d π.2x xDx x y x x x y y x x y x x x x x σ+=+=+=−=−∫∫∫∫∫∫2.画出积分区域，并计算下列二重积分：(1)，其中是由两条抛物线，所围成的闭区域；D σ∫∫D y =2y x =(2)，其中是由圆周及轴所围成的右半闭区域；2d Dxy σ∫∫D 224x y +=y (3)，其中；ed x yD σ+∫∫{(,)|||||1}D x y x y =+≤(4)，其中是由直线，及所围成的闭区域．22()d Dxy x σ+−∫∫D 2y =y x =2y x =解(2)(3)1{(,D x y =(4)可用不等式表示为，于是D ,022x y y ≤≤≤≤2222223222232002()d d ()d 19313d d .322486yy Dyy x y x y x y x xx x y x y y y y σ+−=+−⎡⎤⎛⎞=+−=−=⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦∫∫∫∫∫∫3.化二重积分(,)d DI f x y σ=∫∫为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域是：D (1)由直线及抛物线所围成的闭区域；y x =24y x =(2)由轴及半圆周所围成的闭区域；x 222(0)x y r y +=≥(3)由直线，及双曲线所围成的闭区域；y x =2x =1(0)y x x=>(4)环形闭区域．22{(,)|14}x y x y ≤+≤解(1)直线及抛物线的交点为和，于是y x =24y x =(0,0)(4,4)或40d (,)d xI x f x y y =∫2404d (,)d yy I y f x y x=∫∫(2)将用不等式表示为，于是可将化为D 0y r x r ≤≤−≤≤I如将(3)(4)或4.(1)；(2)；10d (,)d yy f x y x ∫∫2220d (,)d yy y f x y x ∫∫(3)；(4)；1d (,)d y f x y x ∫212d (,)d xx f x y y −∫(5)；(6)．e ln 1d (,)d xx f x y y ∫∫πsin 0sin2d (,)d xxx f x y y −∫∫解(1)所给二次积分等于二重积分，其中(,)d Df x y σ∫∫，可改写为，于是{(,)|0,01}D x y x y y =≤≤≤≤D {(,)|1,01}x y x y x ≤≤≤≤原式110d (,)d .xx f x y y =∫∫(2)所给二次积分等于二重积分，其中(,)d Df x y σ∫∫，可改写为，于是2{(,)|2,02}D x y y x y y =≤≤≤≤D {(,)|04}2xx y y x ≤≤≤原式42d (,)d .x x f x y y =∫∫(3)所给二次积分等于二重积分，其中(,)d Df x y σ∫∫，可改写为{(,)|01}D x y x y =≤≤≤≤D，于是{(,)|011}x y y x ≤≤−≤≤(4){(,)D x y ={(,)|2x y −(5){(,)D x y =(6)，于是2{(,)|2arcsin π,10}D x y y x y =−≤≤−≤≤原式1πarcsin 0π0arcsin 12arcsin d (,)d d (,)d .yyyy f x y x y f x y x −−−=+∫∫∫∫5.计算由四个平面，，，所围成柱体被平面及0x =0y =1x =1y =0z =截得的立体的体积．236x y z ++=解此立体为一曲顶柱体，它的底是面上的闭区域，xOy {(,)|01,01}D x y y x =≤≤≤≤顶是曲面，因此所求立体的体积为623z x y =−−11007(623)d d d (623)d .2DV x y x y x x y y =−−=−−=∫∫∫∫6.求由曲面及所围成的立体的体积．222z x y =+2262z x y =−−解所求立体在面上的投影区域为xOy 22{(,)|2}D x y x y =+≤所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差：22222222π20(62)d (2)d (633)d (63)d d d 3)d 6π.DDDDV x y x y x y σσσρρθθρρρ=−−−+=−−=−=−=∫∫∫∫∫∫∫∫∫7.画出积分区域，把积分表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域(,)d Df x y σ∫∫是：D (1)(3)．{(1}≤解.ρ(2)d .ρ(3).ρ(4)于是π12sin cos 0(,)d (cos ,sin )d d d (cos ,sin )d .DDf x y f f θθσρθρθρρθθρθρθρρ+==∫∫∫∫∫∫8.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：(1)；(2)；110d (,)d x f x y y ∫∫20d (,)d x x f x y y ∫(3)；(4)．11d (,)d xx f x y y −∫21d (,)d x x f x y y ∫∫解(1)用直线将积分区域分成、两部分：y x =D 1D 2D，1π{(,)|0sec ,0}4D ρθρθθ=≤≤≤≤，2ππ{(,)|0c ,}.42D cs ρθρθθ=≤≤≤≤于是原式sec csc 4204d (cos ,sin )d d (cos ,sin )d .f f ππθθπθρθρθρρθρθρθρρ=+∫∫∫∫(2)在极坐标中，直线和的方程分别是和2,x y x ==y =π2sec ,4ρθθ==。

重积分习题(含答案)

x 2 y 2 被柱面 z 2 2 x 所割下部分的曲面面积.
2 2 2 2
5．求由曲面 z x 2 y 及 z 6 2 x y 所围成的立体的体积. 6．计算三重积分的区域。
x z dv ，其中是由曲面 z

x 2 y 2 与 z 1 x 2 y 2 所围成

注意到

2 0
cosd 0 ，因此
2
x z dv 0

d 4 d r 3 sin cos dr
0 0

1

2

4 0
sin cos d
sin 2
2 2

4 0

8
1 2 x y 0
xd z dx
1 2 0
1 2 x 0
1 1 2 x1 2 x y dy 2 x1 2 x dx 2 0 96
1
4．求锥面 z
x 2 y 2 被柱面 z 2 2 x 所割下部分的曲面面积.
解曲面 z x2 y 2 与 z22x 的交线在 xOy 面上的投影为所求曲面在 xOy 在上的投影区域为 D{(x y)|x2y22x}
2
2
D
D
0
0
=3

2
0
d = 6
6．计算三重积分的区域。
x z dv ，其中是由曲面 z

x 2 y 2 与 z 1 x 2 y 2 所围成
解：由于曲面 z
x 2 y 2 是一个圆锥面，曲面 z 1 x 2 y 2 是上半单位球面，

《重积分》知识点、常用计算公式的总结与典型题

《重积分》知识点、常⽤计算公式的总结与典型题1、⼆重积分的建模思想与模型构建步骤(1) 建模思想：微元法（元素法）“⼤化⼩, 常代变, 近似和,取极限”(2) 模型转换公式中△σk表⽰⼩区域⾯积，括号中△σk表⽰区域。

2、⼆重积分的⼏何意义与物理意义⼏何意义：(1) 当f(x,y)=1，则表⽰积分区域D的⾯积；(2) 当f(x,y)≥0，则表⽰以积分区域D，以D的边界为准线，母线平⾏于z轴的柱⾯为侧⾯，顶为z=f(x,y)的曲顶柱体的体积.物理意义：当f(x,y)>0，则表⽰⾯密度为ρ=f(x,y)的，占有平⾯区域D的平⾯薄⽚的质量.3、⼆重、三重积分的计算性质除了线性运算性质、对积分区域的可加性、保序性、绝对值不等式、估值定理、积分中值定理外，有如下两个重要的计算性质。

性质(偶倍奇零)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续.●如果D关于x轴对称，记其x轴上⽅区域为D1，则有●如果D关于y轴对称，记其y轴右侧区域为D1，则有●如果积分区域D关于原点对称，则⼆重积分其中D1为D的上半部分．【注】以上性质就是“偶倍奇零”的计算性质，注意使⽤时，积分区域的对称性与被积函数的奇偶性之间要匹配。

即积分区域关于x轴对称，被积函数关于y变量有奇偶性；积分区域关于y轴对称，被积函数关于x变量有奇偶性，则积分偶倍奇零。

性质(轮换对称性)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，积分区域关于直线y=x轴对称，直线y=x轴下⽅部分记作D1，直线y=x轴上⽅部分记作D2，则有4、直⾓坐标系下的⼆重积分计算步骤与典型例题第⼀步：画图(画确定积分区域的各边界曲线，根据题意确定区域).第⼆步：简化计算(判断积分区域整体，或者经过分割后的部分是否关于坐标轴、原点或y=x直线对称、判断被积函数整体，或者经加减运算拆项的部分是否具有相应变量的奇偶性，借助偶倍奇零与轮换对称性化简计算)第三步：确定积分区域类型(根据积分区域图形与被积函数特征，确定最终需要计算的积分区域的类型：简单X-型或简单Y-型，如果不是则分割积分区域)第四步：投影求型限(将积分区域投影到型变量对应的坐标轴上，确定型变量的范围：常值区间)第五步：画线定余限(在型变量的取值范围内，做平⾏于余变量对应的坐标轴，并且同向的有向直线穿过积分区域，⼊点为下限，出点为上限：上下限⼀般为型变量的函数或者直接为常值)第六步：余变先积分，最后积型变。

《高等数学》第八章重积分(电子讲稿)

第八章重积分本章和下一章是多元函数积分学的内容．在一元函数积分学中我们知道，定积分是某种确定形式的和的极限．这种和的极限的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念．本章将介绍重积分（包括二重积分和三重积分）的概念、性质、计算以及它们的一些应用．第一节二重积分的概念与性质一、二重积分的概念1．曲顶柱体的体积设有一个立体，它的底是xOy 面上的闭区域D （为简便起见，本章以后除特别说明外，都假定平面闭区域和空间闭区域是有界的，且平面闭区域有有限面积，空间闭区域有有限体积），它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面，它的顶是曲面(,)z f x y =，这里(,)0f x y ≥且在D 上连续（图8-1），这种立体叫做曲顶柱体．现在我们来讨论如何计算上述曲顶柱体的体积V .我们知道，平顶柱体的高是不变的，它的体积可以用公式体积=底面积×高来定义和计算．关于曲顶柱体，当点(,)x y 在区域D 上变动时，高度(,)f x y 是个变量，因此它的体积不能直接用上式来计算．但如果回忆起第五章中求曲边梯形面积的问题．就不难想到，那里所采用的解决方法，原则上可以用来解决目前的问题．首先，用一组曲线网把D 分成n 个小闭区域12,,,,n σσσ∆∆∆分别以这些小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于z 轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体．当这些小闭区域的直径（一个闭区域的直径是指区域上任意两点间距离的最大值）很小时，由于(,)f x y 连续，对同一个小闭区域来说，(,)f x y 变化很小，这时细曲顶柱体可近似地看作平顶柱体．我们在每个i σ∆（这小闭区域的面积也记作i σ∆）中任取一点(,)i i ξη，以(,)i i f ξη为高而底为i σ∆的平顶柱体（图8-2）的体积为(,)(1,2,,).i i if i n ξησ∆=这n 个平顶柱体体积之和1(,)niiii f ξησ=∆∑可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值．令n 个小闭区域的(,)i i ξηi∆σO xy图8-3直径中的最大值（记作λ）趋于零，取上述和的极限，所得的极限便自然地定义为所讨论曲顶柱体的体积V ，即1lim (,).ni i i i V f λξησ→==∆∑2. 平面薄片的质量设有一平面薄片占有xOy 面上的闭区域D ，它在点(,)x y 处的面密度为(,)x y μ，这里(,)0x y μ>且在D 上连续．现在要计算该薄片的质量M .我们知道，如果薄片是均匀的，即面密度是常数，则薄片的质量可以用公式质量=面密度×面积来计算．现在面密度(,)x y μ是变量，薄片的质量就不能直接用上式来计算．但是前面用来处理曲顶柱体体积问题的方法完全适用于本问题．由于(,)x y μ连续，把薄片分成许多小块后，只要小块所占的小闭区域i σ∆的直径很小，这些小块就可以近似地看作均匀薄片．在i σ∆上任取一点(,)i i ξη，则(,)i i i μξησ∆(1,2,i =,)n可看作第i 个小块的质量的近似值（图8-3）．通过求和、取极限得出01=lim (,).ni i i i M λμξησ→=∆∑上面两个问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限．在物理、力学、几何和工程技术中，有许多物理量或几何量都可归结为这一形式的和的极限．因此，我们有必要研究这种和的极限的一般形式，抽象出下述二重积分的定义．设(,)f x y 是有界闭区域D 上的有界函数．将闭区域D 任意分成n 个小闭区域12,,,,n σσσ∆∆∆其中i σ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积．在每个i σ∆上任取一点(,)i i ξη，作乘积(,)(1,2,,)i i i f i n ξησ∆=，并作和 1(,)ni i i i f ξησ=∆∑．如果当每个小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数(,)f x y 在闭区域D 上的二重积分，记作(,)d Df x y σ⎰⎰，即1(,)lim (,).ni i i i Df x y d f λσξησ→==∆∑⎰⎰ (1)其中(,)f x y 叫做被积函数，(,)d f x y σ叫做被积表达式，d σ叫做面积元素，x 与y 叫做积分变量，D 叫做积分区域，1(,)ni i i i f ξησ=∆∑叫做积分和．在二重积分的定义中对闭区域D 的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D ，那么除了包含边界点的一些小闭区域外（求和的极限时，这些小闭区域所对应的项的和的极限为零，因此这些小闭区域可以略去不计），其余的小闭区域都是矩形闭区域．设矩形闭区域i σ∆的边长为j x ∆和k y ∆，则i j k x y σ∆=∆⋅∆，因此在直角坐标系中，有时也把面积元素d σ记作d d x y ，而把二重积分记作(,)d d ,Df x y x y ⎰⎰其中d d x y 叫做直角坐标系中的面积元素．这里我们要指出，当(,)f x y 在闭区域D 上连续时，（1）式右端的和的极限必定存在，也就是说，函数(,)f x y 在D 上的二重积分必定存在．如无特别说明，本章总是假定函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，所以(,)f x y 在D 上的二重积分都是存在的．由二重积分的定义可知，曲顶柱体的体积是函数(,)f x y 在闭区域D 上的二重积分(,)d ,DV f x y σ=⎰⎰平面薄片的质量是它的面密度(,)x y μ在薄片所占闭区域D 上的二重积分(,)d .DM x y μσ=⎰⎰一般地，如果(,)0f x y ≥，被积函数(,)f x y 可解释为曲顶柱体的顶在点(,)x y 处的竖坐标，所以二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积．如果(,)f x y 是负的，曲顶柱体就在xOy 面的下方，二重积分的绝对值仍等于曲顶柱体的体积，但二重积分的值是负的．如果(,)f x y 在D 的若干部分区域上是正的，而在其他的部分区域上是负的，那么，(,)f x y 在D 上的二重积分就等于xOy 面上的曲顶柱体体积减去xOy 面下方的曲顶柱体体积所得之差．二、二重积分的性质比较定积分与二重积分的定义可以想到，二重积分与定积分有类似的性质，现叙述如下：性质1 设αβ、为常数，则[(,)(,)]d (,)d (,)d .DDDf x yg x y f x y g x y αβσασβσ+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质2 如果闭区域D 被有限条分段光滑曲线分为有限个部分闭区域，则在D 上的二重积分等于在各个部分闭区域上的二重积分的和．例如分D 为两个闭区域1D 与2D ，则12(,)d (,)d (,)d .DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰该性质表示二重积分对于积分区域具有可加性．性质3 如果在D 上，(,)1f x y =，σ为D 的面积，则1d d .DDσσσ=⋅=⎰⎰⎰⎰该性质表明被积函数为1的二重积分在数值上就等于积分区域D 的面积．性质4 如果在D 上，(,)(,)f x y x y ϕ≤，则有(,)d (,)d .DDf x y x y σϕσ≤⎰⎰⎰⎰特殊地，由于(,)(,)(,),f x y f x y f x y -≤≤又有(,)d (,)d .DDf x y f x y σσ≤⎰⎰⎰⎰性质5 设M m 、分别是(,)f x y 在闭区域D 上的最大值和最小值，σ是D 的面积，则有(,)d .Dm f x y M σσσ≤≤⎰⎰上述不等式是对于二重积分估值的不等式．因为(,)m f x y M ≤≤，所以由性质4有d (,)d d ,DDDm f x y M σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰再应用性质1和性质3，便得此估值不等式．性质6 （二重积分的中值定理）设函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，σ是D 的面积，则在D 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)d (,).Df x y f σξησ=⎰⎰证显然0σ≠．把性质5中不等式除以σ，得1(,)d .Dm f x y M σσ≤≤⎰⎰这就是说，确定的数值1(,)d Df x y σσ⎰⎰介于函数(,)f x y 的最大值M 与最小值m 之间．根据闭区域上连续函数的介值定理，在D 上至少存在一点(,)ξη使得函数在该点的值与这个确定的数值相等，即1(,)d (,).Df x y f σξησ=⎰⎰所以(,)d (,).Df x y f σξησ=⎰⎰●●例1 设D 是圆环域：2214x y ≤+≤，证明2243πe e d 3πe .xy Dσ+≤≤⎰⎰证在D 上，22(,)e xyf x y +=的最小值e m =，最大值4e M =．而D 的面积()S D =4ππ3π-=．由性质５得2243πe e d 3πe .xy Dσ+≤≤⎰⎰习题 8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．2. 设12231()d D I x y σ=+⎰⎰其中1{(,)11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤；又22232()d D I x y σ=+⎰⎰其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤．试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系． 3. 利用二重积分定义证明：（1） d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积；（2） (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数；（3）12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D DD =，1D ，2D 为两个无公共内点的闭区域.4. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1） 2()d Dx y σ+⎰⎰与3()d Dx y σ+⎰⎰，其中积分区域D 是由x 轴、y 轴与直线1x y +=所围成；（2） 2()d Dx y σ+⎰⎰与3()d Dx y σ+⎰⎰，其中积分区域D 是由圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成；（3） ln()d Dx y σ+⎰⎰与2[ln()]d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是三角形闭区域，三个顶点分别为(1,0),(1,1),(2,0)；（4） ln()d Dx y σ+⎰⎰与2[ln()]d Dx y σ+⎰⎰，其中{(,)35,01}D x y x y =≤≤≤≤.5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1) ()d DI xy x y σ=+⎰⎰其中{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤；(2) 22sin sin d DI x y σ=⎰⎰其中{(,)0π,0π}D x y x y =≤≤≤≤；(3) (1)d DI x y σ=++⎰⎰其中{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤；(4) 22(49)d DI x y σ=++⎰⎰其中22{(,)4}D x y x y =+≤.第二节二重积分的计算方法按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和区域来说，这种方法不是最优方法，有时甚至行不通．为此，本节介绍一种将二重积分化为二次积分（即二次定积分）的计算方法．一、利用直角坐标计算二重积分下面用几何观点来讨论二重积分(,)d d Df x y x y ⎰⎰的计算问题．在讨论中假定(,)0f x y ≥．设积分区域D 可以用不等式12()(),x y x a x b ϕϕ≤≤≤≤ 来表示（图8-4），其中1()x ϕ，2()x ϕ函数在区间[,]a b 上连续．按照二重积分的几何意义，(,)d d Df x y x y ⎰⎰的值等于以D 为底，以曲面z =(,)f x y 为顶的曲顶柱体（图8-5）的体积．下面我们应用第五章中计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法，来计算这个曲顶柱体的体积．先计算截面面积．为此，在区间[,]a b 上任意取定一点0x ，作平行于yOz 面的平面0x x =．这平面截曲顶柱体所得的截面是一个以区间1020[(),()]x x ϕϕ为底、曲线0(,)z f x y =为曲边的曲边梯形（图8-5中阴影部分），所以这截面的面积为2010()00()()(,)d .x x A x f x y y ϕϕ=⎰一般地，过区间[,]a b 上任一点x 且平行于yOz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为21()()()(,)d .x x A x f x y y ϕϕ=⎰再计算曲顶柱体的体积．应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体体积为21()()()d [(,)d ]d .bbx aax V A x x f x y y x ϕϕ==⎰⎰⎰这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式21()()(,)d d [(,)d ]d .bx ax Df x y x y f x y y x ϕϕ=⎰⎰⎰⎰（1）上式右端的积分叫做先对y 、后对x 的二次积分，就是说，先把x 看作常数，把(,)f x y 只看作y 的函数，并对y 计算从1()x ϕ到2()x ϕ的定积分；然后把算得的结果(是x 的函数)再对x 计算在区间[,]a b 上的定积分，这个先对y 、后对x 的二次积分也常记作21()()d (,)d .bx ax x f x y y ϕϕ⎰⎰因此，等式(1)也写成21()()(,)d d d (,)d ,bx ax Df x y x y x f x y y ϕϕ=⎰⎰⎰⎰（1'）这就是把二重积分化为先对y 、后对x 的二次积分的公式.在上述讨论中，我们假定(,)0f x y ≥，但实际上公式(1)的成立并不受此条件限制. 类似地，如果积分区域D 可以用不等式12()(),y x y c y d ϕϕ≤≤≤≤ 来表示(图8-6)，其中函数1()y ϕ，2()y ϕ在区间[,]c d 上连续，则有21()()(,)d [(,)d ]d .dy cy Df x y f x y x y ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰（2）上式右端的积分叫做先对x 、后对y 的二次积分，这个积分也常记作21()()d (,)d ,dy cy y f x y x ϕϕ⎰⎰因此，等式(2)也可写成21()()(,)d d (,)d ,dy cy Df x y y f x y x ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰（2'）这就是把二重积分化为先对x 、后对y 的二次积分的公式.以后我们称图8-4所示的积分区域为X -型区域，图8-6所示的积分区域为Y -型区域，应用公式(1)时，积分区域必须是X -型区域， X -型区域D 的特点是:穿过D 内部且平行于y 轴的直线与D 的边界相交不多于两点；而用公式（2）时，积分区域必须是Y -型区域，Y -型区域D 的特点是：穿过D 内部且平行于x 轴的直线与D 的边界相交不多于两点．如果积分区域D 如图8-7那样，既有一部分，使穿过D 内部且平行于y 轴的直线与D 的边界相交多于两点；又有一部分，使穿过D 内部且平行于x 轴的直线与D 的边界相交多于两点，即D 既不是X -型区域，又不是Y -型区域．对于这种情形，我们可以把D 分成几部分，使每个部分是X -型区域或是Y -型区域．例如，在图8-7中，把D 分成三个部分，它们都是X -型区域，从而在这三部分上的二重积分都可应用公式（1）．各部分上的二重积分求得后，根据二重积分的性质2，它们的和就是在D 上的二重积分．如果积分区域D 既是X -型的，又是Y -型的，既可用不等式1()x ϕ≤y ≤2()x ϕ，a ≤x ≤b 表示，又可用不等式1()y ϕ≤x ≤2()y ϕ，c ≤y ≤d 表示(图8-8)，则由公式（1'）及（2'）就得2211()()()()d (,)d d (,)d .bx dy ax cy x f x y y y f x y x ϕϕϕϕ=⎰⎰⎰⎰（3）上式表明，这两个不同次序的二次积分相等，因为它们都等于同一个二重积分(,)d .Df x y σ⎰⎰●●例1 计算积分2d d Dyx y x⎰⎰，其中D 是正方形区域: 1≤x ≤2,0≤y ≤1. 解212222101111d d d d d .24Dy y x y x y x x x x ===⎰⎰⎰⎰⎰y图8-7图8-8y●●例2 计算221d Dy x y σ+-⎰⎰，其中D 是由直线y x =，1x =-和1y =所围成的闭区域．解画出积分区域D （图8-9），若把D 看成X -型，则利用公式（1）得112222131221211311301d d 1d 1[(1)]d 31(||1)d 321(1)d .32xDx y x y x y x y y x y xx xx x σ---+-=+-=-+-=--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰若把D 看成Y -型（图8-10），则利用公式（２）得12222111d d 1d ,yDy x y y y x y x σ--+-=+-⎰⎰⎰⎰其中关于x 的积分计算比较麻烦，所以这里用公式（1）计算较为方便． ●●例3 计算d Dxy σ⎰⎰，其中D 是由抛物线2y x=及直线2y x =-所围成的闭区域．解画出积分区域D （如图8-11），若把D 看成Y -型，则利用公式（２）得2222222112251246321d d d d 21[(2)]d 214452.24368y y y Dy x xy y xy x y y y y y y y y y y σ++----⎡⎤==⎢⎥⎣⎦=+-⎡⎤=++-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰若把D 看成X -型利用公式（1），则由于在区间[0,1]及[1,4]上表示1()x ϕ的式子不同，所以要用经过交点(1,1)-且平行于y 轴的直线1x =把区域D 分成1D 和2D 两部分（图8-12），其中12{(,)|,01},{(,)|2,14}.D x y x y x x D x y x y x x =-≤≤≤≤=-≤≤≤≤因此，根据二重积分的性质2，就有121412d d d d d d d .DD D xxxx xy xy xy x xy y x xy y σσσ--=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由此可见，这里用公式（1）来计算比较麻烦．●●例4 求110sin d d y xy x x⎰⎰.解由不定积分可知，因为sin x dx x ⎰的被积函数sin xx的原函数不能用初等函数表示，因此依题中所给积分次序不能计算出二重积分．对此类问题考虑采用交换积分次序的方法来解决，计算如下：11111000000sin sin sin sin d d d d d d d 1cos1.x x y x x x x y x x y x y x x x x x x ===⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰交换积分次序方法的一般步骤为：（1）先依给定的二次积分限，写出积分区域D 的范围，并依此作出D 的图形；（2）再依区域D 的图形确定出另一种积分次序的积分限．上述几个例子说明，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序．这时，既要考虑积分区域D 的形状，又要考虑被积函数(,)f x y 的特性. ●●例5 求两个底圆半径都等于R 的直交圆柱面所围成的立体的体积.解设这两个圆柱面的方程分别为222x y R +=及222x z R +=.利用立体关于坐标平面的对称性，只需算出它在第一卦限部分(图8-13(a ))的体积1V ，然后再乘以8就行了.所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为{}22(,)|0,0,D x y y R x x R =≤≤-≤≤如图8-13(b )所示，它的顶是柱面22z R x =-.于是222222222210222230d d d d 2[]d ()d .3RR x DDRRRxV R x R x x R x yy R x x R -x x R σσ--=-=-=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰从而所求立体的体积为31168.3V V R ==图8-14i θ二、利用极坐标计算二重积分有些二重积分，积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量ρ，θ表达比较简单．这时，我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰．按二重积分的定义1(,)d lim (,),niiii Df x y f λσξησ→==∆∑⎰⎰ 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式．假定从极点O 出发且穿过闭区域D 内部的射线与D 的边界曲线相交不多于两点．我们用以极点为中心的一族同心圆：ρ=常数，以及从极点出发的一族射线：θ=常数，把D 分成n 个小闭区域（图8-14）．除了包含边界点的一些小闭区域外，其余小闭区域的面积i σ∆可计算如下：22_11()221(2)2()2,i i i i i ii i i i i i i i i i i i σρρθρθρρρθρρρρθρρθ∆=+∆⋅∆-⋅∆=+∆⋅∆⋅∆++∆=⋅∆⋅∆=⋅∆⋅∆其中_i ρ表示相邻两圆弧的半径的平均值，在这小闭区域内取圆周_i ρρ=上的一点__(,)i i ρθ，该点的直角坐标设为(,)i i ξη，则由直角坐标与极坐标之间的关系有__cos i i i ξρθ= ，__sin i i i ηρθ=，于是_____11lim (,)lim (cos ,sin ),nni i i i i i i i i i i i f f λλξησρθρθρρθ→→==∆=⋅∆⋅∆∑∑即(,)d (cos ,sin )d d DD f x y f σρθρθρρθ'=⎰⎰⎰⎰．由于在直角坐标系中(,)d Df x y σ⎰⎰也常记作(,)d d Df x y x y ⎰⎰，所以上式又可写成(,)d d (cos ,sin )d d .DD f x y x y f ρθρθρρθ'=⎰⎰⎰⎰ （4）这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式，其中D '是区域D 径极坐标变换后在极坐标系下的区域，d d ρρθ就是极坐标系中的面积元素．公式（4）表明，要把二重积分中的变量从直角坐标转换为极坐标，只要把被积函数中的x ，y 分别换成cos ρθ，sin ρθ，并把直角坐标系中的面积元素d d x y 换成极坐标系中的面积元素d d ρρθ．αβ2()ρϕθ=1()ρϕθ=O()a αβ2()ρϕθ=1()ρϕθ=OD()b 图8-15ρϕθ=()αβOD图8-17图8-16αβ2()ϕθ1()ϕθθEFD O图8-18OD ()ρϕθ=极坐标系中的二重积分，同样可以化为二次积分来计算．设积分区域D 可以用不等式12()(),ϕθρϕθαθβ≤≤≤≤ 来表示（图8-15），其中函数1()ϕθ，2()ϕθ在区间[,]αβ上连续．先在区间[,]αβ上任意取定一个θ值，对应这个θ值， D 上的点(图8-16中这些点在线段EF 上)的极径ρ从1()ϕθ变到2()ϕθ．又θ是在[,]αβ上任意取定的，所以θ的变化范围是区间[,]αβ．这样就可以看出，极坐标系中的二重积分化为二次积分的公式为21()()(cos ,sin )d d [(cos ,sin )d ]d .Df f βϕθαϕθρθρθρρθρθρθρρθ=⎰⎰⎰⎰（5）上式也写成21()()(cos ,sin )d d d (cos ,sin )d .Df f βϕθαϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰（5'）如果积分区域D 是图8-17所示的曲边扇形，那么可以把它看作图8-15(a )中当1()0ϕθ≡，2()()ϕθϕθ=时的特例．这时闭区域D 可以用不等式0(),ρϕθαθβ≤≤≤≤ 来表示，而公式（5'）成为()(cos ,sin )d d d (cos ,sin )d .Df f =⎰⎰⎰⎰βϕθαρθρθρρθθρθρθρρ如果积分区域D 如图8-18所示，极点在D 的内部，则可以把它看作图8-17中当0α=，2πβ=时的特例，这时闭区域D 可以用不等式0≤ρ≤(),0ϕθ≤θ≤2π 来表示，而公式（5'）成为2π()(cos ,sin )d d d (cos ,sin )d .Df f ϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰●●例6 计算二重积分22ln(1)d d Dx y x y ++⎰⎰，其中D 是单位圆域：221x y +≤．解采用极坐标222ln(1)d d ln(1)d d ,DDxy x y ρρρθ++=+⎰⎰⎰⎰原点在D 内部，故02πθ≤≤，而01ρ≤≤．故()2π122122100ln(1)d d d ln(1)d π[(1)ln(1)]2d π(2ln 21).Dρρρθθρρρρρρρ+=+=++-=-⎰⎰⎰⎰⎰●●例7 计算22e d d xyDx y --⎰⎰，其中D 是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域．解在极坐标系中，闭区域D 可表示为0,02π.a ρθ≤≤≤≤ 由公式（4）及（5）有22222222π02π2π000e d d e d d d e d 11e d (1e )d π(1e ).22ax y DDaa a x y ρρρρρθθρρθθ-------==⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰本题如果用直角坐标计算，由于积分2e d x x -⎰不能用初等函数表示，所以算不出来．现在我们利用上面的结果来计算工程上常用的广义积分20e x dx +∞-⎰．设22212222{(,)|,0,0},{(,)|2,0,0},{(,)|0,0}.D x y x y R x y D x y x y R x y S x y x R y R =+≤≥≥=+≤≥≥=≤≤≤≤ 显然12D S D ⊂⊂（图8-19），由于22e 0x y -->，从而在这些闭区域上的二重积分之间有不等式22222212e d d e d d e d d .xy xy xy D S D x y x y x y ------<<⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （６）因为2222220e d d e d e d (e d ),RRRxy x y x Sx y x y x -----=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰由例７知2221πe d d (1e ),4x y R D x y ---=-⎰⎰ 22222πe d d (1e ),4x y R D x y ---=-⎰⎰ 于是不等式（６）可写成222220ππ(1e )(e d )(1e ).44R R x R x ----<<-⎰令R →+∞，上面两端趋于同一极限π4，从而 2πe d .x x +∞-=⎰ ●●例8 求球体22224x y z a ++≤被圆柱面222(0)x y ax a +=>所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积（图8-20）．解由对称性，22244d d ,DV a x y x y =--⎰⎰其中D 为半圆周22y ax x =-及x 轴所围成的闭区域，在极坐标系中，闭区域D 可用不等式π02cos ,02a ρθθ≤≤≤≤来表示．于是π2cos 222220π3332044d d 4d 4d 3232π2(1sin )d ().3323a DV a a a a θρρρθθρρρθθ=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰习题 8-21. 计算下列二重积分：(1) 22()d Dx y σ+⎰⎰，其中{(,)||| 1,|| 1}D x y x y =；(2) (32)d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线2x y +=所围成的闭区域；(3)323(3)d D xx y y σ++⎰⎰，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤；（4） cos()d Dx x y σ+⎰⎰其中D 是顶点分别为(0,0)，(π,0)和(π,π)的三角形闭区域． 2. 画出积分区域，并计算下列二重积分： (1)d Dxy σ⎰⎰，其中D 是由两条抛物线y x =，2y x =所围成的闭区域；图8-20OyxzD2aOθxyaD2cos a ρθ=()b(2) 2d Dxy σ⎰⎰，其中D 是由圆周224xy +=及y 轴所围成的右半闭区域；(3) ed x yD σ+⎰⎰，其中{(,)||||| 1}D x y x y =+；(4)22()d Dxy x σ+-⎰⎰，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域．3. 化二重积分(,)d DI f x y σ=⎰⎰为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D 是：(1) 由直线y x =及抛物线24y x =所围成的闭区域；(2) 由x 轴及半圆周222(0)x y r y +=≥所围成的闭区域；(3) 由直线y x =，2x =及双曲线1(0)y x x=>所围成的闭区域；(4) 环形闭区域22{(,)|14}x y x y ≤+≤． 4. 改换下列二次积分的积分次序：（1） 1d (,)d yy f x y x ⎰⎰ ；(2) 2220d (,)d y y y f x y x ⎰⎰ ；（3） 221101d (,)d y y y f x y x ---⎰⎰；(4)22212d (,)d x x xx f x y y --⎰⎰；（5）eln 1d (,)d xx f x y y ⎰⎰； (6)πsin 0sin2d (,)d xx x f x y y -⎰⎰．5. 计算由四个平面0x =，0y =，1x =，1y =所围成柱体被平面0z =及236x y z ++=截得的立体的体积．6. 求由曲面222z x y =+及2262z x y =--所围成的立体的体积．7. 画出积分区域，把积分(,)d Df x y σ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D是：(1) 222{(,)|}(0)x y x y a a +≤>； (2) 22{(,)|2}x y x y x +≤；(3) 2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，其中0a b <<； (4) {(,)|0x y ≤y ≤1,0x -≤x ≤1}． 8. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： (1) 110d (,)d x f x y y ⎰⎰ ； (2)230d (,)d xxx f x y y ⎰⎰；(3)21101d (,)d x xx f x y y --⎰⎰； (4)21d (,)d x x f x y y ⎰⎰．9. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值： (1) 222220d ()d aax x x x y y -+⎰⎰； (2)2200d d axx x y y +⎰⎰；(3) 211222d ()d xxx x y y -+⎰⎰ ； (4) 22220d ()d aa y y x y x -+⎰⎰．10. 利用极坐标计算下列各题：(1) 22e d x y Dσ+⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域；(2) arctan d Dyx σ⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=，221x y +=及直线0y =，y x =所围成的在第一象限内的闭区域.11. 选用适当的坐标计算下列各题：(1) 22d D x y σ⎰⎰，其中D 是由直线2x =，y x =及曲线1xy =所围成的闭区域；(2) 22221d 1Dx y x yσ--++⎰⎰，其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；(3) 22()d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是由直线y x =，y x a =+，y a =，3(0)y a a =>所围成的闭区域；(4) 22d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是圆环形闭区域2{(,)|x y a ≤22x y +≤2}b ．12. 求由平面0y =，(0)y kx k =>，0z =以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积（图8-21）．第三节三重积分一、三重积分的概念定积分及二重积分作为和的极限的概念，可以很自然地推广到三重积分.设(,,)f x y z 是空间有界闭区域Ω上的有界函数．将Ω任意分成n 个小闭区域，其12,,,,n v v v ∆∆∆中i v ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的体积，在每个i v ∆上任取一点(,,)i i i ξηζ，作乘积(,,)(1,2,,)i i i i f v i n ξηζ∆=，并作和1(,,)ni i i i i f v ξηζ=∆∑．如果当各小闭区域直径中的最大值λ趋于零时，这个和的极限总存在，则称此极限为函数(,,)f x y z 在闭区域Ω上的三重积分，记作(,,)d f x y z v Ω⎰⎰⎰，即1(,,)d lim (,,),ni i i i i f x y z v f v λξηζ→=Ω=∆∑⎰⎰⎰ （1）其中d v 叫做体积元素.在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分Ω，那么除了包含Ω的边界点的一些不规则小闭区域外，得到的小闭区域i v ∆为长方体．设长方体小闭区域i v ∆的长、宽、高为i x ∆，i y ∆，i z ∆，则i i i i v x y z ∆=∆∆∆，因此在直角坐标系中，有时也把体积元素d v 记作d d d x y z ，此时也把三重积分记作(,,)d d d ,f x y z x y z Ω⎰⎰⎰其中d d d x y z 叫做直角坐标系中的体积元素.当函数(,,)f x y z 在闭区域Ω上连续时，（1）式右端的极限必定存在，也就是函数(,,)f x y z在闭区域Ω上的三重积分必定存在．以后我们总假定函数(,,)f x y z 在闭区域Ω上是连续的．关于二重积分的一些术语，例如被积函数、积分区域等，也可相应地用到三重积分上．三重积分的性质也与本章第一节中所叙述的二重积分的性质类似，这里不再重复了.如果用(,,)f x y z 表示某物体在点(,,)x y z 处的密度，Ω是该物体所占有的空间闭区域，若(,,)f x y z 在Ω上连续，则1(,,)ni i i i i f v ξηζ=∆∑是该物体的质量M 的近似值，当0λ→时，这个和的极限就是该物体的质量M ，所以(,,)d .M f x y z v Ω=⎰⎰⎰如果(,,)1f x y z =时，用V 表示空间闭区域Ω的体积，则1d d .V v v ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰二、三重积分的计算计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次积分来计算.下面在不同的坐标系下分别讨论将三重积分化为三次积分的方法，且只限于叙述方法.1.在直角坐标系中计算三重积分假设平行于z 轴且穿过闭区域Ω内部的直线与闭区域Ω的边界曲面相交不多于两点．把闭区域Ω投影到xOy 面上，得一平面闭区域xy D (图8-22)．以xy D 的边界为准线作母线平行于z 轴的柱面．这柱面与曲面S 的交线从S 中分出的上、下部分，它们的方程分别为11:(,),S z z x y =22:(,),S z z x y =其中1(,)z x y 与2(,)z x y 都是xy D 上的连续函数，且12(,)(,)z x y z x y ≤．过xy D 内任一点(,)x y 作平行于z 轴的直线，这直线通过曲面1S 穿入Ω内，然后通过曲面2S 穿出Ω外，穿入点与穿出点的竖坐标分别为1(,)z x y 与2(,)z x y ．在这种情形下，积分区域可表示为{}12(,,)|(,)(,),(,).xy x y z z x y z z x y x y D Ω=≤≤∈先将x ，y 看作定值，将(,,)f x y z 只看作z 的函数，在区间12[(,),(,)]z x y z x y 上对z 积分．积分的结果是x ，y 的函数，记为(,)F x y ，即21(,)(,)(,)(,,)d .z x y z x y F x y f x y z z =⎰然后计算(,)F x y 在闭区域xy D 上的二重积分21(,)(,)(,)d [(,,)d ]d .xyxyz x y z x y D D F x y f x y z z σσ=⎰⎰⎰⎰⎰假如闭区域{}12(,)|()(),,xy D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤把这个二重积分化为二次积分，于是得到三重积分的计算公式:2211()(,)()(,)(,,)d d d (,,)d .by x z x y ay x z x y f x y z v x y f x y z z Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2）公式⑵把三重积分化为先对z 、次对y 、最后对x 的三次积分.如果平行于x 轴或y 轴且穿过闭区域Ω内部的直线与Ω的边界曲面S 相交不多于两点，也可把闭区域Ω投影到yOz 面上或xOz 面上，这样便可把三重积分化为按其他顺序的三次积分．如果平行于坐标轴且穿过闭区域Ω内部的直线与边界曲面S 的交点多于两个，也可像处理二重积分那样，把Ω分成若干部分，使Ω上的三重积分化为各部分闭区域上的三重积分的和．●●例1 计算三重积分d d d x x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω为三个坐标面及平面21x y z ++=所围成的闭区域．解作闭区域Ω如图8-23所示.将Ω投影到xOy 面上，得投影区域xy D 为三角形闭区域OAB ．直线OA ，OB 及AB 的方程依次为0y =，0x =及21x y +=，所以1{(,)|0,01}.2xy xD x y y x -=≤≤≤≤ 在xy D 内任取一点(,)x y ，过此点作平行于z 轴的直线，该直线通过平面0z =穿入Ω内，然后通过平面12z x y =--穿出Ω外．于是，由公式⑵得1112200011201230d d d d d d d (12)d 11(2)d .448x x yx x x y z x y x zx x x y y x x x x ---Ω-==--=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰有时，我们也可以把一个三重积分化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分，即有下述计算公式．设空间闭区域12{(,,)|(,),},z x y z x y D c z c Ω=∈≤≤其中z D 是竖标为z 的平面截闭区域Ω所得到的一个平面闭区域(图8-24)，则21(,,)d d (,,)d d .zc c D f x y z v z f x y z x y Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （3）●●例2 计算三重积分2d d d z x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由椭球面2222221x y z a b c ++=所围成的空间闭区域.解空间闭区域Ω可表为222222{(,,)|1,},x y z x y z c z c a b c+≤--≤≤如图8-25所示．由公式（3）得Oxyz (,,)M x y z zρθ()P ρ,θOxyzd θd ρd ρθd zρ图8-27图8-262222324d d d d d d π(1)d π.15zccc c D z z x y z z z x y ab z z abc c --Ω==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2.在柱面坐标系中计算三重积分设(,,)M x y z 为空间内一点，并设点M 在xOy 面上的投影P 的极坐标为(,)ρθ，则这样的数组,,z ρθ就叫做点M 的柱面坐标(图8-26)，这里规定,,z ρθ的变化范围为:0≤ρ,0<+∞≤θ≤2π,.z -∞<<+∞三组坐标面分别为ρ=常数，即以z 轴为轴的圆柱面； θ=常数，即过z 轴的半平面； z =常数，即与xOy 面平行的平面.显然，点M 的直角坐标与柱面坐标的关系为cos ,sin ,.x y z z ρθρθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩（4）现在要把三重积分(,,)d f x y z v Ω⎰⎰⎰中的积分变量变换为柱面坐标．为此，用三组坐标面ρ=常数，θ=常数，z =常数，把Ω分成许多小闭区域，除了含Ω的边界点的一些不规则小闭区域外，这种小闭区域都是柱体．今考虑由,,z ρθ各取得微小增量d ,d ,d z ρθ所成的柱体的体积(图8-27)．这个体积等于高与底面积的乘积．现在高为d z 、底面积在不计高阶无穷小时为d d ρρθ (即极坐标系中的面积元素)，于是得d d d d ,v z ρρθ=这就是柱面坐标系中的体积元素．再注意到关系式⑷，并设经变换后，Ω变为'Ω，得 (,,)d d d (,,)d d d ,f x y z x y z F z z ρθρρθ'ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （5）其中(,,)(cos ,sin ,)F z f z ρθρθρθ=．（５）式就是把三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式．至于积分变量变换为柱面坐标后的三重积分的计算，则可化为三次积分来进行．化为三次积分时，积分限是根据,,z ρθ在积分区域Ω中的变化范围来确定的，下面通过例子来说明．●●例3 利用柱面坐标计算三重积分d d d z x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面22z x y =+与平面4z =所围成的闭区域.解把闭区域Ω投影到xOy 面上，得半径为2的圆形闭区域{(,)|02,02π}xy D ρθρθ=≤≤≤≤.在xy D 内任取一点(,)ρθ，过该点作平行于z 轴的直线，此直线通过曲面22z x y =+穿入Ω内，然后通过平面4z =穿出Ω外．因此闭区域Ω可用不等式24,02,02πz ρρθ≤≤≤≤≤≤图8-28图8-30来表示．于是22π2422π2426000d d d d d d d d d 11164d (16)d 2π8π.2263z x y z z z z zρρρθθρρθρρρρρΩΩ==⎡⎤=-=⋅-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3.在球面坐标系中计算三重积分设(,,)M x y z 为空间内一点，则点M 也可用这样三个有次序的数,,r ϕθ来确定，其中r 为原点O 与点M 间的距离，ϕ为有向线段OM 与z 轴正向所夹的角， θ为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到有向线段OP 的角，这里P 为点M在xOy 面上的投影(图8-28).这样的三个数,,r ϕθ叫做点M 的球面坐标，这里,,r ϕθ的变化范围为0≤r ,0<+∞≤ϕ≤π,0≤θ≤2π,三组坐标面分别为r =常数，即以原点为球心的球面； ϕ=常数，即以原点为顶点、z 轴为轴的圆锥面； θ=常数，即过z 轴的半平面.设点M 在xOy 面上的投影为P ，点P 在x 轴上的投影为A ，则OA x =，AP y =，PM z =.又sin ,cos .OP r z r ϕϕ==因此，点M 的直角坐标与球面坐标的关系为 cos sin cos ,sin sin sin ,cos .x OP r y OP r z r θϕθθϕθϕ==⎧⎪==⎨⎪=⎩（6）为了把三重积分中的变量从直角坐标变换为球面坐标，用三组坐标面r =常数，ϕ=常数，θ=常数，把积分区域Ω分成许多小闭区域.考虑由,,r ϕθ各取得微小增量 d ,d ,d r ϕθ所成的六面体的体积(图8-29).不计高阶无穷小，可把这个六面体看作长方体，其经线方向的长为d r ϕ ，纬线方向的宽为sin d r ϕθ，向径方向的高为d r ，于是得2d sin d d d ,v r r ϕϕθ=这就是球面坐标系中的体积元素.再注意到关系式（6），并把区域Ω在球坐标系下的区域记为'Ω，就有2(,,)d d d (,,)sin d d d ,f x y z x y z F r rr ϕθϕϕθ'ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （7）其中(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )F r f r r r ϕθϕθϕθϕ=.⑺式就是把三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式. 要计算积分变量变换为球面坐标后的三重积分，可把它化r 、对ϕ及对θ的三次积分.若积分区域Ω的边界曲面是一个包围原点在内的闭曲面，球面坐标方程为(,)r r ϕθ=，则。

重积分习题PPT课件

例3
计算二重积分∬D sin(x+y) dσ，其中 D为0≤x≤π，0≤y≤π。
解析
利用被积函数的对称性和区域的可加性，简化计算过程。
03
一元函数重积分
一元函数重积分的概念和性质
一元函数重积分的定义
设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可积，且$a leq c leq b$，若$int_{a}^{b}f(x)dx = int_{a}^{c}f(x)dx + int_{c}^{b}f(x)dx$，则称$int_{a}^{b}f(x)dx$为$f(x)$在$[a,b]$上的一元函数重积分。
要点二
拓展应用领域
除了传统的物理学和工程学领域外，重积分在经济学、金融学、生物医学等领域也有着广泛的应用前景。未来可以关注这些领域的发展动态，探索重积分在其中的应用潜力。
要点三
结合计算机技术
随着计算机技术的不断发展，数值计算和仿真模拟等方法在重积分的应用中发挥着越来越重要的作用。未来可以结合计算机技术，学习数值分析、科学计算等相关课程，提高解决实际问题的能力。
05
多重积分及其应用
多重积分的概念和性质
多重积分的定义
在多维空间中，对多元函数进行多次积分的过程。
多重积分的性质
线性性、可加性、积分区域的可加性等。
多重积分的存在性和唯一性
在一定条件下，多重积分存在且唯一。
多重积分的计算方法和技巧
直角坐标系下的多重积分
通过累次积分进行计算，先对某一变量进行积分，再对其他变量进行积分。
通过变量代换将复杂的一元函数重积分转化为简单的重积分进行计算。
分段计算法
当被积函数在积分区间内存在不可积点或间断点时，可以采用分段计算法进行处理。

《重积分计算习题》课件

重积分的几何意义
平面区域上的重积分
表示被积函数对应的曲面在平面区域上所围成的体积。
空间区域上的重积分
表示被积函数对应的立体在空间区域上所围成的体积。
02 重积分的基本计算方法
直角坐标系下的计算方法
直角坐标系下，重积分可以通过将积分区域划分为若干个小矩形，然后分别对每个小矩形进行积
分，最后求和得到结果。
计算曲面的面积
重积分可以用来计算曲面的面积，如球面、锥面等。
确定空间点的位置
通过重积分可以确定空间中某点的位置，如重心、形心等。
在物理学中的应用
计算质量分布
在力学中，重积分可以用来计算分布质量对物体运动的影响。
计算引力场
在万有引力定律中，重积分可以用来计算物体之间的引力。
计算电场
在电动力学中，重积分可以用来计算电荷分布产生的电场。
如何提高重积分计算的准确性和效率
多做习题
通过大量的习题练习，提高计算准确性和效率
。
细心审题
仔细阅读题目，确保理解题意，避免因为理解
错误导致计算错误。
掌握计算技巧
掌握一些计算技巧，如换元法、分部积分法等，可以提高计算效率。
利用数学软件
对于一些复杂积分，可以利用数学软件进行计算，提高计算准确性。
对于多重积分，可以按照积分次序逐层积分，从外层到内层依次
积分。
在计算过程中，需要注意积分的上下限，以及被积函数的定义域
。
极坐标系下的计算方法
在极坐标系下，重积分可以通过将积分区域划分为若干个小圆环，然后分别对每个小圆环进行积分，最后求和得到结果。
在极坐标系下，需要注意极角和极径的范围，以及被积函数的定义域。

《重积分练习》课件

确定积分区间
计算参数方程下的积分
确定积分结果
03
重积分的性质
积分区域的可加性
添加标题
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
积分区域的可加性是指，如果两个积分区域A和B互不相交，那么A和B的并集上的积分等于A和B上积分的和。
添加标题
积分区域的可加性还可以用于证明一些积分公式，例如格林公式、高斯公式等。
添加标题
积分区域的可加性是重积分的一个重要性质，它使得我们可以将复杂的积分区域分解为若干个简单的积分区域，从而简化积分的计算。
01
重积分的概念
定义与性质
重积分的定义：对多元函数在某一区域内的积分
重积分的性质：线性性、可加性、单调性等
重积分的应用：计算体积、面积、质量等
重积分的计算方法：直角坐标系、极坐标系等
计算方法
确定积分区域和被积函数计算积分上限和下限使用积分公式进行计算检查计算结果是否正确
几何意义
积分对变量的可加性还可以用于求解一些复杂的积分问题，例如积分的换元法、积分的分部积分法等。
积分对变量的可加性还可以用于求解一些复杂的积分问题，例如积分的换元法、积分的分部积分法等。
04
重积分的几何应用
曲面的面积
曲面积分的定义：曲面积分是积分的一种，用于计算曲面的面积或体积
曲面积分的计算方法：使用积分公式，将曲面分割成若干个小块，然后计算每个小块的面积或体积
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确定积分函数：确定积分函数为直角坐标系下的一个函数
确定积分变量：确定积分变量为直角坐标系下的一个变量
计算积分：根据积分公式，计算积分区域

重积分习题课62讲PPT课件

分析重积分的物理意义及几何应用
探讨重积分的收敛性与一致收敛性
通过典型例题，深入剖析重积分的计算技巧
解题技巧与方法总结
熟练掌握重积分的计算方法和步骤
掌握不同坐标系下重积分的计算方法及转换技巧
学会运用重积分的性质简化计算过程
理解重积分的物理意义和几何应用，提高解题能力
学生自测与讨论环节
学生学习成果展示
01 掌握了重积分的基本概念、性质与计算方法，能够熟练地进行二重积分和三重积分的计算。
02 学会了根据实际问题选择合适的坐标系与积分次序，提高了解决问题的效率与准确性。
02 通过课程学习，增强了对数学分析的理解与应用能力，为后续课程学习打下了坚实基础。
对未来学习的建议与展望
利用极坐标计算二重积分
极坐标与直角坐标的转换
通过极坐标与直角坐标之间的转换公式，将二重积分从直角坐标系转换到极坐标系下进行计算。
投影法与截面法在极坐标系下的应用
类似于直角坐标系下的投影法和截面法，可以在极坐标系下使用相应的方法来计算二重积分。
二重积分的换元法
01 雅可比行列式
在二重积分的换元法中，需要计算雅可比行列式来确定新变量与原变量之间的关系。
计算体积
利用三重积分可以计算三维空间中物体的体积，通过划分小立方体并求和的方式得到。
曲线弧长
利用二重积分可以计算平面曲线的弧长，通过对曲线进行微元分割并求和的方式得到。
重积分在物理中的应用
计算质心
利用二重或三重积分可以计算物体的质心坐标，通过对物体各点
的质量进行加权求和得到。
计算转动惯量
02 截面法
通过截面将三重积分转化为二重积分，再进一步转化为一重积分进行计算。

《重积分习题课》课件

三维重积分习题解析
题目：计算三维空间中的体积
解题步骤：首先确定积分区域，然后选择合适的坐标系，最后进行积分计算
积分区域：通常为球体、圆柱体、长方体等
坐标系：可以选择直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等
积分计算：根据选择的坐标系，使用相应的积分公式进行计算
结果：得到三维空间中的体积
重积分应用题解析
课程形式：讲解、讨论、练习、答疑等，注重培养学生的独立思考和解决问题的能
力
教学目标
掌握重积分的基本概念和性质学会求解重积分的基本方法提高解决实际问题的能力培养数学思维和逻辑思方法
重积分的应用实例
重积分习题的解答技巧
教学方法
讲解与练习相结合：通过讲解重积分的基本概念、公式和定理，引导学生进行习题练习，加深理解。
综合能力
学习建议
掌握基本概念和公式，理解重积分的定义
和性质
加强练习，通过做题来提高解题速度和准
确性
学会总结和归纳，找出解题
规律和技巧
遇到问题及时请教老师或同学，不要害怕
提问
未来展望
重积分习题课的重要性：提高数学思维能力和解决实际问题的能力
重积分习题课的发展趋势：更加注重实践和应用，与实际生活相结合
启发式教学：通过提出问题、引导学生思考、讨论，激发学生的学习兴趣和积极性。
案例教学：通过讲解重积分在实际生活中的应用案例，帮助学生理解重积分的实际意义和价值。
互动式教学：鼓励学生积极参与课堂讨论，提出问题和建议，提高学生的学习效果。
重积分的概念与性质
重积分的定义：对多元函数在某一区域内的积分
重积分习题课的挑战：如何提高学生的兴趣和积极性，提高教学质量

(整理)第08章重积分习题详解

A. B. C. D.
2.设是正方形区域，是的内切圆区域，是的外接圆区域，的中心点在点，记
则的大小顺序为( ) B；
A. B. C. D.
3.将极坐标系下的二次积分:
化为直角坐标系下的二次积分，则 ( )D；
A. ; B. ;
C. ; D. .
4.设是第二象限内的一个有界闭区域，而且 .记
解(1)利用球面坐标计算．作圆锥面，将分成和两部分：
于是
原式
(2)由于积分区域关于面对称，而被积函数关于是奇函数，故所求积分等于零．
(3)积分区域由旋转抛物面和平面所围成，在面上的投影区域
因此可表示为：
于是
5.求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积.
解平面方程为，它被三坐标面割出的有限部分在面上的投影区域为由轴、轴和直线所围成的三角形区域．于是所求面积为
原式
(6)所给二次积分等于二重积分，将表示为，其中
，，于是
原式
5.计算由四个平面，，，所围成柱体被平面及截得的立体的体积．
解此立体为一曲顶柱体，它的底是面上的闭区域，顶是曲面，因此所求立体的体积为
6.求由曲面及所围成的立体的体积．
解所求立体在面上的投影区域为
所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差：
2.设其中；又其中．试利用二重积分的几何意义说明与之间的关系．
解由二重积分的几何意义知，表示底为、顶为曲面的曲顶柱体的体积；表示底为、顶为曲面的曲顶柱体的体积．由于位于上方的曲面关于面和面均对称，故面和面将分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为．由此可知．

重积分的计算及应用习题课

F(0) 0
利用洛必达法则与导数定义,得
lim
t0
F (t )
t4

lim
t 0
4 f (t) 4 t3
t
2

lim
t 0
f
(t) f (0) t0

f
(0)
三、重积分的应用
1. 几何方面面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心
2. 物理方面质量, 转动惯量, 质心, 引力
b
dx
a
b f 2(y)dy
a

ba 2

b f 2(x)dx
a
b a
f
2
(
y)d
利y 用
(b a) b f 2 (x)dx = 右端 2ab a2 b2 a
例2. 设函数 f (x) 连续且恒大于零,
f (x2 y2 z2 ) d v
F (t) (t)
o
D1
2
D2 x
I

dx
sin x
f (x, y) d y
2
dx
0
f (x, y) d y
00

sin x
D1 f (x, y) d D2 f (x, y) d
1 arcsin y
dy
f (x, y) d x
0 arcsin y
所围成的闭区域 .
xx
z
提示: 利用柱坐标 y r cos
o
z r sin
1 2
r
2

x

5
x5
y
: 0 r 10

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