量子力学答案(第二版)苏汝铿第六章课后答案6.7-6#15up @
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2 ∵ s1
故有
3 (σ1 r )(σ 2 r ) σ1 σ 2 r2 3(σ1 n)(σ 2 n) σ1 σ 2 S12 3 1n 2 n σ1 σ 2 1 1 3 1 6( 1n 2 n ) 2( σ1 σ 2 ) 2 2 2 2 2 6Sn 2S 2
证明： （1）
3 2 , σ1 3, ( 1n )2 1 4 1 S s1 s2 (σ1 σ2 ) 2 3 1 ∴ S 2 σ1 σ 2 2 2 1 1 Sn S n (σ1 n σ2 n) ( 1n 2 n ) 2 2 1 1 1 2 2 2 ∴ Sn ( 1n 2 n 2 1n 2 n ) 1n 2 n 4 2 2
6Sn [ Sn , J ] 6[ Sn , J ]Sn 2[ S 2 , J ]
∵
[ S n , S ] [ S n, S ] [ S n , S e ] [ S , S ]n e i S n e (i S n )e i S r r
解： S x ;
1 Sz ; Sz ; 2
1 2
（1）
Sz ; Sx ;
（2）
系统处于 S1z ; S2 x ; 的态上，将其写到 S z 的表象中为
S1z ;
而 S s( s 1)
2
1 S2 z ; S2 z ; 2
其可能值为 0或2 总自旋为零的态可表示为：
批注 [JL1]: The possible values of
1 0 S1z ; S2 z ; S1z ; S2 z ; 2
S2
are
s( s 1)
s:
2
, with
0
1 1 1 S2 z ; S1z ; S1z ; S2 z ; 2 2 2
r S r
故 [ Sn , J ] [ Sn , S ] [ Sn , l ] 0 又 [S 2 , J ] 0 故 [ S12 , J ] 0
6— 8
一个由两个自旋为 1/2 的非全同粒子组成的体系。已知粒子 1 处在 S1z 2 处在 S1x
1 的本征态，粒子 2
1 2 的本征态，取 =1 ，求体系总自旋 S 的可能值及相应的概率。 2
1 1 1 1 0, 1 2 2 2 2
则总自旋 S 2 为 0 的几率是：
The state with the total spin zero is
P 0
2
1 4
s 0, sz 0
3 4
1 S1z , S2 z 2
而总自旋 S 2 为 4 的几率是
The states with the total spin one are
s 1, sz 0
1 S1z , S2 z 2
其中 S12 S1 S2 ， S S12 S3 S1 S2 S3 ，则本征函数取为 S12 , S3 , S , mS ， 定态方程为
s 1, sz 1 S1z , S2 z ,
These four states form a complete set of bases, we then have
H S12 , S3 , S , mS E S12 , S3 , S , mS ，
H AS1 S2 B( S1 S2 ) S3 A 2 B [ S12 S12 S2 2 ] [ S 2 S12 2 S32 ] 。 2 2 A 2 3 B 2 3 [ S12 ] [ S S12 2 ] 2 2 2 4
6— 9
考虑三个自旋为 1/2 的非全同粒子组成的体系。体系的哈密顿量是：
s 1, sz 1 S1Hale Waihona Puke Baidu , S2 z ,
H AS1 S2 B( S1 S2 ) S3
A、B 为实常数，试找出体系的守恒量，并确定体系的能级和简并度（取 1 为单位） 。
2 解：取系统的力学量完全集为 ( H , S12 , S 2 , Sz )
编辑者：霍团长 6— 7
对于两个自旋 1/2 的例子组成的体系，证明张量算符
S12
3 (σ1 r )(σ2 r ) σ1 σ2 r2
和 S 2 及 J 对易。 S 为总自旋， J 是总角动量 J = S + l ，l 是体系的轨迹角动量，在质心坐 标系中， l 的算符形式是：
l r p i r , r = r1 - r2
又 [Sn , S ] [ S n, S ] [ S , S ] n S [n, S ] 0
2 2 2 2
∴ [S12 , S ] 6[ Sn , S ] 6Sn [ Sn , S ] 6[ Sn , S ]Sn 0
2 2 2 2 2
（2）
2 [ S12 , J ] [6Sn 2S 2 , J ] 2 6[ Sn , J ] 2[ S 2 , J ]
E A 3 B 3 [( S12 1) S12 ] [ S ( S 1) S12 ( S12 1) ] 2 2 2 4
where
1 S1z , S2 z , 2 C4 S1z , S 2 z ,
S12 0, 3 E A ，此能级简并度是 2； 4 S 1/ 2,
则
C0
1 S1z , S 2 z , S 2 C1 S1z , S 2 z , C2
3 B 3 A H S12 , S3 , S , mS [(S12 1) S12 ] [ S ( S 1) S12 ( S12 1) ] S12 , S3 , S , mS 2 2 4 2
C0
1 S1z , S2 z , S1z , 2
...
S12 1, 1 E A B ，此能级简并度是 2； 4 S 1/ 2, S12 1, 1 1 E A B ，此能级简并度是 4； 4 2 S 3/ 2,
利用 [l , x ] i x
1 [ S n, lz ] [lz , S x x S y y S z z ] r 1 i ( yS x xS y ) r 1 i (r S ) z r
则 [ Sn , l ] [ S n, l ] i
故有
3 (σ1 r )(σ 2 r ) σ1 σ 2 r2 3(σ1 n)(σ 2 n) σ1 σ 2 S12 3 1n 2 n σ1 σ 2 1 1 3 1 6( 1n 2 n ) 2( σ1 σ 2 ) 2 2 2 2 2 6Sn 2S 2
证明： （1）
3 2 , σ1 3, ( 1n )2 1 4 1 S s1 s2 (σ1 σ2 ) 2 3 1 ∴ S 2 σ1 σ 2 2 2 1 1 Sn S n (σ1 n σ2 n) ( 1n 2 n ) 2 2 1 1 1 2 2 2 ∴ Sn ( 1n 2 n 2 1n 2 n ) 1n 2 n 4 2 2
6Sn [ Sn , J ] 6[ Sn , J ]Sn 2[ S 2 , J ]
∵
[ S n , S ] [ S n, S ] [ S n , S e ] [ S , S ]n e i S n e (i S n )e i S r r
解： S x ;
1 Sz ; Sz ; 2
1 2
（1）
Sz ; Sx ;
（2）
系统处于 S1z ; S2 x ; 的态上，将其写到 S z 的表象中为
S1z ;
而 S s( s 1)
2
1 S2 z ; S2 z ; 2
其可能值为 0或2 总自旋为零的态可表示为：
批注 [JL1]: The possible values of
1 0 S1z ; S2 z ; S1z ; S2 z ; 2
S2
are
s( s 1)
s:
2
, with
0
1 1 1 S2 z ; S1z ; S1z ; S2 z ; 2 2 2
r S r
故 [ Sn , J ] [ Sn , S ] [ Sn , l ] 0 又 [S 2 , J ] 0 故 [ S12 , J ] 0
6— 8
一个由两个自旋为 1/2 的非全同粒子组成的体系。已知粒子 1 处在 S1z 2 处在 S1x
1 的本征态，粒子 2
1 2 的本征态，取 =1 ，求体系总自旋 S 的可能值及相应的概率。 2
1 1 1 1 0, 1 2 2 2 2
则总自旋 S 2 为 0 的几率是：
The state with the total spin zero is
P 0
2
1 4
s 0, sz 0
3 4
1 S1z , S2 z 2
而总自旋 S 2 为 4 的几率是
The states with the total spin one are
s 1, sz 0
1 S1z , S2 z 2
其中 S12 S1 S2 ， S S12 S3 S1 S2 S3 ，则本征函数取为 S12 , S3 , S , mS ， 定态方程为
s 1, sz 1 S1z , S2 z ,
These four states form a complete set of bases, we then have
H S12 , S3 , S , mS E S12 , S3 , S , mS ，
H AS1 S2 B( S1 S2 ) S3 A 2 B [ S12 S12 S2 2 ] [ S 2 S12 2 S32 ] 。 2 2 A 2 3 B 2 3 [ S12 ] [ S S12 2 ] 2 2 2 4
6— 9
考虑三个自旋为 1/2 的非全同粒子组成的体系。体系的哈密顿量是：
s 1, sz 1 S1Hale Waihona Puke Baidu , S2 z ,
H AS1 S2 B( S1 S2 ) S3
A、B 为实常数，试找出体系的守恒量，并确定体系的能级和简并度（取 1 为单位） 。
2 解：取系统的力学量完全集为 ( H , S12 , S 2 , Sz )
编辑者：霍团长 6— 7
对于两个自旋 1/2 的例子组成的体系，证明张量算符
S12
3 (σ1 r )(σ2 r ) σ1 σ2 r2
和 S 2 及 J 对易。 S 为总自旋， J 是总角动量 J = S + l ，l 是体系的轨迹角动量，在质心坐 标系中， l 的算符形式是：
l r p i r , r = r1 - r2
又 [Sn , S ] [ S n, S ] [ S , S ] n S [n, S ] 0
2 2 2 2
∴ [S12 , S ] 6[ Sn , S ] 6Sn [ Sn , S ] 6[ Sn , S ]Sn 0
2 2 2 2 2
（2）
2 [ S12 , J ] [6Sn 2S 2 , J ] 2 6[ Sn , J ] 2[ S 2 , J ]
E A 3 B 3 [( S12 1) S12 ] [ S ( S 1) S12 ( S12 1) ] 2 2 2 4
where
1 S1z , S2 z , 2 C4 S1z , S 2 z ,
S12 0, 3 E A ，此能级简并度是 2； 4 S 1/ 2,
则
C0
1 S1z , S 2 z , S 2 C1 S1z , S 2 z , C2
3 B 3 A H S12 , S3 , S , mS [(S12 1) S12 ] [ S ( S 1) S12 ( S12 1) ] S12 , S3 , S , mS 2 2 4 2
C0
1 S1z , S2 z , S1z , 2
...
S12 1, 1 E A B ，此能级简并度是 2； 4 S 1/ 2, S12 1, 1 1 E A B ，此能级简并度是 4； 4 2 S 3/ 2,
利用 [l , x ] i x
1 [ S n, lz ] [lz , S x x S y y S z z ] r 1 i ( yS x xS y ) r 1 i (r S ) z r
则 [ Sn , l ] [ S n, l ] i