量子力学答案(第二版)苏汝铿第六章课后答案6.7-6#15up @
量子力学答案(第二版)苏汝铿第六章课后答案6#2 @
H 0 z Bz
eBz e Bc o s Sz ( ) me c 2me c
（1）
V (t ) x Bx y By
eB eBx Sx y S y me c me c
e B sin cos t e B sin sin t ( )i ( ) 2me c 2me c
i d c1 (t ) e dt eB c o s t me c
（5）
i
(
e B sin cos t e B sin sin t i )c2 (t ) 2me c 2me c
（6）
同理， （4）式两边同乘以 并利用（2） （3） （5）式得
i d c2 (t ) e dt eB c o s t me c
Bx = B sin q cos wt , By = B sin q sin wt , Bz = B cos q
设 t=0 时自旋在磁场方向上的分量等于 ，求在 t 时刻粒子跃迁到自旋在磁场方向上的分量 等于－
1 2
1 的态中的概率？ 2
解：此系统的 Hamiltonian 能被分解为两部分
H B H 0 V (t )
由两自旋为
1 的粒子系统具有对称三重态和反对称单态，写出其波函数为： 2
c 1 = c 1+ c 2+ c 2 = c 1- c 2c3 = 1 (c 1+ c 2- + c 1- c 2+ ) 2 1 c4 = (c 1+ c 2- - c 1- c 2+ ) (波函数正交归一) 2
量子力学答案(第二版)苏汝铿第六章课后答案6.16-6#8
BX = B sin q cos wt , By = B sin q sin wt , Bz = B cos q
设 t=0 时自旋在磁场方向上的分量等于 等于－ 解：
1 ， 求在 t 时刻粒子跃迁到自旋在磁场方向上的分量 2
1 的态中的概率？ 2
批注 [JL1]:
设该粒子磁矩为m = m0 (s x + s y + s y ), \ H = - m B = - m0 B(s x sin q cos wt , s y sin q sin wt , s y cos q) 骣 cos q sin q cos wt - i sin q sin wt ÷ = - m0 B ç ? ç ÷ ç ÷ sin q cos wt + i sin q sin wt - cos q 桫 骣cos q ＝- m0 B ç ç ç ç sin qeiwt 桫
编辑者：霍团长
1 2 2 me w0 r 中运动，求粒子的能谱. 2 1 e 1 2 2 解：该带电粒子的哈密顿量 H = ( p - A)2 + me w0 r ， 2m c 2 1 1 且 A = ( B ? r ) ，不妨设磁场沿＋y 轴方向，则有 A = （-By,Bx,0） 2 2
6.16 带电粒子在均匀磁场和三维谐振子势场 U (r ) =
c1' = iw1e- iwt c2
量子力学答案(第二版)苏汝铿第六章课后答案6.10-6#16
2 2 1, 0,1,1 1,1,1, 0 。 2 2
1,1,1, 0 Y11 ( , ) 1, 0
Sz
3 sin ei 1, 0 ，此态中 S z 0 ，显然有一个中子的 8
1 ，所以发现的几率为： 2 dP( , ) 1 3 3 sin 2 sin 2 d 2 8 16
取 J 方向的投影并使 J z 为最大值 J 1 ，从而有
1 2
1 2
0.31 n
6.11 一个 介子（赝标粒子、自旋为零、奇宇称）最初被束缚在氘核周围，并处在最低库 仑能态上。它被氘核（一个质子和一个中子处在 3S1 态中）俘获，并使氘核转变为一对中子：
d nn。
G(l 4) 混入.
(iii)对于纯 D 态, 总自旋 S=1, 轨道角动量(对 n,p 质心)L=2 总的磁矩应该等于总自旋的磁矩 , 与轨道角动量的磁矩 i 的耦合 总自旋 S S p S n
l p n
( p 和 n 分别为 p 和 n 的自旋磁矩)
把总 , 沿总 S 方向投影取平均, 有
(g p n S p gn n Sn ) S 1 l S ( g p g n ) n S S ( S 1) 2
量子力学答案(第二版)苏汝铿第六章课后答案6.7-6#5
H AS1 S2 B(S1 S2 ) S3
A、B 为实常数，度找出体系的守恒量，并确定体系的能级和简并度（取 1 为单位） 。 解： 粒子 1、2 自旋之和记为 S12 ，总自旋记为 S123 ，即
S12 S1 S2 , S123 S1 S2 S3 ，
显然， S12 、 S123 都具有角动量的性质，满足
我们可以将 H 写成
H ( A B) S1 S2 B( S1 S2 S2 S3 S3 S1 ) 1 B 2 3 2 ( A B) S 12 S 123 (2 A B) 2 2 8
由于 S 12 和 S12 对易，和 S3 对易，所以 S 12 和 S 123 对易。由上式可知，H 和 S 12 、 S 123 、S 123 对易，即它们都是守恒量。 我们可取 ( S 12 , S 123 ,( S123 ) z ) 作为守恒量完全集，前二者本征值为
1 0 1 1 S1z 的单粒子自旋态记为 (1), (1) ，在 Pauli 表象中 ， 。S2 x 的 2 2 0 1
单粒子自旋态为
(2)
1 1 1 [ (2) (2)] 2 1 2 2
因此体系的自旋态为
r 1 1 ] e [l , S x ] e ( S [ x , l ] x [ S , l ]) r r r i i e S x e x S r r
量子力学答案(第二版)苏汝铿第六章课后答案6.7-6#15
证明： （1）
3 2 , σ1 3, ( 1n )2 1 4 1 S s1 s2 (σ1 σ2 ) 2 3 1 ∴ S 2 σ1 σ 2 2 2 1 1 Sn S n (σ1 n σ2 n) ( 1n 2 n ) 2 2 1 1 1 ∴ Sn 2 ( 1n 2 2 n 2 2 1n 2 n ) 1n 2 n 4 2 2
又 [Sn , S ] [ S n, S ] [ S , S ] n S [n, S ] 0
2 2 2 2
∴ [S12 , S ] 6[ Sn , S ] 6Sn [ Sn , S ] 6[ Sn , S ]Sn 0
2 2 2 2 2
（2）
2 [ S12 , J ] [6Sn 2S 2 , J ] 2 6[ Sn , J ] 2[ S 2 , J ]
利用 [l , x ] i x 得
r [ Sn , l ] i S r
故 [ Sn , J ] [ Sn , S ] [ Sn , l ] 0 又 [S 2 , J ] [S 2 , l S] [S 2 , S] 0
6— 8
一个由两个自旋为 1/2 的非全同粒子组成的体系。已知粒子 1 处在 S1z 2 处在 S1x
编辑者：霍团长 6— 7
对于两个自旋 1/2 的例子组成的体系，证明张量算符
苏汝铿量子力学(第二版)课后习题(含答案)---第五章5.10-5.12#5(延边大学)三年级
5.10 一个粒子处在二维无限深势阱0 ,(,) x y a V x y <⎧=⎨
∞⎩（0<）
（其他）
中运动，现加上微扰
,H (0,)xy x y a λ=≤≤，求基态能量和第一激发态的能量修正值。
解：粒子的哈密顿量是
,0H H H =+
2
22
022,()(,)
2 (0,)
H V x y m x y H xy x y a λ∂∂=-++∂∂=≤≤ 0H 的本征值和本征函数，即能量和波函数的零级近似是：
12122
2022(,)
12122
120(,)
() 22
sin()sin() ,0 n n n n E
n n n n ma
n n x y x y a a a a πππψ=
+⎧<⎪⎨⎪⎩（）
（）
（,=1,2,3）
（0<）＝（其他）
对于基态，即2
2
0012(1,1)
(1,1)
22,sin()sin()n n E
x y ma a a a
πππψ=
（）
（）
=1,=1,＝， 记2
2
00000
(1,1)
0(1,1)
22,sin()sin()E
E
x y ma a a a
πππψψ==
=（）
（）（）（）
＝此时，非简并。 故：
(1),(0),(0)
0000020
2
||2[sin()sin()]4
a
a
E H H xy x y dxdy a
a
a
a ψψππ
λλ==<>
==
⎰⎰
即基态能量的一级修正为2
4
a λ。
对于第一激发态，即
220012(1,2)
(1,2)
222
0012(2,1)(2,1)2
522sin()sin()2522sin()sin()2n n E x y ma a a a
苏汝铿统计物理答案
苏汝铿统计物理答案
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12 多粒子系统的量子理论
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16 相对论（索末菲）
17 相对论的意义
18 算法大全
19 相对论量子场
20 相对论量子力学
21 引力论与宇宙论
22 自然哲学之数学原理宇宙体系
23 物理学进展2001
24 history of modern physics
25 nobel lectures(1998--2001)
26 numerical recipes in c
27 phy question
28 physics review letter(vol74-vol86)
29 thermal physics
30 topics appl. phys vol 80 carbon nanotubes
31 trends in colloid and interface science xiv
量子力学答案(第二版)苏汝铿第六章课后答案6.1-6#13
a1 cos a2 (cos i cos ) a1 a1 (cos i cos ) a2 cos a2
求解此方Fra Baidu bibliotek可得
cos i cos a1 cos i cos a1 a2 ，于是得 a2 1 cos ，归一化得 S n 相应于本征值 1 cos a2 1
利用本征函数的正交性可知 J x 0 ，同理有 J y 0 ，于是有
J z j, m J z j, m cos j, m J x j, m cos j, m J y j, m cos j, m J z j, m
m cos j, m j, m m cos
6.3 求下列状态中算符 J 2 , J z 的本征值( J = L + S ): (i) y 1 = c 1 (S z )Y 11(q, j )
2
J 2 = j ( j + 1)h 2 =
35 2 15 2 h = h 22 4 3 J z = (Lz + S z )h = h 2
量子力学教程（二版）习题答案
第一章 绪论
1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：
C m b b
T
m
3109.2 ,×´==-l 。
证明：由普朗克黑体辐射公式：由普朗克黑体辐射公式：
n n p n
r n n
d e
c h
d kT
h 1
183
3
-=
， 及l
n c
=
、l l
n d c d 2
-=得
1
185
-=
kT
hc
e
hc l l l p r ，
令kT hc x l =，再由0=l r l d d ，得l .所满足的超越方程为所满足的超越方程为
1
5-=x x e xe
用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kT hc m l ，将数据代入求得C m 109.2 ,03×´==-b b T m
l 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ,求de Broglie 波长.
解：0
10A 7.09m 1009.72=´»==-mE
h p h l #
1.3. 氦原子的动能为kT E 2
3
=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。波长。
解：010A 63.12m 1063.1232=´»===-mkT h mE h p h l
其中kg 1066.1003.427-´
´=m ，1
23K J 1038.1--×´=k #
1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123
T J 10923.0--×´=B m ，求动能的量子化间隔E D ，并与
量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.7-5#4
对于 ， 易算出 H 的矩阵元为
H H
4 256 H H a2 4 81
a2
在 , 子空间中， H 的矩阵元表示为
H
4
1 a2 1024 81 4
1024 81 4 1
5.8 一维无限深势阱（ 0 x a ）中的粒子，受到微扰
x 2 a H 2 (1 x ) a
a (0 x ) 2 a ( x a) 2
作用，求基态能量的一级修正值。
解：
基态波函数（零级近似）为
1( 0 )
1( 0 ) 0
∴能量一级修正为
2 sin x a a
x ( 0 a
x x ( a
)
0, )
0 ) E1( 1 ) 1 (* H
1
( 0 ) d x
2 a/2 x 2 2 a x 2 sin xdx 2 (1 )sin 2 xdx 0 a / 2 a a a a a a
m x3 n m x k k x l l x n H mn
k ,l
3 3 n(n 1)(n 2) m,n3 3n 2 m,n1 3(n 1) 2 m,n1 (n 1)(n 2)(n 3) m,n3 3 ( 2 )
量子力学答案(第二版)苏汝铿第六章课后答案6.13-6#1
e p ， e 方向随着点变化，而且它们对 的导数也不是零，经典力学中已经证明：
d e p e d
，
d e e p d
批注 [JL7]:
d e p e d
计及单位矢导数计算哈氏算符得
1 qB ˆ 1 ( p q A) 2 1 H ( )e e e z 2 c 2 i i 2c i z 1 qB ( )e e e z i 2c i z i z 1 2
状态的自旋波函数是： 1 1 2 ， 2 S 1 2 C12 ， 3 C1 2 S12 ， 4 1 2 ，其
批注 [JL3]:
H E / 41 2 1 2
中
z i i i
1
，
z i i i
批注 [JL1]: 应为 S z
Sz
2
， Sz
2
在 t 0 时，体系状态是
(t 0) 。这一粒子沿 y 轴运动，通过一沿 y 轴方向的均匀磁场
B B0 j 。
(ⅰ)、求
(t ) ，用 和 来表示。
(ⅱ)、 S x 、 S y 、 S z 作为时间函数的表达式。
Ht
量子力学课后答案
•
第一章 绪论 •
第二章 波函数和薛定谔方程 •
第三章 力学量的算符表示 •
第四章 态和力学量的表象 •
第五章 微扰理论 •
第六章 弹性散射 • 第七章 自旋和全同粒子
1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 03109.2 ,⋅⨯==-λ。 证明：由普朗克黑体辐射公式： ννπνρννd e c h d kT h 11833-=， 及λνc =、λλνd c d 2-=得 1185-=kT hc e hc λλλπρ， 令kT
hc x λ=，再由0=λρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 15-=x x e xe 用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kT hc m λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03⋅⨯==-b b T m λ 第一章
绪论 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长. 解：010A 7.09m 1009.72=⨯≈==-mE h p h λ # 1.3. 氦原子的动能为kT E 23=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。 解：010A 63.12m 1063.1232=⨯≈===-mkT h mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-⨯⨯=m ，123K J 1038.1--⋅⨯=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：
（1）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--⋅⨯=B μ，求动能的量子化间隔E ∆，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.10-2#07
求粒子连续贯穿两个方垫垒的贯穿系数。 解：在只有一个方势垒的情况下，利用薛定谔方程和边界条件通过解四元一次方程组 得透射波与反射波的“振幅” （用入射波的“振幅”来表示） ，再利用透射系数和反射系数的 定义即可求解得 D1 e
2 2 m (U1 E )a
批注 [JL1]:
。
你应当按正常步骤解。你没有解出， 怎知是 8 次方程；即使是，也是在得 到方程后在找近似解或数值解。
Pn
能量的平均值为：
Cn
n 1
2
2
Cn
Cn
2
240 1 1 n
6 6
n 2
,
n 1, 2...
E En Cn E2 n 1 C2 n 1
2 n 1 n 0
2
n 0
2n 1 2
2
2
960
2ma 2
1
6
6
2n 1
C
n 1
*
n
Cn * x x dx 1
0
a
而由分部积分可求得 因此
Cn
a
0
x x a sin
n 2a 3 n xdx 3 3 1 1 a n
240 n 1 1 3 3 n
量子力学答案(第二版)苏汝铿第六章课后答案6.4-6#14 @
2
1 0
解：一般地有
2 (S x )2 S x S x 2 2 (S y )2 S y S y 2
对于自旋态 1 S z ，
j '2 ( j ' 1)2 j 2 j 1 2 jj '( j 1)( j ' 1) 2 j '( j ' 1) 2 j ( j 1) 0
2
上式可以化为 （ [ j ' j 1)2 1][( j ' j )2 1] 0
由于j ' j 1 1, 所以j j ' j 1
等式右边
[ j ' m ' J
j " m"
z
j " m " j " m " J1 jm j ' m ' J1 j " m " j " m " J jm ]
m ' j ' m ' J1 jm m j ' m ' J1 jm 0
（ii）由对易关系 J z , J1 J1 即 J z J1 J1 J z J1 对上式两边取 j ' m '
量子力学答案(第二版)苏汝铿第六章课后答案6.1-6#3
m Lx m m Ly m 0
Lz m Lz m m Lx m cos x, z m Ly m cos y, z m Lz m cos m Lz m cos m cos
6.2 求自旋角动量在任意方向 n (方向余弦是 (cos , cos , cos ) )的投影
2
（ ii） 2 （ iii） 3
1 2 1 ( S z )10 ( , ) 1 ( S z )11 ( , ) 3 2 2 1 2 1 ( S z )10 ( , ) 1 ( S z )11 ( , ) 3 2 2
ˆ S ˆ cos S ˆ cos S ˆ cos 的本征值和本征函数. S n x y z
ˆ 的矩阵元为 S ˆ 表象, S ˆ 解:在 S z n n
cos Sn 2 cos i cos
其相应的久期方程为
0 1 0 i 1 0 cos cos cos 2 1 0 2i 0 2 0 1
2
2
4
0,
2
ˆ 的本征值为 所以 S n
设对应与 S n
. 2
a 的本征函数的矩阵表示为 1 ( S n ) b 2 2
苏汝铿量子力学答案1-8章
C (k ) 在点 k k0 周围宽度为 k 的一个小区域内有一个明显的峰值， 只有当相位 在小
区域内基本上保持不变时， 才有最大值。 的极值点满足
(
即
ki
)c 0
（i=1、2、3）
x ci
d d t 0 dki dki dx ci d dt dki
（i=1、2、3）
ni h
p dx
i
i
pi dxi pi ai ,
0
ai
i 1, 2,3
因而 pi 则有
ni h , ai
i 1, 2,3
px
ni h , a
i 1, 2,3
py
pz
njh b
,
j 1, 2,3
k 1, 2,3
nk h , c
p2 又有 E , 2m
e
dk
积分上式可得
( x, t ) e
i ( k0 ) t
1 4
1 i t
2
exp[
( x vg t ) 2 2 2(1 i 2t ) exp[
]eik0 x
则
( x, t )
2
1 2
( x vg t ) 2 2 1 2 4t 2
8 h 3 d 3 h / kT d c e 1
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故有
3 (σ1 r )(σ 2 r ) σ1 σ 2 r2 3(σ1 n)(σ 2 n) σ1 σ 2 S12 3 1n 2 n σ1 σ 2 1 1 3 1 6( 1n 2 n ) 2( σ1 σ 2 ) 2 2 2 2 2 6Sn 2S 2
证明： （1）
3 2 , σ1 3, ( 1n )2 1 4 1 S s1 s2 (σ1 σ2 ) 2 3 1 ∴ S 2 σ1 σ 2 2 2 1 1 Sn S n (σ1 n σ2 n) ( 1n 2 n ) 2 2 1 1 1 2 2 2 ∴ Sn ( 1n 2 n 2 1n 2 n ) 1n 2 n 4 2 2
6Sn [ Sn , J ] 6[ Sn , J ]Sn 2[ S 2 , J ]
∵
[ S n , S ] [ S n, S ] [ S n , S e ] [ S , S ]n e i S n e (i S n )e i S r r
解： S x ;
1 Sz ; Sz ; 2
1 2
（1）
Sz ; Sx ;
（2）
系统处于 S1z ; S2 x ; 的态上，将其写到 S z 的表象中为
S1z ;
而 S s( s 1)
2
1 S2 z ; S2 z ; 2
其可能值为 0或2 总自旋为零的态可表示为：
批注 [JL1]: The possible values of
1 0 S1z ; S2 z ; S1z ; S2 z ; 2
S2
are
s( s 1)
s:
2
, with
0
1 1 1 S2 z ; S1z ; S1z ; S2 z ; 2 2 2
r S r
故 [ Sn , J ] [ Sn , S ] [ Sn , l ] 0 又 [S 2 , J ] 0 故 [ S12 , J ] 0
6— 8
一个由两个自旋为 1/2 的非全同粒子组成的体系。已知粒子 1 处在 S1z 2 处在 S1x
1 的本征态，粒子 2
1 2 的本征态，取 =1 ，求体系总自旋 S 的可能值及相应的概率。 2
1 1 1 1 0, 1 2 2 2 2
则总自旋 S 2 为 0 的几率是：
The state with the total spin zero is
P 0
2
1 4
s 0, sz 0
3 4
1 S1z , S2 z 2
而总自旋 S 2 为 4 的几率是
The states with the total spin one are
s 1, sz 0
1 S1z , S2 z 2
其中 S12 S1 S2 ， S S12 S3 S1 S2 S3 ，则本征函数取为 S12 , S3 , S , mS ， 定态方程为
s 1, sz 1 S1z , S2 z ,
These four states form a complete set of bases, we then have
H S12 , S3 , S , mS E S12 , S3 , S , mS ，
H AS1 S2 B( S1 S2 ) S3 A 2 B [ S12 S12 S2 2 ] [ S 2 S12 2 S32 ] 。 2 2 A 2 3 B 2 3 [ S12 ] [ S S12 2 ] 2 2 2 4
6— 9
考虑三个自旋为 1/2 的非全同粒子组成的体系。体系的哈密顿量是：
s 1, sz 1 S1Hale Waihona Puke Baidu , S2 z ,
H AS1 S2 B( S1 S2 ) S3
A、B 为实常数，试找出体系的守恒量，并确定体系的能级和简并度（取 1 为单位） 。
2 解：取系统的力学量完全集为 ( H , S12 , S 2 , Sz )
编辑者：霍团长 6— 7
对于两个自旋 1/2 的例子组成的体系，证明张量算符
S12
3 (σ1 r )(σ2 r ) σ1 σ2 r2
和 S 2 及 J 对易。 S 为总自旋， J 是总角动量 J = S + l ，l 是体系的轨迹角动量，在质心坐 标系中， l 的算符形式是：
l r p i r , r = r1 - r2
又 [Sn , S ] [ S n, S ] [ S , S ] n S [n, S ] 0
2 2 2 2
∴ [S12 , S ] 6[ Sn , S ] 6Sn [ Sn , S ] 6[ Sn , S ]Sn 0
2 2 2 2 2
（2）
2 [ S12 , J ] [6Sn 2S 2 , J ] 2 6[ Sn , J ] 2[ S 2 , J ]
E A 3 B 3 [( S12 1) S12 ] [ S ( S 1) S12 ( S12 1) ] 2 2 2 4
where
1 S1z , S2 z , 2 C4 S1z , S 2 z ,
S12 0, 3 E A ，此能级简并度是 2； 4 S 1/ 2,
则
C0
1 S1z , S 2 z , S 2 C1 S1z , S 2 z , C2
3 B 3 A H S12 , S3 , S , mS [(S12 1) S12 ] [ S ( S 1) S12 ( S12 1) ] S12 , S3 , S , mS 2 2 4 2
C0
1 S1z , S2 z , S1z , 2
...
S12 1, 1 E A B ，此能级简并度是 2； 4 S 1/ 2, S12 1, 1 1 E A B ，此能级简并度是 4； 4 2 S 3/ 2,
利用 [l , x ] i x
1 [ S n, lz ] [lz , S x x S y y S z z ] r 1 i ( yS x xS y ) r 1 i (r S ) z r
则 [ Sn , l ] [ S n, l ] i