2017-2018学年高中数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系第二课时直线与圆的位置关系(习题课)学案(

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高二数学必修二第四章圆与圆的方程知识点总结

第四章圆与方程★1、圆的定义：平面内到肯定点的间隔等于定长的点的集合叫做圆，定点圆心，定长为圆的半径。

设M （x,y ）为⊙A 上随意一点，则圆的集合可以写作：P = {M |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。

确定一个圆须要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，须要求出D ，E ，F ；干脆法：干脆依据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。

另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。

★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种状况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的间隔为22B AC Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔< （2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线间隔 =半径，求解k ，②若求得两个一样的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此时，该直线肯定为另一条切线）(3)22=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的与（差），与圆心距（d ）之间的大小比拟来确定。

4.2.1《直线与圆的位置关系》PPT课件

巩固练习：
①判断直线４x－３y=50与圆 x 2 y 2 100的位置关系．如
果相交，求出交点坐标．
解：因为圆心O（0，0）到直线４x－３y=50
| 0 0 50 |
的距离d=
5
= 10
而圆的半径长是10，所以直线与圆相切。圆心与切点连线所得直线的方程为3x+4y=0
解方程组
4x 3x
3 4
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时间：XX年XX月XX日
A2 B2
直线与圆的位置关系
在2009年08月08日台凤莫拉克袭击宝岛台湾时，
一艘轮船在沿直线返回泉州港口的途中，接到气象台
的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响
的范围是半径长为30km的圆形区域．已知泉州港口位
于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，
那么它是否会受到台风莫拉克的影响？ y
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
为解决这个问题，我们以台
港口
风中心为原点 O，东西方向为
x 轴，建立如图所示的直角坐标系，其中取 10km 为单位长
O
轮船 x
度．
直线与圆的位置关系
这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆

人教新课标A版高一数学《必修2》4.2.1 直线与圆的位置关系

圆心到直线的距离等于半径求解．
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题解析:
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题解析:
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题
2＋y2＝13上， (1) 解法 3 ： ∵ ( － 3,2) 在圆 x 解析: ∴切线方程为－3x＋2y＝13.
即3x－2y＋13＝0.
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题解析:
谢谢大家！
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题解析:
题后反思： (1)由于过某一定点的直线有两类：斜率存在，斜率不存在，
故过某一点做圆的切线，求切线方程时要分情况讨论．
(2)求切线一般有三种方法：①设切点坐标用切线公式：过圆
(x－a)2＋ (y－b)2＝ r2上一点(x0，y0) 的切线方程为 (x－a)(x0－a) ＋
【提示】
相交、相切、相离
探究点1
直线和圆的位置关系
【问题1】如果直线与圆相交，它们的公共点有几个？如果是相切或相离又是如何呢？
【提示】
相交2个、相切1个、相离0个
探究点1
直线和圆的位置关系
r d d
r
r d
【提示】
相交⇔d<r；相切⇔d=r；相离⇔d>r
探究点1
直线和圆的位置关系
【提示】
相交⇔方程有2个不同实数解⇔ Δ>0；
(y0 － b)(y － b) ＝ r2 ；②设切线方程，用判别式法；③设切线方程，
用圆心到切线的距离等于半径，但要注意斜率不存在的情况．
典例精讲：题型三：弦长问题例3 过点P(4，－4)的直线l被圆C:x2+y2－2x－4y－20=0截得的弦AB 的长度为8，求直线l的方程. 分析:设出直线l的方程，由圆心到直线的距离d与圆的半径及半弦长

高考数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系课件新人教A版必修2

k2＋1· x1＋x22－4x1x2＝ k2＋1|x1－x2|.
3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条.
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编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
|1＋4－5＋ 5|
圆心 C 到直线 AB 的距离 d＝|CP|＝
12＋22 ＝1.
在 Rt△ACP 中，|AP|＝ r2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.
解析答案
数学思想
数形结合思想
例 4 直线 y＝x＋b 与曲线 x＝ 1－y2有且只有一个交点，则 b 的取值范
围是( ) A.|b|＝ 2 C.－1≤b＜1
线的距离等于
12－222＝0，即圆心(1，2)位于直线 kx－y＝0 上.
于是有k－2＝0，即k＝2，
因此所求直线方程是2x－y＝0.
解析答案
课堂小结 1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷. 2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去 y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长 l＝
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题型探究
重点突破
题型一直线与圆的位置关系的判断例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0. 当m为何值时，圆与直线 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点.

人教版高中数学必修2第四章《4.2直线、圆的位置关系：4.2.1 直线与圆的位置关系》教学PPT

2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm ; 2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm.
例1、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C 的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标。
相交
△＞0
r ＞d
O
x
当-2 2<b<2 2 时，⊿>0, 直线与圆相交；
当b=2 2或 b=-2 2 时, ⊿=0, 直线与圆相切；
当b>2 2或b<-2 2 时，⊿<0，直线与圆相离。
㈠方法探索
y 解法二(利用d与r的关系)：圆x2+y2=4的圆心为（0，0）,半径为r=2
00b b
圆心到直线的距离为 d
(3)△＜0 直线与圆径相r离的. 大小关系直线与圆没有交点
方法3：代数性质
2、相切 (d=r)
直线与圆有一个交点
3、相交 (d<r)
直线与圆有两个交点
设圆 C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，直线L的方程为 Ax+By+C=0，
(x-a)2+(y-b)2=r2
Ax+By+C=0
练习与例题
1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ： 1)若d=4.5cm ,则直线与圆相交, 直线与圆有___2_个公共点. 2)若d=6.5cm ,则直线与圆__相__切__, 直线与圆有___1_个公共点. 3)若d= 8 cm ,则直线与圆__相__离__, 直线与圆有___0_个公共点.

高中数学第四章圆与方程 4.2 4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用学

4.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用目标定位 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.3.理解坐标法解决几何问题的一般步骤.自主预习1.圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2| d<|r1－r2|(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含2.用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：即时自测1.判断题(1)两圆无公共点，则两圆外离.( ×)(2)两圆有且只有一个公共点，则两圆内切和外切.(√)(3)设两圆的圆心距为l ，两圆半径长分别为r 1，r 2，则当|r 1－r 2|＜l ＜r 1＋r 2时，两圆相交.(√)(4)两圆外切时，有三条公切线：两条外公切线，一条内公切线.(√) 提示 (1)两圆无公共点，则两圆外离和内含.2.圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( ) A.相离B.相交C.外切D.内切解析圆O 1的圆心坐标为(1，0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0，2)，半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1<|O 1O 2|＝5<r 1＋r 2＝3，即两圆相交. 答案 B3.圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋10y ＋13＝0的公切线的条数是( ) A.1B.2C.3D.4解析两圆的圆心坐标和半径分别为(－2，2)，(2，－5)，1，4，圆心距d ＝（－2－2）2＋（2＋5）2＞8，1＋4＝5＜8，∴两圆相离，公切线有4条. 答案 D4.两圆x 2＋y 2＝r 2与(x －3)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)外切，则r 的值是________.解析由题意可知（3－0）2＋（－1－0）2＝2r ，∴r ＝102. 答案102类型一与两圆相切有关的问题【例1】求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程. 解设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则（a －1）2＋b 2＝r ＋1，①b ＋3a －3＝3，② |a ＋3b |2＝r .③ 联立①②③解得a ＝4，b ＝0，r ＝2，或a ＝0，b ＝－43，r ＝6，即所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36. 规律方法两圆相切时常用的性质有：(1)设两圆的圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1、r 2，则两圆相切⎩⎪⎨⎪⎧内切⇔|O 1O 2|＝|r 1－r 2|外切⇔|O 1O 2|＝r 1＋r 2(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦). 【训练1】求与圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相切于点A (4，－1)且半径为1的圆的方程. 解设所求圆的圆心为P (a ，b )，则（a －4）2＋（b ＋1）2＝1.①(1)若两圆外切，则有（a －2）2＋（b ＋1）2＝1＋2＝3，②联立①②，解得a ＝5，b ＝－1，所以，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1； (2)若两圆内切，则有（a －2）2＋（b ＋1）2＝|2－1|＝1，③联立①③，解得a ＝3，b ＝－1，所以，所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 综上所述，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 类型二与两圆相交有关的问题(互动探究)【例2】已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0.(1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度. [思路探究]探究点一当两圆相交时，其公共弦所在直线的方程是什么？提示两圆的方程相减即可得公共弦所在直线的方程. 探究点二如何求公共弦长？提示 (1)代数法：将两圆的方程联立，求出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求弦长. (2)几何法：求出公共弦所在的直线方程，半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的三边长，利用勾股定理求弦长.解 (1)将两圆方程配方化为标准方程，C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50， C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10，则圆C 1的圆心为(1，－5)，半径r 1＝52，圆C 2的圆心为(－1，－1)，半径r 2＝10.又∵|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10，r 1－r 2＝52－10， ∴r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2，∴两圆相交.(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x －2y ＋4＝0. (3)法一由(2)知圆C 1的圆心(1，－5)到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×（－5）＋4|1＋（－2）2＝35， ∴公共弦长l ＝2r 21－d 2＝250－45＝2 5.法二设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.即A (－4，0)，B (0，2).所以|AB |＝（－4－0）2＋（0－2）2＝25，即公共弦长为2 5.规律方法 1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.2.公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.【训练2】已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.解设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0， ①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0 ②的解， ①－②得：3x －4y ＋6＝0. ∵A ，B 两点坐标都满足此方程，∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C 1的圆心(－1，3)，半径r 1＝3. 又C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋（－4）2＝95. ∴|AB |＝2r 21－d 2＝232－⎝ ⎛⎭⎪⎫952＝245.即两圆的公共弦长为245.类型三直线与圆的方程的应用【例3】一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9，港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)，则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y4＝1，即4x ＋7y －28＝0.圆心(0，0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d>r，∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响.规律方法解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：【训练3】台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为( )A.0.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时解析以台风中心A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则台风中心在直线y＝x上移动，又B(40，0)到y＝x的距离为d＝202，由|BE|＝|BF|＝30知|EF|＝20，即台风中心从E到F时，B城市处于危险区内，时间为t＝20千米20千米/时＝1小时.故选B.答案 B[课堂小结]1.判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作.2.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：1.圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为( ) A.(1，0)和(0，1) B.(1，0)和(0，－1) C.(－1，0)和(0，－1)D.(－1，0)和(0，1)解析由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0；解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0. 答案 C2.圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( ) A.x ＋y －1＝0 B.2x －y ＋1＝0 C.x －2y ＋1＝0D.x －y ＋1＝0解析直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此它的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1，0)，方程为y ＝－(x －1)，即两圆连心线. 答案 A3.已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程是________.解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10，x 2＋y 2－2x －6y ＝10⇒2x ＋6y ＝0，即x ＋3y ＝0. 答案 x ＋3y ＝04.已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，当m 的取值满足什么条件时，圆C 1与圆C 2相切？解对于圆C 1与圆C 2的方程，化为标准方程得C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，所以两圆的圆心分别为C 1(m ，－2)，C 2(－1，m )，半径分别为r 1＝3，r 2＝2，且|C 1C 2|＝（m ＋1）2＋（m ＋2）2.当圆C 1与圆C 2相外切时，则|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即（m ＋1）2＋（m ＋2）2＝3＋2，解得m ＝－5或m ＝2.当圆C 1与圆C 2相内切时，则|C 1C 2|＝|r 1－r 2|，即（m ＋1）2＋（m ＋2）2＝|3－2|，解得m ＝－1或m ＝－2.综上可知，当m ＝－5或m ＝2或m ＝－1或m ＝－2时，两圆相切.基础过关1.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A.内切B.相交C.外切D.相离解析两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交. 答案 B2.若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m 等于( ) A.21B.19C.9D.－11解析圆C 2的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m . 又圆C 1：x 2＋y 2＝1，∴|C 1C 2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m ，解得m ＝9. 答案 C3.一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( ) A.1.4米B.3.5米C.3.6米D.2米解析建立如图所示的平面直角坐标系.如图设蓬顶距地面高度为h ，则A (0.8，h －3.6)半圆所在圆的方程为：x 2＋(y ＋3.6)2＝3.62把A (0.8，h －3.6)代入得0.82＋h 2＝3.62.∴h ＝40.77≈3.5(米).答案 B4.两圆x 2＋y 2－x ＋y －2＝0和x 2＋y 2＝5的公共弦长为________.解析由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x ＋y －2＝0，x 2＋y 2＝5，①②②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x －y －3＝0， ∴圆x 2＋y 2＝5的圆心到该直线的距离为d ＝|－3|1＋（－1）2＝32，设公共弦长为l ，∴l ＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝ 2. 答案25.已知圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为________.解析圆C 2可化为(x ＋2)2＋(y －2)2＝4，则圆C 1，C 2的圆心为C 1(0，0)，C 2(－2，2)，所以C 1C 2的中点为(－1，1)，kC 1C 2＝2－0－2－0＝－1，所以所求直线的斜率为1，所以直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0. 答案 x －y ＋2＝06.求与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－22，半径为2的圆的方程.解设所求圆的圆心为C (a ，b )，则所求圆的方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝4.∵两圆外切，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－22，∴|OC |＝1＋2＝3，|CP |＝2.∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝9，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋322＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－332. ∴圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332，故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋3322＝4.7.已知圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0.求： (1)它们的公共弦所在直线的方程； (2)公共弦长.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，两方程相减，得公共弦所在直线方程为2x ＋y －5＝0. (2)圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0的圆心C 1的坐标为(5，5)，半径r ＝52，又点C 1到相交弦的距离d ＝|2×5＋5－5|22＋12＝2 5. ∴公共弦长为2（52）2－（25）2＝230.能力提升8.设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C 1C 2|等于( ) A.4B.4 2C.8D.8 2解析 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4，1)， ∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等. 设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2，即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17. ∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32， ∴|C 1C 2|＝（a －b ）2＋（a －b ）2＝32×2＝8. 答案 C9.以圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为( )A.(x －1)2＋(y －1)2＝1 B.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －652＝45解析两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0，因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等，排除C ，D 选项，画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限，排除A.故选B. 答案 B10.与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________.解析曲线化为(x －6)2＋(y －6)2＝18，其圆心C 1(6，6)到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|6＋6－2|2＝5 2.过点C 1且垂直于x ＋y －2＝0的直线为y －6＝x －6，即y ＝x ，所以所求的最小圆的圆心C 2在直线y ＝x 上，如图所示，圆心C 2到直线x ＋y －2＝0的距离为52－322＝2，则圆C 2的半径长为 2.设C 2的坐标为(x 0，x 0)，则|x 0＋x 0－2|2＝2，解得x 0＝2(x 0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2，2)，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.答案 (x －2)2＋(y －2)2＝211.已知隧道的截面是半径为4 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m ，高为3 m 的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m ，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？解以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为x 2＋y 2＝16(y ≥0).将x ＝2.7代入，得y ＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m 处，隧道的高度低于货车的高度.因此，货车不能驶入这个隧道.将x ＝a 代入x 2＋y 2＝16(y ≥0)得y ＝16－a 2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a 2m.探究创新12.已知圆C 1：x 2＋y 2－4x －2y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6x －y －9＝0.(1)求证：两圆相交；(2)求两圆公共弦所在的直线方程；(3)在平面上找一点P ，过点P 引两圆的切线并使它们的长都等于6 2.(1)证明圆C 1：(x －2)2＋(y －1)2＝10，圆C 2：(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝734. ∵|C 1C 2|＝（2－3）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝52.且732－10＜52＜732＋10， ∴圆C 1与圆C 2相交.(2)解联立两圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －2y －5＝0，x 2＋y 2－6x －y －9＝0， ∴两圆公共弦所在的直线方程为2x －y ＋4＝0.(3)解设P (x ，y )，由题意，得⎩⎨⎧2x －y ＋4＝0，x 2＋y 2－6x －y －9＝（62）2，解方程组，得点P 的坐标为(3，10)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－265.。

第4章 4.2.2圆与圆的位置关系

解依题意所求的圆的圆心在已知两圆的圆心的连心线
本
讲栏
上，又已知圆的圆心分别为(－3,0)和(0，－3)．则连心
目开
线的方程是x＋y＋3＝0.
关
由xx＋－yy＋－34＝＝00 解得yx＝＝－12 72
.所以所求圆的圆心坐标
是(12，－72)．
研一研·问题探究、课堂更高效
4.2.2
设所求圆的方程是x2＋y2－x＋7y＋m＝0.由三个圆有同一
本
解设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，将x2＋
讲栏
y2－2x＝0化为标准形式(x－1)2＋y2＝1，由题意可得
目开关
a－12＋b2＝r＋1，
|a＋ 2
3b|＝r，
解得 ab＝＝40，，
a＝0，或b＝－4 3
ba＋－33·－ 13＝－1.
r＝2.
r＝6.
故所求的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4 3)2＝36.
栏
目问题1 圆与圆的位置关系有几类？
开
关答有内含、内切、相交、外切、外离五种．
研一研·问题探究、课堂更高效
4.2.2
问题2 如何利用几何性质判断圆与圆的位置关系？
答设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依
据有以下几点：
本讲
(1)当l＞r1＋r2时，圆C1与圆C2相离；
栏目
(2)当l＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；
4.2.2
4.2.2 圆与圆的位置关系
【读一读学习要求，目标更明确】
1．知道两圆间的位置关系有：外离、外切、相交、内切、
内含 5 种；
本讲
2．能根据两圆的圆心距与半径之间的关系迅速判断出两圆

高中数学圆与方程直线、圆的位置关系直线与圆的位置关系教材梳理素材

4。

2.1 直线与圆的位置关系疱丁巧解牛知识·巧学一、直线与圆的位置关系的判断方法一：代数法(或Δ法）将直线的方程与圆C 的方程联立，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程。

（1）当Δ＞0时,方程有两解，此时方程组也有两组实数解，说明直线l 与圆C 相交;(2)当Δ=0时,方程有唯一解,此时方程组也有唯一一组解,说明直线l 与圆C 相切；（3)当Δ＜0时，方程无实数解，从而方程组也无解，说明直线l 与圆C 相离.方法二：几何法判断圆C 的圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系。

（1）如果d 〈r,直线l 与圆C 相交;(2）如果d=r ，直线l 与圆C 相切；（3）如果d>r ，直线l 与圆C 相离.方法点拨以上两种方法都是针对直线与整个圆的位置而言的,研究直线与部分圆的关系时，除利用以上两种方法外,一般都用数形结合求出字母的取值范围。

二、直线与圆的位置关系中的三个基本问题1.判定直线与圆的位置关系问题,常规方法是比较d 与r 的大小.2。

求圆的切线方程问题,求切线有三种情况:（1)从圆上的已知点为切点求切线；（2)已知切线的斜率求切线；（3）已知圆外一点求切线.求切线的方法：（1)利用圆心到直线的距离等于圆的半径；(2）判别式法，一般地，过圆上一点的切线只有一条，过圆外一点的切线有两条；(3）切点坐标代换法，即如果圆的方程为x 2+y 2=r 2，则过圆上一点（x 0，y 0）的切线方程为x 0x+y 0y=r 2.3。

关于弦长问题,一般利用勾股定理与垂径定理，很少利用弦长公式，因其计算较繁.误区警示在求与圆相切的直线方程时，首先要判断点与圆的位置关系。

当点在圆上时，切线只有一条，若点在圆外,则切线有两条,可以设出直线方程,用待定系数法求解，在设方程时一定要注意到直线斜率不存在的情况,避免漏解。

问题·探究问题1 旋转滴有雨水的伞，雨水将会沿着伞的各自什么位置飞出？探究：沿着一条直线的方向飞出，此直线是以伞的边缘点为切点的切线.问题2 给出一个已知圆C ：(x —2)2+(y —3)2=4，直线l:（m+2）x+(2m+1）y=7m+8,当m∈R 时，你能确定这条直线与圆的位置关系吗？与参数m 有关吗？探究：由已知直线l 的方程(m+2）x+（2m+1)y=7m+8变形可得（2x+y —8)+m （x+2y-7)=0，由直线系方程知识可知，此直线必过两直线2x+y —8=0和x+2y —7=0的交点，解之可得交点为(3,2），即无论m 为何值，直线l 恒过定点(3,2).而容易判断点（3,2）在已知圆内,所以直线与圆总相交,与参数m 无关.典题·热题例1 求经过点(1，-7）且与圆x 2+y 2=25相切的切线方程.思路解析：将点(1，—7）代入圆方程，有12+(-7)2=50〉25，可知点（1，-7）是圆外一点，故所求切线有两条,要求切线方程,只需求切线的斜率或再求切线上另一点.解：法一：设切线的斜率为k ，由点斜式有y+7=k(x —1)，即y=k （x —1）-7。

2020高中数学第四章圆与方程4.2直线、圆的位置关系(第2课时)圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用课下

课下能力提升(二十五)[学业水平达标练]题组1 圆与圆的位置关系1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为( )A．相离B．相交C．外切D．内切2．若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是( ) A．(－∞，1) B．(121，＋∞)C．[1,121] D．(1,121)3．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，则两圆的位置关系是________．4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．5．求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．题组2 直线与圆的方程的应用6．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )A．1.4米 B．3.5米C．3.6米 D．2米7．某公园有A、B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km和2 2 km，且A、B景点间相距2 km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？8．(2016·日照高一检测)为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．[能力提升综合练]1．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x±4)2＋(y－6)2＝362．两圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线的条数为( ) A．1 B．2 C．3 D．43．(2016· 衡水高一检测)已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A．(x－5)2＋(y－7)2＝25B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y－7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝94．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( ) A．4 B．4 2 C．8 D．8 25．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝__________.6．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？答案[学业水平达标练]题组1 圆与圆的位置关系1．解析：选B 圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r2＝2; 1＝r2－r1<|O1O2|＝5<r1＋r2＝3，即两圆相交．2．解析：选C x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36.圆心距为d＝＋2＋－2＝5，若两圆有公共点，则|6－m|≤5≤6＋m，∴1≤m≤121.3．解析：C1(1,2)，r1＝2，C2(－2，－2)，r2＝3，|C1C2|＝5，r1＋r2＝5，因此两圆外切．答案：外切4．解析：圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.答案：x＋3y＝05．解：设所求圆的圆心为P(a，b)，则a－2＋b＋2＝1. ①(1)若两圆外切，则有a－2＋b＋2＝1＋2＝3, ②联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；(2)若两圆内切，则有a－2＋b＋2＝|2－1|＝1, ③联立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.综上所述，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 题组2 直线与圆的方程的应用 6．解析：选B 建立如图所示的平面直角坐标系．如图设蓬顶距地面高度为h ，则A (0.8，h －3.6)所在圆的方程为： x 2＋(y ＋3.6)2＝3.62，把A (0.8，h －3.6)代入得0.82＋h 2＝3.62.∴h ＝40.77≈3.5(米)．7．解：所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x 轴，B 点在y 轴正半轴上建立平面直角坐标系．由题意，得A (2，2)，B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2，由A 、B 两点在圆上，得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝42，b ＝52，由实际意义知a ＝0，b ＝2，∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)， ∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．8．解：以O 为坐标原点，过OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.因为点B (8,0)，C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆的切点处时，DE 为最短距离．所以DE 长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km.[能力提升综合练]1．解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6(b ＝－6舍去)．再由a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.2．两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线的条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C ∵圆C 1的圆心C 1(－2,2)，半径为r 1＝1，圆C 2的圆心C 2(2,5)，半径r 2＝4，∴C 1C 2＝＋22＋－2＝5＝r 1＋r 2，∴两圆相外切，∴两圆共有3条公切线．3．解析：选D 设动圆圆心为(x ，y )，若动圆与已知圆外切，则x －2＋y ＋2＝4＋1，∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则x －2＋y ＋2＝4－1，∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝9.4．解析：选C ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2，即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17. ∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32， ∴|C 1C 2|＝a －b2＋a －b2＝32×2＝8.5．解析：由已知两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y ＝1a，利用圆心(0,0)到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a 1＝22－32＝1，解得a ＝1.答案：1 6．解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y4＝1，即4x ＋7y －28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d>r，∴直线与圆相离，即轮船不会受到台风的影响．。

高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点汇总

高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第四章圆与方程★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆的方程的方法：①待定系数法：先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；②直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。

★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为22B A C Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<（2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，①若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可；②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此时，该直线一定为另一条切线）(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2两圆的位置关系判断条件公切线条数外离ｄ＞ｒ1+ｒ2 4条外切ｄ＝ｒ1+ｒ2 3条相交 |ｒ1-ｒ2|＜ｄ＜ｒ1+ｒ2 2条内切ｄ＝|ｒ1-ｒ2| 1条内含ｄ＜|ｒ1-ｒ2|0条★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

2018_2019学年高中数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系课件新人教A版

(2)求弦AB的长.
解:(2)圆心 C(1,0)到直线 x+2y+4=0 的距离为 d=
|1 0 4 | 1 2
2 2
= 5,
|AB|=2 r 2 d 2 =2 16 5 =2 11 .
题型三直线与圆相切问题
【例 3】 (12 分)已知圆 O:x +y =4. (1)过点 P( 2 , 2 )作圆 O 的切线,求切线 l 的方程;
| Aa Bb C | A2 B2
代数法:
Ax By C 0 由 2 2 2 ( x a ) ( y b ) r
Δ > 0
Δ = 0
Δ< 0
消元得到一元二次方程根的判别式Δ
自我检测
1.(直线与圆的位置关系判定)直线x-y-4=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是( D ) (A)相交 (B)相切 (C)相交且过圆心 (D)相离
.
解析:点 Q 到圆心的距离为 22 42 = 20 ,所以切线长为 ( 20)2 4 =4.
答案:4
方法技巧
(1)用点斜式求直线方程时要首先验证斜率不存在的情形.
(2)直线与圆相切用几何法列式计算比较简单,一般不用代数法(判别式法).
(3)求动点P的轨迹方程要用坐标变量表示P点,即P(x,y),然后利用条件列出(x,y)满足的方程化简则得解.
1 1 |AB|= ³4 5 =2 5 , 2 2
则|OH|= | OA |2 | AH |2 = 5 ,故
| 5(1 k ) | k 1
2
= 5,
解得 k=
1 或 k=2, 2
故直线 l 的方程为 x-2y+5=0 或 2x-y-5=0.

高中数学配套课件：第1部分第四章 4.2 4.2.2&4.2.3 圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用

B．(x±4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x±4)2＋(y－6)2＝36
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解析：∵半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b＝6，再由 a2＋32 ＝5，可以解得a
＝± 4，故所求圆的方程为(x± 2＋(y－6)2＝36. 4)
答案：D
返回
返回
[例3]
返回
解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，
则受台风影响的圆形区域所对
应的圆的方程为返回
x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为 x y 7＋4＝1，即4x＋7y－28＝0. 圆心(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离 d＝ |28| 28 ＝，而半径r＝3， 2 2 65 4 ＋7
返回
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数
2组
1组
0组
两圆的公共点个数
两圆的位置关系
2个
1个
0个外离或内含
相交内切或外切
返回
几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到
两圆的位置关系，代数法则是把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，即方程组的解的个数问题，但这种代数判定方法只能判断出不相交、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判定方法一样，能判定出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法判定两圆的位置关系问题．
C．2或－5
D．不确定
返回
解析：圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径长为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径长为2.依题意有－2－m2＋m＋12 ＝3＋2，即m2＋3m

高中数学第四章圆与方程4.2直线、圆的位置关系(第1课时)直线与圆的位置关系必修2

圆的切线的求法 (1)点在圆上时求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率 k，再由垂直关系得切线的斜率为－1k，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程 x＝x0 或 y＝y0.
(2)点在圆外时 ①几何法：设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得 k，也就得切线方程． ②代数法：设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去 y 后得到关于 x 的一元二次方程，由 Δ＝0 求出 k，可得切线方程．特别注意：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．
故直线 l 的方程为 x－2y＋5＝0 或 2x－y－5＝0. 法二：如图所示，|OH|是圆心到直线 l 的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半．
在 Rt△AHO 中，|OA|＝5，|AH|＝12|AB|＝12×4 5＝2 5，则|OH|＝ |OA|2－|AH|2＝ 5. ∴|5k12－＋k1|＝ 5，解得 k＝12或 k＝2. ∴直线 l 的方程为 x－2y＋5＝0 或 2x－y－5＝0.
当 Δ<0，即－43<m<0 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共
点．
法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为 C(2,1)，半径 r＝2.
圆心 C(2,1)到直线 mx－y－m－1＝0 的距离
d＝|2m－11＋－mm2－1|＝
|m－2| 1＋m2
.
当 d<2，即 m>0 或 m<－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
练一练
1．已知圆 C: x2＋y2－4x＝0，l 是过点 P(3,0)的直线，则

高二数学必修二第四章《圆与方程》4.2直线、圆的位置关系

高二数学必修2 第四章圆与方程§4.2直线、圆的位置关系§4.2.1直线与圆的位置关系(1)【学习目标】理解直线和圆的位置关系的判断方法，能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.【学习重点】直线与圆的位置关系的判断方法的运用.【学习难点】用代数法判断直线与圆的位置关系.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第126-127页，完成自主学习)1.复习导入：(1)直线的一般式方程为___________________(2)圆的标准方程为___________________,圆心为________,半径为______.(3)圆的一般方程为__________________,圆心为________,半径为_____________.2.完成下列问题：(1)平面几何中,直线与圆的位置关系有直线与圆_____、直线与圆_____、直线与圆_____三种.(2)直线与圆的三种位置关系的含义是:(3)判断直线与圆的位置关系的方法方法一:就是看由它们的方程组成的方程组_______________；（代数法）方法二:可以依据______________与___________的关系判断直线与圆的位置关系.（几何法）二、合作探究例1 :已知直线:360l x y +-=和圆心为C 的圆22240x y y +--=,判断直线l 与圆的位置关系.如果相交,求出它们的交点坐标.例2:已知圆的方程是222x y +=,直线y x b =+,当b 为何值时,圆与直线有两个公共点、一个公共点，没有公共点.三、达标检测1.已知直线l 的斜率为1,-且与圆2223x y +=只有一个公共点,求直线l 的方程.2.判断直线3420x y ++=与圆2220x y x +-=的位置关系.四、学习小结代数法判断直线与圆的位置关系的步骤：1.____________________________________________;2.____________________________________________;3.____________________________________________;4.____________________________________________;高二数学必修2 第四章圆与方程§4.2.1直线与圆的位置关系(2)【学习目标】掌握直线与圆的三种位置关系的判定方法.【学习重点】已知直线和圆的位置关系，求直线或圆的方程.【学习难点】圆的切线方程的求法.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第126-127页，完成自主学习)1.知识回顾：（1）平面几何中,直线与圆的位置关系有直线与圆_____、直线与圆_____、直线与圆_____三种.(2)判断直线l与圆的位置关系方法一,就是看由它们的方程组成的方程组_______________；（代数法）方法二,可以依据_____________与___________的关系判断直线与圆的位置关系.（几何法）2.自我认知：(1)过圆上一点可作几条切线？(2)过圆外一点可作几条切线？(3)过圆内一点可作几条切线？二、合作探究例1：过点P(-1,0)向圆x2+y2=1引切线,求切线的方程.例2：过点P(-2,0)向圆x2+y2=1引切线,求切线的方程.例3：求圆C：x2+(y-1)2=9与直线l:x-y+1=0.的交点坐标推广：已知圆的方程为22(2)1x y ++=,(,)P x y 为圆上任一点，求21y x --的最大、最小值.三、达标检测1.分别过点12341(,(1,0),(2,0),(1,2)22P P P P ----向圆221x y +=引切线,求它们各自切线的方程.２.已知直线43350x y +-=与圆心在原点的圆C 相切，求圆C 的方程.３.求过点(1,2)P -且与圆22:5C x y +=相切的直线方程.４.求斜率为3，且与圆2210x y +=相切的直线方程.四、学习小结1.求圆的切线方程,一般有三种方法:一是设切点,利用切线公式法;二是设切线的斜率,用判别式法;三是设切线的斜率,用图形的几何性质来解,即圆心到切线的距离等于圆的半径(d =r ),求出k 的值.2、把直线与圆的方程联立得方程组,方程组的解即是交点的坐标.高二数学必修2 第四章圆与方程§4.2.1直线与圆的位置关系(3)【学习目标】掌握直线与圆的三种位置关系的判定方法.【学习重点】根据直线和圆的位置关系，解决相关问题.【学习难点】圆的弦长的求法.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第127-128页，完成自主学习)知识回顾复习导入：1.平面几何中,直线与圆的位置关系有直线与圆_____、直线与圆_____、直线与圆____ 三种.２.判断直线l 与圆的位置关系方法一：就是看由它们的方程组成的方程组_______________；（代数法）方法二：可以依据______________与____________的关系判断直线与圆的位置关系.（几何法）二、合作探究例1:求直线360x y --=被圆22240x y x y +--=截得的弦长.例2:如果一条直线经过点3(3,)2M --且被圆2225x y +=所得的弦长为8，求这条直线的方程.例３:已知圆2246120x y x y +-+-=内的一点(4,2)A -，求以A 为中点的弦所在的直线方程.三、达标检测1.求直线:220l x y --=被圆22:(3)9C x y -+=所截得的弦长.２.已知直线l 的斜率为k ,且与圆x 2+y 2=r 2只有一个公共点,求直线l 的方程.３.已知圆C ：x 2+(y -1)2=5,直线l :mx -y +1-m =0.求证：对m ∈R ,直线l 与圆C 总有两个不同交点;４.求直线:3x -y -6=0被圆x 2+y 2-2x -4y =0截得的弦长四、学习小结圆的弦长公式1.___________________________________________________;2.___________________________________________________;高二数学必修2 第四章圆与方程§4.2.2圆与圆的位置关系【学习目标】掌握圆和圆的位置关系及其判定方法.【学习重点】求弦长问题,判断圆和圆的位置关系.【学习难点】判断圆和圆的位置关系.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第129-130页，完成自主学习)知识回顾：(1)平面几何中,圆与圆的位置关系有五类,分别是______、_______、_______、______、______(2)判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法一（几何法）：第一步：计算两圆的半径R,r；第二步：计算两圆的圆心距O1O2,即d；第三步：根据d与R,r之间的关系,判断两圆的位置关系.方法二（代数法）：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若方程组有两组不同的实数解,则两圆________；若方程组有两组相同的实数解,则两圆_______；若无实数解,两圆_______.二、合作探究例1：已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0,判断两圆的位置关系.例2：已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.三、达标检测1.判断下列两圆的位置关系,如果两圆相交,请求出公共弦的方程.(1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16,(2)x2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0.2.求过点A(0,6)且与圆C:x2+y2+10x+10y=0切于原点的圆的方程.四、学习小结1.判断两圆的位置关系,一般情况下先化为标准方程,利用______判断较为准确直观.2.两个圆方程联立方程组,消去x2项、y2项,即得两圆的______所在的直线方程,利用勾股定理可求出两圆公共弦长.。