8.7方向导数与梯度
梯度与方向导数
1 例3 求grad 2 2 ． x +y
1 解 这里 f(x，y)= 2 2 ． x +y ∂f 2x ∂f 2y =− 2 =− 2 因为 2 2 ， 2 2 ， ∂x ∂y (x + y ) (x + y ) 1 2x 2y v v =− 2 − 2 所以 grad 2 2 2 2 i 2 2 j ． x +y (x + y ) (x + y )
三元函数的梯度： 设函数u=f (x，y，z)在空间区域G 内具有一阶连续偏导数， 对于每一点P (x，y，z) ∈G ，函数 u=f (x，y，z)在该点的梯度 grad f (x，y，z) 定义为：
∂f v ∂f v ∂f v grad f (x，y，z)= i + j + k． ∂x ∂y ∂z
(x, y)
v r
ϕ
y y ∂r = =sin θ ． = 2 2 r ∂y x +y
θ
x
O ∂r 所以 =cos θ cos ϕ + sin θ sin ϕ =cos(θ−ϕ)． ∂l 讨论：ϕ=θ 和ϕ =θ ±
π
2 时的方向导数．
三元函数的方向导数： 对于三元函数u=f (x，y，z) ，定义它在空间一点P (x，y，z) 着方向(设方向的方向角为α 、β 、γ )的方向导数如下 ∂f f ( x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z ) − f ( x, y, z ) = lim ， ∂l ρ →0 ρ 其中ρ = ( ∆x) 2 + (∆y ) 2 + (∆z ) 2 ，∆x=ρ cos α ，∆y=ρ cos β ， ∆z=ρ cos γ ． 如果函数在所考虑的点处可微分， 有
8-7 方向导数与梯度
fx (1, 1, 1) =1 , fy(1, 1, 1)=2 , fz(1, 1, 1)=3
f ∴ l
P
2 1 1 2 = 1 + 2 ( ) + 3 = 3 3 3 3
f f f f cos α + cos β + cos γ = 方向导数公式 l x y z
二,梯度
f = G l 0 = G cos( G , l 0 ) ( l 0 = 1 ) l 0 方向导数取最大值: 当 l 与 G 方向一致时 , 方向导数取最大值:
ρ
的方向导数. 则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数 l
定理: 定理 若函数 f ( x, y) 在点P( x, y) 处可微, 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
f f f cosα + cos β = l x y
l
证明: 证明 由函数 f ( x, y) 在点 P 可微 , 得
f f f= x+ y + o(ρ ) x y
=ρ (
P′ ρ P( x, y)
) + o (ρ )
f f f f = lim 故 l ρ →0 ρ = x cosα + y cos β
对于可微的函数 f ( x, y),在点P( x, y)处沿方向l (向角为α , β ) 的方向导数为 的方向导数为 向角为
内容小结 1. 方向导数 三元函数 在点 沿方向 l (方向角 方向角
为α, β, γ ) 的方向导数为 f f f f = cosα + cos β + cosγ l x y z
二元函数 在点 沿方向 l (方向角为 方向角为
α, β )的方向导数为
方向导数与梯度的关系
方向导数与梯度的关系方向导数和梯度是微积分中非常重要的概念，它们在多元函数中描述了函数在某一点的变化率和方向。
方向导数是指函数在某一点沿着某一给定方向上的变化率，而梯度则是函数在某一点上的方向导数取得最大值的方向。
本文将从理论和实际应用两个方面介绍方向导数与梯度的关系。
我们来看方向导数的定义。
对于函数f(x, y)在点P(x0, y0)处，沿着单位向量u=(a, b)的方向，其方向导数定义为：Duf(x0, y0) = lim(h->0) [f(x0+ah, y0+bh) - f(x0, y0)]/h其中lim表示极限，h表示一个接近于0的数。
方向导数Duf(x0, y0)表示函数f(x, y)在点P(x0, y0)沿着方向u的变化率。
接下来，我们来看梯度的定义。
对于函数f(x, y)在点P(x0, y0)处，梯度定义为：∇f(x0, y0) = (∂f/∂x, ∂f/∂y)其中∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数f(x, y)对x和y的偏导数。
梯度∇f(x0, y0)是一个向量，它的方向指向函数在点P(x0, y0)处变化最快的方向，其模表示函数在该点的最大变化率。
那么，方向导数与梯度之间有什么关系呢？我们可以发现，当方向向量u与梯度向量∇f(x0, y0)的方向相同时，方向导数Duf(x0, y0)取得最大值。
换句话说，梯度的方向就是函数在某一点上方向导数取得最大值的方向。
为了更好地理解这一关系，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设有一个二元函数f(x, y) = x^2 + y^2，我们要求在点P(1, 1)处沿着方向u=(1, 1)的方向导数。
我们计算函数在点P(1, 1)处的梯度。
根据梯度的定义，我们有：∇f(1, 1) = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (2x, 2y) = (2, 2)接下来，我们计算方向向量u=(1, 1)与梯度向量∇f(1, 1)的点积。
根据点积的定义，我们有：u·∇f(1, 1) = (1, 1)·(2, 2) = 1*2 + 1*2 = 4因此，方向导数Duf(1, 1)的最大值为4。
方向导数与梯度的关系与计算公式
方向导数与梯度的关系与计算公式方向导数（Directional Derivative）是多元函数在某个给定点上沿指定方向的变化率。
它在物理学、工程学和优化问题中具有重要的应用。
在求解方向导数时，我们常常会遇到梯度（Gradient）的概念。
本文将介绍方向导数与梯度之间的关系，并探讨它们的计算公式。
一、方向导数的定义在多元函数中，给定一个点P(x₀, y₀, z₀)及一个单位向量u = (a, b, c)，其中a² + b² + c² = 1，方向导数Duf(x₀, y₀, z₀)表示函数f(x, y, z)在P点上沿u方向的变化率。
方向导数用符号∇f(x₀, y₀, z₀)·u表示。
二、梯度的定义梯度是一个向量，它在多元函数的每个点上都有定义。
对于二元函数f(x, y)，梯度∇f(x, y)表示函数f在每个点上的变化率最大的方向。
梯度可以用向量形式表示为∇f(x, y) = (fx, fy)，其中fx和fy分别表示f对x和y的偏导数。
对于三元函数f(x, y, z)，梯度∇f(x, y, z)表示函数f在每个点上的变化率最大的方向。
梯度可以用向量形式表示为∇f(x, y, z) = (fx, fy, fz)，其中fx、fy和fz分别表示f对x、y和z的偏导数。
三、方向导数与梯度的关系在函数f(x, y, z)的某一点P(x₀, y₀, z₀)处，方向导数和梯度的关系可以表示为：Duf(x₀, y₀, z₀) = ∇f(x₀, y₀, z₀)·u即，方向导数等于梯度与单位向量u的内积。
四、方向导数的计算公式在笛卡尔坐标系中，给定一个点P(x₀, y₀, z₀)及一个非零向量u = (a, b, c)，其中a² + b² + c² = 1，方向导数可以通过以下公式计算：Duf(x₀, y₀, z₀) = fx(x₀, y₀, z₀)a + fy(x₀, y₀, z₀)b + fz(x₀, y₀, z₀)c其中fx、fy和fz分别表示f对x、y和z的偏导数。
8-7 方向导数与梯度
z
z f ( x, y)
G
F
M0
E
o p
x
0
y
p
z l
l
是用过射线l且垂直于xoy面的半平面
P0
截曲面z f ( x , y )所得曲线在点M 0处的半 切线M 0 N相对于射线l的斜率.
二、方向导数的计算
定理：如果z f ( x , y )在点( x0 , y0 )可微，那 么函数在该点沿任一方 向的方向导数都存在. 且
{ f x , f y , f z } gradf
M
f ( x, y, z ) C
第七节 方向导数与梯度
要点:
f 方向导数的定义: l
p0
lim
沿l
f ( p) f ( p0 ) p0 p
p p0
lim
0
z
f 意义: f . p0 反映函数 在点 p0沿方向l的瞬时变化率 l 方向导数与偏导数的联系与区别.
2 2
的方向导数最大？
解: 梯度向量 grad z { z , z } ( 0 ,1) x y { 2 x , 2 y } ( 0 ,1 )
z
z x2 y2
{0,2}
o
x
(0,1) {0,2}
y
{1,0}
z x 2 y 2在点(0,1)沿着梯度向量{0，}方向 2 （即y轴正向）的方向导数最 大, 最大值为 . 2
o z z 梯度向量 grad z { , } ( 0 ,1) x x y {2 x ,2 y } ( 0,1) {0,2}
2 2
高等数学 8-7.方向导数与梯度
π 方向导数达到最大值 2 ; 故 1）当α = 时， （ 4 5π π （2）当α = 时， 方向导数达到最小值− 2 ; 4 3π 7π π π （3）当α = 和α = 时，方向导数等于 0. 4 4
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数 u = f ( x, y, z )，它在空间一点 P( x0 , y0 , z0 ) 沿着方向 l = (cosα ,cos β ,cos γ ) 的方 向导数 ，可定义为 f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z ) − f ( x0 , y0 , z0 ) ∂f = lim ρ ∂l ρ →0
方向导数仍可理解 为曲线上一点处右 切线在新坐标系下 的斜率. 的斜率
y
t
P = ( x 0 , y0 )
v = (cos α ,sin α )
方向导数的物理意义：
设一质点 P 在三维空间的运动轨迹为 (时间t) 时间
x = x0 + t cos α , y = y0 + t sin α , z = f ( x0 + t cos α , y0 + t sin α )
y
l
• P′
•
•
ϕ
∆x
∆y
x
（如图） 如图）
ρ f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) 是否存在？ 是否存在？ lim ρ →0 ρ
上述极限若存在, 定义: 上述极限若存在 则称此极限为函数 f 在 P处沿方向 l 的方向导数 记为 方向导数, 处沿方向
∵ | PP ′ |= ρ = ( ∆x )2 + ( ∆y )2 , 且 ∆z = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ), ∆z 考虑 , 当 P′沿着 l 趋于 P时，
高数 8-7方向导数与梯度~
的极值. 的极值.
B
C
f xx (x, y) = 6x + 6, f xy (x, y) = 0, f yy (x, y) = −6y + 6
A
在点(1,0) 处 在点
AC −B2 =12×6 > 0, A > 0,
为极小值; 为极小值;
在点(1,2) 处 在点
AC −B2 =12×(−6) < 0,
y
P
o
2x −1
60 = 17
例3. 设 n 是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处 处 在点P 在点 处沿
指向外侧的法向量, 指向外侧的法向量 求函数 方向 n 的方向导数 的方向导数. 解:
n = (4x , 6y , 2z) P = 2(2 , 3 , 1) 2 3 1 方向余弦为 cosα = , cos β = , cosγ = 14 14 14 ∂u 6x 6 = = 而 2 2 P ∂x P z 6x + 8y 14
ϕx ϕy
fx
=
fy
=− λ
极值点必满足
f x + λϕx = 0 f y + λϕy = 0 ϕ(x, y) = 0
引入辅助函数 F = f (x, y) + λϕ(x, y) 则极值点满足: 则极值点满足
辅助函数F 称为拉格朗日( 函数.利用拉格 辅助函数 称为拉格朗日 Lagrange )函数 利用拉格 函数 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 拉格朗日乘数法
当l 与G方 一 时, 方向导数取最大值： 向 致 方向导数取最大值： ∂f )= G max ( ∂l 方向： 方向：f 变化率最大的方向 这说明 G : 模 : f 的最大变化率之值
方向导数与梯度
cos , cos 为l 的方向余弦
f l
f x ( x0 , y0 ) cos f y ( x0 , y0 ) cos
P0
例 考虑函数 z x y , 定点P0(3,1), P1(2,3).求
3 2
函数在 P0沿 P0 P1 方向的方向导数. 解 zx
( 3 ,1 )
f ( x x , y ) f ( x , y ) f ( x , y ), f lim x x i x 0 y
同理 f ( x, y )沿y轴正向
j (0,1) 的方向导数存在,
且值为 f y .
O
x 0
y 0
( x, y) ( x x, y)
O
x
lim 定义如果极限 P P lim
0
f ( x x , y y ) f ( x , y )
存在,
则将这个极限值称为函数在点 P沿方向l 的方向导数 ,
P P
lim
f ( P) f ( P )
lim
0
y
f ( x x , y y ) f ( x , y )
8.7 方向导数与梯度
一、 方向导数的概念 二、 梯度的定义和方向导数的计算 三、 小结 思考题
一、方向导数定义与计算公式
y
实例
T T ( x, y) k x2 y2
( 1, 3 )
( 1, 1 )
( 5, 3 )
( 5, 1 )
o
x
问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向 （即梯度方向）爬行．
方向导数和梯度的关系公式
方向导数和梯度的关系公式方向导数和梯度是微积分中的重要概念，它们在多元函数的研究中起着重要作用。
方向导数描述了函数在某一给定方向上的变化率，而梯度则是方向导数的一种特殊情况。
本文将探讨方向导数和梯度之间的关系，并阐述它们的定义、性质和应用。
让我们来定义方向导数。
对于一个多元函数f(x, y, z)，在某一点P(x0, y0, z0)处，沿着一个与坐标轴夹角为θ的方向v=(cosθ, sinθ)的方向导数表示函数在该方向上的变化率。
方向导数的计算公式为：Dvf(x0, y0, z0) = ∇f(x0, y0, z0)·v其中，∇f(x0, y0, z0)是函数f在点P的梯度。
梯度是一个向量，其分量为函数在各个方向上的偏导数。
梯度的计算公式为：∇f(x0, y0, z0) = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)可以看出，梯度是一个向量，方向导数是梯度与方向向量的点积。
因此，方向导数可以通过计算梯度和方向向量的点积来求得。
方向导数具有以下性质：1. 方向导数的值与方向向量的长度无关，只与方向向量的方向有关。
这意味着方向导数可以通过单位向量来表示。
2. 方向导数的最大值和最小值分别是函数在某一点上沿着梯度方向和负梯度方向的方向导数。
当方向向量与梯度方向相同时，方向导数达到最大值；当方向向量与负梯度方向相同时，方向导数达到最小值。
3. 方向导数为0的点是函数的临界点，即梯度为0的点。
梯度是方向导数的一种特殊情况。
当方向向量与梯度方向相同时，方向导数达到最大值，即梯度的模长为方向导数的最大值。
因此，梯度可以看作是方向导数的最大值和方向。
梯度在数学中具有重要的应用。
在优化问题中，梯度可以帮助我们找到函数的最大值或最小值。
当函数的梯度为0时，函数达到极值点。
因此，我们可以通过求解梯度为0的方程组来求解极值问题。
梯度还可以用于描述函数在空间中的变化趋势。
当梯度的模长越大时，函数在该点的变化趋势越明显；当梯度的模长趋近于0时，函数在该点的变化趋势越平缓。
方向导数与梯度的关系
方向导数与梯度的关系方向导数和梯度都是用来描述函数在某一点的变化率的概念，它们之间存在一定的关系。
本文将简要介绍方向导数和梯度的概念，并探讨它们之间的关系。
一、方向导数的概念方向导数是用来描述函数在给定方向上的变化率的。
对于具有两个或更多个自变量的函数，我们可以通过改变自变量的方向来获得不同的方向导数。
在二维空间中，方向导数可以通过对函数进行偏导数计算得到。
假设函数为f(x,y)，在点P(x0,y0)处，沿着单位向量u=(cosθ,sinθ)方向的方向导数定义为：Df(P;u) = lim┬(h→0)[f(x0+hu,y0+hu)-f(x0,y0)]/h其中，h表示极限中h的变化量，u为单位向量，θ为u与x轴的夹角。
二、梯度的概念梯度是用来描述函数在某一点上的最大方向导数的。
对于具有多个自变量的函数，梯度是一个向量，其大小和方向分别表示函数在该点上的变化率和变化的方向。
对于函数f(x1,x2,...,xn)，在点P(x1,x2,...,xn)处，梯度定义为：∇f(P) = (∂f/∂x1,∂f/∂x2,...,∂f/∂xn)其中，∂f/∂xi表示对第i个自变量的偏导数。
三、方向导数与梯度的关系方向导数与梯度之间存在着一定的关系。
事实上，方向导数可以看作是梯度与给定方向的内积。
具体地说，对于函数f(x1,x2,...,xn)，在点P(x1,x2,...,xn)处，沿着方向u=(cosθ1,cosθ2,...,cosθn)的方向导数可以用梯度与方向向量的内积表示：Df(P;u) = ∇f(P)·u = |∇f(P)||u|cosφ其中，φ为梯度与方向向量的夹角，|∇f(P)|表示梯度的模，|u|表示方向向量的模。
通过上述公式可以得出，方向导数的大小由梯度的模和方向向量的夹角共同决定。
当梯度与方向向量的夹角为0时，方向导数达到最大值；当夹角为90°时，方向导数为0；当夹角为180°时，方向导数达到最小值。
8-7 方向导数与梯度
两边同除以 (即t ), 得到
f ( x t cos , y t sin ) f ( x , y ) t
f x
cos
f y
sin
o( ) t
故有方向导数为:
lim
t 0
f ( x t cos , y t sin ) f ( x , y )
f l
( x0 , y0 )
lim
t 0
f ( x0 t cos , y0 t sin ) f ( x0 , y0 ) t
y)在点P沿着x轴正向 i =(1,
.
依定义, 函数z=f(x, 0), y 轴正向 j =(0, 1)的方向导数分别为 fx, fy. 沿着x轴负向, y轴负向的方向导数分别为 -fx, -fy.
类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值.
类 似 地 ,设 曲 面 f ( x , y , z ) c 为 函 数 u f ( x , y , z ) 的 等 量 面 ，此 函 数 在点 P ( x, y, z)的 梯 度 的 方 向 与 过 点 P 的 等 量 面 f ( x, y, z) c 在 这 点 的 法 线 的 一 个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方 向的方向导数.
lim f ( x0 x , y0 y ) f ( x0 , y0 )
0
x x 0 t cos l: y y 0 t sin
是否存在？
(t 0)
l 的参数方程为:
P(x0+tcos, y0+tsin)为 l 上的另一点, 且PU(P).
南京航空航天大学《高等数学》8.7方向导数与梯度
小结
1,方向导数的概念
(注意方向导数与一般所说偏导数的区别)
2,梯度的概念
(注意梯度是一个向量)
3,方向导数与梯度的关系
梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长 最快的方向.
思考题
(分清方向导数与一般导数的区别)
梯度与等高线的关系:
函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的梯度的方向与点 P 的等 高线 f ( x , y ) = c 在这点的法 线的一个方向相同,且 从数 值较低的等高线指向数 值较 高的等高线,而梯度的 模等 于函数在这个法线方向 的方 向导数.
梯度的概念可以推广到三元函数
同理:当函数在此点可微时,那末函数在该点 沿任意方向 l 的方向导数都存在,且有
f f f f = cosα + cos β + cos γ . z l x y
n 是曲面 2 x 2 + 3 y 2 + z 2 = 6 在点 例4 设 P (1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数 1 1 = (6 x 2 + 8 y 2 ) 2 在此处沿方向 n 的方向 u z
u u u u 11 故 = ( cosα + cos β + cos γ ) = . 7 n P x y z P
三,梯度的概念
问题 : 函数在点 P 沿哪一方向增加的速度 最快 ?
定义 设函数 z = f ( x , y ) 在平面区域 D 内具有一 阶连续偏导数,则对于每一点 P ( x , y ) ∈ D ,都可
f l
= f x (1,1) cosα + f y (1,1) sin α
( 1 ,1 )
= ( 2 x y ) (1,1) cosα + ( 2 y x ) (1,1) sin α ,
第七节方向导数与梯度
8; 14
u zP
6x2 8y2
z2
14.
P
u n
P
6283(1)4 1 11
14141414
147
.
二、一梯个度二概元函念数与在给计定算的点处沿不同方向
的方(g向ra导di数en是t)不一样的.
问题 函数z = f (x, y)沿什么方向的方向导数为最大
已知方向导数公式 ffcosfcos
f(x,y)c表示一条平面曲线,
所其以参g任数r意形a点式处d：的fxy切向xy(量x)为：1,yfxx f1y,yffxxy
0
1
fx
(
fx fy
)
fy 0 gr afx d ,fyf gradf
所以梯度为曲线 f(x,y)c上点( x, y) 处的法向量.
梯度与等高线的关系：
函数 z f ( x , y ) 在点 P ( x , y )
zlP fxPco s fyPcos gr zP a (c d ,c oo s )s grzP al0 d 19
沿梯度方向,
函数的增长最快!
gradzP
f x
,
f y
P
结论 函数在某点的梯度是这样一个向量,
它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它 的模为方向导数的最大值(最大的变化率).
8.7 方向导数与梯度
一、 方向导数的概念 二、 梯度的定义和方向导数的计算 三、 小结 思考题
一、方向导数定义与计算公式
y
实例
(1, 3)
(5, 3)
TT(x,y) k x2 y2
(1, 1)
o
(5, 1)
x
问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？
数学分析8-7方向导数和梯度
y
cos α =
2 , cos β = 3 , cos γ = 1 . 14 14 14
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u′(0) = lim
t→0
(性质2) 梯度向量的模 等于方向导数的最 大值;
r 称为函数 f在点 M 0沿方向 l 的方向导数 .记作
∂f r ∂l
z = f ( x, y)
L
•
f ( x0 + t cosα , y0 + t cosβ , z0 + t cosγ ) − f ( x0 , y0 ) t
证明
由于函数可微，则增量可表示为 故 = cos α + sin α = 2 sin( α + π ), 4 π 时， 方向导数达到最大值 2 ; 4
5π 时， 方向导数达到最小值 − 2 ; 4
∂f ∂f f ( x + ∆x, y + ∆y) − f ( x, y) = ∆x + ∆y + o(ρ ) ∂x ∂y
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设 e = cosϕi + sin ϕj 是任意 给定 的 单位 向 量 ，
r
一、问题的提出
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向 （即梯度方向）爬行．
S8-7方向导数与梯度
同样，三元函数 f (x, y,z)在点 P(x, y,z)处的梯度
gradf
f , x
f , y
f z
xfiyf jzfk
l x y z
2
l
G e l
GcoG ,sel()prejG
( e
l
1)
当e与G 方向一,方致向时 导数取最大值：
l
maxf G
l
这说明
G:
方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值
1. 定义 向量 G称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient),
x
(t (x)2(y)2, x tco, s.y tco)s
特别:
• 当 l 与 x 轴同向 0,时 ,有
2
f 存在，f 必存在，反之却并 立不 。成
x
l
该定理对于多元函数任然成立
定理: 若函 f(x,y,z数 )在 P (点 x,y,z)处,可微
f(x,y,z)x2yz,曲线
x y
t 2t
2
1
在点
M (1,1,1) 处切线的方向向量
z t 3
l d dx t,d dy t,d dz t t1(1,4,3)
函数沿 l 的方向导数
l fM fx co fy s co fz s co ( 1 ,1 s ,1 )
2
x02 a4
y02 b4
z02 c4
作业
P51 2，6，7
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u u u u 故 ( cos cos cos ) 11 n P x y z P 7
P
P
例4. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线 y x 2 1
的切线且朝 x 增大方向的方向导数.
解:将已知曲线用参数方程表示为 x x y x2 1 它在点 P 的切向量 T (1 , 2 x ) x 2 (1 , 4) 1 4 cos , cos 17 17
gradf ( f x , f y , f z ) 是一个向量
f (1) 当 0 时 , 取最大值 gradf l 故梯度方向就是取得最 大方向导数的方向 f ( 2) 当 时 , 取最小值 gradf l
0 为gradf 与l 的 夹 角
方向导数在 gradf 方向增加最快 方向导数在 gradf 方向减小最快
2 2 2
z cos r
二元函数f ( x, y)
f f f cos cos y l x 其中 , 为方向l的方向角
三元函数 f ( x, y, z )
f f f f cos cos cos l x y z 其中 , , 为方向l 的方向角
f ( 3) 当 时 , 0 2 l
梯度的基本运算公式
(2) grad (C u ) C grad u (4) grad ( u v ) u grad v v grad u
内容小结
定义
1. 方向导数 • 二元函数
f f ( x x , y y ) f ( x , y ) lim l 0
解:
方向l 即为PQ (1,1)
故 x轴 到 方 向 l的 转 角
z y
4
( 1, 0 )
z e2 y 1 (1, 0 ) x (1,0)
2 xe 2 y
( 1, 0 )
2
z 2 1 cos( ) 2 sin ( ) 4 4 2 l
二、方向导数的定义
设z f ( x, y ) 在点P ( x, y ) 的某一邻域 内有定义 , l 的转角为 , 自点 P 引射线l ,设 x 轴正向到射线 设 P( x x, y y) y l
| PP | ( x ) 2 ( y ) 2
z
P
z f ( x x, y y ) f ( x, y )
f f 梯度 grad f ( x , y ) i j x y
( fx, fy )
f f f 梯度 grad f ( x , y , z ) i j k x y z
( f x , f y , fz )
方向导数与梯度的关系
f ( x , y ) f cos f cos x y l ( f x , f y ) (cos , cos )
回顾：向量的方向角与方向余弦
与三坐标轴正向的夹角
, , 为其方向角 (0 , , )
z
o
r
方向角的余弦称为其方向余弦 x x cos r x2 y2 z2
x
y
y cos r
y x2 y2 z2 z
x y z
f x f y o( ) x y
f ( x x , y y ) f ( x , y )
f ( x x , y y ) f ( x , y )
故有方向导数
f x f y o( ) x y
二元函数f ( x, y)
f f f cos cos y l x 其中 , 为方向l的方向角
特别地:
y
l
l
P
o
x
f f • 当 l 与 x 轴同向 0 , 时, 有 2 l x f f • 当 l 与 x 轴反向 , 时, 有 l x 2
考虑 , 当 P 沿着 l 趋于 P 时， o
P x
y
x
lim
0
f ( x x , y y ) f ( x , y )
若 lim
0
f ( x x , y y ) f ( x , y )
存在，则称
此 极 限 为 函 数f ( x , y )在 点 P沿 方 向l 的 方 向 导 数
cos
sin
f f ( x x , y y ) f ( x , y ) lim y l 0 f f cos sin x y
o
l
P
P x
y
x
例1
求 z xe 在点 P (1,0) 处沿从点 P (1,0)
2y
到点Q( 2,1) 的方向的方向导数
例2 求 函 数 f xy yz zx 在 点P (1, 1, 2)处 沿 方 向l (1, 2 , 1) 的 方 向 导 数
例 3 设 n 是曲面 2 x 2 3 y 2 z 2 6 在 P (1,1,1) 处的指 1 1 向外侧的法向量，求函数 u (6 x 2 8 y 2 ) 2 在此处沿 z 方向 n 的方向导数 2 2 2 F ( x , y , z ) 2 x 3 y z 6 解: 令
此例说明方向导数存在 , 偏导数不一定存在
三、梯度的概念
问题: 函数在点 P沿哪一方向变化率最大 ？
定义 设函数 z f ( x , y )在平面区域 D 内具有 一阶连续偏导数，则对于每一点 P ( x , y ) D ，
f f j ，这向量称为函数 都可定出一个向量 i x y z f ( x , y )在点 P ( x , y )的梯度，记为 (gradient) f f j gradf ( x , y ) i x y
f 记作 l
f 注： 反映了函数 z f ( x , y )在 一 点P沿 某 一 方 向 l l 的变化率 f f 特别地 , 偏 导 数 , 反 映 了 函 数f ( x , y )沿 x y
f f ( x x , y y ) f ( x , y ) lim l 0
y
P
o
1 2
x
60 17
例 5 讨论函数 z f ( x , y ) x y 在( 0,0) 点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？
2 2
z 解： x
( 0,0 )
z | y | 同理： ( 0, 0 ) lim 故两个偏导数均不存在 y 0 y yf y )
• 三元函数 3. 关系 • 可微 方向导数存在
0
在点
处的梯度为
grad f ( f x , f y , f z )
偏导数存在
f 的最大值 模 l
f grad f l • l
grad f 的 方 向
f 增加最快的方向
练习1. 函数
f x , y , z f x cos f y cos f z cos l ( f x , f y , f z ) (cos , cos , cos )
0 gradf l
0 gradf l
grad f 的几何意义 :
0 f gradf l gradf cos l
x t 2 y 2 t 1 在点 曲线 3 z t
t t0
T ( x(t ) , y(t ) , z(t ))
函数沿 T 的方向导数
(1,4,3)
f T
f x cos f y cos f z cos
M
( 1 ,1 ,1 )
处的梯度 解: 则
在点
2 (1 , 2 , 2) (92考研) 9
注意 x , y , z 具有轮换对称性
2 (1 , 2 , 2) 9
2 2 u ln( x y z ) 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A 2. 函数
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 3. 设函数
z l
( 0,0 )
f (0 x ,0) f (0,0) lim | x | lim x 0 x x 0 x
( x ) 2 ( y ) 2 lim 1 2 2 0 ( x ) ( y )
0
lim
f (0 x ,0 y ) f (0,0)
1
2
. 考研) (96
x t 2 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 y 2t 1 3 z t 在该点切线方向的方向导数;
(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向
的夹角 .
解1. (1) M (1,1,1) 处切向量
一、问题的提出
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最快的方向爬行
在点
沿方向 l (方向角为
, )的方向导数为
f f f cos cos l x y
• 三元函数 在点 沿方向 l (方向角
为 , , ) 的方向导数为 f f f f cos cos cos l x y z
2. 梯度 • 二元函数 在点 处的梯度为