两道几何概型问题辨析
几何概型的方法破析高三数学一轮热点难点一网打尽
【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第43讲几何概型的方法破析考纲要求：1．了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义(长度型、角度型、面积型、体积型）．基础知识回顾:一、几何概型1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．特点：（1)无限性：试验中所有可能出现的结果（基本事件)有无限多个．（2）等可能性:试验结果在每一个区域内均匀分布．二、几何概型的概率公式:P(A)＝错误!应用举例：类型一、与长度角度有关的几何概型例1、如图1所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA,则射线OA落在∠yOT内的概率为____．解析:如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，所以OA 落在∠yOT 内的概率为错误!＝错误!。
例2、在矩形中ABCD 中，2AB AD =，在CD 上任取一点P ，ABP ∆的最大边是AB 的概率是（ ）．A ．22B ．32C ．21-D ．31-例3、在[]4 3-，上随机取一个数m ，能使函数()222f x x mx =++在R 上有零点的概率为 ． 解析：若()222f x xmx =++有零点，则2280m∆=-≥，解得2m ≥或2m ≤-，由几何概型可得函数()y f x =有零点的概率37P =.点评：求与长度（角度）有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度（角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型"的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度）．类型二、与体积有关的几何概型例4、有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为 。
解析:先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝错误!×错误!π×13＝错误!π.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为错误!＝错误!,故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－错误!＝错误!.例5、如图2，长方体ABCD 。
【素材】《几何概型》辨析几何概型疑点及生活中的应用(人教)-1
辨析几何概型疑点及生活中的应用一、几何概型的定义1.几何概型的定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，则称这样的概率模型为几何概型。
2．几何概型的概率计算公式，在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：二、疑点辨析1.概率为零的事件不一定是不可能事件不可能事件的概率一定为零，即若，则。
但反之不然，概率为零的事件却不一定是不可能事件，即若，则不一定有。
例如,在几何概率中，设，.为圆域，而为其中一圆周.则。
显然，是可能发生的，即若向内随机投点，点落在圆周上的情况是可能发生的。
仅在样本点有限（比如古典概型）或样本点可数这种特殊的情况下,若，则。
2.在求解几何概率问题时,几何度量找不准是经常出错的原因之一。
例在0～1之间随机选择两个数,这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三条线段,试求这三条线段能构成三角形的概率。
错解:因为所以,于是。
错解分析：本题误把长度看作几何度量．正确解法：设三条线段的长度分别为则即.在平面上建立如图所示的直角坐标系，直线围成如图所示三角形区域G，每一对对应着G内的点，由题意知,每个试验结果出现的可能性相等，因此，试验属于几何概型，三条线段能构成三角形，当且仅当即因此图中的阴影区域就表示“三条线段能构成三角形”,容易求得的面积为,的面积为,则(这三条线段能构成三角形)。
三、生活应用解疑解:在奖品的诱惑面前要冷静在一所小学的门口有人设一游戏（如图）吸引许多小学生参加。
小学生每转动指针一次交5角钱，若指针与阴影重合，奖5角钱；若连续重合2次奖文具盒一个；若连续重合3次，奖书包一个；若连续重合4次，奖电子游戏机一台。
不少学生被高额奖品所诱惑，纷纷参与此游戏，却很少有人得到奖品，这是为什么呢？利用几何概率可以解释这个问题。
由于指针位于圆周上阴影部分才能得奖，设圆周周长为100cm，阴影部分位于圆周上的每一弧长为2cm，由几何概型及指针的对称性知，指针落于阴影上的概率为即参加一次游戏不用花钱的概率为0.08.由于每次转动可看成相互独立的随机事件(即若表示事件与同时发生,则)，设={指针与阴影连续重合次}，则，可见，参加游戏者得奖的概率很小，得到一个文具盒的可能性仅有0.0064，那么要想得到游戏机，则几乎是天方夜谭。
高中数学解题技巧之几何概型求解
高中数学解题技巧之几何概型求解在高中数学中，几何概型是一个重要的考点，也是学生们容易感到困惑的地方。
解决几何概型问题需要一定的技巧和方法，本文将介绍几种常见的几何概型求解技巧，并通过具体的题目进行解析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这些技巧。
一、相似三角形求解相似三角形是几何中常见的概型之一，解题时需要注意比例关系和角度对应关系。
例如下面这道题目：已知△ABC和△DEF是相似三角形，且AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，DE=9cm，求EF的长度。
解析：根据相似三角形的性质，我们知道相似三角形的对应边长之比相等，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。
代入已知条件，我们可以得到6/9=8/EF=10/DF。
由此，我们可以解得EF=12cm。
这道题目通过相似三角形的性质，利用比例关系求解出了EF的长度。
在解决相似三角形问题时，要注意正确设置比例关系，并灵活运用已知条件，从而得出未知量的值。
二、平行线与三角形内角求解平行线与三角形内角的关系也是几何中常见的概型之一。
通过利用平行线和三角形内角的对应关系，我们可以解决许多与角度相关的问题。
例如下面这道题目：如图所示，AB∥CD，∠E=40°，求∠A和∠B的度数。
解析：由于AB∥CD，根据平行线与三角形内角的性质，我们知道∠A=∠E=40°。
又因为∠A+∠B+∠C=180°，代入∠A=40°，我们可以得到∠B=180°-40°-∠C。
由此，我们可以求解出∠B的度数。
这道题目通过利用平行线与三角形内角的关系，解决了∠A和∠B的度数问题。
在解决这类问题时，要注意正确运用平行线与三角形内角的性质，并根据角度之和为180°的条件，求解未知角度的度数。
三、圆的性质求解圆是几何中的一个重要概念，解决与圆相关的问题需要掌握圆的性质和定理。
例如下面这道题目：如图所示，O为圆心，AB为直径，C为圆上一点，且∠C=60°，求∠ACB的度数。
几何概型例题及解析
几何概型例题及解析题目：在边长为2的正方形内随机取一个点，则该点到正方形四个顶点的距离都大于1的概率是( )。
A. 1/2B. 1/4C. 3/4D. 1/16解析：在边长为2的正方形内，到四个顶点距离都大于1的区域是一个边长为1的正方形。
因此，所求概率为小正方形的面积与大正方形面积之比，即1/4。
题目：在半径为2的圆内随机取一条弦，则弦长小于等于2√3的概率为( )。
A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. √3/2解析：在半径为2的圆内，弦长小于等于2√3的弦对应的圆心角为120°。
因此，所求概率为120°/360° = 1/3，但选项中并没有这个值，可能题目有误或选项不完整。
题目：在区间[0, 2]上随机取两个数x和y，则满足x^2 + y^2 ≤ 2的概率是( )。
A. π/4B. π/2C. 1 - π/4D. 1 - π/2解析：在区间[0, 2]上随机取两个数x和y，对应的平面区域是一个边长为2的正方形。
满足x^2 + y^2 ≤ 2的区域是一个半径为√2的圆在正方形内的部分。
所求概率为圆的面积与正方形面积之比，即π*(√2)^2 / (2*2) = π/2。
题目：在边长为1的正方形内随机取一个点，则该点到正方形中心的距离小于1/2的概率为( )。
A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. √2/2解析：在边长为1的正方形内，到中心距离小于1/2的区域是一个边长为1/2的正方形。
因此，所求概率为小正方形的面积与大正方形面积之比，即(1/2)^2 = 1/4。
题目：在三维坐标系中，随机取一个点P(x, y, z)，其中x, y, z ∈ [0, 1]，则点P到原点O的距离小于等于√2/2的概率为( )。
A. π/6B. π/4C. π/3D. π/2解析：在三维坐标系中，到原点距离小于等于√2/2的点构成一个半径为√2/2的球在[0, 1]^3内的部分。
所求概率为球的体积与[0, 1]^3的体积之比，即(π*(√2/2)^3) / 1^3 = π/6。
几何概型题型讲解【典例及难题 精选】
几何概型课题1：题型讲解几何概型中事件A 的概率计算公式:积等）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积等）的区域长度（面积或体构成事件）（A A P =.其次要学会构造随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率． 1.几何概型的两个特征： (1)试验结果有无限多； (2)每个结果的出现是等可能的．事件A 可以理解为区域Ω的某一子区域，事件A 的概率只与区域A 的度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关． 2..解决几何概型的求概率问题关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率． 3.用几何概型解简单试验问题的方法(1)适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解． (2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D. (3)把随机事件A 转化为与之对应的子区域d. (4)利用几何概型概率公式计算． 4.均匀随机数在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率．一般地．利用计算机或计算器的rand （）函数可以产生0～1之间的均匀随机数．a ～b 之间的均匀随机数的产生：利用计算机或计算器产生0～1之间的均匀随机数x= rand( )，然后利用伸缩和平移变换x= rand( )*(b-a)+a,就可以产生[a ，b]上的均匀随机数，试验的结果是产生a ～b 之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的． 5.均匀随机数的应用(1)用随机模拟法估计几何概率； (2)用随机模拟法计算不规则图形的面积． 6.几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关，即试验结果具有无限性，另一方面，二者的试验结果都具有等可能性。
一.与长度有关的几何概型【例】已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.110B.19C.111D.18【解析】设乘客到达站台立即乘上车为事件A ，试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝110.答案：A【例】如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？【解析】记 E ：“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30×31=10米，∴313010)(==E P .方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．【例】在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R 的概率。
几何概型概率模型构建的辨析
小于 ２ 只需过 Ａ作 ｚ∥ｚ使 ｚ 与 ｚ ， ， 。 的距 离为 ２ 则 ｚ ， 与圆
相 交于 曰， 所得劣弧 Ａ Ｂ上 的点 到 的距 离小 于 ２ 由半 径 。
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辨析
例 ４的错 解在 于 ， 圆内 的任意 一点 ， 将 固定 在
圆 角 子，所 概 为 ＝ ＝ ≈・６ 心 为 故 求 率 尸 ０６ 。 ３ １ １７
（ 者 单 位 ： 西省 赣 州 市 第 一 中学 Ｊ 作 江
Ａ Ｂ ｃ ． ÷ ． ÷ ． １
Ｄ ． ÷
错解 如 图 ５ 作 圆 ０的内接正三角形 Ａ Ｄ， ， Ｂ 连接 Ｄ Ｏ
３ ０ ２高中生之友・ ／１ ２ 上半月刊２ ７
Ｐ ：旦 ： 一 一 ０ ２ ３。 ３６
．
√１ ＋５ ２
正解 由点到直线的距离公式得 ｄ 车 ＝ 。 ＝ ５
√ ４‘＋３‘
知 圆心到直线 的距离 为 ５ 要使 圆上 的点 Ａ到直线 Ｚ ， 的距离 时 ， Ｂ 弦 Ｅ的长大于正 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的边长 ， 以所求概 率为 ： 所
／ ３ 。当 在 Ａ ＿ Ａ＝ ０ ， Ｂ上运动时， 求使 ｌ ｌ Ａ 的概 Ａ ＞ＩＣＩ
率 。（ 提示 ： 率为 Ｐ Ａ）＝ ） 概 （
例 ３ （０ １ 湖 南 卷 ・ ｌ ） ２１年 文 ５ 已知 圆 Ｃ ＋ ２ ２ ： ｙ ＝１ ，
几何概型的常见题型及典例分析
几何概型的常见题型及典例分析2345直径MN 垂直于EF 和E 1F 1，与他们分别相交于K 和K 1(图1-2)。
依题设条件，样本空间所对应的区域是直径MN ，有L(G)=MN=2R ，注意到弦的长度与弦心距之间的关系比，则有利场合所对对应的区域是KK 1，有1()2K L G KK OK ====以几何概率公式得()()22A L G P L G R ===。
[解法2].如图1-1所示，设园O 的半径为R, EF 为诸平行弦中的任意一条，直径MN ⊥弦EF ，它们的交点为K ，则点K 就是弦EF 的中点。
设OK=x ，则 x ∈[-R,R], 所以 L(G)=2R设事件A 为“任意画的弦的长度不小于R ”，则A 的有利场合是R ≥,解不等式，得x R ≤ 所以()A L G R == 于是()P A == [评注] 本题结构比较简单，题中直接给出了等可能值参数；样本空间和有利场合所对应的区域，从图上都可以直接看出。
两种解法各有特色，解法1充分利用平面几何知识，在本题似较简便，解法2引进变量x 把代数知识和几何知识有机的结合起来，从表面上看解题过程不甚简便，但确具有推广价值，这种方法可以求解复杂的几何概率问题。
例4、 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm 2 与81cm 2之间的概率．分析：正方形的面积只与边长有关，因此，此题可以转化为在12cm 长的线段AB 上任取一点M ，求使得AM 的长度介于6cm 与9cm 之间的概率．解：记“面积介于36cm 2 与81cm 2之间”为事件A ，事件A 的概率等价于“长度介于6cm 与9cm 之间”的概率，所以，P(A)= 9612-=14 小结：解答本例的关键是，将正方形的面积问题先转化为与边长的关系。
练习：2、已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )6 A.110 B.19 C.111 D.18解析：设乘客到达站台立即乘上车为事件A ，试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝110.答案：A3、已知集合A {x |－1<x <5}，B ＝{x |x －23－x>0}，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________．解析：由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |2<x <3}，由几何概型知：在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈A ∩B 的概率为P ＝16.答案：164、 小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小赵等车时间不多于10分钟的概率．分析：因为客车每小时一班,而小赵在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的, 所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件，且属于几何概型中的长度类型.解析:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,而事件的总体是整个一小时，即60分钟，因此，由几何概型的概率公式,得P(A)= 605060-=61，即此人等车时间不多于10分钟的概率为61． （二）、与面积有关的几何概型例1、ABCD 为长方形，1,2==BC AB ，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（ ）A ．4π B.14π- C.8π D.18π- 分析：由于是随机的取点，点落在长方形内每一个点的机会是等可能的，基本事件是无限多个，所以符合几何概型.解：长方形面积为2,以O 为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半A ODC B1图7圆)面积为2π，因此取到的点到O 的距离大于1的面积为22π-，则取到的点到O 的距离大于1的概率为412221)(ππ-=-==的面积长方形的面积的距离大于取到的点到ABCD O A P . 故选B.例2、 如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2cm.运动员在70 m 外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？思路点拨 此为几何概型，只与面积有关．解 记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为2212241cm ⨯⨯π的大圆内，而当中靶点落在面积为222.1241cm ⨯⨯π的黄心时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率为01.0122412.1241)(2222=⨯⨯⨯⨯=cm cm B P ππ. 即：“射中黄心”的概率是0.01.方法技巧 事件的发生是“击中靶心”即“黄心”的面积；总面积为最大环的圆面积．例3、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为 。
几何概型易错题辨析几则
时， Ｍ一 Ａ 一 Ｂ 符合条件的点 Ｍ 等可能地分布 ｃ ｃ ｃ，
、
正确 区分 古 典 概 型与 几 何 概 型
【 １ （ ） 区间Ｅ ，０ 上任 意取一个整数 ， 例 １ １在 ｏ １］ 则 不大于 ３的概率为 ．
在 段Ｍ ， 求 概 等 一 ． 线 ｃ上 所 的率 于 等 故
边 Ｂ Ｃ上任取一点 Ｍ ， 求 Ｃ Ｍ％３ 。 Ａ ０的概率． （） ２在等腰 Ｒ △ＡＢ ｔ Ｃ中， Ｃ＝９ 。在 Ｃ Ｂ 内作 ＝ ０， ＝ Ａ 射线交线段 Ｂ Ｃ于点 Ｍ ， 求 Ｃ Ｍ％３ 。 Ａ ０的概率．
度 比公式计算其概率．
设“ 等待的时间不多于 １ ０分钟 ” 这一事件记作事件
疑难 击
ｌ≯日 ＿一
ｍ ｌ％ ｌ ｇ
不
等
式 ． 错
解 之
探 究
≥４ ．
广 西 南宁 市第十 中学（ ３ ０ １ 许红玲 ５ ０３ ）
数 学 教 学 倡 导 有 意 义 学 习 ， 立 足 理 解 知 识 的 学 即 习 ， 完 整 的 学 习 过 程 包 括 理 解 知 识 、 持 知 识 和 运 用 而 保 正 解 ：。／。 ＿ － — ‘ ￣＆ ａ ｂ １ ．Ｖ ／ ￣ ｌ ＿ ＿ ｑ
问题 （） ２ 的测度应定 为角度 ， 点 Ａ 作射线 与线 段 过 Ｃ Ｂ相交 ， 这样 的射线 有无数条 ， 匀分布在 Ｃ Ｂ 内， 均 Ａ ￣Ｃ ＝４ ０所 以所求概率等于 ＡＢ ５， 一３￣ 一２ ０
．
（ ） 区间Ｉ ，ｏ 上任意取一个实数 ， ３不大于 ２在 － ｌＪ ｏ 则 ７
３ 所 以所 求 概 率为 ． ，
１Ｖ
点 评 ： 例 中的 两 个 问题 ， 个 基 本 事 件 都 是 等 可 此 每
几何概型常见错误辨析[权威资料]
![几何概型常见错误辨析[权威资料]](https://img.taocdn.com/s3/m/cd2162c1185f312b3169a45177232f60ddcce704.png)
几何概型常见错误辨析在几何概型中，事件A的概率计算公式为，根据笔者的理解，其中D、d是指空间形式（如线段、射线、直线、角、平面图形、立体图形等）所表示的区域，测度是指度量区域所得到的数量（如长度、角度、面积、体积等）。
在几何概形中，每个基本事件可视为从区域内随机取一点，区域内的每一个点被取到的机会都一样。
因此D的测度就是所有等可能基本事件相应区域的数量，d的测度就是包含A的等可能基本事件相应区域的数量。
在解几何概型问题时，最容易犯以下两种错误：（1）选取的空间形式表示的区域不符合题意；（2）基本事件在相应的区域内不等可能出现。
而且不易辨析。
如王波凤对例1的求解是这样评析的：例1，已知直线l过点E（-1，0），l与圆C：（x-1）2+y2=3相交于A、B两点，则弦AB≥2的概率为。
解法一：如图1，设直线l方程为y=k（x+1），代入（x-1）2+y2=3，得（k2+1）x2+2（k2-1）x+k2-2=0，因为l 与ΘC相交于A、B两点，所以△=4（k2-1）2-4（k2+1）（k2-2）>0，解得…（1）。
因为圆的半径，所以弦长AB≥2时，圆心C到直线l的距离d≤ ，即≤ ，解得-1≤k≤1…（2）。
由几何概型可知，事件M为直线l与圆C相交弦长AB≥2的概率P（M）= 。
另一部分学生认为这道题应该用直线的倾斜角来算。
解法二：前面部分同解法一，得到（1）、（2）两式后，根据斜率与直线倾斜角的关系，得到P（M）= 。
到底哪种方法正确呢？通过分析，这道题的试验是过定点作直线，用倾斜角是均匀的，而斜率不能均匀，不满足等可能性。
如斜率为1的直线已经在第一象限的角平分线了，这样前一种方法就错了。
笔者认为以上评析有三点需要纠正。
其一，解法二不能称“用直线的倾斜角来算”，因为倾斜角的范围是[0°，180°），而应该改成“用以射线EC为始边，以射线EA为终边所形成的角”来算。
其二，“斜率为1的直线已经在第一象限的角平分线了”，也只有在直线已经过原点时才能这样说。
几何概型题型剖析
几何概型题型剖析近年来，随着高考的改革，几何概型题型在高考中的比例也越来越大。
几何概型题型不仅考察了数学基本知识的掌握，更是考察考生的几何思维能力和解题能力。
下面，本文将从几何概型题型的定义、形式和解题技巧三个方面来进行剖析。
一、几何概型题型的定义几何概型题型是指几何学中基于一定条件下的形状和位置的问题。
通常是给定几何图形中的一些线段或角度的长度或度数，让考生推出其他未知数据或者几何图形的面积或体积等。
几何概型常常出现在高中数学中的平面几何和立体几何中。
二、几何概型题型的形式几何概型题型的形式比较多样，主要以图形为主要表现形式。
下面是几篇典型的几何概型题型：（1）直角三角形已知一个直角三角形的斜边长为10，一个锐角的对边长为6，求另外一个锐角的对边长。
（2）正方体正方体ABCD-EFGH中，A(-2,2,2)，B(0,0,2)，C(2,0,0)。
若直线AP过C，交线段BD于P，则点P的坐标为（a,b,c）,求a+b+c的值。
（3）平面内的问题已知两个三角形ABD，BCE（如图），且AD=BC，∠DAB=∠EBC，AD=1，BC=2，是否能够得出线段AC的长度大于2或者等于2或者小于2？（4）立体图形体积已知三棱锥ABCD-倾斜于底面的投影∠EAB=∠FBC=90°，若AB=2、BC=1.5，DE=FC，那么三棱锥ABCD的体积为多少？以上是几篇典型的几何概型题型，这些题目都要求考生要分析给定条件，找出相应的几何定理进行解题。
三、解题技巧要想在考试中顺利解决几何概型题型，考生需要掌握以下解题技巧：（1）思维缜密。
考生在解题的过程中需要注意数据的准确性，推理过程的合理性，概念的逻辑性，结果的合理性等等一系列问题。
这需要考生思维缜密，逻辑清晰。
（2）对给定条件进行分析。
考生要仔细阅读题目，对给定的条件进行仔细的分析。
在分析的过程中要注意图形的性质、数据之间的关系，静心思考，确定所需的未知量。
由两道题所引发的对几何概型的思考
孚，
又 Ａ 手 ， Ｚ Ａ Ｃ Ｃ ＇ ＝ 孚。
・ ． ．
线段长度作为度量 ． 结果为— ：。
、 ／２
Ｐ （ 耻Ｐ （ Ａ Ｍ ＜ Ａ Ｃ ） ＝ 孚 ｏ 二 手 － ｝ ｜
故Ａ Ｍ ＜ Ａ Ｃ 的概率为： ÷。
解法 ２ ： 记事件 Ｆ ＝ ｛ ＡＭ＜ ＡＣ ｝ ，
Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ＆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ Ｖｉ ｓ ｉ ｏ ｎ
科 技 视 界
科技・ 探索・ 争呜
由两道题所 引发的对几何概型的思考
边 静雯 （ 山东省 泰安 市 第一 中学 ， 山东 泰 安 ２ ７ １ ０ １ ９ ）
有这样两道题 ， 很多人对答案存在争议 ， 首先看一下这两道题。 第 １ 题（ 如下 图） ， 在等腰 直角 三角形 Ｒ ｔ Ｖ Ａ Ｂ Ｃ中 ， 过直角 顶点 Ｃ 在Ｌ ＿ Ａ Ｃ Ｂ内部任作 一射 线 Ｃ Ｍ。 与线段 Ａ Ｂ交 于点 Ｍ， 求Ａ Ｍ ＜ Ａ Ｃ的概 率， 即求 Ｐ （ Ａ Ｍ ＜ Ａ Ｃ ） 。
一
第２ 题（ 如上 图 ） ， 在 等腰 直 角三 角形 Ｒ ｔ Ｖ Ａ Ｂ Ｃ中 ， 点 Ｍ 为线 段 由上面公式可以看出 ． 在解决几何概型 问题时重要一 点在 于能否 Ａ Ｂ上任意一点 ， 求Ａ Ｍ ＜ Ａ Ｃ的概率 ， 即求 Ｐ （ Ａ Ｍ＜ Ａ Ｃ ） 。 将 问题几何化 ． 怎样将问题转化相应 的几何测度来处理 。 对于上面这两个题 ， 有两种不同的解法 ， 如下 ： 我认为在上 面两个题 中 ， 对于第 １题来说 ， 解法 １是对 的， 解法 ２ 解法 １ ： 在Ａ Ｂ 上取 使得 Ａ Ｃ ｃ ， ￣ Ｕ ／ ＿ Ａ ｃ ｃ ， ＿ — ＇ Ｂ ＇ － － 是错误的 虽然在线段 Ａ Ｃ 上任意取一点 Ｍ是 等可能 的， 但是过 ｃ和 任取 的点所作 的射 线是不均匀 的 ， 先有的射线后 有点 Ｍ， 因而不 能简 ｛ 科 啡 Ａ Ｃ Ｂ内匍 乍 ＿ ＿ 目 线Ｃ Ｍ， 与线段Ａ 口 女 Ｍ ＜ ４ ｃ ｝ 单地把等可能取点看成 是等可 能的作射线 ， 尽管射线与点是一二 － 一 对应 则所有 可能结果 的区域为 厶４ 叩． 的。 射线在角内是均匀分布的， 故只能 选择角度作为测度， 结 果为÷ ｚ ４ 。 事件 Ｅ构成的区域为 厶Ｉ Ｃ ｃ ， 对于第 ２题来说 ． 点在斜边上是等可能分布的 ， 解法 ２是对的 ， 以
剖析几何概型问题的常见易错点
ʏ姜典术在一次试验中,古典概型中等可能事件只有有限个,几何概型中等可能事件有无限个㊂几何概型的概率公式中的 测度 只与大小有关,而与形状和位置无关㊂在解这类问题时,稍有疏忽就会出错,下面列举两种常见的易错点,供同学们学习与参考㊂一㊁几何度量计算出错例1 在0~1之间随机选择两个数,这两个数对应的点把0~1之间的线段分成了三条,试求这三条线段能构成三角形的概率㊂错解:设事件A 为 三条线段能构成三角形 ,设三条线段的长度分别为x ,y ,1-x -y ㊂由题意可得,事件A 所满足的条件为x +y >1-x -y ,x +y<1,{解得12<x +y <1,即事件A 的区域长度为12㊂总的样本空间的区域长度为1,所以所求概率P (A )=12㊂剖析:错解把长度型几何度量当成计算概率的几何度量㊂其实,对三条线段的长度加以分析,对应围成的几何图形的面积才是满足条件的几何度量㊂正解:设事件A 为 三条线段能构成三角形 ,设其中两段的长度分别为x ,y ,则第三段的长度为1-x -y ㊂图1总的样本空间满足的条件为0<x <1,0<y <1,0<1-x -y <1,ìîíïïï它所表示的平面区域为直角三角形O A B 内部的区域(如图1),其面积为12㊂由题意可知,事件A 满足的条件为x +y >1-x -y ,x +1-x -y >y ,y +1-x -y >x ,ìîíïïï即x +y >12,x <12,y <12,ìîíïïïïïï它所表示的平面区域为直角三角形D E F(阴影)内部的区域,其面积为18㊂所以所求概率P (A )=S әD E F S әA O B =14㊂二㊁几何度量选择出错例2 在等腰直角三角形A B C 中,直角顶点为C ,在øA C B 的内部任作一条射线C M ,与线段A B 交于点M ,求线段A M <A C 的概率㊂图2错解:在线段A B 上取A C 1=A C (如图2)㊂在øA C B 内作射线C M ,可看作在线段A C 1上任取一点M ,过点C连接M 即得射线C M ,所以线段A M <A C的概率P =A C 1的长度A B 的长度=A C A B =22㊂剖析:上述解法不满足几何概型的等可能性㊂在线段A C 1上任取一点M 是等可能的,但不满足在øA C B 内任作一条射线C M 是等可能的,因此不能把等可能取点看作等可能作射线㊂正解:在øA C B 内作射线C M 是均匀分布的,所以射线C M 所在任何位置都是等可能的㊂在线段A B 上取A C 1=A C ,则øA C C 1=67.5ʎ㊂故线段A M <A C 的概率P =øA C C 1øA C B =67.5ʎ90ʎ=34㊂作者单位:重庆市巫山第二中学(责任编辑 郭正华)2 数学部分㊃易错题归类剖析 高一使用 2022年5月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高考有方法-几何概型专题分析
必修3几何概型专题分析练之方法：1. 求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).2. 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．3. 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求．练之题组：题组一 与长度有关的几何概型的求法1. 在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为________．解析：本题考查与长度有关的几何概型的概率.x ∈[0,1]为1个单位长度，由已知可得1012(1)3P -==--. 2. x 是[－4,4]上的一个随机数，则使x 满足x 2＋x －2<0的概率为( ) A.12 B. 38 C. 58 D ．0解析：本题考查与长度有关的几何概型的概率.由题意求出x 2＋x －2<0的解集为(－2,1)，只需求出区间(－2,1)的长度为3.区间[－4,4]的长度为8，长度之比即为所求的概率为38.故选B. 3. 在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S 4的概率是( ) A.14 B.12 C.34 D.23解析：本题考查与长度有关的几何概型的概率.如右图，在AB 边上取点P ′，使AP ′AB ＝34，则P 在AP ′内运动时，△PBC 的面积大于S 4.故选C.题组二 与角度有关的几何概型问题4. 在圆心角为90°的扇形AOB 中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率．解析：本题考查与角度有关的几何概型的概率.如图，把圆弧AB 三等分，则∠AOF＝∠BOE＝30°，记A 为“在扇形AOB 内作一射线OC ，使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”，要使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，则OC 就落在∠EOF 内，∴P(A)＝30°90°＝13. 5. 在等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则|AM|<|AC|的概率为 .解析：本题考查与角度有关的几何概型的概率.在∠ACB 内的射线CM 是均匀分布的，所以射线CM 作在任何位置都是等可能的，在AB 上取AC ′＝AC.则∠ACC ′＝67.5°， 故满足条件的概率为67.590︒︒＝0.75. 6.如下图，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连结AA ′，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为( )A.12B.23C.32D.14解析：本题考查与角度有关的几何概型的概率.如图，当AA′长度等于半径时，A′位于B 或C 点，此时∠BOC＝120°，则优弧BC ＝43πR ，∴满足条件的P ＝43πR 2πR ＝23，故选B题组三 与面积有关的几何概型问题7. 如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝4 cm ，BC ＝2 cm ，在图形上随机撒一粒黄豆，则黄豆落到阴影部分的概率是________．解析：本题考查与面积有关的几何概型的概率.P ＝S 圆S 矩形＝π×124×2＝π8. 8. 现向如图所示正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分的概率．解析：本题考查与面积有关的几何概型的概率投中正方形木板上每一点(投中线上或没投中都不算)都是一个基本事件．记事件A ＝{飞镖落在阴影部分}；把x ＝1代入6x －3y －4＝0得y ＝23， 把y ＝－1代入6x －3y －4＝0得x ＝16， ∴E 、F 两点坐标分别为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－1、F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23， ∴|BE |＝1－16＝56，|BF |＝1＋23＝53， ∴S △BEF ＝12×56×53＝2536， S 正方形＝22＝4，∴由几何概率公式得：P (A )＝S △BEF S 正方形ABCD ＝25364＝25144. 答：飞镖落在阴影部分的概率是25144. 9．甲、乙两人相约10天之内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过3天以后方可离开．若他们在限期内到达目的地是等可能的，求甲、乙两人会面的概率．解析：本题考查与面积有关的几何概型的概率.本题中每人到达会面地点的时间是随机的，可以认为是等可能的，故是几何概型的求概率问题．设甲、乙两人分别在第x 、y天到达某地，0≤x≤10,0≤y≤10，他们会面的充要条件是|x －y|≤3.因为点(x ，y)分布在如图的正方形OABC 内，其基本条件S 1为介于两直线x －y＝±3之间的阴影部分，故所求概率P ＝100－10－32100＝51100.题组四 与体积有关的几何概型问题10. 有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：本题考查与体积有关的几何概型的概率.V 圆柱＝2π，V 半球＝12×43π×13＝23π， V 半球V 圆柱＝13， 故点P 到O 的距离大于1的概率为23. 11. 在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V 3的概率是________．解析：本题考查与体积有关的几何概型的概率.如图，三棱锥S －ABC 与三棱锥S －APC 的高相同，要使三棱锥S －APC 的体积大于V 3，只需△APC 的面积大于△ABC 的面积的13. 假设点P′是线段AB 靠近点A 的三等分点，记事件M 为“三棱锥S －APC 的体积大于V 3”，则事件M 发生的区域是线段P′B. 从而P(M)＝P′B AB ＝23.。
几何概型的常见题型和典例分析
几何概型的常见题型及典例分析一．几何概型的定义1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.2．特点：（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等.3．计算公式：.)(积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P = 说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量.4．古典概型和几何概型的区别和联系：（1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的.（2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的；②两种概型的概率计算公式的含义不同.二．常见题型（一）、与长度有关的几何概型例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2cos xπ的值介于0到21之间的概率为( ). A.31 B.π2 C.21 D.32 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件.解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2xπ的值介于0到21之间,需使223x πππ-≤≤-或322x πππ≤≤ ∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为32， 由几何概型知使cos 2x π的值介于0到21之间的概率为 31232===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A. 例2、 如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型．解 记 E ：“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30×31=10米， ∴313010)(==E P . 方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．例3、在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R 的概率。
两道几何概型试题的辨析
两道几何概型试题的辨析
林慧敏;徐华
【期刊名称】《理科考试研究（高中版）》
【年(卷),期】2016(023)003
【总页数】1页(P13)
【作者】林慧敏;徐华
【作者单位】湖北省团风中学 438800;湖北省团风县实验中学 438800
【正文语种】中文
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几何概型公考真题答案解析
几何概型公考真题答案解析几何概型是公共考试中常见的一类题目类型，需要考生熟悉各种几何图形的性质和定理，并能够熟练运用这些知识解决问题。
本文将针对几何概型的一些常见题目进行解析，帮助考生更好地理解和掌握几何概型题的解题思路和方法。
首先，我们来看一个典型的几何概型题目：题目：在平面上有一个正方形ABCD，假设点E是线段BC的中点，点F是线段CD的中点。
连接线段AE和线段DF的交点为点P，连接线段AE和线段BF的交点为点Q，连接线段CD和线段BF的交点为点R。
求证：四边形PEQR是一个平行四边形。
解析：首先我们需要理解平行四边形的定义和性质。
平行四边形是指有四个边全部都是平行且两两相等的四边形。
所以，我们只需要证明四条边都是平行的，并且至少有两条边相等。
在这个题目中，我们可以观察到一些线段和角度的关系。
首先，根据正方形的定义可知，线段AB和线段DC平行且相等，线段BC和线段AD也平行且相等。
我们可以画出图形，帮助我们更好地理解题目。
接下来，我们需要确定点P、Q和R的位置。
由于E是线段BC的中点，所以点P位于线段AE上。
同理，点R位于线段CD上，点Q位于线段BF上。
由于线段AE和线段BF都与线段BC平行，所以根据平行线性质可知线段AE与线段BF平行。
同理，线段CD与线段BF也平行。
这样，我们得到了四边形PEQR的四条边都是平行的。
接下来，我们需要证明至少有两条边相等。
我们可以观察到，由于点E是线段BC的中点，所以线段AE和线段EC相等。
同理，由于点F是线段CD的中点，所以线段FD和线段FC相等。
根据等边和等角的性质，我们可以知道角A和角C相等，角D和角B相等。
这样，我们得到了两组边相等的情况。
综上所述，根据以上分析，我们可以得出结论：四边形PEQR是一个平行四边形。
通过对这个题目的解析，我们可以总结出几何概型题目的解题步骤和思路。
首先，我们需要理解题目中所给的图形和条件，并根据所给的信息画出图形，以帮助我们更好地理解题目。
21-22版：微专题4 用两种概型计算时的几个关注点（步步高）
微专题4用两种概型计算时的几个关注点古典概型与几何概型是最典型的随机试验模型，也是概率模型计算中的基础模型．在初学时易错易混，注意以下四个关注点．一、关注基本事件的有限性和等可能性例1袋中有大小相同的3个白球，2个红球，2个黄球，每个球有一个区别于其他球的编号，从中随机摸出一个球．(1)把每个球的编号看作一个基本事件建立的概率模型是不是古典概型？(2)把球的颜色作为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立的概率模型是不是古典概型？解(1)因为基本事件个数有限，而且每个基本事件发生的可能性相同，所以是古典概型．(2)把球的颜色作为划分基本事件的依据，可得到“取得一个白球”“取得一个红球”“取得一个黄球”，共3个基本事件．这些基本事件个数有限，但“取得一个白球”的概率与“取得一个红球”或“取得一个黄球”的概率不相等，即不满足等可能性，故不是古典概型．反思感悟只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型，两个条件只要有一个不满足就不是古典概型．二、关注基本事件的计算，做到不重不漏例2一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球．(1)共有多少个基本事件？(2)“2个都是白球”包含几个基本事件？解方法一(1)(列举法)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则所有的基本事件如下：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，共10个(其中{1,2}表示摸到1号球和2号球)．(2)由(1)中知，“2个都是白球”包含{1,2}，{1,3}，{2,3}，共3个基本事件．方法二(1)(列表法)设5个球的编号分别为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：由于每次取2个球，每次所取2个球不相同，而摸到{b ，a }与{a ，b }是相同的事件，故共有10个基本事件．(2)由(1)中知，“2个都是白球”包含{a ，b }，{b ，c }，{a ，c }，共3个基本事件． 反思感悟 计算基本事件的个数时，要做到不重不漏，就需要按一定程序操作，如列举法，列表法，还可以用树状图法求解． 三、关注事件间的关系，优化概率计算方法例3 有3个完全相同的小球a ，b ，c ，随机放入甲、乙两个盒子中，求两个盒子都不空的概率．解 a ，b ，c 三个小球随机放入甲、乙两个盒子的基本事件为：两个盒子都不空的对立事件是至少有一个盒子为空，所包含事件：甲盒子a ，b ，c ，乙盒子空；甲盒子空，乙盒子a ，b ，c ，共2个，故P ＝1－28＝34.反思感悟 在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )求得或采用正难则反的原则，转化为其对立事件，再用公式P (A )＝1－P (A )求得． 四、关注事件的测度，规避几何概型易错点例4 (1)在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，过点A 作一射线交线段BC 于点M ，求BM ≤AB 的概率；(2)在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，在线段BC 上取一点M ，求BM ≤AB 的概率． 解 (1)记“过点A 作一射线交线段BC 于点M ，使BM ≤AB ”为事件Ω，由于是过点A 作一射线交线段BC 于点M ，所以射线在∠BAC 内是等可能出现的，又当AB ＝BM 时∠BAM ＝67.5°，所以P (Ω)＝d 的测度D 的测度＝67.5°90°＝34.(2)设AB ＝AC ＝1，则BC ＝2，设“在线段BC 上取一点M ，使BM ≤AB ”为事件Ω， 则P (Ω)＝d 的测度D 的测度＝12＝22.反思感悟 当试验是“过点A 作一射线”时，用角度作测度；当试验是“在线段BC 上取一点”时，用线段长度作测度．一般地，试验是什么，可以确定基本事件是什么．基本事件累积起来，就可以确定区域是角度、长度还是面积等．。
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Ｃ
Ｍ
辨析
几何 概 型 问题 一 定要 搞 清楚等 可能 的角
度是 什 么 ． 题 等 可 能 的 角 度 是 “ 行 于 的 动 弦 本 平 ＭＮ 所 产 生 的对应 点 Ｄ”而 学生 １ 可能 的角度应 ， 等
是解决“ 在半 圆内投点 ， 落在 弓形 ＭＣ 内的概率” Ｎ
Ｃ
／ 一 — ＼ ＾
谨 的情形下 ， 答案应是唯一 的． 因此 ， 在解题 中应严 格按照问题指定的角度作答 ， 不能随意改变原题 的
角度 ．
／、
Ｄ
几何 概型教 学 中 ， 生在把事件 空间转化 为与之 学
图 ５
图
６
对应 的区域 时 ， 对均匀 分布考 虑的缺 失常常构 造 出错 误 的几何 区域 ； 一 方 面 ， 等可 能 判 断是 教学较 为 另 对 忽视 的环节 ， 整个概 率教学 的基础 ， 引起重视 ． 是 应
：Ａ１ ＊Ａｌ ， 住 右 下 角 拖动 至 Ａ ００ 产 生 ３０ ”按 ３０ ， ００
个 随机数 ；
别 为 ３， （ ＜ ｚ， ７Ｙ ０ Ｙ＜１ ， ）
（ ）同理 ： 四列 记 为纵 坐标 Ｙ ， 中 Ｄ１格 ， ４ 第 选 计算 ３ ０ 个 随机数 ； ００ （ ）选 中 Ａ ， 两 列 ， 入一 图表 一散 点 图 ， ５ Ｂ 插 得 到 （ ） ， 均匀分 布于 图 ３ ；
但为什么却和标准答案不同呢？题意的要求是两直
角边 ｚ、 Ｙ是 （ ， ） 问 内 的随 机 数 ， 而点 （ Ｙ ０１区 从 ， ）
由题 意 ，＜ ４ｙ ＜ ， 图 １所示 ， ０ － ２ 如
落在正方形 区域 内任一点处都是 等可能的； 学生作
变换 ， 得一一 对应 ， 使 但是 却在 此时 忽略 了很重 要的
（）同理 ： 二列 记 为纵坐标 Ｙ 选 中 Ｂ１ ， ２ 第 ， 格 产
生 ３ ０ 随机 数 ； ０ ０个
不想 课后 ， 一学 生 问 ：老 师 ， 的做法 我听懂 有 “ 你 了， 但是 为什么我 做 的是 不对 的？一起 来看看 ： ”
生解 设 两直 角 边分
“
（） 三列记 为横坐标 ． ， 中 Ｃ 格 ， ３第 ７ 选 ２ ｌ 计算
＝豇 ８
．
问题 １ 直角 三角 形 的两直 角 边 都是 （ ，） ０ １ 区
， ’
咋一 看 ， 没有什 么 问题 ． 生只是运用 一 学
间上的随机数 ， 试求斜边长小于鲁的概率 ．
Ｊ
对应 将 复杂 的条件 简单化 ， 该是 一种 明智 之举 ！ 应
师解
设 两直 角边分 别 为 ｚ， （＜ ３， Ｙ ０ ７ ＜１ ， ２ ７ ）
・
解题方法・
数 学通讯 一 ２ １ ０ １年第 ６期 （ 下半 月）
３ １
时， ＭＯ ＝ ， Ｃ 而 Ａ Ｃ 詈， Ｏ ＝ 于是：
Ｐ） （＝ Ａ
师解
＝． 号
如 图 ６ 平 行 于 Ａ 的 弦 ＭＮ 对 应 Ｏ ， Ｂ Ｃ
上 任一 点 Ｄ， 线 段 ＯＣ 长 为 总 测 度 ， ＭＮ ＜Ｒ 故 当 时 ， 件 Ａ 的测 度 为线 段 Ｃ 的长 ， 事 Ｄ 于是 ：
（ ）选 中 Ｃ， 两 列 ， 入一 图表 一散点 图 ， ６ Ｄ 插 得
由 题意，＜ｚ４ ＜ ０ － 罟，
， 、
记斜边长小于鲁为事件
Ａ ， 了使 计算 简便 ， ｍ 为 令
＝Ｌ ， ＝Ｙ ， 上 述 条 件 ｚ 则 变 为 ：＜ ＂ ＜ｌ ０ ０ ／ Ｉ ｔ ， ＜ｎ＜１ ， 图 ２
数学通讯 一 ２ １ ０ １年第 ６期 （ 下半月）
・ 解题方法・
两 道几 何 概 型 问题 辨析
沈 恒
（ 江省 湖 ＇ － 中 ， １０ ０ 浙 Ｎ ３３０）
近期 在几何 概型教 学 中遇 到两个 问题 ：
． ．
１ 等 可能与一 一对应
舭
辨析
一
（ ＝ Ａ）
＝
，
到 （ Ｙ ） ｚ ， 非均 匀 分布于 图 ４ ．
通 过 以上 实验 ， 学生 感 性 的认 识 了变 量尽 管 一
一
事件 Ａ 发生 的条 件为 ０ ＜ｍ ｎ＜ － ４ ４
如 图 ２所示 ，
对 应 ， 并不 一定 等可 能 ， 驳斥 了误解 ． 但 故
２ 误选 等可 能角 度
问题 ， 故错 误 ； 生 ２等 可 能 的角 度应 是 解决 “ Ｏ 学 过 点发 出射 线 Ｏ ” 类 的等 角度 的几 何 概型 问题 ， Ｍ 之 故 错误 ． 因此 ， 同一 个 问题 的不 同角 度 ， 产 生 不 同答 会
案 ， 贝特朗悖论”有 三种 以上答案 ． 如“ ， 但在题意严
一
点——变换后的点 （ ｚ 落人正方形区域 内却 ＂， ）
不是 等可 能的 ！
为了对等可能有一个有更直观的认 识， 我们用
Ｅ ｃｌ ｔ ｘｅ Ｖ ３ Ａ设计 一个程 序 来 阐述 一 一对应 并不 一定
等 可能 ！步骤如 下 ： （ ）第 一 列 记 为 横 坐 标 ．， 中 Ａ１格 ， 用 １ ３选 ２ 利
．
Ｐ（ ： Ｃ ： Ａ） Ｄ
图 ３ 图 ４
一
．
问题 ２ 已知 半 圆 的直 径 ＡＢ＝２ ， Ｒ 作平 行 于 ＡＢ 的弦 ＭＮ， 求使 得弦 ＭＮ＜Ｒ 的概率 ． 生解 １ 记弦 ＭＮ＜ Ｒ 为 事件 Ａ ， 由于 平 行 于 Ａ 的弦 ＭＮ 落在半 圆 内 ， Ｂ 故总 的测度 为 半 圆 面积 ， 当弦 ＭＮ 落 在 弓形 ＭＣ （ 图 ６ 其 中 ＭＯ ＝ Ｎ 如 ， Ｎ ６ 。中时事 件 Ａ 发 生 ， 弓形 面积 为事 件 Ａ 发 生 的 ０） 故
图 １
Ｅ ｃｌ ｘｅ 自带 函数 Ｒ ｎ ， 写 为 Ｒ ｎ （ ，） 自动产 生 ａｄ填 ａｄ０ １ ，
一
记边 小 号事 Ａ 斜 长于 为 件 ， 则
１
＝ ＝
个 随机 数 ， 住 右 下 角拖 动 至 Ａ３０ ， 生 ３０ 按 ００ 产 ００
个 随机 数 ；
４
华 ＝ ４ 争 ９