1.1.3.2 补集及综合应用

【补偿训练】设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求∁R(A∪B)及 (∁RA)∩B. 【解析】全集R和集合A,B在数轴上表示如下: 由图知,A∪B={x|2<x<10}, 所以∁R(A∪B)={x|x≤2或x≥10}, 所以∁RA={x|x<3或x≥7}, 所以(∁RA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}.
2.符号∁UA包含的三层意思 (1)A⊆U.
(2)∁UA表示一个集合,且∁UA⊆U.
(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合.
3.补集的相关性质
(1)A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA)=∅.
(2) ∁U(∁UA)=A,∁UU=∅,∁U∅=U.
(3) ∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB), ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
)
【解析】选A.U=M∪(∁UM)={0,2,4}∪{6}={0,2,4,6}.
4.全集U={x|0<x<10},A={x|2<x<5},则∁UA=
【解析】利用数轴法
.
可得∁UA={x|0<x≤2或5≤x<10}.
答案:{x|0<x≤2或5≤x<10}
【知识探究】 知识点 全集与补集
观察图形,回答下列问题:
所以U={-5,-4,-3,3,4,5}.
又A={x|x2-2x-15=0}={-3,5},
所以∁UA={-5,-4,3,4},∁UB={-5,-4,5}.
A∩(∁UB)={5}.
答案:{-5,-4,3,4} {5}
【巧妙解法】由题意知 U={-5,-4,-3,3,4,5},A={-3,5},B={-3,3,4},
【解析】1.选C.依题意,∁UA={2,4,7}. 2.在数轴上画出集合A,由数轴得∁RA={x|1≤x<5}. 答案:{x|1≤x<5} 3.A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6}, 所以U={1,2,3,4,5,6,7}. 又∁UB={1,4,6},所以B={2,3,5,7}. 答案:{2,3,5,7}
【题型探究】 类型一 补集的简单运算 【 典 例 】1.(2014· 湖 北 高 考 ) 已 知 全 集 U={1,2,3,4,5,6,7}, 集 合 A={1,3,5,6},则∁UA= ( A.{1,3,5,6} C.{2,4,7} ) B.{2,3,7} D.{2,5,7}
2.已知全集为R,集合A={x|x<1,或x≥5},则∁RA=
M⊆∁UP,求实数a的取值范围.
【解析】∁UP={x|x<-2或x>1},
因为M⊆∁UP,所以分M=∅,M≠∅两种情况讨论.
(1)M=∅时,应有3a≥2a+5,所以a≥5.
(2)M≠∅时,如图可得:
3a 2a 5, 3a 2a 5, 或 2a 5 2, 3a 1, 1 7 所以a≤- 或 ≤a<5, 3 2
第2课时 补集及综合应用
【知识提炼】 1.全集 所有元素 那 (1)概念:如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的_________, 么就称这个集合为全集. U (2)记法:通常记作__.
2.补集
不属于 集合A的所有元素组 (1)文字语言:对于一个集合A,由全集U中_______
全集U 的补集,简称为集合A的补集,记作 成的集合称为集合A相对于______ ∁UA. {x|x∈U,且x∉A} (2)符号语言:∁UA=_______________.
2.已知全集U={0,1,2},且∁UA={2},则A= ( A.{0} B.{1} C.∅
) D.{0,1}
【解析】选D.因为∁UA={2},所以2∉A,又U={0,1,2}, 所以A={0,1}.
பைடு நூலகம்
3.设全集为U,M={0,2,4},∁UM={6},则U等于 ( A.{0,2,4,6} C.{6} B.{0,2,4} D.∅
【延伸探究】 1.(变换条件)本例将条件“(∁UA)∩B=∅”改为“(∁UA)∩B≠∅”,其他 条件不变,则m的取值范围又是什么? 【解析】由已知得A={x|x≥-m}, 所以∁UA={x|x<-m},又(∁UA)∩B≠∅, 所以-m>-2,解得m<2.
2.(变换条件)本例将条件“(∁UA)∩B=∅”改为“(∁UB)∪A=R”,其他 条件不变,则m的取值范围又是什么? 【解析】由已知A={x|x≥-m},∁UB={x|x≤-2或x≥4}. 又(∁UB)∪A=R, 所以-m≤-2,解得m≥2.
【方法技巧】 1.求解与不等式有关的集合问题的方法 解决与不等式有关的集合问题时,画数轴(这也是集合的图形语言的常 用表示方式)可以使问题变得形象直观,要注意求解时端点的值是否能 取到. 2.求解集合混合运算问题的一般顺序 解决集合的混合运算时,一般先运算括号内的部分,再计算其他部分, 如本例2求(∁UA)∪B时,可先求出∁UA,再求并集.
(3)图形语言:
【即时小测】 1.思考下列问题: (1)全集一定包含任何元素吗? 提示:不一定.全集仅包含我们所要研究问题所涉及的全部元素 ,而非 任何元素.
(2)两个不同的集合A,B在同一个全集U中的补集可能相等吗? 提示:不可能相等.因为集合A,B是两个不同的集合,所以必定存在元素 在集合A的补集中,但不在集合B的补集中.
【解题探究】1.典例1中由条件M∩∁UN={2,4}说明什么? 提示:由条件M∩∁UN={2,4}可说明集合M中一定含有2,4,集合N中不含 2,4. 2.典例2中解题的方法是什么? 提示:结合定义,通过数轴分析求解.
【解析】1.选B.画出Venn图,阴影部分为M∩∁UN={2,4},所以 N={1,3,5}.
类型三
与补集相关的参数值的求解
【典例】设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2<x<4},全集U=R,且 (∁UA)∩B=∅,求实数m的取值范围. 【解题探究】本例中条件(∁UA)∩B=∅说明什么? 提示:条件(∁UA)∩B=∅说明两个非空集合∁UA和B没有公共元素,可以利 用数轴分析.
【解析】由已知A={x|x≥-m}, 得∁UA={x|x<-m}, 因为B={x|-2<x<4},(∁UA)∩B=∅, 所以-m≤-2,即m≥2, 所以m的取值范围是m≥2.
【变式训练】设U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={4,7,8},求 ∁UA,∁UB,(∁UA)∩(∁UB),(∁UA)∪(∁UB). 【解题指南】先计算括号内的部分,再进行其他运算. 【解析】∁UA={1,2,6,7,8}, ∁UB={1,2,3,5,6}, (∁UA)∩(∁UB)={1,2,6}, (∁UA)∪(∁UB)={1,2,3,5,6,7,8}.
可用Venn图表示.
则∁UA={-5,-4,3,4},A∩(∁UB)={5}.
答案:{-5,-4,3,4} {5}
【方法指导】图示法巧解集合运算问题 (1)数形结合法: 数形结合思想是数学解题中常用的方法 ,它能将抽象 问题直观化、形象化,能使问题灵活直观地获解,在数学学习中要注意 把握并善于运用这种数学思想. (2)集合运算中的数形结合法: 利用数轴或Venn图表示相关集合,再根 据图形求解集合的补集或相关集合的交集、并集等. 若集合是用列举 法表示的,可采用Venn图求解;若集合用描述法表示时,可采用数轴,通 过数轴分析来求解.
类型二
集合交、并、补的综合运算
【典例】1.设全集U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩ ∁UN={2,4},则 N= ( ) B.{1,3,5} D.{2,3,4}
A.{1,2,3} C.{1,4,5}
2.(2015·福州高一检测)已知全集U={x|x≤4},集合A= {x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2},求A∩B,(∁UA)∪B,A∩(∁UB).
【方法技巧】由集合的补集求解参数的方法
(1)有限集:由补集求参数问题,若集合中元素个数有限时,可利用补集
定义并结合集合知识求解.
(2)无限集:与集合交、并、补运算有关的求参数问题,若集合中元素
有无限个时,一般利用数轴分析法求解.
【补偿训练】设全集U=R,M={x|3a<x<2a+5},P={x|-2≤x≤1},若
2.利用数轴,分别表示出全集U及集合A,B,先求出∁UA及∁UB,再求解. 则∁UA={x|x≤-2,或3≤x≤4}, ∁UB={x|x<-3,或2<x≤4}. 所以A∩B={x|-2<x≤2}; (∁UA)∪B={x|x≤2,或3≤x≤4}; A∩(∁UB)={x|2<x<3}.
【延伸探究】本例2条件不变,试求∁U(A∪B)和∁U(A∩B). 【解析】由例题可知A∪B={x|-3≤x<3}, 所以∁U(A∪B)={x|x<-3,或3≤x≤4}. 又A∩B={x|-2<x≤2}, 所以∁U(A∩B)={x|x≤-2,或2<x≤4}.
问题1:一个集合A在不同全集中的补集相同吗? 问题2:全集与补集有什么关系?
【总结提升】 1.全集与补集的关系 (1)全集只是一个相对的概念,只包含所研究问题中所涉及的所有 元素,补集是相对于相应的全集而言.如我们在整数范围内研究问题, 则Z为全集,而当问题扩展到实数集时,则R为全集. (2)同一个集合在不同的全集中补集不同;不同的集合在同一个全集中 的补集也不同.
【方法技巧】补集的求解步骤及方法
(1)步骤:①确定全集:在进行补集的简单运算时,应首先明确全集;
②紧扣定义求解补集.
(2)方法:①借助Venn图或数轴求解;
②借助补集性质求解.
【变式训练】设全集S={1,2,3,4},且A={x∈S|x2-5x+m=0},若 ∁SA={2,3},则m= .