广东省东莞市高三数学小综合专题练习 立体几何 理

2015届高三理科数学小综合专题练习——立体几何一、选择题1.若l mn ，，是互不相同的空间直线，αβ，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 Ａ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l nＢ．若l αβα⊥⊂，，则l β⊥ Ｃ．若l nm n ⊥⊥，，则//l mＤ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥2．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆及其圆心，那么这个几何体的侧面积 为A. 4πB. 24πC. 22πD. 12π3．已知某锥体的正视图和侧视图如图2， 其体积为23，则该锥体的俯视图可以是4．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是A ．2＋2 B.1＋22 C.2＋22D ．1＋ 25．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π二、填空题6．在直四棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱）ABCD —A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD 满足条件 （凡是能推出该结论的一切条件均可）时，有A1C ⊥B1D1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）7．已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都等于6，且各顶点都在同一球面上， 则此球的表面积等于________．8．如图，正方体ABCD －A1B1C1D1的棱长为1，点M ∈AB1，N ∈BC1，且AM＝BN≠2，有以下四个命题：①AA1⊥MN ；②A1C1∥MN ；③MN ∥平面 A1B1C1D1；④MN 与A1C1是异面直线．其中正确命题的序号是________．9．在平面上，用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：.222b ac +=设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O —LMN ，如果用321,,s s s 表示三个侧面面积，s 表示截面面积，那么你类比得到的正确结论是 .10．如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，a bcOMNL1A1B 1C 1D ABCD已知AB ＝2，AE ＝BE ＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD 时，该几何体的侧视图的面积为2.若M ，N 分别是线段DE ，CE 上的动点，则AM ＋MN ＋NB 的最小值为________．三、解答题11.如下图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，30DPC ∠=o，AF PC ⊥于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E ．（1）证明：CF ⊥平面ADF ； （2）求二面角D AF E --的余弦值．图2PABCED F12．如下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =．（1）证明：当点E 在棱AB 上移动时，11D E A D⊥；（2）在棱AB 上是否存在点E ，使二面角1D EC D--的平面角为6π？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．13.如下图,四棱锥P ABCD -,侧面PAD 是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是ABC ∠=60︒的菱形,M 为棱PC 上的动点,且PMPC λ=([]0,1λ∈). (1) 求证:△PBC 为直角三角形；(2) 试确定λ的值,使得二面角P AD M --的平面角余弦值为255.14．在正三角形ABC 中，P F E ,,分别是BC AC AB ,,边上的点，满足21===PB CP FA CF EB AE （如图1）.将AEF ∆沿EF 折起到EF A 1∆的位置，使二面角B EF A --1成直二面角，连结P A B A 11,（如图2）.（1）求证：⊥E A 1平面BEP ；PABCM ABCE1A 1B 1C A1D D（2）求直线E A 1与平面BP A 1所成角的大小； （3）求二面角F P A B --1的余弦值.15．在直三棱柱ABC －A1B1C1中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°. （1）若异面直线A1B 与B1C1所成的角为60°，求棱柱的高；（2）设D 是BB1的中点，DC1与平面A1BC1所成的角为θ，当棱柱的高变化时，求sinθ的最大值．16． 一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视 图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.（1）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积； （2）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -? 如何组拼？试证明你的结论；正视图侧视图（3）在（2）的情形下,设正方体1111ABCD A B C D -的棱1CC 的中点为E , 求平面1AB E与平面ABC 所成二面角的余弦值.17．如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C所成的角为45o．（1）求此正三棱柱的侧棱长；（2）求二面角C BD A --的平面角的正切值； （3）求点C 到平面ABD 的距离．18.在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC ，AB 是底面△ABC 最长的边．三棱锥P ABC -的三视图如图3所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形．（1）请在图4中，用斜二测画法，把三棱锥P ABC -的直观图补充完整（其中点P 在xOz 平面内），并指出三棱锥P ABC -的哪些面是直角三角形； （2）求二面角B PA C --的正切值；ABD1A 1B C（3）求点C 到面PAB 的距离．2015届高三理科数学小综合专题练习——立体几何 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 答案 DDCAA二、填空题6.BD AC ⊥7. 84π8. ①③9. 2322212s s s s ++= 10.3第10小题解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于32－⎝⎛⎭⎫222＝2，因为该几何体的左侧视图的面积为12·BC×2＝22，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝33，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE·BEcos 120°侧视图正视图图3俯视图4232z图4OPyxPA BC EDFGH＝9，即AB＝3，即AM＋MN＋NB的最小值为3.三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．【解析】：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD AD⊥.因为在正方形ABCD中CD AD⊥，又CD PD D=I，所以AD⊥平面PCD.因为CF⊂平面PCD，所以AD CF⊥.因为AF CF⊥，AF AD A=I，所以CF⊥平面ADF. ……5分（2）[向量法]以D为坐标原点，DP、DC、DA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系设正方形ABCD的边长为1，则(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(4D A C PE F由（1）得1,0)CP=-u u r是平面BCDE的一个法向量.设平面AEF的法向量为(,,)x y z=n，3(0,,0)4EF=uu u r，(EA=uu r，所以344EF yEA x z⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩uu u ruu rnn.令4x=，则0y=，z==n是平面AEF的一个法向量.设二面角D AF E--的平面角为θ，且(0,)2πθ∈所以cos19CPCPθ⋅===⋅uu ruu rnn，所以二面角D AF E--的平面角的余弦值为. ……14分[传统法]过点D作DG AE⊥于G，过点D作DH AF⊥于H，连接GH.因为CD PD ⊥，CD ED ⊥，ED AD D =I ，所以CD ⊥平面ADE . 因为FE ∥CD ，所以FE ⊥平面ADE . 因为DG ⊂平面ADE ，所以FE DG ⊥.因为AE FE E =I ，所以DG ⊥平面AEF .易得GH AF ⊥， 所以DHG ∠为二面角D AF E --的平面角. 设正方形ABCD 的边长为1，在Rt △ADF 中，1AD =，32DF =，所以217DH =.在Rt △ADE 中，因为1124FC CD PC==，所以134DE PD ==，所以57DG =. 所以226133GH DH DG =-=，所以257cos 19GH DHG DH ∠==，所以二面角D AF E --的平面角的余弦值为25719. ……14分12. 【解析】：[向量法]以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，()11,0,1A ，()10,0,1D ．……………………………1分设0(1,,0)E y ()002y ≤≤．…………………2分（1）证明： ∵()101,,1D E y =-uuu r，()11,0,1A D =--uuu r． 则()()1101,,11,0,10D E A D y ⋅=-⋅--=uuu r uuu r，∴11D E A D ⊥uuu r uuu r，即11D E A D ⊥． ……………………………4分 xyz（2）解：当2AE =时，二面角1D EC D --的平面角为6π．……………5分 ∵0(1,2,0)EC y =--uu u r，()10,2,1D C =-uuu r ， ……………………6分 设平面1D EC的法向量为1(,,)x y z =n ，则10110(2)0200EC x y y y z D C ⎧⋅=-+-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⋅=⎪⎩uu u r uuu rn n ， ……………………………………8分取1y =，则()102,1,2y =-n 是平面1D EC的一个法向量．………………………9分而平面ECD 的一个法向量为()20,0,1=n ， …………………………10分要使二面角1D EC D--的平面角为6π，则121212coscos 4π=<>===⋅g n n n ,n n n ，………………12分解得023y =-()002y ≤≤．∴当23AE =-时，二面角1D EC D --的平面角为6π．…………………14分[传统法]（1）证明：连结1AD ，在长方体1111ABCD A B C D -中，∵BA ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，∴1A D AE⊥．…………………1分 ∵11AD AA ==，则四边形11ADD A 是正方形，∴11A D AD ⊥．………………2分∵1AE AD A =I ，∴1A D ⊥平面1AD E．………3分∵1D E ⊂平面1AD E，∴11D E A D⊥． …………4分（2）解：当23AE =-时，二面角1D EC D --的平面角为6π．…………………………………………………5分连结DE ，过D 作DH EC ⊥交EC 于点H ，连结1D H．………………………6分A 1A在长方体1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，EC ⊂平面ABCD ，∴1D D ⊥EC．………………………………………………………………7分∵1DH D D D =I ，∴EC ⊥平面1D DH．…………………………………8分∵1D H ⊂平面1D DH ，∴EC ⊥1D H．………………………………………9分∴1D HD∠为二面角1D EC D--的平面角，即16D HD π∠=．…………………10分设AE x=()02x ≤≤，则2EB x =-，进而EC =． …………11分在△DEC 中，利用面积相等的关系有，EC DH CD AD ⨯=⨯，∴DH =…………………………………………12分在Rt △1D DH中，∵16D HD π∠=，∴1tan6D DDH π=． ………………13分∴3=，解得2x =()02x ≤≤． 故当23AE =-时，二面角1D EC D --的平面角为6π．…………………14分13.【解析】：(1)取AD 中点O ,连结,,OP OC AC ,依题意可知△PAD ,△ACD 均为正三角形, 所以OC AD ⊥,OP AD ⊥,又OC OP O =I ,OC ⊂平面POC ,OP ⊂平面POC , 所以AD ⊥平面POC ,又PC ⊂平面POC ,所以AD PC ⊥,因为//BC AD ,所以BC PC ⊥,即90PCB ∠=︒,形.………………5分 说明:利用PC ⊥平面AMD 证明正确,同样满分!(2)[向量法]由(1)可知PO AD ⊥,又平面PAD ⊥平面平面PAD I 平面ABCD AD =,PO ⊂平面PAD ,所以PO ⊥平面ABCD (6)以O 为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,则(P ,()0,1,0A -,()0,1,0D,)C, PC =uu u r ………………7分由PM PC λλ==uuu r uu u r可得点M的坐标为),………………9分所以)AM =uuu r,),DM =-uuu u r,设平面MAD 的法向量为(),,x y z =n ,则00AM DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu ur n n ,即))00x y z x y z ++=-+=解得10x z y λλ-⎧=⎪⎨⎪=⎩,令z λ=,得()1,0,λλ=-n ,………………11分显然平面PAD的一个法向量为)OC =uuu r,………………12分依题意cos ,5OC OC OC ⋅===uuu r uuu r uuu r n n n ,解得13λ=或1λ=-(舍去), 所以,当13λ=时,二面角P AD M --的余弦值为5.………………14分[传统法]由(1)可知AD ⊥平面POC ,所以AD OM ⊥,AD OP ⊥, 所以POM ∠为二面角P AD M --的平面角,即cos 5POM ∠=,………………8分在△POM 中,sin POM ∠=,PO =,4OPM π∠=,所以sin sin 4PMO POM π⎛⎫∠=∠+ ⎪⎝⎭ sin coscos sin4410POM POM ππ=∠+∠=,………10分PAMO由正弦定理可得sin sin PM PO POM PMO =∠∠,即=,解得3PM =,………………12分又PC =所以13PM PC λ==,所以,当13λ=时,二面角P AD M --的余弦值为.………………14分14. 【解析】：不妨设正三角形ABC 的边长为3。