高考数学一轮复习椭圆及其性质课件

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D [由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以 △AF1B 的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以 a＝3.因为 椭圆的离心率 e＝ac＝23，所以 c＝2，所以 b2＝a2－c2＝5，所以椭圆 C 的方程为x92＋y52＝1，故选 D.]
c2＝a2－b2
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[常用结论] 1．过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2ab2，过焦点最 长弦为长轴． 2．过原点最长弦为长轴长 2a，最短弦为短轴长 2b. 3．与椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)有公共焦点的椭圆方程为a2x＋2 λ＋ b2y＋2 λ＝1(λ＞－b2)．
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4．焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点 F1，F2 构成的 △PF1F2 叫做焦点三角形．若∠F1PF2＝θ，则
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⊙考点 2 椭圆的标准方程 求椭圆标准方程的两种方法
(1)定义法．根据椭圆的定义，确定 a2，b2 的值，结合焦点位置 写出椭圆方程．
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(2)待定系数法．一般步骤如下：
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(1)一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2， 3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程 为________．
则椭圆 C 的方程是( )
A.x32＋y42＝1
B.x42＋ y23＝1
C.x42＋y22＝1
D.x42＋y32＝1
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D [设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)．
因为椭圆的一个焦点为
F(1,0) ， 离 心 率
e
＝
1 2
，
所
以
c＝1， ac＝21， a2＝b2＋c2，
a2＝4， 解得b2＝3，
则h32＋k42＝1，且hk＝ 23，
解得 h2＝235，k2＝245.
故所求方程为2y52 ＋2x52 ＝1，故椭圆的方程为2y52 ＋2x52 ＝1 或x82＋y62＝1.
34
34
40
法二：若焦点在 x 轴上，设所求椭圆方程为x42＋y32＝t(t＞0)，将 点 P(2，－ 3)代入，得 t＝242＋－3 32＝2.故所求方程为x82＋y62＝1； 若焦点在 y 轴上，设方程为y42＋x32＝λ(λ＞0)，
(1)|PF1|＋|PF2|＝2a. (2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (3)S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即 P 为短轴端点时， S△PF1F2 取最大值，为 bc. (4)焦点三角形的周长为 2(a＋c)． (5)已知过焦点 F1 的弦 AB，则△ABF2 的周长为 4a.
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解答本例 T(3)的关键是差式(|PM|－|PF1|)转化为和式 |PM|＋|PF2|－10.而转化的依据为|PF1|＋|PF2|＝2a.
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1.已知 A(－1,0)，B 是圆 F：x2－2x＋y2－11＝0(F 为圆
心)上一动点，线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P，则动点 P 的轨迹方
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一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是
椭圆．
()
(2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．
()
(3)ay22＋bx22＝1(a≠b)表示焦点在 y 轴上的椭圆．
()
(4)ax22＋by22＝1(a＞b＞0)与ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)的焦距相等．(
为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，由点 P(2， 3)在椭圆上知a42＋b32＝1.
又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即 2a＝2×2c，ac＝12.
又 c2＝a2－b2，联立ca422＝＋ab322－＝b12，， ac＝12，
得 a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为x82＋y62＝1.
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3．已知 F1，F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P 为 椭圆 C 上的一点，且 PF1⊥PF2，若△PF1F2 的面积为 9，则 b＝ ________.
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3 [设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则rr121＋ ＋rr222＝ ＝24ac2，， 所以 2r1r2＝(r1＋ r2)2－(r21＋r22)＝4a2－4c2＝4b2，所以 S△PF1F2＝12r1r2＝b2＝9，所以 b ＝3.]
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P1( 6，1)，P2( 3， 2)，则椭圆的方程为________．
(3)[一题多解]与椭圆x42＋y32＝1 有相同离心率且经过点 P(2，－ 3) 的椭圆方程为________．
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(1)x82＋y62＝1 (2)x92＋y32＝1 (3)2y52 ＋2x52 ＝1 或x82＋y62＝1 [(1)设椭圆的标准方程 34
动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切，和圆 C2 相外切，则动圆圆心 M
的轨迹方程为( )
A.6x42 －4y82 ＝1
B.4x82 ＋6y42 ＝1
C.4x82 －6y42 ＝1
D.6x42 ＋4y82 ＝1
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(2)如图，椭圆ax22＋y42＝1(a＞2)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 是椭圆上的一点，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2 的面积为( )
)
[答案](1)× (2)× (3)× (4)√
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二、教材改编
1．设 P 是椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 上的点，若 F1，F2 是椭圆的两个焦点，
则|PF1|＋|PF2|等于( )
Aபைடு நூலகம்4
B．5
C．8
D．10
D [依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.]
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2．已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于12，
23 A. 3
33 C. 4
22
33 B. 2
43 D. 3
(3)设 F1，F2 分别是椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 的左、右焦点，P 为椭圆上任 意一点，点 M 的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________．
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(1)D (2)D (3)－5 [(1)设圆 M 的半径为 r，则|MC1|＋|MC2|＝ (13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以 M 的轨迹是以 C1，C2 为焦点的 椭圆，且 2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为6x42 ＋4y82 ＝1.
＝ 1－ab22＝ 1－43＝12，
若焦点在 x 轴上，设所求椭圆方程为mx22＋ny22＝1(m＞n＞0)，
则 1－mn 2＝14，从而mn 2＝34，mn ＝ 23.又m42＋n32＝1，所以 m2＝8， n2＝6.所以椭圆方程为x82＋y62＝1.
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若焦点在 y 轴上，设椭圆方程为hy22＋xk22＝1(h＞k＞0)，
程为( )
A.1x22 ＋1y12 ＝1
B.3x62 －3y52 ＝1
C.x32－y22＝1
D.x32＋y22＝1
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D [由题意得|PA|＝|PB|， ∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2 3＞|AF|＝2， ∴点 P 的轨迹是以 A，F 为焦点的椭圆，且 a＝ 3，c＝1，∴b ＝ 2， ∴动点 P 的轨迹方程为x32＋y22＝1，故选 D.]
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4．已知点 P 是椭圆x52＋y42＝1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦 点 F1，F2 为顶点的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为________．
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215，1或
215，－1
[设 P(xP，yP)，xP＞0，由题意知|F1F2|＝
2.
则 S△PF1F2＝12×|F1F2|×|yP|＝1，解得|yP|＝1.
b)，B2(0，b)
B1(－b,0)，B2(b,0)
质 焦点坐标 __F__1(_－__c_,0_)_，_F_2_(_c_,0_)__ F__1(_0_，__－__c_)_，F__2(_0_，__c_)
半轴长
长半轴长为_a__，短半轴长为_b__
离心率
c e＝__a_，且 e∈(0,1)
a，b，c 的关系
标准方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
图形
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范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：_坐__标___轴__；对称中心：__原__点__
性
顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－ A1(0，－a)，A2(0，a)，
求焦点三角形 形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理．其
中|PF1|＋|PF2|＝2a 两边平方是常用技巧
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求最值
抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到基本不等式求 |PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a 转化或变 形，借助三角形性质求最值
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(1)已知两圆 C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，
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2．已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，
离心率为23，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，若△AF1B 的周长为
12，则椭圆 C 的标准方程为( )
A.x32＋y2＝1 C.x92＋y42＝1
B.x32＋y22＝1 D.x92＋y52＝1
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(2)由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|2＝4a2－16， 由余弦定理得 4a2－16＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， 即 4a2－16＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|， ∴|PF1||PF2|＝136， ∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin 60°＝433，故选 D.
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(3)由题意知，点 M 在椭圆外部，且|PF1|＋|PF2|＝10，则|PM|－|PF1| ＝|PM|－(10－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－10≥|F2M|－10.(当且仅当点 P，M， F2 三点共线时等号成立)
又 F2(3,0)，则|F2M|＝ 6－32＋4－02＝5. ∴|PM|－|PF1|≥－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5.]
代入椭圆的方程，得x52＋14＝1，解得 x＝ 215，
因此点 P 的坐标为
215，1或
215，－1.]
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课堂考点探究
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⊙考点 1 椭圆的定义及应用
利用定义求方程、焦点三角形及最值的方法
求方程
通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点 P 满足 椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程
利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角
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(2)设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0 且 m≠n)． ∵椭圆经过点 P1，P2，∴点 P1，P2 的坐标适合椭圆方程，则 6m＋n＝1，① 3m＋2n＝1，② 由①②两式联立，解得mn＝＝3119，， ∴所求椭圆的方程为x92＋y32＝1.
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(3)法一：因为 e＝ac＝
a2－b2 a
故椭圆 C 的标准方程为x42＋y32＝1.]
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3．过点 A(3，－2)且与椭圆x92＋y42＝1 有相同焦点的椭圆的方程
为( )
A.1x52 ＋1y02 ＝1
B.2x52 ＋2y02 ＝1
C.1x02 ＋1y52 ＝1
D.2x02 ＋1y52 ＝1
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A [设所求椭圆的方程为9＋x2 λ＋4＋y2 λ＝1(λ＞－4)，则有9＋9 λ＋ 4＋4 λ＝1，解得 λ＝6，故所求椭圆方程为1x52 ＋1y02 ＝1.]
第九章 平面解析几何
第五节 椭圆 第1课时 椭圆及其性质
[最新考纲] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界 和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及 简单几何性质．
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课前自主回顾
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1．椭圆的定义 (1)我们把平面内到两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数(大于 |F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两定点 F1，F2 叫作椭圆的 焦点 ，两 个焦点 F1，F2 间的距离叫作椭圆的 焦距 ．
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(2)集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数 且 a＞0，c＞0.
①当 2a＞|F1F2|时，M 点的轨迹为椭圆； ②当 2a＝|F1F2|时，M 点的轨迹为线段 F1F2； ③当 2a＜|F1F2|时，M 点的轨迹不存在．
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2．椭圆的标准方程和几何性质