完全二部多重图的K_(2

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北师大版九年级数学下册件 2.2 第3课时二次函数y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k课

2
A．（-3，-2） B．（-2，0） C．（-5，0） D．（-3，0）
C
）
三、即学即练，应用知识
1
5.抛物线 y ( x 2)2 7 的对称轴是________
直线x=2，顶点坐标是________；
（2，7）
3
减小
当x＞2时，y随x的增大而_______；当x＜2时，y随x的增大而_______；
顶点(0,− ）

顶点(-3，− ）

二、自主合作，探究新知
议一议：二次函数y=a（x-h）2+k与y=ax2的图象有什么关系？
一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a (x-h)2+k的
图象.因此，二次函数y=a (x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方
向、对称轴和顶点坐标与a，h， k的值有关.
北师大版数学九年级下册
第二章二次函数
2
二次函数的图象与性质
第3课时
学习目标
1.能够画出函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并能
理解它们与y＝ax2的图象的关系，理解a，h和k对二次函数图象
的影响．(重点)2.能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、
对称轴和顶点坐标．3.探索函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2
而减小；当x>0时，y
随x增大而增大.
最值
x=0时，y最小值=k
向下
y轴（直线x=0）
（0,k）
当x<0时，y随x增大
而增大；当x>0时，
y随x增大而减小.
x=0时，y最大值=k
一、创设情境，引入新知

22. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质

解析式是( C )
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2
C．y＝x2＋1
D．y＝x2＋3
10．(202X·德州)在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋2与二次函数y＝x2＋ a的图象可能是( C )
11．若抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝－4x2＋3关于x轴对称，则a＝__4__， c＝_－__3_．
15．已知抛物线y＝－x2＋4交x轴于A，B两点，顶点是C. (1)求△ABC的面积； (2)在抛物线y＝－x2＋4上是否存在点Q，使∠AQB＝90°，若存在，要求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)S△ABC＝12×4×4＝8 (2)存在．设 Q(m，－m2＋4)，连接 OQ，易知 OQ＝12AB＝2，∴m2＋(4－m2)2＝4，解得 m＝±2，m＝± 3. 但 m＝±2 时，点 Q 在 x 轴上，不合题意，∴点 Q 坐标为( 3，1)或(－
练习2：抛物线y＝－ 1 x2－3的顶点坐标是___(_0_，__－__3_)_____，对称轴 2
是__y_轴_____．
知识点1：二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
1．已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是( D )
A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若x1＝－x2，则y1＝－y2 C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2
练习 1 ：将抛物线 y ＝ x2 向上平移两个单位后的函数解析式为 _______________．
y＝x2＋2
2 ．对于抛物线 y ＝ ax2 ＋ k ，当 a ＞ 0 时，开口 _向__上____ ，对称轴是 ___y_轴___，顶点为__(_0_，__k_)__；当x＞0时，y随x的增大而_增__大_____；当x ＜0时，y随x的增大而__减__小____．当a＜0时，开口_向__下_____，对称轴是 __y_轴___，顶点为___(_0_，__k_)__；当x＞0时，y随x的增大而___减__小___；当x ＜0时，y随x2个单位得到抛物线y＝－3x2＋2，则a ＝____－，3c＝____4．

【国家自然科学基金】_邻点可区别的全染色_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140803

2011年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
2011年科研热词推荐指数邻点可区别全染色 5 图 4 邻点可区别全色数 3 联图 3 邻点可区别边染色 2 邻点可区别的非正常全色数 2 邻点可区别的非正常全染色 2 全染色 2 邻点强可区别全染色 1 邻点可区别的全染色 1 邻点可区别ve-全色数 1 邻点可区别ve-全染色 1 邻点可区别-点边全染色 1 轮 1 概率方法 1 棋盘图 1 折叠立方体 1 扇 1 广义peterson图 1 平面图 1 完全等二部图 1 均匀全染色 1 圈 1
推荐指数 7 6 6 4 4 3 3 3 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
科研热词推荐指数邻点可区别全染色 6 邻点强可区别的全染色 3 邻强边染色 3 圈 3 非正常全染色 2 邻点强可区别的ei-全染色 2 邻点可区别e-全色数 2 路 2 星 2 广义mycielski图 2 完全图 2 非正常全色数 1 非正常全色教 1 重联图 1 邻边可区别全色数. 1 邻点强可区别的ⅵ-全染色 1 邻点强可区别的vi-全染色 1 邻点强可区别全色数 1 邻点强可区别全染色 1 邻点可区别的全染色 1 邻点可区别全色数 1 类推广的mycielski图 1 笛卡尔积图 1 笛卡尔积 1 笛卡儿积图 1 猜想 1 最大度 1 推广的mycielski图 1 扇 1 完全二部图 1 多重联图 1 图 1 关联邻点可区别全色数 1 全色数 1 全染色 1 一般邻点可区别边染色 1 一般邻点可区别全染色指标. 1 一般邻点可区别全染色 1 lov(u)sz局部引理 1 3-正则重圈图 1

图论学习笔记

图论学习笔记⽬录图的概念简史欧拉与⼽尼斯堡七桥问题等价问题：“欧拉⼀笔画”$\equiv$与任⼀个顶点相关联的边必须是偶数条。

图的基本概念图⽆向图邻接与关联邻接与关联：$(p,q)$图另⼀种表⽰⽅法：(p,q)图图相等与特殊的图图相等、特殊的图（平凡图、零图）有向图疑惑：⽆向图是集合反⾃反、对称的关系。

有向图中为保证反⾃反性，去掉了⾃⾝到⾃⾝的有向线段$\{(v,v)|v \in V\}$。

但是，图是不允许存在⾃⾝到⾃⾝的边吗？答案：是的。

图的表⽰图解法与邻接矩阵法图解法与邻接矩阵法：问题：关系的闭包在图中的意义是什么？图模型利⽤图建模现实问题，并⽤图的理论加以解决的能⼒。

例⼦：结婚问题、地图与导航⼦图⼦图概念⽣成⼦图特例：⽣成⼦图记号：去除顶点u，去除边{u,v}尤其地，注意去除边的记号不是去除u、v两个顶点。

导出⼦图（1）顶点导出⼦图：若V1⊆V(G)，则以V1为顶点集，以两个顶点均在V1中的边集组成的图，称为图G的顶点导出⼦图，记为G(V1)。

例如：求G(V1)，V1 ={1,3,5}则G(V1)为（2）边的导出⼦图：若E1⊆E(G),则以E1为边集，以E1中所有边的顶点为顶点集组成的图，称为图G的边的导出⼦图，记为G(E1)。

例如：求G(E1)，E1 = {13,24,35}则G(E1)为度度的概念定理1——握⼿定理【定理1】握⼿定理证明：每⼀条边对度数总和的贡献为2（每⼀条边对应两个顶点），由于共有q个边，故度数总和为2q。

推论1：握过奇数次数⼿的⼈为偶数个。

证明：将⼈分为两类，握奇数次⼿$V_1$和握偶数次⼿$V_2$，那么，$V_1$与$V_2$中顶点的度数总和为偶数（2q），同时，$V_2$的度数之和必然为偶数，那么，$V_1$的度数之和必然为偶数（偶数-偶数=偶数），同时，由于$V_1$中均是握奇数次⼿（$V_1$中各顶点度均为奇数），那么，$V_1$中顶点数必为偶数个（偶数个奇数之和=偶数）。

完全二部多重图的K1,pk-因子分解

完全二部多重图的K1,pk-因子分解顾成扬【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2002(025)004【摘要】In this paper, the K1,pk-factorization of the complete bipatite multigraph λKm,n is studied. The following sufficient and necessary conditions for the existence of a K1,pk-factorization of pkKm,n are given:rn(1) m≤pkn; rn(2) n≤pkm; rn(3) pkm-n≡pkn-m≡0(mod(p2k-1)); rn(4) (pkm-n)(pkn-m)≡0(mod(pk-1)(p2k-1)(m+n)),rnwhere p is a prime number and k a positive integer.%研究了完全二部多重图λKm,n的K1,k-因子分解,给出pkKm,n存在K1,pk-因子分解的必要条件和充分条件:rn(1) m≤pkn;rn(2)n≤pkm;rn(3) pkm-n≡pkn-m≡0(mod(p2k-1));rn(4) (pkm-n)(pkn-m)≡0(mod(pk-1)(p2k-1)(m+n).其中p为质数,k为正整数.【总页数】3页(P339-341)【作者】顾成扬【作者单位】淮阴师范学院,数学系,江苏,淮安,223001【正文语种】中文【中图分类】O157.5【相关文献】1.非平衡的完全二部多重图的K1,3-因子分解 [J], 施静2.完全二部多重图的K2,3-因子分解 [J], 朱莉;王建3.完全二部多重图的K<sub>2,4</sub>-因子分解 [J], 朱莉;4.完全二部多重图λK_(m ,n)的K_(1,k)-因子分解(英文) [J], 顾成扬5.完全二部多重图的K_1,pq-因子分解(英文) [J], 顾成扬因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

图论——《离散数学》

图论——《离散数学》图论ghj1222⽬录写在前⾯第⼗五章guguguugugugugu第⼗四章图的基本概念14.1 图(1) ⽆序积：A&B={{a,b}|a∈A∧b∈B} ，把⽆序对 {a,b} 记为 (a,b)(2) ⽆向图：⽆向图是⼀个有序的⼆元组G=⟨V,E⟩，V：⾮空有穷集——顶点集，元素称为顶点/节点；E：V&V的⼀个有穷多重⼦集——边集，元素称为⽆向边（边）。

(3) 有向图：D=⟨V,E⟩，E是V×V的⼀个有穷多重⼦集，E的元素称为有向边。

(4) 图：⽆向图和有向图统称。

(5) 阶：图的顶点数；n阶图。

n阶零图：没有边的图N n；平凡图：1阶零图N1（只有1个点、没有边的图）。

空图：没有点的图，记做∅。

标定图：图中每个顶点/每条边有编号的图；⾮标定图。

有向图的基图：把有向图的有向边改为⽆向边得到的⽆向图。

(6) ⽆向图G=⟨V,E⟩，e k=(v i,v j)∈E，v i,v j为e k的端点，e k与v i关联、e k与v j关联。

e k与v的关联次数为1（如果v=v i≠v j或v=v j≠v i）。

为2（如果v=v i=v j，并且称边e k为环（⾃环））。

为0：v≠v i∧v≠v j。

两点相邻：两点⾄少有⼀条边连接；两边相邻：两条边连接了⾄少同⼀个点。

(7) 有向图D=⟨V,E⟩，e k=⟨v i,v j⟩∈E，v i,v j为e k的端点，e k与v i关联、e k与v j关联，v i为e k的始点、v j为e k的终点；如果v i=v j ，称边e k为环（⾃环）。

两点相邻：两点⾄少有⼀条边连接；两边相邻：⼀条边的终点是另⼀条边的始点。

(8) 孤⽴点：没有边关联的点。

(9) ⽆向图：概念⽆向图G=⟨V,E⟩点v的邻域$N_G(v)={u点v的闭邻域¯N G(v)=N G(v)∪{v} 邻域算上他本⾝点v的关联集I G(v) ，与v关联的边的集合(10) 有向图：概念有向图D=⟨V,E⟩后继元集$\Gamma^+_D(v)={u先驱元集$\Gamma^-_D(v)={u点v的邻域N D(v)=Γ+D(v)∪Γ−D(v)点v的闭邻域¯N D(v)=N G(v)∪{v}(11) 平⾏边、重数（重复次数）；多重图：含平⾏边的图；简单图：不含平⾏边、环（⾃环）的图。

电子科技大学《图论及其应用》复习总结--第一章图的基本概念

电⼦科技⼤学《图论及其应⽤》复习总结--第⼀章图的基本概念⼀、重要概念图、简单图、图的同构、度序列与图序列、偶图、补图与⾃补图、两个图的联图、两个图的积图1.1 图⼀个图G定义为⼀个有序对(V, E)，记为G = (V, E)，其中（1）V是⼀个有限⾮空集合，称为顶点集或边集，其元素称为顶点或点；（2）E是由V中的点组成的⽆序点对构成的集合，称为边集，其元素称为边，且同⼀点对在E中可出现多次。

注：图G的顶点数（或阶数）和边数可分别⽤符号n(G) 和m(G)表⽰。

连接两个相同顶点的边的条数，叫做边的重数。

重数⼤于1的边称为重边。

端点重合为⼀点的边称为环。

1.2 简单图⽆环⽆重边的图称为简单图。

（除此之外全部都是复合图）注： 1.顶点集和边集都有限的图称为有限图。

只有⼀个顶点⽽⽆边的图称为平凡图。

其他所有的图都称为⾮平凡图。

边集为空的图称为空图。

2.n阶图：顶点数为n的图，称为n阶图。

3.(n, m) 图：顶点数为n的图，边数为m的图称为(n, m) 图1.3 邻接与关联：顶点u与v相邻接：顶点u与v间有边相连接(u adj v)；其中u与v称为该边的两个端点。

注：1.规定⼀个顶点与⾃⾝是邻接的。

2.顶点u与边e相关联：顶点u是边e的端点。

3.边e1与边e2相邻接：边e1与边e2有公共端点。

1.4 图的同构设有两个图G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2),若在其顶点集合间存在双射，使得边之间存在如下关系：u1,v1∈V1,u2,v2∈ V2 ，设u1↔u2，v1↔v2,; u1v1∈E1 当且仅当u2v2∈E2,且u1v1与u2v2的重数相同。

称G1与G2同构，记为：G1≌G2注：1、图同构的两个必要条件： (1) 顶点数相同；(2) 边数相同。

2、⾃⼰空间的理解：通过空间的旋转折叠可以进⾏形态转换1.5 完全图、偶图1、在图论中，完全图是⼀个简单图，且任意⼀个顶点都与其它每个顶点有且只有⼀条边相连接。

自考 27094管理科学考点

27094管理科学内部最新考点管理科学的内容比较丰富，有的方法对工商管理管理专业的应考者来说可能还存在一定的难度，为此，在具体复习的时候，可以把讲解方法原理、应用条件与案例分析和计算机软件使用结合起来。

在通常情况下，本次考试内容还是考如下重点：红色字体均为重点。

1、线性规划。

包括：线性规划建模，线性规划的基本概念，线性规划的数学原理，线性规划的求解方法，线性规划的应用等。

注：这些比较简单，有可能考建模问题，不会很难的，大家注意复习时要多几道此类的题目。

2、对偶问题与敏感性分析。

内容包括：对偶模型，对偶理论，对偶单纯形方法，敏感性分析和对偶价格等。

注，单纯形法考试不经常考，如果出题也不会出难的，之多小或中等难度题目，但你必须会做此类题目，怎么样找出入基变量，出基变量，求最优解。

过程很重要，做次来题目得花精力，一不小心就全做错了。

对偶问题必看，4、运输问题。

内容包括：运输模型，相关的基本概念，平衡运输问题求解，不平衡运输问题求解。

5、整数规划。

内容包括：整数规划模型，整数规划的经典建模，整数规划的求解方法。

6、多目标规划。

内容包括：多目标规划模型，多目标的处理与综合，多目标问题的图解法，多目标问题的单纯形方法。

7、动态规划。

内容包括：基本概念，动态规划原理，、动态规划建模，动态规划的求解方法。

8、非线性规划。

内容包括：非线性规划模型，基本概念，无约束极值问题，有约束极值问题。

9、图与网络分析。

这一部分的内容比较多，且应用性比较强，可以考虑重点学习。

主要内容包括：图的概念，图的分类，中国邮路问题，最小树问题及其解法，最短路问题及其解法、最大流问题及其解法。

10、网络计划图。

内容包括：网络计划图的制作，时间参数的计算，关键路径确定，网络图的优化与调整。

11、决策分析。

内容包括：决策的科学概念，决策问题分类，决策的基本要素，完全不确定型决策，以及风险型决策标准，贝叶斯决策，效应函数与效应决策方法等。

12、多目标决策。

图论第1章图的基本概念

G
G[{e1 , e4 , e5 , e6 }]
G − {e5 , e7 }
G + {e8 }
图G1，G2的关系
设 G1 ⊆ G, G2 ⊆ G. 若 V (G1 ) V (G2 ) = φ x-disjoint）若 E (G1 ) E (G2 ) = φ ,则称G1和G2是边不交的（edge-disjoint） G1和G2的并, G1 G2 其中 V (G1 G2 ) = V (G1 ) V (G2 )
连通性
设 u, v 是图G的两个顶点，若G中存在一条 (u, v)
≡ v表示顶点 u 和v是连通的。如果图G中每对不同的顶点 u , v都有一条 (u , v)
以 u
道路，则称顶点 u和 v是连通的(connected)。
道路，则称图G是连通的。
连通图
连通图
图G的每个连通子图称为G的连通分支，简
证明：G中含奇数个 1 (n − 1) 度点。 2 | Vo | 为证明 V (G ) = Vo Ve 由推论1.3.2知，偶数。因为 n ≡ 1(mod 4) ，所以n为奇数个。因此，| Ve | 为奇数个。 n ≡ 1(mod 4) ， 1 2 ( n − 1) 为偶数。 1 1 d ( x ) = n − 1 − d ( x ) ≠ (n − 1) 设 x ∈Ve。若 d ( x) ≠ 2 (n − 1)，则且 2 为偶数。由 G ≅ G c ，存在y，使得 d ( y) = d ( x) 为偶数。即 y ∈Ve 且 d ( y) ≠ 1 (n − 1) 。Ve 中度不为 2 1 (n − 1) 的点是成对的出现的。 2
G
G[{v1 , v2 , v3 }]

2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第22章二次函数的图象和性质 (第1课时)教案

22.1 二次函数的图象和性质22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（第1课时）一、教学目标【知识与技能】1.能通过配方法把二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a(x-h)2+k的形式，以便确定它的对称轴和顶点坐标；2.会利用对称性画出二次函数的图象，掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的平移规律；3.会用公式确定二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴和顶点.【过程与方法】通过思考、探索、尝试与归纳等过程，让学生能主动积极地探索新知.【情感态度与价值观】经历探求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标的过程，感悟二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2的内在联系，体验利用抛物线的对称轴画抛物线的方法，感受数学的对称美.二、课型新授课三、课时第1课时，共2课时。

四、教学重难点【教学重点】用抛物线的对称轴画二次函数y=ax2+bx+c的图象，通过配方确定抛物线的对称轴和顶点坐标.通过配方法将二次函数的一般形式化为顶点式，探索二次函数y=ax2+bx+c的平移变换.【教学难点】用配方法推导抛物线的对称轴与顶点坐标.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等六、教学过程（一）导入新课教师问：二次函数y=a(x-h)2+k的性质有哪些？（出示课件2）师生共同回忆：教师问：我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质?（出示课件3）（二）探索新知探究一画出二次函数y=ax 2+bx+c 的图象我们已经知道y=a(x-h)2+k 的图象和性质，能否利用这些知识来讨论216212y x x =-+的图象和性质？（出示课件5）问题1：怎样将216212y x x =-+化成y=a(x-h)2+k 的形式？学生回忆配方的方法及步骤，并回答.（出示课件6）216212y x x =-+ 21(1242)2x x =-+ 2221(126642)2x x =-+-+ 2221[(126)642]2x x =-+-+ 21[(6)6]2x =-+ 21(6) 3.2x =-+ 学生回答后，教师总结并强调.（出示课件7）配方的步骤：(1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式.配方后的表达式通常称为配方式或顶点式. 问题2：你能说出21(6)32y x =-+的对称轴及顶点坐标吗？（出示课件8）生答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）. 问题3：二次函数21(6)32y x =-+可以看作是由212y x =怎样平移得到的？生答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的. 问题4：如何画二次函数216212y x x =-+的图象？（出示课件:9）学生自主操作，画图，教师加以巡视.并引导他们进行分析. 方法一：描点法. 1.列表.2.描点，连线：方法二：平移法.（出示课件10）问题5：结合二次函数216212y x x =-+的图象，说出其性质.（出示课件11）生答：当x<6时，y 随x 的增大而减小；当x>6时，y 随x 的增大而增大. 开口方向：向上.对称轴：x=6. 顶点：(6,3). 例画出函数21522y x x =-+-的图象，并说明这个函数具有哪些性质.（出示课件12）师生共同解答如下：解:函数21522y x x =-+-通过配方可得21(1)22y x =---，先列表：然后描点、连线，得到图象如下图：（出示课件13）生观察图象，并总结性质如下：开口方向：向下. 顶点坐标：（1，-2）. 对称轴：x=1.最值：x=1时，y 最大值=-2.当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ＞1时，函数值y 随x 的增大而减小；当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.出示课件14：求二次函数y=2x 2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标. 生板演解题过程：解：y=2x 2-8x+722(4)7x x =-+ 22(44)87x x =-+-+ 22(2) 1.x =--因此，二次函数y=2x 2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1). 探究二二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质出示课件15：根据下列关系你能发现二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质吗？师生共同探究强化认知：y=ax 2+bx+c 224()24b ac b a x a a-++=出示课件16：显然，二次函数y 224()24b ac b a x a a-++=的顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴为2bx a =- 因此，抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是2bx a=-，顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫ ⎪⎝-⎭- . 师生共同总结整理如下：（出示课件18）出示课件19：例二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（）A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）B．开口向下，顶点坐标为（1，4）C．开口向上，顶点坐标为（1，4）D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）学生自主思考后，师生共同解答如下：解析∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0，∴函数图象开口向上，∵y=x²+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）．教师加以强调：把函数的一般式化为顶点式，再由顶点式确定开口方向、对称轴、顶点及其他性质.出示课件20：填一填.生自主思考，并填表. 答案：(1,1)；x=1；最大值1； (0,-1)；y 轴；最大值-1；(13-,-6)；x=13-；最小值-6. 出示课件21：一次函数y=kx+b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：生观察图象，并填空.k 1＜0；b 1＞0；k 2＞0；b 2＜0；k 3＞0；b 3＞0.出示课件22，23：二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：a1___0，b1___0,c1___0；a20，b2___0,c20；a3___0，b3___0,c3___0；a4___0，b4___0,c4___0.生观察图象后，独立填空，教师加以纠正.a1＞0，b1＞0,c1＞0；a2＞0，b2＜0,c2=0；a3＜0，b3=0,c3＞0；a4＜0，b4＞0,c4＜0.师生共同总结：二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系（出示课件24）出示课件25：例已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4生独立思考后，师生共同分析：由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确；由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；由图象上横坐标为x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图可知x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．出示课件26：二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，下列选项中正确的是（）A．a＞0 B．b＞0 C．c＜0 D．ac>0生独立思考后，自主解决.解析根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定y＞0或y＜0时，x的范围，确定代数式的符号．①∵开口向下，∴a＜0，A错误；②对称轴在y轴的右侧和a＜0，可知b＞0，B正确；③抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，C错误；④因为a<0，c>0，所以ac<0，D错误．（三）课堂练习（出示课件27-32）1.如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x 轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab ＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤2.已知二次函数y=ax2+bx+c的x，y的部分对应值如下表：则该二次函数图象的对称轴为( )A.y 轴B.直线x=52C.直线x=2D.直线x=323.已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论：（1）a ，b 同号；（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；（3）4a+b=0；（4）当y=–2时，x 的值只能取0；其中正确的是 .4.如图是二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c=-9a ；④若（-3，y 1）,（32，y 2）是抛物线上两点，则y 1>y 2.其中正确的是（）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④5.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：()()()22(1) 21213;(2) 580319;1(3) 22;2(4)12.y x x y x x y x x y x x =-+=-+-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭=+-6.已知函数y=-2x2+x-4,当x= 时，y 有最大值 .7.已知二次函数y=x 2-2x+1，那么它的图象大致为（）参考答案：1.A2.D3.（2）4.B5.⑴直线x=3，(3，-5)；⑵直线x=8，(8，1)；⑶直线x=1.25，59, 48⎛⎫- ⎪⎝⎭； ⑷直线x=0.5，19, 24⎛⎫ ⎪⎝⎭. 6.14；318- 7.B（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.（五）课前预习预习下节课（22.1.4第2课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本课时的主要任务是理解和掌握二次函数的一般式.我们研究函数的一般基本方法是由解析式画图象，再由图象得出性质，再反过来由函数性质研究图象的其他特征.因此本课时的教学仍可采用这种思维方法来探讨二次函数一般式的性质（如顶点坐标，对称轴以及增减性等），另外还要向学生渗透转化思想，即如何将相对复杂的一般式转化为其他解析式的形式.。

二年级语文S版语文上学期期末复习难点知识习题

二年级语文S版语文上学期期末复习难点知识习题班级：_____________ 姓名：_____________拼音词组1. 读拼音，写词语。

yěyāquán shuǐyīng gāi huācóngjìn qíng dào lùmào chōng yèzi2. 看拼音写词语。

chéng shìhuópōpíng jiǎng xīn kǔtóng hào nán wàng biǎn dàn chuān dài zhǐchuán jíqiè3. 读拼音，写汉字。

wēn nuǎn shǐjìn pìɡǔlónɡzhōu bìlǜmín zúxún zhǎo shén zhōu jīnɡlínɡzhōu wéi4. 看拼音，写词语。

yǎn jīng bàng wǎn xìn fēng bào zhǐsōng bǎi chuāng wài xióng māo nán bùmíng shèng gǔjì5. 我能看拼音写词语。

chūn tiān xún zhǎo tài dàzhōng huákěyǐ（________）（________）（________）（________）（________）shūshu píng shíláo dòng jiāgōng héàn （________）（________）（________）（________）（________）笔画训练6. 下列说法中，完全正确的一项是（）A．“养”“演”“葱”“营”的韵母都是后鼻音韵母。

二部克莱茵瓶六角系统K(p,q,于)的强迫数I.P≤q或q〈P≤2q

文章编号：１０ —０１０８０ —０１５０９６５（０）６００ — ２０
０引言
图Ｇ的完美匹配（者１因子，化学上称为凯库勒结构（ｅｕ６ｔｃｒ）是Ｇ的一个不交边子或在Ｋｋｌｓｕｔｅ）ｒｕ
集Ｍ，Ｇ的每一个顶点都和中的一条边关联．Ｇ的一个完美匹配的强迫集是Ｍ的一个子集，这
王洪伟
（临沂师范学院数学系，山东临沂２６０）７０５摘要：能惟一确定图Ｇ的完美匹配Ｍ的最小不交边子集所含的边数称作完美匹配Ｍ的强迫数．
完美匹配强迫数在有机化学上也称作凯库勒结构的原始自由度，源于对分子共振结构的研究，化学来是分子图的一个重要拓扑不变量．出了二部克莱茵瓶六角系统Ｋｐｑｔ的强迫数下界，表明当Ｐ≤ｑ时，给（，，）并
瓶六角系统的全面刻画［．本文给出了二部克莱茵瓶上的六角系统Ｋ（，，，叫ｐｑｆ０≤ｔ） ≤Ｐ一１Ｐ≤ｑ和，ｑ＜Ｐ≤２ｑ时的强迫数．
１部分引理
一
个二部克莱茵瓶六角系统Ｋ（，，可以由一个六角形格子网络Ｌ上的平行四边形Ｐ通过两对ｐｑｆ）
Ｋ（，，）最小强迫数为ｐ若ｑ＜Ｐ≤２，ｐ口ｔ的最小强迫数为ｑｐｑｔ的；ｑＫ（，，）．
关键词：二部克莱茵瓶六角系统；完美匹配；强迫数；数学化学

智慧树知到《计量经济学》章节测试答案

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完全二部多重图的K2,3-因子分解

完全二部多重图的K2,3-因子分解朱莉;王建【摘要】如果完全二部多重图λK<,m,n>的边集可以划分为λK<,m,n>的K<,p,q>-因子,则称λK<,m,n>存在K<,p,q>-因子分解.当p=1和q=2时,λK<,m,n>的K<,1,2>-因子分解的存在性问题已被完全解决.最近我们得到了当λ=1时,K<,m,n>存在K<,2,3>-因子分解的充分必要条件.对于任意正整数λ,本文证明完全二部多重图λK<,m,n>存在K<,2,3>-因子分解的充分必要条件是(I)2m≤3n,(ii)2n≤3m,(iii)m+n=0(mod 5),(iv)5λmn/[6(m+n)]是整数.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2011(027)003【总页数】5页(P70-74)【关键词】二部多重图;因子;因子分解【作者】朱莉;王建【作者单位】南通职业大学,基础部,江苏,南通,226007;南通职业大学,基础部,江苏,南通,226007【正文语种】中文【中图分类】O157Km,n表示完全二部图,其两个部分点集X和Y分别具有m和n个点.Km,n表示完全二部多重图,它是个两两不交的同构于Km,n的图的并.如果Km,n的一个子图F包含了Km,n的所有点,则称F为Km,n的一个支撑子图.若Km,n的支撑子图F的每个分支均同构于图Kp,q,则称F为Km,n的一个Kp,q-因子.如果Km,n的边集可以划分为Km,n的Kp,q-因子,则称Km,n存在Kp,q-因子分解.在综述文章[1]中,Ushio称Km,n的Kp,q-因子分解为可分解的(m,n,k,)二部Kp,q-设计.如果Km,n存在Kp,q-因子分解,则称Km,n是可Kp,q-因子分解的.本文用到的图论方面的名词术语,均参照图论著作[2].Km,n的Kp,q-因子分解有许多应用,特别是Yamamoto和Ushio等[3]用其建立了计算机数据存储的HUBMFS2方案.当p=1和q=2时,Ushio[4]完全解决了=1情形下Km,n的K1,2-因子分解的存在性问题.在论文[5]中,我们完全解决了＞1情形下Km,n的K1,2-因子分解的存在性问题.当p=2和q=3时,我们在论文[6]中完全解决了Km,n的K2,3-因子分解的存在性.本文将给出完全二部多重图Km,n存在K2,3-因子分解充分必要条件.即我们证明定理1.1 完全二部多重图Km,n存在K2,3-因子分解的充分必要条件是(i)2m≤3n,(ii)2n≤3m, (iii)m+n≡0(mod 5),(iv)5mn/[6(m+n)]是整数.定理1.1的必要性证明通过简单计算即可得到,充分性部分的证明由以下几个引理构成,第一个引理是显然的,其中gcd(x,y)表示x和y的最大公约数.引理2.1 设u,v,x和y是正整数.如果gcd(ux,vy)=1,则gcd(uv,ux+vy)=1.引理2.2 设s是任意正整数.如果Km,n存在K2,3-因子分解,则s Km,n存在K2,3-因子分解.证重复Km,n的K2,3-因子分解s次即得s Km,n的K2,3-因子分解.引理2.3 设s是任意正整数.如果Km,n存在K2,3-因子分解,则Kms,ns存在K2,3-因子分解.证由于Ks,s是可1-因子分解的[2],可设{Fi∶1≤i≤s}是它的一个1-因子分解.对于每一个1≤i≤s,用Km,n代替Fi的每条边,即得到Kms,ns的一个支撑子图Gi,且Gi(1≤i≤s)边集的并为Kms,ns.由于Km,n是可K2,3-因子分解的,因而Gi也是可K2,3-因子分解的.所以Kms,ns存在K2,3-因子分解.由引理2.3我们易得当2m=3n或2n=3m时,Km,n存在K2,3-因子分解.因此下面只需考虑2m＜3n且2n＜3m时的情形.在这种情形下,令a=(3n-2m)/5,b=(3m-2n)/5,t=(m+n)/5和r=5mn/[6(m+n)].由定理1.1的条件(i)-(iv)可知a,b,t,r是整数,且0＜a＜m,0＜b＜n.于是有2a+3b=m,3a+2b=n.进而可得r=(a+b)+ab/[6(a+b)].设z=ab/[6(a+b)],它也是整数.设gcd(2a,3b)=d,2a=dp,3b=dq,其中gcd(p,q)=1.因此z=dpq/[6(3p+2q)].于是可得下列各式:Km,nhas been completely solved.Recently,we gave a necessary and sufficient condition forK2,3-factorization ofKm,n.In this article,we will give a necessary and sufficient condition forK2,3-factorization ofKm,nisthat(i)2m≤3n, (ii)2n≤3m,(iii)m+n≡0(mod 5)and(iv)5mn/[6(m+n)]is an integer.【相关文献】[1] Ushio K.G-designs and related designs[J].Discrete Math.,1993,116(1)：299-311.[2] Harary F.Graph theory[M].Massachusetts：Addison-Wesley,1972.[3] Yamamoto S,Tazawa S,Ushio K,Ikede H.Design of a generalized balanced multiple-valued file organization scheme with the least redundancy[J].ACM Trans.Database Systems,1979,4(2)：518-530.[4] Ushio K.P3-factorization of complete bipartite graphs[J].Discrete Math.,1988,72(4)：361-366.[5] Wang J,Du B L.P3-factorization of complete bipartite multigraphs and symmetric complete bipartite multi-digraphs[J]. Util.Math.,2003,63(4)：213-228.[6] Wang J,Du B L.Kp,q-factorization of the complete bipartite graph Km,n[J].Discrete Math.,2004,283(4)：283-287.。

完全二部多重图的Kp,q-因子分解的开题报告

完全二部多重图的Kp,q-因子分解的开题报告开题报告：完全二部多重图的Kp,q-因子分解一、研究背景和意义Kp,q-因子分解问题是一类常见的组合优化问题，其目标是将给定完全图中的所有边分解为两类因子：每个Kp所组成的因子和每个q-完全图所组成的因子。

Kp,q-因子分解在信息论和密码学中有广泛的应用，例如在网络编码和加密算法中。

完全二部多重图是一类特殊的图，其拥有相等的顶点集，但不同的边可以有不同的重量。

这使得完全二部多重图的Kp,q-因子分解问题变得更为复杂。

近年来，已有研究者对完全二部多重图的Kp,q-因子分解问题进行了初步的探究，但仍存在多个挑战和问题需要解决。

本研究旨在深入探究完全二部多重图的Kp,q-因子分解问题，研究其算法和理论分析，为信息论和密码学等领域提供更为完善和高效的解决方案。

二、研究内容和方法1. 研究完全二部多重图的Kp,q-因子分解问题的数学模型和约束条件，分析算法的可行性和时间复杂度。

2. 综合运用图论、组合数学和线性代数等相关知识，设计和实现高效的完全二部多重图的Kp,q-因子分解算法，并对算法进行理论分析。

3. 在理论计算基础上，实现并验证算法的正确性、可行性和效率，同时将算法与现有算法进行比较和优化。

4. 对算法的实验结果进行统计和分析，总结并提出完全二部多重图的Kp,q-因子分解问题在算法和理论上的研究进展和未来的研究方向。

三、预期成果和应用价值1. 本研究将提出一种更高效、更精确的完全二部多重图的Kp,q-因子分解算法，在时间、空间和能效等方面均具有较大的优势，可以满足信息论、密码学和其他相关领域对该算法的需求。

2. 本研究将深化对完全二部多重图的Kp,q-因子分解问题的数学模型、算法和理论分析的理解和应用，为相关领域提供更为科学和可靠的解决方案，从而更好地保护信息安全、提高数据传输效率等目的。

3. 本研究的成果将发表在相关领域的知名期刊或会议上，为学术界和工业界提供参考和借鉴，具有一定的理论和应用价值。

图的基本概念与性质

第3章图的基本概念与性质一、概念图——图可以用集合的形式表示，即图可以表示为一个三元组，包含结点集、边集，以及边与结点对集间的映射．如果用结点对来表示边，则图可以表示成一个由结点集与边集组成的二元组．定义3.1.1图G是一个三元组<V（G），E（G），ϕG>，其中V（G）是一个非空的结点集（或称顶点集），E（G）是边集，ϕG是从边集E（G）到结点偶对（无序偶或有序偶）集上的函数．图定义中的结点偶对可以是有序的，也可以是无序的．有向边、端点——若图中的边e所对应的结点偶对是有序的，记为<a，b>，则称e是有向边（简称弧）．a，b分别称为弧的始点与终点，并均称为e的端点．称e是关联于结点a 和b的，结点a和结点b是相、邻的，或称结点a和结点b是邻接的．无向边、端点——若图中的边e所对应的结点偶对是无序的，记为（a，b），则称e是无向边（简称棱）．a，b称为e的端点．称e是关联于结点a和b的，结点a和结点b是相、邻的，或称结点a和结点b是邻接的．有向图——每一条边均为有向边的图称为有向图．无向图——每一条边均为无向边的图称为无向图．底图——如果把有向图中每条有向边都看作无向边，就得一个无向图，此无向图称为原有向图的底图．底图只表示出结点间的连接关系而没有表示出连接边的方向．弧立结点——图中不与任何相邻的结点称为弧立结点．零图——全由孤立结点构成的图称为零图．自回路（环）——关联于同一结点的一条边称为自回路或环．重边（平行边）——在有向图中，两结点间（包括结点自身间）若多于一条边，则称这几条边为重边或平行边．多重图——含有重边的图称为多重图．线图——非多重图称为线图．定义3.1.2（简单图）无自回路的线图称为简单图．定义3.1.3（结点的度数、最大度、最小度）图G=<V，E>中，与V中结点v（v∈V）相关联的边数，称为该结点的度数，记作为deg(v)．记∆（G）= max{deg(v)| v∈V（G）}，δ（G）= min{deg(v)| v∈V（G）}，分别称为G=<V，E>的最大度和最小度．定义3.1.4（出度、入度、度数）在有向图中，对于任何结点v，以v为始点的边的条数称为结点v的引出次数（或出度）；以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数（或入度）；结点v的引出次数和引入次数之和称为v的次数（或度数）．定义3.1.5（二部图）设G=〈V，E>是n阶无向图，若能将V分成两个互不相交的子集V1与V2使得G中任一边的两端点都不在同一个V i（i=1,2）中，则称G为二部图．记G=<V1,V2，E>．定义3.1.6（完全图）简单图G=<V，E>中，若每一对结点间都有边相连，则称该图为完全图．有n个结点的无向完全图记为K n．定义3.1.7（k-正则图）若无向简单图中，每个结点的度均为某个固定整数k，则称该图为k-正则图．定义3.1.8（赋权图）赋权图G是一个三重组<V，E，g>或四重组<V，E，f，g>，其中V是结点集合，E是边的集合，f是定义在V上的函数，g是定义在E上的函数．定义3.1.9（补图）设图G=<V，E>有n个顶点，图H=<V，E’>也有同样的顶点，而E’是由n个结点的完全图的边删去E所得，则图H称为图G的补图，记为H=G，显然，G=H．定义3.1.10（子图、真子图、生成子图）设G=<V,E>和G’=<V’,E’>是两个图．(1)若V’⊆V且E’⊆E，则称G’是G的子图；(2)若V’⊂V或E’⊂E,则称G’是G的真子图；(3)若V’=V和E’⊆E,则称G’是G的生成子图；(4)若子图G’中没有孤立结点，G’由E’唯一确定，则称G’为由边集E’导出的子图；(5)若子图G’中，对V’中的任意两个结点u，v，当u，v∈V’时有[u，v]∈E’，则G’由V’唯一确定，则称G’为由结点集V’导出的子图．定义3.1.11(补图) 设G’=<V’，E’>是G=<V，E>的子图，若给定另外一个图G’’=<V’’，E’’>，使得E’’=E-E’，且V’’中仅包含E’’的边所关联的结点，则称G’’是子图G’的相对于G 的补图．定义3.1.12(同构) 设G=〈V，E>和G’=<V’,E’>是两个图，若存在从V到V’的双射函数f，使对任意[a，b]∈E，当且仅当[f(a)，f (b)]∈E’，并且[a，b]和[f(a)，f (b)]有相同的重数，则称G和G’是同构的．定义3.1.13(路径) 在图G=<V，E>中，设v0，v1，…，v n∈V，e1，e2,….,e n∈E，其中e i是关联于结点v i-1，v i的边，交替序列v0 e1 v1 e2…e n v n称为联结v0到v n的路径（或称路）．v0与v n分别称为路的起点与终点，边的数目n称为路的长度．孤立点——长度为0的路定义为孤立点．简单路径——若序列中所有的边e1，e2,…., e n均互不相同，则称此路径为简单路径．基本路径——若序列中所有的点v0，v1，…，v n均互不相同，则称此路径是基本路径．回路——若v0=v n，即路径中的终点与始点相重合，则称此路径为回路．简单回路——没有相同边的回路称为简单回路．基本回路（圈）——各结点均互不相同的回路称为基本回路（或圈）．奇圈（偶圈）——长度为奇（偶）数的圈称为奇（偶）圈．定义3.2.1（可达、连通）在图G=<V,E>中，设有结点v j与v k，若从v j到v k存在任何一条路径，则称结点v k从结点v j可达，也称结点v j与v k是连通的．定义3.2.2（连通图、非连通图、分离图）若G是平凡图或G中任意两个结点都是连通的，则称G是连通图，否则称G为非连通图或分离图．定义3.2.3（连通分支）设G=<V,E>是图，连通关系的商集为{V1,V2,…,V m}，则其导出的子图G(V i)（i=1,2,…m）称为图G的连通分支（图），将图G的连通分支数记作W（G）．定义3.2.4（短程线）设u与v是图G的两个结点，若u与v连通，则称u与v之间的长度最短的路为u与v之间的短程线，短程线的长度可作为结点u与v间的距离，记作d(u,v)，其满足下列性质：d(u,v) ≥ 0，u=v时，d(u,v) =0 （非负性）d(u,v) = d(v,u) （对称性）d(u,v) + d(v,w) ≥d(u,w) （三角不等式）若u与v不连通，则通常记d(u,v) = ∞．定义3.2.5（单向连通、强连通、弱连通）在简单有向图中，如果在任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点可达的，则称图G是单向（侧）连通的；如果在任何结点偶对中，两结点对互相可达，则称图G是强连通的；如果图的底图（在图G中略去边的方向，得到无向图）是连通的，则称图G是弱连通的．定义3.2.6（极大强连通子图、极大单向连通子图、极大弱连通子图、强分图、单向分图、弱分图）在简单有向图G =<V ，E >中，G’是G 的子图，如G’是强连通的（单向连通的，弱连通的），且没有包含G’的更大的子图G’’是强连通的（单向连通的，弱连通的），则称G’是极大强连通子图（极大单向连通子图，极大弱连通子图）又叫强分图（单向分图，弱分图）．定义3.2.7（点割集、割点）设无向图G =<V ,E >为连通图，若有点集V 1⊂V ，使图G 删除了V 1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V 1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称V 1是G 的一个点割集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为割点．定义3.2.8（点连通度）若G 为无向连通图且不含Kn 为生成子图，则称k (G )=min{|V 1| ∣V 1是G 的一个点割集}为G 的点连通度（简称连通度）．规定：完全图Kn 的点连通度为n ，n ≥1．非连通图的点连通度为0．若k (G ) ≥k ，则称G 为k -连通图．定义3.2.9（边割集、割边、桥）设无向图G =<V ,E >为连通图，若有边集E 1⊂E ，使图G 删除了E 1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E 1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称E 1是G 的一个边割集．若某个边构成一个边割集，则称该结点为割边（或桥）．定义3.2.10（连通度）若G 为无向连通图，则称λ(G )=min{|E 1| ∣E 1是G 的一个边割集}为G 的边连通度．规定：非连通图的边连通度为0．若λ(G ) ≥k ，则称G 为k 边-连通图．定义3.3.1（邻接矩阵）设G =<V ，E >是一个简单图，其中V ={v 1，v 2，…， v n }，则n 阶方阵A （G ）=（a ij ）称为G 的邻接矩阵．其中各元素⎪⎩⎪⎨⎧==ji v v v v a j i j i ij 不相邻或与相邻与01 定义3.3.2（可达性矩阵）设G =<V ，E >是一个简单图，|V |=n ,假定G 的结点已编序，即V ={v 1，v 2，…， v n }，定义一个n ⨯n 方阵P =（p ij ）．其中⎪⎩⎪⎨⎧=不存在一条路与从至少存在一条路到从j i j i ij v v v v p 01 则称矩阵P 为图G 的可达性矩阵．最短路径的数学模型——给定一个网络N （有向或无向赋权图），u 0与v 0是N 中指点的两个顶点，在N 中找一条从u 0到v 0且权最小的路．规定N 中的一条路P 的权w (P )称为p 的长度．若N 中存在从u 到v 的路，则将N 中从u 到v 且权最小的路称为u 到v 的最短路，其长度称为u 到v 的距离，记为d N （u ,v ）．二、定理定理3.1.1（握手定理）设G 是一个图，其结点集合为V ，边集合为E ，则∑∈=V v E v ||2)deg(定理3.1.2 图中次数为奇数的结点有偶数个．定理3.1.3 在任何有向图中，所有的入度之和等于所有结点的出度之和．定理3.1.4 有n 个结点的无向完全图K n 的边数为n (n -1)/2．定理3.1.5 在具有n 个结点的简单图G =<V , E >中，若从结点v j 到结点v k 有一条路，则从结点v j 到结点v k 有一条长度不大于n -1的路．定理3.1.5推论在一个具有n个结点的图G=<V, E>中，如果从结点v j到结点v k有一条路，则从结点v j到结点v k必有一条长度小于n的通路．定理3.1.6在具有n个结点的图G=<V,E>中，如果经v有一条回路，则经v有一条长度不超过n的回路．定理3.1.6推论在具有n个结点的图G=<V,E>中，如果经v有一条简单回路，则经v 有一条长度不超过n的基本回路．定理3.2.1一个有向图是强连通的，当且仅当G中有一个回路，其至少包含每个结点一次．定理3.2.2在有向图G=〈V，E〉中，G的每一结点都在也只在一个强（弱）分图中．定理3.2.3在有向图G=〈V，E〉中，G的每一结点都处在一个或一个以上的单向分图中．定理3.2.4（Whitney）对于任何一个图G，有k(G) ≤λ (G) ≤δ(G)其中k(G)、λ (G)、δ(G)分别为G的点连通度、边连通度和最小度．定理3.2.5一个连通无向图G中的结点v是割点的充分必要条件是存在两个结点u与w，使得结点u与w的每一条路都通过v．三、方法1．两图同构的必要条件：（1）结点数相等；（2）边数相等；（3）度数相同的结点数相等．2．邻接矩阵运算特征（1）图G=<V,E>的邻接矩阵不唯一，而与V中的元素标定次序有关．对V中各元素不同的标定次序可得到同一图G的不同邻接矩阵．但这些邻接矩阵经过适当地交换行和列的次序，就从一个邻接矩阵变到另一个邻接矩阵．根据不同邻接矩阵所作的有向图都是同构的．因此，可选V元素的任一种标定次序所得出的邻接矩阵．（2）当有向线图代表关系时，邻接矩阵就可看作是一种关系矩阵．有向图是自反的，矩阵的对角线元素全为1．有向图是非自反的，矩阵的对角线元素全为0．有向图是对称的，对所有i和j，矩阵是对称的．有向图是反对称的，对所有i和j，矩阵是以主对角线对称的元素不可能同时为1．（3）零图的邻接矩阵的元素全为零，并称其为零矩阵．（4）图的每一顶点都有自回路而再无其它边时，图的邻接矩阵是单位矩阵．（5）设有向线图G=<V，E>的邻接矩阵是A，则A的逆图的邻接矩阵是A的转置矩阵．3．可达性矩阵的计算方法一般地，可以由图G的邻接矩阵A得到可达性矩阵P．即令B n=A+A2+…+A n，在从B n中将不为0的元素改为1，而为零的元素不变，这样改换的矩阵即为可达性矩阵P．也可以将矩阵A，A2，…，A n分别改为布尔矩阵A，A(2)，…，A(n)，简化计算，故P= A∨A(2)∨…∨A(n)，其中A(i)表示在布尔运算下A的i次方．4．求最短路径的Dijkstra算法步骤（1）置l(u0)=0，对v∈V-{ u0}，l(v)= +∞，S0 ={ u0}，i=0．（2）对每个v∈ N G-Si（u i），用min{ l(v)，l(u i)+ w（u i，v）}代替l(v)．若l(v)取到l(u i)+w（u i，v），则在v旁边记下(u i)．计算min(v∈G- S i ){ l(v)}，并将达到最小值的这个顶点记为u i+1．置S i+1= S i⋃{ u i+1}．（3）若i=|G|-1，则算法停止，否则用置i 为i+1，并转入第（2）步．算法结束时，从u0到v的距离由最终的标号给出l(v)，并且可根据各个顶点旁边的（u i）追回出从u0到v的最短路径．若为求某个特定的顶点v时，则可以在u j= v时使算法停止即求得结果．。

计量经济学简答

1计量经济学：是以经济理论和经济数据的事实为依据，运用数学、统计学的方法，借助计算机为辅助工具，通过建立数学模型来研究经济数量关系和规律的一门经济学科。

2、虚拟变量数据：是人为构造的，通常取值为1或0的，用来表征政策等定性事实的数据。

3、计量经济学检验：主要是检验模型是否符合计量经济方法的基本假定。

4、政策评价：是利用计量经济模型对各种可供选择的政策方案的实施后果进行模拟测算，从而对各种政策方案做出评价。

1、回归平方和用ESS表示，是被解释变量的样本估计值与其平均值的离差平方和。

2、拟和优度检验：指检验模型对样本观测值的拟合程度，用R2表示，该值越接近1,模型对样本观测值拟合得越好。

3、相关关系：当一个或若干个变量X取一定数值时，与之相对应的另一个变量Y的值虽然不确定，但却按某种规律在一定范围内变化，变量之间的这种关系，称为不确定性的统计关系或相关关系，可表示为Y=f(X，u)，其中u为随机变量。

4、高思-马尔可福定理：在古典假定条件下，OLS估计式是其总体参数的最佳线性无偏估计式。

P j1、偏回归系数：在多元线性回归模型中，回归系数J(j=1 , 2,……,k)表示的是当控制其他解释变量不变的条件下，第J个解释变量的单位变动对被解释变量平均值的影响，这样的回归系数称为偏回归系数。

22、多重可决系数：“回归平方和”与“总离差平方和”的比值，用R表示。

r^23、修正的可决系数：用自由度修正多重可决系数R 中的残差平方和与回归平方和。

4、回归方程的显著性检验：对模型中被解释变量与所有解释变量之间的线性关系在总体上是否显著做出推断。

5、、回归参数的显著性检验：当其他解释变量不变时，某个回归系数对应的解释变量是否对被解释变量有显著影响做出推断。

6、无多重共线性假定：假定各解释变量之间不存在线性关系，或者说各解释变量的观测值之间线性无关，在此条件下，解释变量观测值矩阵X列满秩Rank(X)=k，此时，方阵X X 满秩，Rank( X X)=k从而XX可逆,XX存在。