高一数学上竞赛试题及答案详解.docx

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数学竞赛试题高一及答案

数学竞赛试题高一及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1的图像关于直线x = -1/2对称，则下列哪个函数的图像也关于直线x = -1/2对称？A. g(x) = x^2 + 2x + 3B. h(x) = -x^2 + 2x - 3C. i(x) = x^2 - 2x + 3D. j(x) = -x^2 - 2x - 3答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3}D. {1, 3, 4}答案：A3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：C4. 函数y = |x - 2| + 3的图像与x轴交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的第五项为________。

答案：112. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标为________。

答案：(3, 4)3. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为________。

答案：14. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。

答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 =c^2（c为第三边长），则该三角形为直角三角形。

证明：根据勾股定理，若三角形的两边长为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则第三边c所对的角θ为直角，即θ = 90°。

因此，该三角形为直角三角形。

2. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。

解：首先，我们计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25。

高一数学上学期竞赛试题及答案

高一年级“数理化”三科竞赛数学试题一、填空题（每题5分，共10题，合计50分）。

1、已知函数b a bx ax x f +++=3)(2是定义在[]a a 2,1-的偶函数，则______=+b a 。

2、已知集合{}0232=+-=x ax x A 中至多有一个元素，则实数a 的取值范围为。

3、设函数k n f =)(（*N n ∈），k 是π的小数点后的第n 位数字， 1415926535.3=π，则_________)]}10([{100=ff f f f 个。

4、设P 和Q 是两个集合，定义差集},{Q x P x x Q P ∉∈=-且，如果}1log {2<=x x P ，}12{<-=x x Q ，那么__________=-Q P 。

5、设函数)(x f 是奇函数，且在()+∞,0内是增函数，又0)3(=-f ，则0)(<x xf 的解集是。

6、若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，称这些函数为——同族函数。

那么，函数的解析式为2x y =，值域为{}9,4的同族函数共有个。

7、若方程0102ln =-+x x 的解为0x ，则大于0x 的最小整数是。

8、若n m ,为正整数，且)111(log )111(log )11(log log -+++++++++n m m m m a a a a n m a a log log +=，则________=+n m 。

9、已知函数[]8,1,)(32-∈=x x x f ，函数[]8,1,2)(-∈+=x ax x g ，若对任意[]8,11-∈x ，总存在[]8,12-∈x ，使)()(21x g x f =成立．则实数a 的取值范围是。

10、将3,2,1填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面给出的是其中一种填法，则不同的填写方法共有种。

二、解答题（第11、12题每题12分，第13、14题每题13分，共四题，合计50分）密封线内不要题答11、设集合{}{}01)1(2,04222=-+++==+=a x a x x B x x x A ,其中R x ∈, 如果B B A =⋂，求实数a 的取值范围。

高一数学竞赛试题参考答案

高一数学竞赛试题参考答案一、选择题：（本题共10小题，每题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

）1.[答案] B[解析] 当a ≤0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a >0时，欲使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a ≥－43＋a ≤4⇒a ≤1.故选B.2.[答案] C[解析] 由已知ax 2＋ax －3≠0恒成立，当a ＝0时，－3≠0成立；当a ≠0时，Δ<0，∴a 2＋12a <0， ∴－12<a <0，综上所述，a ∈(－12,0]．3．C 【解析】依题意，函数y ＝x 2－ax ＋12存在大于0的最小值，则a >1且a 2－2<0，解得a∈(1，2)，选择C.4．B 【解析】 ∵2＝log 24>log 23>log 22＝1，故f (log 23)＝f (1＋log 23)＝f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝124 5．C 【解析】由f (x －1)＝f (x ＋1)知f (x )是周期为2的偶函数，因为x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，故当x ∈[－1,0]，－x ∈[0,1]时，f (x )＝f (－x )＝(－x )2＝x 2，由周期为2可以画出图象，结合y ＝⎝⎛⎭⎫110x的图象可知，方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x在x ∈⎣⎡⎦⎤0，103上有三个根，要注意在x ∈⎝⎛⎦⎤3，103内无解． 6.[答案] D[解析] 由题意，DE ⊥平面AGA ′， ∴A ，B ，C 正确，故选D. 7.[答案] B[解析] 设f (x )＝2x －3－x ，因为2x ，－3－x 均为R 上的增函数，所以f (x )＝2x －3－x 是R 上的增函数．又由2x －3－x >2－y －3y ＝2－y －3－(－y )，即f (x )>f (－y )，∴x >－y ，即x ＋y >0.8.[答案] A[解析] m ＝x －1－x ，令t ＝1－x ≥0，则x ＝1－t 2，∴m ＝1－t 2－t ＝－(t ＋12)2＋54≤1，故选A.9.[答案] B[解析] 将f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 看作是a 的一次函数，记为g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4. 当a ∈[－1,1]时恒有g (a )>0，只需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0，解之得x <1或x >3. 10.[答案] B[解析] 由已知得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2(－1≤x ≤32)，x －x 2(x <－1或x >32)，如图，要使y ＝f (x )－c 与x 轴恰有两个公共点，则－1<c <－34或c ≤－2，应选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

高一上学期数学竞赛试题(有答案)

高一上学期竞赛试题（数学）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共4页．试卷满分150分．考试时间100分钟．第I 卷（选择题,共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}12345U =，，，，,集合{}1,3A =,{}3,4,5B =,则集合()U C A B =（）A ．{3}B ．{4,5}C ．{3,4,5}D ．{1245}，，，2.若直线过点(1,2),(4,2+,则此直线的倾斜角是（） A.030 B.045 C ．060 D ．090 3.下列各组函数表示同一函数的是（）A ．293x y x -=-与3y x =+ B．1y =-与1y x =-C ．00()y x x =≠与10()y x =≠ D ．21,y x x Z =+∈与21,y x x Z =-∈ 4.下列结论正确的是（） A ．2030321..<< B ．2030312..<<C ．2031032..<< D ． 0322103..<<5．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数,则下列关系式中成立的是（）A.3122-()()f f f -<<（）B. 3122-()()f f f <-<（） C. 3212-()()f f f <<-（） D. 3212-()()f f f <-<（）6．(0)a >化简的结果是（）A. 12a B. 14a C. 18a D. 38a 7．如图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为 2的正三角形、俯视图轮廓为正方形,则其体积是（）.A．3D . 838．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的是（）.A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④9.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π,那么圆柱的体积等于（） A π B 2π C 4π D 8π俯视图10．设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = A. 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点 C ．在区间1(,1)e 内有零点,在区间(1,)e 内无零点 B. 在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点 D ．在区间1(,1)e内无零点,在区间(1,)e 内有零点11.已知函数2()lg()f x ax x a =-+定义域为R ,则实数a 的取值范围是（）A ．11(,)22-B ．11(,)(,)22-∞-+∞C ．1(,)2+∞D ．11(,][,)22-∞-+∞12.已知三棱锥ABC S -中,底面ABC 为边长等于2的等边三角形,SA 垂直于底面ABC ,3=SA ,那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（） A.43 B.45 C.47 D. 43第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在题中横线上． 13.设)(x f 在R 上是偶函数,若当0>x 时,有)1(log )(2+=x x f ,则=-)7(f ． 14.设1(1)()3(1)x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩,则5(())2-f f 的值为 .15．4219432log 2log 3log -⋅= .16．已知函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4)-∞上是减函数,则a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)（本小题满分10分）已知集合{}{}{}37,210,A x x B x x C x x a =≤≤=<<=<．（1）求B A ；（2）求B A C R )(；（3）若A C ⊆,求a 的取值范围． (18)（本小题满分12分）设函数2211)(x x x f -+=．（1）求)(x f 的定义域；（2）判断)(x f 的奇偶性；（3）求证：)()1(x f xf -=．(19)（本小题满分12分）P ABCD-如图,在底面为平行四边形的四棱锥PA AB =,点E 是PD中,AB AC ⊥,PA ⊥平面ABCD ,且的中点.（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ；（Ⅲ）求二面角E AC B --的大小. (20)（本小题满分12分）（本小题12分）已知函数2421x x y --=的SCBA定义域为A,函数)1(log 2+-=a x y 的定义域为B.（1）若B A ⊆,求实数a 的取值范围；（2）若φ=B A ,求实数a 的取值范围．(21)（本小题满分12分）如图,在三棱锥P ABC -中,,E F 分别为,AC BC 的中点．（1）求证：//EF 平面PAB ；（2）若平面PAC ⊥平面ABC ,且PA PC =,90ABC ∠=︒,求证：平面PEF ⊥平面PBC ．(22)（本小题满分12分）已知函数62252)(12-⋅-=+x xx f ,其中[0,3]x ∈, （1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若实数a 满足：()0f x a -≥恒成立,求a 的取值范围．河南省新乡市新乡县第一中学高一上学期竞赛试题数学答案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分． 13．3； 14．132； 15．32； 16．(3,⎤-∞-⎦ 三、解答题：本大题共6小题,共70分．17．（本小题满分10分）（1）B A {}210x x =<< ……………………………３分（2）{}37或R C A x x x =<> ……………………４分B AC R )({}23710或x x x =<<<< ……………………………６分（3）7a ≥ …………………………………1０分 18．（本小题满分12分） (1)由210-≠x可得1≠±x , ……………………3分所以函数的定义域为：()()()1111,,,-∞--+∞；……………………4分（2）因为22221111()()()()+-+-===---x x f x f x x x,……………………7分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DACBDABDBDCDPAC EBF所以函数()f x 为偶函数；……………………8分（3）因为22222211111111111()()()()+++====----x x x f f x x x x x,……………………11分所以 )()1(x f xf -= ． .……………………12分 19. （本小题满分12分）（Ⅰ）PA ⊥平面ABCD,∴ AB 是PB 在平面ABCD 上的射影, 又AB ⊥AC,AC ⊂平面ABCD, ∴AC ⊥PB.（Ⅱ）连接BD,与AC 相交与O,连接EO, ABCD 是平行四边形 ∴O 是BD 的中点又E 是PD 的中点, ∴EO PB. 又PB ⊄平面AEC,EO ⊂平面AEC, ∴PB //平面AEC,（Ⅲ）如图,取AD 的中点F,连EF,FO,则 PA ⊥平面EF 是△PAD 的中位线, ∴EF //PA 又ABCD , ∴EF ⊥平面ABCD同理FO 是△ADC 的中位线,∴FO //AB ∴FO ⊥AC 由三垂线定理可知∴∠EOF 是二面角E －AC －D 的平面角. 又FO ＝12AB ＝12PA ＝EF 。

数学竞赛高一试题及答案

数学竞赛高一试题及答案一、选择题（每题5分，共10分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。

A. 4B. 6C. 8D. 102. 一个圆的半径为5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题5分，共10分）3. 已知\( a \)、\( b \)、\( c \)为三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，这个三角形是________。

4. 将\( 1 \)、\( 2 \)、\( 3 \)三个数字排列成三位数，所有可能的组合数是________。

三、解答题（每题15分，共30分）5. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + 2n \)，求\( a_5 \)。

6. 一个直角三角形的斜边长为\( 5 \)，一条直角边长为\( 3 \)，求另一条直角边长。

四、证明题（每题15分，共30分）7. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。

8. 证明：若\( a \)、\( b \)、\( c \)是三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则这个三角形是直角三角形。

五、综合题（每题15分，共20分）9. 一个工厂计划在一年内生产\( x \)个产品，已知生产每个产品的成本是\( 10 \)元，销售每个产品的价格是\( 20 \)元。

如果工厂希望获得的利润不少于\( 10000 \)元，求\( x \)的最小值。

10. 已知函数\( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( g(x) \)的极值点。

答案：一、选择题1. 答案：B. 6（计算方法：\( f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 \)）2. 答案：B. 50π（计算方法：圆面积公式为\( πr^2 \)，代入\( r = 5 \)）二、填空题3. 答案：直角三角形4. 答案：6（排列组合方法：\( 3 \times 2 \times 1 = 6 \)）三、解答题5. 答案：\( a_5 = 1 + 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) = 1 + 2 + 4 +6 + 8 = 21 \)6. 答案：根据勾股定理，另一条直角边长为\( 4 \)（计算方法：\( 5^2 - 3^2 = 4^2 \)）四、证明题7. 证明：根据等差数列求和公式，\( 1 + 2 + ... + n =\frac{n(n+1)}{2} \)，立方后得到\( \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \)，展开后即为\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 \)。

高一数学竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a² + b² = c²，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 函数f(x) = 2x³ - 3x² + 1在区间[-1,2]上的最大值是：A. 1B. 7C. 9D. 无法确定3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的元素个数：A. 3B. 4C. 5D. 64. 等差数列的首项a₁ = 3，公差d = 2，第10项a₁₀的值是：A. 23B. 25C. 27D. 295. 圆的方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 9，圆心到直线x + 2y - 7= 0的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知函数y = |x| + 1的图像与直线y = kx平行，那么k的值是：A. 1B. -1C. 0D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）7. 若二次函数y = ax² + bx + c的顶点坐标为(-1, -4)，则a =_______。

8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，第5项的值为 _______。

9. 一个正六边形的内角和为 _______。

10. 若直线y = 2x + b与曲线y = x² - 3x相切，则b = _______。

11. 圆的方程为x² + y² = 25，圆上一点P(4,3)到圆心的距离是_______。

三、解答题（每题25分，共50分）12. 已知直线l₁：2x - 3y + 6 = 0与直线l₂：x + y - 2 = 0相交于点M，求点M的坐标。

13. 已知函数f(x) = x³ - 3x + 2，求证：对于任意的x > 0，都有f(x) > x。

高一数学竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题一．选择题（本大题共有10个小题，每小题5分，共50分.）1、设集合Ａ＝{}43.21,,,a a a a ，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成集合{}8,5,3,1-=B ，则A ＝（）A ．{}6,2,1,3-B ．{}6,2,0,3-C ．{}6,2,1,1-D ．{}6,1,0,3- 2、等差数列{}n a 中，已知10573a a =，且01<a ，则前n 项和S n 中最小的是（） A ．S 7或S 8 B ．S 12 C ．S 13 D ．S 15 3、已知函数x a x f 3sin)(π=，a等于抛一骰子得到的点数，则)(x f y =在[0，4]上至少有5个零点的概率为（） A ．31 B ．21 C ．32 D ．654、若方程 04)1(2=++-x m x 在（0，3]上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为（） A ．（3，310） B ．[3，310） C ．[3，310] D ．（3，310]5、已知在半径为2的圆Ｏ上有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点，若ＡＢ＝ＣＤ＝2，ＡＢ、ＣＤ中点分别为O 1,Ｏ2，则△Ｏ2AB 的面积最大值为（） A ．32 B ．22 C ．3 D ．336、函数)123(log )(2-++-=a x ax x f a 对于任意的x ∈（0，1]恒有意义，则实数a 的取值范围为（） A ．a ＞0且a ≠1 B ．a ≥21且a ≠1 C ．a ＞21且a ≠1 D ．a ＞17、已知0＜α2＜090＜β＜0180，a ＝βαcos )(sin ，βαsin )(cos =b ，βαcos )(cos =c ，则a ，b ，c 大小关系为（）A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b8、已知数列}{n a 满足1a ＝1，1321113121--+⋯⋯+++=n n a n a a a a ,2(≥n )*N n ∈，若100=k a ，则k 为（）A ．100B ．300C ．200D ．4009、设Ｐ为△AB Ｃ内一点，且ACAB AP 5152+=,则△ＰB Ｃ与△AB Ｃ的面积之比为（） A ．51 B ．53C ．54 D ．5210、若任意满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-03050y y x y x 的实数x ，y ，不等式222)()(y x y x a +≤+恒成立，则实数a 的最大值为（）Ａ.1322 B.1325 C. 2 D.2513二、填空题（每小题5分，共25分）11、如图，四边形ＡＢＣＤ中，Ａ＝60°, AD ⊥CD ，ＤＢ⊥ＢＣ，ＡＢ＝32，ＢＤ＝4，则BC 的长为。

高中数学高一级第一学期数学竞赛试题(word文档有答案)

高中数学高一级第一学期数学竞赛试题班级姓名学号评分一．选择题（10*4=40）1.设},0)()({,}0)({,}0)({=⋅=Φ≠==Φ≠==x g x f x P x g x N x f x M 则集合P 恒满足的关系为( ) A.N M P ⋃= B.N M P ⋃⊆ C.Φ≠P D.N M P ⋂=2.ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，==-=+B C A b c a 则,3,2π( )A.839arccos B.45 C.60 D.839arcsin3.设⎪⎩⎪⎨⎧=为无理数为有理数x x x f 01)( ，对于所有x 均满足)()(x g x xf ≤的函数)(x g 是( )A.x x g sin )(=B.x x g =)(C.2)(x x g =D.x x g =)(4.已知,都是长度小于1的向量，对于任意非负实数,,b a 下列结论正确的是( )A.b a u a +≤+B.b a u a +≥+C.b a u a +=+D.不能确定b a u a ++的大小关系5.设ABC ∆的三个内角C B A ,,成等差数列，其外接圆半径为1，且有+-C A sin sin ,22)cos(22=-C A 则此三角形的面积为 ( ) A.433 B.43 C.43或433 D.43或533 6.函数)cos(3)sin()(θθ-++=x x x f 的图象关于y 轴对称，则=θ( )A.)(6Z k k ∈-ππ B.)(3Z k k ∈-ππ C.)(62Z k k ∈-ππ D.)(32Z k k ∈-ππ7.数列}{n a 中，11=a 且411++=+n n n a a a ，则=99a ( ) A.412550 B.2500 C.412450 D.24018.设函数22)(2+-=x ax x f 对于满足41<<x 的一切0)(>x f ，则a 的取值范围是( )A.1>aB.1-<aC.11<<-aD.1-≥a9.设函数xxx y +-+=11arctan arctan ，则它的值域为( ) A.]4,43[ππ-- B.}43,4{ππ- C.)4,43(ππ-- D. )4,43(ππ-10.函数8422)(22+-++-=x x x x x f 的最小值是( )A.23B.15+C.10D.22+二．填空题（4*5=20）11.ABC ∆中，36=∠A ，F E ,分别在边AC AB ,上，且CF BE =，N M ,分别是线段CE BF ,的中点，则直线MN 与直线AB 所成的较小的角的大小为。

高一数学竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.1415926B. πC. √2D. 0.33333（无限循环小数）答案：B2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。

A. -15B. -7C. -3D. 1答案：B3. 一个圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，如果d < r，那么该直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 内含答案：B4. 如果一个等差数列的前三项和为9，第四项为5，求该数列的首项a1。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题（每题4分，共12分）5. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，其体积的公式是______。

答案：abc6. 若sinθ = 1/3，且θ在第一象限，求cosθ的值。

答案：2√2/37. 已知等比数列的前n项和公式为S_n = a1(1 - r^n) / (1 - r)，其中a1是首项，r是公比。

如果S_5 = 31，a1 = 1，求r的值。

答案：2三、解答题（每题18分，共54分）8. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。

证明：由题意，我们需要证明n^5 - n 能被30整除。

首先，我们知道任何正整数n都能被1、2、3、5中的至少一个整除。

设n = 2a + b，其中a和b是整数，且b属于{0, 1, 2, 3, 4}。

则n^5 - n = (2a + b)^5 - (2a + b) = 32a^5 + 20a^4b + 5a^3b^2 + a^2b^3 + 2ab^4 - 2a - b。

可以看到，除了最后两项，其他项都能被2整除。

对于最后两项，我们有2a - b = 2(a - b/2)，当b为偶数时，2a - b能被2整除；当b为奇数时，a - b/2为整数，所以2a - b也能被2整除。

同理，b - 1能被3整除，因为b属于{0, 1, 2, 3, 4}。

高一数学上竞赛试题及答案详解

2006年“元旦”高一数学竞赛试题（新课程）班别姓名分数（时间：100分钟, 满分150分）一、选择题(共6小题,每小题6分,共48分)1、集合｛0,1，2，2006｝的非空真子集的个数是（）（A ）16 （B ）15 （C ）14 （D ）132、设U=Z ，M={2,}x x k k z =∈，N={21,}x x k k z =±∈，P={41,}x x k k z =±∈，则下列结论不正确的是（）(A)U C M N = (B)U C P M = (C) M N =∅ (D) N P N =3、根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)64、函数12x y -=的图象是（）5、函数()log [1,2]x a f x a x =+在上的最大值和最小值之差为21a a -+,则的a 值为 ( )(A )2或21 (B)2或4 (C)21或4 (D)26、有A 、B 、C 、D 、E 共5位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛1盘，比赛过程中统计比赛的盘数知：A 赛了4盘，B 赛了3盘，C 赛了2盘，D 赛了1盘，则同学E 赛了（）盘（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）47若052>++c x ax 的解是2131<<x ,则a 和c 的值是（） (A)a=6,c=1 (B)a=6,c=-1 (C)a=-－6,c=1 (D)a=－6,c=-－18、若x=20lg 7 , 7.0lg )21(=y 则xy 的值为（） (A) 12 (B)13 (C)14 (D)15 二、填空题（共6小题,每小题7分,共42分）1、已知函数(0)()(0)x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，奇函数()g x 在0x =处有定义，且0x <时，()(1)g x x x =+，则方程()()1f x g x +=的解是。

数学竞赛高中试题及答案

数学竞赛高中试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，那么f(2)的值是多少？A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{an}的前三项分别为1, 4, 7，求该数列的第五项。

A. 10B. 13C. 16D. 19答案：A3. 一个圆的直径为10cm，那么它的半径是多少？A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm答案：A4. 在直角坐标系中，点P(3, -4)关于x轴的对称点坐标是多少？A. (3, 4)B. (-3, 4)C. (3, -4)D. (-3, -4)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 计算：\(\sqrt{49} - \sqrt{16} = \)______。

答案：56. 一个等腰三角形的两边长分别为5cm和8cm，那么它的周长是_______cm。

答案：187. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求g(2)的值。

答案：-28. 一个数的平方加上它的两倍等于17，设这个数为n，则n的值为______。

答案：3或-4三、解答题（每题10分，共60分）9. 已知函数h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求函数的零点。

答案：函数h(x)的零点为x = 1, 2, 3。

10. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且a > b > c，求证：长方体对角线的长度d满足\(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\)。

答案：证明略。

11. 已知数列{bn}满足：b1 = 2，bn+1 = 2bn + 1，求数列的前五项。

答案：2, 5, 11, 23, 4712. 一个圆的内接三角形的三个顶点分别在圆上，且三角形的周长为12cm，求圆的半径。

答案：2cm13. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 9，求函数的最小值。

答案：函数的最小值为0。

高一数学竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若一个等差数列的首项为3，公差为5，那么它的第n项可以表示为：A. 3 + 5(n-1)B. 3 + 5nC. 5 + 3(n-1)D. 5 + 3n2. 下列哪个分数可以化简为1/2？A. 3/6B. 5/10C. 7/14D. 9/183. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 9，求f(x)的最小值。

A. -36B. -9C. 0D. 94. 若a, b, c是等比数列，且a + b + c = 0，那么b^2的值是：A. a^2 + c^2B. -a^2 - c^2C. acD. -ac5. 一个圆的半径是5cm，求这个圆的面积（圆周率取3.14）。

A. 78.5平方厘米B. 157平方厘米C. 200平方厘米D. 314平方厘米二、填空题（每题5分，共20分）6. 一个等比数列的前三项分别是2, 6, 18，那么它的第四项是_______。

7. 函数g(x) = |2x - 3| + |x + 1|的最小值是_______。

8. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，那么它的斜边长（根据勾股定理）是_______。

9. 一个圆的周长是12π，那么这个圆的直径是_______。

三、解答题（每题10分，共60分）10. 已知等差数列的前n项和为S_n = n^2 + 2n，求这个等差数列的前三项。

11. 求解方程：\(\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} = 3\)。

12. 一个圆与直线y = 2x + 3相交于点P，圆心坐标为(1, 0)，且半径为2。

求点P的坐标。

13. 证明：若a, b, c, d是正整数，且满足a^2 + b^2 = c^2 + d^2，则a + b = c + d。

14. 一个等差数列的前10项和为110，且第10项是第2项的3倍，求这个等差数列的公差和首项。

高一数学竞赛答案一、选择题答案1. A2. D3. D4. B5. B二、填空题答案6. 547. 28. 59. 6三、解答题答案10. 首项为2，公差为4，前三项为2，6，10。

高一数竞试题及答案

高一数竞试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数\( f(x) \)在区间\( [a, b] \)上连续，且\( \int_{a}^{b} f(x) dx = 0 \)，则下列说法正确的是：A. \( f(x) \)在\( [a, b] \)上恒等于0B. \( f(x) \)在\( [a, b] \)上至少有一个零点C. \( f(x) \)在\( [a, b] \)上单调递增D. \( f(x) \)在\( [a, b] \)上单调递减答案：B2. 已知\( \triangle ABC \)的内角\( A, B, C \)满足\( \sin A +\sin B + \sin C = 0 \)，则\( \triangle ABC \)的形状是：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形答案：A3. 设\( a, b \)是方程\( x^2 - 3x + 2 = 0 \)的两个实数根，则\( a^2 + b^2 \)的值为：A. 4B. 5C. 6D. 7答案：C4. 若\( \log_{2}(3x-2) > 1 \)，则\( x \)的取值范围是：A. \( x > 2 \)B. \( x > \frac{5}{3} \)C. \( x < 2 \)D. \( x < \frac{5}{3} \)答案：B5. 函数\( f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 6x + 9} \)的值域是：A. \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)B. \( (-\infty, 0] \cup [0, +\infty) \)C. \( (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) \)D. \( (-\infty, 1] \cup [1, +\infty) \)答案：D6. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，且\( a_{n+1} =2a_n + 1 \)，\( n \geq 1 \)，则\( a_3 \)的值为：A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知\( \sin \alpha = \frac{3}{5} \)，\( \cos \alpha =\frac{4}{5} \)，则\( \tan \alpha \)的值为______。