高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算第2课时导数的运算法则课件新人教A版选修1-1

f ( x) f ( x)g( x) f ( x) g( x)

g(
x)


g( x)2
( g( x) 0).
1.思考下列问题:
(1)在导数的运算法则中,f(x),g(x)是否能是常数函数?
提示:可以.
由法则2:
C f ( x ) C ' f ( x ) C f ( x ) C f ( x ).
(2)因为c '(98)
5 284 (100 98)2
1
321,
所以纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率
是1 321元/吨.
【提升总结】
函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附 近变化的快慢.由上述计算可知 c′(98) 25c′(90) .它 表示纯净度为98%左右时净化费用的变化率,大约是纯 净度为90%左右时净化费用变化率的25倍.这说明, 水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费 用增加的速度也越快.

(100 x)2
0 (100 x) 5 284 (1)

(100 x)2
5 284 (100 x)2 .
c '(
x)

5 284 (100 x)2
.
(1)因为c '(90)
5 284 (100 90)2

52.84,
所以纯净度为90%时，净化费用的 瞬时变化率是52.84元/吨.
【即时训练】
求下列函数的导数:
(1) y x 1 . (2) y tan x. (3) y 5x. x
答案:
(1)
y

1
1 x2
.
(2)
y

1 cos2
x
.
(3) y 5x ln 5.
例1 求函数y=x3-2x+3的导数. 解:y′=(x3-2x+3)′=(x3)′-(2x)′+(3)′ =3x2-2， 所以,所求函数的导数是y′=3x2-2.
【变式练习】
某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= 1 t 4
4
-4t3+16t2.
(1)此物体什么时刻在始点?
(2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即 1 t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解
4
得t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻此物体在始点.
位:元）为：
c(x)= 5 284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时
变化率.
(1)90%.
(2)98%.
解:净化费用的瞬时变化率就是净化费
用函数的导数。.
c '( x)=( 5 284 )' 100 x
(5 284)' (100 x) 5 284 (100 x)'
因为y=x＋1的斜率为1， 所以1=2+b, 所以b=-1. 又因为点（1,2）在抛物线上， 所以c=2.
答案: b 1, c 2
7.如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3
平行, 求切点坐标与切线方程.
解: 因为切线与直线 y=4x+3 平行, 所以切线的斜率为 4. 又切线在 x0 处的斜率为 y | x=x0 =(x3+x-10) | x=x0 =3x02+1， 所以3x02+1=4，所以x0=1. 当 x0=1 时, y0=-8; 当 x0=-1 时, y0=-12. 所以切点坐标为 (1, -8) 或 (-1, -12).
4.如果曲线y=x2的某一切线与直线y=4x+3平行， 则切点坐标为__(_2_,_4_)__. 【解析】设切点(x0,y0)，∵y′=2x，∴2x0=4， 即x0=2.又(x0,y0)在曲线y=x2上， ∴y0=22=4,∴切点坐标为(2,4).
数
′
′
3
6．已知抛物线y=x2＋bx＋c在点(1，2)处与直线 y=x＋1相切，求b，c的值． 解：y′=2x+b
u v ,

u v


u v
.
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。
切线方程为 y=4x-12 或 y=4x-8.
求导法则
1.(u v) ' u ' v ',
( f1 f2 fn ) ' f1 ' f2 ' fn '.
2.(uv) ' u 'v uv '.
3.(u
v
)
'

u
'
v v2
uv
'
.
注意: ( u v )
（ B） A.f(x)＝g(x) B.f(x)－g(x)为常数函数 C.f(x)=g(x)=0 D.f(x)+g(x)为常数函数
2．函数y=sinx(cosx＋1)的导数为 y′=cos2x+cosx .
3．（2013·江西高考）若曲线y=x2+1（α ∈R）在点 （1，2）处的切线经过坐标原点，则α = 2 ．
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x).
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个 函数的导数乘第二个函数,加上第一个函 数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x).
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数 的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二 个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方，即:
【变式练习】
求下列函数的导数:12源自(1) y x x2 .x (2) y 1 x2 .
答案:
(1) y
14 x2 x3 .
(2)
y

1 x2 (1 x2 )2
.
例2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，
随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.
已知1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单
第2课时 导数的运算法则
基本初等函数的导数公式 (1)若f(x)＝c(常数)，则f′(x)＝ 0 . (2)若f(x)＝xα(α∈Q﹡)，则f′(x)＝ αxα－1 .
(3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝ cos x . (4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x .
(5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝ axln a(a>0) .
(6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝ ex . (7)若f(x)＝logax，则f′(x)＝ (8)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝
x
1 ln
a
(a

0,
且. a

1)
1
.
x
1.掌握导数的和、差、积、商的求导法则. （重点）
2.会运用导数的四则运算法则解决一些函数 的求导问题.（难点）
探究 导数的运算法则: 法则1:两个函数的和(差)的导数,等于 这两个函数的导数的和(差),即:
例如,①若y=f(x)=±c,则y′=f′(x);
②若y=af(x),则y′=af′(x);
③
k kf x [f x] ［f x］2
(f(x)≠0).
(2)应用导数的运算法则求导数的前提是什么? 提示:应用导数的运算法则求导数的前提是 f′(x),g′(x)都是存在的.
3.运算法则的推广 (1)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求 导数仍然成立. 两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函 数的情况,即 [f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′ =f′1(x)±f′2(x)±f′3(x)±…±f′n(x). (2)积的导数公式的拓展,若y=f1(x)f2(x)…fn(x),则有 y′=f1′(x)f2(x)…fn(x)+f1(x)f2′(x)…fn(x)+…+f1 (x)f2(x)…fn′(x).
（2）因为s(t)= t3 - 12t2 +32t,令s(t)= 0, 即t3-12t2+32t=0,解得t1=0,t2=4,t3=8,
故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
例3：(2016·长春高二检测)若函数f(x)=
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),且f′(x)是函数f(x)的
导函数,则f′(1)= ( )
A.24
B.-24
C.10
D.-10
2.(2016·蚌埠高二检测)已知函数f(x)= 1 cosx,
x
则f′() =( )
2
A. 2
B. 2
C. 1
D. 1




1．若f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，且 f(x)，g(x)满足f(x)=g(x)，则f(x)与g(x)满足