第十九几何证明

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(典型题)沪教版八年级上册数学第十九章几何证明含答案

沪教版八年级上册数学第十九章几何证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在正方形OABC中，点B的坐标是(6，6)，点E，F分别在边BC，BA 上，OE=3 .若∠EOF=45°，则F点的纵坐标是 ( )A.2B.C.D. －12、下列说法中正确的是（）①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的中线也是它的高；④线段垂直平分线上的点（不在这条线段上）与这条线段两个端点构成等腰三角形A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④3、在平面直角坐标系xOy中有一点P（8,15），那么OP与x轴正半轴所夹的角的正弦值等于( )A. B. C. D.4、如图，在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB•PC的值为（）A.m 2B.m 2+1C.2m 2D.（m+1）25、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为( )A.2B.2.6C.3D.46、如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB= ；②当点E与点B重合时，MH= ；③AF2+BE2=EF2；④MG•MH= ，其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.47、如图所示，在Rt△ABC中，E为斜边AB的中点，ED⊥AB，且∠CAD：∠BAD=1：7，则∠BAC的度数为( )A.70°B.48°C.45°D.60°8、如图所示，在中，，，D是BC的中点，连接AD，，垂足为E，则AE的长为（）A.4B.6C.2D.19、如图，在中，，，于，是的平分线，且交于，如果，则的长为（）A.2B.4C.6D.810、直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其斜边上的高为（）A.6cmB.8.5cmC. cmD. cm11、如图是一个圆锥的主视图，则该圆锥的侧面积是（）A.6πB.3πC.D.12、已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于（）A. B. C. D.13、如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为（）A. B. C.1 D.14、若⊙P的半径为13，圆心P的坐标为（5, 12 )，则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（)A.在⊙P内B.在⊙P上C.在⊙P外D.无法确定15、如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（）A.9cmB.8cmC.7cmD.6cm二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，三角形ABC三边的长分别为AB＝m2﹣n2， AC＝2mn，BC＝m2+n2，其中m、n都是正整数．以AB、AC、BC为边分别向外画正方形，面积分别为S 1、S2、S3，那么S1、S2、S3之间的数量关系为________．17、若一个直角三角形的两直角边的长分别为6和8，则斜边的长为________．18、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，CD=8，则BE=________．19、三角形的三边a，b，c满足(a－b)2＝c2－2ab，则这个三角形是________.20、如图，已知∠C=90°，AB=12，BC=3，CD=4，AD=13，则∠ABD=________．21、直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是________．22、如图，在中，点为弧的中点，弦，互相垂直，垂足为，分别与，相于点，，连结，.若的半径为2，的度数为，则线段的长是________.23、我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为________．24、如图所示，△ABC为等边三角形，AD为BC边上的高，且AB＝2，则正方形ADEF的面积为________．25、如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC=130°，则∠ABC=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，AC⊥BD，垂足点E是BD的中点，且AB=CD，求证：AB//CD.27、如图,已知, ，与交于, .连接.求证：是等腰三角形.28、如图，BC=3cm，AB=4cm，AF=12cm，且∠B=∠FAC=90°，求正方形CDEF的面积．29、如图所示，△ABC中，D为BC边上一点，若AB=13cm，BD=5cm，AD=12cm，BC=14cm，求AC的长．30、在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当≤S≤5 时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、A3、B4、A5、D6、C7、B8、C9、C10、D12、A13、C14、B15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、29、。

(基础题)沪教版八年级上册数学第十九章几何证明含答案

沪教版八年级上册数学第十九章几何证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①DE＝CD；②AD平分∠CDE；③∠BAC＝∠BDE；④BE+AC＝AB，其中正确的是（）A.1个B.2个C.3个D.4个2、如图，在中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接，若，，则的度数为( )A. B. C. D.3、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE ＝4，则AD等于( )A.10B.12C.24D.484、如图，在中，，，，扇形AOC 的圆心角为，点D为上一动点，P为BD的中点，当点D从点A运动至点C，则点P的运动路径长为（）A.1B.C.D.5、如图，△ABC是半径为1的⊙O的内接正三角形，则圆的内接矩形BCDE的面积为（）A.3B.C.D.6、如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（）A. B. C. D.7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=4 ，BC的中点为D．将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG．在旋转过程中，DG的最大值是（）A.4B.6  C.2＋2D.88、如图，锐角中，，若想找一点P，使得与互补，甲、乙、丙三人作法分别如下：甲：以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于P点，则P即为所求；乙：分别以B，C为圆心，AB，AC长为半径画弧交于P点，则P即为所求；丙：作BC的垂直平分线和的平分线，两线交于P点，则P即为所求. 对于甲、乙、丙三人的作法，下列叙述正确的是（）A.三人皆正确B.甲、丙正确，乙错误C.甲正确，乙、丙错误 D.甲错误，乙、丙正确9、如图，正方形 ABCD 的边长为 5，点 M 是边 BC 上的点，DE⊥AM 于点 E，BF∥DE，交 AM 于点 F.若E 是 AF 的中点，则 DE 的长为（）A. B.2 C.4 D.10、如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（）A.3 ：4B.5 ：8C.9 ：16D.1 ：211、如图，的直径的长为，弦长为，的平分线交于，则长为（）A.7B.7C.8D.912、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（）A.3个B.4个C.5个D.6个13、下列各组数为边长的三角形中，能够形成直角三角形的是（）A.2，3，4B.5，12，13C. ，，D. ，，14、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A.4B.6C.16D.5515、如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；②作直线，且恰好经过点A，与交于点E，连接，若，则的长为（）A. B. C.4 D.二、填空题(共10题，共计30分)16、《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是________寸．17、如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，若AB=8cm，BD=________cm．18、如图，在正方形中，点分别是边的中点，连接过点E作垂足为的延长线交于点G.过点作分别交于正方形的边长为，下列四个结论:① ② ；③ ；④若点是上一点，则周长的最小值为，其中正确的结论有________.19、如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OB＝2．∠BOC＝60°，连接AB，AB、OC相交于点D，则图中阴影部分的面积为________．20、如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、DC的中点，AM＝4，AN＝3，且∠MAN＝60°，则AB的长是________.21、在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA= ，则斜边AB边上的高CD的长为________.22、如图，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、D，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝140°，则∠EDF＝________．23、如图，已知线段，是的中点，直线经过点，，点是直线上一点，当为直角三角形时，则________．24、如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与点B，C重合），过点C作CN⊥DM交AB于点N，连结OM、ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②ON＝OM；③ON⊥OM；④若AB＝2，则S的最小值是1；⑤AN2+CM2＝MN2．其中正确结论是________；（只填序△OMN号）25、如图，在一次测绘活动中，在港口A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在港口A北偏东75°方向12海里处，船C在港口A南偏东15°方向9海里处，则船B与船C之间的距离为________海里。

沪教版初中数学第十九章-几何证明

知识点2 反证法
反证法证明命题的一般步骤：
（1）假设：先假设命题的结论不成立。
（2）归谬：从这个假设出发，运用正确的推理方法，得出定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果。
（3)结论：由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。
【典型例题】
【例1】证明：等腰三角形两底角的平分线相等.
【分析】已知等腰三角形两底角的平分线,如何证明两底角的平分线相等。利用两三角形全等的方法进行证明。证明过程中每一步推理都要有依据,依据作为推理的理由，可写在每一步后的括号里。
【解答】（2)、（4)不是命题;（1）、（3）是命题,其中（1）为假命题,（3）为真命题.
【注】真假命题的判别,主要是根据真假命题的定义,如实反映事物情况的命题是真命题，没有如实反映事物情况的命题是假命题。
【例2】指出下列命题的题设与结论,并改写成如果，那么 ”的形式
（1）全等三角形的对应边相等;
【解答】延长至 ,使，连接。
(全等三角形对应角相等）
图3
（等角对等边）
（等量代换）
【例4】如图4，在四边形中, 试证明线段能构成直角三角形。
【分析】本题的关键是要将三条线段放到一个三角形中，然后才能判断其形状,其中的60°角又是构造等边三角形的必不可少的条件，因此,通过旋转60°，既保证了图形的不变性，又构造了等边三角形.
图1
即
在和中
【例2】如图2，已知在中，是中线，交于点 , .
求证： .
【分析】本例通过添加辅助线，把要证明的两条线段“移”到同一个三角形内,构造等腰三角形证得.
【解答】延长到点 ,使，连接 .
在和中
（已知）
（对顶角相等)

沪教版八年级数学上册命题和证明

证明：“相等的两个角是对顶角”是假命题。
证明：如图，∠1=30°，∠2=30°，但∠1与∠2不是对顶角。
1 2
判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请（证1）明若：∣a∣=∣b∣,则a=b；
（2）如果ab>0，那么a、b都是正数；
（3）互为补角的两个角都是锐角。
人们从长期的实践中总结出来的真命题叫
∴∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等) A
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
E
∴∠A+∠B+∠ACB=180° B
12
CD
注意:辅助线应该用虚线表示
证法2：延长BC到D，过C作CE∥BA，
∵ CE∥BA
∴ ∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°
判断一个句子是不是命题的关键是什么？
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？
（1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形全等；
（2）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；
（3）如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是矩形；
命题的结构：
在数学中，许多命题是由题设(条件) 和结论两部分组成的. 题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项 . 这种命题常可写成 “如果 …，那么…”
的形式,“如果”开始的部分是题设,“那么” 开始的部分是结论.
指出下列命题的题设和结论: 1、如果两条直线相交，那么它们只
有一个交点；题设：两条直线相交
结论：它们只有一个交点

(典型题)沪教版八年级上册数学第十九章几何证明含答案

沪教版八年级上册数学第十九章几何证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知三角形的三边长分别为a，b，c，且a+b=10，ab=18，c=8，则该三角形的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形2、下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）A.a=3，b=4，c=5B.a=7，b=24，c=25C.a=4，b=5，c=6 D.a=6，b=8，c=103、如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝45°，以BC为弦作⊙O，交AC 于点D，OD与BC交于点E，若AB与⊙O相切，则下列结论：①∠BOD＝90°；②DO∥AB；③CD＝AD；④△BDE∽△BCD；⑤正确的有（）A.①②B.①④⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤4、已知△ 和△ 都是等腰直角三角形，，，，是的中点．若将△ 绕点旋转一周，则线段长度的取值范围是（）A. B. C. D.5、如图△ABC 的∠ABC 的外角平分线 BD 与∠ACB 的外角平分线 CE 交于 P，过 P 作MN∥AB 交 AC 于M，交 BC 于 N，且 AM＝8，BN＝5，则 MN＝（）A.2B.3C.4D.56、如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，则的长为（）A.8B.4C.3D.57、在下列由线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A.a＝4，b＝5，c＝6B.a＝12，b＝5，c＝13C.a＝6，b＝8，c＝10D.a＝7，b＝24，c＝258、绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）A.4mB.5mC.6mD.8m9、有一块三角形的草坪△ABC，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在 ( )A.△ABC三条角平分线的交点B.△ABC三边的垂直平分线的交点 C.△ABC三条中线的交点 D.△ABC三条高所在直线的交点10、下列各组数中，不是勾股数的是（）A.3，4，5B.5，12，13C.6，8，10D.7，13，1811、如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使顶点C恰好落在顶点A处，已知AB＝4cm，AD＝8cm，则折痕EF的长为( )A.5cmB. cmC. cmD. cm12、如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm13、如图，长方形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠得到△AFE，且点F在长方形ABCD内．将AF延长交边BC于点G．若BG=3CG，则=（）A. B.1 C. D.14、如图，在中，，，点D，E分别是AB, BC的中点，连接DE，CD，如果,那么的周长（）A.28B.28.5C.32D.3615、下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（）A.2，3，3B.2，3，4C.2，3，5D.3，4，5二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在处，则重叠部分△AFC的面积为________17、如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为________ cm2．18、如图，是⊙O的直径，C是⊙O上一点，的平分线交⊙O于D，且，则的长为________．19、在三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AC=30cm，将该纸片沿过点B 的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1），剪去△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为________ cm．20、如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是________．21、如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，若∠C=15°，AB=4cm，则⊙O半径为________cm．22、如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A，点C均落在格点上，点B 为中点．（Ⅰ）计算AB的长等于________；（Ⅱ）若点P，Q分别为线段BC，AC上的动点，且BP=CQ，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出当PQ最短时，点P，Q的位置，并简要说明画图方法（不要求证明）________．23、如图，矩形纸片ABCD，AB=5，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP=OF，则AF的值为________.24、已知矩形OABC中，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，B的坐标为(10，5)，点P在边BC上，点A关于OP的对称点为A'，若点A'到直线BC 的距离为4，则点A'的坐标可能为________．25、如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=7，E为BC上的动点，将矩形沿直线AE翻折，使点B的对应点B＇落在∠ADC的平分线上，过点B＇作B＇F⊥BC于点F，求△B＇EF的周长________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．27、如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE 交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长．28、如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB角平分线上一点，CP∥OA，交OB于点C，PD⊥OA，垂足为点D，且PC=4，求PD的长.29、去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（≈1.732）30、由于大风，山坡上的一颗树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一颗树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、C3、C4、A5、B6、B7、A8、D9、A10、D11、B12、C14、C15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、29、。

第19章几何证明(常考、易错必刷30题14种题型专项训练)(解析版)

第19章几何证明（常考、易错必刷30题14种题型专项训练）一．平行线的判定与性质（共2小题）1．（2023春•浦东新区校级期末）若两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的是（）A．一对同位角的平分线互相平行B．一对内错角的平分线互相平行C．一对同旁内角的平分线互相平行D．一对同旁内角的平分线互相垂直【分析】结合角平分线的定义，根据平行线的性质与判定进行分析，从而得到答案．【解答】解：如图所示：若两条平行线被第三条直线所截，一对同位角和内错角的平分线互相平行，一对同旁内角的平分线互相垂直，所以C错误．故选C．【点评】本题考查两条平行线被第三条直线所截得的角的角平分线之间的关系，可结合图形进行分析．2．（2023秋•浦东新区期中）如图，点C，D在直线AB上，∠ACE+∠BDF＝180°，EF∥AB．（1）求证：CE∥DF．（2）∠DFE的角平分线FG交AB于点G，过点F作FM⊥FG交CE的延长线于点M．若∠CMF＝55°，再求∠CDF的度数．【分析】（1）根据平角的性质进行等量代换，得到∠BDF＝∠BCE，利用同位角相等两直线平行即可得答案；（2）根据两直线平行，同旁内角互补得到∠DFM＝125°，进而得到∠DFG＝35°，再根据角平分线的定义，得到∠DFE＝2∠DFG＝70°，最后利用平行线的性质，即可求出∠CDF的度数．【解答】（1）证明：∵∠ACE+∠BDF＝180°，∠ACE+∠BCE＝180°，∴∠BDF＝∠BCE，∴CE∥DF；（2）解：∵CE∥DF，即CM∥DF，∴∠CMF+∠DFM＝180°，∵∠CMF＝55°，∴∠DFM＝125°，∵FM⊥FG，∴∠GFM＝90°，∴∠DFG＝∠DFM﹣∠GFM＝125°﹣90°＝35°，∵FG是∠DFE的角平分线，∴∠DFE＝2∠DFG＝70°，∵EF∥AB，∴∠CDF+∠DFE＝180°，∴∠CDF＝110°．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键．二．三角形内角和定理（共1小题）3．（2022秋•庐阳区校级月考）如图，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线，且相交于点O，若∠BCA ＝70°，则∠BOE的度数是（）A．60°B．55°C．50°D．40°【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∵CE平分∠ACB，∠ACB＝70°，∴∠DCO＝35°，∴∠BOE＝∠COD＝90°﹣35°＝55°，故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．三．直角三角形全等的判定（共1小题）4．（2021秋•徐汇区校级期末）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．一锐角和斜边对应相等B．两条直角边对应相等C．斜边和一直角边对应相等D．两个锐角对应相等【分析】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．【解答】解：A、正确．符合AAS；B、正确．符合SAS；C、正确．符合HL；D、错误．要证两三角形全等必须有边的参与．故选：D．【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解与运用，对知识要牢固掌握，灵活运用．四．全等三角形的判定与性质（共5小题）5．（2023秋•闵行区期中）如图在△ABC中，AB＝AC，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝70°，那么∠A＝　40°　．【分析】先证明△BDF≌△CED，得到∠BFD＝∠CDE，根据三角形的内角和与平角的定义推出∠FDE 与∠B相等，再利用三角内角和定理整理即可得出结论．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD＝∠CDE，∴∠FDE＝180°﹣∠CDE﹣∠BDF＝180°﹣∠BFD﹣∠BDF＝∠B，∵∠FDE＝70°，∴∠B＝70°，∵∠B+∠C+∠A＝180°，∴∠A＝40°．故答案为：40°．【点评】本题考查了三角形全等的性质与判定．通过三角形全等利用角的等量代换得到∠FDE＝∠B是正确快速解答本题的关键．6．（2023秋•浦东新区期中）如图，△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，且ED ⊥AB于点F，且AB＝DE．（1）求证：BD＝2EC；（2）若BD＝10cm，求AC的长．【分析】（1）根据AAS证明△ABC≌△EDB得BD＝BC，再根据E是BC的中点，即可得出结论；（2）根据（1）的结论，结合BD＝10，即可求出AC的长．【解答】（1）证明：∵ED⊥AB，∠ACB＝∠DBC＝90°，∴∠BFE＝∠DBC＝90°，∴∠BEF+∠ABC＝∠BDE+∠BEF＝90°，∴∠ABC＝∠BDE，在△ABC和△EDB中，，∴△ABC≌△EDB（AAS），∴BD＝BC，∵E是BC的中点，∴BC＝2CE，∴BD＝2EC；（2）解：由（1）知，△ABC≌△EDB，∴BE＝AC，∵BD＝2CE，即BD＝2BE，∵BD＝10，∴AC＝BE＝5cm．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ABC≌△EDB是解题的关键．7．（2022秋•杨浦区期中）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC 于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S＝ab．其中正确的个数是（）△ABCA．1个B．2个C．3个D．0个【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确．【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，①错误；∵∠C＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝120°，∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°，∴∠BOE＝60°，如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠HBO＝∠EBO，在△HBO和△EBO中，，∴△HBO≌△EBO（SAS），∴∠BOH＝∠BOE＝60°，∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠AOH＝∠AOF，在△HAO和△FAO中，，∴△HAO≌△FAO（ASA），∴AF＝AH，∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴点O在∠C的平分线上，∴OH＝OM＝OD＝a，∵AB+AC+BC＝2b∴S＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝（AB+AC+BC）•a＝ab，③正确．△ABC故选：B．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，是解决问题的关键．8．（2023秋•闵行区期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC的中点，过点E作FG⊥AD交AD 的延长线于H，交AB于F，交AC的延长线于G．求证：（1）AF＝AG；（2）BF＝CG．【分析】（1）由FG⊥AD交AD的延长线于H，∠AHF＝∠AHG＝90°，可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△AHF≌△AHG，得AF＝AG；（2）作CL∥AB交FG于点L，则∠AFG＝∠CLG，由AF＝AG，得∠AFG＝∠G，则∠CLG＝∠G，得CL＝CG，再证明△BEF≌△CEL，得BF＝CL，所以BF＝CG．【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠FAH＝∠GAH，∵FG⊥AD交AD的延长线于H，∴∠AHF＝∠AHG＝90°，在△AHF和△AHG中，，∴△AHF≌△AHG（ASA），∴AF＝AG．（2）作CL∥AB交FG于点L，则∠B＝∠ECL，∠AFG＝∠CLG，∵AF＝AG，∴∠AFG＝∠G，∴∠CLG＝∠G，∴CL＝CG，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BEF和△CEL中，，∴△BEF≌△CEL（ASA），∴BF＝CL，∴BF＝CG．【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线构造全等三角形是解题的关键．9．（2022秋•静安区校级期中）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内部的一点，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D、E，且AD＝AE．求证：OB＝OC．【分析】连接AO，先证Rt△AOD≌Rt△AOE，由全等三角形的性质可得：OD＝OE，进而证明△BOD≌△COE，所以OB＝OC．【解答】证明：连接AO，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ADO ＝∠AEO ＝90°，在Rt △AOD 和Rt △AOE 中，，∴Rt △AOD ≌Rt △AOE （HL ），∴OD ＝OE ，∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴AB ﹣AD ＝AC ﹣AE ，即BD ＝CE ，∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴∠ODB ＝∠OEC ＝90°，在△BOD 和△COE 中，，∴△BOD ≌△COE （SAS ），∴OB ＝OC ．【点评】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判断方法是解题的关键．本题易认为点O 是BE 和CD 的交点而进行错误的证明．五．角平分线的性质（共2小题）10．（2022秋•杨浦区期中）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC ＝26，DE ＝4，AB ＝7，则AC 长是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】作DF ⊥AC 于F ，如图，根据角平分线定理得到DE ＝DF ＝4，再利用三角形面积公式和S △ADB +S△ADC ＝S △ABC 得到×4×7+×4×AC ＝26，然后解一次方程即可．【解答】解：作DF ⊥AC 于F ，如图，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝4，∵S△ADB +S△ADC＝S△ABC，∴×4×7+×4×AC＝26，∴AC＝6，故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题，属于中考常考题型．11．（2022秋•黄浦区校级月考）如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC 的长不可能是（）A．4B．5C．6D．7【分析】在AC上取AE＝AB＝5，然后证明△AEP≌△ABP，根据全等三角形对应边相等得到PE＝PB＝3，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解．【解答】解：在AC上截取AE＝AB＝5，连接PE，∵AC＝9，∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4，∵点P是∠BAC平分线AD上的一点，∴∠CAD＝∠BAD，在△APE和△APB中，，∴△APE≌△APB（SAS），∴PE＝PB＝3，∵4﹣3＜PC＜4+3，解得1＜PC＜7，∴PC不可能为7，故选：D．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系；通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键﹒六．线段垂直平分线的性质（共4小题）12．（2022秋•栾城区期末）如图所示，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点E，若AE＝，则BE 两点间的距离是（）A．B．C．D．【分析】首先要连接BE，由已知条件结合垂直平分线的性质可直接得到答案，本题比较简单．【解答】解：连接BE，∵DE垂直平分线AB∴BE＝AE＝2．故选：C．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，题目较为简单，属于基础题．13．（2022秋•杨浦区期末）如图，已知在等腰△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝40°，DE是AB的垂直平分线，那么∠DBC＝　30　度．【分析】根据等边对等角，由已知的AB＝AC得到∠ABC与∠C相等，由∠A的度数求出∠ABC的度数，然后由DE为AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到AD与BD相等，再根据等边对等角得到∠A与∠ABD相等，由∠ABC与∠ABD相减即可求出所求角的度数．【解答】解：∵AB＝AC，且∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C＝＝70°，又DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．故答案为：30【点评】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质．其中线段垂直平分线性质为线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．14．（2022秋•翔安区期末）如图，在△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD 的延长线于点E，且AE＝BD，求证：BD是∠ABC的角平分线．【分析】延长AE、BC交于点F．根据同角的余角相等，得∠DBC＝∠FAC；在△BCD和△ACF中，根据ASA证明全等，得AF＝BD，从而AE＝EF，根据线段垂直平分线的性质，得AB＝BF，再根据等腰三角形的三线合一即可证明．【解答】证明：延长AE、BC交于点F．∵AE⊥BE，∴∠BEF＝90°，又∠ACF＝∠ACB＝90°，∴∠DBC+∠AFC＝∠FAC+∠AFC＝90°，∴∠DBC＝∠FAC，在△ACF和△BCD中，∴△ACF≌△BCD（ASA），∴AF＝BD．又AE＝BD，∴AE＝AF＝EF，即点E是AF的中点．∵BE⊥AF∴DE是AF的垂直平分线∴AB＝BF，根据等腰三角形三线合一的性质可知：BD是∠ABC的角平分线．【点评】此题综合运用了全等三角形的判定以及性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．15．（2022秋•松江区校级月考）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC＝85°，则∠BDC＝　95°　．【分析】先过点D作DF⊥AB于E，DF⊥AC于F，易证得△DEB≌△DFC（HL），即可得∠BDC＝∠EDF，又由∠EAF+∠EDF＝180°，即可求得答案．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，∵AD是∠BOC的平分线，∴DE＝DF，∵DP是BC的垂直平分线，∴BD＝CD，在Rt△DEB和Rt△DFC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）．∴∠BDE＝∠CDF，∴∠BDC＝∠EDF，∵∠DEB＝∠DFC＝90°，∴∠EAF+∠EDF＝180°，∵∠BAC＝85°，∴∠BDC＝∠EDF＝95°，故答案为：95°．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题注意掌握辅助线的作法，掌握数形结合思想与转化思想的应用．七．等腰三角形的性质（共1小题）16．（2023秋•闵行区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC上的一点，AD＝AB．求证：∠BAD＝2∠C．【分析】过点A作AH⊥BC，垂足为H，根据垂直定义可得∠AHB＝90°，然后再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BAH+∠B＝90°，∠B+∠C＝90°，从而利用同角的余角相等可得∠BAH＝∠C，最后利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD＝2∠BAH，从而可得∠BAD＝2∠C，即可解答．【解答】证明：过点A作AH⊥BC，垂足为H，∴∠AHB＝90°，∴∠BAH+∠B＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∴∠BAH＝∠C，∵AD＝AB，AH⊥BD，∴∠BAD＝2∠BAH，∴∠BAD＝2∠C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．八．含30度角的直角三角形（共2小题）17．（2021秋•普陀区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB于H，如果CH＝AC，那么∠B＝　60　度．【分析】根据垂直定义可得∠AHC＝90°，然后在Rt△AHC中，利用含30度角的直角三角形的性质可得∠A＝30°，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．【解答】解：∵CH⊥AB，∴∠AHC＝90°，∵CH＝AC，∴∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，故答案为：60．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．18．（2022秋•杨浦区期末）已知，如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD＝BC，AE⊥BC．（1）求证：∠CAE＝∠B；（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求AB的长．【分析】（1）根据三角形的中线定义可得BD＝DC＝BC，从而可得AD＝DC＝BD，然后利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠BAD，∠C＝∠DAC，再利用三角形的内角和定理可得∠B+∠C＝90°，最后根据垂直定义可得∠AEC＝90°，从而可得∠CAE+∠C＝90°，进而根据同角的余角相等即可解答；（2）在Rt△AEC中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AC的长，然后在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质即可解答．【解答】（1）证明：∵AD为BC边上的中线，∴BD＝DC＝BC，∵AD＝BC，∴AD＝DC＝BD，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠DAC，∵∠B+∠BAD+∠DAC+∠C＝180°，∴2（∠B+∠C）＝180°，∴∠B+∠C＝90°，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE+∠C＝90°，∴∠CAE＝∠B；（2）解：∵∠AEC＝90°，∠CAE＝30°，CE＝2，∴AC＝2CE＝4，∵∠B+∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝90°，∵∠B＝∠CAE＝30°，∴AB＝AC＝4，∴AB的长为4．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．九．勾股定理（共3小题）19．（2023秋•宝山区校级月考）△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高AD＝12，则BC＝　14或4　．【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝CD﹣BD．【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，∴BD＝5，在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，∴CD＝9，∴BC的长为BD+DC＝5+9＝14；（2）钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，∴BD＝5，在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，∴CD＝9，∴BC的长为DC﹣BD＝9﹣5＝4．故答案为：14或4．【点评】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．20．（2022秋•徐汇区期末）一个直角三角形两条直角边的比是3：4，斜边长为10cm，那么这个直角三角形面积为　24cm2　．【分析】根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵一个直角三角形两条直角边的比是3：4，∴设两条直角边分别为3x，4x，根据勾股定理得，（3x）2+（4x）2＝102，∴x＝2，∴两条直角边分别为6cm和8cm，∴这个直角三角形面积为×8×6＝24（cm2），故答案为：24cm2．【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．21．（2022秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，BD平分∠ABC，BD＝2，则以下结论错误的是（）A．点D在AB的垂直平分线上B．点D到直线AB的距离为1C．点A到直线BD的距离为2D．点B到直线AC的距离为【分析】根据三角函数的定义得到∠A＝30°，根据三角形的内角和得到∠ABC＝60°，根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD＝30°，求得点D在AB的垂直平分线上，过D作DE⊥AB于E，求得点D到AB的距离为1，BC＝CD＝，得到点B到AC的距离为，过A作AF⊥BD交BD的延长线于F，得到点A到BD的距离为．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，∴∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∴∠A＝∠ABD，CD＝BD＝1，∴AD＝BD＝2，∴点D在AB的垂直平分线上．故选项A结论正确；过D作DE⊥AB于E，∴DE＝DC＝1，∴点D到AB的距离为1（故选项B结论正确），BC＝CD＝，∴点B到AC的距离为，故选项D结论正确；过A作AF⊥BD交BD的延长线于F，∴AF＝AB＝BC＝，∴点A到BD的距离为，故选项C结论不正确；故选：C．【点评】本题考查的是勾股定理，直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．一十．勾股定理的证明（共2小题）22．（2022秋•宝山区期末）如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．（1）求证：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求证：CD＝BE；②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．【分析】（1）根据直角三角形的定义和垂直的定义，可以证明结论成立；（2）①根据AAS可以证明结论成立；②根据S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，代入字母计算即可证明结论成立．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ADC+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE；（2）①∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，由（1）知：∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE；②由图可知：S梯形ADEB ＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，∴＝，化简，得：a2+b2＝c2．【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．（2022秋•青浦区校级期末）在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示，AB＜BC）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，那么＝．【分析】首先求出小正方形的边长和大正方形的边长然后再求出BD和DE的长，进而可得的值．【解答】解：∵小正方形的面积是25，∴EB＝5，∵△HAG≌△BCA，∴AH＝CB，∵大正方形的面积为49，∴BH＝7，∴AB+AH＝7，设AB＝x，则AH＝7﹣x，在Rt△ABC中：x2+（7﹣x）2＝52，解得：x1＝4，x2＝3，当x＝4时，7﹣x＝3，当x＝3时，7﹣x＝4，∵AB＜BC，∴AB＝3，BC＝4，∴＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了勾股定理和锐角三角函数，关键是掌握勾股定理的应用．一十一．勾股定理的逆定理（共2小题）24．（2021秋•浦东新区期末）下列三个数为边长的三角形不是直角三角形的是（）A．3，3，3B．4，8，4C．6，8，10D．5，5，5【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．【解答】解：A．∵32+32＝18，（）2＝18，∴32+32＝（）2，∴以3，3，三个数为边长的三角形是直角三角形，故A不符合题意；B．∵42+（）2＝64，82＝64，∴42+（）2＝82，∴以4，8，三个数为边长的三角形是直角三角形，故B不符合题意；C．∵62+82＝100，102＝100，∴62+82＝102，∴以6，8，10三个数为边长的三角形是直角三角形，故B不符合题意；D．∵52+52＝50，（）2＝75，∴52+52≠（）2，∴以5，5，三个数为边长的三角形不是直角三角形，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．25．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AB上一点，联结CD，BD＝5，DC ＝12，BC＝13，则AB＝　16.9　．【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，从而可得∠BDC＝90°，然后利用平角定义可得∠ADC＝90°，再设AB＝AC＝x，则AD＝x﹣5，最后在Rt△ADC中，利用勾股定理列出关于x 的方程，进行计算即可解答．【解答】解：在△BDC中，BD＝5，DC＝12，BC＝13，∴BD2+CD2＝25+144＝169，BC2＝169，∴BD2+CD2＝BC2，∴△BCD是直角三角形，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝90°，设AB＝AC＝x，则AD＝AB﹣BD＝x﹣5，在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，∴（x﹣5）2+144＝x2，解得：x＝16.9，∴AB＝AC＝16.9，故答案为：16.9．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．一十二．勾股定理的应用（共1小题）26．（2022秋•宝山区校级期末）如图是一块四边形绿地的示意图，其中AB＝24，BC＝15，CD＝20，DA＝7，∠C＝90°．求此绿地ABCD的面积．【分析】连接BD，先根据勾股定理求出BD的长，再由勾股定理的逆定理判定△ABD为直角三角形，则四边形ABCD的面积＝直角△BCD的面积+直角△ABD的面积．【解答】解：连接BD．如图所示：∵∠C＝90°，BC＝15cm，CD＝20cm，∴BD＝＝＝25（cm）；在△ABD中，∵BD＝25cm，AB＝24cm，DA＝7cm，∴242+72＝252，即AB2+AD2＝BD2，∴△ABD是直角三角形．∴S四边形ABCD ＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD+BC•CD＝×24×7+×15×20＝84+150＝234（cm2）；即绿地ABCD的面积为234cm2．【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，正确分割四边形ABCD的面积是解题关键．一十三．命题与定理（共2小题）27．（2023秋•闵行区期中）下列命题中是真命题的是（）A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直C．三角形的一个外角等于两个内角的和D．等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形【分析】利用全等三角形的判定方法对A进行判断；根据平行线的性质和角平分线的定义对B进行判断；根据三角形外角性质对C进行判断；根据等边三角形的性质和中心对称的定义对D进行判断．【解答】解：A、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，所以A选项为假命题；B、两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直两直线平行，所以B选项为真命题；C、三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和，所以C选项为假命题；D、等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，所以D选项为假命题．故选：B．【点评】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．28．（2023秋•普陀区期中）将命题“等角对等边”改写成“如果…，那么…”的形式：　在三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．　．【分析】分析原命题，找出其条件与结论，然后写成“如果…那么…”形式即可．【解答】解：因为条件是：有两个角相等，结论为：这两个角所对的边也相等．所以改写后为：在三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．故答案为：在三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【点评】本题主要考查了命题的定义，难度适中，正确理解定义是关键．一十四．轨迹（共2小题）29．（2022秋•徐汇区期末）到点P的距离等于4cm的点的轨迹是　以点P为圆心，以4cm长为半径的圆　．【分析】根据到定点的距离等于定长的点都在圆上，反过来圆上各点到定点的距离等于定长，得出结论到点P的距离等于4cm的点的轨迹是以P为圆心，以4cm为半径的圆．【解答】解：到点P的距离等于4cm的点的轨迹是以P为圆心，以4cm为半径的圆．故答案为：以P为圆心，以4cm为半径的圆．【点评】本题考查了学生的理解能力和画图能力，到点P的距离等于4cm的点的轨迹是以P为圆心，以4cm为半径的圆．30．（2022秋•杨浦区期末）经过定点A且半径为2cm的圆的圆心的轨迹是　以点A为圆心，2cm为半径的圆　．【分析】求圆心的轨迹实际上是求距A点2厘米能画一个什么图形．【解答】解：所求圆心的轨迹，就是到A点的距离等于2厘米的点的集合，因此应该是一个以点A为圆心，2cm为半径的圆，故答案为：以点A为圆心，2cm为半径的圆．【点评】此题所求圆心的轨迹，就是到顶点的距离等于定长的点的集合，因此应该是一个圆．。

沪教版(上海)八年级数学第一学期-第十九章几何证明复习课件-

第十九章几何证明复习课件
知识梳理：定义
概念
几何证明
命题真命题假命题基本事实定理互逆命题
几何证明
证明步骤
平行线三角形内角和全等三角形等腰三角形等边三角形角平分线垂直平分线直角三角形
知识回顾
定义：用来说明一个名词含义的语句叫做定义。命题：判断一件事情的句子，叫做命题。
轴对称图形，有三条对称轴
知识梳理：等边三角形的判定：
名称
图形
判定
等
边
三条边都相等的三角形
三
角
A
三个角都等于60°的三角形
形
B
C 有一个角等于60°的等腰
三角形
知识梳理：角平分线
定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。逆定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等
的点，在这个角的平分线上。定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这
精讲点拨
例已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边
AC上一点，延长BC到D，连接DE。
D 2
求证：∠1>∠2。 C
证明：∵∠1是△ABC的一个外角（已知），
∴∠1>∠3（
）。
E5
3
∵∠3是△CDE的一个外角，
4
∴∠3>∠2（
）。 A
1 BF
∴∠1>∠2（
）。
把你所悟到的证明真命题的方法，步骤，书写格
）。
），
），）。
谢谢
一点到三边的距离相等（这个交点叫做三角形的内心）。三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点，这个的点到三边所在直线的距离相等。这样点有三个。

第19章几何证明(基础、常考、易错、压轴)分类专项训练(原卷版)

第19章几何证明（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·上海·八年级专题练习）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）V的三条中线的交点A．ABCV三边的垂直平分线的交点B．ABCV三条角平分线的交点C．ABCV三条高所在直线的交点D．ABC2．（2022·上海·八年级单元测试）三角形的外心是三角形的（）A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边垂直平分线的交点D．三条高所在直线的交点3．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题中，真命题是（）A．三角形的一个外角大于这个三角形的内角B．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等C．一对邻补角的角平分线互相垂直D．面积相等的两个三角形全等4．（2022·上海·八年级专题练习）如图，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，得到线段OB．若OA＝8，则点A经过的路径长度为（）A．4p B．3p C．2p D．p5．（2022·上海·同济大学附属七一中学八年级期中）下列语句不是命题的是（）A．两条直线相交有且只有一个交点B．两点之间线段最短C．延长AB到D，使2BD AB=D．等角的补角相等6．（2022·上海浦东新·八年级期中）在下列各命题中，是假命题的是（）A．在一个三角形中，等边对等角B．全等三角形的对应边相等C．同旁内角相等，两直线平行D．等角的补角相等7．（2022·上海·八年级单元测试）如图，已知钓鱼竿AC的长为6m，露在水面上的鱼线BC长为，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC¢的位置，此时露在水面上的鱼线B C¢¢，则BB¢的长为（）A B．C D．8．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题中,其逆命题是真命题的命题个数（)(1)全等三角形的对应角相等; (2) 对顶角相等; (3) 等角对等边;(4)两直线平行,同位角相等; (5)全等三角形的面积相等;A．1个B．2个C．3个D．4个9．（2022·上海·八年级单元测试）如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，若PR＝PS，则下列结论正确的个数是（）（1）PQ＝PB；（2）AS＝AR；（3）△BRP≌△PSC （4）∠C＝∠SPCA．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题10．（2022·上海·八年级专题练习）命题：“对顶角相等”的逆命题是_____________________________．11．（2022·上海市市西初级中学八年级期中）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是_________．12．（2022·上海·八年级专题练习）请写出“两直线平行，同位角相等”的结论：_____．13．（2022·上海·八年级专题练习）平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 _____．14．（2022·上海·八年级专题练习）命题“如果a b =，那么22a b =”的逆命题是_______，逆命题是______命题（填“真”或“假”）15．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）底边为已知线段BC 的等腰三角形ABC 的顶点A 的轨迹是_____．16．（2022·上海浦东新·八年级期中）“若0ab ＞，则0a ＞，0b ＞”_____命题（选填“是”或“不是”）．17．（2022·上海·八年级专题练习）命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是________________．18．（2022·上海·八年级专题练习）把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”：_____________．19．（2022·上海·同济大学附属七一中学八年级期中）把命题“同角的余角相等”写成“如果……，那么……”的形式为______．20．（2022·上海·八年级专题练习）平面上经过A 、B 两点的圆的圆心的轨迹是_____．21．（2022·上海·八年级专题练习）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为_____．22．（2022·上海·八年级专题练习）到点A 的距离等于6cm 的点的轨迹是________________．23．（2022·上海·八年级专题练习）“全等三角形的对应角相等”的逆命题是_______________________________．24．（2022·上海·八年级期末）已知两点A 、B ，到这两点距离相等的点的轨迹是____________．25．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，BC ＝12cm ，AC ＝9cm ，那么BD 的长是_____．26．（2022·上海·八年级单元测试）已知直角坐标平面内的两点分别为A （﹣3，1）、B （1，﹣2），那么A 、B 两点间的距离等于_____．27．（2022·上海·八年级专题练习）“，则=a b ”的逆命题为___________________．三、解答题28．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AD、CD边上，且AE DF=，联结BE、AF．求证：AF BE=．【常考】一．选择题（共5小题）1．（2020秋•闵行区期中）下列命题是真命题的是（）A．两个锐角的和还是锐角B．全等三角形的对应边相等C．同旁内角相等，两直线平行D．等腰三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形2．（2019秋•虹口区校级月考）如图，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线，且相交于点O，若∠BCA ＝70°，则∠BOE的度数是（）A．60°B．55°C．50°D．40°3．（2022秋•杨浦区期中）若两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的是（）A．一对同位角的平分线互相平行B．一对内错角的平分线互相平行C．一对同旁内角的平分线互相平行D．一对同旁内角的平分线互相垂直4．（2019秋•浦东新区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一点D同时满足以下三个条件：①在直角边BC上；②在∠CAB的角平分线上；③在斜边AB的垂直平分线上，那么∠B为（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．（2022秋•徐汇区校级期中）在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（）A．0＜AD＜10B．1＜AD＜5C．2＜AD＜10D．0＜AD＜5二．填空题（共11小题）6．（2021秋•奉贤区校级期中）将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为．7．（2022秋•闵行区校级期中）将一副三角板如图所示放置（其中含30°角的三角板的一条较短直角边与另一块三角板的斜边放置在一直线上），那么图中∠1＝度．8．（2021秋•静安区校级期末）命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是．9．（2022秋•徐汇区校级期中）命题“同旁内角相等，两直线平行”是（填“真“或“假”）命题10．（2022秋•闵行区校级期中）将命题“对顶角相等”改为“如果…那么…”的形式为：．11．（2022秋•虹口区校级期中）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；　④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中正确的是．（填写序号）12．（2021秋•徐汇区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD与CE分别是斜边AB 上的高和中线，那么∠DCE＝度．13．（2022秋•徐汇区校级期中）如图，在△ABC和△DEF中，∠ACB＝∠EFD＝90°，点B、F、C、D在同一直线上，已知AB⊥DE，且AB＝DE，AC＝6，EF＝8，DB＝10，则CF的长度为．14．（2020秋•徐汇区校级期中）“等腰三角形两腰上的中线相等．”的逆命题是．15．（2022秋•徐汇区校级期中）在△ABC中，∠BAC＝α，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线交边BC于点E，连接AD，AE，则∠DAE的度数为．（用含α的代数式表示）16．（2022秋•虹口区校级期中）如图，已知：△ABC中，∠C＝90°，AC＝40，BD平分∠ABC交AC于D，AD：DC＝5：3，则D点到AB的距离是．三．解答题（共2小题）17．（2022秋•静安区校级期中）如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费马点．若点M为△ABC的费马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的AB、AC 为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点．试说明这种作法的依据．18．（2021秋•崇明区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边BD、AC的中点．（1）求证：MN⊥AC；（2）当AC＝8cm，BD＝10cm时，求MN的长．【易错】一．选择题（共4小题）1．（2022秋•黄浦区校级月考）下列命题中，是真命题的是（）A．从直线外一点向直线引垂线，这条垂线段就是这个点到这条直线的距离B．过一点，有且只有一条直线与已知直线平行C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D．两点之间，线段最短2．（2021秋•浦东新区期末）下列三个数为边长的三角形不是直角三角形的是（）A．3，3，3B．4，8，4C．6，8，10D．5，5，53．（2021秋•浦东新区期中）在下列各原命题中，逆命题是假命题的是（）A．两直线平行，同旁内角互补B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等D．两个相等的角是对顶角4．（2019秋•浦东新区校级月考）BP和CP是△ABC两个外角的平分线，则∠BPC为（）A ．B ．90°+C ．90°﹣D ．∠A二．填空题（共2小题）5．（2020秋•浦东新区校级期末）以线段MN 为底边的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是．6．（2020秋•浦东新区校级月考）在△ABC 中，AB ＝13cm ，AC ＝15cm ，高AD ＝12cm ，则BC ＝．三．解答题（共1小题）7．（2019秋•浦东新区期末）如图（1），已知锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，M 、N 分别是线段BC 、DE 的中点．（1）求证：MN ⊥DE ．（2）连接DM ，ME ，猜想∠A 与∠DME 之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A 变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．【压轴】一、单选题1．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，D 为BAC Ð的外角平分线上一点，过D 作DE AC ^于E ，DF AB ^交BA 的延长线于F ，且满足FDE BDC Ð=Ð，则下列结论：①CDE V ≌BDF V ；②CE AB AE =+；③BDC BAC Ð=Ð；④DAF CBD Ð=Ð．其中正确的结论有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题2．（2022·上海市民办文绮中学八年级阶段练习）在ABC V 中，12AB AC ==，30A Ð=°，点E 是AB 中点，点D 在AC 上，DE =ADE V 沿着DE 翻折，点A 的对应点是点F ，直线EF 与AC 交于点G ，那么DGF △的面积=__________．三、解答题3．（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）梯形ABCD 中，AD BC ∥，90B Ð=°，4AB =，5BC =，点G 是CD 中点，过点G 作CD 的垂线交射线BC 于点F ，DCF Ð的角平分线交射线BA 于点E ，交直线GF 于点P ．(1)当点F 与点B 重合时，求CD 的长；(2)若点F 在线段BC 上，AD x =，CF y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数定义域；(3)联结DP、DE，当DPEV是以DP为腰的等腰三角形时，求AD的长．4．（2022·上海·八年级专题练习）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、EC，点M为EC的中点，连接BM、DM．(1)如图1，当点D、E分别在AC、AB上时，求证：△BMD为等腰直角三角形；(2)如图2，将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，使点D落在AB上，此时（1）中的结论“△BMD为等腰直角三角形”还成立吗？请对你的结论加以证明；(3)如图3，将图2中的△ADE绕点A逆时针旋转90°时，△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．5．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在直角坐标平面内，正比例函数y=的图像与一个反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB=3．(1)求反比例函数的解析式；(2)在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；(3)已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．6．（2022·上海松江·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，点D是边AC上一点（不与点A、C重合），EF垂直平分BD，分别交边AB、BC于点E、F，联结DE、DF．(1)如图1，当BD⊥AC时，求证：EF=AB；(2)如图2，设CD=x，CF=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)当BE=BF时，求线段CD的长．7．（2022·上海·八年级专题练习）已知：如图，在△ABC纸片中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，按图所示的方法将△ACD 沿AD 折叠，使点C 恰好落在边AB 上的点C ′处，点P 是射线AB 上的一个动点．(1)求折痕AD 长．(2)点P 在线段AB 上运动时，设AP ＝x ，DP ＝y ．求y 关于x 的函数解析式，并写出此函数的定义域．(3)当△APD 是等腰三角形时，求AP 的长．8．（2021·上海·八年级专题练习）在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，BC AB ^，AB AD =，联结BD ，如图（a ）．点P 沿梯形的边，按照点A B C D A ®®®®移动，设点P 移动的距离为x ，BP y =．（1）当点P 从点A 移动到点C 时，y 与x 的函数关系如图（b ）中折线MNQ 所示．则AB =______，BC =_____，CD =_____．（2）在（1）的情况下，点P 按照点A B C D A ®®®®移动（点P 与点A 不重合），BDP △是否能为等腰三角形？若能，请求出所有能使BDP △为等腰三角形的BP 的值；若不能，请说明理由．9．（2021·上海·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD 中，∠ADC=∠ABC=90°，CB=CD ，点E 、F 分别在AB 、AD 上，AE=AF ．连接CE 、CF ．（1）求证：CE=CF ；（2）如果∠BAD=60°，CD=①当AF=x 时，设EFC S y D =，求y 与x 的函数关系式；（不需要写定义域）②当AF=2时，求△CEF 的边CE 上的高．10．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，在ABC V 中，2ACB B Ð=Ð，BAC Ð平分线AO 交BC 于点D ，点H 为AO 上一动点，过H 作直线l AO ^于H ，分别交直线AB 、AC 、BC 于点N 、E 、M ．=；（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN CD（2）当M是线段BC的中点时，写出线段CE和线段CD之间的数量关系，并证明；（3）请直接写出BN、CE和CD之间的数量关系．。

第十九章_几何证明知识点

第十九章几何证明知识整理一、知识梳理：1、有关概念：命题及逆命题如原命题：互余的角不相等；逆命题：不相等的角互余。

这里原命题与逆命题都是假命题。

如原命题：平行四边形的两组对边分别相等；逆命题：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

这里原命题、逆命题都是真命题。

如原命题：凡直角必相等；逆命题：凡相等的角必为直角。

这里原命题是真命题，逆命题是假命题定理及逆定理如原定理：等边三角形三个内角都相等；逆定理：三个内角相等的三角形是等边三角形。

如原定理：同圆的半径相等；逆命题：半径相等的圆是同圆。

这里，原定理的逆命题是假命题，如等圆，所以原定理没有逆定理。

2、重要定理：★线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

如图： ∵MN 垂直平分线段AB ∴PA=PB 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

如图： ∵PA=PB∴点P 在线段AB 的垂直平分线上★角平分线定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

如图： ∵OP 平分∠AOBP D ⊥OA ，P E ⊥OB∴PD=PE逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

如图： ∵PD=PEP D ⊥OA ，P E ⊥OB∴OP 平分∠AOB★直角三角形的全等判定直角三角形的全等：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。

（H.L ）（注意：必须先证明两个三角形都是R T ⊿，才能应用本判定定理；以前所学的ASA 、AAS 、SAS 、SSS 这四条判定定理对于直角三角形全等的判定仍然适用。

） ★直角三角形的性质及判定定理1：直角三角形的两个锐角互余。

如图： ∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°M NBA P AB ODEP B定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（直角、中点→想一半）如图： ∵∠ACB=90°，且点D 是AB 的中点∴AB CD 21=推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

第十九章几何证明

第十九章几何证明（复习）一、命题、逆命题、逆定理和证明1.演绎推理（或称演绎法）2.演绎证明（简称证明）的每一步推理都必须有依据，通常把每一步的依据写在由其得到的结论后面的括号内；整个证明由一段一段的因果关系连接而成，段与段前后连贯，有序展开。

3.定义：能界定某个对象含义的句子。

4.命题：判断一件事情的句子；其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题。

数学命题通常由假设、结论两部分组成，可以写成“如果······.那么······”的形式，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。

“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论。

5.公理：人们从长期实践中总结出来的真命题。

6.定理：有些命题是从公理或其他真命题出发，用推理法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。

7.逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第二个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。

8.逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。

所有的定理都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理。

9.证明一个真命题的方法：（1）根据题意，作出图形，标出必要的字母和符号；（2）根据题设和结论，结合图形，写出“已知”和“求证”；（3）写出完整的证明过程10.证明一个假命题的方法：只需要举出一个反例11.能证明线段相等的定理：（1）等角对等边（一个三角形中）（2）全等三角形的对应边相等（两个三角形中）12.能证明角相等的定理：（1）等边对等角（一个三角形中）（2）全等三角形的对应角相等（两个三角形中）；（3）平行线（同位角相等、内错角相等）13.能证明两直线垂直的方法：（1）等腰三角形三线合一（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相垂直）；（2）垂直的定义巩固练习：1、判断题（1）每一个命题都有逆命题。

第19章几何证明压轴题专练（解析版）

第19章几何证明压轴题专练1.如图，已知△ABC 中，求证：∠A+∠B+∠C=180°证明：过BC 上一点D ，分别作________，交AB 于点E ，交AC 于点F ，因为___________________，所以∠A=______．同理∠B=______，∠C=______．因为_________________，所以_________________．因为∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°（），所以_________________．【难度】★★★【解析】//DE AC ，//DF AB ；//DF AB ，CFD ∠；FDC ∠，EDB ∠；//DE AC ，EDF CFD A ∠=∠=∠；平角的意义；180A B C ∠+∠+∠=︒．【总结】考查三角形内角和的证明，利用平行线得到相等角等量代换即可．2.判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例．（1）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等；（2）有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．【难度】★★★【解析】（1）假命题，组成角的两条射线，一条方向相同，一条相反，则两角互补；（2）假命题，保持一边不变，过一个顶点作一条射线，另一个顶点向这条射线作垂线，并以这点为圆心，长于垂线长的长度为半径作圆与射线有两个交点，形成三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，满足题目条件，但两个三角形明显不全等．【总结】考查命题的真假的判断，假命题举反例即可3.写出下列命题的逆命题，判断逆命题的真假，并说明其中哪些是逆定理．（1）等腰三角形两腰上的中线相等；（2）内错角相等，两直线平行；（3）等边对等角；（4）两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直．【难度】★★★【解析】（1）逆命题：如果一个三角形中有两条边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形，真命题，不是逆定理；（2）逆命题：两直线平行，内错角相等，真命题，是逆定理；（3）逆命题：等角对等边，真命题，是逆定理；（4）逆命题：如果两条直线被第三条直线所截，截得的一对同旁内角的角平分线互相垂直，那么这两条直线平行，真命题，不是逆定理．【总结】考查一个命题的逆命题的写法，以及对命题真假的判断．4.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．求证：BE∥DF．【难度】★★★【解析】证明：BE 平分ABC ∠，12ABE ABC ∴∠=∠，同理12FDE ADC ∠=∠，360A ABC C ADC ∠+∠+∠+∠=︒，A C ∠=∠，3602ABC ADC A ∴∠+∠=︒-∠BED A ABE ∠=∠+∠()1113602180222BED FDE A ABC ADC A A ∴∠+∠=∠+∠+∠=∠+︒-∠=︒//BE DF ∴【总结】考查平行线的判定定理，同旁内角互补，两直线平行．5.如图，AB ∥CD ，分别探讨下面4个图形中∠BPD 、∠ABP 、∠CDP 的关系，（直接写出关系即可），并对第3个图得到的关系进行证明（至少用两种方法）．【难度】★★★【答案】图1：+360BPD ABP CDP∠∠+∠=；图2：BPD CDP ABP∠=∠-∠；图3：BPD ABP CDP∠=∠+∠；图4：BPD ABP CDP∠=∠-∠．【解析】证明：方法1：延长BP交CD于点M，∴∠=∠//AB CD，ABP PMD∴∠=∠+∠=∠+∠；BPD PMD CDP ABP CDP方法2：过点作射线//∠=∠，PN AB，则有ABP BPN∴∠=∠CD PN∴，CDP DPN//AB CD，//∴∠=∠+∠=∠+∠．BPD BPN DPN ABP CDP【总结】考查平行线的性质定理和三角形外角性质的结合应用，本题中4个小题都可通过作平行或延长简单证明．6.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠DCB，AB=CD，AE=DF.（1）求证：BF=CE；（2）当点E、F相向运动，形成图2时，BF和CE还相等吗?证明你的结论．【难度】★★★【解析】（1）证明：//AD BC，，180180∴∠+∠=︒∠+∠=︒BAD ABC ADC BCD∠=∠ABC DCB∴∠=∠BAD ADC=AE DF=AE AD DF AD∴+=+，即DE AF=AB CD∴∆≅∆EDC FAB∴=BF CE（2）相等，证明：同（1）可证BAD ADC∠=∠，ED AF AB CD，==∴∆≅∆EDC FAB∴=BF CE【总结】考查等腰梯形的性质的证明，实际为后面等腰梯形性质的学习打下基础．7.如图，已知△ABD、△ACE都是等腰直角三角形，∠DAB=∠EAC=90°，判断BE和CD的位置及长度关系，并证明．【难度】★★★【答案】CDBE⊥；证明过程见解析．BE=，DC【解析】∵∠DAB=∠EAC=90°，∴BAC=+∠，∠∠EACBACDAB∠+即BAEDAC∠∠=∵AB AD DAC BAE AE AC，，=∠=∠=∴DAC△BAE≌△∴CD∠=BE=，ABEADC∠∵︒DBAADC，+CDA∠90=∠+∠∴︒DBACDA∠90ABE，即DCBE⊥．+=+∠∠【总结】考察全等三角形的判定．两个等腰直角三角形共直角顶点则可产生全等三角形．8.如图，三角形ABC 中，AC = BC ，∠ACB =90°，AD 是BC 边的中线，CE ⊥AD ，BF ⊥BC ，CF 与AB 、BF 分别相交于点E 、F ，联结DE ，求证：∠1 =∠2．【难度】★★★【解析】∵︒=∠+∠90ACF BCF ，︒=∠+∠90CAD ACF∴CAD BCF ∠=∠∵CAD BCF ∠=∠，BC AC =，CBF ACD ∠=∠∴BCF CAD ≌△△，∴F ∠=∠1，BF CD =∵BD CD =，∴BF BD =∵AC = BC ，∠ACB =90°，∴︒=∠45CBA∵︒=∠90CBF ，︒=∠45FBE∵DB BF DBE FBE BE BE =∠=∠=，，，∴F ∠=∠2∵F ∠=∠1，∴21∠=∠【总结】考察全等三角形判定以及等腰直角三角形的性质．9.已知A 、C 、E 在同一直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，M 、N 分别是AD 、BE 的中点，求证：△CMN 是等边三角形．【难度】★★★【解析】∵︒=∠=∠60ECD ACB ，∴BCD ECD BCD ACB ∠+∠=∠+∠，即ACD BCE ∠=∠．∵BC AC =，ACD BCE ∠=∠，CD EC =∴()S A S BCE ACD ..≌△△，∴AD BE =，21∠=∠∵M 、N 分别是AD 、BE 的中点，AD BE =，∴BN AM =．∵BC AC =，21∠=∠，BN AM =，∴()S A S BCN ACM ..≌△△，∴CN CM =，43∠=∠∵︒=∠+∠603MCB ，∴︒=∠+∠604MCB ，即︒=∠60MCN∵CN CM =，∴△CMN 是等边三角形．【总结】考察三角形全等三角形判定和性质以及等边三角形的性质与判定的综合运用．10.如图，在△ABC 中，108AB AC BAC =∠=，°，点D 在AC 上且BC AB CD =+．求证：BD 平分ABC ∠．【难度】★★★【解析】在BC 上截取一点E 使得BE=AB ，联结ED 、AE ．∵108AB AC BAC =∠=，°，∴︒=∠=∠36C ABC ．∵BC AB CD =+，BE AB =，∴EC CD =∵︒=∠36C ，∴︒=∠=∠72CED CDE∴︒=∠-︒=∠108180BAC DEB ，∴DEB BAC ∠=∠∵BE AB =， ∴BEA BAE ∠=∠∴BAE DEB BAE BAC ∠-∠=∠-∠，即DEA DAE ∠=∠，∴DE AD =．∵BE AB =，DE AD =，BD BD =，∴()S S S EBD ABD ..≌△△．∴CBD ABD ∠=∠，即BD 平分ABC ∠．【总结】考察截长补短辅助线的做法以及三角形全等判定的综合运用．11.如图，已知AB AC =，100A ∠=°，BD 平分ABC ∠．求证：BC BD AD =+．【难度】★★★【解析】在BC 上截取一点E 使得BE=BD ，截取一点F 使得BF=AB ，联结ED 、DF ．∵100AB AC BAC =∠=，°，∴︒=∠=∠40C ABC ，∵BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠20DBE ABD∵BE BD =，∴︒=∠=∠80BDE BED∵EDC C BED ∠+∠=∠，∴︒=∠40EDC ，∴C EDC ∠=∠，∴EC DE =∵BF AB =，DBF ABD ∠=∠，BD BD =，∴()S A S FBD ABD ..≌△△∴︒=∠=∠100BFD BAC ，DF AD =，∴︒=︒-︒=∠80100180DFE ．∵︒=∠80BED ，∴BED DEF ∠=∠，∴DF DE =∵EC DE =，∴EC DF =∵DF AD =，∴CE AD =∵BC BE CE =+，BE BD =，CE AD =∴BC BD AD =+【总结】本题综合性较强，主要考查截长补短辅助线的添加以及等腰三角形性质的综合运用．12.已知：如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，△ADB 是等边三角形，点C 在△ADB 的内部，DE ⊥AC 交直线AC 于点E ．（1）求证：DE=CE ；（2）若点C 在△ADB 外部，DE=CE 的关系是否成立?如不成立，请说明理由；如成立，请证明．【难度】★★★【解析】（1）联结DC 并延长交AB 于F ．∵DB AD =，DC DC =，CB AC =∴BDC ADC ≌△△ ∴ADF BDF ∠=∠∴AB DF ⊥ ∴︒=∠45FCB∴︒=∠-∠-︒=∠45180ECB FCB DCE∵CE DE ⊥ ∴︒=∠=∠45EDC DCE∴CE DE =（2）证明方法同（1）一样．【总结】考察全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质的综合运用．13.如图，在直角△ABC 和直角△ADE 中，∠C=∠E =90°，BC=DE ，∠BAE=∠DAC ，BC 与DE 交于点F ，求证：BF=DF ．F EDCBA【难度】★★★【解析】联结AF ∵∠BAE=∠DAC，∴EAC∠，即DAEBAC∠∠∠=+BAE∠EAC+∠DAC=∵∠C=∠E ，DAE△BAC∠AEF≌△∠，BC=DE，∴ABC=∴AE AC CB ED，==∵AE AC AF AF，∴ACF==△AEF≌△∴CFFE=∵EFBF-==,∴BF=DF．-CBDEDFCF【总结】考察三角形全等判定和性质的综合运用．14.如图，已知在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=a，在线段AC上有动点M，在射线CB上有动点N，且AM=BN，连接MN交AB于点P．（1）当点M在边AC（与点A、C不重合）上，线段PM与线段PN之间有怎样的大小关系?试证明你的结论．（2）过点M作边AB的垂线，垂足为点Q，随着M、N两点的移动，线段PQ的长能确定吗?若能确定，请求出PQ的长；若不能确定，请简要说明理由．【难度】★★★【答案】（1）PM PN =；（2）线段PQ 的长能确定，为a 21．【解析】(1)PM PN =．过M 作DM ∥CB 交BA 于D∵DM ∥CB ，∴︒=∠=∠45ABC ADM ∴A ADM ∠=∠，∴MD AM =∵AM=BN ，∴MD BN =∵MD BN =，DMP N ∠=∠，MPD NPB ∠=∠∴MPD NPB ≌△△ ∴PM PN =（2）线段PQ 的长能确定，为a 21． ∵∠A=45°，AB MQ ⊥，∴△AMD 为等腰直角三角形设x BN AM DM ===，则x AD 2=由（1）可得：BD PD BP 21== ∵x a AD AB BD a AB 2,-=-== ∴x a BD BP 222121-== ∵x AD AQ DQ 2221=== ∴a DQ PD PQ 21=+=∴线段PQ 的长能确定，为a 21．【总结】考查全等三角形的判定和性质，勾股定理以及等腰直角三角形性质的综合运用．15.已知：如图，△ABC 是等边三角形，BD=DC ，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求证：23AMN ABC C C ∆∆=．【难度】★★★【解析】证明：延长NC 至点E ，使得CE BM =，联接DE ．∵BD=DC ，∠BDC=120°，∴︒=∠=∠30DCB DBC∵︒=∠=∠60ACB ABC ∴︒=∠=∠90ACD ABD∴ABD DCE ∠=∠∵BD =DC ，DCF ABD ∠=∠，CE BM =∴CDE BDM △≌△∴MD DE CDE BDM =∠=∠，∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，∴︒=∠+∠60CDN BDM∵∴︒=∠+∠60CDN CDE ，即︒=∠60NDEBDM CDE ∠=∠∴MDN NDF ∠=∠∵MDN NDF ∠=∠，DN DN =∴NDM NDE ≌△△，可得：NE MN =，则ABC AMN C AC AB NC MB AN AM MN AN AM C ∆∆=+=+++=++=32．【总结】考察截长补短辅助线的添加及等腰三角形的性质．16.如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、DC 上的点，且∠EBF = 45°，（1）求证：AE+CF = EF ；（2）若，BC=1，求BE 的长．【难度】★★★【解析】（1）延长FC 至点G ，使得AE CG =，连接BG ．∵BCG BAE ∠=∠，AE CG =，BC AB =∴BCG AEB ≌△△∴CBG ABE BG BE ∠=∠=，．∵︒=∠45EBF ∴︒=∠+∠45CBF ABE∵，∴︒=∠+∠45CBF CBG 即︒=∠45FBG∴EBF FBG ∠=∠,DE MD=CBG ABE ∠=∠∵，BG BE =EBF FBG ∠=∠，BF BF = ∴BGF BEF ≌△△∴GF EF =，∵CG FC GF +=，GF EF =，AE CG =∴AE+CF = EF ；（2）∵，BC=1， ∴由勾股定理可得：31=CF ， ∴32311=-=DF ．设x AE =，则由（1）可得：113ED x EF x =-=+，， ∵222EF DF DE =+，∴()22231321⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ，解得：21=x ∴2522=+=AE AB BE ．【总结】考察截长补短辅助线的添法和勾股定理的综合运用．17.已知，如图，在△ABC 外作正方形ABDE 和ACGF ，M 是BC 的中点．求证：12AM EF =．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】延长AM 至点N ，使得NM =AM ，联结CN∵MN AM =，AMB CMN ∠=∠，BM MC =∴ABM NCM △≌△∴CN AB =，ABC BCN ∠=∠∵AE AB =，∴AE = CN ，∵BCN ACB ACN ∠+∠=∠，ABC BCN ∠=∠∴BAC ABC ACB ACN ∠-︒=∠+∠=∠180∵BAC BAC FAC EAB EAF ∠-︒=∠-∠-∠-︒=∠180360∴EAF ACN ∠=∠∵AF CA =，EAF ACN ∠=∠，AE = CN ，∴ACN AFE ≌△△，∴AN EF =∵AM AN 2=，∴AM EF 2=【总结】考察倍长中线辅助线的添加方法及全等的综合运用．18.已知：如图，在△ABC 中，BD=DC ，ED ⊥DF ．求证：BE+CF >EF ．【难度】★★★【解析】延长FD 至点G ，使得DG DF =，联结BG 、GE∵DG DF =，FDC BDG ∠=∠，BD DC =∴BDG CDF △≌△，∴BG CF =∵DG DF =，FDE EDG ∠=∠，ED DE =∴EDG EDF △≌△，∴EG EF =∵GE BE BG >+，EG EF =，BG CF =∴BE+CF >EF ．【总结】考察倍长中线辅助线的添加方法及三角形的三边关系的运用．19.已知：如图，点M 是△ABC 的边BC 的中点，射线ME 、MF 互相垂直，且分别交AB 、AC 于E 、F 两点，连接EF ．（1）求证：线段BE 、CF 、EF 能够成一个三角形；（2）若∠A=120°，且BE=CF ，试判断BE 、CF 、EF 所构成三角形的形状，并证明．【难度】★★★【答案】（1）见解析；（2）等边三角形．【解析】（1）延长FM 至点G ，使得MG MF =，联结BG 、GE ．∵MG MF =，FMC BMG ∠=∠，BM MC =∴BMG CMF △≌△， ∴BG CF =∵MG MF =，FME EMG ∠=∠，MD ME =∴EMG EMF △≌△，∴EG EF =∵EG EF =，BG CF =∴线段BE 、CF 、EF 能够成一个三角形；（2）等边三角形．∵∠A=120°， ∴︒=∠+∠60C ABC ，∵BE=CF ，BG CF =， ∴BG BE =，由（1）可得：C MBG ∠=∠．∴︒=∠+∠=∠+∠=∠60C ABC MBG ABC EBG∵BG BE =， ∴BE 、CF 、EF 所构成三角形的形状是等边三角形．【总结】考察倍长中线辅助线的添加方法及三角形的成立条件．20.如图所示，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，MF//DA 交BA 的延长线于点E ，交AC 于点F ，求证：BE=CF ．【难度】★★★【解析】延长FM 至点N ，使得FM=MN ，联结BN ．∵CM BM =，CMF BMN ∠=∠，FM=MN ，∴CMF BMN ≌△△∴CF BN =，C MBN ∠=∠，∴CF//BN∵MF ∥DA ， ∴DAC AFE ∠=∠，E BAD ∠=∠∵DAC BAD ∠=∠，∴E AFE ∠=∠∵CF//BN ，∴N AFE ∠=∠∵E AFE ∠=∠，∴E N ∠=∠，∴BN BE =∵CF BN =，∴BE=CF ．【总结】考察倍长中线辅助线的添加方法．21.已知：Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AE 平分∠CAB 交CD 于F ，过F 作FH ∥AB ，交BC 于H ．求证：CE = BH ．（提示：平行四边形的对边相等，对角相等）【难度】★★★【解析】过E 作EG ⊥AB ，垂足为G ．∵︒=∠+∠90FAD AFD ，︒=∠+∠90CAF CEF ， CAF FAD ∠=∠，∴CEF AFD ∠=∠∵CFE AFD ∠=∠，∴CEF CFE ∠=∠，∴CF CE =∵AE AE =，CAF FAD ∠=∠，AGE ACE ∠=∠∴AGE ACE ≌△△，∴EG CE =∵CF CE =，∴CF EG =∵FH ∥AB ，∴CHF B ∠=∠，︒=∠=∠90CDB CFH∵CHF B ∠=∠，EGB CFH ∠=∠，CF EG =∴EGB CFH ≌△△， ∴EB CH =∵CE CH EH BE BE EH =-=-，，∴CE=BH ．【总结】考察构造全等三角形辅助线的做法．22.如图，在△ABC 中，∠A=30°，DE 垂直平分AB ，FM 垂直平分AD ，GN 垂直平分BD ，求证：AF=FG=BG ．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】连接DF 、DG ，∵FM 垂直平分AD ，GN 垂直平分BD∴AF=DF ，DG=BG又∵∠A=30°，∴∠DFG=∠DGF=60°即△DFG 为等边三角形 ∴DF=DG=FG ∴AF=FG=BG【总结】考查垂直平分线性质定理的运用．23.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40°，（1）求∠NMB的大小；（2）如果将（1）中的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）若∠A=α，你发现了怎样的规律，并证明之；（4）将（1）中的∠A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否要加以修改．【难度】★★★【解析】（1）∵AB=AC，∴∠B =(180°-40°)÷2=70°，又∵∠MNB=90°，∴∠NMB=180°-90°-70°=20°；（2）∵∠B=（180°-70°）÷2=55°，∴∠NMB =180°-90°-55°=35°；（3）∠NMB的度数等于∠A度数的一半，证明：∵AB=AC，∴∠B=(180°-∠A）÷2∵∠BNM = 90°，∴∠NMB = 90°-∠B = 90°-（180°-∠A）÷2=12A ∠即∠NMB的度数等于∠A度数的一半；（4）不需修改．仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交所成锐角为顶角的一半．【总结】考查垂直平分线性质定理的运用．24.如图，在直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，BF平分∠ABC，交AC于点F、AD于点E，EG∥BC 交AC于点G，求证：AF=CG．【难度】★★★【解析】过F作FH⊥BC于点H，连接EH，∵∠ABF+∠AFB=90°，∠BED+∠EBD=90°，∠ABF=∠EBD，∴∠AFB=∠BED又∵∠BED=∠AEF ，∴∠AFB=∠AEF ，∴AE=AF．∵BF平分∠ABC， AF⊥BA，FH⊥BC ∴AF=FH又∵AE∥FH，∴四边形AEHF为菱形，∴AF=EH， EH∥CG又∵EG∥HC，∴EHCG为平行四边形∴EH=CG，∴AF=CG．【总结】考查角平分线性质定理、菱形及平行四边形的判定及性质．25.如图，以△ABC两边AB、AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD交于F点，CD 交AB于点G，BE交AC于点H，求证：AF平分∠DFE．【难度】★★★【解析】∵AD=AB，AC=AE，∠DAC=∠BAE ∴△ACD≌△AEB ∴BE=CD过点A作AM⊥DC，AN⊥BE，则1122DC AM AN BE ⨯=⨯∴AM=AN∵AM⊥DC，AN⊥BE，所以AF平分∠DFE．【总结】考查角平分线性质定理逆定理及其等面积法的综合运用．26.如图，在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分线AD、BE交于点P，连接CP．（1）求证：CP平分∠ACB；（2）如图1，当△ABC为等边三角形时，求证：EP=DP；（3）如图2，当△ABC不是等边三角形，但∠ACB=60°，（2）中的结论是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【难度】★★★【解析】（1）过点P分别作PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，PH⊥BC于点H∵AD、BE分别为∠CAB与∠ABC的角平分线∴PM=MN，PM=PH，∴PN=PH，∴CP平分∠ACB（2）∵ABC为等边三角形∴PD⊥BC，PE⊥AC，∴△CPE≌△CPD ，∴EP=DP （3）成立．假设∠CAB<∠CBA作PH⊥AC于H，PM⊥CB于M，PQ⊥AB于Q，则点H在线段CE上，点M在线段BD上∵∠CAB和∠ACB的平分线AD、BE交于点P,∴PH=PQ=PM∵∠ACB+∠CAB+ABC=180°，∠ACB=60°∴∠CAB+∠ABC=120°∵AD、BE分别平分∠CAB、∠ABC ∴∠PAB+∠PBA=60°∵∠CEP=∠CAP+∠PAB+∠PBA=∠CAP+60°∠ADB=∠CAP+∠ACD=∠CAP+60°∴∠CEP=∠ADB在△PHE和△PMD中，∵∠HEP=∠MDP，∠EHP=∠DMP=90°，PH=PM∴△PHE≌△PMD ∴PE=PD【总结】考查角平分线性质定理及其逆定理的综合运用．27.如图，在△ABC中，OE、OF分别是边AB、AC的垂直平分线，∠OBC、∠OCB的平分线相交于点G，判断OG与BC的位置关系，并证明你的判断．【难度】★★★【解析】连接OA ∵OE垂直平分AB，∴OA=OB同理OA=OC，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB∵BG平分∠OBC，CG平分∠OCB∴∠GBC=12∠OBC，∠GCB=12∠OCB∴∠GBC=∠GCB，∴BG=CG又∵OG=OG，∴△BOG≌△COG∴∠BOG=∠COG，∴OG⊥BC【总结】考查角平分线与垂直平分线性质定理的运用．28.已知，AC⊥BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，判断下面四个结论中哪些成立，（1）AD平分∠CDE；（2）∠BAC=∠BDE；（3）DE平分∠ADB；（4）BD+AC>AB哪些不成立，成立的说明理由，不成立的在原有条件的基础上，添加条件使之成立，并证明．【难度】★★★【解析】（1）∵∠EAD=∠CAD，∠AED=∠C，AD =AD ∴△ADE≌△ADC，∴成立；（2）∵∠B+∠BAC=90°，∠B +∠BDE =90°，∴∠BAC =∠BDE ，∴成立；（3）不成立．添加∠B=30°∵∠B=30°，∴∠BAC=60°，∴∠BAD=30°∴△ABD为等腰三角形又∵DE⊥AB，∴DE平分∠ADB，（4）AB=AE+EB ，由（1）知AE=AC，又∵BD>BE（斜边大于直角边）∴BD+AC>AB，∴成立．【总结】考查角平分线性质定理的运用．29.如图，AD是等腰△ABC底边上的高，E、F为AD上两点，且∠ABE=∠EBF=∠FBC，联结CF并延长交AB于点G．求证：（1）△GBF为等腰三角形；（2）GE∥BF．【难度】★★★【解析】（1）ABC AD ∆∵为等腰三角形且为高FBC FCB ∴∠=∠GBF GBE EBF GFB FBC FCB ∠=∠+∠∠=∠+∠∵，∵∠ABE=∠EBF=∠FBC ，GBF GFB ∴∠=∠∴△GBF 为等腰三角形；（2）如图，过点E 作EP ⊥GF 于点P 、EQ ⊥BF 于点Q 、ER ⊥AB 于点R ．∵FB=FC ， FD ⊥BC ， ∴BFD CFD ∠=∠∵BFD EFQ ∠=∠，CFD EFG ∠=∠， ∴EFQ EFG ∠=∠∴EP EQ =∵BE 平分GBF ∠，EQ ⊥BF ，ER ⊥AB ，∴EQ ER =， ∴EP ER =， ∴2AGF EGA ∠=∠∵2AGF GFB GBF GBF ∠=∠+∠=∠∴GBF EGA ∠=∠∴//GE BF ．【总结】考查角平分线性质定理的运用及等腰三角形的性质．30.在直角△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直线l 为经过点A 的任一直线，BD ⊥l 于点D ，CE ⊥l 于点E ，若BD>CE ，试问：（1） AD 与CE 的大小关系如何?请说明理由；（2）线段BD 、DE 、CE 之间的数量关系如何?你能说明清楚吗?试一试．【难度】★★★【答案】（1）AD CE =；（2）BD CE DE =+．【解析】（1）90BAC ∠=︒，90BAD CAE ∴∠+∠=︒，BD l CE l ⊥⊥，， 90BDA AEC ∴∠=∠=︒，90DBA BAD ∴∠+∠=︒， DBA EAC ∴∠=∠在RT ABD 和RT CAE 中， BDA AEC AB CA DBA EAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， RT ABD ∴≌RT CAE （..A S A ）AD CE ∴=（全等三角形对应边相等）（2）BD CE DE =+AD CE =，又AE AD DE =+ ，AE CE DE ∴=+RT ABD ≌RT CAE ，BD AE ∴=BD CE DE ∴=+．【总结】考查全等三角形的应用及线段间的等量代换．31.如图，在△ABC 中，AB=AC ，DE 是过点A 的直线，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ．（1）若BC 在DE 的同侧（如图1），且AD=CE ，求证：AB ⊥AC ．（2）若BC在DE的两侧（如图2），其他的条件不变，问AB与AC仍垂直吗?若是，请予以证明，若不是，请说明理由．【难度】★★★【解析】（1）证明：BD⊥DE，CE⊥DE90BDA AEC∴∠=∠=︒．在RT BDA和RT AEC中，AB CAAD CE=⎧⎨=⎩，RT ABD∴≌RT CAE（.H L），DAB ECA∴∠=∠．90AEC∠=︒，90CAE ECA∴∠+∠=︒，90CAE DAB∴∠+∠=︒，90BAC∴∠=︒，∴AB⊥AC ．（2）AB⊥AC．同理可证：RT ABD≌RT CAE，则可证90BAC∠=︒，即AB⊥AC．【总结】考查直角三角形全等的判定及同角的余角相等相结合．32.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，在AB上截取AE=AC，过点E作EF∥CD、交BC边于点F，EG垂直BC于点G，求证：DE=EG．【难度】★★★【解析】联结CE AE=AC ，ACE AEC∴∠=∠∴∠+∠=︒90ACE ECG∠=︒，90ACBAEC ECD∴∠+∠=︒⊥，90CD AB∴∠=∠ECD ECG又CD AB⊥DE GE∴=⊥，EG BC【总结】考查等边对等角及角平分线性质定理的综合运用．33.如图，已知在钝角∆ABC中，AC、BC边上的高分别是BE、AD，BE、AD的延长线交于点H，点F、G分别是BH、AC的中点．（1）求证：∠FDG=90°；（2）连结FG，试问∆FDG能否为等腰直角三角形?若能，试确定∠ABC的度数，并写出你的推理过程；若不能，请简要说明理由．【难度】★★★【解析】（1）证明：AC 、BC 边上的高分别是BE 、AD ，又点F 、G 分别是BH 、AC 的中点，12DG CG AC ∴==，12DF BF BH ∴==（斜边中线等于斜边的一半） GDC GCD BCE ∴∠=∠=∠，DBF BDF ∴∠=∠GDC BDF BCE DBF ∴∠+∠=∠+∠，又AE BH ⊥，90BCE DBF ∴∠+∠=︒90GDC BDF ∴∠+∠=︒，即90FDG ∠=︒（2）能，45ABC ∠=︒．若GDF 为直角等腰三角形，则GD FD =，AC BH ∴=，ACD ∴≌BHD （..A A S ），AD BD ∴=，45ABC ∴∠=︒．【总结】主要考查对直角三角形性质的掌握，以及能否灵活的运用．34.如图，点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作△ABE 和△BCF ，连接AF 、CE ，取AF 、CE 的中点M 、N ，连接MB 、NB 、NM ．（1）若△ABE 和△FBC 是等腰直角三角形，且∠ABE=∠FBC=90°，如图1所示，则△MBN 是_____________三角形；（2）若△ABE 和△FBC 中，BA=BE ，BC=BF ，且∠ABE=∠FBC=α，如图2所示，则△MBN 是 _____________三角形，且∠MBN=_______；（3）若（2）中的△ABE绕点B旋转一定的角度，如图3，其他的条件不变那么（2）中的结论是否成立?若成立，给出你的证明，若不成立，写出正确的结论并给出证明．【难度】★★★【答案】（1）等腰直角；（2）等腰，α；（3）结论仍然成立．【解析】（1）易证ABF≌EBC，AF EC∴=，BM BN∴∠=∠∴=，∴AMB≌ENB，MBA NBE∴∠+∠=︒MBF NBE90MBA MBF∠+∠=︒，90即90MBN ∠=︒，MBN ∴为等腰直角三角形（2）根据题意，可知ABF ≌EBC ，BM BN ∴=即MBN 为等腰三角形，ABM EBN ∠=∠ABE MBN α∴∠=∠=，MBN α∴∠=（3）∵ABF ≌EBC ，AF CE AFB ECB ∴=∠=∠，FM CN ∴=， MFB ∴≌NCBBM BN ∴=，MBF NBC ∠=∠MBN MBF FBN FBN NBC FBC α∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=【总结】本题考查了图形旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定．掌握等腰三角形和全等三角形的性质及判定并学会灵活运用是解题的关键．35.已知，如图，在△ABC 中，边AB 上的高CF 、边BC 上的高AD 与边CA 上的高BE 交于点H ，连接EF ，AH 和BC 的中点为N 、M ．求证：MN 是线段EF 的中垂线．【难度】★★★【解析】连接FM 、EM 、FN 、EN∵︒=∠90BFC ，M 为BC 的中点， ∴BC FM 21=∵︒=∠90BEC ，M 为BC 的中点， ∴BC EM 21=，∴ME FM =∵︒=∠90AFH ，N 为AH 的中点，∴AH FN 21= ∵︒=∠90AEH ，N 为AH 的中点，∴AH EN 21=， ∴EN FN =， ∵ME FM =，EN FN =∴MN 是线段EF 的中垂线．【总结】考察直角三角形的性质和线段垂直平分线性质定理逆定理的综合运用．36.在△ABC 中，已知∠A=60°，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，点D 是BC 中点.（1）如果AB=AC ，求证△DEF 为等边三角形；（2）如果AB ≠AC ，试猜想△DEF 是不是等边三角形，若是，请加以证明，若不是，请说明理由；（3）如果CM=4，FM=5，求BE 的长度．【难度】★★★【解析】（1）∵BE ⊥AC ，点D 是BC 中点，∴BC DC DE 21== ∵CF ⊥AB ，点D 是BC 中点，∴BC BF DF 21==，∴DF DE = ∵∠A=60°，AB=AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴︒=∠=∠60ACB ABC∵DC DE =，︒=∠60ACB ，∴△DEC 是等边三角形，∴︒=∠60EDC∵DB DF =，︒=∠60ABC ，∴△BFD 是等边三角形，∴︒=∠60FDB∴︒=︒-︒-︒=∠606060180FDE∵DF DE =，∴△DEF 为等边三角形（2）∵BE ⊥AC ，点D 是BC 中点，∴BC DC DE 21== ∵CF ⊥AB ，点D 是BC 中点，∴BC BF DF 21==，∴DF DE = ∵∠A=60°，∴︒=∠+∠120ACB ABC ，∵DC DE =，∴ACB DEC ∠=∠∵DB DF =，∴ABC DFB ∠=∠，∴180FDE FDB EDC ∠=︒-∠-∠ ()()180********ABC ACB =︒-︒-∠-︒-∠()218060ABC ACB =∠+∠-︒=︒∵DF DE =，∴△DEF 为等边三角形（3）∵∠A=60°，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB ，∴︒=∠=∠30ECM FBM ∴1122FM BM EM CM ==， ∵CM=4，FM=5，∴102==BM EM ，，∴12210=+=+=ME BM BE【总结】考察直角三角形性质及等边三角形性质的综合运用．37.已知∠MAN ，AC 平分∠MAN ，（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC.（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【难度】★★★【解析】(1)∵∠MAN=120°，AC 平分∠MAN ，∴︒=∠=∠60CAB CAD∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠ACD=∠ACB=30°，∴AC AB 21=，AC AD 21= ∴AC AC AC AD AB =+=+2121；（2）过C 作CE ⊥AM ，过C 作CF ⊥AN ，垂足分别为E 、F∵AC 平分∠MAN ，CE ⊥AM ，CF ⊥AN ，∴CF CE =∵∠ABC+∠ADC=180°，∠MDC+∠ADC=180°，∴∠EDC=∠ABC∵∠EDC=∠ABC ，CF CE =，CFB CED ∠=∠，∴CBF CED ≌△△，∴BF ED =∴AF AE BF AF DE AE AB AD +=++-=+∵∠MAN=120°，AC 平分∠MAN ，∴︒=∠=∠60CAB CAD∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠ACE=∠ACF=30°， ∴AC AE 21=，AC AF 21= ∴AC AC AC AD AB =+=+2121 【总结】考察角平分线的性质和直角三角形的性质的综合运用．38.如图，AB 两个村子在河边CD 的同侧，A 、B 两村到河边的距离分别为AC=1千米，BD =3千米，CD =3千米．现在河边CD 建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向A 、B 两村送水，也可以将水送一村再转送另一村．铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD选择水厂位置P确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0.01万元）．【难度】★★★【答案】10万元．【解析】延长AC至点E，使得CE=AC，连接EB交CD于一点，，则此时铺设水管费用最低．过E作EF∥CD，交BD延长线于F∵四边形CEFD是长方形，∴1=DFCE=∵34，，∴由勾股定理可得：5EF BF==BE=此时5EPPBAPBP==+BE+=∴总费用为10⨯万元．5=2【总结】考察勾股定理在实际问题中的应用．39.如图，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E、F是BC上的两点，且∠EAF=45°，求证：222+=BE CF EF．【难度】★★★【解析】过C 作CG ⊥BC ，使CG CE =，连接AG 、FG ．∵∠BAC=90°，AB=AC ， ∴45B BCA ∠=∠=．∵CG ⊥BC ， ∴45ACG BCA ∠=∠=， ∴ACG B ∠=∠．∵AB=AC ，BE=CG ， ∴AEB AGC △≌△∴AE AG BAE CAG =∠=∠，．∵︒=∠45EAF ，∴︒=∠+∠45CAF BAE ，∴45CAF CAG ∠+∠=︒，即45FAG ∠=︒，∴GAF EAF ∠=∠∵AF AF =，AE AG =，∴AFG AFE △≌△， ∴EF GF =．在Rt CFG 中，由勾股定理，可得：222GF CG CF =+，又EF GF =，CG CE =，∴222+=BE CF EF ．【总结】本题综合性较强，本质上是对三角形的旋转，同时结合了勾股定理进行解题．40.如图，∆ABC 是等边三角形，P 是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB 的度数．【难度】★★★【答案】150°．【解析】在BC 的下方作︒=∠60PBD ，在BD 上截取一点D ，使得BD=BP ，连接CD 、PD ∵︒=∠+∠60PBC ABP ，︒=∠+∠60PBC DBC ∴CBD ABP ∠=∠∵BC AB =，CBD ABP ∠=∠，BP BD = ∴CBD ABP ≌△△，∴3==AP CD∵︒=∠60PBD ，BP BD =，∴△BPD 为等边三角形，∴4==BP DP ．∵435DP DC PC ===，，，∴222PC DC DP =+，∴︒=∠90PDC∴︒=∠+∠=∠150PDC BDP BDC∵CBD ABP ≌△△，∴︒=∠=∠150BDC APB【总结】考察旋转辅助线的作法和勾股定理逆定理的应用．41.如图，P 是凸四边形内一点，过点P 作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H ，已知AH=3，DH=4，DG=1，GC=5，CF=6，BF=4，且BE -AE=1，求四边形ABCD 的周长．【难度】★★★【答案】34．【解析】由勾股定理可得：22222PE AE PH AH AP +=+=，22222PF BF PE BE BP +=+=，22222PG CG CF PF CP +=+=，22222PH DH GP DG DP +=+=，等式相加后代入数据可得：2222222454163+++=+++AE BE ，整理得：2211BE AE -=，即()()11BE AE BE AE +-=，∵BE -AE=1，解得：65BE AE ==，．所以周长为：3415646534+++++++=．【总结】考察勾股定理的应用，注意解题方法的合理选择．42.已知，如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，设AC=b ，BC=a ，AB=c ，CD=h ．求证：（1）c h a b +>+；（2）以a b +、c h +、h 为三边可构成一个直角三角形．【难度】★★★【解析】（1）由等面积可知：ch ab =，∵222c b a =+，∴()ch c b ab a b a 222222+=++=+，()ch h c h c 2222++=+．∵ch h c ch c 22222++<+，∴()()22h c b a +<+，∴c h a b +>+．（2）∵()ch h c h c 2222++=+；()ab b a h b a h 222222+++=++，222c b a =+，ch ab = ∴()()222b a h h c ++=+，∴以a b +、c h +、h 为三边可构成一个直角三角形．【总结】考察勾股定理及其逆定理的应用、等面积法的综合应用．43.已知直角坐标平面内的点A （4，32）、B （6，3），在x 轴上求一点C ，使得△ABC 是等腰三角形．【难度】★★★ 【答案】10704C ⎛⎫⎪⎝⎭，或()60C ，或()20C ，．【解析】设()0C x ，，当CA=CB 时，∴()()222236234+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ，16107=x ，∴10704C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当CA=AB 时，∴()2222223234+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x ，62或=x ，∴()60C ，或()20C ，；当CB=AB 时，∴()222222336+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-x ，方程无解，所以不存在．综上，满足条件的点C 的坐标为：10704C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或()60C ，或()20C ，．【总结】考察两点之间距离公式的应用，注意分类讨论．44.已知点A （4，0）、B （2，-1），点C 的坐标是（x ，2-x ），若△ABC 是等腰三角形，求C 的坐标．【难度】★★★【答案】7322C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或C -⎝⎭或C ⎝⎭或()11C -，或()42C -，．【解析】由两点间距离公式，可得：AB =AC ，BC 当CA=CB 时，即()()()()222221224x x x x +--+-=-+-，解得：27=x ，∴7322C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，；当CA=AB 时，即()()22221224+=-+-x x ，解得：266266-+=或x ，∴C -⎝⎭或C ⎝⎭；当CB=AB 时，即()()222221212+=+--+-x x ，解得：14x x ==或，所以()11C -，或()42C -，．综上，满足条件的C 点的坐标为：7322⎛⎫- ⎪⎝⎭，或⎝⎭或⎝⎭或()11-，或()42-，．【总结】本题主要考察两点之间距离公式及勾股定理的应用，由于题目中并没有说明斜边是哪条边，因此要分类讨论。

沪教版八年级上册数学第十九章几何证明含答案

沪教版八年级上册数学第十九章几何证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知三角形的三边长为6,8,10，则这个三角形最长边上的高为（）A.2.4B.4.8C.9.6D.102、如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则（）A.S1=S2B.S1＜S2C.S1＞S2D.无法确定3、如图，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，则PE+PC 的最小值是（）A. B. C.5 D.以上都不对4、下列命题的逆命题正确的是( )A.两条直线平行,内错角相等B.若两个实数相等,则它们的绝对值相等 C.全等三角形的对应角相等 D.若两个实数相等,则它们的平方也相等5、如图，在中，，为上一点，连接，将沿翻折，点恰好落在上的点处，连.若，，则的长度为（）A. B. C. D.6、一个直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为( )A.6B.8C.10D.127、如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F= （∠BAC﹣∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C.其中正确的是（）A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④8、如图，梯形AOBC的顶点A、C在反比例函数的图像上，OA∥BC，上底OA在直线y=x上，下底BC交x轴于点E（2，0），则四边形AOEC的面积为（）A.3B.C. -1D. +19、如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在轴上，AB 的中点是坐标原点O，固定点A、B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（）A. B.(2,1) C. D.10、如图，点A，B，C分别表示三个村庄，AB＝13千米，BC＝5千米，AC＝12千米.某社区拟建一个文化活动中心.要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A.AB中点B.BC中点C.AC中点D.∠C的平分线与AB的交点11、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，已知CD=3，BD=5，则下列结论中错误的是（）A.AC=6B.AD=7C.BC=8D.AB=1012、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（－4，0）、B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）A. B. C.2 D.313、如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是点A（－3，0）、点B（－1，2）、点C（3，2）.则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标是（）A.（0，－1）B.（0，0）C.（1，－1）D.（1，－2）14、如图，在中，，分别以点和点为圆心，以相同的长(大于)为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，交于点．若，，则等于( )A.2B.C.D.15、在中，平分，交于点，于，且，则的周长为（）A. B. C. D.不能确定二、填空题(共10题，共计30分)16、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AC=2，则斜边AB的长为________．17、直角三角形的斜边长是5，一直角边是3，则此三角形的周长是________．18、如图，在△ABC中，D是AB上任意一点，E是BC的中点，过C作CF∥AB，交DE的延长线于F，连BF，CD若∠FDB=30°，∠ABC=45°，BC=2 ，则DF=________ 。

第十九几何证明

(典型题)沪教版八年级上册数学第十九章 几何证明含答案

(基础题)沪教版八年级上册数学第十九章 几何证明含答案

沪教版初中数学第十九章-几何证明

沪教版八年级数学上册 命题和证明

(典型题)沪教版八年级上册数学第十九章 几何证明含答案

第19章 几何证明(常考、易错必刷30题14种题型专项训练)(解析版)

沪教版(上海)八年级数学第一学期-第十九章 几何证明 复习课件-

第19章几何证明(基础、常考、易错、压轴)分类专项训练(原卷版)

第十九章_几何证明知识点

第十九章 几何证明

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