高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第11讲三角形中的有关问题5 6

合集下载

(word完整版)三角函数与解三角形高考模拟考试题(卷)精选(含详细答案解析)(2021年整理)

(word完整版)三角函数与解三角形高考模拟考试题(卷)精选(含详细答案解析)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(word完整版)三角函数与解三角形高考模拟考试题(卷)精选(含详细答案解析)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(word完整版)三角函数与解三角形高考模拟考试题(卷)精选(含详细答案解析)(word版可编辑修改)的全部内容。

三角函数与解三角形高考试题精选一．解答题（共31小题）1．在△ABC中，角A，B,C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．(Ⅰ）证明：a+b=2c；(Ⅱ）求cosC的最小值．2．在△ABC中,内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB,ac=（a2﹣b2﹣c2)．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．(Ⅰ)求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2)若a=，求△ABC的面积．5．在△ABC中,角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc,求tanB．6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1)求BC的长;（2)求sin2C的值．7．在△ABC中,内角A，B,C所对的边分别为a,b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；(Ⅱ）求cos（2A+）的值．8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=(a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ)求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．9．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b,c，且b=3,c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB,DE=1,EC=，EA=2，∠ADC=,∠BEC=．（Ⅰ)求sin∠CED的值;（Ⅱ)求BE的长．11．在△ABC中，内角A，B,C所对的边分别为a，b,c，已知b+c=2acosB．(Ⅰ）证明：A=2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1)求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ)若a=2，b=，求cosC的值；(Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC,且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．14．△ABC的内角A，B,C所对应的边分别为a，b,c．（Ⅰ）若a,b，c成等差数列,证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；(Ⅱ）若a，b,c成等比数列，求cosB的最小值．15．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．(Ⅰ)若a,b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a,求cosB的值．16．四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；(2）求四边形ABCD的面积．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A+C）=8sin2．(1)求cosB;(2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．18．在△ABC中,内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2)若cosB=,求cosC的值．19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA,且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=;（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2,求sinA和c的值．21．设△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；(Ⅱ)若sinC﹣sinAcosB=,且B为钝角，求A，B，C．22．△ABC中，D是BC上的点,AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2)若AD=1，DC=，求BD和AC的长．23．已知a，b，c分别是△ABC内角A,B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ)若a=b，求cosB；（Ⅱ)设B=90°，且a=，求△ABC的面积．24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．(Ⅱ）若∠BA C=60°,求∠B．25．在△ABC中，内角A，B,C所对的边分别为a,b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．26．△ABC中,角A，B,C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ)求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值．（2）若cosA=,b=3c,求sinC的值．28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC(1）求cosA的值（2)若a=1,cosB+cosC=，求边c的值．29．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b，c，且bsinA=a•cosB．（1)求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．(Ⅰ)求cosA的值;（Ⅱ）求c的值．三角函数与解三角形高考试题精选参考答案与试题解析一．解答题（共31小题)1．在△ABC中,角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：由得:；∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；∴2sin（A+B）=sinA+sinB;即sinA+sinB=2sinC(1）;根据正弦定理，;∴,带入（1）得：；∴a+b=2c;(Ⅱ）a+b=2c；∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab,当且仅当a=b时取等号；又a，b＞0；∴；∴由余弦定理，=；∴cosC的最小值为．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b,c．已知asinA=4bsinB，ac=(a2﹣b2﹣c2）．(Ⅰ）求cosA的值；(Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．【解答】（Ⅰ）解:由，得asinB=bsinA，又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，两式作比得：，∴a=2b．由，得,由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ)，可得,代入asinA=4bsinB，得．由（Ⅰ)知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，,故．3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，已知2cosC（acosB+bcosA)=c．（Ⅰ）求C;(Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：(Ⅰ）∵在△ABC中,0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC,整理得：2cosCsin（A+B)=sinC，即2cosCsin（π﹣(A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；(Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴(a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=,∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．4．在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=,求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵A为三角形的内角,cosA=,∴sinA==，又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC,整理得：cosC=sinC,则tanC=;（2）由tanC=得：cosC====，∴sinC==，∴sinB=cosC=,∵a=,∴由正弦定理=得:c===，则S△ABC=acsinB=×××=．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC;（Ⅱ)若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【解答】(Ⅰ）证明：在△ABC中,∵+=，∴由正弦定理得：，∴=,∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，(Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2)求sin2C的值．【解答】解：（1）由余弦定理可得:BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2)由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，BC=,AB=2,角A=60°,在三角形ABC中,大角对大边,大边对大角，＞2，∴角C＜角A，角C为锐角．sinC＞0,cosC＞0则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．【解答】解:（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得:，可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6,c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA,可得a=8，,解得sinC=；（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin==．8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB)平行．（Ⅰ）求A;（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．【解答】解:（Ⅰ）因为向量=(a，b)与=（cosA，sinB）平行，所以asinB﹣=0,由正弦定理可知:sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，所以tanA=,可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c,解得c=3，△ABC的面积为:=．9．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a,b,c，且b=3，c=1,△ABC的面积为，求cosA与a的值．【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，∴=,∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=,∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．【解答】解：（Ⅰ）设α=∠CED，在△CDE中,由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE,即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得,则sinα=，即sin∠CED=．(Ⅱ)由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos（）=cos cosα+sin sinα=，在Rt△EAB中,cos∠AEB=，故BE=．11．在△ABC中,内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,已知b+c=2acosB．（Ⅰ）证明:A=2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∴sinB+sin（A+B)=2sinAcosB∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B)∵A，B是三角形中的角,∴B=A﹣B,∴A=2B；（Ⅱ)解：∵△ABC的面积S=,∴bcsinA=，∴2bcsinA=a2，∴2sinBsinC=sinA=sin2B，∴sinC=cosB，∴B+C=90°，或C=B+90°，∴A=90°或A=45°．12．在△ABC中，内角A，B,C所对的边分别为a，b，c,已知A=,b2﹣a2=c2．(1）求tanC的值;（2）若△ABC的面积为3，求b的值．【解答】解：（1)∵A=，∴由余弦定理可得：,∴b2﹣a2=bc﹣c2,又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0,π），∴sinC==．∴tanC==2．或由A=，b2﹣a2=c2．可得：sin2B﹣sin2A=sin2C，∴sin2B﹣=sin2C，∴﹣cos2B=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴sin2C=sin2C，∴tanC=2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．13．在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2,b=，求cosC的值;（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣(a+b）=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC,∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c,∵a+b+c=8，∴a+b=6①,∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得:a=b=3．14．△ABC的内角A，B,C所对应的边分别为a,b,c．(Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C)；(Ⅱ）若a，b,c成等比数列，求cosB的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理化简得:2sinB=sinA+sinC，∵sinB=sin［π﹣（A+C）]=sin（A+C），∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）;(Ⅱ)∵a，b,c成等比数列，∴b2=ac，∴cosB==≥=，当且仅当a=c时等号成立，∴cosB的最小值为．15．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．(Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C);（Ⅱ)若a，b，c成等比数列，且c=2a,求cosB的值．【解答】解：(Ⅰ）∵a,b，c成等差数列，∴a+c=2b，由正弦定理得:sinA+sinC=2sinB,∵sinB=sin[π﹣（A+C)]=sin（A+C），则sinA+sinC=2sin（A+C)；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列,∴b2=ac,将c=2a代入得:b2=2a2，即b=a，∴由余弦定理得:cosB===．16．四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．【解答】解:（1)在△BCD中,BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，在△ABD中,AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，则C=60°，BD=;（2)∵cosC=,cosA=﹣，∴sinC=sinA=,则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．17．△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b,c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2)若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解:（1)sin（A+C）=8sin2，∴sinB=4（1﹣cosB)，∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴16(1﹣cosB)2+cos2B﹣1=0，∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1)（cosB+1）=0,∴(17cosB﹣15)（cosB﹣1)=0，∴cosB=；（2）由(1)可知sinB=，∵S△ABC=ac•sinB=2，∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=(a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4,∴b=2．18．在△ABC中，内角A，B,C所对的边分别为a,b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B)，化为A=2B,或A=π（舍去）．∴A=2B．（II）解：cosB=，∴sinB==．cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角．（Ⅰ）证明:B﹣A=；(Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈(，π），∴B=+A,∴B﹣A=;（Ⅱ)由(Ⅰ）知C=π﹣(A+B)=π﹣（A++A）=﹣2A＞0,∴A∈（0，）,∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2(sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2(sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（,］20．△ABC中，角A,B，C所对的边分别为a，b,c，已知cosB=，sin(A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．【解答】解：①因为△ABC中，角A,B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=,sin(A+B)=,ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以sinA+cosA=①,结合平方关系sin2A+cos2A=1②，由①②解得27sin2A﹣6sinA﹣16=0,解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）;②由正弦定理，由①可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，所以a=2c，又ac=2,所以c=1．21．设△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b,c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；(Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．【解答】解：(Ⅰ）证明：∵a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：,又tanA=,∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．（Ⅱ）∵sinC=sin［π﹣（A+B）］=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，∴sin2B=,∵0＜B＜π，∴sinB=,∵B为钝角，∴B=,又∵cosA=sinB=，∴A=,∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=．22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1)求；（2）若AD=1，DC=,求BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2,∴AB=2AC,令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=,∴x=1,∴AC=1,∴BD的长为，AC的长为1．23．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=,求△ABC的面积．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC,由正弦定理可得：＞0，代入可得(bk)2=2ak•ck，∴b2=2ac,∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=,∴a2+c2=b2=2ac,解得a=c=．∴S△ABC==1．24．△ABC中,D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．(Ⅱ）若∠BAC=60°,求∠B．【解答】解：（Ⅰ）如图,由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；（Ⅱ)∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B)，∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C,∴tan∠B=，即∠B=30°．25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,已知a﹣c=b,sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得:b=c,代入a﹣c=b,得：a﹣c=c，即a=2c,∴cosA===;(Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos(2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．26．△ABC中,角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．(Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin(π﹣A﹣B）=sin（A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b,c．（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值．（2）若cosA=,b=3c，求sinC的值．【解答】解：（1）因为,所以sinA=，所以tanA=，所以A=60°（2）由及a2=b2+c2﹣2bccosA得a2=b2﹣c2故△ABC是直角三角形且B=所以sinC=cosA=28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b,c，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA的值（2）若a=1，cosB+cosC=，求边c的值．【解答】解：（1）由余弦定理可知2accosB=a2+c2﹣b2；2abcosc=a2+b2﹣c2；代入3acosA=ccosB+bcosC；得cosA=；（2）∵cosA=∴sinA=cosB=﹣cos(A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣cosC+sinC ③又已知 cosB+cosC=代入③cosC+sinC=，与cos2C+sin2C=1联立解得 sinC=已知 a=1正弦定理:c===29．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小;（2）若b=3,sinC=2sinA，分别求a和c的值．【解答】解：（1)∵bsinA=a•cosB,由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB=cosB，B∈（0，π），可知：cosB≠0，否则矛盾．∴tanB=，∴B=．（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理可得:b2=a2+c2﹣2accosB，∴9=a2+c2﹣ac，把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，∴．30．在△ABC中,a=3，b=2，∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．【解答】解：（Ⅰ)由条件在△ABC中，a=3,，∠B=2∠A,利用正弦定理可得，即=．解得cosA=．（Ⅱ)由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即 9=+c2﹣2×2×c×，即 c2﹣8c+15=0．解方程求得 c=5，或 c=3．当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得B=90°，A=C=45°,△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去．当c=5时,求得cosB==，cosA==，∴cos2A=2cos2A﹣1==cosB,∴B=2A,满足条件．综上，c=5．。

2023年高考数学模拟试题（十一）参考答案

2023年高考数学模拟试题(十一)参考答案一㊁选择题1.C 2.D 3.C 4.C 5.B 图16.C 提示:由题意可知F 3,0,准线方程为x =-3,如图1,设准线与x 轴交于点K ,P x P ,y P ,故K F =6,因为A F 的倾斜角为150ʎ,所以øA F K =30ʎ,故A K =K F ta n 30ʎ=23,即y P =23,故12=12x P ,解得x P =1,所以P F =A P =3+x P =4㊂7.C 提示:如图2,连接D E ,依题设知B E =A D =5,在әB D E 中,由余弦定理得c o s øD B E=B D 2+B E 2-D E22B D ㊃B E=图23102+25-(145)22ˑ5ˑ310=-110,c o s øC B D =c o s (π-øD B E )=-c o s øD B E =110,B C =B D ㊃c o s øC BD =310ˑ110=3,C D =B D 2-B C 2=9,所以C A =C D -A D =4,故弦图中小正方形的边长为C A -C B =1㊂8.D9.C 提示:根据函数f x 的图像可知,f x =A c o s ωx +φ 的最大值为2,又A >0,故A =2㊂又f 0 =1,即2c o s φ=1,则c o s φ=12,又φɪ0,π2,故φ=π3㊂又f 12 =0,即c o s 12ω+π3 =0,解得12ω+π3=π2+k π,k ɪZ ,则ω=2k π+π3,k ɪZ ㊂又T 4>12,则0<ω<π,因此ω=π3㊂所以f (x )=2c o s π3x +π3㊂对于A :由上述求解过程可知,φ=π3,ω=π3,故A 错误;对于B :因为f x +2=2c o s π3x +π =-2c o s π3x ,又因为-2c o s -π3x =-2c o s π3x ,所以f (x +2)是偶函数,故B 错误;对于C :当x =-4时,f x =2c o s -π =-2,即当x =-4时,f x 取得最小值,所以x =-4是f x的对称轴,故C 正确;对于D :当x ɪ3,4 时,π3x +π3ɪ4π3,5π3,而y =2c o s x 在4π3,5π3上单调递增,故D 错误㊂图310.B 提示:如图3所示,在四棱锥P A B C D 中,取侧面әP A B 和底面正方形A B C D 的外接圆的圆心分别为O 1,O 2,分别过O 1,O 2作两个平面的垂线交于点O ,则由外接球的性质知,O 即为该球的球心㊂取线段A B 的中点E ,连接O 1E ,O 2E ,O 2D ,O D ,则四边形O 1E O 2O 为矩形㊂在等边әP A B 中,可得P E =23,则O 1E =233,即O O 2=233㊂在正方形A B C D 中,因为A B =4,所以O 2D =22㊂在R t әO O 2D 中,O D 2=O O 22+O 2D 2,即R 2=O O 22+O 2D2=283㊂所以四棱锥P A B C D 的外接球的表面积为S =4πR 2=112π3㊂11.D 提示:记随机变量X 为购买a 个元件后的次品数㊂由题意知X 可看成泊松分布,则P (X ɤa -100)ȡ0.95㊂记t =a -100,则ðti =0e-0.01100+t 0.01100+tii!ȡ0.95㊂由于t 很小,故有ðti =01i !㊃e ȡ0.95㊂参考答案与提示高考数学 2023年7-8月分别计算t =0,1,2,3时,左边约等于0.37,0.74,0.91,0.98,故t ȡ3,即a ȡ103㊂12.C 提示:依题设,当x ɪ(1,2]时,x -1ɪ(0,1],f (x -1)=(x -1)l n (x -1),因为当x ɪ(1,+ɕ)时,f (x )=2f (x -1),所以当x ɪ(1,2]时,f (x )=2(x -1)l n (x -1)㊂当x ɪ[-2,-1)时,-x ɪ(1,2],f (-x )=2(-x -1)l n (-x -1),又f (x )是奇函数,即f (x )=-f (-x ),所以f (x )=2(x +1)l n (-x -1),故①错误,②正确㊂因为ðn i =1f 1e +i =2f1e +22f 1e + +2nf 1e =21+22+ +2nf 1e =21-2n1-2f 1e =-2e (2n-1),所以-2e (2n-1) m a xɤλ对任意n ɪN *恒成立㊂因为g (n )=-2e(2n-1)在n ɪN *上单调递减,所以g (n )m a x =g (1)=-2e,所以λȡ-2e ,故③错误㊂方程f (x )=k x -12在[0,2]上恰有三个根,即f (x )的图像与直线y =k x -12在[0,2]上有三个交点㊂由f (x )是定义在R 上的奇函数,得f (0)=0㊂当x ɪ(0,1]时,则f (x )=x l n x ,f'(x )=l n x +1㊂若0<x <1e ,则f '(x )<0,f (x )单调递减;若1e<x ɤ1,则f '(x )>0,f (x )单调递增,f (1)=0㊂当x ɪ(1,2]时,f (x )=2f (x -1)=2(x -1)l n (x -1)㊂图4画出函数f (x )的大致图像,如图4所示,直线y =kx -12过定点0,-12,所以k 1<k <k 2,其中k 2为点0,-12,(1,0)连线的斜率,则k 2=12㊂k 1为直线y =k x -12与曲线y =f (x )(0<x ɤ1)相切时的斜率,设切点为(x 0,y 0),则y 0=x 0l n x 0㊂因为f '(x )=l n x +1,所以k 1=l n x 0+1,切线方程为y -x 0l n x 0=(l n x 0+1)(x -x 0),因为切线过点0,-12,所以-12-x 0l n x 0=(l n x 0+1)(0-x 0),解得x 0=12,则k 1=1-l n 2,所以k ɪ1-l n 2,12,故④正确㊂二、填空题13.112114.6015.3033+3 提示:因为a 1=3,所以a 2=1+13-1=32+32,a 3=2+13+32-2=62+3,a 4=4+13-1=92+32,a 5=5+19+32-5=122+3,由此可得,当n 为奇数时,a n =n -12ˑ3+3,所以a 2023=2023-12ˑ3+3=3033+3㊂16.32提示:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0)为A B 的中点,则x 21a2+y 21b2=1,x 22a 2+y 22b 2=1,两式作差得x 1+x 2 x 1-x 2a2+y 1+y 2 y 1-y 2b2=0,又x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0,所以2x 0x 1-x 2a2+2y 0y 1-y 2 b2=0,化简得y 0x 0㊃y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2,所以k O Mk A B =-b 2a 2=e 2-1,得2-3e 2y 2021-e 22x2=e 2-1㊂因为øF 1A F 2=π2,所以F 1A ң㊃F 2A ң=x 20+y 20-c 2=0,联立参考答案与提示高考数学 2023年7-8月x 20+y 20-c 2=0,x 2a 2+y20b 2=1,解得y 20=b 4c2,x 20=a 2c 2-b 2 c 2,所以y 20x 20=b 4a 2c 2-b 2 =e 2-122e 2-1,所以2-3e 22(1-e 2)㊃(e 2-1)22e 2-1=2-3e 222e 2-1=e 2-1,解得e =32㊂三、解答题17.(1)因为a n a n +1=-22n -1,所以a n +1a n +2=-22n +1,两式相除可得a n +2a n=4,即q 2=4㊂因为a n a n +1=a 2n q ,所以a 2nq =-22n -1<0,可得q <0,所以q =-2,所以a n =a 1q n -1=(-2)n -1㊂(2)由(1)得b n =(-1)n㊃n (-2)n -1=-n2n -1,则S n =-120+221+322+ +n -12n -2+n 2n -1,S n2=-121+222+323+ +n -12n -1+n2n,两式相减得S n2=-1+121+122+ +12n -1-n 2n=n2n -1-12 n1-12=n +22n -2,所以S n=n +22n -1-4㊂18.(1)取A D 的中点O ,连接P O ,O C ㊂因为әP A D 为等边三角形,所以P O ʅA D ㊂又平面P A D ʅ平面A B C D ,平面P A D ɘ平面A B C D =A D ,所以P O ʅ平面A B C D ㊂图5以O 为坐标原点,O C ,O D ,O P 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图5所示的空间直角坐标系O -x yz ,则A (0,-1,0),D (0,1,0),C (1,0,0),B (1,-1,0),P (0,0,3),所以C P ң=(-1,0,3),C D ң=(-1,1,0)㊂设平面P C D 的一个法向量为n =x ,y ,z ,则n ㊃C P ң=-x +3z =0,n ㊃C D ң=-x +y =0,令z =1,得n =3,3,1 ㊂又B C ң=0,1,0,则点B 到平面P C D 的距离d =B C ң㊃n n =3ˑ0+3ˑ1+1ˑ03 2+3 2+12=217㊂(2)设E s ,t ,r,因为P E ң=λP D ң,所以(s ,t ,r -3)=λ(0,1,-3),所以E 0,λ,3-3λ,则A C ң=(1,1,0),A E ң=(0,λ+1,3-3λ)㊂设平面E A C 的一个法向量为m =(x ',y',z '),则m ㊃A C ң=x '+y'=0,m ㊃A E ң=(λ+1)y '+(3-3λ)z '=0,令y '=3(λ-1),得m =(3(1-λ),3(λ-1),λ+1)㊂又平面D A C 的一个法向量为O P ң=0,0,3,于是c o s <O P ң,m >=O P ң㊃mO Pңm =3λ+1331-λ 2+3λ-1 2+λ+12=λ+17λ2-10λ+7=105,化简得3λ2-10λ+3=0,又λɪ0,1 ,所以λ=13,即P E P D =13,故存在满足题意的点E ,此时P E P D =13㊂19.(1)由题意得 x =15(160+170+175+185+190)=176, y=15(170+174+175+180+186)=177,^b =ð5i =1x i yi-5 x yð5i =1x2i-5x 2=156045-5ˑ176ˑ177155450-5ˑ1762=285570=0.5,^a = y -^b x =177-0.5ˑ176=89,所以回归直线方程为^y =0.5x +89㊂令0.5x +89-x >0,得x <178,即当x <178时,儿子比父亲高㊂参考答案与提示高考数学 2023年7-8月令0.5x -89-x <0,得x >178,即当x >178时,儿子比父亲矮㊂综上可得,当父亲身高较矮时,儿子平均身高要高于父亲,当父亲身高较高时,儿子平均身高要矮于父亲,即儿子身高有一个回归,回归到全种群平均高度的趋势㊂(2)由^y =0.5x +89,可得^y 1=0.5ˑ160+89=169,^y 2=174,^y 3=176.5,^y 4=181.5,^y 5=184,所以ð5i =1^y i =885,又ð5i =1y i =885,所以ð5i =1^e i =ð5i =1y i -^y i =ð5i =1y i -ð5i =1^y i =0㊂结论:对任意两个具有线性相关关系的变量,都有ðn i =1^e i =0㊂证明如下:ðni =1^e i =ðni =1y i-^y i=ðni =1y i -^b x i -^a =ðni =1y i -^b ðni =1x i -n ^a =n y -n ^b x -n ( y-^b x )=0㊂20.(1)由双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0可得渐近线为y =ʃba x ㊂不妨取渐近线y =bax ,即b x -a y =0,依题设知焦点到渐近线的距离d =b c a 2+b2=3,即b =3㊂由题意知42a 2-32b 2=1,b =3,解得a =2㊂所以双曲线C 的方程为x 24-y23=1㊂(2)设直线B N 的斜率为k ,所以直线A M 的斜率为-2k ,则直线B N 的方程为y =k (x -2),直线A M 的方程为y =-2k (x +2)㊂联立直线B N与双曲线方程x 24-y23=1,y =k x -2 ,消去y 整理得3-4k 2x 2+16k 2x -16k 2-12=0,于是2x N =16k 2+124k 2-3,即x N =8k 2+64k 2-3,从而y N =12k4k 2-3㊂联立直线A M与双曲线方程x 24-y23=1,y =-2k x +2 ,消去y 整理得(3-16k 2)x 2-64k 2x -64k 2-12=0,于是-2x M =64k 2+1216k 2-3,即x M =-32k 2-616k 2-3,从而y M =24k16k 2-3㊂所以k M N =y M -y N x M -x N =24k 16k 2-3-12k4k 2-3-32k 2-616k 2-3-8k 2+64k 2-3=24k 3+9k 64k 4-9=3k8k 2-3㊂所以直线MN :y -12k 4k 2-3=3k8k 2-3㊃x -8k 2+64k 2-3,化简得y =3k8k 2-3x +6,所以直线MN ,即直线l 过定点-6,0㊂21.(1)当a =0时,f (x )=l n x -2x ,则f'(x )=1x-2,所以f (1)=-2,f'(1)=-1,所以曲线在点(1,f (1))处的切线方程为y +2=-(x -1),即x +y +1=0㊂(2)f (x )=l n x -(a +2)x +a x 2的定义域为(0,+ɕ),求导得f 'x =1x-(a +2)+2a x =(2x -1)a x -1x㊂若a ɤ0,则当x ɪ0,12时,f'(x )>0;当x ɪ12,+ɕ时,f'(x )<0㊂故f (x )在0,12 内单调递增,在12,+ɕ 内单调递减㊂若0<a <2,则当x ɪ0,12 ɣ1a ,+ɕ 时,f '(x )>0;当x ɪ12,1a 时,f '(x )<0㊂故f (x )在0,12 ,1a ,+ɕ 内单调递增,在12,1a内单调递减㊂若a =2,则f '(x )ȡ0,所以f (x )在(0,+ɕ)上单调递增㊂若a >2,则当x ɪ0,1aɣ参考答案与提示高考数学 2023年7-8月12,+ɕ时,f '(x )>0;当x ɪ1a ,12时,f '(x )<0㊂故f (x )在0,1a ,12,+ɕ 内单调递增,在1a ,12 内单调递减㊂(3)由(2)可知,若a ɤ0,则f (x )在0,12内单调递增,在12,+ɕ内单调递减,f (x )m a x =f 12=-l n 2-1-a 4㊂当-4l n 2-4ɤa ɤ0时,f12ɤ0,所以f (x )在(0,+ɕ)上至多有一个零点,不符合题意㊂当a <-4l n 2-4时,f12>0㊂因为f (1)=-2<0,f (x )在12,+ɕ 内单调递减,所以f (x )在12,+ɕ 内有唯一零点㊂因为a <-4l n 2-4<-e,所以-a >e ,且0<-1a <14l n 2+4<12㊂因为f -1a=-l n (-a )+1+3a<1-l n (-a )<1-l n e =0,f12>0,且f (x )在0,12内单调递增,所以f (x )在0,12内有唯一零点㊂所以当a <-4l n 2-4时,f (x )恰有两个零点㊂若0<a <2,则f (x )在0,12,1a ,+ɕ内单调递增,在12,1a内单调递减,因为当x =12时,f (x )取得极大值f12=-l n 2-1-a 4<0,所以f (x )在(0,+ɕ)上至多有一个零点,不符合题意㊂若a =2,则f (x )在(0,+ɕ)内单调递增,所以f (x )在(0,+ɕ)内至多有一个零点,不符合题意㊂若a >2,则f (x )在0,1a,12,+ɕ内单调递增,在1a ,12内单调递减㊂因为当x =1a时,f (x )取得极大值f1a=-l n a -1-1a <0,所以f (x )在(0,+ɕ)内至多有一个零点,不符合题意㊂综上可得,实数a 的取值范围为(-ɕ,-4l n 2-4)㊂22.(1)由曲线C 1:x =2c o s φ,y =2+2s i n φ,消去参数φ可得x 2+y -2 2=4,即x 2+y 2=4y ,所以ρ2=4ρs i n θ,故ρ=4s i n θ㊂设Q (x ,y ),则P (2x ,2y ),代入x 2+y -2 2=4,化简整理得x 2+y 2=2y ,所以ρ2=2ρs i n θ,故ρ=2s i n θ㊂(2)设M ρ1,θ ,则N ρ2,θʃπ2,则O M |2+4O N |2=ρ21+4ρ22=16s i n 2θ+4ˑ4s i n 2θʃπ2=16s i n 2θ+c o s 2θ=16㊂23.(1)当x ɤ2时,fx =2-x +4-x =6-2x ;当2<x <4时,fx =x -2+4-x =2;当x ȡ4时,f x =x -2+x -4=2x 图6-6㊂由此可得f x 的图像,如图6所示㊂因为f x ȡk x k >0恒成立,则由图像可知,当y =k x 过点4,2 时,k 取得最大值k 0,所以k 0=12㊂(2)由(1)知,只需证明a a +2b +b 2a +b ȡ23即可㊂令m =a +2b >0,n =2a +b >0,解得a =2n -m 3,b =2m -n3,所以a a +2b +b 2a +b =2n -m 3m +2m -n3n=132n m +2mn-2ȡ1322n m ㊃2mn-2=23,当且仅当2n m =2mn,即m =n 时,等号成立㊂所以a a +2b +b 2a +b ȡ23,即aa +2b+b 2a +b ȡ13k 0㊂(责任编辑王福华)参考答案与提示高考数学 2023年7-8月。

专题四三角函数与解三角形第十一讲三角函数的综合应用答案

由
2
2k

2x

3 2
2k
(kZ
)，得
4
k

x

3 4
k
(kZ
)；
所以
f
( x) 的单调递增区间是[
4

k
,
4

k ] （
k
Z
）；
单调递减区间是 [4

k
,
3 4
k ] （ k
Z
）．
（Ⅱ）
f
(
A 2
)

sin
A

1 2

0
，sin
2
x
；
当
x (2
, ] 时，
f
(x)

cos
x sin
x

1 2
sin
2x
，故选
C．
7．A【解析】由
2 3 0
sin( x
)dx

cos( x
)
2
|03

1 2
cos

3 2
sin

cos

0
，
得 tan
3
，所以

3

k
(k
Z)
，所以
f
(x)
13．【解析】（1）由正棱柱的定义， CC1 平面 ABCD ，
所以平面 A1ACC1 平面 ABCD ， CC1 AC ．
记玻璃棒的另一端落在 CC1 上点 M 处．
因为 AC 10 7 ， AM 40 ．

高考数学模拟试卷复习试题三角函数和解三角形6

高考数学模拟试卷复习试题三角函数和解三角形三角函数的图象及三角函数模型的简单应用一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1. 设振幅、相位、初相为方程的基本量，则方程的基本量之和为（）A．B．C．D．【答案】D．2. 【南昌二中—度上学期第三次考试，理8】设函数的最小正周期为π，且，则（）．A．单调递减 B．在单调递减C．单调递增 D．在单调递增【答案】A【解析】因为的最小正周期为所以，解得；3. 【开封市高三上学期定位考试模拟试题.理8】已知函数，有一个零点为，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A4. 【河南许昌平顶山新乡三市10月高三第一次调研考试，理9】已知函数，其导函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为A、B、C、D、【答案】B5. 【吉林市普通高中—度高三毕业年级摸底考试，理6】将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数 g( x) 的图象，则 g( x) 的解析式为( )A. B．C．D．【答案】A6.【改编题】函数的部分图象如右图所示，则（）A．6 B．4 C．—4 D．—6【答案】A7.【冀州中学高三上学期第一次月考，理9】若函数的图像在上恰有一个极大值和一个极小值，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D8. 【孝感高中高三十月阶段性考试，理7】已知函数的图象的一个对称中心是点，则函数＝的图象的一条对称轴是直线（）A． B． C． D．【答案】9. 【原创题】将函数的图象向右平移个单位长后与直线相交，记图象在轴右侧的第个交点的横坐标为，若数列为等差数列，则所有的可能值为（）A. B. C.或 D.或【答案】C10.【改编题】把曲线：向右平移个单位后得到曲线，若曲线的所有对称中心与曲线的所有对称中心重合，则的最小值为（）A．1 B．3 C．4 D．6【答案】D．【解析】因为曲线的所有对称中心与曲线的所有对称中心重合，所以，可得，所以当时，，故选D．11．【河南八校上学期第一次联考，理5】函数的图像向左平移m（m>0）个长度单位后，所得到的图像关于原点对称，则m的最小值是( )A． B. C. D.【答案】D12．【重点中学高三上学期第三次月考，理8】已知点在圆上，则函数的最小正周期和最小值分别为（）A． B． C． D．【答案】B.【解析】因为点在圆上，所以，可设，代入原函数化简为：，故函数的最小正周期为，函数的最小值.故应选B.二、填空题13. 函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f(3π)的值为．【答案】14. 【高考江苏卷第5题】已知函数与函数，它们的图像有一个横坐标为的交点，则的值是.【答案】【解析】由题意，即，，，因为，所以．15. 【河南许昌平顶山新乡三市10月高三第一次调研考试，理16】设函数，若存在，，则实数的取值范围是.【答案】16. 【原创题】给出以下三个命题：①若,则；②设函数，且其图像关于直线对称，则的最小正周期为，且在上为增函数；③在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为．其中真命题的序号是（请写出所有真命题的序号）【答案】③【解析】（1）∵，∴，∴，故为假命题；（2），∵函数图像关于直线对称，∴函数为偶函数，∴，∴，∴，∵，∴，∴函数在上为减函数.故为假命题；（3），当且仅当时取“=”，故为真命题.三、解答题17. 【南昌二中—度上学期第三次考试，理16】（本小题满分12分）已知（I）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（II）若，，求的值.18. 【改编题】已知函数的图像如图所示．（1）的函数解析式；（2）在中，、、所对的边分别为、、，若，且．求．（2），，．由（1）知，．，，又，．19. 【安溪一中、德化一中高三9月摸底考试，理16】（本小题满分13分）已知函数为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为.（Ⅰ）求函数的表达式.（Ⅱ）若，求的值.【解析】（I）∵为偶函数即恒成立又…………………………3分又其图象上相邻对称轴之间的距离为π………………………………………………………………………6分（II）∵原式………………………10分又…………………………11分即，故原式……………………………………13分20. 【沈阳市东北育才学校高三上学期第一次模拟考试，理18】（本小题满分12分）已知向量, 设函数.(Ⅰ) 求的单调递增区间；(Ⅱ) 求在上的最大值和最小值.高考数学高三模拟试卷试题压轴押题统考数学理试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）复数313ii+=- （A ）i （B ）i - （C ）2i （D ）2i -（2）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()23xf x =-，则(2)f -=（A ）1 （B ）1- （C ）14 （D ）114- （3）已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++=（A ）27 （B ）36 （C ）45 （D ）63（4）已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（A ）10 （B ）4 （C ）15 （D ）5 （5）给出下列四个命题：①,sin cos 1R ααα∀∈+>-②3,sin cos 2R ααα∃∈+=③1,sin cos 2R ααα∀∈≤④3,sin cos 4R ααα∃∈=其中正确命题的序号是①②③④（A ）①② （B ）①③ （C ）③④ （D ）②④（6）如图是一个容量为200的样本频率分布直方图，则样本数据落在范围[13,17)的频数为（A ）81 （B ）36 （C ）24 （D ）12（7）已知椭圆221:12x y C m n +=+与双曲线222:1x y C m n-=共焦点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为（A ）2(,1) （B ）2(0,) （C ）(0,1) （D ）1(0,)2（8）已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组3103010x yx yx-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则tan AOB∠的最大值等于（A）12（B）34（C）47（D）94（9）设函数()3cos(2)sin(2)(||)2f x x xπϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线0x=对称，则（A）()y f x=的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数（B）()y f x=的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数（C）()y f x=的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数（D）()y f x=的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数（10）某几何体的三视图入图所示，则此几何体对应直观图中△PAB的面积是（A）7（B）2 （C）3（D）5（11）根据如图所示程序框图，若输入2146m=，1813n=，则输出m的值为（A）1 （B）37 （C）148 （D）333（12）已知函数|21|,2()3,21x xf xxx⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩，若方程()0f x a-=有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（A ）(1,3) （B ）(0,3) （C ）(0,2) （D ）(0,1)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

三角函数及解三角形高考模拟考试题精选含详细答案

三角函数与解三角形高考试题精选一．解答题〔共31小题〕1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2〔tanA+tanB〕=+．〔Ⅰ〕证明：a+b=2c；〔Ⅱ〕求cosC的最小值．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．asinA=4bsinB，ac=〔a2﹣b2﹣c2〕．〔Ⅰ〕求cosA的值；〔Ⅱ〕求sin〔2B﹣A〕的值．3．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosC〔acosB+bcosA〕=c．〔Ⅰ〕求C；〔Ⅱ〕假设c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．cosA=，sinB=C．〔1〕求tanC的值；〔2〕假设a=，求△ABC的面积．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．〔Ⅰ〕证明：sinAsinB=sinC；〔Ⅱ〕假设b2+c2﹣a2=bc，求tanB．6．在△ABC中，AB=2，AC=3，A=60°．〔1〕求BC的长；〔2〕求sin2C的值．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．〔Ⅰ〕求a和sinC的值；〔Ⅱ〕求cos〔2A+〕的值．8．△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=〔a，b〕与=〔cosA，sinB〕平行．〔Ⅰ〕求A；〔Ⅱ〕假设a=，b=2，求△ABC的面积．9．设△ABC的角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC 的面积为，求cosA与a的值．10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．〔Ⅰ〕求sin∠CED的值；〔Ⅱ〕求BE的长．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b+c=2acosB．〔Ⅰ〕证明：A=2B；〔Ⅱ〕假设△ABC的面积S=，求角A的大小．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=，b2﹣a2=c2．〔1〕求tanC的值；〔2〕假设△ABC的面积为3，求b的值．13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．〔Ⅰ〕假设a=2，b=，求cosC的值；〔Ⅱ〕假设sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b 的值．14．△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．〔Ⅰ〕假设a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin〔A+C〕；〔Ⅱ〕假设a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．15．△ABC的角A、B、C所对的边分别为a，b，c．〔Ⅰ〕假设a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin〔A+C〕；〔Ⅱ〕假设a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．16．四边形ABCD的角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．〔1〕求C和BD；〔2〕求四边形ABCD的面积．17．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin〔A+C〕=8sin2．〔1〕求cosB；〔2〕假设a+c=6，△ABC的面积为2，求b．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b+c=2acosB．〔1〕证明：A=2B；〔2〕假设cosB=，求cosC的值．19．设△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．〔Ⅰ〕证明：B﹣A=；〔Ⅱ〕求sinA+sinC的取值围．20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB=，sin〔A+B〕=，ac=2，求sinA和c的值．21．设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．〔Ⅰ〕证明：sinB=cosA；〔Ⅱ〕假设sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．〔1〕求；〔2〕假设AD=1，DC=，求BD和AC的长．23．a，b，c分别是△ABC角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．〔Ⅰ〕假设a=b，求cosB；〔Ⅱ〕设B=90°，且a=，求△ABC的面积．24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC〔Ⅰ〕求．〔Ⅱ〕假设∠BAC=60°，求∠B．25．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a﹣c=b，sinB=sinC，〔Ⅰ〕求cosA的值；〔Ⅱ〕求cos〔2A﹣〕的值．26．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=3，cosA=，B=A+．〔Ⅰ〕求b的值；〔Ⅱ〕求△ABC的面积．27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．〔1〕假设sin〔A+〕=2cosA，求A的值．〔2〕假设cosA=，b=3c，求sinC的值．28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，3acosA=ccosB+bcosC〔1〕求cosA的值〔2〕假设a=1，cosB+cosC=，求边c的值．29．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．〔1〕求角B的大小；〔2〕假设b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．〔Ⅰ〕求cosA的值；〔Ⅱ〕求c的值．三角函数与解三角形高考试题精选参考答案与试题解析一．解答题〔共31小题〕1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2〔tanA+tanB〕=+．〔Ⅰ〕证明：a+b=2c；〔Ⅱ〕求cosC的最小值．【解答】解：〔Ⅰ〕证明：由得：；∴两边同乘以cosAcosB得，2〔sinAcosB+cosAsinB〕=sinA+sinB；∴2sin〔A+B〕=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC〔1〕；根据正弦定理，；∴，带入〔1〕得：；∴a+b=2c；〔Ⅱ〕a+b=2c；∴〔a+b〕2=a2+b2+2ab=4c2；∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；又a，b＞0；∴；∴由余弦定理，=；∴cosC的最小值为．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．asinA=4bsinB，ac=〔a2﹣b2﹣c2〕．〔Ⅰ〕求cosA的值；〔Ⅱ〕求sin〔2B﹣A〕的值．【解答】〔Ⅰ〕解：由，得asinB=bsinA，又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，两式作比得：，∴a=2b．由，得，由余弦定理，得；〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕，可得，代入asinA=4bsinB，得．由〔Ⅰ〕知，A为钝角，那么B为锐角，∴．于是，，故．3．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosC〔acosB+bcosA〕=c．〔Ⅰ〕求C；〔Ⅱ〕假设c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：〔Ⅰ〕∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0等式利用正弦定理化简得：2cosC〔sinAcosB+sinBcosA〕=sinC，整理得：2cosCsin〔A+B〕=sinC，即2cosCsin〔π﹣〔A+B〕〕=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；〔Ⅱ〕由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴〔a+b〕2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴〔a+b〕2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．cosA=，sinB=C．〔1〕求tanC的值；〔2〕假设a=，求△ABC的面积．【解答】解：〔1〕∵A为三角形的角，cosA=，∴sinA==，又cosC=sinB=sin〔A+C〕=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，整理得：cosC=sinC，那么tanC=；〔2〕由tanC=得：cosC====，∴sinC==，∴sinB=cosC=，∵a=，∴由正弦定理=得：c===，那么S△ABC=acsinB=×××=．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．〔Ⅰ〕证明：sinAsinB=sinC；〔Ⅱ〕假设b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【解答】〔Ⅰ〕证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin〔A+B〕=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，〔Ⅱ〕解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．6．在△ABC中，AB=2，AC=3，A=60°．〔1〕求BC的长；〔2〕求sin2C的值．【解答】解：〔1〕由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，所以BC=．〔2〕由正弦定理可得：，那么sinC===，∵AB＜BC，BC=，AB=2，角A=60°，在三角形ABC中，大角对大边，大边对大角，＞2，∴角C＜角A，角C为锐角．sinC＞0，cosC＞0那么cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．〔Ⅰ〕求a和sinC的值；〔Ⅱ〕求cos〔2A+〕的值．【解答】解：〔Ⅰ〕在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC 的面积为3，可得：，可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，，解得sinC=；〔Ⅱ〕cos〔2A+〕=cos2Acos﹣sin2Asin==．8．△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=〔a，b〕与=〔cosA，sinB〕平行．〔Ⅰ〕求A；〔Ⅱ〕假设a=，b=2，求△ABC的面积．【解答】解：〔Ⅰ〕因为向量=〔a，b〕与=〔cosA，sinB〕平行，所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB ≠0，所以tanA=，可得A=；〔Ⅱ〕a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面积为：=．9．设△ABC的角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC 的面积为，求cosA与a的值．【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．〔Ⅰ〕求sin∠CED的值；〔Ⅱ〕求BE的长．【解答】解：〔Ⅰ〕设α=∠CED，在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，即7=CD2+1+CD，那么CD2+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，〔舍去〕，在△CDE中，由正弦定理得，那么sinα=，即sin∠CED=．〔Ⅱ〕由题设知0＜α＜，由〔Ⅰ〕知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos〔〕=cos cosα+sin sinα=，在Rt△EAB中，cos∠AEB=，故BE=．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b+c=2acosB．〔Ⅰ〕证明：A=2B；〔Ⅱ〕假设△ABC的面积S=，求角A的大小．【解答】〔Ⅰ〕证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∴sinB+sin〔A+B〕=2sinAcosB∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin〔A﹣B〕∵A，B是三角形中的角，∴B=A﹣B，∴A=2B；〔Ⅱ〕解：∵△ABC的面积S=，∴bcsinA=，∴2bcsinA=a2，∴2sinBsinC=sinA=sin2B，∴sinC=cosB，∴B+C=90°，或C=B+90°，∴A=90°或A=45°．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=，b2﹣a2=c2．〔1〕求tanC的值；〔2〕假设△ABC的面积为3，求b的值．【解答】解：〔1〕∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈〔0，π〕，∴sinC==．∴tanC==2．或由A=，b2﹣a2=c2．可得：sin2B﹣sin2A=sin2C，∴sin2B﹣=sin2C，∴﹣cos2B=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴sin2C=sin2C，∴tanC=2．〔2〕∵=×=3，解得c=2．∴=3．13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．〔Ⅰ〕假设a=2，b=，求cosC的值；〔Ⅱ〕假设sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b 的值．【解答】解：〔Ⅰ〕∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣〔a+b〕=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；〔Ⅱ〕由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin〔A+B〕=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得：a=b=3．14．△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．〔Ⅰ〕假设a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin〔A+C〕；〔Ⅱ〕假设a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．【解答】解：〔Ⅰ〕∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，∵sinB=sin[π﹣〔A+C〕]=sin〔A+C〕，∴sinA+sinC=2sinB=2sin〔A+C〕；〔Ⅱ〕∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∴cosB==≥=，当且仅当a=c时等号成立，∴cosB的最小值为．15．△ABC的角A、B、C所对的边分别为a，b，c．〔Ⅰ〕假设a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin〔A+C〕；〔Ⅱ〕假设a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．【解答】解：〔Ⅰ〕∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，∵sinB=sin[π﹣〔A+C〕]=sin〔A+C〕，那么sinA+sinC=2sin〔A+C〕；〔Ⅱ〕∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，将c=2a代入得：b2=2a2，即b=a，∴由余弦定理得：cosB===．16．四边形ABCD的角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．〔1〕求C和BD；〔2〕求四边形ABCD的面积．【解答】解：〔1〕在△BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，那么C=60°，BD=；〔2〕∵cosC=，cosA=﹣，∴sinC=sinA=，那么S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．17．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin〔A+C〕=8sin2．〔1〕求cosB；〔2〕假设a+c=6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解：〔1〕sin〔A+C〕=8sin2，∴sinB=4〔1﹣cosB〕，∵sin2B+cos2B=1，∴16〔1﹣cosB〕2+cos2B=1，∴16〔1﹣cosB〕2+cos2B﹣1=0，∴16〔cosB﹣1〕2+〔cosB﹣1〕〔cosB+1〕=0，∴〔17cosB﹣15〕〔cosB﹣1〕=0，∴cosB=；〔2〕由〔1〕可知sinB=，∵S△ABC=ac•sinB=2，∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=〔a+c〕2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b+c=2acosB．〔1〕证明：A=2B；〔2〕假设cosB=，求cosC的值．【解答】〔1〕证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∵sinC=sin〔A+B〕=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin〔A﹣B〕，由A，B∈〔0，π〕，∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣〔A﹣B〕，化为A=2B，或A=π〔舍去〕．∴A=2B．〔II〕解：cosB=，∴sinB==．cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．∴cosC=﹣cos〔A+B〕=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．19．设△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．〔Ⅰ〕证明：B﹣A=；〔Ⅱ〕求sinA+sinC的取值围．【解答】解：〔Ⅰ〕由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin〔+A〕又B为钝角，∴+A∈〔，π〕，∴B=+A，∴B﹣A=；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知C=π﹣〔A+B〕=π﹣〔A++A〕=﹣2A＞0，∴A∈〔0，〕，∴sinA+sinC=sinA+sin〔﹣2A〕=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2〔sinA﹣〕2+，∵A∈〔0，〕，∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2〔sinA﹣〕2+≤∴sinA+sinC的取值围为〔，]20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB=，sin〔A+B〕=，ac=2，求sinA和c的值．【解答】解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，ccosB=，sin〔A+B〕=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以sinA+cosA=①，结合平方关系sin2A+cos2A=1②，由①②解得27sin2A﹣6sinA﹣16=0，解得sinA=或者sinA=﹣〔舍去〕；②由正弦定理，由①可知sin〔A+B〕=sinC=，sinA=，所以a=2c，又ac=2，所以c=1．21．设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．〔Ⅰ〕证明：sinB=cosA；〔Ⅱ〕假设sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．【解答】解：〔Ⅰ〕证明：∵a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：，又tanA=，∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．〔Ⅱ〕∵sinC=sin[π﹣〔A+B〕]=sin〔A+B〕=sinAcosB+cosAsinB，∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由〔1〕sinB=cosA，∴sin2B=，∵0＜B＜π，∴sinB=，∵B为钝角，∴B=，又∵cosA=sinB=，∴A=，∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=．22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．〔1〕求；〔2〕假设AD=1，DC=，求BD和AC的长．【解答】解：〔1〕如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分〔2〕由〔1〕知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，那么AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．23．a，b，c分别是△ABC角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．〔Ⅰ〕假设a=b，求cosB；〔Ⅱ〕设B=90°，且a=，求△ABC的面积．【解答】解：〔I〕∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：＞0，代入可得〔bk〕2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．〔II〕由〔I〕可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=，∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=．∴S△ABC==1．24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC 〔Ⅰ〕求．〔Ⅱ〕假设∠BAC=60°，求∠B．【解答】解：〔Ⅰ〕如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；〔Ⅱ〕∵∠C=180°﹣〔∠BAC+∠B〕，∠B AC=60°，∴，由〔Ⅰ〕知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=30°．25．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a﹣c=b，sinB=sinC，〔Ⅰ〕求cosA的值；〔Ⅱ〕求cos〔2A﹣〕的值．【解答】解：〔Ⅰ〕将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；〔Ⅱ〕∵cosA=，A为三角形角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，那么cos〔2A﹣〕=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．26．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=3，cosA=，B=A+．〔Ⅰ〕求b的值；〔Ⅱ〕求△ABC的面积．【解答】解：〔Ⅰ〕∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin〔A+〕=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．〔Ⅱ〕∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin〔π﹣A﹣B〕=sin〔A+B〕=sinAcosB+cosAsinB=×〔﹣〕+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．〔1〕假设sin〔A+〕=2cosA，求A的值．〔2〕假设cosA=，b=3c，求sinC的值．【解答】解：〔1〕因为，所以sinA=，所以tanA=，所以A=60°〔2〕由及a2=b2+c2﹣2bccosA得a2=b2﹣c2故△ABC是直角三角形且B=所以sinC=cosA=28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，3acosA=ccosB+bcosC〔1〕求cosA的值〔2〕假设a=1，cosB+cosC=，求边c的值．【解答】解：〔1〕由余弦定理可知2accosB=a2+c2﹣b2；2abcosc=a2+b2﹣c2；代入3acosA=ccosB+bcosC；得cosA=；〔2〕∵cosA=∴sinA=cosB=﹣cos〔A+C〕=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣cosC+sinC ③又cosB+cosC=代入③cosC+sinC=，与cos2C+sin2C=1联立解得sinC=a=1正弦定理：c===29．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．〔1〕求角B的大小；〔2〕假设b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．【解答】解：〔1〕∵bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB=cosB，B∈〔0，π〕，可知：cosB≠0，否那么矛盾．∴tanB=，∴B=．〔2〕∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴9=a2+c2﹣ac，把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，∴．30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．〔Ⅰ〕求cosA的值；〔Ⅱ〕求c的值．【解答】解：〔Ⅰ〕由条件在△ABC中，a=3，，∠B=2∠A，利用正弦定理可得，即=．解得cosA=．〔Ⅱ〕由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即9=+c2﹣2×2×c×，即c2﹣8c+15=0．解方程求得c=5，或c=3．当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得B=90°，A=C=45°，△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去．当c=5时，求得cosB==，cosA==，∴cos2A=2cos2A﹣1==cosB，∴B=2A，满足条件．综上，c=5．。

高考数学模拟试卷复习试题三角函数和解三角形

高考模拟复习试卷试题模拟卷三角函数与三角形6

高考模拟复习试卷试题模拟卷三角函数与三角形一．基础题组1.(镇安中学高三月考、文、6）,3)4tan(-=+πθ若，则sin 21cos 2θθ=+()A. 1B ．1C. 2D ．2【答案】D 【解析】试题分析：∵tan()34πθ+=-，∴tan 131tan θθ+=--，∴tan 2θ=，∴2sin 22sin cos tan 21cos 22cos θθθθθθ===+. 考点：两角和的正切公式、二倍角公式.2.(云南师大附中高考适应性考试、文、3）若12cos 13x =，且x 为第四象限的角，则tanx=（） A 、125 B 、－125 C 、512 D 、－512【答案】D 【解析】试题分析：∵x 为第四象限的角，25sin 1cos 13x x =--=-∴，于是5513tan 121213x -==-，故选D ．考点：商数关系.3.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、6）若函数cos 2y x =与函数sin()y x ϕ=+在[0,]2π上的单调性相同，则ϕ的一个值为( )A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】D 【解析】考点：三角函数的单调性.4.（广州六中等六校高三第一次联考、文、3）已知cos cos 2tan sin sin ααααα+=+,则的值为（） A ．﹣1B ．﹣2C ．12D ．2 【答案】D 【解析】试题分析：∵sin cos 2αα+=，∴2(sin cos )2αα+=，∴1sin cos 2αα=， ∴cos sin cos 1tan 2sin cos sin sin cos ααααααααα+=+==. 考点：平方关系、商数关系.5.（重庆巴蜀中学高级高三第二次月考、文、4）在ΔABC 中，若(tanB+tanC)=tanBtanC−1，则sin2A=（） A 、−32 B 、32 C 、−12 D 、12【答案】B 【解析】考点：三角恒等变换.6.（惠州市高三调研、文、5）ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若7,3,2,a b c A ===∠则＝（）．（A ）O30（B ）O45（C ）O60（D ）O90 【答案】C 【解析】试题分析：由余弦定理2229471cos 22322b c a A bc +-+-===⨯⨯，又由(0,)A π∈，得603A π==︒，故选C ．考点：余弦定理.7.(嘉积中学高三下学期测试、文、5）若tan 3α=，则2sin 2cos αα的值为（） A ．2B ．3C ．4D ．6 【答案】D 【解析】试题分析：原式=6tan 2cos cos sin 22==αααα 考点：三角函数的化简名师点睛：对于这类分式形式，上下是关于正弦和余弦的齐次形式，考虑上下同时除以x ncos ，转化为x tan 的形式求值.8.（重庆巴蜀中学高级高三第二次月考、文、7）要得到函数y=sin(x+6π)的图像，只需要将函数y=cosx 的图像（） A 、向左平移3π个单位 B 、向左平移6π个单位 C 、向右平移3π个单位 D 、向右平移6π个单位【答案】C考点：函数图象的平移变换.9.（大庆铁人中学高三第一阶段考试、文、4）角α的终边过点(1,2)P -，则sin α等于() A.55B.55 C ．55- D ．255-【答案】B 【解析】试题分析：∵角α的终边过点(1,2)P -，∴||5r OP ==，∴25sin 5α==考点：任意角的三角函数的定义.10.（广州市荔湾区高三调研测试、文、13）已知(0,)απ∈，4cos 5α=，则sin()πα-=．【答案】35【解析】考点：同角三角函数关系式，诱导公式. 11.（惠州市高三调研、文、13）若3sin()25πα+=，则cos2α=．【答案】725- 【解析】试题分析：33sin()cos 255παα+=⇒=，则cos2α=272cos 125α-=-．考点：诱导公式、倍角公式与同角三角函数关系.12.（实验中学高三上学期第一次模拟、文、17）四边形ABCD 的内角A 与内角C 互补，132AB ,BC ,CD AD .（Ⅰ）求角C 的大小及线段BD 长；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积. 【答案】（1）060C =，7BD =；（2）23【解析】试题分析：本题主要考查余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，连结BD ，在ABD ∆和CBD ∆中，利用余弦定理列等式2222cos BD BC CD BC CD C =+-••和2222cos BD AB DA AB DA A =+-••，且cos cos C A =-，代入数据得1312cos 54cos C C -=+，求cos C 的值，进而求C 和BD 的值；第二问，由第一问知ABD ∆和CBD ∆的面积可求，故四边形ABCD 等于ABD ∆和CBD ∆的面积.试题解析：（1）由题设及余弦定理得：2222cos 1312cos BD BC CD BC CD C C =+-••=-，①，2222cos 54cos BD AB DA AB DA A C =+-••=+，②，由①②得：1cos 2C =，故060C =，7BD =（2）四边形ABCD 的面积11sin sin 22S AB DA A BC CD C =••+•， 011(1232)sin 602322S =⨯⨯+⨯⨯=.考点：余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积.13.（宁夏银川一中高三模拟考试、文、17）如图，在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C 处．(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？【答案】（1）302；（2）1339+ 【解析】试题解析：(1)在Rt △PAB 中，∠APB=60° PA=1，∴AB=3 (千米)在Rt △PAC 中，∠APC=30°，∴AC=33(千米)…………3分在△ACB 中，∠CAB=30°+60°=90°…….6分(2)∠DAC=90°－60°=30°，sin ∠DCA=sin(180°－∠ACB)=sin ∠ACB=101033303==BCABsin ∠CDA=sin(∠ACB －30°)=sin ∠ACB ·cos30°－cos ∠ACB ·sin30°10103=. 2010)133()10103(121232-=-⋅-，在△ACD 中，据正弦定理得CDAAC DCA AD sin sin =， ∴答：此时船距岛A 为1339+千米…………..12分考点：三角函数实际应用二．能力题组1.（合肥市第八中学高三阶段考试、文、4）把函数sin()3y x π=+图象上所有点向右平移3π个单位，再将所得图象的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），得图象的解析式是sin()(0,)y x ωϕωϕπ=+><，则()1.,23A πωϕ==-.2,3B πωϕ==.2,0C ωϕ==2.2,3D πωϕ== 【答案】C 【解析】考点：图像变换，左右平移和伸缩变换。

高考模拟复习试卷试题模拟卷高三数学专题一三角解答题

高考模拟复习试卷试题模拟卷高三数学专题一三角解答题三角函数与三角恒等变换综合题【背一背重点知识】1.熟悉诱导公式、同角关系式、两角和与差、倍角公式是化简求值的关键2.熟悉三角函数的图像是解决有关性质问题的前提3.切化弦、变角处理是三角化简与求值的常用手段【讲一讲提高技能】1.必备技能：高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数的性质之中.常需要利用这些公式，先把函数解析式化为B x A y ++=)sin(ϕω的形式，再进一步讨论其定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性和对称性等性质.2.典型例题：例1已知函数()sin cos (0)f x x a x ωωω=+>满足(0)3f =，且()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为π.（1）求a 与ω的值；（2）若()1f α=，(,)22ππα∈-，求5cos()12πα-的值.例2已知函数()23sin()cos()sin 244f x x x x a ππ=++++的最大值为1．（12分）（Ⅰ）求常数a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）若将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．【练一练提升能力】1.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点11()A x y ，在单位圆O 上，xOA α∠=，且62ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．（1）若11cos()313πα+=-，求1x 的值；（2）若22()B x y ，也是单位圆O 上的点，且3AOB π∠=．过点A B 、分别做x 轴的垂线，垂足为C D 、，记AOC ∆的面积为1S ，BOD ∆的面积为2S ．设()12f S S α=+，求函数()f α的最大值．2. 已知函数()23cos sin 3cos 34f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭，x R ∈. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值.三角函数与平面向量综合题【背一背重点知识】1.向量是具有大小和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问题时要注意数形结合思想的应用2.向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以实现与三角函数无缝对接.3.两向量平行与垂直关系、向量数量积、向量的模等知识点是与三角函数知识的交汇点【讲一讲提高技能】1必备技能：等价转化能力，主要是将向量形式的条件等价转化为三角函数的等量关系，再利用三角恒等变换实现解决问题目的，如,0,:://a 21212211=+⇔⊥=⇔y y x x b a y x y x b.||,21212121y x a y y x x b a +=+=⋅2典型例题：例1已知向量))4cos(3),4(sin(ππ+-+=x x m ，))4cos(),4(sin(ππ-+=x x n ，函数n m x f ⋅=)(，xyOAB C DR x ∈.（1）求函数)(x f y =的图像的对称中心坐标；（2）将函数)(x f y =图像向下平移21个单位，再向左平移3π个单位得函数)(x g y =的图像，试写出)(x g y =的解析式并作出它在5[,]66ππ-上的图像. 例2已知向量)sin ,1(x a =，b ＝)sin ),32(cos(x x π+，函数x b a x f 2cos 21)(-⋅=，（1）求函数()x f 的解析式及其单调递增区间；（2）当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π时，求函数()x f 的值域．【练一练提升能力】1.已知(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==．（1）若67πβα=-，求a b ⋅的值；（2）若4,58a b πα⋅==，且⎪⎭⎫⎝⎛-∈-0,2πβα，求tan()αβ+的值． 2. 如图，以坐标原点O 为圆心的单位圆与x 轴正半轴相交于点A ，点,B P 在单位圆上，且525(,),.55B AOB α-∠=（1）求4cos 3sin 5cos 3sin -+αααα的值；（2）设AOP ∠=2(),63πθθπ≤≤OQ OA OP =+，四边形OAQP 的面积为S ， 2()(1)21f OA OQ S θ=⋅-+-，求()f θ的最值及此时θ的值．三角函数与三角形综合题【背一背重点知识】1.正余弦定理，三角形面积公式2.根据已知条件，正确合理选用正余弦定理.一般已知两角用正弦定理，已知一角求边用余弦定理3.关注三角形中隐含条件，如.sin sin ,cos )cos(,sin )sin(,B A B A C B A C B A C B A >⇔>-=+=+=++π【讲一讲提高技能】1必备技能：等价变形是应用三角函数解三角形时的注意点.大边对大角，在三角形中等价为大角对大正弦值.在解三角形时，由正弦值求角时一定要注意角的取值范围，否则易出现增根或失根.在三角形中求三角函数最值或取值范围更要挖掘三角形中隐含条件，密切注意角的范围对三角函数值的影响. 2典型例题：例1 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，已知3,2π==C c .(1)若ABC ∆的面积等于3，求b a ,；(2)若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，a b <且，求ABC ∆的面积.例2在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()2cos 14cos cos B C B C -+=．（1）求A ；（2）若7a =ABC ∆的面积3b c +．【练一练提升能力】1. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知,3a b c ≠=，22cos -cos 3sin cos -3sin cos .A B A A B B =（1）求角C 的大小；（2）若4sin 5A =，求ABC ∆的面积. 2. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 2cos a C c A b A ⋅+⋅=⋅．（1）求角A 的大小；（2）求函数)6sin(sin 3π-+=C B y 的值域．三角形与向量综合题【背一背重点知识】1.三角形中的边长与内角和向量的模及夹角的对应关系2.向量加法、减法、投影、数量积、共线等几何意义在三角形中体现3.正余弦定理、面积公式中边长及角与涉及向量模及夹角关系【讲一讲提高技能】1必备技能：若P 分AB 所成比为λ，则111CP CA CB λλλ=+++;若,1CP mCA nCB m n =++=，则,,A P B 三点关线.,a b 夹角为钝角的充要条件是0a b ⋅<且,a b 不反向；同样,a b 夹角为锐角的充要条件是0a b ⋅>且,a b 不同向.2典型例题：例1已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且有(2)cos cos a c B b C -=. ⑴求角B 的大小；⑵设向量()()4,5,4cos 3,12cos =-+=n A A m ,且n m ⊥，求tan()4A π+的值. 例2 设△ABC 的面积为S ，且230S AB AC +⋅=. （1）求角A 的大小；（2）若||3BC =，且角B 不是最小角，求S 的取值范围．【练一练提升能力】1.设锐角△ABC 的三内角,,A B C 的对边分别为 ,,a b c ．（1）设向量m (1,sin 3cos )A A =+ ，n 3(sin ,)2A = ，若m 与n 共线，求角A 的大小．（2）若2a =，43sin cB =，且△ABC 的面积小于3，求角B 的取值范围． 2. 已知函数()f x m n =⋅，其中(sin cos ,3cos )m x x x ωωω=+，(cos sin ,2sin )(0)n x x x ωωωω=->．若函数()f x 相邻两对称轴的距离等于2π．（1）求ω的值；并求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若()1,3,3f A a b c ==+=()b c >，求边b 、c 的长．解答题（共10题）1.已知向量(sin ,sin ),(cos ,cos ),sin 2,m A B n B A m n C ==⋅=且A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角．（1）求角C 的大小；（2）若sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，且()18CA AB AC ⋅-=，求c 边的长． 2. 已知向量()()2cos ,3sin ,cos ,2cos a x x b x x ==-，设函数()f x a b =⋅. （1）求()f x 的单调增区间；（2）若tan 2α=,求 ()f α的值．3.在平面直角坐标系中，点)cos ,21(2θP 在角α的终边上，点)1,(sin 2-θQ 在角β的终边上，且21-=⋅OQOP．（1）求θ2cos的值；（2）求)sin(βα+的值．4. 某同学用“五点法”画函数()sin()(0,0,||)2f x A x B Aπωϕωϕ=++>><在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表:（Ⅰ）请求出上表中的123,,x x x，并直接写出函数()f x的解析式；（Ⅱ）将()f x的图象沿x轴向右平移23个单位得到函数()g x，若函数()g x在[0,]x m∈（其中(2,4)m∈）上的值域为[3,3]-，且此时其图象的最高点和最低点分别为,P Q，求OQ与QP夹角θ的大小.5.已知ABC∆的面积为S，且AB AC S⋅=．（1）求A2tan的值；（2）若4π=B，3CB CA-=，求ABC∆的面积S．6. 已知向量a()3sin,cosx x=，b()cos,cosx x=，()2f x=a b1-．(1)求函数()f x的单调递减区间及其图象的对称轴方程；(2)当[]0,xπ∈时，若()1f x=-，求x的值．7. 如图，在△ABC中，ACB∠为钝角，π2,2,6AB BC A===．D为AC延长线上一点，且31CD=．DCB（Ⅰ）求BCD∠的大小；（Ⅱ）求BD 的长及△ABC 的面积．8. 已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像经过点π(,1)12．（1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，若222a b c ab +-=，且π2()2122A f +=．求sinB ． 9. 已知函数()2cos(2)2cos 13f x x x π=+-+．（1）试将函数()f x 化为()sin()(0)f x A x B ωϕω=++>的形式，并求该函数的对称中心；（2）若锐角ABC ∆中角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且()0f A =，求bc的取值范围 10. 已知向量(2sin ,sin )a x x =，(sin ,23cos )b x x =，函数()f x a b =⋅ （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos a B b C c B =+，若对任意满足条件的A ，不等式()f A m >恒成立，求实数m的取值范围．高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，，（2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

高考数学真题专题四三角函数与解三角形第十一讲三角函数的综合应用答案

专题四三角函数与解三角形第十一讲三角函数的综合应用答案部分1．C【解析】由题意可得d ====（其中cos ϕ=，sin ϕ=），∵1sin()1θϕ--≤≤,d ≤1=+∴当0m =时，d 取得最大值3，故选C ． 2．B 【解析】由于21cos2()sin sin sin 2xf x x b x c b x c -=++=++．当0b =时，()f x 的最小正周期为π；当0b ≠时，()f x 的最小正周期2π；c 的变化会引起()f x 的图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B ．注：在函数()()()f x h x g x =+中，()f x 的最小正周期是()h x 和()g x 的最小正周期的公倍数．3．C 【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 4．D 【解析】对于A ，当4x π=或54π时，sin 2x 均为1，而sin x 与2x x +此时均有两个值，故A 、B 错误；对于C ，当1x =或1x =-时，212x +=，而|1|x +由两个值，故C 错误，选D ．5．B【解析】由于(0)2,()1()()424f f f f ===πππ，故排除选项C 、D ；当点P 在BC上时，()tan )4f x BP AP x x =+=π≤≤．不难发现()f x 的图象是非线性，排除A ．6．C 【解析】由题意知，()|cos |sin f x x x =⋅，当[0,]2x π∈时，1()sin cos sin 22f x x x x ==；当(,]2x ππ∈时，1()cos sin sin 22f x x x x =-=-，故选C ． 7．A【解析】由223301sin()cos()|cos cos 02x dx x ππϕϕϕϕϕ-=--=+=⎰，得tan ϕ=()3k k Z πϕπ=+∈，所以()sin()()3f x x k k Z ππ=--∈，由正弦函数的性质知sin()3y x k ππ=--与sin()3y x π=-的图象的对称轴相同，令32x k πππ-=+，则5()6x k k Z ππ=+∈，所以函数()f x 的图象的对称轴为5()6x k k Z ππ=+∈，当0k =，得56x π=，选A ． 81【解析】22cos sin 2)14x x x π+++，所以 1.A b ==9．7【解析】画出函数图象草图，共7个交点．10．12【解析】∵∥a b ，∴2sin 2cos θθ=，∴22sin cos cos θθθ=，∵(0,)2πθ∈，∴1tan 2θ=．11．（1）3；（2）4π【解析】（1）()y f x '=cos()x ωωϕ=+，当6πϕ=，点P的坐标为（0，2）时cos 362πωω=∴=；（2）曲线()y f x '=cos()x ωωϕ=+的半周期为πω，由图知222T AC ππωω===， 122ABC S AC πω=⋅=V ，设,A B 的横坐标分别为,a b ．设曲线段¼ABC 与x 轴所围成的区域的面积为S 则()()sin()sin()2bb aaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰，由几何概型知该点在△ABC 内的概率为224ABC S P S ππ===V ． 12．【解析】(1)连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．θHE KGNM PO ABC D过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以COE θ∠=，故40cos OE θ=，40sin EC θ=，则矩形ABCD 的面积为240cos (40sin 10)800(4sin cos cos )θθθθθ⨯+=+，CDP ∆的面积为1240cos (4040sin )1600(cos sin cos )2θθθθθ⨯⨯-=-．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则10GK KN ==．令0GOK θ∠=，则01sin 4θ=，0(0,)6πθ∈．当0[,)2πθθ∈时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是1[,1)4．答：矩形ABCD 的面积为800(4sin cos cos )θθθ+平方米，CDP ∆的面积为1600(cos sin cos )θθθ-，sin θ的取值范围是1[,1)4．(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (0)k >，则年总产值为4800(4sin cos cos )31600(cos sin cos )k k θθθθθθ⨯++⨯-8000(sin cos cos )k θθθ=+，0[,)2πθθ∈．设()sin cos cos f θθθθ=+，0[,)2πθθ∈，则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ'=--=-+-=--+．令()0f θ'=，得π6θ=，当0(,)6πθθ∈时，()>0f θ′，所以()f θ为增函数；当(,)62ππθ∈时，()<0f θ′，所以()f θ为减函数，因此，当π6θ=时，()f θ取到最大值．答：当π6θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．13．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处．因为107AC =，40AM =．所以2240(107)30MN =-=，从而3sin 4MAC ∠=．记AM 与水平的交点为1P ，过1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足，则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =，从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，1O 是正棱台的两底面中心. 由正棱台的定义，1OO ⊥平面 EFGH ，所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1OO ⊥EG . 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，1OO ⊥11E G . 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处.过G 作GK ⊥11E G ，K 为垂足，则GK =1OO =32. 因为EG = 14，11E G = 62，所以1KG =6214242-=，从而140GG ===. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠.因为2απ<<π，所以3cos 5α=-.在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=. 因为02βπ<<，所以24cos 25β=. 于是sin sin()sin()sin cos cos sin NEG αβαβαβαβ=π--=+=+∠42473(35)525255=⨯+-⨯=. 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则 22P Q ⊥平面EFGH ，故22P Q =12，从而 2EP =2220sin P NEGQ =∠.答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)14．【解析】（Ⅰ）由题意1cos(2)12()sin 222x f x x π++=-x x 2sin 21212sin 21+-= 212sin -=x ．由ππππk x k 22222+≤≤+-(Z k ∈)，可得ππππk x k +≤≤+-44(Z k ∈)；由ππππk x k 223222+≤≤+(Z k ∈)，得ππππk x k +≤≤+434(Z k ∈)；所以)(x f 的单调递增区间是]4,4[ππππk k ++-（Z k ∈）；单调递减区间是]43,4[ππππk k ++（Z k ∈）．（Ⅱ）1()sin 022A f A =-=Q ，1sin 2A ∴=，由题意A 是锐角，所以 cos 2A =．由余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=，可得2212b c bc =+≥32321+=-≤∴bc ，且当c b =时成立．2sin 4bc A ∴≤．ABC ∆∴面积最大值为432+．15．【解析】（Ⅰ）因为1()102(cos sin )102sin()212212123f t t t t ππππ--+--+，又240<≤t ，所以373123ππππ<+≤t ，1)312sin(1≤+≤-ππt ，当2=t 时，1)312sin(=+ππt ；当14=t 时，1)312sin(-=+ππt ；于是)(t f 在)24,0[上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12C ︒，最低温度为8C ︒，最大温差为4C ︒ （Ⅱ）依题意，当11)(>t f 时实验室需要降温. 由（Ⅰ）得)312sin(210)(ππ+-=t t f ，所以11)312sin(210>+-ππt ，即1sin()1232t ππ+<-，又240<≤t ，因此61131267ππππ<+<t ，即1810<<t ，故在10时至18时实验室需要降温.16．【解析】（1）Q c b a ，，成等差数列，2a c b ∴+= 由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+Q()sin sin 2sin A C A C ∴+=+（2）Q c b a ，，成等比数列，22b ac ∴=由余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==== 222a c ac +≥Q （当且仅当a c =时等号成立） 2212a c ac+∴≥（当且仅当a c =时等号成立）2211112222a c ac +∴-≥-=（当且仅当a c =时等号成立）即1cos 2B ≥，所以B cos 的最小值为1217．【解析】（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω=又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π，(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=，得2πϕ=，所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =（Ⅱ）当(,)64x ππ∈时，1sin 22x <<，10cos 22x <<，所以sin cos2sin cos2x x x x >>．问题转化为方程2cos2sin sin cos2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<，()042G π=>且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ，即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意．（Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况令cos 2()sin xh x x=-，(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0h x '=，得2x π=或32x π=．当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点；当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点；当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，所以67121342n =⨯=综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点。

高考数学模拟试卷复习试题三角函数和解三角形正弦定理和余弦定理的应用5

高考数学模拟试卷复习试题三角函数和解三角形正弦定理和余弦定理的应用一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为() A.1762海里/小时 B ．346海里/小时C.1722海里/小时 D ．342海里/小时 2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()A ．5海里B ．53海里C ．10海里D ．103海里3．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为()A ．15米B ．5米C ．10米D ．12米4．如图所示，要测量河对岸A ，B 两点间的距离，今沿河对岸选取相距40米的C ，D 两点，测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，∠ADC ＝30°，则AB 的距离是()A．402米B．202米C．203米D．206米5．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为()A．a km B．3a kmC.2a km D．2a km6．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°7．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为 ()A ．502mB ．503mC ．252m D.2522m 8．已知A 、B 两地间的距离为10km ，B 、C 两地间的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°，则A 、C 两地间的距离为()A ．10km B.3kmC ．105kmD ．107km9．一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mile 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时()A ．5n mileB ．53n mileC ．10n mileD ．103n mile10．为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼顶D 处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，那么塔AB 的高度是()A ．20⎝⎛⎭⎫1＋33mB ．20⎝⎛⎭⎫1＋32mC ．20(1＋3)mD ．30m11．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 到C 距离为2km ，B 船在灯塔C 北偏西40°，A B 两船距离为3km ，则B 到C 的距离为()A.19km B ．(6－1)kmC ．(6＋1)km D.7km12．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为()A.1762n mile/h B ．346n mile/h C.1722n mile/h D ．342n mile/h二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

高考数学模拟考试卷十一含解析

高考数学模拟考试卷（十一）一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合{1A =-,2},{|10B x mx =-=,}m R ∈,若A B A =,则所有符合条件的实数m 组成的集合是( ) A ．1{,0,1}2-B ．{1-,0,2}C ．{1-,2}D ．1{1,0,}2-2．（5分）已知复数z 满足(1)(1)i z i +=-,则复数z 的模||(z = ) A ．0B ．1C ．2D ．23．（5分）5(2)()x y x y ++的展开式中33x y 的系数为( ) A ．10B ．20C ．30D ．404．（5分）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图,其对应的函数可能是( )A ．1()|1|f x x =- B ．1()|||1|f x x =-C ．21()1f x x =- D ．21()1f x x =+ 5．（5分）电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10000次还能继续使用的概率是0.80,开关了15000次后还能继续使用的概率是0.60,则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是( ) A ．0.75B ．0.60C ．0.48D ．0.206．（5分）“lna lnb ”是“1122a b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）在公差为1的等差数列{}n a 中,已知1a t =,1nn n a ba =+,若对任意的正整数n ,9n b b 恒成立,则实数t 的取值范围是( ) A ．19(2-,9)- B ．(9,8)-- C ．19(10,)2--D ．(10,9)--8．（5分）在平面四边形ABCD 中,AB AD ⊥,BC CD ⊥,3ABC π∠=,2AD CD ==,若点E 为边AB 上的动点,则CE DE ⋅的最小值为( ) A ．214B ．254C ．12D ．6二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分。