2.5.2 向量在物理中的应用举例
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2.5.2向量在物理中的应用举例1
小结
物理问题 (实际问题）
向量问题 (数学模型)
解释和验证相 关物理现象
数学问题 的解决
答：行驶航程最短时，所用时间是3.1min.
（1）行驶航程最短,是否就是航程时间 最短呢? （2） V1的方向如何才能使航程时间最短?
思考题
已知船在静水中的速度是3km/h,它
要横渡30m的河流,已知水流的速度是 4km/h,思考: 1.这只船可以沿着垂直于河岸的航线 到达正对岸吗?
2.最短多少时间可以过河?
课堂小结
向量解决物理问题的一般步骤: (1)问题的转化：把物理问题转化为数学 问题； (2)模型的建立：建立以向量为主体的数 学模型； (3)参数的获得：求出数学模型的有关解 ——理论参数值； (4)问题的答案：回到问题的初始状态， 解决有相关物理现象.
练习.有两个向量 e1 (1, 0), e2 (0, 1), 今有动点P从P0 ( 1, 2)开始沿着与向量
e1 e2相同的方向做匀速运动 , 速度为 | e1 e2 |, 另有一动点Q , 从Q0 ( 2, 1) 开始沿着与 3e1 2e2相同的方向做匀速 运动, 速度为| 3e1 2e2 |, 设P、Q在时 刻t 0秒时分别在P0、Q0处 , 则当PQ P0Q0时，求 t 的值.
（1） θ为何值时， |F1|最小，最小值是 多少？ （2） |F1|能等于|G|吗？为什么？
例2
如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500m
一膄船从A处出发到河对岸。已知船的速度 v1 = 10km / h , 水流速度 v2 = 2km / h,问行驶航程最短时，所用时间是 多少(精确到0.1 min)?
分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的
2.5.2向量在物理中的应用举例
(1)(a
b)2
2
a
2a
b
2
b;
(2)(a
b)(a
b)
2
a
2
b.
题型探究
类型三 平面向量数量积的运算律
变例变式式3 已已已知知知|||aaa|||===666，，，|||bbb|||===444，，，aaa与与与bbb的的的夹夹夹 角角角θθθ===666000°°°，，，求求求(a(aa·++2bbb。))··((aa-b-3)b。)。
其中，a、b、c是任意三个向量， R
注：
(a
b)
c
a
(b
c)
合作探究：我们知道，对任a意,b R ，恒有
(a b)2 a2 2ab b2, (a b)(a b) a2 b2.
对任意向量 a, b, 是否也有下面类似的结论？
答案 返回
师生合作探究
一个物体，在力f的作用下产生位移S，如图． 问题1：力 f 在位移S方向上的分力的数值是多少？ 提示：|f|cos θ.
问题2：功又可以表述为？ 提示：力 f 在位移S方向上的分力大小与位移大小的乘积
问题3：向量b在a方向上的大小是多少？向量a在b方向上的 大小？
提示：|b|cosθ； |a|cos θ
反思与感 解析答案
例4.已知 | a | 3,| b | 4 ，且a 与b 不共线，k为何值时， 向量 a kb 与 a kb 互相垂直。
学习目标
1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下 产生位移s所做的功. 2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义. 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个 向量是否垂直.
2.5.2向量在物理中的应用举例 (3)
D
等边三角形，故 a与OD共线且模相等
所以：OD a,即有：a b c 0
例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提
一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上
运动，两臂夹角越小越省力！你能从数学的角度解释
这个现象吗？
F
分析：上述的问题跟如图所示的
是同个问题，抽象为数学模型如
F1
下：
用向量F1，F2，表示两个提力，它们 的合向量为F，物体的重力用向量G 来表示， F1，F2的夹角为θ，如右图 所示，只要分清F，G和θ三者的关系， 就得到了问题得数学解释！
F2 θ
G
解：不妨设 F1 = F2 ，由向量的 平行四
边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，
可以知道： G
F1
=
2.5.2 向量在物理中的应用举例
向量与物理学的联系
向量是从物理学中抽象出来的数学概念，在物 理中，通常被称为矢量！在物理学，工程技术 中有广泛的应用，因此，我们要明确掌握用向 量研究物理问题的相关知识！
1. 向量既是有大小又有方向的量，物理学中， 力、速度、加速度、位移等都是向量！
2. 力、加速度、位移等的合成和分解就是向量的 加减法，运动的叠加也用到向量的合成！
3. 功的定义即是F与所产生位移S的数量积
例题讲解
例1：同一平面内，互成 1200 的三个大小相等的共点力的
合力为零。
A a
证：如图，用a，b，c表示这3个共点
力，且a，b，c互成120°，模相等
120º O
按照向量的加法运算法则，有：
b
c
a +b +c = a +（b +c）=a +OD B
课件1：2.5.2 向量在物理中的应用举例
第二章 平面向量 2．5.2 向量在物理中的应用举例
高中数学必修4·同步课件
学习要求
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的 问题； 4.掌握向量垂直的条件.
复习回顾
夹角的范围 数量积
0
a b | a || b | cos
证明PC⊥AB.
A
E F
P
B
D
C
要点解析
利用向量法解决平面几何问题的基本思路 （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中 涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距 离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。
典例剖析
已知△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a·b <0, a·b =0时, △ ABC各是什么三角形？
| a || b | 5 | a b || a || b |
探究点2 推断直线位置关系
思考：对于PA⊥BC，PB⊥AC，用向量观点可分别转化为什么结 论？ a·(c－b)＝0，b·(a－c)＝0.
探究点2 推断直线位置关系
思考：如图，设△ABC的两条高AD与BE相交于点P，要说明 AB边上的高CF经过点P，你有哪些办法？
自学导引
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的 许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运 算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一 些问题。
预习测评
在ABC中，C 90，AB （k，1），AC （2，3），那么k的值（）
A. 3
高中数学必修4·同步课件
学习要求
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的 问题； 4.掌握向量垂直的条件.
复习回顾
夹角的范围 数量积
0
a b | a || b | cos
证明PC⊥AB.
A
E F
P
B
D
C
要点解析
利用向量法解决平面几何问题的基本思路 （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中 涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距 离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。
典例剖析
已知△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a·b <0, a·b =0时, △ ABC各是什么三角形？
| a || b | 5 | a b || a || b |
探究点2 推断直线位置关系
思考：对于PA⊥BC，PB⊥AC，用向量观点可分别转化为什么结 论？ a·(c－b)＝0，b·(a－c)＝0.
探究点2 推断直线位置关系
思考：如图，设△ABC的两条高AD与BE相交于点P，要说明 AB边上的高CF经过点P，你有哪些办法？
自学导引
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的 许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运 算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一 些问题。
预习测评
在ABC中，C 90，AB （k，1），AC （2，3），那么k的值（）
A. 3
2.5.2向量在物理中的应用举例(使用)
2.一艘船从 O 点出发以 2 3 km/h 的速度向垂 直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大
小为 4 km/h，则河水的流速大小为________．
解析：如图，|O→C|＝4， |O→B|＝2 3， 则|O→A|＝ 42－（2 3）2＝2. 答案：2 km/h
3.已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC ＝90°，AD＝2，BC＝1，P 是腰 DC 上的动 点，则|P→A＋3P→B|的最小值为________．
答案：5
其方向为临界方向 PQ ，设 V合 和 V水 夹角为
θ，则最小划速为： v船 = v水 sinθ
P
sinθ = d
=
60 3
d2 l2
60 2 80 2 5
V船 θ
V水
所以：最小的船速应为： v船 = 5 × sinθ =5 ×53 =3（m/s）
总结：向量有关知识在物理学中应用非常广泛， 它也是解释某些物理现象的重要基础知识。通过 这节课的学习，我们应掌握什么内容？
【总结】 (1)利用向量法来解决解析几何 问题，首先要将线段看成向量，再把坐标 利用向量法则进行运算． (2)要掌握向量的常用知识：①共线;②垂 直;③模；④夹角;⑤向量相等则对应坐标 相等.
向量在物理中的应用
3.已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作 用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点 B(7，0)．试求： (1)力F1，F2分别对质点所做的功； (2)F1，F2的合力对质点所做的功．
如何解决物理中与向量有关的问题：
（1）弄清物理现象中蕴含的物理量间的关系 （数学模型）；
（2）灵活运用数学模型研究有关物理问题；
（3）综合运用有关向量的知识，三角等和物理 知识解决实际问题；
小为 4 km/h，则河水的流速大小为________．
解析：如图，|O→C|＝4， |O→B|＝2 3， 则|O→A|＝ 42－（2 3）2＝2. 答案：2 km/h
3.已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC ＝90°，AD＝2，BC＝1，P 是腰 DC 上的动 点，则|P→A＋3P→B|的最小值为________．
答案：5
其方向为临界方向 PQ ，设 V合 和 V水 夹角为
θ，则最小划速为： v船 = v水 sinθ
P
sinθ = d
=
60 3
d2 l2
60 2 80 2 5
V船 θ
V水
所以：最小的船速应为： v船 = 5 × sinθ =5 ×53 =3（m/s）
总结：向量有关知识在物理学中应用非常广泛， 它也是解释某些物理现象的重要基础知识。通过 这节课的学习，我们应掌握什么内容？
【总结】 (1)利用向量法来解决解析几何 问题，首先要将线段看成向量，再把坐标 利用向量法则进行运算． (2)要掌握向量的常用知识：①共线;②垂 直;③模；④夹角;⑤向量相等则对应坐标 相等.
向量在物理中的应用
3.已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作 用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点 B(7，0)．试求： (1)力F1，F2分别对质点所做的功； (2)F1，F2的合力对质点所做的功．
如何解决物理中与向量有关的问题：
（1）弄清物理现象中蕴含的物理量间的关系 （数学模型）；
（2）灵活运用数学模型研究有关物理问题；
（3）综合运用有关向量的知识，三角等和物理 知识解决实际问题；
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2.5.2 向量在物理中的应用举例
新课
例1 在日常生活中,你是否有这样的 经验:两个人共同提一个旅行包,夹 角越大越费力;在单杠上做引体向上 运动,两臂的夹角越小越省力.你能 从数学的角度解释这种现象吗?
分 析
F
上面的问题可 以抽象为如右图所 示的数学模型．
F1
F2
G
只要分析清楚F、G、θ三者之间的 关系（其中F为F1、F2的合力）,就得到了 问题的数学解释．
A
v
v1 v2 96 (km/h)
2
2
v2
d 0.5 所以t 60 3.1(min). v 96
故行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min.
探 究
（1）行驶航程最短,是否就是航程 时间最短呢? （2）V1的方向如何才能使航程时间 最短?
思 考 题 已知船在静水中的速度是3 km/h, 它要横渡30 m的河流,已知水流的速度 是4 km/h,思考: 1.这只船可以沿着垂直于河岸的航 线到达正对岸吗? 2.最短多少时间可以过河?
探 究
（1） θ 为何值时， |F1|最小，最 小值是多少？ （2） |F1|能等于|G|吗？为什么？
例2
如图，一条河的两岸平行，河的宽度d 500 m . 一艘轮船从A处出发到河对岸.已知船的速度 v1 10 km/h, 水流速度 v 2 2 km/h ，问行驶航程最短 时，所用时间是多少（精确到0.1 min） ?
解：
不妨设|F1|=|F2|， 由向量加法的平行四边 形法则，力的平衡原理 以及直角三角形的指示，1 F 可以得到
F
F2
F1
G
G
2 cos 2
.
F1
G
2 cos 2
由上面的式子，我们发现：当由0 ~ 180 逐渐 变大时， 由0 ~ 90 逐渐变大， cos 的值由大变 2 2 小，因此 F1 由小逐渐变大，即 F1 、 2 之间的夹 F 角越大越费力，夹角越小越省力.
步骤小结：
物理问题 (实际问题）
向量问题
(数学问题的 解决
课后作业：
课本第126页习题2.5 B组1、2.
C B 。 D B
v1
。 A
v
A
v2
分 析
如果水是静止的，则船只要取 垂直于对岸的方向行驶，就能使行 驶航程最短，所用时间最短．考虑 到水的流速，要使船的行驶航程最 短，那么船的速度与水流速度的合 速度v必须垂直于对岸．（用《几何 画板》演示水流速度对船的实际航 行的影响）
B
解：由已知条件得
v v1
新课
例1 在日常生活中,你是否有这样的 经验:两个人共同提一个旅行包,夹 角越大越费力;在单杠上做引体向上 运动,两臂的夹角越小越省力.你能 从数学的角度解释这种现象吗?
分 析
F
上面的问题可 以抽象为如右图所 示的数学模型．
F1
F2
G
只要分析清楚F、G、θ三者之间的 关系（其中F为F1、F2的合力）,就得到了 问题的数学解释．
A
v
v1 v2 96 (km/h)
2
2
v2
d 0.5 所以t 60 3.1(min). v 96
故行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min.
探 究
（1）行驶航程最短,是否就是航程 时间最短呢? （2）V1的方向如何才能使航程时间 最短?
思 考 题 已知船在静水中的速度是3 km/h, 它要横渡30 m的河流,已知水流的速度 是4 km/h,思考: 1.这只船可以沿着垂直于河岸的航 线到达正对岸吗? 2.最短多少时间可以过河?
探 究
（1） θ 为何值时， |F1|最小，最 小值是多少？ （2） |F1|能等于|G|吗？为什么？
例2
如图，一条河的两岸平行，河的宽度d 500 m . 一艘轮船从A处出发到河对岸.已知船的速度 v1 10 km/h, 水流速度 v 2 2 km/h ，问行驶航程最短 时，所用时间是多少（精确到0.1 min） ?
解：
不妨设|F1|=|F2|， 由向量加法的平行四边 形法则，力的平衡原理 以及直角三角形的指示，1 F 可以得到
F
F2
F1
G
G
2 cos 2
.
F1
G
2 cos 2
由上面的式子，我们发现：当由0 ~ 180 逐渐 变大时， 由0 ~ 90 逐渐变大， cos 的值由大变 2 2 小，因此 F1 由小逐渐变大，即 F1 、 2 之间的夹 F 角越大越费力，夹角越小越省力.
步骤小结：
物理问题 (实际问题）
向量问题
(数学问题的 解决
课后作业：
课本第126页习题2.5 B组1、2.
C B 。 D B
v1
。 A
v
A
v2
分 析
如果水是静止的，则船只要取 垂直于对岸的方向行驶，就能使行 驶航程最短，所用时间最短．考虑 到水的流速，要使船的行驶航程最 短，那么船的速度与水流速度的合 速度v必须垂直于对岸．（用《几何 画板》演示水流速度对船的实际航 行的影响）
B
解：由已知条件得
v v1