3弧度制 课时作业(二)
弧度制和角度制转化练习和答案
课时作业2弧度制和弧度制与角度制的换算时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．与－13π3终边相同的角的集合是( )A．{π3} B．{5π3}C．{α|α＝2kπ＋π3，k∈Z} D．{α|α＝2kπ＋53π，k∈Z}解析：与－133π终边相同的角α＝2kπ－133π，k∈Z，∴α＝(2k－6)π＋6π－133π＝2(k－3)π＋53π（k∈Z)．答案：D2．终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是( )A．{π4} B．{π4，5π4}C．{α|α＝π4＋2kπ，k∈Z} D．{α|α＝π4＋kπ，k∈Z}解析：分a>0和a<0两种情形讨论分析．当a>0时，点(a，a)在第一象限，此类角可记作{α|α＝2kπ＋π4，k∈Z}；当a<0时，点(a，a)在第三象限，此类角可记作{α|α＝2kπ＋54π，k∈Z}，∴角α的集合为{α|α＝kπ＋π4，k∈Z}．答案：D3．在直径为4cm的圆中，36°的圆心角所对的弧长是( )A.4π5cm B.2π5cmC.π3cm D.π2cm解析：利用弧长公式l＝αｒ，α＝36°＝36×π180＝π5，r＝2cm，∴l＝π5×2＝2π5(cm)．答案：B4．若集合A＝{x|x＝kπ2＋π4，k∈Z}，B＝{x|－2≤x≤1}，则A∩B＝( )A．{－3π4，－π4，π4} B．{－π4，π4}C．{－5π4，－3π4，－π4} D．{－π4，π4，3π4}解析：集合A中的元素为：…－54π，－34π，－π4，π4，34π……，且－34π<－2，34π>1，故应选 B.答案：B5．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为( ) A．1 B.12C.π6或5π6D.π3或5π3解析：将该弦记为弦AB，设该弦所对的圆周角为α，则其圆心角∠AOB＝2α或2π－2α，由于弦AB等于半径，所以∠AOB＝π3，可得2α＝π3或2π－2α＝π3，解得α＝π6或α＝5π6.答案：C6．蒸汽机飞轮的半径为 1.2米，以300周/分钟的速度按照逆时针方向旋转，则飞轮每秒转过的弧度数和轮沿上任一点每秒所转过的弧长分别是( )A．5π rad和10π米B．10π rad和10π米C．10π rad和12π米D．5π rad和12π米解析：由题意知飞轮每分转300周，则每秒转5周，所以飞轮每秒转过2π×5＝10π(rad)．由飞轮半径为 1.2米，得轮沿上任一点每秒转过的弧长l＝10π×1.2＝12π(米)．故选 C.答案：C二、填空题(每小题8分，共计24分)7．已知角α的终边与π3的终边相同，在[0,2π)内终边与α3角的终边相同的角为______________．解析：由题意得α＝2kπ＋π3，(k∈Z)，故α3＝2kπ3＋π9(k∈Z)，又∵0≤α3<2π，所以当k＝0、1、2时有α3＝π9，79π，139π满足．答案：π9，79π，139π8．圆的半径变为原来的3倍，而所对的弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍．解析：设原来圆的半径R，弧长为l，圆心角为θ，变化后圆的半径为3R，圆心角为θ′，则θ′＝l3R＝13θ，∴该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的1 3 .答案：1 39．已知扇形的周长是 6 cm，面积为 2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析：设圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＋2r＝6，12lr＝2，解得r＝1，l＝4或r＝2，l＝2，∴α＝lr＝1或4.答案：1或4三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分)10．已知α＝15°，β＝π10，γ＝1，θ＝105°，φ＝7π12，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．解：α＝15°＝15×π180＝π12，θ＝105°＝105×π180＝7π12.显然π12<π10<1<7π12，故α<β<γ<θ＝φ.11．已知扇形周长为20，当扇形的圆心角为多大时它有最大面积？解：设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则由扇形的周长为20得l＝20－2r.所以S扇＝12lr＝12(20－2r)·r＝(10－r)·r＝－(r－5)2＋25.由l>0知0<r<10，所以r＝5时，面积S取最大值．此时，α＝lr＝105＝2(弧度)．∴当扇形的圆心角为2弧度时，扇形面积最大．12．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．解：(1)如图①中以OB为终边的角330°，可看成－30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴{θ|2kπ－π6<θ<2kπ＋5π12，k∈Z}．(2)如图②，∵30°＝π6，210°＝7π6，∴{θ|2kπ＋π6<θ<2kπ＋π2，k∈Z}∪{θ|2kπ＋7π6<θ<2kπ＋3π2，k∈Z}＝{θ|2kπ＋π6<θ<2kπ＋π2，k∈Z}∪{θ|(2k＋1)π＋π6<θ<(2k＋1)π＋π2，k∈Z}＝{θ|kπ＋π6<θ<kπ＋π2，k∈Z}．。
新教材北师大版高中数学必修二 3弧度制【基础题】 课时练(课后作业设计)
§3弧度制【基础题】一、单选题1．角90︒化为弧度等于（ ）．A ．π3B ．π2C ．π4D ．π6【答案】B【解析】90π60π1802︒︒=⨯=︒,故选B ． 2．把–8π3化成角度是 A ．–960°B ．–480°C ．–120°D ．–60° 【答案】B【解析】∵π=180°，∴8π818033-=-⨯︒=–480°． 故选B ．3．在0到2π范围内，与角终边相同的角是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：根据与角终边相同的角是 2kπ+（），k ∈z ，求出结果．解：与角终边相同的角是2kπ+（），k∈z，令k=1，可得与角终边相同的角是，故选C．考点：终边相同的角．4．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则（）A．扇形的面积不变B．扇形的圆心角不变C．扇形的面积增大到原来的2倍D．扇形的圆心角增大到原来的2倍【答案】B【解析】试题分析：由弧度制定义，等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，所以一扇形所在的圆的半径增加为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，弧长与半径之比不变，所以，扇形的圆心角不变，故选B．考点：本题主要考查弧度制的概念．点评：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．5．把-1215°化成2kπ+α(k∈Z,)的形式是().A．-6π-34πB．-6π+7π4C．-8π-π4D．-8π+7π4【答案】A【分析】由-1215°=1080135--即得解. 【详解】由题得-1215°3=108013564ππ--=--. 故选：A【点睛】本题主要考查角度值和弧度值的互化，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．300-︒化为弧度是（ ）A ．34π-B ．35π-C ．32π-D ．65π- 【答案】B【解析】 试题分析：1801180ππ=︒=︒，35-180-300-300ππ=⨯=︒∴．故选B ． 考点：角度制化弧度制．7．–630°化为弧度为A ．–7π2B ．7π4C ．–7π16D ．–7π4【答案】A【解析】∵–630°=–630×π180=–7π2．∴–630°化为弧度为–7π2． 故选A ．8．一钟表的秒针长12cm ，经过25s ，秒针的端点所走的路线长为（ ）A ．10cmB ．14cmC ．10cm πD ．14cm π【答案】C【分析】计算出秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数，然后利用扇形的弧长公式可计算出答案.【详解】 秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为2552606ππ⨯=， 因此，秒针的端点所走的路线长()512106cm ππ⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查扇形弧长的计算，计算时应将扇形的圆心角化为弧度数，考查计算能力，属于基础题. 9．设扇形的周长为6，面积为2，则扇形中心角的弧度数是A ．1B ．4C ．πD ．1或4 【答案】D【解析】解：因为设扇形的周长为6=l+2r ，面积为2=1/2lr ，l=r α,则可知扇形中心角的弧度数是1或4,选D 10．给出下列3个结论，其中正确的个数是（ ）①196︒是第三象限角；②34π-是第二象限角；③1512π-︒=. A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】C【分析】根据象限角的定义，以及角度制和弧度制互化公式，判断选项【详解】①180196270<<，所以196是第三象限角，正确；②342πππ-<-<-，所以34π-是第三象限角，故不正确；③1512π-=-，故不正确.故选：C11．如图，2弧度的圆心角所对的弦长为2，这个圆心角所对应的弧长为( )A ．1sin1B ．2sin1C ．21sin 1D ．tan1【答案】B【分析】先确定圆的半径，再利用弧长公式，求解即可.【详解】过点O 作OC AB ⊥于点C ，设圆的半径为r ，这个圆心角所对应的弧长为l ，则112AOC BOC AOB ∠=∠=∠=，==OB OA r ，112AC BC AB ===， ∴sin11r =，则1sin1r =， ∴ 22sin1l r ==. 故选：B.【点睛】 本题考查了弧长公式，属于基础题.12．(多选)下列与94π的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ） A ．245(k k Z π+︒∈) B ．·360k ︒+94π( k Z ∈) C ．·360315k ︒-︒(k Z ∈)D ．2k π+4π( k Z ∈) 【答案】CD 【分析】根据角度制与弧度制不可混用，可判定AB 错误，利用终边相同角的关系可以判定CD 正确.【详解】A ，B 中弧度与角度混用，不正确；9244πππ=+，所以94π与4π终边相同. 31536045-︒=-︒+︒，所以315-︒也与45︒终边相同，即与94π终边相同. 故选：CD .【点睛】 本题考查终边相同的角，难度较易，注意角度制与弧度制不可混用.二、填空题13．在半径为2的圆中，扇形的周长等于半圆的弧长，则扇形的面积为________【答案】24π-【分析】根据已知条件求出扇形的弧长，即可求解.【详解】设扇形的弧长为l ，则42,24l l ππ+=∴=-， 扇形的面积为12242l π⨯⨯=-. 故答案为:24π-【点睛】本题考查扇形的面积，属于基础题.14．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是______．【答案】24cm【分析】先求出扇形的半径，再求这个圆心角所夹的扇形的面积.【详解】设扇形的半径为R,由题得42,2R R=∴=. 所以扇形的面积为142=42⋅⋅. 故答案为：24cm【点睛】本题主要考查扇形的半径和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．弧度数为2的角的终边落在第______象限. 【答案】二【分析】将弧度化为角度,即可判断出所在象限.【详解】根据弧度与角度关系可知157.3rad≈所以2114.6rad≈则弧度数为2的角的终边落在第二象限故答案为:二【点睛】本题考查了弧度与角度的关系,属于基础题.16．已知扇形的圆心角为23π，半径为5，则扇形的弧长l=_________.【答案】10 3π【分析】根据扇形的弧长公式进行求解即可．【详解】∵扇形的圆心角α23π=，半径为r＝5，∴扇形的弧长l＝rα23π=⨯5103π=．故答案为：103π．【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式的计算，熟记弧长公式是解决本题的关键，属于基础题．三、解答题17．一条弦的长度等于半径，这条弦所对的圆心角是多少弧度？ 【答案】3π弧度 【分析】设出圆的半径，利用弦长等于圆的半径，得到一个等边三角形，其内角为60︒，从而求出弧所对的圆心角的度数．【详解】如图：因为弦的两端点与圆心构成等边三角形，所以这条弦所对的圆心角为60︒，即3π弧度. 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，考查计算能力，属于基础题.18．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，求这个扇形中心角的度数. 【答案】5(rad)2α=【分析】 设这个扇形中心角的弧度数为α，半径为r ．利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．【详解】解：（方法一）：15,5,,22l s s lr r ===∴=. 又450,180n r l n ππ=∴=，∴这个扇形中心角的度数为143.2° （方法二）依题意25,152l r S r αα==⎧⎪⎨==⎪⎩①，② 由①得5r α=，代入②得2510αα⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得5(rad)2α=. 【点睛】本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题．19．时间经过4h ，时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？【答案】时针转了120︒-，等于23π-弧度；分针转了1440︒-，等于8π-弧度 【分析】根据时针一小时转30度，分针一小时转360度 ，分析解决即可.【详解】时针一小时转30度，分针一小时转360度 ，4小时时针转了120︒- ，分针转了1440︒- ，弧度分别是23π-和8π-. 【点睛】解决此题从生活实际出发，分析时针与分针旋转时之间的变化关系，注意角度与弧度之间的转化. 20．已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l .（1）若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l .（2）若扇形的周长是20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？精品文档 精心整理（3）若α＝3π， R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积． 【答案】（1）103π cm （2）α＝2时，S 最大为25 （3）23π⎛- ⎝ cm 2 【分析】试题分析：（1）由弧长公式可求得弧长l .；（2）将扇形面积转化为关于半径R 的函数式，结合函数性质可求得面积的最值及对应的圆心角；（3）将扇形面积减去等腰三角形面积可得到弓形的面积 试题解析：（1）α＝60°＝3rad π，l ＝10×3π＝103π cm. （2）由已知得，l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12（20－2R ）R ＝10R －R 2＝－（R －5）2＋25. 所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10，α＝2.（3）设弓形面积为S 弓．由题知l ＝23π cm. S 弓＝S 扇形－S 三角形＝12×23π×2－12×22×sin 3π＝（23π- cm 2. 考点：扇形弧长与面积。
(完整版)弧度制和角度制的换算
练习三 弧度制 (一)要点1. 角度制与弧度制:这是两种不同的度量角的制度.角度制是以“度”为单位;弧度制是以“弧度”为单位. 2. 度与弧度的相互换算:10≈0.01745弧度, 1弧度≈57018/.3. 在同一个式子中,两种制度不能混用.如:与600终边相同的角的集合不能表示为{x|x=2k π+600,k ∈Z},正确的表示方法是x|x=2k π+3π,k ∈Z }或{ x|x=k ·3600 +600,k ∈Z } 同步练习1. 若α=－3.2,则角α的终边在 ( ) (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限2.①4π, ② －45π,③419π,④－43π,其中终边相同的角是 ( )(A) ①和② (B) ②和③ (C) ③和④ (D) ①和④ 3. 若4π<α<6π,且与－32π角的终边相同,则α=_________. 4.正三角形,正四边形,正五边形, 正六边形, 正八边形, 正十边形, 正n 边形的一个内角的大小分别_____,____ ,_____,_____,_____,_____, ______.(用弧度表示) 5.把下列各角用另一种度量制表示. ⑴1350⑵ －67030/⑶2 ⑷－67π1. 将下列各数按从小到大的顺序排列.Sin40, sin21, sin300, sin12. 把下列各角化成2k π+α（0≤α＜2π,）的形式, 并求出在(－2π,4π)内和它终边相同的角.(1)－316π; (2)－6750.3. 若角θ的终边与1680角的终边相同,求在[0,2π]内终边与3θ角的终边相同的角.练习四 弧度制(二)要点1. 弧长公式和扇形面积公式:弧长公式 L=|α|r 扇形面积公式 S=21Lr=21|α|r 2 其中α是圆心角的弧度数,L 为圆心角α所对的弧长,r 为圆半径.2. 无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但用弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数. 同步练习1.半径为5 cm 的圆中,弧长为415cm 的圆弧所对的圆心角等于 ( ) (A)145(B) 1350(C)π135 (D)π1452.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π (B)－3π (C) 6π (D)－6π 3. 半径为 4 的扇形,基它的周长等于弧所在的半圆周的长,则这个扇形的面积是_________.4. 已知一弧所对的圆周角为600,圆的半径为10cm,则此弧所在的弓形的面积等于___________.5. 已知扇形的周长为6cm,面积为2cm 2,求扇形圆心角的弧度数.6. 2弧度的圆心角所对的弦长为2,求这个圆心角所夹扇形的面积.7. 一条弦的长度等于其所在圆的半径r.(1) 求这条弦所在的劣弧长;(2) 求这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.【数学2】二、弧度制第一课时教学要求：1．理解弧度制的意义，熟练掌握弧度制与角度制的互换． 教学过程：1．为什么要引入新的角的单位弧度制.（1）为了计算的方便，角度制单位、度、分、秒是60进制，计算不方便； （2）为了让角的度量结果与实数一一对应. 2．弧度制的定义先复习角度制，即1度的角的大小是怎样定义的. 1弧度角的规定.把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度的单位符号是rad ，读作弧度.如上图，AB 的长等于半径r ，∠AOB 的大小就是1弧度的角.弧AC 的长度等于2r,则∠AOC=2rad.问半圆所对的圆心角是多少弧度，圆周所对的圆心角是多少弧度？答：半圆弧长是∴=,,πππrrr 半圆所对的圆心角是π弧度.同样道理，圆周所对的圆心角（称谓周角）的大小是2π弧度.角的概念推广后，弧的概念也随之推广.所以任意一正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零.3．弧度制与角度制的互化因为周角的弧度数是2π，角度是360°，所以有radrad radrad 01745.018011802360≈===πππ把上面的关系反过来写1803602==rad rad ππ815730.57)180(1'=≈=rad rad π例1：把.0367化成弧度'解：.835.671805.670367rad rad ππ=⨯=='例2：把rad 53π化成角度. 1081805353=⨯=rad π 今后用弧度制表示角时，把“弧度”二字或“rad ”通常省略不写，比如66ππ就表示 rad ，角.2,2rad 等于就是角αα= rad 33sinππ表示角的正弦.360~0之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.例3：用弧度制表示 （1）与π32终边相同的角； （2）第四象限的角的集合. 解：（1）与.,32232Z k k ∈+πππ终边也相同的角是 （2）第四象限的角的集合是},22223|{Z k k k ∈+<<+ππαππα 也可能写成},222|{Z k k k ∈<<-παππα注意两种角度制不准混合用，如写成.,2120是不对的Z k k ∈+=πα布置作业，课本P 12，1~5题.第二课时教学要求：1．熟练弧度制与角度制的互化，理解角的集合与实数集R 的一一对应. 2．会用弧长公式，扇形面积公式，解决一些实际问题. 教学过程：复习角的弧度制与角度制的转化公式.017453.01801,81.573.573.57)180(1rad rad rad ≈='==≈=ππ1．学生先练习，老师再总结.（1）10 rad 角是第几象限的角？ （2）求sin1.5的值.解：（1）有两种方法. 第一种方法21336057310+==rad ，是第三象限的角第二种方法πππππ23210),210(210<-<-+=而 ∴10 rad 的角是第三象限的角. （2）9975.07585sin 5.1sin 75855.1='=∴'=也可以直接在计算器上求得，先把角的单位转至RAD ，再求sin1.5即可得. 2．总结角的集合与实数集R 之间的一一对应关系. 正角的弧度数是一个正数，负的弧度数是一个负数， 零角的弧度是零.反过来，每个实数都对应唯一的角（角 的弧度数等于这个实数）这样就在角的集合（元素是角）与实数集R （元素是数） 之间建立了一一对应的关系.3．弧长公式，扇形面积公式的应用由弧度制的定义||αr l rld ==得弧长 例1：利用弧度制证明扇形面积公式l lR S 其中,21=是扇形弧长，R 是圆的半径. 证明：因为圆心角为1 rad 的扇形的面积是ππ22R ，而弧长为l 的扇形的圆心角为rad Rl，所以它的面积 lR R R l S 2122=⋅=ππ.若已知扇形的半径和圆心角，则它的面积又可以写成||21||21212ααR R R lR S =⋅==例2：半径R 的扇形的周长是4R ，求面积和圆心角. 解：扇形弧长为4R-2R=2R ，圆心角)(22rad RR==α 面积2221R R S ==θ. 例3：在扇形AOB 中，∠AOB=90°，弧长为l ， 求它的内切圆的面积. 解：先求得扇形的半径ππllr 22==设圆的半径为x ，圆心为C ，x OC 2||=由πlx x 22=+解得ππll x )12(2)12(2-=+=lS ⊙C ππ22)223(4l x -==4．学生课堂阅读课本P 10~11 例5、例6 并作P 11练习7、8两题.布置作业，课本P 12—13，习题4.2 6、8、9、10、11§4.2弧度制[教学目标]（1）通过本小节的学习，要使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；（2）了解角的集合与实数集R 之间可以建立起一一对应的关系；（3）掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题。
弧度制课时作业三-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
人教A 版（2019） 必修第一册第五章5.1.2 弧度制课时作业三学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若扇形的周长为定值l ，圆心角为()02παα<<，则当扇形的面积取得最大值时，该扇形的圆心角α的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知扇形的面积为1，扇形的圆心角的弧度数为2，则扇形的周长为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知扇形的半径是2，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．1B ．4C ．2D ．144．已知扇形面积为8，扇形的圆心角为2 rad ，扇形的周长为（ ） A ．82B ．42C ．8D ．25．若扇形的弧长为8cm ，圆心角为2弧度，则扇形的面积为（ ） A ．28πcmB ．28cmC ．216cmD ．216πcm6．若角3rad α=，则角α是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7．将时钟拨快10分钟，则分针转过的弧度是（ ） A ．3π B ．3π-C ．6π D ．6π-8．现有两个相互啮合的齿轮，大轮有64齿，小轮有24齿，当小轮转一周时，大轮转动的弧度是（ ）A ．π2B ．7π8C ．34π D ．16π3二、多选题9．下列说法中，正确的是（ ） A ．半圆所对的圆心角是πB ．长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度C ．周角的大小等于2πD ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径10．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ） A ．1B ．4C ．2D ．311．sin 2（ ） A ．是正数B ．是负数C ．大于cos2D ．大于tan 212．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，卫星图片可以看成一个圆形，如果将其一分为二成两个扇形，设其中一个扇形的面积为1S ，圆心角为1α，天坛中剩余部分扇形的面积为2S ，圆心角为2α，()12αα<当1S 与2S0.618≈时，则裁剪出来的扇形看上去较为美观，那么（ ）A ．1137.5α︒≈B ．1127.5α︒≈C．21)απ=D．12αα=三、填空题13．长度等于半径的圆弧所对的圆心角的大小为______弧度．14．如图为两个互相啮合的齿轮．大轮有64齿，小轮有24齿．当大轮转动一周时，小轮转动的角度为______．15．用弧度制写出终边落在直线y x =-上的角是__．16．和角度制、弧度制一样，密位制也是度量角的一种方法.将周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密于6000密位，记作“6000-”.如果一个扇形的半径为2 ，面积为5π6，则其圆心角可以用密位制表示为________.四、解答题17．中国最早用土和石片刻制成“土主”与“日暑”两种计时工具，成为世界上最早发明计时工具的国家之一.铜器时代，使用青铜制的“漏壶”，东汉元初四年张衡发明了世界第一架“水运浑象”，元初郭守敬、明初詹希元创制“大明灯漏”与“五轮沙漏”，一直到现代的钟表、手表等.现在有人研究钟的时针和分针一天内重合的次数，从午夜零时算起，假设分针走了min t 会与时针重合，一天内分针和时针重合n 次. (1)建立t 关于n 的函数关系； (2)求一天内分针和时针重合的次数n .18．已知半径为22O 中，弦AB 的长为4． (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S ．19．集合22,Z 33A x k x k k ππππ⎧⎫=-<<+∈⎨⎬⎩⎭，222,Z 3B x k x k k πππ⎧⎫=<<+∈⎨⎬⎩⎭，,Z 62C x k x k k ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎩⎭，[]10,10D =-，分别求A B ⋂，A C ，A D ．20．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示).参考答案：1．B【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式，将面积S 写成关于l 的表达式，再利用二次函数性质即可求得结果.【详解】设扇形的半径为r ，弧长为L ， 因此22Lrr r l α，扇形的面积2111(2)222S Lr l r r r lr ==-=-+， 由二次函数性质可知，当4lr =时，扇形面积取到最大值； 此时2lr α，2α=. 故选：B 2．D【分析】根据扇形的面积公式和弧长公式求出半径和弧长可得结果. 【详解】设扇形的弧长为l ，半径为r ，则由21212r ⨯=得1r =，∴22l r ==，∴扇形的周长为2224l r +=+=. 故选：D. 3．B【分析】扇形的圆心角的弧度数为α,半径为R ,弧长为l ,面积为S ,由面积公式和弧长公式可得到关于l 和R 的方程,进而得到答案. 【详解】由扇形的面积公式得:12S lR =,因为扇形的半径长为2,面积为8，则1822l =⨯⨯所以扇形的弧长8l =. 设扇形的圆心角的弧度数为α,由扇形的弧长公式得:||l R α=，且2R =即82α=，解得4α=，所以扇形的圆心角的弧度数是4. 故选：B. 4．A【分析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，利用扇形的弧长和面积公式，求得r =出扇形的周长.【详解】解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，已知扇形的圆心角为2 rad ，则2l r =， 扇形面积11282222S lr r r r ==⨯⋅=⇒=，所以扇形的周长2442282C l r r =+==⨯= 故选：A. 5．C【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出答案. 【详解】设扇形的弧长为l ，圆心角为α，扇形的弧长为8cm ，圆心角为2弧度，即8,2l α==，l r α=，可得4r =,∴该扇形的面积()2118416cm 22S l r =⋅=⨯⨯=,故选：C . 6．B【分析】根据象限角的定义判断． 【详解】因为32ππ<<，所以3rad 是第二象限角．故选：B ． 7．B【分析】将分针拨快10分钟，则分针顺时针旋转即为负角，且角度为圆周的16，即可求得弧度.【详解】将分针拨快10分钟，即分针顺时针旋转圆周的16，分针转过的弧度为102603ππ-⨯=-． 故选：B 8．C【分析】根据大轮与小轮转过的弧长相等即可求解. 【详解】当小轮转一周时，大轮转动2464周， 所以大轮转动的弧度是243π2π644⨯=． 故选：C. 9．ACD【分析】利用弧度制的定义对选项逐一分析即可.【详解】对于A ，因为半圆的弧长为12ππ2l r r =⨯=，所以其所对的圆心角为πlr α==，故A 正确；对于B ，长度等于半径的弦与弦的两端点到圆心的半径构成了等边三角形，易知其所对的圆心角为π3，故B 错误；对于C ，显然，周角的大小等于2π，故C 正确；对于D ，因为圆心角1α=，所以其所对的弧长为l r r α==，即1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径，故D 正确. 故选：ACD. 10．AB【分析】利用扇形的弧长与面积公式建立方程组求解，再利用圆心角公式.【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ，圆心角为α，则212l r +=，182S lr ==，解得2r =，8l =或4r =，4l ，则4lrα==或1．故C ，D 错误. 故选：AB ． 11．ACD【分析】根据弧度的含义，判断2弧度的角是第二象限角，由此可判断答案. 【详解】由于π2π2<< ，故2弧度的角是第二象限角， 则sin20> ，故A 正确，B 错误；cos20< ，tan20< ，故sin 2cos 2,sin 2tan 2>>,故C ，D 正确；故选：ACD 12．ACD【分析】理解题意，根据扇形的面积公式化简，对选项依次判断【详解】设天坛的圆形的半径为R，由211122221212R S S R αααα===，故D 正确；由122ααπ+=222απ+=，解得21)απ=，故C 正确；0.618≈1 1.236≈，所以21) 1.236180222.5απ︒︒=≈⨯≈， 所以1360222.5137.5α︒︒︒≈-=，故A 正确，B 错误．故选：ACD 13．1【分析】用弧度制的定义分析即可.【详解】因为圆弧长度等于半径，所以圆心角为1rad 14．16π3【分析】一周为2π弧度，即可计算小轮转过的弧度数．【详解】因为大轮有64齿，小轮有24齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度为6416π2π243⨯=. 故答案为：16π3. 15．,4k k Z πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭【分析】由终边相同的角的定义，先写出终边落在射线(0)y x x =-≥的角的集合，再写出终边落在射线(0)y x x =-≤的角的集合，最后求两个集合的并集即可得答案. 【详解】解：由终边相同的角的定义，终边落在射线(0)y x x =-≥的角的集合为|2,4k k Z πααπ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭，终边落在射线 (0)y x x =-≤ 的角的集合为3|2,|(21),44k k Z k k Z ππααπααπ⎧⎫⎧⎫=+∈==-++∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 所以终边落在直线y x =-的角的集合为|2,|(21),|,444k k Z k k Z k k Z πππααπααπααπ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=-+∈⋃=-++∈==-+∈⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，故答案为：,4k k Z πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭.16．1250-【分析】先用扇形面积公式求出圆心角的弧度制，再转化为密位制. 【详解】设圆心角为α，则扇形面积公式212S R α=，其中2R =，5π6S =，代入公式得：5π12α=，其中1密位=2ππ60003000=，故5ππ1250123000÷=，所以其圆心角可以用密位制表示为1250-. 故答案为：1250-. 17．(1)72011t n =. (2)22次.【分析】（1）计算出分针以及时针的旋转的角速度，由题意列出等式，求得答案； （2）根据时针旋转一天所需的时间，结合（1）的结果，列出不等式，求得答案. 【详解】（1）设经过min t 分针就与时针重合，n 为两针一天内重合的次数. 因为分针旋转的角速度为()2ππrad/min 6030=， 时针旋转的角速度为()2ππrad/min 1260360=⨯，所以ππ2π30360t n ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即72011t n =. （2）因为时针旋转一天所需的时间为24601440⨯=（min ）， 所以720144011n ≤，于是22≤n , 故时针与分针一天内只重合22次. 18．(1)弦AB 所对圆心角α为π2；(2)α所在的扇形的弧长l ，弓形的面积S 为24π-.【分析】（1）由已知判断OAB 的形状，由此确定圆心角α的大小；（2）根据扇形的弧长以及面积公式求解.【详解】（1）因为圆O 的半径为AB 的长为4，所以OA OB ==4AB =，所以222OA OB AB +=，故OAB 为直角三角形，且AOB ∠为直角， 所以弦AB 所对圆心角α为π2；（2）由弧长公式得：2l r πα==⨯，扇形的面积111222S lr π==⨯=，又142AOBS=⨯=， 所以124AOBS S Sπ=-=-，即弧所在的弓形的面积24S π=-.19．2,2,3k k k πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ；2,2,63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ；7557,,,333333ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【分析】根据任意角的弧度表示及交集的概念即可计算.【详解】22,22,22,2,3333A B k k k k k k k ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋂=-+⋂+=+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Z ；2,2,2,2,336263A C k k k k k k k ππππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋂=-+⋂++=++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Z ；分别令k ＝－1，0，1，即可得：[]75572,210,10,,,33333333A D k k ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋂=-+⋂-=--⋃-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20．π5π|2π2π,Z 612k k k αα⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，ππ|ππ,Z 62k k k αα⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【分析】先利用弧度制写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角即可. 【详解】因为5π7512rad =，由图（1）知：以射线OA 为终边的角的集合为15π|2π,1Z 2k S k α∈⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，330角的终边与30-即π6rad -的角的终边相同，以OB 为终边的角为2π|2π,6Z S k k α⎧∈⎫=-⎨⎬⎩⎭，所以终边落在阴影部分内的角的集合为：π5π|2π2π,Z 612k k k αα⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.因为π306rad =，7π2106rad =， 由图（2）知：以射线OA 为终边的角为3πZ 6|2π,n S n ββ∈⎧⎫==+⎨⎬⎩⎭，以射线OB 为终边的角为47πZ 6|2π,S n n ββ∈⎧⎫==+⎨⎬⎩⎭，所以终边在直线AB 上的角为：()πππ2π,Z 21π|||666,Z π,Z n n n n k k S ββββββ+∈++⎧⎫∈+⎧⎫⎧⎫==⋃===⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩∈⎭⎩⎭⎩⎭，同理终边在y 轴上的角为ππ,Z |2k k ββ+∈⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，所以终边落在阴影部分内的角的集合ππ|ππ,Z 62k k k αα⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.。
弧度制练习(含答案)
厦门外国语学校高一下学期校本作业（2）班级: 姓名: 座号__________弧度制一、选择题1、若α是第四象限角，则απ-是（ ）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角 2、若α＝－3，则角α的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3. 求值：1333-tan sincosπππ··等于（ ）A.14B. 34C. 12D. 324、下列各组角中，终边相同的角是（ ）A ．π2k 与)(2Z k k ∈+ππB ．)(3k3Z k k ∈±πππ与C ．ππ)14()12(±+k k 与 )(Z k ∈D ．)(66Z k k k ∈±+ππππ与5．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则 （ ）A ．B ．C ．D ．6、集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k A ,6παα与⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z n n B ,63ππββ的关系是（ ） A 、B A ⊂ B 、B A ⊃ C 、B A = D 、B A ⊆7．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）A ．2B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin 8．某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为 （ ）A ．2°B ．2C ．4°D ．49．一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是( )2222)1cos 1sin D.(1 21.1cos 1sin 21B. )1cos 1sin 2(21A R R C R R -- 10．下列命题中正确的命题是( )A.若两扇形面积的比是1∶4，则两扇形弧长的比是1∶2B.若扇形的弧长一定，则面积存在最大值C.若扇形的面积一定，则弧长存在最小值D.任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系)(22Z k k ∈+=+ππβα)(2Z k k ∈+=+ππβα)(2Z k k ∈+=+ππβα)(Z k k ∈+=+ππβα二、填空题：11、7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 12．已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α的范围是 .13．已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为 .14、在半径为2米的圆中，1200的圆心角所对的弧长为__________________ 15、一个扇形OAB 的面积是1，它的周长为4，求中心角的弧度数为______ 三、解答题： 16、求值：2cos 4tan6cos6tan3tan3sinππππππ-+17、已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B ＝｛α｜－4≤α≤4｝， 求A ∩B .18、单位圆上两个动点M 、N ，同时从P （1，0）点出发，沿圆周运动，M 点按逆时针方向旋转6π弧度/秒，N 点按顺时针转3π弧度/秒，试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧度.19、圆周上点A （1，0）依逆时针方向作匀速圆周运动，已知A 点1分钟转过)(0πθθ<<角，2分钟第一次到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ ．20、已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R 。
课时作业2：5.1.2 弧度制
5.1.2 弧度制1．－120°化为弧度为( )A ．－56πB ．－π2C ．－23πD ．－34π答案 C解析 由于1°＝π180rad ，所以－120°＝－120×π180＝－2π3，故选C.2．若圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 答案 B解析 ∵l ＝|α|R ，∴|α|＝lR.当R ，l 均变为原来的2倍时，|α|不变．而S ＝12|α|R 2中，∵α不变，∴S 变为原来的4倍．3．用弧度制表示终边与150°角相同的角的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝－5π6＋2k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪ β＝5π6＋k ·360°，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪ β＝2π3＋2k π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪ β＝5π6＋2k π，k ∈Z 答案 D解析 150°＝150×π180＝5π6，故终边与角150°相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋2k π，k ∈Z .故选D.4．圆的半径为r ，该圆上长为32r 的弧所对的圆心角是( )A.23 radB.32 radC.23πD.32π 答案 B解析 由弧度数公式α＝lr ，得α＝32r r ＝32，因此圆弧所对的圆心角是32rad.5．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 k 为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y ＝x 左上部分(包含边界)，k 为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y ＝x 的右下部分(包含边界)．故选C. 6.π12rad ＝________度，________ rad ＝－480°. 答案 15 －8π3解析π12＝180°12＝15°，－480°＝－480×π180＝－8π3. 7．把角－690°化为2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为________． 答案 －4π＋π6解析 方法一 －690°＝－⎝⎛⎭⎫690×π180＝－236π. 因为－236π＝－4π＋π6，所以－690°＝－4π＋π6.方法二 －690°＝－2×360°＋30°， 则－690°＝－4π＋π6.8．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是______弧度，扇形面积是______． 答案 3248解析 |α|＝l r ＝128＝32，S ＝12l ·r ＝12×12×8＝48. 9．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角． (1)－1 725°；(2)－60°＋360°·k (k ∈Z )． 解 (1)－1 725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋5π12＝－115π12，是第一象限角．(2)－60°＋360°·k ＝－π180×60＋2π·k＝－π3＋2k π(k ∈Z )，是第四象限角．10．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S . 解 (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ， 知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r ＝10，∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·32AB ＝12×10×53＝253，∴S 弓形＝S 扇形－S △AOB ＝25⎝⎛⎭⎫2π3－3.11．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝π2＋k π，k ∈Z C ．终边在坐标轴上角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π2，k ∈Z D ．终边在直线y ＝x 上角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z 答案 D解析 对于A ，终边在x 轴上角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }，故A 正确；对于B ，终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝π2＋k π，k ∈Z ，故B 正确； 对于C ，终边在x 轴上的角的集合为{α|α＝k π，k ∈Z }，终边在y 轴上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝π2＋k π，k ∈Z ，其并集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π2，k ∈Z ，故C 正确；对于D ，终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝π4＋k π，k ∈Z ，故D 不正确． 12．圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为( ) A ．1 B.12 C.π6或5π6 D.π3或5π3答案 C解析 设该弦所对的圆周角为α， 则其圆心角为2α或2π－2α， 由于弦长等于半径，所以可得2α＝π3或2π－2α＝π3，解得α＝π6或α＝5π6.13．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝____________. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π6，－π3，π6，2π3解析 由－π<k π2－π3<π，得－43<k <83.因为k ∈Z ，所以k ＝－1,0,1,2，所以M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π6，－π3，π6，2π3.14．已知一扇形的弧长为2π9，面积为2π9，则其半径r ＝________，圆心角为________．答案 2 π9解析 设圆心角度数为α，因为扇形的弧长为2π9，面积为2π9＝12×2π9×r ，解得r ＝2，由于扇形的弧长为2π9＝rα＝2α，解得α＝π9.15．扇形圆心角为π3，半径为a ，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为________．答案 2∶3解析 如图，设内切圆半径为r ，则r ＝a 3，所以S 圆＝π·⎝⎛⎭⎫a 32＝πa29，S 扇＝12a 2·π3＝πa 26，所以S 圆S 扇＝23.16.如图，动点P ，Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 点各自走过的弧长．解 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t 秒，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π， 所以t ＝4 秒，即P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4 s. P 点走过的弧长为4π3×4＝16π3，Q 点走过的弧长为2π3×4＝8π3.。
(完整版)弧度制和角度制的换算
教学过程:
复习角的弧度制与角度制的转化公式
1．学生先练习,老师再总结。
（1）10rad角是第几象限的角? （2）求sin1。5的值。
解：（1）有两种方法.第一种方法 ，是第三象限的角
第二种方法
∴10rad的角是第三象限的角.
（2)
也可以直接在计算器上求得，先把角的单位转至RAD,再求sin1.5即可得.
弧长公式 L=|α｜r 扇形面积公式 S= Lr= ｜α|r2
其中α是圆心角的弧度数,L为圆心角α所对的弧长，r为圆半径。
2.无论是角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系，但用弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数.
同步练习
1.半径为5 cm的圆中，弧长为 cm的圆弧所对的圆心角等于 （ )
（3）掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题。
［教学重点］
使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。弧度的概念及其与角度的关系，是本小节的乃至本章的难点；其中，讲清1弧度的角的意义,是建立弧度概念的关键。
［教学难点］
使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。弧度的概念及其与角度的关系,是本小节的乃至本章的难点;
练习三弧度制（一）
要点
1.角度制与弧度制:这是两种不同的度量角的制度.角度制是以“度”为单位;弧度制是以“弧度"为单位.
2.度与弧度的相互换算:
10≈0。01745弧度, 1弧度≈57018/.
3.在同一个式子中,两种制度不能混用.如：与600终边相同的角的集合不能表示为｛x｜x=2kπ+600,k∈Z｝，正确的表示方法是x｜x=2kπ+ ,k∈Z ｝或｛ x|x=k·3600+600，k∈Z ｝
2020-2021学年数学北师大版必修4课时作业：1-3 弧度制 Word版含解析
课时作业3 弧度制时间：45分钟 满分：100分——基础巩固类——一、选择题(每小题5分，共40分)1．下列角度与弧度转化结果错误的是( C ) A ．60°化成弧度是π3 B ．－103π化成度是－600° C ．－150°化成弧度是－7π6 D.π12化成度是15°解析：对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－103π＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－5π6；对于D ，π12＝112×180°＝15°.2．下列各角中与240°角终边相同的角为( C ) A.2π3 B ．－5π6 C ．－2π3D.7π6解析：240°＝4π3，而－2π3＝4π3－2π.故选C.3．已知一扇形的圆心角是60°，弧长是π，则这个扇形的面积是( B ) A ．3π B.3π2 C ．6πD.3π4解析：设该扇形的圆心角的弧度数为n ，弧长为l ，半径为r ，面积为S ，则l ＝|n |πr 180，∴r ＝180l |n |π＝3，∴S ＝12lr ＝12π·3＝3π2.4．若α＝－3，则角α的终边在( C ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：－3≈－172°，故为第三象限角，或由－π<－3<－π2，知－3为第三象限角．5．已知扇形AOB 的面积为4，圆心角的弧度数为2，则该扇形的弧长为( A )A ．4B ．2C ．1D ．8解析：由S ＝12α·r 2得4＝12×2×r 2， ∴r ＝2.∴l ＝α·r ＝2×2＝4.6．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ的值是( A ) A ．－3π4 B ．－π4 C.π4D.3π4解析：－11π4＝－2π－3π4，故选A.7.若角α的终边落在右图中的阴影部分，则角α的范围是( C )A ．[π6，23π]B ．[－43π，π6]C ．[2k π＋π6，2k π＋23π]，k ∈ZD ．[2k π－4π3，2k π＋π6]，k ∈Z解析：靠近x 轴正半轴的终边表示的角为2k π＋π6，k ∈Z ，靠近y 轴正半轴的终边的角为2k π＋23π，k ∈Z ，所以阴影部分表示的角的范围为[2k π＋π6，2k π＋23π]，k ∈Z .8．若圆的半径变成原来的2倍，扇形的弧长也变成原来的2倍，则( B )A ．扇形的面积不变B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增加到原来的2倍D ．扇形的圆心角增加到原来的2倍解析：扇形的圆心角α＝l R ，l ，R 均变为原来的2倍，则α＝2l 2R ＝lR ，故α不变．二、填空题(每小题5分，共15分)9．三角形的三个内角的度数之比为123，其最小内角的弧度数为π6.解析：三角形的三个内角的弧度数分别为π6，π3，π2，因此最小的弧度数为π6.10．已知θ∈{α|α＝k π＋(－1)k·π4，k ∈Z }，则θ的终边所在的象限是第一或第二象限．解析：当k 为偶数(k ＝2m ，m ∈Z )时，α＝2m π＋π4(m ∈Z )，当k 为奇数(k ＝2m －1，m ∈Z )时，α＝(2m －1)π－π4＝2m π－5π4(m ∈Z )，∴θ的终边在第一或第二象限．11．若角θ的终边与角85π的终边相同，则在(0,2π)内终边与θ4的终边相同的角是2π5，9π10，7π5，19π10.解析：因为θ＝2k π＋8π5(k ∈Z )，所以θ4＝k π2＋25π. 又因为0<θ4<2π，即0<k π2＋2π5<2π. 解得－1＋15<k <3＋15，又k ∈Z . 所以k 可取0,1,2,3.当k ＝0时，θ4＝25π；k ＝1时，θ4＝9π10； k ＝2时，θ4＝7π5；k ＝3时，θ4＝1910π.三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(12分)已知角α＝2 005°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．解：(1)2 005°＝2 005×π180＝401π36＝5×2π＋4136π.又π<41π36<3π2，所以α与41π36终边相同，是第三象限角．(2)与α角终边相同的角为2k π＋41π36，k ∈Z . 由－5π≤2k π＋41π36<0，可得－52－4172≤k <－4172. ∵k ∈Z ，∴k ＝－3，－2，－1.∴在区间[－5π，0)上，与角α终边相同的角是－31π36，－103π36，－175π36. 13．(13分)半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1,0)出发，按照逆时针方向沿圆周匀速旋转，已知P 点在1秒钟内转过的角度为θ(0<θ<π)，经过2秒到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A 处．求：(1)θ的大小；(2)线段OP 每秒钟扫过的扇形的面积． 解：(1)∵0<θ<π，∴0<2θ<2π. 又2k π＋π<2θ<2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴k ＝0.∴π2<θ<3π4.①又14θ＝2n π(n ∈Z )，∴θ＝n π7(n ∈Z )．② 由①②可得θ＝4π7或θ＝5π7. (2)由(1)知θ＝4π7或θ＝5π7， 又S 扇形＝12θr 2＝12θ， ∴S 扇形＝2π7或S 扇形＝5π14.即线段OP 每秒钟扫过的面积是2π7或5π14.——能力提升类——14．(5分)如图所示，半径都为1的三个圆两两相交，且AB ︵＝BC ︵＝AC ︵，CD ︵的长度等于π2，则图中阴影部分的面积为3π2＋3.解析：如图所示，因为CD ︵长度为α·R ＝π2，所以α＝π2，故图中阴影部分的面积为π4－12.所以可得原题中阴影部分的面积为3π－3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12＝3π2＋3.15．(15分)(1)如图①所示，在半径为6的圆中，求长度为6的弦AB 和它所对的劣弧围成的弓形的面积；(2)如图②所示，在半径为10，圆心角为π3的扇形铁皮ADE上截去一个半径为4的小扇形ABC，求留下部分的面积．解：(1)如图所示，连接OA，OB，∵AB＝6，OA＝OB＝6，∴∠AOB＝π3.∴S扇形AOB＝12α·R2＝12×π3×62＝6π.又∵△AOB是等边三角形，∴S△AOB＝34×62＝9 3.∴弓形面积S＝6π－9 3.(2)∵圆心角α＝π3，∴S 扇形DAE ＝12α·AD 2＝50π3，S 扇形BAC ＝12α·AB 2＝8π3， ∴留下部分的面积S ＝50π3－8π3＝42π3＝14π.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
高中数学 1.3弧度制课时作业 北师大版必修4
弧 度 制一、选择题(每小题3分,共18分)1.一段弧长等于半径的一半,则此弧所对的圆心角是 ( ) A.B.C.D.以上均不对【解析】选C.由弧长公式得α=rl ==.2.(2014·哈尔滨高一检测)π对应的角度为 ( ) A.75°B.125°C.135°D.155°【解析】选C.π=π×°=135°.【变式训练】在△ABC 中,若A ∶B ∶C=3∶5∶7,则角A,B,C 的弧度数分别为 . 【解析】A+B+C=π,又A ∶B ∶C=3∶5∶7,所以A==,B==,C=.答案:,,3.(2014·济南高一检测)与120°角终边相同的角的集合是( ) A. B.C.D.【解析】选D.与120°角终边相同的角是α=k ×360°+120°,k ∈Z,化为弧度制后是α=2k π+π,k ∈Z. 【误区警示】角的表示必须保持单位一致,不能同时出现角度和弧度. 4.(2014·衡阳高一检测)终边经过点(a,a)(a ≠0)的角α的集合是 ( )A. B.C. D.【解题指南】先判断角的终边落在什么位置,再写出终边相同的角的集合.【解析】选C.终边经过点(a,a)(a ≠0)的角,即角的终边落在了直线y=x 上,即此角的终边为第一、三象限的角平分线,故角α的集合为.5.(2014·秦皇岛高一检测)已知α=2rad,则角α是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B.因为1rad ≈57.30°,所以2rad ≈114.60°,即α是第二象限角. 【举一反三】若α=-3rad,则角α是第几象限角?【解析】因为1rad ≈57.30°,所以-3rad ≈-171.90°,即α是第三象限角. 6.集合M=,N=x x=+,k ∈Z ,则有 ( )A.M=NB.MNC.MND.M ∩N=【解析】选C.因为集合M 是表示终边在第一、三象限或第二、四象限的角平分线上的角的集合.集合N 是表示终边在坐标轴(四个位置)上和在第一、三象限或第二、四象限的角平分线上的角的集合.所以M N.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·无锡高一检测)已知扇形的周长是6cm,面积是2cm 2,则扇形的圆心角的弧度数是 . 【解析】设扇形的半径为rcm,弧长是l cm,则2r 61r 22ì+=ïïïíï=ïïî，，l l 解得r 14ì=ïïíï=ïî，l 或r 22ì=ïïíï=ïî，，l 所以α=r l==4或α=rl ==1. 答案:1或48.(2014·连云港高一检测)已知角α,β的终边关于x+y=0对称,且α=-,则β= . 【解析】-角的终边关于y=-x 对称的射线的对应角为-+=-,所以β=-+2k π,k ∈Z.答案:-+2kπ,k∈Z9.如图,在半径为1的圆上有两点A,B,若的长等于2,则弓形AMB的面积为.【解题指南】弓形的面积为扇形面积与△AOB面积的差.【解析】因为的长等于2,圆的半径为1,故∠AOB=2 rad,所以S扇形=×2×1=1,S△AOB=·AB·ON=·2sin1·cos1=sin1·cos1,故弓形的面积为1-sin1·cos1.答案:1-sin1·cos1三、解答题(每小题10分,共20分)10.如图,圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过θ(0<θ<π)角,2分钟到达第三象限,14分钟后回到原来的位置,求θ.【解析】由题意知A点2分钟转过2θ,且π<2θ<π,A点14分钟后回到原位,所以14θ=2kπ(k∈Z),θ=(k∈Z),且<θ<π,所以θ=π或π.11.如图,已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB的面积.【解题指南】先求出扇形OAB的面积,再求出△OAB的面积,作差即可得弓形ACB的面积.【解析】因为120°=π=π,所以l=6×π=4π,所以的长为4π.因为S扇形OAB=l r=×4π×6=12π,如图所示,有S△OAB=×AB×OD(D为AB中点)=×2×6cos×3=9.所以S弓形ACB=S扇形OAB-S△OAB=12π-9.所以弓形ACB的面积为12π-9.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·嘉兴高一检测)在半径为5的圆中,的圆心角所对的弧长是( )A. B. C. D.【解析】选C.l=·r=×5=.2.(2014·重庆高一检测)下列各集合中,终边相同的角的集合是( )A.与(k∈Z)B.与(k∈Z)C.与(k∈Z)D.与(k∈Z)【解析】选A.利用特殊值法,k取…,0,1,2,…时,A中两集合分别为与{…,-π,π,3π,5π,…},显然两集合相等;B中两集合分别为与,两集合不相等.同样验证C,D不相等.【变式训练】与终边相同的角的表达式中,正确的是( )A.2kπ+45°,k∈ZB.k·360°+,k∈ZC.k·360°-315°,k∈ZD.kπ+,k∈Z【解析】选C.弧度和角度不能在同一个表达式中,故选项A,B错误.而kπ+,k∈Z表示的角是第一、三象限角,而是第一象限角,故选C.3.(2014·临沂高一检测)把-π表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使最小的θ值是( )A.-B.-C.D.【解析】选A.令-=θ+2kπ,则θ=--2kπ,取k≤0的值,k=-1时,θ=-,=,k=-2时,θ=,=>,k=0时,θ=-,=>,所以满足题意的θ=-.4.(2014·天津高一检测)已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长,则这段弧所对的圆周角的弧度数为( )A. B.2 C. D.【解析】选 C.设圆的半径为r,则圆的内接正方形的边长为r,故弧长为r,这段弧所对的圆心角为=,圆周角为.二、填空题(每小题5分,共10分)5.弧长为4π的扇形的圆心角为,则此扇形的面积为.【解析】根据题意,结合扇形的弧长公式,弧长为4π的扇形的圆心角为,那么可知半径为12,此扇形的面积为×12×4π=24π.答案:24π6.若角α的终边与角π的终边相同,则在[0,2π]上,终边与角的终边相同的角是.【解析】因为角α的终边与角π的终边相同,所以α=2kπ+(k∈Z),所以=+(k∈Z),令k取0,1,2,3,可得相应的的值为π,π,π,π.答案:π,π,π,π【误区警示】本题易出现的错误是:由终边相同得α=,求得结果只有π,错误的原因在于对终边相同的角之间的关系理解不深.【拓展提升】在给定区间上找与已知角终边相同的角的步骤首先写出终边相同的角的一般形式,然后根据区间的范围讨论k的取值,最后把k的值代入一般形式,即可得结果.三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知α=2000°.(1)把α写成2kπ+β(k∈Z,β∈[0,2π))的形式.(2)求θ,使得θ与α的终边相同,且θ∈(4π,6π).【解题指南】(1)先用角度表示出来,再转化成弧度.(2)根据(1)题先写出θ的表示形式,再由θ的范围求θ.【解析】(1)α=2000°=5×360°+200°=10π+π.(2)θ与α的终边相同,故θ=2kπ+π,k∈Z,又θ∈(4π,6π),所以k=2时,θ=4π+π=.8.单位圆上两个动点M,N同时从P(1,0)点出发,沿圆周运动,M点按弧度/秒逆时针方向旋转,N点按弧度/秒顺时针方向旋转,试求它们出发后第一次相遇时各自走过的弧度.【解析】设从P点出发后,t秒时M,N第一次相遇,则有t+t=2π,解得t=4.故M走了×4=π(弧度),N走了×4=π(弧度).。
三角函数任意角弧度图象和性质单调性课后限时作业(二)带答案新教材高中数学
5．已知 若a=f（lg5）， 则
A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=1
6．把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是
7．已知f（x）是定义在（0，3）上的函数，f（x）的图象如图4—1所示，那么不等式f（x）cosx＜0的解集是（）
解：（1）由题意得 ，周期 ，得 ，（4分）此时 ，
将 代入上式得 ，即 ， ，
解得 ，所以 ＝ ；（8分）
（2）因为 ，所以 ，（10分）
所以，当且仅当 ，即 时， ，
即有 的最大值为2．（14分）
21．
22．法Ⅰ：
法Ⅱ：
提示：依题意得 ，所以 是等腰直
角三角形，又斜边 上的高为2，因此有 =4,即
该函数的最小正周期的一半为4，所以 ， .
15．已知函数 的图像如图所示，则 。
【解析】由图象知最小正周期 （ ）＝ ＝ ，故 ，又 时， ，即 ，可得 ，所以， 2 。
16．如图，点A、B在函数 的图象上,则直线 的方程为▲.5u.k.s
高中数学专题复习
《三角函数任意角弧度图象和性质单调性》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷 Nhomakorabea选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、选择题
1．若函数 的图象（部分）如图所示，则 的取值是
∴ ∴0＜x＜1或 ＜x＜3
高中数学 312弧度制课后训练 湘教版必修2
3.1.2 弧度制双基达标(限时20分钟) 1．下列命题中，假命题是 ( )．A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12πC ．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关解析 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与 圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D 是假命题．A 、B 、C 均为真命题．答案 D2．－115π弧度化为角度 是 ()． A ．－370° B ．－396° C ．－410° D ．－426°解析 －115π＝－115×180°＝－396°.答案 B3．一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形的面积为 ( )．A ．2R 2B ．2 C.12R 2 D ．R 2解析 由题意可知扇形的弧长为2R .于是S 扇形＝12·R ·2R ＝R 2.故选D.答案 D4．圆弧长度等于其内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为________．解析 设圆的半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，由1弧度的角的定 义可得x ＝3r r ＝3，即所求圆心角的弧度数是 3.答案 35．若2π＜α＜4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝________．解析 －76π＋72π＝146π＝73π，－76π＋92π＝206π＝103π.答案 73π或103π 6．已知扇形OAB ，OA ＝160 cm ，＝240 cm ，求：(1)∠AOB 的弧度数；(2)扇形OAB 的面积．解 (1)|α|＝l r ＝32； (2)S ＝12|α|·r 2＝19 200(cm 2)． 综合提高 (限时25分钟)7．集合A ＝{α|α＝k π－π2，k ∈Z }与集合B ＝{α|α＝2k π±π2，k ∈Z }的关系是 ( )．A ．A ＝BB ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对 答案 A8．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其圆心角的弧度数是( )． A ．1或4 B ．1或2 C ．2或4 D ．1或5 解析 设扇形半径为r ，圆心角为x ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋xr ＝6，12xr 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，x ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，x ＝1. 答案 A9．半径为12 cm ，弧长为8π cm 的弧，其所对的圆心角为α，则与α终边相同的角的集合为________．解析 圆心角α＝8π12＝2π3， ∴α＝2k π＋2π3，k ∈Z . 答案 {α|α＝2k π＋2π3，k ∈Z } 10．在直径为10 cm 的轮上有一长为6 cm 的弦，P 是该弦的中点，轮子以每秒5弧度的速度旋转，则经过5秒后点P 转过的弧长是________cm.解析 如图，连接OP 且延长到圆上点A ，CD ＝6 cm ，OD ＝5 cm 易知OP ＝4 cm ；A 、P 两点角速度相同，故5秒后P 点转过的角度为25弧度，从而P 转过的弧长为25×4＝100(cm)．答案 10011．已知扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .解 设这个扇形的半径为R cm ，弧长为l cm ，圆心角为α(α＞0)．(1)由已知，⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝8，12lR ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧R 1＝3，l 1＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝1，l 2＝6.由α＝l R 可得α＝23或6. (2)扇形的面积S ＝12lR ＝12(8－2R )R ＝－(R －2)2＋4(0＜R ＜4)． 当且仅当R ＝2 cm 时，S 取得最大值4 cm 2，这时，l ＝8－2R ＝4(cm)．可求出：α＝l R ＝2.又∵0＜2＜π，∴|AB |＝2R sin α2＝4sin 1(cm)． 12．(创新拓展)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m π＋π6，m ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪x ＝n π2 ⎭⎪⎬⎪⎫ －π3，n ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝ρπ2＋π6，ρ∈Z ，试确定M 、N 、P 之间满足的 关系．解 法一 集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m π＋π6，m ∈Z ； N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝n π2－π3，n ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2m π2－π3或x ＝2m ＋12π－π3，m ∈Z ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π－π3或x ＝m π＋π6m ∈Z . P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝ρπ2＋π6，ρ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2m 2π＋π6或x ＝2m －12π＋π6，m ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m π＋π6或x ＝m π－π3，m ∈Z . 所以M N ＝P .法二 M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m π＋π6，m ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝6m ＋16π，m ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝3·（2m ）＋16π，m ∈Z ；N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝n π2－π3，n ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝3n －26π，n ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝3m ＋16π，m ∈Z ；P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝ρπ2＋π6，ρ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝3ρ＋16π，ρ∈Z＝N .所以M N ＝P .。
高中数学 第一章 三角函数 课时作业2 1.1.2 弧度制 新
课时作业(二) 1.1.2 弧度制1．下列命题中正确的是( ) A ．终边在y 轴非负半轴上的角是直角 B ．第二象限角一定是钝角 C ．第四象限角一定是负角D ．若β＝α＋k·360°(k∈Z )，则α与β终边相同 答案 D2．下列四个命题中，正确的是( ) A ．若α是第一象限角，则α2一定是第一象限角 B ．若式子k·360°＋α(k∈Z )表示所有与α终边相同的角(包括α角在内)，则α为锐角C ．终边相同的角不一定相等D ．角α和角2α的终边不可能相同 答案 C解析 A 中α2是第一或第三象限角；B 中α可以是任意角；D 中α角假设为第一象限角，那么2α的终边在第一、第二象限或在y 轴正半轴上，有可能相同．又如α＝360°，2α＝720°角终边相同．3．已知角2α的终边在x 轴上方，那么α是( ) A ．第一象限角 B ．第一或第二象限角 C ．第一或第三象限角 D ．第一或第四象限角答案 C解析 ∵角2α的终边在x 轴上方，∴k ·360°<2α<k ·360°＋180°， ∴k ·180°<α<k ·180°＋90°(k∈Z )．当k 为奇数时，α在第三象限．当k 为偶数时，α在第一象限．4．若α＝n·360°＋θ，β＝m·360°－θ，m ，n ∈Z ，则α、β终边的位置关系是( ) A ．重合 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称 答案 C解析 由α＝n·360°＋θ可知α与θ是终边相同的角；由β＝m·360°－θ可知β与－θ是终边相同的角，而θ与－θ两角关于x 轴对称，故α与β两角终边关于x 轴对称．5．若α和β终边关于y 轴对称，则必有(k∈Z )( )A ．α＋β＝90°B ．α＋β＝k·360°＋90°C ．α＋β＝k·360°D ．α＋β＝(2k ＋1)·180°答案 D解析 假设α、β为0°～180°内的角，因为α与β终边关于y 轴对称，所以α＋β＝180°，结合终边相同角的概念．可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k ＋1)·180°.6．若α、β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________． 答案 k·360°＋60°(k∈Z )解析 在[0°，360°)内与α＝－120°的终边互为反向延长线的角是60°，∴β＝k·360°＋60°(k∈Z )．7．已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小的正角是________． 答案 240°解析 与α角终边相同的角为β＝k·360°－3 000°(k∈Z )． 由题意，令k·360°－3 000°>0，则k>253，故取k ＝9，得与α终边相同的最小正角为240°.8．若角β的终边与60°角的终边相同，在[0°，360°)内，终边与β3的终边相同的角为________．答案 20° 140° 260°解析 因为角β的终边与60°角的终边相同，所以有β＝k·360°＋60°(k∈Z )， 所以β3＝k·120°＋20°，分别取k ＝0，1，2时即可．9．已知θ∈{α|α＝k π＋(－1)k·π4，k ∈Z }，则角θ的终边所在的象限是________．答案 一、二象限解析 k ＝2n －1，n ∈Z 时，α＝(2n －1)π＋(－1)2n －1π4＝2n π－π－π4， α终边在第二象限．k ＝2n ，n ∈Z 时，α＝2n π＋(－1)2nπ4＝2n π＋π4，α终边在第一象限． 10．写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角？答案(1){α|45°＋k·180°≤α≤90°＋k·180°，k∈Z}；－950°12′＝－3×360°＋129°48′，不是该集合中的角．(2){α|－150°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；－950°12′是该集合中的角．11．写出如图所示阴影部分的角α的范围．解析(1)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式．所以图(1)阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}．(2)同理可表示图(2)中角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．12．已知α＝－1 910°.(1)把角α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，指出它是第几象限的角；(2)求出θ的值，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.解析(1)∵－1 910°＝－6×360°＋250°，0°≤250°<360°.∴把α＝－1 910°写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式为α＝－1 910°＝－6×360°＋250°，它是第三象限角．(2)∵θ与α的终边相同，令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，取k＝－1或－2就得到符合－720°≤θ<0°的角：250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或－470°.►重点班·选做题13．已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α<k·180°＋90°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－45°<β<k·360°＋45°，k∈Z}，求A∩B.解析如图所示，集合A中角的终边是30°至90°角的终边或210°至270°角的终边，集合B中角的终边是－45°至45°角的终边，∴A∩B的角的终边是30°至45°角的终边，∴A∩B＝{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋45°，k∈Z}．。
高中数学 课时作业2 弧度制A必修4 试题(共3页)
课时作业(zu òy è)二：弧度制(建议用时：30分钟)一、选择题(每一小题5分，一共25分)1．－300°化为弧度是( )A ．－4π3B ．－5π3C ．－7π4D ．－7π62.8π5弧度化为角度是( )A ．278°B ．280°C ．288°D ．318°3．假设角α，β的终边关于y 轴对称，那么α，β的关系一定是() A ．α＋β＝πB ．α－β＝π2C ．α－β＝(2k ＋1)π(k ∈Z )D ．α＋β＝(2k ＋1)π(k ∈Z )4．扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，那么扇形的面积为() A ．2 B ．4C ．8D ．165．[2021·永嘉高一月考]集合⎩⎪⎨⎪⎧ α⎪⎪⎪ k π＋π4≤α≤k π＋π2，} k ∈Z 中的角所表示的范围 (阴影局部)是( )二、填空题(每一小(yī xiǎo)题5分，一共15分)6．角度制与弧度制间的互化：(1)1095°＝__________rad ；(2)－94π＝__________. 7．假设圆的半径为 6 cm ，那么15°的圆心角所对的弧长为________，扇形面积为________．(用π表示)8．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，那么该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________．三、解答题(每一小题10分，一共20分)9．α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求角γ，使γ与角α的终边一样，且γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.10．扇形(shàn xínɡ)的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？内容总结。
2019高中数学 课时分层作业2 弧度制 新人教A版必修4
课时分层作业(二) 弧度制(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．1 920°转化为弧度数为( ) A.163 B.323 C.16π3D.32π3D [1 920°＝5×360°＋120°＝5×2π＋2π3＝32π3.]2．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是( )【导学号：84352016】A.π6B.π3C.2π3D.4π3C [与角－4π3终边相同的角是2k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3，k ∈Z ，令k ＝1，可得与角－4π3终边相同的角是2π3，故选C.]3．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上角的集合是⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈ZC ．终边在坐标轴上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k ·π2，k ∈ZD ．终边在直线y ＝x 上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π4＋2k π，k ∈ZD [对于A ，终边在x 轴上角的集合是{ α|}α＝k π，k ∈Z ，故A 正确；对于B ，终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ，故B 正确；对于C ，终边在x 轴上的角的集合为{ α|}α＝k π，k ∈Z ，终边在y 轴上的角的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ，故合在一起即为{ α|}α＝k π，k ∈Z ∪⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ＝⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π2，k ∈Z ，故C 正确；对于D ，终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π4＋k π，k ∈Z ，故D 不正确．]4．若θ＝－5，则角θ的终边在第( ) A ．四象限 B ．三象限 C ．二象限D ．一象限D [因为－2π＜－5＜－3π2，所以α是第一象限角．]5．已知扇形的弧长是4 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) 【导学号：84352017】A ．1B ．2C ．4D ．1或4C [因为扇形的弧长为4，面积为2， 所以扇形的面积为12×4×r ＝2，解得r ＝1，则扇形的圆心角的弧度数为41＝4.故选C.]二、填空题6．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为______________．A ＝π5，B ＝π3，C ＝7π15[因为A ＋B ＋C ＝π， 又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，所以A ＝3π3＋5＋7＝π5，B ＝5π3＋5＋7＝π3，C ＝7π15.]7．用弧度表示终边落在y 轴右侧的角的集合为________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪－π2＋2k π＜θ＜π2＋2k π，k ∈Z [y 轴对应的角可用－π2，π2表示，所以y轴右侧角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪－π2＋2k π＜θ＜π2＋2k π，k ∈Z .] 8．已知扇形OAB 的圆心角为57π，周长为5π＋14，则扇形OAB 的面积为________.【导学号：84352018】35π2 [设扇形的半径为r ，圆心角为57π， ∴弧长l ＝57πr ，∵扇形的周长为5π＋14，∴57πr ＋2r ＝5π＋14，解得r ＝7，由扇形的面积公式得＝12×57π×r 2＝12×57π×49＝35π2.]三、解答题9．已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． [解] (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6，又π＜7π6＜3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤γ＜0，∴当k ＝－3时，γ＝－296π；当k ＝－2时，γ＝－176π；当k ＝－1时，γ＝－56π.10．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【导学号：84352019】[解] (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ， 知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r ＝10，∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝253，∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝25⎝⎛⎭⎪⎫2π3－3.[冲A 挑战练]1．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2C ．2sin 1D ．2sin 1D [设圆的半径为R ，则sin 1＝1R ，∴R ＝1sin 1，故所求弧长为l ＝α·R ＝2·1sin 1＝2sin 1.] 2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( ) A ．143πB ．－143πC ．718π D ．－718πB [分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的13，用弧度制表示就是：－4π－13×2π＝－143π.]3．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________________.[－4，－π]∪[0，π] [如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．]4．若角α与角8π5终边相同，则在[0,2π]内终边与α4终边相同的角是________.【导学号：84352020】2π5，9π10，7π5，19π10 [由题意得α＝8π5＋2k π(k ∈Z )，α4＝2π5＋k π2(k ∈Z )，又α4∈[0,2π]，所以k ＝0,1,2,3， 此时α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.]5．如图1110所示，已知一长为 3 dm ，宽为1 dm 的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A 走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积. 【导学号：84352021】图1110[解]所在的圆半径是2 dm ，圆心角为π2；所在的圆半径是1 dm ，圆心角为π2；A 2A 3所在的圆半径是 3 dm ，圆心角为π3，所以点A 走过的路径长是三段圆弧之和，即2×π2＋1×π2＋3×π3＝＋23π6(dm)．三段圆弧所在扇形的总面积是12×π×2＋12×π2×1＋12×3π3× 3＝7π4(dm 2).。
课时分层作业2 弧度制
课时分层作业(二) 弧度制(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( ) A.403π B.203π C.2003πD.4003πA [240°＝240×π180 rad ＝43π rad ， ∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.]2．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过( )A.5π11 rad B.44π5 rad C.5π22 radD.22π5 radB [由题意，当大链轮转过一周时，小链轮转过8820周，8820×2π＝44π5.] 3．与30°角终边相同的角的集合是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k ·360°＋π6，k ∈Z B ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z } C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z }D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π6，k ∈ZD [∵30°＝π6，∴α＝2k π＋π6，k ∈Z .]4．终边落在直线y ＝x 上的角α的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4⎩⎭44C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝π4＋2k π，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋k π，k ∈ZD [角的终边落在直线y ＝x 上，即此角的终边为第一、三象限角的平分线，故角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋k π，k ∈Z .]5．若2弧度的圆心角所对的弧长为4 cm ，则这个圆心角所对的扇形面积是( )【导学号：64012019】A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．4π cm 2D ．2π cm 2A [设扇形的半径为r ，则由l ＝|α|r ，得r ＝42＝2(cm)，∴S ＝12|α|r 2＝12×2×22＝4(cm 2)，故选A.] 二、填空题6．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________． [解析] 216°＝216×π180＝6π5，l ＝α·r ＝6π5·r ＝30π， 所以r ＝25. [答案] 257．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是________． [答案] 25π8．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．[解析] 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .4三、解答题9．把下列各角化为2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )形式指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.【导学号：64012019】[解] (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪β＝2k π＋2π3，k ∈Z. (2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－5×2π＋7π4，它是第四象限角．终边相同的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪β＝2k π＋7π4，k ∈Z . (3)－20＝－4×2π＋(8π－20)，而3π2<8π－20<2π.∴－20是第四象限角，终边相同的角的集合为{α|α＝2k π＋(8π－20)，k ∈Z }． 10．直径为20 cm 的圆中，求下列两个圆心角所对的弧长及扇形面积． (1)4π3；(2)165°.[解] (1)l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π(cm)， S ＝12|α|·r 2＝12×43π×102＝2003π(cm 2)． (2)165°＝π180×165 rad ＝1112π rad. ∴l ＝|α|·r ＝1112π×10＝556π(cm)． S ＝12l ·r ＝12×556π×10＝2756π(cm 2)．[冲A 挑战练]1．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( ) A.143π B ．－143π C.718πD ．－718πB [显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的13，用弧度制表示就是－4π－13×2π＝－143π.]2.如图1-3-2是一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是( )图1-3-2A.12(2－sin 1cos 1)R 2 B.12R 2sin 1cos 1 C.12R 2D ．(1－sin 1cos 1)R 2D [∵l ＝4R －2R ＝2R ，∴α＝lR ＝2.∵S 弓形＝S 扇形－S △＝12|α|R 2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫2R sin α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫R cos α2 ＝12×2×R 2－R 2sin 1·cos 1＝R 2(1－sin 1cos 1)．]3．已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是________． [解析] ∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2， 当k ＝－1时，－32π<α<－π， 当k ＝0时，π2<α≤2，当k 为其他整数时，满足条件的角α不存在． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π，－π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，24．若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝________. [解析] α＝－76π－π2＋2k π＝2k π－53π，k ∈Z ， ∵2π<α<4π，∴k ＝2，α＝73π；或者α＝－76π＋π2＋2k π＝2k π－23π，k ∈Z ， ∵2π<α<4π，∴k ＝2，α＝103π. 综上，α＝73π或103π. [答案] 73π或103π5．已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值.【导学号：64012019】[解] 设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S . 由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r . ∴S ＝12l ·r ＝12(a －2r )·r ＝－r 2＋a 2r ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －a 42＋a 216.∵r >0，l ＝a －2r >0，∴0<r <a 2，∴当r ＝a 4时，S max ＝a 216.此时，l ＝a －2·a 4＝a2，∴α＝l r ＝2.故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积最大，最大值为a 216.。
北师大版高中数学必修四同步课时作业：1-3弧度制.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§3 弧度制 课时目标 1．理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换．2．掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．1．角的单位制(1)角度制：规定周角的____________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．(3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的______________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个______，零角的弧度数是____．2．角度制与弧度制的换算角度化弧度 弧度化角度360°＝______ rad 2π rad ＝________180°＝____ rad π rad ＝______1°＝________rad ≈0．017 45 rad 1 rad ＝____________≈57．30°＝57°18′3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α (0<α<2π)为其圆心角，则度量单位 类别α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l ＝________ l ＝____扇形的面积 S ＝____ S ＝____＝______一、选择题 1．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2C ．2sin 1D ．2sin 1 3．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其中心角的弧度数是( )A ．1或4B ．1或2C ．2或4D ．1或54．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A ．π4 B ．－π4 C ．34π D ．－34π 6．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1∶3 B ．2∶3 C ．4∶3 D ．4∶9二、填空题7．将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．9．若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝______． 10．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝ ________________．三、解答题11．把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°；(2)236π；(3)－4．12．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？能力提升13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R ．(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π”这一关系式．易知：度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．§3 弧度制 答案知识梳理1．(1)1360 (2)半径长 1 rad (3)|α|＝l r终边的旋转方向 正数 负数 0 2．2π 360° π 180° π180 ⎝⎛⎭⎫180π° 3．απR 180 αR απR 2360 12αR 2 12lR 作业设计1．A2．C [r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1．] 3．A [设扇形半径为r ，圆心角为α，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ＋αr ＝612αr 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2α＝1．] 4．C [集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．]5．D [∵－114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π， ∴θ＝－34π．] 6．B [设扇形内切圆半径为r ，则r ＋r sin π6＝r ＋2r ＝a ．∴a ＝3r ，∴S 内切＝πr 2． S 扇形＝12αr 2＝12×π3×a 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2． ∴S 内切∶S 扇形＝2∶3．]7．－10π＋74π解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，∴－1 485°可以表示为－10π＋74π． 8．25解析 216°＝216×π180＝6π5，l ＝α·r ＝6π5r ＝30π，∴r ＝25． 9．73π或103π 解析 －76π＋72π＝146π＝73π， －76π＋92π＝206π＝103π． 10．－11π3，－5π3，π3，7π3解析 由题意，角α与π3终边相同，则π3＋2π＝73π， π3－2π＝－53π，π3－4π＝－113π． 11．解 (1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π3， ∴－1 500°与53π终边相同，是第四象限角． (2)236π＝2π＋116π， ∴236π与116π终边相同，是第四象限角． (3)－4＝－2π＋(2π－4)，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．12．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r ．∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2 ＝－(r －10)2＋100．∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad ． ∴当半径为10 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形的面积最大，最大面积为100 cm 2． 13．4 2解析 设圆半径为r ，则内接正方形的边长为2r ，圆弧长为42r ．∴圆弧所对圆心角|θ|＝42r r＝42． 14．解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)． S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin 60° ＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)． (2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2R R， ∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R＝－R 2＋12cR ＝－(R －c 4)2＋c 216． 当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216．。
课时分层作业2 弧度制
课时分层作业(二) 弧度制(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( ) A.403π B.203π C.2003π D.4003π A [240°＝240×π180 rad ＝43π rad ， ∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.]2．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过( )A.5π11 rad B.44π5 rad C.5π22 radD.22π5 radB [由题意，当大链轮转过一周时，小链轮转过8820周，8820×2π＝44π5.] 3．与30°角终边相同的角的集合是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k ·360°＋π6，k ∈Z B ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z } C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z }D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π6，k ∈Z D [∵30°＝π6，∴α＝2k π＋π6，k ∈Z .]4．终边落在直线y ＝x 上的角α的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4，5π4 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝π4＋2k π，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋k π，k ∈ZD [角的终边落在直线y ＝x 上，即此角的终边为第一、三象限的平分线，故角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋k π，k ∈Z .]5．若2弧度的圆心角所对的弧长为4 cm ，则这个圆心角所对的扇形面积是( )A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．4π cm 2D ．2π cm 2A [设扇形的半径为r ，则由l ＝|α|r ，得r ＝42＝2(cm)，∴S ＝12|α|r 2＝12×2×22＝4(cm 2)，故选A.] 二、填空题6．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________． 25 [216°＝216×π180＝6π5，l ＝α·r ＝6π5·r ＝30π， 所以r ＝25.]7．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是________． [答案] 25π8．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．34 [由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .] 三、解答题9．把下列各角化为2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )形式并指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.[解] (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪β＝2k π＋2π3，k ∈Z. (2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－5×2π＋7π4，它是第四象限角．终边相同的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪β＝2k π＋7π4，k ∈Z. (3)－20＝－4×2π＋(8π－20)，而3π2<8π－20<2π.∴－20是第四象限角，终边相同的角的集合为{α|α＝2k π＋(8π－20)，k ∈Z }． 10．直径为20 cm 的圆中，求下列两个圆心角所对的弧长及扇形面积． (1)4π3；(2)165°.[解] (1)l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π(cm)， S ＝12|α|·r 2＝12×43π×102＝2003π(cm 2)． (2)165°＝π180×165 rad ＝1112π rad. ∴l ＝|α|·r ＝1112π×10＝556π(cm)． S ＝12l ·r ＝12×556π×10＝2756π(cm 2)．[等级过关练]1．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z中角的终边所在的范围(阴影部分)是 ( )A B C DC [当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.]2.如图是一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是( )A.12(2－sin 1cos 1)R 2 B.12R 2sin 1cos 1 C.12R 2D ．(1－sin 1cos 1)R 2D [∵l ＝4R －2R ＝2R ，∴α＝lR ＝2.∵S 弓形＝S 扇形－S △＝12|α|R 2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫2R sin α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫R cos α2 ＝12×2×R 2－R 2sin 1·cos 1＝R 2(1－sin 1cos 1)．]3．扇形圆心角为π3，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为________．2∶3 [如图，设内切圆半径为r ，则r ＝a3，所以S 圆＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＝πa 29，S 扇＝12a 2·π3＝πa 26，所以S 圆S 扇＝23.] 4．已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π，－π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2 [∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2， 当k ＝－1时，－32π<α<－π， 当k ＝0时，π2<α≤2，当k 为其他整数时，满足条件的角α不存在．]5．已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．[解] 设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S . 由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r . ∴S ＝12l ·r ＝12(a －2r )·r ＝－r 2＋a 2r＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －a 42＋a 216.∵r >0，l ＝a －2r >0，∴0<r <a 2，∴当r ＝a 4时，S max ＝a 216.此时，l ＝a －2·a 4＝a2，∴α＝l r ＝2.故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积最大，最大值为a 216.。
高中数学北师大版 § 3孤度制 课后练习、课时练习
一、单选题1. 扇形的半径为1，圆心角的弧度数为2，则这个扇形的周长是（）A．3 B．4 C．5 D．以上都不对2. 若扇形的面积是，它的周长是，则扇形圆心角（正角）的弧度数为（）A．B．C．D．3. 两个圆心角相同的扇形的面积之比为1：2，则这两个扇形周长的比为（）A．1：2 B．1：4 C．D．1：84. 勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．勒洛三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触．机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成勒洛三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如在勒洛三角形ABC内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC内的概率为（）A．B．C．D．5. 已知角，则的弧度数为（）A．B．C．D．6. 已知扇形的周长为6，圆心角的弧度数是4，则该扇形的弧长为（）A．2 B．4 C．6 D．8二、多选题7. 下列说法中正确的是（）A．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的C．根据弧度的定义，一定等于弧度D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关8. 孔尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉佩丁冬”．玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品．现有一玉佩如图1所示，其平面图形可以看成扇形的一部分（如图2），已知，则（）A．B．弧的长为C．该平面图形的周长为D．该平面图形的面积为三、填空题9. 时钟从7：45到8：20，分针转过了_____________弧度．10. 经过50分钟，钟表的分针转过___________弧度的角.11. 已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为__________.12. 已知扇形的周长为，面积为，则扇形圆心角的弧度数为___________.四、解答题13. 把下列各角从度化为弧度：（1） 75°；（2）22°30′．14. （1）在面积为16的扇形中，半径多少时扇形的周长最小；（2）求的最大值.15. 已知一个扇形的周长为，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值.16. 把下列各角从度化为弧度：(1)；(2)．。
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数学必修四·北师大版 延安中学数学活页作业
罗素说：“数学是符号加逻辑”
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弧度制 课时作业(二)
编写人：郑李娜
1.和60°角终边相同的角的集合可以表示为( ) A.{α|α=k ·360°+3
π，k ∈Z }
B.{α|α=2k π+60°，k ∈Z }
C.{α|α=2k ·360°+60°，k ∈Z }
D.{α|α=2k π+3
π，k ∈Z }
2.下列各角中终边相同的角是( ) A.2
π和－2
π+2k π（k ∈Z ）
B.－3
π和3
π22
C.－9
π7和9
π11
D.3
π20和9
π
122
3. 将下列各角化为2(02,)k k Z πααπ+≤<∈的形式，并判断其所在象限． ⑴
π6
23 ； ⑵ 1500- （3）π7
18-
； （3）672 ．
4.扇形弧长为18cm ，半径为12cm ，求此扇形面积
5.圆的半径变为原来的21
，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的____倍.
6.分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为1m 的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度.
7.已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径为6，求此扇形面积和它所含弓形面积.。