高等数学上册总复习

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高数讲义上册总复习

a
0
若 f (x) 为偶函数，即 f (x ) f ( x )
a
a
a f (x)d x 2 0 f (x)d x
若 f (x) 为奇函数，即 f (x ) f ( x )
a
a f (x)d x 0
例1：求
5 5
x 3 sin 2x x4 x2 1
d
x
例2：求 2 ( x 3 sin 2 x ) cos 2 x d x
（特别关注）
4.已知函数 f (x) 满足:
1
0
f
(ux)d u
1 2
f
(x) 1,
1
0 f ( x)d x
1,
求 f (x) .
答案： f ( x) 2(1 x).
2。二阶常系数非齐次微分方程的通解
（非齐项为 e x Pm ( x) 类型）
重点： y py qy e x Pm ( x)
六、综合证明题
（1）用单调性证明不等式
（2）利用积分中值定理和罗尔定理证明含有中值的等式
（3）零点定理（熟练掌握函数的构造方法）
所确定,
求
d2 dx
y
2
.
求由方程
x y
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的设
4. 函数的单调性判别，极值 5. 求曲线的凹凸区间及拐点, 例如:
例1 设 y 1 arctan 1 x2 1 ln 1 x2 1 ,
2
4 1 x2 1
求 y.
例 2 计算由曲线 y x3 6x 和 y x2 所围成
的图形的面积.
例3：求曲线
y x2, 2
y
1 1 x
2

高等数学(上册)重点总结

第一章函数、极限和连续§1.1 函数一、主要内容㈠函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。

㈡函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)㈢基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极限一、主要内容㈠极限的概念1. 数列的极限:A ynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限： ⑴当∞→x时，)(x f 的极限：Ax f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x →时，)(x f 的极限：A x f xx =→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：A x f x f A x f x x x x xx ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 000㈡无穷大量和无穷小量 1．无穷大量：+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。

高等数学(上册)复习总结

高等数学（上册）复习总结第一章函数、极限与连续主要知识点：函数的概念；函数的奇偶性、有界性；复合函数；初等函数；极限的概念;极限的性质（唯一性、有界性、保号性）；夹逼准则、单调有界原理、两个重要极限；无穷小的概念、无穷小阶的比较；等价无穷小代换性质、无穷小与有界函数乘积仍为无穷小之性质；函数的双侧极限与单侧极限（即左右极限）之关系；函数连续的概念及定义；判别间断点的类型；闭区间上连续函数的性质（零点定理、最值定理）。

主要技能测试点：1．对极限概念的理解，并能灵活运用计算极限的各种方法计算极限；2．对连续概念的理解，会讨论函数的连续、间断情形，并能判别间断点的类型。

主要题型：1．函数复合；2．计算各种类型的极限；3．确定极限式中所含的参数；3．无穷小阶的比较；4．函数连续性的讨论及确定函数式中的参数（已知函数连续）；5．判别间断点的类型；6．利用零点定理讨论方程根的存在。

第二讲导数与微分主要知识点：导数定义；左右导数的定义及左右导数与导数的关系；可导与连续的关系；导数作为函数变化率的几何意义、物理意义；曲线的切线与法线方程；导数公式；求导法则（四则运算、复合函数、反函数）；微分的概念；高阶导数。

主要技能测试点：1、对导数定义的理解，运用导数定义求导数及求具有导数结构的极限；2、掌握计算导数的各种方法，会求各类函数的导数。

3．运用导数的几何、物理意义解决有关曲线的斜率、瞬时速度等实际问题。

主要题型：1、利用导数定义求导数及求具有导数结构的极限；2、讨论函数在一点的连续性与可导性的；3、求复合函数的导数（包括抽象复合函数的求导）；4、求隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数；5、求幂指函数的导数；6、求高阶导数第三讲中值定理与导数应用主要知识点：三个中值定理（罗尔、拉格郎日、柯西）；洛必达法则；利用导数判别函数的单调性；极值的概念；函数取得极值的充分与必要条件；极值的判别法（一阶导数判别法、二阶导数判别法）；求最值的方法；曲线的凹凸性的判别法及求拐点的方法；曲线的渐近线。

(完整版)高数上册知识点

高等数学上册知识点第一章函数与极限、、、函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数在连续)(x f 0x )()(lim 00x f x f x x =→第一类：左右极限均存在。

间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

、、、极限1、定义1、数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2、函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00、、、左极限：右极限：)(lim )(00x f x f xx -→-=)(lim )(00x f x f xx +→+=)()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 、、2、极限存在准则1、夹逼准则：1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim ax n n =∞→lim 2、单调有界准则：单调有界数列必有极限。

3、无穷小（大）量1、定义：若则称为无穷小量；若则称为无穷大量。

0lim =α∞=αlim2、无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小k Th1;)(~ααββαo +=⇔Th2 （无穷小代换）αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~、、、、4、求极限的方法1、单调有界准则；2、夹逼准则；3、极限运算准则及函数连续性；4、两个重要极限：a) b)1sin lim 0=→xxx e xx xx xx =+=++∞→→11(lim )1(lim 105、无穷小代换：（）0→x a)xx x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b)221~cos 1x x -c)（）x e x ~1-a x axln ~1-d)（）x x ~)1ln(+axx a ln ~)1(log +e)xx αα~1)1(-+第二章导数与微分、、、导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数在点可导)(x f 0x )()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：为曲线在点处的切线的斜率。

高一上学期数学重点知识点复习

高一上学期数学重点知识点复习一、函数与方程1.函数的概念与表示方法：自变量、因变量、定义域、值域、图像等。

2.函数的基本性质：奇偶性、周期性、单调性、最值等。

3.常见函数的图像特征：线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

4.函数的运算：加减乘除、复合函数、反函数等。

5.一次方程与一次不等式的解法。

6.二次方程及其解的求法：配方法、因式分解、公式法等。

7.二次函数与二次方程的关系：顶点坐标、轴对称性等。

二、集合与运算1.集合的表示方法：枚举法、描述法、图示法等。

2.集合的基本运算：并集、交集、差集、补集等。

3.集合的运算规律：交换律、结合律、分配律等。

4.集合的关系：包含关系、相等关系、互不相交关系等。

5.数与集合的基本关系与运算：自然数、整数、有理数、实数等。

三、数列与数列的运算1.数列的概念：顺序数、项数、公差、通项等。

2.常见数列的性质：等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

3.数列的运算规律：加法、减法、乘法、除法等。

四、概率与统计1.概率的基本概念：随机试验、样本空间、事件、概率等。

2.事件的运算：包含关系、互不相交关系、并事件、积事件等。

3.概率的计算：古典概率、几何概率、条件概率、独立事件等。

4.统计的概念与方法：频数、频率、分组表、频数分布图等。

五、平面几何1.点、直线、平面及其性质：共线、平行、垂直等。

2.三角形的性质：角的性质、边长关系、面积计算等。

3.四边形的性质：平行四边形、矩形、正方形、菱形等。

4.圆的性质：圆心角、弧长、周长、面积计算等。

5.三角形的相似与全等性质：比例关系、角度关系等。

六、空间几何1.空间图形的基本概念与性质：点、线、面、体等。

2.立体图形的表面积计算：长方体、正方体、棱柱、棱锥等。

3.空间图形的体积计算：长方体、正方体、棱柱、棱锥、球等。

4.空间图形的投影与剖面：平行投影、垂直投影、平面剖面等。

七、导数与微分1.导数的概念与性质：斜率、变化率、图像、导函数等。

(完整版)高等数学(上)重要知识点归纳

高等数学（上)重要知识点归纳第一章函数、极限与连续一、极限的定义与性质 1、定义（以数列为例）,,0lim N a x n n ∃>∀⇔=∞→ε当N n >时，ε<-||a x n2、性质(1） )()()(lim 0x A x f A x f xx α+=⇔=→,其中)(x α为某一个无穷小。

（2)（保号性）若0)(lim 0>=→A x f xx ,则,0>∃δ当),(0δx U x o∈时，0)(>x f 。

（3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。

二、求极限的主要方法与工具 1、＊两个重要极限公式 (1)1sin lim=∆∆→∆ （2)e =◊+◊∞→◊)11(lim 2、两个准则（1）＊夹逼准则（2)单调有界准则 3、＊等价无穷小替换法常用替换：当0→∆时（1)∆∆~sin (2)∆∆~tan(3)∆∆~arcsin (4)∆∆~arctan（5）∆∆+~)1ln( （6）∆-∆~1e （7）221~cos 1∆∆- （8）nn ∆-∆+~114、分子或分母有理化法5、分解因式法 6用定积分定义三、无穷小阶的比较＊高阶、同阶、等价1、连续的定义＊)(x f 在a 点连续)()()()()(lim 0lim 0a f a f a f a f x f y ax x ==⇔=⇔=∆⇔-+→→∆2、间断点的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧其他震荡型（来回波动））无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类 3、曲线的渐近线*ax x f A y A x f ax x =∞===→∞→则存在渐近线：铅直渐近线：若则存在渐近线：水平渐近线：若,)(lim )2(,)(lim )1(五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理第二章导数与微分一、导数的概念 1、导数的定义＊a f x f a f x a f y dy a f y ax x x a x a x -=-∆+=∆=='='→→∆→∆==)()(lim )()(lim lim |)(|002、左右导数左导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='--→→∆-)()(limlim)(0 右导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='++→→∆+)()(limlim)(03、导数的几何意义＊k a f a x f y a x 处的切线斜率在点（曲线))(,)(|='=4、导数的物理意义加速度）速度）则若运动方程：()()()(,)(()()(t a t v t s t v t s t s s ='=''='= 5、可导与连续的关系：连续，反之不然。

高等数学高数期末总复习题

高数第一学期总复习题函数、极限、连续选择题1、下列函数中为偶函数的是（）。

A.2x xey -= B. x x y cos 2+= C. 2x x e e y --= D. 21sin xx+ 2、下列各对函数中是相同函数的是（）。

A.22)(,x y x y ==； B.1,112+=--=x y x x y ； C.)sin (cos ,22x x x y x y +== D.x y x y lg 2,lg 2==3、=⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=→），则设x f x x x x x x f x (lim 0,10,00,1)(0（） A. 1- B. 0 C.1 D. 不存在4、,0()1sin 1,0x e x f x x x x ⎧>⎪=⎨+<⎪⎩,则0lim ()x f x →= ( ) A ．不存在 B ． 1 C ． 2 D ． 0 5、=-→2102lim x x （）A ．0B ．1C ．∞+D ．∞- 6、=+∞→xxx x sin lim（）A.0B. 1C.不存在D.∞7、=∞→xx x 1sinlim （） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．不存在 8、下列等式正确的是（） A ．01sinlim =∞→x x x B ．11sin lim =∞→xx x C ．1sin 1lim =∞→x x x D ．0sin 1lim 0=→x x x9、下列各式正确的是（）。

A.e x xx =+∞→1)1(lim B. e x xx =+→)1(lim 0 C. e xx x =+∞→)11(lim D. e x x x =+∞→1)11(lim10、=→x xx 2sin lim0( ) A ．21B ．0C ．1D ．211、的是时，下列函数为无穷小当+→0x ( )A. x x 1sin ；B. x e 1； C. x ln ； D. x xsin 1；12、在指定变化过程中，（）是无穷小A. )0(,1sin →x xB.)0(,1→x e x C. )0(),1ln(→+x x D. )3(,932→--x x x13、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,,3sin 1)(x a x x x x f 在),(+∞-∞上是连续函数，则a=（）A. 0 ；B. 1 ；C. 31； D. 3 ；14、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+-=2,2,223)(2x a x x x x x f 在处x=2处连续，则a=（） A. 0 ； B. 1 ； C.2； D. 任意值；15、函数)1ln(2)(x x x f ++-=的连续区间是（）A ．]2,1[- B.]2,1(- C.)2,1(- D.)2,1[-2)2()(1611--=-x e x x f x 、的连续区间是（）A.),2()2,(+∞⋃-∞B. ),1()1,(+∞⋃-∞C.),2()2,1()1,(+∞⋃⋃-∞D. )2,1()1,(⋃-∞填空题1、已知2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则=)(x f 2、=====)(,tan ,,32x f y x v v u y u则复合函数 3、函数⎩⎨⎧>≤+=0cos 02)(x xx ax x f 在0=x 处连续,则=a4、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0024)(x k x xx x f ，在0=x 处连续，则=k ． 5、432lim 23=-+-→x k x x x 存在，则ｋ＝，6、2lim(1)xx x→∞-=7、=++-+∞→552lim 32x x x x x ，=++∞→424532lim x x x x8、=++-→11sin)1(lim 1x x x 9、函数)2)(1(2)(++-=x x x x f 的连续区间是__________．10、函数2312+--=x x x y 的间断点为计算题1、1)1sin(lim 21+--→x x x2、x x x x x +-→20sin lim3、⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-→1311lim 31x x x 4、()x x x x x --++∞→22lim5、xx x 11lim 0--→ 6、x x xx tan cos 1lim 0-→ 7、521lim5---→x x x 8、 xx x 311lim ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→9、()xx x 1051lim +→ 10、x x x 2)41(lim -∞→ 11、 1231lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛+x x x 12、 )2sin(11lim 0x x x -+→导数与微分选择题1、设函数)(x f 在0x x =处可导，且2)(0'=x f ，则hx f h x f h )()(lim000--→=（）A ．21 B ． 2 C ． 21- D ． 2- 2、曲线x y =在点（4 , 2）处的切线方程为（）A.044=+-y xB. 044=++y x C ． 044=++y x D ． 044=+-y x 3、若x x x f cos sin )(+=，则='])3([πf （）A ．21+23 B ．0 C ．21-+23 D ．2123-4、设2cos y x =，则dy =( )；Ａ、22cos x x dx - Ｂ、22cos x x dx Ｃ、22sin x x dx - Ｄ、22sin x x dx 5、设函数=y )(2x f -，则=dy （）A ．dx x f )(2-'B ．dx x f x )(22-' C ．)(22x f x -'- D ．dx x f x )(22-'-6、设函数12)(-=x ex f ，则f （x ）在0=x 处的二阶导数)0(f ''为（）A ．0B ．1-eC ．41-e D ． e7、若)1ln()(2xex f -+=，则=')0(f （）A ．1-B ．1C ．21 D ．21- 8、已知一质点作变速直线运动的位移函数223,tS t e t =+为时间，则在时刻2t =处的速度和加速度分别为（）A 、44122,64e e ++ B 、44122,122e e ++ C 、4464,64e e ++ D 、4412,6e e ++ 9、曲线x x y 32-=上一点（1，-2）处的切线方程为（）（A ） 01=+-y x （B ）01=--y x （C ） 01=-+y x （D ） 01=++y x填空题1、曲线26322-+=x x y 上一点M 的切线斜率为15，则点M 的坐标为． 2、曲线x y ln =上点（1，0）处切线方程为． 3、曲线x e x y +=在x=0处的切线方程是； 4、已知处可导，在0)(x x f ，则 =∆-∆-→∆xx f x f x )()x (lim 000．5、已知y xe y -=1，则dx dy= ． 6、已知函数2x e y -=，则该函数的微分dy =7、设ln ,xy e x =则_______;dy =8、当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T=T （t ），则该物体在时刻t 的冷却速度为_____； 9、设在[0，t]这段时间内通过导线横截面的电荷为Q=Q(t),则在0t 时刻的电流为 10、一个质量非均匀的细杆放在x 轴上，在[0，x]上的质量为kg x m 23=，则当x=1m 时的线密度为计算题 A 、求导数1.x x x y cos 413-+=, 2.1123+-=x y x , 3. 4cos tan 2π+=x x y 4. 23cos 2y x x =+5.3)(l n x y =，6、)ln(ln x y =，7、xy 1cos=，8、x e y x 5sin = ， 9、21arcsin x x x y --= 10、)ln(3x x y +=， 11、210(25)y x x =-+ ， 12、)2(tan 23+=x yB.求微分1、x x y 31+=2、x e y cos =3、x e x y 22=4、21xx y +=C. 求下列隐函数的导数y '1. 0922=+-xy y 2. yxe y -=1 3. y e y x xsin 2=- 4.已知076333=--++y xy x y ，求2=x dxdy导数的应用选择题1、函数21)(x xx f +=（） A ．在),(+∞-∞内单调增加 B ．在),(+∞-∞内单调减少 C ．在)1,1(-内单调增加 D ．在)1,1(-内单调减少 2、的单调增加区间是函数)1ln()(2x x f +=（）A.)5,5(-B.)0,(-∞C. ),0(+∞D.).(∞+-∞ 3、函数()y f x =在点0x 处取极值，则必有（）；A 、0()0f x '=,B 、 0)(≠'x f ，C 、0()0f x '=或0()f x '不存在，D 、0()f x '不存在4、若()f x 在(,)a b 内二阶可导，且()0,()0,f x f x '''><则()y f x =在(,)a b 内（）：5、A 、单调增加且凸 B 、单调增加且凹 C 、单调减少且凸 D 、单调减少且凹曲线16)(23++-=x x x x f 的凹区间是( )A ．(-∞,2)B ．( 2,+∞)C ．( -∞,-2)D ．(-2,2)6、设函数()f x 在[1,2]上可导，且()0,f x '<(1)0,(2)0f f ><，则()f x 在（1，2）内（）。

高等数学第一章总复习

参考答案
一、 1、x 0为可去间断点；x =kπ为无穷间断点. 2、f ( x )在x =1连续，连续区间为（-,+）. 3、x 1为跳跃型间断点，连续区间为（-,1）（1，+）. 4、x 2为跳跃型间断点，连续区间为 [0,2）（2，+）. 二、 1 1、a=0,b=1. 2、n . 3、k 3. 4 1 1 4、a 4, b 1. 5、- . 6、x . 12 2
0 x
是阶无穷小，则k等于多少.
(4)求正常数a与b, 使等式 1 lim x 0 bx sin x 0
x
t
2 2
at
dt 1成立.
1 2 2 x 1 1 x (5)求极限 lim 2 . 2 x 2 x0 (cos x e ) sin x 1 (6)求 lim 2 n n

i 1
n
( nx i ) ( nx i 1) , ( x 0).
三、计算题
1.lim(1 3 x )
x 0 2 sin x 1
; 2.lim(cos x ) ;
x 0
x2
π 2 1 x 3.lim tan( ); 4.lim ; n x 1 ln x 4 n x 5. lim ; 6. lim x ( x 1 x 1); x x 0 1 cos x 1 1 tan x 1 sin x 7.lim(cot x 2 ); 8.lim ; 2 x 0 x 0 x x ln(1 x ) x
第一章：函数与极限
一、讨论下列函数的连续性，如有间断点说明其类型.
1 x2 x ,x 1 (1) y (2) f ( x ) 1 x sin 2 x 2, x 1 1 x (3) f ( x ) lim n 1 x 2 n n 2 x (4) f ( x ) lim ( x 0) 2n 2n n 2 x

高等数学(上)复习要点

高等数学（上）复习要点（2019-2020第一学期）二、主要知识点第一章函数、极限、连续考试内容：函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数的概念。

数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和两边夹定理），两个重要极限。

函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

考试要求：1.理解函数的概念，掌握函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

2.掌握数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念。

3.掌握极限存在的两边夹定理，极限的四则运算法则，利用两个重要极限求极限的方法。

4.理解无穷小量的概念和基本性质，无穷小量的比较方法，无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。

5.掌握函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

6.理解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、零点定理，介值定理)，并会应用这些性质。

第二章导数与微分考试内容：导数和微分的概念，导数的几何意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线与法线，导数和微分的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、隐函数和参数方程确定的函数的导数，高阶导数，一阶微分形式的不变性。

考试要求：1．掌握导数的概念，理解可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义会求平面曲线的切线方程和法线方程。

2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求参数方程确定的函数与隐函数的导数。

3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

4．了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

第三章微分中值定理与导数应用考试内容：微分中值定理，洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点，渐近线，函数图形的描绘，函数的最大值与最小值。

高数上册总复习

2
【例】求
a2 x4
x2
dx
.
解:
令
x
1 t
,则
原式
a2
1 t2
1
t4
t 21d t
(a2t
2
1
1) 2
t
dt
原式
1 2a2
(a2t2
1
1) 2
d(a2t 2
1)
(a
2
t2 3a
2
1)
3 2
C
当 x < 0 时, 类似可得同样结果 .
3
【例（】2）求由曲线y x2 ,与y 2 x2所围图形的面积及
3 a2.
0
8
5
20 设弧长为L. 由对称性,有
s 4 2 ( x)2 ( y)2 dt 4 2 3a cos t sin tdt 6a.
0
0
30 设旋转体的体积为V .
V
2
ay2dx 2
0
a
2
sin6
t
3a
cos2
t(
sin
t
)dt
0
2
6a3
2 sin7 t(1 sin2 t)dt
32 a3 .
0
105
6
求由双纽线 ( x y ) a ( x y )
所围而且在圆周
x
y
a2 2
内部的面积。
双纽线化成极坐标r a cos θ 由对称性
S = 4
π 12
a2 2
+
π
4 π
1 a
2
2cos2θ
dθ
6
y
令 r = 0, θ k 令r a Nhomakorabea,

关于高等数学上册复习归纳

关于高等数学上册复习归纳标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]高等数学（上册）复习资料一：函数的两个要素：定义域对应法则1 两个函数相同：（1）定义域相同（2）对应法则相同至于自变量与因变量用什么符合来表示无所谓。

例如：sin y x x =-∞<<+∞ 与sin u tt =-∞<<+∞是同一个函数。

2 函数的几种特性（1）有界性 ()y f x x D =∈如果存在实数1k ，使得1()f x k ≤ ，则称()f x 在D 上有上界如果存在实数2k ，使得1()f x k ≥ ，则称()f x 在D 上有下界。

有界：既有上界，又有下界。

即存在实数1k ，2k 使得21()k f x k ≤≤ 等价于存在0k > ，使得()f x k x D ≤∈（2）单调性若对区间I 内任意两点12x x < ，都有12()()()f x f x ≤≥ ，则称()y f x =在I 内单调增加（减少）。

若将“()≤≥ ”改成“()<>”称为严格单调增加（减少）。

（3）奇偶性设函数()y f x =的定义域关于原点对称如果 ()()f x f x -= ，则称 ()f x 为偶函数如果()()f x f x -=- ，则称 ()f x 为奇函数（4）周期性若()()f x l f x += 则称()f x 是以l 为周期的函数注：周期通常指的是它的最小正周期 3复合函数设()y f u =的定义域为1D ，又()u g x =的定义域为D ，且1()g D D ⊂ ，则函数[]()y f g x x D =∈称为由函数()u g x =和函数 ()y f u =构成的复合函数。

u 称为中间变量，记为：[]()()()f g x f g x = 4 基本初等函数：（1）幂函数 y x μ= （2）指数函数 (0,1)x y a a a =>≠（3）对数函数log a y x = 特例,ln a e y x == （4）三角函数 sin ,cos y x y x == 等（5）反三角函数 arcsin ,arccos y x y x ==等5 初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算得到的并可以用一个式子表示的函数。

高数知识点总结(上册)

高数知识点总结(上册).doc 高等数学知识点总结（上册）第一章：函数、极限与连续性1.1 函数定义：变量之间的依赖关系。

性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性。

1.2 极限定义：函数在某一点或无穷远处的趋势。

性质：唯一性、局部有界性、保号性。

1.3 无穷小与无穷大无穷小：当自变量趋于某一值时，函数值趋于零。

无穷大：函数值趋于无限。

1.4 连续性定义：在某点的极限值等于函数值。

性质：连续函数的四则运算结果仍连续。

第二章：导数与微分2.1 导数定义：函数在某一点的切线斜率。

几何意义：曲线在某点的瞬时速度。

2.2 基本导数公式幂函数、三角函数、指数函数、对数函数的导数。

2.3 高阶导数定义：导数的导数，用于描述函数的凹凸性。

2.4 微分定义：函数在某点的线性主部。

第三章：导数的应用3.1 切线与法线几何意义：曲线在某点的切线和法线方程。

3.2 单调性与极值单调性：导数的符号与函数的增减性。

极值：导数为零的点可能是极大值或极小值。

3.3 曲线的凹凸性与拐点凹凸性：二阶导数的符号。

拐点：凹凸性改变的点。

第四章：不定积分4.1 不定积分的概念定义：原函数，即导数等于给定函数的函数。

4.2 基本积分公式幂函数、三角函数、指数函数、对数函数的积分。

4.3 积分技巧换元积分法：凑微分法、代换法。

分部积分法：适用于积分中存在乘积形式的函数。

第五章：定积分5.1 定积分的概念定义：在区间上的积分，表示曲线与x轴围成的面积。

5.2 定积分的性质线性：可加性、可乘性。

区间可加性：积分区间的可加性。

5.3 定积分的计算数值计算：利用微积分基本定理计算定积分。

5.4 定积分的应用面积计算：曲线与x轴围成的面积。

物理意义：质量、功、平均值等。

第六章：多元函数微分学6.1 多元函数的极限与连续性定义：多元函数在某点的极限和连续性。

6.2 偏导数与全微分偏导数：多元函数对某一变量的局部变化率。

全微分：多元函数的微分。

6.3 多元函数的极值定义：多元函数在某点的最大值或最小值。

高等数学上册总复习(1-5章)

x2
这是积分变量
解:
0 原式 lim
x 0
cos t dt 洛 cos x 2 2 x lim 1 2 x 0 2x x
例13. 求
0 lim tan x x 0 0
x 0
sin x
tan t d t sin t d t
0 0
利用等价无穷小
解:
洛原式 = lim
1 x
f ( x ) 在 x = 0 连续且可导.
e , 思考: 若函数改为 f ( x ) 0 , 结论?
x0 是否有同样的 x0
例4. 已知
dy d2 y x t ln(1 t 2 ) ,求 , . 2 dx dx y arctan t
解:
y dy dx x

2
4
ln( x 2) d x. 例3. 求 2 ( x 1)
1 ) 解: 原式 = ln( x 2) d ( x 1 dx 1 ln( x 2) ( x 2)( x 1) x 1 1 1 1 dx ln( x 2) x 1 x 2 x 1
洛 1 t lim t 0 t (1 t 2 ) 3 2 直接用洛必塔法则不方便
ex tan x x 1 利用等价无穷小 lim x 0 cos x tan x x
a a 例11. 计算 lim n arctan arctan n n n1
x 1 0 解: 原式 lim x 1 x 1
例2. 设 f (x) 处处连续, 且 f (2)=3, 计算
2
sin 3 x sin 2 x lim f x 0 x x

高等数学上册复习资料

高等数学（上册）复习资料一：函数的两个要素：定义域对应法则1 两个函数相同：（1）定义域相同（2）对应法则相同至于自变量与因变量用什么符合来表示无所谓。

例如：sin y x x =-∞<<+∞ 与sin u t t =-∞<<+∞是同一个函数。

有界：既有上界，又有下界。

若将“()≤≥ ”改成“()<>”称为严格单调增加（减少）。

u 称为中间变量，记为：[]()()()f g x f g x = 4 基本初等函数：（1）幂函数 y x μ= （2）指数函数 (0,1)xy a a a =>≠（3）对数函数log a y x = 特例,ln a e y x == （4）三角函数 sin ,cos y x y x == 等（5）反三角函数 arcsin ,arccos y x y x ==等5 初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算得到的并可以用一个式子表示的函数。