复变函数----第六章

合集下载

复变函数-第6章

光滑曲线 Γ : w = f ( z (t )) (t0 ≤ t ≤ t1 ) 切向量 w′(t ) = f ′( z0 ) z ′(t0 ) ≠ 0 切向量辐角ψ = arg w′(t0 )
= arg f ′( z0 ) + arg z ′(t0 ) = arg f ′( z0 ) + ϕ
7
假设 | f ′( z0 ) |= r , arg f ′( z0 ) = α , 即 f ′( z0 ) = reiα , 则
| f ′( z0 ) | . | f ′( z ) − f ′( z0 ) |≤ 2 如果 z1 , z 2 ∈ D, 并且 Γ 是连接 z1 和 z 2 的线段, 则有
| f ( z1 ) − f ( z 2 ) |=
∫
Γ
f ′( z )dz =
∫
Γ
f ′( z0 )dz − ∫ ( f ′( z0 ) − f ′( z ))dz
f ′( z ) ≠ 0
单叶(单射)解析
局部单叶(单射)
解析且 f ′( z0 ) ≠ 0
定理 6.1.1 若 f (z )在 z0 解析, 且 f ′( z0 ) ≠ 0, 故存在以 z0为心的圆盘 D 使得 f (z ) 在 D 上的单射(单叶).
3
定理 6.1.2 (保域定理) 若 w = f (z ) 为在区域 D 内解析的非常数函数, 则它的值域 (像) G = f ( D) = {w | w = f ( z ), z ∈ D} 也是一个区域. 证明: 区域是连通的开集. (1) 证明 G 是一个开集, 即 G 内的每一点都是内点.
∀w0 ∈ G,
∃z0 ∈ D, s.t. w0 = f ( z0 ).

复变函数第六章

推论6.3 设a为f(z)的一阶极点，f (z) (z) ,
za
则 Re s f (z) (a) lim(z a) f (z).
za
推论6.4
za
设a为f(z)的二阶极点，f (z)
(z)
z a2
,
则 Re s f (z) (a) lim[(z a)2 f (z)].
za
za
定理6.5 设a为 f (z) (z) 的一级极点，其中(z)，
1. 留数的定义及留数定理
若f(z)在点a解析，周线C包围a,则：C f zdz 0. 若a为 f(z)的孤立奇点，周线C包围a,则：C f zdz一般不为0.
定义6.1 设f(z)以有限点a为孤立奇点，即 f(z)在点a
的某去心邻域0<|z-a|<R内解析，则称积分
1
2i
f
zdz
( :| z a | ,0 R)
f
1 (z
)以点a为m阶零点.
定理5.5 f(z)的孤立奇点a为极点 lim f (z) . za
5. 本性奇点的性质
定理5.6 f(z)的孤立奇点a为本性奇点
lim
za
f
(z)
b(有
限
数)，
即lim za
f
( z )广义不存在.
第六章留数理论及其应用第一节留数
1. 留数的定义及留数定理 2. 留数的求法 3. 函数在无穷远点的留数
D 内且两两不相交，取逆时针方向，则由柯西积
分定理有
n
f z
n
f zdz 2 i Re s f z.
c
i 1 k
k1 zak
注留数定理的重要意义在于把复变函数的闭合曲线积分转

复变函数小结

f (0) 0,
C 0.
数学学院
例2 设f ( z )在 | z | 1内解析,在 | z | 1上连续,且在 | z | 1上 1 | f ( z ) z || z | 证明: | f ( ) | 8 2 1 f (z) dz 证明 f ( z0 ) 2 2 i |z|1 ( z z0 ) y (z) C 1 1 | f (z) z | | z | | f ( ) | ds 1 1 2 2 2 |z|1 |z | 2 x 2 o 1 2 ds 8. 2 |z|1 ( 1 )2 2
z1 ae
3 i 4
.
1 i 3 4z
z z0
1 3 4 z z z1
3 i i 4 4 ae ae i 4 4 4 a 4 a

2 2 2 3 i i . 3 4a 2 2 2 2 2 2a
积分存在的条件及计算
Cauchy积分定理
复合闭路定理
Cauchy 积分公式高阶导数公式
数学学院
第四章小结
n 为复常数
n n 1

n 为函数 f n ( z )
复数项级数
复数列
收敛半径的计算函数项级数
收敛条件
充要条件
收敛半径R
运算与性质
绝对收敛条件收敛
数学学院
例13 设函数 f ( z ) 在分段光滑曲线 C 及其内部解析，且在 C 上无零点，则 1 f ( z ) dz N , 2 i C f ( z ) 其中 N 表示 f ( z ) 在 C 的内部零点的总数。 (约定k级零点按k个零点计算).

(完整版)复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结

第六章留数理论及其应用§1.留数1.（定理6.1 柯西留数定理）：∫f(z)dz=2πi∑Res(f(z),a k)nk=1C2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点，f(z)=φ(z) (z−a)n,其中φ(z)在点a解析，φ(a)≠0，则Res(f(z),a)=φ(n−1)(a) (n−1)!3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点，φ(z)=(z−a)f(z),则Res(f(z),a)=φ(a) 4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点φ(z)=(z−a)2f(z)则Res(f(z),a)=φ′(a)5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式6.无穷远点的留数：Res(f(z),∞)=12πi∫f(z)dzΓ−=−c−1即，Res(f(z),∞)等于f(z)在点∞的洛朗展式中1z这一项系数的反号7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1,a2,…,a n,∞,则f(z)在各点的留数总和为零。

注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有Res(f(z),∞)=0，但是，如果点∞为f(z)的可去奇点（或解析点），则Res(f(z),∞)可以不为零。

8.计算留数的另一公式：Res (f (z ),∞)=−Res (f (1t )1t 2,0)§2.用留数定理计算实积分一.∫R (cosθ,sinθ)dθ2π0型积分 → 引入z =e iθ注：注意偶函数二.∫P(x)Q(x)dx +∞−∞型积分1.（引理6.1 大弧引理）：S R 上lim R→+∞zf (z )=λ则lim R→+∞∫f(z)dz S R=i(θ2−θ1)λ 2.（定理6.7）设f (z )=P (z )Q (z )为有理分式，其中P (z )=c 0z m +c 1z m−1+⋯+c m (c 0≠0)Q (z )=b 0z n +b 1z n−1+⋯+b n (b 0≠0)为互质多项式，且符合条件：（1）n-m ≥2;（2）Q(z)没有实零点于是有∫f (x )dx =2πi ∑Res(f (z ),a k )Ima k >0+∞−∞注：lim R→R+∞∫f(x)dx +R −R 可记为P.V.∫f(x)dx +∞−∞ 三. ∫P(x)Q(x)e imx dx +∞−∞型积分 3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周ΓR :z =Re iθ(0≤θ≤π，R 充分大)上连续，且lim R→+∞g (z )=0在ΓR 上一致成立。

复变函数与积分变换答案-第6章共形映射

第六章共形映射习题详解1、（1）21,2则'=+=w z w z ；伸缩率()22'==w i i ，旋转角()2'=A r g wi π；伸缩率()22'-=-=w i i ，旋转角()2'-=-Argw i π；（2）4=w z，则34'=w z ，伸缩率(1)4'=w ，旋转角()10'=Argw ；伸缩率()()()3(1)41421882'+=+=+=-=w i ii i i ()314'+=Argw i π。

2、21365,66,16w z z w z z '=--=-->部分被放大了，116z -<部分被缩小了。

3、43,41,w z z w z '=+=+具有伸缩率与旋转角不变性。

4、（1）1232,,1===-z z i z 分别映射成1233,1,0,w i w w =-=-=由30+32121::10111得+---+==++----w i i z zw i w z i i z；（2）123,1,0=∞==z z z 分别映射成1230,1,,w w w ==-=∞由-01111::11101得==-+--w w w z z；（3）1232,0,1===z z z 分别映射成1231,1,,w w w =-==∞由112121::110101得+--==----w z w w z z；（4）1230,,2===-z z i z 分别映射成1233,,1,w i w i w ===由3130206::1232得------==------w i i z z iw w i i z i i iz 。

5、由分式的分子与分母同乘以（或除以）非零复数后这些值不变化得：把系数,,,a b c d 加以整合有1ad bc -=。

6、（1）设(),az b f z cz d +=+由0()(0)0,()10,1,0()a b a i bf f i i i c d c i d ⋅+⋅-+=-=-==-⋅+⋅-+得解之0,2ab c d ===，故2();11122z z f z z z ==++（2）设(),az b f z cz d +=+由1(0)1,()(42)5==+f f i i ，得 ()0()11,420()5⋅+⋅+==+⋅+⋅+a b a i b i c d c i d ，解之()()11,(42)()424255=+=++=-++⎡⎤⎣⎦b d ai d i ci d d c i c d 05420,154222=⎧=+=⎧⎧⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨=-=-=-⎩⎩⎪⎩a a c d a d d c d c c d故 2()22==--+d f z dzz d 。

浙江大学宁波理工学院复变函数与积分变换-第6章(傅里叶变换)

n
cn

1 T
T
2 T
2
fT (t)e jn0t dt

1 T
T
2 T
fT (t)e jntdt, n 0, 1, 2, 3,...
2
这里n n0.这样傅里叶级数可写为：
傅里叶级数的复指

fT (t) c0 (cne jnt cne jnt )
cne jnt .
数形式。称为连续
n1
信息科n学与工程学院傅里叶级数变换
SCHOOL OF INFORMATION SCIENCE AND ENGINEERING
复变函数与积分变换
§6.1 傅里叶变换的概念
傅里叶级数
傅里叶级数的物理含义
在傅里叶级数的三角形式fT
(t)

a0 2
1829年狄利克雷第一个给出了收敛条件。
信息科学与工程学院
SCHOOL OF INFORMATION SCIENCE AND ENGINEERING
复变函数与积分变换
§6.1 傅里叶变换的概念
傅里叶级数
傅里叶级数的三角形式
[定理]设周期为T的实值函数fT
(t
)在[
T 2
,
T 2
]上满足狄利克雷条件：(1)连续或只有
在复变函数各章节中采用i作为虚数单位，而在积分变换中一般采用j作为虚数单位
信息科学与工程学院
SCHOOL OF INFORMATION SCIENCE AND ENGINEERING
复变函数与积分变换
§6.1 傅里叶变换的概念
傅里叶级数
傅里叶级数的复指数表示
1 T

复变函数详细讲解

x1 x2 y1 y 2 ix2 y1 x1 y 2
x2 y 2
2 2
b) 按上述定义容易验证加法交换律、结合律
乘法交换律、结合律和分配律均成立。
浙江大学
c) 共轭复数：
z x iy , z x iy
容易验证
互为共轭复数
2
z z,
zz x y
x
O
z1
3 3 1 3 z3 i 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z
n
z n zz z r n (cos n i sin n )
复数的方根
设
z re
i
为已知复数，n为正整数，则称满足方程
wn z
的所有w值为z的n次方根，并且记为
wn z
浙江大学
设
w e i ,
则
n e in re i
r
n
e
in
e
i
n r , n 2k , k 0,1,2,
即
r,
n
2k
n
1 n
,
k 0,1,2,
i sin
w re
n
i
2 k
复数的模
Arg z
复数的幅角
浙江大学
讨论：
1) 复数的幅角不能唯一地确定。任意非零复数均有无穷多个幅角。通常把
0
的幅角称为Arg z的主值。记为
0 arg z
2）复数“零”的幅角没有意义，其模为零。 3）当 r = 1时，复数z称为单位复数。利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。

复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结

第六章留数理论及其应用§ 1.留数1. （定理6.1柯西留数定理）：dz = 2 mJc£=i2. （定理6.2）:设a为f⑵的m阶极点,事（町（…尸’其中響：刃在点a解析，梓丄0，贝U3. （推论6.3）:设a为f（z）的一阶极点,Re^f(z),a) = <p(a)4. （推论6.4）:设a为f⑵的二阶极点® ⑴=（Z-A）V（«）则5. 本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式6. 无穷远点的留数:RES（F（R「8）=霜/严f(z)dz=- j即，血血垃S）等于f⑵在点的洛朗展式中这一项系数的反号7. （定理6.6）如果函数f（z）在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为则f（z）在各点的留数总和为零。

注：虽然f（z）在有限可去奇点a处，必有Z畑⑴°,但是，如果点为f（z）的可去奇点（或解析点），则血昭⑵妙）可以不为零。

8. 计算留数的另一公式:(昭詞§ 2•用留数定理计算实积分Q R(cos^,sin&)M型和分—引入注：注意偶函数1. (引理6.1大弧引理)：»上limzf(z)= X则limH'J-M B2. (定理6.7) 设f(-器梯理分式，其中P(z) = e o z m + 耳厂，+ + c m(c0丰 0)QCz) = b Q x n + %0勺 + * + 丰 0)为互质多项式，且符合条件：(1)n-m >2;(2)Q(z股有实零点于是有f(x)dx — 2ui工Res(f(z)t au}Jrtiajt >0注：以fg可记为PM广；«x)dx丿；黔厂心型积分3. (引理6.2若尔当引理)：设函数g(z)沿半圆周5£=恥叫0彰"・丘充金走上连续，且lim鸟⑵=0在「里上一致成立。

则lim f幻(胡叫E = o■ rn4. (定理6.8):设車勿=話，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件:(1) Q 的次数比P 高;(2) Q 无实数解；(3) m>0特别的，上式可拆分成:及四. 计算积分路径上有奇点的积分5. (引理6.3小弧引理)：S m 询lim(z-a)f (2)=X r-+D于5'r 上一致成立，则有limf /wdz=i (02-五. 杂例六. 应用多值函数的积分§ 3.辐角原理及其应用即为：求解析函数零点个数 f'M2.(引理6.4)：( 1)设a为f(z)的n 阶零点，贝U a 必为函数的一阶极点，并且(2)设b 为f(z)的m 阶极点，贝U b 必为函数的一阶极点，并且Res 2ni1 X) Res{ff (2je in ^f a^则有1.对数留数:3. (定理6.9对数留数定理)：设C 是一条周线，f(z)满足条件：(1) f(z)在 C 的内部是亚纯的；(2) f(z)在 C 上解析且不为零。

大学数学教程复变函数与积分变换第六章拉普拉斯变换

满足
0, δ(t) ,
0且 t δ(t)d t1 0 t
如一根无限杆长， x的在 0处均有匀一细单位
在 x0处质0量则 , 为细杆的线密度为
(t) 0,,
0x且 m
ρ(t)d t1
x0
δ函数的— 筛 — 选 δ (t)f性 (t)d 质 tf(0),
δ(t-0)tf(t)d tf(t0), (t)f(t-0)td tf(t0)
(t)cos
te -st dt
u (t ) sin
te -st dt
0
0
(t )cos
te -st dt
sin
te -st dt
0
cos
te -st
t0
e -st s 2 1 ( sin
t cos
t)
0
1
1 s2 1
s2 s2 1
(2)
L [f
(t)]
1
1 e 2πs
2π f (t )e std t
0
T
kT
k0
(k 1)T kT
f
(t
)e-st
dt
但 (k1T)f(t)esd t tt k T uTf(uk)T es(ukT )du
kT
0
eskT Tf(u)esu d ueskT Tf(t)esd t t
0
0
L[f (t)] eskT T f (t)estdt 0 k 0
f (tT)f(t) (t0)
且f (t )在一个周期上是连续或分段连续的,证明:
L[f(t)] 1
1esT
T f(t)estdt
0
R(es)0

复变函数与积分变换第6章共形映射

页退出
复变函数与积分变换
出版社理工分社
应用定理6.7我们可以求已给区域D在映射w=f(z)下的像域G=f(D).首先，将已知区域D的边界C的表达式代入w=f(z)，可得到像曲线Γ ；其次，在C上按一定绕向取三点a→b→c，它们的像在Γ 上依次为a′→b′→c′，如果区域 D位于a→b→c绕向的左侧（或右侧），则由Γ 所围成的象区域G应落在 a′→b′→c′绕向的左侧（或右侧），如图6.3所示，这样我们就确定了像域G=f(D).通常把这种确定映射区域的方法称为绕向确定法.
即在区域
内时图形放大.
页退出
复变函数与积分变换
出版社理工分社

6.1.2共形映射的概念定义6.1设w=f(z)在Nδ (z0)内是一一对应的，且在z0具有保角性和伸缩率不变性，则称映射w=f(z)在z0点是共形的，或称w=f(z) 在z0点是共形映射.如果映射w=f(z)在区域D内的每一点都是共形的，则称w=f(z)是区域D内的共形映射.
定理，在C上依次取z1→z2→z3，比如，
z2=0,z3=1，则
它们的像在Γ 上依次为：
w2=0,w3=1.由于区域D落在
z1→z2→z3绕向的左侧，因而像区域应落在w1→w2→w3绕向的左侧，故所求像
区域为G：
页退出
复变函数与积分变换
出版社理工分社
图6.4
页退出
复变函数与积分变换
出版社理工分社
页退出
复变函数与积分变换
出版社理工分社
由定理6.1及复合函数的求导公式立即可得：定理6.4（保复合性）两个共形映射的复合仍然是一个共形映射. 定理6.4说明，如果ξ =g(z)把z平面上的区域D共形映射成ξ 平面上的区域E ，而w=f(ξ )把区域E共形映射成w平面上的区域G，则复合函数w=f ［g(z)］是一个把D映射为G的共形映射.这一事实在求具体的共形映射时将经常用到. 解析函数所确定的映射还具有保域性，即下面的定理（证明从略）.

复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)第六章课后的习题答案-(1)

习题六1. 求映射1w z=下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：222211i=+i i x y w u v z x y x y x y ===-+++ 221x x u x y ax a===+, 所以1w z =将22x y ax +=映成直线1u a=. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 22221i x y w z x y x y ==-++ 故1w z=将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？（1）Im()0,(1i)z w z >=+；解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+⋅+=-+所以Im()Re()w w >.故(1i)w z =+⋅将Im()0,z >映成Im()Re()w w >.(2) Re(z )>0. 0<Im(z )<1, i w z=. 解：设z =x +i y , x >0, 0<y <1.Re(w )>0. Im(w )>0. 若w =u +i v , 则因为0<y <1,则22221101,()22u u v u v <<-+>+ 故i w z=将Re(z )>0, 0<Im(z )<1.映为 Re(w )>0,Im(w )>0, 1212w > (以（12,0）为圆心、12为半径的圆) 3. 求w =z 2在z =i 处的伸缩率和旋转角，问w =z 2将经过点z =i 且平行于实轴正向的曲线的切线方向映成w 平面上哪一个方向？并作图.解：因为w '=2z ,所以w '(i)=2i , |w '|=2, 旋转角arg w '=π2. 于是, 经过点i 且平行实轴正向的向量映成w 平面上过点-1，且方向垂直向上的向量.如图所示.→4. 一个解析函数，所构成的映射在什么条件下具有伸缩率和旋转角的不变性？映射w =z 2在z 平面上每一点都具有这个性质吗？答：一个解析函数所构成的映射在导数不为零的条件下具有伸缩率和旋转不变性映射w =z 2在z =0处导数为零，所以在z =0处不具备这个性质.5. 求将区域0<x <1变为本身的整体线性质变换w z αβ=⋅+的一般形式.6. 试求所有使点1±不动的分式线性变换. 解：设所求分式线性变换为az bw cz d +=+(ad -bc ≠0)由11-→-.得因为(1)a z c dw cz d ++-=+, 即(1)(1)1a z c z w cz d ++++=+,由11→代入上式，得22a ca d c d +=⇒=+. 因此11(1)(1)dcd cd c w z z cz d z +++=+=+⋅++ 令dq c =，得其中a 为复数.反之也成立，故所求分式线性映射为1111w z a w z ++=⋅--， a 为复数.7. 若分式线性映射，az bw cz d +=+将圆周|z |=1映射成直线则其余数应满足什么条件？解：若az bw cz d +=+将圆周|z |=1映成直线，则dz c =-映成w =∞. 而dz c =-落在单位圆周|z |=1,所以1dc -=,|c |=|d |.故系数应满足ad -bc ≠0,且|c |=|d |.8. 试确定映射，11z w z -=+作用下，下列集合的像.(1) Re()0z =; (2) |z |=2; (3) Im(z )>0.解：(1) Re(z )=0是虚轴，即z =i y 代入得. 写成参数方程为2211y u y -+=+， 221y v y =+, y -∞<<+∞.消去y 得，像曲线方程为单位圆,即u 2+v 2=1.(2) |z |=2.是一圆围，令i 2e ,02πz θθ=≤≤.代入得i i 2e 12e 1w θθ-=+化为参数方程.消去θ得，像曲线方程为一阿波罗斯圆.即(3) 当Im(z )>0时，即11Im()011w w z w w ++=-⇒<--, 令w =u +i v 得221(1)i 2Im()Im()01(1)i (1)w u v v w u v u v +++-==<--+-+. 即v >0,故Im(z )>0的像为Im(w )>0.9. 求出一个将右半平面Re(z )>0映射成单位圆|w |<1的分式线性变换.解：设映射将右半平面z 0映射成w =0，则z 0关于轴对称点0z 的像为w =∞，所以所求分式线性变换形式为00z z w k z z -=⋅-其中k 为常数. 又因为00z z w k z z -=⋅-,而虚轴上的点z 对应|w |=1,不妨设z =0，则故000e (Re()0)i z z w z z z θ-=⋅>-.10. 映射e 1i z w zϕαα-=⋅-⋅将||1z <映射成||1w <,实数ϕ的几何意义显什么？解：因为从而2i i 2221||1()e e (1||)1||w ϕϕαααα-'=⋅=⋅-- 所以i 2arg ()arge arg (1||)w ϕααϕ'=-⋅-=故ϕ表示i e 1z w zθαα-=⋅-在单位圆内α处的旋转角arg ()w α'. 11. 求将上半平面Im(z )>0,映射成|w |<1单位圆的分式线性变换w =f (z )，并满足条件(1) f (i)=0, arg (i)f '=0; (2) f (1)=1, f. 解：将上半平面Im(z )>0, 映为单位圆|w |<1的一般分式线性映射为w =k z z αα-⋅-(Im(α)>0). (1) 由f (i)=0得α=i ，又由arg (i)0f '=,即i 22i ()e (i)f z z θ'=⋅+, πi()21(i)e 02f θ-'==，得π2θ=，所以 i i iz w z -=⋅+. (2) 由f (1)=1,得k =11αα--；由f,得kα联立解得w =12. 求将|z |<1映射成|w |<1的分式线性变换w =f (z)，并满足条件：(1) f (12)=0, f (-1)=1.(2) f (12)=0, 12πarg ()2f '=, (3) f (a )=a , arg ()f a ϕ'=.解：将单位圆|z |<1映成单位圆|w |<1的分式线性映射，为 i e 1z w zθαα-=-⋅ , |α|<1. (1) 由f (12)=0，知12α=.又由f (-1)=1，知 1i i i 2121e e (1)1e 1π1θθθθ--⋅=-=⇒=-⇒=+. 故12221112z z z w z --=-⋅=--. (2) 由f (12)=0，知12α=，又i 254e (2)z w z θ-'=⋅- i 11224π()e arg ()32f f θθ''=⇒==，于是 π21i 2221e ()i 12z z z w z --==⋅--. (3) 先求=()z ξϕ，使z =a 0ξ→=，arg ()a ϕθ'=,且|z |<1映成|ξ|<1.则可知 i =()=e 1z a z a zθξϕ-⋅-⋅ 再求w =g (ξ)，使ξ=0→w =a , arg (0)0g '=,且|ξ|<1映成|w |<1.先求其反函数=()w ξψ,它使|w|<1映为|ξ|<1,w =a 映为ξ=0，且arg ()arg(1/(0))0w g ψ''==,则 =()=1w a w a wξψ--⋅. 因此，所求w 由等式给出.i =e 11w a z a a w a zθ--⋅-⋅-⋅. 13. 求将顶点在0，1，i 的三角形式的内部映射为顶点依次为0，2，1+i 的三角形的内部的分式线性映射. 解：直接用交比不变性公式即可求得02w w --∶1i 01i 2+-+-=02z z --∶i 0i 1-- 2w w -.1i 21i +-+=1z z -.i 1i-4z (i 1)(1i)w z -=--+. 14. 求出将圆环域2<|z |<5映射为圆环域4<|w |<10且使f (5)=-4的分式线性映射.解：因为z=5,-5,-2,2映为w=-4,4,10,-10,由交比不变性，有2525-+∶2525---+=104104-+--∶104104+- 故w =f (z )应为55z z -+∶2525---+=44w w +-∶104105+- 即 44w w +-=55z z --+20w z⇒=-. 讨论求得映射是否合乎要求，由于w =f (z )将|z |=2映为|w |=10，且将z =5映为w =-4.所以|z |>2映为|w |<10.又w =f (z )将|z |=5映为|w |=4，将z =2映为w =-10，所以将|z |<5映为|w |>4，由此确认，此函数合乎要求.15.映射2w z =将z 平面上的曲线221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭映射到w 平面上的什么曲线？解：略.16. 映射w =e z 将下列区域映为什么图形.(1) 直线网Re(z )=C 1,Im(z )=C 2;(2) 带形区域Im(),02πz αβαβ<<≤<≤;(3) 半带形区域 Re()0,0Im(),02πz z αα><<≤≤.解：（1）令z =x +i y , Re(z )=C 1,z =C 1+i y 1i =e e C y w ⇒⋅, Im(z )=C 2,则z =x +i C 22i =e e C x w ⇒⋅故=e z w 将直线Re(z )映成圆周1e C ρ=；直线Im(z )=C 2映为射线2C ϕ=.（2）令z =x +i y ，y αβ<<,则i i =e e e e ,z x y x y w y αβ+==⋅<<故=e z w 将带形区域Im()z αβ<<映为arg()w αβ<<的张角为βα-的角形区域.（3）令z =x +i y ，x >0，0<y < α, 02πα≤≤.则故=e zw 将半带形区域Re(z )>0,0<Im(z )<α, 02πα≤≤映为 |w |>1, 0arg w α<<(02πα≤≤).17. 求将单位圆的外部|z |>1保形映射为全平面除去线段-1<Re(w )<1,Im(w )=0的映射. 解：先用映射11w z=将|z |>1映为|w 1|<1,再用分式线性映射. 1211i 1w w w +=-⋅-将|w 1|<1映为上半平面Im(w 2)>0, 然后用幂函数232w w =映为有割痕为正实轴的全平面，最后用分式线性映射3311w w w -=+将区域映为有割痕[-1,1]的全平面. 故221121132222132111111i 1111111()11211i 1111z z z z w w w w w z w w z w w ⎛⎫⎛⎫++--⋅- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭=====+++⎛⎫⎛⎫++-⋅++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. 18. 求出将割去负实轴Re()0z -∞<≤,Im(z )=0的带形区域ππI m ()22z -<<映射为半带形区域πIm()πw -<<,Re(w )>0的映射.解：用1e z w =将区域映为有割痕(0,1)的右半平面Re(w 1)>0；再用1211ln 1w w w +=-将半平面映为有割痕(-∞,-1]的单位圆外域；又用3w =将区域映为去上半单位圆内部的上半平面；再用43ln w w =将区域映为半带形0<Im(w 4)<π,Re(w 4)>0；最后用42i πw w =-映为所求区域，故e 1ln e 1z z w +=-. 19. 求将Im(z )<1去掉单位圆|z |<1保形映射为上半平面Im(w )>0的映射.解：略.20. 映射cos w z =将半带形区域0<Re(z )<π,Im(z )>0保形映射为∞平面上的什么区域.解：因为 1cos ()2iz iz w z e e -==+ 可以分解为 w 1=i z ，12e ww =，32211()2w w w =+ 由于cos w z =在所给区域单叶解析，所以（1） w 1=i z 将半带域旋转π2，映为0<Im(w 1)<π,Re(w 1)<0. （2） 12e w w =将区域映为单位圆的上半圆内部|w 2|<1,Im(w 2)>0.（3） 2211()2w w w =+将区域映为下半平面Im(w )<0.。

理工类专业课复习资料-数学物理方法总结(改)

数学物理方法总结第一章复变函数复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式:(cos sin )z ρϕϕ=+和i z e ϕρ=欧拉公式:{1sin ()21cos ()2iz iz iz izz e e iz e e --=-=+柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{u u x yv v x y∂∂=∂∂∂∂=-∂∂ (其中f(z)=u+iv)函数f(z)=u+iv 在点0z 及其领域上处处可导,则称f(z)在0z 点解析.在区域B 上每一点都解析,则称f(z)是在区域B 上的解析函数.解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv 在区域B 上解析,则12(,),(,)u x y C v x y C ==(12,C C 为常数)是B 上的两组正交曲线族.2.若函数在区域B 上解析,则u,v 均为B 上的调和函数,即22220u vx y ∂∂+=∂∂ 例题: 已知某解析函数f(z)的实部22(,)u x y x y =-,求虚部和这个解析函数.解答: 由于22ux∂∂=2;22v y ∂∂=-2;则22220u v x y ∂∂+=∂∂曲线积分法u x ∂∂=2x;u y ∂∂=-2y.根据C-R 条件有:v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x.于是 22dv ydx xdy =+;(,0)(,)(0,0)(,0)(,)(,)(,0)(22)(22)(22)22x x y x x y x y x v ydx xdy C ydx xdy ydx xdy Cxdy C xy C=++=++++=+=+⎰⎰⎰⎰凑全微分显式法由上式可知dv=2ydx+2xdy贝易得dv=d(2xy)则显然v=2xy+C不定积分法上面已有—=2y;丝=2xdx dy则第一式对y积分,x视为参数，有v=J2xy+(p(x)=2xy+(p(x)......................dv...上式对x求导有一=2y+^\x),而由C-R条件可知(p\x)=0,dx从而(p(x)=C.故v=2xy+C.f(z)=x2-y2+i(2x y+C)=z2+iC第二章复变函数的积分单连通区域柯西定理如果函数f(z)在闭单连通区域B上解析，则沿B上任意一分段光滑闭合闭合曲线1(也可以是B的边界)，有血/⑵也=0.复连通区域柯西定理如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数，则山任)也+£由/(z)也=0.式中1为区域外边界线，诸l为区域内边界线，积分均沿边界线的正方向进行.即血力＞)也=力血/(z)d z.柯西公式f(a)=t^-也""dz2m z-an次求导后的柯西公式f(〃)(z)=£山声舄化2mi中(。

复变函数与积分变换-第六章-保形映射

C : z z(t) t [ , ] 取t0 ( , ) z0 z(t0 ) z'(t0 ) 0 则
w f (z)
z平面上C : z z(t) w平面上 : w f [z(t)]
~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~
— 过点w0 f (z0 )，正向取t增大方向的曲线.

T'
z0
w0

T
x
u
即Argf '(z0 ) Argw'(t0 ) Argz'(t0 )
(1)导数幅角 Argf'(z) 的几何意义
①Argf' ( z0 )( f' ( z0 ) 0 )是曲线C经过w f ( z ) 映射后在点z0的~旋 ~~~转~~~角~.~
在变换w f (z)下映射为相交于点w0 f (z0 )
的曲线i (i 1,2),1 , 2的夹角为.
y (z) C2
v (w)
2
2 1
C1
z0
2 1
w f (z)
w0
o 1
2
x

o
1 1 2
u
由式(1)有， i i (i 1,2)
2 1 2 1
——保角性
由上述讨论我们有
w f ( z )
过z0的C1 ,C2 过w0的1 ,2 ( C1 ,C2 ) ( 1 ,2 ), 这种映射具有保持两曲线间夹角的大小与方向不变的性质保角性
(2)模 f'(z)的几何意义
设z z z0 re i , w w w0 ei且

复变函数与积分变换学习指导(第六章)

第七章保形变换前几章主要是用分析的方法，也就是用微分、积分和级数等，来讨论解析函数的性质和应用。

内容主要涉及所谓柯西理论；这一章主要是用几何方法来揭示解析函数的特征和应用。

保形变换现审定名为“共形映射”或“共性映照”。

它在数学本身以及在流体力学、弹性力学、电学等学科的某些实际问题中，都是一种使问题化繁为简的主要方法。

第一节解析变换的特性一.保域性1.定理7.1(保域定理)设在区域内解析且不恒为常数，则的象也是一个区域。

证先证的每一个点都是内点。

，使,则为的一个零点,由解析函数的零点孤立性知,,使,且在上无异于的零点。

令,则。

下证。

，考察，当时，，由Rouché定理，即在内有解,从而。

再证内任两点,可用全含于内的折线连接起来。

由于是区域,在内有折线,,连接,其中。

函数把折线映射成内连接的逐段光滑曲线。

由于为内紧集，根据有限覆盖定理,可被内有限个开圆盘所覆盖,从而在内可作出连接的折线。

综合，知为区域。

2.推论7.2设在区域内单叶解析,则的象也是一个区域。

证因为在区域内单叶，故在内不恒为常数。

3.定理还可推广为：在扩充平面的区域内除可能有极点外处处解析,且不恒为常数，则的像为扩充平面上的区域。

4.单叶解析函数的性质定理6.11若在区域内单叶解析，则在内。

定理7.3(局部单叶性) 设在解析且，则在的某个邻域内单叶解析。

(证明类似于和）二.解析变换的保角性——导数的几何意义1.导数辐角的几何意义设为过的光滑曲线,,则且是在处的切线的辐角。

设，故也是光滑的,。

若内过还有一个光滑曲线。

设，则即处曲线与的夹角恰好等于处曲线与的夹角。

单叶解析函数作为映射时,曲线间夹角（即切线的夹角）的大小及方向保持不变，这一性质称为旋转角不变性。

称为变换在的旋转角,仅与有关，与过的曲线的选择无关。

象曲线在处的切线正向可由原象曲线在的切线正向旋转一个旋转角得到。

2.导数模的几何意义由于,故象点间的无穷小距离与原象点间无穷小距离之比的极限是,称为变换在的伸缩率。

复变函数课件1-1资料

他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）。欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人，例如：y = F(x) （函数的定义由莱布尼兹在1694年给出）。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一
10
法国著名的物理学家、数学家和天文学家。1717 年11月 17 日生于巴黎，1783年10月29日卒于同地。他是圣让勒隆教堂附近的一个弃婴，被一位玻璃匠收养，后
称为虚数单位. 对虚数单位的规定: (1) i2 1; (2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行
四则运算.
16
虚数单位的特性:
i1 i;
i2 1;
i3 i i2 i;
i4 i 2 i 2 1;
i5 i4 i1 i;
i6 i4 i 2 1;
i7 i4 i3 i;
课程概况
课程名称复变函数
教材总学时
《复变函数论》高教第三版(钟玉泉编)
76学时
1
第一章复数与复变函数
8
第二章解析函数
12
第三章复变函数的积分
12
第四章解析函数的幂级数表示法
10
第五章解析函数罗朗展示与孤立奇点 12
第六章留数理论及其应用
12
第七章共形映射（选学）
10
2
课程简介
13
第一章复数与复变函数
第一节复数第二节复平面上的点集第三节复变函数第四节复球面与无穷远点
14
第一节复数
•1 复数域 •2 复平面 •3 复数的模与辐角 •4 复数的乘幂与方根 •5 共轭复数 •6 复数在几何上的应用举例
15

北京邮电大学复变函数第六章解读

注意 f (z0 ) 0 是必要的,否则保角性将不成
立．
综上所述, 有定理一
设函数w f (z)在区域 D内解析, z0 为 D内一点, 且 f (z) 0, 那末映射w f (z)在 z0 具有两个性质: (1)伸缩率不变性； (2)保角性．
二、共形映射的概念
定义设映射w f (z)在区域D内任意一点具有保角性和伸缩率不变性，那末称 w f (z) 是第一类保角映射．
曲线在w0处的切线倾角为0 ，则0 0称为
曲线C经函数ω=f (z)映射后在z0处的旋转角．
y (z)
w f (z) y (w)
. 0
C
z0
. 0
w0
0
x0
x
2．伸缩率不变性
设 w f (z)在区域 D内解析, z0 D,且 f (z0 ) 0.
因为
f
(z0 )
lim
z z0
f (z) f (z0 ) lim w ,
z z0
z0 z
令 z z ei , w w ei .
y (z)
w f (z) y (w)
. z0
zC z
0
x
.
w
. w0
w
0
x
w z
w ei z ei
w w0 z z0
ei( ) ,
所以
f (z0 )
lim
z0
w z
lim z z0
w w0 z z0
为曲线C 在 z0 的伸缩率
z 平面
平面
f (z)
D
| | 1
g(w)
w g1( )
w 平面
G
w g 1( f (z))

第六章共形映射(课堂)-2022年学习资料

复变函数-1导数f'zo≠0的幅角Argf'z是曲线C经过-w=fz映射后在处的转动角-2转动角的大小与方跟曲线C的形状与方向-无关-3保角性-相交于点z的任意两条曲线C,与C,之间的-夹角在其大小和方向上都等同经过w=fz-映射后跟C与C,对应的曲线工，与工，之间的夹角，-映射w=,z具有保持两曲线间夹角的大小和向不变的性质，此性质称为保角性
复变函数-对确定区域的映射-在分式线性映射下，C的内部不是映射成-C'的内部便映射成C的外部-判别方法：法1在分式线性映射下，如果在圆周C内任取-一点z,若z的象在C'内部，则C的内部就映为-C的内部；若z的象 C外部，则C的内部就映-为C'的外部.-方法2乙1→乙2→Z3与w1→w2→w3绕向相同-则C的内部就映为 '的内部.若绕向相反，则C-的内部就映射为C'的外部.
复变函数-2指数函数w=e2.-映射特点：把水平的带形域0<mz<a映射成-角形域0<argw<a.-Wi-特殊地：-2πd-如果要把带形域映射成角形域，常利用指数函数
复变函数-三、典型例题-例1求分式线性映射，使z=1映射成w=1,且使-z=1,1+i映射成w=1,0.1利用分式线性映射不变交比和对称点-因为w=0与w=0是关于圆周w=1的对称点，-又z=1+i关于圆周z= 的对称点为-1-i-据分式线性映射不变对称点的性质知
复变函数-4分式线性映射具有保对称性，-设点z1,乙2是关于圆周C的一对对称点，那么-在分式线性映射下它们象点w1,w,也是关于-C的象曲线Γ的一对对称点-这一性质称为保对称性。
复变函数-4.唯一决定分式线性映射的条件-在z平面上任意给定三个相瞬的点z1,32,z3,-在w平面上也任给定三-个相异的点w1,w2,W3?-那么就存在唯一的分式线性映射，将zk=1,2,3-依次映射成wk=1 2,3.-即w=-az +b-ad-bc≠0可由下式给出：-c<+d-W-w1.w3-w1-乙-1.23，-交比不变性-w-W2 W3-W2-3-3233-32