2020版高考数学(文)新创新一轮复习通用版课时跟踪检测六十三坐标系含解析
【新课改】2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测：二项分布与正态分布(含解析)
课时跟踪检测（六十三） 二项分布与正态分布1．用电脑每次可以自动生成一个(0,1)内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为( )A.127 B.23 C.827D.49解析：选C 由题意可得，用该电脑生成1个实数，且这个实数大于13的概率为P ＝1－13＝23，则用该电脑连续生成3个实数，这3个实数都大于13的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827.故选C. 2．(2019·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )A.34B.23C.57D.512解析：选D 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是23×⎝⎛⎭⎪⎫1－34＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝512，故选D.3．(2018·厦门二模)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A.25 B.35 C.18125D.54125解析：选D 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率为35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝54125.4．(2018·唐山二模)甲、乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( )A.29 B.49 C.23D.79解析：选D 甲不跑第一棒共有A 13·A 33＝18种情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：(1)乙跑第一棒，共有A 33＝6种情况；(2)乙不跑第一棒，共有A 12·A 12·A 22＝8种情况，∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为6＋818＝79.故选D.5．(2019·福建四校联考)某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩X 近似服从正态分布N (100，a 2)(a ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的110，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为( )A ．400B ．500C ．600D ．800解析：选A 由题意得，P (X ≤90)＝P (X ≥110)＝110，所以P (90≤X ≤110)＝1－2×110＝45，所以P (100≤X ≤110)＝25，所以此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为 1 000×25＝400.故选A.6．(2018·河北“五个一名校联盟”二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A.110B.15C.25D.12解析：选C 设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )＝P ABP A ＝1512＝25.故选C.7．(2019·淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X ，且X ～N (800,502)，则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( )(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4 )A ．0.977 2B ．0.682 6C ．0.997 4D ．0.954 4解析：选A ∵X ～N (800,502)，∴P (700≤X ≤900)＝0.954 4，∴P (X ＞900)＝1－0.954 42＝0.022 8，∴P (X ≤900)＝1－0.022 8＝0.977 2.故选A.8．(2019·茂名一模)设X ～N (1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )(注：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝95.44%)A ．7 539B ．6 038C ．7 028D ．6 587解析：选D ∵X ～N (1,1)，∴μ＝1，σ＝1.∵P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝68.26%，∴P (0＜X ＜2)＝68.26%，则P (1＜X ＜2)＝34.13%，∴阴影部分的面积为1－0.341 3＝0.658 7.∴向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是10 000×0.658 7＝6 587.故选D.9．(2019·珠海一模)夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼回游到长江，历经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( )A ．0.05B ．0.007 5C ．13D ．16解析：选C 设事件A 为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B 为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P (A )＝0.15，P (AB )＝0.05，∴P (B |A )＝P ABP A＝0.050.15＝13.故选C. 10．(2019·江西名校联考)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954 4.A ．1 193B ．1 359C ．2 718D ．3 413解析：选B 对于正态分布N (－1,1)，可知μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于直线x ＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为12×[P (－3＜X ＜1)－P (－2＜X ＜0)]＝12×[P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)－P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)]＝12×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，所以点落入题图中阴影部分的概率P ＝0.135 91＝0.135 9，投入10 000个点，落入阴影部分的个数约为10 000×0.135 9＝1 359.故选B.11．(2019·南昌模拟)口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为________．解析：口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，设事件A 表示“第一次取得红球”，事件B 表示“第二次取得白球”，则P (A )＝26＝13，P (AB )＝26×35＝15，∴第一次取得红球后，第二次取得白球的概率为P (B |A )＝P AB P A ＝1513＝35. 答案：3512．(2019·郑州一中月考)科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称．假设甲通过科目二的概率均为34，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为________．解析：甲第3次考试才通过科目二，则前2次都未通过，第3次通过，故所求概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342×34＝364. 答案：36413．(2019·合肥名校联考)已知随机变量X ～N (1，σ2)，若P (X ＞0)＝0.8，则P (X ≥2)＝________.解析：随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，∴正态曲线关于x ＝1对称，∴P (X ≥2)＝P (X ≤0)＝1－P (X ＞0)＝0.2.答案：0.214．三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局的胜者对第一局的败者，第四局是第三局的胜者对第二局的败者，则乙队连胜四局的概率为________．解析：设乙队连胜四局为事件A ，有下列情况：第一局中乙胜甲(A 1)，其概率为1－0.4＝0.6；第二局中乙胜丙(A 2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A 3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A 4)，其概率为0.5，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为：P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4)＝0.62×0.52＝0.09.答案：0.0915．九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美．某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：(1)若购进这批九节虾35 000 g ，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X ，求X 的分布列．解：(1)由表中数据可以估计每只九节虾的质量为140×(4×10＋12×20＋11×30＋8×40＋5×50)＝29.5(g)，因为35 000÷29.5≈1 186(只)，所以这批九节虾的数量约为1 186只．(2)由表中数据知，任意挑选1只九节虾，质量在[5,25)间的概率p ＝4＋1240＝25，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫354＝81625，P (X ＝1)＝C 14×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝216625， P (X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫252×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝216625， P (X ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫253×35＝96625， P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫254＝16625. 所以X 的分布列为16．(2019·惠州模拟)某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10分，背诵错误减10分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种．其中某班级学生背诵正确的概率p ＝23，记该班级完成n 首背诵后的总得分为S n .(1)求S 6＝20且S i ≥0(i ＝1,2,3)的概率； (2)记ξ＝|S 5|，求ξ的分布列及数学期望．解：(1)当S 6＝20时，即背诵6首后，正确的有4首，错误的有2首．由S i ≥0(i ＝1,2,3)可知，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首；若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首．则所求的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋23×13×23×C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝1681.(2)由题意知ξ＝|S 5|的所有可能的取值为10,30,50，又p ＝23，∴P (ξ＝10)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝4081，P (ξ＝30)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫234×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫231×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝3081， P (ξ＝50)＝C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫235×⎝ ⎛⎭⎪⎫130＋C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫230×⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝1181， ∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝10×4081＋30×3081＋50×1181＝1 85081.17．(2018·濮阳二模)近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事，并且逐渐影响到国际电子商务行业．某商家为了准备2018年“双十一”的广告策略，随机调查了1 000名客户在2017年“双十一”前后10天内网购所花时间T(单位：时)，并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图．由频率分布直方图可以认为，这10天网购所花的时间T近似服从N(μ，σ2)，其中μ用样本平均值代替，σ2＝0.24.(1)计算μ，并利用该正态分布求P(1.51＜T＜2.49)．(2)利用由样本统计获得的正态分布估计整体，将这10天网购所花时间在(2,2.98)小时内的人定义为目标客户，对目标客户发送广告提醒．现若随机抽取10 000名客户，记X为这10 000人中目标客户的人数．(ⅰ)求EX；(ⅱ)问：10 000人中目标客户的人数X为何值的概率最大？附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜Z＜μ＋3σ)＝0.997 4.0.24≈0.49.解：(1)μ＝0.4×(0.050×0.8＋0.225×1.2＋0.550×1.6＋0.825×2.0＋0.600×2.4＋0.200×2.8＋0.050×3.2)＝2，从而T服从N(2,0.24)，又σ＝0.24≈0.49，从而P(1.51＜T＜2.49)＝P(μ－σ＜T＜μ＋σ)＝0.682 6.(2)(ⅰ)任意抽取1名客户，该客户是目标客户的概率为P(2＜T＜2.98)＝P(μ＜T＜μ＋2σ)＝12P(μ－2σ＜T＜μ＋2σ)＝12×0.954 4＝0.477 2.由题意知X服从B(10 000,0.477 2)，所以EX＝10 000×0.477 2＝4 772.(ⅱ)X服从B(10 000,0.477 2)，P(X＝k)＝C k10 0000.477 2k(1－0.477 2)10 000－k＝C k10 0000.477 2k·0.522 810 000－k(k＝0,1,2，…，10 000)．设当X ＝k (k ≥1，k ∈N)时概率最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧P X ＝k ＞P X ＝k ＋1，PX ＝k ＞P X ＝k －1，得⎩⎪⎨⎪⎧0.522 8C k10 000＞0.477 2C k ＋110 000，0.477 2C k 10 000＞0.522 8C k －110 000，解得k ＝4 772.故10 000人中目标客户的人数为4 772的概率最大．。
2020版高考数学(文)新创新一轮复习通用版课时跟踪检测二十六系统题型解三角形及应用举例含解析
课时跟踪检测（二十六） 系统题型——解三角形及应用举例[A 级 保分题——准做快做达标]1．(2018·惠州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B 由已知及正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，又sin(B ＋C )＝sin A ，∴sin A ＝1，∴A ＝π2.故选B.2．(2018·临川二中等两校联考)已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若sin A ＝223，sin B >sin C ，a ＝3，S △ABC ＝22，则b 的值为( ) A ．2或3 B ．2 C ．3D ．6解析：选C 因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＝1－sin 2A ＝13，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－92bc ＝13，① 因为S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×223＝22，所以bc ＝6，②将②代入①得b 2＋c 2－912＝13，则b 2＋c 2＝13，③由sin B >sin C 可得b >c ，联立②③可得b ＝3，c ＝2.故选C.3．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( )A. 2B.98 C ．1D.78解析：选B ∵a cos A ＝b sin A ，由正弦定理可得，sin A cos A ＝sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴cos A ＝sin B ，又B 为钝角，∴B ＝A ＋π2，sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋cos 2A ＝sin A ＋1－2sin 2A ＝－2⎝⎛⎭⎫sin A －142＋98，∴sin A ＋sin C 的最大值为98. 4．(2019·昆明适应性检测)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选A 法一：因为tan ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝310，cos ∠BAC ＝－110.由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝⎛⎭⎫－110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×310＝32，所以BC 边上的高h ＝2S △ABC BC ＝2×323＝1，故选A.法二：因为在△ABC 中，tan ∠BAC ＝－3<0，所以∠BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于2，故选A.5.(2019·长沙第一中学模拟)已知在△ABC 中，D 是AC 边上的点，且AB ＝AD ，BD ＝62AD ，BC ＝2AD ，则sin C 的值为( ) A.158B.154C.18D.14解析：选A 设AB ＝AD ＝2a ，则BD ＝6a ，则BC ＝4a ，所以cos ∠ADB ＝BD 2＋AD 2－AB 22BD ×AD ＝6a 22×2a ×6a ＝64，所以cos ∠BDC ＝BD 2＋CD 2－BC 22BD ×CD ＝－64，整理得CD 2＋3aCD －10a 2＝0，解得CD ＝2a 或者CD ＝－5a (舍去)．故cos C ＝16a 2＋4a 2－6a 22×4a ×2a ＝1416＝78，而C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故sin C ＝158.故选A. 6．(2019·赣州寻乌中学期末)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边的边长．若cos C ＋sin C －2cos B ＋sin B＝0，则a ＋b c 的值是( )A.2－1B.2＋1C.3＋1D ．2解析：选B 在△ABC 中，由cos C ＋sin C －2cos B ＋sin B ＝0，根据两角和的正弦公式可得2sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π4sin ( B ＋π4 )＝2，从而得C ＋π4＝B ＋π4＝π2，解得C ＝B ＝π4，∴A ＝π2.∴由正弦定理可得a ＋b c ＝sin π2＋sin π4sinπ4＝1＋2222＝2＋1.故选B. 7．(2019·葫芦岛期中)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin C －cos C ＝1－cos C 2，若△ABC 的面积S ＝12(a ＋b )sin C ＝32，则△ABC 的周长为( )A ．27＋5 B.7＋5 C ．27＋3D.7＋3解析：选D 由sin C －cos C ＝1－cos C 2⇒2sin C 2cos C 2－⎝⎛⎭⎫2cos 2 C 2－1＝1－cos C 2⇒cos C 2( 2cos C 2－2sin C 2－1 )＝0，∵cos C 2≠0，∴sin C 2－cos C 2＝－12，两边平方得sin C ＝34，由sin C 2－cos C 2＝－12可得sin C 2<cos C 2，∴0<C 2<π4，即0<C <π2，由sin C ＝34得cos C ＝74.又S ＝12ab sin C ＝12(a＋b )sin C ＝32，∴a ＋b ＝ab ＝4，∴a ＝b ＝2，再根据余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8－27，解得c ＝7－1，故△ABC 的周长为7＋3，故选D.8．(2019·长沙模拟)在锐角△ABC 中，D 为BC 的中点，满足∠BAD ＋∠C ＝90°， 则∠B ，∠C 的大小关系是________．解析：由∠BAD ＋∠C ＝90°，得∠CAD ＋∠B ＝90°，由正弦定理得AD BD ＝sin B sin ∠BAD ＝sin B cos C ，AD CD ＝sin C sin ∠CAD ＝sin C cos B，又D 为BC 的中点，所以BD ＝DC ，所以sin B cos C ＝sin Ccos B ，化简得sin B cos B ＝sin C cos C ，即sin 2B ＝sin 2C ，又△ABC 为锐角三角形，所以∠B ＝∠C .答案：∠B ＝∠C9.(2019·温州一模)如图，在四边形ABCD 中，△ABD ，△BCD 分别是以AD 和BD 为底的等腰三角形，其中AD ＝1，BC ＝4，∠ADB ＝∠CDB ，则BD ＝________，AC ＝________.解析：设∠ADB ＝∠CDB ＝θ，在△ABD 内，BD ＝12cos θ；在△CBD 内，BD ＝8cos θ.故12cos θ＝8 cos θ，所以cos θ＝14，BD ＝2，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－78.在△ACD 中，由余弦定理可得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos 2θ＝24，AC ＝2 6.答案：2 2 610．(2019·沈阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝5，B ＝2π3，△ABC 的面积为1534，则cos 2A ＝________.解析：由三角形的面积公式，得S △ABC ＝12ac sin B ＝12×a ×5×sin 2π3＝12×32×5a ＝1534，解得a ＝3.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32＋52－2×3×5×⎝⎛⎭⎫－12＝49，得b ＝7.由a sin A ＝b sin B ⇒sin A ＝ab sin B ＝37sin 2π3＝3314，∴cos 2A ＝1－2sin 2A ＝1－2×⎝⎛⎭⎫33142＝7198.答案：719811．(2019·江西七校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若C ＝3π4，且sin(A ＋C )＝2sin A cos(A ＋B )．(1)求证：a ，b,2a 成等比数列； (2)若△ABC 的面积是1，求c 的长．解：(1)证明：∵A ＋B ＋C ＝π，sin(A ＋C )＝2sin A cos(A ＋B )，∴sin B ＝－2sin A cos C . 在△ABC 中，由正弦定理得，b ＝－2a cos C ， ∵C ＝3π4，∴b ＝2a ，则b 2＝a ·2a ， ∴a ，b,2a 成等比数列．(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝24ab ＝1，则ab ＝22，由(1)知，b ＝2a ，联立两式解得a ＝2，b ＝2， 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝2＋4－42×⎝⎛⎭⎫－22＝10，∴c ＝10. 12．(2019·大连检测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2B －cos 2C －sin 2A ＝sin A sin B.(1)求角C ；(2)若c ＝26，△ABC 的中线CD ＝2，求△ABC 的面积S 的值． 解：(1)由已知得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ， 由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－ab ， 由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.∵0<C <π，∴C ＝2π3. (2)法一：由|CD ―→ |＝12|CA ―→＋CB ―→|＝2，可得CA ―→2＋CB ―→ 2＋2CA ―→·CB ―→＝16，即a 2＋b 2－ab ＝16，又由余弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝24，∴ab ＝4. ∴S ＝12ab sin ∠ACB ＝34ab ＝ 3.法二：延长CD 到M ，使CD ＝DM ，连接AM ，易证△BCD ≌△AMD ，∴BC ＝AM ＝a ，∠CBD ＝∠MAD ，∴∠CAM ＝π3.由余弦定理得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋ab ＝24，a 2＋b 2－ab ＝16，∴ab ＝4，S ＝12ab sin ∠ACB ＝12×4×32＝ 3.[B 级 难度题——适情自主选做]1．(2019·成都外国语学校一模)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π6 B.⎣⎡⎦⎤π6，π C.⎝⎛⎦⎤0，π3 D.⎣⎡⎦⎤π3，π解析：选C 由正弦定理及sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C 可得a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ＝12，又0<A <π，所以0<A ≤π3.故A 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π3.故选C. 2．(2019·陆川中学期中)如图，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a cos C ＋c cos A ＝b sin B ，且∠CAB ＝π6.若点D 是△ABC外一点，DC ＝2，DA ＝3，则当四边形ABCD 面积取最大值时，sin D ＝________.解析：因为a cos C ＋c cos A ＝b sin B ，所以由正弦定理可得sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ＝sin 2B ，sin B ＝1，B ＝π2.又因为∠CAB ＝π6，所以BC ＝12AC ，AB ＝32AC ，由余弦定理可得cos D ＝22＋32－AC 22×2×3，可得AC 2＝13－12cos D ，四边形面积S ＝S △ACD ＋S △ABC ＝12×2×3×sin D ＋12×12AC ×32AC ＝3sin D ＋38(13－12cos D )＝1383＋3sin D －332cos D ＝ 9＋274sin(D ＋φ)＋1383，tan φ＝－32， 所以，当φ＋D ＝π2时四边形面积最大，此时tan D ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝1tan φ＝－233，可得sin D ＝277. 答案：2773．(2019·郑州高三质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cos C ＝(2b －3c )cos A .(1)求角A的大小；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．解：(1)由正弦定理可得，3sin A cos C＝2sin B cos A－3sin C cos A，从而可得3sin(A＋C)＝2sin B cos A，即3sin B＝2sin B cos A.又B为三角形的内角，所以sin B≠0，于是cos A＝3 2，又A为三角形的内角，所以A＝π6.(2)由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bc cos A得4＝b2＋c2－2bc·32≥2bc－3bc，所以bc≤4(2＋3)．所以S＝12bc sin A≤2＋ 3.故当a＝2时，△ABC面积的最大值为2＋ 3.。
2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十指数与指数函数含解析
课时跟踪检测（十）指数与指数函数、题点全面练=3 •20 = 3.0.故选D.法二：由图可知0v a v 1, f （x ）的图象可由函数y = a x 的图象向左平移得到，故一 b > 0,则b v 0.故选D.1. 6 12的化简结果为（3 A. 2 B.C. 4 D .解析:1 原式=32•1-12 61 1• 4 6 ・3 61 1 -一+ — 3 32.函数f (x ) =a x —b 的图象如图所示，其中中正确的是（A. a >1, b v 0B. a >1, b > 0C. 0v a v 1,0 v b v 1D .0v a v 1, b v 0 解析：选D 法一：由题图可知 0v a v 1,当 x = 0 时，b € (0,1)，故—b >0,得 b v3. 2化简4a 32 C aJ 23 b 3的结果为（）A.2a 3bB .8a TC.D .6ab解析：选C6ab —1豊故选C.bB. 0v a v b v 1D. 1 v a v ba ，b 为常数，则下列结论4.设x> 0，且1 v b x v a x,则()A. 0v b v a v 1C. 1 v b v a解析：选C因为1v b x，所以b0v b x,因为X>0,所以b> 1,因为b x v a x,所以J x> 1,因为x> 0,所以a> 1,所以a> b,所以1 v b v a.故选C.b4 2 15. 已知a= (i⑵3, b= 25, c= 93，贝U a, b, c的大小关系是()A. b v a v cB. a v b v cC. b v c v aD. c v a v b4 1 ^4 2 2 1 2解析：选 A a= ( 2) 3= 22X3= 2空,b= 25, c = 9可=3了,2由函数y = x3在(0 ,+s)上为增函数，得a v c,由函数y = 2x在R上为增函数，得a>b,综上得c>a>b.故选A.6. 函数f (x) = a x+ b- 1(其中0v a v 1，且0v b v 1)的图象一定不经过()A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选C由0v a v 1可得函数y = a x的图象单调递减，且过第一、二象限，因为0 v b v 1，所以一1 v b- 1v 0,所以0v 1- b v 1,y= a x的图象向下平移1-b个单位即可得到y= a x+ b- 1的图象，所以y= a x+ b- 1的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限.故选 C.■x1 —2-, x>0,7. 已知函数f(x)=< x 则函数f (x)是()|2 —1, x v 0,A. 偶函数，在［0,+^)单调递增B. 偶函数，在［0,+^)单调递减C. 奇函数，且单调递增D. 奇函数，且单调递减解析：选C 易知f(0) = 0，当x>0 时，f(x) = 1-2-x, -f(x) = 2-x- 1,此时一x v 0, 则f( —x) = 2-x- 1 = -f (x);当x v 0 时，f (x) = 2x- 1,- f (x) = 1- 2x，此时一x >0,则f( - x) = 1-2-( - x)= 1-2x=- f(x).即函数f (x)是奇函数，且单调递增，故选 C.2、x&二次函数y=—x - 4x(x>- 2)与指数函数y=- 的交点有()A. 3个C. 1个B. 2个D. 0个. _ 2 2解析：选 C 因为二次函数 y =— x -4x =— (x — 2) + 4(x >- 2),=—1 时，y =- x 2- 4x = 3,在坐标系中画出y =— x 2-4x ( x >- 2)与y = 2 %的大致图象, ◎ 由图可得，两个函数图象的交点个数是 1.故选C. 结合指数函数的图象及选项可知 A 正确.故选A.99.已知函数 f (x ) = x - 4+ x —- , x € (0,4) x — I，当x = a 时，f (x )取得最小值 b ,则函数g (x ) =a |x +b|的图象为()解析：选A 因为x € (0,4)，所以x + 1 > 1,9 9所以 f (x )=x -4+不=x +1+石-5> 2当且仅当x =2时取等号，此时函数有最小值 所以 a = 2, b = 1,此时 g (x ) = 2lx +112x —1, x >- 1,曲)—1, X V - 1,此函数图象可以看作由函数 y = 空，x >0,E), X V 0 的图象向左平移1个单位得到.1,— J x —- 5 = 1,10•函数f(x) = £ j』+2x+1的单调递减区间为 ______________ .解析：设U=-x2+ 2x + 1,V y= 1 u在R上为减函数，•••函数f(x) = 1 —x2+2x+1的单调递减区间即为函数u=-x2+ 2x + 1的单调递增区间.2又u= —x + 2X+ 1的单调递增区间为(—g, 1], 「•f(x)的单调递减区间为(一g, 1].答案：(—g, 1]11.不等式12x2+axV 12x+a-2恒成立，则a的取值范围是2解析：由指数函数的性质知y= 1 x是减函数, 因为2宀“ V 22x+a-2恒成立, 所以x2+ ax> 2x + a—2恒成立,所以x2+ (a—2)x—a+ 2>0 恒成立, 所以△= (a—2)2—4( —a+ 2) V0,即(a —2)( a—2+ 4) V 0,即(a —2)( a+ 2) V0,故有一2 V a v 2,即a的取值范围是(一2,2). 答案：(一2,2)12.已知函数f(x)=(1)讨论f(x)的奇偶性；⑵求a的取值范围，使f(x) >0在定义域上恒成立. 解：(1)由于a —1工0,贝U a丰1,得X M0, 函数f (x)的定义域为{x| x M0}. 对于定义域内任意x，有1 1 3 =尸+2 x= f(x),•函数f(x)是偶函数.(2)由(1)知f(x)为偶函数，•••只需讨论x>0时的情况，当x>0时，要使f (x) >0, (1 1、3 则尸+1x> 0，a>0,且a^ 1). f( —x)=1 1(又••• x > 0,「. a > 1. •••当 a € (1 ,+s )时，f (x ) >0.二、专项培优练(一)易错专练一一不丢怨枉分1 .设y = f (x )在(—g, 1］上有定义，对于给定的实数K ,定义f K (X )= f x , f x W K ,x +1x…给出函数f (x ) = 2 — 4，若对于任意x € ( —g, 1］，恒有f«x )K f x > K.=f (x )，则()A. K 的最大值为0B. K 的最小值为0C. K 的最大值为1D. K 的最小值为1解析：选D 根据题意可知，对于任意x € ( —g, 1］，恒有f«x ) = f (x )，贝U f (x ) w K在x wi 上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于 K 即可.令 2x = t ，则 t € (0,2］ , f (t ) = — t 2+ 2t =— (t — 1)2+ 1,可得 f (t )的最大值为 1 , • K > 1,故选 D.j,得 b v 4.由 2a v b , 得 b >2a >2, a v 号v 2,故 1 v a v 2,2 v b v 4.对于选项A 、B,由于b 2— 4( b — a ) = (b — 2)2+ 4(a — 1) >0恒成立，故 A 错误，B 正确; 对于选项C, D, a — (b — a ) = a + 2 1 — b + ，由于1 v a v 2,2 v b v 4,故该式的符号不确 定，故C 、D 错误.故选B.3.设a >0,且a z 1,函数y = a 2x + 2a x — 1在［—1,1］上的最大值是14,求实数a 的值.解：令 t = a x ( a >0,且 a z 1),则原函数化为 y = f (t ) = (t + 1)2— 2(t >0).①当 0v a v 1, x € ［ — 1,1］时，t = a x € |a , £ ,> 0，则 a x > 1.2.已知实数a ，b 满足》2a >b>j ,则()A. b v 2 b — aC. 解析：选B 由2> B. b >2 b — aD. a > b — a:得 a >1，由 2 a > bb> 4,得2，得>,故2a v b ,此时f(t)在a，1上为增函数.-a」所以f(t)max= f - = '+ 1 2— 2= 14.&丿'a丿所以「+ 1| = 16,解得a=—匸(舍去)或a=云.a 5 3②当a> 1 时，x€ [ —1,1] , t = a x€ I，a L」a」此时f(t)在1，a上是增函数.所以f(t)max= f(a) = (a+ 1)2—2= 14, 解得a= 3或a=—5(舍去).1 综上得a= 3或3.（二）交汇专练——融会巧迁移4.[与基本不等式交汇]设f (x) = e x,0 v a v b,若p= f ( ab) , q= ff b ，则下列关系式中正确的是（f aA. q= r v pB. p= r v qC. q= r > pD. p= r > qa +b —x解析：选 C ■/ 0v a v b, •••—厂 > ,ab,又f(x) = e 在(0 , +^)上为增函数，二f>f ( ab)，即q> p.又r = f a f b =a —b5.［与一元二次函数交汇］函数2 x+ 1在区间［—3,2］上的值域是解析：令t = 2 x,因为x€ ［—3,2］，所以故y = t2—t + 1 =1 3当t = 2时,y min= 4；当t = 8 时，y max= 57.故所求函数的值域为3,57答案:I3, 574',r =6.［与函数性质、不等式恒成立交汇 ］已知定义域为 R 的函数f (x ) =—21［b 是奇函数.2+ a(1)求a , b 的值；2 2⑵若对任意的t € R,不等式f (t — 2t ) + f (2t — k ) v 0恒成立，求k 的取值范围.解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数,—2 + 1从而有f (x ) = 2^—2 + 1又由 f (1) =— f ( — 1)知t+a (2)由(1)知 f (x ) = 2++^ — 2 + 2+1,由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2— 2t ) + f (2 t 2 —k ) v 0 等价于 f (t 2—2t ) v — f (2t 2— k ) = f ( — 2t 2+ k ).21从而△= 4 + 12k v 0,解得 k v — 3. 故k 的取值范围为所以f (0) = 0,即0，解得b = 1.1 —一+ 12 +因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得 t 2— 2t >— 2t 2 + k .即对一切 t € R 有 3t 2— 2t — k > 0,。
2020年高中数学课时跟踪检测含解析(全一册)新人教A版
2020年高中数学课时跟踪检测含解析新人教A版课时跟踪检测一变化率问题导数的概念课时跟踪检测二导数的几何意义课时跟踪检测三几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课时跟踪检测四复合函数求导及应用课时跟踪检测五函数的单调性与导数课时跟踪检测六函数的极值与导数课时跟踪检测七函数的最大小值与导数课时跟踪检测八生活中的优化问题举例课时跟踪检测九定积分的概念课时跟踪检测十微积分基本定理课时跟踪检测十一定积分的简单应用课时跟踪检测十二合情推理课时跟踪检测十三演绎推理课时跟踪检测十四综合法和分析法课时跟踪检测十五反证法课时跟踪检测十六数学归纳法课时跟踪检测十七数系的扩充和复数的概念课时跟踪检测十八 复数的几何意义课时跟踪检测十九 复数代数形式的加减运算及其几何意义 课时跟踪检测二十 复数代数形式的乘除运算课时跟踪检测（一） 变化率问题、导数的概念一、题组对点训练对点练一 函数的平均变化率1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2解析：选C 根据平均变化率的定义,可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )2－1＝a ＝3.2．若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，314及邻近一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx ，314＋Δy ,则Δy Δx ＝( )A ．3B ．－3C ．－3－(Δx )2D ．－Δx －3解析：选D ∵Δy ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－3Δx －(Δx )2,∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx . 3．求函数y ＝f (x )＝1x在区间[1,1＋Δx ]内的平均变化率．解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx－1＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝1－(1＋Δx )(1＋1＋Δx )1＋Δx＝－Δx(1＋1＋Δx )1＋Δx, ∴Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx. 对点练二 求瞬时速度4．某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 3－2表示,则此物体在t ＝1 s 时的瞬时速度(单位：m/s)为( )A ．1B ．3C ．－1D ．0 答案：B5．求第4题中的物体在t 0时的瞬时速度． 解：物体在t 0时的平均速度为v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt ＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3Δt＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2.因为lim Δt →0 [3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20,故此物体在t ＝t 0时的瞬时速度为3t 20 m/s. 6．若第4题中的物体在t 0时刻的瞬时速度为27 m/s,求t 0的值．解：由v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3Δt ＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2,因为lim Δt →0 [3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20. 所以由3t 20＝27,解得t 0＝±3, 因为t 0>0,故t 0＝3,所以物体在3 s 时的瞬时速度为27 m/s. 对点练三 利用定义求函数在某一点处的导数 7．设函数f (x )可导,则lim Δx →0 f (1＋3Δx )－f (1)3Δx等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C ．13f ′(1) D ．f ′(3)解析：选A lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1)．8．设函数f (x )＝ax ＋3,若f ′(1)＝3,则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 解析：选C ∵f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋3－(a ＋3)Δx＝a ,∴a ＝3.9．求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数f ′(1)．解：由导数的定义知,函数在x ＝1处的导数f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx,而f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1,又lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12,所以f ′(1)＝12.二、综合过关训练1．若f (x )在x ＝x 0处存在导数,则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0,h 都有关B ．仅与x 0有关,而与h 无关C ．仅与h 有关,而与x 0无关D ．以上答案都不对解析：选B 由导数的定义知,函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．2．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1,在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2,则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 2<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：选D k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ；k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可正也可负,所以k 1与k 2的大小关系不确定． 3．A ,B 两机关开展节能活动,活动开始后两机关的用电量W 1(t ),W 2(t )与时间t (天)的关系如图所示,则一定有( )A ．两机关节能效果一样好B ．A 机关比B 机关节能效果好C ．A 机关的用电量在[0,t 0]上的平均变化率比B 机关的用电量在[0,t 0]上的平均变化率大D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大解析：选B 由题图可知,A 机关所对应的图象比较陡峭,B 机关所对应的图象比较平缓,且用电量在[0,t 0]上的平均变化率都小于0,故一定有A 机关比B 机关节能效果好．4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2,其中s 的单位是：m,t 的单位是：s,那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s解析：选C ∵Δs Δt ＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2－(1－3＋32)Δt＝5＋Δt ,∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (5＋Δt )＝5 (m/s)． 5．如图是函数y ＝f (x )的图象,则(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.(2)由函数f (x )的图象知,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以,函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.答案：(1)12 (2)346．函数y ＝－1x在点x ＝4处的导数是________．解析：∵Δy ＝－14＋Δx＋14＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx24＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴Δy Δx ＝124＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0124＋Δx (4＋Δx ＋2) ＝12×4×(4＋2)＝116.∴y ′|x ＝4＝116.答案：1167．一做直线运动的物体,其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时平均速度．解：(1)初速度v 0＝lim Δt →0 s (Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →0 3Δt －(Δt 2)Δt＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3(m/s)． 即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝lim Δt →0s (2＋Δt )－s (2)Δt＝lim Δt →0 3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt＝lim Δt →0 －(Δt )2－Δt Δt ＝lim Δt →0 (－Δt －1)＝－1(m/s)． 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s,方向与初速度相反． (3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.8．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1,求Δx 的范围．解：因为函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为： Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx ,所以由－3－Δx ≤－1, 得Δx ≥－2. 又因为Δx >0,即Δx 的取值范围是(0,＋∞)．课时跟踪检测（二） 导数的几何意义一、题组对点训练对点练一 求曲线的切线方程1．曲线y ＝x 3＋11在点(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15解析：选C ∵切线的斜率k ＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (1＋Δx )3＋11－12Δx ＝lim Δx →0 1＋3·Δx ＋3·(Δx )2＋(Δx )3－1Δx ＝lim Δx →0[3＋3(Δx )＋(Δx )2]＝3, ∴切线的方程为y －12＝3(x －1)． 令x ＝0得y ＝12－3＝9.2．求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线方程．解：因为y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0 －1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2, 所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝－4.故所求切线方程为y －2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12,即4x ＋y －4＝0.对点练二 求切点坐标3．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0,b )处的切线方程是x －y ＋1＝0,则( ) A ．a ＝1,b ＝1 B ．a ＝－1,b ＝1 C ．a ＝1,b ＝－1D ．a ＝－1,b ＝－1解析：选A ∵点(0,b )在直线x －y ＋1＝0上,∴b ＝1. 又y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋1－x 2－ax －1Δx ＝2x ＋a , ∴过点(0,b )的切线的斜率为y ′|x ＝0＝a ＝1.4．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16,则点P 坐标为________． 解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0),则f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 2(Δx )2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4, 又∵f ′(x 0)＝16,∴4x 0＋4＝16,∴x 0＝3,∴P (3,30)． 答案：(3,30)5．曲线y ＝f (x )＝x 2的切线分别满足下列条件,求出切点的坐标． (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)切线的倾斜角为135°.解：f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x2Δx＝2x , 设P (x 0,y 0)是满足条件的点．(1)∵切线与直线y ＝4x －5平行,∴2x 0＝4,∴x 0＝2,y 0＝4,即P (2,4),显然P (2,4)不在直线y ＝4x －5上,∴符合题意．(2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直,∴2x 0·13＝－1,∴x 0＝－32,y 0＝94,即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94.(3)∵切线的倾斜角为135°,∴其斜率为－1,即2x 0＝－1,∴x 0＝－12,y 0＝14,即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14. 对点练三 导数几何意义的应用 6．下面说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在,则曲线y ＝f (x )点(x 0,f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处有切线,则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在,则曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处没有切线,则f ′(x 0)有可能存在解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x 0,y 0)处有导数,则切线一定存在,但反之不一定成立,故A,B,D 错误．7．设曲线y ＝f (x )在某点处的导数值为0,则过曲线上该点的切线( ) A ．垂直于x 轴B ．垂直于y 轴C ．既不垂直于x 轴也不垂直于y 轴D ．方向不能确定解析：选B 由导数的几何意义知曲线f (x )在此点处的切线的斜率为0,故切线与y 轴垂直．8．如图所示,单位圆中弧AB 的长为x ,f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍,则函数y ＝f (x )的图象是( )解析：选D 不妨设A 固定,B 从A 点出发绕圆周旋转一周,刚开始时x 很小,即弧AB 长度很小,这时给x 一个改变量Δx ,那么弦AB 与弧AB 所围成的弓形面积的改变量非常小,即弓形面积的变化较慢；当弦AB 接近于圆的直径时,同样给x 一个改变量Δx ,那么弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的改变量将较大,即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始,随着B点的继续旋转,弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．由上可知函数y ＝f (x )图象的上升趋势应该是首先比较平缓,然后变得比较陡峭,最后又变得比较平缓,对比各选项知D 正确．9．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示, 则函数y ＝f ′(x )的图象可能是________(填序号)．解析：由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知,当x <0时f ′(x )>0,当x ＝0时,f ′(x )＝0,当x >0时,f ′(x )<0,故②符合．答案：②二、综合过关训练1．函数f (x )的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A ．0<f ′(a )<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a ) B ．0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a ) C ．0<f ′(a ＋1)<f ′(a )<f (a ＋1)－f (a ) D ．0<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )<f ′(a ＋1)解析：选B f ′(a ),f ′(a ＋1)分别为曲线f (x )在x ＝a ,x ＝a ＋1处的切线的斜率,由题图可知f ′(a )>f ′(a ＋1)>0,而f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a表示(a ,f (a ))与(a ＋1,f (a＋1))两点连线的斜率,且在f ′(a )与f ′(a ＋1)之间．∴0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )．2．曲线y ＝1x －1在点P (2,1)处的切线的倾斜角为( ) A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．3π4解析：选D Δy ＝12＋Δx －1－12－1＝11＋Δx －1＝－Δx 1＋Δx ,lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －11＋Δx ＝－1,斜率为－1,倾斜角为3π4.3．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x ＋2解析：选 A 由Δy ＝(1＋Δx )3－2(1＋Δx )＋1－(1－2＋1)＝(Δx )3＋3(Δx )2＋Δx 得lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2＋3Δx ＋1＝1,所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1,切线过点(1,0),根据直线的点斜式可得切线方程为y ＝x －1.4．设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点,且曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1,则P 0点的坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)或(－1,－4)D ．(2,8)或(－1,－4)解析：选C f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－2－(x 3＋x －2)Δx＝lim Δx →0 (3x 2＋1)Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx ＝3x 2＋1.由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1,所以f (x )在P 0处的导数值等于4.设P 0(x 0,y 0),则有f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4,解得x 0＝±1,P 0的坐标为(1,0)或(－1,－4)．5．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示,则y ＝f (x )在A 、B 两点处的导数f ′(a )与f ′(b )的大小关系为：f ′(a )________f ′(b )(填“<”或“>”)．解析：f ′(a )与f ′(b )分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜率,故f ′(a )>f ′(b )．答案：>6．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程为____________．解析：曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →03(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx＝lim Δx →0 (3Δx ＋2)＝2.所以过点 P (－1,2)的直线的斜率为2.由点斜式得y－2＝2(x＋1),即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.答案：2x－y＋4＝07．甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②,试问：(1)甲、乙二人哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑,问快到终点时,谁跑得较快？解：(1)图①中乙的切线斜率比甲的切线斜率大,故乙跑得快；(2)图②中在快到终点时乙的瞬时速度大,故快到终点时,乙跑得快．8．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时通常期望它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t.其示意图如图所示．根据图象,结合导数的几何意义解释烟花升空后的运动状况．解：如图,结合导数的几何意义,我们可以看出：在t＝1.5 s附近曲线比较平坦,也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0,达到最高点并爆裂；在0～1.5 s之间,曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小,也就是说烟花在达到最高点前,以越来越小的速度升空；在1.5 s后,曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大,即烟花达到最高点后,以越来越大的速度下降,直到落地．课时跟踪检测（三） 几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、题组对点训练对点练一 利用导数公式求函数的导数 1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2,则y ′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 因为(cos x )′＝－sin x ,所以①错误．sin π3＝32,而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0,所以②错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝0－(x 2)′x 4＝－2x x 4＝－2x 3,所以③错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝－0－(x 12)′x ＝12x －12x ＝12x －32＝12x x,所以④正确． 2．已知f (x )＝x α(α∈Q *),若f ′(1)＝14,则α等于( )A ．13B ．12C ．18D ．14 解析：选D ∵f (x )＝x α,∴f ′(x )＝αx α－1.∴f ′(1)＝α＝14.对点练二 利用导数的运算法则求导数 3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x解析：选B y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x . 4．函数y ＝x 2x ＋3的导数为________．解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝(x 2)′(x ＋3)－x 2(x ＋3)′(x ＋3)2＝2x (x ＋3)－x 2(x ＋3)2＝x 2＋6x (x ＋3)2.答案：x 2＋6x (x ＋3)25．已知函数f (x )＝ax ln x ,x ∈(0,＋∞),其中a 为实数,f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3,则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ,又f ′(1)＝3, 所以a ＝3.答案：36．求下列函数的导数．(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝exsin x.解：(1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′＝cos x －4x .(2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos xx.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x sin x ′＝(e x )′·sin x －e x ·(sin x )′sin 2x ＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x ＝e x(sin x －cos x )sin 2x. 对点练三 利用导数公式研究曲线的切线问题7．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x在点(0,0)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3), ∴切线斜率k ＝e 0×3＝3,∴切线方程为y ＝3x . 答案：y ＝3x8．若曲线f (x )＝x ·sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直,则实数a ＝________.解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ,所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2,所以根据题意得1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1,解得a ＝2.答案：29．已知a ∈R,设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x,所以f ′(1)＝a －1,又f (1)＝a ,所以切线l 的方程为y －a＝(a －1)(x －1),令x ＝0,得y ＝1.答案：110．在平面直角坐标系xOy 中,点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上,且在第一象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,求点P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x 0,y 0),因为y ′＝3x 2－10,所以3x 20－10＝2,解得x 0＝±2.又点P 在第一象限内,所以x 0＝2,又点P 在曲线C 上,所以y 0＝23－10×2＋13＝1,所以点P 的坐标为(2,1)．二、综合过关训练1．f 0(x )＝sin x ,f 1(x )＝f ′0(x ),f 2(x )＝f ′1(x ),…,f n ＋1(x )＝f ′n (x ),n ∈N,则f 2 019(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：选D 因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ,f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ,f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ,f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ,f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ,所以循环周期为4,因此f 2 019(x )＝f 3(x )＝－cos x .2．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D ．12解析：选A 因为y ′＝x 2－3x ,所以根据导数的几何意义可知,x 2－3x ＝12,解得x ＝3(x ＝－2不合题意,舍去)．3．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12B ．12C ．－22D ．22解析：选B y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x ,把x ＝π4代入得导数值为12,即为所求切线的斜率．4．已知直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3＋3相切,则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．－1D ．－2解析：选A 设切点为(x 0,y 0),则y 0＝3x 0＋1,且y 0＝ax 30＋3,所以3x 0＋1＝ax 30＋3…①.对y ＝ax 3＋3求导得y ′＝3ax 2,则3ax 20＝3,ax 20＝1…②,由①②可得x 0＝1,所以a ＝1.5．设a 为实数,函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x ),且f ′(x )是偶函数,则曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为____________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －3, ∵f ′(x )是偶函数,∴a ＝0, ∴f (x )＝x 3－3x ,f ′(x )＝3x 2－3, ∴f (2)＝8－6＝2,f ′(2)＝9,∴曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y －2＝9(x －2), 即9x －y －16＝0. 答案：9x －y －16＝06．设f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ),则f ′(0)＝________. 解析：令g (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ),则f (x )＝xg (x ), 求导得f ′(x )＝x ′g (x )＋xg ′(x )＝g (x )＋xg ′(x ), 所以f ′(0)＝g (0)＋0×g ′(0)＝g (0)＝1×2×3×…×n . 答案：1×2×3×…×n7．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,则a ＝________.解析：法一：∵y ＝x ＋ln x , ∴y ′＝1＋1x,y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1),即y ＝2x －1. ∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ,得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0,解得a ＝8. 法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0,ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)． ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2), ∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：88．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ,f ′(2)＝－b ,其中常数a ,b ∈R.求曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线方程．解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1,所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 令x ＝1,得f ′(1)＝3＋2a ＋b , 又f ′(1)＝2a,3＋2a ＋b ＝2a , 解得b ＝－3,令x ＝2得f ′(2)＝12＋4a ＋b , 又f ′(2)＝－b , 所以12＋4a ＋b ＝－b , 解得a ＝－32.则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1,从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3, 所以曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1), 即6x ＋2y －1＝0.9．已知两条直线y ＝sin x ,y ＝cos x ,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：不存在．由于y ＝sin x ,y ＝cos x ,设两条曲线的一个公共点为P (x 0,y 0),所以两条曲线在P (x 0,y 0)处的斜率分别为k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0,k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sinx 0.若使两条切线互相垂直,必须使cos x 0·(－sin x 0)＝－1,即sin x 0·cos x 0＝1,也就是sin 2x 0＝2,这是不可能的,所以两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直．课时跟踪检测（四） 复合函数求导及应用一、题组对点训练对点练一 简单复合函数求导问题 1．y ＝cos 3x 的导数是( ) A ．y ′＝－3cos 2x sin x B ．y ′＝－3cos 2x C ．y ′＝－3sin 2xD ．y ′＝－3cos x sin 2x解析：选A 令t ＝cos x ,则y ＝t 3,y ′＝y t ′·t x ′＝3t 2·(－sin x )＝－3cos 2x sin x . 2．求下列函数的导数． (1)y ＝ln(e x ＋x 2)； (2)y ＝102x ＋3；(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解：(1)令u ＝e x ＋x 2,则y ＝ln u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x＋2x )＝e x＋2x e x ＋x2.(2)令u ＝2x ＋3,则y ＝10u,∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u·ln 10·(2x ＋3)′＝2×102x ＋3ln10.(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x ·cos 2x ＝1－12sin 22x ＝1－14(1－cos 4x )＝34＋14cos 4x . 所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋14cos 4x ′＝－sin 4x . 对点练二 复合函数与导数运算法则的综合应用 3．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x解析：选B y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .4．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D ．x2x ＋5解析：选 B y ′＝[x ln(2x ＋5)]′＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x 2x ＋5. 5．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是________． 解析：∵y ＝sin 2x cos 3x ,∴y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x . 答案：2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x6．已知f (x )＝e πxsin πx ,求f ′(x )及f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12.解：∵f (x )＝e πxsin πx ,∴f ′(x )＝πe πxsin πx ＋πe πxcos πx ＝πe πx(sin πx ＋cos πx )． f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝πe π2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2＝πe 2π. 对点练三 复合函数导数的综合问题7．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ,则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D 令y ＝ax －ln(x ＋1),则f ′(x )＝a －1x ＋1.所以f (0)＝0,且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3.8．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5D ．0解析：选A 设曲线y ＝ln(2x －1)在点(x 0,y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． ∵y ′＝22x －1,∴y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2,解得x 0＝1,∴y 0＝ln(2－1)＝0,即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5,即曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.9．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30,其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时,铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年),则M (60)＝( )A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2 太贝克D ．150太贝克解析：选D M ′(t )＝－130ln 2×M 02-t30,由M ′(30)＝－130ln 2×M 02-3030＝－10 ln 2,解得M 0＝600, 所以M (t )＝600×2-t 30,所以t ＝60时,铯137的含量为M (60)＝600×2-6030＝600×14＝150(太贝克)．二、综合过关训练1．函数y ＝(2 019－8x )3的导数y ′＝( ) A ．3(2 019－8x )2B ．－24xC ．－24(2 019－8x )2D ．24(2 019－8x 2)解析：选C y ′＝3(2 019－8x )2×(2 019－8x )′＝3(2 019－8x )2×(－8)＝－24(2 019－8x )2.2．函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数是( )A ．12(e x －e －x) B ．12(e x ＋e －x) C ．e x－e －xD ．e x＋e －x解析：选A y ′＝12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x)．3．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切,则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：选B 设切点坐标是(x 0,x 0＋1),依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＋1＝0,x 0＝－1,a ＝2.4．函数y ＝ln ex1＋ex 在x ＝0处的导数为________．解析：y ＝ln e x1＋e x ＝ln e x －ln(1＋e x )＝x －ln(1＋e x),则y ′＝1－e x1＋e x .当x ＝0时,y ′＝1－11＋1＝12. 答案：125．设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,则a ＝________. 解析：令y ＝f (x ),则曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0),又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ,所以f ′(x )＝(e ax )′＝e ax ·(ax )′＝a e ax,所以f ′(0)＝a e 0＝a ,故a ＝2.答案：26．f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2,则a 的值为________．解析：∵f (x )＝(ax 2－1)12,∴f ′(x )＝12(ax 2－1)－12·(ax 2－1)′＝ax ax 2－1 .又f ′(1)＝2,∴aa －1＝2,∴a ＝2. 答案：27．求函数y ＝a sin x3＋b cos 22x (a ,b 是实常数)的导数．解：∵⎝⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＝a cos x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝a 3cos x3,又(cos 22x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 4x ′＝12(－sin 4x )×4＝－2sin 4x , ∴y ＝a sin x3＋b cos 22x 的导数为y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＋b (cos 22x )′＝a 3cos x 3－2b sin 4x .8．曲线y ＝e 2xcos 3x 在(0,1)处的切线与l 的距离为5,求l 的方程． 解：由题意知y ′＝(e 2x)′cos 3x ＋e 2x(cos 3x )′ ＝2e 2x cos 3x ＋3(－sin 3x )·e 2x＝2e 2x cos 3x －3e 2xsin 3x ,所以曲线在(0,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝0＝2. 所以该切线方程为y －1＝2x ,即y ＝2x ＋1. 设l 的方程为y ＝2x ＋m ,则d ＝|m －1|5＝ 5.解得m ＝－4或m ＝6.当m ＝－4时,l 的方程为y ＝2x －4;当m＝6时,l的方程为y＝2x＋6.综上,可知l的方程为y＝2x－4或y＝2x＋6.课时跟踪检测（五）函数的单调性与导数一、题组对点训练对点练一函数与导函数图象间的关系1．f′(x)是函数f(x)的导函数,y＝f′(x)的图象如图所示,则y＝f(x)的图象最有可能是下列选项中的( )解析：选C 题目所给出的是导函数的图象,导函数的图象在x轴的上方,表示导函数大于零,原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在x轴的下方,表示导函数小于零,原函数的图象呈下降趋势．由x∈(－∞,0)时导函数图象在x轴的上方,表示在此区间上,原函数的图象呈上升趋势,可排除B、D两选项．由x∈(0,2)时导函数图象在x轴的下方,表示在此区间上,原函数的图象呈下降趋势,可排除A选项．故选C.2．若函数y＝f′(x)在区间(x1,x2)内是单调递减函数,则函数y＝f(x)在区间(x1,x2)内的图象可以是( )解析：选B 选项A中,f′(x)>0且为常数函数；选项C中,f′(x)>0且f′(x)在(x1,x2)内单调递增；选项D中,f′(x)>0且f′(x)在(x1,x2)内先增后减．故选B.3．如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象,则在[－2,5]上函数f(x)的递增区间为________．解析：因为在(－1,2)和(4,5]上f′(x)>0,所以f(x)在[－2,5]上的单调递增区间为(－1,2)和(4,5]．答案：(－1,2)和(4,5]对点练二判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间4．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞,2)B．(0,3)C．(1,4) D．(2,＋∞)解析：选D f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝e x(x－2)．由f′(x)>0得x>2,∴f(x)的单调递增区间是(2,＋∞)．5．函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：选C 由题意得,函数的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x＝(2x ＋1)(2x －1)x ,令f ′(x )＝(2x ＋1)(2x －1)x >0,解得x >12,故函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.故选C. 6．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1),且在x ＝1处的切线方程是y ＝x . (1)求y ＝f (x )的解析式； (2)求y ＝f (x )的单调递增区间．解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1),∴c ＝1,f ′(x )＝3ax 2＋2bx ,f ′(1)＝3a ＋2b ＝1,切点为(1,1),则f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(1,1),得a ＋b ＋c ＝1,解得a ＝1,b ＝－1,即f (x )＝x 3－x 2＋1.(2)由f ′(x )＝3x 2－2x >0得x <0或x >23,所以单调递增区间为(－∞,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.对点练三 与参数有关的函数单调性问题7．若函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减,则实数a 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．5解析：选C 函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减,只需f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立即可,令f ′(x )＝1－12ax －12≤0,解得a ≥2x ,则a ≥4.∴a min ＝4.8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2),则b ＝________,c ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ,由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解,即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根,把－1,2分别代入方程,解得b ＝－32,c ＝－6.答案：－32－69．已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2.讨论f (x )的单调性． 解：f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)·(e x＋2a )．(1)设a ≥0,则当x ∈(－∞,1)时,f ′(x )<0；当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增．(2)设a <0,由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．①若a ＝－e 2,则f ′(x )＝(x －1)(e x－e),所以f (x )在(－∞,＋∞)上单调递增；②若－e2<a <0,则ln(－2a )<1,故当x ∈(－∞,ln(－2a ))∪(1,＋∞)时,f ′(x )>0；当x∈(ln(－2a ),1)时,f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞,ln(－2a ))∪(1,＋∞)上单调递增,在(ln(－2a ),1)上单调递减；③若a <－e2,则ln(－2a )>1,故当x ∈(－∞,1)∪(ln(－2a ),＋∞)时,f ′(x )>0；当x ∈(1,ln(－2a ))时,f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞,1)∪(ln(－2a ),＋∞)上单调递增,在(1,ln(－2a ))上单调递减．二、综合过关训练1．若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增,则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是( )A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x解析：选A 对于选项A,f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ,∵e 2＞1,∴e x f (x )在R 上单调递增,∴f (x )＝2－x具有M 性质．对于选项B,f (x )＝x 2,e xf (x )＝e x x 2,[e xf (x )]′＝e x(x 2＋2x ),令e x (x 2＋2x )＞0,得x ＞0或x ＜－2；令e x (x 2＋2x )＜0,得－2＜x ＜0,∴函数e xf (x )在(－∞,－2)和(0,＋∞)上单调递增,在(－2,0)上单调递减,∴f (x )＝x 2不具有M 性质．对于选项C,f (x )＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ,则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x ,∵e3＜1, ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在R 上单调递减,∴f (x )＝3－x不具有M 性质．对于选项D,f (x )＝cos x ,e xf (x )＝e xcos x ,则[e x f (x )]′＝e x (cos x －sin x )≥0在R 上不恒成立,故e x f (x )＝e xcos x 在R 上不是单调递增的,∴f (x )＝cos x 不具有M 性质．故选A.2．若函数f (x )＝x －eln x,0<a <e<b ,则下列说法一定正确的是( ) A ．f (a )<f (b ) B ．f (a )>f (b ) C ．f (a )>f (e)D ．f (e)>f (b )解析：选C f ′(x )＝1－e x ＝x －ex,x >0,令f ′(x )＝0,得x ＝e,f (x )在(0,e)上为减函数,在(e,＋∞)上为增函数,所以f (a )>f (e),f (b )>f (e),f (a )与f (b )的大小不确定．3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数,将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一直角坐标系中,不可能正确的是( )解析：选D 对于选项A,若曲线C 1为y ＝f (x )的图象,曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象,则函数y ＝f (x )在(－∞,0)内是减函数,从而在(－∞,0)内有f ′(x )<0；y ＝f (x )在(0,＋∞)内是增函数,从而在(0,＋∞)内有f ′(x )>0.因此,选项A 可能正确．同理,选项B 、C 也可能正确．对于选项D,若曲线C 1为y ＝f ′(x )的图象,则y ＝f (x )在(－∞,＋∞)内应为增函数,与C 2不相符；若曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象,则y ＝f (x )在(－∞,＋∞)内应为减函数,与C 1不相符．因此,选项D 不可能正确．4．设f (x ),g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数,且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0,则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )解析：选C 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2,又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0,所以f (x )g (x )在R 上为减函数．又因为a <x <b ,所以f (a )g (a )>f (x )g (x )>f (b )g (b ),又因为f (x )>0,g (x )>0,所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．5．(2019·北京高考)设函数f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)．若f (x )为奇函数,则a ＝________；若f (x )是R 上的增函数,则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)的定义域为R, ∴f (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0,∴a ＝－1.∵f (x )＝e x ＋a e －x ,∴f ′(x )＝e x －a e －x ＝e x－ae x .∵f (x )是R 上的增函数,∴f ′(x )≥0在R 上恒成立, 即e x≥ae x 在R 上恒成立,∴a ≤e 2x在R 上恒成立．又e 2x>0,∴a ≤0,即a 的取值范围是(－∞,0]． 答案：－1 (－∞,0]6．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1,k ＋1)上不是单调函数,则实数k 的取值范围是________．解析：函数f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )>0,得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )<0,得函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.由于函数在区间(k －1,k ＋1)上不是单调函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0.解得：1≤k <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 7．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求曲线f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)讨论函数f (x )在区间(0,t ](t >0)上的单调性． 解：(1)f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝ln x ＋1. 曲线f (x )在x ＝1处的切线的斜率为k ＝f ′(1)＝1.把x ＝1代入f (x )＝x ln x 中得f (1)＝0,即切点坐标为(1,0)．所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －1.(2)令f ′(x )＝1＋ln x ＝0,得x ＝1e.①当0<t <1e时,在区间(0,t ]上,f ′(x )<0,函数f (x )为减函数．②当t >1e 时,在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上,f ′(x )<0,f (x )为减函数；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，t 上,f ′(x )>0,f (x )为增函数．8．已知函数f (x )＝ln x ,g (x )＝12ax 2＋2x ,a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减,求a 的取值范围．解：h (x )＝ln x －12ax 2－2x ,x ∈(0,＋∞),所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1,4]上单调递减,所以x ∈[1,4]时,h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立,即a ≥1x 2－2x恒成立,令G (x )＝1x 2－2x,则a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12－1.因为x ∈[1,4],所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1,所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4),所以a ≥－716.当a ＝－716时,h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x ＝(7x －4)(x －4)16x .因为x ∈[1,4],所以h ′(x )＝(7x －4)(x －4)16x ≤0,即h (x )在[1,4]上为减函数． 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.课时跟踪检测（六） 函数的极值与导数一、题组对点训练对点练一 求函数的极值1．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5,极小值－27 B ．极大值5,极小值－11 C ．极大值5,无极小值D ．极小值－27,无极大值解析：选C 由y ′＝3x 2－6x －9＝0, 得x ＝－1或x ＝3.当x <－1或x >3时,y ′>0； 当－1<x <3时,y ′<0.∴当x ＝－1时,函数有极大值5； 3∉(－2,2),故无极小值．2．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点,则f (x )的极大值、极小值分别为( )A ．427,0 B ．0,427C ．－427,0D ．0,－427解析：选A f ′(x )＝3x 2－2px －q , 由f ′(1)＝0,f (1)＝0,得⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1,易得当x ＝13时f (x )取极大值427,当x ＝1时f (x )取极小值0.3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ,其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列说法中不正确的序号是________． ①当x ＝32时,函数取得极小值；②f (x )有两个极值点； ③当x ＝2时,函数取得极小值； ④当x ＝1时,函数取得极大值．解析：由题图知,当x ∈(－∞,1)时,f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时,f ′(x )<0；当x ∈(2,＋∞)时,f ′(x )>0,所以f (x )有两个极值点,分别为1和2,且当x ＝2时函数取得极小值,当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确．答案：①对点练二 已知函数的极值求参数4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2,则a ,b 的值分别为( )A ．1,－3B ．1,3C ．－1,3D ．－1,－3解析：选A f ′(x )＝3ax 2＋b , 由题意知f ′(1)＝0,f (1)＝－2,∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1,b ＝－3.5．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0,1)内有极小值,则实数b 的取值范围是( ) A ．b <1 B ．b >1 C ．0<b <1 D ．b <12解析：选C f ′(x )＝2x －2b ＝2(x －b ),令f ′(x )＝0,解得x ＝b ,由于函数f (x )在区间(0,1)内有极小值,则有0<b <1.当0<x <b 时,f ′(x )<0；当b <x <1时,f ′(x )>0,符合题意．所以实数b 的取值范围是0<b <1.6．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值,则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2),∵函数f (x )既有极大值又有极小值,∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根,∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)>0.即a 2－a －2>0,解之得a >2或a <－1.答案：(－∞,－1)∪(2,＋∞) 对点练三 函数极值的综合问题7．设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ,a ∈R. (1)令g (x )＝f ′(x ),求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值,求实数a 的取值范围． 解：(1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a , 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ,x ∈(0,＋∞)． 则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x.当a ≤0时,x ∈(0,＋∞)时,g ′(x )>0,函数g (x )单调递增；当a >0时,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时,g ′(x )>0,函数g (x )单调递增,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时,函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时,g (x )的单调增区间为(0,＋∞)； 当a >0时,g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ,单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知,f ′(1)＝0.。
2020版高考数学一轮复习课时作业71《 坐标系》(含解析)
课时作业71 坐标系1.在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程.解：在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0).因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径 |PC |＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.2.设M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22上的动点，求M ，N 的最小距离.解：因为M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22上的动点，即M ，N 分别是圆x 2＋y 2＋2y ＝0和直线x ＋y －1＝0上的动点，要求M ，N 两点间的最小距离，即在直线x ＋y －1＝0上找一点到圆x 2＋y 2＋2y ＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x ＋y －1＝0的距离减去半径，故最小值为|0－1－1|2－1＝2－1.3.(2019·广东华南师大附中检测)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数).以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝ρcos θ＋2.(1)写出直线l 经过的定点的直角坐标，并求曲线C 的普通方程；(2)若α＝π4，求直线l 的极坐标方程，以及直线l 与曲线C 的交点的极坐标.解：(1)直线l 经过定点(－1,1)， 由ρ＝ρcos θ＋2得ρ2＝(ρcos θ＋2)2，得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝(x ＋2)2，化简得y 2＝4x ＋4.(2)若α＝π4，得⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝1＋22t的普通方程为y ＝x ＋2，则直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝ρcos θ＋2， 联立曲线C ：ρ＝ρcos θ＋2.因为ρ≠0得sin θ＝1，取θ＝π2，得ρ＝2， 所以直线l 与曲线C 的交点为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2. 4.(2018·江苏卷)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin(π6－θ)＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长.解：因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，所以曲线C 是圆心为(2,0)，直径为4的圆.因为直线l 的极坐标方程为ρsin(π6－θ)＝2， 则直线l 过A (4,0)，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点.设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6.连接OB .如图.因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2， 所以AB ＝4cos π6＝2 3.因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)射线y ＝33x (x ≥0)与C 1异于原点的交点为A ，与C 2的交点为B ，求|AB |.解：(1)将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 1的方程：(x －1)2＋y 2＝1，可得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，曲线C 2的普通方程为x 22＋y 2＝1，将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得到C 2的极坐标方程为ρ2(1＋sin 2θ)＝2.(2)射线的极坐标方程为θ＝π6(ρ≥0)，与曲线C 1的交点的极径为ρ1＝2cos π6＝3，射线θ＝π6(ρ≥0)与曲线C 2的交点的极径满足ρ22⎝⎛⎭⎪⎫1＋sin 2π6＝2，解得ρ2＝2105，所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝3－2105.6.(2019·河南八市测评)在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝3x ，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋3cos α，y ＝a ＋3sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(1)求直线l 和圆C 的极坐标方程；(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且△ABC 的面积是334，求实数a 的值.解：(1)由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得3ρcos θ＝ρsin θ，所以θ＝π3.将⎩⎨⎧x ＝3＋3cos α，y ＝a ＋3sin α，化为直角坐标方程为(x －3)2＋(y －a )2＝3， 所以x 2＋y 2－6x －2ay ＋a 2＋6＝0.将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入上式得ρ2－6ρcos θ－2aρsin θ＋a 2＋6＝0.圆C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ－2aρsin θ＋a 2＋6＝0.(2)因为S △ABC ＝12AC ·BC sin ∠ACB ＝12×3×3sin ∠ACB ＝334，得∠ACB ＝π3或23π，当∠ACB ＝π3时，|AB |＝ 3.由(1)知直线l 的极坐标方程为θ＝π3，代入圆C 的极坐标方程得ρ2－(3＋3a )ρ＋a 2＋6＝0.所以|ρ1－ρ2|2＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝(3＋3a )2－4(a 2＋6)＝3，化简得a2－63a＋18＝0，解得a＝33＋3或a＝33－3.当∠ACB＝23π时，|AB|＝3，同理计算可得a＝43或a＝2 3. 综上：a的取值为33±3或23或4 3.。
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题67 坐标系(解析版)
考点67 坐标系1．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知,A B 是曲线C 上任意两点，且3AOB π∠=，求OAB ∆面积的最大值.【答案】(1) s =4co ρθ；(2) 33.【解析】（1）消去参数α，得到曲线C 的普通方程为：()2224x y -+= 故曲线C 的极坐标方程为：s =4co ρθ（2）在极坐标系中，不妨设()10A ρθ， ，203+B πρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，其中1200,022ππρρθ>>-<<，， 由（1）知：104cos ρθ=，204cos 3+πρθ⎛⎫= ⎪⎝⎭.OAB ∆面积12001sin43cos cos 233S ππρρθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ ()200000023cos 6sin cos 31cos 23sin 223cos 233+=S πθθθθθθ⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭当0203πθ+=时，即06πθ=-，0cos 23πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 有最大值1 .此时max 33S =故OAB ∆面积的最大值为332．（黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟七数学理）在极坐标系中，已知曲线：和曲线：，以极点为坐标原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系.（1）求曲线和曲线的直角坐标方程； （2）若点是曲线上一动点，过点作线段的垂线交曲线于点，求线段长度的最小值. 【答案】(1)的直角坐标方程为，的直角坐标方程为.(2).【解析】（1）的极坐标方程即，则其直角坐标方程为，整理可得直角坐标方程为，的极坐标方程化为直角坐标方程可得其直角坐标方程为.（2）设曲线与轴异于原点的交点为， ∵，∴过点，设直线的参数方程为（为参数），代入可得，解得或，可知， 代入可得，解得， 可知，所以，当且仅当时取等号，所以线段长度的最小值为.3．（四川省广元市2019届高三第一次高考适应性统考数学试卷理）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线12:(332x t l t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin()3πρθ=+.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设点M 的直角坐标为(0,3)，直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求MA MB +的值. 【答案】(1) 22320x y x y +--= 3【解析】（1）把4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，展开得2sin 3cos ρθθ=+， 两边同乘ρ得22sin 23cos ρρθρθ=+①． 将ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，ρsinθ=y 代入①，即得曲线C 的直角坐标方程为22320x y x y +--=②．（2）将12332x ty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入②式，得23330t t++=，点M 的直角坐标为（0，3）．设这个方程的两个实数根分别为t1，t 2，则t1+t2=-33. t 1.t2=3 ∴t1＜0，t 2＜0则由参数t 的几何意义即得1233MA MB t t+=+=.4．（河北省唐山市2016-2017学年度高三年级第三次模拟考试理）选修4-4：坐标系与参数方程点是曲线：上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线，的极坐标方程；（2）射线，（）与曲线，分别交于两点，设定点，求的面积.【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由相关点法可求曲线的极坐标方程为．（Ⅱ）到射线的距离为，结合可求得试题解析：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为．设，则，则有．所以，曲线的极坐标方程为．（Ⅱ）到射线的距离为，，则．5．（山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测三模数学理）在平面直角坐标系xOy中,设倾斜角为α的直线l的参数方程为3cos(2sinx ty tααα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数）．在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ．（1）若6πα=，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若OP 为PA 与PB 的等比中项，其中()3,2P ，求直线l 的斜率．【答案】（1）0x +=,2244x y +=；（2. 【解析】（1）因为6πα=，所以直线l的参数方程为2122x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.消t 可得直线l的普通方程为0x +=. 因为曲线C的极坐标方程ρ=()2213cos 4ρθ+=，所以曲线C 的直角坐标方程为2244x y +=.（2）设直线l 上两点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，将cos 2sin x t y t αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩代入曲线C 的直角坐标方程2244x y +=可得22cos )(2sin )4t t αα++=， 化简得()2224cos sin 4sin )120t t αααα++++=，因为122212||||4cos sin PA PB t t αα⋅==+，2||7OP =， 所以221274cos sin αα=+，解得216tan 5α=.因为()2224sin )484cos sin 0αααα∆=+-+>即2sin sin )0ααα->，可知tan 0α>，解得tan α=， 所以直线l的斜率为5. 6．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C：2x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C ：24cos 3ρρθ=-. （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与2C 交于A ，B 两点，A ，B 的中点为M ，点()0,1P -，求PM AB ⋅的值. 【答案】（1）1C 的普通方程为()2225x y +-=，2C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=；（2）3.【解析】（1）曲线1C 的普通方程为()2225x y +-=.由222x y ρ=+，cos x ρθ=，得曲线2C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=.（2）将两圆的方程()2225x y +-=与22430x y x +-+=作差得直线AB 的方程为10x y --=.点()0,1P -在直线AB 上，设直线AB的参数方程为212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入22430x y x +-+=化简得240t -+=，所以12t t +=，124t t =.因为点M对应的参数为122t t +=，所以121222t t PM AB t t +⋅=⋅-=32==. 7．（山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学理）已知平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）过点(2,1)-的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且2AB =，求直线l 的方程.【答案】（Ⅰ）24cos 2sin 40ρρθρθ---=；（Ⅱ）10x y ++=或30x y -+=. 【解析】（Ⅰ）消去参数α，可得曲线C 的普通方程为22(2)(1)9x y -+-=，224240x y x y +---=.由cos sin x y r qr qì=ïí=ïî 所以曲线C 的极坐标方程为24cos 2sin 40ρρθρθ---=. （Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，否则无交点.设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，即210kx y k -++=.而2AB =，则圆心到直线l的距离d ===又d ==1k =±.所以直线l 的方程为10x y ++=或30x y -+=.8．（辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学理）在直角坐标系xOy 中，(2,0)A ，(0,1)B ，以O 为极点，x 轴的正半轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：222412cos p ρθ-=.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)动点P 是曲线C 在第一象限的点，当四边形OAPB 的面积最大时，求点P 的直角坐标. 【答案】（1）22143x y +=（2）四边形APB O 的面积时，P 点为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】(1)2224412x y x +-=,整理得22143x y +=(2)由动点P 是曲线C在第一象限的点，设点(2cos )02P πθθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭设四边形APB O 的面积为S ，则11π212cos 2sin 226OAP OBP S S S θθθ∆∆⎛⎫=+⨯+⨯⨯=+ ⎝=⎪⎭ 所以当3πθ=时，S 最大，此时P 点31,2⎛⎫⎪⎝⎭．9．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试数学理）选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :1sin x tC y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2cos 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）已知点()2,0M ，直线l 的极坐标方程为6πθ=，它与曲线1C 的交点为O ，P ，与曲线2C 的交点为Q ，求MPQ ∆的面积.【答案】（1）1:2sin C ρθ=（2）1 【解析】解：（1）1cos :1sin x tC y t =⎧⎨=+⎩，其普通方程为()2211x y +-=，化为极坐标方程为1:2sin C ρθ=（2）联立1C 与l 的极坐标方程：2sin 6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得P 点极坐标为1,6π⎛⎫⎪⎝⎭联立2C 与l的极坐标方程：2cos 36πρθπθ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得Q 点极坐标为3,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2PQ =，又点M到直线l 的距离2sin 16d π==，故MPQ ∆的面积112S PQ d =⋅=. 10．（内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试一数学理）在直角坐标系中，圆C的参数方程为：12cos 2sin x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若直线l ：cos tsin x t y ϕϕ=⎧⎨=⎩（t 为参数）被圆C截得的弦长为l 的倾斜角.【答案】（1）4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）6π或2π【解析】（1）圆C：12cos 2sin x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩，消去参数α得：()(2214x y -+=，即：2220x y x +--=，∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=.∴22cos sin 0ρρθθ--=，4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭. （2）∵直线l ：cos sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=⎩的极坐标方程为θϕ=，当θϕ=时4cos 3πρϕ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭即：cos 32πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴36ππϕ-=或36ππϕ-=-. ∴2ϕπ=或6π=ϕ， ∴直线l 的倾斜角为6π或2π. 11．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩ （α为参数），曲线222:13xC y +=． （1）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C 、2C 的极坐标方程； （2）射线OT ：(0)6πθρ=≥与1C 异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求AB 的大小．【答案】(1) 1C 的极坐标方程为2cos ρθ=,2C 的极坐标方程为2222cos sin 13ρθρθ+=【解析】（1）由1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩得()2211x y -+=，即2220x y x +-=，所以1C 的极坐标方程为220cos ρρθ-=，即2cos ρθ=；由2213x y +=得2C 的极坐标方程为：2222cos sin 13ρθρθ+=（2）联立2cos 6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩得1||2cos 6OA πρ=== 联立2222cos sin 136ρθρθπθ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2||OB ρ==所以AB =.12．（山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理）[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数，>0a ），以坐标原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C上的一个动眯，当a =P 到直线l 的距离的最小值； （2）若曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）（2）( 【解析】 （1）由cos()4πρθ+=-(cos sin )8ρθθ-=-cos x ρθ=Q ，sin y ρθ= ∴直线l 普通方程为：80x y -+=设,2sin )P t t ，则点P 到直线l 的距离：|4sin()8|t d π--==sin()2|3t π=--当sin()13t π-=时，min d =∴点P 到直线l的距离的最小值为（2）设曲线C 上任意点(cos ,2sin )P a t t ，由于曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方，cos 2sin 80a t t ∴-+>对任意0a >恒成立)8t ϕ-<，其中cos ϕ=，sin ϕ=.8<由于0a >，解得：0a <<即：(0,a ∈．13．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）极坐标中，过点4P π⎫⎪⎭作曲线2cos ρθ=的切线l ，求直线l 的极坐标方程. 【答案】sin 1ρθ= 【解析】曲线2cos ρθ=的直角坐标方程为：()2211x y -+=点4P π⎫⎪⎭的直角坐标为()1,1 ∴点P 在圆上，又因为圆心()1,0 故过点P 的切线为1y =∴所求的切线的极坐标方程为：sin 1ρθ=．14．（江西省上饶市横峰中学2019届高三考前模拟考试数学理）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)。
2020版高考数学一轮复习课时规范练63坐标系与参数方程理
课时规范练63 坐标系与参数方程基础巩固组1.已知曲线C:=1,直线l:(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.2.(2019届广东珠海9月摸底,22)在直角坐标系xOy中,直线l过定点P(1,-)且与直线OP垂直.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-2cos θ=0.(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;(2)设直线l与曲线C交于A、B两点,求的值.3.(2018河南一模,22)在直角坐标系xOy中,已知直线l1:(t为参数),l2:(t为参数),其中α∈0,,以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ-4cos θ=0.(1)写出l1,l2的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程;(2)设l1,l2分别与曲线C交于点A,B,点A,B都不是坐标原点,求|AB|的值.4.(2018江西师大附中三模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(θ为参数),在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l:ρsin(α-θ)=2sin α.其中α为直线l的倾斜角(α≠0)(1)求曲线C1的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)直线l与x轴的交点为M,与曲线C1的交点分别为A,B,求|MA|·|MB|的值.5.(2018湖北5月冲刺,22)在直角坐标系xOy中,直线l经过点P(,0),倾斜角为,以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)求直线l的参数方程;(2)若A点在直线l上,B点在曲线C上,求|AB|的最小值.6.(2018河南郑州摸底)以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点P的直角坐标为(1,-5),点M的极坐标为4,,若直线l过点P,且倾斜角为,圆C以M为圆心,4为半径.(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程;(2)试判定直线l圆C的位置关系.综合提升组7.(2018广西钦州第三次质检,22)在平面直角坐标系xOy中,直线l经过点P(-3,0),其倾斜角为α,以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴,与坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线C 的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-3=0.(1)若直线l与曲线C有公共点,求倾斜角α的取值范围;(2)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围.8.(2018重庆西南大学附中模拟)已知平面直角坐标系xOy中,过点P(-1,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),l与y轴交于点A,以该直角坐标系的原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=m cos θ(m>0),直线l与曲线C交于M、N两点.(1)求曲线C的直角坐标方程和点A的一个极坐标;(2)若=3,求实数m的值.创新应用组9.(2018河北衡水中学押题一)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ,直线l与圆C交于A,B两点.(1)求圆C的直角坐标方程及弦AB的长;(2)动点P在圆C上(不与A,B重合),试求△ABP的面积的最大值.10.(2018湖南长沙模拟二)在直角坐标系xOy中,直线l的方程是x=2,曲线C的参数方程为(α为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l和曲线C的极坐标方程;(2)射线OM:θ=β其中0<β≤与曲线C交于O,P两点,与直线l交于点M,求的取值范围.参考答案课时规范练63 坐标系与参数方程1.解 (1)曲线C的参数方程为(θ为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到直线l的距离为d=|4cos θ+3sin θ-6|,则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=.当sin(θ+α)=-1时,| PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.2.解 (1)曲线C的直角坐标方程为y2=2x,直线l的参数方程为(t为参数).(2)设点A、B对应的参数分别为t1、t2,将直线l与曲线C的方程联立得t2-8t+4=0,(*)可知t1,t2是(*)式的两根,则故t1、t2同正.+=+===2.3.解 (1)l1,l2的极坐标方程为θ1=α(ρ∈R),θ2=α+ (ρ∈R).曲线C的极坐标方程为ρ-4cos θ=0,即为ρ2-4ρcos θ=0,利用ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,得曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.(2)因为ρ1=4cos α,ρ2=4cosα+,所以|AB|2=+-2ρ1ρ2cos=16cos2α+cos2α+-cos αcosα+=16cos2α+(cos α-sin α)2-cos α(cos α-sin α)=8,所以|AB|的值为2.4.解 (1)曲线C1的普通方程为(x-1)2+y2=4,直线l的直角坐标方程为x sin α-y cos α=2sin α.(2)直线l与x轴的交点为M(2,0),直线l的参数方程可设为(t为参数),将直线l的参数方程代入圆C1的方程(x-1)2+y2=4,得t2+2t cos α-3=0,故|MA|·|MB|=|t1·t2|=3.5.解 (1)直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数).(2)由(t为参数),得x-y-3=0.由ρ=2sin θ得ρ2=2ρsin θ,即x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1.所以曲线C是以点Q(0,1)为圆心,1为半径的圆.又点Q到直线l:x-y-3=0的距离为d==2.故|AB|的最小值为2-1=1.6.解 (1)直线l的参数方程为(t为参数),则(t为参数),M点的直角坐标为(0,4),圆C的方程为x2+(y-4)2=16,且代入得圆C极坐标方程为ρ=8sin θ.(2)直线l的普通方程为x-y-5-=0,圆心M到直线l的距离为d==>4,∴直线l与圆C相离.7.解 (1)将曲线C的极坐标方程ρ2-2ρcos θ-3=0化为直角坐标方程为x2+y2-2x-3=0,直线l的参数方程为(t为参数),将参数方程代入x2+y2-2x-3=0,整理得t2-8t cos α+12=0.∵直线l与曲线C有公共点,∴Δ=64cos2α-48≥0,∴cos α≥,或cos α≤-.∵α∈[0,π),∴α的取值范围是0,∪,π.(2)曲线C的方程x2+y2-2x-3=0可化为(x-1)2+y2=4,其参数方程为(θ为参数),∵M(x,y)为曲线上任意一点,∴x+y=1+2cos θ+2sin θ=1+2sinθ+,∴x+y的取值范围是[1-2,1+2 ].8.解 (1)∵ρsin2θ=m cos θ,∴ρ2sin2θ=mρcos θ,∴y2=mx(m>0),A点坐标为(0,-1),其一个极坐标为A1,π.(2)将(t为参数),代入y2=mx,得t2-(4+m)t+m+4=0.∵=3,∴t1=3t2.∴∴m=.9.解 (1)由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcos θ,所以x2+y2-4x=0,所以圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.将直线l的参数方程代入圆C:(x-2)2+y2=4,并整理得t2+2t=0,解得t1=0,t2=-2.所以直线l被圆C截得的弦AB的长为|t1-t2|=2.(2)直线l的普通方程为x-y-4=0.圆C的参数方程为(θ为参数),可设圆C上的动点P(2+2cos θ,2sin θ),则点P到直线l的距离d==2cosθ+-.当cosθ+=-1时,d取最大值,且d的最大值为2+.所以S△ABP≤×2×(2+)=2+2.即△ABP的面积的最大值为2+2.10.解 (1)∵∴直线l的极坐标方程是ρcos θ=2,由消参数得x2+(y-2)2=4,∴曲线C的极坐标方程是ρ=4sin θ.(2)将θ=β分别代入ρ=4sin θ,ρcos θ=2,得|OP|=4sin β,|OM|=,∴=sin 2β.∵0<β≤,∴0<2β≤,∴0<sin 2β≤,∴的取值范围是0,.。
2020年新高考一轮跟踪检测数学 跟踪检测6
跟踪检测(六)二次函数与幂函数[基础训练]1．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x>0)，g(x)＝log a x的图象可能是()答案：D解析：因为a>0，所以f(x)＝x a在(0，＋∞)上为增函数，故A错．在B中，由f(x)的图象知a>1，由g(x)的图象知0<a<1，矛盾，故B错．在C中，由f(x)的图象知0<a<1，由g(x)的图象知a>1，矛盾，故C错．在D中，由f(x)的图象知0<a<1，由g(x)的图象知0<a<1，相符，故选D.2．[2019上海模拟]如图是函数y＝x mn(m，n∈N*，m，n互质)的图象，则下列结论正确的是()A ．m ，n 是奇数，且m <nB ．m 是偶数，n 是奇数，且m >nC ．m 是偶数，n 是奇数，且m <nD ．m 是奇数，n 是偶数，且m >n答案：C 解析：由图象可知函数y ＝x m n 为偶函数，∴m 是偶数，又m ，n 互质，n ∈N *，∴n 是奇数． 又∵图象在第一象限是上凸的，∴m n <1，即m <n .故选C.3．[2019广东佛山模拟]已知实数m ，n ∈{1,2,3,4}，若m ≠n ，则函数f (x )＝|m －n |x n m 为幂函数且为偶函数的概率为( )A.12B.14C.16D.23答案：B 解析：函数f (x )＝|m －n |x n m 为幂函数且为偶函数，则|m －n |＝1，且n 为偶数，∴(m ，n )的可能情况有(1,2)，(3,2)，(3,4)．又实数m ，n ∈{1,2,3,4}，∴(m，n)的所有可能情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12种情况．∴函数f(x)＝|m－n|x nm为幂函数且为偶函数的概率为312＝14.故选B.4．[2019湖南长沙统一模拟]已知函数f(x)＝x 12，则()A．∃x0∈R，使得f(x)<0 B．∀x>0，f(x)>0C．∃x1，x2∈[0，＋∞)，使得f(x1)－f(x2)x1－x2<0D．∀x1∈[0，＋∞)，∃x2∈[0，＋∞)，使得f(x1)>f(x2)答案：B解析：由题意得f(x)＝x，函数的定义域为[0，＋∞)，函数的值域为[0，＋∞)，并且函数是单调递增函数．所以A 不成立，根据单调性可知C也不成立．而D中，当x1＝0时，不存在x2∈[0，＋∞)，使得f(x1)>f(x2)，所以D不成立．故选B.5．若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为( )A．－3 B．－2 C．－1 D．1答案：B解析：函数f(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1的图象如图所示．由图象知在[3，＋∞)上，f (x )min ＝f (3)＝32－2×3＋m ＝1，得m ＝－2.6．[2019湖南株洲联考]函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log|b a |x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图象可能是( )答案：D 解析：对于A ，B 两图，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a >1，而ax 2＋bx ＝0的两根分别为0和－b a ，且两根之和为－b a ，由图知0<－b a <1，得－1<b a <0，矛盾；对于C ，D 两图，0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a <1，在C 图中两根之和－b a <－1，即b a >1，矛盾，C 错．故选D.7．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，则( )A ．∀x ∈(0,1)，都有f (x )>0B ．∀x ∈(0,1)，都有f (x )<0C ．∃x 0∈(0,1)，使f (x 0)＝0D ．∃x 0(0,1)，使f (x 0)>0答案：B 解析：由a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0可知a >0，c <0，抛物线开口向上，因为f (0)＝c <0，f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，即1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，所以∀x ∈(0,1)，都有f (x )<0.故选B.8．[2019广东汕头一模]命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪[3，＋∞)B ．(－∞，0]∪[3，＋∞)C ．(－∞，0)∪(3，＋∞)D ．(0,3)答案：A 解析：若ax 2－2ax ＋3>0恒成立，则a ＝0或⎩⎨⎧ a >0，Δ＝4a 2－12a <0，可得0≤a <3， 故当命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题时，a <0或a ≥3.9．[2019福建龙海期末]若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2 的图象不经过坐标原点，则实数m ＝________.答案：1或2 解析：由题意得m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，y ＝x －2，图象不过原点，当m ＝2时，y ＝x 0，图象不过原点，故m ＝1或2.10．[2019山西一模]已知函数f (x )＝x 2－m 是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )＝________.答案：－1 解析：由题意得m 2－m ＝3＋m ，即m 2－2m －3＝0，∴m ＝3或m ＝－1.当m ＝3时，f (x )＝x －1，[－3－m ，m 2－m ]为[－6,6]，f (x )在x ＝0处无意义，故舍去．当m ＝－1时，f (x )＝x 3，[－3－m ，m 2－m ]为[－2,2]，满足题意，∴f (m )＝f (－1)＝(－1)3＝－1.11．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，若y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a 的取值范围为________．答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞) 解析：函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3的图象的对称轴为直线x ＝－2a 2＝－a ，要使f (x )在[－4,6]上为单调函数，只需－a ≤－4或－a ≥6，解得a ≥4或a ≤－6.12．[2019重庆二模]已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)，∴f (x )在[1，a ]上为减函数．又∵f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2.(2)对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，即f (x )max －f (x )min ≤4.若a ≥2，则a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1.∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2，∴f (x )max －f (x )min ＝6－2a －(5－a 2)≤4，解得－1≤a ≤3，又a ≥2，∴2≤a ≤3.若1<a <2，则a ∈[1，a ＋1]，且a －1<(a ＋1)－a .∴x ∈[1，a ＋1]时，f (x )max ＝f (a ＋1)＝6－a 2，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2，f (x )max －f (x )min ＝(6－a 2)－(5－a 2)＝1，∴f (x )max －f (x )min ≤4成立．综上，a 的取值范围是(1,3]．[强化训练]1．已知函数f (x )＝x 2＋1的定义域为[a ，b ](a <b )，值域为[1,5]，则在平面直角坐标系内，点(a ，b )的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为( )A ．8B ．6C ．4D ．2答案：C 解析：二次函数f (x )＝x 2＋1，开口向上，顶点为(0,1)， 且当x ＝±2时，y ＝5.根据二次函数的图象特点，f (x )在[a ，b ]上的最大值一定是在端点处取得．∴要使f (x )在[a ，b ]上的值域为[1,5]，则f (a )＝5，f (b )≤5或f (b )＝5，f (a )≤5，且0∈[a ，b ]，∴a ＝－2,0≤b ≤2或者b ＝2，－2≤a ≤0.∴点(a ，b )的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形，面积为4.2．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，若对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )>0都成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．[－4，＋∞)D ．(－4，＋∞)答案：B 解析：由题意f (x )>0对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2都成立， 分离参数得a >2x －2x 2对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2都成立， 即只需满足a 大于函数y ＝2x －2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2的最大值即可． ∵y ＝2x －2x 2＝－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， ∴y ＝2x －2x 2的最大值为12.∴a >12.故选B.3．[2019山东烟台模拟]定义在R 上的奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则使得f (x )>f (x 2－2x ＋2)成立的x 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(2，＋∞)答案：A 解析：因为f (x )是R 上的奇函数且在(0，＋∞)上是增函数．则函数f (x )在(－∞，0)上也是增函数，故函数在R 上为增函数，f (x )>f (x 2－2x ＋2)⇒x >x 2－2x ＋2⇒x 2－3x ＋2<0，解得1<x <2，即x 的取值范围是(1,2)．故选A.4．[2019河北保定模拟]对于任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A ．{x |1<x <3}B ．{x |x <1或x >3}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2}答案：B 解析：由题意知，关于a 的一次函数y ＝a (x －2)＋x 2－4x ＋4的值大于0在a ∈[－1,1]上恒成立，只需⎩⎨⎧ (－1)×(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，1×(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得⎩⎨⎧x >3或x <2，x >2或x <1，即x <1或x >3，故选B.5．[2019江西吉安模拟]不等式2x 2－axy ＋3y 2≥0对于任意x ∈[1,2]及y ∈[1,3]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，22]B ．(－∞，26]C ．(－∞，5] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，92 答案：B 解析：∵2x 2－axy ＋3y 2≥0，∴2x 2－axy ＋3y 2x 2≥0，即3⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋2≥0， ∵x ∈[1,2]，y ∈[1,3]，∴12≤y x ≤3.设t ＝y x ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，g (t )＝3t 2－at ＋2， 则g (t )≥0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3恒成立，∴g (t )min ≥0.函数g (t )的对称轴为t ＝a6，当a 6≤12，即a ≤3时，g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上单调递增，∴g (t )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34－a2＋2≥0，解得a ≤112，∴a ≤3； 当a6≥3，即a ≥18时，g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上单调递减，∴g (t )min ＝g (3)＝27－3a ＋2≥0， 解得a ≤293，∴a 不存在； 当12<a6<3，即3<a <18时，g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上先减后增， ∴g (t )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6＝24－a 212≥0，解得－26≤a ≤26， ∴3<a ≤2 6.综上所述，a ≤2 6.故选B.6．[2019湖北荆州模拟]二次函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，又f (0)＝3，f (2)＝1，若在[0，m ]上有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是 ( )A ．(0，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(0,2]D ．[2,4]答案：D 解析：∵二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )， ∴其图象的对称轴是x ＝2， 又f (0)＝3，∴f (4)＝3，又f (2)<f (0)，∴f (x )的图象开口向上， ∵f (0)＝3，f (2)＝1，f (4)＝3，f (x )在[0，m ]上的最大值为3，最小值为1， ∴由二次函数的性质知2≤m ≤4.故选D.7．[2019河南南阳模拟]设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋4恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，57 C ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，57D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，57 答案：D 解析：由题意，f (x )<－m ＋4对于x ∈[1,3]恒成立，即m (x 2－x ＋1)<5对于x ∈[1,3]恒成立．∵当x ∈[1,3]时，x 2－x ＋1∈[1,7]， ∴不等式f (x )<－m ＋4等价于m <5x 2－x ＋1.∵当x ＝3时，5x 2－x ＋1取最小值57，∴若要不等式m <5x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，则必须满足m <57， 因此，实数m的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，57，故选D.8．[2019河北保定一模]已知函数f (x )既是二次函数又是幂函数，函数g (x )是R 上的奇函数，函数h (x )＝g (x )f (x )＋1＋1，则h (2 018)＋h (2 017)＋h (2 016)＋…＋h (1)＋h (0)＋h (－1)＋…＋h (－2 016)＋h (－2 017)＋h (－2 018)＝( )A ．0B ．2 018C ．4 036D ．4 037答案：D 解析：函数f (x )既是二次函数又是幂函数， ∴f (x )＝x 2，∴f (x )＋1为R 上的偶函数，又函数g (x )是R 上的奇函数，h (x )＝g (x )f (x )＋1＋1，∴h (x )＋h (－x )＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤g (x )f (x )＋1＋1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (－x )f (－x )＋1＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (x )f (x )＋1＋－g (x )f (x )＋1＋2＝2，∴h (2 018)＋h (2 017)＋h (2 016)＋…＋h (1)＋h (0)＋h (－1)＋…＋h (－2 016)＋h (－2 017)＋h (－2 018)＝[h (2 018)＋h (－2 018)]＋[h (2 017)＋h (－2 017)]＋…＋[h (1)＋h (－1)]＋h (0)＝2＋2＋…＋2＋1＝2×2 018＋1＝4 037.故选D.9．[2019湖南祁阳二模]已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k .(1)求m 的值；(2)当x ∈[1,2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．解：(1)依题意，得(m －1)2＝1⇒m ＝0或m ＝2，当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，所以m ＝0.(2)由(1)，得f (x )＝x 2，当x ∈[1,2)时，f (x )∈[1,4)，即A ＝[1,4)， 当x ∈[1,2)时，g (x )∈[2－k,4－k )， 即B ＝[2－k,4－k )，因为p 是q 成立的必要条件，则B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2－k ≥1，4－k ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤1，k ≥0，得0≤k ≤1.10．设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在[－1,1]上的最小值g (a )的表达式；(2)已知函数f (x )在[－1,1]上存在零点，0≤b －2a ≤1，求b 的取值范围．解：(1)当b ＝a 24＋1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1，故对称轴为直线x＝－a2.当a <－2时，g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2. 当－2≤a ≤2时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1.当a >2时，g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 24＋a ＋2，a <－2，1，－2≤a ≤2，a 24－a ＋2，a >2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧s ＋t ＝－a ，st ＝b ，由于0≤b －2a ≤1，因此－2t t ＋2≤s ≤1－2t t ＋2(－1≤t ≤1)．当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t 2t ＋2.由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t 2t ＋2≤9－45，所以－23≤b ≤9－4 5.当－1≤t <0时，t －2t 2t ＋2≤st ≤－2t 2t ＋2，由于－2≤－2t 2t ＋2<0和－3≤t －2t 2t ＋2<0，所以－3≤b <0.故b 的取值范围是[－3,9－45]．。
2020届高考数学总复习课时跟踪练(六十五)坐标系文(含解析)新人教A版
课时跟踪练(六十五)A 组 基础巩固1．在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ＝2与C 2：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2交于两点A ，B . (1)求两交点的极坐标；(2)求线段AB 的垂直平分线l 的极坐标方程．解：(1)C 1：ρ＝2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4， C 2：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2的方程即ρcos θ＋ρsin θ＝2， 化为直角坐标方程得x ＋y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2， 所以两交点为(0，2)，(2，0)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，(2，0)． (2)易知直线l 经过点(0，0)及线段AB 的中点(1，1)，所以其方程为y ＝x ，化为极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)． 2．(2018·江苏卷)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin(π6－θ)＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．解：因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，所以曲线C 是圆心为(2，0)，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin(π6－θ)＝2， 则直线l 过A (4，0)，倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6. 如图，连接OB .因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2， 所以AB ＝4cos π6＝2 3. 因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.3．以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ. (1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程． 解：(1)因为ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以ρ＝21－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2， 所以曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4.(2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)，根据题意21－sin θ0＝3·21－sin （θ0＋π）， 解得θ0＝π6或θ0＝5π6， 所以直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)或θ＝5π6(ρ∈R)． 4．(2019·安徽联合质检)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2－22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－2＝0，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π4，C 1与C 2相交于A ，B 两点．(1)把C 1和C 2的极坐标方程化为直角坐标方程，并求点A ，B 的直角坐标；(2)若P 为C 1上的动点，求|PA |2＋|PB |2的取值范围．解：(1)由题意知，曲线C 1与曲线C 2的直角坐标方程分别为C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，C 2：x －y ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2＋（y －1）2＝4，x －y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 即A (－1，－1)，B (1，1)或A (1，1)，B (－1，－1)．(2)设P (－1＋2cos α，1＋2sin α)，不妨设A (－1，－1)，B (1，1)，则|PA |2＋|PB |2＝(2cos α)2＋(2sin α＋2)2＋(2cos α－2)2＋(2sin α)2＝16＋8sin α－8cos α＝16＋82sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4， 所以|PA |2＋|PB |2的取值范围为[16－82，16＋8 2 ]．5．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上．所以a ＝1.B 组 素养提升6．(2018·衡水中学检测)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求出圆C 的直角坐标方程；(2)已知圆C 与x 轴相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝2x 关于点M (0，m )(m ≠0)对称的直线为l ′.若直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°，求实数m 的最大值．解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x 2＋y 2－4x ＝0，即圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)直线l ：y ＝2x 关于点M (0，m )的对称直线l ′的方程为y ＝2x ＋2m ，而AB 为圆C 的直径，故直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°的充要条件是直线l ′与圆C 有公共点， 故|4＋2m |5≤2，解得－2－5≤m ≤5－2， 所以实数m 的最大值为5－2.7．(2019·长郡中学调研)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)，直线l 过点(－1，0)，且斜率为12，射线OM 的极坐标方程为θ＝3π4. (1)求曲线C 和直线l 的极坐标方程；(2)已知射线OM 与曲线C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解：(1)因为曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)， 所以曲线C 的普通方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入整理得ρ＋2cos θ－2sin θ＝0，即曲线C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4. 因为直线l 过点(－1，0)，且斜率为12， 所以直线l 的方程为y ＝12(x ＋1)， 所以直线l 的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0.(2)当θ＝3π4时，|OP |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝22， |OQ |＝12×22＋22＝23， 故线段PQ 的长为22－23＝523. 8．(2019·华南师大附中月考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝4＋5sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B 两点，求△AOB 的面积．解：(1)因为曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝4＋5sin α(α为参数)， 所以曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25， 即x 2＋y 2－6x －8y ＝0.所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ.(2)把θ＝π6代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋33， 所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋33，π6.把θ＝π3代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋43， 所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋43，π3.所以S △AOB ＝12ρ1ρ2sin ∠AOB＝12×(4＋33)×(3＋43)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π6＝12＋2534.。
2020版高考数学(文)新创新一轮复习通用版课时跟踪检测六十四参数方程含解析
课时跟踪检测（六十四） 参数方程1．(2018·河南息县第一高级中学段测)已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋55t ，y ＝4＋255t (t 为参数)．(1)求曲线C 与直线l 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝455，求实数m 的值． 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α(α为参数)得曲线C 的普通方程为x 2＋(y －m )2＝1.由x ＝1＋55t ，得55t ＝x －1，代入y＝4＋255t ，得y ＝4＋2(x －1)，所以直线l 的普通方程为2x －y ＋2＝0.(2)圆心(0，m )到直线l 的距离为d ＝|－m ＋2|5，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫|－m ＋2|52＋⎝⎛⎭⎫2552＝1，解得m ＝3或m ＝1. 2．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)． (1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0， 故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为 d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，解得a ＝8；当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，解得a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.3．(2019·成都模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)．在以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点M 在直角坐标系中的坐标为(2,2)，若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，求|MA |·|MB |的值．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝2＋12t .y ＝2＋32t ，消去参数t 可得y ＝3(x －2)＋2，∴直线l 的普通方程为3x －y ＋2－23＝0. ∵ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ，∴ρ2sin 2θ＋4ρsin θ＝ρ2. ∵ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)将⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t 代入抛物线方程x 2＝4y 中，可得⎝⎛⎭⎫2＋12t 2＝4⎝⎛⎭⎫2＋32t ， 即t 2＋(8－83)t －16＝0. ∵Δ＞0，且点M 在直线l 上，∴此方程的两个实数根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2， ∴t 1t 2＝－16， ∴|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝16.4．(2019·贵州联考)以极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的单位长度相同，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θsin 2θ，过点M (2，－2)且倾斜角为α的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程，并用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(α为直线的倾斜角，t 为参数)的形式写出直线l 的参数方程；(2)若M 是线段AB 的中点，求α的值． 解：(1)由ρ＝4cos θsin 2θ得ρsin 2θ＝4cos θ，∴ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，即y 2＝4x (x ≠0)， ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x (x ≠0)；直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，0≤α＜π)．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝－2＋t sin α代入y 2＝4x (x ≠0)得(sin 2α)t 2－4(sin α＋cos α)t －4＝0， ∴t 1＋t 2＝4(sin α＋cos α)sin 2α＝0，∴α＝3π4. 5．(2019·洛阳模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝m ＋t (t 为参数，m ∈R)，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝33－2cos 2θ(0≤θ≤π)．(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知点P 是曲线C 2上一点，若点P 到曲线C 1的最小距离为22，求m 的值． 解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t ，可得C 1的普通方程为x －y ＋m ＝0. 由曲线C 2的极坐标方程得3ρ2－2ρ2cos 2θ＝3，θ∈[0，π]， ∴曲线C 2的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1(0≤y ≤1)．(2)设曲线C 2上任意一点P 的坐标为(3cos α，sin α)，α∈[0，π]， 则点P 到曲线C 1的距离d ＝|3cos α－sin α＋m |2＝⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋m 2.∵α∈[0，π]，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈⎣⎡⎦⎤－1，32，2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈[－2，3]． 由点P 到曲线C 1的最小距离为22得，若m ＋3＜0，则m ＋3＝－4，即m ＝－4－3； 若m －2＞0，则m －2＝4，即m ＝6； 若m －2≤0，m ＋3≥0，即－3≤m ≤2时，⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋m min ＝0，不合题意，舍去． 综上，m ＝－4－3或m ＝6.6．(2019·广州花都区模拟)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵坐标压缩为原来的32倍，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 距离的最小值．解：(1)由已知得l 的普通方程为y ＝3(x －1)，C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立方程⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1解得l 与C 1的交点为A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，－32，则|AB |＝1.(2)由题意，得C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12cos θ，y ＝32sin θ(θ为参数)，故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12cos θ，32sin θ， 从而点P 到直线l 的距离是d ＝⎪⎪⎪⎪32cos θ－32sin θ－32＝34⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋2， 当sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－1时，d 取得最小值，且最小值为23－64.7．(2019·辽宁五校联考)极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈[0,2π]．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ＋3，y ＝－3t ＋2(t 为参数)的距离最短，写出D 点的直角坐标．解：(1)由ρ＝2sin θ可得ρ2＝2ρsin θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.(2)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ＋3，y ＝－3t ＋2(t 为参数)，消去t 得l 的普通方程为y ＝－3x ＋5， 由(1)得曲线C 的圆心为(0,1)，半径为1，又点(0,1)到直线l 的距离为|1－5|1＋3＝2＞1，所以曲线C 与l 相离．设D (x 0，y 0)，且点D 到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最短，则曲线C 在点D 处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋5平行，∴y 0－1x 0·(－3)＝－1， 又x 20＋(y 0－1)2＝1，∴x 0＝－32(舍去)或x 0＝32，∴y 0＝32， ∴点D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，32.8．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k 2＜1， 解得k ＜－1或k ＞1， 即α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4或α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π4＜α＜3π4.设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ， 则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数，π4＜α＜3π4.。
2020版高考数学(文)新创新一轮复习通用版课时跟踪检测二十四三角函数图象与性质的综合问题含解析
课时跟踪检测（二十四） 三角函数图象与性质的综合问题1．(2018·漯河高级中学二模)已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6在[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6的周期T ＝6，当x ＝0时，y ＝12，当x ＝1时，y ＝1，所以函数y ＝sin ( π3x ＋π6 )在[0，t ]上至少取得2次最大值，有t －1≥T ，即t ≥7，所以正整数t 的最小值为7.故选B.2．(2019·合肥高三调研)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则ω的最小正值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象向右平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3＋π6的图象，因为函数g (x )的图象关于y 轴对称，所以－ωπ3＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，即ω＝－3k －1.易知当k ＝－1时，ω取最小正值2，故选B.3．(2018·东北五校协作体模考)已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ⎝⎛⎭⎫16＝( )A ．2B ．－2 C.32D ．－32解析：选B 因为函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)，所以φ＝π2，所以f (x )＝－4sin ωx ，又A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，且|a －b |的最小值是1，所以函数f (x )的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f (x )＝－4sin πx ，所以f ⎝⎛⎭⎫16＝－4sin π6＝－2，故选B. 4．(2019·武昌调研)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的图象向右平移2π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A ．3 B.32 C.43D.23解析：选A 将f (x )的图象向右平移2π3个单位后所得到的图象对应的函数解析式为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －2π3＋π6－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －2ωπ3＋π6－1，由题意知2ωπ3＝2k π，k ∈Z ，所以ω＝3k ，k ∈Z ，因为ω>0，所以ω的最小值为3，故选A.5．(2019·衡水中学月考)将函数f (x )＝sin 2x 图象上的所有点向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象．若g (x )在区间[0，a ]上单调递增，则a 的最大值为( )A.π8B.π4C.π6D.π2解析：选D f (x )的图象向右平移π4个单位长度得到g (x )＝sin [ 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ]＝－cos 2x 的图象．根据余弦函数的图象可知，当0≤2x ≤π，即0≤x ≤π2时，g (x )单调递增，故a 的最大值为π2.6．(2019·郴州一中月考)已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)的图象经过点⎝⎛⎭⎫－π12，0和⎝⎛⎭⎫π12，32，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，方程f (x )＝2a －3有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，2] B.⎣⎡⎦⎤12，3 C ．[1,2]D.⎣⎡⎭⎫334，3 解析：选D ∵点⎝⎛⎭⎫－π12，0在函数图象上，∴A sin [ 2×⎝⎛⎭⎫－π12＋φ ]＝0.∵0<φ<π，∴φ＝π6.又点⎝⎛⎭⎫π12，32在函数图象上，∴A sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋π6＝32，∴A ＝3，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，当方程f (x )＝2a －3有两个不等的实根时，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝2a －3有两个不同的交点，由图象可知32≤2a －3<3，∴334≤a < 3.故选D. 7．(2018·湖北部分重点中学第一次联考)已知函数f (x )＝1x ＋a ，若存在φ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，使f (sin φ)＋f (cos φ)＝0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，22 B.⎝⎛⎭⎫－22，－12 C.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫－12，0 解析：选B 由题意，1sin φ＋a ＋1cos φ＋a ＝0有解，∴sin φ＋a ＋cos φ＋a ＝0，∴－2a ＝sin φ＋cos φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4.∵φ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴φ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，34π，∴sin ( φ＋π4 )∈⎝⎛⎭⎫22，1，∴2sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4∈(1，2)，∴－2a ∈(1，2)，∴a ∈⎝⎛⎭⎫－22，－12.当－22<a <－12时，∵sin φ>22，∴sin φ＋a ≠0.又∵(sin φ＋a )＋(cos φ＋a )＝0，∴cos φ＋a ≠0.故当a ∈⎝⎛⎭⎫－22，－12时，方程1sin φ＋a ＋1cos φ＋a＝0有解．故选B.8．(2018·广雅中学、东华中学、河南名校第一次联考)已知函数f (x )＝(1－2cos 2x )sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ－2sin x cos x cos ( π2－θ )⎝⎛⎭⎫|θ|≤π2在⎣⎡⎦⎤－3π8，－π6上单调递增．若f ⎝⎛⎭⎫π8≤m 恒成立，则实数m 的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C ．[1，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫22，＋∞解析：选C ∵f (x )＝(1－2cos 2x )sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ－2sin x ·cos x cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝－cos 2x (－cos θ)－sin 2x sin θ＝cos(2x ＋θ)，当x ∈⎣⎡⎦⎤－3π8，－π6时，－3π4＋θ≤2x ＋θ≤－π3＋θ，∴由函数递增知⎩⎨⎧－π≤－3π4＋θ，－π3＋θ≤0，解得－π4≤θ≤π3.∵f ⎝⎛⎭⎫π8＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ，0≤π4＋θ≤7π12，∴f ⎝⎛⎭⎫π8≤1.∵f ⎝⎛⎭⎫π8≤m 恒成立，∴m ≥1.故选C.9．(2018·江西师大附属中学月考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，其中ω>0.若|f (x )|≤f ⎝⎛⎭⎫π12对x ∈R 恒成立，则ω的最小值为________．解析：由题意得π12ω＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z)，即ω＝24k ＋4(k ∈Z)，由ω>0知，当k ＝0时，ω取到最小值4.答案：410．(2018·新余一中模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象在区间[0,1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为________．解析：由0≤x ≤1得π4≤ωx ＋π4≤ω＋π4，若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象在区间[0,1]上恰有3个最高点，根据正弦函数图象可知，应满足4π＋π2≤ω＋π4<6π＋π2，解得17π4≤ω<25π4.答案：⎣⎡⎭⎫17π4，25π411．(2018·山东、湖北部分重点中学联考)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－12(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值．(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再将所得图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．求函数g (x )在[－π，π]上的单调递减区间和零点．解：(1)f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6cos ( ωx －π6 )－12＝12[ cos ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3＋3sin ( 2ωx －π3 ) ]＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6，由T ＝2π2ω＝π得ω＝1. (2)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，∴g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， g (x )在[－π，π]上的单调递减区间为( －π，－2π3 )，⎝⎛⎭⎫π3，π，零点为x 0＝k π－π6(k ∈Z)． 又∵x 0∈[－π，π]，∴g (x )在[－π，π]上的零点是－π6，5π6.12．(2018·阳江调研)已知a ，b ∈R ，a ≠0，函数f (x )＝－2(sin x ＋cos x )＋b ，g (x )＝a sin x cos x ＋a 2＋1a＋2.(1)若x ∈(0，π)，f (x )＝－255＋b ，求sin x －cos x 的值； (2)若不等式f (x )≤g (x )对任意的x ∈R 恒成立，求b 的取值范围． 解：(1)依题意得sin x ＋cos x ＝105，∴sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＝25，即2sin x cos x ＝－35，∴1－2sin x cos x ＝85，即sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ＝(sin x －cos x )2＝85，由2sin x cos x ＝－35<0，x ∈(0，π)，得x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin x >0，cos x <0，∴sin x －cos x >0，∴sin x －cos x ＝2105. (2)不等式f (x )≤g (x )对任意的x ∈R 恒成立，即不等式b ≤a sin x ·cos x ＋2(sin x ＋cos x )＋a 2＋1a ＋2对任意的x ∈R 恒成立，即b ≤⎣⎡⎦⎤a sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )＋a 2＋1a ＋2min . 设y ＝a sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )＋a 2＋1a ＋2，令t ＝sin x ＋cos x ，则t ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，2]， 且sin x cos x ＝t 2－12.令m (t )＝a (t 2－1)2＋2t ＋a 2＋1a ＋2＝a 2t 2＋2t ＋1a ＋2＝a 2⎝⎛⎭⎫t 2＋22a t ＋1a ＋2＝a 2⎝⎛⎭⎫t ＋2a 2＋2. 1°当－2a <－2，即0<a <1时，m (t )在区间[－2，2]上单调递增，∴m (t )min ＝m (－2)＝a ＋1a .2°当－2≤－2a<0，即a≥1时，m(t)min＝m⎝⎛⎭⎫－2a＝2.3°当0<－2a≤2，即a≤－1时，m(t)min＝m()－2＝a＋1a.4°当－2a>2，即－1<a<0时，m(t)min＝m(－2)＝a＋1a.∴y min＝⎩⎪⎨⎪⎧2，a≥1，a＋1a，a<1且a≠0，∴当a≥1时，b≤2；当a<0或0<a<1时，b≤a＋1 a.。
2020年新高考一轮跟踪检测数学 跟踪检测4
跟踪检测(四) 函数的单调性与最值[基础训练]1．函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则( ) A ．m >12 B ．m <12 C ．m >－12D ．m <－12答案：B 解析：由2m －1<0⇒m <12. 2．已知函数y ＝1x －1，那么( )A ．函数的单调递减区间为(－∞，1)，(1，＋∞)B ．函数的单调递减区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)C ．函数的单调递增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)D ．函数的单调递增区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)答案：A 解析：在每个区间内都单调递减，但不可用“并集”形式．3．已知函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 答案：D 解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1<13，解得12≤x <23.4．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)答案：D 解析：由x 2－4>0，得x <－2或x >2.又y ＝log 12u为减函数，故f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)．5．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C 解析：充分性：x >0，当a <0时，则f (x )＝|(ax －1)x |＝－ax 2＋x 为开口向上的二次函数，且对称轴为x ＝12a <0，故f (x )为增函数；当a ＝0时，f (x )＝x 为增函数．必要性：当a ≠0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0，f (0)＝0，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则1a <0，即a <0；f (x )＝x 时，为增函数，此时a ＝0，故a ≤0.综上，a ≤0为f (x )在(0，＋∞)上为增函数的充分必要条件． 6．[2019湖北华大新联盟考试]若函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]答案：B 解析：易知函数f (x )＝2|x －a |＋3的增区间在为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]．因为函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a >1. 故选B.7．[2019山东潍坊四县联考]已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23 B ．(0，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞答案：C 解析：∵f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23.故选C.8．[2016天津卷]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32解析：由题意知，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．因为f (2|a －1|)>f(－2)，f (－2)＝f (2)，所以f (2|a －1|)>f (2)，所以2|a －1|<212，解得12<a <32.9．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．答案：14 解析：令t ＝x ，则t ≥0，y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．答案：[0,1)解析：易知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.画出g (x )的图象如图所示，其递减区间是[0,1)．11．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．(1)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 2>x 1，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0.f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)解：∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2. 易得a ＝25.[强化训练]1．[2019河南安阳一模]已知函数f (x )满足：①对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；②对定义域内的任意x ，都有f (x )＝f (－x )．则符合上述条件的函数是( )A ．f (x )＝x 2＋|x |＋1 B ．f (x )＝1x －x C ．f (x )＝ln|x ＋1|D ．f (x )＝cos x答案：A 解析：由题意，得f (x )是偶函数，在(0，＋∞)上递增．对于A ，f (－x )＝f (x )，是偶函数，且x >0时，f (x )＝x 2＋x ＋1，f ′(x )＝2x ＋1>0，故f (x )在(0，＋∞)上递增，符合题意；对于B ，函数f (x )是奇函数，不符合题意；对于C ，由x ＋1≠0，解得x ≠－1，定义域不关于原点对称，故函数f(x)不是偶函数，不符合题意；对于D，函数f(x)在(0，＋∞)上不单调递增，不符合题意．故选A.2.[2019河北石家庄一模]已知奇函数f(x)在x>0时单调递增，且f(1)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为( ) A．{x|0<x<1或x>2}B．{x|x<0或x>2}C．{x|x<0或x>3}D．{x|x<－1或x>1}答案：A解析：∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，∴函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(－1)＝0，则－1<x<0或x>1时，f(x)>0；x<－1或0<x<1时，f(x)<0.∴不等式f(x－1)>0，即－1<x－1<0或x－1>1，解得0<x<1或x>2.故选A.3．[2019山东济宁二模]已知y＝f(x)是R上的偶函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0.设a＝ln 1π，b＝(ln π)2，c＝lnπ，则()A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c)C．f(c)>f(a)>f(b) D．f(c)>f(b)>f(a)答案：C解析：由题意易知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，又∵|a |＝ln π>1，b ＝(ln π)2>|a |,0<c ＝ln π2<|a |，∴f (c )>f (|a |)>f (b )． 又由题意知f (a )＝f (|a |)， ∴f (c )>f (a )>f (b )． 故选C.4．[2019甘肃天水月考]定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)答案：A 解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)． 又∵任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)， 有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数． 又∵1<2<3，∴f (1)>f (2)＝f (－2)>f (3)，故选A.5．[2019河南郑州一模]已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2e)＝－f (x )(其中e ＝ 2,718 2…)，且在区间[e,2e]上是减函数，令a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系(用不等号连接)为()A．f(b)>f(a)>f(c) B．f(b)>f(c)>f(a)C．f(a)>f(b)>f(c) D．f(a)>f(c)>f(b)答案：A解析：∵f(x)是R上的奇函数，满足f(x＋2e)＝－f(x)，∴f(x＋2e)＝f(－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝e对称，∵f(x)在区间[e,2e]上为减函数∴f(x)在区间[0，e]上为增函数，又易知0<c<a<b<e，∴f(c)<f(a)<f(b)，故选A.6．[2019安徽蚌埠二模]已知单调函数f(x)，对任意的x∈R 都有f[f(x)－2x]＝6，则f(2)＝( )A．2 B．4 C．6 D．8答案：C解析：设t＝f(x)－2x，则f(t)＝6，且f(x)＝2x＋t，令x＝t，则f(t)＝2t＋t＝6，∵f(x)是单调函数，f(2)＝22＋2＝6，∴t＝2，即f(x)＝2x＋2，则f(2)＝4＋2＝6，故选C.7．[2019河北邯郸月考]已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是________．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：∵函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，∴y ＝f (x )的图象关于y 轴对称． 又∵y ＝f (x )在(－∞，0]上是增函数，则y ＝f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (a )≤f (2)， ∴|a |≥2，∴a ≤－2或a ≥2. 8．[2019广东深圳模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x <0，(a －3)x ＋4a ，x ≥0满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14解析：由任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，知f (x )在R 上为减函数，则需⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a －3<0，a 0≥(a －3)·0＋4a ，解得0<a ≤14.9．[2019甘肃兰州一模]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －2，x ≤0，2ax －1，x >0(a是常数且a >0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数； ③若f (x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a >1；④对任意x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2. 其中正确命题的序号是________．答案：①③④ 解析：根据题意可得函数图象如图所示．①由图象易得在点x ＝0处函数f (x )有最小值－1，故正确； ②由图象易得函数f (x )在R 上不是单调函数，故错误； ③因为f (x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，且f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝12时，函数取得最小值，求得a 的取值范围是a >1，故正确；④因为函数在(－∞，0)上的图象是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2，故正确． 故正确的命题为①③④.10．[2019河北石家庄模拟]已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1.若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b>0成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明；(2)解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1； (3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2，则－x 2∈[－1,1]，因为f (x )为奇函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)， 由已知得f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)>0，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在[－1,1]上单调递增．(2)因为f (x )在[－1,1]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1，解得－32≤x <－1. (3)因为f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增，所以在区间[－1,1]上，f (x )≤1.问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0对a ∈[－1,1]恒成立．下面来求m的取值范围．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，所以m≤－2或m≥2.所以m的取值范围是{m|m＝0或m≥2或m≤－2}．。
2020版高考新创新一轮复习数学理科通用版课时跟踪检测七十坐标系含答案
课时跟踪检测（七十） 坐标系1．在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求实数a 的值．解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x －y ＋a ＝0， 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5， 所以圆心C 的坐标为(1，－2)，半径r ＝5， 所以圆心C 到直线的距离为 |1＋2＋a |2＝ r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝2，解得a ＝－5或a ＝－1. 故实数a 的值为－5或－1.2．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径|PC |＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.3．(2018·江苏高考)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．解：因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 所以曲线C 是圆心为(2,0)，直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－ θ＝2， 则直线l 过A (4,0)，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6.如图，连接OB .因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，所以AB ＝4cos π6＝2 3.所以直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为x 23＋y 2＝1，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，射线OM 的极坐标方程为θ＝α0(ρ≥0)． (1)写出曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若射线OM 平分曲线C 2，且与曲线C 1交于点A ，曲线C 1上的点满足∠AOB ＝π2，求|AB |.解：(1)曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，曲线C 2的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4. (2)曲线C 2是圆心为(3，1)，半径为2的圆， ∴射线OM 的极坐标方程为θ＝π6(ρ≥0)，代入ρ2＝31＋2sin 2θ，可得ρ2A ＝2. 又∠AOB ＝π2，∴ρ2B ＝65， ∴|AB |＝|OA |2＋|OB |2＝ρ2A ＋ρ2B ＝455. 5．(2019·北京模拟)已知直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：圆C 的极坐标方程可化为ρ＝2k cos θ－2k sin θ， 即ρ2＝2k ρcos θ－2k ρsin θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0， 即⎝⎛⎭⎫x －22k 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋22k 2＝k 2， 所以圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22k ，－22k .直线l 的极坐标方程可化为ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0，所以⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |， 两边平方，得|k |＝2k ＋3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＞0，k ＝2k ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，－k ＝2k ＋3，解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－22，22. 6．(2019·福州五校联考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .(1)若直线l 过原点，且被曲线C 截得的弦长最小，求直线l 的直角坐标方程； (2)若M 是曲线C 上的动点，且点M 的直角坐标为(x ，y )，求x ＋y 的最大值． 解：(1)ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2＝0，即ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－2＝0， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4， 圆心C (1，－1)，若直线l 被曲线C 截得的弦长最小，则直线l 与OC 垂直， 即k l ·k OC ＝－1，k OC ＝－1，因而k l ＝1，故直线l 的直角坐标方程为y ＝x .(2)因为M 是曲线C 上的动点，因而利用圆的参数方程可设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝－1＋2sin φ(φ为参数)，则x ＋y ＝2sin φ＋2cosφ＝22sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4，当sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4＝1时，x ＋y 取得最大值2 2. 7．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程； (2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.8．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . 解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆． 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.。
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课时跟踪检测（六十三） 坐标系
1．在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求实数a 的值．
解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x －y ＋a ＝0， 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5， 所以圆心C 的坐标为(1，－2)，半径r ＝5， 所以圆心C 到直线的距离为 |1＋2＋a |
2
＝ r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22
＝2，
解得a ＝－5或a ＝－1. 故实数a 的值为－5或－1.
2．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－3
2与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．
解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－3
2中，令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π
4， 所以圆C 的半径|PC |＝
(2)2＋12－2×1×2cos π
4
＝1，于是圆C 过极点，
所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
3．(2018·江苏高考)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π
6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．
解：因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 所以曲线C 是圆心为(2,0)，直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π
6－ θ＝2， 则直线l 过A (4,0)，倾斜角为π
6，
所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π
6.
如图，连接OB .
因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π
2，
所以AB ＝4cos π
6
＝2 3.
所以直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.
4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为x 23＋y 2
＝1，以坐标原点O 为极点，x 轴正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π
3，射线OM 的极坐标方程为θ＝α0(ρ≥0)．
(1)写出曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；
(2)若射线OM 平分曲线C 2，且与曲线C 1交于点A ，曲线C 1上的点满足∠AOB ＝π
2，求|AB |.
解：(1)曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝
3
1＋2sin 2θ
，
曲线C 2的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4. (2)曲线C 2是圆心为(3，1)，半径为2的圆， ∴射线OM 的极坐标方程为θ＝π
6(ρ≥0)，
代入ρ2＝
31＋2sin 2θ
，可得ρ2
A ＝2. 又∠AO
B ＝π2，∴ρ2B ＝6
5
， ∴|AB |＝|OA |2＋|OB |2＝ρ2A ＋ρ2B ＝
45
5
. 5．(2019·北京模拟)已知直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π
4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．
解：圆C 的极坐标方程可化为ρ＝2k cos θ－2k sin θ， 即ρ2＝2k ρcos θ－2k ρsin θ，
所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0， 即⎝⎛
⎭⎫x －
22k 2＋⎝⎛⎭
⎫y ＋22k 2＝k 2， 所以圆心C 的直角坐标为
⎝⎛⎭⎫22
k ，－22k .
直线l 的极坐标方程可化为ρsin θ·22－ρcos θ·2
2＝4，
所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0，
所以
⎪⎪⎪
⎪
22k ＋22k ＋422
－|k |＝2.
即|k ＋4|＝2＋|k |， 两边平方，得|k |＝2k ＋3，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＞0，k ＝2k ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧
k ＜0，－k ＝2k ＋3，
解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝⎛
⎭
⎫
－
22，
22. 6．(2019·福州五校联考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π
4－2＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .
(1)若直线l 过原点，且被曲线C 截得的弦长最小，求直线l 的直角坐标方程； (2)若M 是曲线C 上的动点，且点M 的直角坐标为(x ，y )，求x ＋y 的最大值． 解：(1)ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭
⎫θ＋π
4－2＝0，即ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－2＝0， 将⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4， 圆心C (1，－1)，若直线l 被曲线C 截得的弦长最小，则直线l 与OC 垂直， 即k l ·k OC ＝－1，k OC ＝－1，因而k l ＝1，故直线l 的直角坐标方程为y ＝x .
(2)因为M 是曲线C 上的动点，因而利用圆的参数方程可设⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋2cos φ，y ＝－1＋2sin φ(φ为参数)，则x
＋y ＝2sin φ＋2cos φ＝22sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4，当sin ⎝⎛⎭
⎫φ＋π
4＝1时，x ＋y 取得最大值2 2. 7．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；
(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π
3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝
4
cos θ
. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，
由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3.
当α＝－π
12时，S 取得最大值2＋ 3.
所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.
8．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝a cos t ，
y ＝1＋a sin t (t 为参数，a
＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3
上，求a .
解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．
将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2
＝0.
(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组
⎩
⎪⎨⎪
⎧
ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.
当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.。