第五章微扰理论习题
第五章-微扰理论-习题
第五章 微扰理论
第一部分：基本概念与基本思想题目
1. 定态微扰理论主要研究什么样的物理体系？
2. 00//ˆˆˆˆˆ 在微扰理论中，中的和各应满足什么条件？H
H H H H =+ 3. 讨论无简并微扰理论的适用条件，说明其表达式的物理意义。
4. 何为吸收和发射? 说明自发发射和受激发射? 为什么量子力学无法解释自发发射?
5. 讨论原子中的电子与光的相互作用时,为什么忽略电子和磁场间的相互作用?
6. 与定态微扰理论相比,含时微扰理论所要解决的问题有何不同?
7. 何为Stark 效应?
8. 试述变分法的基本思想及其所解决的问题?
9. 中心力场中电子跃迁选择定则是什么?
第二部分: 基本技能训练题
1. 设氢原子中价电子所受有效作用势为
222
2020
() 014s s s e e a e U r e r r λλπε=--=<≤其中 试用微扰理论求基态能量(准确到一级).
2. 00102030000123100()()**()()()()()ˆ, : H , ||||
,设在表象中的矩阵表示为其中和试用微扰理论求能量本征方程的本征值准确到二级。
H H
E a E b a b E E E E a b E ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦<<<<
3. 转动惯量为I 电偶极矩为D 的空间转子处于均匀电场ε中，若电场很小，用微扰法计算转子基态能量的二级修正。
4. 设体系未受微扰时只有二个能级E 10及E 20， 现在受到微扰H /作用,
微扰矩阵元为12
211122////, ; a,b ,H H a H H b ====都是实数用微扰公式计算能量到二级修正.
Chap5微扰理论
(14 ' )
En E
(0) n
|2 | H nk ( 0) H nn ( 0) k n En Ek
(13)
( 0) n n
H kn ( 0) ( 0) ( 0) k k n En Ek
(14 )
(13)、(14)式成立的条件（逐步近似法适用的条件）为
(5)
(0) ˆ H ˆ ， 由于 H 的主要成分显然就是 n ，因此（5） n 0
k 式中 c 1 。这个判断是使用逐步近似法的基础。
将（5）式代入（4）式，得到
ˆ H ˆ ) E (H 0 n n n
(4)
( 0) ˆ ) ( 0) c ( E ( 0) H ˆ ) ( 0) E ( 0) E c ( 0) ( En H n k k k n n n k k k n k n
ˆ ( 0 ) dx e ( 0 )* x ( 0 ) dx k( 0 )* H H kn n k n
可利用
( 0) n
n 1 (0) n (0) n 1 n 1 2 2
解2 精确解
ˆ H ˆ Const. H
ˆ E H
(12 )
k k n n c ( 0) ( 0) k n
( 0) ck H nk En En H nn
(精校版)量子力学第五章习题
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第五章 微扰理论
5.1 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为0r ,电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解： 这种分布只对0r r
()()0
ˆH U r U r '=- 其中()0U r 是不考虑这种效应的势能分布, 即
()2004ze U r r
πε=-
()U r 为考虑这种效应后的势能分布， 在0r r ≥的区域为
()2
04ze U r r
πε=-
在0r r
()r U r e Edr ∞
=-⎰
其中电场为
()
()
3023300000201
4,443434Ze Ze r r r r r r r E Ze r r r ππεπεππε⎧=≤⎪⎪
=⎨
⎪>⎪
⎩
则有:
()()()()
2
2
3
2
000
22222
2200
033000000
1443848r r
r r r
r U r e Edr e Edr
Ze Ze rdr dr r r Ze Ze Ze r r r r r r r r r πεπεπεπεπε∞
第五章微扰理论
0 ⎞ ⎛b a ⎞ ⎟+⎜ ⎟ = H0 + H' ， ⎟ (0) ⎟ ⎜ E2 ⎠ ⎝a b⎠
⎛b a ⎞ 其中： H ' = ⎜ ⎜a b⎟ ⎟ ⎝ ⎠
，
即微扰哈密顿的矩阵元为： H '11 = H ' 22 ＝ b ， H '12 = H ' 21 ＝ a ， 而能量的二级近似公式
En = E
，
其中
' (0) H kn = ∫ψ k( 0 )∗ H 'ψ n dx 0 a
a
2b 2 kπx nπx 2b kπx nπx ＝− sin sin dx + sin sin dx ∫ ∫ a 0 a a a a a a
a 2
＝−
b a
a 2
∫ cos(k − n ) a dx + a ∫ cos(k + n ) a dx
0 0
πx
b
a 2
πx
+
b b πx πx cos(k − n ) dx − ∫ cos(k + n ) dx ∫ aa a aa a
a a 2 2
＝−
b b π π sin (k − n ) + sin (k + n ) (k − n )π 2 (k + n )π 2 − b b π π sin (k − n ) + sin (k + n ) (k − n )π 2 (k + n )π 2
第五章微扰理论
例
题
【 例 】 一 电 荷 为 e的 线 性 谐 振 子 受 到 恒 定 弱 电 场 E 的 作 用 ， 电 场 沿 x正 方 向 。 用 微 扰 法 求 体 系 的 定 态 能 量 和 波 函 数 。 （ 教 材 1 3 6页 ， 例 题 ）
【 例 】 设 在 H 0表 象 中 ， 体 系 的 哈 密 顿 算 符 的 矩 阵 表 示 为 2 H = H0 + H 0 0 0 1 0 0 0 3 b 0 0 0 0 b
(0) (0) n
Em
(0)
(0)
已知 1
n n
(0) m
H mn En
(0)
Em
m (0)
(2)
Hmn En
(0)
Em
(0)
(En
(0)
E m ), 这 不 仅 取 决 于 矩 阵 元
(0)
(0) (0) H m n的 大 小 ， 还 和 能 级 间 隔 E n E m 有 关
如 果 类 氢 原 子 的 核 不 是 点 电 荷 ， 而 是 半 径 为 r0 、 电 荷 均 匀 分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
2 2 2 Z e s2 3 r 2 2 r0 2 2 r0 ˆ H = 2 2 Z es 2 2 r
第五章微扰理论
第五章 微扰理论本章介绍：在量子力学中，由于体系的哈密
顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能严格求解的情况不多（一维谐振子，氢原子）。因此，引入各种近似方法就显得非常重要，常用的近似方法有微扰论，变分法，WKB （半经典近似），Hatree-Fock 自恰场近似等。本章将介绍微扰论和变分法。
本章将先讨论定态微扰论和变分法，然后再讨论含时微扰以及光的发射和吸收等问题。
§5.1 非简并定态微扰论 §5.2 简并定态微扰论§5.3 氢原子的一级
Stark 效应§5.4 变分法§5.5 氦原子基态§5.6 含时微扰§5.7 跃迁几率和黄金费米规则§5.8 光的发射与吸收§5.9 选择定则附录： 氦原子基态计算过程非简并定态微扰论本节将讨论体系受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能量和波函数所发生的变化。
假设体系的哈密顿量不显含时间，能量的本征方程
ˆH E ψψ= 满足下列条件： ˆH 可分解为 0ˆH 和 ˆH '两部分，而且 0ˆH 远大于ˆH
'。 00
ˆˆˆˆˆ H H H H H ''=+ 0ˆH 的本征值和本征函数已经求出，即 0
ˆH 的本征方程
(0)(0)(00ˆn n n H E ψψ=中，
能级(0)n E 和波函数(0)n ψ都是已知的。微扰论的任务就是从0
ˆH 的本征值和本征函数出发，近似求出经过微扰ˆH ' 后，ˆH 的本征值和本征函数。3. 0
ˆH 的能级无简并。严格来说，是要求通过微扰论来计算它的修正的那个能级无简并的。例如我们要通过微扰计算ˆH '对 0
ˆH 的第n 个能级(0)n E 的修正，就要求(0)n E 无简并，它相应的波函数只有(0)
第五章-微扰理论-习题答案.doc
第五章微扰理论
2
2
1.设氢原子中价电子所受有效作用班厂）二-玉-几兽 其中£
, r 厂 4矶
试用微扰理论求基态能屋（准确到一级）。 ［解］:氢原子基态波函
数
•••Eo = E ： + E 冷…
「El 守
-a
2r 2r
=一手臥九J7石dMQ
-2aal&入航
•••E O = E ： + E ；+・・・
2 •设在方。表象中方的矩阵为
= _4a\[^£a 。九-—
< 2丿 00
2
——0<2<1
__L 2
-r
’E ；）0 a 、
H= 0 E ； b 其中 E ； < E ； < E ； 问,问《卑
a b" E ；
\ 3
/
试用微扰理论求能量木征方程的木征值，准确到二级。
/\ /V
［解］表象中的H 的若无微扰吋，应是一个对角矩阵，而此题中H 不是对角阵，但 它的项应是对角阵。
曾
\
a
0 0、
<0
0 a } H = 0
E ； h
—
E ： 0 + 0
0 b
♦ a
E 為
(O
E 為
* 2
胪 o >
曾
0、
‘0 0 a '
第一项就是H.=
0 E
； 0 第二项是H'= 0 0 h
,0 \
E 為
♦ /?* 0, 若准确到二级対三个能级 耳 爲
耳则
E 严 E ：）+ E ：+E ；+…
E' = E ； + E ； + E ；+…
式中已知，只要求出0尽即可
・・• E \ = H\ E\ = H ；2
・・・ H ；2 = o H ；3 = a
・•. E ；=于g
由的矩阵元中对知 H ：
H ；=码=0 即 E ； = E ；= £；=()
・・ F 2=y \H nn] =y
r()
第5章 微扰理论-量子跃迁
§6.含时微扰论
前面，我们解决的是H ˆ与t 无关，但不能直接求解，而利用0
2
0V m
2P H ˆ+=有解析解，并且0
1V V H ˆ-=较小，通过微扰法求解)r (E )r ()p ˆ,r (H ˆψψ=的近似结果。有时也能用试探波函数，通过变分来获得。
现在要处理的问题是：体系原处于0H ˆ的本征态（或叠加），而有一与t 有关的微扰)t (H ˆ1
附加到该体系。显然，这时体系的能量不是运动常数，其状态并不处于定态（即使1H ˆ在一段时间中不变），在0H ˆ的各定态中的几率并不是常数，而是随时间变化的。而且无法获得解析结果。有时附加作用在一段时间之后结束，这时体系处于0
H ˆ的本征态的几率又不随时间变化。当然，这与作用前的几率已有所不同。也就是，体系可以从一个态以一定几率跃迁到另一态，这称为量子跃迁。这就需要利用含时间的微扰论。总之，含时间的微扰论就是处理体系所处的位势随时间发生变化时，或变化后，体系所处状态发生的变化。
H ˆ与t 有关，体系原处于)P ˆ,r (H ˆ0
，随t 加一微动)t (V ψψH ˆt
i =∂∂ , )t (V H ˆ)t (H ˆ0
+= 因0
H ˆ不显含t ，而有 )r (E )r (H ˆn
0n n 0ϕϕ= 则 ψψ0
H ˆt
i =∂∂
的通解为 ∑-=ψn
t iE
n n 0n
e
a )t ,r (
ϕ 0H 的定态
∑=n
n )t ,r (a ψ
t iE
n n
e )r ()t ,r (ϕψ=
而 n a 是常数
))0,r (),r (())t ,r (),t ,r ((a n n n ψ=ψ=ϕψ 不随t 变
量子力学教程(第二版)周世勋习题解答
对应于 En 的归一化的定态波函数为
n
(
x,
t)
2
sin
n
i
xe Ent ,
aa
0,
0xa x a, x a
15
2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是 A 1 a
证： n
Asin
n a
(x
a),
x a
0,
x a
由归一化，得
1
n
2 dx
a A2 sin 2
a
n a
(x a)dx
2 E 2
则
④ ⑤ ⑥
Ⅰ： 1 k121 0
⑦
Ⅱ：. 2 k22 2 0
⑧
Ⅲ： 3 k121 0
⑨
各方程的解为
1 Aek1x Be k1x 2 Csin k 2x D cos k 2x 3 Ee k1x Fe k1x
20
由波函数的有限性，有
1()有限 A 0 3 ()有限 E 0
0
0.024A （电子的康普顿波长）。
8
第二章 波函数和薛定谔方程
2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令
(r，t)
( r )f
(t)
( r )e
i
Et
J
i
( * * )
量子力学课后习题
第一章 绪论
1. 在0K 附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布洛意波长。
2. 氦原子的动能是32
E kT =（k 为玻耳兹曼常数），求T =1K 时，氦原子的德布洛意波长。
3. 利用玻尔-索末菲的量子化条件，求 （1） 一维谐振子的能量；
（2） 在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
4. 两个光子在一定条件下可发转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 第二章 波函数和薛定谔方程
1. 证明在定态中，几率密度和几率流密度与时间无关。
2. 由下列两定态波函数计算几率流密度:
（1）11ikr e r
ψ=，（2）11ikr e r
ψ-=
3. 求粒子在一维无限深势阱 中运动的能级和波函数。
4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是
5. 求一维线性谐振子处于第一激发态时几率最大的位置。
6. 试求算符ˆix d
F
ie dx
=-的本征函数。 7. 如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，求阱中粒子的波函
数和能级的表达式。0,2
(),2
a x U x a x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪∞≥
⎪⎩
⎩⎨
⎧≥≤∞<<=a x x a
x x V 或0,
0,0)(a
A 1='
第三章 量子力学中的力学量
1. 一维线性谐振子处于基态
，求: （1）势能的平均值； （2）动能的平均值； （3）动量的几率分布函数。
2. 氢原子处于基态()0,,r
a r ψθϕ-=
，求： （1）r 的平均值；
（2）势能2
e r
-的平均值；
（3）最可几半径； （4）动能的平均值； （5）动量的几率分布函数。
第五章-微扰理论 lt
第五章例题剖析
1.一电荷为e 的线性谐振子受恒定弱电场ε作用。设电场ε沿x 方向：
（1）用微扰法求能量至二级修正；
（2）求能量的准确值，并和（1）所得的结果比较。
[解]（1）荷电为e 的线性谐振子由于电场ε作用所具有的能量为x e ε，因为ε
是弱电场，故与无电场时谐振子具有的总能量0H 相比较，显然有 x e H ε>>0
令 x e H ε='，显然，H '可以看作微扰，因此可以用微扰法求解。
线性谐振子在外电场作用下的总哈密顿算符是
H H x e x p H '+=++=ˆˆ2
12ˆ0222εμωμ 无微扰时，线性谐振子的零级波函数是
)(!222122x H e m m x m m απα
ψα-⋅=
当体系处于第m 态时，考虑微扰的影响，则能量变为
∑≠-'+'+=n m n
m mn mm m m E E H H E E 0020 其中 ⎰
='dx x x e x H m m mm )()(*ψεψ ⎰=ξξξψξψα
εd e m m )()(*2 其中x x μωαξ==
ξξξξα
εξξd H e H e N e m m m )()(222222--⎰= ξξξξαξξd H H e N e m m m )()(222⎰-= 利用递推公式
)()(21)(11ξξξξ-++=m m m mH H H
故 ξξξξαεξd mH H H e N e H m m m m mm ⎰⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+='-+-)()(21)(11222 利用厄密多项式的正交性可以看出上面的积分为零，即0='mm
第五章微扰理论1
是实数，结合
(1) n
的结果，可推得
能量二级修正
E n (2)mE H n (0 m ) H n E n m (0 m )m
|H n m |2 E n (0)E m (0)
能量二级近似:
EnEn (0)En (1)En (2)
最后写成：
En En(0) Hn n
m
| Hn m|2 En(0) Em(0)
H2k
0
HkkEn(1)
•久期方程是能量一级修正值
E
(1) n
的
k
次代数方程式，原则
上可解出
k
个根：E
(1 ) nj
(j1,2, k) 所以简并情况下能级的
一级近似为
En En(0) En(1j)
若
k
个
E
(1 ) nj
各不相等，则简并能级 E n分裂成
k 个，简并完全消除
若
E
(1 ) nj
的
k
m
|Hnm|2 En(0) Em (0)
波函数：
一级修正
(1) n
m
Hm n En(0) Em (0)
(0) m
核心计算：
Hm n
m (0)*H
d (0)
n
例1 设氢原子中价电子所受有效作用势为
U(r)es2 r
量子力学 第五章 微扰理论
n
(0) n
(1) n
(2) n
E
(k) n
n (k)
Enk
、
k
n
为k级修正
借助于未微扰体系的波函数ψn (0)和本征能量 En (0) 来导出扰动后的波函数ψn和能量 En 的表达式。 方法：逐级求解（已知低级修正可代入求高级修正）
零级近似：
Hˆ
(0)
(0) n
E(0) (0) nn
13
§5.1 非简并定态微扰理论
)
(2 )
1
(0)
n
(0) n
d
mn
a(1) n
(0)
n
(1) n
d
a(1) n
a(1) n
0
a(1) n
i
ex 1 x x2 xn 2! n!
n
(0) n
(1) n
(0) n
(1) n
(0) n
i
(0) n
al(1)
(0) l
l
ei
(0) n
l
al(1)
(0) l
此选取只是相差一个相因子
l
a(1) (0) ll
可使得展开式中不含ψn(0)
n
(0) n
n(1（) 假定波函数只含一级修正，且是归一化的）
n nd
(
五章节微扰理论
EnEn(0)H'n n m'(En(H 0) 'nE m 2m(0))...
We get the energy of ground state in the 2nd approximation
E1E10W 112n1E W n 01n W E n1 10
W1110W10 10 ax10
16
Solution:
The Hamiltonian of the complete system is given by
H H 0H H 0W H 0a x
H0 is the Hamiltonian of the unperturbed system.
we can easily obtain the energy eigenfunction and eigenvalue of the unperturbed system,
( H ( 0 ) E n ( 0 ) )n ( 2 ) ( H ( 1 ) E n ( 1 ) )n ( 1 ) E n ( 2 )n ( 0 )
En(0) , n（0）称为零级能量和波函数, En(1) , n（1）称为一级近似能量和波函数, En(2) , n（2）称为二级近似能量和波函数,
19
Using the formula of the wave function of k state in the first approximation
微扰理论
(0) ˆ ( 0 ) (1) d ( 0 ) *E ( 0 ) (1) d * H n n n n n
由于H (0)是厄密 算符所以等式左 边等于零.
(0) ˆ (1) ( 0 ) d ( 0 ) *E (1) ( 0 ) d n *H n n n n
(13)
n
( 0) n
H kn ( 0) ( 0) (0) k E E k n n k
(14)
(0) ˆ 的平均值 ˆ 就是在 n H 能级的一级修正 H 中 nn
(1) exnn 0 En H nn
很容易证明能级的一级修正为零.
( 0 )* ˆ (0) n H nn H n dx
( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ˆ (1) ( 0) E (1) ( 0) E a E a H k k k n k k n n n k n
( 0) m
等式两边同时乘
* 再积分可得到 ( m
k n
n)
(0) (0) ( 0) (0) (0) (0) E a * d E a * k k m k n k m k d k n k n (0) (0) ˆ (1) ( 0 ) d E (1) ( 0 ) * m *H n n m n d
第五章 微扰理论
量子力学第五章微扰理论
量子力学第五章微扰理论
微扰理论
在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可数。因此，引入各种近似方法以求解薛定谔方程的问题就显得十分重要。常用的近似方法有微扰论、变分法等。不同的近似方法有不同的适用范围。在本章中将讨论分立谱的微扰理论、变分法。
由于体系的哈密顿算符既可以显含时间，又可以不显含时间，因此，近似方法也可以分为适用于定态的和适用于非定态的两类。本章将先讨论定态的微扰理论、变分法，然后再讨论含时间的微扰理论以及光的发射和吸收等问题。
§5. 1 非简并定态微扰理论
近似方法的精神是从已知的简单问题的准确解出发，近似地求较复杂一些的问题的解。当然，我们还希望了解这些求解方法的近似程度，估算出近似解和准确解之间的最大偏离。本节将讨论体系在受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能级和波函数所发生的变化。假定体系的哈密顿量H不显含t，能量的本征方程：
Hψ=Eψ (5.1.1)
满足下述条件:
(1) H可分解为H(0)和H'两部分，而且H'远小于H(0)
H=H(0) + H' (5.1.2) H'H(0) (5.1.3)
（5.1.3）式表示，H与H(0)的差别很小，H'可视为加于H(0)上的微扰。（5.1.3）式的严格意义将在后面再详细说明。由于H 不显含t，因此，无论H(0)或是H'均不显含t。
(2) H(0) 的本征值和本征函数已经求出，即H(0)的本征方程
(0)(0)(0)
H(0)ψn=Enψn (5.1.4)
中，能级En及波函数ψn都是已知的。微扰论的任务就是从H(0)的本征值和本征函数出发，近似求出经过微扰后，H的本征值和本征函数。
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第五章 微扰理论
第一部分：基本概念与基本思想题目
1. 定态微扰理论主要研究什么样的物理体系？
2. 00//ˆˆˆˆˆ 在微扰理论中，中的和各应满足什么条件？H
H H H H =+ 3. 讨论无简并微扰理论的适用条件，说明其表达式的物理意义。
4. 何为吸收和发射? 说明自发发射和受激发射? 为什么量子力学无法解释自发发射?
5. 讨论原子中的电子与光的相互作用时,为什么忽略电子和磁场间的相互作用?
6. 与定态微扰理论相比,含时微扰理论所要解决的问题有何不同?
7. 何为Stark 效应?
8. 试述变分法的基本思想及其所解决的问题?
9. 中心力场中电子跃迁选择定则是什么?
第二部分: 基本技能训练题
1. 设氢原子中价电子所受有效作用势为
222
2020
() 014s s s e e a e U r e r r λλπε=--=<≤其中 试用微扰理论求基态能量(准确到一级).
2. 00102030000123100()()**()()()()()ˆ, : H , ||||
,设在表象中的矩阵表示为其中和试用微扰理论求能量本征方程的本征值准确到二级。
H H
E a E b a b E E E E a b E ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦<<<<
3. 转动惯量为I 电偶极矩为D 的空间转子处于均匀电场ε中，若电场很小，用微扰法计算转子基态能量的二级修正。
4. 设体系未受微扰时只有二个能级E 10及E 20， 现在受到微扰H /作用,
微扰矩阵元为12
211122////, ; a,b ,H H a H H b ====都是实数用微扰公式计算能量到二级修正.
5. 基态氢原子处于平行电场中,若电场是均匀的且随时间按指数下降,即
0t -0 t 0e t 0 ( 0 )
τεετ<⎧⎪=⎨⎪≥>⎩当当的参数
求经过长时间后氢原子处于2p 态的几率。
6. 粒子处于宽为a 的一维无限深势阱中，若微扰为
/a 0x 2()a x a 2
b H x b ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩求粒子能量的一级修正。
7. 计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。
8. 用狄拉克符号求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。
9. 对于处于宽度为a 的一维无限深势阱中的粒子（质量为m 0），受到微扰
V(x)＝V 0cos (2π/a)x
求体系的能量(准确到二级)。
10. 设在H 0表象中0102()() E a b H b E a ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭
（a,b 为实数）
（1） 用微扰法求能量至二级修正。
（2） 严格求解能量，并与微扰法的结果进行比较。
11. 若设 20()r Ae λψλ-=>作为波函数，用变分法求氢原子基态能量。
12. 设某体系H 的本征值是由小到大顺序排列，且
E 0< E 1< E 2<....E k <....
证明H 在任一态中的平均值大于或等于E 0,即 0H E ≥