双曲函数与反双曲函数的几何意义
双曲函数的定义及其基本性质
双曲函数的定义及其基本性质双曲函数是一类与圆相关的函数，其在数学中有广泛的应用。在本文中，我们将介绍双曲函数的定义及其基本性质。
一、定义
双曲函数由指数函数与余弦函数和正弦函数组合而成。具体地说，设x为实数，则双曲正弦函数（sinh x）和双曲余弦函数（cosh x）分别定义为：
sinh x = (e^x - e^(-x))/2
cosh x = (e^x + e^(-x))/2
其中e为自然对数的底数。
二、基本性质
1. 对于任何实数x，有sinh x > 0，cosh x > 0。
这是因为指数函数的值在实数域内均为正数，且对于任何实数x，e^x与e^(-x)之和（差）均为正数。因此，双曲正弦函数与双曲余弦函数的值均为正数。
2. 双曲正弦函数与双曲余弦函数的导数分别为：
d/dx sinh x = cosh x
d/dx cosh x = sinh x
这两个导数公式表明，双曲正弦函数与双曲余弦函数的斜率分别等于另一个函数的值。
3. 双曲正切函数（tanh x）和双曲余切函数（coth x）是双曲正弦函数与双曲余弦函数之间的比值：
tanh x = sinh x/cosh x
coth x = cosh x/sinh x
这两个函数也是双曲函数的一部分，它们的性质与双曲正弦函数和双曲余弦函数类似。
4. 双曲正弦函数与双曲余弦函数之间有如下关系：
cosh^2 x - sinh^2 x = 1
这是因为cosh x与sinh x是指数函数与余弦函数和正弦函数的组合，而余弦函数和正弦函数之间有如下关系：
双曲函数的像与变换的证明
双曲函数的像与变换的证明
在数学中，双曲函数是一类与圆及椭圆函数相关的特殊函数。它们
在数学和科学领域中有着广泛的应用。本文旨在探讨双曲函数的像与
变换，并给出相关的证明。
一、双曲函数的定义
双曲函数包括双曲正弦函数（sinh）、双曲余弦函数（cosh）和双
曲正切函数（tanh）。它们的定义如下：
1. 双曲正弦函数（sinh）：sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2
2. 双曲余弦函数（cosh）：cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2
3. 双曲正切函数（tanh）：tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)
二、双曲函数的像
1. 双曲正弦函数（sinh）的像：无穷区间 (-∞, +∞)
证明：双曲正弦函数的定义式中存在指数函数，指数函数在整个实
数轴都有定义。因此，双曲正弦函数的定义域为 (-∞, +∞)。而当 x 无限接近正无穷或负无穷时，e^x 和 e^(-x) 的结果趋近于无穷，因此 sinh(x) 的值也趋近于无穷。同理，当 x 趋近于 0 时，e^x 和 e^(-x) 的结果相等，因此 sinh(x) 也趋近于 0。综上所述，双曲正弦函数的像为整个实数轴(-∞, +∞)。
2. 双曲余弦函数（cosh）的像：区间[1, +∞)
证明：双曲余弦函数的定义式中存在指数函数，指数函数在整个实数轴都有定义。因此，双曲余弦函数的定义域为 (-∞, +∞)。当 x 无限接近正无穷或负无穷时，e^x 和 e^(-x) 的结果趋近于无穷，因此 cosh(x) 的值也趋近于无穷。而当 x 趋近于 0 时，e^x 和 e^(-x) 的结果相等，因此 cosh(x) 趋近于 1。综上所述，双曲余弦函数的像为[1, +∞)。
双曲函数介绍
双曲函数介绍
在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“co snh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“ar c sinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。
双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。射线出原点交双曲线 x^2 - y^2 = 1 于点 (cosinh a,sinh a），这里的a被称为双曲角，是这条射线、它关于x轴的镜像和双曲线之间的面积。定义
双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数：
sinh / 双曲正弦：sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2
cosh / 双曲余弦：cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2
tanh / 双曲正切：tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]
coth / 双曲余切：coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]
sech / 双曲正割：sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)]
csch / 双曲余割：csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)]
基本初等函数 复合函数 双曲函数 反双曲函数的定义
数集 D 叫做这个函数的定义域， 叫做自变量， x y 叫做因变量．
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域.
函数的分类
代 数 函 数
有 理 函 数
有理整函数(多项式函数) 有理分函数(分式函数)
函 数
初 等 函 数
无理函数
超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
设函数f ( x )是一一对应
y
函数, 则
y f
1
( x)
1 f ( f 1 ( x )) f 1 ( f ( x ))
x x Df
( f ( x ), x )
y f ( x)
( x , f ( x ))
2 y f ( x )与y f 1 ( x )的
图象对称于直线y x .
y x
2
当 x 0 时为减函数; 当 x 0 时为增函数;
o
x
(4) 函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立, 则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界.
y
y 1 x
在( ,0)及(0, )上无界; 在( ,1]及[1, )上有界.
o
x
6、基本初等函数
1）幂函数
y x
反双曲函数泰勒展开
反双曲函数泰勒展开
反双曲函数，也称作反双曲正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数，是与双曲函数相对应的函数。反双曲函数在数学和物理学中具有广泛的应用，特别是在微积分和微分方程的解析中，起到了重要的作用。在本文中，我们将探讨反双曲函数的泰勒展开，了解其背后的数学原理，并且深入探讨其在实际问题中的应用。
1. 什么是反双曲函数？
反双曲函数是与双曲函数相反的映射关系。在数学中，双曲函数是指双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数。反双曲函数则是将双曲函数的值映射回原来的自变量上，从而得到一个方程的解。常见的反双曲函数有反双曲正弦函数asin(x)，反双曲余弦函数acos(x)和反双曲正切函数atan(x)。
2. 反双曲函数的泰勒展开
泰勒展开是一种将给定函数表示为无穷级数的方法，从而使函数在某一点附近以多项式的形式近似。对于反双曲函数而言，其泰勒展开可以用来近似计算非常小或非常大的值。
以反双曲正弦函数asin(x)的泰勒展开为例，其泰勒展开式为：
asin(x) = x + (1/2)x^3/3! + (1*3)/(2*4)x^5/5! +
(1*3*5)/(2*4*6)x^7/7! + ...
在这个级数中，每一项的系数都与自变量x的次数和阶乘有关。这意味着将更多的项包括在级数中，可以更准确地近似反双曲正弦函数。同样地，反双曲余弦函数acos(x)和反双曲正切函数atan(x)也可以用类似的方法进行泰勒展开。
3. 反双曲函数的应用
反双曲函数在实际问题中有着广泛的应用。下面我们将介绍两个应用反双曲函数的例子。
反双曲余弦函数
反双曲余弦函数
反双曲余弦函数，简称IHC数学函数，是反双曲函数类型中最重要的一种，用来描述几何方程和图像的变化。因此，IHC数学函数非常灵活和有用。
IHC数学函数是反双曲函数类别中最重要的一种。IHC函数是一种二元函数，它接受两个变量x和y，输出另一个变量z。IHC函数的语法格式如下：z=acosh (x/y)，其中，x、y、z均为实数，或可能为复数。这个函数的主要作用是计算x和y之间的关系。
IHC数学函数在数学领域中有着广泛的应用，可以用来求解各种复杂的平面几何图形，如平面曲线、双曲线等。它还可以用来计算坐标变换、图像转换等图形几何操作。
可以看出，IHC数学函数的应用极为广泛，在数学领域占有重要的地位。然而，反双曲函数的定义比较复杂，即使对于数学专业的学生来说也比较难理解。因此，在学习IHC数学函数时，要多多参考相关的资料，理解反双曲函数的定义和运用，从而更好地利用IHC函数进行数学要求的计算。
双曲正弦函数反函数
双曲正弦函数反函数
双曲正弦函数的反函数是双曲余弦函数。双曲余弦函数是双曲函数中的一种，它的定义域是实数集，值域是正实数集。双曲余弦函数的定义可以由双曲正弦函数的定义推导出来。在双曲正弦函数中，当x取正值时，y也取正值；当x取负值时，y也取负值。因此，双曲正弦函数的反函数就是将x和y互换，并取反。
双曲余弦函数的定义是：cosh(x) = (e^x + e^-x) / 2。其中，e^x表示e的x次方，e^-x表示e的-x次方。
双曲余弦函数的性质与双曲正弦函数类似，但它只在x为正数时有定义。当x为负数时，双曲余弦函数没有定义。
双曲余弦函数的图像是在x轴上方的一个弧形曲线，其对称轴是y轴。
在实际应用中，双曲余弦函数常用于处理一些涉及双曲正弦函数的数学问题。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，有时需要将双曲正弦函数转换为双曲余弦函数，以便更好地理解和解决实际问题。
双曲函数及反双曲函数
一、函数与极限
7、双曲函数及反双曲函数
⑴、双曲函数：在应用中我们经常遇到的双曲函数是：(用表格来描述)
函数的名称
函数的表达式
函数的图形
函数的性质
双曲正弦
a)：其定义域
为:(-∞,+∞)；b)：是奇函数；c)：在定义域内是单调增双曲
余弦
a)：其定义域
为:(-∞,+∞)；b)：是偶函数；c)：其图像过点(0,1)；双曲正切
a)：其定义域为:(-∞,+∞)；
b)：是奇函数；c)：其图形夹在水平直线y=1及y=-1之间；在定域内单调增；
我们再来看一下双曲函数与三角函数的区别：
双曲函数的性质
三角函数的性质
shx 与thx 是奇函数，chx 是偶函数
sinx 与tanx 是奇函数，cosx
是偶函数
它们都不是周期函数都是周期函数
双曲函数也有和差公式：
⑵、反双曲函数：双曲函数的反函数称为反双曲函数.
a)：反双曲正弦函数其定义域为：(-∞,+∞)；
b)：反双曲余弦函数其定义域为：[1,+∞)；
c)：反双曲正切函数其定义域为：(-1,+1)；
双曲函数的来历是什么，与三角函数有什么关系？
双曲函数的来历是什么，与三⾓函数有什么关系？⼀·问题简述：
1. 在数学中，双曲函数是与幂函数、指数函数、对数函数、三⾓函数等⼀样的⼀类基本初等
函数，它包括双曲正弦函数sinhx，双曲余弦函数coshx，双曲正切函数tanhx等。
2. 双曲函数是⼀类在⼯程中应⽤⼴泛的函数。双曲函数的定义域时实数，其⾃变量的值叫做
双曲⾓。双曲函数的反函数称之为反双曲函数。
3. 双曲函数与三⾓函数的关系，可以通过复指数进⾏联系，借助复数的三⾓形式得到，⽽指
数函数与复数的关系则可以通过欧拉公式给出。
4. 尽管双曲函数不是⾼中数学学习和研究的对象，但是双曲函数却时常成为⾼考数学的命题
背景，许多⾼考试题都能找到双曲函数的影⼦。因此，了解双曲函数的相关性质，对解答
相关试题⼤有裨益。
⼆·双曲函数的定义：
双曲函数与三⾓函数有许多类似的地⽅，双曲函数包括双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲
余切、双曲正割、双曲余割等，下⾯仅就前三者进⾏阐述。
三·双曲函数的图象与性质：
四·双曲函数恒等式：
五·双曲函数的导数、不定积分与级数：
六·双曲函数在⾼考中的应⽤：
1·考查函数的图象：
【评注】
本题选取双曲正切函数的倒数，即双曲余切函数作为研究对象，借助函数的图象，考查双曲函数的定义域、值域，以及单调性等知识点。
2·考查函数的奇偶性：
【评注】
本题考查函数的奇偶性，借助函数的奇偶性的相关结论来求参数的值，其中对数函数正是双曲正弦的反函数。
3·考查导数的综合应⽤：
【评注】
本题正是⼀道全⾯研究双曲函数的⾼考试题，涉及双曲正弦函数与双曲余弦函数，考查函数的解析式、奇偶性、单调性、值域等知识点，有⼀定的难度。
双曲线的几何意义
（平行性质）如图，点A、B在反比例函数
k
y
x
=图像上，作AC x
^轴于点C，
BD y
^轴于点D，求证：AB CD
（等长性质）如图，点A、B是在反比例函数
k
y
x
=图像上，直线AB分别交X轴、
Y轴交于点C、D，求证：AC=BD。
（中点弦性质）如图，AB是反比例函数
k
y
x
=图像上的弦，M是AB的中点，
求证：直线AB、OM与X轴（或Y轴）构成的锐角相等。
（直径性质）如图，P 、A 、B 是反比例函数k y x
=图像上的点，且A 、B 关于原点对称，
求证：PA 与PB 与X 轴（或Y 轴）构成的锐角相等。
（平四性质）如图，ABCD 中，A 、B 是反比例函数k y x
=图像上的点，点C 、D 分别x 轴，y 轴上
求证：ABCD 任意两边所在的直线与X 轴（或Y 轴）构成的锐角相等。
双曲函数和三角函数
三角函数的定义
直角坐标系中定义
直角三角形定义
a, b, h 为角A的对边、邻边和斜边在笛卡尔平面上f(x) = sin(x) 和f(x) = cos(x) 函数的
图像。
单位圆定义
六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是：
x2+y2=1
对于大于 2π或小于−2π的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：
级数定义
只使用几何和极限的性质，可以证明正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦。（在微积分中，所有角度都以弧度来度量）。我们可以接着使用泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数x都成立：
这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点（比如，在傅立叶级数中），因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。这样，这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。
在这种形式的表达中，分母是相应的阶乘，分子称为“正切数”，它有一个组合解释：它们枚举了奇数势的有限集合的交错排列（alternating permutation）。
在这种形式的表达中，分母是对应的阶乘，而分子叫做“正割数”，有组合解释：它们枚举偶数势的有限集合的交错排列。
三角函数和双曲函数公式表
三角函数和双曲函数公式表
三角函数和双曲函数公式表
三角函数的定义
直角坐标系中定义
直角三角形定义
六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计
算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三
角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和π/2 弧度之间的角。它
也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是：
x2+y 2=1
对于大于 2π或小于−2π的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正
弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：
只使用几何和极限的性质，可以证明正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦。
（在微积分中，所有角度都以弧度来度量）。我们可以接着使用泰勒级数的理论来证明下
列恒等式对于所有实数 x 都成立：
这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。它们经常被用做三角函数的严格处理
和应用的起点（比如，在傅立叶级数中），因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展
而来，不需要任何几何方面的考虑。这样，这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数
定义来确立。
在这种形式的表达中，分母是相应的阶乘，分子称为“正切数”，它有一个组合解释：它们枚举了奇数势的有限集合的交错排列（alternating permutation）。
在这种形式的表达中，分母是对应的阶乘，而分子叫做“正割数”，有组合解释：它
们枚举偶数势的有限集合的交错排列。
从复分析的一个定理得出，这个实函数到复数有一个唯一的解析扩展。它们有同样的
双曲函数
定义
双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数：
sinh / 双曲正弦：sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2
cosh / 双曲余弦：cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2
tanh / 双曲正切：tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]
coth / 双曲余切：coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]
sech / 双曲正割：sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)]
csch / 双曲余割：csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)]
cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1
和性质 t > 0 对于所有的 t。
参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点(cosh t,sinh t) 的直线之间的面积的两倍。
函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。
函数 sinh x 是奇函数，就是说 -sinh x = sinh (-x) 且 sinh 0 = 0。[3]实变双曲函数
y=sh(x)，定义域：R，值域：R，奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x的等价无穷大，函数图像关于原点对称。
y=ch(x)，定义域：R，值域：[1，+∞），偶函数，函数图像是悬链线，最低点是（0，1），在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x 的等价无穷大，函数图像关于y轴对称。
双曲函数的作用
双曲函数的作用
双曲正弦
sh z ＝(e^z-e^(-z))/2 （1）
双曲余弦
ch z ＝(e^z+e^(-z))/2 （2）
双曲正切
th z ＝ sh z /ch z ＝(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) （3）
双曲余切
cth z ＝ ch z/sh z＝(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z)) （4）
双曲正割
sech z ＝1/ch z （5）
双曲余割
csch z ＝1/sh z （6）
其中，指数函数（exponential
Csch_sech_cothfunction）可由无穷级数定义
e^z＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋...＋z^n/n！＋ (7)
双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别记为ar sh z、ar ch z、ar th z 等。
定义
在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。
因为双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。
射线出原点交双曲线 x2 − y2 = 1 于点 (cosh a,sinh a)，这里的a被称为双曲角，是这条射线、它关于x轴的镜像和双曲线之间的面积。定义
双曲函数
双曲函数[编辑]
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射线出原点交双曲线于点，这里的被称为双曲角，是这条射线、它关于轴的镜像和双曲线之间的面积。
在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数“sinh”和双曲余弦函数“cosh”（有时也把双曲正弦写作sh，双曲余弦写作ch），从它们可以导出双曲正切函数“tanh”（有时写作th）等等。其中的推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数，例如双曲正弦函数的反函数是“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”），以此类推。
双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做双曲角。在复分析中，由于双曲函数是指数函数的有理函数，因此是整函数。
目录
[隐藏]
∙ 1 基本定义
∙ 2 与三角函数的关系
o 2.1 几何关系
∙ 3 恒等式
∙ 4 反双曲函数
∙ 5 双曲函数的导数
∙ 6 双曲函数的泰勒展开式
∙7 双曲函数的积分
∙8 参考
∙9 参见
∙10 外部链接
基本定义[编辑]
sinh, cosh和tanh
csch, sech和coth
∙
∙
∙
∙
∙
∙
如同当遍历实数集时，点（, ）的轨迹是一个圆
一样，当遍历实数集时，点（, ）的轨迹是直角双曲线
的右半边。这是因为有以下的恒等式：
同时对于所有的都有。
双曲函数是带有复数周期的周期函数。
参数t不是圆角而是双曲角，它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点（, ）的直线之间的面积的两倍。
双曲函数
双曲函数[编辑]
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射线出原点交双曲线于点，这里的被称为双曲角，是这条射线、它关于轴的镜像和双曲线之间的面积。
在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数“sinh”和双曲余弦函数“cosh”（有时也把双曲正弦写作sh，双曲余弦写作ch），从它们可以导出双曲正切函数“tanh”（有时写作th）等等。其中的推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数，例如双曲正弦函数的反函数是“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”），以此类推。
双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做双曲角。在复分析中，由于双曲函数是指数函数的有理函数，因此是整函数。
目录
[隐藏]
∙ 1 基本定义
∙ 2 与三角函数的关系
o 2.1 几何关系
∙ 3 恒等式
∙ 4 反双曲函数
∙ 5 双曲函数的导数
∙ 6 双曲函数的泰勒展开式
∙7 双曲函数的积分
∙8 参考
∙9 参见
∙10 外部链接
基本定义[编辑]
sinh, cosh和tanh
csch, sech和coth
∙
∙
∙
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∙
∙
如同当遍历实数集时，点（, ）的轨迹是一个圆
一样，当遍历实数集时，点（, ）的轨迹是直角双曲线
的右半边。这是因为有以下的恒等式：
同时对于所有的都有。
双曲函数是带有复数周期的周期函数。
参数t不是圆角而是双曲角，它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点（, ）的直线之间的面积的两倍。