高二数学上学期期末复习备考之精准复习模拟题(B卷)苏教版

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2020-2021学年第一学期期末复习备考之精准复习模拟题高二江苏版数学试题(B卷)

2020-2021学年第一学期期末复习备考之精准复习模拟题高二江苏版数学试题（B 卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．命题“2R,0x x ∀∈≥”的否定是____________． 2．设曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线30ax y ++=垂直,则a =______. 3．已知函数()421f x a x a =-+.若命题：“()00,1x ∃∈，使()00f x =”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．4．若不等式x 2﹣2x+3﹣a ＜0成立的一个充分条件是0＜x ＜5，则实数a 的取值范围是_____．5．已知函数()3213f x ax x x =-+在区间()0,2上是单调增函数，则实数a 的取值范围是___________.6．抛物线212y x =-的准线与双曲线22162x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．7．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(),0x ∈-∞时， ()()0f x xf x '-<若()221ln log 52,1log 5ln 2f f f m n k ⎛⎫⎪⎝⎭===，则,,m n k 的大小关系为___________.（用“<”连接）8．下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；①命题“设,a b R ∈，若6a b +≠，则3a ≠或3b ≠”是一个假命题；①“2x >”是“112x <”的充分不必要条件；①一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中不正确的命题是．（写出所有不正确命题的序号） 9．已知函数()0x xf x e=，设()1n f x +为()n f x 的导函数，()()()()10211,2,,x x xf x f x e x f x f x e''-⎡⎤==⎣⎦-⎡⎤==⎣⎦ 根据以上结果，推断()2017f x =_____________.10．已知函数()()11xf x a a =->的图象为曲线C,O 为坐标原点，若点P 为曲线C上的任意一点，曲线C 上存在点Q,使得OP OQ ⊥，则实数a 的取值集合为__________. 11．函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为_______． 12．已知F 1,F 2是椭圆2214x y +=和双曲线C 2的公共焦点,A 为C 1,C 2的一个公共点,且A,则C 2的离心率为_________13．已知椭圆22:143x y C +=的右顶点为A , 点()2,4M ,过椭圆C 上任意一点P 作直线MA 的垂线,垂足为H ,则2PM PH +的最小值为_________.二、解答题 14．设命题p :函数f (x )=lg (ax 2-x +116a )的定义域为R ;命题q :方程221104x y a a +=-+表示椭圆(1)如果p 是真命题,求实数a 的取值范围;(2)如果命题"p 或q ”为真命题,求实数a 的取值范围。

苏教版高二上学期数学期末模拟测试题

苏教版高二上学期数学期末模拟测试题最新的苏教版高二上学期数学期末模拟测验一、函数与基本初等函数本部分主要考察学生对函数概念的理解，以及基本初等函数的性质和表达式的掌握。

题目可能包括指数函数、对数函数和三角函数等，并考察它们在日常生活中的应用。

二、三角函数与解三角形本部分主要考察学生对三角函数概念的理解，以及解三角形问题的解决方法。

题目可能包括三角函数的求值、证明角的关系等，并考察学生对于正弦定理、余弦定理等知识的运用。

三、数列本部分主要考察学生对数列概念的理解，以及等差数列和等比数列的性质和证明方法。

题目可能包括数列的通项公式、求和公式等，并考察学生对于数学归纳法、不等式证明等知识的运用。

四、平面向量本部分主要考察学生对平面向量概念的理解，以及向量的加减法、数量积和投影等。

题目可能包括向量的坐标表示、求向量的模等，并考察学生对于向量的几何意义、物理意义等知识的运用。

五、立体几何初步本部分主要考察学生对立体几何基本概念的理解，以及空间几何体的性质和证明方法。

题目可能包括空间几何体的表面积、体积等，并考察学生对于空间向量、直线与平面位置关系等知识的运用。

六、统计与概率本部分主要考察学生对统计和概率基本概念的理解，以及数据处理方法和一些常见分布。

题目可能包括统计图的绘制、概率计算等，并考察学生对于独立性检验、线性回归等知识的运用。

七、算法初步与框图本部分主要考察学生对算法概念的理解，以及流程控制结构和一些常见算法。

题目可能包括程序框图的识别、简单算法的描述等，并考察学生对于逻辑运算、循环结构等知识的运用。

此外，还可能考察算法在日常生活中的应用，例如用程序解决实际问题等。

2017-2018学年高二数学上学期期末复习备考之精准复习

2017--2018高二年级第一学期期末考试数学模拟试卷3一、填空题 1．命题“若4πα=，则tan 1α=”的逆否命题是__________.【答案】若tan 1α≠，则4πα≠【解析】命题的条件： =4πα，结论是： tan 1α=， ∴则逆否命题是： tan 1α≠，则4πα≠，故答案为若tan 1α≠，则4πα≠.2．抛物线y 2=2mx (m >0)的焦点到双曲线1x =的一条渐近线的距离为3,则此抛物线的方程为_________ 【答案】220y x =3．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的______条件. (请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空). 【答案】必要不充分【解析】当“α⊥β”时，m 与β的关系可以是相交、平行、垂直，故“m ⊥β”不一定成立；反之，当m ⊥β时，又m α⊂，故有α⊥β，即当“m ⊥β”时，必有“α⊥β”。

综上可得“α⊥β”是“m ⊥β”必要不充分条件。

答案：必要不充分4．下列有关命题的说法中正确的有________(填序号)． ①命题“若，则”的否命题为“若，则”；②“”是“”的必要不充分条件；③命题“∃∈R ，使得”的否定是“∀∈R ，均有”；④命题“若，则”的逆否命题为真命题．【答案】④【解析】对于命题①命题“若，则”的否命题为“若，则”，故该命题是错误的；对于命题②“”是“”的充分不必要条件，则该命题也是错误的；对于命题③命题“∃∈R ，使得”的否定是“∀∈R ，均有”，所以该命题也是错误的；对于命题④由于命题“若，则”是真命题，所以由原命题与其逆否命题同真假可知该命题的逆否命题为真命题，故该命题是的真命题，应填答案④． 5．已知函数()()ln mf x x m R x=-∈在区间[]1,e 取得最小值4，则m = ．【答案】3e -考点：导数在求函数的最值问题中的运用及分类整合的数学思想．【易错点晴】本题考查的是导函数在求函数的最值中的运用,而且是一道逆向型问题.解答时充分借助函数在闭区间[]1,e 取得最小值4这一条件和信息,先对函数()()ln mf x x m R x=-∈进行求导,进而分类讨论参数的取值情形,分别情况求出其最小值,最后再依据题设进行分析求解,去掉不合题设和已知条件的参数的值,从而写出符合题设条件的参数的值.6．已知条件条件且是的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是______ ．【答案】【解析】∵，∴或，若是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件，则，∴，故答案为.7．已知函数()()21l n 112f x x a x a x =+-++在1x =处取得极小值，则实数a 的取值范围是_____________. 【答案】1a >【解析】()()()()()211111'1ax a x ax x f x ax a x x x-++--=+-+==，当0a ≤ 时， ()1f 为极大值，矛盾；当01a << 时()1f 为极大值；当1a = 时，无极值；当1a > 时()1f 为极小值，故取值范围为1a >.8．点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是【答案】[]1,0-【解析】先求与直线y 2x =- 平行的曲线的切线，设切点为()2,ln a a a - ，则由11221,01y x a a a x a=-⇒-=>⇒=' ，所以切点为()1,1 ，因此点P 到直线y=x ﹣2的最小距离为=9．已知定义在()0,+∞上函数()f x 满足()()'0f x xf x +>，且()20f =，则不等式()0xf x >的解集为________. 【答案】()2,+∞10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有三个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的值是______．【答案】±13；【解析】由圆的方程224x y +=，可得圆心坐标为00（，），圆半径2r =，∵圆心到直线1250x y c -+=的距离1d =，∴113c d ===，即13c =，解得13c =±，故答案为±13.点睛：此题考查了直线与圆的位置关系，要求学生会根据圆的标准方程找出圆心坐标和半径，灵活运用点到直线的距离公式解决问题；由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r ，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d ，根据题意1d =列出关于c 的方程，求出方程的解即可得到c 的值. 11．函数，对任意的，总有，则实数的取值为_____________.【答案】312．已知A (-1,0),B (2,0),直线l:x +2y +a =0上存在点M ,使得MA 2+2MB 2=10,则实数a 的取值范围为_________【答案】11⎡--+⎢⎣⎦【解析】设(),M x y ,由22210MA MB +=得()()222212210x y x y ⎡⎤+++-+=⎣⎦整理得223631x x y -+= ,由题意可得直线l:x +2y +a =0与223631x x y -+=有交点,联立得()()()22221524634024660340x a x a a a --+-=∴∆=---≥ 整理得236170a a +-≤ 解得13--≤a 13≤-+故答案为1133⎡---+⎢⎣⎦点睛：本题考查了直接法求M 轨迹，又点M 在直线l 上，所以问题转化为直线与求得的M 轨迹方程有交点，即0∆≥ 解不等式即得解，计算量大些，要注意准确性.13．若不等式()22212ln 0tx t x x ⎡⎤--+≤⎣⎦对任意()0,x ∈+∞恒成立，则实数t 的值______.【答案】1-【解析】当(]0,1x ∈ 时()22ln 02120x tx t x ≤⇒--+≥，记()()22212g x tx t x =--+⇒()()200{1013104g g t t g t ≥≥⇒-≤≤⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭；当()1,x ∈+∞ 时()22ln 02120x tx t x >⇒--+≤⇒()210{1104g t t g t ≤⇒≤-⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭或3t ≥，综上1t =- . 14．椭圆2222:1x y C a b+=左、右焦点分别为12,F F 若椭圆C 上存在点P ,使得122(PF e PF e =为椭圆的离心率,则椭圆C 的离心率的取值范围为_________.【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【解析】由题意得12122{2PF PF a PF e PF +==，解得2221aPF e =+， ∵2a c PF a c -≤≤+，即221aa c a c e -≤≤++， ∴21121e e e -≤≤++，整理得22210{2310e e e e -+≥+-≥，解得e ≥或e ≤，又01e <<，1e ≤<。

2019—2020年最新苏教版高二数学上学期期末模拟检测试题及答案解析.docx

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二第一学期期末高二数学测试四一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．椭圆221123x y +=的焦距是 .2．以圆x 2 + y 2 = 4上点(1，3)为切点的圆切线方程是 .3.若方程132222=-+-k y k x 表示的图形是双曲线，则k 的取值范围为． 4．已知椭圆192522=+y x 上一点M 到左焦点1F 的距离是2，则M 到右准线的距离为 5．曲线33+-=x x y 在点)3,1(P 处的切线方程为． 6.函数x xe x f =)(的单调增区间为．7．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径之比为1：2，母线长为6cm ，则圆锥的母线长为 cm ． 8．函数x x x f sin 21)(-=在区间[0，π]上的最小值为． 9．已知函数x x mx x f 2ln )(2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为 10. 已知定义域为R 的函数()f x 满足(1)3f =，且()f x 的导数()21f x x '<+，则不等式2(2)421f x x x <++的解集为 .11.圆2221:4440C x y ax a +++-=和圆2222:210C x y b yb +-+-=相内切，若,a b R ∈，且0ab ≠，则2211a b+的最小值为 _ ________ ． 12.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，ABCDD 1A 1B 1C 1M则下列结论正确的是（填序号） ①线段A 1M 与B 1C 所在直线为异面直线； ②对角线BD 1⊥平面AB 1C ； ③平面AMC ⊥平面AB 1C ； ④直线A 1M//平面AB 1C.13.在直角坐标系中，已知()()1,0,1,0A B -，点M 满足2MAMB=，则直线AM 的斜率的取值范围为．14．如图：设椭圆()012222>>=+b a b y a x 的左，右两个焦点分别为21,F F ，短轴的上端点为B ，短轴上的两个三等分点为Q P ,，且Q PF F 21为正方形，若过点B 作此正方形的外接圆的切线在x 轴上的一个截距为423-，则此椭圆方程的方程为．二．解答题（本大题共6小题，共计90分）15．如图，在四面体ABCD 中，CD CB =，BD AD ⊥，点E ，F 分别是AB ，BD 的中点．(1) EF ∥平面ACD(2)求证：平面EFC ⊥平面BCD ；(3)若平面ABD ⊥平面BCD ，且1===BC BD AD ，求三棱锥ADC B -的体积．16．设函数3()65,f x x x x R =-+∈（1）若关于x 的方程()f x a =有三个不同实根，求实数a 的取值范围；（2）已知当(1,)x ∈+∞时，()(1)f x k x ≥-恒成立，求实数k 的取值范围。

高三数学上学期期末复习备考之精准复习模拟题B卷苏教版

2017-2018学年高三数学上学期期末复习备考之精准复习模拟题（B卷）苏教
版
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
一、填空题
1．已知实数，，且满足，则的最小值为______
【答案】
2．已知函数（其中且的值域为R，则实数的取值范围为_______ 【答案】
【解析】由题意，分段函数的值域为其在上是单调函数，由此可知根据图象可知：
，解得
综上，可得
即答案为
3．若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值为________
【答案】
【解析】不等式组所表示的平面区域为三角形．由
故点，点
又因为平面区域被直线分为面积相等的两部分，且过定点由此可得点与点到直线的距离相等，即解得或（舍）
即答案为
4．设函数，则满足的的取值范围为_____________．
【答案】或
【解析】绘制函数图象如图所示，结合函数图象可得，函数在R上单调递增，
很明显的值域为R，设，则，
当时：，解得：，此时，
当时，恒成立，
结合函数图象，有：，
有：.
据此可得：的取值范围为或.。

优秀的苏教版高二数学期末考试模拟试题

开始n p <是输入p结束输出S 否12n S S =+1n n =+0,0n S ==优秀的苏教版高二期末考试模拟试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为01到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，现将50袋奶粉按编号顺序平均分成5组，用每组选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号，若第4组抽出的号码为36，则第1组中用抽签的方法确定的号码是2.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_ __根在棉花纤维的长度小于20mm 。

3. 某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为4. 执行右边的程序框图，若4p =，则输出的S = ．5.输入x ＝5，运行下面的程序之后得到y 等于_____。

Read xIf x<0 theny=(x+1)*(x+1) Elsey=(x-1)*(x-1)End ifPrint y End6.若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2的系数为_____．7. 若一组样本数据9,8，x,10,11的平均数为10，则该组样本数据的方差为______8.端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为______9.学校准备从5位报名同学中挑选3人，分别担任2014年江苏省运动会田径、游泳和球类3个不同比赛项目的志愿者．已知其中同学甲不能担任游泳比赛的志愿者，则不同的安排方法共有种．（结果用数字表示）10.一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为23，则此人得分的数学期望为________；方差为________．11.6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种.12.如图，第一个多边形是由正三角形“扩展”而来，第二个多边形是由正四边形“扩展”而来，…，如此类推，设由正n 边形“扩展“而来的多边形的边数记为a n ．则3420111a a a = ．13.设实数x ，y满足22163x y ，则x +y 的最小值是．14.一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有种不同的坐法二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 2－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1202，求矩阵AB .。

江苏省南京市高二数学上学期期终考试模拟卷B1

南京市第十二中学高二数学第一学期期终练习B 卷姓名成绩一、填空题：1．命题“∃x ∈R，x 2+ax +1<0” 的否定是 . 2．抛物线24y x =-的准线方程为 .3．“1>a 且1>b ”是“1>ab ”成立的条件．（填充分不必要，必要不充分，充要条件或既不充分也不必要）4．命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是_________________________.5．直线错误！未找到引用源。

与圆错误！未找到引用源。

相切，则实数错误！未找到引用源。

的值为 .6．已知条件错误！未找到引用源。

：2|1|>+x ，条件错误！未找到引用源。

：a x >，且错误！未找到引用源。

是q ⌝的充分不必要条件，则错误！未找到引用源。

的取值范围可以是 .7．已知双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PFF ∆的面积等于 . 8．已知实数x , y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≥+-03002y x y x ，则目标函数y x z -=2的范围 .9．函数)2ln()(2x x x f -=的单调递增区间是 .10．设椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率为 .11．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：22(1)4x y -+=上的任意一点，点Q (2a ，3a -) (a ∈R )，则线段PQ 长度的最小值为 .12．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且位于x 轴上方．若点P 到坐标原点O的距离为则过F 、O 、P 三点的圆的方程是 .13．已知函数210()0x x f x a x ⎧+>⎪=≤ 在点（1,2）处的切线与()f x 的图像有三个公共点，则a 的取值范围是 .14．已知函数()f x 的定义域为R, (2)3f =,且()f x 在R 上的导函数满足'()10f x -<，则不等式22()1f x x <+的解集为 . 二、解答题：15．已知:(2)()0,p x x m -+≤2:(1)0.q x m x m +--≤ （1）若3m =，命题“p 且q ”为真，，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16．如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M . (1)求证CD ⊥平面BDM ；(2)求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的余弦值．17．已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率23=e ，并且经过定点)213(，P.（1）求椭圆E 的方程；（2）设,A B 为椭圆E 的左右顶点，P 为直线4=x l ：上的一动点(点P 不在x 轴上），连AP交椭圆于C 点，连PB 并延长交椭圆于D 点，试问是否存在λ，使得BCD ACD S S ∆∆=λ成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.18．已知椭圆E 的长轴的一个端点是抛物线2y =的焦点，离心率是3（1）求椭圆E 的方程；（2）过点C （—1，0），斜率为k 的动直线与椭圆E 相交于A 、B 两点，请问x 轴上是否存在点M ，使⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

2017_2018学年高三数学上学期期末复习备考之精准复习模拟题B卷苏教版

2017-2018学年高三数学上学期期末复习备考之精准复习模拟题（B 卷）苏教版考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx一、填空题1．已知实数,x y ，0,0x y >>，且满足24xy x y ++=，则2x y +的最小值为______【答案】42．已知函数()12log ,2{23,2x x x f x a a x ≥=-<（其中0a >且1)a ≠的值域为R ，则实数a 的取值范围为_______ 【答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】由题意，分段函数的值域为R ，其在R 上是单调函数，由此可知01a ＜＜，根据图象可知：212log 223a a ≤- ，解得12a ≥综上，可得112a ≤< 即答案为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．若不等式组0{24 24x x y x y ≥+≤+≥所表示的平面区域被直线4y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值为________ 【答案】72-【解析】不等式组0{24 24x x y x y ≥+≤+≥所表示的平面区域为三角形ABC ．由4243{{ 2443x x y x y y +⇒+＝＝．＝＝故点，点()0,2A又因为平面区域被直线4y kx =+分为面积相等的两部分，且4y kx =+过定点()0,4由此可得点A 与点C 到直线4y kx =+= 解得72k =- 或12k =（舍）即答案为72- 4．设函数()241,1{3,1x x f x x x -<=≥，则满足()()()()23f f a f a =的a 的取值范围为_____________．【答案】13a =或12a ≥ 【解析】绘制函数图象如图所示，结合函数图象可得，函数在R 上单调递增，很明显()f x 的值域为R ，设()()t f a t R =∈，则()23f t t =，当1t <时：2413t t -=，解得：1211,3t t ==，此时13t =，当1t ≥时，2233t t =恒成立，结合函数图象，()13f x =有：1141,33x x -=∴=， ()1f x =有：14112x x -=∴=. 据此可得：a 的取值范围为13a =或12a ≥.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．5．扇形AOB 中，弦2AB C =，为劣弧AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则·OP BP 的最小值是_____________________．【答案】14-点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．6．ABC ∆，“)sin sin cos C A A B =+”是“角,,A B C 成等差数列”成立的____________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）．。

苏教版高二数学第一学期期末复习模拟7附答案

7 8 994 4 6 4 73高二数学第一学期期末模拟七一填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．下图是某地少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为_______________。

2．若双曲线1922=-m y x 的渐近线方程为x y 35±=，则双曲线的焦点F 到渐近线的距离为。

3．“18a =”是“命题:p ),0(+∞∈∀x ，21ax x+≥为真命题”的______________条件。

4．算法的流程图如图，则输出S 为________。

5．函数xxy ln =的单调递减区间是_______________。

6. 已知命题“p : x x ),0,(-∞∈∃是函数ax e x f x +=)(的极值点”是真命题，则实数a 的取值范围是____________。

7. 若函数3)2(3123++++=x b bx x y 有三个单调区间，则b 的取值范围是。

8. 用三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则三个矩形颜色都不相同的概率为______。

9. 关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用yy对x 呈线性相关关系，则线性回归方程为65y x =+________。

10.直线b x y +=2是曲线x x y ln =的一条切线，则实数b ＝ __________11. 从一条生产线上每隔30分钟取一件产品，共取了n 件，测得其尺寸后，画出其频率分布直方图如下，若尺寸在[15,45]内的频数为46，则尺寸在[20,25]的产品个数为。

12．已知32()26f x x x a =-+(a 为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么函数)(x f 在[－2，2]上的最小值为_______。

13．设曲线),0(:≥=x x y C 直线0=y 及直线t x =)0(>t 围成的封闭图形的面积为)(t S ，则=)2('S _________。

江苏省启东中学2022高二数学上学期期末考试模拟试卷模拟押题苏教版

4 2O第11题图=f江苏省启东中学2022-2022第一学期期末模拟考试高二数学试卷注意事项：1、本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题），解答题（第15～第２０题）两部分。

本试卷满分160分，考试时间120分钟；2、请将试题的答案写在答题纸的规定位置，写在其它区域无效，考试结束后，交回答题纸。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）请将答案填在答卷相应的横线上。

1、复数i i z )1(+=的实部是 ☆ ；—12、写出命题：“R x ∈∃，使022≥++a x x ”的否定为 ☆ ；R x ∈∀，使022<++a x x3、抛物线y x 82=的焦点坐标为 ☆ ； 4、函数f ＝3－152－33＋6的单调减区间为________5、函数x x x f sin )(3+=的导函数是 ☆ ；x x x f cos 3)(2+='6、已知|34|2z i ++≤，则的最大值为___________77、已知一圆与轴相切，圆心在直线：－3 = 0上，且被直线＝截得的弦AB 长为2错误!，则圆的方程为8、已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN MP MN NP ⋅+⋅ ＝0，则动点P （，）的轨迹方程为9、已知a b c ，，均为实数，240b ac -<是20ax bx c ++>的条件（填“充分不必要”、 “必要不充分” 、 “充要” 、“既不充分也不必要”中的一个）。

既不充分也不必要 10、如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线是，则(2)(2)f f '+= ☆ ．错误!11．如图，把椭圆191622=+y x 的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=12、已知△ABC 中，BC=2, AB=AC,则三角形面积的最大值为13、已知双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的左、右焦点分别为，，是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率是 ☆ ．14、已知函数x x mx x f 2ln )(2-+=在定义域内是增函数，则实数的取值范围 ☆ ；),21[+∞二、解答题（本大题6小题，共90分。

高二数学上学期期末复习备考之精准复习模拟题(B卷)苏教版

2017--2018高二年级第一学期期末考试数学模拟试卷2一、填空题 1．命题“”的否定是____________．【答案】【解析】根据全称命题的否定为特称命题可得：“”的否定是，故答案为.2．设曲线在点(3,2)处的切线与直线垂直,则______.【答案】-2考点：导数的运用.3．已知函数()421f x a x a =-+.若命题：“()00,1x ∃∈，使()00f x =”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．【答案】12a >【解析】试题分析：由题意()()()()01214210f f a a a =-+-+<，解得12a >．考点：含有存在题词的命题的真假．函数的零点．4．若不等式x 2﹣2x+3﹣a ＜0成立的一个充分条件是0＜x ＜5，则实数a 的取值范围是_____．【答案】【解析】∵不等式成立的一个充分条件是，∴当时，不等式不等式成立，设则满足，即解得故答案为．5．已知点A (－3，－4)，B (6， 3)到直线l :ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 等于______．【答案】或【解析】∵两点，到直线的距离相等，∴，化为．∴，解得或，故答案为或.6．已知函数()3213f x ax x x =-+在区间()0,2上是单调增函数，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】1a ≥点睛：应用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f ′(x )>0（或f ′(x )<0）仅是f (x )在某个区间上递增（或递减）的充分条件。

在区间（a ,b ）内可导的函数f (x )在（a ,b ）上递增（或递减）的充要条件应是f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，且f′(x)在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0。

这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x0处有f′(x0)=0.7．抛物线212y x=-的准线与双曲线22162x y-=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．【答案】33【解析】试题分析：抛物线的准线方程为3x=，双曲线的渐近线方程为3y x=±，所以所要求的三角形的面积为1323332⨯⨯=；考点：1．抛物线的几何性质；2．双曲线的几何性质；8．已知函数()f x是定义在R上的奇函数，且当(),0x∈-∞时，()()0f x xf x'-<若()()221ln3log52,,1log53ln2ff fm n k⎛⎫⎪⎝⎭===，则,,m n k的大小关系为___________.（用“<”连接）【答案】n m k<<9．下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设，若，则或”是一个假命题；③“”是“”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中不正确的命题是．（写出所有不正确命题的序号）【答案】①②【解析】试题分析：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真；②命题“设，，若，则或”是一个真命题；③的解集是，故“”是“”的充分不必要条件；正确；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．正确考点：命题真假的判断 10．已知函数()0x xf x e=，设()1n f x +为()n f x 的导函数， ()()()()'10'211,2,,x x xf x f x e x f x f x e-⎡⎤==⎣⎦-⎡⎤==⎣⎦L根据以上结果，推断()2017f x =_____________. 【答案】2017xx- 【解析】()()()()()()'13221231x xn n x xxe x e x n xf x f x f x e ee -⨯----⎡⎤===⇒=-⎣⎦ ()()20171201720171x x f x e --⇒=-2017xx e -=. 11．已知函数()1(1)x f x a a =->的图象为曲线C,O 为坐标原点，若点P 为曲线C 上的任意一点，曲线C 上存在点Q,使得OP OQ ⊥，则实数a 的取值集合为__________. 【答案】{}e【解析】不妨设()()1122111122122211,,,(0){{11x x x x y a y a P x y Q x y x x y a y a =-=-<<⇒⇒=-=- ()(12121212+=+11x x x x y y x x a a ⇒--()()()()12121212=-11=0111x x x x x x x x a a a a --⇒=--，设()()'1x xg x g x a =⇒=- ()21ln 1x x x a xa a a ---，记()()()()21ln 'ln 0'0xxxh x a xa a h x xa a g x g x =--⇒=-<⇒<⇒ 是减函数，由()()121g x a e g x =⇒= ，故所求集合为{}e 12．函数()log 31(0,1)a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为______. 【答案】4【解析】()2,122A m n --∴+=Q12122141444222m n n m m n m n m n ⎡+⎛⎫⎡⎤∴+=+=++≥+=⎢ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣ 当且仅当2n m = 时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.13．已知F 1,F 2是椭圆2214x y +=和双曲线C 2的公共焦点,A 为C 1,C 2的一个公共点,且A,则C 2的离心率为_________14．已知椭圆22:143x y C +=的右顶点为A , 点()2,4M ,过椭圆C 上任意一点P 作直线MA 的垂线,垂足为H ,则2PM PH +的最小值为_________.【答案】172【解析】在椭圆中， 2,1a c ==，所以椭圆的右焦点坐标为()2,0F ，右准线方程为4x =。

高二数学上学期期末复习备考之精准复习模拟题理(B卷,第02期)

2017-2018学年高二数学上学期期末复习备考之精准复习模拟题理（B卷，第02期）第I 卷（选择题）一、选择题（每小题5分，共60分）1．“14k <<”是“方程22141x y k k +=--表示椭圆”的什么条件（） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若方程22141x y k k +=--表示椭圆，则()()410{ 41k k k k -->-≠-，解得：551k 422k <<<<，或∴“14k <<”是“方程22141x y k k +=--表示椭圆”的必要不充分条件故选：C.点睛：本题考查所给方程表示椭圆的充要条件，同时考查了椭圆的标准方程，是一道易错题，即当分母相等时，一般表示的是圆，而圆并不是椭圆的特殊形式，要把这种情况去掉. 2．若直线()1:110l ax a y -++=与直线2:210l x ay --=垂直，则实数a = A. 3 B. 0 C. 3- D. 03-或【答案】D3．已知命题“R x ∃∈，使()212102x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A. (),1-∞- B. ()1,3- C. ()3,-+∞ D. ()3,1- 【答案】B【解析】原命题是假命题，所以其否定“R x ∀∈， ()212102x a x +-+>”是真命题()2114202a ∴--⨯⨯<，解得13a -<< ，故选B 4．若点()24A ，与点B 关于直线:30l x y -+=对称，则点B 的坐标为（） A. （5,1） B. （1,5） C. （-7，-5） D. （-5，-7）【答案】B【解析】设B(m,n),由题意可得243022{ ,412m n n m ++-+=-=-- 解得1{5m n == .故选B. 5．设α、β是两个不同的平面， m 、n 是两条不同直线，则下列结论中错误．．的是 A. 若m α⊥， //n α，则m n ⊥ B. 若//m n ，则 m 、n 与α所成的角相等 C. 若//αβ， m α⊂，则//m βD. 若m n ⊥， m α⊥， //n β，则αβ⊥ 【答案】D6．【2018届湖北省稳派教育高三上学期第二次联考】已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.8163π+ B. 1683π+ C. 126π+ D. 443π+ 【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体为右侧的一个半圆锥和左侧的一个三棱锥拼接而成。

高二数学期末考试模拟试题课标上学期江苏省各地区期末考试汇总[整理四]

卜人入州八九几市潮王学校2021年上学期西亭高级高二数学期末考试模拟试题一、选择题〔一共12小题，每一小题5分，一共60分〕 1、直线l 的倾斜角为α，且3sin 5α=，那么直线l 的斜率是 A.43- B.34C.43或者43- D.34或者34- 2、直线1:,03:21+-=+y kx l y x l =0假设l 1与l 2夹角为600，那么k 值A.3或者0B.3-或者0 C.3D.3-3、假设方程14922=-+-my m x 表示双曲线,那么m 的取值范围是A.m<4B.m>9C.4<m<9D.m<4或者m>94、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CC 1的中点，那么AE 、BF 所成的角的余弦值是A.15-B.15255、假设直线2=-y x 被圆4)(22=+-y a x 所截得的弦长为22,那么a 为A.33 C.–2或者6D.0或者46、点P 〔x ，y 〕在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域内，那么z ＝x －y 的取值范围是A.[－2，－1]B.[－2，1]C.[－1，2]D.[1，2]7、从椭圆短轴的一个端点看长轴两个端点的视角为︒120,那么此椭圆的离心率为 A.22B.33C.21D.368、平面上动点P 到定点F 〔1，0〕的间隔比P 到y 轴的间隔大1，那么动点P 的轨迹方程为A.22y x = B.24y x = C.22y x =或者0(0)y x =≤ D.24y x =或者0(0)y x =≤9、假设直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l βγ=⋂，//l α，,m m αγ⊂⊥，那么必有A.,l m αγ⊥⊥ B.,//m αγβ⊥ C.//,m l m β⊥ D.//,αβαβ⊥10、假设椭圆1258122=+y x 上一点M 到此椭圆一个焦点1F 的间隔为2,N 是1MF 的中点,O 是坐标原点,那么ON 的长为A.2B.4C.8D.2311、抛物线y x=2上的点到直线y=2x+b 的最短间隔为5,那么b 的值是A.–6B.4C.8D.4或者612、1B 2、B 是椭圆短轴的两端点，过左焦点1F 作长轴的垂线，交椭圆于P ，假设12F B 是|O 1F |和12B B 的比例中项〔O 为椭圆中心〕，那么12PF OB 的值是二、填空题〔一共6小题，每一小题4分，总分值是24分〕 13、在正方体ABCD -1111A B C D 中，1BC 与平面11BDD B 所成角的大小为.14、椭圆5522=+ky x的一个焦点为〔0，2〕，那么k=_____15、设双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右准线与两条渐近线交于A 、B 两点，右焦点为,F 且,FA FB ⊥那么双曲线的离心率为.16、正方体ABCD -1111A B C D 的棱长为1，E 、F 分别是1111B C C D 、的中点，那么点C 到截面BEFD 的间隔是.17、以抛物线y 2=4x 的焦点为圆心，且被抛物线的准线截得的弦长为2的圆的方程是．18、AB 是抛物线y =x 2的一条弦，假设AB 的中点到x 轴的间隔为1，那么弦AB 的长度的最大值为．三、解答题〔一共5小题，总分值是66分〕19、如图，直线2y x =-与抛物线22y x =相交于点A 、B,求证：OA OB ⊥20、在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中E 、F 分别是AB 、BC存在点M ，使D 1M ⊥平面B 1EF21、设双曲线13222=-x a y 的焦点分别为1F 、2F ，离心率为2.〔1〕求此双曲线的渐近线`1l 、2l 的方程；〔2〕假设A 、B 分别为`1l 、2l 上的动点，且2|AB |=5|1F 明轨迹是什么曲线.22、在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，E 为DC 的中点，沿AE 将△AED 折起，使二面角D －AE －B 为060．〔1〕求DE 与平面AC 所成角的大小；〔2〕求二面角D －EC －B 的大小．23、椭圆C ：22a x ＋22by ＝1〔a ＞b ＞0〕的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e.直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公一共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λAB .〔1〕证明：λ＝1－e 2；〔2〕确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.参考答案一、选择题A BE ADBCE ABC EDDACBDCDDACAB 二、填空题300，1，23，(x-1)2+y2=5,52三、解答题19．由x1x2+y1y2=0可得。

2023-2024学年江苏省南通市高二上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年江苏省南通市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．已知()1,1A -，()3,1B ，()1,3C ，则△ABC 的BC 边上的高所在的直线的方程为（）A ．20x y ++=B ．0x y +=C ．20x y -+=D ．0x y -=【正确答案】C【分析】根据垂直关系求出高线的斜率，利用点斜式方程求出．【详解】边BC 所在直线的斜率13131BC k -==--，∴BC 边上的高线斜率1k =．又∵BC 边上的高线经过点A （﹣1，1），∴BC 边上的高线方程为11y x -=+，即20x y -+=．故选：C ．2．当点P 在圆221x y +=上运动时，连接它与定点()3,0Q ，线段PQ 的中点M 的轨迹方程是（）A ．()2231x y ++=B ．()2231x y -+=C ．()222341x y -+=D ．()222341x y ++=【正确答案】C【分析】设出,M P 的坐标，根据中点坐标关系用M 的坐标表示出P 的坐标，结合P 在圆上得到M 的坐标所满足的关系式，即为M 的轨迹方程.【详解】设()()00,,,M x y P x y ，因为PQ 的中点为M ，所以003202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以00232x x y y =-⎧⎨=⎩，又因为P 在圆221x y +=上，所以()222341x y -+=，所以M 的轨迹方程即为()222341x y -+=，故选：C.3．设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为直线32x a =上一点，21F PF 是底角为30︒的等腰三角形，则椭圆C 的离心率为（）A B ．12C D ．34【正确答案】D【分析】由21F PF 是底角为30︒的等腰三角形，把212PF F F =用,a c 表示出来后可求得离心率．【详解】解：由题意可得212PF F F =，2(,0)F c ，如图，121230PF F F PF ∠=∠=︒，则260PF E ∠=︒，230F PE ∠=︒，所以223222PF EF c ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以3222a c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴34a c =，∴34e =．故选：D ．4．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线过点)2，且双曲线的一个焦点在抛物线2x =的准线上，则双曲线的方程为()A ．2212128x y -=B ．2212821x y -=C ．22143y x -=D ．22134x y -=【正确答案】C【分析】由题意可得渐近线的斜率，即为a ，b 的关系式，再根据抛物线的准线方程解得c ，由a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到所求双曲线的方程．【详解】解：双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的一条渐近线过点)2，可得渐近线的斜率为a kb ==，双曲线的一个焦点在抛物线2x =的准线y =上，可得c =即227a b +=，解得2a =，b =则双曲线的方程为：22143y x -=．故选C ．本题考查双曲线的方程和性质，以及抛物线的方程和性质，运用渐近线方程和斜率公式是解题的关键，属于基础题．5．在数列{}n a 中，120a =，13n n a a -=-2n ≥*N n ∈，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时，n 的值是（）A ．7B ．8C ．9D ．10【正确答案】A【分析】由已知得13n n a a --=-，根据等差数列的定义得数列{}n a 是以20为首项，以-3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式求得n a ，令0n a ≥，求解即可.【详解】解：由13n n a a -=-得13n n a a --=-，又因为120a =，所以数列{}n a 是以20为首项，以-3为公差的等差数列，所以()20313+23n a n n =--=-，令3+230n a n =-≥，解得：233n ≤，又*N n ∈，所以数列{}n a 的前n 项和取最大值时，n 的值是7，故选：A.6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，公比1q >，3520a a +=，2664a a =，则6S =（）A ．31B ．36C ．48D ．63【正确答案】D【分析】根据等比中项的性质可得263564a a a a ==，解方程即可得数列中的项，进而可得首项与公比，求得6S .【详解】由等比中项的性质得263564a a a a ==，又3520a a +=，解得35=4=16a a ⎧⎨⎩或35=16=4a a ⎧⎨⎩，当35=4=16a a ⎧⎨⎩时，=2q 或2q =-（舍），当35=16=4a a ⎧⎨⎩时，12q =±（舍），所以35=4=16a a ⎧⎨⎩，=2q ，此时1=1a ，所以()()6616111263112a q S q-⨯-===--，故选：D.7．若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,∞+D ．[)1,+∞【正确答案】D 【详解】试题分析：，∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，∴在区间()1,+∞上恒成立．∴，而在区间()1,+∞上单调递减，∴．∴的取值范围是[)1,+∞．故选D ．利用导数研究函数的单调性.8．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别是,n n S T ，若237nnSnTn =+，则33a b =（）A ．1B ．511C ．2217D ．38【正确答案】B【分析】根据等差数列的性质和求和公式变形求解即可【详解】因为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别是,n n S T ，所以1515351515355()105225()1571122a a a a a Sb b b b b T ++=====+++，故选：B二、多选题9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，M 为OA 的中点，P 为双曲线C 右支上一点且212PF F F ⊥，且123tan 4PF F ∠=，则()A ．C 的离心率为2B ．C的渐近线方程为0x =C ．PM 平分12F PF ∠D ．121344PA PF PF =+ 【正确答案】ACD【分析】在直角三角形12PF F 中，利用123tan 4PF F ∠=列出关于a 、b 、c 的齐次式求出离心率，从而判断A ；根据离心率求出渐近线方程，从而判断B ；根据1122PF F MPF F M、是否相等即可判断PM 是否平分12F PF ∠，从而判断C ；根据2F A 、12F F 的比例关系，利用平面向量的线性运算即可表示用12PF PF 、表示PA，从而判断D.【详解】由212PF F F ⊥可知22b PF a=，由22212123tan 224b PF b a PF F F Fc ac ∠====得，232ac b =，即()2232ac c a =-，即22320e e --=，即()()2120e e +-=，∴2e =，故A 正确；由2be a ===y =，故B 错误；由22cc a a=⇒=，b =﹒则22233b a PF a a a===，12125PF PF a PF a -=⇒=，∴125533PF a PF a ==；∵152222a a a F M c a =+=+=，232222a a aF M c a =-=-=，∴12552332aF M a F M ==，∴112253PF F M PF F M ==，∴根据角平分线的性质可知PM 平分12F PF ∠，故C 正确；22F A c a a a a =-=-=，1224F F c a ==，()222212121211134444PA PF F A PF F F PF PF PF PF PF =+=+=+-=+，故D 正确；故选：ACD．本题主要考查与双曲线的焦半径和焦点三角形有关的性质，考察构造关于a 、b 、c 的齐次式求离心率的方法，考察利用角平分线的性质，考察了向量的线性运算，解题时需数形结合，合理运用图形的几何关系.10．对于函数ln ()xf x x=，下列说法正确的有（）A ．()f x 在e x =处取得极大值1eB ．()f x 在e x =处取得最大值1eC ．()f x 有两个不同零点D ．()()2(π)3f f f <<【正确答案】ABD【分析】对函数求导，利用函数单调性求极值和最值即可判断A 、B ，令函数等于0，求出零点即可判断C ，利用函数单调性即可判断D.【详解】函数的导数21ln (),(0)xf x x x -'=>，令()0f x '=得e x =，则当0e x <<时，()0f x '>，函数()f x 为增函数，当e x >时，()0f x '<，函数()f x 为减函数，则当e x =时，函数取得极大值，极大值为1(e)ef =，故A 正确，由上述可知当e x =时，函数的极大值即为最大值，且最大值为1(e)ef =，故B 正确，由()0f x =，得ln 0x =，得1x =，即函数()f x 只有一个零点，故C 错误，由()()ln 2ln 42ln 2ln 22,42442f f ====，所以()()24f f =，由e x >时，函数()f x 为减函数，知()()()3(π)42f f f f >>=，故()()2(π)3f f f <<成立，故D 正确．故选：ABD ．11．已知1a ，2a ，3a ，4a 依次成等比数列，且公比q 不为1．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q 的值是（）A ．12B C ．12D ．【正确答案】AB【分析】因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，分类讨论，结合等差数列的性质及等比的通项公式，即可得到答案.【详解】公比q 不为1，∴删去的不是1a 与4a ，当删去的是2a 时：1a ，3a ，4a 成等差数列，3142a a a ∴=+，即231112a q a a q =+，则232(1)()0q q q -+-=，即2(1)(1)0q q q ---=，又1q ≠，解得q =q =)；当删去的是3a 时：1a ，2a ，4a 成等差数列，2142a a a ∴=+，即31112a q a a q =+，则3(1)()0q q q -+-=，即2(1)(1)0q q q -+-=，又1q ≠，解得q =q =)，综上，q =q =故选：AB ．12．下列不等式正确的是（）A ．当x R ∈时，1x e x ≥+B ．当0x >时，ln 1≤-x xC ．当x R ∈时，x e ex ≥D ．当x R ∈时，sin x x≥【正确答案】ABC构建函数，利用导数研究其单调性和最值，可得出每个选项中的不等式正不正确.【详解】对于A ：设()1x f x e x =--，则()1x f x e =-'，令()0f x '=，解得0x =，当(,0)x ∈-∞时函数单调递减，当(0,)x ∈+∞时，函数单调递增，所以函数在0x =时，函数取得最小值()(0)0min f x f ==，故当x R ∈时，1x e x + ，故A 正确；对于B ：设()ln 1f x x x =-+，所以1(1)()1'--=-=x f x x x，令()0f x '=，解得1x =，当(0,1)x ∈时，函数单调递增，当(1,)x ∈+∞时，函数单调递减，所以在1x =时，max ()f x f =（1）0=，故当0x >时，1lnx x -恒成立，故B 正确；对于C ：设()x f x e ex =-，所以()x f x e e '=-，令()0f x '=，解得1x =，当(,1)x ∈-∞时，函数单调递减，当(1,)x ∈+∞时，函数单调递增，所以当1x =时，min ()f x f =（1）0=，所以当x R ∈时，x e ex ，故C 正确；对于D ：设函数()sin f x x x =-，则()1cos 0f x x '=-，所以()f x 是定义在R 上单调递增的奇函数，所以0x >时，sin x x 成立，0x <时，()0f x <，故D 错误．故选：ABC三、填空题13．观察数列1，ln 2，sin 3，4，ln 5，sin 6，7，ln 8，sin9，…，则该数列的第11项等于_____【正确答案】ln11【分析】由数列得出规律，该数列各项里面的数字是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，依次出现常数，对数，正弦的形式，从而得解．【详解】由数列得出规律，该数列各项里面的数字是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，依次出现常数，对数，正弦的形式，由11332=⨯+，所以该数列的第11项为ln11．故ln11．14．若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______．【正确答案】9【详解】试题分析.1109M M x x +=⇒=抛物线的定义．【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般都会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y 轴的距离．15．已知圆C 过点(1,0)，，(3,0)-，则圆C 的方程为___．【正确答案】22230x y x ++-=【分析】设圆的一般方程，然后将点代入组成方程组解出即可.【详解】根据题意，设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=又由圆C 过点(1,0)，，(3,0)-，则有1030930D F F D F ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解可得2D =，0E =，3F =-，即圆的方程为：22230x y x ++-=，故答案为.22230x y x ++-=16．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数．()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x <成立的x 的取值范围为______．【正确答案】()()1,01,-⋃+∞【分析】构造函数()()f xg x x=，求解单调性与奇偶性，再结合(),g x x 的正负求解.【详解】令()()f x g x x =，当0x >时，()()()20xf x f x g x x'-'=<，所以函数()g x 在()0,∞+上为减函数，又因为()f x 为奇函数，()g x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，所以()()()()f x f x g x g x x x---===--，所以()g x 为偶函数，得()g x 在(),0∞-上为增函数，因为()10f -=，所以()()110g g =-=，作出()g x 的大致图象如图所示，当()0,0f x x <>时，()0g x <，得()1,x ∈+∞，当()0,0f x x <<时，()0g x >，得()1,0x ∈-所以x 的取值范围为()()1,01,-⋃+∞故()()1,01,-⋃+∞根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.四、解答题17．已知函数()sin f x x ax+b -＝(a ，b ∈R)的图象在点()()00f ，处的切线方程为y ＝1.(1)实数a 的值；(2)求函数()f x 在区间[0]1，上的最大值和最小值.【正确答案】(1)1；(2)最大值为b ，最小值为sin11b -+.【分析】（1）直接利用导数的几何意义求出a ；（2）先利用导数判断单调性，求出最值.【详解】（1）因为函数()sin f x x ax+b -＝，则()cos f x x a '-＝.所以()0cos01f a a '-=-＝.又函数()f x 的图象在点(0，f (0）处的切线方程为y ＝1，所以()010f a '=-=，解得.1a =（2）由（1）知，()sin f x x x+b -＝，()cos 1f x x '-＝.在]1[0x ∈，时，有()cos 10f x x '-≤＝，所以函数f (x )在区间[0]1，上单减，所以()()max 0f x f b ==，()()min sin111f b x f ==-+.18．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.【正确答案】（1）212n n a -=；（2）2n S n =.【分析】(1)本题首先可以根据数列{}n a 是等比数列将3a 转化为21a q ，2a 转化为1a q ，再然后将其带入32216a a =+中，并根据数列{}n a 是各项均为正数以及12a =即可通过运算得出结果；(2)本题可以通过数列{}n a 的通项公式以及对数的相关性质计算出数列{}n b 的通项公式，再通过数列{}n b 的通项公式得知数列{}n b 是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果．【详解】(1)因为数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，32216a a =+，12a =，所以令数列{}n a 的公比为q ，2231=2a a q q =，212a a q q ==，所以22416q q =+，解得2q =-(舍去)或4，所以数列{}n a 是首项为2、公比为4的等比数列，121242n n n a --=⨯=．(2)因为2log n n b a =，所以21n b n =-，+121n b n =+，12n n b b +-=，所以数列{}n b 是首项为1、公差为2的等差数列，21212n n S n n +-=´=．本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题．19．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点(4,0)P ．(1)设Q 是抛物线C 上的动点，求||PQ 的最小值；(2)过点P 的直线l 与抛物线C 交于M 、N 两点，若FMN 的面积为l 的方程．【正确答案】(1)(2)40x y ±-=【分析】（1）设(,)Q x y ，由两点间距离公式得PQ =，利用二次函数的性质可得结果；（2）设直线:4l x my =+，与抛物线方程联立，结合韦达定理与FMN 面积的表达式求解即可.【详解】（1）设(,)Q x y ，则PQ当2x =时，min ||PQ =．（2）设直线:4l x my =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，焦点(1,0)F ．联立244x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得24160y my --=，124y y m ∴+=，1216y y =-．121·2FMN S PF y y ∴=-=△===1m ∴=±，∴直线l 的方程为：40x y ±-=．20．已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上．(1)求双曲线的方程；(2)是否存在过点11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与双曲线相交于A ,B 两点，且满足P 是线段AB 的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)2212x y -=(2)不存在，理由见解析【分析】（1）代入点(2,1)A 的坐标，解方程可得a 的值，即可得双曲线方程；（2）假设存在，设过11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线方程为：1(1)2y k x =--，A ，B 两点的坐标为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，代入双曲线方程，再相减，运用平方差公式和中点坐标公式，及斜率公式，即可得到所求直线的斜率，进而得到直线方程，代入双曲线方程，检验判别式即可判断．【详解】（1）解：已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上所以221114a a -=-，整理得：42440a a -+=，解得：22a =，则a =所以双曲线方程为.2212x y -=（2）解：由题可知若直线存在则直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为：1(1)2y k x =--且设交点1122(,),(,)A x y B x y 则22112222=12=12x y x y --⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，两式相间得：()()()()121212122x x x x y y y y -+=-+由于11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为AB 中点，则12122,1x x y y +=+=-则12121y y k x x -==--即有直线l 的方程：1(1)2y x =---，即12y x =-+2221=+224+5=0=12y x x x x y -⇒--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩检验判别式为()24425240∆=--⨯⨯=-<，方程无实根．故不存在过点11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与该双曲线相交A ,B 两点，且满足P 是线段AB 的中点.21．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知59a =，525S =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记11n n n b a a +=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T 的取值范围．【正确答案】(1)()*21N n a n n =-∈(2)11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用等差数列通项公式及前n 项公式列出方程组解出等差数列的首项和公差即可；（2）先求出数列{}n b 的通项公式，然后利用裂项相减法求和，在根据数列的单调性求出n T 的取值范围.【详解】（1）等差数列{}n a 中，59a = ，525S =，∴1149545252a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得11a =，2d =，()*21N n a n n ∴=-∈．（2）11n n n b a a += ，()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭，111111123352121n T n n ⎛⎫∴=-+-+- ⎪-+⎝⎭ 11(1)22121n n n =-=++，由于11212n n n=++为递增数列，1n =时，取得最小值13，且1121221n n n=<++，则1132n T ≤<，故n T 的取值范围为.11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭22．已知函数()()()21ln 1R 2f x x ax a x a =+-+∈．(1)当2a =时，求函数()y f x =的极值；(2)求当0a >时，函数()y f x =在区间[1,e]上的最小值()Q a ；(3)若关于x 的方程21()2f x ax =有两个不同实根12,x x ，求实数a 的取值范围并证明：212e x x ⋅>．【正确答案】(1)极大值为5ln 24--，极小值为2-(2)2111e (1)e,02e 11()ln 1,12e 11,12a a a Q a a a a a a ⎧+-+<≤⎪⎪⎪=---<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩(3)111ea -<<-，证明见解析【分析】（1）求导，根据函数的单调性和极值的概念即可得到结果；（2）由函数()f x 的定义域是(0,)+∞，分为10,01a a ><≤，11e a <<和1e a ≥四种情况，进行分类讨论即可求出结果；（3）根据题意和函数的单调性，结合函数的图象可知，当111e a -<<-时，()212f x ax =有两个不同实根12,x x ，满足()11ln 1x a x =+，()22ln 1x a x =+，两式化简得到12122211ln ln x x x x x x x x +=-，不妨设12x x <，利用分析证明法和换元法即可证明结果．【详解】（1）当2a =时，函数2()ln 3(0)f x x x x x =+->．1(21)(1)()23x x f x x x x--'=+-=，令()0f x '=，得1x =或12x =当1(0,2x ∈时，()0f x '>，()f x 在1(0,2上单调递增，当1(,1)2x ∈时，()0f x '<，()f x 在1(,1)2上单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上单调递增，则()f x 在12x =处取得极大值，在1x =处取得极小值．极大值为15()ln 224f =--，极小值为(1)2f =-．（2）函数()f x 的定义域是[1,e]，1()(1)1()(1)(0)a x x a f x ax a a x x--'=+-+=>．当0a >时，令()0f x '=有两个解，1x =或1x a =．当10ea <≤，即1e a ≥时，()0f x '≤，()f x ∴在[1,e]上单调递减，()f x ∴在[1,e]上的最小值是(e)f 211e (1)e 2a a =+-+，当11ea <<，即11e a <<时，当1(1,)x a ∈时，()0f x '<，()f x ∴在1(1,a上单调递减，当1(,e)x a ∈时，()0f x '>，()f x ∴在1(,e)a上单调递增，()f x ∴在[1,e]上的最小值是11(ln 12f a a a=---，当1a ≥，即101a<≤时，[1,e]x ∈，()0f x '≥，()f x ∴在[1,e]上单调递增，()f x ∴在[1,e]上的最小值是(1)f 112a =--．综上，2111e (1)e,02e 11()ln 1,12e 11,12a a a Q a a a a a a ⎧+-+<≤⎪⎪⎪=---<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩．（3）关于x 的方程21()2f x ax =有两个不同实根12,x x ，即ln (1)0x a x -+=有两个不同实根12,x x ，得ln 1x a x+=，令ln ()(0)x g x x x =>，21ln ()x g x x -'=，令()0g x '=，得e x =，当(0,e)x ∈时，()0g x '>，()g x ∴在(0,e)上单调递增，当(e,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x ∴在(e,)+∞上单调递减，e x ∴=时，()g x 取得最大值1e，且(1)g 0=，当1x >时()0g x >，得()g x的大致图象如下：11(0,)ea ∴+∈．即当111ea -<<-时，21()2f x ax =有两个不同实根12,x x ．两根满足11ln (1)x a x =+，22ln (1)x a x =+，两式相加得：1212ln()(1)()x x a x x =++，两式相减得：2211ln (1)()x a x x x =+-，上述两式相除得12122211ln()ln x x x x x x x x +=-．不妨设12x x <，要证：212e x x ⋅>，只需证：12212211ln()ln 2x x x x x x x x +=>-，即证22211212112(1)2()ln 1x x x x x x x x x x -->=++，设211x t x =>，令2(1)4()ln ln 211t F t t t t t -=-=+-++，则22214(1)()0(1)(1)t F t t t t t '-=-=>++，∴函数()F t 在(1,)+∞上单调递增，且(1)F 0=．()0F t ∴>，即2(1)ln 1t t t ->+，212e x x >⋅∴．。

2022-2023学年江苏省苏州市高二年级上册学期期末模拟数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省苏州市高二上学期期末模拟数学试题一、单选题1．直线不经过（）2360x y +-=A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】作出直线的图象，可得出结论.2360x y +-=【详解】作出直线的图象如下图所示：2360x y +-=由图可知，直线不过第三象限.2360x y +-=故选：C.2．已知向量，若，则实数的值为（）()()1,2,3,2,,4a b x =-=-a b ⊥x A ．8B ．7C ．D ．147-【答案】B【分析】根据向量垂直，则向量数量积为0，得到，解出即可.()122340x -⨯++⨯-=【详解】已知向量，因为，()()1,2,3,2,,4a b x =-=-a b ⊥所以，解得．()122340x -⨯++⨯-=7x =故选：B ．3．如图，在四面体中，是的中点，设，，，则（）OABC G BC OA a = OB b = OC c = =AGA ．B ．C ．D ．1122a b c -- 1122a b c-++12a b c -++12a b c -- 【答案】B【分析】根据三角形法则先求得向量、，进而求得．ABAC AG 【详解】解：，AC OC OA c a =-=-，AB OB OA b a =-=-．()()111122222AG AC AB a b c a b c∴=+=-++=-++ 故选：B ．4．在数列中，，，则数列前5项和（）{}n a ()*122,N n n a a n n -=+≥∈11a =12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭5S =A ．B ．C ．D ．1698910112011【答案】C【分析】根据递推公式判断其为等差数列，表示出其通项公式，然后代入裂项相消可求12n n a a +5.S 【详解】为1为首项，2为公差的等差数列，{}112,1,n n n a a a a -=+=∴，()()()1221111221,21212121n n n a n n a a n n n n +∴=+-⨯=-∴==--+-+故511111101....33591111S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：C5．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线()222:104y x C a a -=>()2224x y -+=165的离心率为（）C A B C ．D 53【答案】C【分析】首先确定双曲线渐近线方程，结合圆的方程可确定两渐近线截圆所得弦长相等；利用垂径定理可构造方程求得的值，进而根据离心率可求得结果.a e =【详解】由双曲线方程得：渐近线方程为；2a y x =±由圆的方程知：圆心为，半径；()2,02r =与图象关于轴对称，圆的图象关于轴对称，2a y x =2a y x =-x x 两条渐近线截圆所得弦长相等，∴不妨取，即，则圆心到直线距离2a y x=20ax y -=d =弦长为，解得：，∴165==32a =双曲线离心率.∴53e ===故选：C.6．如果实数，满足，则的范围是（）x y ()2222x y -+=yx A ．B ．C ．D ．()1,1-[]1,1-()(),11,-∞-⋃+∞(][),11,-∞-⋃+∞【答案】B【分析】设，求的范围救等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的范围，结y k x =yx (),x y 合图象，易得取值范围.【详解】解：设，则表示经过原点的直线，为直线的斜率.yk x =y kx =k 如果实数，满足和，即直线同时经过原点和圆上的点.x y 22(2)2x y -+=y k x =y kx =(),x y其中圆心，半径()2,0C r =从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆相切，设此时切点为E则直线的斜率就是其倾斜角的正切值，易得，EOC ∠2OC =CE r ==可由勾股定理求得，于是可得到为的最大值；OE ==tan 1CE k EOC OE =∠==yx 同理，的最小值为－1.yx 则的范围是.yx []1,1-故选：B.7．已知等差数列满足，若，则{}()1,2,3,,,n a n k k *=∈N 1113,13n n n a a a a +≤≤=125k a a a +++= k 的最大值是（）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B【分析】设等差数列公差为，由题意可得，从而建立关于的不等式，求解{}n a d 22213d k -≥≥--k 不等式即可得答案.【详解】解：设等差数列公差为，由，且，{}n a d 1133n n na a a +≤≤11a =得，即，1[1(1)]13[1(1)],1,2,3,,13n d nd n d n k +-≤+≤+-=- (21)2,1,2,,1(23)2n d n k n d +≥-⎧=-⎨-≥-⎩ 当时，，1n =223d -≤≤当时，由，得，2,,1n k =- 222123n n -->+-221d n -≥+所以，22213d k -≥≥--所以，即，解得，(1)(1)252221k k k k k d k k ---=+≥+⋅-21050k k -+≤9k ≤所以k 的最大值是9.故选：B.8．已知椭圆）的焦点为，，是椭圆上一点，且，()222210x y a b a b +=>>1F 2F P 21212PF PF PF PF ⋅=⋅ 若的内切圆的半径满足，则（其中为椭圆的离心率）的最12F PF △r 1123sin P PF r F F =∠2217a eb +e C 小值为（）A B C D 【答案】B【分析】由已知即向量数量积定义可得，应用余弦定理求得，根据121cos 2F PF ∠=2124||||3PF PF b =等面积法可得r =注意等号成立条件.【详解】由题设，故，1211212222cos PF PF PF PF F PF PF PF ⋅=⋅∠=⋅ 121cos 2F PF ∠=又，则，12[0,π)F PF ∠∈12π3F PF ∠=由余弦定理知：222221212121212121212||||||(||||)2||||||cos 2||||2||||PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +-+--∠==，12122224()41=11||||||22||2PF PF P a c b F PF --=-=所以，而，2124||||3PF PF b =1221212|||12|sin F PF PF PF PF S F ∠== 因为的内切圆的半径，故，12F PF △r 1212121(||||||)()2F PF PF PF F F r S c r a ++=+=所以，则()a c r +2=r =由，即，1123sin P PF r F F =∠121121||2sin sin 3πsin 3PF rF PF F F FcPF =∠∠==且，=2743(73)(1)0e e e e +-=-+=01e <<所以，37e =时等号成立，2217a eb +===≥=3a =故选：B二、多选题9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，{}n a q n n S n nT11a >，，则下列选项正确的是（）202220231a a >⋅()()20222023110a a -⋅-<A ．为递减数列B ．{}n a 202220231S S +<C ．是数列中的最大项D ．2022T {}Tn 40451T >【答案】AC【分析】根据题意先判断出数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1.再对四个选{}n a 项一一验证：对于A ：利用公比的定义直接判断；对于B ：由及前n 项和的定义即可判断；对于C ：前20231a <项积为的定义即可判断；对于D ：先求出，由即可判断.n n T 4045T 40452023a =20231a <【详解】由可得：和异号，即或.()()20222023110a a -⋅-<20221a -20231a -202220231010a a ->⎧⎨-<⎩202220231010a a -<⎧⎨->⎩而，，可得和同号，且一个大于1，一个小于1.11a >202220231a a >⋅2022a 2023a 因为，所有，，即数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1.11a >20221a >20231a <{}n a 对于A ：公比，因为，所以为减函数，所以为递减数列.故A 正确；202320221a q a =<11a >11n n a a q -={}n a 对于B ：因为，所以，所以.故B 错误；20231a <2023202320221a S S =-<202220231S S +>对于C ：等比数列的前项积为，且数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小{}n a n nT{}n a 于1，所以是数列中的最大项.故C 正确；2022T {}Tn 对于D ：40451234045T a a a a = ()()()240441111a a q a q a q = 404512340441a q +++= 4045202240451a q ⨯=()404520221a q =40452023a =因为，所以，即.故D 错误.20231a <404520231a <40451T <故选：AC10．如图，平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此1111ABCD A B C D -A 6的夹角都是，下列说法中正确的是（）60A．1AC =B ．1AC BD⊥ C ．向量与的夹角是.1B C1AA60 D ．异面直线与.1BD AC 【答案】AB【分析】根据题意，引入基向量，分别用基向量表示，利用向量求长度1111,,,,,AC BD B C AA BD AC的计算公式，计算可得A 正确；利用向量证垂直的结论，计算可得B 正确；利用向量求夹角公式，计算可得CD 错误.【详解】设，因为各条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，1,,AB a AD b AA c=== 660所以，66cos 6018a b b c c a ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=因为，所以，1AC ca b =++A 正确；1AC === 由，所以，BD b a =- ()()221=+=3636+18180AC BD a b c b a b a c b c a ⋅=++⋅--⋅-⋅--= 所以，故B 正确；1AC BD⊥因为，且，所以1B C b c=-16B C = ，所以其夹角为，故C 错误；()21118361cos ,662b c c b c c B C AA b c c b c c-⋅⋅--====-⨯-⋅-⋅120因为，1,BD c a b AC a b=-+=+ 1BD ===AC == ，()()2213636181836BD AC c a b a b b a c a c b ⋅=-+⋅+=-+⋅+⋅=-++=所以，故D 错误.()()1cos ,c a b a b BD AC c a b a b-+⋅+===-+⋅+故选：AB.11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（）22 C: 22x y xy+=+A ．曲线C 围成的图形有4条对称轴B ．曲线C 围成的图形的周长是C ．曲线C 上的任意两点间的距离不超过5D ．若是曲线C 上任意一点，的最小值是(),T a b 4318a b +-11-【答案】ABD【分析】去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而可作出曲线的图像，由图像即可判断ABCD.【详解】，2222x y x y+=+当时，，即，0,0x y ≥≥2222x y x y +=+22(1)(1)2x y -+-=表示圆心为，半径(1,1)r =当时，，即，0,0x y ≥<2222x y x y +=-22(1)(1)2x y -++=表示圆心为，半径(1,1)-r =当时，，即，0,0x y <≥2222x y x y +=-+22(1)(1)2x y ++-=表示圆心为，半径(1,1)-r =当时，，即，0,0x y <<2222x y x y +=--22(1)(1)2xy +++=表示圆心为，半径.(1,1)--r =曲线的图像如下图所示：22C:22x y x y+=+对于A ，易知曲线图像有4条对称轴，A 正确；对于B ，曲线图形由4个半圆组成，故其周长为，B 正确；22r ⨯π⨯=对于C ，由图可知，曲线C 上的任意两点间的最大距离为C 错误；4r =对于D ，圆心到直线的距离为，(1,1)43180x y +-=1115d到直线的距离(),T a b 43180x y +-=2d若使最小，则有2d 21115d d r =-=所以，得，D 正确.54318a b +-115=413118a b =-+-故选：ABD.12．已知数列满足且，数列满足（），下列说法正确的{}n a 11a =11(1n n a a n +=+{}n b n n n b a t =*n ∈N 有（）A ．数列为等比数列B ．当时，数列的前项和为{}n b 2t ={}n b n ()1122n n +-+C ．当且为整数时，数列的最大项有两项D ．当时，数列为递减数(0,1)t ∈1tt -{}n b 1(0,)2t ∈{}n b 列【答案】BCD【分析】A 选项，变形为，得到为常数列，故，，根111n n a a n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11n na a n n +=+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a n =nn b nt =据定义求出不是等比数列，A 错误；{}n b B 选项，错位相减法求和，B 正确；C 选项，作差法得到随着的变大，先增后减，根据为整数，得到且最大，即数列n {}n b 1tt -1n n b b +=的最大项有两项，C 正确；{}n b D 选项，作差法结合得到，故D 正确.1(0,)2t ∈()1101n n n n b b n t t n +⎛⎫-=+-< ⎪+⎝⎭【详解】变形为，又，故数列为常数为1的数列，故，111n n a a n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11n na a n n +=+111a =n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a n =所以，因为，n n b nt =()1111n n nn n tb n t b nt n ++++==若，则为常数为0的常数列，不是等比数列，0=t {}n b 若，则不是定值，不是等比数列，综上A 错误；0t ≠11n n b n t b n ++=当时，，2t =2n n b n =⋅设数列的前项和为，{}n b n nT，①23222322n n T n =+⨯+⨯++⋅ 则，②23412222322n n T n +=+⨯+⨯++⋅ ②-①得：，B 正确；()()23411222222122n n n n T n n ++=-++++++⋅=-+ 当时，，(0,1)t ∈()()11111n n n n n n b b n t nt n t t n ++⎛⎫-=+-=+- ⎪+⎝⎭因为，所以当，即时，，即(0,1)t ∈1n t n <+1t n t >-10n n b b +-<1n n b b +<当，即时，，即，1n t n ≥+1tn t ≤-10n n b b +-≥1n n b b +≥故随着的变大，先增后减，n {}n b 因为为整数，故且最大，即数列的最大项有两项，C 正确；1tt -1n n b b +={}n b 当时，，1(0,2t ∈()()11111n n n n n n b b n t nt n t t n ++⎛⎫-=+-=+- ⎪+⎝⎭因为，所以单调递增，故，N n *∈1111n n n =-++112n n ≥+因为，所以，1(0,2t ∈()1101n n n n b b n t t n +⎛⎫-=+-< ⎪+⎝⎭数列为递减数列，D 正确；{}n b 故选：BCD三、填空题13．已知是等差数列，是等比数列，是数列的前项和，，，则{}n a {}n b n S {}n a n 1111S =373b b =___________.6325log a b =【答案】1-【分析】根据等差数列的求和公式以及等差中项，求第六项，再根据等比数列的等比中项，解得第五项的平方，结合对数运算可得答案.【详解】因为是等差数列，且是数列的前项和，{}n a n S {}n a n 所以，解得，()1111161111112a a S a +===61a =因为是等比数列，所以，{}n b 23753==b b b 则.633251log log 13==-a b 故答案为：.1-14．已知椭圆方程为，且椭圆内有一条以点为中点的弦，则弦所在的直2212x y +=11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭AB AB 线的方程是__________.l 【答案】2230x y +-=【分析】由点差法得斜率后求解直线方程，AB 【详解】设，由题意得，1122(,),(,)A x y B x y 222212121,122x x y y +=+=两式相减化简得，而是中点，得，1212121212y y y y x x x x +-⋅=-+-P AB 12122,1x x y y +=+=代入得，故直线方程为，即，12121y y k x x -==--AB 1(1)2y x -=--2230x y +-=点在椭圆内，故直线与椭圆相交，P 故答案为：2230x y +-=15．过双曲线上的任意一点，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点22221(0,0)x y a b a b -=>>P ，若，则双曲线离心率的取值范围是___________.,M N 214OM ON b⋅≥【答案】【分析】设点，分别联立两组直线方程，求出的坐标，然后利用向量的数量积，推00(,)P x y ,M N 出离心率的范围即可.【详解】因为双曲线的渐近线方程为：，22221(0,0)x y a b a b -=>>0bx ay ±=即，设点，可得：，b y x a =±00(,)P x y 00()by y x x a -=±-联立方程组，解得：，00()b y y x x a b y x a ⎧-=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩0000(,22bx ay bx ay M b a ++同理可得：，0000(,)22bx ay bx ay N b a ---所以，2222222200002244b x a y b x a y OM ON ba--=- 因为，所以，2200221x y a b -=22222200b x a y a b -=所以，由题意可得：，224a b OM ON -= 22244a b b -≥所以，故离心率，又因为双曲线的离心率，2212b a≤ce a ==≤1e >所以双曲线离心率的取值范围为，故答案为：.16．已知等腰内接于圆O ，点M 是下半圆弧上的动点（不含端点，如图所示）.现将上半Rt ABC △圆面沿AB 折起，使所成的二面角为.则直线AC 与直线OM 所成角的正弦值最小值为C AB M --π4______.【答案】##0.512【分析】取下半圆弧的中点D ，连接OC ，OD ，以点O 为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.【详解】在折后的图形中，取下半圆弧的中点D ，连接OC ，OD ，如图，依题意，平面，于是得平面，,,,,OA OD OA OC OC OD O OC OD ⊥⊥=⊂ COD OA ⊥COD 且是二面角的平面角，即，在平面内过点O 作，COD ∠C AB M --4COD π∠=COD Oz OD ⊥因此射线两两垂直，以点O 为原点，射线分别为非负半轴建立空间直,,OA OD Oz ,,OA OD Oz ,,x y z角坐标系，令，则，设点，显然有，2OA =(2,0,0),A C (,,0),0M a b b >224a b +=于是得，令直线AC 与直线OM 所成的角为，((,,0)AC OM a b =-=θ因此||1cos |cos ,|4||||AC OM AC OM AC OM θ⋅=〈〉===，111444=≤==当且仅当，即时取等号，显然直线AC 与直线OM为异面直线，即a -=a b ==，(0,2πθ∈而余弦函数在上单调递减，因此取最小值，，cos θ(0,]2πcos θθmin 1(sin )2θ=所以直线AC 与直线OM所成角的正弦值最小值为.12故答案为：12【点睛】思路点睛：求空间角的最值问题，根据给定条件，选定变量，将该角的某个三角函数建立起变量的函数，求出函数最值即可.四、解答题17．在平行四边形ABCD 中，，，，点E 是线段BC 的中点．()1,1A -()1,2B ()3,2C -(1)求直线CD 的方程；(2)求四边形ABED 的面积．【答案】(1)；270x y --=(2).152【分析】（1）求出，由，由点斜式即可写出直线CD 的方程；AB k AB CD （2）四边形ABED 为梯形，E 是线段BC 的中点，求出E 坐标、直线AD 的方程，即可求出E 到直线AD 的距离，再求出，即可求梯形面积.BC【详解】（1）由，，∴直线CD 的方程为，即AB CD 121112AB k -==--()()1232y x --=-；270x y --=（2）四边形ABED 为梯形，E 是线段BC 的中点，则，即，1322,20E +-⎛⎫⎪⎝⎭()2,0E 直线AD 的方程为，即，则E 到直线AD()221131y x ---=+-210x y ++=.BC ==故四边形ABED .152=18．已知抛物线的焦点为F ，点在抛物线C 上.2:2(0)C x py p =>(2,1)P (1)求点F 的坐标和抛物线C 的准线方程；(2)过点F 的直线l 交抛物线C 于A 、两点，且线段AB 的中点为，求直线l 的方程及B (2,3)M .||AB 【答案】(1)的坐标为，准线方程为F (0,1)1y =-(2)，1y x =+||8AB =【分析】（1）将已知点代入抛物线方程，解得参数的值，即可得答案.p （2）由求得直线的方程，利用抛物线定义，结合弦长公式以及中点坐标公式，可得答案.,F M l 【详解】（1）点在抛物线上，，， (2,1)P 2:2C x py =42p ∴=2p ∴=的坐标为，抛物线C 的准线方程为.F ∴(0,1)1y =-（2）由题可知，直线l 经过与，(0,1)F (2,3)M 的斜率，直线l 的方程为，l ∴31120k -==-∴1y x =+设A ，B 的坐标分别为，，11(,)x y 22(,)x y 则由抛物线的定义可知，12||2AB y y =++又AB 的中点为，，(2,3)M 12326y y ∴+=⨯=||628.AB ∴=+=19．已知数列的首项为0，且，数列的首项，且对任意正整数{}n a *11,N n n a a n +=+∈{}n b 12b =恒有.,m n m n m n b b b +=⋅(1)求和的通项公式；{}n a {}n b (2)对任意的正整数n ，设，求数列的前2n 项和S 2n .()1331,21,n nn n n n n a b n a a c a n b ++⎧+⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数为偶数{}n c 【答案】(1)，；1n a n =-2nn b =(2).2221234121929n n n n S n -+=--+⨯【分析】（1）根据等差数列和等比数列的定义得到数列和分别为等差等比数列，然后求通{}n a {}n b 项即可；（2）根据题意得到当为奇数时，，当为偶数时，，然后分n ()()1132222222n n n n n c n n n n+--⋅==-++n 2n n nc =别用裂项相消和错位相减求和即可.【详解】（1）因为，所以数列为等差数列，公差为1，所以，11n n a a +=+{}n a 1n a n =-令，所以，数列为等比数列，公比为2，所以.1m =12n n b b +={}n b 2n n b =（2）当为奇数时，；n ()()1132222222n n n n n c n n n n+--⋅==-++当为偶数时，；n 2n n n c =所以奇数项的前项和为，n 20422222222222213153212121n n nS n n n -=-+-++-=-+-+ 奇偶数项的前项和为①，n 242242222nn S =+++ 偶①得：②，12⨯462212424222n n S +=+++ 偶①-②得：242223222242222n n nS +=+++- 偶221112241214n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=--，22268323n n ++=-⨯所以，.21834992n n S -+=-⨯偶2221234121929n n n n S n -+=--+⨯20．如图，在四棱椎中，底面为平行四边形，平面，点分别为P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD ,M N的中点，且,BC PA1,AB AC AD ===(1)若，求直线与平面所成角的正弦值；1PA =MN PBC (2)若直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，求平面与平面的夹角AC PBC ⎛ ⎝PBC ABCD 的余弦值的取值范围.【答案】(1)13(2)⎫⎪⎭【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，从而求得平面的法向量与，由此可求得PBC n MN直线与平面所成角的正弦值；MN PBC （2）设，从而分别求得平面与平面的法向量与及，从而由题意条件求PA h =PBC ABCD m 0nAC 得，进而可求得平面与平面的夹角的余弦值的取值范围.(0,1]h ∈PBC ABCD 【详解】（1）因为，即，1,AB AC AD ===222AB AC AD +=AB AC ⊥又因为平面，所以，PA ⊥ABCD ,PA AB PA AC ⊥⊥故建立如图所示的空间直角坐标系，则，O xyz -111(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),,,0,0,0,222P B C M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，111(1,0,1),(1,1,0),,,222PB BC MN ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭ 设平面的一个法向量为，则，即，PBC ()111,,n x y z = 00PB n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩111100x z x y -=⎧⎨-+=⎩令，则，故，11x =111,1==y z (1,1,1)n = 设直线与平面所成角为，则MN PBC θsin cos ,MN θ= 所以直线与平面所成角的正弦值为.MN PBC 13 .（2）设，则，故，()0PA h h =>()()()0,0,,1,0,0,0,1,0P h B C (1,0,),(1,1,0)PB h BC =-=-设平面的一个法向量为，则，即，PBC ()222,,m x y z =00PB m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 222200x z h x y -=⎧⎨-+=⎩令，则，故，2x h =22,1y h z ==(,,1)m h h =易得平面的一个法向量为，又，ABCD 0(0,0,1)n = (0,1,0)AC =设直线与平面所成角为，则，AC PBCαsin cos ,AC α⎛= ⎝ 即，0<≤01h <≤设平面与平面的夹角为，则PBC ABCD β0cos cos ,n β= 因为，所以，则.01h <≤21213h <+≤1<≤1≤<cos 1β≤<所以平面与平面的夹角的余弦值的取值范围为.PBC ABCD ⎫⎪⎭21．已知数列满足，.{}n a 1=1a ()*1121N n n a a n n +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭(1)求数列的通项公式；{}n a (2)记数列的前项中最大值为，最小值为，令，称数列是数列的{}n a n n M n m 2n nn M m b +={}n b {}n a “中程数数列”.若（且），求所有满足条件的实数对.m kb a =*,N m k ∈m k >(),m k 【答案】(1)；112n n a n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭(2)，.()2,1()4,3【分析】（1）由已知递推关系可得，结合等比数列的定义写出通项公式；1112n na a n n +=⋅+（2）由递推研究的单调性，进而求出最大值为，最小值为，即可得，{}n a n M n m 1122mm b m ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭结合的通项公式得，再由（且）求出、的取值，即可得{}n a 1122m mb a =+mk b a =*,N m k ∈m k >k m 结果.【详解】（1）依题意，，即，故，()*1121N n n a a n n +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭11111122n n n n a a a n n ++⎛⎫==+⋅ ⎪⎝⎭1112n na a n n +=⋅+所以数列是等比数列，首项为，公比为的等比数列，n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a =12故，即；1112n n a n-⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭112n n a n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭（2）因为，即，11112n na a n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11112n n n a a +⎛=⎫+ ⎪⎝⎭故时，，即；时，，即，=1n 11n n a a +=12a a =1n >11n n a a +<1n n a a +<故，故，，1234a a a a =>>>⋯11n M a ==112n n n m a n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭=所以.1111122222n nn n n n M m b n -⎛⎫+⋅ ⎪+⎛⎫⎝⎭===+⋅ ⎪⎝⎭因为，，，1122mm b m ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭1102k k a k -⎛⎫=⋅> ⎪⎝⎭m kb a =所以，即，1111111222222m m m k b m a a -⎛⎫=+⋅=+=> ⎪⎝⎭1122k m a a -=又，，，且，知且，即3411422a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭2313324a ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭121a a ==1234a a a a =>>>⋯4k <*k ∈N ，1,2,3k =由知，1122k m a a -=时，，故，即，而，故符合题意；=1k 11111222m m a a a -=-=1m a =1,2m =m k >=2m 时，，故，即，而，故无解；=2k 21111222m m a a a -=-=1m a =1,2m =m k >时，，故，即，又，故符合题意；=3k 313112422m m a a a -=-=12m a ==4m m k >=4m 综上，所有满足条件的实数对有，.(),m k ()2,1()4,322．已知，，点满足，记点的轨迹为，1(2,0)F -2(2,0)F P 12||||2PF PF -=P E (1)求轨迹的方程；E (2)若直线过点且法向量为，直线与轨迹交于、两点．l 2F (),1n a =E P Q①过、作轴的垂线、，垂足分别为、，记，试确定的取值范围；P Q y PA QB A B PQ ABλ=λ②在轴上是否存在定点，无论直线绕点怎样转动，使恒成立？如果存在，求x M l 2F 0MP MQ ⋅=出定点；如果不存在，请说明理由．M 【答案】(1)221(1)3y x x-=≥(2)①；②存在，λ⎛∈ ⎝(1,0)M -【分析】（1）根据双曲线的定义直接得到答案.（2）根据直线与双曲线的位置关系得到，计算的范围(),a ∈-∞⋃+∞λ=a 得到的取值范围；假设存在点满足条件，通过得到λ(,0)M m 0MP MQ ⋅=，计算得到答案.()()22231450m a m m -+--=【详解】（1）由，知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支．12122PF PF F F -=<P 1F 2F ，，，故，轨迹方程为．22a =1a =2c =2413b =-=221(1)3y x x -=≥（2）直线的方程为，，l ()20a x y -+=()22213y a x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩得，设，，，，()222234430ax a x a --++=1(P x 1)y 2(Q x 2)y 由条件得，()()24222122212230 Δ164343040 3430 3a a a a a x x a a x x a ⎧-≠⎪=--+>⎪⎪⎪⎨+=>⎪-⎪+⎪=>⎪-⎩解得，即．23a>(),a ∈-∞⋃+∞①，2PQ x =-1212AB y y a x x =-=-由条件，故，故，(),1n a =12x x≠PQAB λ===因为，因此．23a >λ⎛∈ ⎝②设存在点满足条件，(,0)M m 由()()()()()222212*********MP MQ x m x m y y a x x a m x x m a ⋅=--+=+-++++ ，()22234503m a m a -+=+=-得对任意恒成立，所以，()()22231450m a m m -+--=23a >2210450m m m ⎧-=⎨--=⎩解得，1m =-因此存在定点满足条件．(1,0)M -【点睛】本题考查了双曲线的轨迹问题，根据直线和双曲线的位置求参数，定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用韦达定理解题是常考的题型，需要熟练掌握.。

江苏省高二上学期期末模拟数学试题(解析版)

一、单选题1．已知点，直线，点是直线上的一个动点，若是RA 的中点，则点的轨(1,0)A :24l y x =-R l P P 迹方程为（） A ． B ．C ．D ．2y x =-26y x =-23y x =-24y x =+【答案】C【分析】设，，，由中点坐标公式把用表示，再把代入已知直线方(,)P x y 1(R x 1)y 11,x y ,x y 11(,)x y 程可得．【详解】设，，， (,)P x y 1(R x 1)y 已知，由是的中点，(1,0)A P RA ，则①. ∴11122x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩11212x x y y =-⎧⎨=⎩点是直线上的一个动点，②.R l 1124y x ∴=-把①代入②得：，即. 22(21)4y x =--23y x =-点的轨迹方程为. P 23y x =-故选：C.2．已知在圆：的取值范围是C 22()(2)20x a y a -+-=a （） A ．B ．()1,3()1,9C ． D ．()()1,33,1-- ()()1,99,1-- 【答案】C【分析】题意转化为圆与圆相交，即可求解.225x y +=C 【详解】由题意可知圆与圆，解得或225x y +=C <<13a <<.31a -<<-故选：C3．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，且短轴长为C 1F 2F x C 则的标准方程为（）CA ．B ．C ．D ．22112x y +=22143x y +=22134x y +=221163x y +=【答案】B【分析】根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及短轴长为的值，进而由焦点在,a b x 轴上可得的标准方程.C 【详解】由题意可得2ab b ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得，2a =b =因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.C x C 22143x y +=故选：B.【点睛】本题考查了数学文化，椭圆的几何性质及标准方程求法，属于基础题. 4．已知，则动点P 的轨迹是（） (2,0),M -(2,0),N ||||3PM PN -=A ．双曲线 B ．双曲线左边一支 C ．一条射线D ．双曲线右边一支【答案】D【分析】根据双曲线的定义直接得到结果.【详解】且动点的轨迹为双曲线的右边一支 3PM PN MN -=< PM PN >∴P 故选：D 【点睛】本题考查双曲线定义的理解，易错点是忽略轨迹为双曲线的一支的问题，造成求解错误. 5．对于一切实数x ，令为不大于x 的最大整数，则函数称为高斯函数或取整函数.若[]x ()[]f x x =，，为数列的前n 项和，则（）3n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭*N n ∈n S {}n a 3n S =A ． B ．23122n n -23122n n +C ． D ．232n n -29322n n -【答案】A【分析】根据高斯函数的性质以及数列求和公式进行计算.【详解】解：由题意，当，，时，均有，3n k =31n k =+32(N )n k k +=+∈33n n n a f k ⎛⎫⎡⎤=== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故可知：31(1)00111222333(1)(1)(1)3(1)2n n S n n n n n n +-=++++++++++++-+-+-+=⨯⨯-+. 23122n n =-故选：A6．若正项数列中，，，则的值是（） {}n a 12311(2n n na a a a a a +++⋅⋅⋅+=+n N *∈2021a ABCD【答案】A【分析】设，则，利用变形，可得数列123n n a a a a S ++++= 12n n nS a a =+1(2)n n n a S S n -=-≥是首项为，公差为的等差数列，求出，由此再求出，可得.2{}n S 211S =1=n S n a 2021a 【详解】设，则， 123n n a a a a S ++++= 12n n nS a a =+当时，，得，因为，所以， 1n =11112a a a =+211a =0n a >11a =当时，，得，2n ≥1112n n n n n S S S S S --=-+-111n n n n S S S S --+=-得，所以数列是首项为，公差为的等差数列，2211n n S S --=2{}n S 211S =1所以，因为数列是正项数列，所以，所以，21(1)1n S n n =+-⨯={}n a 0n S>=n S 所以当时， 2n ≥1-=-=n n n a SS 又时，也适合上式， 1n =11a =所以，=n a *()n N ∈所以2021a =故选：A【点睛】关键点点睛：利用变形，得到数列是首项为，公差为的等1(2)n n n a S S n -=-≥2{}n S 211S =1差数列，求出是解题关键.n S 7．函数的图象大致为（）()(1)e x f x x =-A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用导数求得的单调区间，结合函数值确定正确选项.()f x 【详解】由，可得函数的减区间为，增区间为， ()e x f x x '=()f x (,0)-∞(0,)+∞当时，，可得选项为A ． 0x <()0f x <故选：A8．已知函数，则“”是“是的一个极小值点”的（）()sin f x x a x =-2a =3x π=()f x A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】若，求出导函数，利用导数符号可知充分性成立；若是的一个极小值点，2a =3x π=()f x 利用可求出，再验证是的一个极小值点，可知必要性成立.()03f π'=2a =3x π=()f x 【详解】， ()1cos f x a x '=-若，则,2a =()12cos f x x =-'当时，，，单调递减；,33x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭1cos 2x >()0f x '<()f x 当时，，，单调递增．5,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1cos 2x <()0f x ¢>()f x 故是的极小值点．3x π=()f x 若是的极小值点，则，解得，经检验．当时，是3x π=()f x 1032a f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭'2a =2a =3x π=的极小值点， ()f x 故“”是“是的极小值点”的充要条件．2a =3x π=()f x 故选：C9．设、在上可导，且，则当时有 ()f x ()g x [],a b ()()f x g x ''>a x b <<A ．B ．()()f x g x >()()f x g x <C ．D ．()()()()f x g b g x f b +>+()()()()f x g a g x f a +>+【答案】D【分析】构造函数，利用导数推导函数在区间上的单调性，进而()()()F x f x g x =-()y F x =(),a b 可得出结果.【详解】设，当时，，则， ()()()F x f x g x =-a x b ≤≤()()f x g x ''>()()()0F x f x g x '''=->所以，函数在区间上是增函数， ()y F x =[],a b 当时，，a xb <<()()()F a F x F b <<所以，，即； ()()()()f x g x f a g a ->-()()()()f x g a g x f a +>+，即.()()()()f x g x f b g b -<-()()()()f x g b g x f b +<+故选：D.【点睛】本题考查函数不等式正误的判断，利用导数不等式的结构构造合适的函数是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、多选题10．设有一组圆：，则下列说法正确的是（） k C ()()22211x k y k -++-=A ．这组圆的半径均为1B ．直线平分所有的圆 220x y -+=kC C ．直线被圆截得的弦长相等 2310x y -+=k CD ．存在一个圆与轴和轴均相切 k C x y 【答案】AD【分析】由圆的方程可得圆心及半径，利用圆的性质即可判断.【详解】由圆：，可得圆心坐标，半径为1，故A 正确；k C ()()22211x k y k -++-=()21,k C k k -把代入，得不恒成立，即直线不恒过圆()21,k k -220x y -+=()221230k k k --+==220x y -+=心，故B 错误；圆心到直线的距离()21,k k -2310x y -+=d 值，则直线被圆截得的弦长不相等，故C 错误；2310x y -+=k C若存在一个圆与轴和轴均相切，则，解得，故D 正确． k C x y 211k k -==1k =故选：AD ．11．已知双曲线的左､右顶点分别为，点是上的任意一点，则下列结论正确22:184x y C -=,A B P C 的是（）A ．若直线与双曲线y kx =C B ．焦点到渐近线的距离为2C ．点到两条渐近线的距离之积为P 83D ．当与不重合时，直线的斜率之积为2 P ,A B ,PA PB 【答案】BC【分析】由双曲线的渐近线可以判断A ；求出双曲线的渐近线和焦点，进而根据点到直线的距离判断B ；设点，进而求出该点到两条渐近线的距离之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断(),P x y C ；求出的斜率之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断D. ,PA PB【详解】对A ，双曲线的渐近线方程为，若直线与双曲线y x =y kx =C错误；对B ，由A 渐近线方程为，焦点为，则焦点到渐近线的距离0x =()±.B 正确；2d ==对C ，设点，则，点到两条渐近线的距离之积为(),P x y 222212884x y x y -=⇒-=P.C 正确；222833x y -==对D ，易得，由C 点满足，所以直线的()(),A B-(),P xy (22418x y x ⎛⎫=-≠± ⎪⎝⎭,PA PB .D 错误.22224181882x y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭===---故选：BC.12．已知数列是公差为的等差数列，若存在实数，使得数列满足：可以从中取出无{}n a d d 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭限多项，并按原来的先后次序排成一个等差数列，则下列结论正确的是（） A ．符合题意的数列有无数多个 {}n a B ．符合题意的实数有无数多个 d C ．符合题意的数列仅有一个 {}n a D ．符合题意的实数仅有一个 d 【答案】AD【分析】设从数列抽出的无限多项按原来的先后次序构成数列，分别在，，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n b 0d =0d >时探究数列是否为等差数列，由此判断各选项的对错.0d <{}n b 【详解】设抽出的无限多项按原来的先后次序构成等差数列， {}n b ①若：此时只需为任意非零常数列即可；0d ={}n a ②若：则中只存在有限负数项，即存在，当时，，则当时，0d >{}n a *1N ∈A 1n N >0n a >1n N >中均为正项，而另一方面，由上可知中公差，因此存在，当时，{}n b {}n b 0d '<*2N ∈A 2n N >{}n b 中均为负项，取，可知此时矛盾，故舍去； {}12max ,n N N =0d >③若：同②可知需舍去.0d <综上，符合题意的数列为任意非零常数列，， {}n a 0d =故选：AD.三、填空题13．已知m ，n ，a ，，且满足，b ∈R 346m n +=341a b +=________. 【答案】1【分析】设点，，直线，直线，(),A m n (),B a b 1:346l x y +=2:341l x y +=最小值可转化为点与点两点间距离的最小值，显然最小值为两平行线之间的距离.(),A m n (),B a b【详解】设点，，直线，直线， (),A m n (),B a b 1:346l x y +=2:341l x y +=由题意知点在直线上，点在直线上， (),A m n 1:346l x y +=(),B a b 2:341l x y +=显然，所以的最小值就是两平行线之间的距离， 12//ll AB 即.1min AB 故答案为：1.【点睛】本题考查两点间的距离公式，考查两平行线之间的距离公式，考查逻辑思维能力和计算能力，考查转化思想，属于常考题.14．从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线、，且、为切点，若直线24x y =l P PA PB A B 的倾斜角为，则点的横坐标为______.AB 6πP 【分析】设点，求出切点弦所在直线的方程，结合已知条件求出的值. (),1P t -AB t 【详解】设点，设点、，对函数求导得， (),1P t -()11,A x y ()22,B x y 24x y =2x y '=所以，直线的方程为，即，即， PA ()1112x y y x x -=-211122x x x y y -=-112x x y y =-同理可知，直线的方程为，PB 222x xy y =-由于点为直线、的公共点，则，P PA PB 1122220220tx y tx y -+=⎧⎨-+=⎩所以，点、的坐标满足方程， A B 220tx y -+=所以，直线的方程为，由题意可得AB 220tx y -+=tan 62t π==t =【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的切点弦所在直线的方法如下：（1）求出两切线与圆锥曲线的切点坐标，利用两点式方程可得出切点弦所在直线的方程；（2）写出圆锥曲线在切点（在圆锥曲线上）处的切线方程，将两切线的公共点代入两切线方程，通过说明两切点的坐标满足某直线方程，可得出切点弦方程.15．设数列满足，，，数列前n 项和为，且（{}n a 12a =26a =312a ={}n a n S 211131n n n n S S S S +-+-+=-+且）．若表示不超过x 的最大整数，，数列的前n 项和为，则n N ∈A2n ≥[]x 2(1)n n n b a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦{}n b n T 的值为___________． 2022T 【答案】2023【分析】根据递推公式，可知从第2项起是等差数列，可得，再根据累加{}1n n a a +-122n n a a n +-=+法，可得，由此可得当时，，又，由此即可求出()1n a n n =+2n ≥()211n n n b a ⎡⎤+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦()211112b a +==.2022T 【详解】当时，，2n ≥211131n n n n S S S S +-+-+=-+，211131n n n n a a a a ++++++∴=+， 2122n n n a a a ++∴-+=，()2112n n n n a a a a +++∴---=从第2项起是等差数列.{}1n n a a +∴-又，，，， 12a = 26a =312a =()()32212a a a a ∴---=，()142122n n a a n n +∴-=+-=+当时，2n ≥()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ， ()()()1221222212n n n n n n +=+-++⨯+=⨯=+L （）， ()211nn n a n++∴=2n ≥当时，. ∴2n ≥()2111n n n n b a n ⎡⎤++⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦又，()211112b a +== . 2222022122022232023220212023T a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴=+++=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦故答案为：202316．已知对任意都成立，则实数a 的最小值是__________. 2120a x x -+≥1(0,2x ∈【答案】127【分析】根据题意可得对任意都成立，利用导数求在内的232a x x ≥-1(0,)2x ∈23()2f x x x =-1(0,2最大值.【详解】因为，所以可等价变形为，1(0,2x ∈2120a x x-+≥232a x x ≥-令，232()2,()262(13)f x x x f x x x x x '=-=-=-由得，则函数在上单调递增，()0f x '>103x <<()f x 103⎛⎫⎪⎝⎭，由得，则函数在上单调递减，()0f x '<1132x <<()f x 1132⎛⎫⎪⎝⎭，所以时，则，1(0,2x ∈1121()()392727f x f ≤=-=故. 127a ≥故答案为：. 127四、解答题17．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，，边分别在轴、ABCD AB AD x y 轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，设此点为. A A DC 'A （1）若折痕的斜率为-1，求折痕所在的直线的方程；（2）若折痕所在直线的斜率为，（为常数），试用表示点的坐标，并求折痕所在的直线的方k k k 'A 程；（3）当时，求折痕长的最大值.-20k ≤≤【答案】（1）；（2）；(3).-1y x =+2122k y kx =++【详解】试题分析：（1）若折痕的斜率为时，由于点落在线段上，可得折痕必过点1-A DC ，即可得出；（2）当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程，当(0,1)D 0k =A D 12y =0k ≠时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，可知与关于折痕所在的直线对称，有A DC (),1G a A G，故点坐标为，从而折痕所在的直线与的交点坐标即线段的中点为•1OG k k =-G (),1G k -OG OG，即可得出；（3）当时，折痕为2，当时，折痕所在直线交于点M 0k =20k -≤<BC ，交轴于，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得212,222k E k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭y 210,2k F ⎛⎫+ ⎪⎝⎭出．试题解析：（1）∵折痕的斜率为时，点落在线段上 1-A DC ∴折痕必过点 (0,1)D ∴直线方程为1y x =-+（2）①当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程. 0k =A D 12y =②当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为， 0k ≠A DC (),1G a ()02a ≤＜则与关于折痕所在的直线对称，有，即．A G 1OG k k ⋅=-a k =-∴点坐标为G ()(),1,20G k k --≤＜从而折痕所在的直线与的交点坐标即线段的中点为，折痕所在的直线方程OG OG 1,22k M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即． 122k y k x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭()212022k y kx k =++-≤<综上所述，由①②得折痕所在的直线方程为：．()212022k y kx k =++-≤≤（3）当时，折痕长为2．0k =当时，折痕所在直线交于点，交轴于．20k -≤<BC 212,222k E k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭y 210,2k F ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∵， (22222211224444732222k k y EF k k ⎡⎤⎛⎫+==+-++=+≤+-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∴.22==>∴综上所述，折痕长度的最大值为2点睛：本题考查了关于折叠问题转化为轴对称问题，考查了直线的方程、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题18．在平面直角坐标系中，圆M 是以，两点为直径的圆，且圆N 与圆M 关于直A (3,B 线对称.y x =(1)求圆N 的标准方程；(2)设，，过点C 作直线，交圆N 于P 、Q 两点，P 、Q 不在y 轴上.(0,1)C (0,4)D 1l （i ）过点C 作与直线垂直的直线，交圆N 于E 、F 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的1l 2l 最大值；（ii ）设直线OP ，DQ 相交于点G ，试讨论点G 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.【答案】(1) 22(2)4x y +-=(2)（i ）7；（ii ）是， =2y -【分析】（1）先求出圆的方程，再根据对称性求出圆的方程即可得解；M N （2）（i ）设出直线、的方程，利用几何方法求出弦长和，再求出面积，然后根据基1l 2l ||PQ ||EF 本不等式求出最大值可得结果；（ii ）联立直线与圆的方程，设，，得到1l N 11(,)P x y 22(,)Q x y 和.联立直线和的方程求出交点的横坐标，代入直线的方程，利用和12x x +12x x OP DQ G OP 12x x +变形可得交点的纵坐标为定值，从而可得结果.12x x G【详解】（1）由题意得：圆M 的半径为，||22AB ==圆心M 即AB 的中点为， (2,0)圆M 的方程为：， 22(2)4x y -+=因为圆N 与圆M 关于直线对称， y x =所以圆N 的圆心，半径为， (0,2)N 2所以圆N 的标准方程为：； 22(2)4x y +-=（2）依题意可知，直线的斜率存在， 1l 设直线的方程为，即， 1l 1y kx =+10kx y -+=则圆心到直线的距离(0,2)N 1l 1d ==所以 ||PQ ==（i ）若，则直线斜率不存在，则，0k =2l ||PQ =||4EF =则1||||2S EF PQ =⋅=若，则直线的方程为，即， 0k ≠2l 11y x k=-+0x ky k +-=则圆心到直线的距离(0,2)N 2l 2d =所以||EF==则1||||2S EF PQ=⋅====，7≤=当且仅当即时取等号， 221k k =1k =±综上所述，因为S 的最大值为； 7=>7（ii ）设，，11(,)P x y 22(,)Q x y 联立，消去y 得，恒成立，()22241x y y kx ⎧+-=⎪⎨=+⎪⎩22(1)230k x kx +--=22412(1)0k k ∆=++>则，， 12221kx x k +=+12231x x k -=+直线OP 的方程为， 1111111(y kx y x x k x x x x +===+直线DQ 的方程为， 2244y y x x -=+222334(4kx x k x x x -=+=-+联立，解得，12134y k x x y k x x ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩121243x x x x x =+因为，，所以，所以，12221kx x k +=+12231x x k -=+2121222131kx x k x x k ++=-+23k =-12123()2x x k x x +=-则1211214()3x x y k x x x =+⋅=+()1212413kx x x x ++12212443kx x x x x +=+122126()43x x x x x -++=+，1212623x x x x --=+2=-所以，12124(,2)3x x G x x -+所以点G 在定直线上.=2y -19．已知抛物线的顶点在原点，焦点为，过焦点且斜率为的直线交抛物线于两E ()2,0F k ,P Q 点，(1)求抛物线方程；(2)若，求的值；2FP FQ =k (3)过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于四点，且分别为线段(),0T t E ,,,A B C D ,M N 的中点，求的面积最小值．,AB CD TMN △【答案】(1) 28y x=(2) ±(3) 16【分析】（1）根据焦点坐标可直接得到抛物线方程；（2）由可得，设，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，由2FP FQ =122y y =-1:2PQ x y k=+可构造方程求得； ()212122122142y y y y y y y y k+=++=-k （3）设，，与抛物线方程联立，结合韦达定理可得中点坐:AB x my t =+1:CD x y t m=-+,M N 标，进而表示出，由，利用基本不等式可求得最小值. ,TM TN 12TMN S TM TN =⋅A 【详解】（1）抛物线的顶点在原点，焦点为，抛物线方程为：； E ()2,0F ∴28y x =（2）由题意知：，可设直线，，， 0k ≠1:2PQ x y k=+()11,P x y ()22,Q x y ，，即， 2FP FQ = 122y y ∴=-122y y =-由得：，， 2128x y k y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩28160y y k --=1212816y y k y y ⎧+=⎪∴⎨⎪=-⎩，即，()222121122122121221242y y y y y y y y y y y y y y k+++∴==++=-241222k -=--+解得：，；28k =k ∴=±（3）由题意知：直线的斜率均存在，,AB CD 不妨设，，，，， :AB x my t =+()11,A x y ()22,B x y ()33,C x y ()44,D x y 则； 1:CD x y t m=-+由得：，则，即； 28x my t y x=+⎧⎨=⎩2880y my t --=264320m t ∆=+>220m t +>，，， 128y y m ∴+=128y y t =-()21212282x x m y y t m t ∴+=++=+；同理可得：()24,4M m t m ∴+244,N t mm ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，，TM ∴=TN =（当且仅当1162TMN S TM TN ∴=⋅==≥=A ，即时取等号）， 221m m =1m =±面积的最小值为.TMN ∴A 1620．已知正项数列的前项和为，且.{}n a n n S ()2*241n n n a a S n N +=-∈（1）求数列的通项公式； {}n a （2）若，数列的前项和为，求的取值范围；21211n n n n a b S S -++=⋅{}n b n n T n T （3）若，从数列中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两()211,22,n n na n c n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数()*n N ∈{}n c 项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列.当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列.【答案】（1）（2）；（3），，，，和，，，21n a n =-n T 21114(21)n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦21,94⎡⎫⎪⎢⎣⎭123455432，.1【分析】（1）利用，求得数列的通项公式.11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩{}n a （2）由（1）求得的表达式，然后利用裂项求和法求得的前项和.利用差比较法证得数列n S {}n b n n T 递增，进而求得的取值范围.{}n T nT（3）先判断出数列的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数.然后假设抽出的数列中有三个偶数，{}n c 推出矛盾，由此证得偶数只有两项.进而证得奇数最多有项.由此求得所有满足条件的等差数列.3【详解】（1）当时，由，得，得，1n =2241n n n a a S +=-2111241a a a +=-11a =由，得，两式相减，得2241n n n a a S +=-2111241n n n a a S ++++=-，即，即 22111224n n n n n a a a a a +++-+-=()221120n n n n a a a a ++--+=()()1120n n n n a a a a ++--+=因为数列各项均为正数，所以，所以 {}n a 10n n a a ++>12n n a a +-=所以数列是以为首项，为公差的等差数列.{}n a 12因此，，即数列的通项公式为. 12(1)21n a n n =+-=-{}n a 21n a n =-（2）由（1）知，所以 21n a n =-2(121)2n n n S n +-==所以 22212112(21)(21)n n n n a n b S S n n -++==⋅-+221114(21)(21)n n ⎡⎛⎤=-⎢ ⎥-+⎝⎦⎣所以222222246133557n T =++⨯⨯⨯222(21)(21)n n n ++-+ 222222*********1433557(21)(21)n n ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭ 21114(21)n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦令，则 21()1(21)f n n =-+(1)()f n f n +-=2222118(1)0(21)(23)(23)(21)n n n n n +-=>++++所以是单调递增数列，数列递增， ()f n {}n T 所以，又，所以的取值范围为. 129n T T ≥=14n T <n T 21,94⎡⎫⎪⎢⎣⎭（3） 2,212,2nn n n k c n k=-⎧⎪=⎨⎪=⎩设奇数项取了项，偶数项取了项，其中，，，.s k s *k ∈N 2s ≥2k ≥因为数列的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数{}n c 列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数.假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数.设抽出的三个偶数从小到大依次为，，，2i 2j ()21pi j p ≤<<则为奇数，而，，则为偶数，为奇数，所以.1122222i j i j --+=+1i ≥2j ≥12j -12i -1i =又为奇数，而，，则与均为偶数，矛盾．1122222j p j p --+=+2j ≥3p ≥12j -12p -又因为，所以，即偶数只有两项， 2k ≥2k =则奇数最多有项，即的最大值为.3s k +5设此等差数列为，，，，，则，，为奇数，，为偶数，且. 1d 2d 3d 4d 5d 1d 3d 5d 2d 4d 22d =由，得，，此数列为，，，，. 13224d d d +==11d =33d =12345同理，若从大到小排列，此数列为，，，，.54321综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为，，，，和，，，，. 1234554321【点睛】本小题主要考查已知求，考查裂项求和法，考查数列单调性，考查化归与转化的数n S n a 学思想方法，综合性较强，属于难题.21．设函数().()()22ln =+--f x x a x a x a R ∈（1）若，求的极值； 1a =()f x （2）讨论函数的单调性；()f x （3）若，证明：. n *∈N ()()2222123ln 12341nn n +++⋅⋅⋅+<++【答案】（1）0，无极大值；（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】（1）由得到，然后分别令，，再根1a =()()2111'21()x x f x x xx+-=--=()'0f x >()'0f x <据极值的定义求解.（2）由，分，，，，由()()()()()21'220x a x a f x x a x xx+-=-+-=>0a ≥012a <-<12a -=12a ->，求解.()'0f x >()'0f x <（3）根据（1）知在上为减函数，得到，即，()2f x x x lnx =--()0,1()210x x lnx f -->=2x x lnx ->然后令，得到，再利用不等式的性质求解.1nx n =+()211n n ln n n >++【详解】（1）的定义域为， ()f x ()0,∞+当时，，1a =()()2111'21()x x f x x xx+-=--=若，则，()'0f x >1x >若，则,()'0f x <01x <<在上单调递减，在上单调递增．()f x \()0,1(1,)+∞，没有极大值．()()10f x f ∴==极小值（2），()()()()()21'220x a x a f x x a x xx+-=-+-=>当时，若，则，1 0a ≥()'0f x >1x >若，则，()'0f x <01x <<在上单调递减，在上单调递增，()f x \()0,1(1,)+∞当，即时， 2 012a<-<20a -<<若，则或， ()'0f x >02ax <<-1x >若，则 ()'0f x <12ax -<<在上单调递减，在，上单调递增()f x \,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭(0,)2a -()1,+∞当，即时，恒成立， 3︒12a-=2a =-()'0f x ≥在上单调递增．()f x \()0,∞+当，即时， 412a->2a <-若，则或;()'0f x >01x <<2ax >-若，则， ()'0f x <12a x <<在上单调递减，在上单调递增()f x \(1,2a -(),1,()02a-+∞综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增;1 2a <-()f x (1,2a-(),1,()02a -+∞当时，在上单调递增;2 2a =-()f x ()0,∞+当时，在上单调递减，在上单调递增320a -<<()f x ,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,1,()2a -+∞⎛⎫⎪⎝⎭当时，在上单调递减，在上单调递增;4 0a ≥()f x ()0,1()1,+∞（3）由（1）知在上为减函数，()2f x x x lnx =--()0,1时，，()0,1x ∴∈()210x x lnx f -->=2x x lnx ∴->令，得1n x n =+()221n x x n -=-+，()2111nn n lnln n n n +∴->=-++即 ()211n nln n n +>+，…, ， 222132432,,22334ln ln ln ∴>>>()211n n ln n n +>+将以上各式左右两边相加得：， ()2222341123ln 2lnln ln 232341n nn n ++++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅++. ()()222212312341nln n n ∴+>+++⋅⋅⋅++【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是联系到在上为减函数，再从不等式()2f x x x lnx =--()0,1的结构和对数的运算，想到构造求解. ()211n nlnn n +>+22．已知抛物线C ：上有一动点，，过点P 作抛物线C 的切线交y 轴于点24y x =()00,P x y 00x >l Q ．(1)判断线段PQ 的垂直平分线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由； (2)过点P 作的垂线交抛物线C 于另一点M ，若切线的斜率为k ，设的面积为S ，求的l l PQM A S k最小值．【答案】(1)线段的垂直平分线过定点 PQ 10,16F ⎛⎫⎪⎝⎭(2) 116【分析】（1）设切线的方程为，并与抛物线方程联立，利用判别式求得点坐标，进而PQ y kx b =+P 求得点坐标，从而求得线段的垂直平分线的方程，进而求得定点坐标. Q PQ （2）结合弦长公式求得的面积，利用基本不等式求得的最小值. PQM A S Sk【详解】（1）依题意可知切线的斜率存在，且斜率大于. PQ 0设直线PQ 的方程为，. y kx b =+0k >由消去并化简得， 24y kx b y x=+⎧⎨=⎩y 240x kx b --=由得，，则，Δ0=2160k b +=216k b =-22224420164k k x kx b x kx x ⎛⎫--=-+=-= ⎪⎝⎭解得，所以，8kx =2,816k k P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在中，令得，所以，y kx b =+0x =y b =20,16k Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭PQ 中点为，所以线段PQ 的中垂线方程为，,016k ⎛⎫⎪⎝⎭116k y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭即，所以线段的垂直平分线过定点.1116y x k =-+PQ 10,16F ⎛⎫⎪⎝⎭（2）由（1）可知，直线PM 的方程为，即. 21168k k y x k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭211816k y x k =-++由消去并化简得：， 22118164k y x k y x ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩y 221140816k x x k +--=所以，而，所以得， 218164P M k x x --=8P k x =148M k x k =--，2,816k k P ⎛⎫ ⎪⎝⎭20,16k Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭=. 144kk ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以的面积， PQM A1112244k S PQ PM k ⎛⎫=⋅⋅=+ ⎪⎝⎭()22164k k+=所以. ()22422221211111642264646416k Sk k k k kkk k +⎛⎫++⎛⎫===++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时等号成立. 221,1k k k ==所以的最小值为.S k116。

苏教版高二上学期数学期末模拟测试题：考察知识应用与创新意识

苏教版高二上学期数学期末模拟测试题：考察知识应用与创新意识最新的苏教版高二上学期数学期末模拟测验本次期末模拟测验主要考察学生在以下方面的数学知识和能力：1.函数与基本初等函数(1)了解函数的概念、定义域和值域，能够判断给定函数是否为所学过的基本初等函数（如一次函数、二次函数、反比例函数等）。

(2)掌握函数的性质，如奇偶性、单调性、周期性等，并能够运用这些性质解决实际问题。

(3)熟悉基本初等函数的图像，能够根据图像描述函数的性质。

2.三角函数与解三角形(1)了解三角函数的概念、公式（如两角和与差的余弦、正弦、正切等）和性质。

(2)掌握解三角形的方法，如正弦定理、余弦定理等，并能够运用这些方法解决实际问题。

(3)熟悉三角函数的图像，能够根据图像求出三角函数的值。

3.数列(1)了解数列的概念、通项公式和前n项和公式。

(2)掌握等差数列、等比数列的概念、性质和通项公式，并能够运用这些知识解决实际问题。

(3)能够运用递推公式求出数列的前n项和。

4.平面向量(1)了解平面向量的概念、加法、数乘和数量积等运算。

(2)掌握平面向量的线性运算和数量积的运算方法，并能够运用这些知识解决实际问题。

5.概率与统计(1)了解概率和统计的概念、基本原理和方法。

(2)掌握随机事件的概率计算方法，能够运用概率方法解决实际问题。

(3)熟悉常用的统计图表和统计量，能够运用这些知识进行简单的统计分析。

6.算法与流程图(1)了解算法和流程图的概念、特点和作用。

(2)掌握常见算法（如迭代法、排序算法等）和流程图的画法，并能够运用它们解决实际问题。

7.矩阵与行列式初步(1)了解矩阵和行列式的概念、元素和运算规则。

(2)掌握矩阵的初等变换和行列式的计算方法，并能够运用这些知识解决实际问题。

总体要求：本次模拟测验注重考察学生对所学数学知识的理解和应用能力，要求学生能够运用所学知识解决实际问题，同时考察学生的数学思维能力和创新意识。

苏教版2022-2023学年浙江省绍兴市高二上册数学期末模拟试题(含解析)

苏教版2022-2023学年浙江省绍兴市高二上册数学期末模拟试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，计40分.在每小题所给的A.B.C.D.四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑）1．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到l A(2，3，1)n =(2，0，2)l P(4，3，2)的距离为（）l A ．B ．C ．D ．122223222．已知一个动圆P 与两圆和都外切，则动圆P C 1：(x +2)2+y 2=1C 2：(x−2)2+y 2=4圆心的轨迹方程为（）A ．B ．4x 2−4y 215=1(x <0)4x 2−4y 215=1C ．D ．4x 29−4y 27=1(x <0)4x 29−4y 27=13．设为数列的前项和，已知，，那么（）S n {a n }n a 1=3S n +1=S n +2na 3=A ．B ．C ．D ．45794．等比数列前项和为.若，则数列前项和的最{a n }n S n ，S 3=732，S 6=6332b n =log 2a n {b n }n 小值为（）A ．B ．C ．D ．−15−20−22−255．椭圆的左、右焦点分别为、，动点A 在椭圆上，B 为椭圆的上顶点，x 29+y 22=1F 1F 2则周长的最大值为（）△ABF 2A ．8B ．10C ．12D ．166．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ，Bk(k >0，k ≠1)的距离为2，动点Р满足，若点Р不在直线AB 上，则面积的最大值为（ |PB||PA|=3△PAB ）A ．1B ．C ．2D ．3237．设直线与函数的图象分别交于M ，N ，则当|MN|最小时x =t f(x)=x 2，g(x)=lnx 的值为（） t A ．1B ．C ．D ．1252228．设函数＝，为的导函数．若f(x)(x−a)(x−b)2(a ， b ∈R ， a ≠b)f'(x)f(x) 和的零点均在集合中，则（） f(x)f'(x){−2， 0， 1}f(x)A ．在上单调递增B ．在上单调递增(−1， 0)(0， 1)C ．极小值为 D ．最大值为4二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题所给的A.B.C.D.四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑）9．对于数列，设其前项和，则下列命题正确的是（）{a n }n S n A ．若数列为等比数列，且成等差数列，则也成等差数列{a n }S 4，S 12，S 8a 4，a 12，a 8B ．若数列为等比数列，则{a n }S 22n =S n ⋅S 3nC ．若数列为等差数列，则数列成等差数列{a n }{S nn }D ．若数列为等差数列，且，则使得的最小的值为15{a n }S 6=S 9，a 1<0S n >0n 10．下列说法错误的是（）A ．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为tanααB ．过不同两点的直线方程为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)y−y 1y 2−y 1=x−x 1x 2−x 1C ．线段的两个端点和，则以为直径的圆的方程为AB A(x 1，y 1)B(x 2，y 2)AB (x−x 1)(x−x 2)+(y−y 1)(y−y 2)=0D ．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为(2，1)x y x +y−3=011．已知F 为椭圆C ：的左焦点，直线l ：与椭圆C 交于A ，Bx 216+y 28=1y =kx(k ≠0)两点，轴，垂足为E ，BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则（）AE ⊥x A ．B ．的最小值为2|AF|+|BF|=81|AF|+4|BF|C ．直线BE 的斜率为D ．为钝角12k∠PAB 12．已知函数，，则下列结论正确的是（ f(x)=ln|x|−x +1x g(x)=x−(x−1)lnx ）A ．存在唯一极值点，且 g(x)x 0x 0∈(1,2)B ．恰有3个零点f(x)C ．当时，函数与的图象有两个交点k <1g(x)ℎ(x)=kx D ．若且，则 x 1x 2>0f(x 1)+f(x 2)=0x 1x 2=1三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分.只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置）13．经过两直线2x+y-1=0与x-y-2=0的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是．14．设公差的等差数列的前项和为，已知，且，，成等比数d >0{a n }n S n a 1=5a 1a 3−1a 6列，则的最小值为　　．na n −n2S n 15．已知圆和圆交于两点，直线C 1：(x−1)2+(y−2)2=4C 2：(x−2)2+(y−1)2=2A ，B 与直线平行，且与圆相切，与圆交于点，则　　．l AB C 2C 1M ，N |MN|=16．已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线相F C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0，b >0)x−22y =0C 交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是　　.A ，B ∠AFB ≥90∘C 四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请在答题卡相应位置作答）17．（本题满分10分）已知直线l ：与x 轴的交点为A ，圆O ：2x−y +4=0经过点A ．x 2+y 2=r 2(r >0)（1）求r 的值；（2）若点B 为圆O 上一点，且直线垂直于直线l ，求弦长．AB |AB |18．（本题满分12分）已知点在圆上运动，，点为线段的中点．M x 2+y 2=4N(4，0)P MN （1）求点的轨迹方程P ；（2）求点到直线的距离的最大值和最小值．P 3x +4y−26=019．（本题满分12分）已知正项数列前项和为，且满足.{a n }n S n 4S n =(a n +1)2（1）求；a n （2）令，记数列前项和为，若对任意的，均有b n =a n +12a n{b n }n T n n ∈N ∗恒成立，求实数的取值范围.(3n +4)m ≥(2n−5)(169−T n )⋅2n m 20．（本题满分12分）已知函数．f(x)=ln(x +1)+a x +1(a ∈R)（1）讨论函数的单调性；y =f(x)（2）若函数有两个零点，，证明：．y =f(x)x 1x 2x 1⋅x 2+x 1+x 2>e 4−121．（本题满分12分）已知椭圆，过点作椭圆的两条切线，C ：x 2a 2+y 24=1(a >2)(0，13)C 且两切线垂直.（1）求椭圆的方程；C （2）已知椭圆的上顶点为为坐标原点，过两点的圆与C A ，O T(0，−6)，O Q 交于两点，直线分别交椭圆于异于的两点.证明：直线l ：y =−3E ，F AE ，AF C A M ，N 过定点.MN 22．（本题满分12分）已知函数，为的导函数．f(x)=−ax +xlnx (a ∈R)f '(x)f(x)（1）求的定义域和导函数；f(x)（2）当时，求函数的单调区间；a =2f(x)（3）若对，都有成立，且存在，使成∀x 1∈[e ，e 2]f(x 1)≥1x 2∈[e ，e 3]f '(x 2)+12a =0立，求实数a 的取值范围．答案解析部分1．【正确答案】B 2．【正确答案】A 3．【正确答案】A 4．【正确答案】A 5．【正确答案】C 6．【正确答案】B 7．【正确答案】D 8．【正确答案】B 9．【正确答案】A,C 10．【正确答案】A,B,D 11．【正确答案】A,C 12．【正确答案】A,C,D 13．【正确答案】x+y=014．【正确答案】2515．【正确答案】416．【正确答案】(324，62]17．【正确答案】（1）解：在中，令，得，故.2x−y +4=0y =0x =−2A(−2，0)因为圆O ：经过点A ，所以，解得.x 2+y 2=r 2(r >0)(−2)2+02=r 2(r >0)r =2（2）解：直线l 的斜率为2，因为直线垂直于直线l ，所以直线的斜率为.AB AB −12所以直线的方程为，即.AB y−0=−12(x +2)x +2y +2=0圆心到直线的距离为，O AB 212+22=25所以.|AB|=222−(25)2=85518．【正确答案】（1）解：设点，，P (x ，y )M(x 0，y 0)因为点是的中点，所以，P MN 4+x 02=x ，y 02=y则，，即，x 0=2x−4y 0=2y M(2x−4，2y)因为点在圆上运动，M x 2+y 2=4则有，(x−2)2+y 2=1所以点的轨迹方程为；P (x−2)2+y 2=1（2）解：由（1）知点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，P Q (2，0)点到直线的距离，Q 3x +4y−26=0d =|6−26|9+16=4故点到直线的距离的最大值为，最小值为．P 3x +4y−26=04+1=54−1=319．【正确答案】（1）解：因为，4S n =(a n +1)2当时，有，n ≥2，n ∈N ∗4S n−1=(a n−1+1)2两式相减得，移项合并同类项因式分解得4a n =a n 2−a n−12+2a n −2a n−1，(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0因为，a n >0所以有，a n −a n−1−2=0在中，当得，4S n =(a n +1)2n =1a 1=1所以数列是以为首项，以2为公差的等差数列，{a n }1故有a n =2n−1(n ∈N ∗)（2）解：由（1）知，b n =2n22n−1=n ×(14)n−1，∴T n =1+24+342+⋯+n4n−1∴14T n =14+242+343+⋯+n 4n，∴34T n =1+14+142+⋯+14n−1−n 4n =1−14n 1−14−n4n =43−43×14n −n 4n，∴T n =169−3n +49×4n−1由题意，对任意的，均有恒成立，n ∈N ∗(3n +4)m ≥(2n−5)(169−T n )⋅2n ，∴(3n +4)m ≥(2n−5)(3n +4)9×4n−1⋅2n即恒成立，m ≥49×2n−52n设，c n =2n−52n 所以，c n +1−c n =2n−32n +1−2n−52n =7−2n2n +1当时，，即；n ≤3c n +1−c n >0c n +1>c n 当时，，即，n ≥4c n +1−c n <0c n +1<c n 所以的最大值为，c n c 4=316 所以.m ≥49×316=112故的取值范围是.m [112，+∞)20．【正确答案】（1）解：已知函数的定义域为，y =f(x)(−1，+∞) ， f '(x)=1x +1+a2x +1=2+a x +12(x +1)当时，恒成立，所以在区间上单调递增；a ≥0f '(x)>0f(x)(−1，+∞)当时，由，解得，由，解得，a <0f '(x)<0x >4a 2−1f '(x)>0−1<x <4a 2−1的单调递增区间为，单调递减区间为，f(x)(−1，4a 2−1)(4a 2−1，+∞)所以，当时，在上单调递增，当时，在 a ≥0f(x)(−1，+∞)a <0f(x) 上单调递增，在上单调递减.(−1，4a 2−1)(4a 2−1，+∞)（2）证明：依题意，不妨设，则，x 1<x 2ln (x 1+1)+a x 1+1=0， ln (x 2+1)+a x 2+1=0于是得，即ln (x 1+1)+ln (x 2+1)+a(x 1+1+x 2+1)=0，ln [(x 1+1)(x 2+1)]=−a(x 1+1+x 2+1)亦有，即ln (x 2+1)−ln (x 1+1)+a(x 2+1−x 1+1)=0，ln (x 2+1)−ln (x 1+1)=−a(x 2+1−x 1+1)因此，，ln [(x 1+1)(x 2+1)]ln (x 2+1)−ln (x 1+1)=x 1+1+x 2+1x 2+1−x 1+1要证明，即证，x 1⋅x 2+x 1+x 2>e 4−1(x 1+1)⋅(x 2+1)>e 4即证，ln [(x 1+1)(x 2+1)]=[ln (x 2+1)−ln (x 1+1)]⋅x 1+1+x 2+1x 2+1−x 1+1>lne 4=4即证，即证ln (x 2+1)−ln (x 1+1)>4(x 2+1−x 1+1)x 2+1+x 1+1 ，lnx 2+1x 1+1=2lnx 2+1x 1+1>4(x 2+1x 1+1−1)x 2+1x 1+1+1令，，t =x 2+1x 1+1>1ℎ(t)=lnt−2(t−1)t +1=lnt +4t +1−2 ，ℎ'(t)=1t −4(t +1)2=(t−1)2t(t +1)2>0则有在上单调递增，，，即ℎ(t)(1，+∞)∀t >1ℎ(t)>ℎ(1)=0 成立，ln x 2+1x 1+1>2(x 2+1x 1+1−1)x 2+1x 1+1+1所以.x 1⋅x 2+x 1+x 2>e 4−121．【正确答案】（1）解：设切线方程为，代入得y =kx +13x 2a 2+y 24=1，(a 2k 2+4)x 2+213a 2kx +9a 2=0由，得，两条切线的斜率分别为，则Δ=52a 4k 2−36a 2(a 2k 2+4)=0a 2k 2=9k 1，k 2是方程的两解，所以，，k 1，k 2a 2k 2=9k 1=3a k 2=−3a 由两切线垂直得，．k 1k 2=−9a 2=−1a 2=9故椭圆的方程为.C x 29+y 24=1（2）证明：由题意圆心在直线上，设，Q l ：y =−3E(x E ，−3)，F(x F ，−3)因为，OE ⊥OF 所以，则.OE ⋅OF =x E x F +9=0k AE ⋅k AF =25x E x F =−259由题意知直线的斜率存在，设方程为，MN y =kx +m(m ≠±2)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)联立得，{x 29+y 24=1，y =kx +m ，(9k 2+4)x 2+18kmx +9m 2−36=0则，x 1+x 2=−18km 9k 2+4，x 1x 2=9m 2−369k 2+4.y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =8m 9k 2+4，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+mk (x 1+x 2)+m 2=4m 2−36k 29k 2+4因为，k AE =k AM =y 1−2x 1，k AF =k AN =y 2−2x 2所以k AM ⋅k AN =y 1−2x 1⋅y 2−2x 2=y 1y 2−2(y 1+y 2)+4x 1x 2，=4m 2−16m +169(m 2−4)=−259即，解得或（舍去），29m 2−16m−84=0m =−4229m =2直线的方程为，过定点.∴MN y =kx−4229(0，−4229)22．【正确答案】（1）解：的定义域为，；f(x)(0，1)∪(1，+∞)f '(x)=−a +lnx−1(lnx)2（2）解：当时，，a =2f '(x)=−2+lnx−1(lnx)2=−2(lnx)2−lnx +1(lnx)2=−2(lnx−14)2+78(lnx)2恒成立，所以在和上递减；f '(x)<0f(x)(0，1)(1，+∞)（3）解：若对，都有成立，∀x 1∈[e ，e 2]f(x 1)≥1即，即，−ax 1+x 1lnx 1≥1a ≤−1x 1+1lnx 1令，，则，ℎ(x)=−1x +1lnx x ∈[e ，e 2]ℎ'(x)=1x 2−1x (lnx)2=(lnx)2−x x 2(lnx)2对于函数，，φ(x)=lnx−x(x >0)φ'(x)=1x −12x =2−x 当时，，当时，，0<x <4φ'(x)>0x >4φ'(x)<0所以函数在上递增，在上递减，φ(x)=lnx−x (0，4)(4，+∞)所以，φ(x)≤φ(4)=ln4−2<0当时，，x ∈[e ，e 2]lnx >0所以，所以，lnx <x (lnx)2<x 故恒成立，在为减函数，ℎ'(x)<0ℎ(x)x ∈[e ，e 2]所以，所以，ℎ(x)min =ℎ(e 2)=−1e2+12a ≤−1e2+12由（1）知，，所以，f '(x)=−a +lnx−1(lnx)2f '(x 2)+12a =lnx 2−1(ln x)2−12a 记，g(x)=lnx−1(lnx)2−12a 令，，则原式的值域为，1lnx =t t ∈[13，1]g(x)=−t 2+t−12a(t ∈[13，1])[−a 2，14−a 2]因为存在，使成立，x 2∈[e ，e 3]f '(x 2)+12a =0所以，，所以，−a 2≤014−a 2≥00≤a ≤12综上，．a ∈[0，12−1e 2]第11页/总11页。

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