2017-2018学年河北省武邑中学高二上学期第一次月考数学(文)试题

河北武邑中学2017—2018学年高二上学期第一次月考数学试题（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题α：如果3x <，那么5x <，命题β：如果3x ≥，那么5x ≥，则命题α是命题β的（ ）A ．否命题B ．逆命题C ．逆否命题D ．否定形式 2．若p q ∧是假命题，则（ ）A ．p 是真命题，q 是假命题B ．p ，q 均为假命题C ．p ，q 至少有一个是假命题D ．p ，q 至少有一个是真命题 3．下列叙述错误的是（ ）A ．若事件A 发生的概率为()P A ，则()01P A ≤≤B ．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件C ．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同D ．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 4．设命题p ：0x ∀>，22log x x >，p ⌝为（ ） A ．0x ∀>，22log x x < B ．00x ∃>，0202log xx ≤ C ．00x ∃>，0202log xx < D ．00x ∃>，0202log x x ≥5．一个袋子装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和小于15的概率为（ ） A ．2932 B ．6364 C ．3132 D ．61646．矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点，在矩形ABCD 内随机取一点，则取到的点到O 的距离大于1的概率为（ ） A ．8π B ．18-π C ．4π D ．14-π 7．在[]2,3-上随机取一个数x ，则()()+130x x -≤的概率为（ ）A ．25 B ．14 C ．35 D ．458．已知x ∈R ，则“1x <-”是“2210x x +->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．一个球形容器的半径为3cm ，里面装满纯净水，因不小心混入了1个感冒病毒，从中任取1mL 水含有感冒病毒的概率为（ ） A ．13 B ．13π C ．136π D ．49π10．下列四个命题：①命题“若0a =，则0ab =”的否命题是“若0a =，则0ab ≠”； ②2560x x --=是1x =-的必要而不充分条件；③若命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，则命题q 一定是真命题； ④命题“若01a <<，则()1log 1log 1a a a a ⎛⎫+<+⎪⎝⎭”是真命题. 其中正确命题的序号是（把所有正确的命题序号都填上）（ ） A ．②③ B ．② C ．①②③ D ．④11．点(),a b 是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的任意一点，则使函数()223f x ax bx =-+在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数的概率为（ ） A ．14 B ．12 C ．13 D ．2312．设命题p ：函数()21lg 4f x ax x a ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的定义域为R ；命题q ：不等式39x x a -<对一切正实数均成立.如果命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．[]0,1C ．[)0,+∞D ．()0,1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．如图表示某班21位同学衣服上口袋的数目.若任选一位同学，则其衣服上口袋数目为5的概率是 ．14．已知：对x +∀∈R ，1a x x<+恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 15．下列命题中 为真命题（把所有真命题的序号都填上）．①“A B A =I ”成立的必要条件是“A B Ü”；②“若220x y +=，则x ，y 全为0”的否命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题. 16．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2⨯勾⨯股+（股-勾）24=⨯朱实+黄实=弦实，化简，得222+=勾股弦，设勾股中勾股比为1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知命题甲：{1a a a ∈<-或13a ⎫>⎬⎭，命题乙：12a a a ⎧∈<-⎨⎩或}1a >，当甲是真命题，且乙是假命题时，求实数a 的取值范围.18．随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，计算下列事件的概率. （1）所得的三位数大于400； （2）所得的三位数是偶数.19．是否存在实数p ，使40x p +<是220x x -->的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；否则，说明理由.20．某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.（1）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求至少有一名男生的概率.21．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中两个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为4π，边界忽略不计）即为中奖． 乙商场：从装有2个白球、2个蓝球和a 个红球的盒子中一次性摸出1球（这些球除颜色外完全相同），它是红球的概率是13若从盒子中一次性摸出2球，且摸到的是2个相同颜色的球，即为中奖．（1）求实数a 的值；（2）试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由.22．已知0a >设命题p ：函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭为增函数.命题q ：当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时函数()11f x x x a =+>恒成立.如果p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求a 的范围.河北武邑中学2017—2018学年高二上学期第一次月考数学试题（文）答案一、选择题1-5:ACDBD 6-10:DDACA 11、12：CB二、填空题13．42114．2a < 15．②④ 16．134 三、解答题17．解：当甲真乙假时，集合()M A B ==R I W 113aa ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭. 18．解：1，5，6三个数字可以排成156，165，516，561，615，651，共6个不同的三位数. （1）大于400的三位数的个数为4，所以4263P ==. （2）三位数为偶数的有156,516，共2个， 所以相应的概率为2163P ==. 19．解：由220x x -->，解得2x >或1x <-，令{2A x x =>或}1x <-，由40x p +<，得4p B x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭， 当B A ⊆时，即14p-≤-，即4p ≥， 此时14px <-≤-⇒220x x -->， ∴当4p ≥时，40x p +<是220x x -->的充分条件.20．解：（1）由题意得，男生优秀人数为()1000.010.021030⨯+⨯=人，女生优秀人数为()1000.0150.031045⨯+⨯=人.（2）因为样本容量与总体中的个体数的比是51304515=+，所以样本中包含男生人数为130215⨯=人，女生人数为145315⨯=人. 设两名男生为1A ，2A ，三名女生为1B ，2B ，3B .则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B ，{}12,B B ，{}13,B B ，{}23,B B 共10个.每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件C ：“选取的2人至少有一名男生”，则事件C 包含的基本事件有：{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B 共7个.所以()710P C =，即选取的2人中至少有一名男生的概率为710. 21．解：（1）根据随机事件的概率公式，1223a a =++，解得2a =. （2）设顾客去甲商场转动圆盘，指针指向阴影部分为事件A ， 试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为2r π（r 为圆盘的半径），阴影区域的面积为2221424S r r ⨯==ππππ.故由几何概型，得()221144rP A r ==ππ. 设顾客去乙商场一次摸出两个相同颜色的球为事件B ，记2个白球为白1，白2；2个红球为红1、红2；2个篮球为蓝1、蓝2，则从盒子中一次性摸出2球，一切可能的结果有（白1、白2），（白1、红1）、（白1、红2），（白1、蓝1），（白1、蓝2）；（白2、红1），（白2，红2），（白2，蓝1），（白2、蓝2）；（红1、红2），（红1、蓝1），（红1、蓝2），（红2、蓝1），（红2、蓝2）；（蓝1、蓝2）等共15种；其中摸到的是2个相同颜色的球有（白1、白2），（红1、红2），（蓝1、蓝2）等共3种； 故由古典概型，得()31155P B ==. 因为()()P A P B >，所以顾客在甲商场中奖的可能性大.22．解：由1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭为增函数得，01a <<因为()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在[]1,2上为增函数.∴()f x 在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上最小值为()12f =.当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由函数()11f x x x a =+>恒成立得，12a >，解得12a >如果p 真且q 假，则102a <≤. 如果p 假且q 真，则1a ≥所以a 的取值范围为[)10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U .。