分式讲义

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初二数学分式经典讲义

第十七章分式§17.1 分式及其基本性质一．知识点：1.分式的概念：形如BA(A 、B 是整式，且B 中含有字母（未知数），B ≠0)的式子，叫做分式(fraction ).其中A 叫做分式的分子(numerator ),B 叫做分式的分母（denominator ）.整式和分式统称有理式（rational expression ）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义。

（分式有意义的条件）2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分.3.分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零。

二．学习过程：1．先由分数，整数，有理数的概念引入分式，有理式。

（单项式和多项式统称为整式。

代数式中的一种有理式.不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者，则称为整式）再按教材的思路讲解，并归纳相关的知识点。

2. 和学生一起完成课后习题。

三．例题及习题：教材中的题目。

典型例题1.23m m是一个分式么？答：是。

虽然可以化成3m 的整式形式，但在化简的过程中正是运用了分式的基本性质化简的，另外23m m与3m 中的字母的取值也不同．习题一（1）．当x 取什么值时，下列分式有意义？(1)12+a a ;(2) 3252-a a （2）. 要使分式)5)(32(23-+-x x x有意义，则.（）（A ）x ≠23-(B)x ≠5 (C)x ≠23-且x ≠5 (D)x ≠23-或x ≠5（3）. 当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是.（）（A ）112++a a （B ）12+a a （C ）112++a a （D ）21a a +（4）. 当x 是什么数时，分式252++x x 的值是零？解：由分子x+2=0得x=-2 而当x=-2时，分母2x-5≠0所以，当x=-2时，分式的值是零习题二一、填空题 1.约简公式= .2.a 取整数时，分式(1-114++a a )·a 1的值为正整数.3.如果x+x 1=3，则1x x x 242++的值为 .4.已知x=1+a 2,y=1-a 1.用x 的代数式表示y ，得y= ；用y 的代数式表示x ，得x= .5．要使代数式3a 2a 3a 2---的值为零，只须 .6.已知s=)y s (q 1yqx ≠--,用x 、y 、s 表示q 的式子是 .7.两个容积相等的瓶子中装满了酒精和水的溶液，其中一个瓶子中酒精与水的容积之比是p ∶1，另一个瓶子中是q ∶1.若把这两瓶溶液混合在一起，混合液中酒精与水的容积之比为 .二、解答题8.化简分式232m m 21m m m 1+-+--9.解关于x 的方程，其中a+2b-3c ≠0,a 、b 、c 互不相等.10.已知ab=1，证明11b b 1a a =+++11.甲的工作效率是乙的2倍，若甲先完成32后乙来完成，这样完成工作所用时间比甲、乙两人同时工作晚4天，甲、乙两人单独完成这项工作各需多少天？参考答案【同步达纲练习】一、1. c d a c b a -+-+ 2.-2或-4 3.814.2x 3- 3-2y5.a=-36.q=y S x S --7.2q p pq 2q p ++++二、8.当m ≥0时，且m ≠1时，原式=1+m. 当m ＜0时，且m ≠-1时，原式=m 1)m 1(2+-9.x=c 3b 2a bcac 2ab 3-+-- 10.提示：将第二个分式的分母中的1换为ab.11.甲单独完成需6天，乙需12天.§17.2 分式的运算一．知识点：1.分式的乘除法：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

完整分式讲义

分式1．分式的概念：形如BA(A,B 是整式，且B 中含有字母)。

要使分式有意义，作为分母的整式B 的值不能为0，即B ≠0。

要使分式的值为0，只能分子的值为0，同时保证分母的值不为0，即A=0，且B ≠0。

1、式子①x 2 ②5y x + ③a -21 ④1-πx中，是分式的有（）A ．①② B. ③④ C. ①③ D.①②③④2、分式13-+x ax 中，当a x -=时，下列结论正确的是（）A ．分式的值为零 B.分式无意义C. 若31-≠a 时,分式的值为零D. 若31≠a 时,分式的值为零3. 若分式1-x x无意义,则x 的值是( ) A. 0 B. 1 C. -1 D.1±4.如果分式x 211-的值为负数,则的x 取值范围是( )A.21≤xB.21<xC.21≥xD.21>x2．分式的基本性质：分式的分子，分母同时乘以，或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

即B A =CB C A ⋅⋅ ，B A =CB C A ÷÷ （C ≠0） 1．不改变分式的值，使分式115101139x yx y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ） A ．10 B ．9 C ．45 D ．902．下列等式：①()a b c --=-a b c -;②x y x -+-=x y x -;③a b c -+=-a bc+;④m n m --=-m n m-中,成立的是（）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④3．不改变分式2323523x xx x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（• ）A ．2332523x x x x +++-B ．2332523x x x x -++-C ．2332523x x x x +--+D ．2332523x x x x ---+4．对于分式11-x ，永远成立的是（） A ．1211+=-x x B. 11112-+=-x x x C. 2)1(111--=-x x x D. 3111--=-x x 5．下列各分式正确的是( )A.22a b a b =B. b a b a b a +=++22C. a a a a -=-+-11122D. xx xy y x 2168432=--3．最简分式及分式的约分与通分：1）最简分式:分子分母没有公因式的分式称之为最简分式。

分式讲义

分式一．分式的概念：1.一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式．（0≠B ）在理解分式的概念时，注意以下三点： ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．2.分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．如：分式1x ，当0x ≠时，分式有意义；当0x =时，分式无意义．3.分式的值为零的条件：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．4.分式的值为正的条件：分子分母同号（分子大于零，分母小于零）或者（分母大于零，分子小于零）。

分式的值为负的条件：分子分母异号（分子大于零，分母大于零）或者（分母小于零，分子小于零）。

5.分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a am b bm =，a a mb b m÷=÷(0m ≠)．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m ≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．典型例题1、下列各式：()xx x x y x x x 2225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有（）个。

A 、2B 、3C 、4D 、52、若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________。

3、下列各式正确的是（）A 、11++=++b a x b x aB 、22xy x y = C 、()0,≠=a ma na m n D 、a m a n m n --= 4、下列各分式中，最简分式是（）A 、()()y x y x +-8534B 、y x x y +-22C 、2222xy y x y x ++D 、()222y x y x +- 5、下列约分正确的是（） A 、313m m m +=+ B 、212y x y x -=-+ C 、123369+=+a b a b D 、()()yxa b y b a x =-- 6、若把分式xyyx 2+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（）A 、扩大3倍B 、不变C 、缩小3倍D 、缩小6倍7、若0≠-=y x xy ，则分式=-xy11（） A 、xy1B 、x y -C 、1D 、－1 8、已知ba b a b a ab b a -+>>=+则且,0622的值为（）A 、2B 、2±C 、2D 、2±9.求下列分式有意义的条件： ⑴1x ⑵33x + ⑷21n m + ⑸22x y x y ++ ⑹2128x x -- ⑺293x x -+ 2|x |3x -+ 1111x++10.当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴1x x + ⑶33x x -- ⑷237x x ++ ⑸2231x x x +-- ⑹2242x x x -+ ⑶2656x x x --- ⑺(8)(1)1x x x -+-11.约分： ⑴232215____20a b c b c -= ⑵262______31x x x +=+（3）22366m mm m +--(4)222249____4129x y x xy y -=++ (5) 22412____710x x x x --=++ (6) 232428_______416n nn n nx x x x x +++-=++．二. 分式基本运算1.分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅2.分式的除法：a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅3.乘方：()n nn nn a a aa a aa ab b bb b bb b ⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数) 4.分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bc c c+±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=5.分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．注意：结果以最简形式存在. 一、计算题1、22221106532xyx y y x ÷⋅ 2、m n n n m m m n n m -+-+--2 3. x x ++-11114.112---a a a5.1111-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x 6.22224421y xy x y x y x y x ++-÷+-- 7.8.2222135333x x x x xx x x +--+-++++二、先化简，后求值1、168422+--x x xx ，其中x =5.2、3,32,1)()2(222222-==+--+÷+---b a b a a b a a b ab a a b a a 其中3、先化简，再求值:224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a+++÷--÷-+，其中4a =4、已知20102009x y ==，，求代数式22xy y x yx x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭÷的值．5.先化简再求值：422423216424(2)416844m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋2－1÷x 2＋2x ＋1x 2－4，其中x ＝tan60°－1.6.已知：2244a b ab +=（0ab ≠），求22225369a b a b ba b a ab b a b--÷-++++的值．7.已知210a b +-=，求代数式22()(1)()aa b a b a b-+÷-+的值．8.分式一、选择题1．化简分式2bab b +的结果为（）A ．1a b+ B ．11a b + C ．21a b +D ．1ab b+ 2．要使22969m m m --+的值为0，则m 的值为（）A ．m=3B ．m=-3C ．m=±3D ．不存在 3．若解方程333-=-x mx x 出现增根，则m 的值为（） A ． 0 B ．-1 C ．3 D ．1 4．如果04422=+-y xy x ，那么yx y x +-的值等于（）A ．31- B ． y31- C ． 31 D ．y31 二、填空题.5．当x = 时，分式6422---x x x 的值为0．6．若一个分式含有字母m ，且当5m =时，它的值为12，则这个分式可以是．（写出一个．．即可） 7．已知432z y x ==，求分式y x zy x 32534++-= 8.（1）211()(1)11x x x ---+ （2）24142x x +-+ 易错题：(2011年四川广安)先化简⎝⎛⎭⎪⎪⎫x x －5－x 5－x ÷2x x 2－25，然后从不等组⎩⎪⎨⎪⎧－x －2≤32x <12的解集中，选取一个你认为符合题意的x 的值代入求值．9．先化简，再求值：224242x x x +---，其中2x =．10．当a=2时，求1121422-÷+--a a a a 的值．11．先化简，再求值：2224124422a a a a a a⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭，其中a 是方程2310x x ++=的根．。

分式讲义

一、知识框架：二、知识概念：1.分式：形如A B，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c ±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a c ad cb b d bd±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc÷=⨯= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.整数指数幂：⑴m n m n a a a+⨯=（m n 、是正整数） ⑵()n m mn a a =（m n 、是正整数）⑶()nn n ab a b =（n 是正整数） ⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >）⑸n nna ab b⎛⎫=⎪⎝⎭（n是正整数）⑹1nnaa-=（0a≠，n是正整数）9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).。

分式讲义

分式一、基本知识1、分式定义：形如BA的式子叫分式，其中A 、B 是整式，且B 中含有字母。

（1）分式无意义：B=0时，分式无意义； B ≠0时，分式有意义。

（2）分式的值为0：A=0，B ≠0时，分式的值等于0。

（3）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。

方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。

（4）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。

（5）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。

（6）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。

（7）有理式：整式和分式统称有理式。

2、分式的基本性质：（1）)0(的整式是≠⋅⋅=M M B M A B A ；（2）)0(的整式是≠÷÷=M MB M A B A （3）分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

3、分式的运算：（1）加、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分成同分母的分式再相加减。

（2）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。

（3）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。

（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。

二、例题讲析 1、（2011黑龙江黑河，18，3分）分式方程=--11x x)2)(1(+-x x m 有增根，则m 的值为（）A 0和3B 1C 1和－2D 3 【答案】D2、（2011年铜仁地区，4，4分）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km ，可早到10分钟，每小时骑12km 就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km?设他家到学校的路程是xkm ，则据题意列出的方程是（）A.60512601015-=+x x B.60512601015+=-x x C.60512601015-=-x x D.5121015-=+x x .【答案】A3、（2011内蒙古包头，17，3分）化简122144112222-++÷++-⋅-+a a a a a a a ，其结果是 . 【答案】11-a 4. （2011广西梧州，24，10分）由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？（3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金a 元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案获利相同，a 应取何值？【答案】解：（1）设今年甲型号手机每台售价为x 元，由题意得， 80000x+500=60000x ．解得x =1500．经检验x =1500是方程的解．故今年甲型号手机每台售价为1500元．（2）设购进甲型号手机m 台，由题意得， 17600≤1000m +800（20-m ）≤18400， 8≤m ≤12．因为m 只能取整数，所以m 取8、9、10、11、12，共有5种进货方案．（3）方法一：设总获利W 元，则W =（1500-1000）m +（1400-800-a ）（20-m ）， W =（a -100）m +12000-20a ．所以当a =100时，（2）中所有的方案获利相同．方法二：由（2）知，当m =8时，有20-m =12．此时获利y 1=（1500-1000）×8+（1400-800-a ）×12=4000+（600-a ）×12 当m=9时，有20-m=11此时获利y 2=（1500-1000）×9+（1400-800-a ）×11=4500+（600-a ）×11 由于获利相同，则有y 1= y 2．即4000+（600-a ）×12=4500+（600-a ）×11，解之得a =100 ．所以当a =100时，（2）中所有方案获利相同． 5. （2011贵州黔南，21，10分）为了美化都匀市环境，打造中国优秀旅游城市，现欲将剑江河进行清淤疏通改造，现有两家清淤公司可供选择，这两家公司提供信息如表所示：单位清淤费用（元/m 3）清淤处理费（元）甲公司18 5000 乙公司20 0 （1）若剑江河首批需要清除的淤泥面积大约为1.2万平方米，平均厚度约为0.4米，那么请哪个清淤公司进行清淤费用较省，请说明理由。

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分式讲义一、分式相关概念1.分式概念：整式A除以整式B，可以表示成A/B 的形式，如果除式B中含有字母，那么称A/B 为分式．注：（1）若B≠0，则AB 有意义；（2）若B=0，则AB 无意义；（2）若A=0且B≠0，则A/B =0 。

2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，用式子表示为：。

3．约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分。

4．通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．5．分式的加减法法则：6．分式的乘除法法则：二、分式方程及其应用1．分式方程．分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法：解分式方程的关键是去分母（方程两边都乘以最简公分母人将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题：⑴增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根l增根；⑵验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．4.解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：①去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。

5.列分式方程解应用题的一般步骤：（1）审（2）设（3）找（4）列（5）解（6）验（7）答题型一、分式概念的理解1.例１当x取何值时，下列分式有意义？题型二、分式化简题型三、分式整体法求值题型四、解分式方程题型五、分式应用题1.在四川省发生地震后，成都运往汶川灾区的物资须从西线或南线运输，西线的路程约800千米，南线的路程约80千米，走南线的车队在西线车队出发18小时后立刻启程，结果两车队同时到达．已知两车队的行驶速度相同，求车队走西线所用的时间。

分式专题讲义

例:U 当X 满足什么条件时，分式有意义?变式训练：当X 满足什么条件时，分式有意义?例】、已知总，x 取哪些值时；⑴y 的值是。

？⑵分式无意义；⑶y 的值是正数O _ 1 Q变式训练：已知分式一，（"若分式有意义，求X 的取值范用；x + 3（2）当x 取什么值时，分式为0?（3）若分式值为负数，求x 的取值范用练习题1. （1）当X 取何值时，分式=的值是非负数（2）当x 取何值时，分式土巴的值是0?x — 2 x-m⑵等式册牯成立的条件。

2V + 23、已恥为整数，且分式r 的值为整数，求x 的取值范此r4、使代数式亠一有意义的x 的取值范围是 _____________2x — 15、已知x 为整数.且分式二1^ +鼻兰的值为整数，求满足条件的x 的和为多少？9—牙二 %" -9分式专分式有无意义、X 取值范围 2x 7+7(3) F —1（x+2）（x-(4) kl (1)X+1 2x-5(2) 3x + 4 2-卜| 2、已知分式- 6。

+ 18的值是正整数, 求a ：6、当x 时，分式，—有意义。

当沪—时，分式上一N的值为零。

f—4 1-x8、m取整数值时，分式2，H + 7的值是正整数。

m一1分式专题二：分式中的待定系数x — k例「当x = 2时，分式——的值为1,求k, m满足的条件x + m变式训练：分式 ------ •-------- 的值等于5,求aerm-cm（加+ 〃）「3 A例2.已知—+ ---------- = 3那么A二______加一 5 5-mA R变式训练：】、已知芮+市3x — 5(x-3)(x + l),求A. B的值2、已知2x +1(x-DGv+2)A B----- H --------x-1 x+2求A、B的值3、・若分式4x-93x2-X-2（A, B为常数），请求出A, B的值4、若b'_2uba2 +b2x a2 -2ab + b2 a2 +b2* a2 +b2求x的值7、已知: 分式的值为正整数，则整数a的值为_ 6d _ 18s 卄 4x-lm x M “亠例3、\+2)aTFF 则整式吩— 例4已知分式jF -,当a<6时，使分式无意义的x的值有几个?Q -5x + a J/—3G + 1 + 戾 _ 2b +1 = 0,贝好 + 丄 _ 问= ____________例5. 力分式专题三：分式的化简求值变式训练：i 、先化简再计算: 時，其中“7尸2JT -3x一「Ji .其中牙=5, y = _ 1+4xy_4y ・3、先化简再计算：£5為'其中心‘曲例:U 先化简，再求值: a 2 +6^+9a+ 3 其中Q = 14、先化简再计算: 士 •宁却其中-5、先化简再计算: x 2 -4x-3 其中兀=42、先化简再计算:6、先化简再计算：|上!_ +丄•丄I ° 一1 1 一° 丿a例2、先化简再计算：守斗其和"+2心变式训练：1.先化简后计算：出一/十丄工•丄,其中“=石_3cr +66/+ 9 2a + 6 a+ 92 22、先化简再计算：上工一厂…其中x = l + J2 y = l-V2 x-2y x" -4xy + 4y・2 23、先化简再计算：—,其中x = l + 2V3,y = l-2>/3 x-y x-y4、先化简再计算：2A-~-V-- A^2V--,其中x = l + JNy = 2© — 2 x+y x+y5、先化简再计算：-^r~9——,其中X = J?_4x" +8x + 16 x + 4 x + 4"：：；+【其中*(—2015)°-厶+ [#6、先化简再讣算: -2 +丄x + 2)7、I /r ~4 —1- 再对a 选一个你喜欢的值代入求值[cr -4« + 4a-2 丿 a_2 分式专题四、分式与非负数、不等式、方程的结合变式训练：1、己知(x-y + 1)- +|x+y-2| = 0,贝ij(x- v + ~^—)(^+y--—-) = ____________________________|^| x-y x-y2、已知|2“一方+ 1| + （3° +》2）2=0,求上一*（上_一1）・（°一上一）的值.2 a + b a_b a_b3、已知。

分式讲义

分【知识点】1、分式的概念一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成BA的形式，如果B 中含有字母，式子BA就叫做分式。

其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。

分式和整式通称为有理式。

2、分式的性质（1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

3、分式的运算法则;;bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =⨯=÷=⨯ );()(为整数n b a b a n nn = ;c b a c b c a ±=± bdbc ad d c b a ±=± 4、分式方程 1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

2、解分式方程的一般方法：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母；（2）解所得的整式方程；（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。

3、分式方程的特殊解法换元法：，当分式方程去分母不易解决时，可考虑用换元法。

【例题讲解】1.下列式子是分式的是( B )A.B. C. D. 2.如果分式的值为0，则x 的值应为-3．3.若实数x y 、满足0xy ≠，则yx m x y=+的可能值的和是 0 ． 4.已知345x y z==(0)xyz ≠，求222xy yz xz x y z++++的值 5.已知112522,-2x xy yx y x xy y +--=-求的值6已知115,y xx y x y x y+=++求的值 7.化简22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭8.若m 为正实数，且，2211m m m m+-求及的值9.已知111,,345ab bc ca a b c a b b c c a ===+++、、为实数，且，求abcab bc ca ++的值10.已知关于x 的方程322133x ax x x-++=---无解，求a 的值 11.m 为何值时，关于x 的方程223242mx x x x +=--+会产生增根？ 12.已知关于x 的方程233x m m x x -=--有一个正数解，求的取值范围。

分式讲义

1.1分式1.1.1 从分数到分式1、分式的概念形如BA的式子，且A 、B 都是整式，B 中含有字母，B ≠0，这样的式子叫做分式，其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。

例题1：下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？32,,5,3,1,3,222-++a a x m m x a π 解析：x/3，5/π，-2/3虽具有分式的形式，但分母不含字母，所以都不是分式，π表示是一个常数。

2、确定分式值为零的条件在分式B A 中，如果A=0且B ≠0时，那么分式BA的值为零。

如果要想上述分式为0，只有当A=0的时候才可以，因为BA=A ÷B ，那么除数不能为0，所以只能A=0。

例题2：下列各式中，m 取何值时，分式有意义？93,21,22---+m mm m m 例题3：在函数y=121-+x x 中，自变量x 的取值范围是（） A. x ≥-1 B. x ≥-1且x ≠1/2 c.x >-1且x ≠1/2 D.x ≥-1综上所述，我们知道了分式的感念有三个方面：（1）分子是被除式，分母是除式，分数线起除号作用（2）分式的分母必须含有字母（3）在任何情况下，分式的分母值都不为0，否则没有意义3、分式的特殊值中，注意分母一定不能为零（1）分式A/B 值为0，当且仅当A=0，B ≠0 （2）分式A/B 值为1，当且仅当A=B ≠0 （3）分式的值为-1，当且仅当A=-B ≠04、关于同底数幂相除的法则同底数幂相除底数不变，指数想减。

即m 、n 为正整数，m>n ，a ≠0，有n m n m a a a -=÷5、单项式除以单项式两个单项式相除，只要将系数及同底数幂分别相除，并把它们在被除式中含有的字母连同它的指数作为商的一个因式。

例如：232224222432626c a abc b a ab c b a ==÷ 6、多项式除以单项式多项式除以单项式。

分式讲义

2．约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分．约分的依据是分式的基本性质．
3．最简因式：如果一个因式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个因式叫做最简因式。
【学习目标】
1、掌握分式的基本性质
2、会对分式进行恒等变形，会对分式进行约分，将分式化为最简分式。
【典型例题】
1．分式的基本性质的应用
【解答】
【例6】约分：
（1），（2），（3） .
【解答】
【例7】已知，求的值．
【分析】遇到连等分式，一般采取设系数，然后代入约分。
【解答】
3．最简因式的判断
【例8】判断下列因式那些是最简因式，那些不是最简因式，并说明理由。
【解答】
【点评】最简分式的定义：如果一个因式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个因式叫做最简因式。
【解答】
【例4】为何值时，分式有意义？
【分析】分式有意义的条件是：。
【解答】
【点评】分式是否有意义，只和分母有关，与分子无关。
【例5】为何值时，分式有意义？
【解答】
4．分式值为零的条件
【例6】如果分式的值为零，那么、应满足什么条件？
【分析】分式的值为零条件是：且。
【解答】
5．与分式有关的实际问题
另
【能力提高】
1.根据分式的基本性质，下列各式中，变形不正确的是（）
（A）（B）
（C）（D）
2.下列各式正确的是（）
（A）（B）（C）（D）
3.下列约分错误的是（）
（A）（B）
（C）（D）
4.如果分式中，的值都变为原来的2倍，则分式的值（）
（A）不变（B）变为原来的（C）变为原来的2倍（D）变为原来的4倍

分式讲义

知识点一、分式的定义如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。

253817233312y x x x xy y x y x y x x -++-，　，　，－，－，　，　，　？些是整式？哪些是分式在下列式子中，哪例π ，2222x y x y-+ 提示：区分整式与分式的唯一标准就是看分母，分母中不含字母的是整式，分母中含有字母的是分式。

提示：π是一个常数，而不是字母。

知识点二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。

【B ≠0且A=0】例2 当x 取何值时，下列分式有意义？()x 211 ()3x 71x 32-- ()1x x32+当x 取何值时，下列分式无意义？()2x 5x 1- ()5x 61x 22-+ ()2x 3x 3+-当x 取何值时，下列分式的值为零？()x x +21 ()x x 342- ()45233-+x x知识点睛分式()33||4+-x x ()86452+-x x知识点三、分式值为正、负的条件分子分母同号为正，异号为负例3 当x 为何值时，分式 232-+x x 的值为正？分式512++x x 的值为负，则x 应满足．使分式x 326--的值为负数的条件是( )．知识点四、分式的基本性质（1）分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变（2）分式的系数变号：bab a b a b a =--=+--=-- 例4 （1）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.下列变形正确的是（）A ．11a ab b+=+B ．11a ab b--=--C ．221a b a b a b-=--D ．()()221a b a b --=-+（2）下列各式中，从左到右的变形正确的是( )A 、y x y x y x y x ---=--+-B 、yx yx y x y x +-=--+-C 、y x y x y x y x -+=--+- D 、yx yx y x y x +--=--+-（3）根据分式的基本性质，分式xx --432可变形为( ) A.432---x x B ．x x ---432C ．x x --423D ．423---x x(4)下列从左到右的变形正确的是（）A ．122122x yx y x y x y --=++ B ．0.220.22a b a b a b a b ++=++ C ．11x x x y x y+--=-- D ．a b a b a b a b +-=-+(5)若2=nm，则=-+n m n m 3 . （6）已知345x y z==，求23x y x y z +-+的值。

分式讲义

一、分式何时有意义、值为01. 判断x 1，x 1-1，3b a +-，π2x ，12222,51,,-+++--x x mb a b a x x 中分式的有函数11-=x y 中自变量x 的取值范围是函数xx y 11++=中自变量x 的取值范围是2. x 取什么值时，分式912--x x（1）无意义；（2）有意义；（3）值为0。

当x 时，分式31-+x x 有意义，当x 时，分式32-x x无意义。

3、当x 取什么值时，下列分式有意义？（1）212x x - （2）7612-+x x （3）42132--x x4. 如果,0242=+--x x 则x= 当m ＝时，分式23)3)(1(2+---m m m m 的值为零当a=2时，是否存在x= ，22xa -+x a 的值为05. 当a _________________时，分式132+-a a 的值是正数 x = 时，分式232-+x x 的值为正数二、分式的基本性质：1. 通分：222123,61,862x x xx x x x -+--++-2. 若11132-++=--x Bx A x x ，求A 、B2、对于分式11x + 的变形永远成立的是( ) A.1212x x =++; B.21111x x x -=+-; C.2111(1)x x x +=++; D.1111x x -=+- 3、下列各式正确的是（）A 、11++=++b a x b x aB 、22xy x y =C 、()0,≠=a ma na m n D 、am an m n --= 4、将分式12x-y x 5 +y 3 的分子和分母中的各项系数都化为整数，应为（1）()aba b = （2）b a b a b a 22)(5.0+----=++(3)())0(,10 53≠=a axy xy a (4) ()1422=-+a a 变式训练（1)、不改变分式的值,使分式的首项分子与分式本身都不含“-”号:2a b a b ---=________;(2)2a b a b----=___________.(2)、不改变分式的值,把分式2343251x x x --+- 中分子、分母最高次项系数化为正数为__ __ __.(3)将y x y x 415.02.021-- ，yx yx 544341-+分母中的各项系数化为整数，不改变分式的值 (4) 把322211xx x x -+--最高次项的系数化为正数，不改变分式的值 4、如果把分式yx x+2中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（） A 、扩大3倍 B 、缩小3倍 C 、缩小6倍 D 、不变变式训练y x x +22、2223x y x y++、x y xy + 5、xyzx y xy 61,4,13-的最简公分母是。

第十五章分式--精品PPT讲义

【学前准备】2分钟
上述各式中，是整式的有 ①、②、④、⑤、⑥、⑦、⑧ ；
其中单项式有 ①、④、⑤、⑥、⑦
；
多项式有 ②、⑧
.
【预习导学】
一、自学指导
1、自学1：自学课本P127－128页，掌握分式的概念，完成填空。3分钟
两个整式
含有字母
分子
分母
点拨精讲：分式是不同于整式的另一类式子，它的分母中含有字母可以表示不
【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟
【点拨精讲】（3分钟）
1、分式的值为0的前提条件是此分式有意义。 2、分式的分数线相当于除号，也具有括号的作用。
【课堂小结】
（学生总结本堂课的收获与困惑）2分钟
【当堂训练】10分钟
同的数，所以分式比分数更具有一般性。
【预习导学】
2、自学2：自学教材P128页思考与例1，理解分式有意义的条件，分式的值为零
的条件。5分钟
B0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B 0, A 0
不能为0
点拨精讲：分式的分数线相当于除号，也起到括号的作用。
【预习导学】
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视。5分钟 1、教材P128－129页练习题1、2、3题；
第十五章分式
15.1.1 从分数到分式
【学习目标】 1、了解分式的概念，理解分式有意义
的条件，分式的值为零的条件； 2、能熟练地求出分式有意义的条件，
分式的值为零的条件。【学习重、难点】
重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；
难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件。

分式讲义

第十六章分式16．1分式16.1.1从分数到分式一、教学目标1．了解分式、有理式的概念.2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：710，as ，33200，sv .2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时.轮船顺流航行100千米所用的时间为v+20100小时，逆流航行60千米所用时间v-2060小时，所以v+20100=v-2060.3. 以上的式子v+20100，v-2060，a s ，sv ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？五、例题讲解P5例1. 当x 为何值时，分式有意义.[分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解出字母x 的取值范围.[提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.(补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？（1）（2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x2. 当x 取何值时，下列分式有意义？（1）（2）（3） 1-m m32+-m m 112+-m m 4522--x x x x 235-+23+x3. 当x 为何值时，分式的值为0？（1）（2） (3)七、课后练习1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？(1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件个，做80个零件需小时.（2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是千米/时，轮船的逆流速度是千米/时. (3)x 与y 的差于4的商是 .2．当x 取何值时，分式无意义？3. 当x 为何值时，分式的值为0？八、答案：六、1.整式：9x+4, 209y +, 54-m 分式： x 7 , 238y y -，91-x2．(1）x ≠-2 （2）x ≠ （3）x ≠±2 3．（1）x=-7 （2）x=0 (3)x=-1七、1．18x, ,a+b, b a s +,4y x -; 整式：8x, a+b, 4y x -;分式：x80, b a s + 2． X = 3. x=-1课后反思：x x 57+xx 3217-x x x --221x 802332xx x --212312-+x x16.1.2分式的基本性质一、教学目标1．理解分式的基本性质.2．会用分式的基本性质将分式变形. 二、重点、难点1．重点: 理解分式的基本性质.2．难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形. 三、例、习题的意图分析1．P7的例2是使学生观察等式左右的已知的分母（或分子），乘以或除以了什么整式，然后应用分式的基本性质，相应地把分子（或分母）乘以或除以了这个整式，填到括号里作为答案，使分式的值不变.2．P9的例3、例4地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是：约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.教师要讲清方法，还要及时地纠正学生做题时出现的错误，使学生在做提示加深对相应概念及方法的理解.3．P11习题16.1的第5题是：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.这一类题教材里没有例题，但它也是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.“不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含‘-’号”是分式的基本性质的应用之一，所以补充例5. 四、课堂引入1．请同学们考虑：与相等吗？与相等吗？为什么？2．说出与之间变形的过程，与之间变形的过程，并说出变形依据？3．提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质. 五、例题讲解P7例2.填空：[分析]应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式，使分式的值不变.P11例3．约分：[分析] 约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式.P11例4．通分：[分析] 通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.（补充）例5.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.4320152498343201524983ab 56--， yx 3-， nm --2， nm 67--， yx 43---。

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